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FICHE SYNOPTIQUE 2004 023/179/044 CERNIER Guillaume Filière : MP Je soussigné(e) ............................................................ Professeur de .................................... Nom Prénom Discipline atteste que la description ci-dessous correspond au travail effectué durant l'année scolaire 2003-2004 par cet élève (si le professeur ne peut pas attester qu'il s'agit du travail personnel de l'élève, il devra cocher la case "Refus de signature"). L'original de cette fiche authentifiée doit obligatoirement être renvoyé par l'établissement avant le 11/06/2004 à l'adresse suivante : EPREUVE TIPE - SCCP - 6 allée Emile Monso - BP 44410 - 31405 TOULOUSE CEDEX 4 CAMILLE GUERIN (POITIERS) Cachet de l'établissement Signature du Professeur Refus de signature Le candidat devra remettre obligatoirement, en début d'épreuve, deux copies recto-verso de la présente fiche dûment signée. Attention : ne pas écrire, au verso de ce document sur l'entête (zone sur le verso au-dessus des pointillés) Candidat : CERNIER Guillaume Sujet : Cartographie LA CARTOGRAPHIE Présentation : Vouloir représenter la Terre sur une carte est une très ancienne préoccupation de l’Homme, les premières cartes de la Terre remontant à l’époque de la Grèce antique. En effet, les globes terrestres, bien que très réalistes, sont très peu commodes d’utilisation. La vaste science qui traite de cette représentation plane de la Terre porte le nom de cartographie. Il existe de bien nombreuses façons de l’aborder. J’ai choisi d’envisager d’abord une partie de son aspect mathématique, pour ensuite visualiser informatiquement les résultats théoriques obtenus et les interpréter. Enfin, d’un point de vue plus concret, je me suis intéressé aux différents modes de production de cartes, révolutionnés notamment par l’avènement de l’informatique, ainsi qu’à ce qu’elles peuvent nous apporter pour une meilleure connaissance du monde. I. Un modèle mathématique : Le modèle le plus adapté pour une étude théorique de la cartographie est celui de la projection. Son étude nécessite quelques considérations simplificatrices : - La Terre assimilée à une sphère de rayon 1 - La carte représentée par le plan tout entier 2 Cette étude se limitera à quelques aspects de la théorie des projections : - Considérations géométriques. - Calcul et géométrie différentiels. - Projections azimutales, équatoriales. - Propriétés de conformité, d’équivalence et d’équidistance. - Calcul des expressions de certaines projections (notamment celles connues de Lambert et Mercator).

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FICHE SYNOPTIQUE 2004

023/179/044

CERNIER Guillaume Filière : MP Je soussigné(e) ............................................................ Professeur de ....................................

Nom Prénom Discipline atteste que la description ci-dessous correspond au travail effectué durant l'année scolaire 2003-2004 par cet élève (si le professeur ne peut pas attester qu'il s'agit du travail personnel de l'élève, il devra cocher la case "Refus de signature"). L'original de cette fiche authentifiée doit obligatoirement être renvoyé par l'établissement avant le 11/06/2004 à l'adresse suivante :

EPREUVE TIPE - SCCP - 6 allée Emile Monso - BP 44410 - 31405 TOULOUSE CEDEX 4

CAMILLE GUERIN (POITIERS)

Cachet de l'établissement

Signature du Professeur Refus de signature

Le candidat devra remettre obligatoirement, en début d'épreuve, deux copies recto-verso de la présente fiche dûment signée. Attention : ne pas écrire, au verso de ce document sur l'entête (zone sur le verso au-dessus des pointillés) Candidat : CERNIER Guillaume Sujet : Cartographie

LA CARTOGRAPHIE Présentation :

Vouloir représenter la Terre sur une carte est une très ancienne préoccupation de l’Homme, les premières cartes de la Terre remontant à l’époque de la Grèce antique. En effet, les globes terrestres, bien que très réalistes, sont très peu commodes d’utilisation. La vaste science qui traite de cette représentation plane de la Terre porte le nom de cartographie. Il existe de bien nombreuses façons de l’aborder. J’ai choisi d’envisager d’abord une partie de son aspect mathématique, pour ensuite visualiser informatiquement les résultats théoriques obtenus et les interpréter. Enfin, d’un point de vue plus concret, je me suis intéressé aux différents modes de production de cartes, révolutionnés notamment par l’avènement de l’informatique, ainsi qu’à ce qu’elles peuvent nous apporter pour une meilleure connaissance du monde. I. Un modèle mathématique : Le modèle le plus adapté pour une étude théorique de la cartographie est celui de la projection.

