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FICHE DE RÉVISION DU BAC

Séries S – ES/L – STI2D – STL – ST2S – Mathématiques INTÉGRATION

1

LE COURS

[Série – Matière – (Option)] [Titre de la fiche]

Introduction

Pré-requis : Etude de fonctions – dérivées – logarithmes et exponentielles – continuité

Plan du cours

1. Intégrales

2. Primitives

1. Intégrales

A. Aire sous la courbe

Méthode des rectangles : Pour calculer l’aire sous la courbe représentative d’une fonction f continue et positive sur un intervalle , on approche l’aire par une série de rectangles. Pour chaque valeur de x, la hauteur du rectangle est f(x), et on représente sa largeur par dx, c’est-à-dire une petite longueur autour de x. L’aire d’un de ces rectangles est donc : .

L’aire sous la courbe peut donc être approchée par :

Plus les largeurs dx sont petites, plus l’approximation est juste. L’aire sous la courbe est donc la limite de la somme

précédentes :

Intégrale :

Cette limite est appelée intégrale de f de a à b, et est notée

.

L’intégrale se calcule en unités d’aire (u.a). Les valeurs a et b sont appelées les bornes de l’intégrale.

Ex : Aire sous la courbe de la fonction logarithme népérien de 2 à 5 :

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LE COURS

[Série – Matière – (Option)] [Titre de la fiche]

Lorsque la fonction est continue et négative sur un intervalle , alors l’aire délimitée par la courbe, l’axe des

abscisses, la droite d’équation et la droite d’équation est représentée par

.

Ex : aire délimitée par la courbe représentative de , l’axe des abscisses, la droite d’équation et

la droite d’équation :

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LE COURS

[Série – Matière – (Option)] [Titre de la fiche]

Aire entre deux courbes : Soient f et g deux fonctions continues sur telles que sur . L’aire comprise entre la courbe représentative de f, la courbe représentative de g, la droite d’équation et la

droite d’équation est représentée par

.

Ex : aire comprise entre la courbe représentative de la fonction carrée, la courbe représentative de la fonction logarithme népérien, la droite d’équation et la droite d’équation

B. Propriétés de l’intégrale

Bornes : Soit f une fonction continue sur .

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LE COURS

[Série – Matière – (Option)] [Titre de la fiche]

Linéarité : Soient f et g deux fonctions continues sur . Soit un nombre réel.

Positivité : Soit f une fonction continue sur .

Si f est positive sur , alors

.

Comparaison d’intégrales : Soient f et g deux fonctions continues sur .

Si sur alors

Cette propriété découle directement des propriétés de linéarité et de positivité :

Ex : sur donc

Relation de Chasles : Soit f une fonction continue sur . Soit .

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LE COURS

[Série – Matière – (Option)] [Titre de la fiche]

Ex :

Valeur moyenne : Soit f une fonction continue sur .

La valeur moyenne de f sur est :

Inégalités de la moyenne : Soit f une fonction continue sur . Soit m et M deux réels. Si pour tout alors . Ces inégalités découlent directement de la comparaison d’intégrales.

2. Primitives

A. Primitives et intégrales

Définition : Soit f une fonction définie sur . On appelle primitive de f toute fonction dont la dérivée est f. On la note généralement F. Théorème : Toute fonction continue possède des primitives. Pour chaque fonction f, il y a une infinité de primitives. (On rappelle qu’en revanche une fonction f donnée n’a qu’une seule dérivée) Unicité : Soit f une fonction définie sur . Soit et un réel.

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LE COURS

[Série – Matière – (Option)] [Titre de la fiche]

Il existe une unique primitive F de f telle que . Ex : la droite représentative de ainsi qu’une partie des courbes représentatives de ses primitives, de la forme ( )

La courbe rouge est la courbe représentative de l’unique primitive F telle que

Primitive qui s’annule en a : Soit f une fonction définie sur .

La fonction définie sur par

est la primitive de f qui s’annule en a.

Calcul d’intégrales : Soit f une fonction définie sur . Soit F une de ses primitives.

Alors on peut calculer

de la manière suivante :

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LE COURS

[Série – Matière – (Option)] [Titre de la fiche]

Exemple :

Une primitive de est

B. Primitives usuelles

Primitives de fonctions de référence :

f domaine de définition

F

k (k réel constant) R

R

R

( ) R

( ) R*

R

R R

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[Série – Matière – (Option)] [Titre de la fiche]

Dérivées de fonctions composées : Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I.

f F

(k réel)

( )

( , )