EXTENSION DE LA FORMULE D'ERLANG AU CAS OU LE TRAFIC EST FONCTION

DU NOMBRE D'ABONNI~S OCCUPIES (NOTAMMENT EN RAISON DU NOMBRE LIMITI~ D'ABONNI~S)

P A R

~mile VAULOT Ing6nleur en chef des P. T .T . *

Docteur 6s Sciences.

Jean CHAUVEAU Ing6nieur des P. T. T. *~

5[. D. L. R. - - Les deux notes ei-aprbs ont 6td &rites inddpendamment l'une de l'autre, mats traltent la m~me question relative au calcul des Centraux automatiques : quand il n 'y a qu'un nombre tint de voies'd'acc~s h un groupe d'organes parfait, la formule d'Erlang utilis6e habituellement ne s'applique pas, en route rigueur, puisqu'elle suppose que le nombre d'appels simultan6s peut ~tre infini.

M. VACLOT traite la question par une m6thode d6jh utilis6e pour d6montrer la formule d'Erlang et indique les proc6d6s de calcul qui permettent d'appliquer pratiquement la formule ainsi d6montr6e.

M. CHAUVEAU, a l'aide d'une ddmonstration math6matique bas6e sur l'application des lols 616mentaires du calcul des probabilit&, obtient lui aussi une formule g6n6rale et donne le trac6 des courbes correspondantes.

Ces deux notes dtant relativement br~ves, il a paru possible de les publier conjointement, en laissant te lecteur tirer profit de ta comparaison des deux m6thodes. Les deux formules auxquelles elles conduisent sont exprim6es avec des notations diff6rentes :dans l'6tude de M. VAULOT le terme a ne reprdsente pas la valeur rdelle du trafic mats l'inverse du temps moyen pendant lequel il n 'y a pas de trafic : dans la formule 6tablie par M, (~4HAUVEAU, le terme y rel)r&ente le trafic r6el de chaque ligne ***

I. MI~THODE DE ~,, VAULOT

SOMMA1RE. ~ L'auteur dtudie ci-apr~s la proportion d'appels perdus dans le cas oft [e trafic, tout en ~tant de pur ha~'ard, dgpend du nombre de lignes occup;es. II dtablit une [ormule ggn~rale et l'applique en particulier m tcas oft ce trafic esl proportionnel au hombre d'.bonnds non occup~s.

Formule g6n~rale.

Supposons que x lignes r%oivent des appels r6par- tis au hasard, mats que l ' intensit6 de trafic d6pende du hombre de lignes occup6es.

D6signons par :

Yo, Y. Y2 . . . . . . . Y~C--l, Y~

les trafics quand le hombre des lignes occup6es est respec t ivement :

0 ,1 ,2 . . . . . . . x - - l , x ,

chacun de ces t ra tics 6rant de put hasard, et par

O) Po, P1, P2 . . . . . . . Pz--1, Px

les probabili t6s d 'avoir un nombre de lignes occu- p6es respec t ivement 6gal aux indices des P.

En comparan t , par la m6thode habituelle, les hombres des lignes occup6es aux ins tants t e t t - - dt, on obt ient les 6quations suivantes, en supposant que les dur6es des conventions ob6issent h la lot expo-

* Au Service des Recherches et du ContrSle Techniques des P. T. T. (C. N. E. T.).

"* A la Direction des Services T616graphiques et T616pho- niques de Paris.

"** La relation l / a ~ t - - y peut ~tre vgrifi6e ais6ment darts les cas simples.

nentielle et en p renan t pour unit6 de t emps la dur6e moyenne d 'une communicat ion :

Y0 Po = Pl

(gl + t) Pl = 2P2 + YoPo

(Y2 + 2) P2 = 3Pa + YlJD1

(2) (y~ + i) p, = (ii + 1) p . + y~_, p ,_ ,

(y + x - -1 ) P~-I = xP~ + y z - - - 2 P z - - 2

x Px = Yz--1 Pz--1

Dans ces 6quations homog~nes, au nombre de x + t , les inconnues sont les x + t quantit6s (i). En a jou tan t ces 6quations membre h membre , on obtient d'ailleurs une identit6.

En a jou tan t chacune de ces 6quations h routes celles qui pr6c~dent, on obt ient le sys t~me plus simple de x 6quations :

Yo Po = Pl Yl Pl = 2P2

Y2 P2 ---- 3Pa

(3)

Y~-I P ~ I = xP~.

