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Ecole des Ponts ParisTech 16 mai 2019

Département GCC

Cours de Calcul à la Rupture : contrôle des connaissances

Durée : 3h00

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Le sujet comporte deux exercices et un problème indépendants

Exercice 1: domaine de résistance d’un portique (2 points)

Un portique constitué d’une poutre horizontale OAB de longueur l reliée à un poteau vertical

BCD de même longueur et encastré à ses deux extrémités O et D, est soumis à l’action de deux

charges ponctuelles 1 2( 0, 0)Q Q comme indiqué sur la figure. On désigne par m la résistance

en flexion positive et négative en tout point du portique.

1. Expliquer pourquoi il y a deux mécanismes indépendants (schématisés sur la figure ci-dessus)

mettant en jeu des rotules aux sections potentiellement critiques (s.p.c.).

/ 2l / 2l

/ 2l

/ 2l

1 0Q

2 0Q

OA B

C

D

+

+

1Q

2Q

ˆ 0

1Q

2Q

ˆ 0

(a)

(b)

2

2. Etablir un tableau donnant pour chacun des deux mécanismes (a) et (b), ainsi que pour leur

somme (a)+(b) :

les discontinuités de taux de rotation en chaque s.p.c. en fonction de ˆ ˆ0 et 0 ;

la puissance virtuelle des efforts extérieurs et la puissance résistante maximale.

3. Déterminer par l’approche cinématique par l’extérieur le domaine K des chargements

potentiellement supportables par la structure dans le quart de plan 1 2( 0, 0)Q Q . Conclure.

Indication. Tracer le domaine K comme l’intersection des demi-plans définis par

ˆ ˆˆ ˆ( , ) ( , )e rmP P avec ˆ ˆ( 0, 0) , en commençant par représenter ces demi-plans pour

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( 0, 0), ( 0, 0) et ( 0) .

Corrigé

1. Les sections potentiellement critiques étant au nombre de n=5, situées aux points O, A, B,

C et D, et le degré d’hyperstaticité du problème étant égal à k=3, le nombre de mécanismes

indépendants est égal à 2r n k . Il s’agit de deux mécanismes de poutre : le premier (a)

mettant en jeu des rotules aux points O, A et B, le second (b) mettant en jeu des rotules aux points

B, C et D.

2. Approche cinématique.

3. On peut écrire, en vertu des calculs précédents :

1 2 1 2ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( , ) / 2 / 2 3(| | | |) | |Q Q K Q l Q l m (C1)

soit :

C

D

B

+ +

OB

A

1Qˆ 0

(a)

2Q

ˆ 0

(b)

+

+

O A B C D Pe Prm

(a) ˆ2 0 0 1ˆ / 2Q l ˆ4 | |m

(b) 0 0 ˆ2 2ˆ / 2Q l ˆ4 | |m

(a)+(b) ˆ2 ˆ ˆ2 1 2ˆ ˆ( ) / 2Q Q l ˆ ˆˆ ˆ3 (| | | |) | |m m

3

1 2

1 2

1 2

8 4ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ pour 0

( , )4 8ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ pour 0

m mQ Q

l lQ Q K

m mQ Q

l l

(C2)

Le domaine K correspondant est représenté sur la figure ci-dessous ;

Le domaine K est défini dans le quart de plan par les inégalités suivantes :

1 2

1 2

1 2

0 , 8 /( , )

12 /

Q Q m lQ Q K

Q Q m l

(C3)

1Q

2Q

8 /m l

8 /m l

4 /m l

4 /m l

K

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ ˆ0

ˆˆ0

1 2

8 4ˆ ˆˆ ˆm m

Q Ql l

1 2

4 8ˆ ˆˆ ˆm m

Q Ql l

4

Exercice 2: stabilité d’un talus vertical sous l’action de son poids propre et

d’une surcharge (2 points)

Un talus vertical de hauteur H reposant en partie inférieure sur un substratum rocheux

considéré comme infiniment résistant, est soumis à l’action de son poids propre (poids

volumique ) et d’une surcharge de densité surfacique uniforme 0q appliquée sur son plan

supérieur, la face verticale du talus restant libre de contrainte. Le sol constitutif obéit à un critère

de résistance de Mohr-Coulomb, de cohésion égale à C et d’angle de frottement égal à

1. Approche statique. On considère le champ de contrainte uniaxial défini par :

( ), autres 0yy ijq y H (1)

Montrer que ce champ est statiquement admissible avec le chargement appliqué, puis écrire

à quelle condition il vérifie le critère de résistance du sol en tout point du talus. En déduire une

approche par l’intérieur du domaine de stabilité potentielle du talus, noté K, dans le plan des

paramètres de chargement adimensionnels ( / , / )H C q C .

