RENDICONTI DEL CIRCOLO MATEMATICO Ill PALERMO Serie II, Tomo XXIX (1980), pp. 337-346

EXTENSIONS HEXAPHIQUES DES CORPS NON COMMUTATIFS

ALFRED DONEDDU

A new class of extensions of skew fields, the so-called ~ hexaphic extensions , , is studied in this paper. This study follows up �9 Anneaux polynbmiaux h deux variables ~ [3] and ~ Anneaux hexaphiques d'une variable, [4]. A sub-class of hexaphie extensions is formed by pseudo-linear extensions. The general quadratic extensions are pseudo-linear [I]. General finite pseudo-linear extensions are now known [2]. In this paper, the hexaphic nature of general cubic extensions is shown and general finite hexaphic extensions are studied.

Soit K un corps . Une extension L h droi te de K d 'o rd re n, engendrde par

un 616ment v, est un sur-corps de K dont une K-base h droi te est { 1, v . . . . . v "-I }.

I1 existe n scalaires ) . i , ).2 . . . . . )`, de K tels que

(U v" + v ~-~ 2~i +; v~-2 )`2 + . . . + 2~ = 0.

S i n = 3, il existe n6cessairement six 616ments A , B , C, D , E , F de E n d (K)

tels que

(2)

(3)

a v = a A -4- v �9 a B -4- v 2 �9 a C ,

a v 2 = a D q- v �9 a E ..1- v 2 �9 a F . (a E K)

Les re la t ions (a b) v = a (b v), (a b) v 2 = a (b v2), pou r tous a et b de K,

montrent que ~ = (A, B, C, D, E, F ) est un hexaplaisme de K [3] . En part icul ier ,

pour C = 0, l ' ex tens ion est pseudo-l in6aire .

Si n > 3, cherchons ~t quelles condi t ions existent A, B, C E E n d (K) tels que

la loi de c o m m u t a t i o n soit donn6e p a r (2). Remarquons clue

(4) a v 2 = ( a v ) v = a A Z - F v . a ( A B - t - B A ) + v 2 . a ( A C . - l - . C A + B 2 ) . q -

q- v3 . a ( B C - l - C B ) - F v 4 . aCZ ( a f i K ) .

3 3 8 ~ F ~ D DONEDDU

Pour tous a et b de K, la relation (a b )v = a (b v) exige que a (b v) soit, comme (a b)v, un polyn6me du second degr6 en v ~t coefficients ~t droi te dans K. I1 nous faut alors distinguer le cas n _-- 4 et le c a s n ___ 5.

Si n = 4, alors (ab )v = a(b v) exige, par (1) et (4),

(5) a (B C q- C B) -- )~t �9 a C 2 -- 0 (a E K)

et si on pose:

a D = a A 2 -- )~ �9 a C 2

(6) a E = a ( A B + B A ) - - )~a �9 a C 2

a F : a (A C + C A + B 2 ) - ) ~ 2 . a C2,

alors (4) 6quivaut h (3), et ~ = (A, B, C, D, E, F) est un hexaphisme de K.

S i n >__ 5, alors ( a b ) v :_ a ( b v ) exige, par (4) et puisque {1, v . . . . . v 4} est K-libre h droite dans L,

B C + C B = O , C 2 = 0 ,

et si on pose:

D = A 2, E - - - A B + B A , F = A C + C A w B 2,

alors (4) 6quivaut h (3), et ~ = (A, B, C, D, E, F) est ce que I 'on a appel6 usa

hexaphisme d'int6gdt6 de K [4]. On a donc obtenu le

THEOREME 1. Soit K un corps.

1 ~ Pour toute extension d droite de K d'ordre n = 3, engendrde par un

dldment v, existent ~,1, ~,2 , ).3 E K tels que v 3 + v 2 )~1 + v ).2 + )~3 = 0 et un he-

xaphisme ~ = (A, B, C, D, E, F) de K vdrifiant (2) et (3).