Son étude nécessite quelques considérations simplificatrices : - La Terre assimilée à une sphère de rayon 1 - La carte représentée par le plan tout entier 2

Cette étude se limitera à quelques aspects de la théorie des projections :

- Considérations géométriques. - Calcul et géométrie différentiels. - Projections azimutales, équatoriales. - Propriétés de conformité, d’équivalence et d’équidistance. - Calcul des expressions de certaines projections (notamment celles

connues de Lambert et Mercator).

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II. Visualisation informatique sous Maple® : Pour visualiser les résultats de la première partie et les propriétés des projections, j’ai choisi, à l’image de Tissot, de représenter sur la Terre plusieurs cercles. En projetant ces cercles (ainsi que les méridiens et les parallèles) de la sphère sur le plan et en interprétant les résultats obtenus, on peut retrouver les propriétés des différentes projections. Ecriture de plusieurs courts programmes ayant pour but de tracer ces figures en 3D puis leurs projections en 2D. III. Cartographie pratique : Les cartes, bien plus que de simples objets mathématiques, sous-tendent en réalité de nombreuses techniques de réalisation ainsi que des applications pratiques. En ce qui concerne la réalisation, j’aborderai les techniques de captation à distance, notamment :

- La télédétection - La photographie aérienne et satellitale

Les applications, quant à elles, sont nombreuses et interviennent dans de nombreux domaines ; j’ai retenu les SIG (système d’information géographique), bases de données, qui aident à la décision dans la prévention des catastrophes naturelles, l’agriculture, l’environnement ou encore l’aménagement du territoire. Sources documentaires :

- Télédétection et sciences géométriques de Louis Lliboutry (éditions Masson) 1992

- B-A-BA de cartographie par David A. Madore (élève à l’ENS) (http://www.eleves.ens.fr:8080/home/madore/math/carto.pdf)

- Documentation en ligne sur les sites internet de l’IGN (Institut géographique national) (http://www.ign.fr) et de l’ENSG (Ecole Nationale des Sciences Géographiques) (http://www.ensg.ign.fr)

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LA CARTOGRAPHIE

PLAN PREMIERE PARTIE : ETUDE MATHEMATIQUE DES PROJECTIONS I – Définitions et notations

II – Différents types de projections III – Explicitation des projections DEUXIEME PARTIE : VISUALISATION DES PROJECTIONS SOUS MAPLE® I – Ecriture des programmes nécessaires à la visualisation II – Visualisation de la Terre à projeter III – Visualisation des résultats des projections de la Terre TROISIEME PARTIE : LA CARTOGRAPHIE EN PRATIQUE

I – Les techniques de production de carte

II – Les systèmes d’information géographique

CONCLUSION

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PREMIERE PARTIE : ETUDE MATHEMATIQUE DES PROJECTIONS

I – Définitions et notations :

I.1 – Introduction : Par homothétie, on assimile la Terre à la sphère unité.

Une projection Ψ est alors une transformation bijective (difféomorphisme) d’une partie de cette sphère vers le plan euclidien.

Σ : sphère unité (rayon unité)

2 : plan usuel muni de sa structure euclidienne U : ouvert de Σ (souvent Σ privée d’un de ses points)

V : ouvert de 2 (souvent 2 tout entier) : U VΨ I.2 – Modélisation :

Les coordonnées sur la sphère Σ seront les coordonnées sphériques usuelles : - ϕ est la longitude

- θ est la co-latitude

- on pourra utiliser la latitude 2πλ θ= −

(coordonnée centrée sur l’équateur) On appelle parallèle un ensemble de points ayant la même latitude.

On appelle méridien un ensemble de points ayant la même longitude.

Les coordonnées du plan 2 seront les coordonnées cartésiennes usuelles.

Avec ces notations, une projection Ψ sera

une transformation du type :

: ( , ) ( ( , ) , ( , ) )x yϕ λ ϕ λ ϕ λΨ →

( ou parfois : ( , ) ( ( , ) , ( , ) )x yϕ θ ϕ θ ϕ θΨ → )

En se limitant aux projections partout différentiables (difféomorphisme), on

peut définir sur U la matrice jacobienne de Ψ :

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( , ) ( , )

( , ) ( , )

x xJ

y y

ϕ λ ϕ λϕ λϕ λ ϕ λϕ λ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ψ

∂ ∂∂ ∂=

∂ ∂∂ ∂

II – Différents types de projections : Il existe plusieurs types de projections suivant les régions de la Terre que l’on veut projeter et la manière de les projeter ou bien, suivant les propriétés conservatrices de la projection. Chaque type de projection donne une condition sur la forme des expressions

( , )x ϕ λ et ( , )y ϕ λ . II.1 – Classification suivant la manière de projeter :

On ne distingue ici que deux types de projections.