Améliorer cette approche statique en utilisant le résultat suivant :

pour 0, / 3,7 tan( / 4 / 2)q H C

(2)

Nota : on rappelle que cos

tan1 sin 4 2

pK

.

2. Approche cinématique.

Cette approche est mise en œuvre à l’aide du mécanisme par bloc en translation représenté

sur la figure de droite ci-dessus. Calculer pour ce mécanisme la puissance virtuelle des efforts

extérieurs (poids volumique et surcharge), ainsi que la puissance résistance maximale. En

déduire une approche par l’extérieur de K que l’on optimisera en fonction des paramètres

angulaires et . Comparer avec l’approche statique précédente et suggérer (sans faire aucun

calcul) un autre mécanisme permettant d’améliorer l’encadrement ainsi obtenu.

H

x

y

( , )C

q

q

U

5

Corrigé

1. Approche statique.

Le champ de contrainte (1) vérifie :

- l’équation d’équilibre :

d d

div 0 ( ) 0d d

yy

ye y Hy y

; (C1)

- les conditions aux limites sur le plan supérieur et al face verticale du talus :

( ). et . 0y y xy H e qe e ; (C2)

Il est donc bien statiquement admissible avec le chargement ( , )q . La condition pour qu’il

vérifie le critère de résistance de Mohr-Coulomb en tout point s’écrit :

1 3 1 3

0 0

( ) ( )sin 2 cos 0

zz zz

C

(C3)

soit :

cos0 : ( ) 2

1 sin

2 tan / 4 / 2

y H q H y C

q H

C C

(C4)

Ce qui conduit à l’approche par l’intérieur de K représentée sur la figure ci-dessous par le

triangle hachuré.

Cette approche peut être améliorée (triangle bleu) en utilisant le fait que le point

( / 3,7 , 0)pH C K q appartient au domaine K, ainsi que la propriété de convexité de ce

domaine.

/q C

/H C

2 pK

2 pK 3,7 pK

21 sintan

1 sin 4 2pK

6

2. Approche cinématique.

La puissance des efforts extérieurs dans le mécanisme considéré s’écrit :

ˆ( ) tan cos( )2

e

HP U q U

(C5)

tandis que la puissance résistante maximale a pour expression :

ˆ( ) sin avec cos tan

rm

H CP U U

(C6)

d’où par application de l’approche cinématique :

, ,

,

sin2 min 4

tan sin cos( )p

q HK

C C

q HK

C C

(C6)

Cette approche par l’extérieur est représentée par le triangle rouge et l’on observe que l’écart

entre les deux approches est faible.

Un mécanisme de rotation par bloc, délimité par une spirale logarithmique, permet

d’améliorer très légèrement l’approche cinématique précédente.

/q C

/H C

2 pK

3,7 pK

4 pK

7

Problème: critère de résistance en traction-torsion d’une poutre

(4 points)

La poutre est modélisée comme un solide de forme cylindrique circulaire (rayon R, longueur

l ), soumis à un chargement défini par les conditions suivantes, exprimées à l’aide des

coordonnées cylindriques (r,,z) attachées au repère Oxyz (figure) :

paroi latérale du cylindre (r=R) libre de contrainte : 0d

T ;

extrémité inférieure du cylindre (z=0) : 0, 0d d d

r zT U U ;

extrémité supérieure du cylindre (z=l) : 0, , d d d

r zT U r U ;

les forces de volume sont supposées nulles : 0d

F .

