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Feuille d’exercices n◦1 : Nombres reels
Exercice 1 .1. Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies ? Justifier votre
reponse.
a) ∀x ∈ R,∀y ∈ R, x+ y > 0
b) ∀x ∈ R,∃y ∈ R, x+ y > 0
c) ∃x ∈ R,∀y ∈ R, x+ y > 0
d) ∃x ∈ R,∀y ∈ R, y2 > x.
Dans tous les cas, ecrire leur negation en termes de quantificateurs.
2. Soit f : R→ R une application definie sur R, a valeurs reelles. Ecrirea l’aide de quantificateurs que— f est la fonction constamment egale a 1.— f n’est pas la fonction constante egale a 1.— f est une fonction constante.— f n’est pas une fonction constante.
Exercice 2 (Vrai ou faux ?) .1. La somme d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel est irra-
tionnel.
2. La somme de deux nombres irrationnels positifs est irrationnelle.
3. La racine carree d’un nombre irrationnel positif est irrationnelle.
4. Soit A ⊂ R.“∃M > 0, ∀a ∈ A, a ≤M” signifie que A est bornee.
5. R∗− possede un plus grand element.
6. x = y ⇔ ∀ε > 0, |x− y| < ε.
7. (∀ε > 0, x < y + ε) =⇒ x ≤ y
Exercice 3 .Pour chacun des ensembles suivants, dire s’il est majore, minore, borne. Trou-ver, sous reserve d’existence, le plus petit element, le plus grand element, laborne inferieure, la borne superieure.
1. A = [0, 1[∪{2}.2. B = {en; n ∈ N}.
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3. C = {x2 + 3x+ 1; x ∈]0, 1[}.4. D = { 1
n+ (−1)n; n ∈ N∗}.
5. E = {x ∈ R; −2 < x+ (2x)−1 ≤ 2}.
Exercice 4 .1. Soit a et b deux reels tels que a < b. Montrer que
[a, b] = {ta+ (1− t)b, t ∈ [0, 1]}.
2. Monter que
I = {x− y; x ∈]− 1, 4[, y ∈]− 3,−1[}
est un intervalle de R que l’on precisera.
Exercice 5 .Soit A un sous-ensemble non vide de R. On definit
−A = {−a, a ∈ A}.
Donnez des conditions necessaires et suffisantes pour que −A soit majore,minore, borne. Dans le cas ou elles existent, que valent sup(−A) et inf(−A) ?
Exercice 6 .Soit A une partie bornee de R telle qu’il existe des reels a, b tels que b > a > 0et A ⊂ [a, b]. Montrer que la partie B de R formee des inverses des elementsde A est bornee, et exprimer ses bornes inferieure et superieure en fonctionde celles de A.
Exercice 7 .Soient A et B deux parties non vides de R telles que
∀a ∈ A, ∀b ∈ B, a ≤ b.
1. Montrer que sup(A) et inf(B) existent et que sup(A) ≤ inf(B).
2. Montrer que sup(A) = inf(B)⇔ ∀ε > 0,∃a ∈ A, ∃b ∈ B, b− a ≤ ε.On dit dans ce cas que A et B sont adjacentes.
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3. Donner un exemple de parties adjacentes.
Exercice (∗) 8 .Enoncer la propriete de la borne superieure dans R. On considere l’ensemble
A = {q ∈ Q; q2 < 2}.
Quelle est sa borne superieure dans R ?Montrer qu’il existe des sous-ensembles bornes de Q qui n’ont pas de bornesuperieure dans Q. On dit que Q ne verifie pas la propriete de la bornesuperieure.
Exercice 9 .1. Montrer que la reunion de deux intervalles n’est pas un intervalle en
general.
2. Montrer que l’intersection de deux intervalles est un intervalle (eventuellementvide).
3. Soit I un intervalle de R. Montrer que c’est un intervalle ouvert si etseulement si
∀x ∈ I,∃ε > 0, ]x− ε, x+ ε[⊂ I.
4. Montrer que l’intersection de deux intervalles ouverts est un intervalleouvert.
Exercice 10 .Resoudre les equations suivantes.
1. |x+ 3| = 5 2. |x+ 3| ≤ 5 3. |x+ 2| > 74. |2x− 4| ≤ |x+ 2| 5. |x+ 12| = |x2 − 8| 6. |x+ 12| ≤ |x2 − 8|
Exercice (∗) 11 .1. Montrer que pour tout x ∈ R, bx+ 1c = bxc+ 1.
2. Montrer que pour tout (x, y) ∈ R2, bxc+byc ≤ bx+yc ≤ bxc+byc+1.
3. Montrer que : ∀n ∈ N∗, ∀x ∈ R,⌊bnxcn
⌋= bxc.
4. Calculer b√n2 + n+ 1c pour tout entier naturel n.
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Exercice (∗) 12 .Soit A ⊂ R verifiant{
(i) ∀x ∈ R,∃(a, b) ∈ A2, a < x < b
(ii) ∀(a, b) ∈ A2, a+b2∈ A.
Montrer que A est dense dans R. Donner un exemple de sous-ensemble nontrivial de R verifiant les points (i) et (ii).
Exercice (∗) 13 .Soit n ∈ N. Montrer que
√n ∈ Q si et seulement si n est un carre parfait
(c’est-a-dire s’il existe k ∈ N tel que n = k2).
Exercice (∗) 14 .1. Montrer que ∀x ∈ R, E(x) + E(−x) =
{−1 si x ∈ R\Z,0 si x ∈ Z.
2. En deduire que si p, q sont deux entiers naturels non nuls premiersentre eux (c’est-a-dire que la fraction p/q est irreductible), alors
q−1∑k=1
E
(kp
q
)=
(p− 1)(q − 1)
2.
Indication : on pourra faire le changement de variable k′ = q−k dansla somme.
Exercice 15 .Soient A = {x ∈ R;∃p, q ∈ Z, x = p+ q
√2} et u =
√2− 1.
