Flexion et torsion d’un tube rectangulaire droit · 2017. 10. 6. · éléments finis Ecart relatif maximal Elément 2D (triangulaire) 4.88 5 2.45% Elément 2D (quadratique) 4.88

21/03/2017

Flexion et torsion d’un tube rectangulaire droit TP n°3 MQ08 – A16

Matthieu TUGAUT Paul LEFEVRE UTT

Flexion et torsion d’un tube rectangulaire droit

MATTHIEU TUGAUT/PAUL LEFEVRE 1

Table des matières Introduction ................................................................................................................................................... 2

I. Description du problème ....................................................................................................................... 3

II. Sollicitation en flexion du tube .............................................................................................................. 4

A. Modélisation analytique .................................................................................................................... 4

B. Modélisation avec éléments poutres ................................................................................................ 4

C. Modélisation avec éléments coques ................................................................................................. 5

D. Modélisation avec éléments volumiques .......................................................................................... 6

E. Comparaison des résultats ................................................................................................................ 7

III. Sollicitation en flexion du tube partie II ............................................................................................ 8

IV. Sollicitation en flexion du tube partie III ........................................................................................... 8

V. Sollicitation en torsion du tube ............................................................................................................. 9

A. Modélisation analytique .................................................................................................................... 9

B. Modélisation avec éléments coques ................................................................................................. 9

C. Modélisation avec éléments volumiques ........................................................................................ 10

D. Comparaison des résultats .............................................................................................................. 11

Conclusion ................................................................................................................................................... 12

Annexe ......................................................................................................................................................... 13

Bibliographie................................................................................................................................................ 14



Introduction

L’objet de ce TP est basé sur l’étude et la comparaison des différentes modélisations de calcul de

déformations par éléments finis. En effet, une poutre de géométrie et de caractéristiques simples sera

modélisée suivant différentes modélisations (poutre, plaque et volumique) à l’aide du module d’analyses

de Catia V5. Cette étude sera répartie en deux parties, un premier chargement de la poutre en flexion

simple puis un chargement en torsion simple. Les résultats des simulations avec les différents éléments

seront comparés pour chacun des cas avec la valeur analytique. Dans le premier cas de chargement, la

géométrie de la poutre sera modifiée pour déterminer d’éventuelles limites d’utilisation d’un élément.



I. Description du problème

On considère la géométrie d’étude comme un tube rectangulaire droit encastré à son extrémité comme

présenté ci-dessus. Le tube est réalisé en acier de module d’Young E et de module de cisaillement ν. On

suppose la structure élastique, homogène et isotrope.

On se propose de modéliser par éléments finis sur Catia V5 la flexion puis la torsion du tube du tube dont

on néglige l’impact du poids. Le problème est considéré élastique linéaire dans le cadre des petites

déformations.

Cas 1 Cas 2 Cas 3

Module d’Young E (MPa) 200000

Coefficient de poisson ν 0.266

Longueur L (mm) 1000 200 1000

Hauteur h (mm) 100 100 100

Largeur b (mm) 120 120 120

Epaisseur e (mm) 4 4 25 Tableau 1 : Caractéristiques du tube en fonction des cas d'étude



II. Sollicitation en flexion du tube

Pour les différents cas de sollicitation en flexion, on considère un effort ponctuel résultant �⃗� = −𝐹𝑧

exercé en bout de poutre, avec F = 8000 N. Pour comparer les différences entres les méthodes de

simulation et pour illustrer les limites de chacune, la flèche en bout de poutre est déterminée.

A. Modélisation analytique Notre étude s’effectuant dans le cadre de l’hypothèse des petites perturbations, on peut donc utiliser

des éléments de calcul de la mécanique des milieux continus. D’après les dimensions de la poutre, nous

pouvons affirmer que nous sommes dans le cadre de la théorie des poutres minces de Bernouilli

(développé en annexe). Par conséquent, pour une poutre en flexion encastrée à une extrémité et libre

de l’autre, on peut appliquer la formule de calcul de la flèche suivante :

𝑦(𝑥) =−𝐹𝑥2

6𝐸𝐼(3𝐿 − 𝑥)

On a donc en 𝑥 = 𝐿 :

𝑦(𝐿) =−𝐹𝐿3

3𝐸𝐼

Avec I le moment quadratique dépendant de la section de la poutre. Ici le chargement est effectué

suivant la direction Z, et la poutre est rectangulaire creuse, donc le moment quadratique vaut :

