Fichier n°4

8/8/2019 Fichier n°4

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1er

problème1ère partieOn considère l’équation différentielle (E) : y’ + (0,4 x) y = 0,4 x où y est une fonctionnumérique de la variable réelle x, définie et dérivable sur [0, +[, y’ sa fonction dérivée.1° Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E0) : y’ + (0,4 x) y = 0.2° Montrer que la fonction constante h, définie sur [0, +[ par h(x)=1, est une solution particulière de l’équation différentielle (E). 3° En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E). 4° Trouver la solution particulière F de (E) sur [0, +[ qui vérifie la condition initialeF (0)=0.

2ème partie

Soit f la fonction définie sur [0, +[ par f(x)=0,4 xe-0,2 x². On désigne par C la courbe

représentative de f dans un repère orthogonal (O, ), les unités graphiques étant de 2 cmsur l’axe des abscisses et de 10 cm sur l ’axe des ordonnées.

1°) On admet que x

lim f(x)= 0. Que peut-on déduire pour la courbe C ?

2°) a) Démontrer que, pour tout x de [0, +[, f’(x)= 0,4(1 – 4,0 x) (1+ 4,0 x) e-0,2 x².

b) En déduire le signe de f’(x) sur [0, +[.c) Donner le tableau variation de f sur [0, +[. Quelle est la valeur approchée arrondie

à 10-2 du maximum de la fonction f ?3°) Déterminer l’équation de la tangente T à C au point d’abscisse 0 et la position de C parrapport à T .4°) Tracer la droite T et la courbe C .

2ème

problèmeLe but du problème est l’étude d’une solution particulière de l’équation différentielle (E) : xy’+2 y= 1/ x2 où y désigne une fonction numérique de la variable réelle x, définie etdérivable sur l’intervalle ]0, +[, et y’ sa fonction dérivée. Le plan est muni d’un repère

orthogonal ),,( jiO

d’unités graphiques 1 cm sur l’axe des abscisses et 6 cm sur l ’axe des

ordonnées.

A) Résolution de l’équation différentielle (E) 1) Résoudre dans l’intervalle] 0, + [ l’équation différentielle (E0) : xy’+2 y=0.

2) Vérifier que la fonction définie sur I par (x)=2

ln

x

x

est une solution particulière de

(E).3) En déduire la solution générale de l’équation différentielle (E). 4) Déterminer la solution particulière de (E) dont la courbe représentative passe par lepoint A de coordonnées (1 ; – 1).

B) Étude d’une solution particulière

Soit f la fonction définie sur l’intervalle]0, +[ par f(x)=2

1ln

x

x . La fonction f est

représentée graphiquement par la courbe (C) jointe en annexe.1) Déterminer les limites de f aux bornes de l’intervalle de définition f . En déduire lesasymptotes à la courbe (C).2) Calculer f’(x) où f’ désigne la fonction dérivée de f . Étudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variation..3) Déterminer les coordonnées du point B intersection de la courbe (C) avec l’axe desabscisses.4) désigne un nombre réel strictement supérieur au nombre e.

a) À l’aide d’une intégration par parties, calculer en fonction de l’intégrale :

I (

e

dx x f )( . En déduire en cm2, l’aire du domaine plan délimité par la

courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équation x=e et x= .b) Calculer la limite de cette aire lorsque tend vers +.

Annexe au 2ème problème

e

C)

Le domaine hachuré est délimité par (C), l’axe des abscisses et les 2 droitesd’équation x=e et x=

ji

,



1er

problème____________

Corrigé de la 1ère partie

1° On écrit pour 0 x, r(x)= )2(2,01

4,0 x

x

et R(x)=0,2 x2 : R’(x)=r(x).

Sur [0, +[ les solutions de (E0) sont toutes les fonctions x ↦ C 22,0 x

e où C est une constante

réelle.

2° Pour 0 x, h(x)=1 et h’(x)=0 alors h’(x)+0,4 xh(x)= 0+0,4 x1 soit : h’(x)+0,4 xh(x)= 0,4 x.C’est la preuve que h est une solution particulière de (E) sur [0, +[.

3° (E0) est l’équation homogène associée à l’équation différentielle linéaire (E). A la solutionparticulière h de (E), on ajoute toutes les solutions de (E0) pour obtenir toutes les solutions de

(E). Il s’agit de toutes les fonctions, définies sur [0, +[, x ↦ 1+ C 2

2,0 x

e où C est une

constante réelle.

