SCHEMA 01 La « loi de l’utilité marginale décroissante ...eco.um1.free.fr/Cours/Semestre 2/Microeconomie 2/martos/schemas.pdf · Utilité totale 0 30 55 75 90 100 105 108 109

SCHEMA 01

Initiation à la micro-économie - Fernando Martos - IAMM - 2011Cette création est mise à disposition sous un contrat Creative Commons : utilisation non commerciale, sans modification.

La « loi de l’utilité marginale décroissante » ou « première loi de Gossen » (1811 - 1858)

Nombre de verres

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Utilité totale

0

30

55

75

90

100

105

108

109

109

104

Utilité marginale

-

30 - 0 = 30

55 - 30 = 25

20

15

10

5

2

1

0

-5

L’Utilité Totale augmente à taux décroissant, passe par un maximum avant de décroître.

L’Utilité Marginale (variation de l’Utilité Totale quand N varie) est donc :

Positive décroissant puis Nulle pour N = 9 Négative au-delà

Dans cette approche « Néo-Classique », l’Utilité Marginale est supposée représenter la « Valeur d’Echange » que CET individu reconnaît à telle unité de ce bien. Supposons qu’il s’agisse ici de verres de « Coca-Cola ». Il est clair que le fait même de considérer cet « objet » comme un « Bien », c’est-à-dire comme quelque chose susceptible de satisfaire un besoin (ici la Soif) dépend de l’individu considéré. Si vous êtes allergique au « Coca-Cola » vous ne lui reconnaîtrait aucune « Valeur d’Usage » dit autrement vous ne le considérerait donc pas comme un « Bien ».

Tel n’est pas le cas de notre individu : il considère le « Coca-Cola » comme un « Bien ». Reste qu’on suppose qu’au fur et à mesure qu’il absorbe des verres… il a de moins en moins soif !

L’affirmation peut vous sembler triviale : elle est néanmoins FONDAMENTALE puisque, comme nous le verrons par la suite ce n’est que si nous acceptons ce postulat que nous serons en mesure d’exprimer des fonctions de Demande « normales » (i.e : décroissantes du prix) but ultime de ce début de cours !

L’Utilité Marginale (Valeur d’Echange) n’est au fond que le « prix dans sa tête » que cet individu est disposé à payer. Dit autrement,

confronté à un prix P il ne consommera que les verres auxquels il reconnaît une Um > P.

Il n’absorbera donc le verre n°9 (auquel il ne reconnaît aucune « valeur ») que si untel accepte de lui offrir (P = 0 pour lui). Il n’absorbera donc le verre n°10 (d’utilité négative pour lui) que si untel lui offre ET l’indemnise de la désutilité qu’il éprouverait ! Ce dernier cas ouvrirait donc la porte à la possibilité de prix négatifs !

On comprend donc que, pour la suite de nos propos, nous ne retiendrons que les cas dans lesquels l’Utilité Marginale est ≥ 0.

SCHEMA 02


0

UT

x

y

L’individu est confronté à deux biens. Sa « Fonction d’Utilité » (sur laquelle nous reviendrons plus loin) indique l’évolution de l’Utilité Totale ressentie par lui en fonctions des quantités de X et de Y.Fixons la quantité de Y : nous examinons l’évolution de UT en fonction de la seule variation de QX.

Nous retrouvons notre schéma 1 si X est du « Coca-Cola ».L’Utilité Totale augmente à taux décroissant (pour Y donné lorsque QX augmente). L’Utilité Marginale de X (dU / dx = tangente α) est donc positive décroissante (tant que QX < Z).

UT

x

UMx

x0

0αα z

z

La « loi de l’utilité marginale décroissante » En continu dérivable via la Fonction d’Utilité

Sens de vision

SCHEMA 03


Dans un tel cas, l’Utilité Marginale serait croissante pour QX comprise entre O et A « puis » décroissante (conforme à notre postulat) pour QX comprise entre A et Z. Nous aurons à insister plus avant sur le fait que cette autre présentation (donc ce type de fonction d’utilité) ne présente en fait que peu d’intérêt (la Fonction de Demande serait croissante de son prix entre O et A !).

UT

x

UMx

x0

0Z

Z

A

A

La « loi de l’utilité marginale décroissante »En continu dérivable via la Fonction d’Utilité non-homogène

0

UT

x

y

Sens de vision

SCHEMA 04


UT

QUM

Q

EAU

DIAMANT

Interprétation « néo-classique » du paradoxe dit « de l’eau et du diamant »

Dans ses « Recherches sur la nature et les causes de la Richesse des Nations » (1776), Adam SMITH (1723-1790) notait le paradoxe devenu célèbre suivant :

La « Valeur d’Usage » de l’Eau est très importante (car il s’agit d’un bien vital) alors que, hors conditions extraordinaires (désert…) sa « Valeur d’Échange » est faible. À l’inverse,La « Valeur d’Usage » du Diamant est faible (il n’est pas indispensable) ce qui ne l’empêche pas d’avoir une forte « Valeur d’Échange » !

Rappel : Pour A. Smith, la « Valeur d’Échange » ou « Prix Réel » d’une denrée quelconque pour celui qui désire l’échanger est « la quantité de Travail que cette denrée le met en état d’acheter ou de commander ». Théorie dite « objective de la Valeur.

En assimilant l’Utilité Totale à la « Valeur d’Usage » et l’Utilité Marginale à la « Valeur d’Échange » certains auteurs néo-classiques prétendent (sur base d’une théorie « subjective » de la Valeur) proposer une explication à ce paradoxe.

SCHEMA 05


La loi d’égalisation des Um pondérées par les prixou « seconde loi de Gossen » (1811 - 1858)

Qx

1

2

3

4

5

6

7

8

U totale X

80

150

210

260

300

330

350

360

UmX

80

70

60

50

40

30

20

10

Umx/Px

40

35

30

25

2015

10

5

Umy/Py

100

70

60

40

30

2010

10/3

U totale Y

300

510

690

810

900

960

990

1000

Qy

1

2

3

4

5

6

7

8

On suppose que le consommateur est « rationnel » et « preneur de prix ».On suppose qu’il dispose d’un revenu R = 28On se donne Px = 2 et Py = 3L’individu « commence » par acheter une unité de Y (car 100 > 40). Dépense totale = 3. Il achète « ensuite » une seconde unité de Y (car 70 > 40). Dépense totale = 6.Il achète « ensuite » une troisième unité de Y (car 60 > 40). Dépense totale = 9.Il achète « ensuite » une première unité de X & une 5° unité de Y (car 30 = 30). Dépense totale = 21.Il achète « ensuite » une première unité de X (car 25 > 20). Dépense totale = 23.Il achète « enfin » une 5° unité de X & une 6° unité de Y (20 = 20). Dépense totale = 28 = R.

C’est là son « panier optimal » (x* = 5 et y* = 6) : sous les contraintes qui sont les siennes (R = 28) et des prix qui s’imposent à lui il ne peut mieux faire que UT = 300 + 960 = 1260.

Ce « panier optimal » est caractérisé par l’égalisation des utilités marginales pondérées par les prix (20 = 20) ou « Seconde Loi de Gossen ». Dit encore autrement le rapport des Um est égal au rapport des prix.

Il pourrait dépenser R = 28 autrement mais il n’obtiendrait alors qu’un niveau U inférieur. Exemple : pour x = 2 et y = 8 il dépense (4 + 24) = 28 mais alors U = 150 + 100 = 1150 < 1260 Dans ce cas : UmX / UmY = 70/10 = 7 est > PX / PY = 2/3. Ne pouvant « jouer » sur le rapport des prix il se doit de diminuer le rapport des Um en substituant du X à du Y.

Il pourrait atteindre autrement ce niveau U = 1260 mais la chose supposerait alors que R > 28. Exemple : pour x = 8 et y = 5 nous avons bien U = 360 + 900 = 1260 mais R = 16 + 15 = 31 > 28. Dans ce cas : UmX / UmY = 10/90 = 0,111 est > PX / PY = 2/3. Ne pouvant « jouer » sur le rapport des prix il se doit d’augmenter le rapport des Um en substituant du Y à du X.