𝐼𝐺𝑧 =𝐵. 𝐻3 − (𝐵 − 2𝑒). (𝐻 − 2𝑒)3

12

Ainsi on obtient les valeurs de flèche pour les différents cas d’étude :

Cas 1 Cas 2 Cas 3

Flèche y(L) (en mm) 4.88 0.04 1.44

Tableau 2 : Valeurs analytiques de la flèche

B. Modélisation avec éléments poutres La géométrie proposée est discrétisée en éléments poutres unidirectionnels d’une taille de 10 mm. Les

caractéristiques de la section, les conditions de chargement et d’encastrement sont ensuite définies.

Les dimensions de la géométrie de base sont ensuite ajustées pour étudier les déformations dans les

différents cas.



Figure 1 : Visualisation du résultat obtenu pour éléments poutres

La géométrie nous étant donnée, une première étape consiste à appliquer le matériau choisi à cette

dernière. On choisit donc l’acier et on l’associe au tube.

On maille ensuite la structure avec des éléments poutres de taille 10mm. Leur différence avec les

éléments barres réside dans leur capacité à pouvoir subir une rotation en plus des tractions

compressions selon leur axe.

On impose les conditions de géométrie du tube (hauteur, largeur et épaisseur, nécessaire au calcul du

moment quadratique par le logiciel) à notre élément 1D en portant une attention particulière à

l’orientation utilisée.

On applique ensuite les conditions aux limites permettant de simuler notre phénomène de flexion. On

encastre donc le point A et on impose un chargement selon 𝑧 de 8000N orienté vers le bas.

La résolution par la méthode des éléments finis nous donne une flèche de l’ordre de 5,14mm.

Méthode analytique

(MMC) Méthodes des éléments finis

Ecart relatif maximal (en %)

Elément 1D 4.88mm 5.14mm 5.33

Tableau 3 : Valeurs de la flèche avec éléments poutres

Avec une erreur de seulement 5%, on peut dire que le résultat est acceptable. Les hypothèses admises

sont donc cohérentes.

C. Modélisation avec éléments coques La géométrie proposée est discrétisée en éléments coques d’une taille de 10 mm avec une flèche

absolue de 1mm.

Il nous a paru intéressant également de tester l’influence du maillage. C’est pourquoi les simulations ont

été effectuées avec un maillage quadratique mais également triangulaire.

La section de la poutre est présente dans la géométrie, en revanche l’épaisseur doit être renseignée.

Attention, dans ce cas d’étude, on propose d’exploiter la symétrie plane (xOz) de la géométrie et du

chargement pour alléger la simulation. Il faut donc prendre en contre cette simplification en ajoutant les

conditions de symétrie, c'est-à-dire limiter les degrés de liberté au niveau du plan de cette symétrie



(bloquer une translation selon l’axe �⃗�, et deux rotations autour des axes 𝑧 et �⃗�). Il faut également

appliquer la force diminuée de moitié et définir l’encastrement à l’autre extrémité.

Pour répartir l’effort sur l’ensemble des nœuds de l’extrémité de la poutre, un corps rigide fictif solidaire

aux arêtes de cette extrémité est créé. L’effort doit être appliqué sur une poignée créée en coïncidence

avec l’axe de symétrie de la poutre et donc également avec le plan de symétrie (xOz).

On obtient les résultats suivants :

Méthode analytique


Ecart relatif maximal

Elément 2D (triangulaire)

4.88 5 2.45%

Elément 2D (quadratique)

4.88 5.04 3.28%

Tableau 4 : Valeurs de la flèche avec éléments coques

On observe qu’en passant en 2 dimensions on a augmenté le temps de calcul mais que les résultats sont

plus proches de la solution analytique. Avec une erreur inférieure à 5%, on peut dire que les résultats

sont concluants et les hypothèses toujours correctes.

Figure 2 : Répartition des contraintes de Von Mises

On peut voir en observant la répartition des contraintes que celles-ci sont les plus importantes au niveau

de l’encastrement, ce qui est cohérent. En effet, La face en 𝑥 = 𝐿 est considérée comme libre. On

identifie aussi très clairement la fibre neutre passant au centre de la poutre où aucune contrainte n’est

observée.

