Faculté des Sciences et Technologies Département …mathematiques.univ-lille1.fr/digitalAssets/52/52698_livret_p... · Inscriptions pour les rattrapages du semestre 4 Du lundi 11

Faculteacute des Sciences et Technologies Deacutepartement Matheacutematiques

LICENCE SCIENCES TECHNOLOGIES SANTE Mention Matheacutematiques

httpmathematiquesuniv-lille1fr

Faculteacute des Sciences et Technologies

Deacutepartement de Matheacutematiques Citeacute scientifique - Bacirctiment M2 59655 Villeneuve dAscq Cedex

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SOMMAIRE

Preacutesentation 5

Introduction5

Les meacutetiers des Matheacutematiques5

Titres requis 6

Contacts6

Le controcircle de connaissances6

Les uniteacutes drsquoenseignement8

Les uniteacutes drsquoenseignement du S1 8 Les uniteacutes drsquoenseignement du S2 8 Les uniteacutes drsquoenseignement du S3 8 Les uniteacutes drsquoenseignement du S4 9

Les uniteacutes drsquoenseignement du S5 9 Les uniteacutes drsquoenseignement du S6 9

Semestre 1 11

M11mdashMatheacutematiques eacuteleacutementaires [S1 9 ECTS] 11

Semestre 2 11

M21-- Matheacutematiques fondamentales 1 [S2 9 ECTS] 11 M22-- Matheacutematiques fondamentales 2 [S2 6 ECTS] 12

Semestre 3 13

M31-- Algegravebre lineacuteaire [S3 5 ECTS] 13 M32-- Fonctions de plusieurs variables [S3 5 ECTS] 14 M33-- Seacuteries numeacuteriques et inteacutegrales geacuteneacuteraliseacutees [S3 5 ECTS] 14

M34-- Premiers pas en analyse numeacuterique [S3 5 ECTS] 15 M35-- Histoire des Sciences [S3 5 ECTS] 16 ASP3-- Astronomie de position [S3 5 ECTS option] 16 Algorithmique et programmation 2 (AP2) [S3 5 ECTS option 17

Introduction agrave lrsquoEacutelectromagneacutetisme [S3 5 ECTS option] 17 Anglais Scientifique [S3 2 ECTS option] 18 Anglais [S3 2 ECTS] 18 Projet Professionnel de leacutetudiant (3PE) [S3 1 ECTS] 19 Langue Vivante 2-LV2 (Allemand ou Espagnol) [S3 2 ECTS option] 19

Semestre 4 20

M41-- Suites et seacuteries de fonctions [S4 7 ECTS] 20

M42-- Formes bilineacuteaires Espaces euclidiens [S4 7 ECTS] 21 M43-- Probabiliteacutes discregravetes [S4 4 ECTS 21 M44-- Inteacutegrales multiples et curvilignes [S4 5 ECTS] 22 Anglais [S4 2 ECTS] 23

Explorations matheacutematiques (EM4) [S4 3 ECTS option] 23 TEX (TEX412) [S4 2 ECTS option] 24 Stage ZupDeacuteco [S4 3 ECTS option] 24 Dynamique des fluides [S4 5 ECTS option] 24

ASD Algorithmes et structures de donneacutees [S4 5 ECTS option] 25 Ondes et vibrations 1 [S4 5 ECTS option] 25

Semestre 5 28

M51-- Groupes anneaux corps 1 [S5 7 ECTS] 28 M52-- Topologie espaces preacutehilbertiens et seacuteries de Fourier [S5 7 ECTS] 29 M53-- Geacuteomeacutetrie affine et euclidienne [S5 5 ECTS] 30

M54-- Probabiliteacutes [S5 5 ECTS] 30 M55-- Analyse numeacuterique matricielle [S5 5 ECTS] 31 Anglais [S5 1 ECTS] 31

Semestre 6 33

M61-- Calcul diffeacuterentiel [S6 5 ECTS] 33 M62-- Equations diffeacuterentielles [S6 5 ECTS] 34 M63-- Inteacutegration [S6 6 ECTS option] 34

M64-- Fonctions dune variable complexe [S6 6 ECTS option] 35 M65-- Groupes anneaux corps 2 [S6 6 ECTS option] 36 M66-- Modeacutelisation et Analyse numeacuterique [S6 6 ECTS option] 36 M67-- Geacuteomeacutetrie eacuteleacutementaire dun point de vue supeacuterieur [S6 6 ECTS option] 37

M68-- Initiation agrave la statistique [S6 6 ECTS option] 38 M69-- Meacutecanique du systegraveme solaire et spatiale [S6 6 ECTS option] 39 M610-- Histoire des matheacutematiques [S6 6 ECTS option] 39 Anglais [S6 2 ECTS] 40

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CALENDRIER UNIVERSITAIRE() SEMESTRE IMPAIR

Dates de preacute-rentreacutee

L1 lundi 4 septembre 2017 - 13h30 au P1 Voir affichage pour amphi L2 lundi 4 septembre 2017 - 14h au SUP14 L3 vendredi 1er septembre 2017 - 10h au M1 Painleveacute

Deacutebut des enseignements du semestre impair Licence 2 Mardi 5 septembre - 8h

MixCiteacute Jeudi 14 septembre 2017

DS intermeacutediaires En semaine 45 pour les UE de math et courant du semestre pour les options Suivre laffichage

CPP Au cours du semestre

Interruption peacutedagogique (vacances de Toussaint) Du lundi 30 octobre au dimanche 5 novembre 2017 inclus

Fin des enseignements du semestre 3 Jeudi 14 deacutecembre 2017

Inscription peacutedagogique OBLIGATOIRE pour le semestre pair Suivre laffichage

DS de fin de semestre 3 Examens de TP

Reacutepartis sur 2 semaines - du jeudi 14 deacutecembre au vendredi 22 deacutecembre 2017 inclus et - du lundi 8 janvier 2018 au samedi 13 janvier 2018 inclus Suivre laffichage

Vacances de Noeumll Du samedi 23 deacutecembre 2017 au dimanche 7 janvier 2018 inclus

Jury du semestre 3 publication des reacutesultats Au plus tard le vendredi 9 feacutevrier 2018

Inscriptions pour les rattrapages du semestre 3 Du lundi 5 mars au mercredi 14 mars 2018 inclus

Examens de rattrapage du semestre 3 Du lundi 11 juin au samedi 16 juin 2018 inclus

Jury du semestre 3 - rattrapages Publication des reacutesultats Au plus tard le jeudi 12 juillet 2018

SEMESTRE PAIR Deacutebut des enseignements du semestre pair Lundi 15 janvier 2018

Interruption peacutedagogique de feacutevrier Du lundi 26 feacutevrier au dimanche 4 mars 2018 inclus

DS intermeacutediaires Au cours du semestre suivre laffichage

CPP Date agrave deacutefinir

Vacances de Pacircques Du lundi 23 avril au dimanche 06 mai 2018

DS de fin de semestre 4 Examens de TP Du lundi 14 mai au samedi 26 mai 2018 inclus Suivre laffichage

Jury du semestre 4 publication des reacutesultats Au plus tard le vendredi 8 juin 2018

Inscriptions pour les rattrapages du semestre 4 Du lundi 11 juin au lundi 18 juin 2018

Examens de rattrapage du semestre 4 Du lundi 25 juin au samedi 30 juin 2018

Jury des rattrapages du semestre 4 Publication des reacutesultats Au plus tard le jeudi 12 juillet 2018

()Les dates sont donneacutees agrave titre indicatif et sont susceptibles decirctre modifieacutees par les instances de luniversiteacute en cours danneacutee universitaire

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PRESENTATION

INTRODUCTION

La Licence de Matheacutematiques ouverte agrave tous les titulaires dun Baccalaureacuteat scientifique constitue une formidable formation agrave la rigueur et au raisonnement elle permet de deacutevelopper lintuition limagination et lesprit critique tout en fournissant un langage international qui deacutepasse les frontiegraveres Les matheacutematiques sont belles et utiles cette Licence se propose de faire deacutecouvrir une partie de ses richesses

Cette licence comporte une majoriteacute denseignements en matheacutematiques et des enseignements compleacutementaires dans les disciplines relevant de leurs applications principalement lastronomie lhistoire des matheacutematiques linformatique la physique et la meacutecanique Elle fournit aux eacutetudiant(e)s une formation geacuteneacuteraliste solide qui leur donne les outils neacutecessaires pour raisonner interagir dans les multiples domaines dapplication des matheacutematiques tout en se preacuteparant agrave une poursuite deacutetudes dans diffeacuterents masters offrant dexcellentes perspectives dinsertion professionnelle

Le premier semestre est fortement pluridisciplinaire et au second semestre leacutetudiant doit choisir une bi-mention parmi laquo Matheacutematiques-Informatique raquo laquo Matheacutematiques-Physique raquo laquo Matheacutematiques-Meacutecanique raquo permettant une orientation progressive Le choix de la mention laquo matheacutematiques raquo de la licence Sciences Technologie Santeacute se fait agrave lrsquoissue du semestre 2

Des eacutetudiants issus des classes preacuteparatoires aux grandes eacutecoles peuvent rejoindre la Licence en deuxiegraveme et troisiegraveme anneacutee et depuis le 1er janvier 2012 la troisiegraveme anneacutee de la Licence accueille aussi une dizaine deacutetudiants de lEacutecole Centrale de Lille dans le cadre dune convention leur permettant dobtenir la Licence en 2 ans en parallegravele avec leurs eacutetudes dingeacutenieur

Les eacutetudiant(e)s titulaires de la licence de matheacutematiques peuvent

bull poursuivre leurs eacutetudes en master de matheacutematiques master ingeacutenierie matheacutematiques ou master matheacutematiques et finance afin de srsquoorienter vers les meacutetiers de la recherche et deacuteveloppement Voir

pour loffre de Master de lUFR de matheacutematiques de Lille 1

bull poursuivre leurs eacutetude en master Meacutetiers de lenseignement de leacuteducation et de la formation ou en Master de matheacutematiques speacutecialiteacute matheacutematiques pures parcours agreacutegation pour srsquoorienter vers les meacutetiers du professorat (preacuteparation du Capes ou de lrsquoagreacutegation)

bull sorienter vers une formation dingeacutenieur dans une eacutecole recrutant sur dossier au niveau de la licence bull preacuteparer un concours dentreacutee dans la fonction publique

LES METIERS DES MATHEMATIQUES

Pour comprendre le monde qui nous entoure et qui devient de plus en plus complexe les matheacutematiques sont devenues incontournables Les moteurs de recherches sur internet mettent en jeu des matheacutematiques hautement theacuteoriques et puissantes qui pourtant nous sont invisibleshellip

La deacutetection et la correction des erreurs dans les eacutechanges drsquoinformation numeacuteriseacutee font appel agrave des meacutethodes abstraites qui relegravevent de lrsquoalgegravebre ou de la geacuteomeacutetrie

La modeacutelisation matheacutematique et le calcul scientifique permettent de deacutecrire de nombreux pheacutenomegravenes dans des domaines dapplications varieacutees (physiques biologiques eacutecologiques eacuteconomiques industriels) de les simuler numeacuteriquement permettant ainsi de preacutevoir ou de controcircler leur eacutevolution

Les probabiliteacutes et les statistiques sappliquent dans les domaines dactiviteacutes les plus divers banque finance biopharmacie sciences de lenvironnement controcircle qualiteacute

Bref les matheacutematiques sont partout et on retrouve donc des matheacutematiciens partout

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De statisticien agrave chercheur ou professeur de matheacutematiques en passant par actuaire ou ingeacutenieur drsquoeacutetudes les deacuteboucheacutes sont extrecircmement varieacutes Il faut de plus souligner que les perspectives dinsertion agrave lissue dun Master de matheacutematiques (quel qursquoil soit) sont tregraves eacuteleveacutees (de lordre de 95)

On pourra se reporter utilement agrave la brochure laquo Zoom sur les meacutetiers des matheacutematiques raquo agrave lrsquoadresse

httpsmfemathfrPublicationsZoomMetiersDesMathsPresentation Cette brochure preacutesente une galerie drsquoune vingtaine de portraits de jeunes femmes et hommes engageacutes dans la vie active

TITRES REQUIS

Lrsquoaccegraves agrave la formation est de plein droit pour tout candidat titulaire drsquoun baccalaureacuteat franccedilais ou assimileacute dans la seacuterie S Le principe de capitalisation de creacutedits par la validation drsquouniteacutes drsquoenseignement permet des parcours individualiseacutes et donc drsquoaccueillir eacutegalement des eacutetudiants ayant commenceacute drsquoautres parcours (par exemple parcours MASS classes preacuteparatoires ou autres) par validation des acquis

CONTACTS

Responsable Semestres 1 et 2 - Mohamed MZARI (MohamedMzarimathuniv-lille1fr) Semestres 3 agrave 6 - Marc BOURDON (marcbourdonmathuniv-lille1fr) Secreacutetariat Peacutedagogique Semestres 1 et 2 ndash Julie DUPONT Bacirct Sup bureau 6 Teacutel +33 (0)3 20 05 87 28 juliedupontuniv-lille1fr Semestres 3 et 4 ndash Bacirct Sup bureau 4 Teacutel +33 (0)3 20 05 87 33 sec-l2-mathuniv-lille1fr Semestres 5 et 6 ndash Christelle OUTTERYCK Bacirct M2 bureau 12 Teacutel +33 (0)320436558 christelleoutteryckuniv-lill1fr Formation continue Les auditeurs souhaitant suivre la formation dans le cadre de la formation continue srsquoadresseront au SFC (Service Formation Continue) Citeacute scientifique 59655 VILLENEUVE DrsquoASCQ Cedex Teacutel +33 (0)320434523 formation-continueuniv-lille1fr

LE CONTROLE DE CONNAISSANCES

Chaque uniteacute drsquoenseignement (UE) comporte au cours du semestre des interrogations et ou devoirs surveilleacutes Le controcircle des connaissances est propre agrave chaque UE et est preacuteciseacute dans la section 2 lors du descriptif de chaque UE La preacutesence aux interrogations et DS est obligatoire En cas drsquoabsence (mecircme avec preacutesentation drsquoun certificat meacutedical) la note ZERO sera appliqueacutee Le semestre est valideacute si la moyenne geacuteneacuterale des notes obtenues pour les diverses UE est supeacuterieure ou eacutegale agrave 1020 Si lrsquoeacutetudiant ne valide pas le semestre il peut passer un examen de rattrapage (La 2nde session) Dans ce cas la note obtenue remplace la note du DS final (DS2) qursquoelle soit supeacuterieure ou infeacuterieure Compensation semestrielle et annuelle bull La compensation semestrielle est une disposition reacuteglementaire si la moyenne geacuteneacuterale des notes obtenues pour les diverses UE est supeacuterieure ou eacutegale agrave1020 le semestre est valideacute Les UE non valideacutees sont valideacutees par compensation bull La compensation annuelle srsquoapplique aux semestres de la mecircme anneacutee universitaire Si la moyenne de lrsquoanneacutee peacutedagogique des UE est supeacuterieure ou eacutegale agrave 1020 les deux semestres sont valideacutes Apregraves chaque jury de fin du semestre pair toutes les notes des uniteacutes non valideacutees sont effaceacutees

