Factorisation par

double mise en évidence

Remarque : Tu devrais visionner la présentation :

Factorisation par simple mise en évidence.ppt

avant de visionner celle-ci.

La double mise en évidence est l’opération inverse de la double distributivité.

Exemple :

(x + 4) (y + 2)

x (y + 2) + 4 (y + 2)

x X y + x X 2 + 4 X y + 4 X 2

xy + 2x + 4y + 8

(x + 4) (y + 2)

x (y + 2) + 4 (y + 2)

x X y + x X 2 + 4 X y + 4 X 2

xy + 2x + 4y + 8

Double distributivité Double mise en évidence

Il s’agit donc de mettre en évidence les facteurs constituant l’expression algébrique.

x ( )

xy + 2x + 4y + 8

+ 4 ( )

Il s’agit donc de mettre en évidence les facteurs constituant l’expression algébrique.

Pour ce faire, il faut :

- regrouper deux à deux les termes ayant un facteur commun;

- mettre en évidence le facteur commun dans chacun des groupes;

- remettre en évidence les facteurs communs à ces nouveaux groupes.

Exemple :

xy + 2x + 4y + 8

x x

y + 2

4 4

y + 2

xy + 2x + 4y + 8

(y + 2) (y + 2)

(x + 4)(y + 2)

Remarque : La double mise en évidence s’utilise avec des polynômes à 4 termes.

y ( )

xy + 4y + 2x + 8

+ 2 ( )

Il s’agit donc de mettre en évidence les facteurs constituant l’expression algébrique.

On pourrait regrouper les termes différemment :

- regrouper deux à deux les termes ayant un facteur commun;

- mettre en évidence le facteur commun dans chacun des groupes;

- remettre en évidence les facteurs communs à ces nouveaux groupes.

Exemple :

xy + 4y + 2x + 8 y y

x + 4

2 2

x + 4

xy + 2x + 4y + 8

(x + 4) (x + 4)

(x + 4) (y + 2)

x ( )

xy + 3x + 2y + 6

+ 2 ( )

Il s’agit donc de mettre en évidence les facteurs constituant l’expression algébrique.

Pour ce faire, il faut :

- regrouper deux à deux les termes ayant un facteur commun;

- mettre en évidence le facteur commun dans chacun des groupes;

- remettre en évidence les facteurs communs à ces nouveaux groupes.

Exemple :

xy + 3x + 2y + 6

x x

y + 3

2 2

y + 3

xy + 3x + 2y + 6

(y + 3) (y + 3)

(x + 2)(y + 3)

Remarque : Pour s’assurer d’une bonne factorisation, on vérifie si les deux binômes sont identiques lors de la première mise en évidence.

+ 2 ( )b ( )

ab + 3b + 2a + 6 Exemple :

2 2b b

a + 3 a + 3

(a + 3) (a + 3)

(b + 2) (a + 3)

2x ( ) + 3 ( )

Exemple : 4x + 2xy + 6 + 3y

2 + y

3 3

2 + y

(2x + 3)(2 + y)

2x 2x

(2 + y) (2 + y)

2a3b + 3a3 + 2b2 + 3b

- 4 ( )b ( )

ab + 5b - 4a - 20

Exemple :

- 4 - 4b b

a + 5 a + 5

(a + 5) (a + 5)

(b – 4) (a + 5)

ab – 20 + 5b - 4a Regrouper deux à deux les termes ayant un facteur commun.

+ b ( )a3 ( )

Exemple :

b ba3 a3

2b + 3 2b + 3

(2b + 3) (2b + 3)

(2b + 3) (a3 + b)

Obtenir le même binôme.

+ 3 ( )b + 4a ( )

+ 21 ( )7a ( )

Exemple :

21 21

b + 4 b + 4

(b + 4) (b + 4)

(7a + 21) (b + 4)

7ab + 28a + 21b + 84

Attention :

7a 7a

Ce binôme n’est pas assez factorisé.

= (b + 4) 7 (a + 3) ou 7 (b + 4) (a + 3)

7ab + 28a + 21b + 84 7 (b + 4) (a + 3)

Règle : La simple mise en évidence est toujours la première étape d’une factorisation quand un même facteur se retrouve dans tous les termes.

7ab + 28a + 21b + 84

7 7 7 7

ab + 4a + 3b + 12a a 3 3

b + 4

(b + 4) (b + 4)

(a + 3)(b + 4)

7

7

7

Ce polynôme contient 3 facteurs :

+ 2 ( )y - 4x ( )

2xy - 8x + 4y - 16

2 2 2 2

xy - 4x + 2y - 8x x 2 2

y - 4

(y - 4) (y - 4)

(x + 2)(y - 4)

2

2

2

Exemple :

x ( ) + 1 ( )

Factorise : xy + 3x + y + 3

x x

y + 3

1 1

y + 3

(y + 3) (y + 3)

(x + 1)(y + 3)

1 ( )

Factorise (y + 3)

1) PGCF : 1.

2) Diviser chaque terme par le PGCF.

1 1

3) Mettre le PGCF en évidence. y + 3

y + 3

Rappel :

(2a + 5) (a – 3) + (a + 8) (a – 3) Factorise

P.G.C.F. : (a – 3)

(2a + 5) (a – 3) + (a + 8) (a – 3)

(a – 3) (a – 3)

(2a + 5) + (a + 8)(a – 3)

(2a + 5 + a + 8)(a – 3)

(3a + 13)(a – 3)

Remarque : La double mise en évidence est une des étapes de la factorisation de

trinômes de la forme ax2 + bx + c.

Démarche exigée

+ 2 ( )b ( )

ab + 3b + 2a + 6

a + 3 a + 3

(b + 2) (a + 3)