Page 1 sur 12

Exercices géométrie 3ème : Exercice 1 :

Dans la figure ci-contre, qui n’est pas à l’échelle :

Les points D,P et A sont alignés ;

Les points K,H et A sont alignés ;

DA = 60 cm

DK = 11 cm

DP = 45 cm

1. Calculer KA au millimètre près.

2. Calculer HP.

Exercice 2 : 6 points

Soit un cercle de diamètre [KM] avec KM = 6 cm.

Soit L un point L sur le cercle tel que KL = 3 cm.

1. Faire une figure en vraie grandeur.

2. Déterminer l’aire en cm² du triangle KLM. Donner la valeur exacte puis un arrondi au cm² près.

Exercice 3 : (6,5 points) ( utilise la proportionnalité)

La gélule est une forme de médicamenteuse utilisée quand

le médicament qu’elle contient a une odeur forte ou un goût

désagréable que l’on souhaite cacher.

On trouve des gélules de différentes calibres. Ces calibres

sont numérotés de « 000 » à « 5 » comme le montre

l’illustration ci-contre ( « 000 » désignant le plus grand

calibre et « 5 » le plus petit).

Le tableau suivant donne la longueur de ces différents calibres de gélule :

On considère une gélule constituée de deux demi-sphères identiques de 9,5

mm et d’une partie cylindrique d’une hauteur de 16,6 mm comme l’indique le

croquis ci-contre.

1. A quelle calibre correspond cette gélule ? Justifier votre réponse.

2. Calculer le volume arrondi au mm3 de cette gélule.

3. Robert tombe malade et son médecin lui prescrit une boîte

d’antibiotique conditionné en gélules correspondant au croquis ci-

contre.

Chaque gélule de cet antibiotique a une masse volumique de

6,15×10-4

g/mm3. La boîte d’antibiotique contient trois plaquettes de 6

gélules.

Quelle masse d’antibiotique Robert a-t-il absorbée durant son traitement ?

Donner le résultat en grammes arrondi à l’unité.

Page 2 sur 12

Exercice 4 :

Un agriculteur produit des bottes de pailles parallélépipédiques.

Information 1 : Dimensions des bottes de pailles :

90 cm ×45 cm ×35 cm.

Information 2 : le prix de la paille est de 40 euros par tonne.

Information 3 : 1m3 de paille a une masse de 90 kg.

1. Justifier que le prix d’une botte de paille est de 0,51 euro ( arrondi au

centime).

2. Marc veut refaire l’isolation de la toiture d’un bâtiment avec des bottes de

pailles parallélépipédiques.

Le bâtiment est un prisme droit dont les dimensions sont données sur le

schéma ci-dessous.

Il disposera les bottes sur la surface correspondant à la zone grisée, pour

créer une isolation de 35 cm. Pour calculer le nombre de bottes de paille

qu’il doit commander, il considère que les bottes sont disposées les unes

contre les autres. Il ne tient pas compte de l’épaisseur des planches entre

lesquelles il insère les bottes.

a) Combien de bottes devra-t-il commander ?

Quel est le coût de la paille nécessaire pour isoler le toit ?

Exercice 5 : Pierre vient d’acheter un terrain dont on peut assimiler la

forme à la figure ci-contre, où ABDE est un rectangle et

BDC est un triangle rectangle en D.

Il souhaite mettre du gazon. Pour cela Il veut acheter un

produit qui se présente en sac de 15kg om il est écrit : « 1 kg

pour 35 m² ».

1. Combien de sac de gazon devra-t-il acheter ?

2. De plus il voudrait grillager le contour de son

terrain. Il dispose de 150 m de grillage. Est-ce

suffisant ? Justifier avec soin.

Exercice 6 :

Document 1 : Extrait de la liste alphabétique des élèves de 3ème

4 et d’informations relevées en EPS pour

préparer des épreuves d’athlétisme.

Document 2 :

Dans le croquis ci-contre, l tiki représente Moana,

élève de 3ème

4. Moana a d’abord posé sur le sol, à

partir de cocotier, des noix de coco régulièrement

espacés à chacun de ses pas, puis il s’est ensuite

placé exactement comme indiqué sur le croquis, au

niveau de la 7ème

noix de coco.

