c© Christophe Bertault - MPSI Calcul intégral

Exercice 1

Calculer les intégrales suivantes :

1)

∫ 1

0

max{

et, 2}

dt. 2)

∫ n

0

e⌊t⌋ dt (n ∈ N). 3)

∫ 1

0

|3t − 1| dt.

Exercice 2

Calculer une primitive des fonctions suivantes :

1) t 7−→ cos2 t sin3 t. 2) t 7−→ cos4 t sin2 t. 3) t 7−→ cos3 t sin4(2t).

Exercice 3

Calculer une primitive des fonctions suivantes :

1) t 7−→ Arctan t. 2) t 7−→ et sin(2t). 3) t 7−→ 1

et + 1.

4) t 7−→ te−t2 . 5) t 7−→ 1

t(ln t)4. 6) t 7−→ cos ln t.

7) t 7−→ eet+t. 8) t 7−→ (t ln t)2. 9) t 7−→ ln ln t

t.

10) t 7−→ 1

t+ t(ln t)2. 11) t 7−→ sin(2t)

1 + cos2 t. 12) t 7−→ 1

cos2 t√tan t

.

13) t 7−→ ln(1 + t2). 14) t 7−→ t

cos2 t. 15) t 7−→ 1

t+√t.

16) t 7−→ sin t sh t. 17) t 7−→ 1

t− z(z ∈ C). 18) t 7−→ Arcsin t.

19) t 7−→ t2

1 + t3. 20) t 7−→ 1

ch t. 21) t 7−→ t2et.

22) t 7−→ 1

th t. 23) t 7−→

√1− t2. 24) t 7−→ 1

1 + t+ t2.

Exercice 4

Soit f ∈ C(I,R) bijective de I sur J = f(I). On note F une primitive de f sur I .Déterminer une expression explicite d’une primitive de f−1 sur J .

Exercice 5

Soit f ∈ C(

[a, b],R)

. A quelle condition nécessaire et suffisante l’inégalité triangulaire∣

∣

∣

∣

∫ b

a

f

∣

∣

∣

∣

6

∫ b

a

|f | est-elle une égalité ?

Exercice 6

Soient f, g ∈ CM(

[a, b],R)

.

Montrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

∣

∣

∣

∣

∫ b

a

f(t)g(t) dt

∣

∣

∣

∣

6

√

∫ b

a

f(t)2 dt

√

∫ b

a

g(t)2 dt.

Indication : La fonction λ 7−→∫ b

a

(f + λg)2 est polynomiale et positive ou nulle.

Exercice 7

Pour tout n ∈ N∗, on note fn la fonction continue par morceaux sur [0, 1] définie par :

fn(x) =

0 si x = 0

2n(1− nx) si 0 < x <1

n

0 si x >1

n.

Comparer limn→∞

∫ 1

0

fn et

∫ 1

0

limn→∞

fn.

Exercice 8

Soit f ∈ C(

[0, 1],R)

. Calculer limx→0

1

x

∫ x

0

f(t) dt puis interpréter géométriquement.

Exercice 9

Soit f ∈ C(R,R). On pose, pour tout x ∈ R∗ : ϕ(x) =

1

2x

∫ x

−x

f(t) dt.

1) Montrer que ϕ est dérivable sur R∗ et calculer sa dérivée.

2) Montrer que ϕ est prolongeable par continuité en 0.

Exercice 10

Soit f ∈ C(

[a, b],R)

. Montrer que x 7−→∫ b

a

f(t) sin(xt) dt est lipschitzienne sur R.

Exercice 11

Montrer l’égalité :

∫ x

0

1− (−t2)n+1

1 + t2dt =

n∑

k=0

(−1)kx2k+1

2k + 1pour tous n ∈ N et

x ∈ [−1, 1], puis faire tendre n vers ∞.

Exercice 12

Pour tous p, q ∈ N, on pose : Ip,q =

∫ 1

0

tp(1− t)q dt.

1) Montrer que pour tous p ∈ N et q ∈ N∗ : Ip,q =

q

p+ 1Ip+1,q−1.

2) En déduire que pour tous p, q ∈ N : Ip,q =p! q!

(p+ q + 1)!.

3) Montrer enfin que pour tous p, q ∈ N :

q∑

k=0

(

q

k

)

(−1)k

p+ k + 1=

p! q!

(p+ q + 1)!.

Exercice 13

Pour tout n ∈ N, on pose : un =

∫ 1

0

tn

1 + t2et dt.

1) Montrer que (un)n∈N est convergente et calculer sa limite.

2) a) Montrer que pour tout n ∈ N : un =e

2(n+ 1)− 1

n+ 1

∫ 1

0

tn+1(1− t)2

(1 + t2)2et dt.

b) En déduire un équivalent simple de un lorsque n tend vers ∞.

Exercice 14

2) Montrer sans logarithme que pour tous x, y ∈ R∗+ :

∫ xy

1

dt

t=

∫ x

1

dt

t+

∫ y

1

dt

t.