2 ~ Pour toute extension L ~ droite de K d'ordre n > 3, engendrde par un

dldment v, existent ~,1 . . . . . )~E K v~rifiant (1). Supposons qu'il existe A , B , C E

EEnd(K) v~rifiant (2). Alors il existe D , E , F E E n d ( K ) v~rifiant (3) et ~ = - - ( A , B, C, D, E, F) est un hexaphisme de K. Pour n >__ 5, ~ est un hexaphisme

d'intdgritd de K.

On dira que L e s t une extension hexaphique ~ droite de K (relative h

l 'hexaphisme ~) ou g-extension de K.

EXTEr~mONS rIEXAPmQUES DES COrnS NON COMMUTATWS

NOUS commen~ons par 6tudier le cas g6ndral:

339

1. Cas g6n6ral n ___ 5.

Soit k un corps avec un hexaphisme d'int6gfit6 ~ = (A, B, C , D , E , F ) et consid6rons une ~-extension L t t droite de K d'ordre n >__ 5, v6rifiant (1), (2), (3). Remarquons que, n6cessairement:

(7) k~ C # - - 1.

En effet, si on avait k~ C = -- 1, alors par (1),

0 = (v n + v "-a~,x + . . . + L , ) ( v -- k l B -- ~,2C)

et, en d6veloppant le produit, on voit que les coefficients h droite de v n+1 et v" sont nuls et { 1, v . . . . . v "-1} ne serait pas K-libre h droite dans L.

Puisque ~ est un hexaphisme d'int6grit6, alors l 'anneau hexaphique

P = K Ix; ~] existe et est int~gre. Posons dans cet anneau:

(8) f = x" + x "-~ kl + . . . + k , .

Puisque ~,1 C # -- 1, on a, pour tout g E P, d (l g) = d (D + d (g) On le sait

d6jh [4] s i d (g) est pair; si g ---- x 2p+~ a (rood. P2p) (a E K), alors t g ----- x"+2~ (1 + + )~aFVC)a (mod. P,+2v), et il suffiit de remarquer que )~tC ~ - 1 entra$ne k ~ C F p # - 1). Dans l'id6al ] P de P, [ est donc le polyn6me normalis6 de

plus petit degr&

Maintenant, soit q0: P ~ L d6finie par

q~ : Z x~ a~ ~ Z v~ a~ (a~ E K)

tp est un anneau-morphisme et kerq) est un id6ale bilat~re de P, avec f E kertp. I1 ne peut exister dans ker 9 de polyn6me g de degr6 p < n, sinon on aurait g(v ) _-0, et on obtiendrait ainsi une K-combinaison lin6aire t~ droite nulle dans L de { 1, v . . . . . vp} (contradiction). Comme tout id6al ~t droite de P e s t principal [4] (Th3), on a donc k e r q ) = fP , id6al bilat~re dans P. Enfln ] P est maximal, puisque L est un corps isomorphe ~t P/] P. I1 en r6sulte que ] e s t irr6ductible dans P.

R&iproquement, soit K un corps avec un hexaphisme d'int6grit6 ~ et consid6rons le polyn6me f donn6 en (8) dans l 'anneau P = K [x; ~]. Supposons que ~,1C ~ - - 1 , que f P est bilat~re dans P et que f e s t irr6ductible. Alors f P e s t maximal dans P e t P / f P est un corps, ~-extension tt droite L de K

340 ALr~D DONEDDU

engendr6e pa r v = x, v6rifiant (1), (2), (3). C o m m e ~,1C ~ - - 1, J est le polyn6me normalis6 de degr6 min imum darts J P, et par cons6quent [L : K] r vau t exacte- ment n. On a donc obtenu le

TrmOR~M~ 2. Soient K un corps avec un hexaphisme d'intdgritd ~ =

= (A, B, C, D, E, F) et n un entier >__ 5. II existe une ~-extension L de K fi

droite d'ordre n engendr(e par un ~lgment v vdrifiant (1), (2), (3) si et seulement si:

1 ~ ~ . 1 C ~ - - 1 ;

2 ~ L e polyn~me J de (8) est irrdductible dans K [x; ~];

3 ~ j K [x; ~] est ideal bitatbre de K [x: ~].