1. Montrer que pour tout z ∈ Z et tout x ∈ A, on a zx ∈ A.
2. Montrer que pour tout n ∈ N, un ∈ A.
3. Montrer que 0 < u < 1/2 et en deduire que ∀n ∈ N∗, 0 < un < 1/n.
4. Soient a, b des reels tels que a < b. Montrer qu’il existe un entiern ≥ 1 tel que 0 < un < b− a. En deduire qu’il existe un element de Aappartenant a l’intervalle ]a, b[.
5. Montrer que pour tout entier n ≥ 1, il existe pn, qn ∈ Z tels que :
un = pn + qn√
2, avec pnqn < 0.
En deduire qu’il existe une infinite d’irrationnels dans tout intervalle]a, b[, a < b.
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Feuille d’exercices n◦2 : Quelques outils
Exercice 1 .Soient x et y deux reels tels que 0 < x ≤ y. On definit les reels m, g et h par
m =x+ y
2, g =
√xy,
1
h=
1
2(1
x+
1
y)
Montrer que x ≤ h ≤ g ≤ m ≤ y.
Exercice 2 .Soit a un reel positif et n un entier naturel. Montrer que (1 + a)n ≥ 1 + na.
Exercice 3 .Soit n ≥ 1 une entier. On definit la fonction
f : R → Rx 7→ x
1+nx2
1. Etudier fn et dessiner son graphe.
2. L’ensemble fn(R) admet il un sup ? un max, un inf ? un min. Memequestion pour |fn(R)|.
3. Montrer que (sup{|fn(x)|, x ∈ R})n≥1 tend vers 0 quand n tend versl’infini.
Exercice 4 .Etudier la fonction f definie par
f : D(f) → Rx 7→ x2
2− lnx
On suivra pour cela les etapes proposees dans le cours.
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Exercice 5 .Etudier la fonction f definie par
f : D(f) → Rx 7→ e
1ln x
On suivra pour cela les etapes proposees dans le poly de cours.
Exercice 6 .Etude des fonctions suivantes :
f1 : R → Rx 7→ sin2 x
f2 : R → Rx 7→ e−x sin2 x
f3 : R → Rx 7→ 1
1+e−x
f4 : x 7→ 2x√
1− x2
Exercice 7 .Calculer les derivees des fonctions suivantes :
1. x→ cos(√x) 2. x→ 2−x 3. x→ ln(ln(ln(x)))
4. x→ (1 + x2/3)3/2 5. x→√
sin(x2) 6. x→ sin(2 cos(3x))7. x→ cos(ln(x)) 8. x→ 33x 9. x→ sin( x
cos(x))
10. x→√x+ ex 11. x→ ln(x sin(x)) 12. x→ 2x sin(x)
Remarque : Pour cet exercice on s’autorisera a deriver de facon formellesans se preoccuper de l’ensemble de definition ni de l’ensemble ou la fonctionest derivable. A part pour cet exercice, il ne faut jamais faire ca !
Exercice 8 .Resoudre les equations suivantes (refaire egalement l’exercice 10 de la feuille1).1. |1 + 3x|+ 1 = 0 2. | − x
2− 1| = x+ 3
23. |2x+ 3 + |x− 1|| = 3
4. − 2− 2x2 + 13|x| − 16 = 0 5. |2x+1x+1| ≤ 3 6. |1− x| ≤ −1
7. ln( xx+1
) > 0
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Exercice 9 .1. Montrer que le graphe de la fonction x 7→ x2 + 2x+ 3 est symetrique
par rapport a la droite d’equation x = −1.
2. Montrer que le graphe de la fonction x 7→ x3 − 3x2 + 3x − 6 estsymetrique par rapport au point (1,−5).
Exercice 10 .Determiner les domaines de definition, de derivabilite et calculer les deriveesdes fonctions suivantes :1. x→ 8x3/4 2. x→ xe1/x 3. x→ ex sin(x)
4. x→ 1−4xx2/3
5. x→ ex ln(x)x2+2x3
6. x→ 3x sin(x)
Exercice 11 .Calculer les limites suivantes :
1. limx→+∞x+2
x2 ln(x)2. limx→+∞
e√x
x+23. limx→+∞
ln(x+2)√x
4. limx→0 2x ln(x+√x) 5. limx→0
ln(x)√x
6. limx→+∞( ex+1x+2
)1
x+1
7. limx→+∞(x+1)x
xx+1
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Feuille d’exercices n◦3 : Suites reelles
Exercice 1 .Les resultats de cet exercice servent souvent et sont donc a connaıtre. Trouverles valeurs des limites (lorsqu’elles existent) des suites suivantes :
1. suites puissances : un = nα, avec α ∈ R fixe (distinguer les cas α > 0,α = 0, α < 0)
2. suites geometriques : un = an, avec a ∈ R fixe (distinguer suivant laposition de a par rapport a 1 et −1)
3. series geometriques : un =∑n
k=0 ak, a ∈ R fixe. On commencera par
montrer que
un =an+1 − 1
a− 1, lorsque a 6= 1.
Exercice 2 .Soit (un)n≥0 une suite reelle convergeant vers un reel l et l < a. Montrer queun < a a partir d’un certain rang.
Exercice 3 .Soit (un)n≥0 une suite reelle et l un reel. Prouver que les phrases logiquessuivantes sont equivalentes et sont donc deux definitions possibles de ”uconverge vers l” :
1. ∀ε > 0 ∃N ∈ N tel que ∀n ≥ N, |un − l| < ε
2. ∀ε > 0 ∃N ∈ N tel que ∀n ≥ N, |un − l| ≤ ε
Exercice 4 .Soit (un)n≥0 une suite reelle.
1. Soit l ∈ R. Ecrire a l’aide de quantificateurs que la suite u ne convergepas vers l.
2. Ecrire a l’aide de quantificateurs ”u est divergente”.
3. On suppose qu’il existe l ∈ R et ε > 0 tel que a partir d’un certainrang |un − l| ≥ ε. Montrer que u ne converge pas vers l.
