c© Christophe Bertault - MPSI Géométrie affine

Exercice 1

Soient E un K-espace vectoriel et (A1, A2, . . . , An) une famille de points de E. On ditque (A1, A2, . . . , An) est affinement génératrice de E si tout point de E est baycentrede A1, A2, . . . , An, et affinement libre si aucun des Ak, k ∈ J1, nK, n’est barycentre desautres. Enfin on dit que (A1, A2, . . . , An) est une base affine de E si cette famille est àla fois affinement libre et affinement génératrice.

1) Montrer que (A1, A2, . . . , An) est affinement génératrice de E (resp. libre) si et

seulement si(−−−→A1A2,

−−−→A1A3, . . . ,

−−−→A1An

)

est génératrice de E (resp. libre).2) Si (A1, A2, . . . , An) est une base affine de E, que vaut la dimension de E ?3) On suppose que (A1, A2, . . . , An) est une base affine de E. Alors tout

point M de E est barycentre de (A1, λ1), (A2, λ2), . . . , (An, λn) pour certainsλ1, λ2, . . . , λn ∈ K. Montrer que les λk, k ∈ J1, nK, sont uniques si leur impose

la conditionn∑

k=1

λk = 1. La famille (λ1, λ2, . . . , λn) est alors appelée la famille des

coordonnées barycentriques de M dans (A1, A2, . . . , An).4) Ici dimE = 2. Soit (A,B,C) une base affine de E et M,M ′,M ′′ trois points de

E de coordonnées barycentriques (α, β, γ), (α′, β′, γ′), (α′′, β′′, γ′′) dans (A,B,C).

Montrer que M , M ′ et M ′′ sont alignés si et seulement si

∣

∣

∣

∣

∣

∣

α β γα′ β′ γ′

α′′ β′′ γ′′

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0.

Exercice 2

Montrer que les ensembles suivants sont des sous-espaces affines :

1){

(x, y, z, t) ∈ R4/ x− y + z + t = 2 et 2x+ y + 2t = 1

}

dans R4.

2){

P ∈ R[X]/ X2P ′′ − 3XP ′ + 4P = 4−X}

dans R[X].

3){

y ∈ C1(R,R)/ ∀x ∈ R, ex2

y′(x) + y(x) = 1}

dans C1(R,R).

Exercice 3

1) Montrer que l’application (x, y, z) 7−→ (x+ 2y − 4z + 5, 2x− z − 3) est affine deR

3 dans R2. Quelle est sa partie linéaire ?

2) Même question avec f 7−→(

1 +

∫ 1

0

f , f ′(0)− 1

)

de C1(

[0, 1],R)

dans R2.

Exercice 4

Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f : E −→ F une application affine.1) Soit A un sous-espace affine de E. Montrer que f(A) est un sous-espace affine

de F .2) Soit B un sous-espace affine de F . Montrer que, s’il n’est pas vide, f−1(B) est un

sous-espace affine de E.

Exercice 5

1) Soient E un R-espace vectoriel et A et B deux parties convexes de E. Montrer quel’ensemble des milieux des segments

[

AB]

, (A,B) décrivant A×B, est convexe.

2) Montrer que le carré [0, 1]2 est une partie convexe de R2.

3) Montrer que{

(x, y) ∈(

R∗

+

)2/ xy > 1

}

est une partie convexe de R2.

Exercice 6

Soit P ∈ C[X] non constant, de racines distinctes z1, z2, . . . , zr dans C.

1) DécomposerP ′

Pen éléments simples, puis montrer que toute racine de P ′ est un

barycentre de z1, z2, . . . , zr à coefficients positifs.2) Interpréter géométriquement ce résultat — c’est le théorème de Gauss-Lucas.

Exercice 7

1) Caractériser géométriquement l’application (x, y, z, t) 7−→

x− 2y + 2z + 2t− 6x− 2y + 2z + 3t− 10x− 2y + 2z + 2t− 7

t

de R4 dans R

4.2) Déterminer une expression explicite de la symétrie de R

3 par rapport au pland’équation x+ y = 1 parallèlement à la droite vectorielle dirigée par (1, 0, 0).

3) Caractériser géométriquement les applications suivantes de R3 dans R

3 :

a) (x, y, z) 7−→

y + 3x− 2−z

. b) (x, y, z) 7−→ 1

2

x− y√2 + z + 2

x√2− z

√2− 2

√2

x+ y√2 + z − 2

.

4) Déterminer une expression explicite du vissage de R3 de vecteur (1, 1, 0), d’axe

orienté par ce vecteur et passant par (1, 1, 1), et d’angle de mesureπ

4.

Exercice 8

Soit E 6={

0E}

un espace euclidien.1) Soient λ > 0 et s une similitude vectorielle de E de rapport λ. Montrer que s est

non nulle et que s préserve l’orthogonalité, i.e. que pour tous x, y ∈ E :

x ⊥ y =⇒ s(x) ⊥ s(y).

2) Soit s un endomorphisme de E non nul qui préserve l’orthogonalité.a) Soit (e, e′) une famille orthonormale de E. Montrer que (e+ e′, e− e′) est alors

une famille orthogonale, puis que∥

∥s(e)∥

∥ =∥

∥s(e′)∥

∥.b) En déduire que s est une similitude vectorielle.

Exercice 9

1) Soit s une similitude directe (resp. indirecte) de l’espace euclidien orienté C.Déterminer une forme de s(z) en fonction de z pour tout z ∈ C.

2) Soient a, b, a′, b′ ∈ C tels que a 6= b et a′ 6= b′. Montrer qu’il existe une et uneseule similitude directe de C transformant a en a′ et b en b′.

3) Déterminer l’expression générale de la similitude directe de rapport 2, de centre

i et d’angle de mesureπ

3.