- - 319

2/6

L'6quation :

YiP~ ---- (i + I)P~+~

I~MILE V A U L O T ET J E A N C H A U V E A U [ANNALES DES TI~L~COMMUNIEATION$

exprime que le~nombre moyen des cas oh le nombre des lignes occup6es passe de i h i + I est le mgme que le nombre moyen des eas off le nombre des lignes occup6es passe de i + I h i.

S'il n 'y a pas de dispositif de d61ai d 'at tente, les seuls cas possibles sont l 'oeeupation de 0,1, 2, . . . , i, , . . , x - - t , x lignes. Ces eas s 'excluant on a :

(4) P o + P l + P ~ + . . . . . + P i + . . . . . + P , - 1 + P ~ = t.

On tire de (3)

P~ --_ yoPo

P2 Yo Y~ = 2! -o

Yo Yl Yg. P3 -- 3! Po

p i = Yo Yl �9 �9 �9 Yi-~ i! Po

La proportion d'appels perdus est le quotient du trafic perdu par le nombre total d'appels qui se pr6sentent par unit6 de temps, e'est-h-dire :

E =

71~ ~/o . . . . . Yz--l ~/.~

x!

l + y , _ 2! + . . . . . + Y , ~ 9 . . . y z

x!

On voit que la probabilit6 d'occupation P~ des x lignes n'est pas la mgme que la proportion E d'appels perdus ; en particulier la premiere de ces quantit6s est ind6pendante de y~ et la seconde est ind6pendante de Y0. On pourrait d'ailleurs pr6voir ces particularit6s par des raisonnements simples.

Toutefois, si nous nous plar dans le cas oft le trafic est ind6pendant du nombre de lignes occup6es, c'est-h-dire dans le cas o5 l'on a :

Y o ~ - Y l - - - -Y2-~- . . . - - - - - Y i ~ . . . ~- g z = Y ,

les quantit6s P~ et E sont alors ~gales et donn6es par la formule d'ERLAN~.

. . ~ p , = YoYl x(. Y,-1Po.

d'oh, en portant dans (4) :

P ~ = E =

~I~

X! y2 yx

t + y + ~ + . . . + ~

YoYl YoYl . . . y z - - l ) Po i +Yo+-~-~.) + . . . . . + x f = 1

et par suite, en d6signant par A la quantit6 entre parentheses dans le premier membre de l'6quation pr6c6dente :

t

1 Pl = ~ Y o

t Y o Y t P2-----A 2!

t YoYl . . . Yz--~ Pi = A i!

I YoYl . . . Y~--1 P~=X z!

Le trafie perdu est 6gal h :

t YOYl ' ' . Y ~ - l Y z Y~P~ = A x!

Le hombre total d'appels qui se pr6sentent pendant l 'unit6 de temps est 6gal h :

YoPo + YlP1 + . . . . . + Y~P~ = Pz + 2P 2 . . . . . + xPz + YzPz

YO ( _I.. Y,Y, Y~Y2 "'" Y 9 = ~ i + y , _ ~ - . ) + . . . . . + -.,- .

Application au cas d'un traflc proportionnel au nombre d'abonn6s non occup6s.

Nous allons appliquer ce qui pr6cbde au cas sui- r a n t : supposons que le nombre total des abonn6s soit N e t que le trafic ~ un instant donn6 soit pro- portionnel au nombre des abonn6s non engag6s dans une conversation. On aura dans ce cas,

Yi : ( N - - i )a ,

a d6signant une constante. La proportion d'appels perdus est alors 6gale h :

A E =

a v e c

( N - - I ) ( N - - 2 ) a ~ + . . . + A t + (N - - i)a + 2!

A = ( N - - t ) ( N - - 2 ) " " (N--X) a,. x!

Le num6rateur de E se calcule facilement par~ logarithmes.

II s'agit de transformer le d6nominateur et de trouver des proc6d6s permet tant de ealculer facile- ment sa valeur, au moins approximativement. Ce d6nominateur est constitu6 par les x + I premiers termes du d6veloppement de (t -4- a) s-1 d 'apr& la- formule du bin6me de NEWTON.

- - 320 - -

t. 4 , n o 8 - 9 , 1 9 4 9 ]

Or, d'apr~s une formule eonnue *, il est 6gal h :

(~ + 1)~ + ( x - - x - - ~)(~ + ~)~-~a ( x - - x - - ~)(x - - ~) . . . ( x - - ~) a~

+ "'" + x!

= (~ + l )~[~ + ( X - - x - - ~ ) . a a + 1

+ ( N - - x - - l ) ( N - - x) ( a ) ~ '2!