4° Pour F solution particulière de (E) sur [0, +[, on écrit pour 0 x, F(x)= 1+ C 2

2,0 x

e où C

est une constante réelle. Alors F(0)=1+Ce0 = 1+C . F(0)=0 pour C= -1.

Finalement pour 0 x, F(x)= 1 – 2

2,0 x

e .

Corrigé de la 2ème partie1°)

x

lim f(x)= 0 s’écrivant aussi x

lim ( f(x) – 0)= 0, on en déduit que la droite d’équation y = 0

( c’est l’axe des abscisses) est asymptote à C .2°) a) Pour 0 x,

f’(x)=0,4[1. e-0,2 x² + x(-0,2)2 xe-0,2 x² ]= 0,4[1 – 0,4 x2] e-0,2 x² =0,4[1 – ( )²].4,0( x e-0,2 x² soit f’(x)=0,4(1 – 4,0 x)(1+ 4,0 x) e

-0,2 x² pour tout x de [0, +[.

b) et c) Pour 0 x, 0< 0,4 et 0< e-0,2 x², de plus 0 4,0 x et 0<1d’où 0< 1+ 4,0 x. D’après

l’égalité encadrée du a) f’(x) est du signe de 1 – 4,0 x pour 0 x .

Soit α=1/ 4,0 , α²=1/0,4=2,5 et f(α)=0,4/ 4,0 e-0,22,5 d’où f(α)= 4,0 e

-0,50,38.

On a le tableau de variation suivant :

x 0 α + f’(x) 0,4 + 0 – f(x) 0 f(α) 0

f(α) est le maximum de la fonction f sur [0, +[.

3°) f’ (0)=0,4 est le coefficient directeur de T qui passe par le point O de coordonnées 0 et0= f (0). T a pour équation y=0,4 x .

Avec 0 x, la position du point M de C abscisse x par rapport à T est donnée par le signe de ladifférence w(x)=f(x) – 0,4 x soit w(x)=0,4 x(e-0,2 x² – 1).



◇ Pour x=0, w(0)=0 : M est sur C .

◇ Pour 0 < x, -0,2 x²<0 d’où e-0,2 x²< e

0=1 et e-0,2 x² – 1< 0. Comme 0< 0,4 x, on obtient

0,4 x(e-0,2 x² – 1)< 0 soit w(x) < 0 : M est au-dessous de C .

Finalement C est au-dessous de T , O étant le point de contact de T et C .4°) Voilà la figure demandée : On place aussi la tangente à C, horizontale au point d’abscisseα.

T

f(α)

C

α

2ème

problème

A) Résolution de l’équation différentielle (E)

c est une constante réelle.

C’est la preuve que φ est une solution particulière sur ]0 ; +∞[ l’équation différentielle (E).

3) À la solution particulière φ de (E) on ajoute toutes les solutions de (E0) ( l’équationhomogène associée à (E) ) pour obtenir toutes les solutions de (E).

est une constante réelle.



La courbe représentative de f passe par le point A de coordonnées (1 ; – 1) à la seule condition

que f(1) = – 1, ce qui équivaut c = – 1.

B) Étude d’une solution particulièreLa fonction f de cette partie est la solution de l’équation (E) trouvée à la question A)4).

C'est la preuve que l’axe des ordonnées est asymptote verticale à (C) et que l’axe desabscisses est asymptote horizontale à (C).

On obtient alors le tableau de variation suivant de f :

On a e1,5 ≈ 4,48

B a alors comme coordonnées e et 0 .

Pour la suite on a le tableau de signe suivant :

x 0 e1,5 +∞

f ’(x) || + 0 –

f

f(e1,5)0

– ∞



4) a) On a pour 0 < , ) = −1

1 − l n ) ; on fait une intégration par partiesen écrivant pour 0 < , ) = 1 − ln ; ) = − 1 ;) = − 1 ; ) = 1 ; )) = − 1

et sont encore dérivables et continues sur ]0; +∞[. ) = 1 1 − l n )

− − 1 où ln = 1 et ainsi ∶

) =1 1 − l n ) − 0 −

1

=1 −

ln −

1 −

1 soit : ) =

1 −

ln .

Avec ≤ ≤ , 0 ≤ ) . Le rectangle construit à partir de O , , a pour aire en cm, 6 × 1 = 6. On en déduit que l'aire du domaine hachuré vaut en cm, 6 . ) .4) b) Comme lim→ ln =0, on a lim→ )= 1 et lim→ 6.)= 6 . 6 est donc la limite de l'aire exprimée en cm du domaine hachuré lorsque tend vers+∞ .

De plus 6 ≈2,21.

x 0 e

+∞

f || – 0 +

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