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Rapport de PREEtude de problèmes au bilaplacien avec changement de signe.
rédigé par Jérémy FIROZALY (promotion 2013)sous la direction d’Anne-Sophie Bonnet-Bendhia,
au sein de l’unité de mathématiques appliquées de l’ENSTA ParisTech,32 Boulevard Victor, 75015 Paris.
Août 2012
Rapport non confidentiel et publiable sur internet.
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Remerciements
Mes remerciements s’adressent tout d’abord à ma tutrice de stage,Anne-Sophie BONNET, enseignant chercheur à l’UMA, qui m’aencadré quotidiennement pendant ces trois mois et m’a donné lesoutils nécessaires pour m’initier à la recherche ainsi qu’à LucasCHESNEL qui m’a soumis la problématique sur laquelle j’ai tra-vaillé et a coordonné l’évolution de mon travail de recherche.
Par ailleurs, je souhaitais remercier chaleureusement l’ensembledes enseignants chercheurs et membres de l’UMA qui m’ontproposé ponctuellement leur aide : Sonia FLISS, ChristopheHAZARD, Patrick CIARLET, Marc LENOIR, Jean-FrançoisMERCIER, Laurent BOURGEOIS, Frédéric JEAN, Eric LUNE-VILLE, Patrick JOLY et Christophe MATHULIK.
Enfin, mes pensées vont vers mes amis thésards et stagiairesdu laboratoire qui m’ont guidé durant ces trois mois : NicolasCHAULET, Nicolas SALLES, Giovanni GRANATO, CamilleCARVALHO, Maxence CASSIER, Maxime CHUPIN et MathieuCHAMAILLARD.
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Résumé
Les équations au bilaplacien se retrouvent, dans les écoulementsde Stokes ou dans des problèmes de transmissions intérieuresdans le cadre de la théorie de la diffraction. Il est important desavoir dans quelle situation le problème, est bien posé au senssuivant : considérant un espace variationnel adapté, un problèmeest bien posé lorsqu’il y a existence et unicité de la solution outout du moins, que l’opérateur fonctionnel soit de type Fredholm.Cette propriété dépend à la fois de la géométrie du domaine 2Ddans lequel on se place mais aussi des variations spatiales del’indice, notamment lorsqu’il varie autour de 1.
Durant mon stage, j’ai étudié les cas où l’indice est constant (onparle du cas "sans contraste") puis constant par morceaux, pourun secteur semi-circulaire infini avec des conditions aux limites detype Dirichlet/Neumann mêlées à des conditions de raccord. Cerapport a pour objet l’étude de différentes configurations, c’est-à-dire, des géométries changeantes, tout comme cela a été réalisédans la thèse de Lucas CHESNEL. L’étude du cas où l’indice restetoujours du même côté de la valeur 1 sera abordée en premier lieucar on peut rapidement montrer que le problème est bien posé.Une étude de la régularité locale des solutions sera réalisée, toutd’abord dans le cas à indice constant puis indice variable. Dansun second temps, on étudiera le cas où l’indice varie autour de 1mais reste du même côté de 1 dans un voisinage de la frontière etenfin, lorsqu’il varie autour de 1 jusqu’au bord du domaine. Dansces trois parties sera étudiée l’existence de certaines solutionsparticulières, appelées singularités, qui permettent d’étudier larégularité des solutions près des bords et dans certains cas, demontrer que le problème est mal posé.
mots-clés :
– Bilaplacien ;– opérateur de Fredholm ;– singularités.
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Table des matières
Table des matières 6
Table des figures 7
1 Etude de cas lorsque σ ne change pas de signe 81.1 Théorie variationnelle, étude du caractère bien posé . . . . . 91.2 Etude de la régularité de la solution. . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Cas sans contraste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2 Cas avec contraste strictement positif . . . . . . . . . 19
1.3 Cas avec contraste strictement négatif . . . . . . . . . . . . . 21
2 Etude de cas lorsque σ reste du même signe dans un voisi-nage de la frontière. 232.1 Quelques rappels sur les opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Caractère Fredholm de l’opérateur . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Etude de cas lorsque σ change de signe jusqu’au bord dudomaine. 263.1 calcul de singularités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2 contradiction du lemme de Peetre . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Bibliographie 32
A Lemme de Peetre (preuve) 33
B exposants de singularité et régularité 35
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Table des figures
1.1 Domaine Oméga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Secteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 sinus cardinal carré sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 singularité pour β = 0.55π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5 singularité pour β = 0.95π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6 singularité pour β = π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.7 singularité pour β = 1.25π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8 singularité pour β = π et k = 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 191.9 singularité pour β = π et k = 1.9 . . . . . . . . . . . . . . . . 201.10 singularité pour β = π et k = 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 201.11 singularité pour β = π et k = 3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . 201.12 singularité pour β = π et k = −3.1 . . . . . . . . . . . . . . . 211.13 singularité pour β = π et k = −8 . . . . . . . . . . . . . . . . 211.14 singularité pour β = π
2 et k = −4.9 . . . . . . . . . . . . . . . 221.15 singularité pour β = 1.3π et k = −4.9 . . . . . . . . . . . . . 22
2.1 omega borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1 singularité sur l’axe Re(λ) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
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Chapitre 1
Etude de cas lorsque σ nechange pas de signe
Notations et présentation du problème général
Considérons Ω un ouvert connexe de R2. On note L2(Ω) l’espace de Hilbertdes fonctions à valeur complexe de carré intégrable sur Ω, H1(Ω) le sous-espace des fonctions de L2(Ω) dont toutes les dérivées premières sont aussidans L2(Ω), C∞0 (Ω) l’espace des fonctions infiniment dérivables à supportcompact dans Ω. Notons L∞(Ω) l’ensemble des fonctions complexes bornéessur Ω et H−1(Ω) l’espace dual de H1(Ω).
On notera à la fois (., .)Ω le produit scalaire usuel sur L2(Ω) et celui surL2(Ω)2 et ||.||Ω les normes associées. On munit H−1(Ω) de la norme subor-donnée ||.||H−1(Ω).
On définit H10 (Ω) et H2
0 (Ω) comme les fermetures respectives de C∞0 (Ω)pour les normes H1 et H2 et on munit H2
0 (Ω) du produit scalaire :(u, v) 7→ (∆u,∆v)Ω. Ceci permet de définir ||.||H2
0 (Ω).Dans toute la suite, on considère une partition de l’ouvert Ω en deux ouvertsconnexes Ω1 et Ω2 d’indices respectifs n1 et n2.On pose σ1 = 1/(n1 − 1) et σ2 = 1/(n2 − 1). Lorsque l’ouvert Ω est borné,sa frontière ∂Ω sera supposée lipschitzienne.