Les droites portées par le cocotier et Moana sont

parallèles.

A l’aide des informations qui proviennent des

documents précédents, calcule la hauteur du

cocotier en expliquant ta démarche.

Page 3 sur 12

Exercice 7 :

Pour trouver la hauteur d’une éolienne, on a les

renseignements suivants :

- Les points O,A,C sont alignés

- Les points O,B,D sont alignés

- Les angles OAB et ACD sont droits

- OA = 11 m ; AC = 594 m ; AB = 1,5 m

- ( le schémas n’est pas à l’échelle, le segment [CD]

représente l’éolienne)

1. Expliquer pourquoi les droites (AB) et ( CD) sont

parallèles.

2. Calculer la hauteur CD de l’éolienne.

Exercice 8 :

La figure ci-contre est volontairement inexacte. Les points B,C,D sont alignés.

1) Démontrer que le triangle ACD est rectangle en C.

2) Calculer la mesure de l'angle CBA au degré près.

3) Quelle est la nature du triangle ABD ? Justifier.

En déduire, sans nouveau calcul, une valeur approchée de la mesure de

l'angle BAD.

4) Calculer l’aire du triangle ABD.

Exercice 9 : On considère un cercle de centre O.

[AB] est un diamètre de ce cercle tel que AB = 10 cm

( on a donc OA = 5cm ).

C est un point de ce cercle tel que : AC = 5 cm.

a) Quelle est la nature du triangle ABC ? ( Justifier) (1 point )

b) Calculer la mesure de l'angle CBA ( 1 point )

[CH] est la hauteur issue de C dans le triangle ACO.

c) Prouver que le triangle ACO est équilatéral. ( 1,5 point)

En déduire la mesure de l'angle CAH. ( 0,5 point)

d) A l'aide de l'angle CAH, calculer AH. ( 1 points )

e) H est sur le cercle de diamètre [ BC] : Justifier. ( 1 point)

Exercice 10 : ( 6 points) ABC et CDE sont des triangles équilatéraux de côté 6 cm. A,C,E sont alignés.

1. Faire une figure en vraie grandeur.

2. Prouver que les points A,B,D et E sont sur un

même cercle.

3. Prouver que le triangle ABE est un triangle

rectangle.

4. Calculer BE.

5. Prouver que le triangle BCD est équilatéral.

Page 4 sur 12

Exercice 11 : Voici le parcours de cross du collège La Bounty schématisé par la figure ci-dessous :

1. Montrer que la longueur NT est égale à

194 m.

2. On considère le parcours : BONTYB.

Les élèves de 3ème

doivent effectuer 4

tours de parcours.

Calculer la longueur totale de la course.

3. Terii le vainqueur de la course des

garçons de 3ème

a effectué sa course en

10 minutes et 42 secondes. Calculer sa

vitesse moyenne et l’exprimer en m/s.

Arrondir au centième.

4. Si Terii maintenait sa vitesse moyenne,

penses-tu qu’il pourrait battre le

champion Georges Richmond qui a

gagné dernièrement la course sur 15 km des Foulées du Front de mer en 55minutes et 11 secondes.

Exercice 12 :

Les gérants d’un centre commercial ont construit un parking souterrain et souhaitent installer un trottoir

roulant pour accéder de

ce parking au centre

commercial.

Les personnes ne doivent

pas mettre plus de

1minute pour accéder au

centre commercial.

La situation est

représentée par le schéma

ci-contre.

Est-ce que l’un de ces

deux modèles peut

convenir ? Justifier.

Exercice 13 : Les terrains A et B ont la même aire.

Le terrain A ( ABCD) est tel que :

AD = 52 cm ; DC = 25 cm et BC = 60 cm.

Le terrain B est un carré.

Quel est celui qui a le plus grand périmètre ?

Exercice 14 :

Deux récipients ont le même volume.

L'un a la forme d'un cylindre de hauteur 10 cm et de rayon de base 6 cm.

L'autre a la forme d'un cône de rayon de base 6 cm.

1. Quel est le volume du récipient cylindrique?

2. Quelle est la hauteur du récipient conique?

A

B

D

C

Page 5 sur 12

Exercice 15 : ( 6 points) On considère un sablier composé de deux cônes identiques de même sommet C

et dont le rayon de la base est AK = 1,5cm. Pour le protéger, il est enfermé dans

un cylindre de hauteur 6 cm et de même base que les deux cônes.