1. Mode de chargement

Donner l’expression de la puissance des efforts extérieurs exercés sur le cylindre dans un

champ de vitesses virtuelles Û cinématiquement admissible, c’est-à-dire respectant les

conditions aux limites en vitesse écrites ci-dessus. Montrer que cette puissance se met sous la

forme :

ˆ( )eP U N C (1)

où l’on donnera l’interprétation des paramètres de chargement N et C.

NC

R

l

A

O

x

y

z

z

r

re

e

ze

8

Le cylindre est constitué d’un matériau homogène obéissant à un critère de résistance de

von Mises, de résistance en cisaillement pur égale à k :

1/21/ 2 : , avec 1/ 3(tr )1s s k s (2)

On désigne alors par K le domaine des chargements (N, C) potentiellement supportables au

sens du calcul à la rupture que l’on se propose de déterminer.

2. Approche statique par l’intérieur

2.1. On considère le champ de contrainte tel qu’en tout point du cylindre les composantes

du tenseur des contraintes dans le repère cylindrique local ( , , , , )ij i j r z sont définies par :

0 0 0

0 0

0

ij z

z zz

(3)

où les contraintes et sont constantesMontrer que ce champ de contrainte est statiquement

admissible et calculer la valeur des paramètres de chargement qu’il équilibre.

2.2. A quelle condition portant sur et le critère de résistance (2) est-il vérifié ? En déduire

par application du raisonnement de l’approche statique du calcul à la rupture une approche par

l’intérieur du domaine K, notée s

K , dont montrera qu’elle peut s’exprimer sous la forme :

2 2

0 0/ / 1 ( , ) sN N C C N C K K (4)

où l’on donnera l’interprétation de N0 et C0 ainsi que leurs expressions en fonction de k et R.

Tracer le domaine s

K dans le quart de plan ( 0, 0)N C .

3. Approche cinématique par l’extérieur

On considère le champ de vitesses virtuelles Û défini par :

ˆ2

r z

r r zU e z e e

l l l (5)

3.1. Vérifier que ce champ est cinématiquement admissible et calculer en tout point le taux

de déformation virtuel d . Montrer qu’il vérifie la condition de pertinence.

3.2. Donner l’expression de la fonction ˆ( )d en fonction de k, / et /l r l .

3.3. Calculer la puissance résistante maximale dans le cas où ( 0, 0) et en déduire

une première approche par l’extérieur 1

cK du domaine K.

3.4 Calculer dans le cas général ( 0, 0) un majorant de cette puissance résistance

maximale en remplaçant la valeur de ˆ( )d au point r par celle calculée en r=R. En déduire une

seconde approche par l’extérieur 1

cK que l’on mettra sous la forme :

22

0 0 2/ / 1 ( , )c

N N C C N C K K (6)

9

où l’on donnera l’expression de 0C .

Indication : 2 2 2 2

0 0 0 0

( , )

sup ;( / ) ( / ) 1 ( ) ( )X Y

XU YV X X Y Y X U YV

3.5. Représenter dans le quart de plan ( 0, 0)N C l’encadrement ainsi obtenu :

1 2

s c cK K K K (7)

et donner une évaluation de l’écart relatif maximal entre les approches par l’intérieur et par

l’extérieur.

Coordonnées cylindriques

Taux de déformation :

r

U

z

Ud

U

rz

Ud

U

rr

U

r

Ud

z

Ud

r

UU

rd

r

Ud

zr

rz

z

z

r

r

z

zz

rr

rr

2

1

1

2

1

1

2

1

1

Equations d’équilibre (sans forces de volume) :

01

021

01

rzrr

rzrr

rzrr

rzzzzzr

rzr

rrrzrrr

Corrigé

1. Mode de chargement

L’expression de la puissance des efforts extérieurs dans un champ de vitesse virtuel U qui

s’écrit de façon générale :

ˆ ˆ ˆ( ) . d + . deP U F U T U S

(C1)

devient dans le cas présent, c’est-à-dire en tenant compte de la nullité des forces de volume, du

fait que la surface latérale du cylindre soit libre de contrainte et des conditions aux limites

prescrites sur les extrémités inférieure et supérieure du cylindre :

10

( 0) ( )