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Le Jury est nommeacute par le Preacutesident de lrsquoUniversiteacute Il se reacuteunit agrave la fin du controcircle continu et apregraves la session de rattrapage pour valider les UE obtenues par les eacutetudiants Seules les notes deacutefinitives attribueacutees par le jury (apregraves chaque session) sont communicables Les notes de controcircle continu pourront ecirctre communiqueacutees aux eacutetudiants (consultation des copies lors des TD) mais elles seront provisoires jusqursquoagrave la deacutelibeacuteration finale du jury Les releveacutes de notes individuels peuvent ecirctre obtenus par les eacutetudiants pour chacune des sessions aupregraves du secreacutetariat peacutedagogique de la formation apregraves publication des reacutesultats Ce document est agrave conserver agrave vie Aucun duplicata ne pourra ecirctre deacutelivreacute Il sera demandeacute pour toutes les demandes de dossier (Master DU hellip) En cas de redoublement les notes des UE non valideacutees (infeacuterieur agrave 1020) sont remises agrave zeacutero Par conseacutequent lrsquoensemble des notes y compris celles des TP nrsquoest pas conserveacute drsquoune anneacutee sur lrsquoautre De mecircme en cas de redoublement lrsquoinscription peacutedagogique doit ecirctre renouveleacutee Elle nrsquoest pas reconduite drsquoune anneacutee sur lrsquoautre Commission Peacutedagogique Paritaire (CPP) La CPP reacuteunit une fois par semestre les eacutetudiants les enseignants et les personnels administratifs et techniques en charge de la formation Son rocircle est de faire le bilan des enseignements et de leur organisation et de deacutecider des ameacuteliorations agrave y apporter Il est important que chaque groupe soit repreacutesenteacute par au moins 2 eacutetudiants agrave cette reacuteunion

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Les uniteacutes drsquoenseignement

Les uniteacutes drsquoenseignement du S1 Le S1 est un tronc commun obligatoire agrave toutes les mentions du portail laquo Licence Science Exacte Sciences pour lrsquoIngeacutenieur raquo Il est constitueacute de 7 UE agrave savoir

1 UE de Matheacutematiques agrave 9ECTS

1 UE de Physique agrave 5 ECTS

1 UE de Chimie agrave 4 ECTS

1 UE dInformatique agrave 4 ECTS

1 UE de Meacutecanique agrave 3 ECTS

1 UE drsquoElectronique Electrotechnique Automatique agrave 3 ECTS

1 UE preacuteprofessionnelle agrave 2 ECTS

Les uniteacutes drsquoenseignement du S2

Au S2 12 ECTS sont communs aux 8 mentions (9ECTS de tronc commun matheacutematiques fondamentales 1 (M21) 1 ECTS de langue et 2 ECTS de Projet Personnel et Professionnel de lEtudiant (3PPE) Les 18 autres ECTS deacutependent du parcours choisi parmi les trois bi-mentions Maths-Info Maths-Physique et Maths-Meacutecanique Dans ces trois bi-mentions il y aura 6 ECTS de matheacutematiques fondamentales 2 (M22) au titre de la bi-mention Puis suivant les bi-mentions les 12 ECTS restantes sont reacuteparties comme suit

bi-mention maths-informatique 9 ECTS dInformatique et 3 ECTS douverture

diams Algorithmes et Programmation 1 (AP1) diams Technologies du Web 1 diams Maths Info Arithmeacutetique et cryptographie (partageacutee avec la

bi-mention maths-meacutecanique) diams bi-mention Maths-Physique 12 ECTS de physique

diams Forces champs eacutenergies diams Optique diams Physique expeacuterimentale

diams bi-mention Maths-Meacutecanique 9 ECTS de Meacutecanique et 3 ECTS douverture

diams Eleacutements de dimensionnement diams Systegravemes meacutecaniques diams Initiation agrave la meacutecanique des fluides diams Maths Info Arithmeacutetique et cryptographie (partageacutee avec la bi-mention Maths-info

Les uniteacutes drsquoenseignement du S3 Les uniteacutes drsquoenseignement (UE) du semestre 3 sont composeacutees de bull 4 UE communes agrave 5 ECTS chacune

Algegravebre lineacuteaire (M31)

Fonctions de plusieurs variables (M32)

Seacuteries numeacuteriques et inteacutegrales geacuteneacuteraliseacutees (M33)

Premiers pas en analyse numeacuterique (M34)

bull 1 UE agrave 5 ECTS agrave choisir parmi

Meacutecanique applications industrielles et recherche

Electromagneacutetisme

Algorithmique et programmation 2

Astronomie de position

9

Histoire des sciences (M35)

bull 1 UET est composeacutee de deux parties

Deux eacuteleacutements constitutifs obligatoires

3PE - Projet Personnel Professionnel de lrsquoeacutetudiant (1 ECTS)

LVI - Langue vivante (2 ECTS)

1 eacuteleacutement constitutif agrave 2 ECTS agrave choisir parmi

Langue vivante 2

Anglais scientifique

EPS ndash Education physique

Les uniteacutes drsquoenseignement du S4 Les uniteacutes drsquoenseignement (UE) du semestre 4 sont composeacutees de

Suites et seacuteries de fonctions (M41) - 7 ECTS

Formes bilineacuteaires espaces euclidiens (M42) - 7 ECTS

Probabiliteacutes discregravetes (M43) - 4 ECTS

Inteacutegrales multiples et curvilignes (M44) - 5 ECTS

Une option (M45) diviseacutee en deux uniteacutes - 5 ECTS TEX 412 - 2 ECTS (obligatoire)

diams Explorations matheacutematiques ou Stage ZupDeco - 3 ECTS ou Uniteacute optionnelle agrave choisir parmi - 5 ECTS

diams Dynamique des fluides diams Ondes et vibrations diams Algorithmique et structures de donneacutees

Anglais - 2 ECTS

Les uniteacutes drsquoenseignement du S5 Groupes anneaux corps 1 (M51) - 7 ECTS

Topologie espaces preacutehilbertiens et seacuteries de Fournier (M52) - 7 ECTS

Geacuteomeacutetrie affine euclidienne (M53) - 5 ECTS

Probabiliteacutes (M54) - 5 ECTS

Analyse numeacuterique matricielle (M55) - 5 ECTS

Anglais - 1 ECTS

Les uniteacutes drsquoenseignement du S6 Calcul diffeacuterentiel (M61) - 5 ECTS

Equations diffeacuterentielles (M62) - 5 ECTS

UE ndash 3 uniteacutes optionnelles agrave choisir parmi - 6 ECTS

diams Inteacutegration (M63) ou Histoire des matheacutematiques (M610)

diams Fonctions drsquoune variable complexe (M64) ou Meacutecanique du systegraveme solaire et spatiale (M69)

diams Groupes anneaux corps 2 (M65) ou Initiation agrave la statistique (M68)

diams Modeacutelisation et analyse numeacuterique (M66) ou Geacuteomeacutetrie eacuteleacutementaire drsquoun point de vue supeacuterieur (M67) Anglais - 2 ECTS

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SEMESTRE 1

Description des UE de Matheacutematiques du S1

M11mdashMatheacutematiques eacuteleacutementaires [S1 9 ECTS]

Preacute requis Programme terminal S Horaire 90h de C-TD Objectifs bull maicirctriser le vocabulaire drsquoensembles et drsquoapplications bull utiliser les nombres complexes et reacutesoudre les eacutequations du second degreacute bull reacutesoudre des systegravemes lineacuteaires et maicirctriser les notions de geacuteomeacutetrie dans le plan et dans lrsquoespace bull maicirctriser des objets fondamentaux de lanalyse reacuteelle convergence de suites numeacuteriques continuiteacute et

deacuterivabiliteacute de fonctions reacuteelles bull donner des eacutenonceacutes preacutecis et deacutemontrer ces eacutenonceacutes en donner des applications bull traduire un problegraveme simple en langage matheacutematique Controcircle des connaissances

bull 3 interrogations eacutecrites de 30 agrave 45 minutes (questions de cours) donnant lieu agrave 3 notes I1 I2 I3

bull 2 devoirs surveilleacutes DS1 de 2h et DS2 de 3h

bull 4 colles de 30mn chacune donnant lieu agrave une note K entre 0 et 2

Ensuite on calcule I = (I1+I2+I3) 3

Autrement dit la note finale est max (DS2 ((DS1+DS2) 2) ((DS1+DS2+I) 3)) + K

SEMESTRE 2


M21-- Matheacutematiques fondamentales 1 [S2 9 ECTS]

Preacute requis M11 Horaire 36h de cours et 54h de TD Objectifs

bull maicirctriser la structure despaces vectoriels bull manipuler les notions bases dimensions des espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels bull maicirctriser les notions des applications lineacuteaires et matrices manipuler les noyaux images et matrices associeacutees

bull connaicirctre linteacutegrale de Riemann et savoir la calculer dans les cas classiques maicirctriser les formules de Taylor et leurs applications usuelles bull connaicirctre les bases de leacutetude des courbes parameacutetreacutees

bull savoir reacutesoudre des eacutequations diffeacuterentielles lineacuteaires du premier ordre et du second ordre agrave coefficients constants Controcircle des connaissances






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bull connaicirctre les vocabulaires de la theacuteorie des ensembles et connaicirctre les deacutenombrements cou-rants

bull connaicirctre les bases de larithmeacutetique de ℤ et des polynocircmes

bull connaicirctre les deacutefinitions et exemples de groupes anneaux et corps

bull connaicirctre la topologie de ℝ

bull maicirctriser les theacuteoregravemes fondamentaux sur les suites

bull maicirctriser les theacuteoregravemes fondamentaux sur les fonctions continu bull construire et reacutediger une deacutemonstration matheacutematique syntheacutetique et rigoureuse

Controcircle des connaissances

bull 2 interrogations eacutecrites de 30 agrave 45 minutes (questions de cours) donnant lieu agrave 2 notes I1I2





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SEMESTRE 3

Description des UE du S3

M31 5 Ects Benoicirct Fresse benoitfressemathuniv-lille1fr M2 206 03 20 43 45 71

M32 5 Ects Pierre Degravebes Pierredebesuniv-lille1fr M3 310 - 03 20 43 45 17

M33 5 Ects Vincent Thilliez VincentThilliezuniv-lille1fr M2 207 03 20 43 68 79

M34 5 Ects Bernhard Beckermann

bbeckermathuniv-lille1fr M3 - 03 20 43 42 96

M35 5 Ects Thomas Morel Edouard Mehl

thomasmorelespe-lnffr edouardmehluniv-lille3fr

Astro 5 Ects option Marc Fouchard marcfouchardimccefr M3 232 - 03 59 31 29 35

API 5 Ects option Eric Wegrzynowski EricWegrzynowskiuniv-lille1fr M3 330 - 03 20 43 69 73

Elec 5 Ects option Abdelmajid Taki AbdelmajidTakiuniv-lille1fr P5 163 - 03 20 33 64 44

3PE 1 Ect UET Eric Noeumll ericnoeluniv-lille1fr SUAIO - 03 59 31 29 02

LV1 Anglais 2 Ects UET Michegravele Saljoghi MicheleSaljoghiuniv-lille1fr B5 - 0320433269

LV2 EspAll 2 Ects UET secretariat-maisondeslanguesuniv-lille1fr B5 - 0320433269

Ang Scient 2 Ects UET Michel Belliart MichelBelliartmathuniv-lille1fr M3 224 - 03 20 43 42 15

EPS 2 Ects UET maisondessportsuniv-lille1fr COSEC - 03 20 33 62 00

M31-- Algegravebre lineacuteaire [S3 5 ECTS]

Preacute requis M21 et M22 Horaire 20h de cours et 30h de TD Objectifs bull Connaicirctre la base de la theacuteorie de groupe groupe symeacutetrique bull Connaicirctre la theacuteorie de deacuteterminant et la meacutethode de calcul bull Maicirctriser la reacuteduction des endomorphismes Contenu

bull Groupes (10h) Groupes sous-groupes homomorphismes noyau image groupe symeacutetrique signature transposition cycle

bull Deacuteterminants (15h) Formes n-lineacuteaires alterneacutees deacuteterminant dune matrice deacuteterminant dune application lineacuteaire mineurs cofacteurs deacuteveloppement relatif agrave une ligne ou une colonne formules de Cramer orientation dun espace vectoriel reacuteel

bull Reacuteduction des endomorphismes (25h) valeur propre vecteur propre sous-espace propre endomorphisme diagonalisable polynocircme annulateur polynocircme minimal polynocircme caracteacuteristique triangulation lorsque le polynocircme caracteacuteristique est scindeacute sous-espace caracteacuteristique theacuteoregraveme de Cayley-Hamilton critegravere de diagonalisabiliteacute la dimension de tout sous-espace propre est eacutegale agrave lordre de multipliciteacute de la valeur propre associeacutee il existe un polynocircme annulateur scindeacute agrave racines simples Diagonalisation simultaneacutee dun ensemble dendomorphismes commutant entre eux Deacutecomposition de Dunford


1 interrogation eacutecrite de 45 minutes (questions de cours etou applications directes du cours) donnant lieu agrave 1 notes I

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2 devoirs surveilleacutes DS1 de 2h et DS2 de 3h

Ensuite on calcule C = (I+2DS1)3

La note finale est F = max ((C+DS2) 2 DS2)

La note de rattrapage remplace dans la formule preacuteceacutedente la note de DS2

M32-- Fonctions de plusieurs variables [S3 5 ECTS]

Preacute requis M21 et M22 Horaire 20h de cours et 30h de TD Objectifs bull connaicirctre les fonctions de plusieurs variables et leur repreacutesentation geacuteomeacutetrique bull connaicirctre la fonction de diffeacuterentielle et son lien avec les deacuteriveacutees partielles bull appliquer la formule de Taylor agrave la recherche drsquoextrema

Contenu

Notions de topologie dans ℝn (n=23) (12h) Norme Exemples usuels Boules voisinages ouverts fermeacutes adheacuterence Compaciteacute (deacutefinition seacutequentielle) Les compacts de ℝn sont les fermeacutes borneacutes (admis)

