FIN1163 Ingénierie financière: produits dérivés

Sébastien Blais

Département des sciences administratives, UQO

21 septembre 2016

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Semaine dernière

Structure des marchés à terme

Stratégies de couverture et d’investissement

Cette semaine

Introduction aux marchés de taux

Détermination des prix à terme

Semaine prochaine

Marchés de taux et dérivés de taux

Aujourd’hui

Chapitres 4 et 5

1 Introduction aux marchés de taux

2 Modèles d’évaluations

3 Prix à terme

Introduction aux marchés de taux

Aujourd’hui

1 Introduction aux marchés de taux

Introduction aux marchés de taux

Les marchés de taux

Les marchés de taux sont des marchés de gré à gré.

L’évaluation des produits dérivés requiert l’actualisation deflux monétaires...

La valeur d’une obligation est une fonction des tauxd’intérêt: c’est une évaluation relative.

Si le prix d’une obligation peut être exprimé par unefonction P = f (R) d’un taux, il existe une fonction inversequi exprime le taux R = g (P) en fonction du prix.

Le taux est plus facile à interpréter que le prix et il est doncplus utilisé en pratique: on cote les taux plutôt que les prix.

Remarque: On verra plus tard une situation similaire. Dans lecas des options, le prix est une fonction de la volatilité: on coteles volatilités plutôt que les prix.

Introduction aux marchés de taux

Types de taux

On peut catégoriser les taux selon leur risque de créditSouverain

Emprunts à court et long termes d’états (et certainessociétés d’états) ou d’institutions internationales (Banquemondiale, etc.)

InterbancairesEmprunts à court et long termes entre grandes institutionsfinancières (Fed funds, LIBOR, CDOR, AB, swaps)

RepoEmprunts garantis par un titre qui prend la forme d’unevente et d’un engagement à racheter à un prix fixe(CORRA)

Introduction aux marchés de taux

Repos et prêts de titres

L’investisseur A reçoit une somme X en espèces et remet destitres à l’investisseur B. Un mois plus tard, l’investisseur B rendles titres à l’investisseur A et reçoit une somme Y en espèces.

On peut interpréter cette transaction de deux manières:1 L’investisseur A a emprunté des fonds à l’investisseur B et

a donné des titres en collatéral (repo).2 L’investisseur B a emprunté des titres à l’investisseur A et a

donné des fonds en collatéral (prêt de titres).

Le taux d’intérêt implicite de cette transaction, Y−XX , dépend

notamment de la rareté des titres.

Introduction aux marchés de taux

Ventes à découvert

Une opération de prêt de titres est habituellement associée àune vente à découvert.

Quelle est la perte maximale associée à une vente àdécouvert?

Introduction aux marchés de taux

Le taux sans risque

Les modèles d’évaluation d’actifs financiers reposent souventsur la notion abstraite de taux sans risque.

En plus d’être abstrait, ce taux est supposé s’appliquer tant auxemprunts qu’aux placements...

Avant la crise de 2008, on utilisait généralement les tauxinterbancaires: les banques étaient loin d’être “sans risque”pendant la crise et les taux ont augmenté dramatiquement.

Depuis, on utilise davantage les taux repo pour l’évaluation desproduits dérivés.

Introduction aux marchés de taux

Structure à terme

Les taux d’intérêts varient avec le terme (l’échéance):emprunter à long terme coûte (généralement) plus cherd’emprunter à court terme.

Tableau 4.2Terme (années) Taux(%)

1 2,52 2,93 3,24 3,4

On parle de structure à terme ou de courbe de taux.

Comment interpréter ces taux?1 base de calcul2 flux intermédiaires

Introduction aux marchés de taux

Cotation des taux

Dire qu’on va rembourser 110$ dans un an pour avoiremprunté 100$ aujourd’hui est parfaitement clair.

Au contraire, un taux d’intérêt ne veut rien dire sans préciser sabase de calcul. On peut dire, de manière équivalente, que letaux est:

R = 110100 − 1 = 0, 10000 (base annuelle)

R2 = 2 ×

(

√

110100 − 1

)

= 0, 09762 (base semi-annuelle)

R365 = 365 ×

(

(

110100

)1

365 − 1

)

= 0, 09532 (base quotidienne)

Rc = ln(

110100

)

= 0, 09531 (base quotidienne)

Introduction aux marchés de taux

Exemples

La base de calcul est une convention de marché...

