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Fonction exponentielle – Encadrement du nombre – Exercices corrigés
© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)
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Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)
Exercice 1 : encadrement de par deux fonctions
Exercice 2 : encadrement de obtenu par une fonction et des changements de variables
Exercice 3 : encadrement de par la somme de factorielles et écriture d’un algorithme
Exercice 4 : valeur du nombre en faisant appel à l’intégration (intégration par parties)
Fonction exponentielle – Encadrement du nombre
Exercices corrigés
Fonction exponentielle – Encadrement du nombre – Exercices corrigés
© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)
2
Pour tout , on pose ( ) (
) et ( ) ( ).
1) Montrer que, pour tout , ( ) et ( ) .
2) En déduire un encadrement de .
1) Montrons que, pour tout , ( ) et ( ) .
a) Montrons tout d’abord que ( ) .
Rappel : Fonction exponentielle et inverse d’un réel
Pour tout , avec .
La fonction est définie par ( ) ⏟ ( )
(
)⏟
( )
, produit de deux fonctions continues et dérivables sur ,
d’une part la fonction (fonction inverse de l’exponentielle) et la fonction
(fonction polynôme de degré 2) d’autre part.
Par conséquent, il vient que la fonction est dérivable sur donc sur .
Rappel : Fonction exponentielle et dérivée
Soit une fonction dérivable sur un intervalle . La fonction définie par est dérivable sur et, pour tout
, ( ( )) ( ) ( )
Remarque importante : Il en découle les résultats suivants : pour tout , ( ) et ( ) .
Ainsi, pour tout ,
( ) ⏟ ( )
(
)
⏟ ( )
⏟ ( )
( )⏟ ( )
Pour tout , et
donc ( ) .
Ainsi, pour tout , ( ) . La fonction est donc décroissante sur .
Exercice 1 (2 questions) Niveau : facile
Correction de l’exercice 1 Retour au menu
Fonction exponentielle – Encadrement du nombre – Exercices corrigés
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3
Par ailleurs, la fonction étant continue en , ( )
existe et ( ) (
) ⏟
.
En conclusion, pour tout , ( ) .
( )
( )
b) Montrons désormais que ( ) .
La fonction est définie par ( ) ⏟ ( )
( )⏟ ( )
, produit de deux fonctions continues et dérivables sur ,
d’une part la fonction (fonction inverse de l’exponentielle) et la fonction
(fonction polynôme de degré 2) d’autre part.
Par conséquent, il vient que la fonction est dérivable sur donc sur .
Ainsi, pour tout ,
( ) ⏟ ( )
( )⏟ ( )
⏟ ( )
( )⏟ ( )
( ) ( )
( ( )) ( )
D’une part, pour tout , . D’autre part, pour tout , . Enfin, pour tout ,
(car la fonction est décroissante sur ), d’où (du fait de la croissance
de la fonction sur ), c’est-à-dire . Il s’ensuit que, pour tout , ( ) . La
fonction est donc croissante sur .
Par ailleurs, la fonction étant continue en , ( )
existe et ( ) ( ) ⏟
.
En conclusion, pour tout , ( ) .
( )
( )
2) Cherchons dès lors un encadrement de .
D’après la question précédente, pour tout , est décroissante, donc ( ) ( ) ( ). Comme
( ) (
)
et comme, d’après la question précédente, ( ) , il vient que
( ) .
On a également établi que, pour tout , est croissante, donc ( ) ( ) ( ). La question
précédente a permis de montrer que ( ) . Par ailleurs, ( ) ( )
. Par conséquent,
( )
.
Il résulte alors que
. En multipliant par , il vient finalement que .
Remarque : Ce résultat est conforme à celui affiché par la calculatrice : .
Fonction exponentielle – Encadrement du nombre – Exercices corrigés
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Soit la fonction définie sur par ( ) ( ).
1) Montrer que, pour tout réel, .
2) En déduire que, pour tout réel ,
.
Soit un entier naturel tel que .
3) Démontrer que ( )
.
4) Démontrer que ( )
.
5) En déduire un encadrement de en fonction de .
1) Montrons que, pour tout réel, , c’est-à-dire montrons que ( ).
La fonction est la somme de deux fonctions continues et dérivables sur : d’une part la fonction
(fonction exponentielle) et d’autre part la fonction (fonction affine).
Par conséquent, la fonction est dérivable sur et, pour tout , ( ) .
Rappel : Résolution d’inéquation de la forme ( ) ( )
Soient et deux fonctions définies sur un intervalle (ou une réunion d’intervalles).
Pour tout réel , ( ) ( ) si et seulement si ( ) ( ).
Or, ( ) . Ainsi, pour tout , ( ) , c’est-à-dire
croissante sur , et pour tout , ( ) , c’est-à-dire strictement décroissante sur .
Autrement dit, admet un minimum, atteint en . Comme ( ) ( ) , pour tout ,
( ) . Finalement, pour tout , ( ) , c’est-à-dire .
2) Montrons désormais que, pour tout réel ,
.
La question précédente a permis d’établir que, pour tout , . En remplaçant par – , il vient
alors l’inégalité .