Fonctions de plusieurs variables (23h) Limite drsquoune fonction en un point opeacuterations algeacutebriques sur les limites Fonction continues Image reacuteciproque drsquoun ouvert drsquoun fermeacute par une fonction continue Opeacuterations algeacutebriques sur les fonctions continues Image drsquoun compact par une fonction continue Une fonction numeacuterique continue sur un compact atteint ses bornes Deacutefinition de la diffeacuterentielle deacuteriveacutee en un point selon un vecteur deacutefinition des deacuteriveacutees partielles relation entre diffeacuterentielle et deacuteriveacutees partielles Fonctions de classe C1 (les deacuteriveacutees partielles sont continues) Matrice jacobienne Diffeacuterentielle drsquoune fonction composeacutee Composeacutee de deux fonctions C1 Lignes de niveau f(x y)=c Surfaces de niveau f(x y z)=c Droites et plans tangents en un point reacutegulier Lien avec les tangentes aux arcs traceacutes sur la surface Normale Gradient

Extrema (15h) Fonctions de classe C2 theacuteoregraveme de Schwarz (admis agrave ce stade du programme) Fonctions de classe Ck Formule de Taylor agrave lrsquoordre 2 Position drsquoune surface par rapport au plan tangent Application agrave la recherche des extrema locaux Controcircle des connaissances

2 devoirs surveilleacutes DS1 de 2h et DS2 de 3h La note finale est F = max (DS2 (DS1 + DS2) 2) La note de rattrapage remplace dans la formule preacuteceacutedente la note de DS2

M33-- Seacuteries numeacuteriques et inteacutegrales geacuteneacuteraliseacutees [S3 5 ECTS]

Preacute requis M21 et M22 Horaire 20h de cours et 30h de TD Objectifs bull maicirctriser les notions de seacuterie numeacuteriques ainsi que les diffeacuterents concepts de convergence bull utiliser de maniegravere adeacutequate les diffeacuterents critegraveres de convergence bull maicirctriser lrsquoeacutetude de convergence drsquoune inteacutegrale geacuteneacuteraliseacutee

Contenu

1 Seacuteries numeacuteriques (15h) Rappels sur la notion de limite drsquoune suite Notion drsquoeacutequivalent

Suite de Cauchy On admet que toute suite de Cauchy est convergente dans ℝ (on donnera lrsquoeacutequivalence entre la convergence des suites de Cauchy la convergence des suites croissantes majoreacutees Theacuteoregraveme de Bolzano- Weierstrass) Seacuteries numeacuteriques Convergence critegravere de Cauchy Convergence absolue

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Theacuteoregraveme drsquoAbel les seacuteries alterneacutees Seacuteries agrave termes positifs Theacuteoregravemes de comparaison drsquoeacutequivalent Comparaison avec une inteacutegrale Seacuteries de Riemann Opeacuterations sur les seacuteries permutation des termes seacuterie produit

2 Inteacutegration sur un intervalle quelconque (20h) Les fonctions consideacutereacutees sont continues par morceaux etou monotones

- Inteacutegrales geacuteneacuteraliseacutees (8h) deacutefinition de linteacutegrale geacuteneacuteraliseacutee dun fonction sur un intervalle ouvert (borneacute ou non) Exemples des fonctions puissances Inteacutegration de fonctions de signe quelconque Critegravere de Cauchy la convergence absolue implique la convergence Meacutethode dAbel

- Inteacutegration de fonctions positives (12h) inteacutegration des relations de comparaisons (neacutegligeabiliteacute eacutequivalence) par rapport agrave une fonction positive transmission aux restes ou aux sommes partielles Exemples de comparaison seacuterie-inteacutegrale Inteacutegrales semi-convergente Inteacutegration par parties changement de variable

3 Fonctions deacutefinies par une inteacutegrale (Inteacutegrales deacutependant dun paramegravetre) (15h) cas dune inteacutegrale de Riemann sur un segment continuiteacute deacuterivabiliteacute Cas dune inteacutegrale geacuteneacuteraliseacutee continuiteacute et deacuterivabiliteacute Exemples et applications transformeacutees de Laplace et de Fourier


1 interrogation eacutecrite de 45 minutes (questions de cours etou applications directes du cours) donnant lieu agrave 1 notes I devoirs surveilleacutes DS1 de 2h et DS2 de 3h Ensuite on calcule C=(I+2DS1)3 La note finale est F=max((C+DS2)2DS2) La note de rattrapage remplace dans la formule preacuteceacutedente la note de DS2

M34-- Premiers pas en analyse numeacuterique [S3 5 ECTS]

Preacute requis M21 et M22 Horaire 20h de cours 20h de TD et 10h de TP Objectifs bull comprendre la notion de repreacutesentation machine des nombres bull appreacutecier la probleacutematique du calcul approcheacute avec calcul drsquoerreur drsquoobjets matheacutematiques divers bull eacutelaborer des codes eacuteleacutementaires pour le calcul de ces objets (SCILAB) appreacutehender la probleacutematique de lrsquointerpolation polynomiale eacuteleacutementaire et ses applications dans lrsquointeacutegration numeacuterique

Contenu

1 Approximations numeacuteriques (20h) des ensembles de nombres agrave la repreacutesentation machine des nombres nombre flottant (en base 10) preacutecision machine erreur pour opeacuterations eacuteleacutementaires cancellation chiffres significatifs Approximation de nombres par des suites ordre de convergence condition darrecirct dun algorithme iteacuteratif Recherche de zeacuteros dichotomie meacutethodes de point fixe (dites approximations successives) meacutethode de Newton et variantes Theacuteoregraveme du point fixe 2 Interpolation polynomiale (15h) La probleacutematique approcher un graphe interpoler des points Le polynocircme dinterpolation de Lagrange existence et uniciteacute Bases polynomiales (Canonique Lagrange Newton) et meacutethode de Houmlrner Calcul du polynocircme dinterpolation diffeacuterences diviseacutees Formule de Cauchy pour lerreur dinterpolation avec preuve 3 Calcul approcheacutee dune inteacutegrale (15h) Formules de quadrature eacuteleacutementaires et meacutethodes composeacutees Meacutethode des rectangles du point milieu des trapegravezes et leur lien avec sommes de Riemann Formules de quadrature de type interpolation (Newton-Cotes) ordre et degreacute de preacutecision Estimation derreur agrave laide de la formule de Cauchy Applications agrave la meacutethode du point milieu des trapegravezes de Simpson Deacuteveloppement asymptotique de lerreur (admis) meacutethode de Romberg (acceacuteleacuteration de convergence)


Devoirs surveilleacutes DS1 de 2h et DS2 de 3h 1 note de TP entre 0 et 3 qui majore la note de DS1 TP

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Ensuite on calcule C=DS1+TP La note finale est F=max((C+DS2)2DS2) La note de rattrapage remplace dans la formule preacuteceacutedente la note de DS2

M35-- Histoire des Sciences [S3 5 ECTS]

Preacute requis sans Horaire 20h de cours et 30h de TD Objectifs

bull connaicirctre les fondements de la science moderne comprendre le deacutebut de la matheacutematisation de la nature et ses enjeux bull comprendre lrsquoeacutevolution de la numeacuteration agrave la fois drsquoun point de vue temporel que culturel bull connaicirctre les fondements de la geacuteomeacutetrie Contenu Les fondements de la science moderne

La reacutevolution copernicienne srsquoeacutetend sur un siegravecle et demi de Copernic agrave Newton (via Tycho Brahe Ke-pler Galileacutee Descartes et quelques autres eacuteclaireurs) mais il est difficile de savoir ce qui dans ce mou-vement deacutepend effectivement et reacuteellement de lrsquoimpulsion donneacutee par Copernic Comment cette reacutevolu-tion a-t-elle eu lieu Qursquoest-ce qui lrsquoa rendue possible Pour reacutepondre agrave ces questions nous reviendrons agrave Copernic lui-mecircme pour tacirccher de comprendre les motivations essentielles qui ont donneacute naissance agrave lrsquoastronomie heacuteliocentrique

Partie histoire des matheacutematiques

1 Histoire de la numeacuteration et du calcul La maniegravere de compter et de calculer drsquoaujourdrsquohui nrsquoest pas la seule possible Le but du cours est de montrer agrave travers lrsquohistoire des nombres et du calcul dans les civilisations anciennes que la numeacuteration moderne deacutecimale et positionnelle est laboutissement drsquoune longue histoire

2 Histoire de la geacuteomeacutetrie dEuclide aux arpenteurs La geacuteomeacutetrie neacutee pour mesurer les objets et calculer les aires et les volumes srsquoeacutetait deacutejagrave deacuteveloppeacutee drsquoune maniegravere tregraves abstraite chez les Grecs anciens et a constitueacute le premier exemple de systegraveme deacuteductif de lrsquohistoire des matheacutematiques Dans le cours nous discuterons les axiomes de la geacuteomeacutetrie et les premiegraveres propositions de la geacuteomeacutetrie eucli-dienne puis nous suivrons son deacuteveloppement jusquaux arpenteurs du Moyen acircge


Devoirs surveilleacutes 2 DS de 2h chacun Ensuite on calcule C=(DS1+DS2)2 La note finale est F=max(CDS2) La note de rattrapage remplace dans la formule preacuteceacutedente la note de DS2

ASP3-- Astronomie de position [S3 5 ECTS option]

Preacute requis sans Horaire 20h de cours et 30h de TD et TP Objectifs initiation agrave lrsquoastronomie de position deacutecrire et expliquer le mouvement et les positions des astres (Soleil Lune planegravetes etc) sur la sphegravere ceacuteleste et dans lrsquoespace applications agrave la vie quotidienne (temps saisons calendrier etc) Contenu

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Eleacutements drsquohistoire de lrsquoAstronomie systegravemes de coordonneacutees sur la sphegravere ceacuteleste mouvements apparents et reacuteels du Soleil des planegravetes et de leurs satellites coordonneacutees terrestres et forme de la Terre mesure du temps Il est preacutevu quelques seacuteances dobservation agrave lrsquoobservatoire de LILLE Controcircle des connaissances

2 DS de 2h La note finale est F= max (DS2 ((DS1+DS2)2)) La note de rattrapage remplace dans la formule preacuteceacutedente la note de DS2

Algorithmique et programmation 2 (AP2) [S3 5 ECTS option]

Proposeacute par UFR Informatique Preacute requis Algorithme et programmation 1 (S2 bi-mention maths-info) Horaire 12h de cours 12h de TD et 18h de TP Objectifs bull savoir eacutecrire des programmes reacutecursifs bull connaicirctre des algorithmes de tri reacutecursifs bull connaicirctre la notion de pile et ses applications en particulier la deacute-reacutecursivation bull connaicirctre la structure reacutecursive des listes bull savoir speacutecifier implanter tester et documenter un module bull avoir connaissance de la gestion des deacutependances et du deacuteploiement de modules Controcircle des connaissances

2 devoirs surveilleacutes (DS1 et DS2) une note de TP (TP) et une note de projet (PRJ) Note finale 20TP+30PRJ+50Ecrit avec Ecrit=MAX(DS2(DS1+2DS2)3) en 1ere session La note de rattrapage remplace la note dEcrit dans la formule preacuteceacutedente Pas de rattrapage des TP

Introduction agrave lrsquoEacutelectromagneacutetisme [S3 5 ECTS option]

Proposeacute par UFR de Physique Preacute requis Bases de calcul vectoriel deacuteriveacutees inteacutegrales Meacutecanique du point mateacuteriel 1 (S2 bi-mention Maths-Physique) Horaire 21h de cours 22h de TD et 8h de TP Objectifs bull apporter aux eacutetudiants le socle de leacutelectromagneacutetisme de leacutelectrostatique agrave la propagation des ondes eacutelectromagneacutetiques bull maitriser les reacutegimes variables et les eacutequations de Maxwell conduisant agrave la propagation dondes eacutelectromagneacutetiques bull permettre aux eacutetudiants de comprendre les pheacutenomegravenes dinteractions entre particules chargeacutees et dacqueacuterir les compeacutetences neacutecessaires pour eacutetudier linteraction des charges et des courants avec le champ eacutelectromagneacutetique Contenu Partie 1 Rappel de matheacutematiques opeacuterateurs vectoriels 1-Champs de vecteurs Vecteurs polaires Invariances et symeacutetries regravegles de symeacutetrie des vecteurs polaires 2- Eacuteleacutements drsquoanalyse vectorielle a ndash Circulation drsquoun champ de vecteurs le long drsquoun trajet opeacuterateur lsquogradientrsquo b ndash Flux drsquoun champ de vecteurs agrave travers une surface c - Theacuteoregraveme de Stokes Opeacuterateur lsquorotationnelrsquo d - Theacuteoregraveme de Green ndash Ostrogradsky Opeacuterateur lsquodivergencersquo e - Opeacuterateurs lsquoLaplacienrsquo et lsquoLaplacien vectorielrsquo Partie 2 Electrostatique 1 Rappel Champ et potentiel eacutelectrostatiques Potentiel creacuteeacute par uneplusieurs charge(s) ponctuelle(s) Distribution volumique surfacique ou lineacuteique de charges

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Proprieacuteteacute fondamentale de lrsquoeacutelectrostatique et relation locale entre champ et potentiel eacutelectrostatiques 2 Theacuteoregraveme de Gauss Notion drsquoangle solide Formes inteacutegralelocale du theacuteoregraveme de Gauss Equations de passage agrave la traverseacutee drsquoune surface de discontinuiteacute 3 Equations de Poisson Laplace 4 Electrostatique dans les conducteurs Notions sur les pheacutenomegravenes drsquoinfluence Condensateurs 5 Energie eacutelectrostatique Partie 3 Magneacutetostatique 1 Eacuteleacutements drsquoeacutelectrocineacutetique 2 Deacutefinition du champ drsquoinduction magneacutetique Nature axiale du vecteur champ drsquoinduction magneacutetique et regravegles de symeacutetrie pour les vecteurs axiaux 3 Induction magneacutetique creacuteeacutee par les courants 4 Loi de Biot et Savart et force de Laplace 6 Proprieacuteteacute fondamentale de lrsquoinduction magneacutetique 5 Theacuteoregraveme drsquoAmpegravere (formes inteacutegrale et locale) Equations de passage agrave la traverseacutee drsquoune surface de discontinuiteacute 6 Notions sur le potentiel vecteur Partie 4 Reacutegimes variables 1 Pheacutenomegravenes drsquoinduction eacutelectromagneacutetique Lois de Faraday et Lenz 2 Auto-induction et applications 3 Energies magneacutetostatique 4 Courant de deacuteplacement Equation drsquoAmpegravere-Maxwell Equations de Maxwell 5 Equation de propagation des champs dans le vide Notion de propagation Structure de lrsquoonde eacutelectromagneacutetique Ondes planes monochromatiques progressives


2 devoirs surveilleacutes (DS1 et DS2) + une note de TP Note Ecrit=MAX(DS2(DS1+DS2)2) La note finale est 80 Ecrit + 20 TP La note de rattrapage remplace la note dEcrit dans la formule preacuteceacutedente et le rattrapage de TP remplace la note de TP