Les obligations sont négociées en taux plutôt qu’en prix.

Pour savoir combien coûte une obligation achetée à 5,4%,on doit savoir qu’elle est cotée sur une base semi-annuelle.

ou une norme prescrite

Selon la norme GIPS (Global Investment PerformanceStandards) la performance d’un portefeuille doit êtreprésentée sur une base annuelle.

Introduction aux marchés de taux

Coupons et zéro-coupons

Un taux zéro-coupon est le rendement d’un investissement quin’a pas de flux intermédiaires avant son échéance. C’est trèsrare en pratique, sauf pour les échéances courtes (souventcotées à escompte par ailleurs).

Autrement, on cote deux taux1 rendement à maturité: rentabilité (base souvent

semi-annuelle) de l’obligation si on la détient jusqu’àéchéance.

2 taux au pair: coupon qui ferait en sorte que le prix del’obligation serait égal à 100.

Voyons, donc, comment on évalue une obligation à partir destaux zéro-coupon...

Introduction aux marchés de taux

Évaluation d’une obligation

La manuel utilise une base continue, ce qui est plutôt rare maistout à fait correct. (Pourquoi?)

période (n) temps (tn) taux (Rc,tn )1 30/365 0, 0202 202/365 0, 0213 395/365 0, 023

...

Si l’obligation a une valeur notionnelle de 100$ et paie uncoupon c (par exemple c = 5, donc 2, 5$ aux six mois) et le ,son prix est

prix =N∑

n=1

c2

e−tn×Rc,tn + 100e−tN×Rc,tN .

Introduction aux marchés de taux

Rendements implicites

1. Rendement à maturité: On cherche la valeur de y quisatisfait l’équation

prix =

N∑

n=1

c2

e−tn×y + 100e−tN×y.

Remarque: On calcule un rendement à partir d’un prix. Lerendement et le prix sont équivalents.

2. Rendement au pair: On cherche la valeur de c qui satisfaitl’équation

100 =N∑

n=1

c2

e−tn×Rc,tn + 100e−tN×Rc,tN .

Remarque: On calcule un taux à partir des taux zéro-coupon.Les solutions s’obtiennent facilement avec MsExcel.

Introduction aux marchés de taux

Conversions des taux

On sait déjà (!) comment passer d’une base de calcul à uneautre...

On sait aussi comment passer des taux zéro-coupons au prixet taux au pair.

Remarque: tous ces calculs sont exacts.

Comment passe-t-on des rendements à maturité (ou des prix)aux taux zéro-coupons?

Une méthode est celle du bootstrap (une approximation, saufpour des exemples pédagogiques).

Introduction aux marchés de taux

Méthode du bootstrap

La méthode consiste à déduire les taux zéro-coupon à partirdes prix d’obligations, en débutant par l’échéance la pluscourte. Le résultat est exact si on a tous les prix nécessaires.

Tableau 4.3Échéance Coupon Prix

0,25 0 97,50,50 0 94,91,00 0 90,01,50 8 96,02,00 12 101,6

Remarque: on aurait pu partir des rendements à maturité.

Introduction aux marchés de taux

De second prix, on déduit que le taux zero-coupon à 0,5 annéeest de

94, 9 = 100 × e−Rc,0,5×0,5

Rc,0,5 = −4 × ln (0, 949)

= 0, 10469

De troisième prix, on déduit que le taux zero-coupon à 1,0année est de

90 = 100 × e−Rc,1×1

Rc,0,5 = −1 × ln (0, 90)

= 0, 10536

Introduction aux marchés de taux

Du quatrième prix, on déduit que le taux zero-coupon à 1,5année est de

96, 0 = 4 × e−0,10469×0,5 + 4 × e−0,10536×1,0 + 104 × e−Rc,1,5×1,5

88, 604 = 104 × e−Rc,1,5×1,5

Rc,1,5 = −1

1, 5× ln

(

88, 604104

)

= 0, 10681

Remarque: en pratique, il n’y a pas suffisamment de prixdisponibles et on doit faire une approximation pour obtenir lacourbe zero-coupon.