N - - x - - ( N - -

+ . . . d x! \a + t / J "

([in peut d'ailleurs expritner cette somme au moyen d'int6grales d6finies (LAPLACE, PO~SSON, para- graphes 73 h 79). On a :

I + ( N - - l ) a + . . . . . +(N--I)(N--2)...(N--x)x! a~

= (t + a) l'r-~ (1 + u) r

j ~ o ~176 U~ (1 + u)X dv

On passe d'une int6grale "h l 'autre en posant :

v u 1 ~ , v - - l + u = U = l - - v l + u ' t - - v

dr du du = (1 - - ~1 " - ' - - ~ ' dv = ~ + u) 2.

Or, le rapport :

/~v ~ (I -- v ) ~ - ~ , - 2 d ~

/ 1 v~ (I - - v)~-~-2 d v

est donn6 par les tables des fonctions B6ta incom- plates, (MEaalNGTON, P~X~SON, TUOMI'SON).

D'autre part, pour les valeurs des param~tres

* Voir notamment POISSON, pa~agraphes 73 et 7r p. t89- 192, qui donne de cette identit6 une d6monstration bas6e sur le calcu[ des probabilit6s.

Elle peut s'6crire d'une fa~on g6n6ra|e :

a~ + t~alZ--lb + ~t (~- I__._~) aV._2b 2 2!

d- . . . . + ~(tz - - 1) . .. (P. - - n + t) a~Z_nb n n!

(a + b)n + m(a + b)n-lb d re(m+1) 2----'--'[---. (a + b)n-Ubg

+ + m(m + 1) . . . (~t--t) . �9 �9 b%

n! m, net F 6tant des entiers positifs tels que

F , = m + n .

EXTENSION DE LA FORMULE D'ERLANG 3/6 auxquelles les tables ne s '6tendent pas, on peut imagine r divers modes de calcul de R. Nous ren- verrons notamment h CAMP, SoPER, WISltART.

On obtiendrait une borne inf6rieure de E en y rempla~ant le d6nominateur par le d6veloppement complet de (1 -4- a) ~-1, de sorte que

E > (1 + a)~-~(N--l)(N--2)x! "'" ( N - - X ) a~.

Cette approximation est d ' au tan t meilleure que x

est plus voisin de l'unit6, de mgme que, dans la

formule d'EaLA~G ordinaire, on peut prendre pour proportion d'appels perdus

e-y ,

et cela avec une approximation d 'au tan t meilleure que x est plus grand.

Bemarque : Pour fixer les id6es, nous avons suppos6 qu'il s'agissait d'abonn6s et de lignes. Nous aurions pu employer un autre langage, par exemple parler de chercheurs primaires et secondaires.

Manuscr i t refu le 7 avril 1949.

BIBLIOGRAPHIE

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[3] LArLACE, (Euvres, 7, livre premier, paragraphe 37. [4] MEIIItIiNGTOBI (M.), Tao~rsrN (C. M,), Tables des

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[10] WlSnART (J.), Sur la quadrature approch6e de certaines courbes dyssymdtriques, avec un aper~u surles recherches de Thomas BAyE S. (On the appro- ximate quadrature of certain skew curves, with an account to the researches of Thomas BAynS.) Biometrika, juillet t927, 19, pA-38.

3 2 ' 1 TI~L~OMMUNICATION$

~ / 6 "EMILE VAULOT ET JEAN CHAUVEAU [ANNALESlIEsTI~L]~CO~MUNICATION$

I I . MI~THODE DE J. CHAUVEAU.

SOMMAInE. - - L'auteur, apr$s avoir rappel~ que les [ormules d'Erlang ne s'appliquent que si eertaines conditions relatives au trafic sont remplies, ~tablit une [ormule dans laquelle intervient le nombre des abonn$s. II donne le tracg des courbes correspondantes dans le cas oh il y a t00 abonngs, et /air ressortir l'$conomie qui r$sulterait de l'emploi de ces courbes it la place de celle.~ d'Erlang.

Introduction. La d6termination du nombre de machines h ins-

taller dans un central t616phonique, automatique ou mariuel, repose sur le calcul des probabilit6s. Les for- mules utilis6es le plus souvent sont celles d'EnLANG, des courbes bien connues permettant d'appliquer ces formules sans calculs.

