EXERCICES EMPRUNTS INDIVIS

EXERCICES EMPRUNTS INDIVIS

Exercice 1

Une personne emprunte 100 000€ remboursables en 5 ans par le versement d'annuités calculées à 12%

a) La procédure utilisée est celle des amortissements constants

) Etablir le tableau d'amortissement de cet emprunt

) Quelle est la loi suivie par les annuités ?

) Montrer que la valeur actualisée par la suite d'annuités remboursant cet emprunt une période avant le versement de la première annuité est égale au capital emprunté.

b) La procédure utilisée est celle du remboursement final avec constitution d'un fonds d'amortissement



) Déterminer le montant constant de l'annuité à verser pour constituer un fonds d'amortissement à 9%

) A quel taux effectif cet emprunt est-il consenti ?

c) La procédure utilisée est celle du remboursement par annuités constantes


) Trouver une relation entre les amortissements successifs

d) Les trois premiers amortissements sont égaux à 15 000€ et la dernière annuité est égale à 24640€

) Trouver une relation entre la dernière annuité et le dernier amortissement remboursant un emprunt



Exercice 2

La onzième annuité remboursant un emprunt se décompose ainsi :

- amortissement : 78 676,20 €- intérêt : 31 357,48 €

Sachant que le taux d'intérêt de cet emprunt est égal à 5,75% et que les annuités sont constantes, calculer le montant

du capital emprunté et le nombre d'annuités de remboursement

Exercice 3

La Société EREISOP a contracté un emprunt amortissable en 20 ans par le paiement d'annuités constantes et immédiates. a) Sachant que les onzième et douzième amortissements se chiffrent respectivement à 250 074€ et 257 576,22 €, calculer le montant du capital emprunté.

b) Cette Société décide de payer en une seule fois, au début de la 13 ième année, le capital restant dû à ce moment. Calculer le montant de ce versement.

Exercice 4

Le tableau d'amortissement d'un emprunt remboursable par annuités constantes et immédiates indique que :

- intérêts payés l'avant dernière année : 2 061,14 €- intérêts payés la dernière année : 1 111,31 €- différence entre les intérêts payés la première et la deuxième année : 433,23 €

Retrouver toutes les caractéristiques de cet emprunt: taux, annuité, premier amortissement, capital emprunté et durée

de l'amortissement.

Exercice 5

Un industriel emprunte le 1er janvier 1998 un certain capital qu'il doit rembourser en 10 annuités constantes à partir du 1er janvier 1999

La somme des deux premiers amortissements est égale à 18 520,17 € et la somme des 2 ième et 3ième amortissements est égale à 20 649,99 €

Calculer toutes les données de cet emprunt

Exercice 6

Un emprunt amortissable en 25 ans par annuités constantes et immédiates est tel que le premier amortissement est égal à 3 024,12 € alors que le troisième amortissement est égal à 3 930,15 €

a) Trouver le taux nominal de cet emprunt

b) Calculer le capital emprunté sachant que l'annuité constante est égale à 80 024,12 €

c) Combien vaut le 25ième et dernier amortissement ?

d) Quel est le montant du capital dû immédiatement après le paiement de la 20ième annuité ?

Exercice 7

La 13ième annuité remboursant un emprunt se décompose ainsi :


Sachant que le taux d'intérêt de cet emprunt est égal à 13% et que les annuités sont constantes, calculer le montant du

capital emprunté et le nombre d'annuités de remboursement

Exercice 8


- intérêts payés l'avant dernière année : 4 098,68 - intérêts payés la dernière année : 2 165,34 - différence entre les intérêts payés la première et la deuxième année : 697,18 €


de l'amortissement.