Introduction aux marchés de taux

Sommaire et notation

Pour qu’il n’y ait pas d’ambiguïté sur ce que représente un tauxd’intérêt, on doit préciser

1 la base de calcul2 la date de cotation3 le terme (maturité/échéance)4 s’il s’agit d’un taux zéro-coupon, à maturité ou au pair5 le risque de crédit (sans risque, souverain, interbancaire,

collatéralisé)6 (la devise)

La notation serait lourde si on incluait toutes ces informations(RC,t,T,zc,sr,CAD)... On ne précisera que ce qui est utile selon lecontexte.

Par exemple, on utilisera souvent r pour représenter le tauxcontinu, aujourd’hui pour la période d’investissement, zéro couponsans-risque en dollars canadiens.

Modèles d’évaluations Prix à terme

Aujourd’hui

2 Modèles d’évaluations

3 Prix à terme

Modèles d’évaluations Prix à terme

Modèles d’évaluation

(Un modèle est une simplification utile de la réalité.)

Plusieurs forces déterminent le prix d’un actif financier

offre et demande (évaluation absolue)

arbitrage (évaluation relative)

Le concept d’arbitrage permet l’évaluation relative d’un actif(par rapport à la valeur d’autres actifs).

Lorsque l’actif sous-jacent n’est pas un actif d’investissement,la valeur d’un produit dérivé est davantage influencé par l’offreet la demande.

Modèles d’évaluations Prix à terme

Évaluation par arbitrage

Pour utiliser un argument d’arbitrage, certaines conditionsdoivent être rencontrées:

Pas de frais de transaction.

Fiscalité identique pour tous les investisseurs.

Possibilité d’emprunt et de prêt au même taux, pour tous.

Les investisseurs détectent les opportunitésinstantanément et en profitent.

(Possibilité de ventes à découvert)

Il suffit que ces conditions soient satisfaites pour un nombresuffisamment grand d’investisseurs.

Si ces conditions ne sont pas satisfaites, le modèle peut quandmême constituer une bonne approximation.

Modèles d’évaluations Prix à terme

Aujourd’hui

2 Modèles d’évaluations

3 Prix à terme

Modèles d’évaluations Prix à terme

Prix à terme

Le prix à terme d’un actif dépend notamment de sescaractéristiques

Flux intermédiaires?

Rendement (approximativement) continu?

Coût d’entreposage?

Actif financier ou de consommation?

Le prix dépend aussi des options de livraison.

Modèles d’évaluations Prix à terme

Cas de base et notation

Considérant un contrat sur un actif financier avec

T: le délai jusqu’à la livraison, en années

S0: le prix au comptant

F0: le prix à terme

r: le taux zéro-coupon sans risque continu pour prêt ouemprunt pendant T années.

Par absence d’arbitrage, le prix à terme doit satisfaire

F0 = S0erT .

Remarque: Le prix à terme ne dépend pas des attentes desinvestisseurs concernant l’évolution du prix à terme.

Modèles d’évaluations Prix à terme

Flux intermédiaires

Si la valeur actualisée du flux intermédiaire est I, par absenced’arbitrage, le prix à terme doit satisfaire

F0 = (S0 − I) erT .

Si l’actif sous-jacent verse un rendement continu de taux q, parabsence d’arbitrage, le prix à terme doit satisfaire

F0 = S0e(r−q)T .

Modèles d’évaluations Prix à terme

Coûts d’entreposage et portage

Si on exprime les coûts d’entreposage comme un taux u, parabsence d’arbitrage, le prix à terme doit satisfaire

F0 = S0e(r+u−q)T .

Le coût de portage est le coût net de détenir l’actif sous-jacent,

c = r + u − q.

Modèles d’évaluations Prix à terme

Actif de consommation

Lorsque le sous-jacent n’est pas un actif d’investissement,l’argument d’absence d’arbitrage ne s’applique qu’aux achatset le prix à terme doit satisfaire

F0 ≤ S0ecT .

On peut rétablir l’égalité en définissant un rendementd’opportunité y ≥ 0:

F0 = S0e(c−y)T .