Extension des corps et théorie de Galois

8/3/2019 Extension des corps et thorie de Galois

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6 Extensions de corps et

thorie de Galois

Version du 28 novembre 2005

Dans les chapitres prcdents, les corps sont apparus comme des anneauxtrs simples (pas didaux propres non nuls, modules se rduisant aux espacesvectoriels, qui sont classifis par leur dimension, etc.) et on ne sest pasintress eux. Dans ce chapitre et les suivants, on va tudier les extensionsde corps, c.--d., la donne dune paire de corps k K. Essentiellement,ceci revient tudier K non seulement comme corps, mais aussi commek-algbre. Ceci donne lieu une thorie trs riche.

Bien sr, on pourrait tudier, de faon plus gnrale, les extensions dan-neaux A

B, mais ceci est en gnral trop compliqu et inabordable.

23 Caractristique et extensions de corps

23.1 Les corps fondamentaux Q et Fp

Il y a deux exemples fondamentaux de corps. Dune part, le corps desrationnels Q, qui est le corps des fractions de Z. Dautre part, les corps finisFp, o p Z est un nombre premier 2. Ils sont construits comme suit.

Dfinition 23.1.1 Soit p 2 un nombre premier. On note Fp lanneauquotient Z/pZ. Cest un corps car lidal pZ est maximal, puisque Z est

principal et p irrductible.

De faon quivalente, mais plus concrte, le fait que Z/(p) soit un corpsrsulte du thorme de Bezout. En effet, soit a Z non divisible par p.Comme lidal engendr par a et p est Z, il existe , Z tels que a+p =1. Alors, les classes de et a modulo p sont inverses lune de lautre.

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146 Algbre et thorie de Galois 2005-2006

En pratique, on peut trouver explicitement les coefficients de Bezout

et (et donc linverse de a modulo p), par la mthode des divisionssuccessives.

Exemples 23.1.2 1) Prenons p = 37 et a = 7. Alors37 = 5 7 + 2

3 2 + 1 = 7, do

3 37 = 15 7 + 3 23 2 + 1 = 7,

et 16 7 3 37 = 1. Donc linverse de 7 mod. 37 est 16.2) Prenons p = 167 et a = 17. Alors

167 = 9 17 + 1414 + 3 = 17

14 = 4 3 + 21 + 2 = 3,

do 14 + 1 = 5 3,6 14 + 1 = 5 17,

6 167 + 1 = (6 9 + 5) 17.

Donc 1 = 59 17 6 167 et 59 est linverse de 17 modulo 167.

Dfinition 23.1.3 (Sous-corps engendr) Soit K un corps.

1) Si (Ki)iI est une famille de sous-corps de K, o I est un ensemblenon-vide, lintersection des Ki est un sous-corps de K.

2) Soit S une partie non-vide de K. Lensemble des sous-corps de K

contenant S est non-vide (car il contient K) et donc lintersection de tous cessous-corps est un sous-corps deK, qui est le plus petit sous-corps contenantS. On lappelle le sous-corps engendr par S.

Dfinition 23.1.4 Le sous-corps deK engendr par llment 1K sappellele sous-corps premier de K. Il est contenu dans tout sous-corps de K.

Remarque 23.1.5 (Facile mais importante) Soient Ket K deux corps.Tout morphisme danneaux : K K est un morphisme de corps, carlgalit

1 = (1) = (xx1) = (x)(x1)

entrane que (x1) = (x)1 pour tout x K\ {0}. De plus, est injectifcar Ker , tant un idal propre de K (car (1) = 1), est ncessairement nul.

Proposition 23.1.6 (Sous-corps premier et caractristique)

Soit K un corps arbitraire. Le sous-corps de K engendr par 1 est iso-morphe soit Q, soit Fp, pour un nombre premier p 2 uniquement


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dtermin. On dit que la caractristique de K est 0 dans le premier cas,

et p dans le second cas. De faon plus prcise, la caractristique de K est legnrateur 0 du noyau du morphisme Z K, n n 1K. On la notecar(K).

Dmonstration. Comme K est un groupe ablien, cest un Z-module,pour laction dfinie, pour tout n 0 et x K, par n x = x + + x (nfois), et (n) x = n (x). De plus, le morphisme de Z-modules : Z K,n n 1K est un morphisme danneaux, puisque la distributivit de lamultiplication dans K entrane :

(m 1K)(n 1K) = (1 + + 1)(1 + + 1) = (mn) 1K.

Observons aussi que Ker est un idal premier de Z, puisque Z/ Ker estisomorphe un sous-anneau de K, donc intgre. Par consquent, de deuxchoses lune.

1) Si Ker = (0), on peut identifier Z son image Z1K. Comme toutlment de (Z \ {0}) est inversible dans K, alors se prolonge en un mor-phisme danneaux : Q K, ncessairement injectif puisque Q est uncorps. De plus, tout sous-corps de K contient 1K, les lments n 1K et leursinverses. Ceci montre que le sous-corps premier de K est (Q), isomorphe Q. Dans ce cas, on identifiera Q son image dans K :

Q = {x K | n, m Z, n = 0, tels que nx = m1K}.2) Si Ker = (0), alors Ker = (p), o p est un nombre premier 2. Dansce cas, induit un isomorphisme de Fp sur son image, qui est forme deslments n1K pour 0 n < p. Ceci montre que, dans ce cas, le sous-corpspremier de K est form des lments n1K pour 0 n < p ; on lidentifiera Fp. La proposition est dmontre.

23.2 Gnralits sur les extensions

Dfinition 23.2.1 (Sous-corps engendr sur k) Soit k K une exten-sion de corps. (On dira aussi que K est un surcorps dek.) Soit S une partiede K. Lensemble des sous-corps de K contenant k et S est non-vide (car ilcontient K) et donc lintersection de tous ces sous-corps est un sous-corpsde K, qui est le plus petit sous-corps contenant k et S. On lappelle lesous-corps engendr par S sur k et on le note k(S), ou k(x1, . . . , xn) siS = {x1, . . . , xn}.


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Dfinition 23.2.2 (Extensions de type fini) On dit que k

K est une

extension de type fini si K est engendr comme surcorps de k par unnombre fini dlments, c.--d., sil existe x1, . . . , xn K tels que K =k(x1, . . . , xn). Si de plus il existe x K tel que K = k(x), on dira quelextension k K est monogne.

Lemme 23.2.3 Soit K un surcorps de k et soient I, J deux parties de K.Alors k(I)(J) = k(I J). Par consquent, toute extension de type fini k k(x1, . . . , xn) est obtenue comme compose dextensions monognes :

k(x1, . . . , xn) = k(x1)(x2, . . . , xn) = k(x1)(x2) (xn).

Dmonstration. k(I)(J) contient IJ et donc k(IJ). Rciproquement,k(I J) contient k(I) et J, donc k(I)(J). Ceci prouve le lemme.

Dfinition 23.2.4 Soient K et K deux extensions dek. On dira que K etK sont k-isomorphes sil existe un isomorphisme : K K (de corps oudanneaux ; on a vu que ctait la mme chose) tel que () = pour tout k. Ceci quivaut dire que est un isomorphisme de k-algbres.

Plus gnralement, si, plutt quune inclusion de k dans K et K, onsest donn des morphismes de corps : k K et : k K, alors unk-morphisme deK vers K est un morphisme de corps : K K tel que = .

23.3 Extensions entires danneaux

Dans cette section, on va tudier les extensions entires danneaux, djabordes dans la section 14.1 du chapitre 3. Le but de cette section estdouble : dune part, ajouter certains rsultats omis dans la section 14.1 (etutiliss dans la preuve du thorme des zros) et, dautre part, traiter lesextensions algbriques de corps, qui sont des cas particuliers dextensionsentires. Soient A B deux anneaux.

Dfinition 23.3.1 Un lment b B est dit entier sur A sil existe P A[X] unitaire tel que P(b) = 0, c.--d., sil existe a1, . . . , an

A tels que

bn + a1bn1 + + an = 0.

Une telle quation sappelle une quation de dpendance intgrale (de bsur A).

On dit que B est entier sur A si tout b B est entier sur A.


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Pour tout b

B, on note A[b] la sous-A-algbre de B engendre par b.

Proposition 23.3.2 (Caractrisation des lments entiers) Les condi-tions suivantes sont quivalentes : (i) b est entier sur A.

(ii) A[b] est un A-module de type fini.

(iii) A[b] est contenu dans un sous-anneau C de B qui est un A-modulede type fini.

Dmonstration. Si lon a une quation de dpendance intgrale P(b) = 0de degr n, on obtient (par une rcurrence sur le degr, ou bien en utilisant ladivision euclidienne dans A[X] par le polynme unitaire P), que les lments

1, b , . . . , b

n

1

engendrent A[b] comme A-module. Ceci montre que (i) (ii).Il est clair que (ii) (iii).Supposons (iii) vrifi et soient x1, . . . , xn des gnrateurs de C comme

A-module. Pour tout j, bxj appartient C donc il existe des lments aij Atels que

() bxj =ni=1

aijxi, j = 1, . . . , n .

Dsignons par P Mn(C) la matrice dont le coefficient dindice (i, j) estaij ijb, o ij dsigne le symbole de Kronecker (ij = 1 si i = j et = 0sinon). Alors, les quations () se rcrivent de faon matricielle :

(1) P

x1...xn

= 0.(galit de matrices coefficients dans lanneau C). Notons P la transposede la matrice des cofacteurs de P (c.--d., (1)i+j Pij gale le dterminant dela matrice obtenue en supprimant dans P la ligne j et la colonne i). Alors,daprs la formule de dveloppement dun dterminant suivant une ligne ouune colonne, on a lgalit matricielle :

(2) (dt P)In = P P,o In dsigne la matrice unit. Combin avec lgalit (1), ceci donne quellment d := dt P de C vrifie dxi = 0 pour i = 1, . . . , n. Donc d annulele A-module C, et comme C contient llment neutre 1 B, ceci donne


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dt P = 0. Or, P = M

bIn, o M dsigne la matrice dont les coefficients

sont les aij A. Donc, en dveloppant dt P, on obtient une galit(1)nbn + 1bn1 + + n = 0,

o les sont des polynmes en les aij, donc appartiennent A. Ceci montreque b est entier sur A. La proposition est dmontre.