2. Le cas n = 3 (extensions cubiques g6n6rales).

Par le Th6or~me 1, pour toute extension cubique ~t droite L d 'un corps K engendr6e pa r un 61dment v, existe un hexaphisme ~ = (A, B, C, D, E, F) de K v6rifiant (2), (3) et l '6quation (1) est maintenant

(9) v3 + v 2 ~,1 + v X2 + k3 = 0.

Dans le cas g6n6ral ofa ~ n 'es t pas un hexaphisme d'int6grit6, nous utilisons l ' auneau polynbmia l ~t deux var iables H = K [x, y; ~] [3] . Soit tp : H --* L l 'appl icat ion d6finie par

atp = a ( a E K ) , xtp = v, ycp = v 2.

q~ est 6v idemment un anneau-morph i sme surjectif, kertp est un ideal bilat~re

de H et L ___~ H / k e r tp. Pa r cons6quent, pour tout j E H, il existe un triplet unique

(a, b, c) E K 3 tel que

(10) f ~ y a + x b + c (rood. ker cp).

Maintenant , y q~ = x a q~ et x y r = y x r montrent que

Zl = x 2 - - Y E ker 9,

z2 = x y - - y x E ker q~.

De plus

entraine

(x y ) 9 = v 3 ---- - - (v 2 ~,1 -/- v ~,2 q- )~3) = - - (Y ~,1 + x ~,2 + ~,3)

Za -- x y -t- Y ~,I q- x ~,2 + ~,3 E ker q~.

EXTENSIONS rmXAPHIQUES DES CORPS NON COMMUTATIFS 341

Enfin

y2 r = V4 _ . - - V3 )-1 - - V2 )-2 - - V )-3 = ( 1)2 )-1 "~ V )-2 "-~ )-3) )-1 - - "1)2 )L2 - - V )-3

montre que

zr -- y2 + y ()-2 -- )-~) + x ()-3 -- )-2 )-1) -- )-3 )-1 6 ker q~.

Consid6rons alors l'id6al h droite de H :

(11) I = z l H d- z2H -1- zaH q- z4H.

On a 6videmment J c kerq~. Soit f E H avec d ( ] ) > 2. Supposons d'abord ClUe f = x a soit tm m o n 6 m e (a E K, r > 2). Alors x appartient h { y2; xX; xy , y x }.

Donc ce monbme I est congru, mod. 1, ~ un polyn6me de degr6 < r. Cette

propri6t6 s'6tend imm6diatement: par des r6ductions successives, on voit que

tout polynbme f, de degr6 >__ 2, est congru, mod. J, ~t un polynbme de degr6 1,

de type (10), et par suite J----kerq~.

Maintenant, soient a, b, c E K et calculons dans L :

(v 2 + v a + b) (v - c) = v a + v ( v 2 . a C + v . a B + a A ) +

+ v 2. b C W v . b B + b A - v 2 c - v a c - b c =

= -- (v2)-1 + v)-2 + ).3)(1 + aC) + v 2 ( a B + b C -- c) +

+ v ( a A + b B - - a c ) + b A -- bc .

Comme L est un corps, ce produit ne peut pas ~tre z6ro, par cons6quent

le syst~me

a B + b C - - c = ) -1(1 + aC)

a A + b B -- a c = )-2(1 + aC)

b A -- b C = )-3(1 + aC)

ne peut avoir de solution (a, b, c) darts K a. Ceci 6quivaut ~t dire que le syst~me

a A + b B -- a ( A B + bC) = ()-2 -- a)-0(1 + aCO (12)

b A -- b ( a B + bC) = ()-a-- b)-1)(1 + aC)

n'a aucune solution dans K 2.