SCHEMA 06


Les paniers A et B se situent à la même « hauteur » par rapport au plan de base. Cet individu juge donc qu’ils lui procurent le même niveau d’utilité totale alors même que le panier A comporte relativement « beaucoup de bien X » et « relativement peu de bien Y » quand le panier B est composé strictement en symétrique.

Le même commentaire est applicable aux paniers C et D : il juge que ces paniers lui procurent un niveau d’utilité totale identique à ceci près que ce niveau U2 est « supérieur » à U1. L’optique étant ici « ordinale » nous ne pouvons aller au-delà : surtout ne pas comparer quantitativement U2 et U1 !Projetées sur le plan de base, ces diverses « courbes de niveau » dessinent un nombre infini de « Courbes d’Indifférence » (ou « d’Iso-Utilité ») : la « Carte d’Indifférence » de ce consommateur.

Les Courbes d’Indifférence (ou d’Iso-Utilité)

0

UT

U2

U1

x

A

B

y

U2

U1

C

D

SCHEMA 07


Les paniers A et B sont jugés équivalents : ils procurent U1 à l’individu concerné.Les paniers C et D sont jugés équivalents : ils procurent U2 à l’individu concerné.Les paniers E et F sont jugés équivalents : ils procurent U3 à l’individu concerné.Le panier C est préféré au panier A (optique ORDINALE) et le panier E est préféré au panier C.Le panier E est donc préféré au panier A : TRANSITIVITÉ des choix deux courbes U de niveaux différents ne peuvent donc se couper !

Les paniers E et G sont jugés équivalents alors que G impliquerait, par rapport à E de disposer à la fois de plus de X et de plus de Y. En G il y aurait « gaspillage » de bien Y (notez bien que cette notion n’a rien à voir avec l’aspect financier des choses !). Dit autrement, en G, l’Um de Y serait négative (et nulle en E)…ce qui est exclu par définition même d’une « Fonction d’Utilité ».

Les paniers F et H sont jugés équivalents alors que H impliquerait, par rapport à F de disposer à la fois de plus de X et de plus de Y. En H il y aurait « gaspillage » de bien X (notez bien que cette notion n’a rien à voir avec l’aspect financier des choses !). Dit autrement, en H, l’Um de X serait négative (et nulle en F)…ce qui est exclu par définition même d’une « Fonction d’Utilité ».

Carte d’indifference et notion de « gaspillage »

0

y

x

A

B

C

D

E

F

G

H

U3

U2

U1

SCHEMA 08


Généralisons le schéma 07.La « Ligne de faîte » OA est lieu géométrique des paniers caractérisés par Umy = 0La « Ligne de faîte » OB est lieu géométrique des paniers caractérisés par Umx = 0

Dit autrement : La « Ligne de faîte » OA est lieu géométrique des paniers caractérisés par TMSXY = ∞La « Ligne de faîte » OB est lieu géométrique des paniers caractérisés par TMSXY = 0Les paniers composant la Zone I sont caractérisés par un « gaspillage de Y » : Umy < 0Les paniers composant la Zone II sont caractérisés par un « gaspillage de X » : Umx < 0

Ces deux ensembles sont donc de ce fait exclus par définition même de la notion de Fonction d’Utilité ! N’est retenue que la Zone III caractérisée par :

UmX et UmY > 0

Les « lignes de faîte « (ou « de crête »)

0

y

x

A

B

U2

U1

Umx et Umy >0

( I )

( II )

( III )

SCHEMA 09


Les courbes U1 et U2 ne peuvent se couper. En effet si tel était le cas, l’individu serait :

indifférent entre les paniers A et B relevant de U1indifférent entre les paniers B et C relevant de U2

…donc indifférent entre les paniers A et C relevant de deux niveaux différents d’utilité !

Transitivité des choix : Si le panier D est préféré au panier A et si le panier E est préféré au panier D le panier E sera préféré au panier A.

Deux courbes d’indifference ne peuvent se couperHypothèse de transitivité des choix

0

y

x

U2

U1

U3

U4

A

B

C

D

E

SCHEMA 10


∆y

∆x

0

y

x

A

B

α

Notion de « Taux Marginal de Substitution de X à Y » (TMSXY

)

Définition : On nomme TMS de X à Y le nombre d’unités de bien Y que tel individu est disposé à céder contre plus d’unités de bien X tout en maintenant inchangé son niveau d’utilité totale (donc, sur telle courbe d’indifférence) :

ΔY / ΔX

Il est clair que ce rapport est négatif. J’ai pour ma part l’habitude de raisonner en valeur absolue (relire le commentaire accompagnant le schéma 8).Pour des variations non infinitésimales, le TMSXY correspond donc à la tangente de l’angle α formé par la corde AB avec l’axe OX.Si ΔX 0 alors le TMSXY=dy/dx c’est-à-dire la pente de la tangent en tout point à la courbe U.

Economiquement parlant, puisque ΔU=0 entre A et B, il vient :

dy.UmY=dx.UmX dy/dx=UmX/UmY

Le TMS de XY (mais ceci n’en est pas la définition !) correspond, en tout point de U au rapport des Um évalués en ce point.

SCHEMA 11


Le TMSXY = dy / dx = tangente α est décroissant dans le sens de la flèche (c’est-à-dire lorsque du X est substitué à du Y). Rappel : je raisonne en valeur absolue !Le TMSXY est infini en Z et nul en G : Z et G relèvent des « Lignes de faîte » (voir schéma 8).

Les courbes d’indifférence sont donc convexes. Économiquement parlant, cet individu juge donc les bien X et Y comme étant dans un rapport d’imparfaite substituabilité.

N.B1 : Nous comprendrons plus loin pourquoi cette hypothèse de convexité est fondamentale.N.B2 : La substituabilité n’est en rien inhérente aux biens : il ne s’agit que d’un jugement de tel individu.

0

αα

A

B

y

x

Z

G

Hypothèse fondamentale : décroissance du TMSXY

< > convexité (stricte) des courbes U < > X et Y jugés imparfaitement substituables

SCHEMA 12


Constance du TMSXY

: biens jugés parfaitement substituables

0

y

x

α α α

U0

U1

U2

Si le TMSXY (tangente α) est constant, les biens X et Y sont jugés parfaitement substituables par ce consommateur.Nous comprendrons plus loin pourquoi, en fait, cette hypothèse est à exclure.

SCHEMA 13


Cet individu envisage les biens X et Y comme étant dans un rapport de complémentarité stricte.

Par exemple : Y correspond à « une tasse de café » et X correspond à un morceau de sucre. S’il dispose d’une tasse assortie de 2 morceaux de sucre, il atteint (panier A) le niveau U1 . S’il veut atteindre le niveau U2, il doit disposer de 2 tasses de café alors nécessairement assorties de 4 morceaux de sucre (panier B)…etc…

En C il dispose de 4 morceaux de sucre dont 2 ne seront pas utilisés. Les paniers A et C procurent le même niveau d’utilité U1. En C nous aurions « gaspillage » de X (sucre).

Les paniers A et C sont « efficaces » (ils permettent d’atteindre le niveau U1) mais seul le panier A est « efficient » (pas de gaspillage). Il en va de même en B.

En D il dispose de 2 tasses dont l’une ne sera pas consommée…faute de sucre. Les paniers A et D procurent le même niveau d’utilité U1. En D nous aurions « gaspillage » de Y (café).

Les paniers A et D sont « efficaces » (ils permettent d’atteindre le niveau U1) mais seul A est « efficient » (pas de gaspillage). Il en va de même en B que nous dirons « efficient » quand C n’est qu’efficace.

L’efficacité se juge à la capacité d’atteindre tel but quand l’efficience se juge aux moyens engagés. Un panier efficace n’est pas nécessairement efficient alors qu’in panier efficient est nécessairement efficace.

Nous verrons, lors de l’introduction de la contrainte financière pourquoi cette hypothèse de biens jugés strictement complémentaires est à exclure dans l’approche qui est la nôtre.

La complémentarité stricte : autre hypothèse à exclure « efficacité » et « efficience »

0

y

x

A

B U2

U1

C

D

2 4

Café

Sucres

2

1

SCHEMA 14


0

y

x

αα

A

B

La concavité des courbes U : autre cas à exclure

Dans un tel cas, le TMSXY serait croissant (je raisonne en valeur absolue) dans le sens de la flèche.

