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Académie Militaire de Cherchell Département des Sciences et Technolo Filière: Electr.—Méc. Energ. Chaire de Mathématiques FICH Rappel—Espace Vectoriel (ev) ; so Définition 01 : On appelle espace vectoriel vérifiant les propriétés suivantes : : → , → 1. Associativité : ∀ , , ∈ , 2. Elément neutre : ∃ ∈ : ∀ ∈ 3. Opposé : ∀ ∈ ,∃ ́ ∈ : 4. Commutativité : ∀ , ∈ , Ces propriétés font de , un gro .:→ , → . 5. Associativité : ∀ , ∈ , ∀ 6. Elément neutre : ∀ ∈ , 1. 7. Distributivité (1) : ∀ , ∈ , 8. Distributivité (2) : ∀ ∈ , ∀ , Définition 02 : Soient un —espace vectoriel, espace vectoriel de si et seulemen 1/ . 2/∀ , ∈ ,∈. 3/ ∀ ∈ , ∀ ∈ , . ∈ . Année U ogie Niveau: M HE TD n°01__ Solution : Espaces vectoriels ous-espace vectoriel (sev) l tout ensemble muni d’une loi interne noté , . ,. ́ ́ . . oupe commutatif. ∈ : . . . . . . ∀ ∈ , . . . . , . . . ( est un sous—ensemble de ). On nt si : Universitaire: 2015—2016 : 1 ière Année—Semestre II Math II—Algèbre II Fev. 2016 Page 1 et une loi externe noté , dit que est un sous—

Fiche TD n°01_Solution_L1-Méc Energ-Electr._Math II_Algèbre II_S2_2015-2016

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FICHE

Rappel—Espace Vectoriel (ev) ; sous

Définition 01 :

On appelle �—espace vectoriel

vérifiant les propriétés suivantes :

�: � � � → �

��, � → � �

1. Associativité : ∀ ��, , �� ∈ ��, �2. Elément neutre : ∃ � ∈ �: ∀ � ∈ �3. Opposé : ∀ � ∈ �, ∃ �́ ∈ �: � � �́4. Commutativité : ∀ ��, � ∈ ��, � �Ces propriétés font de ��, �� un groupe commutatif.

. : � � � → �

��, �� → �. �

5. Associativité : ∀ ��, �� ∈ ��, ∀ �6. Elément neutre : ∀ � ∈ �, 1. � � �7. Distributivité (1) : ∀ ��, �� ∈ ��,8. Distributivité (2) : ∀ � ∈ �, ∀ ��,Définition 02 :

Soient � un �—espace vectoriel, �espace vectoriel de � si et seulement si

1/ � � ∅.

2/∀ ��, � ∈ ��, � � ∈ �.

3/ ∀ � ∈ �, ∀ � ∈ �, �. � ∈ �.

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FICHE TD n°01__ Solution : Espaces vectoriels

; sous-espace vectoriel (sev)

l tout ensemble � muni d’une loi interne noté �, et une loi externe noté

� � � � �� � �� � � � �.

�, � � � � � � � � �.

�́ � �́ � � � �.

� � � �.

un groupe commutatif.

∈ �: �. ��. �� � ��. ��. �.

�.

∀ � ∈ �, �� � ��. � � �. � � �. �.

� � ∈ ��, ��� � � � �. � � �. .

� ∈ ���� (� est un sous—ensemble de �). On dit que

si et seulement si :

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, et une loi externe noté ∙,

On dit que � est un sous—

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Exercice n°01 :

Pour que l’ensemble ��, �, . � soit un

huit propriétés suivantes :

� � � → �

�� , ! � � ���, !�� → �� ��, ! � !�1. Associativité : ∀ ��, , �� ∈ ��, � � � � ���, !�� � ���, !�� � ����" � �# � $� � �� , ! � � �����, !�� � � �� , ! � � ���, !�� � �� ���" � #� � $ � �� ��, ! � !�� � �Alors : � � � � �� � �� � � � �2. Elément neutre : ∃ � ∈ �: ∀ � ∈ �� � � � �� , ! � � �� , ��� � �� � � � � � �� , ��� � �� , ! � � �� � Pour que�� � , ! � ��� � �� � , ��3. Opposé : ∀ � ∈ �, ∃ �́ ∈ �: � � �́� � �́ � �� , ! � � �� % , ! % � � �� � �́ � � � �� % , ! % � � �� , ! � � �� % � Pour que �� � % , ! � ! % � � �� % � , !� ∈ &'∗ .