Lemme 23.3.3 Soient A B des anneaux et N un B-module de type fini.On suppose que B est un A-module de type fini. Alors N est un A-modulede type fini.

Dmonstration. Par hypothse, il existe des lments x1, . . . , xr dans N(resp. b1, . . . , bn dans B) qui engendrent N comme B-module (resp. B commeA-module). Alors

N = Bx1 + + Bxret chaque Bxj est engendr, comme A-module, par les lments bixj. Il enrsulte que N est engendr comme A-module par les lments bixj. Ceciprouve le lemme.

Dfinition 23.3.4 Soient A B deux anneaux.1) On dit que lextension A B est de type fini si B est une A-

algbre de type fini, c.--d., sil existe x1, . . . , xn B engendrant B commeA-algbre, c.--d., tels que B = A[x1, . . . , xn].

2) On dit que lextension A B est finie si B est un A-module detype fini, c.--d., sil existem1, . . . , mr B engendrant B commeA-module,c.--d., tels que B = Am1 + + Amr.

Bien sr, toute extension finie est de type fini, mais la rciproque estfausse. Par exemple, lextension k k[X] est de type fini, mais nest pasfinie car k[X] nest pas un k-espace vectoriel de dimension finie.

Proposition 23.3.5 (type fini + entier fini) Si C = A[x1, . . . , xn] etsi chaque xi est entier sur A, alors C est un A-module de type fini.

Dmonstration. Par rcurrence sur n. Le cas n = 1 a t vu dans la

proposition 23.3.2. On peut donc supposer n 2 et le rsultat tabli pourn 1. Posons B = A[x1, . . . , xn1]. Par hypothse de rcurrence, B est finisur A. Dautre part, xn tant entier sur A ; il lest aussi sur B, et doncC = B[xn] est fini sur B. Donc, daprs le lemme 23.3.3, appliqu N = C,on obtient que C est un A-module de type fini. La proposition est dmontre.


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Remarque 23.3.6 crivant que chaque xi vrifie une quation intgrale

sur A de degr di, on peut aussi montrer par un argument direct que lesous-A-module de C engendr par les monmes

xs11 xsnn , avec 0 si di

est stable par multiplication par chaque xj, donc concide avec C (cf. preuvedu thorme 2.4.3).

Remarque 23.3.7 1) La proposition prcdente a t utilise implicitementdans la preuve du thorme de Zariski 15.2.1, page 98, ligne 2, dans la phrase : chaque xi, et donc aussi L, est entier sur le sous-anneau K[X1][1/f] .

2) Deux autres corrections la page 98 : dans la 2me ligne de la preuvede 15.2.2, remplacer k[X1, . . . , X n] par k[X1, . . . , X n]/m. Et ligne 3 du bas :remplacer en particulier pour g = f par : donc le point (x1, . . . , xn)appartient V(I) kn, et donc f(x1, . . . , xn) = 0 puisque f I(V(I)) .

Proposition 23.3.8 (Clture intgrale de A dans B) Soient A Bdes anneaux, et A lensemble des b B qui sont entiers sur A. Alors A estun sous-anneau de B, appel la clture intgrale de A dans B.

Dmonstration. Dabord,

A contient A et donc 1. Soient x, y

A. Alors,

daprs la proposition 23.3.5, le sous-anneau A[x, y] est un A-module de type

fini. Il contient xy et xy et donc, daprs le point 3) de la proposition 23.3.2,x y et xy sont entiers sur A. Ceci montre que A est un sous-anneau de B.

Proposition 23.3.9 (Transitivit des extensions entires)Soient A B C, avec B entier sur A. Si x C est entier sur B, alors xest entier sur A. En particulier, si C est entier sur B, il est entier sur A.

Dmonstration. Par hypothse, il existe b1, . . . , bn B tels que

xn + b1xn1 +

+ bn = 0.

Posons B0 := A[b1, . . . , bn]. Alors B0[x] est fini sur B0 et, daprs la propo-sition 23.3.5, celui-ci est un A-module de type fini. Donc, daprs le lemme23.3.3, le sous-anneau B0[x] est un A-module de type fini. Daprs la proposi-tion 23.3.2, ceci entrane que x est entier sur A. La proposition est dmontre.


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Dfinition 23.3.10 1) Soient A

B deux anneaux. On dit que A est in-

tgralement ferm dans B si tout lment de b entier sur A appartient A, c.--d., si A est gal sa clture intgrale dans B.

2) On dit quun anneau A est intgralement clos sil est intgre etsil est intgralement ferm dans son corps des fractions K, c.--d., si tout K entier sur A appartient A.

Corollaire 23.3.11 Soient A B deux anneaux et A la clture intgralede A dans B. Alors A est intgralement ferm dans B. En particulier, si Aest intgre et B son corps des fractions, alors A est intgralement clos.

Dmonstration. Soit x B entier sur

A. Daprs la proposition 23.3.9, x

est entier sur A, donc appartient A. Les anneaux intgralement clos jouent un rle important en gomtrie

algbrique et en thorie des nombres ; voir par exemple [AM, Chap.9], [Die,5], [Sa].

Proposition 23.3.12 Soit A factoriel. Alors A est intgralement clos.

Dmonstration. Soient K le corps des fractions de A et K\ {0}. Onpeut crire = b/c, avec b et c sans facteur commun. Supposons entiersur A. Alors il existe a1, . . . , an A tels que

n + a1n1 +

+ an = 0.

Multipliant cette galit par cn, on obtient que

() bn = ca1bn1 + + cnanest divisible par c. Ceci entrane que c est inversible dans A. En effet, sinonsoit p un lment irrductible divisant c. Daprs () il divise bn et donc,daprs le Lemme dEuclide (puisque A est factoriel), p divise b, une contra-diction. Donc c est un lment inversible de A et A. La proposition estdmontre.

Proposition 23.3.13 Soit A

B une extension entire.

1) Soient J un idal propre de B et I = A J. Alors lextension A/I B/J est entire.

2) Si S est une partie multiplicative de A, lextension S1A S1B estentire.

Dmonstration. Facile, et laisse au lecteur.


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23.4 lments algbriques ou bien transcendants

Soit k K une extension de corps et soit K. On note k[] lasous-k-algbre de K engendre par .

Soit : k[X] K le morphisme de k-algbres dfini par (X) = .On a (P) = P() K pour tout P k[X], et limage de est k[].Posons I = Ker . Puisque k[X]/I = k[] est intgre, alors I est unidal premier de k[X]. Donc, de deux choses lune : ou bien I = (0) ou bienI = (P) pour un polynme irrductible unitaire uniquement dtermin.

Dfinition 23.4.1 (lments transcendants ou algbriques)

1) Si I = (0), on dit que est transcendant sur k.

2) Si I = (0), on dit que est algbrique sur k. Dans ce cas, I =(P), o P est lunique polynme unitaire de degr minimal dans I ; parconsquent, est entier sur k.

Le polynmeP est appelpolynme minimal de sur k ; on le noteraIrrk(). Son degr sappelle degr de sur k et se note degk().

Remarque 23.4.2 Soit L un corps intermdiaire entre k et K, c.--d., k L K. Si k est algbrique sur k, il lest aussi sur L et Irrk() estdivisible, dans L[X], par IrrL().

Thorme 23.4.3 (Le sous-corps k(x), pour x algbrique ou bientranscendant)

1) Supposonsx algbrique sur k. Alors Irrk(x) est irrductible et lon a

() k[X]/(Irrk(x)) k[x] = k(x).

Par consquent, les lments 1, x , . . . , xd1, o d = degk(x), forment unebase de k(x) sur k. En particulier, dimk k(x) = d.

2) Si est transcendant sur k, alors linjection : k[X] K induit unk-isomorphisme k(X)

k(). En particulier, dimk k() = +.Dmonstration. 1) k[X]/Ix est intgre car isomorphe k[x], la sous-k-

algbre de K engendre par x. Ainsi, Ix = (Irrk(x)) est premier. Daprs lelemme 14.3.1, Irrk(x) est irrductible et engendre un idal maximal de k[X].Donc, A := k[X]/(Irrk(x)) est un corps. Par consquent, son image par x,qui est k[x], gale le corps k(x) engendr par x. Ceci prouve (). Comme lesimages de 1, . . . , X d1 forment une base de A sur k, la dernire assertion de1) en dcoule.


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2) Supposons transcendant, c.--d., : k[X]

K injectif. Alors, tout

lment de (k[X] \ {0}) est inversible dans K, et donc se prolonge en unmorphisme danneaux : k(X) K, ncessairement injectif puisque k(X)est un corps. Limage de est forme des fractions

P()

Q()| P, Q k[X], Q = 0

;

cest le sous-corps k(), qui est donc isomorphe k(X).

Remarque 23.4.4 crivons Irrk(x) = xd + a1xd1 + + ad et observonsque ad = 0 puisque Irrk(x) est irrductible. Alors linverse de x est gal

(xd + a1xd2 + + ad1)a1d .Dautre part, le fait que, dans ce cas, k[x] concide avec k(x) rsulte aussidu lemme suivant.

Lemme 23.4.5 Soit A une k-algbre commutative intgre de dimension fi-nie sur k. Alors A est un corps.

