Exercices de préparation à la composition du premier

Seconde Exercices pour préparer la composition du premier trimestre 2009-2010

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A B M

EXERCICE 1

Pour une unité choisie, [AB] est un segment tel que AB = 11 et M est un point de ce segment. Du même côté de la droite (AB), on construit deux carrés, l’un de côté AM et l’autre de côté BM. On pose AM = x, avec 0 < x < 11.

1) a) Calculer, en fonction de x, les aires A1 et A2 de ces deux carrés.

b) Démontrer que A1 + A2 = 2x² - 22x + 121

2) On cherche à déterminer x pour que la somme de ces deux aires soit égale à 73. Montrer que l’on doit alors résoudre l’équation (E) :

x² = 11x – 24, avec 0 < x < 11

3) Le but de cette question est de résoudre graphiquement l’équation (E). On note I l’intervalle [0 ;11]. a) Dans un même repère orthogonal (O ; I, J) tel que l’unité est 1 cm sur l’axe des

abscisses et 0,1 cm sur l’axe des ordonnées, tracer la courbe représentative de la fonction f définie sur I par f(x) = x² et celle de la fonction g définie sur I par g(x) = 11 x – 24

O x

y

1 2 11

10

20

-10


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b) Ces deux courbes se coupent-elles ? Si oui, en combien de points ? Expliquer pourquoi les abscisses de ces points sont les solutions de l’équation (E). Lire graphiquement ces abscisses.

4) Montrer que l’équation (E) équivaut à : (x – 3)(x – 8) = 0 avec 0 < x < 11 Résoudre (E).

5) Conclure.

EXERCICE 2

On donne ci-après la courbe représentative de la fonction f définie par f(x) = 3x + 4x - 2

.


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) Déterminer graphiquement l’image par f de 0 et de -3. 2) Résoudre graphiquement l’équation f(x) = 0

3) Déterminer graphiquement l’antécédent de 2 par f, puis retrouver ce résultat par le calcul.

EXERCICE 3

ABC est un triangle équilatéral de côté 12 cm. On construit le rectangle MNPQ tel que M et N soient des points de [AB], Q est un point de [AC] et P un point de [BC]. En outre, AM = NB = x I est le milieu de [AB].

1) Pourquoi x est-il compris entre 0 et 6 ?

2) Montrer que MN = 12-2x et MQ = 3 x

(On rappelle que tan 60° = 3) 3) On note A la fonction qui, à toute valeur de x, associe l’aire A(x) du rectangle MNPQ.

Montrer que A(x) = 12 3 x – 2 3 x² 4) A l’aide d’une calculatrice, compléter le tableau de valeurs suivant (à 10-1 près):

x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6

f(x)

5) Tracer avec soin, la courbe représentative de la fonction A entre 0 et 6 dans le repère

suivant.

0 1 2 3 4 5 6 7

5

10

15

20

25

30

35


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6) Etablir le tableau de variation de la fonction A. 7) Pour quelle valeur de x, MNPQ est-il un carré ? Calculer la valeur exacte de l’aire correspondante.

EXERCICE 4

On considère un carré ABCD de côté 8 cm. AM = BN = CP = DQ = x

1) Pourquoi x est-il compris entre 0 et 8 ? 2) On note A la fonction qui, à toute valeur de x, associe l’aire A(x) du carré MNPQ.

Montrer que A(x) = 2(x - 4)² + 32 3) A l’aide d’une calculatrice, compléter le tableau de valeurs suivant :

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

A(x)


suivant. 0 1 2 3 4 5 6 7 8

35

40

45

50

55

60

65

30


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EXERCICE 5 On donne ci-contre les courbes représentatives d’une fonction f et d’une fonction affine g. 1. Donner le domaine de définition de f. 2. Déterminer graphiquement l’image de 5 par la fonction f. Donner f(-3). 3. Déterminer les antécédents de 0 par la fonction f. Déterminer les antécédents de -5 par la fonction f. 4. Résoudre graphiquement l’équation f(x) = 3

EXERCICE 6

f et g sont deux fonctions ; Cf et Cg leurs courbes représentatives dans un repère du plan. On donne f(x) = (x – 4)(-3x – 5) + x² - 16 g(x) = (4x – 3)² - (2x – 4)²

1) Factoriser f(x) 2) Factoriser g(x) 3) Calculer les abscisses des points d’intersection de Cf et de Cg.