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Exercice 5 .Soit (un)n≥0 une suite reelle a valeurs entieres i.e. un ∈ N pour tout n.
1. On suppose que u est convergente. Montrer que (un) est stationnairea partir d’un certain rang.
2. On suppose que u est strictement croissante, montrer que pour toutn ≥ 0, un ≥ n.
Exercice 6 .Soit (un)n≥0 une suite reelle decroissante et convergeant vers 0. Montrer queu est positive.
Exercice 7 .Soit (un)n≥0 une suite reelle croissante non majoree. Montrer que
limn→+∞
un = +∞.
En deduire qu’une suite croissante converge si et seulement si elle est majoree.
Exercice 8 .Montrer que si limn→+∞ un = +∞ et vn ≥ a > 0 a partir d’un certain rang,alors limn→+∞ unvn = +∞.
Exercice 9 .Soient (un) et (vn) deux suites reelles. Montrer que s’il existe N tel que
un ≤ vn, ∀n ≥ N
et si limn→+∞ un = +∞ alors limn→+∞ vn = +∞.
Exercice 10 (Vrai ou Faux ?) .1. Si la suite (|un|) est majoree, la suite (un) est bornee.
2. Si (un) et (vn) sont deux suites divergentes, la suite somme (un + vn)est aussi divergente.
3. Si la suite (|un|) est divergente, il en est de meme de la suite (un).
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4. Si (un) et (vn) sont deux suites telles qu’a partir d’un certain rang onait un ≤ vn, alors la convergence de (vn) implique celle de (un).
5. La convergence d’une suite extraite implique la convergence de la suiteelle-meme.
6. Toute suite positive decroissante est convergente de limite nulle.
7. Toute suite positive de limite nulle est decroissante a partir d’un cer-tain rang.
8. Toute suite convergente vers une limite ` > 0 est strictement positivea partir d’un certain rang.
9. Si (un) converge vers 1/2, alors un+1/un tend vers 1/2.
10. Si un+1/un tend vers 1/2, alors (un) converge vers 1/2.
Exercice 11 .1. Montrer que pour tout entier n ≥ 1,
1 + 2 + ...+ n =n(n+ 1)
2.
2. Soit x ∈ R. Montrer que la suite de terme general
un =E(x) + E(2x) + ...+ E(nx)
n2
converge et determiner sa limite.
Exercice 12 .Soit (un) la suite definie par
un =1
n+
1
n+ 1+
1
n+√
2+ ...+
1
n+√n.
1. Montrer que 1n+√n≤ 1
n+√k≤ 1
npour tous les entiers 0 ≤ k ≤ n.
2. En deduire que la suite (un) converge et determiner sa limite.
Exercice 13 .Montrer que si (un) est divergente et tend vers +∞, alors toute suite extraitede (un) tend egalement vers +∞.
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Exercice 14 .1. Soit a ∈ R+. trouver la limite de (a
n
n!)n≥1
2. Soit a ∈ R, p ∈ N∗. Etudier la convergence de (an
np )n≥1.
3. Etudier la convergence de ( n!nn )n≥1.
Indication : considerer le rapport de deux termes consecutifs.Ces limites sont souvent utiles : soyez capables de les retrouver !
Exercice 15 .Montrer, a l’aide d’une etude de fonctions, que
x− x2
2≤ ln(1 + x) ≤ x, ∀x ≥ 0.
En deduire les limites des trois suites suivantes :
1. un =(1 + 1
n2
)n, n ≥ 1 ;
2. un =(1 + 1
n
)n, n ≥ 1 ;
3. un =(
1 + 1√n
)n, n ≥ 1.
On pourra utiliser pour cela que si une suite (vn) converge vers 0, alors lasuite (exp(vn)) converge vers 1.
Exercice (∗) 16 .Soit (un) une suite reelle.
1. Montrer que si les deux sous-suites (u2n) et (u2n+1) convergent vers lameme limite ` ∈ R, alors (un) converge vers `.
2. Montrer que si les trois sous-suites (u2n), (u2n+1) et (u3n) convergentrespectivement vers `1, `2 et `3 alors `1 = `2 = `3 et (un) convergevers cette limite commune.
3. Cette propriete est-elle encore vraie pour les sous-suites (u3n), (u3n+1)et (u3n+2) ?
Exercice 17 .Soit (un)n≥0 une suite reelle et l ∈ R. Montrer que (un)n≥0 ne converge pasvers l si et seulement s’il existe ε > 0 et une extraction φ tel que
∀n ≥ 0, |uφ(n) − l| > ε.
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Exercice 18 (suites arithmetico-geometriques) .On dit qu’une suite (un) est arithmetico-geometrique si
∃(q, r) ∈ R2,∀n ∈ N, un+1 = qun + r.
1. Justifier cette terminologie.
2. Montrer que si q 6= 1, alors ∀r ∈ R,
un+1 = qn+1u0 + rqn+1 − 1
q − 1, ∀ n ∈ N.
Et si q = 1 ?
Exercice (∗) 19 .1. Montrer
limn→+∞
1
n
n∑k=1
1
k= 0.
Indication : a ε > 0 fixe, couper la somme en deux en b1/εc.2. Etudier la convergence de
un =n∑k=1
1
n+ k, n ≥ 1.
On ne cherchera pas a expliciter la limite.
Exercice 20 .On definit les suites (an) et (bn) par recurrence de la facon suivante :
a0 = 1, b0 = 2, bn+1 =an + bn
2, an+1 =
2
bn+1
.
1. Montrer par recurrence que an et bn sont bien definies et 0 < an−1 <an < bn < bn−1 <∞, ∀n ≥ 1.
2. Montrer que pour tout n,
bn+1 − an+1 =(bn − an)2
2(an + bn),
puis quebn+1 − an+1 < (bn − an)/4.
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3. En deduire que les suites (an) et (bn) sont adjacentes.
4. Montrer que leur limite commune est√
2.
Exercice 21 .Soient (un), (vn) deux suites d’elements dans [0, 1], telles quelimn→+∞ unvn = 1. Montrer que (un) et (vn) convergent vers 1.