1

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1) Soit f un morphisme de groupes continu de R∗+ dans R.

a) Montrer qu’en fait f est de classe C1 sur R∗+

Indication : Intégrer astucieusement la relation « f(xy) = f(x) + f(y) ».b) En déduire que f est, à une constante multiplicative près, la primitive de la

fonction inverse qui s’annule en 1 — bref : la fonction logarithme.

Exercice 15

On pose, pour tout x ∈ R+ : f(x) =

∫ x2

x

dt

ln tsi x ∈ ]0, 1[ ∪ ]1,∞[

0 si x = 0ln 2 si x = 1.

1) a) Calculer

∫ x2

x

dt

t ln tpour tout x ∈ ]0, 1[ ∪ ]1,∞[.

b) En déduire que pour tout x ∈ ]0, 1[ : x2 ln 2 6 f(x) 6 x ln 2et que pour tout x ∈ ]1,∞[ : x ln 2 6 f(x) 6 x2 ln 2.

c) Montrer alors que f est continue en 0 et en 1 et calculer lim∞

f .

2) a) Montrer que f est de classe C1 sur ]0, 1[ et sur ]1,∞[ et y calculer f ′.b) En déduire enfin que f est de classe C1 sur R+ tout entier.

3) Justifier l’existence de

∫ 1

0

t− 1

ln tdt et déterminer la valeur de cette intégrale.

Exercice 16

On pose, pour tout x ∈ R+ : F (x) =

∫ π

0

∣

∣ sin(tx)∣

∣

tdt.

1) a) Justifier proprement la définition de F .b) Montrer que F est dérivable sur R+ et calculer sa dérivée.

2) a) Pour tout k ∈ N∗, montrer que :

2

(k + 1)π6

∫ (k+1)π

kπ

| sin t|t

dt 62

kπ.

b) On rappelle que :n∑

k=1

1

k∼

n→∞lnn. Prouver que : F (n) ∼

n→∞

2

πlnn.

c) En déduire l’équivalent : F (x) ∼x→∞

2

πln x.

Exercice 17

1) Justifier qu’on peut poser : I(x) =

∫ 2π

0

ln(x2 − 2x cos θ + 1) dθ pour tout

x ∈ R \{

− 1, 1}

.

2) Montrer que la fonction I ainsi définie est paire.3) a) Pour tout θ ∈ R, décomposer le polynôme X4 − 2X2 cos θ + 1 en produit de

polynômes irréductibles dans R[X].

b) Soit x ∈ R \{

− 1, 1}

. Calculer I(x2) en fonction de I(x), puis I(

x2n)

en

fonction de I(x) pour tout n ∈ N.4) a) Montrer que pour tout t ∈ ]− 1,∞[ : ln(1 + t) 6 t.

b) Calculer I(x) pour tout x ∈ ]− 1, 1[.

c) Après avoir calculé I

(

1

x

)

, calculer I(x) pour tout x ∈ R, |x| > 1.

5) Retrouver les résultats de la question 4) directement à l’aide de certaines sommesde Riemann.

Exercice 18

Soit k ∈ N. En appliquant à la fonction t 7−→ 1

(1− t)k+1la formule de Taylor-Lagrange

avec reste intégral, montrer que pour tout x ∈ ]− 1, 1[ :

limp→∞

p∑

n=k

(

n

k

)

xn−k =

1

(1− x)k+1(formule du binôme négatif).

Exercice 19

Montrer que : sin x = limn→∞

n∑

k=0

(−1)kx2k+1

(2k + 1)!et cos x = lim

n→∞

n∑

k=0

(−1)kx2k

(2k)!pour

tout x ∈ R.

Exercice 20

1) Montrer que pour tout x ∈ R+ : x− x2

26 ln(1 + x) 6 x− x2

2+

x3

3.

2) Montrer que pour tout x ∈[

0,π

2

]

: x− x3

66 sin x 6 x− x3

6+

x5

120.

Exercice 21

Soit f ∈ C2(R,R) telle que f et f ′′ soient bornées sur R.1) Justifier l’existence de M0 = sup

x∈R

∣

∣f(x)∣

∣ et de M2 = supx∈R

∣

∣f′′(x)

∣

∣.

2) Montrer que pour tous x, h ∈ R :∣

∣f(x+ h)− f(x)− hf ′(x)∣

∣ 6h2

2M2

et∣

∣f(x− h)− f(x) + hf ′(x)∣

∣ 6h2

2M2.

3) En déduire que pour tous x ∈ R et h ∈ R∗+ :

∣

∣f ′(x)∣

∣ 6M0

h+

h

2M2, puis que

f ′ est bornée. On pose alors M1 = supx∈R

∣

∣f′(x)

∣

∣.

4) En choisissant bien h dans la question 3), montrer que : M1 6√2M0M2.

Exercice 22

Déterminer, grâce à des sommes de Riemann, un équivalent lorsque n tend vers ∞ de :

1)n∑

k=1

1

n2 + k2. 2)

2n∑

k=n+1

1

k2. 3)

n∑

k=1

kα (α ∈ R+).

Exercice 23

Etudier la limite limn→∞

1

n

n∑

k=1

k

nln

k

n, puis en déduire un développement de

n∑

k=1

k ln k

à la précision o(n2) lorsque n tend vers ∞.

2