Collège/ 2MA/ Exercices/ Exponentielles et logarithme / 2017-2018

EXERCICES

Exponentielles etlogarithmes

http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-ma2-exp%20log.pdf

Table des matièresSérie 11 2MA / Exponentielles et logarithmes /Septembre 2017..............................................2

Résoudre des problèmes avec des exponentielles.................................................................2Comprendre et utiliser les propriétés des puissances et des racines....................................2 Calculer et réduire des expressions avec des puissances et des racines..............................2

Série 12 2MA / Exponentielles et logarithmes /Octobre 2017..................................................8Résoudre des équations et des problèmes avec des exponentielles.....................................8

Série 13 2MA / Exponentielles et logarithmes / Travail de groupe / Octobre 2017...............10Représenter graphiquement des fonctions exponentielles..................................................10

Série 14 2MA / Exponentielles et logarithmes /Octobre 2017................................................11Introduire les logarithmes....................................................................................................11Calculer des logarithmes......................................................................................................11Résoudre des équations avec des logarithmes....................................................................11

Série 15 2MA / Exponentielles et logarithmes / Octobre 2017...............................................13Faire des conjectures et démontrer les conjectures (propriétés des logarithmes)..............13Résoudre des équations en utilisant les propriétés des logarithmes...................................13

Série 16 2MA / Exponentielles et logarithmes / Octobre 2017...............................................15Utiliser la calculatrice pour calculer des logarithmes.........................................................15Comprendre, démontrer et utiliser la formule de changement de base..............................15Résoudre des problèmes avec des logarithmes et des changements de base.....................15

Série 17 2MA / Exponentielles et logarithmes/ Travail de groupe/ Novembre 2017.............17Tracer le graphique de la réciproque d'une fonction exponentielle (fonction logarithme)..............................................................................................................................................17Donner les propriétés des fonctions exponentielles et logarithmes à l’aide de leurs graphiques............................................................................................................................17

Série 18 2MA / Exponentielles et logarithmes / Novembre 2017...........................................18Comprendre quelques applications des logarithmes(pH et radioactivité) .........................18

Série 11 2MA / Exponentielles et logarithmes /Septembre 2017

Objectifs✔ Résoudre des problèmes avec des exponentielles✔ Comprendre et utiliser les propriétés des puissances et des racines✔ Calculer et réduire des expressions avec des puissances et des racines

▶ ex-ma2-exp + log.pdf

Ex. 1. La légende de Séta.

Le jeu d’échecs se joue sur un échiquier de 64 cases. La légende dit que pour le remercier des plaisirs que lui procurait cejeu, l’empereur Shiram promis à son inventeur Séta le cadeausuivant:sur la première case du jeu, il déposerai 1 grain de riz, puis le doublesur la deuxième case et ainsi de suite en doublant chaque fois lenombre de grains.

a) Exprimez à l’aide d’une puissance de 2 le nombre y de grains que Shiram aurait dû déposer sur la dernière case de l’échiquier.

b) Déterminez un ordre de grandeur du nombre y.

c) Un grains de riz pèse environ 0,06 g. Déterminez un ordre de grandeur de la masse du riz correspondant au nombre y de grains (donnez le résultat en grammes puis en tonnes.)

d) De nos jours la production annuelle mondiale de riz est environ de 400 millions de tonnes. Que faut-il penser de la promesse de Shiram ?

e) Esquissez le graphique montrant l’évolution du nombre de grains de riz en fonction du nombre de case.

Ex. 2.La 1er heure, Daniel fait courir une rumeur. Il met au courant trois personnes. Le 2ème heure chacune des trois personnes met au courant trois nouvelles personnes. Les heures suivantes, la diffusion de la rumeur se poursuit de la même manière dès qu'une personne l'apprend,elle en informe trois autres.

a) Combien de personnes sont mises au courant de la rumeur la première heure ?

b) même question pour la 2ème heure et la 10ème heure. Écrivez le calcul.

c) Combien de temps faudra-t-il pour que toute la Suisse puisse être mise au courant de larumeur en une seule heure ? Approximation : la population de la Suisse environ 7 millions depersonne.

Ex. 3. Rappel : les puissances Cochez la/les bonne(s) réponse(s) .

Vrai Faux

a) 23 •25= 215

b) 23 •25= 48

c) 23 +25= 215

d) (23)5= 215

e) 65 =25• 35

f) 105 =23• 52

Quiz sur le site : ▶ quiz puissance Login: eleve Mot de passe : volt1234

Ex. 4. Complétez :

a) 23 =…. :2 22 =…. :2 2…. =…. :2 2... =…. :2 2…=….

b) 2-3 =…. ·2 2...=…. ·2 2…. =…. ·2 2... =…. ·2 2…=….

c) 23 = 3 …. = (32 )…. = ....