Exercice 9

Une personne emprunte 25 000€ à 12% remboursables par le versement de sept annuités immédiates en progression géométrique de raison 1,1

Dresser le tableau d'amortissement de cet emprunt

Exercice 10

Un emprunt de 50 000€ à 20% est remboursable en dix annuités immédiates. Les cinq premières annuités sont égales entre elles et les cinq dernières sont également égales entre elles mais la sixième excède la cinquième de 1000€

a) Calculer le montant de la première annuité

b) Dresser le tableau d'amortissement de cet emprunt

c) Déterminer la loi suivie par tous les amortissements remboursant cet emprunt

Exercice 11

Monsieur EREISOP emprunte un capital de 450 000€ remboursables en 8 ans à 9% et opte pour la procédure du remboursement final.

a) Dresser le tableau d'amortissement de cet emprunt

b) Dans le même temps, et dans le but de mieux répartir sa charge d'emprunt, Monsieur EREISOP se constitue un fonds d'amortissement à 5% en versant annuellement sur un compte d'épargne une somme constante A de manière à ce que la charge d'emprunt annuelle soit constante

) Calculer A

) Quel est le taux effectif de cet emprunt ?

) Si vous étiez dans le cas de Monsieur EREISOP et que vous voudriez rembourser votre emprunt en 8 versements constants, auriez-vous fait le choix de Monsieur EREISOP ? Quel aurait été votre choix ? Pourquoi ?

Exercice ref MF-06-01

Une personne emprunte 100 000€ remboursables en 5 ans par le versement d'annuités calculées à 12%

a) La procédure utilisée est celle des amortissements constants


Les amortissements étant constants, chacun d’entre eux vaut 20 000

Annuités Amortissements Intérêts Restes dûs1 32 000,00 20 000,00 12 000,00 80 000,002 29 600,00 20 000,00 9 600,00 60 000,003 27 200,00 20 000,00 7 200,00 40 000,004 24 800,00 20 000,00 4 800,00 20 000,005 22 400,00 20 000,00 2 400,00 0,00

100 000,00

) Quelle est la loi suivie par les annuités ?

Nous remarquons que le capital restant dû diminue de 20 000 à chaque fois, les intérêts diminuent donc de 0,12 x 20 000 = 2 400

Les annuités suivent donc une progression arithmétique de raison égale à moins l’intérêts calculé sur un amortissement.


En effet : 32 000 1,12-1 + 29 600 1,12-2 + 27 200 1,12-3 + 24 800 1,12-4 + 22 400 1,12-5 = 100 000

b) La procédure utilisée est celle du remboursement final avec constitution d'un fonds d'amortissement


Le remboursement étant final, tous les amortissements sont nuls sauf le dernier qui est égal au capital emprunté.

Annuités Amortissements Intérêts Restes dûs1 12 000,00 0,00 12 000,00 100 000,002 12 000,00 0,00 12 000,00 100 000,003 12 000,00 0,00 12 000,00 100 000,004 12 000,00 0,00 12 000,00 100 000,005 112 000,00 100 000,00 12 000,00 0,00

100 000,00


En effet : 12 000 1,12-1 + 12 000 1,12-2 + 12 000 1,12-3 + 12 000 1,12-4 + 112 000 1,12-5 = 100 000

) Déterminer le montant constant de l'annuité à verser pour constituer un fonds d'amortissement à 9%

Le fonds d’amortissement sert à payer le dernier amortissement. Se constituer un fonds d’amortissement revient donc à verser, dans notre cas, 5 annuités de placement, ces 5 annuités devant avoir une valeur acquise de 100 000€ lors du paiement de la dernière.

Un schéma montrerait que :

Il faut donc verser 5 annuités de 16 709,25€ à 9% pour se constituer un fonds d’amortissement de 100 000€

) A quel taux effectif cet emprunt est-il consenti ?

Pour se constituer son fonds d’amortissement et rembourser son emprunt, cette personne doit donc verser annuellement 12 000 + 16 709,25, soit 28 709,25€.

Le taux effectif de crédit i est donc solution de l’équation :

28 709,25 (1 + i)-1 + 28 709,25 (1 + i)-2 + 28 709,25 (1 + i)-3 + 28 709,25 (1 + i)-4 + 28 709,25 (1 + i)-5 = 100 000

Par interpolation linéaire, nous trouvons i = 0,13399.