Anglais Scientifique [S3 2 ECTS option]

Preacute requis sans Horaire 20h de Cours

Objectifs Lobjectif de ce cours est de familiariser leacutetudiant avec langlais matheacutematique tout en renforccedilant ses connaissances de base par une reacutevision des notions de cardinaliteacute continuiteacute distance et symeacutetrie Leacutetudiant doit pouvoir reacutediger dans un anglais correcte des eacutenonceacutes matheacutematiques et des solutions aux problegravemes sur les notions traiteacutees dans le cours Une partie du cours traite de thegravemes qui varient en fonction des eacutetudiants


Deux devoirs surveilleacutes DS1 et DS2 La note finale est max((DS2(DS1+DS2)2) La note de rattrapage remplace la note de DS2

Anglais [S3 2 ECTS]

Preacute requis sans Horaire 24h de TD

Objectifs Lobjectif de notre enseignement reacuteparti tout au long de la licence doit permettre agrave leacutetudiant datteindre le niveau B2 du Cadre Europeacuteen des Langues dans les 5 compeacutetences Nous travaillons agrave partir de documents authentiques articles de presse fichiers audiovideacuteo ayant trait agrave des thegravemes plutocirct geacuteneacuteraux Nous travaillons lexpression orale par le biais de jeux de rocircles et autres activiteacutes de communication

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Compreacutehension orale 25 preacutesentation orale 25 compreacutehension eacutecrite et production eacutecrite 50

La note de rattrapage remplace la note deacutecrit

Projet Professionnel de leacutetudiant (3PE) [S3 1 ECTS]

Preacute requis sans Horaire 8h de TD Objectifs bull apprendre agrave leacutetudiant agrave valoriser ses expeacuteriences bull apprendre agrave leacutetudiant agrave communiquer sur ses compeacutetences dans un objectif de recrutement (stage job deacuteteacute emploi formation seacutelective ) Contenu bull analyser une offre de stage bull analyser une expeacuterience personnelle bull valoriser sa formation bull valoriser les expeacuteriences dans diffeacuterents registres (job stage sport loisirs) Controcircle des connaissances

Assiduiteacute + dossier

Pas de rattrapage

Langue Vivante 2-LV2 (Allemand ou Espagnol) [S3 2 ECTS option]

Preacute requis sans Horaire 20h de TD Controcircle des connaissances



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SEMESTRE 4


M41 7 Ects Anne Moreau AnneMoreaumathuniv-lille1fr M2 014 - 03 20 33 62 84


M43 4 Ects Mylegravene Maida Mylegravenemaidamathuniv-lille1fr M3 314 - 03 20 43 67 91

M44 5 Ects Marc Bourdon marcbourdonmathuniv-lille1fr M3 229 - 03 20 43 65 95

LV1 Anglais 2 Ects Michegravele Saljoghi MicheleSaljoghiuniv-lille1fr B5 - 03 20 43 32 69

EM45 3 Ects option Laurent Denis LaurentDenismathuniv-lille1fr M2 206 -03 20 43 42 16

TeX412 3 Ects option

ZupDeco 3 Ects option

DF 5 Ects option Silvia Hirata SilviaHiratauniv-lille1fr M3 007 - 03 20 43 65 39

ASD 5 Ects option Jean-Steacutephane Varreacute Jean-StephaneVarreuniv-lille1fr M3 Extension 207 - 03 28 77 85 57

OV 5 Ects option Cristian Focsa cristianfocsauniv-lille1fr Cerla R01 - 03 20 33 64 84

M41-- Suites et seacuteries de fonctions [S4 7 ECTS]

Horaire 24h de cours et 46h de TD Preacute requis M33 Objectifs

bull maicirctriser les notions de suite et seacuterie de fonctions ainsi que les diffeacuterents concepts de convergence bull utiliser de maniegravere adeacutequate les diffeacuterents critegraveres de convergence bull connaicirctre les seacuteries entiegraveres bull connaicirctre les seacuteries de matrices et exponentielle de matrices ainsi que leur applications aux systegravemes lineacuteaires drsquoeacutequations diffeacuterentielles

Contenu

1 Suites de fonctions (15h) Convergence simple Convergence uniforme Theacuteoregraveme de continuiteacute deacuterivabiliteacute inteacutegrabiliteacute de la limite 2 Seacuteries de fonctions (20h) Rappels sur les seacuteries numeacuteriques (vues au S3) Seacuteries de fonctions Convergences simple uniforme Convergence normale Critegravere drsquoAbel uniforme majoration du reste de la seacuterie Theacuteoregraveme de continuiteacute deacuterivabiliteacute inteacutegrabiliteacute de la somme 3 Seacuteries entiegraveres (18h) Rayon de convergence lemme drsquoAbel Convergence normale sur tout compact du disque ouvert de convergence continuiteacute de la somme sur le disque de convergence Rayon de convergence de la somme et du produit de Cauchy de deux seacuteries entiegraveres de la seacuterie deacuteriveacutee Primitives Inteacutegration terme agrave terme Reacutegulariteacute de la somme deacuterivation terme agrave terme Seacuterie de Taylor Notion de fonction deacuteveloppable en seacuterie entiegravere Deacuteveloppements en seacuteries entiegraveres usuels Calcul de sommes de seacuterie entiegraveres Exponentielle complexe Le nombre (cf Rudin) Application agrave la reacutesolution drsquoeacutequations diffeacuterentielles 4 Exponentielle de matrices et systegravemes diffeacuterentiels (17h) Espaces vectoriels normeacutes de dimension finie Deacutefinitions de la norme drsquoopeacuterateur Extension des reacutesultats vus pour les seacuteries numeacuteriques pour des seacuteries agrave valeurs dans ℒ(ℝn) ou M_n(ℝ) Exponentielle de matrices la seacuterie converge normalement sur tout compact Fonction t↦exp(tA) deacuteriveacutee Exponentielle de la somme de deux matrices qui commutent calcul agrave partir de la deacutecomposition de Dunford Application aux systegravemes drsquoeacutequations diffeacuterentielles lineacuteaires agrave coefficients constants


bull 2 interrogations eacutecrites drsquoenviron 45mn (questions de cours etou application directe du cours) donnant lieu agrave 2 notes I1 et I2 bull 2 devoirs surveilleacutes DS1 de 2h et DS2 de 3h Ensuite on calcule C=(I1+I2)6+2DS13

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La note finale est F=max((C+DS2)2DS2)


M42-- Formes bilineacuteaires Espaces euclidiens [S4 7 ECTS]

Preacute requis M31 Horaire 28h de cours et 42h de TD Objectifs bull connaicirctre la dualiteacute en dimension finie connaicirctre la reacuteduction des formes quadratiques bull appliquer le proceacutedeacute dorthogonalisation de Gram-Schmidt dans un espace euclidien bull se familiariser avec les endomorphismes dun espace euclidien et eacutetudier le groupe orthogonal et le groupe speacutecial orthogonal en dimensions 2 et 3 bull connaicirctre les formes hermitiennes la notion despace hermitien la reacuteduction des endomorphismes hermitiens

Contenu

1 Dualiteacute (10h) Espace dual base duale orthogonal transposeacutee dune application lineacuteaire

2 Formes bilineacuteaires (15h) Formes bilineacuteaires symeacutetriques formes quadratiques bases orthogonales deacutecomposition en carreacutes (meacutethode de Gauss) loi dinertie et signature dans le cas reacuteel 3 Espaces euclidiens (30h) Ineacutegaliteacute de Cauchy-Schwarz norme euclidienne identiteacute du paralleacutelogramme base orthonormale orthonormalisation de Schmidt projecteurs orthogonaux symeacutetries orthogonales adjoint dun endomorphisme Groupe orthogonal groupe speacutecial orthogonal groupe orthogonal en dimension 2 et 3 angles dans le plan euclidien orienteacute lien avec la trigonomeacutetrie lien avec les complexes Endomorphismes symeacutetriques reacuteduction dun endomorphisme symeacutetrique dans une base orthonormale matrice symeacutetrique a coefficients reacuteels reacuteduction simultaneacutee de deux formes de deux formes quadratiques dont lune est positive Geacuteneacuterateurs du groupe orthogonal Similitudes vectorielles Produit vectoriel et produit mixte en dimension 3 4 Espaces hermitiens (15h) Formes sesquilineacuteaires formes hermitiennes ineacutegaliteacute de Cauchy-Schwarz base orthonormale adjoint dun endomorphisme endomorphisme hermitien endomorphisme unitaire reacuteduction dun endomorphisme hermitien


bull 2 interrogations eacutecrites drsquoenviron 45mn (questions de cours etou application directe du cours) donnant lieu agrave 2 notes I1 et I2 bull 2 devoirs surveilleacutes DS1 de 2h et DS2 de 3h Ensuite on calcule C=(I1+I2)6+2DS13 La note finale est F=max((C+DS2)2DS2)


M43-- Probabiliteacutes discregravetes [S4 4 ECTS]

Preacute requis M22 et M33 Horaire 18h de cours et 24h de TD Objectifs bull maicirctriser la repreacutesentation ensembliste deacuteveacutenements et la modeacutelisation dexpeacuteriences aleacuteatoires ne faisant intervenir que des probabiliteacutes discregravetes bull utiliser de maniegravere basique les probabiliteacutes conditionnelles et lindeacutependance deacuteveacutenements bull reacuteinvestir sa connaissance des lois discregravetes classiques et de leurs approximations dans des

problegravemes simples de modeacutelisation bull mettre en œuvre les techniques de seacuteries pour les calculs despeacuterance et de moments en vue dune

premiegravere approche du comportement asymptotique des sommes de variables aleacuteatoires indeacutependantes

Contenu

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1 Rappels deacutenombrements deacutenombrabiliteacute Rappels sur les seacuteries geacuteomeacutetriques 2 Espaces probabiliseacutes probabiliteacute comme fonction drsquoensembles sigma-additive sur la famille des

eacutevegravenements observables Exemples 3 Probabiliteacutes conditionnelles indeacutependance Le modegravele des eacutepreuves reacutepeacuteteacutees de Bernoulli 4 Variables aleacuteatoires discregravetes loi fonction de reacutepartition diagramme en bacirctons Lois discregravetes

classiques (Bernoulli binomiale hypergeacuteomeacutetrique uniforme geacuteomeacutetrique de Poisson) Approximation de la loi hypergeacuteomeacutetrique par une binomiale et drsquoune loi binomiale par une loi de Poisson

5 Vecteurs aleacuteatoires discrets loi multinomiale Indeacutependance drsquoune suite finie ou infinie de variables aleacuteatoires discregravetes

6 Espeacuterance drsquoune va Discregravete Lineacuteariteacute de lrsquoespeacuterance des va Discregravetes Moments des variables aleacuteatoires discregravetes espeacuterance drsquoune fonction drsquoune variable aleacuteatoire discregravete Variance et covariance

7 Mode de convergence en probabiliteacute convergence en probabiliteacute et presque-sucircre Ineacutegaliteacute de Tchebycheff loi faible des grands nombres


bull 1 interrogation eacutecrite de 45mn (questions de cours etou application directe du cours) donnant lieu agrave 1 note I bull 2 devoirs surveilleacutes DS1 de 2h et DS2 de 3h Ensuite on calcule C=(I+2DS1)3 La note finale est F=max((C+DS2)2DS2)


M44-- Inteacutegrales multiples et curvilignes [S4 5 ECTS]

Preacute requis M32 Horaire 20h de cours et 30h de TD Objectifs maicirctriser le calcul inteacutegral de deux etou trois variables changement de variables Fubini connaicirctre les inteacutegrales curvilignes

Contenu

1 Inteacutegrales doubles (20h) Deacutefinition de lrsquointeacutegrale double drsquoune fonction f continue sur un rectangle R=[a b]x[c d] et agrave valeurs reacuteelles expression de lrsquointeacutegrale double sur un rectangle agrave lrsquoaide de deux inteacutegrations successives (preuve drsquoun cas particulier du theacuteoregraveme de Fubini)

Inteacutegrale double sur des parties eacuteleacutementaires du plan A=(xy)∊ ℝ2 alexleb φ_1(x) leyleφ_2(x) ou A=(xy)∊ ℝ2 cleyled ψ_1(y) lexleψ_2(y) avec φ_1 φ_2 (respectivement ψ_1 ψ_2) des fonctions continues sur [ab] (respectivement sur [cd]) veacuterifiant φ_1(x)leφ_2(x) pour tout x∊[ab] (respectivement ψ_1(y)leψ_2(y) pour tout y∊[cd]) Theacuteoregraveme de Fubini (admis) Extension agrave la reacuteunion drsquoune famille finie de parties eacuteleacutementaires dont les inteacuterieurs sont deux agrave deux disjoints Proprieacuteteacutes de lrsquointeacutegrale double Theacuteoregraveme de changement de variables (admis) exemple des coordonneacutees polaires

2 Inteacutegrales triples (12h) inteacutegrale triple sur des parties eacuteleacutementaires de ℝ3

bull B=(xyz)∊ ℝ3 (xy)∊A φ_1(xy) lezleφ_2(xy) ougrave A est une partie eacuteleacutementaire du plan et φ_1 φ_2 sont des fonctions continues sur A veacuterifiant φ_1(xy)leφ_2(xy) pour tout (xy)∊A bull B=(xyz)∊ ℝ3 alezleb(xy)∊A_z ougrave A_z est une partie eacuteleacutementaire du plan pour tout z∊[ab]

Theacuteoregraveme de Fubini (admis) Proprieacuteteacutes de lrsquointeacutegrale triple Theacuteoregraveme de changement de variables (admis) exemple des coordonneacutees cylindriques spheacuteriques Exemples de calculs de volumes (boule tore) Geacuteneacuteralisation aux inteacutegrales multiples

3 Courbes et inteacutegrales curvilignes (18h) Arcs eacutequivalents Courbe deacutefinie par une repreacutesentation polaire Abscisse curviligne Theacuteoregraveme de relegravevement Rayon de courbure centre de courbure Repegravere de Freacutenet Longueur drsquoun arc de courbe Deacutefinition drsquoune forme diffeacuterentielle de degreacute 1 sur E = ℝ2 de

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classe Ck (fonction agrave valeurs dans E^=L(Eℝ)) Ecriture en coordonneacutees introduction des notations dx dy Inteacutegrale curviligne sur un arc continu C1 par morceaux orienteacute Enonceacute du theacuteoregraveme de Green-Riemann (admis) Application au calcul drsquoaires planes




Anglais [S4 2 ECTS]

Preacute requis sans Horaire 24h de TD Objectifs Lobjectif de cet enseignement est de certifier les eacutetudiants en fin de licence au niveau B2 du Cadre Europeacuteen des Langues dans les 5 compeacutetences Pour ce faire nous travaillons sur la compreacutehension eacutecrite et orale de documents authentiques ainsi que sur la production eacutecrite et linteraction orale Controcircle des connaissances