4. Commutativité : ∀ ��, � ∈ ��, � �� � � �� , ! � � ���, !�� � �� �� � � � ���, !�� � �� , ! � � ���� L’addition et la multiplication sont des lois commutatives, alors��, �� un groupe commutatif.

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soit un &—espace vectoriel, les deux lois interne et externe doivent vérifier les

��

� � � � �� � �� � � � �.

��, !� � !��

� � !�� � �)*)+),, -* � -+ � -,�

�, ! � !��

���, !�� � �)*)+),, -* � -+ � -,�

� � �� ����, ! � !� � !��

�, � � � � � � � � �.

, ! � ���

, ���! �

��! � � �� , ! �, l’élément neutre . � �.*, .+� ��́ � �́ � � � �.

% , ! � ! % �

, ! % � ! �

! % � ! � � �� , ��� � �1,0�, l’opposé "́ � �)*% , -� � � �.

�, ! � !��

, !� � ! �

L’addition et la multiplication sont des lois commutatives, alors : � � � � �.

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espace vectoriel, les deux lois interne et externe doivent vérifier les

� � �*, 0�.

� -*% � � � *)* , 1-*� tel que

. Ces propriétés font de

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& � � → �

�. �� , ! � → �� 2, �! �

5. Associativité : ∀ ��, �� ∈ ��, ∀ ��. � � �. �� , ! � � �� 3 , �! �

4. �5. "� � �. �� 3 , �! � � 6�� 3�2���� est un scalaire alors : �4. 5�. "Donc : �. ��. �� � ��. ��. � � 6� 236. Elément neutre : ∀ � ∈ �, 1. � � �1. � � 1. �� , ! � � �� , 1! � � ��7. Distributivité (1) : ∀ ��, �� ∈ ��,�� � �� est un scalaire alors : �4 � 54. " � 5. " � �. �� , ! � � �. �� , ! Alors : �� � ��. � � �. � � �. � � ��8. Distributivité (2) : ∀ � ∈ �, ∀ ��,4. �" � #� � �. 6�� , ! � � ���, !��7 � 6�� ���2, ��! � !��74. " � 4. # � �. �� , ! � � �. ���, !�Alors : �. �� � � � �. � � �. � ��On conclut que L’ensemble ��, �, . �Exercice n°02 :

Pour qu’un sous—ensemble soit un sous

8 � 9�� , ��, ��� ∈ &�; � � ��; 1/ 8 � ∅, où : 0 � 0 donc 0&< ∈ 8

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∈ �: �. ��. �� � ��. ��. �.

� , ��! 7 � 6)*45, 45-*7

� � ����. �� , ! � � 6)*45, 45-*7

6 23, ��! 7.

�.

�� , ! � � �.

∀ � ∈ �, �� � ��. � � �. � � �. �.

� 5�. " � �� � ��. �� , ! � � �� �2'3�, �����! � � � � 6� 2, �! 7 � �� 3 , �! � � �)*4)*5, 4-* �� 2� 3 , �! � �! �.

� � ∈ ��, �. �� � � � �. � � �. .

�7 � �. �� ��, ! � !��

7 � �)*4)+4, 4-* � 4-+�.

�� � 6� 2, �! 7 � 6��2, �!�7 � �)*4)+4, 4-* � 4� 2��2, �! � �!��

� est un &—espace vectoriel.

ensemble soit un sous—espace vectoriel, il doit vérifier les trois conditions

;

8.

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� � �)*4)*5, 4-* � 5-*�

5-*�

4-+�.

, il doit vérifier les trois conditions :

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2/ soient : � � �� , ��, 0� et � �� %=� � ���>� % � ��% ? Alors, � � � % � �� �Prenons : � � �1,1,0� et � �2,2,0�3/ soient : � ∈ & et � � �� , ��, 0� ∈ �. � � �. �� , ��, 0� � ��� , ���, 0�En effet, 8 est un sev de &�.

A � 9�� , ��, ��� ∈ &�; 2�� � � �1/ A � ∅, où : 2 � 0 � 0 � 0 � 0 donc

2/ soient : � � �� , ��, ��� et � ��=2�� � � � ���>2��% � � % � ��%

? Alors, 2. ��� �d’où : � � � �� � � % , �� � ��% , ��Prenons : � � �1,1,1� et � �2,2,2�3/ soient : � ∈ & et � � �� , ��, ���Alors, la relation 2�� � � � ���� , ���, ���� ∈ A.

En effet, A est un sev de &�.