Figure 1.1 – Domaine Oméga
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1.1 Théorie variationnelle, étude du caractère bienposé
On considère la configuration ci-dessus (même si l’on pourrait généraliserà d’autres géométries), où Ω est à frontière C2 avec un contraste k = σ1/σ2strictement positif où σ1 et σ2 constants. La fonction globale est notée σ.Notons Σ la frontière entre Ω1 et Ω2 w sa normale ainsi que n la normalesortante à ∂Ω.
Soit f ∈ C∞0 (Ω), on cherche à résoudre le problème suivant. Trouveru∈ H2
0 (Ω) telle que : ∆(σ∆u) = f . En notant u1 et u2 les restrictions de u àΩ1 et Ω2, on peut le réécrire de la façon suivante :
σ1∆∆u1 = f sur Ω1
σ2∆∆u2 = f sur Ω2
u1 = ∂u1∂n = 0 sur ∂Ω1 \ Σ
u2 = ∂u2∂n = 0 sur ∂Ω2 \ Σ
u1 − u2 = ∂u1∂w −
∂u2∂w = 0 sur Σ
σ1∆u1 − σ2∆u2 = 0 sur Σσ1
∂∆u1∂n − σ2
∂∆u2∂n = 0 sur Σ
Théorème 1 (Lax-Milgram) Soit H un espace de Hilbert, l(.) une formelinéaire continue sur H, a(.,.) bilinéaire et continue sur H. Alors, le problèmea(u, v) = l(v) ∀v∈H possède une unique solution.
Preuve : Voir chapitre 1, section 1.4.3 de [1]
La formulation variationnelle du problème est de la forme précédenteavec H = H2
0 (Ω) muni de la norme H2,
a(u, v) =∫
Ωσ∆u∆vdΩ
etl(v) =
∫ΩfvdΩ
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Pour obtenir la forme bilinéaire a (ou plutôt sesquilinéaire dans le cascomplexe), on a utilisé deux fois la formule de Green avec les conditionsaux limites essentielles dans H2
0 (Ω) et les conditions de raccord en α. Lacontinuité de a et de l provient de l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour leproduit scalaire sur L2(Ω) puis des majorations des normes L2 des fonctionsu et v et de leurs laplaciens par la norme H2 des fonctions. (σ ne causantaucun problème car bornée).
Pour la coercivité de a, sachant que σ ne pose pas de problèmes (il suffitde considérer le minimum entre σ1 et σ2 qui est strictement positif), elleprovient directement de l’équivalence entre la norme précédemment poséesur H2
0 (Ω) et la norme H2. Pour une preuve, voir le le théorème IX.26 de [2]et pour une généralisation dans le cas où Ω est polygonal non nécessairementconvexe, voir le théorème 2.2.3 de [3].
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1.2 Etude de la régularité de la solution.
1.2.1 Cas sans contraste
Nous reprenons ici intégralement l’étude effectuée dans le chapitre 3 de[3] car la dernière partie de son étude correspond au cas du secteur sanscontraste. Pour les détails techniques, on se reportera directement à l’ouvrage,ici n’étant proposé que le fil conducteur et la philosophie générale adoptée.
Son objectif était d’étudier la régularité des solutions des équations aubilaplacien avec f∈ L2(Ω), dans le cas où Ω constitue un domaine polygonal.
Il a d’abord utilisé la technique variationnelle (en montrant l’équivalenceentre le problème variationnel et le problème initial) tout comme fait précé-demment dans ce rapport pour montrer qu’il existe une unique solution duproblème suivant dans H2
0 (Ω) :∆∆u = f dans Ωu = ∂u
∂n = 0 sur ∂Ω
Pour le résultat de régularité interne, loin des coins, il a démontré que lasolution était en fait dans H4(Ω). L’idée de la démonstration est la suivante :il a réalisé le produit avec une fonction ϕ ∈ C∞0 (Ω) et réécrit le nouveauproblème vérifié par le produit. Il a ensuite effectué une transformée deFourier (possible car comme ϕ est à support compact dans Ω on peut seplacer sur tout R2 cela ne change rien). La transformée de Fourier étantune isométrie de L2(Ω), le second membre reste dans L2(Ω) (théorème dePlancherel) et on en déduit grâce à l’égalité avec le premier membre, que ϕuest bien dans H4(Ω).
La régularité de la solution sur la frontière, loin des coins, est aussiH4(Ω) mais ne peut être obtenue par une technique de réflexion classique.Il commence déjà par montrer le résultat pour un problème auxiliaire plussimple et décompose la solution initiale u sous la forme d’une somme d’unélément du noyau d’un opérateur voisin du bilaplacien et de la convolutionde la solution du problème plus simple par une fonction de Green. Pourla fonction du noyau, il passe par une transformée de Fourier sur R2 pourmontrer le résultat voulu.
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Pour étudier la régularité près d’un coin, Grisvard effectue un change-ment de coordonnées en polaire et effectue le produit avec une fonction detroncature pour faire une localisation et se ramener à l’étude de la régularitésur un secteur infini :
Figure 1.2 – Secteur
Afin de pouvoir effectuer une transformée de Fourier selon le rayonr, il réalise le changement de variables r = exp(t) pour se ramener dansune bande infinie : ceci constitue la méthode de Kondratiev. L’équation dedépart devient une équation différentielle en θ paramétrée par des coefficientsdépendant de la variable conjuguée de t par la transformée de Fourier notéeτ . Munie des conditions aux limites traduisant les divers nullités sur le bord,l’équation homogène correspondante n’admet que la solution nulle sauf pourun ensemble dénombrable de valeurs complexes de τ que l’on appelle valeurspropres.
En repassant en transformée de Fourier inverse, utilisant la formule deCauchy et le théorème des résidus, on arrive à une décomposition explicitede la solution de départ en fonction de ces valeurs propres.
Enfin, il repasse à une étude globale en décomposant la solution commesomme d’une fonction de H4(Ω) et d’une fonction dépendant de ces valeurspropres.
A travers la définition des valeurs propres, nous venons ici d’effleurer unenotion qui prendra toute son importance dans le cas avec contraste : celle desingularité. Une singularité est une solution non nulle du problème homogèneet elle permet, comme fait précédemment, une étude de la régularité dessolutions. Avec un contraste négatif, lorsqu’elle n’appartient pas à l’espacevariationnel H2
0 (Ω), elle permet de contredire l’estimation du lemme de Peetreet de déduire que l’opérateur n’est pas de Fredholm.