Le taux de placement effectif est donc égal à 13,40%

c) La procédure utilisée est celle du remboursement par annuités constantes


L’annuité constante a est solution de l’équation : a 1,12-1 + a 1,12-2 + a 1,12-3 + a 1,12-4 + a 1,12-5 = 100 000

D’où le tableau d’amortissement :


100 000,00

) Trouver une relation entre les amortissements successifs

Nous désignons par ap la pième annuité, par mp le pième amortissement, par Rp le pième reste dû et par Ip

le pième intérêt.

Nous avons : ap = mp + Ip = mp + Rp-1 x i (i représente le taux d’intérêt)

ap+1 = mp+1 + Ip+1 = mp+1 + Rp x i

Or Rp = Rp-1 - mp par conséquent ap+1 = mp+1 + (Rp-1 - mp ) x i

Les annuités étant constantes, nous avons ap+1 = ap d’où mp+1 + (Rp-1 - mp ) x i = mp + Rp-1 x

i

Nous obtenons ainsi mp+1 = mp (1 + i)

Nous en déduisons que si les annuités sont constantes, les amortissements sont en progression

géométrique de raison (1 + i)

d) Les trois premiers amortissements sont égaux à 15 000€ et la dernière annuité est égale à 24640€

) Trouver une relation entre la dernière annuité et le dernier amortissement remboursant un emprunt

Le dernier reste dû doit être égal à 0. Cela signifie que le dernier amortissement doit être égal à l’avant dernier reste.

Or cet avant dernier reste sert à calculer le dernier intérêt versé, qui est donc égal au dernier amortissement multiplié par le taux d’intérêt.

La dernière annuité remboursant un emprunt est donc égale au dernier amortissement multiplié par (1 + i)



100 000,00

) Montrer que la valeur actualisée par la suite d'annuités remboursant cet emprunt une période avant le versement de la première annuité est égale au capital emprunté

En effet : 27 000 1,12-1 + 25 200 1,12-2 + 23 400 1,12-3 + 39 600 1,12-4 + 24 640 1,12-5 = 100 000


La onzième annuité remboursant un emprunt se décompose ainsi :


Sachant que le taux d'intérêt de cet emprunt est égal à 5,75% et que les annuités sont constantes, calculer le montant

du capital emprunté et le nombre d'annuités de remboursement

Nous avons vu à l’exercice ref MF-06-01 c) b ) que si les annuités étaient constantes, les amortissements étaient en progression géométrique de raison (1 + i)

Nous avons donc m11 = 78 676,20 = m1 x 1,057510 d’où m1 = 44 982,09

L’annuité constante étant égale à m11 + I11 = 110 033,68 = m1 + I1, nous obtenons I1 = 65 051,59

Ce premier intérêt étant calculé sur le capital emprunté K, nous arrivons à K = 1 131 332,00

Nous savons que le total des amortissements est égal au capital emprunté, nous avons donc, comme ces amortissements sont en progression géométrique de raison (1 + i) :

Nous obtenons ainsi n = 16

Il s’agit donc d’un capital de 1 131 332€ remboursé par le versement de 16 annuités constantes calculées à 5,75%


La Société EREISOP a contracté un emprunt amortissable en 20 ans par le paiement d'annuités constantes et immédiates.

a) Sachant que les onzième et douzième amortissements se chiffrent respectivement à 250 074€ et 257 576,22 €, calculer le montant du capital emprunté.


Donc m12 = m11 x (1 + i) soit 257 576,22 = 250 074 x (1 + i) d’où i = 0,03

Nous en déduisons également que m1 = m11 x 1,03-10 = 186 078,54

Le total des amortissements est égal au capital K emprunté :

Dans notre cas, K = 5 000 000

La Société EREISOP a donc emprunté 5 000 000€ à 3%

b) Cette Société décide de payer en une seule fois, au début de la 13 ième année, le capital restant dû à ce moment. Calculer le montant de ce versement.

En début de 13ème année, la Société EREISOP a déjà payé 12 annuités. Le capital C restant dû à ce moment est donc égal au capital emprunté diminué de la somme des 12 premiers amortissements ou, encore, la somme des 8 derniers amortissements.

Nous trouvons anosi C = 2 359 167,84

En début de 13ème année, la Société EREISOP fera un versement de 2 359 167,84€ pour amortir complètement son

emprunt. Exercice ref MF-06-04




de l'amortissement.