Cette hypothèse est totalement à exclure dans notre optique puisque, comme nous le verrons en introduisant la contrainte budgétaire et l’hypothèse de rationalité, elle conduirait à des solutions dites « en coin » l’individu consacrant l’ensemble de ses moyens à n’acheter que du bien X ou que du bien Y… ce qui ne le prédisposerait guère à échanger !

SCHEMA 15


On suppose que l’individu dispose d’un revenu (noté R) qu’il dépense totalement à acheter les biens X et Y à des prix unitaires Px et Py qui s’imposent à lui (on le dit alors « preneur de prix)Nous verrons plus loin (schémas 34 à 37) comment il obtient R en travaillant et comprendrons plus loin (en étudiant le marché théorique dit de « Concurrence Pure et Parfaite ») pourquoi les prix s’imposent à lui.

Il vient donc : R = x.Px + y.Py y = R /Py – x.Px / Py

Expression de la « Droite de Budget » (ou lieu géométrique des paniers financièrement accessibles à cet agent) dont la pente (toujours en valeur absolue) est donnée par le rapport des prix (tangente β).

Un panier tel que B est financièrement impossible à atteindre. Un panier tel que A est exclu du fait de l’hypothèse selon laquelle l’individu dépense l’ensemble de son revenu R. (hypothèse qu'il convient de ne pas confondre avec celle de rationalité).

La contrainte budgétaire ou « droite de budget »

0

y

x

β

A

B

RPy

RPx

SCHEMA 16


Si R augmente (pour Px et Py donnés) la contrainte budgétaire se déplace vers le « Nord-Est » dans le quadrant représentatif. L’individu est alors enrichi. Son revenu « nominal » et (les prix ne changeant pas) son revenu « réel » (ou pouvoir d’achat) augmentent.Le même graphique A peut représenter le cas dans lequel, pour R inchangé, les prix Px et Py diminuent sans modification de leur rapport (donc de α). L’individu est alors enrichi « en termes réels ».

Le graphique B illustre le cas dans lequel l’individu voit son « revenu réel » augmenter du fait d’une diminution de Px ceteris paribus.

Le graphique C illustre le cas dans lequel l’individu voit son « revenu réel » diminuer du fait d’une augmentation de Py ceteris paribus.

Déplacement de la « droite de budget »

0

y

xαα

R2Py1

R1Py1

R1Px

R2Px

0

y

x

RPy

RPx1

RPx2

0

y

x

RPy1

RPy1

RPx

AA BB CC

SCHEMA 17


L’hypothèse de rationalité (substantive) signifie que le consommateur est à la recherche d’un optimum sous contrainte. Deux optiques duales sont alors envisageables :

En fonction de son R (qu’il dépense en totalité) et des prix (Px et Py) qui s’imposent à lui le consommateur « rationnel » va choisir le panier optimal (x*, y*) qui maximise son niveau d’utilité totale sous cette contrainte financière. Par exemple les paniers A et E impliquent le même niveau de R alors que E procure un niveau U1 supérieur (optique ordinale) à U0 associé au panier A. Dit autrement le TMSXY en A (pente de la tangente α à U en A) est > Px / Py (pente de la « Droite de Budget ») qui s’impose à lui. À partir de A, il doit substituer du X à du Y jusqu’à ce qu’en E le TMSXY soit égal au rapport (Px / Py) des prix (tangente β).

De façon symétrique, pour un niveau donné d’utilité qu’il se fixe comme objectif, le consommateur « rationnel » retiendra le panier optimal (x*, y*) qui lui permet de minimiser le revenu nécessaire (pour Px et Py s’imposant à lui). Par exemple, les paniers B et E lui procurent U1 mais le revenu associé à B est > à celui associé à E. Dit autrement, le TMSXY en B est > Px / Py : il doit substituer du X à du Y.

À l’équilibre (E) :

TMSXY = tangente α = dy / dx = Umx / Umy = Px / Py = tangente β

Dit autrement, en E :

Umx / Px = Umy / Py …dite « Seconde loi de Gossen »

Equilibre du consommateur rationnel (à rapprocher du schéma 5)

0

y

xα = βα

AB

E

RPy

RPx

U1U

0

SCHEMA 18


Généralisons l’optique 1 exposée dans le schéma 17.Le rapport des prix (pente de la « Droite de Budget » = tangente β) s’impose à l’agent. Pour R1 la droite AB représente le lieu géométriques des paniers qui lui sont financièrement accessibles.

L’individu étant par ailleurs supposé « rationnel » (TMSXY = Px / Py) il va se situer sur la courbe représentative (dite « Eutope » de « eu » préfixe signifiant « bon » ou « correct » et « topique » = l’endroit). En clair H1 (pour hypothèse 1) représente le lieu des paniers « rationnels ».

Pour le revenu R1, le panier optimal (rationnel et financièrement possible) ne peut donc être que le panier E1.Pour le revenu R2 > R1, le panier optimal (rationnel et financièrement possible = Droite CD) ne peut donc être que le panier E2, etc. (en fonction de R).

La généralisation de cette approche (Max de U sous contrainte) mène :Aux fonctions marschalliennes de « Demande » (schéma 20) si seul l’un des deux prix est supposé varier.À l’examen de la « nature » des biens (« Lois de Engel ») si seul R est censé variable (schémas 31 & 32).

La maximisation de U sous contrainte

0

y

x

ββ

A

C

B

U2

U1

E1

E2

D

H1/Eutope

x1

* x2

*

y2

*

y1

*

SCHEMA 19


Généralisons l’optique 2 exposée dans le schéma 17.L’hypothèse de « rationalité » conduit le consommateur à se situer sur H1 (Eutope le long duquel TMSXY = Px / Py).

S’il se fixe pour objectif d’atteindre U1, cet objectif sera atteint rationnellement (au moindre R) en E1 (le panier A pour lequel le TMSXY serait > Px / Py et le panier B pour lequel le TMSXY serait < Px / Py supposeraient des niveaux de R plus élevés).

De la même façon, si son objectif est U2, la rationalité le conduira à choisir le panier E2 (qui lui permet d’atteindre ce niveau de U au moindre coût).

La généralisation de cette approche (Min de R sous contrainte de U) mène aux fonctions hicksiennes de « Demande ».

La minimisation de R sous contrainte

0

y

x

U2

U1

E1

E2

H1

x1

* x2

*

y2

*

y1

*

A

B

SCHEMA 20


Il s’agit de généraliser l’approche Max de U ! sous contrainte financière traduite dans le schéma 18. Nous procédons donc à une « expérience » au sens strict de ce terme : isoler une relation supposée causale. Dans le cas qui nous occupe, puisqu’il s’agit d’examiner la seule influence possible de Px sur Q*x nous raisonnons ceteris paribus (ici pour R et Py donnés. Le point A est donc fixe).

Pour une valeur initiale Px1 du prix unitaire de X, l’individu « rationnel » maximise son utilité totale sous contrainte financière en 1 point où :

TMSXY = Px1 / Py

Dans la partie basse du graphique, nous mettons donc en regard ces valeurs de la variable explicative (Px) et de la variable expliquée (Q*x).Pour Px2 < Px1, l’individu maximise U en 2 caractérisé par :

TMSXY = Px2 / Py

Dans la partie basse du graphique, nous mettons donc en regard ces nouvelles valeurs de la variable explicative (Px) et de la variable expliquée (Q*x). Il est clair que U2 > U1. On dit que l’individu est « enrichi en termes réels ». Il est possible d’envisager ainsi, en statique comparative, une infinité de valeurs de Px.Le long de la fonction de demande « marschallienne » l’utilité totale est donc croissante (pour mémoire, par opposition aux demandes « hicksiennes » le long desquelles U reste, par construction, constante : généralisation du schéma 19).

Ligne de « consommation - prix » et fonction de demande « Marschallienne »

0

y

x

x

A

RPx

3

RPx

2

RPx

1

U1

U2

Ligne de consommation - prix

Demande de X

RPy

Px

Px1

Px2

Px3

U3

x*3

x*2

x*1

12

3

SCHEMA 21


Pour telles valeurs de R, Py et Px, l’individu rationnel maximise U en 1 :

TMSXY = Px1/Py = tangente α

Nous augmentons Px ceteris paribus. Changent alors et la pente de la Droite de Budget et celle de l’Eutope. L’individu rationnel (plus pauvre en termes réels) va alors se situer en 2 :

TMSXY = Px2/Py= tangente β

En fait, nous venons d’appliquer par deux fois la logique inhérente au schéma 18.