B � 9�� , ��, ��� ∈ &�; � � �� �1/ B � ∅, où : 0 � 0 � 0 donc 0&<2/ soient : � � �� , ��, 0� et � �� %=� � �� � 0�>� % � ��% � 0? Alors, �� � � % � �D’où : � � � �� � � % , �� � ��% , 0Prenons : � � �1, 11,0� et � �2, 13/ soient : � ∈ & et � � �� , ��, 0� ∈

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% , ��% , 0� deux vecteurs de 8. On a donc :

� ��% d’où : � � � �� � � % , �� � ��% , 0� ∈ 8.

� deux vecteurs de 8, d’où : � � � �3,3,0� ∈ 8∈ 8. Alors, la relation � � �� implique que �� �� ∈ 8.

� ��; donc 0&< ∈ A.

� % , ��% , ��% � deux vecteurs de A. On a donc :

� ��% � � �� � � % � � ��� � ��% �

� � ��% � ∈ A.

� deux vecteurs de A, d’où : � � � �3,3,3� ∈ A∈ A.

�� implique que 2��� � �� � ��� donc :

0; < ∈ B.

% , ��% , 0� deux vecteurs de B. On a donc :

� � ��� � ��% � � 0

0� ∈ B.

12,0� deux vecteurs de B, d’où : � � � �3, 13,∈ B.

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8.

� ��� donc :

A.

�. � � �. �� , ��, ��� �

,0� ∈ B.

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Alors, la relation � � �� � 0 implique que

En effet, B est un sev de &�.

D � 9�� , ��, ��� ∈ &�; � � 0, ��1/ D � ∅, où : 0 � 0 et 0 � 0 donc

2/ soient : � � �� , ��, ��� et � ��=� � 0, �� � ���>� % � 0, ��% � ��%

? Alors, �� � �D’où : � � � �� � � % , �� � ��% , �Prenons : � � �0,1,1� et � �0,2,2�3/ soient : � ∈ & et � � �� , ��, ���Alors, les relations � � 0, �� ���� , ���, ���� ∈ D.

En effet, D est un sev de &�.

8 ∩ A � 9�� , ��, ��� ∈ &�; � � �8 ∩ A � 9�� , ��, ��� ∈ &�; � � �= � � ���>2�� � � � �� ⇒ 2�� � 2�� ⇒ ��

G ∩ HB ∩ D � 9�� , ��, ��� ∈ &�; � � �B ∩ D � 9�� , ��, ��� ∈ &�; � � � = � � �� � 0 ⇒ �� � 0 �>� � 0, �� � �� ⇒ �� � 0? Alors :

I ∩ J � KOn dit que B et D sont en somme directe

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implique que �� � ��� � 0 donc : �. � � �. �� , ��, 0� ��;

donc 0&< ∈ D.

� % , ��% , ��% � deux vecteurs de D. On a donc :

� % � � 0, ��� � ��% � � ��� � ��% �

�� � ��% � ∈ D.

� deux vecteurs de D, d’où : � � � �0,3,3� ∈ D∈ D.

�� impliquent que �� � 0, ��� � ��� donc :

��; ∩ 9�� , ��, ��� ∈ &�; 2�� � � � ��; �� �> 2�� � � � �� ; � � �� ? Alors : � � �� � �� ,

H � K�)*, )+, ),� ∈ &,; )* � )+ � ), L �� � 0; ∩ 9�� , ��, ��� ∈ &�; � � 0, �� � ��; �� � 0 �> � � 0, �� � ��;

? � � �� � �� � 0 ,

K�)*, )+, ),� ∈ &,; )* � )+ � ), � 0 L � 90; en somme directe et on note B⨁D.

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0� � ��� , ���, 0� ∈ B.

D.

: �. � � �. �� , ��, ��� �

;

9 ;

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Rappel—Dépendance et indépendance linéaire

Définition 01 :

Soient � un �—ev, N ∈ O∗, � ,vecteur de � tel qu’il existe �� , �� � � � ��� � ⋯ � �QQ � ∑QSDéfinition 02 :

Soient � un �—ev, N ∈ O∗, � ,1/ On dit que la famille finie � , �,∃�� , ��, … , �Q� ∈ �Q 1 90,0, … ,0;:2/ On dit que la famille finie � , �,∀�� , ��, … , �Q� ∈ �Q, �∑ �SSQSU �Définition 03 :

Soient � un �—ev, N ∈ O∗, V �1/ On dit que Vest une famille génératrice

W�X>�V� � �

2/ On dit que V est une base de � si et seulement si

Y W�X>�V∀�� , ��, … , �Q� ∈ �Q, �∑ �SSQSU �Définition 04 :

Un �—ev � est dit de dimension finie

1/ E admet au moins une base finie.