342 ~FmD DONEDDV

Rrciproquement, soit K un corps avec un hexaphisme ~ et considrrons ranneau polynrmial ~t deux variables H = K Ix, y; ~] et dans H le polyn6me

(13) l = x 3 + x 2 )~1 + x )~ + k3.

Prenons l ' idral /t droite I drfini en (11) et remarquons que, dans I, il n'existe pas de polyn6me non nul de degr6 < 2. On a 6videmment f E J. Sup- posons maintenant que J soit bilat~re. Alors l 'anneau-quotient H/.I existe et

f - = 0. Pour tout gE H, il existe un triplet (a, b, c) de K 3 tel que

g ~ y a + x b + c (rood. ,/).

Ce triplet est unique puisque, dans ./, il n'existe pas de polyn6me non nul linraire en x et y e t par suite y a + x b + c E J entraine a = b = c = 0 . Si on

confond x avec x, tout 616ment g de H / I s'rcrit d'une mani~re unique

g = x 2 a + xb + c

et { 1, x, x 2 } est K-libre h droite dans H/J (On en drduit alors que )~1 C ~ - - 1 est vrrifi6 ipso facto).

Supposons enfin que le syst~me (12) n 'a aucune solution (a, b) dans K 2

et montrons qu'alors H/.I n'a pas de diviseurs de zrro. D'abord, par le calcul fait pr rcrdemment pour trouver (12), on a, pour tous a, b, c de K

(14) (x 2 + x a + b ) ( x - - c) # 0,

d'o/l l 'on ddduit immrdiatement

(15) (x - a ) ( x - c) ~ 0,

(sinon on aurait x ( x - a ) ( x - - c ) = 0, ce qui contredit (14)).

D~s lors, pour tous g et h de H/I, les relations g ~ O , h # O , g h = O sont contradictoires. En effet, si a est le coefficient ~t droite du monrme de plus haut degr6 en x de g, alors a h = h" ~ O. Maintenant, si b e s t le coefficient

droite du m o n r m e de plus haut degr6 de h, alors h" b -~ ~ O. On peut done supposer a = b = 1. Si g ou h est de degr6 0, la contradiction est 6vidente. Si h est de degr6 1, la contradiction vient de (14) et (15). Si h est de degr6 2:

h = x2 + x a -.}- b,

alors g h = 0 entraine g h ( x - c ) = 0, pour tout c de K, et en prenant c= a B + b C - kl(1 + aC), on trouve un polyn6me h ( x - - c ) ~ 0, et on est ramen6 aux cas prrcrdents. H/J n 'a doric pas de diviseurs de zrro et par con-

EXTENSIONS HEXAPHIQUES DES CORPS NON COMMUTATIFS 34:3

sdquent [5], H / J est un corps, ~-extension ~t droite de K d 'ordre n = 3, en-

gendrde par v = x et v6rifiant (2), (3), (9). On a done le

TH~OREME 3. Soit K un corps avec un hexaphisme ~ : ( A , B , C, D , E , F ) .

II existe une 8-extension L de K fi droite d'ordre 3, engendrde par un dldment

v v~rifiant (2), (3), (9) si et seulement si:

1 ~ L'iddal d droite J de K [x, y, 8] ddfini en (11) est bilat~re;

2 ~ L e syst~me (12) n'a aucune solution (a, b) dans K 2.

Darts le cas part iculier o~ 8 vdrifie B C + C B = C 2 = 0, alors par (12) avec b = 0, la condi t ion 2 ~ implique que les dquations

a A - - a . a B = l + a C = 0

n 'ont pas de solution commune a E K, et par consdquent 8 est un hexaphisme d'intdgritd. On peut dans ce cas utiliser l ' anneau hexaphique P : K [x; 8].