Question : Quel est le panier qui lui permet désormais d’atteindre U1 avec un revenu minimum ?C’est la logique inhérente au schéma 19 qui nous donne la réponse. L’individu va se situer en Z, panier pour lequel TMSXY = Px2/Py = tangente β.

Un retour en 1, pour le même niveau U1, supposerait un R > R*Z (car alors nous aurions TMSXY = Tg α < Px2/Py…et la « Seconde loi de Gossen » ne serait pas respectée !).

Dans le cas ici illustré, l’Effet de Substitution (1 Z) et l’Effet de Revenu (Z 2) se cumulent (« moins de X quand Px augmente ») permettant ainsi de prédire que la fonction de Demande de X (une fois établie son expression mathématique) sera « normale » (c’est-à-dire décroissante de son prix).

Décomposition d’un « effet prix » Méthode de J. Hicks, dite de la « variation compensée » : hypothèse d’une augmentation de Px ceteris paribus

0

y

x

αββ

U2

Euto

pe 2R

Py

R*zPx

2

RPx

2

RPx

1

U1

12

Eutope 1z

ER

ES

EF

SCHEMA 22


Pour telles valeurs de R, Py et Px, l’individu rationnel maximise U en 1 :

TMSXY = Px/Py1 = tangente α

Nous diminuons Py ceteris paribus. Changent alors et la pente de la Droite de Budget et celle de l’Eutope. L’individu rationnel (plus riche en termes réels) va alors se situer en 2 :

TMSXY = Px/Py2= tangente β

En fait, nous venons d’appliquer par deux fois la logique inhérente au schéma 18. Question : Quel est le panier qui lui permet désormais de revenir sur U1 avec un revenu minimum ?C’est la logique inhérente au schéma 19 qui nous donne la réponse. L’individu va se situer en Z, panier pour lequel TMSXY = Px/Py2 = tangente β.

Un retour en 1, pour le même niveau U1, supposerait un R > R*Z (car alors nous aurions TMSXY = Tg α < Px/Py2…et la « Seconde loi de Gossen » ne serait pas respectée !).

Dans le cas ici illustré, l’Effet de Substitution (1 Z) et l’Effet de Revenu (Z 2) se cumulent (« plus de Y quand Py diminue ») permettant ainsi de prédire que la fonction de Demande de Y (une fois établie son expression mathématique) sera « normale » (c’est-à-dire décroissante de son prix).

Décomposition d’un « effet prix » Méthode de J. Hicks, dite de la « variation compensée » : hypothèse d’une diminution de Py ceteris paribus

0

y

x

RPy

2

RPy

1

RPx

αβ

U2 Eu

tope

2U

1

1

2

Eutope 1

z ER

ES

SCHEMA 23


Nous raisonnons ici comme dans le schéma 22 : modification de Py ceteris paribus.

Nous remarquons que, dans ce cas, ladite variation laisse inchangée la coordonnée en X de l’équilibre ! Dit autrement, dans ce cas, l’Effet de Substitution et l’Effet de Revenu (mesurés sur l’axe des x !) se compensent. Ce sera le cas lorsque la fonction d’utilité est de la forme

U = xα . yβ

Les fonctions de Demande en X et en Y sont alors représentées par des branches d’hyperboles équilatères.

Décomposition d’un « effet prix » : un cas particulier

0

y

xRPx

U2

RPy

1

RPy

2

U1

1

2

z

ER

ES

x*

SCHEMA 24


Nous raisonnons ici comme dans le schéma 21 : modification de Px ceteris paribus.

Nous remarquons que, dans ce cas, ladite variation laisse inchangée la coordonnée en Y de l’équilibre ! Dit autrement, dans ce cas, l’Effet de Substitution et l’Effet de Revenu (mesurés sur l’axe des y !) se compensent. Ce sera le cas lorsque la fonction d’utilité est de la forme

U = xα . yβ

Les fonctions de Demande en X et en Y sont alors représentées par des branches d’hyperboles équilatères.

Décomposition d’un « effet prix » : un cas particulier

0

y

xRPx

1

RPx

2

U2

RPy

y*

U1

12

z

ERES

SCHEMA 25


Elasticite-directe de la demande / prix

Il s’agit d’étudier la sensibilité de la Q*x demandée suite à une variation de Px ceteris paribus (c’est-à-dire alors que Py et R restent inchangés).

Attention (confusion fréquente) Ici nous nous déplaçons donc sur la courbe de demande de X alors qu’une modification de R ou de Py provoqueraient un déplacement de la courbe de demande de X dans son quadrant ! (voir schéma 33 - les concepts d’élasticité-croisée et d’élasticité-revenu).

Par définition e = (∆Qx / Qx) / (∆Px / Px)

(δQx / δPx) . Px / Qx (si ∆Px 0)

Remarques importantes

Il s’agit donc d’un nombre sans dimension (puisque rapport de deux variations relatives : % / %).

Dans notre univers walrasien, puisque la demande de x est « normalement » décroissante de Px, ce coefficient d’élasticité

est normalement négatif à la limite, il peut être nul (voir schéma suivant) mais il est par contre incohérent de l’envisager positif. La « demande » serait alors croissante de son prix… en totale contradiction avec notre postulat initial (« première loi de gossen », schéma 2).

Ce coefficient est génèralement variable de long de la courbe de demande. Il n’existe que 3 exceptions c’est-à-dire 3 cas dans

lesquels le coefficient « e » est constant le long de la demande (dite alors « iso-élastique »). Voir schéma 26 ci-après.

Typologie

Lorsque « e » est compris entre -1 et - ∞ la demande est dite « élastique » (d’autant plus fortement que e - ∞).

Lorsque « e » est compris entre –1 et 0 la demande est dite « inélastique » (d’autant plus que e 0).

Lorsque e = 0 la demande est dite « rigide » (ou « parfaitement inélastique »).

11

22

33

SCHEMA 26


Dans l’hypothèse A les variations du prix du bien restent sans influence sur la quantité demandée de ce bien Q* (comparez aux schémas 20 et 21 Supra dans lesquels ce n’est pas le cas !).Le coefficient d’élasticité-directe-prix est alors constant le long de la courbe de demande avec :

e = 0

Dans l’hypothèse B le coefficient d’élasticité-directe-prix est alors constant le long de la courbe de demande avec :

e = infini

(nous reviendrons plus loin sur ce cas en étudiant le modèle de la « Concurrence Pure et Parfaite »)

Dans l’hypothèse C toute variation de x% du prix entraîne (quel que soit le point de départ) une variation de Q* de x% mais de sens contraire. Le coefficient d’élasticité-directe-prix est alors constant le long de la courbe de demande avec :

e = - 1

Ce dernier cas correspond à nos schémas 23 et 24. La fonction d’utilité est de la forme :U = xα . yβ et les fonctions de Demande sont représentées par des branches d’hyperboles équilatères.

Les 3 cas de fonctions de demande iso-elastiques

0

P

Q*

e = 0 = ct

AA

0

P

Q*

e = ∞ = ct

BB

0

P

Q*

e = -1 = ct

CC

SCHEMA 27


RT

QP

Q0 Q4

Q3

b/2a b/a

Q2

Q1

P1

P2

P3

P4

A

B3

4

2

1

3

42

1

« Parabole des recettes » ou « loi de G. King »

On suppose que la « Fonction de Demande » (c’est-à-dire Q = f(P)) est de type linéaire. Donc, la « Fonction de Demande Inverse » (c’est-à-dire P= f(Q)) est de la forme :

P = a.Q + b (avec, bien entendu, a < 0)

Recette Totale : RT = P.Q = a.Q2 + b.Q

Recette marginale : (Rm) = RT’ = 2 a.Q + b

Si P = P1 Q = Q1 et RT1. Pour augmenter cette RT (par exemple en RT2) il convient donc de diminuer P. La chose va entraîner une augmentation de Q (passant de Q1 à Q2) plus que proportionnelle (en valeur absolue). Dit autrement, sur la zone OA de la Demande (correspondant à la branche croissante de la parabole représentative de la RT) le coefficient d’élasticité-directe-prix est supérieur à 1 (je raisonne en valeur absolue !)