L’intérêt payé la dernière année In est calculé sur l’avant dernier reste dû Rn-1, lui même égal au dernier amortissement mn (le dernier reste dû est nul)

L’intérêt payé l’avant dernière année In-1 est calculé sur l’antépénultième reste dû Rn-2, lui même égal à la somme des deux derniers amortissements mn + mn-1 (le dernier reste dû est toujours nul)

Ci-dessus n représente le nombre d’annuités remboursant cet emprunt.

Nous savons également grâce à l’exercice ref MF-06-01 c) b ) que :si les annuités sont constantes, les amortissements sont en progression géométrique de raison (1 + i)

Nous arrivons ainsi au système suivant (i représente le taux annuel) :

L’intérêt I1 payé la première année est calculé sur le capital total emprunté K et l’intérêt I2 payé la deuxième année est

calculé sur le capital K diminué du premier amortissement m1. Nous avons donc I1 = K x i et I2 = (K – m1) x i

Nous arrivons ainsi à l’équation : I1 - I2 = m1 x i = 433,23 donc m1 = 2 548,41

L’annuité constante étant égal à 7 648,07, nous obtenons alors I1 = 5 099,66 et donc K = 29 998,00

Nous avons également mn = m1 x (1 + i)n-1 soit 6 536,76 = 2 548,41 x 1,17n-1 d’où n = 7

Il s’agit donc d’un capital de 29 998€ emprunté à 17% et remboursé par le paiement de 7 annuités immédiates et constantes d’un montant de 7 648,07€ Exercice ref MF-06-05

Un industriel emprunte le 1er janvier 1998 un certain capital qu'il doit rembourser en 10 annuités constantes à partir du 1er janvier 1999

La somme des deux premiers amortissements est égale à 18 520,17 € et la somme des 2 ième et 3ième amortissements est égale à 20 649,99 €

Calculer toutes les données de cet emprunt

Nous avons, en désignant par i le taux d’intérêt supporté par cet emprunt :

m1 + m2 = 18 520,17 et m2 + m3 = 20 649,99


Donc m2 + m3 = (m1 + m2) x (1 + i) soit 20 649 ,99 = 18 520,17 x (1 + i) d’où i = 0,115

De plus m1 + m2 = 18 520,17 = m1 + m1 x (1 + i) = m1 x (2 + i) d’où m1 = 8 756,58

Le capital total emprunté K est égal à la somme des amortissements :

Il s’agit donc d’un emprunt de 150 000€ remboursé par le versement de 10 annuités constantes et immédiates calculées

à 11,5% Exercice ref MF-06-06

Un emprunt amortissable en 25 ans par annuités constantes et immédiates est tel que le premier amortissement est égal à 3 024,12€ alors que le troisième amortissement est égal à 3 930,15€

a) Trouver le taux nominal de cet emprunt

Nous savons grâce à l’exercice ref MF-06-01 c) b ) que :si les annuités sont constantes, les amortissements sont en progression géométrique de raison (1 + i)

Par conséquent m3 = m1 x (1 + i)2 soit 3 930,15 = 3 024,12 x (1 + i)2 d’où i = 0,14

Le taux nominal de cet emprunt est égal à 14%

b) Calculer le capital emprunté sachant que l'annuité constante est égale à 80 024,12 €

L’annuité constante étant égale à 80 024,12 et le premier amortissement égal à 3 024,12, nous en déduisons que le premier intérêt est égal à 77 000

Ce premier intérêt étant calculé sur le capital total emprunté K, nous en déduisons que 77 000 = 0,14 x K d’où K = 550 000

Le capital emprunté est égal à 550 000€

c) c) Combien vaut le 25ième et dernier amortissement ?

Nous avons m25 = m1 x (1 + i)24 = 3 024,12 x 1,1424 = 70 196,50

Le dernier amortissement est égal à 70 196,50€

d) Quel est le montant du capital dû immédiatement après le paiement de la 20eme annuité ?

Le capital C dû immédiatement après le paiement de la 20ème annuité est égal au capital total emprunté diminué de la somme des 20 premiers amortissement :

Nous trouvons anosi C = 274 729,70

Le capital dû immédiatement après le paiement de la 20ème annuité est égal à 274 729,70€.