Exercice 22 (suite definie par une relation de recurrence) .On considere la suite definie par recurrence par
un+1 =√
2 + un, u0 ≥ 0.
1. Montrer que un est bien definie pour tout n.
2. Etudier sur R+ le signe de x−√
2 + x.
3. En deduire que (un) est monotone en discutant le sens de la monotonieselon que u0 est superieur ou inferieur a 2.
4. Montrer que (un) est convergente et donner sa limite.
Exercice 23 .Soit (un) la suite de Fibonacci, definie par : u1 = 1, u2 = 1, ∀n ∈ N∗,
un+2 = un+1 + un.
1. Montrer que ∀n ∈ N∗, u2n+1 − unun+2 = (−1)n.
2. Montrer que que la suite(un+1
un) converge et trouver sa limite.
Exercice (∗) 24 (Theoreme de Cesaro) .Soit (un) une suite reelle et (vn) la suite definie par v0 = u0 et pour n ≥ 1,
vn =
∑nk=1 ukn
,
i.e. la moyenne des n premiers termes.
1. On suppose que (un) converge vers 0.
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(a) Soit ε > 0 fixe. Montrer qu’il existe N ∈ N tel que pour toutn ≥ N , on a
|vn| ≤
∣∣∣∣∣∑N
k=1 ukn
∣∣∣∣∣+ε
2.
(b) L’entier N etant fixe par la question precedente, montrer qu’ilexiste un entier N ′ tel que pour tout entier n ≥ N ′,∣∣∣∣∣
∑Nk=1 ukn
∣∣∣∣∣ ≤ ε
2.
(c) En deduire que (vn) converge vers 0.
2. On suppose cette fois-ci que (un) converge vers ` ∈ R. Montrer que(vn) converge vers `.
Exercice (∗) 25 .Soit (an)n∈N une suite reelle. On lui associe deux suites, (bn) et (cn), definiespar :
bn = an−1 − an et cn = an+1 + an−1 − 2an, ∀n ∈ N∗.
On suppose que cn ≥ 0 ∀n ∈ N∗ et que la suite (an) est bornee.
1. Montrer que la suite (bn) est monotone et convergente. On note ` salimite.
2. Montrer que ` = 0.
3. En deduire que (bn) est a termes positifs et que (an) converge.
Exercice (∗) 26 .Une suite (un)n≥0 reelle est dite suite de Cauchy si pour tout ε > 0 il existeN ∈ N tel que
∀n ≥ N ∀m ≥ N, |un − um| ≤ ε.
1. Montrer qu’une suite convergente est de Cauchy.
2. En utilisant l’axiome des segments emboites, montrer la reciproque.
On vient de montrer que R est complet, c’est-a-dire que toute suite de Cauchyest convergente. Donner un contre-exemple pour montrer que Q n’est pascomplet.
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Exercice (∗) 27 .Cet exercice utilise les resultats de l’exercice precedent.
1. Soit (un) une suite reelle telle que : ∀ n ∈ N, |un+1−un| ≤ 2−n. Montrerque (un) est une suite de Cauchy. En deduire qu’elle converge.
2. Montrer que la suite de terme general un =∑n
k=01
2kk!, a valeurs dans
Q, converge dans R\Q.
Exercice (∗) 28 .Soit (un)n≥0 une suite reelle et l ∈ R. Montrer que u converge vers l si etseulement si de toute sous-suite de u on peut extraire une sous-sous-suite quiconverge vers l.
Exercice (∗) 29 (Bolzano-Weierstrass) .On propose dans cet exercice une autre preuve du Theoreme de Bolzano-Weierstrass que celle vue en cours.
1. Montrer le lemme suivant :De toute suite reelle (un)n≥0 on peut extraire une sous-suite monotone.On pourra s’appuyer sur l’ensemble suivant (ou son complementaire) :
A = {n ∈ N tel que pour tout k ≥ n, uk ≤ un}.
2. En deduire une nouvelle preuve du Theoreme de Bolzano-Weierstrass.
Exercice (∗) 30 .Donner un exemple de suite reelle (un) divergente telle que pour tout entierk ∈ N\{0, 1}, (ukn) est convergente.
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Universite Paris-Dauphine, DEMI2EAnalyse 1 (2015-16)
Feuille d’exercices n◦4 : Fonctions reelles
Exercice 1 .On se donne une fonction reelle f et un reel c > 0.
1. Comment obtenir le graphe des fonctions suivantes a partir de celuide f ?
x 7→ f(x) + c, x 7→ f(x)− c, x 7→ f(x− c), x 7→ f(x+ c)
et
x 7→ cf(x), x 7→ f(cx), x 7→ −f(x), x 7→ f(−x), x 7→ |f(x)|
2. Comment obtenir le graphe de la fonction reciproque f−1, si elle existe,a partir de celui de f ?
Exercice 2 .1. Soient f et g deux fonctions definies sur un domaine commun D.
(a) Discuter la monotonie de la fonction f + g en fonction de celles def et g.
(b) Etudier la parite de fg, selon la parite de f et celle de g.
2. On suppose a present que f est definie sur un domaine D et g sur undomaine D′ tels que f(D) ⊂ D′.
(a) Discuter la monotonie de g ◦ f en fonction de celles de f et g.
(b) Etudier la parite de g ◦ f en fonction de la parite de f et de cellede g.
Exercice 3 .Determiner les domaines maximaux sur lesquels on peut definir les relationsfonctionnelles suivantes (pour les domaines des fonctions puissances, on se
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reportera a l’Annexe B du polycopie de cours) :
x 7→ x3+3x+2x2−2x−3 x 7→
√x3 − 1 x 7→ 3
√1− x2 x 7→
√x2 + x− 2
x 7→√
x+1x−1 x 7→
√−x+ (2− x)−
12 x 7→ (x− |x|)− 1
2 x 7→√
1−|x|2−|x|
x 7→√√
x− 2−√x− 2 x 7→ ln 2+x
2−x x 7→ ln x2−3x+2x+1
.