Si P = P3 Q = Q3 et RT3. Pour augmenter cette RT (par exemple en RT4) il convient donc d’augmenter P. La chose va entraîner une diminution de Q (passant de Q3 à Q4) moins que proportionnelle (en valeur absolue). Dit autrement, sur la zone AB de la Demande (correspondant à la branche décroissante de la parabole représentative de la RT) le coefficient d’élasticité-directe-prix est inférieur à 1 (je raisonne en valeur absolue !)

Rm

SCHEMA 28A


P

Q0

P*

A

B

Z e = -1

e < 1e > 1

Rm

Evolution de « e » le long d’une demande linéaire : une relation fondamentale

P = a.Q + b

RT = P.Q = a.Q2 + b.Q

Rm = RT’ = 2 a.Q + b

La RT sera maximale si RT’ = Rm = 0 c’est-à-dire si (dérivée d’un produit) :Rm = d(P.Q)/dQ = (P. dQ/dQ) + (Q . dP/dQ) = P + (Q . dP/dQ) = P [1 + Q/P . dP/dQ] = 0

Or, puisque (voir schéma 25) e = (dQ/dP) . (P/Q), il vient : La RT sera maxi si :

Rm = P (1 + 1/e) = 0

Comme la RT ne peut être maxi avec P = 0 c’est donc la parenthèse qui doit être nulle, c’est-à-dire lorsque e = - 1 (point Z correspondant à P* sur le graphique).

Entre A et Z (c’est-à-dire pour P > P*) pour augmenter la RT il convient de diminuer P car la Demande y est alors élastique (|e| > 1). Par exemple, une baisse de P de 10% entraînera une augmentation de Q de 20% (donc la croissance de RT = P.Q).

Entre Z et B (c’est-à-dire pour P < P*) pour augmenter la RT il convient d’augmenter P car la Demande y est est alors inélastique (|e| < 1). Par exemple, une augmentation de P de 10% n’entraînera qu’une diminution de Q de 5% (donc la croissance de RT = P.Q).

SCHEMA 28B


P

Q0

e = -1

e < 1e > 1a/b

a/2b

a/2 a

Evolution de « e » le long d’une demande linéaire : une autre démonstration ( à vous de choisir ! )

Soit une fonction de Demande de la forme :

Q = a –b.PSi P = 0 Q = a

Si Q = 0 P = a / b

Par définition, e = (dQ/dP). (P/Q)

Donc, en ce cas : e = - b . P/Q = (- b.P) / (a – b.P)

Donc :

Si P = 0 e = 0

Si Q = 0 e = infini

Si P = a/2b e = - b . [(a/2b) / (a/2)] = - 1

SCHEMA 29


UT

Um QP

Q0 Q*

A

B

« Surplus » du consommateur (J.A. Dupuit, 1844)

Nous avons postulé que l’Utilité totale augmentait à taux décroissant (voir schémas 1 et 2) lorsque la consommation de tel bien augmente. L’utilité marginale est alors admise positive et décroissante (« Première loi de Gossen »).Ce postulat admis, nos fonctions de Demande sont donc, comme ici, « normalement » décroissantes.En effet, cette courbe de Demande nous indique :

Pour tout montant du prix du bien en cause la Q* qui maximise U (revoir votre schéma 20)Ou, dans l’autre sens, pour toute valeur de Q le prix maximum que l’individu en cause accepterait d’acquitter pour en disposer (dit autrement la « valeur d’échange » ou « utilité marginale » qu’il accorde à cette quantité de ce bien).

Le point A correspond au « prix de réserve » (ou « de réservation ») tel que :Q = 0

Si le prix constaté est P, l’individu ne demandera que toutes les unités du bien auxquelles il accorde une Utilité marginale (ou « Valeur en Echange ») supérieure à ce prix de marché. Dans notre cas, pour PB Q*BL’Utilité Totale ressentie (somme des Um) est mesurée par l’aire [AZQ*0]La somme déboursée pour disposer de cette Q* est représentée par l’aire : [BZQ*0].

Le « Surplus » du consommateur (parfois très maladroitement nommé « Rente » !) correspond à un gain psychologique découlant de la différence entre ce qu’il était disposé à acquitter et ce qu’il a effectivement déboursé.Dans notre cas, cette différence, ce « Surplus », est visualisée par l’aire [ABZ].

Uq*

Prix de marchéZ

SCHEMA 30


Variation de « surplus », un jeu à somme non nulle !

Au prix P1 le Surplus = [AP1B].Au prix P2, le Surplus = [AP2C].

La variation de Surplus ou aire [CBP1P2] est :pour partie, détournée par le vendeur : aire [CDP1P2] : sa Recette Totale augmente d’autantpour partie, perdue pour les deux acteurs : aire [CDB]

Il s’agit donc d’un « jeu à somme non-nulle » (et nous y reviendrons en étudiant plus loin le Monopole).P

2

P1

P

Q0

A

B

D

C

SCHEMA 31


Courbe de consommation - revenu et courbe de Engel (1821 - 1893)

Pour telles valeurs de R, Px et Py l’individu supposé rationnel maximise U en A (panier pour lequel TMSXY = Px / Py = tangente α )

Procédons à une expérience : Qu’advient-il de A si R augmente ceteris paribus (donc pour α inchangé) ?

Les paniers optimaux (TMSXY = Px / Py) sont alors A, B, C, D…

La courbe correspondante est dite « Ligne de Consommation/Revenu » ou (je préfère !) « EUTOPE » (c’est-à-dire : lieu où « c’est bon » c’est-à-dire où l’hypothèse de rationalité est vérifiée).

Si nous mettons maintenant en regard la variable expliquée (Q*X) et la variable explicative (R), nous obtenons la « Courbe d’ENGEL» de X. (n.b : il est bien entendu possible d’opérer à l’identique sur le bien Y).

Y

XR

Q*x

0 Q*D

Q*A

RD

RA

αααα

Euto

pe

AB

CD

Courbe d’Engel

SCHEMA 32A


« Les lois » d’Engel

ELASTICITE - REVENU :

eR = ( ∆ QX / QX ) / ( ∆ R / R )

Premier cas ci-contre : Si lorsque, par exemple, R double (pour Px et Py donnés) la Q*x fait plus que doubler, e > 1 et le bien X est alors dit « Supérieur ».

Second cas ci-contre : Si lorsque, par exemple, R double la Q*x fait moins que doubler, e < 1 et le bien X est alors dit « Inférieur ». Si e = 1, le bien sera dit « Ordinaire » (et surtout pas « Normal »… qui qualifie la relation inverse entre Q* x et Px !).

ATTENTION : Ne pas confondre (chose trop fréquente !) augmentation moins que proportionnelle (e < 1) et diminution (e < 0) ! Ce dernier cas est tout simplement impossible (revoir schéma 31) : Q*x ne peut pas diminuer lorsque R augmente (pour des prix unitaires donnés).

R

R

Q*x

Q*x

0 Q1

2R

R

2R

R

Q2 < 2Q

1

Q1

Q2 > 2Q

1

X = « Superieur

X = « Inférieur »

SCHEMA 32B


« Les lois » d’Engel

ATTENTION : Bien souvent dans les manuels, la variable explicative R est placée en abscisses ce qui entraîne de fréquentes erreurs !

eR = (∆ QX / QX) / (∆ R / R)

(dQ / dR). (R/Q) = (dQ / dR) / (Q/R) = tg α / tg β

c’est-à-dire rapport entre la pente de la « Courbe de Engel » et la pente du rayon joignant l’origine à tout point sur ladite courbe.

Si le bien est « Inférieur » alors α < β (sauf si R tend vers l’infini) et e < 1

Si le bien est « Supérieur » alors α > β (sauf si R tend vers l’infini) et e > 1

Si le bien est « Ordinaire » alors α = β et e = 1

Qx

Qx

Qx

R

R

Rα β

α

α = β

β

X = « Superieur »

X = « Ordinaire »

X = « Inférieur »

SCHEMA 33


Augmentation de la demande

ATTENTION : Ne pas confondre (chose fréquente !) déplacement SUR la Demande et déplacement DE la Demande dans son quadrant.