La 13ième annuité remboursant un emprunt se décompose ainsi :


Sachant que le taux d'intérêt de cet emprunt est égal à 13% et que les annuités sont constantes, calculer le montant du

capital emprunté et le nombre d'annuités de remboursement


Nous avons donc m13 = 4 075,27 = m1 x 1,1312 d’où m1 = 940,19

L’annuité constante étant égale à m13 + I13 = 5 880,19 = m1 + I1, nous obtenons I1 = 4 940,00

Ce premier intérêt étant calculé sur le capital emprunté K, nous arrivons à K = 38 000,00

Nous savons que le total des amortissements est égal au capital emprunté, nous avons donc, comme ces amortissements sont en progression géométrique de raison (1 + i) :

Nous obtenons ainsi n = 15

Il s’agit donc d’un capital de 38 000€ remboursé par le versement de 15 annuités constantes calculées à 13%





de l'amortissement.

L’intérêt payé la dernière année In est calculé sur l’avant dernier reste dû Rn-1, lui même égal au dernier amortissement mn (le dernier reste dû est nul)

L’intérêt payé l’avant dernière année In-1 est calculé sur l’antépénultième reste dû Rn-2, lui même égal à la somme des deux derniers amortissements mn + mn-1 (le dernier reste dû est toujours nul)

Ci-dessus n représente le nombre d’annuités remboursant cet emprunt.


Nous arrivons ainsi au système suivant (i représente le taux annuel) :

L’intérêt I1 payé la première année est calculé sur le capital total emprunté K et l’intérêt I2 payé la deuxième année est

calculé sur le capital K diminué du premier amortissement m1. Nous avons donc I1 = K x i et I2 = (K – m1) x i

Nous arrivons ainsi à l’équation : I1 - I2 = m1 x i = 697,18 donc m1 = 5 809,85

L’annuité constante étant égal à 20 209,9, nous obtenons alors I1 = 14 400,05 et donc K = 120 000,82

Nous avons également mn = m1 x (1 + i)n-1 soit 18 044,56 = 5 809,85 x 1,12n-1 d’où n = 11

Il s’agit donc d’un capital de 120 000,82€ emprunté à 12% et remboursé par le paiement de 11 annuités immédiates et constantes d’un montant de 20 209,90€ Exercice ref MF-06-09

Une personne emprunte 25 000€ à 12% remboursables par le versement de sept annuités immédiates en progression géométrique de raison 1,1

Dresser le tableau d'amortissement de cet emprunt

Dans l’exercice ref MF-05-04 nous avons remarqué que la valeur acquise X (2 ans après le versement de la dernière) par une suite de n annuités en progression géométrique (la première est égale à a) de raison q placé à un taux i était égale à :

Nous pouvons aussi remarquer que, comme les annuités sont immédiates, le capital emprunté K est encore égal à X (1

+ i)-n

Comme, dans notre cas, (1 + i) = 1,12 ¹ q = 1,1 nous avons :

D’où le tableau d’amortissement :

Annuités Amortissements Intérêts Restes dûs1 4 219,43 1 219,43 3 000,00 23 780,572 4 641,38 1 787,71 2 853,67 21 992,863 5 105,51 2 466,37 2 639,14 19 526,494 5 616,06 3 272,89 2 343,18 16 253,605 6 177,67 4 227,24 1 950,43 12 026,376 6 795,44 5 352,27 1 443,16 6 674,097 7 474,98 6 674,09 800,89 0,00

25 000,00


Un emprunt de 50 000€ à 20% est remboursable en dix annuités immédiates. Les cinq premières annuités sont égales entre elles et les cinq dernières sont également égales entre elles mais la sixième excède la cinquième de 1000€

a) Calculer le montant de la première annuité

Le schéma correspondant à ce problème est le suivant :

Grace à l’exercice ref MF-05-02, nous pouvons écrire (Nous désignons par K le capital total emprunté et par i le taux d’intérêt) :

Comme la 6ème annuité excède la 5ème de 1 000, nous avons :