Les courbes d'ERLANG constituent un instrument de travail pr6cieux pour tous ceux qui ont h calculer l'6quipement des centraux t616phoniques. Mais il convient de ne pas oublier qu'elles supposent rem- plies un certain nombre de conditions relatives h la production et h la distribution du trafic, ainsi qu'au mode de groupement des organes. Dans la majorit6 des cas, ces hypotheses refl~tent suffisamment la nature r6elle du trafic pour que les valeurs auxquelles conduit l'application des formules d'EaLANG puissent gtre consid6r6es comme convenables.

Des corrections doivent gtre apport6es aux r6sul- tats obtenus dans le cas oO les hypotheses de base ne sont plus remplies. C'est ce qui se produit, par exemple, lorsque les organes ne forment pas un groupe par~air: le nombre fourni par la formule d'EnLANG dolt gtre major6 pour tenir compte du mode de multiplage des jonctions donnant acc~s au groupe d'organes consid6r6 sur les points de sortie de l'6tage de s61ection pr6c6dent. La correction est calcul6e actuellementd'apr~s une formule empirique.

Une des hypotheses fondamentales d'EnLANG est que le nombre d'appels naissant dana un intervalle de temps d6termin6, est ind6pendant du nombre des communications en cours. Cela revient h supposer que la source des appels, c'est-h-dire l'ensemble des 'abonn6s, a un d6bit probable ind6pendant, h un ins- tant donn6, du nombre des appels formul6s au cours des iristants pr6c6dents. Ceci n'est rigoureusement exact que si le nombre des abonn6s est infini ou si le hombre d'appels peut devenlr infiniment grand pendant un intervalle de temps quelconque.

Dans la plupart des eas, le hombre d'abonn6s est suffisamment 61ev6, compar~ au hombre moyen des communications simultan6ment en cours, pour que cette hypoth~se soit acceptable.

II n'en est plus de mgme si le nombre d'abonn6s est peu 61ev6 et si, par eons6quent, le nombre d'appels naissants d6pend du nombre de communications 6tablies. I1 est bien 6vident, par exemple, que si, dans un groupe de 100 abonn6s, il y a 50 abonn6s en cours de communication, la probabilit6 pour qu'il se produise un nouvel appel, lequel ne peut provenir que des 50 abonn6s encore libres, sera moins 61ev6e que si les I00 abonn~s sont tous libres.

En pareil cas, la formule d'EnLANG ne r6pond plus

exaetement aux conditions relatives h la probabilit6 d'apparition des appels.

Dans la pratique, la question se pose dana le calcul des chercheurs d'appels, dont le nombre d'azimuts est fix6 par construction : c'est le cas des cherckeurs primaires et des ehercheurs secondaires ~ 100 points dans ]e syst~me Rotary. (Pour les ehercheurs secon- daires, tes lignes de liaison aux c'hercheurs prlmaires jouent le rSle que l'on a attribu6 ci-dessus aux abon- n6s.)

L'objet de la pr6sente 6tude est de montrer que l'on peut calculer exactement la probabilit6 de perte d'un appel sur un groupe d'organes, lorsque le nombre de voles d'accbs ~ ces organes (lignes d'abon- n6s ou lignes de raccordement h l'6tage pr6c6dent) est limit&

Calcul tie la probabilit~ de perte. Nous supposerons que les organes forment un

groupe parfait. Nous appellerons : x, le nombre d'organes, N, le hombre d'abonn6s (ou de lignes d'acc~s), y, le nombre moyen d'appels de chaque abonn6

par unit6 de temps (l'unit6 de temps est prise 6gale h la dur6e moyenne.d'une communication).

p (N, x), la probabilit6 de perte, P (N, x), la probabilit6 d'occupation totale des x

organes. La probabilit6 de perte est 6gale au rapport du

nombre d'appels perdus au nombre total des appels. Pendant l'unit6 de temps, il se pr6sente, en

moyenne, Ny appels. Les appels sont perdus s'ils se pr6sentent au

moment od tous les organes sont occup6s. P(N, x) repr6sente la proportion moyenne du temps pendant laquelle tous les organes sont occup6s : c'est donc aussi la dur6e moyenne d'occupation simultan6e des x organes pendant l'unit6 de temps. Calculons le nombre d'appels naissant pendant cette dur6e P( N, x).