Dans l’illustration ci-contre :

Q*x passe de Q*1 à Q*2 si Px diminue de Px1 à Px2…pour R et Py donnés (passage de A à B). La notion correspondante est donc celle d’élasticité-directe-prix.

Q*x peut passer de Q*1 à Q*2 si pour Px1 donné, le prix Py augmente (passage de A à C). La notion correspondante est celle d’élasticité-croisée. Dans notre cas, cette élasticité-croisée est > 0 (X et Y sont alors jugés dans un rapport de substituabilité par cet agent…hypothèse fondamentale dans l’univers walrasien. Cf Supra).

Q*x peut passer de Q*1 à Q*2 si pour Px1 donné, le revenu R augmente (passage de A à C). La notion correspondante est celle d’élasticité-revenu. Cette élasticité-revenu est > 0… et la question de savoir si elle est supérieure à 1 (X alors dit bien « Supérieur ») ou inférieure à 1 (X alors dit bien « Inférieur ») n’intervient que dans un second temps d’analyse (autre confusion trop fréquente déjà relevée ci avant !).

Px2

Px1

Px

Q*x0 Q*2

Q*1

A

B

C

SCHEMA 34


Allocation optimale du temps

Postulats : « L’Homme n’aime pas travailler ». Donc le taux de salaire doit nécessairement être positif (w > 0) et s’il le pouvait (un ange vivant d’amour et d’eau fraiche !) l’individu ne consommerait (en B) que du « Loisir ».Si à l’inverse, en tant que « robot », il pouvait travailler 24H/24 il ne tirerait son U que de la consommation de biens (autre que le Temps libre) et se situerait alors en A.

Repousser ces 2 hypothèses irréalistes revient à admettre la convexité des courbes U (qui évite les « solutions en coin » : revoir les schémas 11 et 14 supra).L’individu tirera donc U et de la consommation de biens (qu’il ne peut acheter qu’en disposant de R c’est-à-dire en acceptant de travailler) et de la « consommation » de temps libre.

Hypothèse : L’individu est supposé « rationnel ». Il cherche donc à maximiser U (tirée donc à la fois de la consommation de biens et de « loisir ») sous la contrainte de 24H/ Jour.P = Niveau Général des Prixw = Taux de salaire horaire = « coût d’opportunité » d’une heure de loisir.

En E, le TMS est égal au rapport des prix, c’est-à-dire à w/P (ou taux de salaire « réel ») et la répartition des 24 heures disponibles est optimale. En C, il disposerait du même niveau U moyennant moins de travail mais plus de loisirs qu'en E.En D, sous contrainte de 24 heures il ne disposerait que d’un niveau U < UE.

C*

Loisir Travail

0

C

Temps

A

B

24w/P

24

D

E

C

SCHEMA 35


La réaction « normale » suite à une augmentation de « w » l’individu augmente son temps de travail

Supposons que w augmente. La pente de la contrainte est modifiée (passage de A à B).

Puisque dans notre univers walrassien les fonctions de Demande se doivent d’être « normales » (décroissantes du prix)* et puisque notre agent est analysé essentiellement comme un « Demandeur de Loisir » (cf. schéma 34), cette augmentation du coût d’opportunité du Loisir doit « normalement » se traduire par une diminution des heures de Loisir et donc augmentation des heures consacrées au Travail.

L’équilibre passe de 1 à 2. L’utilité totale progresse (malgré la baisse du temps de Loisir) et du fait de l’augmentation de « w » et du fait de la progression des heures consacrées à obtenir R.

Puisque U2 > U1 : nous supposons que l’augmentation de U provenant de l’augmentation de C* est > à la perte de U qu’entraîne la diminution de temps consacré au Loisir.

L’Offre de Travail n’étant obtenue que comme la différence (24 – Demande de Loisir), dans ce cas, « Demande de Loisir » et « Offre de Travail » sont « normales » : décroissante pour la première et croissante pour la seconde.

(*) Nous excluons donc ici totalement la possibilité que 2 se situe « à droite » de 1 : la Demande de Loisir serait « anormale » (croissante de son « prix ») et, donc, l’Offre de Travail le serait aussi (« plus on me paye moins je travaille »).

C*1

C*2

Augmentation du temps de travail

0

C

Temps

A

B24w2

/P

24w1

/P

24

2

1

U2

U1

SCHEMA 36


Le cas limitesuite à une augmentation de « w » l’individu ne modifie pas son allocation

Supposons que w augmente. Nous illustrons ci-dessous le cas dans lequel cette augmentation du coût d’opportunité de l’heure de Loisir n’entraîne aucune modification de l’allocation optimale du temps entre Travail et Loisir. Le niveau d’utilité de l’agent progresse néanmoins (U1 > U2) ici du simple fait de l’augmentation de « w ».

Dans ce cas, la Demande de Loisir sera rigide (inélastique de son « prix ») et donc, l’Offre de Travail qui en découle le sera aussi.

Loisir Travail

C*1

C*2

0

C

Temps

24w2

/P

24w1

/P

24

2

1

U2

U1

SCHEMA 37


W

W Travail

Loisir14h 18h

Demande de loisir et offre de travail

Ces fonctions sont supposées « normales » : décroissante pour la première et (donc) croissante pour la seconde. Pour chaque valeur de « w » : temps de Travail = 24 - demande de Loisir.

Nous admettons ici l’existence d’un « Salaire de réservation » > 0 (c’est-à-dire que pour toute valeur de « w » < SR l’individu se refuse à offrir sa Force de Travail).

W2

W1

SR

W2

W1

SR

Offre de Travail

Demande de Loisir

6h 10h

SCHEMA 38


Boîte d’Edgeworth (F.Y. Edgeworth 1845-1926)

« Etats réalisables » et « Dotations initiales »

Soit 2 consommateurs (notés 1 et 2) sur une île déserte dans laquelle ne sont disponibles (on ne se penche pas ici sur la question de la production des biens !) que 2 biens (notés X et Y) de consommation finale Important : il n’y a pas de monnaie disponible sur cette île !Supposons que les quantités disponibles soient :

x = 50 kgs et y = 20 kgsL’infinité des points (des répartitions) inclus dans la boîte (frontières incluses) sont dits : « États Réalisables »

Hypothèse : 1 et 2 considèrent X et Y comme des substituts les courbes U sont donc convexes (*)Si nous nous donnons le point A en départ d’analyse, il est qualifié de « Dotations Initiales »

« 1 » dispose alors de relativement peu de bien X (par rapport aux 50 kgs disponibles) et, par contre, de relativement beaucoup de Y (par rapport aux 20 kgs disponibles).« 2 » dispose alors, à l’inverse, de relativement beaucoup de bien X (par rapport aux 50 kgs disponibles) et, par contre, de relativement peu de Y (par rapport aux 20 kgs disponibles).

(*) Cette hypothèse de convexité est fondamentale. En effet, si les courbes U pouvaient être concaves nous aurions face à face un individu ne désirant « que du X » et un individu ne désirant « que du Y » (revoir schéma 14). Aucun échange n’aurait alors lieu….rendant alors caduque notre seule question : « quel est le taux d’échange » ? (ou «sur quel prix relatif Px/Py les échanges vont déboucher » ?).

50 Kgy

2

x1

01

x2

02

AB

20

Kg

D

C

F

y2

SCHEMA 39


Les T.M.S. de X et Y des agents 1 et 2 au point « A » (dotations initiales)

En A le TMSXY de 1 est relativement élevé. Autrement dit 1, à partir de A est disposé à abandonner relativement beaucoup de Y pour obtenir en échange plus de bien X (tout en restant sur son niveau initial UA1 d’utilité). Son TMSXY est alors mesuré, par définition, par tangente α.

En A le TMSXY de 2 est relativement faible. Autrement dit 2 est disposé à abandonner relativement peu de Y pour obtenir en échange plus de bien X (tout en restant sur son niveau initial UA2 d’utilité). Son TMSXY est alors mesuré par tangente β.

Dans une application numérique nous saurons (suite à ce calcul des TMS en A) donc, d’ores et déjà :

Qui offrira quoi ? (dans notre exemple l’individu 1 sera offreur de Y).Que le prix relatif Px/Py (une fois les échanges effectués) sera compris entre TMSXY de 1 en A et TMSXY de 2 en A.

