Exo10 Tableau d Amortissement d Emprunt Suite Geometrique Grahp25

7/23/2019 Exo10 Tableau d Amortissement d Emprunt Suite Geometrique Grahp25

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Tableau damortissement et suite gomtrique

ENONCE :

Afin dtre plus comptitive, une entreprise dcide demprunter 100 000 pour investir dans de

nouvelles machines. Elle souhaite rembourser en 3 ans par mensualits constantes.

1) Taux dintrt mensuel :

Lentreprise cherche quel taux mensuel t elle doit emprunter pour que lannuit soit infrieure

3 000 mensuel.

a) Montrer que cela revient rsoudre linquation : 100 000 t < 3000

1 (1 + t)-36

b) On sintresse la fonction f(t) = 100 000 t pour t compris entre 0,001 et 0,01.

1 (1 + t) 36

Complter le tableau de valeurs suivant :

t 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01f(t) 2829,4 2881,7 3152,1 3207,9 3264,4 3321,4

c) En dduire le taux le plus lev quelle peut avoir, 0,001 prs, pour que les mensualits soient

infrieures 3000 .

2) Tableau damortissement :

Pour le taux retenu dans la question 1), on admet que les amortissements de cet emprunt

A1 , A2, . , A36 correspondantes aux chances 1, 2, , 36 forment suite gomtrique de

premier terme A1= 2588,12 et de raison q = 1,004.

a) Calculer la somme des 36 amortissements. Arrondir le rsultat lunit.

Que constate-t-on ?

b) Lentreprise cherche partir de quelle mensualit de rang n elle aura rembours au moins la

moiti du capital emprunt. Montrer que cela revient crire la condition sur lentier n :

2588,12 x ( 1 1,004n) > 50 000

( 1 1,004)

c) On admet que cette quation se ramne 1,004n> 1,0773 .

En saidant de la calculatrice, trouver lentier n rpondant la question.

d) Ecrire la dernire ligne du tableau damortissement en prenant pour annuit a = 2988,12 .


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Correction avec la calculatrice Graph 25 + :

1) Taux dintrt mensuel

a) On utilise la formule classique : V0 = a (1 (1 + t) n

)

t

Avec V0 : capital emprunt = 1000 000 a : annuit t : taux priodique

On a ainsi : a = V0t < 3000 comme condition sur lannuit

(1 (1+ t)- n

)

On obtient donc lingalit demande : 100 000 t < 3 000

(1 (1 + t)- n)

b) Pour complter le tableau pour la fonction f, on va utiliser lapplication TABLE.

Slectionner dans le menu principal, laide du bouton directionnel , lapplication

TABLEet faire .

Dans le cas o des fonctions sont dj prsentes, il faut les effacer une une en utilisant la

touche ( DEL) et puis (YES) , et se dplacer laide du bouton directionnel .


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Lorsque lcran ne comporte pas de fonctions, utiliser les touches et pour la

variable X, pour saisir la fonction : Y1 = 100 000X/ (1 (1 + X)^(-36))et valider avec .

On va, maintenant, calculer les valeurs de la fonction f pour des valeurs de X comprises

entre 0,001 et 0,01.

Slectionner la touche (RANG) et entrer les donnes : Strt : 0,001 ,

End : 0,01 ,

ptch : 0,001 .

Puis, appuyer sur la touche .

Pour laffichage des donnes on va choisir un affichage adapt en slectionnant

Puis se dplacer avec sur Display et vrifier que Nrm2est bien slectionn.

Sinon faire (Norm) pour afficher Nrm2 .

Faire et slectionner alors la touche (TABL)


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Il apparat ainsi un tableau 2 colonnes.

La colonne X correspond aux valeurs du taux mensuel x.La colonne Y1 correspond aux valeurs de f(x) pour chaque valeur de x.

A laide du bouton directionnel drouler toutes les valeurs vers le bas jusquatteindre la valeur 0,01 pour complter le tableau de valeurs.

Tableau de valeurs

T 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01

f(t) 2829,4 2881,7 2934,6 2988,1 3042 ,1 3096,8 3152,1 3207,9 3264,4 3321,4

c) Pour obtenir des mensualits infrieures 3000 le taux mensuel doit tre au plus de t = 0,004

soit 0,4 % ( ce qui reprsente un taux annuel de 4,8 % ).