D. Modélisation avec éléments volumiques La géométrie proposée est discrétisée en éléments volumiques tétraédriques d’une taille de 10 mm avec

une flèche absolue de 1mm. Comme pour le cas d’étude en éléments coques, les caractéristiques de

symétrie du système sont exploitées et les mêmes manipulations doivent être effectuées. On obtient les

résultats suivants :



Méthode analytique


Ecart relatif maximal

Eléments 3D tétraédriques

4.88 4.96 1.64%

Tableau 5 : Valeurs de la flèche avec élément volumiques

Les résultats semblent encore plus précis en utilisant un maillage 3D. Avec une erreur de 1.64% c’est le

résultat le plus précis. Toutefois, le temps de calcul a augmenté. Sur une structure simple comme celle-

ci, la différence semble moindre. Cependant, sur un modèle plus complexe, il peut être plus utile de

réaliser des modèles 2D voir 1D pour obtenir des résultats certes un peu moins précis mais du même

ordre de grandeur et avec un temps de calcul moindre.

Figure 3 : Répartition des contraints de Von Mises

Les contraintes de Von Mises sont du même ordre de grandeur en 3D qu’en 2D. Même si la contrainte au

niveau de l’encastrement semble supérieure. La répartition des contraintes reste la même dans les deux

types de modélisations.

E. Comparaison des résultats

Résultats

expérimentaux Eléments finis

Ecart relatif maximal (en %)

Eléments 1D 4.88 5.14 5.33

Eléments coques(triangulaire)

4.88 5 2.45

Eléments volumiques (tétraédriques)

4.88 4.96 1.64

Tableau 6 : Récapitulatif des valeurs de flèche (cas 1)

Ce tableau résume bien la précision des calculs qui s’améliore avec l’augmentation de la dimension des

éléments (1D, 2D, puis 3D). Toutefois, comme dit précédemment, il convient de relativiser et de prendre



en compte le temps de calcul nécessaire pour les obtenir au profit de la nécessité de justesse des

résultats.

III. Sollicitation en flexion du tube partie II

Dans cette partie, l’influence de la longueur de la poutre sur le résultat des calculs a été étudiée. On a

donc appliqué le cas 2 décrit précédemment, c’est-à-dire avec une longueur 𝐿 = 200𝑚𝑚. On obtient les


Résultats

expérimentaux Eléments finis Ecart relatif maximal

Eléments 1D

0.0390

0.0918 135%


0.0702 80%

Eléments coques (quadratique)

0.0707 81%


0.0674 72%


Dans ce cas, on observe une nette différence entre les résultats analytiques et les résultats obtenus par

la méthode des éléments finis. De plus, les résultats ne sont plus du même ordre de grandeur selon les

modèles. Tout ceci peut s’expliquer par le fait qu’en réduisant la taille de la poutre, sa longueur s’est

considérablement rapprochée de l’ordre de grandeur de sa section. Par conséquent, certaines

hypothèses tendent à ne plus pouvoir être appliquées. En effet, on commence à sortir des limites de

validité du modèle poutre. Le cisaillement ne peut donc d’ailleurs plus être négligé.

IV. Sollicitation en flexion du tube partie III

Dans cette partie, l’influence de l’épaisseur de la poutre sur le résultat des calculs a été étudiée. On a

donc appliqué le cas 3 décrit précédemment, c’est-à-dire avec une épaisseur 𝑒 = 25𝑚𝑚. On obtient les




Résultats

expérimentaux Eléments finis Erreur

Eléments 1D

1.44

1.49 3.4%


1.55 7.6%

Eléments coques (quadratique)

1.56 8.3%


1.43 0.7%


On constate que pour ce cas d’étude, l’erreur reste acceptable. La poutre garde en effet une longueur

suffisamment élancée par rapport à la section pour respecter les conditions d’applications des

hypothèses.

V. Sollicitation en torsion du tube Un moment de torsion simple de C = 2000 Nm est maintenant appliqué sur le tube (L = 1000 mm et e = 4

mm). On propose d’étudier la variation angulaire des extrémités de la poutre, appelée l’angle de torsion,

en fonction des différentes modélisations réalisées.

