Exercices 1 DDL

Examen 2010Pour isoler efficacement les vibrations dun moteur de voiture, la raideur et le coefficient damortissement des supports qui le lient au corps de la voiture doivent tre aussi faible que possible. On voudrait concevoir un support dun moteur ayant une masse de 200 kg qui vibre avec une force, suppose indpendante de la vitesse slectionne sur la boite vitesse, de 10N. Rponds ces deux questions : Quelle est la plus petite raideur utiliser si lamplitude de vibration doit rester infrieure 5mm quand tend vers 0 ? Quel est le plus petit coefficient damortissement qui satisfait la condition : lamplitude infrieure 20mm la rsonnance? Rponse: = = = = =.

= 2000 / = 12%

Examen 2010Un moteur de masse 30 kg, plac sur une poutre en porte--faux tourne 1500 tr/mn. Une analyse spectrale montre que lon peut approximer ce systme par un systme un degr de libert et que la frquence propre est de 0.25 Hz. Le niveau de vibration est inadmissible. Comment rduire le niveau de vibration ?

Un systme oscillant un degr de libert, amorti, de masse m=1000 kg et de raideur k=10N/mm est mis en mouvement sans apport d'nergie (oscillations libres). Une observation montre qu'en 5 priodes l'amplitude du mouvement diminue de 75%. Calculer le coefficient d'amortissement et la pulsation de rsonance du systme. Rappel : Le dcrment logarithmique est donn par:

Dterminer les raideurs effectives des ressorts combins et crire les quations du mouvement des systmes masse-ressort de la figure ci-dessous(A) k1 m k2 f(t) u (B) k1 k2 m u f(t)

(C)

u k1 k3 m k2 f(t)

Figure : Systmes masse-ressort A, B et C.

Dterminer la frquence propre d'un poids P suspendu un ressort au milieu d'une poutre sur appuis simples (figure cidessous). La rigidit de flexion de la poutre est EI et sa longueur vaut L. Elle est suppose sans masse. La raideur du ressort vaut k. LEI k P

Figure : Poids suspendu une poutre sans masse par un ressort.

Refaire lexercice prcdent avec les systmes (B) et (C).

Figure : Vibrations de poutres sans masse avec surcharge.

Une masse m1 est suspendue un ressort k et se trouve en quilibre statique. Une deuxime masse m2 chute d'une hauteur h et s'accole m1 sans rebond. Dterminer le mouvement u(t) autour de la position d'quilibre statique de m1 et k.k m2 h m1

Figure : Chute d'une masse sur un systme masse-ressort en quilibre statique.

Une automobile est modlise de faon simplifie par une masse concentre m reposant sur un systme ressort-amortisseur. L'automobile se dplace vitesse constante v sur une route dont la rugosit est connue sous la forme d'une fonction de la position sur la route. Dterminer l'quation du u mouvement.t

m k c

v

ug(x)

x

Figure : Mouvement idalis d'une automobile sur une route.

Cette automobile se dplace maintenant sur un pont plusieurs traves dont les piles sont distantes de 35 m. Le fluage long terme du pont a provoqu une dflexion de 15 cm en milieu de chaque trave. Le profil de la chausse peut tre approch par une sinusode d'amplitude 15 cm et de priode 35 m. La masse de l'automobile en charge est de 800 kg, la raideur de son systme de suspension est de 60000 N/m et le coefficient d'amortissement visqueux est tel que le coefficient d'amortissement du systme vaut 40 %. Dterminer : L'amplitude u0t du mouvement vertical ut(t) quand l'automobile se dplace 70 km/h La vitesse du vhicule qui conduirait une rsonance pour u0tut m 15cm k c v

ug(x) 35m

x

Figure : Mouvement d'une automobile sur un pont plusieurs traves.

Des systmes utiliss pour limiter les effets des sismes sur les structures permettent de dissiper lnergie par frottement de Coulomb. Le dispositif est rgl pour fonctionner sous un effort de prcontrainte constant N et un coefficient de frottement m. Un essai de vibration libre (ou de lcher) est effectu pour mesurer la frquence propre fondamentale et le coefficient de frottement. Montrez que la dcroissance de lamplitude entre 2 cycles conscutifs (ui ui+1) est constante et donnez sa valeur en fonction de uf=N/K o K est la raideur de la structure. Calculez la frquence fondamentale et uf daprs la figure suivante. Figure : Rponse en vibration libre du dispositif de dissipation d'nergie par frottement.

On dsire concevoir lamortisseur dune moto (voir figure a) dont la masse est de 250 kg. Quand lamortisseur est soumis une vitesse initiale due une bosse sur la route, la courbe du dplacement y(t) en fonction du temps doit tre telle que indique par la figure (b). On veut que lamplitude soir rduite de . Cest dire que lamplitude au second extremum soit le quart de celui au premier. On veut aussi que le temps entre deux zros conscutifs soit une seconde. a Ecrire lquation de mouvement du systme b Dterminez la constante damortissement c et la raideur k c Dterminer la vitesse initiale qui produira un dplacement maximum de 0.260 m

On a trac la courbe de variation du module de la fonction de transfert d'un systme un degr de libert sur la figure suivante

En dduire les valeurs de : la masse m, de la raideur k, de l'amortissement c, de la frquence propre wn et du taux d'amortissement z.