2) Tableau damortissement

a) Pour une suite gomtrique, la formule de calcul de la somme des n premiers termes est :

Sn = A1 (1 qn)

(1 q)

Slectionner dans le menu principal, laide du bouton directionnel , lapplication

RUNet faire .

On saisit alors le calcul suivant : 2588,12 (1 (1,004)36

) / (1 1,004) et faire .

On a donc : S36= 2588,12 (1 (1,004)36

) / (1 1,004) = 100 000

On constate un rsultat connu, la somme des amortissements sur la priode de remboursementest gale au montant de lemprunt.


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b) On veut Sn100 000 / 2

Soit : 2588,12 (1 (1,004)n) 50 000

(1 1,004)

c) On va nouveau slectionner TABLE avec le menu et saisir la fonction : g(n) = (1,004)n

Y2 = (1,004)x

On va alors se placer sur la ligne Y1 puis laide de la touche (SEL) dselectionner cettefonction.

On va, maintenant, calculer les valeurs de la fonction g pour des valeurs de X comprises

entre 1 et 36.

Slectionner la touche (RANG) et entrer les donnes : Strt : 1 ,

End : 36 ,

ptch : 1 .

Puis, appuyer sur la touche . Slectionner alors la touche (TABL)


La colonne X correspond aux valeurs du mois.

La colonne Y2 correspond aux valeurs de g(x) pour chaque valeur de x.


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A laide du bouton directionnel drouler toutes les valeurs vers le bas jusqu

atteindre la valeur Y2 suprieur 1,0773.

On voit quil faut n = 19pour dpasser 1,0773 , donc au bout du 19e mois de remboursement

lentreprise aura rembours la moiti de la somme emprunte.

d) Pour crire la dernire ligne damortissement on utilise les relations suivantes :

Dndsignant le reste du capital d au dbut du nemois , Inlintrt payer pour le n

emois scrit

In= Dnx 0,004 et on a : a = An+ In

Au 36

e

mois on a lamortissement gal au restant d : D36= A36 = a I36 = a - D36 x 0,004

Ce qui nous donne (1 + 0,004) A36= a soit A36= a / ( 1,004) = 2988,12/1,004 = 2 976,22 I36 = 2976,22 x 0,004 = 11,90

Montant restant d Amortissement Intrt Annuit

2976,22 2976,22 11,90 2988,12

On peut galement obtenir A36en entrant une fonction dans TABLE : Y3 = 2588,12 (1,004)(X-1)

Il sagit de la formule gnrale pour une suite gomtrique : An= A1qn-1

On va alors se placer sur la ligne Y2 puis laide de la touche (SEL) dselectionner cette

fonction.

Slectionner alors la touche (TABL)


La colonne X correspond aux valeurs du mois.

La colonne Y3 correspond aux valeurs de Anpour chaque valeur de n

A laide du bouton directionnel drouler toutes les valeurs vers le bas jusqu 36


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POUR ALLER PLUS LOIN LA PROGRAMMATION :

Pour raliser un tableau damortissement on peut aussi utiliser la programmation.

Pour cela, consulter lexercice sur la programmation pour raliser un tableau damortissement.

Pour lancer le programme AMORTIS , que lon suppose enregistr sur la calculatrice,

slectionner et laide du bouton directionnel choisir lapplication PRGM et

faire . Ensuite se positionner sur le programme AMORTIS

Puis faire (EXE) et saisir la valeur de lannuit A= 2988,12 et faire

Saisir alors la valeur du capital emprunt B = 100000

Puis saisir la valeur du taux mensuel (en pourcentage) : T = 0,4

Lcran affiche alors la valeur de K = 1 (1eligne du tableau) pour continuer faire

Ensuite CAPITAL = 100 000 puis lamortissement = 2588,12 et lintrt = 400


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En continuant jusqu K = 36 on aboutit au rsultat pour complter la dernire ligne du tableau :

CAPITAL = 2976,2

AMMORTISSEMENT = 2976,22

INTERET = 11,90

Si on continue utiliser la touche , le programme redemande des informations pour faire une

autre simulation.

REMARQUE : le programme est mis en ligne sur le site CASIO Education et vous pouvez directement

le charger sur votre calculatrice laide du cordon SB-88 et du programme CASIO FA-123.

Documents

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