CORRECTION

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EXERCICE 1 Pour une unité choisie, [AB] est un segment tel que AB = 11 et M est un point de ce segment. Du même côté de la droite (AB), on construit deux carrés, l’un de côté AM et l’autre de côté BM. On pose AM = x, avec 0 < x < 11.

1) a) Calculer, en fonction de x, les aires A1 et A2 de ces deux carrés.

b) Démontrer que A1 + A2 = 2x² - 22x + 121

2) On cherche à déterminer x pour que la somme de ces deux aires soit égale à 73. Montrer que l’on doit alors résoudre l’équation (E) :

x² = 11x – 24, avec 0 < x < 11

A1 = AM² = x²

A2 = BM² = (11 – x)²

A1 + A2 = x² + 121 – 22x + x² = 2x² - 22x + 121

A1 + A2 = 73 � 2x² - 22x + 121 = 73

� 2x² = 22x + 73 – 121 � 2x² = 22x – 48 � x² = 11x - 24


CORRECTION

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3) Le but de cette question est de résoudre graphiquement l’équation (E).

On note I l’intervalle [0 ;11]. a) Dans un même repère orthogonal (O ; I, J) tel que l’unité est 1 cm sur l’axe des

abscisses et 0,1 cm sur l’axe des ordonnées, tracer la courbe représentative de la fonction f définie sur I par f(x) = x² et celle de la fonction g définie sur I par g(x) = 11 x – 24


CORRECTION

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b) Ces deux courbes se coupent-elles ? Si oui, en combien de points ? Expliquer pourquoi les abscisses de ces points sont les solutions de l’équation (E). Lire graphiquement ces abscisses.

4) Montrer que l’équation (E) équivaut à : (x – 3)(x – 8) = 0 avec 0 < x < 11 Résoudre (E).

5) Conclure.

Les courbes se coupent en deux points. Les abscisses de ces points vérifient l’équation f(x) = g(x) ; c’est-à-dire l’équation (E) : x² = 11x – 24 Graphiquement, on lit les abscisses 3 et 8

(x – 3)(x – 8) = 0 � x² -3x – 8x + 24 = 0 � x² - 11x + 24 = 0 � x² = 11x – 24 Soit l’équation (E) Un produit est nul si au moins un des facteurs est nul. (x – 3)(x – 8) = 0 � x = 3 ou x = 8 S ={3 ;8}

La somme des aires des deux carrés est égale à 73 pour x = 3 ou x = 8.


CORRECTION

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EXERCICE 2 On donne ci-après la courbe représentative de la fonction f définie par f(x) = 3x + 4x - 2

.

1) Déterminer graphiquement l’image par f de 0 et de -3.

2) Résoudre graphiquement l’équation f(x) = 0.

On lit l’abscisse du point d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses. f(x) = 0 pour x ≈ -1,4

Les images sont lues sur l’axe des ordonnées. L’image par f de 0 est -2. L’image par f de -3 est 1.


CORRECTION

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3) Déterminer graphiquement l’antécédent de 2 par f, puis retrouver ce résultat par le calcul.

EXERCICE 4

On considère un carré ABCD de côté 8 cm. AM = BN = CP = DQ = x

1) Pourquoi x est-il compris entre 0 et 8 ? 2) On note A la fonction qui, à toute valeur de x, associe l’aire A(x) du carré MNPQ.

Montrer que A(x) = 2(x - 4)² + 32

3) A l’aide d’une calculatrice, compléter le tableau de valeurs suivant :

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

A(x) 64 50 40 34 32 34 40 50 64 4) Tracer avec soin, la courbe représentative de la fonction A entre 0 et 8 dans le repère

suivant.