On sait d6j~t que la condition 1 ~ du thdorbme pr6cddent impl ique ) , IC ~ - - 1 , et par suite le po lyn6me f de (13) est le po lyn6me normalisd de plus bas degr6 dans fP . Enfin la condition 2 ~ impl ique dvidemment que f est irr6ductible et la condition 1 o) que f P est bilatbre. E n ddfinitive, lorsque B C + C B : C 2 - - 0,

le thdor~me 2 est valable pour n = 3, c o m m e on pouvai t d 'ai l leurs s 'en assurer directement.

3. Lecas n = 4 .

Soit L une 8-extension ~t droite d 'un corps K d 'ordre 4. Les relations (2), (3) ont lieu et l 'dquat ion (1) est ici:

(16) v 4 + v 3 )`1 + v 2 )`2 -t- v )`3 + ~4 = O.

Considdrons dans l 'anneau polyn6mial ~t deux var iables H = K [x, y; 8]

les dldments

Za : x2 -- y,

Z2-- x y - - y x ,

Z3 = y2 + x y ),a + x ),2 + x ),3 + ),4,

Z4 ---- x 3, '2 -{- x y (~,2 - - ),]) "k- Y (),3 - - ),2 ),1) d-

+ x () ,4 - k 3 ) , I ) - ),4 ) , 1 ,

344

et l'id6al h droite

(17)

ALFRED DONEDDU

J = z~H + z2H + z3H + z4H.

Comme on a, rood. J,

x 3 _ x y, x 2 y _ y2, y3 _ _ x y2~,l _ y 2 k 2 _ x y ~,3_ k4,

on voit, par des r6ductions successives comme dans le cas pr6c&lent, que pour tout f E H, il existe un quadruplet unique (a, b, c, d) de K 4 tel que

l =_ x y a + y b + x c + d (rood. 1)

et L ~ H/.r, done J e s t bilat~re.

Maintenant, pour tous a, b, c, d de K, on a dans L :

(v 3 + v 2a + vb + c ) (v - - d) # 0,

et par cons6quent le syst~me

a A + b B + c C - - a ( a B + bC) = ()~2-- aX0(1 + aC)

(18) b A + c B -- b ( a B + bC) = ('L3 -- b~.0(1 + aC)

c A -- c ( a B + bC) = CL4 - c~,~)(1 + aC)

n'a aueune solution (a, b, c) dans KL

R6ciproquement, soit K un corps avec un hexaphisme g. Posons dans H = K [x, y; g]

(19) / = X4 "~ X3~,l + X2~2 "~ X~,3 71- ~4"

Si on suppose que l'id~al I d6fini en (17) est bilat6re, alors l'anneau-quotient

H / I existe et ] -= 0. Si de plus (18) n'a pas de solution (a, b, c) dans K 3, alors

on voit eomme pr6eMdemment que H / J n'a pas de diviseurs de z6ro et par

eons6quent c'est un corps, g-extension ~t droite de K d'ordre 4 engendr6e par

v = x et v6rifiant (2), (4), (16).

THEOREME 4. Soit K un corps avec un hexaphisme g = (A, B, C, D, E, 10. ll existe une g-extension L de K d droite d'ordre 4 engendrde par un dldment

v vdrifiant (2), (3), (16) si et seulement si:

1 ~ L'iddal d droite J de K [x, y; g] ddfini en (17) est bilat~re;

2 ~ Le syst~me (18) n'a aucune solution (a, b, c) dans K 3.

EXTENSIONS HEXAPHIOUES DES CORPS NON COMMUTATIFS 345

Dans le cas part iculier ott B C + C B = C 2 = O , par (18) oil b = c = 0 ,

la condition 2 ~ impl ique que $ est un hexaphisme d'int6grit6; on peut alors utiliser l ' anneau hexaphique d 'une var iable K Ix; ~] et on volt que le th6or~me 2 s 'appl ique au cas n = 4 lorsque ~ est un hexaphisme d'int6grit6.