Ce prix relatif n’a donc rien (sic) de monétaire. Il ne découle que des Fonctions d’Utilité de nos deux agents et des « dotations initiales » que nous leur accordons !

y2

x1

01

x2

02

A

y2

UA2

UA1

α

β

SCHEMA 40


Echanges non probables car non mutuellement avantageux : notion de « doux commerce »

Passer de A à B n’augmenterait que U2 (et serait sans influence sur le niveau initial, en A, d’utilité de l’agent 1).Passer de A à C n’augmenterait que U1 (et serait sans influence sur le niveau initial, en A, d’utilité de l’agent 2).

Ces échanges, ainsi que des échanges qui conduiraient de A à D (au détriment de l’agent 1) ou de A à E (au détriment de l’agent 2)… sont non-envisageables : tel agent n’est en effet disposé à échanger que si son niveau U progresse par ce biais !

Les échanges mutuellement avantageux (U1 et U2 progressant par rapport à leurs niveaux mesurés en « A ») excluent donc aussi les paniers composant les courbes de niveaux UA1 et UA2 se croisant en A. Le « Cœur » est donc composé de l’infinité des « paniers » qui, par rapport à A, augmentent simultanément U1 et U2 .

y2

x1

01

x2

02

y2

FA

B

D

C

UA2

UA1

SCHEMA 41


« Doux commerce » : échanges mutuellement favorables

Chaque point de la zone hachurée délimitée par les courbes UA1 et UA2 (hors ces « frontières ») représente une allocation qui améliore simultanément U1 et U2 par rapport aux niveaux de U pour les agents 1 et 2 mesurés pour « A ».

On qualifie alors cette infinité de points (frontières exclues) de « Cœur de l’Economie ».

RAPPEL : Notre approche est « ordinale ». Dans telle application numérique, il est donc hors de question de comparer, par exemple, les ∆U des agents 1 et 2 !

y2

x1

01

x2

02

y2

A

UA2

UA1

SCHEMA 42


« Equilibre » et « Optimum de Pareto »

En passant de A (« Dotations Initiales ») au point E l’agent 1 et l’agent 2 considèrent (jugements subjectifs) que leurs niveaux d’utilité progressent par rapport à UA1 et UA2.

A partir de E on ne peut espérer mutuellement mieux. Dit autrement, si à partir de E on désire modifier l’allocation des biens pour faire augmenter U1 ce sera nécessairement au détriment de U2 (et vice-versa).

L’allocation E est dite alors un « Optimum de Pareto ».En ce point E, le TMSXY de 1 = le TMSXY de 2… compris entre les TMSXY calculés lors des « dotations initiales » (voir schéma 39).

La pente de la droite AE rend donc compte du prix relatif (Px / Py) sans que nous ayons à connaître ni Px ni Py.

Est ici illustrée l’hypothèse de « Neutralité » de la Monnaie (cf. Théorie Quantitative de la Monnaie) : Le rapport d’échange ne dépend en rien du volume de la Masse Monétaire en circulation ! Si la Masse Monétaire disponible augmente de x%, chaque prix fera de même : les prix relatifs, qui seuls importent, ne dépendent en rien de la monnaie (Px / Py est une variable « réelle »)Le prix relatif d’équilibre Px/Py sera, bien entendu. (Voir schéma 39) compris entre les TMSXY de 1 et de 2 évalués aux dotations initiales (A).

y2

x1M N0

1

x2

02

y2

A

B

D

C

F

G

Px/Py

HI

P

RE

UA2

UA1

SCHEMA 43


α

U1

U2

0 UA2

« Courbe des possibilités »

Dans cette présentation alternative :

N correspond au niveau U de l’individu 1 si ce dernier disposait de l’ensemble des quantités disponibles des deux biens X et Y.

M correspond à U de l’individu 2 si ce dernier disposait de l’ensemble des quantités disponibles des deux biens X et Y.

A représente les « Dotations Initiales ».

Comme dans le schéma 40, l’échange qui conduirait en B est non probable car seul le niveau de U2 progresserait. Symétriquement, l’échange qui conduirait en C est non probable car seul le niveau de U1 progresserait.

Comme dans le schéma 41, la zone hachurée (hors ses limites AB et AC) représente l’infinité des paniers mutuellement avantageux par rapport à A.

Comme dans le schéma 42, le point E figure ici l’optimum : la pente de la tangente en E à la courbe MN indique le taux d’échange (Px / Py) qui va s’établir (hors toute considération monétaire).

UA1

C

A B

E

M

N

SCHEMA 44


Le panier A qui combine relativement beaucoup de L à peu de K débouche sur le même niveau q1 de production que le panier B qui combine relativement peu de L à beaucoup de K.

Par ailleurs, dans le présent cas, la « Fonction de Production » est dite « non-homogène ».

C’est-à-dire que :

dans une « première » phase une augmentation homothétique des doses combinées de K et de L (par exemple leur doublement) suffira à faire progresser Q plus que proportionnellement (pour garder notre exemple, Q fera plus que doubler) ;

alors que dans une « seconde » phase, la multiplication par m de la dose de K et de la dose de L n’entraînera que multiplication de Q par n (avec : n < m)

Les Courbes isoquantes (Hypothèse d’une Fonction de Production non homogène)

0

Q

q2

q1

L

q0

q0

A

B

K

q2

q1A

B

SCHEMA 45A


Si par exemple la fonction est homogène de degré 0,5, la multiplication par 2 (par exemple) des doses combinées de K et de L n’entraînera qu’une multiplication de q1 par 20,5 1,4.

A et B procurent q1 C et D procurent q2 avec : q2 = q1 x 20,5

Les rendements physiques (hors toute considération de prix !) sont alors dits « Décroissants à l’échelle » (l’augmentation de la production est moins que proportionnelle à l’augmentation des doses combinées de K et de L).

Les Courbes isoquantes (Hypothèse d’une Fonction de Production homogène de degré < à 1)

0

Q

q2

q1

L

A

B

K

q2q

1

C

D

q2 1,4 q1

SCHEMA 45B


Si par exemple la fonction est homogène de degré 0,5 la multiplication par 2 (par exemple) des doses combinées de K et de L n’entraînera qu’une multiplication de q1 par 20,5 1,4.

Autrement dit le passage du panier A au panier B (doublement des doses combinées de K et de L) ne multipliera le niveau de l’output que de 20,5 1,4.

Les rendements physiques (hors toute considération de prix) sont dits « Décroissants à l’échelle » (l’augmentation de la production est moins que proportionnelle à l’augmentation des doses combinées de K et de L).

0

K

L

q2

q1

l1

l2

k2

k1

A

B

Les Courbes isoquantes (Hypothèse d’une Fonction de Production homogène de degré < à 1)

q2 1,4 q1

SCHEMA 46A


Si par exemple la fonction est homogène de degré 2, la multiplication par 2 (par exemple) des doses combinées de K et de L entraînera une multiplication (plus que proportionnelle) de q1 par 22 = 4.

A et B procurent q1C et D procurent q2 avec : q2 = 4. q1

Les rendements physiques (hors toute considération de prix !) sont alors dits « Croissants à l’échelle » (l’augmentation de la production est plus que proportionnelle à l’augmentation des doses combinées de K et de L).

Les Courbes isoquantes (Hypothèse d’une Fonction de Production homogène de degré > à 1)

0

Q

q2

q1

L

K

q2q

1

A

B

C

D

q2 = 4 q1

Dans ce cas

SCHEMA 46B


Si par exemple la fonction est homogène de degré 2 la multiplication par 2 (par exemple) des doses combinées de K et de L entraînera une augmentation plus que proportionnelle de q1 par 22 = 4. Autrement dit le passage du panier A au panier B (doublement des doses combinées de K et de L) multipliera le niveau de l’output par 4. Les rendements physiques (hors toute considération de prix) sont dits « Croissants à l’échelle » (l’augmentation de la production est plus que proportionnelle à l’augmentation des doses combinées de K et de L).

0

K

L

q2

q1

l1

l2

k2

k1

A

B

Les Courbes isoquantes (Hypothèse d’une Fonction de Production homogène de degré > à 1)

Dans ce cas k1=1/2 k2 et l1 = 1/2 l2mais q2 = 4 q1 (Un doublement de k et de l quadruple de Q!)