Controcircle continu Interaction orale 30 + Compreacutehension orale 20 DS Compreacutehension eacutecrite et production eacutecrite 50 Rattrapage seule leacutepreuve eacutecrite peut ecirctre repasseacutee

Explorations matheacutematiques (EM4) [S4 3 ECTS option]

Preacute requis Aucun Horaire 18h de TD

Objectifs Lobjectif de cette UE est une initation agrave la recherche A travers un meacutemoire agrave reacutealiser leacutetudiant doit apprendre agrave developper les qualiteacutes et les capaciteacutes suivantes

bull ouverture desprit bull capaciteacute de reacuteflexion bull initiative personnelle bull esprit critique capaciteacute dexigence dapprofondissement de rigueur bull aptitude agrave collecter linformation lanalyser et la syntheacutetiser bull reacutediger avec soin un document scientifique bull communiquer agrave loral en expliquant la deacutemarche scientifique

Chaque enseignant distribura une liste de sujets et les eacutetudiants (par groupe de 2 ou 3) devront choisir un sujet agrave traiter Chaque semaine lenseignant rencontrera les eacutetudiants lors de seacuteances de TD pour les aider dans leurs progressions reacutepondre agrave leurs questions et les entraicircner agrave exposer les ideacutees essentielles devant leurs collegravegues A la fin les eacutetudiants devront reacutealiser un meacutemoire (entre 10 et 20 pages) si possible en Latex et le preacutesenter lors dune soutenance de 10 minutes Controcircle des connaissances

Le meacutemoire donnera lieu agrave une note M La soutenance donnera lieu agrave une note S La note finale est (M+S)2 Pas de rattrapage

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TEX (TEX412) [S4 2 ECTS option]

Preacute requis sans Horaire 20h de TP

Objectifs

bull Donner des connaissances de base permettant de produire des documents scientifiques numeacuteriques adapteacutes aux media daujourdhui bull Apprendre agrave creacuteer avec pdfLaTeX des documents scientifiques au format PDF riches en formules

matheacutematiques beacuteneacuteficiant de maniegravere automatiseacutee de dispositifs de numeacuterotation dindexation de tables des matiegraveres dhyperliens internes et externes

bull Apprendre agrave utiliser le langage TikZpgf au sein des sources pour pdfLaTeX afin dengendrer directement dans le document des graphiques vectoriels de haute qualiteacute tels que diagrammes techniques arbres histogrammes courbes et surfaces matheacutematiques etc

bull Se familiariser avec les langages pour le WEB HTML XML MATHML et les feuilles de style (CSS XSL)


Controcircle continu 1 DS et 1 oral

Rattrapage DS

Stage ZupDeacuteco [S4 3 ECTS option]

Preacute requis Aucun

LrsquoAssociation ZupDeco a pour mission de favoriser la reacuteussite scolaire des jeunes issus de familles deacutefavoriseacutees Elle mobilise de maniegravere beacuteneacutevole des eacutetudiants des grandes Ecoles et des Universiteacutes pour exercer agrave raison de 2h par semaine pour une anneacutee scolaire un tutorat en matheacutematiques et en franccedilais aupregraves drsquoun colleacutegien avec des difficulteacutes scolaires

Le travail de lrsquoeacutetudiant qui est encadreacute par lrsquoassociation sera inclus dans le cadre de sa formation universitaire et donc encadreacute aussi par un enseignant universitaire Le travail sera preacutesenteacute par lrsquoeacutetudiant sous forme drsquoun rapport reacutedigeacute en Tex et drsquoun exposeacute Une note lui sera attribueacutee qui comptera pour trois uniteacutes de creacutedits


Le meacutemoire donnera lieu agrave une note M La soutenance donnera lieu agrave une note S La note finale est (2M+S)3 Pas de rattrapage

Dynamique des fluides [S4 5 ECTS option]

proposeacute par UFR de Meacutecanique Preacute requis initiation agrave la meacutecanique des fluides (bi-mention maths-meacutecanique du S2) Horaire 24h de cours et 26h de TD Objectifs Lrsquoobjectif de ce cours est drsquointroduire les eacutequations reacutegissant la dynamique des fluides parfaits incompressibles crsquoest agrave dire correspondant agrave des tregraves hauts nombres de Reynolds A lrsquoissue de cette UE les eacutetudiants seront capables de reacutesoudre des problegravemes simples de dynamique des fluides de calculer les contraintes normales srsquoappliquant sur un profil et auront une vision claire des limites de la modeacutelisation laquo fluide parfait raquo Contenu

Rappels qursquoest-ce qursquoun fluide proprieacuteteacutes drsquoun fluide Rappels les opeacuterateurs diffeacuterentiels (gradient divergence laplacien rotationnel) Cineacutematique des fluides Description Euleacuterienne et Lagrangienne Deacuteriveacutee particulaire et acceacuteleacuteration Lignes de courant trajectoire et lignes drsquoeacutemission

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(rappels) Translation rotation deacuteformation drsquoune particule fluide Notion de vorticiteacute Fonctions de courant ndash Ecoulement incompressible Potentiel des vitesses - Ecoulement irrotationnel Repreacutesentation drsquoeacutecoulements par des fonctions complexes Dynamique des fluides (parfaits) Qursquoest-ce qursquoun fluide parfait Existe-t-il des fluides parfaits Introduction du nombre de Reynolds Equations bilan locales eacutequations drsquoEuler incompressible Equations bilans macroscopiques eacutequations inteacutegrales Theacuteoregraveme de Bernoulli Conditions limites Interface solide fluide Interface fluide fluide En lrsquoabsence de changements de phase et de tension superficielle Effet de la tension superficielle et loi de Laplace Effet des changements de phase Meacutethode de la variable complexe pour les eacutecoulements plans irrotationnels Potentiels complexes Ecoulement uniforme Ecoulement plan autour drsquoune source ou drsquoun puits Doublet et dipocircle Introduction aux eacutecoulements complexes Controcircle des connaissances

2 DS DS1 et DS2

Note finale =(DS1+DS2)2

La note de rattrapage remplace la note de DS2

ASD Algorithmes et structures de donneacutees [S4 5 ECTS option]

proposeacute par UFR drsquoinformatique

Preacute requis Algorithme et programmation 2 (Semestre 3) Horaire 24h de cours et 26h de TD Objectifs savoir calculer la complexiteacute en temps et en espace dun algorithme bull quelle est lopeacuteration agrave compter bull distinguer pire des cas et meilleur des cas bull compter le nombre dopeacuterations dans une boucle bull eacutetablir leacutequation repreacutesentant le nombre dopeacuterations ou dappels reacutecursifs dun algorithme reacutecursif bull connaicirctre les notations de Landau et eacutevaluer le comportement asymptotique bull appliquer le theacuteoregraveme geacuteneacuteral bull complexiteacute des algorithmes de tri bull complexiteacute sur les tris simples tri rapide tri fusion tri par tas savoir choisir une structure de donneacutees bull avantages et inconveacutenients de structures de donneacutees tableau liste table de hachage arbre pour repreacutesenter et interroger des donneacutees bull eacutevaluer la complexiteacute dune solution en fonction de la structure de donneacutee bull connaicirctre lexistence de variations autour dune structure de donneacutee (par exemple les diffeacuterents types de listes) bull comprendre agrave travers la documentation dune API si la structure de donneacutees est adeacutequate Controcircle des connaissances

Baseacute sur le controcircle continu 2 devoirs surveilleacutes au cours du semestre interrogations courtes en TD (entre 4 et 6) rendu des TP effectueacutes dans le semestre (6)

Ondes et vibrations 1 [S4 5 ECTS option]

Proposeacute par UFR de physique Preacute requis Meacutecanique 1 (S1 licence SESI) Optique (S2 bimention maths-physique) Electromagneacutetisme (S3) Horaire 26h de cours et 26h de TD Objectifs

bull modeacuteliser des problegravemes concrets de la vie de tous les jours agrave partir des bases theacuteoriques acquises bull maitriser les outils matheacutematiques neacutecessaires aux traitements des oscillations et de la propagation des

ondes

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bull avoir une vue densemble des pheacutenomegravenes oscillatoires avec des exemples concrets dans diffeacuterents domaines de la physique

bull identifier et danalyser les analogies et les diffeacuterences entre ces diffeacuterents domaines (eacutelectrocineacutetique meacutecanique acoustique eacutelectromagneacutetisme)

bull comprendre modeacuteliser et reacutesoudre des problegravemes physiques en lien avec la technologie actuelle

Contenu

IOscillateurs I1 Oscillateur harmonique (OH) Modeacutelisation Eacutetablissement de lrsquoeacutequation du mouvement Grandeur complexe associeacutee agrave une

grandeur harmonique Eacutenergie drsquoun OH Applications Pendule eacutelastique dans un champ de pesanteur Oscillations longitudinales et

transversales drsquoune masse accrocheacutee agrave deux ressorts Pendule pesant Circuit LC I2 Oscillateur amorti Modeacutelisation Reacutegimes oscillatoire apeacuteriodique critique Pseudo-peacuteriode Frottement visqueux vs

frottement dur Eacutenergie Applications Circuit RLC amortisseur de voiture mesure de la viscositeacute de lrsquoair amortissement par

rayonnement eacutelectromagneacutetique (atome hors-eacutequilibre) I3 Oscillateur forceacute Modeacutelisation Reacutegimes transitoire permanent sinusoiumldal Reacutesonance Puissance absorbeacutee Applications Circuit RLC en reacutegime sinusoiumldal Isolation meacutecanique Sismographe I4 Oscillateurs coupleacutes Modeacutelisation Valeurs et vecteurs propres Modes propres de vibration Superposition de deux modes ndash

battements Systegraveme de coordonneacutees normales Applications Vibrations drsquoune moleacutecule diatomique CO2 circuits LC coupleacutes

II Propagation drsquoondes meacutecaniques en milieu 1D Introduction des oscillateurs coupleacutes agrave la propagation drsquoondes longitudinales Approximation continue Propagation drsquoondes transversales le long drsquoune corde Ondes progressives Relation de dispersion vitesse de phase Reacuteflexiontransmission des ondes meacutecaniques transversales en milieu 1D Impeacutedance adaptation Puissance transporteacutee Ondes stationnaires Applications Eacutequation des cordes vibrantes ndash Solution en onde progressive sinusoiumldale Corde vibrante avec amortissement Reacuteflexion et transmission drsquoondes transversales agrave la jonction de 2 cordes Coefficients de reacuteflexion et de transmission Ondes stationnaires III Ondes acoustiques Introduction agrave lrsquoacoustique Eacutetablissement de lrsquoeacutequation drsquoonde approximations thermo- dynamique des gaz Ondes progressives sinusoiumldales Impeacutedance et reacutesistiviteacute acoustiques Puissance et intensiteacute drsquoune onde acoustique progressive Niveau sonore Reacuteflexion et transmission en incidence normale Ondes stationnaires Reacutesonance Effet Doppler Applications Propagation dune onde acoustique dans un tuyau de section constante contenant un fluide unique Reacuteflexion et transmission dues agrave un changement drsquoimpeacutedance dans un tuyau sonore IV Ondes eacutelectromagneacutetiques IV1 Equations de Maxwell propagation dans le vide Rappel sur les eacutequations de Maxwell (formes inteacutegrales formes diffeacuterentielles) Rappel sur les opeacuterateurs

diffeacuterentiels vectoriels Equations de Maxwell dans le vide Propagation des ondes eacutelectromagneacutetiques dans le vide

IV2 Ondes planes et ondes spheacuteriques monochromatiques Front drsquoonde Vecteur drsquoonde Vitesse de phase Ondes spheacuteriques ondes planes Transversaliteacute drsquoune

onde eacutelectromagneacutetique plane Relation entre et Impeacutedance eacutelectromagneacutetique Ondes planes sinusoiumldales monochromatiques

IV3 Vecteur de Poynting et eacutenergie eacutelectromagneacutetique Deacutefinitions densiteacute volumique drsquoeacutenergie eacutelectromagneacutetique flux du vecteur de Poynting puissance

rayonneacutee Flux drsquoeacutenergie associeacute agrave une onde EM progressive Deacutetection quadratique Vecteur de Poynting en notation complexe

IV4 Reacuteflexion et transmission drsquoune onde EM plane monochromatique en incidence normale Propagation guideacutee

Modeacutelisation conditions de continuiteacute du champ EM coefficients de reacuteflexion et de transmission en amplitude et en eacutenergie densiteacute volumique drsquoeacutenergie eacutelectromagneacutetique flux du vecteur de Poynting

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puissance rayonneacutee Flux drsquoeacutenergie associeacute agrave une onde EM progressive Deacutetection quadratique Vecteur de Poynting en notation complexe

Guide drsquoonde meacutetallique rectangulaire Applications Reacuteflexion sur un dieacutelectrique parfait Propagation drsquoondes eacutelectromagneacutetiques dans un

cacircble coaxial IV5 Notions de base sur les pheacutenomegravenes drsquointerfeacuterence et de diffraction Introduction Superposition de deux ondes planes monochromatique de mecircme freacutequence Conditions

drsquoobtention des interfeacuterences Notions de coheacuterence Modegravele drsquoeacutemission de la lumiegravere par les systegravemes atomiquesmoleacuteculaires Dispositifs interfeacuterentiels Caracteacuterisation des figures drsquointerfeacuterence (visibiliteacute etc) Pheacutenomegravenes de diffraction et principe drsquoHuygens-Fresnel Diffraction de Fresnel et diffraction de Fraunhoffer

Applications Calcul de distributions drsquointensiteacute avec superpositions drsquoondes planes etou spheacuteriques Biprisme de Fresnel Fente rectangulaire (Fraunhoffer)

Controcircle des connaissances Controcircle continu eacutecrit 2 DS de 2h + 2 DST de 1h Note de 1egravere session = MAX(DS2MOY(DS1DS2)MOY(DS1DS2MOY(DST)) Note de rattrapage remplace la note de 1egravere session

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SEMESTRE 5


M51 7 Ects Sandra Delaunay SandraDelaunayuniv-lille1fr M2 206- 03 20 43 42 16

M52 7 Ects Emmanuel Fricain EmmanuelFricainmathuniv-lille1fr M2 32 - 03 20 33 60 90

M53 5 Ects Kroum Tzanev KroumTzanevmathuniv-lille1fr M2 202 - 03 20 43 44 91

M54 5 Ects Stephan De Biegravevre StephanDe-Bievreuniv-lille1f M3 227 - 03 20 43 47 37

M55 5 Ects Emmanuel Creuseacute EmmanuelCreuseuniv-lille1fr M2 301 - 03 20 43 41 91

Anglais 1 Ects Michegravele Saljoghi MicheleSaljoghiuniv-lille1fr B5 - 03 20 43 32 69