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J’ai recherché de façon intuitive, en coordonnées polaires pour le cas où Ωest un secteur infini, les singularités aux problèmes avec et sans contraste dela forme particulière de fonctions à variables séparées u(r, θ) = rλg(θ) avec λcomplexe (la justification de la forme choisie pour la fonction radiale viendraultérieurement). Dans le cas sans contraste, Grisvard a montré qu’il s’agissaitdes seules que l’on peut trouver. On pouvait aussi utiliser une décompositionen série de Fourier en θ comme fait dans la proposition 3.3.1 de [9]. Dans lecas avec contraste, il ne m’a pas été possible de montrer un tel résultat carje ne pouvais plus effectuer de transformée de Fourier à cause des conditionsde raccord.
Avant d’exposer les calculs de la recherche des exposants de singularités,introduisons le lemme suivant qui permet de donner des conditions sur λpour assurer une certaine régularité des singularités :
Lemme 1 :
On a u ∈ L2(Ω) si et seulement si Re(λ) > −1.
On a u ∈ H1(Ω) si et seulement si Re(λ) > 0.
On a u ∈ H2(Ω) si et seulement si Re(λ) > 1.
On a u ∈ H3(Ω) si et seulement si Re(λ) > 2.
On a u ∈ H4(Ω) si et seulement si Re(λ) > 3.
Preuve : Une démonstration est proposée en annexe B.
Dans les calculs correspondant à la recherche des singularités, on se placedans le cas avec contraste, où σ est une fonction de θ uniquement et danscette section, il suffira de ne pas considérer les conditions de racccord et deremplacer σ par 1. On pose β l’angle du secteur et on considère un angleα < β. Avec les nouvelles notations, le problème se réécrit :
σ1∆∆u1 = 0 sur Ω1
σ2∆∆u2 = 0 sur Ω2
u1 = ∂u1∂θ = 0 en θ = β
u2 = ∂u2∂n = 0 en θ = 0
u1 − u2 = ∂u1∂θ −
∂u2∂θ = 0 en θ = α
σ1∆u1 − σ2∆u2 = 0 en θ = α
σ1∂∆u1∂θ − σ2
∂∆u2∂θ = 0 en θ = α
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Remarquons que la recherche de singularités, c’est-à-dire de fonctionsnon nulles solutions du problème homogène n’est pas en contradiction avecle fait que la seule solution homogène au problème de départ, bien posé, estla fonction nulle. En effet, par les transformations effectuées et la techniquede localisation, les singularités ne vérifient pas les conditions aux limites dedépart sur le domaine polygonal.
On voit que σ n’intervient explicitement que dans les conditions deraccord en α car il se simplifie par linéarité de la dérivation dans chacun desdomaines. Par ailleurs, on a pu écrire deux équations séparées sur chacun desdomaines à partir de l’équation globale ∆(σ∆u) = 0 en polaire grâce à cesmêmes conditions de raccord, qui ont permis de passer de la dérivée secondeglobale en θ au sens des distributions à une dérivée seconde usuelle sur Ω1 etΩ2 en utilisant successivement deux fois la formule des sauts pour σ(θ)∆u.Sur chacun des domaines (en négligeant les indices), après simplification,et considérant des singularités de la forme f(r)g(θ), on arrive à l’équationsuivante après avoir multiplié par r4
f(r)g(θ) :
r4f (4)(r) + 2r3f (3)(r)− r2f ′′(r) + rf ′(r)f(r) +2r2g′′(θ)f ′′(r)
f(r)g(θ) +g(4)(θ)g(θ) −
2rf ′(r)g′′(θ)f(r)g(θ) +4g′′(θ)
g(θ) = 0
On voit alors qu’on ne peut directement séparer d’un côté les fonctionsen r et de l’autre en θ sauf si l’on considère des fonctions f telles que ladérivation soit équivalente à la perte d’un exposant. C’est ici que se justifiele choix de considérer des fonctions f(r) = rλ. En posant d = λ − 1 on seretrouve avec la même équation que dans 3.2.3 de [3] :
(d4 − 2d2 + 1)g(θ) + (2 + 2d2)g′′(θ) + g(4)(θ) = 0
Par le théorème de Cauchy-Lipschitz (version linéaire), l’ensemble dessolutions forme un espace vectoriel de dimension 4 dont les fonctions de basedépendent de la valeur de λ :
– Pour λ = 0 ou 2, les fonctions de base ont pour expression 1,θ,sin(2θ),cos(2θ) ;
– Pour λ = 1, les fonctions de base ont pour expression θcos(θ), θsin(θ),sin(θ), cos(θ) ;
– Pour λ ∈ C\0, 1, 2, les fonctions de base ont pour expression sin(λθ),cos(λθ), sin((λ− 2)θ), cos((λ− 2)θ).
Remarquons que l’équation est stable par passage au conjugué et estpaire en d. Ce qui signifie que si λ est un exposant de singularité, 2-λ aussi.Dans le cas sans contraste, on écrit u comme combinaison linéaire de 4 fonc-
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tions sur tout le domaine Ω et devant respecter les 4 conditions aux limitesessentielles dans H2
0 (Ω). On se retrouve avec un système de 4 équations à4 inconnues (les 4 coefficients de la combinaison linéaire) qui n’admet unesolution non nulle que si son déterminant est nul.
Dans le cas avec contraste, on écrira u1 et u2 comme de telles combi-naisons dans chacun des domaines (donc 8 inconnues) et on complètera lesconditions aux limites avec les 4 conditions de raccord.
Dans le cas sans contraste, on aboutit au même déterminant que danslemme 3.2.3 [3], à savoir que λ est une singularité si et seulement si :
sin2((λ− 1)β) = (λ− 1)2sin2(β). (1.1)
Lorsque β = π, on a directement que l’ensemble des exposants de singu-larités est Z, un ensemble discret et infini. Nous allons généraliser ce constatà tous les angles β c’est-à-dire qu’on aboutit à un sous-ensemble infini de Cdénombrable.
La fonction h :z7→ sin2(zβ)− z2sin2(β) est une fonction entière (analy-tique sur C). On cherche donc les zéros de h.
Théorème 2 L’ensemble des racines d’une fonction f analytique sur toutC non nulle est dénombrable.
Preuve : D’après le principe des zéros isolés, f n’admet qu’un nombre finide zéros sur tout compact. En effet, si par l’absurde K est un compact telque f y possède une infinité de racines, on peut exhiber une suite de zéros. Decette suite, on peut extraire une sous-suite convergente vers un point b ducompact K. Par continuité de f en b, b est aussi une racine et c’est un pointd’accumulation de racines donc on a contradiction avec le principe des zérosisolés. En considérant le recouvrement de C par l’union dénombrable desboules fermées (donc compactes) de rayon n∈ N, on en déduit le caractèredénombrable.