1) On note V le volume du cylindre et V1 du sablier. Tous les volumes

seront exprimés en cm3.

a. Montrer que la valeur exacte du volume du cylindre est de 13,5π.

b. Montrer que la valeur exacte de V1 est 4,5π.

c. Quelle fraction du volume du cylindre, le volume du sablier occupe-t-il ?

( on donnera le résultat sous le forme d’une fraction irréductible).

2) On a mis 27 cm3 de sable dans le sablier. Sachant que le sable s’écoule

d’un cône à l’autre avec un débit de 540cm3/h, quel temps sera mesuré

par ce sablier ?

Exercice 16 : A Pise vers 1 200 après J.C (problème attribué à

Léonard de Pise, dit Fibonacci, mathématicien italien du moyen

âge).

Une lance de 20 pieds, est posée verticalement le long d’une tour

considérée comme perpendiculaire au sol. Si on éloigne

l’extrémité de la lance qui repose sur le sol de 12 pieds de la

tour, de combien descend l’autre extrémité de la lance le long du

mur ?

Un pied est une unité de mesure anglo-saxonne valant environ

30cm.

Exercice 17 : ( 8 points ) Une famille de

quatre personnes hésite entre deux

modèles de piscine. Elle regroupe les

informations afin de prendre sa décision.

1. Chacun des modèles proposées

impose-t-il une démarche

administrative ?

2. Les quatre membres de la famille

veulent se baigner en même temps.

Expliquer pourquoi dans ce cas la

famille doit prendre la piscine

octogonale.

3. On commence le remplissage de

cette piscine le vendredi à 14h00, on

laisse couler la nuit jusqu’au samedi

matin à 10h00. La piscine va-t-elle

déborder ?

Page 6 sur 12

Correction feuille exercices géométrie : Exercice 1 :

1. Dans le triangle KDA rectangle en K, d’après le théorème de Pythagore, on a :

DA² = DK² + KA² soit 3600 = 121 + KA² KA² = 3 479 KA = 3479 ~ 59 cm

2 . On a : PA = DA – DP = 15 cm

Les droites ( PH) et (DK) sont perpendiculaires à la même droite (KA) donc (PH) et (DK) sont parallèles.

Les points K,H,A et D,P,A sont alignés dans le même ordre

Les droites (PH) et ( DK) sont parallèles d’après le théorème de Thalès on a : AP

DA =

AH

KA =

PH

DK soit

15

60 =

AH

3479 =

PH

11

Calcul de PH : 15

60 =

PH

11 PH =

11×15

60 = 2,75 cm.

Exercice 2 :

L est un point du cercle de diamètre [KM] donc le triangle KLM est rectangle en L.

Aire KLM = KL×LM

2 =

3×LM

2

On doit donc calculer LM :

Dans le triangle KLM rectangle en L, d’après le théorème de Pythagore, on a :

KL² + LM² = KM² 9 + LM² = 36 LM² = 27 LM = 27 cm

D’où aire KLM = 3× 27

2 = 1,5 27 cm² ≈ 8 cm²

Exercice 3 : (6,5 points) ( utilise la proportionnalité)

1. On a : L = 16,6 + 9,5 = 26,1 ce qui correspond à la gélule de calibre « 000 ».

2. Volume de la gélule :

Volume des deux demi-sphères : 4

3π× 4,753

3 =

6859

48 π mm

3

Volume du cylindre : aire de la base = π× 4,75² = 22,5625π cm² h = 16,6 cm

Donc volume du cylindre = 22,5625π ×16,6 = 374,5376π mm3

Volume de la gélule = 4

3π× 4,753

3 + 374,5376π ≈ 1 626 mm

3

3. Pierre devra prendre 6×3 = 18 gélules ce qui correspond à un volume de

environ 29 268 mm3

Masse en g 6,15×10-4

≈ 18 Pierre absorbera environ

Volume en

mm3

1 29 268 18 g de médicament.