2/ Toutes les bases de � sont finies et ont le même cardinal.

Le cardinal d’une base de � est appelé la

3/ Tout sev � de E est de dimension finie, et

Exercice n°03 :

Soient 8 et A deux sous—espaces vectoriels de 8 � 9�Z 1 [, 2Z, Z � 2[, 1[�; �Z, [

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Dépendance et indépendance linéaire, Famille génératrice, base, dimension

, �, … , Q� ∈ �Q. On appelle combinaison linéaire

�, … , �Q� ∈ �Q tel que :

�SSQSU

, �, … , Q� ∈ �Q.

, … , Q� est liée si et seulement si :

;: ∑ �SSQSU � 0 , … , Q� est libre si et seulement si :

� 0 ⟹ � ∀] ∈ 91, … , N;, �S � 0��

� � , �, … , Q� une famille finie des vecteurs de

famille génératrice de � (ou V engendre �) si et seulement si

si et seulement si V est libre et génératrice de � : � � � �� 0 ⟹ � ∀] ∈ 91, … , N;, �S � 0��?

dimension finie si et seulement si � admet au moins une famille génératrice. Alors,

sont finies et ont le même cardinal.

est appelé la dimension de � et noté ̂ ]_���� ou ̂ ]_��de E est de dimension finie, et ^]_��� ` ^]_ ���.

espaces vectoriels de &adonnés par : [� ∈ &�;

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, Famille génératrice, base, dimension

combinaison linéaire de , �, … , Q tout

une famille finie des vecteurs de �.

:

admet au moins une famille génératrice. Alors,

��.

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Soit � �Z 1 [, 2Z, Z � 2[, 1[� ∈ � �Z 1 [, 2Z, Z � 2[, 1[� � Z�1� � �1,0�, �� � �0,1� respectivement

On pose : � �1,2,1,0� , � � �1génératrice de 8.

Pour que la famille � , �� soit une base de

� � ��� � 0&b ⇒ � � �� � 0� � ��� � 0&b ⟺ � �1,2,1,0� ⟺ = � 1 ��2� � 0 ⟹ ⟹ 4+Alors, la famille � , �� forme une base pour

A � 9�Z, [, d, �� ∈ &a; Z 1 [ � dSoit � �Z, [, d, �� ∈ A

Z � [ � d 1 � alors, � �[ � d 1choisis de la base canonique � � �1On pose : � �1,1,0,0�, � � �1,une famille génératrice de A.

Pour que la famille � , �, �� soit une base de

� � ��� � ��� � 0&b ⇒ � �� � ��� � ��� � 0&b ⟺ � �1 ⟺ =� � �� 1 �

4Alors, la famille � , �, �� forme une base pour

Exercice n°04 :

Soit � un �—espace vectoriel de dimension 3 et �� � �� 1 � et �� � ��.

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� ∈ 8

�1,2,1,0� � [�11,0,2, 11� tels que Z et [ choisis de la base canonique

respectivement.

�11,0,2, 11� , tel que 8 � W�X>� , �� . Alors, �soit une base de 8, elle doit être libre c—à—dire :

0

� � ���11,0,2, 11� � �0,0,0,0� � � 0⟹ 4* � 0+ � 0 ? Donc la famille � , �� est libre.

forme une base pour 8, ̂ ]_�8� � 2.

1 �; 1 � , [, d, �� � [�1,1,0,0� � d�1,0,1,0� � ��11,0�1,0,0�, �� � �0,1,0�, �� � �0,0,1� respectivement.

� ,0,1,0�, �11,0,0,1� tel que A � W�X>� , �, ��soit une base de A, elle doit être libre c—à—dire :

� �� � �� � 0

�1,1,0,0� � ���1,0,1,0� � ���11,0,0,1� � �0,0,0,0�� � 0 ⟹ 4, � 04* � 04+ � 0 ? Donc la famille � , �, ��

forme une base pour A, ̂ ]_�A� � 3.

espace vectoriel de dimension 3 et A � �� , ��, ��� une base de

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choisis de la base canonique

� , �� est une famille

� 0,0,1� tels que [, d et �

respectivement.