Focalisons-nous maintenant sur le caractère infini. Pour un angle de π,cela a déjà été fait. On peut remettre le problème sous la forme, chercher leszéros (à β fixé) des deux fonctions q :(z,β) 7→ sin(zβ)− zsin(β) etp :(z,β) 7→ sin(zβ)+zsin(β). Pour un angle β proche de π, on généralise grâceau théorème des fonctions implicites sur C×C. La continuité des racinesprovient du fait que pour k∈ Z on a ∂p
∂z (k, π) = ∂q∂z (k, π) = π(−1)k 6= 0. En
divisant (1.1) par z2β2, on tombe sur l’équation d’une ligne de niveau (lesecond membre reste réel) :
sinc2((λ− 1)β) = sinc2(β). (1.2)
15
Pour β différent de π (même très proche), comme sinc2(β) 6= 0 et que :
limx→+∞
sinc2(x) = 0 et limx→−∞
sinc2(x) = 0
on montre que l’on n’a plus qu’un nombre fini d’exposants de singularitésréels pour β 6= π comme l’illustre le graphe suivant avec une ligne de niveauv arbitraire non nulle :
Figure 1.3 – sinus cardinal carré sur R
Pour ne pas contredire le théorème des fonctions implicites autour de π,des zéros doivent partir dans le plan complexe lorsque β varie. Avec le mêmegraphe, on observe que lorsque l’on passe de zéro à v, la racine double réelles de la fonction h, s’est transformée en t et u (racines simples). Il y a doncdes racines qui restent réelles et via un développement limité de (1.1), onpeut montrer facilement que lorsque π varie d’une quantité ε ∈ R, les racinesvarient d’une quantité réelle 2kε
π au premier ordre.En fait, de façon plus générale, pour tout angle β 6= 0[π], non nécessaire-
ment proche de π, on a le théorème suivant énoncé aussi dans theorem 7.1.1et démontré dans theorem 3.1.1 de [10] :
Théorème 3 Pour tout k ∈ Z, la bande kπβ < Re(λ− 1) < (k+1)π
β contientdeux exposants de singularités.
16
Preuve : Afin de se placer sur une partie connexe, on se place dans le casβ < π mais on raisonne de même pour β > π. On raisonnera en variableréduite u = (λ− 1)β pour se ramener à une bande kπ < Re(u) < (k + 1)πindépendante de β.
On pose fβ : u 7→ sinc2(u)− sinc2(β) et :
gk :
]0, π[→ N
β 7→ cardu ∈ C/kπ < Re(u) < (k + 1)π et fβ(u) = 0
Montrons que gk est continue, et à valeurs dans N, elle en sera auto-matiquement constante sur ]0, π[, en fait égale à 2, comme montré par lethéorème des fonctions implicites au voisinage de π.
Soit donc w∈]0, π[, on va montrer que gk est continue en w.Dans theorem 3.1.1 de [10], il est montré que pour tout α ∈]0, π[, fα
ne s’annule pas sur les droites Re(u) = kπ et Re(u) = (k + 1)π et que leséventuelles racines sont uniformément bornées. Pour α = w, la fonction fwne s’annulera pas sur un contour fermé noté γ contenu entre ces droites(et passant par ces droites) à condition de le prendre "assez haut". |fw| quiest continue sur γ compact admet donc un minimum m non nul (car f nes’annule pas sur γ) sur ce contour.
Soit v∈]0, π[ (on ne sait absolument pas si v∈ γ ou non), soit z∈ γ,on a | fw(z) − fv(z) |=| fw(v) | et par continuité de fw sur C, on a :limv→w fw(v) = fw(w) = 0
Pour v proche de w et tout z∈ γ, on a | fw(v) |≤ m2 < m ≤| fw(z) | donc,
| fw(z) − fv(z) |<| fw(z) | avec fw et fv entières donc par le théorème deRouché (voir théorème 3.8 de [11]), on a gk(v) = gk(w) donc en particulieron a bien la continuité c’est-à-dire limv→w gk(v) = gk(w). Ceci conclut lethéorème.
Voici pour conclure cette partie, les graphes montrant la localisation desexposants de singularités sur le plan complexe :
Figure 1.4 – singularité pour β = 0.55π
17
Figure 1.5 – singularité pour β = 0.95π
Figure 1.6 – singularité pour β = π
Figure 1.7 – singularité pour β = 1.25π
18
1.2.2 Cas avec contraste strictement positif
Là encore, tout comme ce qui est fait dans le théorème 3.2.10 de [3],on peut montrer que la solution variationnelle du problème bien posé, sedécompose sous la somme d’une fonction de H4(Ω) et de singularités. Ceciexplique l’intérêt de les rechercher car ce sont elles qui déterminent larégularité de la solution.
Pour des raisons pratiques, on considère que la frontière entre Ω1 et Ω2est située en α = π
4 . Soit k > 0 le contraste.On rappelle qu’avec contraste, on écrit u1 et u2 comme des combinaisons
des fonctions de bases dans chacun des domaines (donc 8 inconnues) eton complète les conditions aux limites avec les 4 conditions de raccord. Ledéterminant obtenu dans ce cas reste une fonction entière et on en déduitencore le caractère dénombrable de l’ensemble complexe des exposants desingularités. L’expression du déterminant étant beaucoup plus longue et sansintérêt supplémentaire, car je n’ai pas pu appliquer le théorème de Rouchéet les autres outils rencontrés à cause de sa complexité, elle ne sera pasdonnée ici, sauf dans certaines configurations. Le caractère infini n’a doncpas été prouvé théoriquement et a seulement semblé être observé sur Maple.Remarquons que pour certaines valeurs de k, il semble que l’on n’ait que dessingularités réelles. Les graphes suivants ont été obtenus pour β = π et lesgraphes à β 6= π ont la même apparence.
Voici pour conclure cette partie, les graphes montrant la localisation desexposants de singularités sur le plan complexe :
Figure 1.8 – singularité pour β = π et k = 1.3
19
Figure 1.9 – singularité pour β = π et k = 1.9
Figure 1.10 – singularité pour β = π et k = 2.5
Figure 1.11 – singularité pour β = π et k = 3.7
20
1.3 Cas avec contraste strictement négatifOn peut montrer que la forme bilinéaire a n’est jamais coercive sur
H20 (Ω)×H2
0 (Ω) tout comme cela est fait dans l’introduction du chapitre 1de [4]. En effet, considérons ϕ1 ∈ C∞0 (Ω1) et ϕ2 ∈ C∞0 (Ω2) non nulles etdéfinissons ϕ telle que sa restriction à Ω1 soit ϕ1 et sa restriction à Ω2 soit
µϕ2 avec µ =(∫
Ω1σ1|∆ϕ1|2)
12
(∫
Ω2|σ2||∆ϕ2|2)
12. On a alors ϕ ∈ H2
0 (Ω) non nulle et a(ϕ,ϕ) = 0.