Or, pour tout réel , car la fonction est décroissante sur . Par conséquent, pour
tout réel ,
car la fonction
est décroissante
sur et car . En définitive,
pour tout réel .
Exercice 2 (5 questions) Niveau : moyen
Correction de l’exercice 2 Retour au menu
Fonction exponentielle – Encadrement du nombre – Exercices corrigés
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3) Démontrons que ( )
, où ⟦ ⟦
Posons
et notons que
existe car .
Pour tout ⟦ ⟦ , d’où
, c’est-à-dire
.
D’après la question 1), pour tout , . Il vient alors que
. D’où (
)
(
)
(car la fonction est croissante pour tout et tout ). Finalement, pour tout entier naturel tel
que , (
)
.
4) Démontrons que ( )
.
Posons
et notons que
existe car .
Pour tout ⟦ ⟦ , d’où et
(d’après la décroissance de la fonction
sur ),
c’est-à-dire
.
D’après la question 2), pour tout ,
. Il vient alors que
.
Or,
(
)
( )
( )
. Finalement, pour tout entier naturel tel
que , ( )
.
5) Des deux questions précédentes, on conclut que ( )
( )
.
Remarque : Plus est grand, plus l’encadrement de est précis. Si , alors . Si
, (encadrement à près).
Remarque : ⟦ ⟦ est l’intervalle des
entiers naturels supérieurs ou égaux à 2.
En fait, ⟦ ⟦ .
Pour tout réel et pour tout entier relatif
, ( ) . Par ailleurs, .
Fonction exponentielle – Encadrement du nombre – Exercices corrigés
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Soit un entier naturel tel que . Soient et deux fonctions respectivement définies sur par :
( ) (
) ( ) ( )
1) Montrer que ( ) et que ( ) .
2) En déduire que ∑
∑
3) Ecrire un algorithme permettant de donner un encadrement de .
1) Montrons que ( ) et que ( ) .
a) Montrons tout d’abord que ( ) .
La fonction est le produit de deux fonctions continues et dérivables sur : d’une part la fonction
(fonction inverse de l’exponentielle) et d’autre part la fonction
(fonction
polynôme de degré ).
Par conséquent, il vient que la fonction est dérivable sur donc sur .
Ainsi, pour tout ,
( ) ⏟ ( )
(
)
⏟ ( )
⏟ ( )
(
)
⏟ ( )
( (
)
)
(
) ⏟
(
) ⏟
⏟
Pour tout et pour tout entier naturel tel que , ( ) . La fonction est donc décroissante
sur . Il en résulte que ( ) ( ). Or, ( ) donc ( ) .
b) Montrons désormais que ( ) .
La fonction est la somme de deux fonctions continues et dérivables sur : d’une part la fonction et d’autre
part la fonction
(produit de deux fonctions continues et dérivables sur ).
Par conséquent, il vient que la fonction est dérivable sur donc sur .
Exercice 3 (3 questions) Niveau : moyen
Correction de l’exercice 3 Retour au menu
Fonction exponentielle – Encadrement du nombre – Exercices corrigés
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Ainsi, pour tout ,
( ) ( ) (
)
⏟
⏟
( )
Or, pour tout , car la fonction est décroissante sur . Ainsi, il vient que
car la fonction est croissante sur . Comme , . Par
conséquent, .
Pour tout et pour tout entier naturel tel que , ( ) . La fonction est donc croissante
sur . Il en résulte que ( ) ( ). Or, ( ) ( ) donc ( ).
2) L’étude précédente a permis de montrer que ( ) et ( ) . Or, on a :
( ) (
)
(
)
⏟
( ) ( )
(
)
(
)
(
)
⏟
Par conséquent,
⏟
⏟
∑
⏟
∑
⏟
3) Ecrivons avec le logiciel AlgoBox un algorithme permettant de donner un encadrement de .
VARIABLES
n EST_DU_TYPE NOMBRE
k EST_DU_TYPE NOMBRE
somme EST_DU_TYPE NOMBRE
minorant EST_DU_TYPE NOMBRE
majorant EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
AFFICHER "Saisir n."
LIRE n
AFFICHER n
somme PREND_LA_VALEUR 0
POUR k ALLANT_DE 1 A n
DEBUT_POUR
somme PREND_LA_VALEUR somme+1/ALGOBOX_FACTORIELLE(k)
L’instruction
ALGOBOX_FACTORIELLE( )
permet de calculer
Fonction exponentielle – Encadrement du nombre – Exercices corrigés
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FIN_POUR
minorant PREND_LA_VALEUR 1+somme
majorant PREND_LA_VALEUR 1+1/ALGOBOX_FACTORIELLE(n)+somme
AFFICHER "Le nombre e est compris entre "
AFFICHER minorant
AFFICHER " et "
AFFICHER majorant
FIN_ALGORITHME
Affichage lorsque l’utilisateur saisit 5.
***Algorithme lancé***
Saisir n : 5
Le nombre e est compris entre 2.7166667 et 2.725
***Algorithme terminé***
Affichage lorsque l’utilisateur saisit 10.