� . Alors, � , �, �� est

0�

est libre.

une base de � . Soit � � �� � 2�� ,

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i/ On montre que la famille finie �� � � � ���� � 0e ⇒ � � �� � 0

� � � ���� � 0e ⟺ � ��� � 2��� ⟺ 1��� � � �Et comme �� , ��, ��� est une base de

On peut compléter la famille �� , ��� � � ���� � ���� � 0e ⇒ � �� � � ���� � ���� � 0e ⟺ � ��� ⟺ 1���Et comme �� , ��, ��� est une base de

est une base de � de dimension 3.

Exercice n°05 :

Soient dans &a les vecteurs suivants : � �0, 19, 19,6�. 1/ On montre que :

i/ h ∈ W�X>��, !�

ii / ∈ W�X>��, ��

Un vecteur � �� , ��, ��, �a� ∈ W�X>h � �3,7,7,2� ∈ W�X>��, !� ⟺ h �

Alors : h � 3� 1 ! et �� , ��� ∈ &���, !, h� est une famille liée.

� �0, 19, 19,6� ∈ W�X>��, �� ⟺

Alors : � 13� � 3� et �� , ���W�X>��, ��.

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, ��� est libre, alors :

� � ����� 1 � � � 0e ⟺ � �� � 2� �� � ���� 1�� � �2� � ����� � 0e

est une base de �, donc : =1�� � 0 ⟹ 4+ � 04* � 02� � �� � 0 ? , alors la famille

�� par un vecteur �� � �� de telle façon que �� , ��� � �� � 0

� � � 2��� � ����� 1 � � � ���� � 0e

� � �� � ����� � �2� � ����� � 0e

est une base de �, donc : = 1�� � 0 ⟹ 4+ � 0� � �� � 0 ⟹ 4, � 02� � �� � 0 ⟹ 4* � 0?et cela implique que

les vecteurs suivants : � � �1, 11,0,2�, � � �1,2,3,0�, ! � �0, 11,

W�X>� , �, … , Q� ⟺ ∃�� , ��, … , �Q� ∈ �Q, �� � � ��! ⟺ �3,7,7,2� � � �1,2,3,0� � ���0, 1 ⟺ Y , � 4*7 � 2� 1 �� ⟹ 4+ � 1*?

. Ce qui signifie que : ∃�� , ��� ∈ &�, h � 3� 1 � � � � ��� ⟺ �0, 19, 19,6� � � �1,2,3,0�

⟺ Y 0 � � � �� ⟹ � � 1��19 � 2� 1 �� ⟹ 4* � 1, �> 4∈ &� . Ce qui signifie que : ∃�� , ��� ∈ &�

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1 ��� � 0e

la famille �� , ��� est libre.

��, ��� est libre.

?et cela implique que �� , ��, ���

,2, 12�, h � �3,7,7,2� et

� ∑ �SSQSU 11,2, 12� ?1 ! ⟺ h ∈ W�X>��, !� et

� ���1, 11,0,2� �4+ � , ? �, � 13� � 3! ⟺ ∈

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2/ On détermine : ̂]_���, ̂ ]_�V�, � � W�X>��, !, h�, le vecteur h dépend linéairement

famille liée.

On réécrit � tel que � � W�X>��, !�� � � ��! � 0&b ⇒ � � �� � 0

� � � ��! � 0&b ⟺ � �1,2,3,0� � ⟺ Y 4* �2� 1 �� � 0Donc, ��, !� est une base de �, jklV � W�X>��, �, on vérifie si ��, �

� � � �� � 0&b ⇒ � � �� � 0

� � � �� � 0&b ⟺ � �1, 11,0,2� ⟺ Y 4* �1� 1 9�� �Donc, ��, �� est une base de V, jkl� � V � W�X>��, !� � W�X>��, � � � 13� � 3�, il reste à démontrer que la famille

� � � ��! � ��� � 0&b ⇒ � � ��� � � ��! � ��� � 0&b ⟺ � �1,2, ⟺ =2� 1��, !, �� est une base de � � V de dimension 3

� ∩ V � W�X>��, !� ∩ W�X>��, �

Soit un vecteur m ∈ � ∩ V, il existe � m � � � � ��! � ��� � �a ⟺ � � �1,2,3,0� � ���0, 11,2, 12 � 1 ��

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, ̂ ]_�� � V� et ^]_�� ∩ V�.

dépend linéairement de � et ! car h � 3� 1 !, c—

� et on vérifie si ��, !� est une famille libre.

� ���0, 11,2, 12 � � �0,0,0,0� � 00 ⇒ 4+ � 0? , alors la famille��, !�est libre.

jkl �n� � +.

est une famille libre.