Pendant l'occupation totale, x abonn6s sont en communication. It reste (N - - x) abonn6s libres, les- quels formulent ( N - - x ) y appels pendant l'unit6 de temps, en moyenne, et P(N, x ) ( N - - x ) y appels pen- dant la dur6e P(N, x). )

La probabilit6 de perte est donc like h la probabi- lit6 d'occupation totale par la relation

p(N, x) = P(:V, ,~) ( N ~ / ) y

OU

Notons, en passant, que si N tend vers l'infini, les deux probabilit6s p(N, x) et P(N, x) deviennent

322

t. 4, n o 8 - 9 , 1 9 4 9 ]

6gales. C'est une propri6t6 i m p o r t a n t e de la formule d'EnLANG.

Une deuxi~me relation entre p(N, x) et P(N, x) peut ~tre obtenus en calculant directement P(N, x).

I1 y a occupation totale si les 2 conditions suivantes sont simultan6ment remplies :

le premier organe est occup6, les ( x - - 1 ) autres organes sont occup6s. 1 ~ Probabilitd pour que le premier organe soit

occupd. Les x organes 6tant suppos6s 6galement accessibles

aux appels, le premier organe 6coule, en moyenne, l

la fraction - du trafic total 6cou16. x

Pendant l 'unit6 de temps, le trafic to ta l dcould est [ 1 - p(N, x)] Ny puisqu'il arrive Ny appels et que p(N, x )Ny d'entre eux sont perdus.

La probabilit6 recherch6e est donc

N4/ [1 - - P(~, x)1-7''

2 ~ Probabilitd pour que les (x - - 1) organes soient occupds, le premier organe l'dtant dd]d.

Cette probabilit6 n'est autre que P(N - - 1, x - - 1) puisque un abonn6 est 61imin6 comme 6tant d6jh en communication, et qu'il restc ( x - 1) organes.

Finalement, on a la relation nouvelle :

(2) P(N,x) = [l - - p(X,x)] X ~ P ( X - - i, x - - l ) .

Les relations (l) st (2) vont permettre de calculer p(N, x) en raisonnant par r6currence et en 61iminant les probabilit6s P.

De (l) nous tirons : ~Y

P(X, x) -- p(N, x) X N--------x

et N - - 1

P ( N - - l , x - - i ) = p ( X - - l , x - - l ) X~V---~%__.

En por tan t dans (2), it vient successivement :

N p(N, x) N - - x

N 1 = II - - p(:V,x)] x ~ p ( N - - l , ~ - - 1)

- /V--x"

1 - - p (N , x) x t p(?r = y ( N - - ~) x p (N - - l, x - - ~);

t x J ~ ( x , . ) 1 = ~ x (N - - i) v ( x - - l, x - - t )

On peut 6crire successivement, par r6currence :

l l x - - I p(x - ~, x - - t i - l = ~ x ( : v - :~) x v ( - v - - ~ , * - ~ )

1 t x - - 2 p ( N - - 2 , x - - 2 ) y ( N - - 3 ) X p ( N - - 3, x --- 3)

1 _ i = 1 2 p ( N - - x q - 2 , 2 ) y X ( N - - x + l ) p ( N - - x + l , t ) '

p(~V x + 1, 'J) J = - x - - v ( x - - x) ~,(x - - ~, 0)

EXTENSION DE LA FORMULE D'ERLANG

La derni~re 6gallt6 devient done :

t 1

p(N - - x -4- 1,1) y(N - - x)""

On a, 6videmment, p(N - - x, O) = 1.

5/6

Entre toutes ces 6galit6s, 61iminons tousles p sauf p(N, x). II vient :

1 x x ( x - t )

}(N, x) i - - y(?r _ i i - - y * ( N - - i ) ( N - - 2 ) - - " " x ( x - - t ) . . . 2

y * - ~ ( N - I ) ( N - 2 ) . ( N - - x -4- t) x!

= y z ( N ~ I ) ( N - - 2 ) . . . ( N - - x ) OU enfin

x ~ ( N - - I ) ( N - - 2 ) . . . ( N - - x ) (3) p(N,x = A

a v e c y*

h = l + i . u ( N _ x ) + ~ ( N _ x ) ( N _ x + l ) + . . .

yx . . . + ~ (N - - x) . . . (N - - 1).

Bemarques.

1 ~ Si N tend vers l 'infini et si N y tend vers une valeur finie Y, nous devons re t rouver la formule d'EnLAN~ pour le trafic total Y.

La formule (3) peut s'6crire sous la forme :

y~ N J 1 t 2 x! ~, ""

p(N,x) = A

OVeC

, = ,

. . .

(, ... ( , - ;). Sous cette forme on retrouve imm6diatement la

formule d 'EuL.Na. y*

x! p(oo, x) = y y2 y , "

i+ i 2! -4- �9 �9 -}- -~.~

2 ~ Si N < x, on v6rifie que la probabilit6 de perte est nulle.

