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Année académique 2008-2009

PHY 1352 - Physique des fluides

Exercice sur le modèle de Stommel de la circulation océanique à grande échelle induite par le vent

Eric Deleersnijder www.ericd.be

On souhaite étudier un écoulement océanique dans le cadre de l'approximation dite du “plan beta”: on se place dans le plan qui est tangent à la surface de l'océan au “milieu” du domaine d'intérêt . On note la frontière du domaine d'intérêt. Les vecteurs orthonormés ex , ey et ez , qui pointent vers l'est, le nord et le haut, sont associées aux coordonnées cartésiennes x, y, et z. Par ailleurs, dans les développements ci-dessous, on utilisera le vecteur position x = xex + yey . On note le vecteur de Poisson, qui est utilisé dans l'expression de l'accélération de Coriolis. Ce vecteur pointe du pôle sud vers le pôle nord et sa norme vaut 2 /(24heures) . Le facteur de Coriolis f est traditionnellement défini comme suit: f = 2 •ez . On adopte une formulation approchée du facteur de Coriolis qui est issue d'un

développement de Taylor tronqué au premier ordre de f, c'est-à-dire f f0 + y , où f0 et sont des fonctions de la latitude du point où le “plan beta” touche la surface de l'océan. 1. Estimer f0 et au pôle sud, à Sydney (Australie), à l'équateur, à Louvain-la-Neuve et au pôle nord. On note t, p0(t,x) = p(t,x,z = 0) , U(t,x) et V (t,x) le temps, la pression à la surface de l'océan, le transport1 associé à l'axe x et celui associé à l'axe y. La profondeur h du domaine d'intérêt est supposée constante. Les équations de Saint-Venant linéarisées que nous utiliserons ici s'écrivent comme suit

U

x +

V

y = 0 , (1)

U

t fV =

h p0

x U + x , (2)

V

t + fU =

h p0

y V + y , (3)

où les constantes positives et symbolisent un coefficient de dissipation et la masse volumique de l'eau; le vecteur ( x , y ) est la tension que le vent exerce sur la surface océanique. Par ailleurs, la frontière du domaine d'intérêt est imperméable. 2. Dans quelles unités du Système International convient-il d'exprimer les variables et coefficients p0, U, V, x , y , h, et .

1 Le transport est l'intégrale sur la hauteur de la colonne d'eau de la vitesse horizontale.

2

-0.1 0 0.1

50° S

15° S

15° N

50° N

latit

ude

(deg

rés)

Océan Atlantique

-0.1 0 0.1

50° S

15° S

15° N

50° N

Océan Pacifique

-0.1 0 0.1

50° S

15° S

15° N

50° N

tension (N m-2 )

latit

ude

(deg

rés)

Océan Indien

-0.1 0 0.1

50° S

15° S

15° N

50° N

tension (N m-2 )

Océan Mondial

3. Le rôle des termes (U,V ) est de contribuer à diminuer l'énergie cinétique de l'écoulement. Pourquoi ceci impose-t-il que le coefficient de dissipation soit positif? On considère désormais une solution stationnaire des équations (1)-(3). On exprime le transport à l'aide de la fonction de courant (x) comme suit:

(U,V ) = y

,x

. (4)

4. Expliquer pourquoi le recours à la fonction de courant ne réduit pas la généralité de la solution stationnaire? 5. Montrer que la fonction de courant est alors la solution du problème différentiel suivant:

2

x2+

2

y2

+

x =

1 y

xx

y

(x)[ ]x = 0

(5)

On suppose maintenant que le domaine d'intêrêt est le carré défini par les inégalités

0 x L

L /2 y L /2

. (6)

La tension de surface vaut

x = u2 siny

L , y = 0 , (7)

où la constante u est communément appelée “vitesse de friction”. On prend L = 5 106 m, u =10 2 ms 1 et = 2 10 11 m 1s 1, qui sont des valeurs acceptables pour une idéalisation de la circulation induite par le vent dans l'Atlantique pour des latitudes allant de 10°N à 50°N. 6. Expliquer en quoi la formulation (7) de la tension éolienne peut être vue comme une idéalisation de l'impact sur l'Atlantique des alizés et des vents d'ouest des latitudes moyennes. A cet égard, on pourra consulter la figure ci-contre, qui représente des moyennes annuelles de la tension de vent2 à la surface de l'océan — où la courbe en trait plein est associée à la tension zonale tandis que l'autre courbe représente la tension méridienne.

2 Données de Hellerman S. and M. Rosenstein, 1983, Normal monthly wind stress over the world ocean with error estimates, Journal of Physical Oceanography, 13, 1093-1104

3

7. Montrer que le problème différentiel (5) peut maintenant s'écrire comme suit:

2

x2+

2

y2

+

x =

u2

Lcos

y

L

(x,y)[ ]x=0,L = 0 = (x,y)[ ]y=±L /2

. (8)

8. Montrer que la solution du problème différentiel (8) est

(x,y) = Lu2

1 (1 er )er+ x /L + (er+ 1)er x /L

er+ er

cos

y

L , (9)

avec

r± = 1 ± 1+ 4 2 2

2 (10)

et = /(L ).

9. Déterminer analytiquement les coordonnées du point où la fonction de courant (x,y)

atteint sa valeur maximale et évaluer cette dernière.

10. L'écoulement considéré présente une couche limite sur le bord ouest du domaine qui est d'autant plus mince que le paramètre adimensionnel est petit. Montrer-le en supposant que la largeur de la couche limite est la distance qui sépare le point où (x,y) est maximum du bord ouest du domaine! 11. Montrer que le débit dans la couche limite est égal à la valeur maximale de (x,y). 12. Le modèle établi ici, que l'on attribue généralement au grand océanographe Henry M. Stommel (1920-1992), est considéré comme le premier modèle qualitativement correct du Gulf Stream. Toutefois, il reste quantitativement problématique, dans la mesure où il s'avère impossible de calibrer le coefficient de dissipation de telle sorte que la largeur de la couche limite de bord ouest et le débit qui la traverse soient représentatifs du Gulf Stream, c'est-à-dire à peu près 150 km et 30 106 m3 s 1. Montrer-le!

Evaluation

Il est demandé aux étudiant(e)s de répondre par écrit aux questions ci-dessus et de fournir une copie du code Matlab utilisé pour traiter la douzième question, qui est la seule qui exige l'emploi de valeurs numériques — les autres questions pouvant être traitées sans tenir compte des valeurs des paramètres. Les rapports seront soumis par courriel à Monsieur Sylvain Bouillon3 au plus tard le premier jour de la première session de l'année académique 2008-2009, c'est-à-dire le lundi 5 janvier 2009.

3 Adresse électronique: sylvain.bouillon@uclouvain.be

4

Pour les 12 questions ci-dessus, les notes maximales sont respectivement 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 3, pour un total de 20. Ne pas inclure dans le rapport le code source du programme conduira à une perte de 5 points.

Aide

Contacter Sylvain Bouillon ou Eric Deleersnijder, de préférence par courriel.

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