Page 7 sur 12

Exercice 4 :

1. Volume d’une botte de pailles : 90×45×35 = 141 750 cm3 = 0,141750 m

3

Volume

en m3

1 0,141750

Masse d’une botte de

paille :

Masse paille

en kg 1 000 12,7575 Prix d’une

botte de

paille :

Masse

en kg 90 12,7575

12,7575 kg Prix en

euros 40 ≈0,51

0,51€

2. a. On note D le point manquant sur le « coin » de la maison tel que IJD soit un triangle rectangle en I.

On a : AI = GC et ID = AB on a : IJ = JA – AI = 2,7 m et ID = 3,6 m

Dans le triangle IJD rectangle en I, d’après le théorème de Pythagore, on a :

JD² = IJ² + ID² soit JD² = 7,29 + 12,96 JD² = 20,25 JD = 4,5 m.

Pour créer une isolation de 35 cm, on pose les bottes de paille avec les dimensions 90 cm ×45 cm sur le

toit.

En longueur ( 15,3 m ) on peut disposer : 15,3 ÷ 0,9 = 17 bottes de paille

En largeur ( 4,5 m ) , on peut disposer : 4,5 ÷ 0,45 = 10 bottes de paille

En tout on a : 10×17 = 170 bottes de paille.

b. Une botte de paille coûte 0,51 euros donc 170 bottes de paille coûtent 170×0,51 = 86,70 euros.

Exercice 5 :

1. Aire du terrain = Aire ABDE + aire de BDC = AB×AE + BD×DC

2

or AB = ED ( ABDE est un rectangle) donc DC = EC – ED = 30m

Donc aire du terrain = 20 ×40 + 40×30

2

Aire du terrain = 1 400 m²

1 sac pèse 15 kg or il faut 1 kg pour 35 m² donc il faut 1 sac pour

15×35 = 525 m².

Nombre de sacs 1 ≈3 Pierre devra acheter 3 sac.

Surface en m² 525 1400

2.Longueur de la surface à grillager = CE + EA + AB + BC

Il faut donc que l’on calcule BC :

Dans le triangle BDC rectangle en D, d’après le théorème de

Pythagore, on a :

BD² + DC² = BC².....................BC = 50 m.

Donc la longueur à grillager est de : 50 + 40 +20 +50 = 160 m : 150 m ne suffira donc pas !

Exercice 6 :

Sur le schémas ci- contre :

[DA] représente le cocotier

[EC] représente Moana

On a donc :

- EC = 1,80 m = 180 cm

- (EC) // (DA)

- BC = 3 pas (« distances de cocotiers »)

- AB = 10 pas ( « distances de cocotiers »)

On a donc : BC

BA =

3 pas

10 pas =

3

10

Les points D,E,B et A,C,B sont alignés dans le même ordre les droites (EC) et (DA) sont parallèles, d’après

le théorème de Thalès, on a : BE

BD =

BC

BA =

EC

DA soit

BE

BD =

3

10 =

1,80

DA DA =

10×1,80

3 = 6 m : le cocotier mesure 6 m.

Page 8 sur 12

Exercice 7 :

Les droites (DC) et (BA) sont perpendiculaires à la

même droite (OC) donc elles sont parallèles.

On a : OC = OA + AC = 605 m.

Les points O,B,D et O,A,C sont alignés dans le même

ordre

Les droites (BA) et (CD) sont parallèles, d’après le

théorème de Thalès, on a : OB

OD =

OA

OC =

AB

DC soit

OB

OD =

11

605 =

1,5

DC

Calcul de DC : 11

605 =

1,5

DC DC =

605×1,5

11 = 82,5

La hauteur de l’éolienne est de 82,5 m.

Exercice 8 :

La figure ci-contre est volontairement inexacte.

1) Démontrer que le triangle ACD est rectangle en C.

Dans le triangle ACD, le plus grand côté est : [AD]

AC² + CD² = 156,25 AD² = 156,25

Donc AC² + CD² = AD² d’après la réciproque du théorème de

Pythagore, le triangle ACD est rectangle en C.

2) Comme le triangle ACD est rectangle en C, les points B,C et D

sont alignés donc le triangle ACB est aussi rectangle en C .

Dans le triangle BCA rectangle en C, on a : tan ABC = AC

BC

Tan ABC = 5

10 ABC ≈ 27°

3) On a : BD = BC + CD = 12,5 = AD : donc le triangle ABD est isocèle en D.

