Exercices chapitre 1ModiVé le 13 novembre 2017

CC-by-sa Olivier Cleynen — https://thermodynamique.fr/

1.1 Vélo en roue libre

Un/e cycliste s’élance dans une descente en roue libre. Avecson équipement et son vélo, sa masse est de 75 kg. Alorsqu’il/elle passe un point d’altitude 1 200 m sa vitesse estde 50 km/h. Exactement 7 min plus tard, il/elle passe unpoint d’altitude 950 m à vitesse de 62 km/h.

1. Quelle quantité d’énergie a-t-il/elle dissipée sous formede frottements entre ces deux points ?

Plus loin dans la descente, toujours en roue libre, le/la cy-cliste voit sa vitesse se stabiliser à 45 km h−1 dans une penteà 4 %.

2. Avec quelle puissance dissipe-t-il/elle de l’énergie sousforme de frottements ?

Figure 1.8 – Schéma simpliVé du circuit suivi par l’eauà l’intérieur d’une centrale à vapeur. L’eau y suit uncycle complet en passant par quatre transformations.Ce circuit, nommé cycle de Rankine, est étudié de façonplus approfondie au chapitre 9 (cycles moteurs à vapeur)(section 9.4.2 p.274).

Schéma CC-by-sa Olivier Cleynen

1.2 Refroidissement et puissance decentrale à vapeur

Le circuit suivi par l’eau dans les centrales à vapeur peutêtre représenté de façon simpliVée de la façon suivante(Vgure 1.8) :

De A à B l’eau liquide est comprimée dans la pompe. Elle yreçoit un travail spéciVque wA→B = +50 kJ kg−1, sanstransfert de chaleur.

De B à C l’eau est chauUée dans la chaudière d’où elle res-sort sous forme de vapeur. Elle y reçoit une chaleurspéciVque qB→C = +450 kJ kg−1, sans recevoir de tra-vail.

De C à D l’eau se détend dans la turbine, où elle dégage untravail spéciVque wC→D = −194 kJ kg−1, sans recevoirou perdre de chaleur.

De D à A l’eau est refroidie dans un condenseur, sans trans-fert de travail, où elle retrouve son état et ses propriétésoriginaux, avant de retourner à la pompe pour être ànouveau comprimée.

Le débit d’eau circulant dans l’installation est de 15 kg s−1.

1. Quelle est la puissance spéciVque rejetée sous forme dechaleur dans le condenseur ?

2. Quelle est la puissance (en watts) rejetée par le conden-seur ?

3. Quelle est la puissance (en watts) dégagée par la turbinesous forme de travail ?

4. Quelle est l’eXcacité ηcentrale de la centrale, c’est-à-direle rapport entre sa puissance nette et sa consommationbrute ?

1.3 Compression de ressorts

Dans le laboratoire d’une entreprise fabriquant des systèmesde suspension automobile, un/e ingénieur/e compare lescaractéristiques de trois ressorts de géométrie diUérente.Pour cela il/elle mesure la force F (en N) exercée par chaqueressort en fonction de sa longueur l (en m), et modélise cescomportements ainsi :

• FA (l ) = 8 · 103 − 2 · 103 l• FB (l ) = 8 · 103 − 3 · 103 l1,6

• FC (l ) = 0,1 · 103 l−3

Quelle est la quantité de travail qu’il faut fournir à chacunde ces ressorts pour les comprimer depuis une longueurde 40 cm jusqu’à une longueur de 12 cm ?

Nous verrons au chapitre 2 (les systèmes fermés) que lorsqueles Wuides sont comprimés et détendus lentement, ils secomportent de façon similaire au ressort C, de géométrieconique comme ceux représentés en Vgure 1.9.

32 Thermodynamique – CC-by-sa Olivier Cleynen

Figure 1.9 – Ressorts coniques, dont la dureté aug-mente exponentiellement lorsqu’on les comprime.

Photo CC-by-sa Jean-Jacques Milan

1.4 Moteur à ressorts

Nous modélisons le fonctionnement d’un moteur à essenceen remplaçant l’air dans un cylindre par un ressort. Nousvoulons quantiVer l’énergie emmagasinée puis perdue parun ressort puissant pendant un aller-retour (comme l’airpendant les phases de compression et de détente d’un cyclemoteur).