...

3

d) 1

√3 =

1

3 ... = 3 ….

c) √ 75

√7 = 7 ...

7... = 7 ….

Ex. 5. Sans calculatrice, calculez les puissances suivantes.

a) 5 73 4 22

b) -22 •23•51

c) 6

5

4

264

d) 22

5

)9(27

)3(81

e) 1000000

25 87

f) 1

1

10

172

72)72(

Écrivez le résultat du calcul sous forme d’une puissance de 2.

g) 28• 4-7

h) 25

146

2)4(

832

i) 2

1

4 43

2

22

Ex. 6.Complétez le tableau : a,b > 0 et p ,q ,n∈ ℕ ∗

Écriture avec les racines

n na =……… signifie : ( ?)n= an

Quel nombre positif à la puissance n est égal a n ?

qn pna =…… signifie que ( ?)qn= apn

Quel nombre positif à la puissance q n est égal a p n ?

p q a = pq a

………………..……………………………

….………………………………………….

a = b n a = n b

( n a )p = ( n b )p

Écriture avec les exposantrationnels

………………………………………..

………………………………………..

………………………………………..

a1p b

1p = (ab)

1p

a1q

b1q

= ( ab )1q

a = b ⇔ ….. =……

⇔ …… = ……

Ex. 7. Simplifiez les expressions suivantes.

a) 13

3x

x b) (a3 •a4)2 c) 5x+1•5x-1 d) x x18 37

Ex. 8. Écrivez les expressions suivantes à l’aide de racine et simplifiez.

a) 1.05 b) 40

31

7 c) 3

5

4

d) (278 )

23

Réponses

Exercice 7a) 3 b) a14 c) 52x d) 6 7

Exercice 8a) 10 5 b) 40 317 c) 3 28

1d)

4

9

Série 12 2MA / Exponentielles et logarithmes /Octobre 2017

Objectifs✔ Résoudre des équations et des problèmes avec des exponentielles

▶ ex-ma2-exp + log.pdf

Ex. 1. Résolvez les équations suivantes (indication : x > 0).

a) x1/3=5

e) (3x)1/3=6

b) 3

10

2

5

8x

f) (x+6)0.75 = 8

c) 24

1

x d) )1008(11

125 2

3

2

3

xx

Ex. 2. Résolvez les équations avec les exponentielles suivantes.

b) 8x=2 b) 26=24x-2 c) 34x= 9x+5 d) 0.1x=1000 e) 5-2x - 0.0016 = 0

Réponses

Exercice 1a) S = {125}

e) S = {72}b) S = {16}f) S = {10}

c) S = {4} d) S = {25}

Exercice 2a)S = {1/3} b) S = {2} c) S = {5} d) S = {-3} e) S = {2}

Ex. 3.Étude de la croissance d’une population : ▶ex-ids.pdf

L’image ci-contre représente une population de

levures en croissance. Leur mode de reproduction est le bourgeonnement, dont on voit plusieurs stades.

Le cycle de reproduction Lorsque l’on place des levures Saccharomyces dans un milieu nutritif à 37°C, celles-ci se multiplient activement. Elles se reproduisent essentiellement par bourgeonnement (reproduction asexuée par mitose).Le temps de doublement de la population est de 40 minutes.

a) Afin de visualiser la croissance de la population de levures en fonction du temps, faites un diagramme arborescent sur 4 générations avec une seule cellule au départ en précisant le temps sur l’axe proposé.

b) Complétez le tableau ci-dessous en appliquant le même raisonnement que celui que vous avez utilisé pour réaliser votre diagramme, mais cette fois en considérant une population initiale de 150 levures contenues dans une goutte de milieu.

temps enminutes

0 40 120 160 200 x minutes

Nombre delevures

c) Puis ajoutez (en rouge) les valeurs du tableau au graphique ci-dessus.

Nombre de levures en fonction du temps

: mesures expérimentales

d) Comment pourriez-vous expliquer la différence entre les deux courbes du graphique, la vôtre (théorique) et celle résultant de l’expérience ( ) ?