Exercice 4 .Determiner la parite des fonctions suivantes sur leurs domaines de definitionmaximaux
x 7→√
1− |x| x 7→√
1 + x+ x2 −√
1− x+ x2 x 7→ |x2 − x| x 7→ |x+ 1| − |x− 1|
x 7→ x− 1x
x+ 1x
x 7→ ln 1+x1−x x 7→ 1+xx−1
(1−x)x+1 .
Exercice 5 .Determiner les reciproques des fonctions suivantes
x 7→ 3√
1− x3, x 7→ lnx− 1
x+ 1, f(x) =
x si x ≤ 0
x2 si x > 0.
Exercice 6 .Determiner si les dessins suivants correspondent aux graphes d’une fonction,d’une injection, d’une surjection de [0, 1] dans [0, 1]
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Exercice 7 .1. Determiner
limx→0
√1 + x−
√1− x
x.
2. Soient a, b ∈ R+, determiner
limx→0
√1 + xa −
√1− xb
xb.
3. Determiner
limx→0
√x2 + x+ 1− 1
x.
Exercice 8 .1. Montrer que pour tout entier naturel n ∈ N∗, on a
an − bn = (a− b)n−1∑k=0
ak bn−1−k.
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2. En deduire
limx→α
xn+1 − αn+1
xn − αn.
3. Calculer, lorsqu’elles existent, les limites suivantes en fonction du reelα
limx→+∞
x4
1 + xα sin2 x, lim
x→0
tanx− sinx
sinx(cos 2x− cosx),
limx→+∞
√x+
√x+√x−√x, lim
x→α+
√x−√α−√x− α√
x2 − α2,
limx→2
ex − e2
x2 + x− 6.
Exercice 9 .Quelles sont les fonctions f : R → R periodiques telles que f admette unelimite reelle en +∞ ?
Exercice (∗) 10 .Trouver toutes les fonctions f : R→ R croissantes telles que
∀x, y ∈ R, f(x+ y) = f(x) + f(y).
Exercice 11 .1. On definit une fonction f : R∗ → R par f(x) = x sin( 1
x).
i. Montrer que f admet une limite en 0.
ii. Montrer que quelque soit η > 0, f n’est pas monotone sur ]−η, η[.
2. Montrer que
limx→0
sinx sin1
x= 0, lim
x→∞
x sinx
x2 + 1= 0.
3. Montrer que la fonction
x 7→ x2 sinx
x2 + 1
n’a pas de limite en +∞.
22
Exercice (∗) 12 .Soit I =]a, b[ un intervalle de R et f une fonction bornee definie sur I. SoientS : I → R et s : I → R les fonctions definies par
S(x) = supx<u<b
f(u) et s(x) = infx<u<b
f(u).
1. Montrer que S est decroissante et s croissante.
2. En deduire que limx→b S(x) et limx→b s(x) existent et sont finies. Ellesseront notees respectivement lim supx→b f et lim infx→b f .
3. Montrer que l’on a lim infx→b ≤ lim supx→b f .
4. Montrer que f admet une limite en b si et seulement si lim infx→b f =lim supx→b f .
5. Soient f et g deux fonctions bornees definies sur I. Montrer que l’ona :
lim supx→b
(f + g) ≤ lim supx→b
f + lim supx→b
g
lim infx→b
(f + g) ≥ lim infx→b
f + lim infx→b
g.
Exercice 13 .On considere la fonction
f(x) = exp
(1
ln(x)
).
1. Determiner son ensemble de definition. On le note D.
2. Etudier l’existence et la valeur des limites de f en 0, 1, +∞. En casd’absence de limite en un de ces points, preciser s’il y a toutefois deslimites a droite et a gauche.
3. Montrer que f(D) ⊂ D et determiner la fonction f ◦ f .
4. Soit x ∈ D. On considere la suite (un) definie par recurrence par
u0 = x, un+1 = f(un), ∀n ≥ 0.
Pour quelles valeurs de x la suite (un) est-elle convergente ?
Exercice (∗) 14 .Soit f : I → R une fonction croissante, ou I est un segment de R.
23
1. Montrer que f admet en tout point a ∈ I des limites a gauche et adroite. Ces limites seront notees f−(a) et f+(a).
2. Montrer qu’on a f−(a) ≤ f(a) ≤ f+(a) en tout point a ∈ I.
3. Montrer que les fonctions x 7→ f+(x) et x 7→ f−(x) sont croissantes.
4. On dit que f admet un saut a droite (resp. a gauche) en a si f−(a) <f(a) (resp. f(a) < f+(a)). On note Dk = {a ∈ I; f+(a)− f(a) > 1/k}pour k ≥ 1. Montrer que Dk ne peut contenir qu’un nombre finid’elements.
5. En deduire que l’ensemble des sauts a droite d’une fonction croissanteest au plus denombrable. De meme pour les sauts a gauche.
Exercice (∗) 15 .Les deux questions sont independantes.
1. Soient f, g deux fonctions de R dans R telles que
∀x, y ∈ R, (f(x)− f(y)) (g(x)− g(y)) = 0.
Montrer que soit f soit g est constante.
2. Soit f : R→ R∗ une fonction telle que
f(x) = f(x+ 1)f(x− 1), ∀x ∈ R.
Montrer que f est periodique.
Exercice 16 .Soient a ∈ R et f : [a; +∞[→ R une fonction croissante telle que
limx→+∞
f(x) = b ∈ R.
Soit g :]a; +∞[→ R definie par g(x) = f(x)−f(a)x−a . On suppose que g est crois-
sante. Montrer que f est constante.
Exercice 17 .Determiner les limites suivantes pour a, b ∈ R∗+
limx→0+
x
a
⌊b
x
⌋, lim
x→0+
b
x
⌊xa
⌋
24
Exercice 18 .Soit f : R → R telle que f ◦ f est croissante et f ◦ f ◦ f est strictementdecroissante. Montrer que f est strictement decroissante.