• Projections équatoriales : C’est la projection utilisée pour obtenir une carte centrée sur l’équateur. En

fait, on qualifie d’équatoriale une projection qui transforme les méridiens en droites verticales régulièrement espacés et les parallèles en droites horizontales non forcément régulièrement espacés.

Visuellement, cela donne :

Ainsi, pour une telle projection, on se ramènera à :

( , ) ( , ) ( )

xy h

ϕ λ ϕϕ λ λ

⎧⎪⎨⎪⎩

==

et donc

1 0 1 0 ( ) 0 '( )0

J h hλ λλ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

Ψ == ∂∂

• Projections azimutales :

A l’inverse des projections équatoriales qui privilégient l’étendue des régions de l’équateur, une projection azimutale privilégie un seul point choisi sur la Terre autour duquel la projection déforme peu ce que l’on projette. A une rotation près, cela revient à choisir le pôle Nord. Par rapport à ce pôle, une projection azimutale est alors, en fait, une projection qui transforme les méridiens en droites passant par le

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pôle régulièrement espacés et les parallèles en cercles concentriques non forcément régulièrement espacés.

Visuellement, cela donne :

Ainsi, pour une telle projection, on se ramènera à :

( , ) ( ) sin( )( , ) - ( ) cos( )

xy

ϕ θ ρ θ ϕϕ θ ρ θ ϕ

⎧⎪⎨⎪⎩

= ⋅= ⋅

et donc

( ) cos( ) '( ) sin( )( ) sin( ) '( ) cos( )

J ρ θ ϕ ρ θ ϕρ θ ϕ ρ θ ϕ

⎛ ⎞⎜ ⎟

Ψ ⎜ ⎟⎝ ⎠

⋅ − ⋅=⋅ ⋅

II.2 – Classification suivant les propriétés conservatrices de la projection: On distingue ici trois types de projections.

• Projections conformes :

Ce sont les projections qui conservent exactement les angles.

• Projections équivalentes :

Ce sont les projections qui conservent le rapport d’aires sur la Terre et celui sur la projection.

• Projections équidistantes :

Ce sont les projections qui conservent le rapport de distances sur la Terre et

celui sur la projection.

Les autres projections qui ne possèdent aucune de ces trois propriétés sont dites aphylactiques.

III – Explicitation des projections :

Position du problème : Le but est désormais de trouver les expressions de ( , )x ϕ λ et ( , )y ϕ λ .

Suivant que l’on aura affaire à une projection équatoriale ou azimutale, on se ramènera à

des équations différentielles vérifiées par h ou ρ en traduisant par des considérations locales, la conservation des angles, des distances ou des aires.

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III.1 – Projections équivalentes :

• Traduction de la propriété d’équivalence :

On considère un élément de surface sur le plan 2 :

Un déplacement élémentaire dl s’écrivant dans

la base usuelle ( , )x ye e :

x ydxdl dx e dy e dx dydy

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= = ⋅ + ⋅ = +

on a :

2 dS dx dy= ∧R

On considère un élément de surface sur la sphère Σ :

On différencie le vecteur position r dans la

base usuelle , , ( )ru u uϕθ (cf. annexe) :

( 1)0

sin sinr

drdr r d d

r d dθ θ

θ ϕ θ ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

== ⋅ =⋅ ⋅ ⋅

Avec 2πλ θ= − , on obtient donc :

= sin = ( ) cos ddS d d dθ θ ϕ λ λ ϕΣ ∧ ⋅ − ∧ ⋅

= cos ( )dS d dλ ϕ λΣ ⋅ ∧

Ψ étant un difféomorphisme, il est partout inversible et :

1

1

( )

( )

x xdx d d

y ydy d d

ϕ λϕ λ

ϕ λϕ λ

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

∂ ∂Ψ = ⋅ + ⋅∂ ∂∂ ∂Ψ = ⋅ + ⋅∂ ∂

Donc :

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21 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )dS dx dy dx dy− − − −Ψ = Ψ ∧ = Ψ ∧ ΨR

( ) ( )y yx xd d d dϕ λ ϕ λϕ λ ϕ λ∂ ∂∂ ∂= ⋅ + ⋅ ∧ ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( )y yx xd d d dϕ λ λ ϕϕ λ λ ϕ∂ ∂∂ ∂= ⋅ ⋅ ∧ + ⋅ ⋅ ∧∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( )y yx x d dϕ λϕ λ λ ϕ−∂ ∂∂ ∂= ⋅ ⋅ ⋅ ∧∂ ∂ ∂ ∂

2 1( ) (det ) ( )dS J d dϕ λΨ−Ψ = ⋅ ∧R

Pour qu’il y ait localement équivalence de la projection (ie pour que les éléments de surface correspondent), il faut que :