Série 13 2MA / Exponentielles et logarithmes / Travail de groupe / Octobre 2017

Objectifs✔ Représenter graphiquement des fonctions exponentielles

▶ tg-ma2-exp log.pdf

Série 14 2MA / Exponentielles et logarithmes /Octobre 2017

Objectifs✔ Introduire les logarithmes ✔ Calculer des logarithmes ✔ Résoudre des équations avec des logarithmes

▶ ex-ma2-exp + log.pdf

Ex. 1. Conservation alimentaire et les bactéries (émission ‘’ c’est pas sorcier ! ’’ du 04-04-2008) ▶ ma2-bacterie.mp4

a) Comment les bactéries se reproduisent-elles ? Faites un croquis.b) Quel temps est nécessaire pour que le nombre de bactéries double

dans le documentaire (condition idéale de croissance) ?c) En une demi-journée (12h), combien y aura-t-il de bactéries ?d) Le documentaire parle de 33 000 000 de bactéries, après combien de

temps sera atteint ce nombre ?

Dans des conditions moins favorables, une population de bactéries double toutes les heures.e) Trouvez la fonction permettant de trouver le nombre de bactéries au cours du temps ?

Indication : x= temps en heures et 1 bactérie au départ x=0h.f) Déterminez le nombre de bactéries après 5 h et 9h à l’aide de la fonction.g) Déterminez le temps nécessaire pour avoir 512 bactéries à l’aide de la préimage de la

fonction.h) La fonction réciproque de l’exponentielles est la fonction logarithme. Notation : f(x)= 2x rf(x)=log2(x). Écrivez la préimage de 512 par f à l’aide de la fonction logarithme.i) Calculez log2(8) et log2(1024).

Quelle question vous posez-vous lors du calcul des logarithmes ci-dessus (signification) ?

Ex. 2. Calculez et écrivez le détail de votre raisonnement.

Indication : log(x)=log10(x)

c) log(100)

e) log4( 64

1)

i) log16(-2)

b) log(1)

f) 3

1log(27)

j) log3( 3

3 )

c) log3(log2(64))

g) log4(2)

k) log2( 4

2 )

d)log7(343)

h) log16(2)

Ex. 3. Résolvez les équations.

a) log2(x)=0.5

e) logx(45)=2

b) log2(x)=5.5

f) logx(3)=3

c) log2(x)=-10

g) logx(1)=0

d) log(x)=1

h) log4(x)=0

Ex. 4. Soit y = loga(x)

Quelles sont les valeurs que peuvent prendre a , x et y ?

Série 15 2MA / Exponentielles et logarithmes / Octobre 2017

Objectifs✔ Faire des conjectures et démontrer les conjectures (propriétés des logarithmes)✔ Résoudre des équations en utilisant les propriétés des logarithmes

▶ ex-ma2-exp + log.pdf

Ex. 1. a) Peut-on calculer log( 3 10 • 1000 ) grâce à log( 1000 ) etlog2( 3 10 )? Comment?

log( 3 10 • 1000 )

Quel est le lien ? log( 1000 )log( 3 10 )

Faites une conjecture* pour le cas général :

loga(y•z) Quel est le lien ? loga(y) loga(z)

b) Peut-on calculer log2(16

1) grâce à log2(16) et log2(1)? Comment?

log2(16

1) Quel est le lien ? log2(16)

log2(1)

Faites une conjecture pour le cas général :

loga( y1

) Quel est le lien ? loga(y) loga(1)

c) Peut-on calculer log2(3 16

2) grâce à log2( 2 ) etlog2( 3 16 ) ? Comment ?

log2(3 16

2)

Quel est le lien ? log2( 2 ) log2( 3 16 )

Faites une conjecture pour le cas général :

loga( yz

) Quel est le lien ? loga(y) loga(z)

d) Peut-on calculer log2( 58 ) grâce à 5 et log2(8 ) ? Comment ?

log2(58 ) Quel est le lien ? 5

log2( 8 )

Faites une conjecture pour le cas général :loga(zr ) Quel est le lien ? r est un nombre réel

loga(z)

* Une conjecture est une proposition que l’on suppose vraie mais qui n’a pas (encore) été démontré.

Ex. 2. Complétez et démontrez* les propriétés :

1) loga(ax)=.... pour tout x ∈ ………………….. Diagramme :

2) a loga (x)=... pour tout x ∈ …………………..