On a donc : BAD = ABD ≈ 17°

4) aire du triangle ABD = BD×AC

2 = 62,5 cm²

Exercice 9 : On considère un cercle de centre O.

[AB] est un diamètre de ce cercle tel que AB = 10 cm

( on a donc OA = 5cm ).

C est un point de ce cercle tel que : AC = 5 cm.

a) C est un point du cercle de diamètre [AB] donc le triangle ABC

est rectangle en C.

b) Dans le triangle ABC rectangle en C, on a : sin CBA = CA

AB

Sin CBA = 5

10 CBA = 30°

c) On a : AO = OC = 5 cm ( rayon du cercle ) et AC = 5 cm donc on a : AC = AO = OC le triangle

AOC est donc équilatéral.

AOC étant équilatéral tous ses angles mesurent 60° d’où : CAH = 60°.

d) Dans le triangle ACH rectangle en H, on a : cos CAH = AH

AC cos 60° =

AH

5 AH = 5 cos60°

AH = 2,5 cm.

e) Le triangle BCH est rectangle en H donc H est sur le cercle de diamètre [BC] .

Page 9 sur 12

Exercice 10 : ( 6 points) ABC et CDE sont des triangles équilatéraux de côté 6 cm. A,C,E sont alignés.

1. Faire une figure en vraie grandeur.

2. Les triangles ABC et CDE sont des triangles équilatéraux de côtés 6 cm

donc on a : AB = AC = BC = CD = DE = CE = 6 cm

les points A,B,D et E sont sur un même cercle de centre C et de rayon 6cm.

3. B est sur le cercle de diamètre [AE] donc le triangle ABE est rectangle

en B.

4. AE = AC + CE = 12 cm

Dans le triangle ABE rectangle en B, d’après le théorème de Pythagore,

on a : AB² + BE² = AE² ................... BE = 108 cm

5. On a : BC = CD : BCD est isocèle en C.

Comme les triangles ABE et CDE sont équilatéraux on a : BCA = DCE = 60°

A,C et E sont alignés donc on a : BCA + BCD + DCE = 180° ..... BCD = 60°

Le triangle CDE est un triangle isocèle avec de 60° donc le triangle CDE est équilatéral.

Exercice 11 :

1. Le quadrilatère OUYB a trois angles

droits donc c’est un rectangle. On a :

OU = BY et OB = OY

UN = ON – OU = 234 -90 = 144 m

UT = UY – TY = 155 – 25 = 130 m

Dans le triangle UNT rectangle en U,

d’après le théorème de Pythagore, on a :

UN² + UT² = TN² soit

20 736 + 16 900 = TN²

TN² = 37 636 TN = 37636 = 194 m.

2. Le départ et l’arrivée de chaque

course se trouvent au point B.

Calcul de la longueur du parcours. : BO +

ON + NT + TY + YB = 698 m .

Les élèves de 3ème

doivent effectuer 4 tours de parcours. La longueur totale de la course est donc de :

4×698 = 2 792 m.

3. Terii le vainqueur de la course des garçons de 3ème

a effectué sa course en 10 minutes et 42 secondes.

10 minutes 42 secondes = 10×60 + 42 = 642 secondes

Distance en m 2792 ≈4,35 Terii a couru à environ 4,35 m/s.

Temps en s 642 1

4. Si Terii maintenait sa vitesse moyenne, penses-tu qu’il pourrait battre le champion Georges

Richmond qui a gagné dernièrement la course sur 15 km des Foulées du Front de mer en 55minutes

et 11 secondes.

Calculons la vitesse de Richmond en m/s :

15km = 15 000 m et 55 minutes 11 secondes = 3311 secondes

Distance en m 15 000 ≈4,53 Richmond a une vitesse moyenne de 4,53 m/s.

Durée en seconde 3311 1

Même si Terii maintenait sa vitesse il ne pourrait pas battre Richmond

Page 10 sur 12

Exercice 12 :

Les gérants d’un centre commercial ont construit un parking souterrain et souhaitent installer un trottoir

roulant pour accéder de

ce parking au centre

commercial.

Les personnes ne doivent

pas mettre plus de

1minute pour accéder au

centre commercial.

La situation est

représentée par le schéma

ci-contre.

Est-ce que l’un de ces

deux modèles peut

convenir ? Justifier.