Dmonstration. Soit x A\{0}. La multiplication par x est un endomor-phisme k-linaire injectif de A, donc surjectif (puisque dimk A < ). Doncil existe x A tel que xx = 1, et x est linverse de x. Ceci montre que Aest un corps.

23.5 Extensions algbriques de corps et degr dune exten-sion

On a vu plus haut que si K = k(x), o x est un lment algbrique surk, alors dimk K = degk(x). Ceci explique la terminologie introduite dans ladfinition suivante.

Dfinition 23.5.1 Soit k K une extension de corps ; la dimension deKcomme k-espace vectoriel est appele degr de K sur k et note [K : k].Cest un lment deN {+}.

Proposition 23.5.2 (Multiplicativit des degrs) Soient k K Ldes extensions de corps. On a [L : k] = [L : K][K : k].

Dmonstration. Si lun de [L : K] ou [K : k] gale +, il en est de mmede [L : k]. On peut donc supposer [L : K] = m et [K : k] = n. Soient(1, . . . , m) une base de L sur K et (x1, . . . , xn) une base de K sur k. Alors,


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daprs la preuve du lemme 23.3.3, les lments xij engendrent L comme k-

espace vectoriel. Montrons quils sont linairement indpendants. Supposonsquon ait une galit

0 =i,j

ai,jxij,

avec les ai,j k. Alors on a

0 =

1im

1jn

ai,jxj

i.Comme les i sont linairement indpendants sur K, on obtient que, pour

tout i = 1, . . . , m, 1jn

ai,jxj = 0.

Puis, comme les xj sont linairement indpendants sur k, on obtient queai,j = 0 pour tout i, j. Ceci montre que les produits xji forment une basede L sur k, do dimk L = mn.

Remarque 23.5.3 La mme dmonstration montre que si A B sont deuxanneaux, et si B = An comme A-module, alors, pour tout r 1, Br est librecomme A-module, de rang rn.

Dfinition 23.5.4 Soit k K une extension de corps. On dit que K/k estune extension algbrique si tout lment de K est algbrique sur k. Dansce cas, K/k est en fait une extension entire.

Proposition 23.5.5 Soient k K et K L des extensions algbriques decorps. Alors lextension k L est algbrique.

Dmonstration. Ceci rsulte de la proposition 23.3.9.

Proposition 23.5.6 Soit k K une extension de corps.1) Si [K : k] 0 et le thorme tabli pour tout m < m. Soit P K[X]

ayant exactement m racines dans L \ K, et soit

P = P1 Pr (1)


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sa dcomposition en facteurs irrductibles dans K[X]. Comme m > 0, lun

au moins de ces facteurs, disons P1, est de degr 2 et na pas de racinesdans K.

Par hypothse, P se scinde dans L[X] comme produit de facteurs (irr-ductibles !) de degr 1. Comme L[X] est factoriel, lunicit dune telle dcom-position entrane que chaque Pi est un produit de certains de ces facteurslinaires. En particulier, P1 a toutes ses racines dans L. Soit lune delles.Daprs la proposition 24.1.5, on a un K-isomorphisme

: K[X]/(P1) K[]. (2)

Dautre part,

(P) = (P1) (Pr), (1)et, par le mme argument que prcdemment, chaque (Pi) a toutes sesracines dans L. Soit une racine de (P1) dans L. Daprs la proposition24.1.5, nouveau, on a un K-isomorphisme

: K[X]/((P1)) K[]. (2)

De plus, daprs le lemme prcdent, on a un isomorphisme

: K[X]/(P1) K[X]/((P1))

qui prolonge : K

K. Posons K1 = K[] et K1 = K

[]. Alors, 1 := 1 est un isomorphisme K1 K1 qui prolonge . On a donc lediagramme suivant :

K K1 L = 1 =K K1 L.

Maintenant, L (resp. L) est un corps de dcomposition sur K1 (resp. surK1) de notre polynme P (resp. de (P)), et le nombre de racines de P dansL\K1 est < m. Donc, par hypothse de rcurrence, il existe un isomorphisme : L

L tel que

|K1 = 1. Par consquent,

|K = 1

|K = . Ceci achve

la preuve du thorme.

Dfinition 24.2.7 (Extensions quasi-galoisiennes) On dit queK/k estune extension quasi-galoisienne, ou normale, si elle est algbrique et v-rifie la proprit suivante : pour tout K, le polynme minimal Irrk() atoutes ses racines dans K.


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Proposition 24.2.8 Soit P

k[X] de degr n

1 et K un corps de d-

composition de P sur k. Lextensionk K est quasi-galoisienne.Dmonstration. Soit K et soit S = Irrk() son polynme minimal

sur k. Soit L un corps de dcomposition sur K de S. Alors P S a toutes sesracines dans L et celles-ci engendrent L sur k. Par consquent, L est un corpsde dcomposition de P S sur k.

Soit une racine de S dans L. Daprs le thorme 24.1.1, il existeun (unique) k-isomorphisme : k[]

k[] tel que () = . De plus,daprs le premier thorme fondamental (24.2.5), se prolonge en un k-automorphisme de L.

Soient x1, . . . , xm les racines distinctes de P dans K; alors K, resp. (K),

est le sous-corps de L engendr par les xi, resp. les (xi). Or, pour chaque i,(xi) est une racine de (P) = P. On en dduit que induit une bijectionf de {1, . . . , m} telle que (xi) = xf(i), pour i = 1, . . . , m. Il en rsulte que(K) = K. Comme () = () = , on obtient ainsi que K. Cecimontre que S a toutes ses racines dans K (et donc L = K). La propositionest dmontre.

24.3 Le groupe des k-automorphismes dune extension

Dfinition 24.3.1 1) Soit K/k une extension algbrique. On noteAut(K/k)le groupe des k-automorphismes de K.

2) Posons G = Aut(K/k) et soit K. Lensemble {g() | g G}des transforms de par les lments de G sappelle lorbite de souslaction de G, ou simplement la G-orbite de , et se note G. Dautre part,lensemble

G := {g G | g() = }est un sous-groupe de G, on lappelle le stabilisateur de . Il est parfoisaussi not StabG().

Proposition 24.3.2 Soit k K une extension algbrique et soit K.1) Pour tout

Aut(K/k), () est racine de Irr

k().

2) Posons G = Aut(K/k). Lorbite G est un ensemble fini de cardinal degk(), et Irrk() est divisible par le polynme

G(X ).


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Dmonstration. 1) Posons P = Irrk() et crivons P = Xd + a1Xd1 +

+ ad, o d = degk(). Soit Aut(K/k). Alors0 = (P()) = ()d + a1(())

d1 + + ad = P(()).

Ceci montre que () est racine de P.Par consquent, X g() divise P, pour tout g G = Aut(K/k). Or,

daprs lunicit de la dcomposition en facteurs irrductibles, P a au plusd diviseurs irrductibles distincts. Il en rsulte que lorbite G est finie, decardinal d, et que P est divisible par le produit des X , pour G.La proposition est dmontre.

Une question Au vu de la proposition prcdente, on est conduit se

demander si, pour tout K, on a lgalit() Irrk() =

G

(X ) ?

En cas de rponse positive, on obtiendrait que la connaissance du groupeG (et de son action sur K) permet de dterminer, pour tout K, lepolynme minimal Irrk() et donc la structure du sous-corps k[] K.

On va voir dans un instant quil faut imposer certaines hypothses, asseznaturelles, sur lextension k K pour que () soit vraie. On verra ensuiteque, sous ces hypothses, la structure du groupe G et des ses sous-groupesdtermine compltement la structure de lextension k

K et des sous-corps

L tels que k L K (on dira quun tel L est une extension interm-diaire).

Exemples 24.3.3 1) Une premire obstruction, vidente, () est que Kpeut ne pas contenir suffisamment de racines de Irrk(). Par exemple, soientk = Q, P = X3 2 et lune quelconque des racines de P dans C. Ona vu dans lexemple 24.1.6 que est la seule racine de P dans Q[]. Doncg() = , pour tout g G := AutQ(Q[]), et comme Q[] est engendr surQ par , on obtient en fait que G = {1}.

En fait, si () est vrifie, alors Irrk() a toutes ses racines dans K. Donc,pour que () soit vrifie pour tout K, il est ncessaire de supposerque lextension k K soit quasi-galoisienne.

2) Une autre obstruction, plus subtile, est la suivante. Le terme de droitedans () est un polynme dont les racines sont deux deux distinctes, c.--d.,o chacune est de multiplicit 1. Or, pour certains corps k de caractristique

p > 0, il existe des extensions k K et K tels que Irrk() ait des racines


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Patrick Polo 167

multiples. (Une telle situation ne peut se produire si car(k) = 0 ou si k est

un corps fini.) Ceci conduit tudier la notion de sparabilit.

25 Extensions sparables et thorme de llment

primitif

25.1 Polynmes et extensions sparables

Dfinition 25.1.1 Soit P k[X] un polynmeirrductible. On dit quePest sparable sur k sil vrifie la proprit suivante : ses racines 1, . . . , ndans un corps de dcomposition K de P sur k sont deux deux distinctes,c.--d., chacune de multiplicit 1.

Ceci ne dpend pas du corps de dcomposition K. En effet, si K estun autre corps de dcomposition, il existe, daprs le thorme 24.2.5, unk-isomorphisme : K

K. On a (P) = P, puisque P est coefficientsdansk. Dautre part, on a dansK[X], P = a(X 1) (X n), o a kest le coefficient dominant de P, et appliquant cette galit on obtient ladcomposition P = (P) = a(X (1)) (X (n)). Par consquent,les racines de P dans K sont les (i), qui sont deux deux distinctes.

Lemme 25.1.2 Soient P k[X] sparable, L une extension de k, et Q undiviseur de P dans L[X]. Alors Q est sparable sur L.