3) loga(1)=…..… signifie que ……………………………………………………

4) loga(a)=……… signifie que ………………………………………………………

Pour tout x, y > 0 :

5) loga(xy)=………………………

6) loga(1y

)=………………………

7) loga(xy

)=………………………

8) loga( xr )=………………………

*Exemple de démonstration (prop. 5): ▶ https://www.youtube.com/watch?v=Iy7FVUu_1_c

Ex. 3.a) Pourquoi ces deux équations sont-elles équivalentes ?

x = 10 000 ⇔ log(x) = log(10 000)

Illustration : x ⇔ log(x)

10 ⇔ log(10)=1

100 ⇔ log(100)=2

b) Pourquoi ces deux équations ne sont-elles pas équivalentes ?

x = 10 000 ⇔ x 2 = 10 0002

Illustration : x → x2

10 100→

-10 100→

Ex. 4. Résolvez les équations suivantes (préciser le domaine de définition) :

a) log(x)= log(16) + 2 log(3) -2 log(2) -0.5 log(9)

b) log(x+2)- log(3) = log(2x-1) + log(7)

c) log(2x-3)+log(3x+10) = 4log(2)

d) log3(35-x3)=3 log3(5-x)

e) 3log(x2)+log(x) = 0

f) log(x-3)-log(-x+1) = 0

g) log(10x)+log(x) = 1

h) 10 log(x)=1000x2

Série 16 2MA / Exponentielles et logarithmes / Octobre 2017

Objectifs✔ Utiliser la calculatrice pour calculer des logarithmes ✔ Comprendre, démontrer et utiliser la formule de changement de base✔ Résoudre des problèmes avec des logarithmes et des changements de base

▶ ex-ma2-exp + log.pdf

Ex. 1.a) Pourquoi ces deux équations sont-elles équivalentes ?

2x = 3 ⇔ log(2x) = log(3)

b) Résolvez les trois équations

log5(2x) = log5(3) ⇔ 2x = 3 ⇔ log(2x) = log(3)

c) Complétez :

Formule de changement de base :

loga (b ) =

Pour l’utilisation de la machine, le plus simple sera de faire le calcul suivant:

d) Résolvez l’équation (précisez le changement de base): 3x = 4

e) Calculez (précisez les changements de base pour justifier vos calculs) :

e1) log12

(10) e2) log3 (4 ) e3) log7 (1.5 )

Ex. 2.Justifiez les 5 étapes de la démonstration de la formule de changement de base :

Démonstration de la formule de changement de base : ▶ https://www.youtube.com/watch?v=PpfRAh-3Rg8

Justifications 1) loga (b )= y ⇔ a y

=b ……………………………………………………………………………………………….2) a y

=b ⇔ logc (ay)=logc (b) ……………………………………………………..………………………………………….

3) logc (ay)=logc (b) ⇔ y logc(a )=logc(b ) ……………………………….………………………………………

4) y logc(a )=logc(b ) ⇔ y=logc(b )

logc(a ) ……………………………………………………………………………………

5) Étape (1) et (4) : y=logc(b )

logc(a )=loga(b) ………………………………………………………………………………

Ex. 3. Suite des exercices:

S.14: Conservation alimentaire et les bactéries (émission ‘’ c’est pas sorcier ! ’’ du 04-04-2008 : ▶ ma2-bacterie.mp4 )

Dans ce documentaire, le nombre de bactérie doublait tous les 30 minutes. Après combien de temps sera atteint le nombre de 33 000 000 bactéries en partant d’une bactérie?

S.11: La 1er heure, Daniel fait courir une rumeur. Il met au courant trois personnes. Le 2ème heure chacune des trois personnes met au courant trois nouvelles personnes. Les heures suivantes, la diffusion de la rumeur se poursuit de la même manière dèsqu'une personne l'apprend,elle en informe trois autres.Combien de temps faudra-t-il pour que toute la Suisse puisse être mise au courant de larumeur en une seule heure ? Approximation: la population de la Suisse environ 7 millions de personne.

Ex. 4.A l’aide des changements de base, résolvez les équation suivantes :

a) log3(x)= log9(3) b) log2(x) + log4(1

4 x+15) =

12

c) log3(x) log9(x) = 2

Ex. 5. On a placé 10 000 Fr. sur un compte épargne avec un taux d’intérêt de 2 % par année.

a) Après 1 an, quelle est sa somme sur le compte ?

b) Après 2 ans, quelle est sa somme sur le compte ?

c) Quelle sera la somme d’argent sur le compte après t année ?

d) Dans combien de temps (années, jours) aura-t-il 11 000 Fr. ?