Etant donné qu’il n’y a alors plus de solution variationnelle, les singularitésne peuvent plus servir à étudier la régularité de " la solution" (puisqu’il n’ya plus nécessairement existence et unicité, le terme n’a plus de sens). Ellesont une autre utilité qui sera détaillée dans le chapitre 3.
L’ensemble des exposants de singularités reste encore dénombrable pourles mêmes raisons que le cas sans contraste. La perte de convexité pour β > πsemble avoir un effet sur les singularités. Voici les graphes correspondants :
Figure 1.12 – singularité pour β = π et k = −3.1
Figure 1.13 – singularité pour β = π et k = −8
21
Figure 1.14 – singularité pour β = π2 et k = −4.9
Figure 1.15 – singularité pour β = 1.3π et k = −4.9
22
Chapitre 2
Etude de cas lorsque σ restedu même signe dans unvoisinage de la frontière.
Nous allons maintenant étudier un cas pour lequel les techniques varia-tionnelles classiques ne fonctionnent plus ou ne sont plus suffisantes. Nousnous réfèrerons constamment à chapitre 11 de [4]
2.1 Quelques rappels sur les opérateursComme évoqué précédemment, il est important de savoir si un problème
est bien posé ou non. Cela passe notamment par une étude du caractèreFredholm de l’opérateur en jeu.
Définition 1 Soit X et Y deux espaces de Banach et L un opérateur linéaireet continu de X dans Y. L est dit de Fredholm si :
– dim(kerL) <∞ et Im L est fermée ;– dim(cokerL) = dim(Y/imL) <∞ .
On définit alors l’indice de L par ind(L) = dim(kerL)− dim(cokerL). Unecaractérisation très pratique est donnée par le lemme suivant :
Lemme 2 (Peetre) Soit X,Y,Z trois espaces de Banach tels que X s’injectede façon compacte dans Z. Soit L un opérateur linéaire continu de X dans Y.Si X=Y, que L est autoadjoint et que l’estimation suivante est vraie, alors Lest de Fredholm :
∃C > 0/∀x ∈ X, ‖x‖X ≤ C(‖Lx‖Y + ‖x‖Z)
Preuve : Etant donnée l’importance de ce lemme pour mon étude en toutefin de troisième partie, une démonstration est proposée en annexe A.
23
Dans le cas de l’opérateur u 7→ div(σ∇u), pour établir l’estimationmontrant qu’il est de Fredholm, la philosophie générale est la suivante, ens’inspirant de ce qui a été fait en [7] et [8] : on utilise la méthode de laT-coercivité localement mêlée à une partition de l’unité pour obtenir l’esti-mation globale.
Nous n’allons pas l’utiliser dans l’exemple qui suit mais une allusionméritait quand même d’être réalisée, tant ce lemme est habituellement utilisépour montrer le caractère Fredholm.
Dans l’exemple à suivre, nous utiliserons plutôt le théorème 3.3.3 de [4]que nous énonçons :
Théorème 4 Soit X et Y deux espaces de Banach et A un opérateur linéaireet continu de X dans Y.
– Si A possède une paramétrix à gauche, i.e. s’il existe un opérateurRg ∈ L(Y,X) tel que RgA = IdX + KX , où KX est un opérateurcompact de X, alors ker A est de dimension finie, et im A est ferméedans Y ;
– Si A possède une paramétrix à droite, i.e. s’il existe un opérateurRd ∈ L(Y,X) tel que ARd = IdY + KY , où KY est un opérateurcompact de Y, alors im A est fermée dans Y et Y/im A est de dimensionfinie ;
– Si A possède une paramétrix à gauche et une paramétrix à droite, alorsA est de type Fredholm, et la réciproque est également vraie. Dans cecas, on peut prendre Rg = Rd.
2.2 Caractère Fredholm de l’opérateurDe façon plus précise c’est le caractère Fredholm de l’opérateur B défini
de la façon suivante que nous étudierons : la forme bilinéaire a étant continue,alors par le théorème de représentation de Riesz sur H2
0 (Ω), on obtient unopérateur B linéaire et continu de H2
0 (Ω) dans lui-même tel que :∀(u, v) ∈ H2
0 (Ω)×H20 (Ω), (Bu, v)H2
0 (Ω) = a(u, v)On va montrer que B est Fredholm d’indice zéro dans la configuration
suivante (on n’est plus sur un secteur, voir la figure ci-dessous) : Soit σ telque (σ, σ−1) ∈ L∞(Ω)2 avec σ(x) ≥ C1 > 0 presque partout sur Ω \ O ouσ(x) ≤ C2 < 0 presque partout sur Ω \ O où C1, C2 sont des constantes etO un ouvert O⊂ Ω.
σ est supposée uniformément positive ou uniformément négative dans larégion verte Ω \ O. On va construire une paramétrix à droite pour B. Onse place dans le cas où σ(x) ≥ C1 > 0 presque partout sur Ω \ O, l’autrecas se traitant de façon similaire. Considérons une fonction de troncatureζ ∈ C∞0 (Ω, [0, 1]) identiquement égale à 1 sur l’ouvert O. Alors, 1 − ζ ∈
24
Figure 2.1 – omega borné
C∞0 (Ω, [0, 1]) valant 1 dans un voisinage de ∂Ω. Soit (v, ϕ) ∈ H20 (Ω)2, on a
(1− ζ)v ∈ H20 (Ω). Ainsi :
((1− ζ)σ∆v,∆ϕ)Ω = (B((1− ζ)v), ϕ)H20 (Ω) + (σ(2∇v.∇ζ + v∆ζ),∆ϕ)Ω
Sur supp(ζ), σ change de signe donc on procède différemment. Soit Ψl’unique solution de H1
0 (Ω) de ∆Ψ = σ−1∆v ∈ L2(Ω).Soit χ ∈ C∞0 (Ω), les résultats classique de régularité intérieure et le
théorème 2.1.3 de [3] permettent de montrer que χΨ ∈ H20 (Ω) et l’estimation
suivante : ||χΨ||H20 (Ω) ≤ C||σ−1∆v||Ω ≤ C||v||H2
0 (Ω)On a aussi ζΨ ∈ H2
0 (Ω) qui dépend continûment de v. On a :(ζ∆v,∆ϕ)Ω = (σζ∆Ψ,∆ϕ)Ω = (B(ζΨ), ϕ)H2
0 (Ω)−(σ(2∇Ψ.∇ζ+Ψ∆ζ),∆ϕ)Ω
Soit T l’endomorphisme de H20 (Ω) défini par T :v7→ ζΨ + (1− ζ)v. Par
le théorème de représentation de Riesz, on exhibe les endomorphismes I et Kcontinus de H2
0 (Ω) tels que ∀(v, ϕ) ∈ H20 (Ω)×H2
0 (Ω) :
(Iv, ϕ)H20 (Ω) = ((ζ + (1− ζ)σ)∆v,∆ϕ)Ω
(Kv,ϕ)H20 (Ω) = (σ(2∇(Ψ− v).∇ζ + (Ψ− v)∆ζ),∆ϕ)Ω (2.1)
On a alors BoT = I +K avec T continu par l’estimation ci-dessus. Parcoercivité de (v, ϕ) 7→ ((ζ + (1− ζ)σ)∆v,∆ϕ)Ω sur H2
0 (Ω)×H20 (Ω), I est un
isomorphisme. Montrons ci-dessous que K est compact. Alors T sera bienune paramétrix à droite pour B qui est autoadjoint donc Fredholm d’indicezéro. Soit (ϕn) une suite bornée d’éléments de H2
0 (Ω). On a l’estimation :||Kϕn||2H2
0 (Ω) ≤ C||ϕn||H20 (Ω)(||ϕn||H1(Ω) + ||Ψn||H1(Supp(ζ))) De plus, les ré-
sultats de régularité intérieure donnent : ||Ψn||H2(Supp(ζ)) ≤ C||ϕn||H20 (Ω) Par
compacité des injections de H2(Ω) dans H1(Ω) et de H2(Supp(ζ)) dansH1(Supp(ζ)), on peut extraire des sous-suites de (ϕn) et (Ψn), toujoursnotées de la même façon, convergeant fortement dans H1(Ω) et H1(Supp(ζ))donc de Cauchy. Par l’estimation, on obtient que (Kϕn) est de Cauchy dansH2
0 (Ω) complet donc convergente, ce qui achève la preuve du théorème.