Dmonstration. Soit K un corps de dcomposition de P sur L. Alors Qest scind dans L et ses racines sont parmi celles de P donc sont deux deuxdistinctes.

Dfinition 25.1.3 Soit k K une extension algbrique.1) On dit que K est sparable sur k si son polynme minimal

Irrk() est sparable sur k.

2) On dit que lextension k K est sparable si tout K estsparable sur k.

Proposition 25.1.4 Soient k

L

K des extensions de corps. Si K/k estsparable, L/k et K/L le sont aussi.

Dmonstration. Il est clair que L/k est sparable ; montrons que K/Llest aussi. Soit x K. Par hypothse, Irrk(x) est sparable. Or, il est mul-tiple, dans L[X], de IrrL(x). Donc ce dernier est sparable, daprs le lemmeprcdent.


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On a introduit plus haut la notion de sparabilit pour un polynme

P k[X] irrductible. Pour la suite, il est commode dtendre cette notion un polynme non constant quelconque, de la faon suivante.

Dfinition 25.1.5 Soit P k[X], non constant, et soit P = P1 Pr sa d-composition en facteurs irrductibles dansk[X]. On dit queP est sparablesur k si chaque Pi lest.

Lemme 25.1.6 Soit k K une extension sparable et quasi-galoisienne,de degr fini. Alors K est le corps de dcomposition sur k dun polynmesparable.

Dmonstration. Soient 1, . . . , n des gnrateurs de K sur k. PosonsPi = Irrk(i). Par hypothse, chaque Pi a toutes ses racines dans K et estsparable. Alors le polynme P = P1 Pr est sparable, et K est un corpsde dcomposition de P sur k. Ceci prouve le lemme.

25.2 Racines multiples et sparabilit

lucidons maintenant la notion de polynme sparable.

Dfinition 25.2.1 (Loprateur de drivation) Soit k un corps. Pourtout lment P = a0 + a1X + + anXn de k[X], on pose

P

= a1

+ 2a2

X +

+ nan

Xn1.

On lappelle lepolynme driv deP. On noteraD lapplication P P ;on voit facilement que cest un endomorphisme k-linaire de k[X].

Lemme 25.2.2 Pour tout P, Q k[X], on a D(P Q) = P D(Q) + D(P)Q,c.--d., (P Q) = P Q + PQ.

Dmonstration. Les deux termes de lgalit dmontrer tant bilinairesen (P, Q), il suffit de vrifier cette galit lorsque P = Xm et Q = Xn. Dansce cas, les deux termes valent (m + n)Xm+n1. Ceci prouve le lemme.

Proposition 25.2.3 Soit P

k[X] non constant. Les assertions suivantessont quivalentes :

1) P a une racine multiple dans un (et donc dans tout) corps de dcom-position de P sur k ;

2) P et P ont une racine commune dans une extension de k ;

3) Lepgcd de P et P est de degr 1.


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Dmonstration. Soit K un corps de dcomposition de P sur k. Supposons

que P ait dans K une racine de multiplicit n 2. Alors, P = (X)nQ,avec Q K[X]. Daprs le lemme prcdent, appliqu dans K[X], on obtient

() P = n(X )n1Q + (X )nQ,

do P() = 0. Ceci montre que 1) 2).Soit D un pgcd de P et P. Daprs le thorme de Bezout, il existe

A, B k[X] tels que AP + BP = D. Si est une racine commune de P etP dans une extension L de k, cest aussi une racine de D, do deg D 1.Ceci montre que 2) 3).

Rciproquement, si D est de degr

1, il admet une racine dans une

extension L de k, et est une racine de P et P, puisque D divise P et P.Ncessairement, est une racine multiple de P. En effet, on aurait sinon,dans L[X],

P = (X )Q avec Q() = 0,do, daprs () ci-dessus, P() = Q() = 0. Donc, est une racine deP dans L de multiplicit 2. Soit K un corps de dcomposition de P surk(). Alors, K est un corps de dcomposition de P sur k, et P a une racinemultiple dans K. Ceci prouve 3) 1). La proposition est dmontre.

Corollaire 25.2.4 Soit P

k[X] irrductible ; P est sparable

P

= 0.

Dmonstration. Soit D = pgcd(P, P). Daprs la proposition prcdente,il suffit de montrer que deg D 1 P = 0. Limplication est vidente.Supposons deg D 1. Comme P est irrductible, D est associ P donc dedegr deg P. Dautre part, P est nul ou bien de degr < deg P. Comme Ddivise P, on a ncessairement P = 0. Ceci prouve le corollaire.

Corollaire 25.2.5 Si car(k) = 0, tout polynme est sparable.

Dmonstration. Daprs la dfinition, il suffit de montrer que tout po-lynme irrductible P est sparable. On peut supposer P unitaire, disons

de degr d. Alors le terme dominant de P est dXd1

, qui est non nul carpuisque car(k) = 0. Donc P est sparable, daprs le corollaire prcdent.

Remarque 25.2.6 Soit k = Fp(T) le corps des fractions rationnelles surFp. On peut montrer que le polynme P = Xp T k[X] est irrductible.Dautre part, il vrifie P = pXp1 = 0. Il nest donc pas sparable sur k.


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25.3 Caractrisation de la sparabilit en termes de mor-

phismesRemarque 25.3.1 Pour arriver au thorme principal de la thorie deGalois 26.6.1, il y a essentiellement deux approches. On peut dmontrerdirectement le thorme dArtin 26.3.1 en tudiant deux systmes linaireshomognes (26.2.5 et 26.3.1), et ensuite dduire le thorme de llmentprimitif 26.7.3 du thorme principal 26.6.1, combin avec la proposition25.4.5. Cest lapproche originelle dEmil Artin ([Art]). Elle est plus simpleet, peut-tre, plus pdagogique.

On peut, dautre part, caractriser les extensions sparables en termesde morphismes (thorme 25.3.3 ci-dessous), puis dmontrer le thorme de

llment primitif 25.4.2 et son corollaire 25.4.4, et en dduire le thormedArtin (26.4.1). Cest lapproche suivie dans [Ne04], [Esc], et [La]. Elle estplus courte, mais peut-tre moins pdagogique, car lintrt du thorme25.3.3 ci-dessous napparat que plus tard.

Dfinition 25.3.2 Soit K/K1 une extension de corps et soit : K1 L un morphisme de corps (ncessairement injectif !). On note Hom(K, L)lensemble des morphismes de corps : K L tels que |K1 = . Silon identifie K1 son image (K1), ce nest autre que lensemble des K1-morphismes de K vers L.

Thorme 25.3.3 (Sparabilit sur k et k-morphismes) SoitK/k uneextension de degr fini.

1) Pour toute extension L/k, on a

() #Homk-alg.(K, L) [K : k],et si lgalit a lieu pour un certain L alors lextension K/k est sparable.

2) Rciproquement, si K/k est sparable alors lgalit a lieu pour toutL contenant un corps de dcomposition sur K du produit des polynmesminimaux sur k dun systme de gnrateurs de K sur k.

3) Pour toute extension K/k, il existe une extension M de K telle que

Homk-alg.(K, M) = .Dmonstration. Par hypothse, K = k[x1, . . . , xr]. On va montrer 1) et

2) par rcurrence sur r. Si r = 1, c.--d., si K = k[x], lassertion 1) etlimplication de 2) rsultent de la proposition 24.1.5. Dautre part, sik[x] est sparable sur k, lgalit est obtenue dans () si L est un corps dedcomposition sur k de Irrk(x). Ceci prouve 1) et 2) pour r = 1. De plus, on


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obtient 3) en prenant pour M un corps de dcomposition sur K de Irrk(x).

On peut donc supposer r 2 et le rsultat tabli pour r 1.Posons K1 = k[x1]. Alors, dune part,

(1) #Homk-alg.(K1, L) [K1 : k].Dautre part, soit : K1 L un k-morphisme. Par hypothse de rcurrence,applique lextension K1 K, on a(2) #Hom(K, L) [K : K1].Or, si : K L est un k-morphisme, alors sa restriction 1 K1 est un k-morphisme, et Hom1(K, L). Combin avec (1), (2) et la multiplicativit

des degrs, ceci donne :(3) #Homk-alg.(K, L) [K : K1][K1 : k] = [K : k],et de plus, pour un L fix, lgalit a lieu dans (3) si et seulement si elle alieu dans (1) et (2). Ceci prouve 1), ainsi que limplication dans 2). Eneffet, supposons que pour un certain L on ait galit dans (3), alors on aaussi galit dans (1), et donc x1 est sparable sur k. Mais comme on peutchoisir x1 arbitrairement dans K, ceci montre que K est sparable sur k.

Rciproquement, supposons K/k sparable. Alors, daprs la proposition25.1.4, les extensions K1/k et K/K1 sont sparables. Posons Pi = Irrk(xi),pour i = 1, . . . , n, et soit L un corps de dcomposition sur K de P1

Pn.

Alors, par hypothse de rcurrence, on a galit dans (1) et (2), et donc aussidans (3). Ceci achve la preuve des assertions 1) et 2).

De mme, on montre par rcurrence sur r que Homk-alg.(K, M) = , pourtout corps M contenant un corps de dcomposition sur K de P1 Pr. Ceciachve la preuve du thorme.

Corollaire 25.3.4 1) Soit K/k une extension algbrique et x K. Si x estsparable sur k, alors lextension k[x]/k est sparable.

2) Si K/E et E/k sont des extensions de degr fini sparables, alors K/klest aussi.

Dmonstration. 1) Soit L un corps de dcomposition sur K de Irrk(x).Daprs la proposition 24.1.5, on a

#Homk-alg.(k[x], L) = degk(x) = [k[x] : k].

Par consquent, daprs le thorme prcdent, lextension k k[x] est s-parable. Ceci prouve 1).