M51+53 Ecole Centr 12 ECTS Livio Flaminio LivioFlaminiomathuniv-lille1fr M3 225ndash 03 20 43 42 79

M52+54 Ecole Centr 12 ECTS Mostafa Mbekhta MostafaMbekhtamathuniv-lille1fr M2 309 ndash 03 20 43 68 86

M51-- Groupes anneaux corps 1 [S5 7 ECTS]

Preacute requis M22 M31 et M42 Horaire 24h de cours et 46h de TD Objectifs bull maicirctriser la notion de classe drsquoeacutequivalence ensemble quotient deacutenombrabiliteacute bull connaicirctre les notions de groupes et sous groupes theacuteoregraveme de Lagrange sous groupe distingueacutes groupe quotient bull connaicirctre la notion drsquoanneaux theacuteoregraveme chinois ideacuteal anneau integravegre anneaux quotient anneau principal bull connaicirctre les corps caracteacuteristique drsquoun corps corps de fraction drsquoun anneau integravegre transcendance sur un sous corps

maicirctriser lrsquoexemple des polynocircmes et fractions rationnelles

Contenu

1 Ensembles (6h) Axiomatiques de ℕ Relations deacutequivalence Ensemble quotient Construction de ℤ Ensembles deacutenombrables Deacutenombrabiliteacute de la reacuteunion dune famille deacutenombrable densembles deacutenombrables 2 Groupes (23h) Groupes sous-groupes morphismes noyau image groupe cyclique ordre dun eacuteleacutement theacuteoregraveme de Lagrange sous groupe distingueacute groupe quotient groupe symeacutetrique groupe alterneacute groupe opeacuterant sur un ensemble orbites stabilisateurs automorphismes inteacuterieurs classes de conjugaison formule des classes groupes dieacutedraux et polygocircnes reacuteguliers 3 Anneaux (15h) Congruences theacuteoregraveme chinois groupe des eacuteleacutements inversibles de ℤnℤ exemples de meacutethode de codage et de cryptage ideacuteal morphismes danneaux anneaux integravegres anneaux quotients anneaux principaux exemple des entiers de Gauss 4 Corps (10h) Corps sous-corps corps premier caracteacuteristique dun corps corps des fractions dun anneau integravegre construction de ℚ eacuteleacutements algeacutebriques transcendants sur un sous-corps deacutenombrabiliteacute du corps des nombres algeacutebriques sur ℚ 5 Polynocircmes et fractions rationnelles (10h) Polynocircmes et fractions rationnelles sur un corps commutatif K polynocircmes irreacuteductibles ideacuteaux de K[X] algorithme dEuclide relations entre les coefficients et les racines pocircle dune fraction rationnelle existence et uniciteacute de la deacutecomposition en eacuteleacutements simples 6 Nombres (6h) On indiquera une construction de ℝ Les suites de Cauchy deacuteleacutements de ℚ forment un anneau commutatif Les suites convergeant vers zeacutero constituent un ideacuteal maximal de cet anneau Le quotient est ℝ (voir par exemple Lelong-Ferrand Arnaudieacutes Analyse) Construction de ℂ

Controcircle des connaissances bull 2 interrogations eacutecrites de 45mn agrave 1h (questions de cours etou application directe du cours) donnant lieu agrave 2 note I1 et I2

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bull 2 devoirs surveilleacutes DS1 de 2h et DS2 de 3h Ensuite on calcule C=(I1+I2)6+2DS13 La note finale est F=max((C+DS2)2DS2) La note de rattrapage remplace la note de DS2 dans la formule preacuteceacutedente

M52-- Topologie espaces preacutehilbertiens et seacuteries de Fourier [S5 7 ECTS]

Preacute requis M22 et M32 Horaire 24h de cours et 46h de TD Objectifs bull maicirctriser et visualiser les concepts fondamentaux de la topologie des espaces meacutetriques bull connaicirctre quelques exemples classiques despaces de Banach bull faire des calculs dans un espace de Hilbert abstrait et maicirctrise notamment la notion de projection orthogonale bull connaicirctre les theacuteoregravemes de convergence classiques sur les seacuteries de Fourier ecirctre capable dutiliser la theacuteorie abstraite des espaces de Hilbert dans le domaine des seacuteries de Fourier Contenu

1 Espaces meacutetriques (40h)

bull La note finale est F=max((C+DS2)2 Topologie Deacutefinition drsquoespaces meacutetriques boules voisinages points adheacuterents ouverts fermeacutes Inteacuterieur adheacuterence drsquoune partie parties denses caracteacuterisations seacutequentielles Frontiegravere drsquoune partie Points isoleacutes points drsquoaccumulation Topologie induite Suites de Cauchy Espaces complets ℝn est complet Parties compactes (deacutefinition par lrsquoaxiome de Borel-Lebesgue lrsquoeacutequivalence avec la caracteacuterisation seacutequentielle (admise)) bull Fonctions Limites en un point drsquoune fonction critegravere seacutequentiel drsquoexistence drsquoune limite Fonctions continues uniformeacutement continues (exemples fonctions lipschitziennes) Homeacuteomorphismes Theacuteoregraveme du point fixe Lrsquoimage reacuteciproque par une fonction continue drsquoun ouvert (resp fermeacute) Image drsquoun compact par une fonction continue Theacuteoregraveme de Heine pour la continuiteacute uniforme bull Connexiteacute Connexiteacute Connexiteacute par arcs Composantes connexes Image continue drsquoun connexe bull Espaces vectoriels normeacutes Applications lineacuteaires continues (opeacuterateur) Norme drsquoopeacuterateur Espace de Banach Espaces de Banach des fonctions borneacutees agrave valeurs dans ℝ (ou ℂ) des fonctions continues sur un compact agrave valeurs dans ℝ (ou ℂ) pour la norme du sup Ineacutegaliteacutes de Houmllder et de Minkowski normes N_p

2 Geacuteomeacutetrie des espaces preacutehilbertiens (12h) Espaces preacutehilbertiens reacuteels ou complexes Ineacutegaliteacute de Cauchy-Schwarz Exemples fondamentaux Formules de polarisation identiteacute du paralleacutelogramme Orthogonaliteacute Theacuteoregraveme de Pythagore Orthogonal drsquoune partie drsquoun sous-espace vectoriel Famille orthonormale Ineacutegaliteacute de Bessel Identiteacute de Parseval lorsque la famille engendre un sous-espace vectoriel dense Meacutethode drsquoorthonormalisation de Gram-Schmidt Sous-espaces orthogonaux projecteurs associeacutes Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie expression de la distance 3 Seacuteries de Fourier (18h) Polynocircmes trigonomeacutetriques orthonormaliteacute des fonctions x↦exp(inx) Coefficients de Fourier Seacuterie de Fourier associeacutee agrave une fonction continue par morceaux 2π-peacuteriodique Expression des coefficients de Fourier sous forme de cosinus et de sinus Identiteacute de Parseval et convergence en moyenne quadratique si la fonction est continue par morceaux Lemme de Riemann-Lebesgue Theacuteoregravemes de convergence simple de Dirichlet pour les fonctions 2π-peacuteriodique de classe C1 par morceaux Theacuteoregravemes de convergence uniforme pour les fonctions continues 2π-peacuteriodique de classe C1 par morceaux Theacuteoregravemes de convergence de Fejeacuter pour la suite des sommes de Cesagravero-Fejeacuter

Controcircle des connaissances bull 2 interrogations eacutecrites de 45mn agrave 1h (questions de cours etou application directe du cours) donnant lieu agrave 2 note I1 et I2 bull 2 devoirs surveilleacutes DS1 de 2h et DS2 de 3h Ensuite on calcule C=(I1+I2)6+2DS1DS2) La note de rattrapage remplace la note de DS2 dans la formule preacuteceacutedente

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M53-- Geacuteomeacutetrie affine et euclidienne [S5 5 ECTS]

Preacute requis M21 M22 et M42 Horaire 20h de cours et 30h de TD Objectifs bull Se familiariser avec les notions de geacuteomeacutetrie euclidienne affine et projective bull Connaicirctre les proprieacuteteacutes geacuteneacuterales des espaces euclidiens sait deacutecrire le groupe des isomeacutetries

euclidiennes (groupe affine) ainsi que les geacuteneacuterateurs de ce groupe bull Se familiariser avec les coniques et les quadriques et savoir utiliser les nombres complexes pour

reacutesoudre des problegravemes de geacuteomeacutetrie plane

Contenu

1 Espaces affines (10h) Espace affines reacuteel Espace vectoriel associeacute Sous-espaces affines direction dun sous-espace affine droites plans hyperplans Repegravere orientation Applications affines projecteurs symeacutetries homotheacuteties translations barycentres repegraveres et coordonneacutees barycentriques partie convexe enveloppe convexe 2 Espaces affines euclidiens (15h) Espace affine euclidien distance entre deux points isomeacutetries affines deacutecomposition canonique dune isomeacutetrie en u=tof=fot ougrave t est une translation et f une isomeacutetrie ayant au moins un point fixe Classification des isomeacutetries en dimension 2 et 3 Exemples de groupes disomeacutetries laissant stable une partie du plan ou de lespace 3 Coniques et quadriques (15h) Coniques deacutefinition bifocale et par foyer et directrice classification par lexcentriciteacute eacutequations reacuteduites sections planes dun cocircne de reacutevolution Quadriques en dimension 3 classification affine classification euclidienne eacuteleacutements de symeacutetrie quadrique agrave centre quadrique de reacutevolution ellipsoiumlde hyperboloiumlde paraboloiumlde cylindre cocircne 4 Geacuteomeacutetrie plane (10h) Similitudes du plan affine euclidien Utilisation des complexes en geacuteomeacutetrie plane Relations meacutetriques et trigonomeacutetriques dans le triangle Proprieacuteteacutes angulaires du cercle

Controcircle des connaissances bull 1 interrogation eacutecrite de 45 minutes (questions de cours etou application directe du cours) donnant lieu agrave 1 note I bull 2 devoirs surveilleacutes DS1 de 2h et DS2 de 3h Ensuite on calcule C=(I+2DS1)3 La note finale est F=max((C+DS2)2DS2) La note de rattrapage remplace la note de DS2 dans la formule preacuteceacutedente

M54-- Probabiliteacutes [S5 5 ECTS]

Preacute requis M33 et M43 Horaire 20h de cours et 30h de TD Objectifs bull maicirctriser le modegravele probabiliste sans avoir besoin de connaissances approfondies en theacuteorie de la mesure (en particulier seul linteacutegrale de Riemann sera utiliseacutee) bull maicirctriser les concepts de variable ou vecteur aleacuteatoire de fonction de reacutepartition et de loi bull calculer une espeacuterance agrave partir dune fonction de reacutepartition quelconque connait et sait utiliser les proprieacuteteacutes de lespeacuterance y compris linterversion limite-espeacuterance bull connaicirctre les principales utilisations des lois classiques discregravetes et agrave densiteacute reacuteinvestir leacutetude des diffeacuterents modes de convergence de suites de variables aleacuteatoires pour une approche rigoureuse de la loi des grands nombres et du theacuteoregraveme central limite

Contenu

1 Espaces probabiliseacutes probabiliteacute comme fonction drsquoensembles sigma-additive Exemples de probabiliteacutes laquo geacuteomeacutetriques raquo Probabiliteacutes conditionnelles indeacutependance 2 Variables aleacuteatoires reacuteelles fonction de reacutepartition et de survie Caracteacuterisation des probabiliteacutes sur la droite reacuteelle par la fonction de reacutepartition (admis) Loi drsquoune variable aleacuteatoire Lois discregravetes agrave densiteacute Lois classiques Exemples simples de lois ni discregravetes ni agrave densiteacute

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3 Espeacuterance espeacuterance drsquoune variable aleacuteatoire positive deacutefinie comme lrsquointeacutegrale de Riemann geacuteneacuteraliseacutee de sa fonction de survie Espeacuterance drsquoune variable aleacuteatoire reacuteelle Formules de calcul drsquoune espeacuterance dans le cas drsquoune va discregravete et dans celui drsquoune va agrave densiteacute Moments fonctionnels et moments Ineacutegaliteacute de Markov Theacuteoregraveme de B Levi (convergence monotone) pour les suites de va Positives Additiviteacute de lrsquoespeacuterance Interversion seacuterie espeacuterance pour des va positives 4 Vecteurs aleacuteatoires indeacutependance de variables et vecteurs aleacuteatoires Variance et covariance Variance drsquoune somme de va indeacutependantes 5 Theacuteoregravemes limite convergence en probabiliteacute presque-sucircre et en moyenne drsquoordre p Ineacutegaliteacute de Tchebycheff loi faible des grands nombres Lemmes de Borel-Cantelli Loi forte des grands nombres dans le cas iid 6 Theacuteoregraveme de de Moivre-Laplace (admis) applications


M55-- Analyse numeacuterique matricielle [S5 5 ECTS]

Preacute requis M31 et M42 Horaire 20h de cours 20h de TD et 10h de TP Objectifs bull comprendre linteacuterecirct pratique des meacutethodes numeacuteriques de reacutesolution des systegravemes lineacuteaires bull connaicirctre des algorithmes eacuteleacutementaires de factorisation matricielle bull connaicirctre des approches pour eacutetudier la convergence des meacutethodes iteacuteratives de reacutesolution de

systegravemes lineacuteaires et savoir utiliser un logiciel de calcul numeacuterique matriciel

Contenu

1 Introduction (10h) Motivation pour la reacutesolution de systegravemes lineacuteaires Matrices particuliegraveres Normes vectorielles Houmllderiennes (p=12infin) normes matricielles subordonneacutees rayon spectral norme de Froebenius Conditionnement dune matrice Seacuterie de Neumann sensibiliteacute de la solution dun systegraveme lineacuteaire par rapport aux perturbations des donneacutees

2 Meacutethodes directes de reacutesolution de systegravemes lineacuteaires (25h) Meacutethode deacutelimination de Gauss pivotage Mise sous forme matricielle factorisation LU PA=LU complexiteacute Cas particulier des matrices symeacutetriques etou deacutefinies positives factorisation de Cholesky Systegravemes surdeacutetermineacutes problegraveme des moindres carreacutes eacutequation normale et utiliteacute dune factorisation QR Factorisation QR approches de Householder et de Givens 3 Calcul numeacuterique iteacuteratif de valeurs propres (15h) Motivation et applications Theacuteoregraveme de Bauer-Fike Notion du reacutesidu du conditionnement dune valeur propre Meacutethode de la puissance convergence Iteacuteration inverse quotient de Rayleigh Reacuteduction orthogonale agrave une forme Hessenbergtridiagonale Meacutethode de Jacobi Preacutesentation de la meacutethode QR (sans preuve de convergence)

Controcircle des connaissances Note finale session 1 = 02 TP + 08 MAX((DS1+DS2)2 DS2) Pour la seconde session la note de leacutepreuve de rattrapage R remplace celle de DS2 Note finale session 2 = 02 TP + 08 MAX((DS1+R)2 R)