25
Chapitre 3
Etude de cas lorsque σchange de signe jusqu’aubord du domaine.
Sous cette hypothèse, il est possible de trouver des configurations pourlesquelles l’opérateur G = ∆(σ∆) n’est plus de type Fredholm. On le montrepar l’existence de singularités qui ne sont pas dans l’espace variationnelH2
0 (Ω), ce qui permettra de contredire le lemme de Peetre. On se replacedans le cas du semi-secteur (β = π) et dans le cas où le contraste vaut -1même si l’on pourrait sans doute généraliser à d’autres configurations.
3.1 calcul de singularitésL’objet de cette section est de montrer théoriquement l’existence de
singularités non réelles sur l’axe Re(λ)=1.Dans cette configuration, le déterminant du système est la fonction
c :λ 7→ −1 + sin(2λπ)cos(λπ2 ) + cos2(λπ)− 2sin(λπ2 )cos2(λπ)− 2λ2 + 4λOn pose λ = 1+ is avec s∈ R et d :s 7→ c(1+ is). On dispose des formules
suivantes : sin(2(1 + is)π) = sin(2isπ) = ish(2sπ)cos( (1+is)π
2 ) = −sin( isπ2 ) = −ish( sπ2 )cos2((1 + is)π) = cos2(isπ) = ch2(sπ)sin( (1+is)π
2 ) = cos( isπ2 ) = ch( sπ2 )
On en déduit :
d(s) = −1 + 4(1 + is)− 2(1 + is)2 + sh(2sπ)sh(sπ2 ) + ch2(sπ)− 2ch2(sπ)ch(sπ2 )
= 1 + 2s2 + ch2(sπ)− 2ch2(sπ)ch(sπ2 ) + sh(2sπ)sh(sπ2 ) (3.1)
26
On constate d’une part que d est à valeurs réelles, ce qui simplifieconsidérablement la tâche car il n’y a pas un couple d’équations à considérermais une seule pour la nullité du déterminant et de plus, que d est paire. Onl’étudie donc sur R+ uniquement. Sachant que d(0.1) < 0 et d(0.2) > 0, lethéorème des valeurs intermédiaires pour d continue donne l’existence d’uneracine réelle positive η ' 0.1917440520 de d. Une étude rapide des variationsde d sur R+ permet de montrer l’unicité que l’on retrouve dans le graphesuivant :
Figure 3.1 – singularité sur l’axe Re(λ) = 1
27
3.2 contradiction du lemme de PeetreServons-nous de cette singularité pour exhiber une suite (un) de fonctions
telle que le premier membre de l’inégalité de Peetre explose tandis que l’autrereste borné quand n→∞. Considérons la singularité associée à l’exposant1+ iη et considérons χ ∈ C∞0 (Ω, [0, 1]) de support inclus dans ]-d,d[ avec d>1.valant 1 au voisinage de l’origine et telle que un s’annule sur ∂Ω. Posonsalors, pour n > 0, un(r, θ) = χ(r)r1+iη+1/nϕ(θ). Grâce au support compactde χ, on peut se ramener à Ω ∩ supp(χ) qui lui est borné. Néanmoins, onutilisera les mêmes notations pour les normes sur les deux ensembles carelles coïncident pour (un).
Remarquons déjà que l’on vérifie toutes les autres hypothèses du lemme :– G est autoadjoint ;– G est continu de H2
0 (Ω) dans H−2(Ω) ;– l’injection i de H2
0 (Ω ∩ supp(χ)) dans H1(Ω ∩ supp(χ)) est compacte.Preuve des deux derniers points :
On pose, ‖∆(σ∆u)‖H−2(Ω) = supv∈H20 (Ω),||v||
H20(Ω)=1(|
∫σ∆u∆v|). On
a la continuité de G par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, ||Gu||H−2(Ω) ≤‖σ∆u‖L2(Ω) sachant que H2
0 (Ω) est muni de la norme u 7→ ||∆u||L2(Ω).On se place en coordonnées cartésiennes. Soit (un) une suite bornée dans
H2(Ω ∩ supp(χ)). Définis vn = ∂un∂x et wn = ∂un
∂y . Les suites (vn) et (wn)sont bornées dans H1(Ω ∩ supp(χ)) car (un) ∈ H2. On peut en extraire dessuites qui convergent dans L2(Ω ∩ supp(χ)) par le théorème de Rellich (rap-pelons que Ω∩supp(χ) est borné). Ainsi, (un) converge dansH1(Ω∩supp(χ)).
Montrons que (Un) est bornée dans H1(Ω ∩ supp(χ)). Intégrant sur uncompact de R2, il suffit de montrer qu’elle et ses dérivées sont uniformémentbornées pour la norme ||.||∞. Sachant que par construction, on a la suite(Un) ∈ H2
0 (Ω∩supp(χ)) ⊂ H10 (Ω∩supp(χ)), on peut montrer, par équivalence
des normes, que (Un) est bornée dans H10 (Ω ∩ supp(χ)).