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crivons K = E[x1, . . . , xs] et E = k[xs+1, . . . , xr] et notons Pi le poly-

nme minimal de xi sur k. Soit L un corps de dcomposition de P1 Pr surK. Daprs le thorme, on a

#Homk-alg.(E, L) = [E : k],

et tout k-morphisme : E L se prolonge en exactement [K : E] mor-phismes K L. Par consquent, on a

#Homk-alg.(K, L) = [K : E][E : k] = [K : k],

et donc, daprs le thorme, lextension K/k est sparable.

25.4 Le thorme de llment primitif

Dfinition 25.4.1 On rappelle quune extension k K est ditemonognesi K est engendr surk par un seul lment, c.--d., sil existe K tel queK = k(). Dans ce cas, on dit que est un lment primitifde K sur k.

Thorme 25.4.2 (Thorme de llment primitif) SoitK/k une ex-tension sparable de degr fini. Alors K admet un lment primitif surk.

Dmonstration. On verra dans le chapitre suivant que si k est un corps

fini et K/k une extension de degr fini, alors le groupe multiplicatif K estcyclique, et donc K = k[] pour tout gnrateur de K.

On peut donc supposer k infini. Posons n = [K : k]. Comme K/k estsparable, il existe une extension L de k et des k-morphismes K L deux deux distincts 1, . . . , n. Alors Ker(i j) est un sous-espace propre deK, pour tout i = j.

Lemme 25.4.3 Un espace vectorielV sur un corps infinik nest pas runionfinie de sous-espaces propres V1, . . . , V t.

Dmonstration. Cest clair si t = 1. Donc on peut supposer t 2 etle rsultat tabli pour t

1. Alors, il existe u, v

V tels que u

Vt et

v V1 Vt1. Supposons

V = V1 Vt.

Alors v Vt. Comme lensemble des x := u + v, pour k, est infini, ilexiste = dans k tels que x et x appartiennent au mme Vj. On ne peut


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avoir j = t, car sinon on aurait u

Vt, une contradiction. Donc j < t, et Vj

contient x x = ( )v donc aussi v, une contradiction. Ceci prouve lelemme.

On peut maintenant achever la preuve du thorme de llment primitif.Daprs le lemme, il existe x K nappartenant aucun des Ker(i j).Alors, les i(x) sont deux deux distincts. Comme ce sont des racines, dansL, de Irrk(x), ceci entrane degk(x) n, et donc

n degk(x) = [k(x) : k] [K : k] = n.

Il en rsulte que k(x) = K. Le thorme est dmontr.

Corollaire 25.4.4 SoitK/k une extension algbrique sparable. On supposequil existe n N tel que degk(x) n pour tout x K. Alors [K : k] n.

Dmonstration. Quitte diminuer n, on peut supposer quil existe x Ktel que degk(x) = n. Soit y K arbitraire. Comme lextension k k[x, y]est sparable de degr fini, elle admet un lment primitif z. On a donck[x] k[z], et cette inclusion est une galit par maximalit de degk(x).Donc k[x] = k[z] = k[x, y], do y k[x]. Ceci montre que K = k[x].

Pour terminer cette section, signalons aussi la proposition suivante.

Proposition 25.4.5 Soitk

K une extension de degr fini. Alors K admetun lment primitif sur k le nombre dextensions intermdiaires est fini.

Dmonstration. Supposons K = k[] et soit P = Irrk(). Soit k L K une extension intermdiaire et soit Q = IrrL(). Alors [K : L] =deg Q. Observons que Q divise P dans L[X], donc a fortiori dans K[X]. Parconsquent, il ny a quun nombre fini de possibilits pour Q.

Soit L L le sous-corps de L engendr sur k par les coefficients de Q.Comme Q est irrductible dans L[X], il lest aussi dans L[X]. Par cons-quent, K = L[] est de degr deg Q sur L. On a donc

[K : L] = deg Q = [K : L],

do [L : L] = 1, c.--d., L = L. Ceci montre que L est entirement dter-min par la donne de Q. Comme il ny a quun nombre fini de tels Q, ceciprouve la finitude du nombre des extensions intermdiaires.

Dmontrons maintenant limplication sous lhypothse que k est in-fini. (On verra le cas des corps finis dans le prochain chapitre).


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Choisissons un lment

K tel que degk() soit maximal, c.--d., tel

que k[] soit de degr maximal parmi les sous-extensions simples contenuesdans K. Ceci est possible puisque K est de degr fini sur k. On va montrerque k[] = K.

Soit K. Pour t variant dans k, posons t = + t et notons Lt lesous-corps de K engendr par t. Ces corps sont en nombre fini et donc, ktant suppos infini, il existe des lments s = t dans k tels que Ls = Lt. Cecorps contient alors (s t), donc , et aussi . Donc,

k[] k[, ] k[s].

La maximalit de degk() entrane alors que les inclusions ci-dessus sont des

galits, do k[]. Comme K tait arbitraire, ceci montre quek[] = K. Le thorme est dmontr.

Remarque 25.4.6 Soit K = Fp(X, Y) le corps des fractions rationnelles deux variables sur Fp, et soit k le sous-corps engendr par Xp et Yp. Onverra dans le chapitre suivant que [K : k] = p2, et que tout lment Kvrifie p k. Par consquent, toute extension monogne k[] K est dedegr p (et = p si k). Ceci montre que lextension k K nest pasmonogne, donc admet une infinit de corps intermdiaires.

26 Extensions galoisiennes et

correspondance de Galois

26.1 Extensions galoisiennes

Dfinition 26.1.1 Soient k K une extension algbrique et H un sous-groupe de G = Aut(K/k). On pose

KH = {x K | h H, h(x) = x}.

Cest un sous-corps de K contenant k, appel corps des invariants de Hdans K.

Remarque 26.1.2 Lexemple de k = Q K = Q[ 32] (cf. 24.3.3) montreque lon peut avoir k = KG.

Dfinition 26.1.3 (Extensions galoisiennes) Une extension algbriquek K est ditegaloisienne si, posant G = Aut(K/k), lon a KG = k. Dansce cas, on dit que G est le groupe de Galois de lextension, et on le note


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Patrick Polo 175

Gal(K/k). De plus, pour tout

K, les lmentsg(), pourg

Gal(K/k),

sappellent les conjugus sur k de (dans K).

Thorme 26.1.4 (Proprits des extensions galoisiennes)

Soit k K une extensiongaloisienne et soit G = Aut(K/k).1) Pour tout K, on a

() Irrk() =G

(X );

en particulier, lorbite G est forme dexactement degk() lments.

2) Lextension k

K est quasi-galoisienne et sparable. En particu-

lier, si [K : k] < , K est le corps de dcomposition sur k dun polynmesparable.

Dmonstration. 1) Posons Q =

G(X) ; a priori, cest un lmentde K[X]. On va montrer que Q k[X]. crivons Q = Xn+b1Xn1+ +bn,o n = |G|. Pour montrer que Q k[X], il suffit de montrer que Q = g(Q)pour tout g G, car alors chaque bi appartiendra KG, qui gale k parhypothse.

Soit g G. On ag(Q) =

G

(X g()),

et donc lgalit g(Q) = Q est claire, puisque lapplication g() est unebijection de lorbite G, dont la bijjection inverse est g1().

On a donc Q k[X]. Par consquent, Irrk() divise Q, puisque Q() = 0.Dautre part, daprs la proposition 24.3.2, Q divise Irrk(). On a doncIrrk() = Q, puisque tous deux sont unitaires. Ceci prouve le point 1).

2) De plus, lgalit () montre que les racines de Irrk() sont toutesdans K, et deux deux distinctes. Puisque K est arbitraire, ceci montreque lextension k K est quasi-galoisienne et sparable. Enfin, la dernireassertion rsulte du lemme 25.1.6. La proposition est dmontre.

Thorme 26.1.5 (Second thorme fondamental)Soient k un corps et P k[X] un polynme sparable de degr n 1.

Soit K un corps de dcomposition de P sur k et soit G = Aut(K/k). Alors,KG = k, c.--d., lextension k K est galoisienne.

Dmonstration. On va dmontrer le thorme pour toute paire (k, P),en procdant par rcurrence sur le nombre m de racines de P qui sont


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dans K mais pas dans k. Sans perte de gnralit, on peut supposer P

unitaire. Si m = 0, alors

P = (X 1) (X n),avec les i dans k. Dans ce cas, K = k, G = {1} et il ny a rien montrer.

Supposons m > 0 et le thorme tabli pour tout m < m. Soit P k[X]ayant exactement n m racines dans k, o n = deg P, et soit K un corps dedcomposition de P sur k. Alors P a exactement m racines dans K\ k. Soit

P = P1 Prsa dcomposition en facteurs irrductibles dans k[X]. On peut supposer lesPi unitaires. Comme m > 0, lun au moins de ces facteurs, disons P1, est dedegr d 2 et na pas de racines dans k. Par hypothse, P se scinde dansK[X] comme produit de facteurs (irrductibles !) de degr 1. Comme K[X]est factoriel, on en dduit que la mme proprit est vrifie par chacun desPi ; en particulier par P1. Donc, dans K[X], P1 se factorise :

P1 = (X 1) (X d),avec 1 = et les i K deux deux distincts, puisque P1 est sparablepar hypothse.

Or, K est un corps de dcomposition de P sur k(), et P est sparableet a moins de m racines dans K\ k(). Donc, par hypothse de rcurrence,

le sous-groupeH = Autk()(K) = {g Aut(K/k) | g(x) = x, x k()}

vrifie KH = k(). Dautre part, daprs la proposition 24.1.5 et le thorme24.2.5, il existe, pour i = 2, . . . , d, un k-automorphisme i de K tel quei() = i.