Anglais [S5 1 ECTS]

Preacute requis sans

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Horaire 12h de TD Objectifs Comme pour les autres semestres de licence lobjectif est de viser le niveau B2 du Cadre Europeacuteen des Langues en fin de troisiegraveme anneacutee Le semestre 5 met laccent sur lexpression orale et plus preacuteciseacutement sur linteraction orale En plus de la qualiteacute de la langue sont travailleacutees la spontaneacuteiteacute la reacuteactiviteacute laisance et la capaciteacute agrave argumenter Les compeacutetences de compreacutehension (orale et eacutecrite) sont eacutegalement au programme Les TD ayant lieu en quinzaine le travail personnel en autoformation vise agrave preacuteparer les seacuteances en preacutesentiel Controcircle des connaissances Controcircle continu interaction orale Pas de rattrapage

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SEMESTRE 6


M61 5 Ects Michel Belliart MichelBelliartmathuniv-lille1fr M3 224 - 03 20 43 42 15

M62 5 Ects Leacutea Blanc Centi LeaBlanc-Centimathuniv-lille1fr M2 302 ndash 03 20 43 45 08

M63 6 Ects option Viet Chi Tran chitranmathuniv-lille1fr M3 316 - 03 20 43 49 88

M64 6 Ects option Laurent Denis LaurentDenismathuniv-lille1fr M2 206 - 03 20 43 42 16

M65 6 Ects option Amaeumll Broustet amaelbroustetmathuniv-lille1fr M3 112B - 03 20 43 42 96

M66 6 Ects option Ana Matos AnaMatosuniv-lille1fr M3 112 1er - 03 20 43 47 13

M67 6 Ects option Olivier Serman OlivierSermanmathuniv-lille1fr M2 306 - 03 20 43 45 01

M68 6 Ects option Gweacutenaeumllle Castellan GwenaelleCastellanmathuniv-lille1fr M3 306 ndash 03 20 43 68 82

M69 6 Ects option Alain Vienne AlainVienneuniv-lille1fr M2 - 03 20 43 67 75

M610 6 Ects option Antonietta Demuro antoniettademuroeduniv-lille1fr antoniettademuromathuniv-lille1fr P5


M61+62 Ecole Centrale 10 Ects Vianney Combet VianneyCombetmathuniv-lille1fr M3 ndash 03 20 43 42 96

M61-- Calcul diffeacuterentiel [S6 5 ECTS]

Preacute requis M32 et M52 Horaire 20h de cours et 30h de TD Objectifs bull maicirctriser la notion de diffeacuterentiabiliteacute dans le cadre dun espace vectoriel normeacute bull connaicirctre le theacuteoregraveme dinversion locale de le theacuteoregraveme des fonctions implicites bull savoir utiliser les diffeacuterentielles de tout ordre notamment dans la formule de Taylor bull savoir calculer les extrema locaux dune fonction de plusieurs variables agrave valeurs reacuteelles

Contenu

1 Diffeacuterentiabiliteacute (20h) Les fonctions consideacutereacutees sont deacutefinies sur un ouvert U drsquoun espace vectoriel normeacute E agrave valeurs dans un espace vectoriel normeacute F de dimension finie (par exemple ℝ

nM_n(ℝ))

bull Diffeacuterentiabiliteacute en un point Application diffeacuterentielle Deacuteriveacutees partielles Diffeacuterentielle drsquoune fonction composeacutee lien avec les matrices jacobiennes Diffeacuterentiabiliteacute drsquoune fonction reacuteciproque bull Ineacutegaliteacute des accroissements finis Une fonction diffeacuterentiable sur un ouvert connexe par arcs dont la diffeacuterentielle est nulle est constante Fonctions de classe C^1

2 Theacuteoregraveme des fonctions implicites (15h) Deacutefinition drsquoun diffeacuteomorphisme de classe C1 Theacuteoregraveme drsquoinversion locale (le theacuteoregraveme du point fixe a eacuteteacute vu dans lUE du S5 Topologie espaces preacutehilbertiens et seacuteries de Fourier) Theacuteoregraveme de lrsquoimage ouverte Theacuteoregraveme drsquoinversion globale (caracteacuterisation agrave lrsquoaide du jacobien des diffeacuteomorphismes parmi les applications injectives de classe C1) Theacuteoregraveme des fonctions implicites 3 Diffeacuterentielles dordre supeacuterieur (15h) Diffeacuterentielle seconde Lemme de Schwarz Deacuteriveacutees partielles secondes Matrice hessienne pour une fonction numeacuterique Fonctions de classe Ck Formules de Taylor Extrema locaux drsquoune fonction de plusieurs variables agrave valeurs reacuteelles

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Controcircle des connaissances 2 devoirs surveilleacutes DS1 de 2h et DS2 de 3h La note finale est F=max ( DS2 (DS1 + DS2)2) La note de rattrapage remplace la note de DS2 dans la formule preacuteceacutedente

M62-- Equations diffeacuterentielles [S6 5 ECTS]

Preacute requis M31 et M32 Horaire 15h de cours 25h de TD et 10h de TP Objectifs bull maicirctriser les outils geacuteneacuteraux deacutetude dune eacutequation diffeacuterentielle bull ecirctre capable de reacutesoudre explicitement des eacutequations diffeacuterentielles classiques bull ecirctre capable de mettre en oeuvre des outils dalgegravebre lineacuteaire ou de calcul diffeacuterentiel (vu en

parallegravele en S6) pour reacutesoudre des eacutequations diffeacuterentielles lineacuteaires ou non lineacuteaires bull savoir eacutetudier qualitativement une eacutequation diffeacuterentielle non lineacuteaire bull savoir utiliser des logiciels de calcul formel et scientifique et connaicirctre quelques exemples

simples de modeacutelisation de pheacutenomegravenes physiques biologiques

Contenu

1 Geacuteneacuteraliteacutes (5h) Forme geacuteneacuterale drsquoune eacutequation diffeacuterentielle cas scalairecas vectoriel Notion drsquoordre Condition initiale problegraveme de Cauchy Deacutefinition drsquoune solution solution maximale solution globale Enonceacute du theacuteoregraveme de Cauchy-Lipschitz Illustration sur des modegraveles exemples datation carbone 14 oscillations drsquoun ressort 2 Exemples de reacutesolution explicite deacutequations diffeacuterentielles (7h) Equation agrave variables seacutepareacutees Equation se ramenant agrave des eacutequations agrave variables seacutepareacutees Equations lineacuteaires du premier ordre (rappel de L1) Equation se ramenant agrave des eacutequations lineacuteaires du premier ordre (Bernoulli Riccati) 3 Equations diffeacuterentielles lineacuteaires (18h) Systegravemes diffeacuterentiels lineacuteaires du premier ordre X=A(t)X+B(t) ougrave A (resp B ) est une application continue drsquoun intervalle I dans M_n(ℂ) (resp ℝn) Dimension de lrsquoespace des solutions de lrsquoeacutequation homogegravene Meacutethode de la variation des constantes Cas particulier X=AX+B(t) ougrave A est une matrice agrave coefficients constants reacutesolvante wronskien meacutethode de variation de la constante Equation lineacuteaire du second ordre x+a(t)x+b(t)x=c(t) ougrave a b c sont continues Systegraveme du premier ordre associeacute eacutetude du problegraveme de Cauchy Solutions de lrsquoeacutequation homogegravene Meacutethode de la variation des constantes 4 Equations diffeacuterentielles non lineacuteaires (20h) Equation du type x=F(tx) avec

Fℝxℝnrarr ℝn Deacutemonstration du theacuteoregraveme de Cauchy-Lipschitz Existence et uniciteacute drsquoune solution maximale au problegraveme de Cauchy Exemples drsquoeacutetudes qualitatives points drsquoeacutequilibre invariants eacutelaboration drsquoun portrait de phase Exemple de modegravele proies-preacutedateurs de Lotka-Volterra principe de compeacutetition en biologie des populations Etude du mouvement drsquoun pendule Controcircle des connaissances bull 5 TP de 2 H donnant lieu agrave une note TP 0lt=TPlt=15 bull 2 devoirs surveilleacutes DS1 de 2h et DS2 de 3h La note finale est F=max((DS1 + DS2) 2 DS2) + TP La note de rattrapage remplace la note de DS2 dans la formule preacuteceacutedente

M63-- Inteacutegration [S6 6 ECTS option]

Preacute requis M33 et M44 Horaire 24h de cours et 36h de TD Objectifs bull connaicirctre les bases de la theacuteorie de linteacutegrale de Lebesgue (tribu mesure inteacutegrale) bull connaicirctre les theacuteoregravemes principaux de la theacuteorie de linteacutegration (convergence monotone convergence domineacutee lemme de Fatou Fubini) bull savoir appliquer ces theacuteoregravemes dans des situations concregravetes comme leacutetude de la continuiteacute et

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de la deacuterivabiliteacute dun inteacutegrale agrave paramegravetre ou le calcul dinteacutegrales multiples Se familiariser avec la theacuteorie des espaces Lp

Contenu

1 Tribus et mesures deacutefinition dune tribu espace mesureacute On regardera essentiellement la tribu boreacutelienne sur ℝ (ℝn) Deacutefinition dune mesure sur un espace mesureacute Theacuteoregraveme du prolongement des mesures (sans preuve) Mesure de Lebesgue la mesure de comptage sur un ensemble deacutenombrable Dans la suite on se limitera agrave ces deux exemples 2 Fonctions inteacutegrables Fonction mesurable Fonction eacutetageacutee Inteacutegration des fonctions eacutetageacutees

positives Inteacutegration des fonctions mesurables positives Fonction inteacutegrale proprieacuteteacutes Inteacutegrale au sens de Riemann et au sens de Lebesgue (tres bregraveve comparaison)

3 Theacuteoregravemes fondamentaux de linteacutegration convergence monotone (BeppomdashLevi) Lemme de Fatou convergence domineacutee (Lebesgue)

4 Fonctions deacutefinies par une inteacutegrale continuiteacute deacuterivabiliteacute inteacutegrabiliteacute Exemple eacutetude de la fonction Gamma

5 Inteacutegrales multiples theacuteoregraveme de Fubini-Tonelli Fubini Changement de variable (admis) 6 Les espaces Lp ineacutegaliteacutes de Houmllder et Minkowski Theacuteoregraveme de RieszmdashFischer Theacuteoregraveme de

densiteacute dans Lp des fonctions continues agrave support compact Structure hilbertienne de L2

Controcircle des connaissances bull 1 interrogation eacutecrite de 45 minutes (questions de cours etou applications directes du cours) donnant lieu agrave une note I bull 2 devoirs surveilleacutes DS1 de 2h et DS2 de 3h Ensuite on calcule C=(I+2DS1)3 La note finale est F=max((C+DS2)2DS2) La note de rattrapage remplace la note de DS2 dans la formule preacuteceacutedente

M64-- Fonctions dune variable complexe [S6 6 ECTS option]

Preacute requis M32 M41 et M52 Horaire 24h de cours et 36h de TD Objectifs bull acqueacuterir les notions de fonctions analytiques et holomorphes bull savoir utiliser la formule de Cauchy et le principe du maximum bull se familiariser avec les problegravemes de deacutefinition du logarithme et dexistence de primitives bull savoir deacutevelopper une fonction en seacuterie de Laurent et sait utiliser le theacuteoregraveme des reacutesidus bull eacutetudier quelques exemples classiques de fonctions holomorphes deacutefinies par des seacuteries produits infinis ou inteacutegrales

Contenu

Analyticiteacute et holomorphie (12h) Rappels sur les seacuteries entiegraveres eacutetude dans le cadre complexe seacuteries entiegraveres des fonctions usuelles Notion de ℂ-deacuterivabiliteacute dans un ouvert Theacuteoregraveme la somme drsquoune seacuterie entiegravere est ℂ-deacuterivable dans son disque de convergence Proposition une fonction est ℂ-deacuterivable si et seulement si elle est diffeacuterentiable et la diffeacuterentielle est ℂ-lineacuteaire Opeacuterateurs dbar part et regravegles de calcul Deacutefinition de lrsquoholomorphie une fonction f est holomorphe dans un ouvert Ω de ℂ si elle est de classe C1 et veacuterifie partf=0 dans ΩTheacuteoregraveme fondamental eacutequivalence entre ℂ-deacuterivable analytique et holomorphe (en admettant la reacutegulariteacute C1 dans la preuve de lrsquoimplication ldquoℂ-deacuterivable rArr holomorpherdquo)

Proprieacuteteacutes des fonctions holomorphes (15h) Retombeacutees classiques du theacuteoregraveme fondamental rayon de convergence du deacuteveloppement en un point repreacutesentation inteacutegrale des deacuteriveacutees ineacutegaliteacutes de Cauchy theacuteoregraveme de Liouville Principe des zeacuteros isoleacutes Theacuteoregraveme drsquoinversion locale holomorphe Eacutetude locale drsquoune fonction holomorphe au voisinage drsquoun zeacutero Principe du maximum Lemme de Schwarz Application agrave la description des automorphismes du disque uniteacute Singulariteacutes et reacutesidus (13h) Singulariteacutes isoleacutees deacuteveloppement en seacuterie de Laurent classification des singulariteacutes Theacuteoregraveme de Weierstrass sur les singulariteacutes effaccedilables theacuteoregraveme de Casorati-

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Weierstrass sur les singulariteacutes essentielles Theacuteoregraveme des reacutesidus pour un compact agrave bord C1 par morceaux Calculs drsquointeacutegrales par les reacutesidus Deacutecompte des zeacuteros et pocircles theacuteoregraveme de drsquoAlembert-Gauss theacuteoregraveme de Roucheacute Primitives (10h) Primitives holomorphes lemme de Morera Existence de primitives locales Existence de primitives sur un ouvert eacutetoileacute Geacuteneacuteralisation admise au cas simplement connexe Logarithmes Notion drsquoindice drsquoun point par rapport agrave un chemin


M65-- Groupes anneaux corps 2 [S6 6 ECTS option]

Preacute requis M51 Horaire 24h de cours et 36h de TD Objectifs bull connaicirctre theacuteoregraveme de Sylow et le groupe disomeacutetries des polyegravedres reacuteguliers en dimension 3 bull connaicirctre la theacuteorie des anneaux factoriels quelques critegraveres dirreacuteductibiliteacute et savoir les mettre en œuvre dans les applications en arithmeacutetique notamment bull maicirctriser la theacuteorie des polynocircmes homogegravenes et symeacutetriques bull se familiariser avec la theacuteorie des corps finis Contenu bull Groupes Theacuteoregravemes de Sylow Produit semi-direct Groupes disomeacutetries des polyegravedres reacuteguliers

en dimension 3 Groupes abeacuteliens finis (eacutenonceacute sans preuve du theacuteoregraveme de structure) bull Anneaux Anneaux factoriels Exemples et contre exemples A factoriel implique A[X] factoriel