2 2-1 ( ) ou ( ) dS dS dS dSΣ Σ= Ψ Ψ =R R

ie

2 1( ) cos ( )dS d dλ ϕ λ−Ψ = ⋅ ∧R

N’avant aucune autre considération sur dϕ ou dλ , on identifie :

det coséquivalente J λΨΨ ⇔ =

• Explicitation d’une projection équatoriale équivalente :

La projection est équatoriale donc Ψ est de la forme :

: ( , ) ( , ( ) )hϕ λ ϕ λΨ →

donc :

1 0det det '( )0 '( )

J hh

λλ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ψ = =

d’où :

'( ) cosh λ λ=

équation différentielle qui, avec (0) 0h = (centrage sur l’équateur) se résout en :

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( ) sinh λ λ=

• Explicitation d’une projection azimutale équivalente (dite de Lambert) :

La projection est azimutale donc Ψ est de la forme :

: ( , ) ( ( ) sin , - ( ) cos )ϕ λ ρ θ ϕ ρ θ ϕΨ → ⋅ ⋅

donc :

( ) cos '( ) sindet det ( ) '( )( ) sin '( ) cos

J ρ θ ϕ ρ θ ϕ ρ θ ρ θρ θ ϕ ρ θ ϕΨ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⋅ − ⋅= = ⋅⋅ ⋅

d’où : ( ) '( ) cos sinρ θ ρ θ λ θ⋅ = =

équation différentielle qui, avec (0) 0'(0) 1

ρρ

⎧⎪⎨⎪⎩

==

(centrage sur le pôle et

équidistance au voisinage du pôle) se résout en :

212

2

2

2 2

( ( ))' sin( ) 2 cos 2 (1 cos )

cos cos(2 ) 1 2 sin2 2( ) 4 sin 2

0, 0

( ) 2 sin 2

K

or

or donc

ρ θ θρ θ θ θ

θ θθ

θρ θ

θ πρ

θρ θ

⎧ ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎨⎪⎩

⋅ == − ⋅ + = ⋅ −

= ⋅ = − ⋅

= ⋅

= ⋅

III.2 – Projections conformes :

• Traduction de la propriété de conformité : La conformité est, quant à elle, moins évidente à traduire. La manière la plus rapide est, sans doute, d’assimiler la projection Ψ à une homographie de la sphère Σ , alors dite de Riemann, privée de un de ses points (classiquement le pôle Sud) vers le plan

2 .

Ainsi, Ψ devient une simple application de vers lui-même.

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2 1 : ( , ) ( , ) ( )i x i y iϕ λ ϕ λ ϕ λ = −Ψ + ⋅ → + ⋅

En reprenant l’écriture des déplacements élémentaires établie précédemment,

les structures complexes locales (associés à des repères orthogonaux) sont :

Sur 2 : dx i dy+ ⋅

Sur Σ : cos ( )d i dλ ϕ λ⋅ + ⋅

La conformité sera alors vérifiée si au voisinage de n’importe quel point de Σ

et de son projeté sur 2 , les repères orthogonaux associés à ces structures locales se correspondent par Ψ .

C'est-à-dire (au coefficient multiplicatif K près sur les deux axes) :

-1

K (cos ) ou

( ) K (cos )

dx i dy d i d

dx i dy d i d

λ ϕ λ

λ ϕ λ

+ ⋅ = ⋅Ψ ⋅ + ⋅

Ψ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅

or

1( )

y yx xdx i dy d d i d d

y yx xi d i d

ϕ λ ϕ λϕ λ ϕ λ

ϕ λϕ ϕ λ λ

⎛ ⎞⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂ ∂∂ ∂Ψ + ⋅ = ⋅ + + ⋅ ⋅ +∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂= + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅∂ ∂ ∂ ∂

cos

yx yxi iK i

ϕ ϕ λ λλ

∂∂ ∂∂+ ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂ ∂= =

cosy yx xi iλϕ ϕ λ λ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∂ ∂∂ ∂− + ⋅ = ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂ ∂

d’où par identification sur :

cos

cos

yxconforme

y x

λϕ λ

λϕ λ

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

∂∂ = ⋅∂ ∂Ψ ⇔∂ ∂= − ⋅∂ ∂

• Explicitation d’une projection équatoriale conforme (projection de

Mercator) :

La projection est équatoriale donc Ψ est de la forme :

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: ( , ) ( , ( ) )hϕ λ ϕ λΨ → On a donc :

1 cos '( ) '( ) cos 10 cos 0

h hλ λ λ λλ

⎧⎪⎨⎪⎩

= ⋅ ⇔ ⋅ == − ⋅

Avec (0) 0h = (centrage sur l’équateur), cela donne :

sin

2 2 20 0 0 0

(sin )cos( ) cos cos 1 sin 1d xdx x dx duh x x x u

λ λ λ λλ ⋅= = = =

− −∫ ∫ ∫ ∫

or

2 21 1 1 1 1

2 1 11 1 X XX X⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

−= = − ⋅ −− +− −

d’où :