Soit maintenant z KG. Alors z KH = k() et donc (puisque P1 =Irrk() et d = deg P1) il existe a0, . . . , ad1 k tels que

z = a0 + a1 + + ad1d1.Soit i

{2, . . . , d

}. Appliquant i

G cette galit, on obtient :

z = a0 + a1i + + ad1d1i .Il en rsulte que les d lments distincts = 1, 2, . . . , d sont tous racinesdu polynme

Q(X) = (a0 z) + a1X+ + ad1Xd1.


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Patrick Polo 177

Celui-ci tant de degr

d

1, il est donc nul. Par consquent, z = a0

appartient k. Ceci achve la preuve du thorme.

Dfinition 26.1.6 (Groupe de Galois dun polynme sparable)Soient P k[X] un polynme sparable et K un corps de dcompositionde P sur k. Le groupe Gal(K/k) est not Gal(P/k) et appel groupe deGalois de P sur k. Ceci est licite, car ce groupe ne dpend, isomorphisme

prs, que deP. En effet, si K est un autre corps de dcomposition de P surk, on a vu (thorme 24.2.5) quil existe un k-isomorphisme : K

K.Alors, lapplication g g 1 est un isomorphisme de Gal(K/k) surGal(K/k).

Corollaire 26.1.7 Soit K un corps de dcomposition sur k dun polynmesparable de degr 1 et soit G = Aut(K/k). Pour tout K, on a

Irrk() =G

(X ).

Dmonstration. Ceci dcoule du thorme prcdent et du thorme 26.1.4.

Corollaire 26.1.8 (Caractrisation des extensions galoisiennes fi-nies)Soit k K une extension de degr fini. Les conditions suivantes sont qui-valentes :

1) k K est quasi-galoisienne et sparable ;2) K est le corps de dcomposition sur k dun polynme sparable ;3) k K est galoisienne.Dmonstration. On a 1) 2) 3) 1) daprs le lemme 25.1.6, le

thorme 26.1.4, et le thorme 26.1.5, respectivement.

Corollaire 26.1.9 1) Soit k K = k[x1, . . . , xn] une extension de degrfini. Si chaquexi est sparable sur k, alors K/k est sparable.

2) Si K/k et E/K sont des extensions de degr fini sparables, alors E/klest aussi.

Dmonstration. 1) Posons Pi = Irrk(xi) et soit L un corps de dcompo-sition sur K de P := P1 Pn. Daprs les thormes 26.1.5 et 26.1.4, L/kest galoisienne donc sparable, et donc K/k est sparable. Ceci prouve 1).

Prouvons 2). Soit x E. Alors Q := IrrK(x) est sparable, et il sagit demontrer que Irrk(x) lest aussi. On se ramne au cas o lextension K/k est


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galoisienne, de la faon suivante. Avec les notations de 1), soit E un corps

de dcomposition sur K[x] de P. Alors, le sous-corps K de E engendr parK et les racines de P est galoisien. Dautre part, le polynme minimal de xsur K divise Q, donc est sparable. Par consquent, remplaant E/K parE/K, on se ramne au cas o E/K est galoisienne. Soit G son groupe deGalois et soient Q1 = Q, et Q2, . . . Qr les conjugus de Q sous laction deG. Alors, chaque Qi est sparable, et il en est de mme du produit Q =Q1 Qr K[X]. Mais Q est invariant par G, donc appartient k[X].

Par consquent, x est annul par le polynme sparable Q k[X], et ilen rsulte que Irrk(x) est sparable. Le corollaire est dmontr.

Remarque 26.1.10 Le corollaire 26.1.7 apporte une rponse satisfaisante

la question 24.3 (), qui nous avait servi de point de dpart et motivationpour ltude du groupe G = Aut(K/k).

Dans la section suivante, on dveloppera certains rsultats sur les groupes,qui permettront dtablir que si k K est une extension galoisienne finie,alors G = Aut(K/k) est un groupe fini de cardinal [K : k] et la correspon-dance H KH tablit une bijection entre lensemble des sous-groupes deG et les extensions intermdiaires k L K.

26.2 Indpendance des caractres

Dfinition 26.2.1 (Lespace des fonctions X K) Soient K un corpset X un ensemble arbitraire. On note F(X, K) lensemble de toutes les ap-

plications X K. Il est muni dune structure despace vectoriel : pour, F(X, K) et a K, on dfinit a + par(a + )(g) = a(x) + (x),

pour tout x X.

Soit maintenant G un groupe arbitraire. Parmi toutes les fonctions :G K, on distingue les suivantes.

Dfinition 26.2.2 (Caractres) On dit quune fonction : G K est uncaractre deG valeurs dansK si cest un morphisme deG dans le groupemultiplicatif de K, c.--d., si elle vrifie (1G) = 1 et (gg

) = (g)(g)

pour tout g, g G. On note XK(G) lensemble de ces caractres.Thorme 26.2.3 (Thorme dindpendance des caractres)

XK(G) est une partie libre de F(G, K), c.--d., si 1, . . . , n sont descaractres distincts et si a1, . . . , an K sont tels que a11 + + ann = 0,alors ai = 0 pour tout i.


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Dmonstration. Supposons le thorme en dfaut et soit n minimal tel

quil existe une relation

(1) a11 + + ann = 0,

avec les i deux deux distincts et chaque ai = 0. Ncessairement, n 2.Comme 1 = 2, il existe h G tel que 1(h) = 2(h). Soit g G arbitraire.Appliquant (1) hg, on obtient

(2) a11(h)1(g) + + ann(h)n(g) = 0.

Dautre part, en appliquant (1) g puis en multipliant par 1(h), on obtient :

(3) a11(h)1(g) + + an1(h)n(g) = 0.

Soustrayant (3) de (2), on obtient que la fonction

a2(2(h) 1(h))2 + + an(n(h) 1(h))n

est identiquement nulle. Comme le coefficient de 2 est = 0, ceci est unerelation linaire non-triviale entre 2, . . . , n, et ceci contredit la minimalitde n. Ceci dmontre le thorme.

Corollaire 26.2.4 Soient L et K deux corps. Lensemble des morphismes

de corps L K est une partie libre de F(L, K).Dmonstration. Soient 1, . . . , n des morphismes de corps L K, deux

deux distincts, et soient a1, . . . , an K. Supposons quon ait dans F(L, K)lgalit

a11 + + ann = 0.Or, la restriction de chaque i L = L \ {0} est un caractre de L valeurs dans K. Donc, le thorme prcdent entrane que ai = 0 pour touti. Ceci prouve le corollaire.

Proposition 26.2.5 Soit K un corps et soient 1, . . . , n des automor-phismes de K, deux deux distincts. Soit

L = {x K | i = 1, . . . , n, i(x) = x}.

Alors L est un sous-corps de K et [K : L] n. En particulier, si G est ungroupe fini dautomorphismes de K, alors [K : KG] |G|.


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Dmonstration. Il est immdiat que L est un sous-corps de K. Observons

que chaque i est un automorphisme L-linaire de K, puisque i(ab) =i(a)i(b) = ai(b), pour tout a L, b K.

Posons r = dimL K et supposons que r < n. Soit (1, . . . , r) une base deK sur L. Considrons le systme linaire suivant, dinconnues x1, . . . , xn :

1(1)x1 + 2(1)x2 + + n(1)xn = 01(2)x1 + 2(2)x2 + + n(2)xn = 0...1(r)x1 + 2(r)x2 + + n(r)xn = 0.

Cest un systme coefficients dans K, homogne, avec r < n quations. Iladmet donc au moins une solution non triviale (a1, . . . , an)

Kn

\{0

}. Alors

le systme ci-dessus montre que la fonction L-linaire

:= a11 + a22 + + annsannule sur la L-base (1, . . . , r) de K, donc est identiquement nulle. Comme(a1, . . . , an) = 0, ceci contredit lindpendance de 1, . . . , n. Cette contra-diction montre que r n. La proposition est dmontre.

26.3 Invariants dun groupe fini : thorme dArtin

On peut maintenant dmontrer le 3me thorme fondamental, d EmilArtin.

Thorme 26.3.1 (Artin)Soient K un corps, G un groupe fini dautomorphismes de K, et L = KG

son corps des invariants.

1) On a [K : L] = |G|.2) Par consquent, G = AutL(K) et L K est une extension galoi-

sienne, de groupe de Galois Gal(K/L) = G.

Dmonstration. 1) Posons n = |G|. Daprs la proposition 26.2.5, on adimL K n. Supposons que dimL K > n. Alors, posant r = n + 1, il existedes lments 1, . . . , r L linairement indpendants sur K. Choisissonsune numrotation 1, . . . , n des lments de G telle que 1 = idK. Consid-rons, cette fois, le systme :

()

1x1 + + rxr = 0

2(1)x1 + + 2(r)xr = 0...

n(1)x1 + + n(r)xr = 0.


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Patrick Polo 181

Cest un systme homogne, coefficients dans K, de n quations r = n+1

inconnues. Alors () admet des solutions non nulles.Soit a = (a1, . . . , ar) Kr une solution non nulle, ayant un nombre

minimum s de coordonnes ai non-nulles. Quitte changer la numrotationdes i, on peut supposer que

a = (a1, . . . , as, 0, . . . , 0),

avec ai = 0 pour i = 1, . . . , s. Divisant a par as, on se ramne au cas oas = 1. On a alors les galits :

(1) (1)a1 + + (s) = 0, G.Comme 1, . . . , s sont indpendants sur L, cette galit pour = idK en-

trane que a1, . . . , as1 ne sont pas tous dans L. On peut donc supposera1 L. Alors, il existe G tel que (a1) = a1.