***Algorithme lancé***
Saisir n : 10
Le nombre e est compris entre 2.7182818 et 2.7182821
***Algorithme terminé***
Remarque : L’encadrement de proposé dans cet exercice est très satisfaisant, même pour petit.
Fonction exponentielle – Encadrement du nombre – Exercices corrigés
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On pose pour tout entier non nul ∫
1) Calculer .
2) Démontrer que, pour tout entier naturel non nul et pour tout réel ,
3) En déduire la limite de .
4) Exprimer en fonction de .
5) Démontrer que, pour tout entier naturel , (
)
6) En déduire une expression de .
1) Calculons .
Rappel : Intégration par parties
Soient et deux fonctions dérivables sur ( ) telles que leurs dérivées soient continues sur .
∫ ( ) ( )
( ) ( ) ∫ ( ) ( )
∫
∫
Soient les fonctions et , dérivables sur , respectivement définies par ( ) et ( ) . Alors
leurs dérivées sont continues sur et, pour tout , ( ) et ( ) . Ainsi, il vient que :
∫ ⏟ ( )
⏟ ( )
[ ⏟ ( )
( )⏟ ( )
]
∫ ⏟ ( )
( )⏟ ( )
∫
( ( )) ( ( ))
2) Soit .
Pour tout réel , . D’où, en vertu de la décroissance de la fonction sur donc sur ,
. En appliquant la fonction , continue et croissante sur donc sur , il vient que ,
c’est-à-dire . Ainsi, en multipliant par le réel positif ou nul
, il résulte que
.
Exercice 4 (6 questions) Niveau : moyen
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3) D’après ce qui précède, pour tout entier naturel non nul et pour tout réel ,
Rappel : Positivité et croissance de l’intégrale
Soient et deux fonctions dérivables sur ( ).
Si, pour tout , ( ) , alors ∫ ( )
( )
Si, pour tout , ( ) ( ), alors ∫ ( )
∫ ( )
( )
Le théorème de croissance de l’intégrale donne alors ∫
∫
Or,
∫
∫
∫
[
( )]
[
( ) ]
( )
( )
( )
Comme
( )
, d’après le théorème des
gendarmes, il vient que
.
Rappel : Théorème des gendarmes
Soient , et trois fonctions et soit un réel.
Si, pour « assez voisin » de ( fini ou infini),
( ) ( ) ( ) et si
( )
( ) ,
alors
( )
4) Exprimons en fonction de . Soit .
∫
( )
( ) ∫ ⏟
( )
⏟ ( )
( ) ([ ⏟
( )
( )⏟ ( )
]
∫ ( ) ⏟ ( )
( )⏟ ( )
)
( ) ( ( ) ( ) ∫ ( ) ( )
)
( ) ( ∫ ( )
)
( ) ∫
( )
( )
( ) ∫
( )
( )
( ) ∫
( )
Par conséquent,
( )
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5) Démontrons que, pour tout entier naturel , (
)
Rappel : Principe du raisonnement par récurrence
Soit une proposition définie sur un intervalle de . Soit .
Si :
1) la proposition est initialisée à un certain rang , c’est-à-dire si ( ) est vraie au rang
2) la proposition est héréditaire à partir du rang , c’est-à-dire si, pour fixé, tel que , on a
l’implication ( ) ( )
Alors :
3) La proposition est vraie à partir de tout rang plus grand que .
Considérons la proposition définie pour tout entier naturel tel que par :
( ) (
)
D’après la question précédente et d’après la première question,
( )
(
) (
)
(
)
La proposition ( ) est donc vraie, c’est-à-dire que la proposition est initialisée au rang .
Montrons désormais que, pour entier naturel fixé tel que , ( ) ( ). Autrement dit, supposons
( ) vraie à un rang fixé, c’est-à-dire supposons (
)⏟
, et montrons
alors que ( ) est vraie, c’est-à-dire montrons que (
( ) ).
( ) ⏟
( ) (
)
(
)
( ) (
( ) )
La proposition ( ) est donc vraie, c’est-à-dire que la proposition est héréditaire.
On vient d’établir que ( ) est vraie et que, pour entier naturel fixé tel que , ( ) ( ).
Autrement dit, on vient de montrer que la proposition est initialisée au rang et est héréditaire donc, d’après
le principe du raisonnement par récurrence, la proposition est vraie pour tout entier naturel .
Une proposition est un
énoncé, soit vrai, soit faux.
Fonction exponentielle – Encadrement du nombre – Exercices corrigés
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Ainsi, il résulte que, pour tout entier naturel ,
(
)
6) Donnons dès lors une expression du nombre . Pour ce faire, prenons appui sur le résultat précédent.
(
) (
)
⏟ ( )
(
) ⏟
⏞
( )
Ainsi,
( )
(
). Or, d’après la question 3),
d’où
( ) . Par conséquent,
(
).
Autrement dit, en remarquant que
, il vient que
∑
Remarques :
1) Il peut être également montré que le nombre est irrationnel.
2) Le nombre est l'unique solution de l'équation où ln désigne la fonction logarithme népérien.