Posons vn(r, θ) = χ(r)r1+1/nϕ(θ) et e = max(sup[−d,d]χ2(r), sup[−d,d]χ′2(r))
On a |∇(un)|2 = (∂vn∂r )2 + (1r∂vn∂θ )2 avec,
(∂vn∂r
)2
= ϕ2(θ)(χ′(r)r1+ 1n + r
1n (1 + 1
n)χ(r))
2
≤ 2ϕ2(θ)(ed4 + 4ed2) (3.2)
(1r
∂vn∂θ
)2
= r2nχ2(r)ϕ′2(θ)
≤ dϕ′2(θ)e (3.3)
28
Ces deux estimations permettent de conclure quant au caractère unifor-mément borné pour la norme ||.||∞ sur le compact pour conclure le premierpoint.
Montrons maintenant que ||un||H20 (Ω) explose. On a ||un||H2
0 (Ω) ≥ ||∆un||Λavec Λ = (r, θ) ∈ Ω/χ(r) = 1.
Rappelons qu’en polaire, ∆ = 1r2 [(r ∂∂r )2 + ( ∂∂θ )2].
Calculons ∆un sur Λ :
= 1r2 [(1 + iη + 1
n)2r1+iη+ 1
nϕ(θ) + r1+iη+ 1nϕ′′(θ)]
= r−1+iη+ 1n [(1 + iη + 1
n)2ϕ(θ) + ϕ′′(θ)]
= r−1+iη+ 1n gn(θ)
On vérifie que gn est non nulle. Alors, on a directement,||∆un||Ω2 ≥
∫ dr=0 r
−1+ 2ndr||gn||2L2(]0,π[).
Or,∫ dr=0 r
−1+ 2ndr = n
2d2n → +∞ quand n→ +∞.
Maintenant, montrons que (||∆(σ∆(un)||H−2) reste bornée. On posesn = r1+iη+ 1
nϕ(θ). Soit v unitaire dans H20 (Ω), on a la formule suivante
χ∆v = ∆(χv)− v∆χ− 2∇v.∇χ et :
σ∆un∆v = σ[sn∆(χ) + χ∆(sn) + 2∇sn.∇χ]∆v= σ∆sn[∆(χv)− v∆χ− 2∇v.∇χ] + 2σ∇sn.∇χ∆v + σsn∆χ∆v
|∫
Ωσ∆un∆v| ≤ |
∫σ∆sn∆(χv)|+ |
∫σ∆sn(2∇v.∇χ)|+ |
∫σ∆snv∆(χ)|
+ |∫
2σ∇sn.∇χ∆v|+ |∫σsn∆χ∆v|
Pour les quatrième et cinquième termes, on utilise l’inégalité de Cauchy-Schwarz, le fait que (sn) est bornée dans H1(Ω) pour conclure et que χ estinfiniment dérivable à support compact (les termes en χ ne posent alorsaucun problème) :|(∇sn.∇χ, σ∆v)| ≤ C||sn||H1(Ω)||v||H2
0 (Ω)|(snσ∆χ,∆v)| ≤ C||sn||H1(Ω)||v||H2
0 (Ω)Pour les deuxième et troisième termes, on utilise le fait que χ est identi-
quement égale à 1 au voisinage de l’origine et donc que toutes ses dérivéessont nulles. Pour le deuxième terme par exemple :|∫
Ω σ∆sn(2∇v.∇χ)| = |∫
Ω\B(O,d) σ∆sn(2∇v.∇χ)| ≤ C||∆sn||Ω\B(O,d)||v||H20 (Ω)
sachant que ||∆sn||Ω\B(O,d) reste borné.Pour le premier terme, on réalise deux intégrations par parties et on fait
le calcul explicite en utilisant l’équation vérifiée par la singularité :|∫σ∆sn∆(χv)| = |
∫∆(σ∆sn)(χv)|
29
∆(σ∆sn) = r−3+iη+ 1nσ[((iη + 1
n)4−2(iη + 1n)2+1)ϕ(θ)+(2+2(iη + 1
n)2)ϕ′′(θ)+ϕ(4)(θ)]
Or, r1+iηϕ(θ) étant une singularité, on a l’équation suivante :((iη)4 − 2(iη)2 + 1)ϕ(θ) + (2 + 2(iη)2)ϕ′′(θ) + ϕ(4)(θ) = 0 et ainsi,∆(σ∆sn) = r−3+iη+ 1
nσ[( 1n4 + 3iη
n2 − 2n2 − 4iη
n )ϕ(θ) + ( 2n2 + 4iη
n )ϕ′′(θ)]La fonction entre crochets est notée ϕn(θ)
n et on remarque que le modulede ϕn est majoré par le module de ϕ au moins à partir d’un certain rang(décroissance du module en 1
n). On obtient ainsi, après deux intégrations parparties selon r sur χv,
(∆(σ∆sn), χv) =∫ π0
∫ d0 σ
r−1+iη+ 1n
(iη+ 1n
)(iη+ 1n−1)
ϕn(θ)n
∂2(χv)∂r2 rdrdθ
Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz et la régularité de χ évoquée, onobtient :
|(∆(σ∆sn), χv)| ≤ Cn (
∫ π0
∫ d0 (σ r−1+ 1
n
|(iη+ 1n
)(iη+ 1n−1)| |ϕ(θ)|)
2rdrdθ)
12||v||H2
0 (Ω)
|(∆(σ∆sn), χv)| ≤ C√ndonc le terme est borné car on a pour son carré,
1n2
∫ π0
∫ d0 (σ r−1+ 1
n
|(iη+ 1n
)(iη+ 1n−1)| |ϕ(θ)|)
2rdrdθ ≤ C 1
n2∫ d0 r−2+ 2
n rdr ≤ Cn
On arrive donc à borner les cinq termes et l’inégalité de Peetre n’est pasvérifiée d’où le côté non Fredholm.
30
3.3 ConclusionEn conclusion, le caractère bien posé du problème au bilaplacien avec
contraste dépend à la fois de la géométrie du domaine (et notamment de laconvexité, du caractère borné ou non et de la régularité de la frontière) etdu signe du contraste.
La recherche intuitive de singularités nous a permis de retrouver lesrésultats classiques connus pour le bilaplacien sans contraste mais certainsobstacles n’ont pu être surmontés. D’une part, on ne sait pas si les singulari-tés que j’ai étudiées sont les seules existantes, d’autre part, je n’ai pas puadapter les démonstrations effectuées dans le cas sans contraste au cas aveccontraste pour montrer qu’il y a une infinité de singularités. Ce n’est qu’àtravers l’observation par Maple que nous avons pu conjecturer un tel résul-tat, et d’ailleurs ce ne fut pas immédiat car nous avons rencontré quelquessoucis techniques avec Maple. Je n’ai pas pu, contrairement à ce qui a étéfait dans la thèse de Lucas, établir d’intervalle exact pour le contraste, don-nant l’ensemble des configurations dans lesquelles on a un problème mal posé.