Appliquons aux galits (1). Comme lapplication est unebijection de G, on obtient les galits

(2) (1)(a1) + + (s) = 0, G.Soustrayant (2) de (1), on obtient les galits :

(3) (1)(a1 (a1)) + + (s1)(as1 (as1)) = 0, G.Ceci montre que le r-uplet

(a1

(a1

), . . . , as1

(as1

), 0, . . . , 0)

est solution du systme (). Il est non nul, car a1 = (a1), et a au plus s 1coordonnes non nulles. Ceci contredit la minimalit de s. Cette contradictionmontre que lhypothse dimKL > n est impossible. On a donc dimKL = n,ce qui prouve le point 1).

Montrons le point 2). Posons H = Aut(K/L). Alors, par dfinition, L KH. Dautre part, il est clair que G H, et donc KH est contenu dans KG =L. Par consquent, on a KH = L, ce qui montre que K/L est galoisienne.

Enfin, si lon avait G = H, alors H contiendrait un lment n+1 G et,daprs la proposition 26.2.5, on aurait [K : KH] n + 1, ce qui nest pas lecas. On a donc G = H = Aut(K/L). Ceci achve la preuve du thorme.

Remarque 26.3.2 la fin de la preuve, on ne peut pas immdiatementappliquer le point 1) G et H pour obtenir que |G| = [K : L] = |H|, caron ne sait pas a priori que H est fini. Cest pour cette raison que lon faitappel la proposition 26.2.5 : si linclusion G H tait stricte, on aurait[K : KH] > n.


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26.4 Autre dmonstration du thorme dArtin

Thorme 26.4.1 (Artin) Soient K un corps, G un groupe fini dauto-morphismes de K, et L = KG son corps des invariants.

1) On a [K : L] = |G|.2) Par consquent, G = AutL(K) et L K est une extension galoi-

sienne, de groupe de Galois Gal(K/L) = G.

Dmonstration. Soit x K arbitraire. Daprs la proposition 24.3.2, ona

IrrL(x) =Gx

(X ).

Donc x est sparable sur L et de degr |G|. Par consquent, daprs lecorollaire 25.4.4, on a[K : L] |G|.

Dautre part, G est un sous-groupe de Aut(K/L) et, daprs le thorme25.3.3 (ou la proposition 26.2.5) on a

|Aut(K/L)| [K : L].Il en rsulte que G = Aut(K/L) et que lextension K/L est galoisienne.

26.5 Un rappel sur les groupes

Dfinition 26.5.1 Soit G un groupe. Un sous-groupe H est dit normal,ou distingu, sil vrifie gH g1 = H, pour tout g G.

Exemple 26.5.2 Soit : G G un morphisme de groupes. Son noyauker = {h G | (h) = 1} est un sous-groupe normal. En effet, pour touth ker et g G, on a

(ghg1) = (g)(h)(g)1 = (g)(g)1 = 1.

De plus, si H est un sous-groupe normal de G, on peut construire legroupe quotient G/H et H est le noyau du morphisme : G G/H.Rappelons la construction de G/H. Pour tout g G, on pose

gH := {gh | h H}.On lappelle la classe gauche de g modulo H (la classe droite tantlensemble Hg dfini de faon analogue). On note G/H lensemble de cesclasses gauche, et : G G/H lapplication g gH. On voit que(g) = (g) ssi g1g H.


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Patrick Polo 183

Proposition 26.5.3 SoitH un sous-groupe normal de G. Il existe surG/H

une unique structure de groupe telle que : G G/H soit un morphismede groupes. Elle est dfinie par

() (g1H)(g2H) = g1g2H.Le noyau du morphisme G G/H gale H.

Dmonstration. Montrons que la formule () fait sens, c.--d., que ll-ment (g1H)(g2H) est bien dfini. Pour i = 1, 2, soit gi un autre lment degiH. Alors, gi = gihi avec hi H et lon a

g1g2 = g1h1g2h2 = g1g2(g

12 h1g2)h2.

Or, par hypothse, g12 h1g2 H et il en rsulte que g1g2H = g1g2H. Onvrifie alors facilement que la multiplication dfinie par () est associative,admet pour lment neutre la classe 1H = H, et que linverse de gH estg1H. Donc, G/H est un groupe, et () montre que : G G/H est unmorphisme de groupes surjectif. Enfin, ker = {g G | gH = H} gale H.La proposition est dmontre.

Thorme 26.5.4 (Proprit universelle du noyau et thorme fon-damental disomorphisme)Soit : G G un morphisme de groupes et soit K un sous-groupe normalde G contenu dans ker .

1) se factorise de faon unique travers G/K, c.--d., il existe ununique morphisme de groupes : G/K G tel que = , o dsignela projection G G/K.

2) Im() est un sous-groupe deG et induit un isomorphisme de groupes

: G/ ker = Im().

Dmonstration. La dmonstration est analogue celle du thorme 9.2.5et est laisse au lecteur.

26.6 Le couronnement : correspondance de GaloisThorme 26.6.1 (Thorme principal de la thorie de Galois)Soit k K une extension galoisienne finie, de groupe G. Pour toute exten-sion intermdiaire k L K, on pose

Fix(L) = {g G | x L, g(x) = x} = AutL(K).


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1) Pour tout L, lextension L

K est galoisienne, c.--d.,

L = KFix(L),

et lon a [K : L] = |Fix(L)| et [L : k] = |G|/|Fix(L)|.2) Lapplication H KH induit une bijection de lensemble des sous-

groupes de G sur lensemble des extensions intermdiaires k L K.La bijection inverse est donne par L Fix(L). Ces deux bijections sontdcroissantes, c.--d., H H KH KH et L L Fix(L) Fix(L).

3) Soit L un corps intermdiaire. Pour tout g G, on a

() Fix(g(L)) = gFix(L)g1

.

Par consquent, lextension k L est galoisienne ssi Fix(L) est un sous-groupe distingu de G. Dans ce cas, Autk(L) = G/Fix(L).

4) Soit L un corps intermdiaire et soit H = Fix(L). Alors les bijectionsde2) induisent une bijection entre lensemble des sous-extensions k L Let lensemble des sous-groupes H de G contenantH. En particulier, il ny aquun nombre fini de tels L.

Dmonstration. 1) Daprs le thorme 26.1.4, K est un corps de d-composition sur k dun polynme sparable P. Alors, K est aussi un corpsde dcomposition de P sur L, pour tout corps intermdiaire L. Par cons-

quent, daprs le second thorme fondamental (26.1.5), lextension L Kest galoisienne.

Posant H = Fix(L) = AutL(K), on a donc KH = L et, daprs lethorme dArtin 26.3.1, [K : L] = |H| et [K : k] = |G|. Comme [K : k] =[K : L][L : k], daprs la proposition 23.5.2, on obtient [L : k] = |G|/|H|.Ceci prouve le point 1).

2) Rciproquement, soit H un sous-groupe de G. Daprs le thormedArtin 26.3.1, lon a Fix(KH) = H. Combin avec le point 1), ceci prouveque les applications H KH et L Fix(L) sont des bijections rciproques.De plus, il est clair que

H H LH

LH et L L Fix(L) Fix(L).La dernire assertion de 2) en dcoule.

3) Il est clair que gFix(L)g1 laisse fixe tout lment de g(L). On a doncgFix(L)g1 Fix(g(L)), et, de mme, g1Fix(g(L))g Fix(L). Ceci prouve(). Posons H = Fix(L).


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Patrick Polo 185

Supposons k

L galoisienne. Alors L est le corps de dcomposition

sur k dun polynme P k[X], c.--d., il existe 1, . . . , n L tels queL = k[1, . . . , n] et P =

ni=1(X i). Soit g G. Comme g(P) = P, il

existe une bijection f de {1, . . . , n} telle que g(i) = f(i) pour i = 1, . . . , n.Comme g(L) est le sous-corps de K engendr par les g(i), il en rsulte queg(L) = L. Alors, () entrane que gH g1 = H. Ceci montre que H est unsous-groupe normal de G.

Rciproquement, supposons H normal. Alors, pour tout g G, on a

g(L) = KgHg1

= KH = L.

Par consquent, lapplication de restriction : g

g

|L induit un morphisme

de groupes G Autk(L), dont le noyau gale Fix(L). Son image (G) estun sous-groupe de Autk(L). Il est clair que

k LAutk(L) L(G).

Or, un lment x de L est fix par (G) ssi il est fix par G, et ceci est lecas ssi x KG = k. Par consquent, les deux inclusions ci-dessus sont desgalits. Donc k L est galoisienne et de plus, daprs le thorme dArtin,lon a (G) = Autk(L). Ceci montre que lapplication de restriction induitun isomorphisme

G/Fix(L)

Gal(L/k).

Ceci prouve le point 3).

Enfin, le point 4) est une consquence immdiate du point 2). Le thormeest dmontr.

Remarque 26.6.2 Sous les hypothses du thorme, soit k L K uneextension intermdiaire. Puisque K est sparable sur k, alors L lest aussi.Donc, daprs le corollaire 26.1.8, lextension k L est galoisienne ssi elleest normale. Daprs le point 3) du thorme prcdent, on peut donc direque lextension k L est normale ssi Fix(L) est un sous-groupe normal deG. Ceci explique la terminologie extension normale .

26.7 Clture normale ou galoisienne

On a vu les bonnes proprits des extensions galoisiennes finies et de leurssous-extensions. Pour cette raison, tant donn une extension finie arbitraireK/k, il est parfois utile de la plonger, dans une extension finie plus grande


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L/k qui soit galoisienne, si cela est possible. Comme une extension galoi-

sienne est sparable, ainsi que toute sous-extension (cf. 25.1.4), une condi-tion ncessaire est que K/k soit sparable. On va voir que cette conditionest galement suffisante.

En particulier, si car(k) = 0, toute extension finie de k est contenue dansune extension galoisienne finie de k.