� � ���0, 19, 19,6 � � �0,0,0,0� � 0� 0 ⇒ 4+ � 0? , alors la famille��, ��est libre.

jkl �o� � +.

� � W�X>��, !, �, � , et comme dépend linéairement de

, il reste à démontrer que la famille ��, !, �� est libre telle que � � V �� � �� � 0

� ,3,0� � ���0, 11,2, 12 � � ���1, 11,0,2� � �0,0,� � �� � 0 ⟹ � � 1�� ⟹ 4* � 01 �� 1 �� � 0 ⟹ 12�� 1 �� 1 �� � 0 ⟹ 4, �3� � 2�� � 0 ⟹ 4+ � 0

de dimension 3, jkl �n � o� � ,.

� � , ��, ��, �a ∈ & tels que :

Ym � � � � ��! ⟺ m ∈ W�X>��, !�m � ��� � �a ⟺ m ∈ W�X>��, �? �1,2,3,0� � ���0, 11,2, 12 � � ���1, 11,0,2� ���1, 11,0,2� 1 �a�0, 19, 19,6 � � �0,0,0,0�

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—à—dire ��, !, h� est une

est libre.

dépend linéairement de � et � car � W�X>��, !, ��.

,0,0� 0? et cela implique que

?� � �a�0, 19, 19,6 �

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⟺ p � 1 �� � 0 ⟹ 4, � 4*2� 1 �� � �� � 9�a � 03� � 2�� � �9�a � 0 �3�12�� 1 2�� 1 6�a � 0 �4� ? �3� � �4� ⟺ 3� 1 2�� � 3�a � 0�� � � , �a � 1 � � , �4� ⟺ 4+ � 0Alors : �� � 0, m � � � � ��! ⟺ �� � � , �a � 1 � � , m � ��Où : m � � � �1,2,3,0�, � ∩ V � W�X>Soit : jk l �n ∩ o� � jkl �n� � jkl �c/1 : Soit r � W�X>��� le sev engendré par le vecteur W�X>��, !, �� si :

Y�� � V� ∩ r � 90&b;�� � V� � r � &a ? Soit un vecteur s ∈ �� � V� ∩ r, il existe

Ys � � � � ��! � ��� ⟺ s ∈ �� �s � �a� ⟺ s ∈ r � W�X> � � � ��! � ��� � �a� ⟺ � �1,2 ⟺ p2� 3�12� � 12��, �� � �� ��, �a � 1�� ⟹ ⟹Ys � � � � ��! � ��� � � �1,2,3,0s �Alors, �� � V� ∩ r � 90&b;. �� � V� � r � W�X>��, !, �� � W�X>��, !, �, �� est une base de &a. � �1,2,3,0� � ���0, 11,2, 12 � � ��⟺ p� � �� � �a � 0 �1�2� 1 �� 1 �� � 2�a � 0 �2�3� � 2�� � 3�a � 0 �3�12�� � 2�� � �a � 0 �4�?

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? 0, � � �� ⟹ 4t � 1 *, 4*

0 m � � �1,2,3,0�

�� � �a � � �1, 11,0,2� 1 � � �0, 19, 19,6 � �W�X>���, jk l �n ∩ o� � *.

�o� 1 jkl �n � o� � + � + 1 , � *.

le sev engendré par le vecteur �. Le sev r est supplémentaire de sev

, il existe � , ��, ��, �a ∈ & tels que : � � V� � W�X>��, !, ��W�X>��� ? � 2,3,0� � ���0, 11,2, 12 � � ���1, 11,0,2� 1 �a�1

� � �� 1 �a � 01 �� 1 �� 1 2�a � 0� � 2�� 1 3�a � 02�� � 2�� 1 �a � 0 ? ⟹ 2� 1 �� 1 �� 1 2�a � 0 ⟺ 14�� 1 �� �� 1 �⟹ 1 u� �� � 0 ⟹ 4, � 0 , � � �� � �a � 0 0� � ���0, 11,2, 12 � � ���1, 11,0,2� � �0,0,0,0� �a� � �0,0,0,0�

W�X>��� � W�X>��, !, �, �� � &a , il suffit de monter que la famille

��1, 11,0,2� � �a�1,2,3,1� � �0,0,0,0� ?