3 ~ Si N = x, la probabilit6 d 'occupation t0 ta l e P(N, x) dolt ~tre 6gale h y* ct p(N, x) ----- 0. En effet, dans ce cas, il y a autant d'organes que d'abonn6s. II ne peut donc y avoir d 'appel perdu et les x organes ne sont tous occup6s que si les N abonn6s sont s imultan6ment en communication. Or

N P(N, x) = p(N, x) -f--~--- x'

d'otl :

P(N,x) =

. q N ( X l) . . . . ( N - - . + I )

*1 . y z + ~ ( X - x ) + . . . . +7i., ( ~ ' - - x ) . . . ( N - - l )

323 - -

6/6 En faisant N = x clans cette 6galit6, il vient :

y~ x~. N!

P(N, x) -- t :'= ~"

6 ~ Si Y = t et si N >/x, les x organes sont occu- p6s en permanence.

P ( N , x) dolt 6tre 6gal h 1.

fO0

90

8 0

- 70

ooO:/

/

3O

~

E M I L E V A U L O T ET J E A N C H A U V E A U [ANNALESDES TI~LI~COMMUNICATIONS

d'EaL,NG et les courbes pr6c6dentes pour les proba- bilit6s de 0,0001 ; 0,005 ; 0,1.

On peut constater, sur cette figure, que l'6cart est d 'autant plus grand que le trafic est plus 61ev6 et la probabilit6 de perte plus faible.

On volt, par exemple, qu'un groupe de circuits de connexions comprenant 65 machines, comme il

J

MID~TES ~ TRAFIr I

M*NUrS$) $ooo

1

6 0 , 2 8 3 . I B

# 1~ eae .~a .reo frO0 a ~ Tee ~ , to t ~ rite ~ g ~ laaa t$OO tG~ tTO# t@t~ late ~OaO *tea gze~ a~a ~4ao ~ ~ao e7r 2gtao ~(100

Fro. 1. - - Courbes de probabilit6 ~ appels perdus lorsque le hombre d'abonn6s est 6gal ~ 100 : yz x~" (99)!

y" yz (99.x)! + ~ ~ (I00 -- x)! + ~ (101 - - x)t + . . . . + ~ . (99)!

I1 faut done v6rifier l'identit6 :

N f N - - I) . . . ( N - - x + I) N - - x x! = t + . 1!

+ (W - - x ) ( W - - �9 + 1) (W - - . ) . . . ( N - - 1) 2! + . . . d x!

I1 suffit de remarquer que l'on peut mettre succes- sivement en facteur, dans le deuxi~me membre, les

termes ( N - - x + 1), ( N - - x + 2) �9 2 , etc...

Courbes.

La formule (3) donnant la probabilit6 de perte p(N, x) d6pend de 3 variables N, x et y.

Si on veut traduire la formule (3) sous forme de courbes, il faut donner h N toutes les valeurs int6- ressantes. Pratiquement, le nombre de points par lesqflels le trafic peut acc6der hun groupe d'organes est, en g6n6ral, fix6 par construction, h 50 ou t00.

Nous donnons (fig. 1) le trac6 des courbes corres- pondant h N = 100 pour les probabilit6s de perte p=0,0001; 0,001; 0,0025; 0,005; 0,0t; 0,05; 0,1. Bien entendu ces courbes s'arrgtent au point corres- pondant hun trafic de 100 • 30 = 3 000 A. R. H. C.

La figure 2 permet de comparer les courbes

so~ / " " ,

NINUTE3 DE TRAFIff tooo 2000 Jooo 4 0 0 0 5ooo

. . . . . . . . .

Fro. 2 . - Courbes de probabilit6 ~ appels perdus - - 1 ~ Nombre d'abonn6s infiniment grand (EaLANG) : trait pointill6, 2 ~ Nombre d'abonn6s 6gal h 100: trait plein.

en existe dans tousles bureaux de Paris, peut 6eouler t 670 A. R. H. C. h la probabilit6 0,005 au lieu de I 490 A. R. H. C. d'apr~s la courbe d'ERLAN~.

On voit aussi que le trafie de 1490 A. R. H. C. peut ~tre 6cou16 par 59 circuits de connexion seulement. En principe, une r6duction de pros de 10 ~o des cir- cuits de connexion existants pourrait done ~tre op6r6e.

Manuscr i t regtt le 28 janvier t949. R~vision acceptde le 26 mars 1949,

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