Néanmoins, cette première immersion dans le monde de la recherche futenrichissante à plus d’un titre. Elle m’a permis d’entrevoir les différentescomposantes du métier : tout d’abord, une profonde recherche documentaireafin d’assimiler le problème, puis l’entreprise personnelle des calculs durantlaquelle je me suis posé à la fois des questions purement techniques maisaussi des questions plus générales, ayant rapport à la philosophie globale duproblème. Chaque avancement amenait un nouveau questionnement. Enfin,la maîtrise de l’outil informatique (logiciels de programmation et calculsformels) et de l’anglais me sont aussi apparues comme des éléments essentielspour la recherche en mathématiques appliquées.
Ce fut aussi une belle aventure humaine avec un environnement trèsaccueillant. Cette expérience a conforté mes envies futures, à savoir effectuerune thèse pour devenir enseignant-chercheur.
31
Bibliographie
[1] Patrick Ciarlet, Eric Lunéville : La méthode des éléments finis, Dela théorie à la pratique. I. Concepts généraux. Cours MA 201, année2011-2012, Presses de l’ENSTA.
[2] Haim Brézis : Analyse fonctionnelle, théorie et applications. Mathéma-tiques appliquées pour le master, Editions Dunod.
[3] P.Grisvard : Singularities in boundary value problems. Research notesin applied mathematics, Editions MASSON.
[4] Lucas Chesnel : Etude de quelques problèmes de transmission avecchangement de signe. Application aux méta-matériaux. Thèse de mathé-matiques appliquées, Ecole Doctorale de l’Ecole Polytechnique.
[5] Barles : Première partie, introduction à la méthode des éléments fi-nis. Cours d’analyse numérique et équations aux dérivées partielles,Université de Tours.
[6] McLean : Strongly elliptic systems and boundary integral equations.Cambridge University Press, Cambridge, 2000.
[7] Anne-Sophie Bonnet-Ben Dhia, Lucas Chesnal, Patrick Ciarlet Jr :optimality of T-coercivity for scalar interface problems between dielectricsand metamaterials.
[8] Anne-Sophie Bonnet-Ben Dhia, Lucas Chesnal, Xavier Claeys : radia-tion condition for a non-smooth interface between a dielectric and ametamaterial.
[9] Patrick Ciarlet Jr : Tools for solving the div-curl problem with mixedboundary conditions in a polygonal domain.. March 1999.
[10] V.A. Kozlov, V.G. Maz’ya,J.Rossmann : Spectral problems associatedwith corner singularities of solutions to elliptic equations. AmericanMathematical Society, volume 85.
[11] Marc Lenoir : Fonctions d’une variable complexe. Cours MA 205, année2011-2012, Presses de l’ENSTA.
32
Annexe A
Lemme de Peetre (preuve)
On veut d’abord montrer que Ker(L) est de dimension finie. Par le lemmede Riesz, il suffit de montrer que sa boule unité est compacte.
Soit (Un)n∈N une suite de la boule unité de Ker(L). Par compacité del’injection de X dans Z, on peut en extraire une sous-suite, toujours notée(Un)n∈N convergente dans Z. Elle est donc de Cauchy. Or, d’après l’estimationsupposée, pour tout n ∈ N on a, ‖Un‖X ≤ C‖Un‖Z donc (Un)n∈N est ausside Cauchy dans X qui est complet donc converge.
Sachant que L est autoadjoint, coker(L) et Ker(L) sont isomorphes donccoker(L) est de dimension finie. Voir théorème 2.13 [6] pour une démonstra-tion.
Montrons que Im(L) est fermée. On s’inspire de section 3.1 de [5]. Par lethéorème de Hahn-Banach, Ker(L) admet un supplémentaire fermé, noté G.On a l’estimation suivante :
∃c > 0/∀u ∈ G, c‖u‖X ≤ ‖Lu‖X
Ceci donne directement le caractère fermé de Im(L). En effet, soit(LUn)n∈N qui converge vers a. On a (LUn)n∈N de Cauchy car convergente etpar l’estimation (Un)n∈N est de Cauchy dans X complet, donc converge versb. Par continuité de L en b, (LUn)n∈N converge vers Lb et par unicité de lalimite, a = Lb donc a∈Im(L).
Démontrons maintenant cette estimation. Si par l’absurde elle est fausse,alors on peut exhiber une suite (Un)n∈N de G unitaire dans X telle que(AUn)n∈N converge vers zéro dans X donc de Cauchy. Par compacité del’injection de X dans Z, on extrait une sous-suite de (Un)n∈N toujours notée(Un)n∈N qui converge dans Z donc de Cauchy.
33
Avec l’estimation initiale, on en déduit que (Un)n∈N est de Cauchy dansX complet donc convergente vers u et comme G est fermé, u∈G. Par laseconde inégalité triangulaire, on a u unitaire dans X car (Un)n∈N l’est etcomme (AUn)n∈N converge vers zéro, par continuité de A en u et unicité dela limite, on a Au = 0 donc u∈Ker(L)∩G réduit à 0 alors que u est unitaire.
34
Annexe B
exposants de singularité etrégularité
On se contente de donner le détail pour les deux premiers cas uniquement,les cas suivants étant un peu plus techniques mais relativement similairesdans l’approche. Sachant que l’on intègre des fonctions C∞ pour θ variantdans un compact, on ne considèrera que l’intégrale de la partie radiale. Onveut connaître l’intégrabilité en zéro, on se contentera donc de considérer unréel B > 0 pour la borne supérieure. L’élément différentiel d’intégration estr.dr. On pose λ = a+ ib avec a et b réels.
Pour le premier point :
∫ B
0| r2λ | r.dr =
∫ B
0| r2λ+1 | dr
=∫ B
0| r2a+1r2ib | dr
=∫ B
0| r2a+1e2ib.ln(r) | dr
=∫ B
0| r2a+1 | dr
=[r2a+2
2a+ 2
]B0
Et ceci n’est fini que si a > −1 d’où le premier résultat voulu.
Pour le second point, ayant déjà la condition pour que u soit dans L2(Ω),il suffit de regarder l’intégrale de | ∇u |2.
On a | ∇u |2 = | ∂u∂r |2 + | 1
r∂u∂θ |
2 =| r2λ−2 | (| λϕ(θ) |2 + | ϕ′(θ) |2)
35
L’intégrale à calculer est alors :∫ B
0| r2λ−2 | r.dr =
∫ B
0| r2λ−1 | dr
=∫ B
0| r2a−1r2ib | dr
=∫ B
0| r2a−1e2ib.ln(r) | dr
=∫ B
0| r2a−1 | dr
=[r2a
2a
]B0
Et ceci n’est fini que si a > 0 d’où le second résultat voulu.
36