Thorme 26.7.1 (Clture normale ou galoisienne)Soit k K une extension de corps, de degr fini. Alors K est contenudans une extension L, de degr fini et normale sur k, minimale pour cetteproprit, et unique K-isomorphisme prs. Un tel L sappelle une clturenormale de K sur k.

De plus, si k K est sparable, alors L est galoisienne sur k et londit que cest une clture galoisienne de K sur k.

Dmonstration. Soit 1, . . . , r un systme de gnrateurs de K sur k etsoit Pi le polynme minimal sur k de i. Posons P = P1 Pr et soit L uncorps de dcomposition de P sur K. Cest aussi un corps de dcompositionde P sur k et donc lextension k L (de degr fini) est normale, daprs laproposition 24.2.8.

Elle est de plus minimale, au sens suivant. Soit L une extension inter-mdiaire entre K et L, qui soit normale sur k. Alors L contient 1, . . . , r,et donc toutes les racines de chaque Pi = Irrk(i). Par consquent, L = L.

Ceci montre que L est une extension de K normale sur k et minimale pourcette proprit.De plus, L est unique K-isomorphisme prs. En effet, soit E une ex-

tension de K, normale sur k. Alors, E contient un corps de dcompositionL de P sur K. Daprs le thorme 24.2.5, il existe un K-isomorphisme : L

L. Si de plus, E est suppose minimale, alors E = L et donc E estK-isomorphe L.

Enfin, si k K est sparable, alors P1, . . . , P r et P sont sparables.Comme L est un corps de dcomposition de P sur k, lextension k L estgaloisienne, daprs le second thorme fondamental 26.1.5. Ceci prouve lethorme.

Corollaire 26.7.2 Soit k K une extension sparable de degr fini. Lenombre dextensions intermdiaires k L K est fini.

Dmonstration. Soit K une clture galoisienne de K, et G son groupe deGalois sur k. Cest un groupe fini, de cardinal [ K : k]. Daprs le thormeprincipal 26.6.1, les extensions intermdiaires k L K sont en bijection


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Patrick Polo 187

avec lensemble des sous-groupes de G contenant H = Fix(K), qui est fini.

On dduit de ce qui prcde une autre dmonstration du thorme dellment primitif, qui nutilise pas les rsultats de 25.3.

Thorme 26.7.3 (Thorme de llment primitif) SoitK/k une ex-tension sparable de degr fini. Alors K admet un lment primitif sur k.

Dmonstration. Ceci rsulte du corollaire prcdent et de la proposition25.4.5.


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Table des matires

1 Nombres entiers et rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Notations et dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Division euclidienne et consquences . . . . . . . . . . 21.3 Solutions entires de x2 + y2 = z2 . . . . . . . . . . . . 72 Entiers algbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1 Somme de deux carrs et entiers de Gauss . . . . . . . 82.2 Les anneaux de nombres Z[

n ] . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Les anneaux Z[1+32 ] et Z[

1+5

2 ] . . . . . . . . . . . 152.4 Entiers algbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5 Anneaux noethriens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.6 lments irrductibles dans un anneau intgre

noethrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 C est algbriquement clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1 Lnonc du thorme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 La dmonstration dArgand . . . . . . . . . . . . . . . 243.3 La cas de plusieurs polynmes . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Le thorme des zros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.0 Courbes algbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.1 Varits algbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2 Vers la suite du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5 Anneaux et idaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.1 Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.2 Idaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6 Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.1 Groupes abliens et Z-modules . . . . . . . . . . . . . 326.2 A-modules et sous-A-modules . . . . . . . . . . . . . . 326.3 Construction de modules (I) : sommes directes finies . 356.4 Morphismes et isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . 356.5 Modules de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7 Modules et anneaux noethriens . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

i


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ii Algbre et thorie de Galois 2005-2006

7.1 Modules noethriens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7.2 Anneaux et modules noethriens . . . . . . . . . . . . 398 Anneaux de polynmes et

thorme de transfert de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 408.1 Lanneau de polynmes A[X] . . . . . . . . . . . . . . 408.2 Le thorme de transfert de Hilbert . . . . . . . . . . . 428.3 Construction de modules (II) : modules libres . . . . . 438.4 Anneaux de polynmes en plusieurs variables . . . . . 468.5 Morphismes danneaux et A-algbres . . . . . . . . . . 488.6 A-algbres et proprit universelle

des algbres de polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . 499 Modules et anneaux quotients,

thormes disomorphisme de Noether . . . . . . . . . . . . . 509.1 Dfinition des modules quotients . . . . . . . . . . . . 509.2 Noyaux et images, thormes de Noether . . . . . . . . 529.3 Applications des modules quotients . . . . . . . . . . . 559.4 Anneaux quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579.5 Algbres de fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . 599.6 Anneaux dendomorphismes et A/I-modules . . . . . . 61

10 Algbres de type fini et noethrianit . . . . . . . . . . . . . . 6310.1 Algbres de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6310.2 Rsultats de noethrianit . . . . . . . . . . . . . . . . 65

11 Idaux premiers et maximaux, Lemme de Zorn . . . . . . . . 67

11.1 Idaux premiers et maximaux . . . . . . . . . . . . . . 6711.2 Sous-modules maximaux et lemme de Zorn . . . . . . 68

12 Anneaux de fractions, localisation . . . . . . . . . . . . . . . . 7112.0 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7212.1 Construction de lanneau S1A . . . . . . . . . . . . . 7312.2 Le cas intgre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7712.3 Localisation de modules . . . . . . . . . . . . . . . . . 7912.4 Idaux premiers de S1A, anneaux locaux . . . . . . . 8312.5 Support et idaux premiers associs . . . . . . . . . . 84

13 Idaux irrductibles, radical dun idal et idaux premiers mi-nimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

13.1 Idaux irrductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8813.2 Racine dun idal et idaux premiers minimaux . . . . 90

14 Extensions entires et extensions de corps (I) . . . . . . . . . 9114.1 Morphismes entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9114.2 Extensions de corps, multiplicativit du degr . . . . . 9314.3 Retour sur K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94


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Patrick Polo iii

15 Un aperu de gomtrie algbrique, thorme des zros de

Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9515.1 Sous-varits algbriques de kn et topologie de Zariski 9515.2 Le thorme des zros de Hilbert . . . . . . . . . . . . 97

16 Anneaux factoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10116.1 lments irrductibles et lments associs . . . . . . . 10116.2 Anneaux factoriels, lemmes dEuclide et Gauss . . . . 10216.3 PPCM et PGCD dans un anneau factoriel . . . . . . . 10516.4 Le thorme de transfert de Gauss . . . . . . . . . . . 107

17 Anneaux principaux et anneaux euclidiens . . . . . . . . . . . 11117.1 Les anneaux euclidiens sont principaux . . . . . . . . . 11117.2 Les anneaux principaux sont factoriels . . . . . . . . . 112

18 Idaux trangers et thorme chinois . . . . . . . . . . . . . . 11318.1 Idaux trangers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11318.2 Thorme chinois des restes . . . . . . . . . . . . . . . 115

19 Modules de torsion sur un anneau principal . . . . . . . . . . 11619.1 Annulateurs et modules de torsion . . . . . . . . . . . 11619.2 Dcomposition primaire des modules de torsion sur un

anneau principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11820 A-modules libres de type fini, invariance du rang . . . . . . . 125

20.1 Rang dun module libre de type fini . . . . . . . . . . 12520.2 Modules dhomomorphismes et module dual . . . . . . 127

21 Modules de type fini sur un anneau principal . . . . . . . . . 128

21.1 Matrices chelonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12821.2 Les rsultats fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . 12921.3 Existence dune base adapte . . . . . . . . . . . . . . 13021.4 Dcomposition des modules de type fini . . . . . . . . 13221.5 Unicit des facteurs invariants . . . . . . . . . . . . . . 134

22 Autre approche : rduction des matrices sur un anneau principal13722.1 Une consquence de lexistence de bases adaptes . . . 13722.2 Rduction des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

23 Caractristique et extensions de corps . . . . . . . . . . . . . 14523.1 Les corps fondamentaux Q et Fp . . . . . . . . . . . . 14523.2 Gnralits sur les extensions . . . . . . . . . . . . . . 147

23.3 Extensions entires danneaux . . . . . . . . . . . . . . 14823.4 lments algbriques ou bien transcendants . . . . . . 15323.5 Extensions algbriques de corps et degr dune extension15423.6 Bases de transcendances et extensions de type fini . . 156

24 Corps de rupture et corps de dcomposition . . . . . . . . . . 16024.1 Corps de rupture dun polynme . . . . . . . . . . . . 160


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iv Algbre et thorie de Galois 2005-2006

24.2 Corps de dcomposition dun polynme . . . . . . . . 162

24.3 Le groupe des k-automorphismes dune extension . . . 16525 Extensions sparables et thorme de llment primitif . . . . 167

25.1 Polynmes et extensions sparables . . . . . . . . . . . 16725.2 Racines multiples et sparabilit . . . . . . . . . . . . 16825.3 Caractrisation de la sparabilit en termes de mor-

phismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17025.4 Le thorme de llment primitif . . . . . . . . . . . . 172

26 Extensions galoisiennes etcorrespondance de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17426.1 Extensions galoisiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17426.2 Indpendance des caractres . . . . . . . . . . . . . . . 178

26.3 Invariants dun groupe fini : thorme dArtin . . . . . 18026.4 Autre dmonstration du thorme dArtin . . . . . . . 18226.5 Un rappel sur les groupes . . . . . . . . . . . . . . . . 18226.6 Le couronnement : correspondance de Galois . . . . . 18326.7 Clture normale ou galoisienne . . . . . . . . . . . . . 185


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Documents

Extension des corps et théorie de Galois