L’expérience se déroule de façon cyclique avec les quatreétapes suivantes (Vgure 1.10) :

De 1 à 2 : L’expérimentateur comprime un ressort depuisune longueur de 25 cm vers une longueur de 8 cm. Leressort exerce une force liée à sa longueur (en mètres)par la relation :

F = 25,4 · 103 − 40 · 103 l (1/14)

où F est la force (N) ;

et l est la longueur du ressort (m).

De 2 à 3 : Lorsque la longueur du ressort arrive à 8 cm, l’ex-périmentateur bloque le déplacement du piston. Unbloc solide est alors inséré entre la paroi du piston etle ressort.La force sur le piston (qui n’a pas bougé) augmentejusqu’à atteindre 32 kN.

De 3 à 4 : Une fois que le bloc a été inséré, l’expérimenta-teur eUectue le chemin du retour avec le piston, jusqu’àce que la longueur Vnale atteigne à nouveau 25 cm.

De 4 à 1 : On retire le bloc sans déplacer le piston, et laforce sur le piston revient à la valeur qu’elle avait audébut de l’expérience.

Nous souhaitons quantiVer l’énergie emmagasinée puis per-due par l’ensemble {ressort+bloc} pendant un aller-retour.

1. Représentez l’évolution sur un diagramme montrantla force en fonction de la longueur à l’intérieur, de fa-çon qualitative (c’est-à-dire sans représenter les valeursnumériques).

2. Combien d’énergie le ressort a-t-il reçu de l’expérimen-tateur pendant le chemin aller (de 1 à 2) ?

3. Quelle est la caractéristique F (l ) de l’ensemble {res-sort+bloc} pendant le chemin de retour (de 3 à 4) ?

4. Combien d’énergie le ressort a-t-il reçu du piston pen-dant le chemin retour (de 3 à 4) ?

5. Au Vnal, combien d’énergie l’expérimentateur a-t-ilreçu ou dépensé pendant l’expérience ?

Figure 1.10 – Expérience réalisée avec un ressort puis-sant. Le piston écrase le ressort de 1 à 2, puis le ressortrepousse le piston de 3 à 4. Au retour, la force exercéepar le ressort est plus grande.

Schéma CC-by-sa Olivier Cleynen

6. Avec quelle fréquence doit-il répéter l’expérience pourque la puissance atteigne 25 ch, c’est-à-dire 18,4 kW ?

1.5 Préparation d’un bain

Un/e étudiant/e épuisé/e par le calcul intégral de compres-sion de ressorts souhaite prendre un bain.

L’eau courante arrive à température de 10 ◦C dans le chauUe-eau électrique ; elle a une capacité caloriVque constantede ceau liquide = 4,2 kJ kg−1 K−1 et une masse volumiqueconstante ρeau liquide = 103 kg m−3.

1. Combien faut-il d’énergie pour chauUer l’eau à 40 ◦CaVn de remplir une baignoire de 270 L ?

2. Combien de temps le réchauUage prendra-t-il si la puis-sance de chauUage est de Q = +2 kW ?

Thermodynamique – CC-by-sa Olivier Cleynen 33

1.6 Cric hydraulique

On souhaite lever un véhicule ayant pour masse 1 200 kgavec le cric hydraulique schématisé en Vgure 1.11. La surfacedu piston gauche a pour aire 5 cm2.

Figure 1.11 – Schéma de principe d’un cric hydrau-lique.

Schéma CC-0 o.c.

L’huile au sein du cric est présumée incompressible, c’est-à-dire que son volume est considéré comme constant quelleque soit la pression.

Le but de l’installation est de permettre à une personnede gabarit ordinaire de soulever et maintenir en place levéhicule avec le piston gauche (dont l’extrémité est muniede poignées).

1. Dimensionnez le piston droit (sous le véhicule) aVn quela force dans le piston gauche n’excède pas 100 N.

2. Quelle est la puissance nécessaire pour maintenir levéhicule en place ?

On souhaite soulever le véhicule de 25 cm, en moins de 30secondes.