Maintenant , supposons C z # 0. Alors k e r C 2 admet 6v idemment C et par

(5) k e r O admet aussi B. Supposons k = ker C # ker C "2. Alors on a l ' inclusion stricte k c ker C 2. I1 existe a E ker C 2 - - k , et si oc = a C, on a 0~ E k*. D e plus,

par (5), c c B = - - a B C et u = - - a B t t -1 vdrifie u C = l . I1 en r6sulte alors (comme pour le th6or~me 4 [4]) que v - - u engendre sur k une extension qua- drat ique h droite de k, sous-corps de L.

Cherchons main tenant h quelle condit ion k e r C 2 est un corps. Pour tous a e t b d e k e r C `2 , on a

( a b ) C 2 = (aC �9 b B + a F .b C ) C = a ( C F -- F C) �9 b B C.

Si k # ker C -~, alors (a b)C -~ = 0 si, et seulement si C F = F C sur ker C "2 et par (6) k e r C 2 admet A. Si cette condit ion est remplie, alors k e r C 2 est sous-corps de K et admet ~. L a restriction de ~ ~ ker C 2 est un hexaphisme d'int6grit6 et on peut appl iquer le th6or~me 4 de [4 ] : k e r C 2 est extension quadrat ique ~t droite de k engendr6e par u. On a donc obtenu le r6sultat suivant:

PROPOSITION 1. Soient K un corps avec un hexaphisme ~ = (A, B, C, D, E, F)

et L une ~-extension ?~ droite de K d'ordre 4 engendrde par v e t v~rifiant (2),

(3), (16). Supposons C 2 # 0 et k = k e r C ~ k e r C 2. Alors:

a) 11 existe u E ker C "2 tel que u C = 1 et v -- u engendre sur k une extension

quadratique d droite.

b) k e r C z est sous-corps de K si et seulement si k e r C 2 admet A .

Si cette condition est remplie, ker C 2 admet ~ comme hexaphisme d'intdgritd et

est extension quadratique de k engendrde par u.

Dans le cas n = 3, il est facile de voir que, si k e r C 2 c k e r ( B C + C B),

alors la proposi t ion prdc6dente s 'applique.

REMARQUE. Soit K un corps avec un hexaphisme d' int6gdt6 ~ e t une ~-exten- sion L ~t droite d 'o rd re n _ 3 engendr6e pa r un 616ment v v6fifiant (1), (2), (3).

Alors pour tout u E K tel que u C = 1, on sait que v - - u engendre sur k = ker C tree extension quadra t ique h droite H. Remarquons que { 1, v . . . . . v n-l, u, v u,

. . . . v " - l u } et {1, v . . . . . v ~-1, v -- u, v ( v -- u) . . . . . v ~-1 (v -- u)} sont des k-ba-

ses ~ droite de L, et pa r suite {1, v . . . . . v ~-~} est H-base h droite de L. C o m m e pour le Corol laire du [4], il existe un hexaphisme d'int6grit6 ~ ' = (A ' ,B ' , (7",

346 ALFRED DONEDDU

D',E' , F') de H tel que, lo r squ 'on remplace ~ par ~', les re la t ions (1), (2), (3)

ont l ieu pour a E H. Cn a donc ob tenu le r6sultat su ivant :

PROPOSITION 2. Soient K un corps avec un hexaphisme d'inMgritd ~ et L une

~-extension h droite d'ordre n ~ 3 de K, engendrde par un dldment v vdrifiant

(1), (2), (3). Alors, pour tout u E K tel que u C = 1, v -- u engendre sur k = k e r C

une extension quadratique ?l droite H de k, et il existe un hexaphisme ~" de H

tel que L soit ~'-extension ~ droite de H d'ordre n engendrde par v.

BIBLIOGRAPHIE

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Pervenuto il 23 febbraio 1973, in forma definidva il 15 ottobre 1980

10 Allde des Gardes Royales 78.000 Versailles (France)