2

222 2

2

2

2 tan1 sin 1 2( ) ln sin2 sin 1 1 tan 22 tan 2 1

1 tan 2 tan 1 tan 1 tansin 1 2 2 2 2 tan 4 2sin 1 2 tan 2 tan 1 tan 1 tan2 2 2 211 tan 2

h orλ

λλ λ λλ

λ

λ λ λ λλ π λ

λ λ λ λλ

λ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

⋅+= =− +

⋅+

+ ⋅ + + ++ = = − = − = − +− ⋅ − ⋅ + + −−

+donc :

( ) ln tan 4 2h π λλ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= +

• Explicitation d’une projection azimutale conforme (dite

stéréographique) :

La projection est azimutale donc Ψ est de la forme :

: ( , ) ( ( ) sin , - ( ) cos )ϕ λ ρ θ ϕ ρ θ ϕΨ → ⋅ ⋅ On a donc :

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( )( )

( ) cos sin '( ) cos ( ) sin '( )

( ) sin sin '( ) sin

ρ θ ϕ θ ρ θ ϕρ θ θ ρ θ

ρ θ ϕ θ ρ θ ϕ

⎧ ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎨

⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

⋅ = ⋅ − − ⋅⇔ = ⋅

− ⋅ = − ⋅ − − ⋅

D’où :

2

sinsin

2

( ) ' pour avoir (0)=0 et quitte à changer ( )

dxdx xxK e K K e π

θθ

πρ θ

ρ ρ

∫∫= ⋅ + = ⋅

or

2

02 2

2 ' ' cossin cos 2

12ln tan ln tan ln ln tan4 2 2 2 2tan 2

d xdx du d ou d après ce qui précèdeux x

π θθ θ

π π

π

π

π θπ π θ θθ

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

−= − = −

−= − + = − − = − =

∫ ∫ ∫

d’où

2K( ) tan '( )= 1 tan2 2 2K etθ θρ θ ρ θ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⋅ ⋅ +

Si l’on veut équidistance locale au voisinage du pôle, il faut :

'(0) 1 2

( ) 2 tan 2

donc Kρθρ θ

= =

= ⋅

III.3 – Incompatibilité de l’équivalence et de la conformité : On peut, avec les caractérisations précédentes, montrer qu’un projection ne peut conserver, à la fois, les aires et les angles. Supposons une projection Ψ équivalente : Alors :

det cosdy dyx xJ λϕ λ λ ϕΨ∂ ∂= ⋅ − ⋅ =∂ ∂ ∂ ∂

Supposons de plus Ψ conforme :

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cos

cos

yx

y x

λϕ λ

λϕ λ

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

∂∂ = ⋅∂ ∂∂ ∂= − ⋅∂ ∂

On reporte ces deux conditions dans la première, on a : 22

cos cosyxλ λλ λ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

∂∂⋅ + =∂ ∂

C’est à dire qu’en dehors des pôles ( 2πλ ≠ ± ), on a :

( ) 21 1x i y avec iλ∂ + ⋅ = = −∂

d’où : 0( )0( )ix i y e zα ϕ λ ϕ⋅+ ⋅ = ⋅ +

puis : 0 0

0 0

cos ( ) Re ( )sin ( ) Im ( )

x zy z

α ϕ λ ϕα ϕ λ ϕ

⎧⎪⎨⎪⎩

= ⋅ += ⋅ +

En retraduisant l’équivalence, le jacobien de Ψ vaut:

( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0

cos '( ) sin ( ) Re '( ) sin ( ) '( ) cos ( ) Im '( ) cos ( )fonction

fonction dede

z zϕλ

λ α ϕ α ϕ ϕ α ϕ α ϕ α ϕ ϕ α ϕ= − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅

Ce qui est absurde, ϕ et λ étant des coordonnées indépendantes. Une projection, et donc une carte obtenue par projection, ne peut conserver les aires et les angles ; ce que nous verrons sur plusieurs exemples sous Maple®.

III.4 – Autres projections : On peut également expliciter d’autres projections, que l’on visualisera également sous Maple. Par exemple, par des considérations géométriques analogues, on peut caractériser les projections équidistantes et visualiser par exemple :

- une projection azimutale équidistante (conservation des distances à partir d’un point, ici le pôle) pour laquelle :

( )ρ θ θ=

- la projection équatoriale (dite équirectangulaire) la plus simple pour laquelle ( )h λ λ=

qui est un exemple de projections n’ayant aucune des trois propriétés de conformité, d’équivalence ou de conformité (excepté conservation des distances uniquement le long des méridiens).