A. Modélisation analytique La mécanique des milieux continus permet de déterminer la valeur analytique de l’angle de torsion ϕ (en

rd) pour ce cas simple tel que :

𝜑 = 𝐶 . 𝐿

𝐺 . 𝐽

Avec J le moment d’inertie de torsion spécifique à la géométrie du tube :

𝐽 = 4 679 641.35 𝑚𝑚4. 𝑟𝑎𝑑−1

Avec G le module de cisaillement :

𝐺 =𝐸

2 (1 + 𝜈)

Finalement, la valeur analytique dans ces conditions est de :

𝜑 = 0.420 𝑟𝑎𝑑

B. Modélisation avec éléments coques La géométrie proposée est discrétisée en éléments coques quadratiques d’une taille de 10 mm avec une

flèche absolue de 1mm. La section de la poutre est présente dans la géométrie, en revanche l’épaisseur

doit être renseignée. On applique l’encastrement sur une extrémité de la poutre et pour appliquer le



moment de torsion de façon uniforme, on propose de créer un corps rigide virtuel confondu avec l’autre

extrémité. Le moment de torsion est appliqué au centre de ce corps suivant la direction de la poutre.

L’angle de torsion est mesuré à l’aide des outils de mesure disponible dans CATIA, en évaluant l’angle

présent entre les deux extrémités de la poutre. Ainsi pour cette modélisation :

𝜑 = 0.378 𝑟𝑎𝑑

Figure 4 : Répartition des contraintes de Von Mises sur la peau

On observe que les contraintes sont concentrées de part et d’autre de la pièce. Cela peut s’expliquer par

l’encastrement d’un côté et par l’élément rigide de l’autre.

C. Modélisation avec éléments volumiques La géométrie proposée est discrétisée en éléments volumiques tétraédriques d’une taille de 10 mm avec

une flèche absolue de 1mm. Les mêmes manipulations de la modélisation en éléments coques sont

réalisées pour définir les conditions d’encastrement et de chargement.

L’angle de torsion mesuré de la même façon que précédemment vaut :

𝜑 = 0.384 𝑟𝑎𝑑

Figure 5 : Répartition des contraintes de Von Mises sur la peau



On observe que les contraintes sont concentrées de part et d’autre de la pièce. Cela peut s’expliquer par

l’encastrement d’un côté et par l’élément rigide de l’autre. Au point de vue des valeurs, celles-ci

semblent quand même plus importantes dans la modélisation 3D.

D. Comparaison des résultats

Angle de torsion ϕ

(rad) Erreur

Analytique 0.420 0

Eléments coques 0.378 10%

Eléments volumiques 0.384 8.5%

Tableau 9 : Récapitulatif des valeurs des angles de torsion

A nouveau, nous pouvons observer que les résultats issus de la modélisation 3D sont plus précis et plus proches de la valeur analytique que ceux résultant de la modélisation avec les éléments coques.



Conclusion

A travers cette séance de travaux pratiques, nous avons découvert le module analysis de CATIA V5. Nous

avons pu effectuer grâce à ce logiciel des calculs de poutre en en flexion et en torsion. Nous avons ainsi

eu l’occasion de découvrir des fonctionnalités telles que les éléments rigides. L’utilisation de différents

types d’éléments et de différents paramètres de modélisations géométriques des poutres, a également

attiré notre attention sur la validité des hypothèses émises et appliquées dans le cadre de nos calculs

(poutre élancées, poutres minces…).

Nous avons donc visualisé l’importance de bien réfléchir à la modélisation d’un problème avant

d’effectuer directement un premier calcul. En effet, celle-ci a un impact plus qu’important que ce soit sur

les résultats ou sur le temps de calcul.



Annexe

L’hypothèse de Bernouilli évoque qu’au cours de la déformation, les sections droites restent

perpendiculaires à la courbe moyenne. Selon Navier-Bernouilli, les sections droites restent droites et il

n’y a donc pas de gauchissement.

Ces hypothèses permettent de négliger le cisaillement dans le cas de la flexion. Cependant, elles ne sont

valides que pour des poutres élancées, c’est-à-dire des poutres dont la longueur est grande devant la

section. Autrement, on sort des hypothèses de validité du modèle poutre et le cisaillement doit à

nouveau être considéré. On utilise alors un autre modèle du type de celui de Timoshenko.



Bibliographie

ANONYME. « Théorie des poutres » [en ligne]. WIKIPEDIA l’encyclopédie libre. Mis à jour le 22 décembre

2016. Consulté le [31/03/2017]. Disponible à l’adresse :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_poutres#Hypoth.C3.A8ses_pour_les_calculs

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_poutres#Hypoth.C3.A8ses_pour_les_calculs

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