La première annuité est égale à 11 639,47€

b) Dresser le tableau d'amortissement de cet emprunt

D’où le tableau d’amortissement de cet emprunt :

Annuités Amortissements Intérêts Restes dûs1 11 639,47 1 639,47 10 000,00 48 360,532 11 639,47 1 967,36 9 672,11 46 393,173 11 639,47 2 360,83 9 278,63 44 032,344 11 639,47 2 833,00 8 806,47 41 199,345 11 639,47 3 399,60 8 239,87 37 799,746 12 639,47 5 079,52 7 559,95 32 720,227 12 639,47 6 095,42 6 544,04 26 624,808 12 639,47 7 314,51 5 324,96 19 310,309 12 639,47 8 777,41 3 862,06 10 532,8910 12 639,47 10 532,89 2 106,58 0,00

50 000,00

c) Déterminer la loi suivie par tous les amortissements remboursant cet emprunt

Nous avons vu à l’exercice ref MF-06-01 c) b ) que si les annuités sont constantes, les amortissements sont en progression géométrique de raison (1 + i)

Nous avons donc pour p = 1 à 4 et pour p = 5 à 9 mp+1 = mp x (1 + i)

Nous savons également que a6 = a5 + 1000 soit m6 + R5 x i = (m5 + R4 x i) + 1000

Comme R5 = R4 - m5, nous obtenons : m6 + (R4 – m5) x i = (m5 + R4 x i) + 1000 d’où m6 = m5 x (1 + i) + 1000

Nous avons trouvé le moyen de passer d’un amortissement à son successeur : nous avons trouvé la loi suivie par les amortissements.


Monsieur EREISOP emprunte un capital de 450 000€ remboursables en 8 ans à 9% et opte pour la procédure du remboursement final.

a) Dresser le tableau d'amortissement de cet emprunt

Dans le cas d’un remboursement final, tous les amortissements sont nuls sauf le dernier qui est égal au capital total emprunté.

D’où le tableau d’amortissement de cet emprunt :

Annuités Amortissements Intérêts Restes dûs1 40 500,00 0,00 40 500,00 450 000,002 40 500,00 0,00 40 500,00 450 000,003 40 500,00 0,00 40 500,00 450 000,004 40 500,00 0,00 40 500,00 450 000,005 40 500,00 0,00 40 500,00 450 000,006 40 500,00 0,00 40 500,00 450 000,007 40 500,00 0,00 40 500,00 450 000,008 490 500,00 450 000,00 40 500,00 0,00

450 000,00

b) Dans le même temps, et dans le but de mieux répartir sa charge d'emprunt, Monsieur EREISOP se constitue un fonds d'amortissement à 5% en versant annuellement sur un compte d'épargne une somme constante A de manière à ce que la charge d'emprunt annuelle soit constante

) Calculer A

Le versement des 8 annuités égales à A doivent permettre à Monsieur EREISOP de disposer de 450 000€ au moment du paiement du dernier amortissement de cet emprunt.

Les placements rapportant 5% l’an, nous devons avoir :

Monsieur EREISOP devra donc verser 8 annuités de 47 124,82€ pour se constituer son fonds

d’amortissement.

) Quel est le taux effectif de cet emprunt ?

La charge annuelle de cet emprunt est, pour Monsieur EREISOP, égale à 40 500 + 47 124,82, soit 87 624,82€

Le taux effectif i de cet emprunt est donc solution de l’équation :

Le taux effectif de cette opération financière est donc égal à 11,06%

) Si vous étiez dans le cas de Monsieur EREISOP et que vous voudriez rembourser votre emprunt en 8 versements constants, auriez-vous fait le choix de Monsieur EREISOP ? Quel aurait été votre choix ? Pourquoi ?

Non, je n’aurai pas fait le choix de Monsieur EREISOP, j’aurai choisi de rembourser cet emprunt par 8 annuités constantes x calculées à 9%

L’annuité constante aurait été solution de l’équation :

Ma charge annuelle aurait ainsi été inférieure de 6 321,35€ (87 624,82 - 81 303,47)

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EXERCICES EMPRUNTS INDIVIS