( ) ( )

0 00 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) d + ( ) d

d d

e r r z z r r z z

S z S z l

z

S z l S z l

r

P U T U T U T U S T U T U T U S

T S rT S

(C2)

soit : ˆ( )eP U N C (C3)

où les paramètres de chargement définis par :

( ) ( ) ( ) ( )

d d et = d dz zz z

S z l S z l S z l S z l

N T S S C rT S r S

(C4)

s’interprètent immédiatement comme la résultante selon Oz des efforts qui s’exercent sur la

section extrémité S (z=l) du cylindre (effort normal ou axial) et le moment par rapport à Oz de

ces mêmes efforts (couple de torsion).

2. Approche statique par l’intérieur

2.1. Le champ de contrainte considéré, défini en tout point par (3), vérifie automatiquement

l’équation d’équilibre en l’absence de forces de volume, ainsi que les différentes conditions aux

limites en contrainte :

- surface latérale r=R : ( ) . 0;r rT e e

- sections extrémités : ( ) 0r rzzT e .

Il est donc bien statiquement admissible, en équilibre avec les valeurs suivantes des

paramètres de chargement :

32 2

( ) ( ) 0

2 d et = d 2 d

3

R

zz z

S z l S z l

RN S R C r S r r

(C5)

2.2. Le déviateur de contrainte valant en tout point :

/ 3 0 0

1/ 3 0 / 3

0 2 / 3

ij ij kk ij ijs

le critère de résistance (2) s’écrit :

1/2 1/2

1/2 2 2 2 21/ 2 : 1/ 2 2 6 / 9 / 3s s k (C6)

ce qui, compte tenu des relations (C5), se traduit par la condition suivante sur les paramètres de

chargement:

1/2 22 2 2

2 3 32/ 3 1

2 / 3 2 / 33

N C N Ck

R R kRk R

(C7)

11

Il en résulte que cette dernière condition représente une approche par l’intérieur du domaine

K : 2 2

0 0

1 ( , ) sN CN C K K

N C

(C8)

où : 2 3

0 03 et 2 / 3N k R C kR (C9)

représentent des minorants des résistances en traction et en torsion de la poutre. Le domaine

elliptique s

K st représenté sur la figure ci-dessous.

3. Approche cinématique par l’extérieur

3.1. Le champ de vitesse (5) est bien cinématiquement admissible puisque :

ˆ ˆ ˆ ˆ( 0) ( 0) 0 et ( ) , ( )z zU z U z U z l r U z l

le taux de déformation correspondant s’écrivant en composantes dans le repère local :

/ 2 0 0

ˆ 0 / 2 / 2

0 / 2 /

ij

l

d l r l

r l l

(C10)

qui vérifie la condition de pertinence puisque ˆtr 0d .

3.2. La fonction d’appui vaut en tout point :

22ˆ ˆ ˆ( ) 2 : / 3 /d k d d k r l l (C11)

d’où l’expression de la puissance résistante maximale développée dans le champ de vitesse

(5) : 2

2 2

0 0 0 0

ˆˆ( ) ( ) d d d 2 ( ) 3 dR l R

rmP U d r r z k r r r

(C12)

3.3. Dans le cas où ( 0, 0) , la puissance résistante maximale (C12) s’écrit :

2 3

0

ˆ( ) 2 d (2 / 3)R

rmP U k r r kR (C13)

et l’application de l’approche cinématique par l’extérieur donne immédiatement :

N

C

30 2 / 3C kR

20 3N k R

sK

12

30( , ) (2 / 3) , 0N C K C kR C (C14)

soit :

1 0( , ); c

K K N C C C (C15)

3.4. Dans le cas général où ( 0, 0) , la fonction ˆ( )d donnée par (C12) peut être

majorée comme suit :

2 22 2ˆ( ) / 3 / / 3 /d k r l l k R l l (C16)

de sorte que :

2 2

0

2 2 2 3 2 2 2 2 2

00

ˆ( ) 2 ( ) 3 d

( ) 3 ( ) ( 3 )

R

rmP U k R r r

kR R kR k R

NC

(C17)

Cette dernière expression n’est autre que la fonction d’appui du critère (6) puisque :

2

0 0

2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0

0 0

sup ; ( / ) +( / ) 1

sup ; ( / ) +( / ) 1 ( ) ( )

N C N N C C

N CN C N N C C C N

N C

(C18)

le critère (6) étant représenté par un disque de rayon égal à l’unité dans le plan 0 0( / , / )N N C C

(voir figure).