Ex. 6.Exprimez en fonction de log(a), log(b),log(c) et log(d) :

a) log(3ab) b) log(ab/c) c) log(a2b3) d) log( √ b2a3

c5)

Ex. 7.Calculez : a) 15456 b) 160160 c) 16456.2

Série 17 2MA / Exponentielles et logarithmes/ Travail de groupe/ Novembre 2017

Objectifs ✔ Tracer le graphique de la réciproque d'une fonction exponentielle (fonction logarithme)✔ Donner les propriétés des fonctions exponentielles et logarithmes à l’aide de leurs graphiques

Travail de groupe

▶ tg-ma2-exp log2.pdf

Série 18 2MA / Exponentielles et logarithmes / Novembre 2017

Objectifs✔ Comprendre quelques applications des logarithmes(pH et radioactivité)

▶ ex-ma2-exp + log.pdf

Ex. 1. Application des logarithmes : pH

L’échelle des pH, compris entre 0 et 14, nous permet de dire en chimie , si une substance est acide (pH<7) neutre (pH=7) ou basique (pH>7). Le pH est définit grâce à la fonction logarithme, de la manière suivante :

pH(x)= -log(x) x est la concentration de H+ en molaire: M=mol/L

Signification : x = 1 M= 1mol/L = 6,02•1023 ions H+ /L ( la solution de 1L contient 6,02•1023 ions H+)

a) Calculez le pH, lorsque : x = 10-11.4 M, x = 0.001 M et x = 3.16•10-3 MExemple : x = 10-1 M pH(10-1)= -log(10-1)= 1

Le pH est de 1 pour une concentration de H+ de 10-1M.

b) Pour obtenir un pH neutre , quelle sera la concentration de H+.

c) A partir des mesures de pH des échantillons, calculez la concentration de H+ (donnez la réponse en puissance de 10 et en écriture scientifique). Complétez le tableau ci-dessous.

Échantillons

Vina

igre

Jus

de c

itro

n

limon

ade

Sucr

e

Dét

erge

nt Eau

pH 2.1 1.9 3.8 5.5 10.6 7

laconcentration

de H+

en puissancede 10

en écriturescientifique

Remarque : mesures faites au cours de chimie (laboratoire acidité et basicité des produitscourants (1ère année)

d) Déterminez la fonction réciproque du pH.

Ex. 2. Application des logarithmes: Radioactivité

Le césium 137 radioactif a été libéré, parmi d’autres éléments radioactifs,en quantités importantes lors de l'accident de Tchernobyl (en 1986). Lecésium 137 présent à la surface en Europe représente la signature de lacatastrophe et il a une période* de T= 30 ans.

*La période T est définie comme étant le temps nécessaire pour que la moitié des atomes radioactifs initialement présents se soient transformés en atomes stables.

a) Complétez le tableau en prenant 100 noyaux initiaux N0 non désintégrés de césium radioactif. Temps en année 30 60 90 120N nombre de

noyaux nondésintégrés N/N0 enfraction

irréductibleN/N0 sous

forme depuissance de 1/2

( 12 )

. .. . ..

( 12 )

. .. . ..

( 12 )

. .. . ..

( 12 )

. .. . ..

b) Dessinez un graphique représentant le nombre de noyaux de césium 137 radioactif en fonction du temps.

N nombre de noyaux non désintégrés

temps [année]

c) Donnez le rapport N/N0 après 1500 ans et après t année (généralisation).

d) Après 10 périodes, on estime que la radioactivité devient négligeable. Donnez le rapport N/N0 après 10 périodes. L’approximation est-elle bonne ?

e) Déterminez une expression algébrique permettant de trouver la quantité de césium 137 en fonction du temps. [‘’traduction mathématique’’ : donnez N en fonction du temps N=f(t)].

f) Déterminez la quantité de césium 137 aujourd’hui. Quel pourcentage représente cette quantité par rapport à la masse initiale de césium ?

Dépôts de césium 137 , mai 1986.

En cas d'accident nucléaire , la consigne de sécurité est d'absorber de l'iode afin de saturer lathyroïde en iode non radioactif. Ainsi les éventuelles dérivés radioactifs qui seraient présents dans l'air ne feront que traverser et ne pourront pas se fixer sur la thyroïde. Suiteà l’accident de Tchernobyl, l’iode 131 radioactif est responsable de nombreux cas de cancer de la thyroïde. L’iode 131 a une période de 8.04 jours

g) Déterminez la quantité d’iode radioactif aujourd’hui, en partant de 100 noyaux initiaux N0 d’iode radioactif. Quel pourcentage représente cette quantité par rapport à l’iode initiale? Comparez ce résultat à celui du césium.

h) Combien de temps faudra-t-il attendre pour que la radioactivité de l’iode 131 soit négligeable ?

i) Combien de temps faut-il pour que seulement le tiers (33%) de l’iode radioactif soit encore présent après un accident?

j) Donnez le temps en fonction de N . [‘’traduction mathématique’’ trouver la réciproque de f : t =rf(N)].