3. Selon quelle distance faudrait-il enfoncer le pistongauche pour cela ?

4. Quels seraient alors le travail et la puissance à fournir ?

1.7 Turbine à eau

Un débit constant de 1 200 kg s−1 traverse une petite instal-lation hydraulique représentée en Vgure 1.12.

• Au point 1, l’eau arrive à vitesse de 3 m s−1 avec une tem-pérature T1 = 5 ◦C et une altitude z1 = 75 m.

• Au point 2, elle ressort à vitesse de 2,5 m s−1 à températureT2 = 5,04 ◦C et altitude z2 = 4 m.

La pression de l’eau est identique en 1 et 2, et le proVl devitesse de l’eau en chaque point est approximativementuniforme. L’eau a une capacité caloriVque massique deceau liquide = 4,2 kJ kg−1 K−1.

1. Quelle est la puissance spéciVque mécanique gagnéeou perdue par l’eau en traversant l’installation ?

2. Avec quelle puissance spéciVque est-elle réchauUée parle frottement ?

3. Quelle est la puissance (en watts) dégagée sous formede travail par la turbine ?

Figure 1.12 – Schéma de principe d’une turbine à eau.L’eau pénètre en haut à gauche, fait tourner les palesde la turbine, est réchauUée par frottement, et ressorten bas à droite de l’installation.

Schéma CC-by-sa Olivier Cleynen

1.8 Chaudière de chauUage central

La chaudière du système de chauUage central d’un bâtiment,représenté en Vgure 1.13, fonctionne avec la combustion dukérosène.

L’eau pénètre dans la chaudière à une températureTC = 20 ◦Cet en ressort à TD = 70 ◦C, avec un débit Veau = 0,25 L s−1.

La chambre de combustion admet de l’air à TA = 8 ◦C et ilressort par la cheminée à une température TB = 120 ◦C ; ledébit d’air est de mair = 0,5 kg s−1.

Chaleur spéciVque de combustion du kérosène : 46,4 MJ kg−1

Capacité caloriVque massique de l’eau liquide :4,18 kJ kg−1 K−1

Capacité caloriVque massique de l’air à pression constante :1,15 kJ kg−1 K−1

1. Quelle est la consommation horaire de kérosène par lachaudière ?

2. Quelle est l’eXcacité de la chaudière, c’est-à-dire le rap-port entre son transfert de chaleur utile et sa consom-mation énergétique ?

34 Thermodynamique – CC-by-sa Olivier Cleynen

Figure 1.13 – Schéma de principe d’une chaudière uti-lisée pour le chauUage d’un bâtiment. L’eau (C → D)y pénètre par la droite, et y est réchauUée par l’air(A → B) mélangé au kérosène.

Schéma CC-by-sa Olivier Cleynen

1.9 Turbomoteur d’hélicoptère

Un hélicoptère est muni de deux turbomoteurs, c’est-à-direde turbomachines dont le but est de faire tourner un arbresortant du moteur (Vgure 1.14). Nous pouvons évaluer plu-sieurs caractéristiques de ces moteurs sans connaître préci-sément leur fonctionnement interne.

Chacun des deux moteurs admet de l’air atmosphérique àtempérature de 15 ◦C. L’air y est compressé, réchauUé, puisdétendu, ce qui permet de dégager du travail pour fairetourner les rotors. À la sortie du moteur, l’air est rejeté àpression atmosphérique et température de 360 ◦C.

Figure 1.14 – Un hélicoptère Sikorsky S-76B, équipé dedeux turbomoteurs P&WC pt-6b de 980 ch chacun. Letrajet de l’air dans les moteurs est représenté dans unschéma de principe. Nous étudions ces moteurs plus endétail au chapitre 10 (cycles moteurs à gaz).

Photo hélicoptère CC-by-saMaarten Visser (recadrée)Schéma CC-by-sa Olivier Cleynen

À pression constante, la capacité caloriVque massique del’air est environ cp air = 1 050 J kg−1 K−1. La combustion dukérosène dégage qkérosène = 46 MJ kg−1.