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� � � �1,2,3,0�

est supplémentaire de sev � � V �

�1,2,3,1� � �0,0,0,0�

�� � 2�� � 0

0�? suffit de monter que la famille

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3 � �1� ⟺ 3� � 3�� � 3�a � 0�∗�� � �� ��, �4� ⟺ 13�� � 2�� � �a�a � ��, �1� ⟺ � � �� � �� � 0 ⇒� � 12��, �� � �� ��, �a � ��; �2�La famille libre ��, !, �, �� est une base de

c/2 : En déduire un sev engendré par des vecteurs supplémentaire de

base de � ∩ V � W�X>��� par un sev �′% � �0,1,0,0�, �%%% � �0,0,1,0�. Exercice n°07 :

1/ � � W�X>��, �, � � �1,1,0�, �� � � �� � 0&< ⇒ � � �� � 0

� � � �� � 0&< ⟺ � �1,1,0� � � ⟺ = � � 2�� �� � �� �4+ � 0 ⇒ 4*Donc, ��, � est une base de �, jklEn complétant cette base avec un sev supplémentaire de �1,0,0� ∉ � et ��, , �� est une famille libre

� � � �� � ��� � 0&< ⟺ � �1,1 ⟺ =� ��jkl �", #, $� � , � jkl�&��.

2/ V � W�X>��, , ��, � � �11,1,0�� � � �� � ��� � 0&< ⟺ � �11 ⟺ = 1� �� � �� ��� � �� �V � W�X>��, � : � � � �� � 0&< ⇒ � � �� � 0 � � � �� � 0&< ⟺ � �11,1,0� �

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�∗�, �3� 1 �∗� ⟺ 2�� 1 3�� � 0 ⇒ �� � �� ��

a � 0 ⇒ �a � �� ⇒ � � 12�� � � ⟺ 14�� 1 �� �� 1 �� � 2�� � 0 ⇒ 4, � 0; � est une base de &a de dimension 4.

un sev engendré par des vecteurs supplémentaire de � ∩ V dans &par un sev r% � W�X>��%, �%%, �%%%� de la base canonique, soient

� �2,1,1�, ��, � est une famille génératrice de �.

���2,1,1 � � �0,0,0� � 0� 0* � 0? , alors la famille��, �est libre.

jkl �n� � +.

complétant cette base avec un sev supplémentaire de � dans &� . Soit �% �est une famille libre :

� 1,0� � ���2,1,1 � � ���1,0,0� � �0,0,0�

� 2�� � �� � 0 ⟹ 4, � 0� � �� � 0 ⟹ 4* � 04+ � 0 ? et cela implique que

�, � �2,0,1�, � � �1,1,1�, ��, , �� est une famille génératrice de

� 1,1,0� � ���2,0,1 � � ���1,1,1� � �0,0,0� 2�� � �� � 0� 0 ⟹ � � 1��� 0 ⟹ �� � 1��

? ; � � �� � 1�� et cela implique que

� � ���2,0,1 � � �0,0,0�

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� �� � �a � 0 &a, c’est de compléter la

de la base canonique, soient �% � �1,0,0,0�,

.

� W�X>���, tel que � �

cela implique que ��, , �� est libre,

est une famille génératrice de V.

et cela implique que ��, , �� est liée.

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⟺ Y 1� � 2�� �4* � 0 ⇒ 4+Donc, ��, � est une base de V, jkl En complétant cette base avec un sev supplémentaire de �0,1,0� ∉ V et ��, , �� est une famille libre

� � � �� � ��� � 0&< ⟺ � �11 ⟺ =1� � jkl �", #, $� � , � jkl�&��.

3/ r � 9��, !, h� ∈ &�; � 1 2! � 3hSoit � ��, !, h� ∈ r, on peut écrire � �2! 1 3h, !, h� � !�2,1,0� � h�� , �� est une famille génératrice de

� � ��� � 0&< ⇒ � � �� � 0� � ��� � 0&< ⟺ � �2,1,0� � ⟺ Y 2� 1 3�� �4* � 0 ⇒ 4+Donc, � , �� est une base de r, jklEn complétant cette base avec un sev supplémentaire de �0,0,1� ∉ r et � , �, �� est une famille libre

� � ��� � ��� � 0&< ⟺ � �2 ⟺ =2� 1jkl �#*, #+, #,� � , � jkl�&��.

Dans les trois cas, on peut montrer que l’intersection du sev et r � r%) égale à 90&<; et la somme des deux vaut

Rappel –Polynômes

Définition 01 :

La famille finie �xQ�Q∈O, c—à—

appelée base canonique de �Qyxz. On a donc

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� 0+ � 0? , alors la famille��, �est libre.

jkl �o� � +.

complétant cette base avec un sev supplémentaire de V dans &� . Soit V% �est une famille libre :

� 1,1,0� � ���2,0,1 � � ���0,1,0� � �0,0,0� � 2�� � 0 ⟹ 4+ � 0 � �� � 0 ⟹ 4, � 04+ � 0 ? et cela implique que

h � 0; , on peut écrire � � 2! 1 3h alors : �13,0,1� ; on pose � �2,1,0� et � � �13,0,1

est une famille génératrice de r.