Exercice (∗) 19 .Soit f :]− a, a[\{0} → R∗+ une fonction verifiant
limx→0
(f(x) +
1
f(x)
)= 2.
Montrer que limx→0 f(x) = 1.
25
Feuille d’exercices n◦5 : Continuite.
Exercice 1 .A partir de l’inegalite | sinx| ≤ |x| valable pour tout x ∈ R et des formulesclassiques de trigonometrie, montrer la continuite des fonctions sinus, cosinuset tangente sur leurs domaines de definition respectifs.
Exercice 2 .Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuite en 0 ?
1. f(x) = sin(x) sin(1/x).
2. g(x) = cos(x) cos(1/x).
Exercice 3 .Trouver un prolongement par continuite a R tout entier des fonctions sui-vantes :
a) f : R\{−1} → R, f(x) = x3+5x+6x3+1
b) f : R∗ → R, f(x) = (1+x)n−1x
, n ∈ N.
Exercice 4 .Etudier en tout point la continuite des fonctions suivantes :
a) f : R→ R, f(x) = x2 si x ∈ Q, f(x) = x si x ∈ R\Q.
b) f : R→ R, f(x) = (x− bxc)2 + bxc.c) f(x) = 1
xsi x 6= 0 , f(0) = 0.
d) f(x) = x3 si x ≥ 0 , f(x) = 0 si x < 0.
e) f(x) = x⌊1x
⌋si x ≥ 0 , f(x) = 1 si x = 0.
Exercice (∗) 5 .Trouver toutes les fonctions f : R→ R continues telles que
∀x, y ∈ R, f(x+ y) = f(x) + f(y).
26
Exercice 6 (Vrai ou Faux ?) .1. Une fonction f transformant un intervalle I en un intervalle J = f(I)
est continue.
2. L’image d’un intervalle [a, b] par une fonction continue est un intervalle[c, d].
3. L’image d’un intervalle ]a, b[ par une fonction continue est un intervalle]c, d[.
4. Si f est continue et ne s’annule pas sur [a, b], alors 1/f est bornee sur[a, b].
5. Si f est continue et bornee sur [a, b[, f atteint sa borne inferieure etsa borne superieure.
6. Si f est continue et bornee sur [a, b[, f atteint sa borne inferieure ousa borne superieure.
7. Tout polynome a coefficients reels de degre pair a au moins une racinereelle.
8. Tout polynome a coefficients reels de degre impair a au moins uneracine reelle.
Exercice 7 .1. Soit f : R→ R une fonction continue qui verifie ∀x ∈ R, f(x2) = f(x).
a) Montrer que ∀x ∈ R+, f(√x) = f(x).
b) Montrer que pour tout n ∈ N et pour tout x ∈ R+ f(x1/2n) = f(x).
c) Montrer que f est une fonction constante.
2. Donner un exemple de fonction f : R→ R, non constante, telle que :
∀x ∈ R, f(x2) = f(x).
Exercice 8 .1. Soient f, g : [0, 1]→ R continues, telles que (f(0)−g(0))(f(1)−g(1)) ≤
0. Montrer qu’il existe x0 ∈ [0, 1] tel que f(x0) = g(x0).
2. Montrer que l’equation x12 = x11 +1 admet au moins une solution surR+.
Exercice 9 .Soient I un intervalle de R et f : I → R une fonction continue ; montrer quesi l’ensemble f(I) est fini, alors f est constante.
27
Exercice 10 .Soit f : R+ → R+ une fonction continue admettant 0 pour limite en +∞.Montrer que f admet un maximum. Montrer a l’aide d’un contre-exempleque ceci n’est plus vrai si on enleve l’hypothese de continuite.
Exercice (∗) 11 .a) Soit f une fonction definie sur un intervalle ouvert ]a, b[. Montrer que
si f est strictement croissante et continue sur l’intervalle ]a, b[, alorson a f(]a, b[) =] lima+ f, limb− f [.
b) Soit I un intervalle reel et une fonction f definie, monotone sur I ettelle que f(I) est un intervalle. Montrer que f est continue sur I.
c) Existe-t-il une bijection continue de R sur [−1, 1] ?
d) Existe-t-il une fonction monotone de R sur [−1, 1] ?
Exercice 12 .Soient f : [0, 1] → [0, 1] et g : [0, 1] → [0, 1] deux fonctions continues, tellesque
f ◦ g = g ◦ f.On veut demontrer qu’il existe x0 ∈ [0, 1] tel que f(x0) = g(x0).
1. On pose h(x) = f(x) − x. Montrer que h s’annule en au moins unpoint de [0, 1]. On note ce point x1.
2. En deduire que gn(x1) = f(gn(x1)), ∀n ≥ 1 (gn designe la composeeg ◦ g ◦ ... ◦ g, ou g figure n fois).
3. On pose un = gn(x1). Verifier que f(un) = un et g(un) = un+1.
4. On suppose que la suite (un) est monotone. Montrer qu’elle a alorsune limite `. Que peut-on dire de f(`) et g(`) ?
5. (∗) On suppose que (un) n’est pas monotone. Montrer qu’il existe desreels u, v ∈ [0, 1] tels que (f − g)(u)(f − g)(v) ≤ 0. Conclure.
Exercice 13 .Soit f :]0,+∞[→]0,+∞[ une fonction croissante et telle qu’il existe α > 0tel que la fonction
g : x→ x−αf(x)
est decroissante. Montrer que les fonctions g et f sont continues sur l’inter-valle ouvert ]0,+∞[.
28
Exercice 14 .Soit f : [0,+∞[→ R une fonction continue, positive, croissante, telle que :
limx→+∞
f(x)
x= l < 1.
Montrer qu’il existe x0 ∈ [0,+∞[ tel que f(x0) = x0.
Exercice 15 .Soient a ∈ R∗+ et f : R→ R une fonction continue telle que
∀ (x, y) ∈ R2, |f(x)− f(y)| ≥ a|x− y|.
Montrer que f est bijective.