1. Quelle est la puissance spéciVque rejetée par les mo-teurs sous forme de chaleur dans l’atmosphère ?Indice : c’est la chaleur spéciVque que doit perdre l’air rejeté pourretrouver sa température initiale.

Le manuel de vol indique que dans la chambre de combus-tion (la partie du moteur où est brûlé le carburant), l’air estadmis à température de 250 ◦C et qu’il y est réchauUé par lacombustion, à pression constante, jusqu’à 776 ◦C.

2. Quelle est la puissance spéciVque dégagée par les mo-teurs sous forme de travail ?Indice : au Vnal, toute l’énergie perdue par l’air sous forme de travailet de chaleur lui a été apportée dans la chambre de combustion.

Pour maintenir l’hélicoptère en vol stationnaire en pleinecharge, les rotors demandent aux deux moteurs une puis-sance totale sous forme de travail de 1,32 MW (environ1 800 ch).

3. Quel débit d’air faut-il admettre au total dans les deuxturbomoteurs ?

4. Quelle est alors la puissance totale (en W) à fournirdans les deux chambres de combustion ?

5. Quelle est la consommation horaire en kérosène del’hélicoptère en vol stationnaire ?

Thermodynamique – CC-by-sa Olivier Cleynen 35

Solutions des exercices

1.1 1) Eméca2 − Eméca1 = −180 kJ (le temps de 7 min n’ayant bien sûr pas d’importance)

2) Qfrottements = m д |z | = 368 W.

1.2 1) Au Vnal, l’eau a perdu autant d’énergie qu’elle en a reçu, donc qD→A = −wA→B − qB→C −

wC→D = −306 kJ kg−1 Nous avons fait fonctionner des moteurs pendant quarante ans avant de

comprendre cela ! 2) QD→A = mqD→A = −4,59 MW

3) WC→D = mwC→D = −2,91 MW 4) ηcentrale =���wturbine+wpompe

qchaudière

��� = 32 % (valeur réa-

liste).

1.3 1)WA =∫ l2l1

F (l ) dl = −103[8l − 1

2 2l2]0,12

0,4= +2,094 kJ.

2)WB = +2,138 kJ 3)WC = +3,157 kJ.

1.4 2)W1→2 = +3,196 kJ

3) F (l )3→4 = 35,2 · 103 − 40 · 103l 4)W3→4 = −4,862 kJ

5)Wcycle = 1,666 kJ 6) f = 11,04 s−1 (11 fois par seconde)

1.5 1) Qeau = ρeauVeauceau∆T = +34,02 MJ 2) ∆t = Qeau

Q= 4,7 h

1.6 1) A2 ≤F2p2=

F2p1= 5,89 · 10−2 m2 = 589 cm2 2) W = 0 W bien sûr, puisqu’il n’y a pas de

déplacement. . . 3) En calculant le volumeV d’huile balayé, d1 =

V1A1=

V2A1= 29,43 m, une longueur impraticable sans ajouter un mécanisme de pompage.

4) Wmoyen ≤WA→B∆t = 98,1 W.

1.7 1) ∆eméca. = −697,9 J kg−1 (donc une perte par l’eau)

2) q1→2 = +168 J kg−1 3) Wturbine = m(∆eméca. + q1→2) = −635,9 kW.

1.8 1) mkérosène =Qkérosèneqkérosène

=−Qeau−Qairqkérosène

= 2,51 · 10−3 kg s−1 = 9,1 kg h−1

2) ηchaudière =����

Qeau

Qkérosène

���� = 44,8 %

1.9 1) qrejet = +362,25 kJ kg−1 2) qchambre+warbre+qrefroidissement atmosphérique = 0

ou encore qchambre +warbre − qrejet = 0 ; ainsi on a warbre = −qchambre + qrejet = −190,1 kJ kg−1 (ces

puissances ne dépendent pas du débit de masse, et donc pas du nombre de moteurs considérés).

3) mair = 6,95 kg s−1 4) Qchambres = 3,836 MW

5) mkérosène =Qchambresqkérosène

= 300,2 kg h−1 (valeur réaliste).

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