Annexe :

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Expression d’un élément de longueur dr en coordonnées sphériques :

Ayant rr r u= ⋅ et la figure ci-contre

déterminons dr : D’une part,

r rdr dr u r du= ⋅ + ⋅ Comme, d’après la figure, on a dans le repère cartésien :

sin cossin sincos

ruθ ϕθ ϕθ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⋅= ⋅ , on peut écrire :

sinsin cos

0

cos cos sin sincos sin sin cos

0sinr

u

u

du d d

θ ϕθ ϕ

ϕ

θ ϕ θ ϕθ ϕ θ θ ϕ ϕ

θ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

−⋅

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⋅ − ⋅= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

Dans la base , , ( )ru u uϕθ , on a donc :

sin

drdr r d

r dθ

θ ϕ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⋅⋅ ⋅

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DEUXIEME PARTIE : VISUALISATION DES PROJECTIONS SOUS MAPLE > restart: with(plots):with(linalg): Toutes les figures sont des listes de listes de points (en coordonnées cartésiennes ou sphériques) Notations : "pt" = point (de la forme [ , , ]) "polygone" = ensemble de points (liste de points) (de la forme [ [ , , ], ... ,[ , , ] ]) "figure" = ensemble de polygônes (liste de listes de points) (de la forme [ [ [ , , ], ... ,[ , , ] ], ... ,[ [ , , ], ... ,[ , , ] ] ]) Fonction convertissant un polygône (liste de points) sphériques -> cartésiennes > sphere_cartes:=proc(polygone) local f: f:=proc(pt) local phi,theta: theta:=op(3,pt): phi:=op(2,pt): evalf([cos(phi)*sin(theta),sin(phi)*sin(theta),cos(theta)]) end proc: map(f,polygone) end proc: Fonction convertissant une figure (liste de polygônes) cartésiennes -> sphériques > cartes_sphere:=proc(figure) local f,g: f:=proc(pt) local x,y,z: x:=op(1,pt): y:=op(2,pt): z:=op(3,pt): if evalb((x,y)=(0.,0.)) then evalf([1,0,arccos(z)]) else evalf([1,arctan(y/x)-sign(evalf(arctan(y/x)))*`if`(evalf(x)>=0,0,Pi),arccos(z)]) fi: end proc: g:=polygone->map(f,polygone): map(g,figure) end proc: Fonction renvoyant le polygône donné en argument en coordonnées cartésiennes après une rotation d'angle (phi0,theta0) (en notations sphériques)

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> tourne:=proc(polygone,phi0,theta0) local f,rot: rot:=evalf(transpose(Matrix([[cos(theta0)*cos(phi0),cos(theta0)*sin(phi0),-sin(theta0)],[-sin(phi0),cos(phi0),0],[sin(theta0)*cos(phi0),sin(theta0)*sin(phi0),cos(theta0)]]))): f:=proc(pt) evalf(convert(multiply(eval(rot),vector(pt)),'list')) end proc: map(f,polygone) end proc: Définition de la Terre (sphère unité en coordonnées sphériques) > Terre:=plot3d(1,phi=-Pi..Pi,theta=-Pi..Pi,grid=[90,90],coords=spherical,style=PATCHNOGRID): Définition du méridien de Greenwich > Greenwich:=[seq([1,0,evalf(Pi/90*i)],i=1..89)]: Définition d'un cercle centré au pôle nord d'angle d'ouverture alpha > Cercle:=proc(alpha) [seq([1,evalf((2*Pi)/90*i),alpha],i=-90..90)] end proc: Définition en coordonnées cartésiennes de la figure à afficher sur la Terre et à projeter (Inclut des cercles d'angle d'ouverture alpha sur un méridien et l'équateur (n sur un quart de grand cercle), les méridiens, les parallèles) > Figure:=proc(alpha,n) local polygone,cercles,paralleles,meridiens: polygone:=sphere_cartes(Cercle(alpha)): cercles:=seq(tourne(polygone,i*(Pi/(2*n)),Pi/2),i=-2*n..2*n),seq(tourne(polygone,0,j*(Pi/(2*n))),j=-2*n..2*n): paralleles:=seq(sphere_cartes(Cercle(i*Pi/12)),i=1..11): meridiens:=seq(tourne(sphere_cartes(Greenwich),i/12*Pi,0),i=-12..12): {cercles,paralleles,meridiens} end proc: Affiche en 3D la superposition de la figure et du méridien de Greenwich (en rouge) sur la Terre > display3d(Terre,spacecurve(Figure(Pi/30,5),coords=rectangular,color=black),spacecurve(Greenwich,coords=spherical,color=red));