L’antécédent de 2 par f est -8

f(x) = 2 � 3x + 4x – 2

= 2

� 3x + 4 = 2(x – 2) et x ≠ 2 � 3x -2x = -4 – 4 � x = -8

Le point M appartient au segment [AB] donc AM= x est compris entre 0 et 8 ( = AB)

En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle AMQ rectangle en A, on a : MQ² = AM² + AQ² MQ² = x² + (8-x)² = x² + 64 – 16x + x² = 2x² - 16x + 64 2(x-4)² + 32 = 2(x² - 8x + 16) + 32 = 2x² - 16x + 64 Donc A(x) = MQ² = 2(x-4)² + 32


CORRECTION

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EXERCICE 4

ABC est un triangle équilatéral de côté 12 cm. On construit le rectangle MNPQ tel que M et N soient des points de [AB], Q est un point de [AC] et P un point de [BC]. En outre, AM = NB = x I est le milieu de [AB].

1) Pourquoi x est-il compris entre 0 et 6 ?

2) Montrer que MN = 12 - 2x et MQ = 3 x

(on rappelle que tan 60° = 3)

M ∈ [AI] et AI = 6 Donc x = AM est compris entre 0 et 6.

MN = AB – AM – NB = 12 – x – x = 12 – 2x

Dans le triangle QAM rectangle en M : tan aQAM = QMAM

tan 60° = MQx

� MQ = x 3


CORRECTION

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3) On note A la fonction qui, à toute valeur de x, associe l’aire A(x) du rectangle MNPQ.

Montrer que A(x) = 12 3 x – 2 3 x²

4) A l’aide d’une calculatrice, compléter le tableau de valeurs suivant (à 10-1 près):

x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6

A(x) 0 9,5 17,3 23,3 27,7 30,3 31,2 30,3 27,7 23,3 17,3 9,5 0


suivant.

6)) Pour quelle valeur de x, MNPQ est-il un carré ? Calculer la valeur exacte de l’aire correspondante.

On a un carré si MN = MQ

Soit 12 – 2x = 3x

Soit x( 3 + 2) = 12

Soit x = 12

2 + 3 =

12(2 – 3)

(2 + 3)(2 - 3) = 24 - 12 3

La valeur de l’aire correspondante est MQ² = 3x²

Soit 3×[12×(2 - 3])² = 432(4 – 4 3 + 3) = 432(7 – 4 3)

A(x) = MN×MQ = (12 – 2x)×(x 3)

A(x) = 12 3x – 2 3x²


CORRECTION

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EXERCICE 5 On donne ci-contre les courbes représentatives d’une fonction f et d’une fonction affine g. 1. Donner le domaine de définition de f.

2. Déterminer graphiquement l’image de 5 par la fonction f. Donner f(-3).

3. Déterminer les antécédents de 0 par la fonction f. Déterminer les antécédents de -5 par la fonction f. 4. Résoudre graphiquement l’équation f(x) = 3

EXERCICE 6 f et g sont deux fonctions ; Cf et Cg leurs courbes représentatives dans un repère du plan. On donne f(x) = (x – 4)(-3x – 5) + x² - 16 g(x) = (4x – 3)² - (2x – 4)²

1) Factoriser f(x)

2) Factoriser g(x)

[-9 ;9]

f(5) = 3 et f(-3) = 3

Les antécédents de 0 sont -9 ; -2 et 4 Les antécédents de -5 sont -0,7 et 2

On lit les abscisses des points d’ordonnée 3 de la courbe représentant f : c'est-à-dire : -8 ;-3 et 5.

f(x) = (x – 4)(-3x – 5) + (x + 4)(x – 4) = (x – 4)[(-3x – 5) + (x + 4)] = (x – 4)(-2x – 1)

1


CORRECTION

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3) Calculer les abscisses des points d’intersection de Cf et de Cg.

g(x) = [(4x – 3) + (2x – 4)][(4x – 3) – (2x – 4)] = (6x – 7)(2x + 1)

Ce sont les solutions de l’équation f(x) = g(x) F(x) = g(x) � (6x – 7)(2x + 1) = (-2x – 1)(x – 4) � (2x + 1)(6x – 7 + x – 4) = 0

� (2x + 1)(7x – 11) = 0

� x = - 12

ou x = 117

Les abscisses des points sont - 12

et 117

.

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