3.5. La figure ci-dessous représente l’encadrement du critère d’interaction ainsi obtenu par

l’utilisation conjointe des approches par l’intérieur et par l’extérieur.

On observe tout d’abord que N0 et C0 représentent bien les valeurs exactes des résistances en

traction et en torsion puisque les deux approches coïncident pour ces deux sollicitations

0/N N

0/C C

0

0

N

C

00000

N

C

1cK

2cK

0C

0N

00 3 / 2C C

sK

0N

P

Q

O

13

particulières. L’écart maximal entre les approches par l’intérieur et par l’extérieur peut être

évalué en calculant le rapport (voir figure) :

OQ

OP (C19)

avec :

2 2

20 0 0

0 0

0 0 0

5( , ) vérifiant 1 1 2 / 3

3

N C NN C

N C N

Q (C20)

et 2 2

0 0

0 0

0 0

/ /( / , / ) vérifiant 1

N CN C

N C

P (C21)

d’où :

2 22

0 0 0 01/ 1 / 1 1 /N N N N (C22)

et donc finalement d’après (C20) :

2 14

1 5 / 3 1,253

(C23)

L’écart relatif maximal entre les approches statique et cinématique est de l’ordre de 25%.

Compléments

Le calcul exact de la puissance résistante maximale donne :

3/2

2 2 2 2 2 3

2

0

2 3ˆ( ) 2 ( ) 3 d / 3R

rm

kP U k r r r R

(C24)

et l’approche cinématique par l’extérieur s’écrit alors, en posant / , 0R :

3 2 3/2 3 ( , ) ; 2 3 ( 1/ 3)

cK K N C NR C k R (C25)

La frontière du domaine Kc est l’enveloppe de la famille de droites paramétrée en

d’équations :

3 2 3/2 32 3 ( 1/ 3) , 0NR C k R (C26)

L’équation de cette enveloppe s’obtient en résolvant le système formé par (C26)) et

l’équation obtenue par dérivation par rapport au paramètre 1

3 2 3/2 3

3 2

( , , ) 2 3 ( 1/ 3) 0

( , , ) 2 3 (3 ) 1/ 3 0

f N C NR C k R

fN C NR k R

(C27)

d’où l’équation paramétrique de la frontière du domaine Kc :

1 Voir par exemple : https://fr.wikipedia.org/wiki/Enveloppe_(g%C3%A9om%C3%A9trie)

14

2

0

22 2

0

/ 6 1/ 3

0 :

/ 3 3 1/ 3 1/ 3 2

N N

C C

(C28)

La courbe correspondante est tracée ci-dessous dans le quart de plan N/N0≥0, C/C0≥0 en

faisant varier le paramètre entre 0 et l'infini. On a également représenté sur la même figure la

frontière du domaine Ks relative à l’approche statique par l’intérieur, qui n’est autre, dans ce

plan, que le cercle de rayon unité. Les deux courbes relatives aux approches statique et

cinématique sont très proches comme l’illustre la figure de droite qui représente l’évolution de

la quantité : 2 2

2 2

0 0

( ) ( )1

N C

N C

(C29)

c’est-à-dire la distance le long d’un rayon d’un point de c

K au cercle de rayon unité s

K , en

fonction de . On constate ainsi que le fait par exemple d’adopter la formule (C8) (c’est-à-dire

le cercle bleu), très simple à manipuler, comme critère de résistance en traction-torsion, revient

à sous-estimer cette dernière dans une proportion qui reste inférieure à 2%, ce qui constitue une

excellente approximation, qui va en outre dans le sens de la sécurité.

* *

*

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

0/ NN

0/ CC

sK

cK

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

0 15 30 45 60 75 90

(%)

Arctan)(

sK

cK

1