0

� � ���13,0,1 � � �0,0,0� � 0+ � 0? , alors la famille� , ��est libre.

jkl �{� � +.

complétant cette base avec un sev supplémentaire de r dans &�. Soit r% �est une famille libre :

�2,1,0� � ���13,0,1 � � ���0,0,1� � �0,0,0� 1 3�� � �� � 0 ⟹ 4, � 04* � 04+ � 0 ? et cela implique que

.

Dans les trois cas, on peut montrer que l’intersection du sev et celui supplémentaire (

et la somme des deux vaut &�.

—d �x|, x , x� … , xQ� ou �1, x, x� … , xQ� est une base du

. On a donc ̂]_��Qyxz� � N � 1 :

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� W�X>���, tel que � �

et cela implique que ��, , �� est libre,

1� où r � W�X>� , ��.

W�X>���, tel que � �

et cela implique que � , �, �� est libre,

celui supplémentaire (� � �%, V � V% et

est une base du �—ev �Qyxz,

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}�x� � m|x| � m x � m�x� � ⋯On appelle combinaison linéaire de �Q tel que : } � � } � ��}� � ⋯ � �Q}Q � ∑QSExercice n°06 :

&�yxz est l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 et

polynômes de &�yxz définis pour tout

} �x� � x�

}��x� � �x 1 1�� � x� 1 2x � 1

}��x� � �x � 1�� � x� � 2x � 1

a/ On montre que la famille � � �} � } � ��}� � ��}� � 0 ⇒ � � ��� } � ��}� � ��}� � 0 ⇔ � x� � ⇔ �� � � Et comme �1, x, x��est une base deDe �1� et �2� �� � �� � 0 ⇒ � �une base de &�yxz. b/ Tout polynôme de la forme }�x�polynômes de cette forme en une base de

fonction des coefficients réels �m|, mm|x| � m x � m�x� ≡ � } � ��}� } � ��}� � ��}� � �� � �� � �m|x| � m x � m�x� ≡ �� � �� ���x� � 12x| ⇔ �� � �� � �� �2�� 1 2�� � 0 ⇒12 � �� � �� ⇒Alors, ��x� � 112} � 6}� � 6}���x� � x� � 2x� 1 x 1 14 ∉ &�y^]_ �&�yxz�, respectivement.

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� m�x� � ∑ mQxQ�QU| ou 9}�x� ∈ �Qyxz; ^��de } , }�, … , }Q tout polynôme } de �Qyxz tel qu’il existe

�S}SQSU

est l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 et � � �définis pour tout x réel par :

, }�, }�� forme une base de &�yxz : � � �� � 0 � ���x� 1 2x � 1� � ���x� � 2x � 1� � 0 �� � ���x� � �2�� 1 2���x � ��� � ��� � 0

de &�yxz, donc : ⇔ � � � �� � �� � 02�� 1 2�� � 0 ⇒ �� � ���� � �� � 0 ⇒ �� � 1�� 0 , ce qui implique que � � �} , }�, }�� est une famille libre

� � � m|x| � m x � m�x� appartient à &�yxz. En déduisant l’écriture des

polynômes de cette forme en une base de &�yxz (ex. � � �} , }�, }��) par la recherche de m , m�� : }� � ��}�

���x� � �2�� 1 2���x � ��� � ���

� ���x� � �2�� 1 2���x � ��� � ���

0 ⇒ 4* � 1*+⇒ 4, � 4+ � �⇒ �� � �� � 6 ? �.

yxz , car ^�� ��� et ^]_ ��� sont supérieurs aux

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^�� �}� ` N;. tel qu’il existe �� , ��, … , �Q� ∈

�} , }�, }�� la famille des

� �1� �2�? est une famille libre et forme

En déduisant l’écriture des

) par la recherche de �� , ��, ��� en

sont supérieurs aux ̂�� �&�yxz� et

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Exercice n°08 :(T. à F.)

Soit � � &�yxz et on considère les deux sous� � 9} ∈ �, }�0� � }�1� � 0; et �Démonter que � ⨁�� � �.

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et on considère les deux sous—espaces vectoriels de � suivants : ; �� � 9} ∈ �, ^�� }�0� ` 1;

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