Dans le triangle CPH rectangle en H, d’après le théorème de Pythagore, on a : PC² = PH² + HC² ......

PC = 641 PC ≈ 25,31 m ( longueur du tapis).

Angle d’inclinaison : tan CPH = CH

PH tan CPH =

4

25 CPH≈9° : le modèle 2 ne peut donc pas convenir.

Vérifions la vitesse pour le modèle 1 :

Distance en m 0,5 25,31 Le modèle 1 convient donc.

Temps en s 1 50,62 < 60

Exercice 13 : Les terrains A et B ont la même aire.

Le terrain A ( ABCD) est tel que :

AD = 52 cm ; DC = 25 cm et BC = 60 cm.

Le terrain B est un carré.

Quel est celui qui a le plus grand périmètre ?

Dans le triangle BDC rectangle en C calcul de BD : BD = 65 cm

Dans le triangle ABD rectangle en A calcul de AB : AB = 39 cm

Périmètre du terrain A = 60 + 25 + 52 + 39 = 176

Aire du terrain A = aire ABD + aire BDC = 1764 cm²

Donc aire B = 1 764 cm² ( aire B = aire A) or le terrain B est un carré donc si son aire est de 1 764 cm²

son côté mesure : 1764 = 42 cm

Le périmètre du terrain B est donc de : 4 × 42 = 168 cm

C’est donc le terrain A qui a le plus grand périmètre.

Exercice 14 :

Deux récipients ont le même volume.

L'un a la forme d'un cylindre de hauteur 10 cm et de rayon de base 6 cm.

L'autre a la forme d'un cône de rayon de base 6 cm.

1. Volume du récipient cylindrique :

Aire de la base = 9π cm² hauteur = 10 cm donc le volume est : 9π×10 = 90π cm3

2. Aire de la base du récipient conique = 9π cm²

Volume du récipient conique = 1

3 aire de la base ×hauteur on obtient donc :

90π = 1

3×9π× h ( les deux récipients ayant le même volume) soit 90π = 3πh h =

9π

3π = 3cm.

A

B

D

C

Page 11 sur 12

Exercice 15 : ( 6 points) On considère un sablier composé de deux cônes identiques de même sommet C

et dont le rayon de la base est AK = 1,5cm. Pour le protéger, il est enfermé dans

un cylindre de hauteur 6 cm et de même base que les deux cônes.

3) On note V le volume du cylindre et V1 du sablier. Tous les volumes

seront exprimés en cm3.

a. Volume du cylindre :

Aire base = 1,5²π = 2,25π cm² hauteur = 6 cm

Donc Volume du cylindre = 2,25π× 6 = 13,5π.

b. Aire de la base du cône = 2,25π cm² hauteur = 6÷2 = 3 cm

V1 = 2× 1

3 2,25π × 3 = 4,5π.

c. Le volume du sablier occupe

4,5π

13,5π =

4,5

13,5 =

9

27 =

1

3 du volume du cylindre.

d. On a mis 27 cm3 de sable dans le sablier. Sachant que le sable s’écoule d’un cône à l’autre avec un

débit de 540 cm3/h, quel temps sera mesuré par ce sablier ?

Volume de sable en cm3 540 27 Le sable mettra 3 minutes à s’écouler.

Durée en minutes 60 3

Exercice 16 :

Page 12 sur 12

Exercice 17 : ( 8 points )

1. Surface au sol de la piscine ronde = π×1,70² = 2,89π≈ 9 m²

Surface au sol de la piscine octogonale = 2 2 × 2,2² ≈ 13,7 m²

La piscine octogonale impose donc une démarche administrative.

2. Surface conseillé par baigneur : 3,40 m² donc pour 4 personnes : 13,6 m² : la piscine ronde est donc

trop petite mais la piscine octogonale convient.

3. Volume de la piscine octogonal = aire de la base × hauteur ≈ 16,44 m3 soit environ 16 440 litres.

On commence à remplir à 14h vendredi et on finit à 10h samedi soit on laisse couler l’eau pendant

20heures.

Le débit de l’eau est de 12 litres par minutes soit 720 litres par heure.

Pendant 20heures, on a donc fait couler : 14 400 litres : la piscine n’a donc pas débordée.