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Définition de la projection équatoriale conforme de Mercator (phi,theta) (sphériques dans R^3) -> (x,y) (cartésiennes dans R^2) > mercator:=proc(figure) local f,g: f:=proc(pt) local phi, theta, lambda: phi:=op(2,pt): theta:=op(3,pt): lambda:=Pi/2-theta: evalf([phi,ln(tan(Pi/4+lambda/2))]) end proc:

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g:=polygone->map(f,polygone): map(g,figure) end proc: > PLOT(CURVES(op(mercator(cartes_sphere(Figure(Pi/30,5))))),STYLE(POINT),SYMBOL(POINT),SCALING(CONSTRAINED));

Définition de la projection équatoriale équivalente (phi,theta) (sphériques dans R^3) -> (x,y) (cartésiennes dans R^2) > cylindrique:=proc(figure)

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local f,g: f:=proc(pt) local phi, theta, lambda: phi:=op(2,pt): theta:=op(3,pt): lambda:=Pi/2-theta: evalf([phi,sin(lambda)]) end proc: g:=polygone->map(f,polygone): map(g,figure) end proc: > PLOT(CURVES(op(cylindrique(cartes_sphere(Figure(Pi/30,5))))),STYLE(POINT),SYMBOL(POINT),SCALING(CONSTRAINED));

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Définition de la projection équatoriale équirectangulaire (sans propriétés) (phi,theta) (sphériques dans R^3) -> (x,y) (cartésiennes dans R^2) > equi_rect:=proc(figure) local f,g: f:=proc(pt) local theta, phi, lambda: theta:=op(3,pt): phi:=op(2,pt): lambda:=Pi/2-theta: evalf([phi,lambda]) end proc:

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g:=polygone->map(f,polygone): map(g,figure) end proc: > PLOT(CURVES(op(equi_rect(cartes_sphere(Figure(Pi/30,5))))),STYLE(POINT),SYMBOL(POINT),SCALING(CONSTRAINED));

Définition de la projection (restreinte à un hémisphère) azimutale conforme (stéréographique) (phi,theta) (sphériques dans R^3) -> (x,y) (cartésiennes dans R^2) > stereo:=proc(figure) local f,g,h:

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h:=x->`if`(x<=evalf(Pi/2),2*tan(x/2),0): f:=proc(pt) local phi, theta, lambda: phi:=op(2,pt): theta:=op(3,pt): evalf([h(theta)*sin(phi),-h(theta)*cos(phi)]) end proc: g:=polygone->map(f,polygone): map(g,figure) end proc: > PLOT(CURVES(op(stereo(cartes_sphere(Figure(Pi/30,5))))),STYLE(POINT),SYMBOL(POINT),SCALING(CONSTRAINED));

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Définition de la projection (restreinte à un hémisphère) azimutale équivalente (Lambert) (phi,theta) (sphériques dans R^3) -> (x,y) (cartésiennes dans R^2) > azim_equiv:=proc(figure) local f,g,h: h:=x->`if`(x<=evalf(Pi/2),2*sin(x/2),0): f:=proc(pt) local phi, theta, lambda: phi:=op(2,pt): theta:=op(3,pt): evalf([h(theta)*sin(phi),-h(theta)*cos(phi)]) end proc:

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g:=polygone->map(f,polygone): map(g,figure) end proc: > PLOT(CURVES(op(azim_equiv(cartes_sphere(Figure(Pi/30,5))))),STYLE(POINT),SYMBOL(POINT),SCALING(CONSTRAINED));

Définition de la projection azimutale équidistante (phi,theta) (sphériques dans R^3) -> (x,y) (cartésiennes dans R^2) > azim_equid:=proc(figure) local f,g:

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f:=proc(pt) local phi, theta: phi:=op(2,pt): theta:=op(3,pt): evalf([theta*sin(phi),-theta*cos(phi)]) end proc: g:=polygone->map(f,polygone): map(g,figure) end proc: > PLOT(CURVES(op(azim_equid(cartes_sphere(Figure(Pi/30,5))))),STYLE(POINT),SYMBOL(POINT),SCALING(CONSTRAINED));

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TROISIEME PARTIE : CARTOGRAPHIE PRATIQUE On a vu dans les deux premières parties un aspect théorique de la cartographie en soulignant les liens existant entre la surface de la Terre et la carte par les propriétés des projections mais finalement sans s’intéresser réellement à ce sur quoi la cartographie peut porter. La cartographie est en effet une science aussi vaste que complexe dès lors que l’on s’intéresse aux différentes façons de produire une carte qu’elle soit locale ou qu’elle représente la Terre entière. C’est ce à quoi j’ai décidé de m’intéresser dans cette partie. Je me suis également penché sur l’influence de la cartographie dans le cadre du développement durable. I – Les techniques de production de carte : Je distingue ici deux techniques de réalisation de cartes. La première, plutôt destinée aux cartes locales, est celle basée sur de simples photographies aériennes. La seconde, destinée à des cartes plus globales, fait appel à une technique relativement plus récente : la télédétection.