Exercice 16 .Soient (a, b) ∈ R2 tel que a < b et f : [a, b] → R une fonction continue,non constante telle que f(a) = f(b). On note m = infx∈[a,b] f(x) et M =supx∈[a,b] f(x). Montrer que, pour tout k ∈]m,M [, il existe au moins deuxelements de [a, b], distincts, d’image k par f .
Exercice 17 .Soient f : R→ R une aplication bornee et g : R→ R une fonction continue.Montrer que g ◦ f et f ◦ g sont bornees.
Exercice (∗) 18 .Soient f, g : D → R. Montrer que :
a) si f est uniformement continue alors |f | est uniformement continue ;
b) si f et g sont u.c. alors max(f, g) et min(f, g) sont uniformementcontinues ;
c) si f et g sont uniformement continues alors g ◦ f est uniformementcontinue.
Exercice (∗) 19 .Soit f : [0,+∞[→ R une fonction continue et periodique ; montrer que f estuniformement continue sur [0,+∞[.
29
Exercice (∗) 20 .Soit f : R→ R une fonction uniformement continue. Montrer que
∃(α, β) ∈ R2+ : ∀x ∈ R : |f(x)| ≤ α|x|+ β.
Exercice (∗) 21 .Montrer que la somme de deux fonctions uniformement continues sur unintervalle I est uniformement continue. En est-il de meme pour le produit ?
Exercice 22 .Soit p ∈ N∗. Montrer que la fonction
f : x ∈ [1,+∞[ 7→ x1/p
est 1-lipschitzienne. Est-elle contractante ? (c’est-a-dire k-lipschitzienne pourun k < 1 ?). Meme question si on remplace l’intervalle [1,+∞[ par R+.
Exercice (∗) 23 .Soient f, g : [0, 1] → R deux fonctions bornees, et M : R → R la fonctiondefinie par :
∀ u ∈ R, M(u) = supx∈[0,1]
(f(x) + ug(x)).
Montrer que M est lipschitzienne.
30
Feuille d’exercices n◦6 : Derivabilite.
Exercice 1 (Encore une fois !) .Calculer les derivees des fonctions suivantes :
1. x→ cos(√x) 2. x→ 2−x 3. x→ ln(ln(ln(x)))
4. x→ (1 + x2/3)3/2 5. x→√
sin(x2) 6. x→ sin(2 cos(3x))7. x→ cos(ln(x)) 8. x→ 33x 9. x→ sin( x
cos(x))
10. x→√x+ ex 11. x→ ln(x sin(x)) 12. x→ 2x sin(x)
Remarque : Pour cet exercice on s’autorisera a deriver de facon formelle sansse preoccuper de l’ensemble de definition ni de l’ensemble ou la fonction estderivable. A part pour cet exercice, il ne faut jamais faire ca !
Exercice 2 .1. A l’aide du cercle trigonometrique, montrer que pour tout h ∈ [0, π/2[,
sinh ≤ h ≤ tanh.
2. En deduire dans un premier temps, a l’aide des formules de trigo-nometrie usuelles, que
sinh
h→ 1 quand h→ 0.
3. Puis que la fonction sinus est derivable sur R, de derivee la fonctioncosinus.
4. Et enfin que la fonction cosinus est derivable sur R, de derivee lafonction −sinus.
Exercice 3 .Etudier la derivabilite des fonctions suivantes :
1. f1(x) = x2 cos 1x
si x 6= 0, f1(0) = 0
2. f2(x) = sinx sin 1x
si x 6= 0, f2(0) = 0
3. f3(x) = |x|√x2−2x+1x−1 si x 6= 1, f3(1) = 1.
Exercice 4 .Etudier en fonction de l’entier n ≥ 1 la regularite de x→ xn sin(1/x).
31
Exercice 5 .Soit f : R→ R derivable et a ∈ R tel que f ′(a) 6= 0.
1. Montrer qu’il existe un voisinage V de a tel que ∀ x ∈ V \{a}, f(x) 6=f(a).
2. Si f ′ est continue au point a, montrer qu’il existe un voisinage V dea tel que f|V soit injective.
Exercice 6 .Calculer la limite en +∞ de la fonction
x 7→ ln(x+ 1)13 − ln(x)
13 .
Indication : appliquer le theoreme des accroissements finis entre x et x + 1
a la fonction t 7→ (ln(t))13 .
Exercice 7 .1. Que peut-on dire de f ′ si on sait que f est paire ? impaire ? periodique ?2. Que peut-on dire de f si on sait que f ′ est paire ? impaire ? periodique ?3. Montrer que si f ′ est T -periodique et f(T ) 6= f(0), alors f n’a pas de
periode (on etudiera f(nT ) pour n ∈ N).
Exercice (∗) 8 .Soit f une fonction n fois derivable sur ]a, b[ s’annulant en n + 1 points de
]a, b[. Montrer que si f (n) est continue alors il existe un point x0 de ]a, b[ telque f (n)(x0) = 0. En deduire qu’un polynome de degre n a au plus n racines.
Exercice (∗) 9 (Regle de l’Hospital) .Soient f, g : [a, b]→ R derivables avec ∀ x ∈]a, b[, g′(x) 6= 0.
1. Montrer qu’il existe c ∈ ]a, b[ tel que :
f(b)− f(a)
g(b)− g(a)=f ′(c)
g′(c).
(Appliquer le theoreme de Rolle a f−λg, ou λ est un reel bien choisi).
32
2. En deduire que si
f ′(x)
g′(x)→ l, quand x→ a+,
alors (regle de l’Hospital)
f(x)− f(a)
g(x)− g(a)→ l, quand x→ a+.
3. Cette regle permet de lever certaines formes indeterminees : determiner
limx→0+
ex − x− 1
cos(x)− 1.
Exercice 10 .Soit n ≥ 2 un entier fixe et f : R+ → R la fonction definie par
f(x) = (1 + xn)(1 + x)−n.