Critegraveres dirreacuteductibiliteacute Applications arithmeacutetiques bull Polynocircmes Reacutesultant discriminant applications Polynocircmes homogegravenes polynocircmes symeacutetriques bull Corps finis (eacutenonceacute sans preuve du theacuteoregraveme dexistence et duniciteacute) Controcircle des connaissances bull 1 interrogation eacutecrite de 45 minutes (questions de cours etou applications directes du cours) donnant lieu agrave une note I bull 2 devoirs surveilleacutes DS1 de 2h et DS2 de 3h Ensuite on calcule C=(I+2DS1)3 La note finale est F=max((C+DS2)2DS2) La note de rattrapage remplace la note de DS2 dans la formule preacuteceacutedente

M66-- Modeacutelisation et Analyse numeacuterique [S6 6 ECTS option]

Preacute requis M34 et M55 Horaire 24h de cours 24h de TD et 12h de TP Objectifs bull appreacutecier la probleacutematique de la modeacutelisation matheacutematique bull connaicirctre quelques techniques eacuteleacutementaires varieacutees danalyse numeacuterique bull reacutesoudre des eacutequations diffeacuterentielles par des meacutethodes numeacuteriques bull mettre en œuvre des algorithmes de base de calcul scientifique bull utiliser des logiciels de calcul formel et scientifique bull appreacutehender des questions de datamining et de deacutecomposition en valeurs singuliegraveres

Contenu Introduction agrave la deacutemarche de la modeacutelisation matheacutematique (5h) Le problegraveme physiqueeacuteconomique le modegravele matheacutematique et ses simplifications (en fonction des donneacutees) la mise en eacutequation la discreacutetisation la simulation la discussion des reacutesultats

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Comment repreacutesenter un capot de voiture les splines (13h) Approximation de fonctions par des polynocircmes par morceaux Construction de splines cubiques de classe C2 systegraveme tridiagonal deacutequations minimisation de tension B-splines cubiques courbes parameacutetreacutes et points de controcircle Surfaces tensorielles de Beacutezier Datamining et la deacutecomposition en valeurs singuliegraveres (13h) Motivation donneacutees matricielles venant de la compression dimages de la reconnaissance faciale du textmining Existence dune deacutecomposition en valeurs singuliegraveres (SVD) Calcul numeacuterique Theacuteoregraveme de Eckart-Young (meilleure approximation par des matrices de moindre rang)

Pourquoi et comment reacutesoudre numeacuteriquement des EDO (29h) Mouvement dun corps eacutelastique approximation par un systegraveme de masses-ressorts modeacutelisation par un systegraveme deacutequations diffeacuterentielles agrave coefficients constants modes propres reacutesonance figures de Lissajous Problegraveme de 2 3 ou n corps Meacutethodes de Runge-Kutta Theacuteorie des meacutethodes numeacuteriques agrave pas seacutepareacutes agrave pas lieacutes Lemme de Groumlnwall notions (dordre) de consistance stabiliteacute convergence Modegraveles agrave une ou deux populations Meacutethodes numeacuteriques de preacutediction-correction


M67-- Geacuteomeacutetrie eacuteleacutementaire dun point de vue supeacuterieur [S6 6 ECTS option]

Preacute requis M53 ( eacuteventuellement ) Horaire 24h de cours et 36h de TD Objectifs bull ecirctre capable de reacutesoudre un problegraveme de geacuteomeacutetrie sans lutilisation de coordonneacutees et uniquement avec laxiomatique dEuclide bull maicirctriser la notion dangle bull connaicirctre les diffeacuterentes isomeacutetries du plan et savoir les utiliser pour reacutesoudre des problegravemes de geacuteomeacutetrie eacuteleacutementaire bull maicirctriser la notion dinversion par rapport agrave un cercle et la notion de birapport

Contenu

1 Introduction agrave laxiomatique de la geacuteomeacutetrie euclidienne (20h) on eacutevitera soigneusement lutilisation dun repegravere quelconque et on utilisera essentiellement les outils fournis par la geacuteomeacutetrie dEuclide les trois cas deacutegaliteacute des triangles et les trois cas de similitudes des triangles Le cours fournira dautres theacuteoregravemes pour avoir les outils neacutecessaires agrave la reacutesolution des problegravemes proposeacutes Ceci permettra aux eacutetudiants de deacutevelopper dautres compeacutetences que celles habituelles vues dans un cours classique de geacuteomeacutetrie analytique et dapprendre comment agrave laide eacuteventuellement de constructions geacuteomeacutetriques auxiliaires astucieuses on peut trouver la solution dun problegraveme sans faire recours agrave lintroduction des coordonneacutees Les notions principalement abordeacutees dans cette partie sont

bull Les cas deacutegaliteacute de triangles sur lesquelles Euclide et Hilbert ont fondeacute laxiomatique dans leurs ouvrages respectifs bull La theacuteorie des droites parallegraveles dont la critique a offert loccasion de deacutecouvrir lexistence dautres

geacuteomeacutetries que la geacuteomeacutetrie euclidienne bull La notion daire comment retrouver la mesure des aires planes la mesure de laire du disque et du

segment de parabole Laire comme instrument de deacutemonstration (par exemple comment retrouver le theacuteoregraveme de Thalegraves agrave laide des aires) Diffeacuterentes deacutemonstrations du theacuteoregraveme de Pythagore

bull La notion de volume volumes des solides usuels On pourra par exemple faire appel agrave la theacuteorie de Bonaventura Cavalieri Formules dEuler pour les polyegravedres Les polyegravedres reacuteguliers

Dans les Travaux Dirigeacutes on pourrait traiter sous forme dexercices des reacutesultats remarquables comme le theacuteoregraveme de Morley le theacuteoregraveme de Ceva le theacuteoregraveme de Meacuteneacutelauumls le cercle des neuf points le theacuteoregraveme de Steiner les constructions agrave la regravegle et au compas (par exemple les polygones reacuteguliers constructibles) des problegravemes remarquables concernant les volumes des solides

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2 Notion dangle (25h) La richesse de cette notion permet daborder diffeacuterents sujets une fois mis en place les outils pour ce faire

bull Angles orienteacutes de demi-droites deacutefinition et introduction de la mesure dangle (le radian et le degreacute) Formule de Chasles bissectrice dun angle de demi-droites calcul du cosinus et du sinus en fonction des coordonneacutees

bull Angles orienteacutes de droites deacutefinition mesure de langle theacuteoregraveme de langle au centre condition pour que quatre points soient cocycliques

bull Les isomeacutetries du plan translations rotations symeacutetries axiales compositions disomeacutetries planes le groupe des isomeacutetries du plan isomeacutetries laissant invariant une figure donneacutee

bull Angles nombres complexes et trigonomeacutetrie eacutetude de la fonction exponentielle complexe deacutefinition des fonctions trigonomeacutetriques formules de trigonomeacutetrie (addition soustraction) logarithme complexe

3 Inversion par rapport agrave un cercle (15h)

bull Inversions deacutefinition proprieacuteteacutes fondamentales lien entre inversions et homotheacuteties cercles orthogonaux proprieacuteteacutes des cercles orthogonaux

bull Eacutecriture de linversion agrave laide des coordonneacutees Inverses de droites et de cercles dans le plan bull Le birapport birapport de quatre points aligneacutes birapport de quatre points cocycliques birapport de

quatre droites conservation du birapport par inversions Formule de Laguerre bull Introduction au disque de Poincareacute bull Aperccedilu du Programme dErlangen de Felix Klein

Controcircle des connaissances bull 1 interrogation eacutecrite de 45 minutes (questions de cours etou applications directes du cours) donnant lieu agrave une note I bull 2 devoirs surveilleacutes DS1 de 2h et DS2 de 3h Ensuite on calcule C=(I+2DS1)3 La note finale est F=max((C+DS2)2DS2) En cas de rattrapage la note obtenue sera la note finale

M68-- Initiation agrave la statistique [S6 6 ECTS option]

Preacute requis M43 Horaire 24h de cours et 32h de TD et 4h de TP Objectifs bull avoir un premier aperccedilu de deux probleacutematiques en fondamentales en statistique lestimation et la prise de deacutecision (en lien avec les cours de probabiliteacutes suivis au S4 et S5) bull savoir obtenir un intervalle de confiance ou une estimation ponctuelle simple bull maicirctriser quelques meacutethodes de simulation de variables aleacuteatoires algorithme de rejet aperccedilu de la meacutethode de Monte-Carlo bull maicirctriser le vocabulaire des tests et connaicirctre quelques tests (parameacutetriques et non-parameacutetriques) eacuteleacutementaires bull ecirctre capable dillustrer ces notions par simulation informatique Contenu 1 Theacuteoregravemes limite (16h)

11 Convergences ps en probabiliteacute et L^p Lemmes de Borel-Cantelli Loi forte des grands nombres Cas des freacutequences Theacuteoregraveme de Glivenko-Cantelli (admis) 12 Theacuteoregraveme limite central (admis) Theacuteoregraveme limite central avec auto-normalisation (admis)

2 Estimation et intervalles de confiance (18h) 21 Introduction de la deacutemarche statistique agrave partir de lrsquoexemple du modegravele de Bernoulli deacutefinition drsquoun modegravele statistique estimation drsquoune probabiliteacute inconnue (exemple du sondage) 22 Intervalles de confiance pour une probabiliteacute agrave partir de lrsquoobservation drsquoun n-eacutechantillon X1 Xn

- agrave n fixeacute en utilisant la loi binomiale ou lrsquoineacutegaliteacute de Tchebycheff - asymptotique en utilisant le theacuteoregraveme de de Moivre Laplace (avec variance majoreacutee)

23 Proprieacuteteacutes des estimateurs estimateur sans biais consistant risque quadratique 24 Meacutethode drsquoestimation estimateur du maximum de vraisemblance exemples dans le cas drsquoeacutechantillons

de loi discregravete et drsquoeacutechantillons de loi agrave densiteacute

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3 Simulation de variables aleacuteatoires (10h)

31 Simulation de variables aleacuteatoires discregravetes 32 A laide de la fonction de reacutepartition lorsque celle ci est continue 33 Algorithme de rejet 34 Aperccedilu de la meacutethode de Monte-Carlo

4 Introduction aux tests (16h)

41 Test sur une probabiliteacute inconnue dans le cadre du modegravele de Bernoulli utilisation de tables de la loi binomiale ou bien du theacuteoregraveme de de Moivre Laplace

42 Vocabulaire des tests modeacutelisation (eacutecrire les observations comme reacutealisation de variables aleacuteatoires eacutecrire les hypothegraveses du test en fonction des paramegravetres inconnus de la loi des observations) zone de rejet niveau et taille du test erreur de premiegravere espegravece erreur de seconde espegravece fonction puissance

43 Test sur les paramegravetres (moyenne et variance) dun eacutechantillon gaussien 44 Test de connaissances deacutechantillons

-test sur la meacutediane test du signe test du signe et rang -test de comparaison deacutechantillons gaussiens

Controcircle des connaissances bull 1 interrogation eacutecrite de 45 minutes (questions de cours etou applications directes du cours) donnant lieu agrave une note I bull 2 devoirs surveilleacutes DS1 de 2h et DS2 de 3h Ensuite on calcule C=(I+2DS1)3 La note finale est F=max((C+DS2)2DS2) La note de rattrapage remplace la note de DS2

M69-- Meacutecanique du systegraveme solaire et spatiale [S6 6 ECTS option]

Preacute requis M32 Horaire 24h de cours et 36h de TD

Objectifs bull maicirctriser les bases de la meacutecanique ceacuteleste bull utiliser les outils scientifiques pour leacutetude de la dynamique du systegraveme solaire et de la navigation

Contenu gravitation problegraveme des deux corps formulation du problegraveme des N-corps sphegravere drsquoinfluence simulation numeacuterique eacuteleacutements orbitaux et eacutepheacutemeacuterides trajectoires des sondes spatiales problegraveme des trois corps (points de Lagrange mouvements pregraves des points drsquoeacutequilibre) solutions drsquoeacutequilibre de N gt 2 satellites co-orbitaux Controcircle des connaissances bull 1 interrogation eacutecrite de 45 minutes (questions de cours etou applications directes du cours) donnant lieu agrave une note I bull 2 devoirs surveilleacutes DS1 de 2h et DS2 de 3h Ensuite on calcule C=(I+2DS1)3 La note finale est F=max((C+DS2)2DS2) La note de rattrapage remplace la note de DS2

M610-- Histoire des matheacutematiques [S6 6 ECTS option]

Preacute requis sans Horaire 24h de cours et 36h de TD

Objectifs

bull identifier les eacutetapes fondamentales dans lhistoire des matheacutematiques bull appreacutehender un texte scientifique dun point de vue historique

Contenu Etapes fondamentales en histoire des matheacutematiques Les matheacutematiques chez les Grecs anciens Lalgegravebre arabe Les matheacutematiques pendant la Renaissance italienne Galileacutee Descartes et la nouvelle science Le calcul infiniteacutesimal de Newton et Leibniz Les contributions de Gauss agrave la geacuteomeacutetrie La naissance des geacuteomeacutetries non euclidiennes Cauchy et la rigueur en analyse Cantor Dedekind et fondation des nombres reacuteels Hilbert et laxiomatisation de la geacuteomeacutetrie

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Controcircle des connaissances Il ny aura pas de partiel Chaque groupe de 2 ou 3 eacutetudiants choisit un sujet (avec laccord de lenseignant) qui sera preacutesenteacute sous forme dexposeacute et de compte-rendu lors des TD Ce travail donnera lieu agrave une note E Il y aura un DS agrave la fin du semestre La note finale est F=max((E+DS)2DS)


Anglais [S6 2 ECTS]

Preacute requis sans Horaire 20h de TD Objectifs Lobjectif de cet enseignement est de certifier les eacutetudiants en fin de licence au niveau B2 du Cadre Europeacuteen des Langues dans les 5 compeacutetences Pour ce faire nous travaillons sur la compreacutehension eacutecrite et orale de documents authentiques ainsi que sur la production eacutecrite et orale Controcircle des connaissances Controcircle continu Interaction orale 30 + Compreacutehension orale 20 DS production eacutecrite 50 Rattrapage seule leacutepreuve eacutecrite peut ecirctre repasseacutee

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SOMMAIRE

Preacutesentation 5

Introduction5


Titres requis 6

Contacts6





Semestre 1 11


Semestre 2 11


Semestre 3 13




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PRESENTATION

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Preacutesentation 5

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Faculté des Sciences et Technologies Département …mathematiques.univ-lille1.fr/digitalAssets/52/52698_livret_p... · Inscriptions pour les rattrapages du semestre 4 Du lundi 11