I.1 – La photographie aérienne :

La photographie aérienne est une des techniques les plus utilisées en cartographie

depuis les débuts de l’aviation car elle se révèle très efficace sur des petites surfaces terrestres. En effet, la photographie aérienne donne une vue d'ensemble de tous les détails d'un espace géographique donné, permet de s'y repérer et d'analyser la position relative des objets qui s'y trouvent et se réalise assez facilement.

Cette simplicité cache en réalité de grossières erreurs sur la représentation faite du sol terrestre.

- En effet, l’objectif étant ponctuel, la projection du sol sur la photo ne peut être rigoureusement verticale ce qui induit des déformations pour les objets les plus éloignés.

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- De plus, à l’inverse de ce que l’on considérait jusqu’à

maintenant, les objets sur la Terre ont une altitude non nulle, ce qui ajoute des déformations supplémentaires, comme on peut le voir sur l’image ci-contre : deux objets de même taille à des altitudes différentes ne paraîtront pas de même taille sur la photo.

D’où l’idée de s’éloigner le plus possible de la Terre pour en capter les informations. A de telles distances, de simples photos de satellites ne suffiraient plus car on ne distinguerait plus rien. Il faut recourir à une autre technique, la télédétection, basée sur le rayonnement électromagnétique permettant de ne pas se restreindre aux ondes du domaine du visible. I.2 – La télédétection :

Par définition, la télédétection est l’étude des informations portées par le

rayonnement électromagnétique réfléchies ou issues de la surface du sol, et captées à distance à partir des plates formes aéroportées ou spatiales.

Notamment, une étude de rayonnement électromagnétique montre que ce que les radiomètres captent du rayonnement électromagnétique émis par un morceau de la surface terrestre dépend de sa température, ie :

max constante de WienCloi de Wien ou C est laTλ =

Ce qui signifie qu’on peut distinguer deux objets de températures différentes

avec cette technique, maxλ représentant la longueur d’onde caractéristique de ce que le radiomètre capte (que ce soit dans le domaine du visible ou non).

Ainsi, à la différence des photographies aériennes servant à visualiser la

topographie locale d’une région et pourquoi pas les infrastructures ou d’autres

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données concernant par exemple l’agriculture, la télédétection va plutôt s’attacher à rendre compte de l’aspect global de grandes étendues (contours des continents, océans, lacs, etc.).

La superposition de ces deux données peut donner des résultats intéressants notamment dans le cadre du développement durable, ce qui m’amène à parler des SIG (système d’information géographique). II – Les systèmes d’information géographique :

II.1 – Présentation d’un SIG :

Un système d’information géographique est donc la synthèse des données accumulées concernant une région, que ce soit par télédétection, photographie ou même récoltées sur le terrain. En fait, par définition un SIG est, selon l'économiste Michel Didier (1990), "un ensemble de données repérées dans l'espace, structuré de façon à pouvoir en extraire commodément des synthèses utiles à la décision". On peut représenter la superposition des données résumant le principe d’un SIG par le dessin ci-dessous :

Extrait de "Les systèmes d'information géographique", Que sais-je?, PUF, éd. 1996

La mise en place d’un SIG étant longue, complexe et faisant appel à de nombreuses technologies, notamment l’informatique, je ne rentre pas dans les détails et je terminerais juste par quelques applications des SIG. II.1 – Applications des SIG : Les SIG étant très polyvalents, je n’ai retenu que quelques applications contribuant fortement au développement durable :

- Pour l’environnement, il existe des SIG constitués pour améliorer la gestion de l’eau (SIG des Agences de l'eau), des déchets et de la pollution.

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- A un niveau européen, Eurostat, organe statistique de la Commission Européenne, a mis en place un SIG basé sur des fichiers topographiques de référence (cours d'eau, unités statistiques,...) et des fichiers thématiques (sols, industrie, environnement,...).

- Enfin, j’ai trouvé un exemple de SIG très révélateur de son intérêt. En

Inde, l’activité humaine telle la pêche côtière, l’exploitation du pétrole, le transport maritime ou le déversement des déchets ne cessent de s’intensifier. C’est pourquoi, l’Inde élabore, depuis les années 1980, des SIG visant à observer puis à mieux gérer le milieu côtier.

Conclusion :

Ces différents exemples montrent bien que les progrès réalisés en cartographie depuis l’invention de la carte jusqu’aux nouvelles technologies comme la télédétection et les SIG, sont des outils très importants pour une meilleure connaissance du monde, pour mieux le gérer ou mieux prévoir, et ainsi pour un meilleur développement.