1. Montrer que f est derivable sur R+ et calculer f ′(x) pour tout x ≥ 0.
2. En etudiant le signe de f ′ sur R+, montrer que f atteint un minimumsur R+ que l’on determinera.
3. En deduire que
(1 + x)n ≤ 2n−1(1 + xn), ∀x ∈ R+.
4. Montrer que si x ∈ R+ et y ∈ R+ alors on a
(y + x)n ≤ 2n−1(yn + xn), ∀x ∈ R+.
Exercice 11 .On considere la fonction f : R→ R definie par f(t) = e
1t si t < 0 et 0 sinon.
1. Montrer que f est derivable sur R et en particulier en 0.
2. Etudier l’existence de f ′′(0).
3. Montrer par recurrence que pour t < 0, la derivee n-ieme de f s’ecrit
f (n)(t) = e1t t−2n Pn(t)
ou Pn est une fonction polynomiale.
33
4. Montrer que f est de classe C∞.
Exercice 12 .A l’aide de la formule de Taylor-Lagrange, montrer que
exp(x) = limn→∞
n∑i=0
xi
i!, ∀x ∈ R.
Exercice 13 .A l’aide de la formule de Taylor-Lagrange, montrer que pour tout x ≥ 0,
x− x2
2+
x3
3(1 + x)3≤ ln(1 + x) ≤ x− x2
2+x3
3.
Exercice (∗) 14 .Soient a un nombre reel strictement positif et g :] − a, a[→ R une fonctionde classe C∞ telle que g(0) = 0. Soit f :]− a, a[\{0} → R la fonction definie
par f(x) = g(x)x
.1. Montrer que f se prolonge par continuite en 0.2. Montrer que f est de classe C∞ sur ]− a, a[\{0} et exprimer f (n)(x)
en fonction des derivees de g.3. Montrer que pour tout x ∈]− a, a[, il existe θ ∈]0, 1[ tel que l’on ait
−g(x) +x
1!g′(x)− x2
2!g′′(x) + . . .+ (−1)n+1x
n
n!g(n)(x) = (−1)n+1 xn+1
(n+ 1)!g(n+1)(θx)
4. En deduire que pour tout n ∈ N, la limite limx→0 f(n)(x) existe.
5. Montrer que f est de classe C∞ sur ]− a, a[.
Exercice 15 .1. Soit f : R → R derivable. Montrer que |f | admet en tout point une
derivee a droite et une derivee a gauche.2. Soit f : R → R derivable telle que ∀x ∈ R, f ′(x) 6= 0. Montrer que|f | est derivable.
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Exercice (∗) 16 .Soit f une fonction derivable sur l’intervalle [a,+∞[ telle que f(a) = 0 etlim+∞ f = 0. Montrer qu’il existe un reel c > a verifiant f ′(c) = 0.
Indication : f est soit nulle, soit il existe x0 tel que f(x0) 6= 0 et utiliser lefait que l’image d’un segment par une fonction continue est un segment.
Exercice 17 .A l’aide du theoreme des accroissements finis, determiner
limx→π/4
ln(sinx)− ln(cosx)
sinx− cosx.
Exercice 18 .Determiner en fonction du reel a le nombre de solutions de l’equation ex = ax.
Exercice 19 .Par application du theoreme des accroissements finis a f(x) = ln x sur [n, n+1] montrer que
Sn =n∑k=1
1
k
tend vers l’infini quand n tend vers l’infini.
Exercice 20 .1. Soit f : R→ R derivable telle que f ′(x) tende vers l quand x→ +∞.
Montrer que f(x)x→ l quand x→ +∞.
2. Chercher un contre-exemple pour la reciproque.
Exercice 21 .Soit f une fonction de classe C1 sur [a, b] avec a < b. On suppose que f(a) = 0et que f(b)f ′(b) < 0. Montrer qu’il existe c ∈]a, b[ tel que f ′(c) = 0.
Indication : utiliser le fait que l’image d’un segment par une fonction est unsegment.
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Exercice (∗) 22 .Soit f : [a, b]→ R de classe C2.
1. On suppose que f(a) = f(b) = 0. Soit c ∈ ]a, b[. Montrer qu’il existed ∈ ]a, b[ tel que :
f(c) = −(c− a)(b− c)2
f ′′(d).
(Considerer g(t) = f(t) + λ(t− a)(b− t) ou λ est choisi de sorte queg(c) = 0).
2. Cas general : Soit c ∈ ]a, b[. Montrer qu’il existe d ∈ ]a, b[ tel que :
f(c) =b− cb− a
f(a) +c− ab− a
f(b)− (c− a)(b− c)2
f ′′(d).
Exercice (∗) 23 .Soit f deux fois derivable sur R+, bornee et telle que f ′′ ≥ 0. Montrer que fest decroissante sur R+.
Indication : proceder par l’absurde et utiliser le theoreme des accroissementsfinis.
Exercice 24 .Soit f(x) = exp(− 1
x2) si x 6= 0 et f(0) = 0. Montrer que f est C∞ et que
pour tout n ∈ N on a f (n)(0) = 0.Indication : utiliser la meme methode que pour l’exercice 11.
Exercice (∗) 25 .Soit f : I = [−1, 1] → R une fonction impaire de classe C4. On suppose
que la derivee f (5) existe sur I. On pose α = 13f ′(1) + 2
3f ′(0) − f(1) et on
considere la fonction g definie sur I comme suit
g(x) = f(x)− x
3(f ′(x) + 2f ′(0)) + αx5.
1. Montrer que g est de classe C3. Exprimer g, g′′ et g(3) en fonction desderivees de f .
2. Calculer g(0), g′(0) et g′′(0).3. Montrer qu’il existe β ∈ I tel que l’on ait g(3)(β) = 0.
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4. Montrer qu’il existe γ ∈ I tel que l’on ait
f(1) =1
3f ′(1) +
2
3f ′(0)− 1
180f (5)(γ).
Exercice (∗) 26 .Trouver les fonctions f : R→ R derivables en 0 telles que
∃λ ∈ R \ {−1}, ∀x ∈ R, f(λx) = λ f(x).