SCHEMA 47A


La multiplication par 2 (par exemple) des doses combinées de K et de L entraîne alors multiplication par 21 = 2 de la quantité produite.

A et B procurent q1. C et D procurent q2 avec : q2 = 2. q1

Les rendements physiques (hors toute considération de prix !) sont dits « Constants à l’échelle » (l’augmentation de la production strictement proportionnelle à l’augmentation des doses combinées de K et de L).

Les Courbes isoquantes (Hypothèse d’une Fonction de Production homogène de degré = 1

c’est-à-dire à strictement parler, une Fonction de Cobb-Douglas)

0

Q

q2

q1

L

A

B

K

q2

q1

C

D

Dans ce cas

q2 = 2 q1

SCHEMA 47B


La multiplication par 2 (par exemple) des doses combinées de K et de L entraîne alors multiplication par 21 =2 de la quantité produite.

Autrement dit le passage du panier A au panier B (doublement des doses combinées de K et de L) multipliera le niveau de l’output par 2.

Les rendements physiques (hors toute considération de prix) sont dits « Constants à l’échelle » (augmentation de la production strictement proportionnelle à l’augmentation des doses combinées de K et de L).

0

K

L

q2

q1

l1

l2

k2

k1

A

B

q2 = 2 q1

Les Courbes isoquantes (Hypothèse d’une Fonction de Production homogène de degré = 1

c’est-à-dire à strictement parler, une Fonction de Cobb-Douglas)

Dans ce cas

SCHEMA 48


Les combinaisons A et D sont « efficaces » (si le but est d’atteindre le niveau de production q1).

Les combinaisons A et E sont « efficaces » (si le but est d’atteindre le niveau de production q1).

L’Efficacité se juge selon le but : est-il ou non atteint ?

Cependant, seule la combinaison A est techniquement « efficiente ». En effet :

En D du facteur K est « gaspillé » (il n’augmente pas Q par rapport à la combinaison A : ce qui n’est en rien un concept financier !)En E, du facteur L est « gaspillé » (il n’augmente pas Q par rapport à la combinaison A : ce qui n’est en rien un concept financier !)

L’efficience technique de la production (principe de « non gaspillage ») est donc uniquement vérifiée en A, en B, en C.

La combinaison F entraînerait gaspillage de facteur K et la combinaison G gaspillage de L.

Cette hypothèse de « complémentarité stricte » est en fait à exclure du fait que les modifications du rapport des prix factoriels (PL / PK) resteraient sans influence sur le rapport (K/L)* optimal en fonction de la Q à produire.

Pourquoi exclure la complémentarité stricte entre facteurs ?(notion d’efficience technique de la production dite encore de « non-gaspillage »)

0

K

L

A

B

q2

C

q3

q1

E

D

G

F

SCHEMA 49


En A est bien vérifié l’équivalent de la « Seconde Loi de Gossen ». À savoir l’égalité entre :

Le TMS de L à K = pente de la tangente en tout point à la courbe q1

La pente de la « Droite de Budget » (donnée par PL / PK).

Reste que cet optimum serAIT alors un minimum (et non un maximum) de Q sous contrainte !

En effet, avec le même budget, l’entrepreneur peut se situer :

En B pour q2 > q1 (l’ensemble du budget serait consacré à acheter du facteur K)

En C pour q3 > q1 (l’ensemble du budget serait consacré à acheter du facteur L)

(On parle alors de solutions « en coin »)

Dans notre exemple, l’entrepreneur se situerAIT en C (pour produire q3).On jugera peu réaliste d’envisager la production de tel bien à l’aide d’un seul facteur de production (ici, sans K) !

Pourquoi exclure la concavité des courbes « U » ?

0

K

L

A

B

q2

C

q3

q1

CTP

K

=

CTP

L

=

SCHEMA 50


La loi des « rendements non-proportionnels »

Nous examinons Q en fonction de L (pour K donné : « Courte Période »). Pour que les courbes aient l’allure ci-dessous il convient que la Fonction de Production soit non-homogène.

Entre O et A, la production croît à taux croissant (la Pm de L est donc croissante). En A, pour L1, la Pm de L passe par un maximum puisque sa primitive connaît une inflexion. En C (maximum de Q) la Pm de L est nulle. En B, la Pm de L (pente de la tangente à la courbe Q) est égale à la PM de L (pente du rayon joignant O à tout point de la courbe Q) et la PM de L est alors maximale.

Il est possible de discuter en s’appuyant sur le concept d’élasticité de Q par rapport à L :

e = (∆Q / Q) / (∆L / L)

(dQ/Q) / (dL/L) = (dQ/dL). L/Q = (dQ/dL) / (Q/L) = PmL / PML

Entre O et B : e > 1 (puisque PmL > PML).En B : e = 1 (la pente de la tangente à la courbe et celle du rayon OB sont alors confondues).Entre B et C : e < 1.En C : e = 0. Au-delà, la PmL serait < 0….il y aurait « gaspillage de L » (encore une fois concept non financier).

Q

LPmL

PML

L0 B C A

L1

QA A

B

C

Gasp

illa

ge L

PmL

PML

K

SCHEMA 51


La loi de la productivité marginale décroissante

Nous examinons Q en fonction de L (pour K donné : « Courte Période »). Pour que les courbes aient l’allure ci-dessous figurée il convient que la Fonction de Production soit homogène d’un degré inférieur à 1.

Dans ce cas, Q est croissant à taux décroissant et sa dérivée ou Pm de L (pente de la tangente en tout point à la courbe Q) est donc décroissante (Tgα)

Il en va de même pour la PM de L (pente du rayon reliant O à tout point de la courbe ou Tgβ).

En 0, α = β. Les PmL et PML sont égales et l’élasticité de Q / à L = 1 (Voir schéma 50). Donc e = 1.Entre 0 et A, e < 1 puisque la Pm de L est inférieure à la PM de L : tangente α < tangente β comme nous l’illustrons pour L1. En A, la PmL = 0 et donc e = 0.

Donc, ce schéma 51 n’est que reprise (non inutile comme nous le verrons) de la zone (B-C) du schéma 50.

Q

L

Gasp

illa

ge d

e f

act

eu

r L a

u-d

elà

de L

A

L0

L1

LA

A

PmL

PML

K

βα

SCHEMA 52


Décomposition du coût total de « courte période »

Nous faisons ici l’hypothèse d’une Fonction de Production non-homogène.

Par définition, en « Courte Période », l’existence d’un facteur fixe entraîne existence d’un Coût Fixe : la partie des coûts supportée y compris lorsque Q = 0.

Parmi les coûts qui ne sont supportés que lorsque Q est positive, nous distinguons ci-dessous :

les coûts variables « proportionnels

les coûts variables non-proportionnels…(du fait de cette Fonction de Production supposée non-homogène).

CFixe

Q

Q

Q

0

C

CF

C

CVP

CVNP

SCHEMA 53


Coût total, coût moyen et coût marginal en « courte période »

La fonction de production étant non-homogène le CT croît dans un « premier temps » (zone OA) à taux décroissant. Le Cm est alors décroissant. Mettez en relation avec le schéma 50 : la production y augmentait alors à taux croissant et la PmL était alors croissante.

Le Cm est minimum pour QA lorsque le CT connaît son point d’inflexion (sur le schéma 50 la PmL passe alors par un maximum). Dit autrement : lorsque la PmL est le Cm est et vice-versa.

En effet, en « Courte Période » et si l’entreprise est « preneuse de prix » (PL s’impose à elle comme l’ensemble des autres prix) :

Cm = dCT/dQ = (d k.PK / dQ) + (d L.PL / dQ) = PL(d L / dQ) = PL / PmL

Le Cm est égal aux CVM et CTM lorsque ces derniers sont minimums. Le CTM est, bien entendu, minimum pour une Q supérieure à celle pour laquelle le CVM est lui même minimum du fait d’un Coût Fixe Moyen (CF / Q) de forme hyperbolique (voir schéma 52). Pour la même raison, l’écart entre CMV et CMT décroît lorsque Q .

CT

QCmCM

Q0

0

A

A

CT

CUT

CFix

Cm CMT

CMV

SCHEMA 54


Profit et maximisation du profit« Seuil de rentabilité » ; « seuil de fermeture » et « courbe d’offre »

L’entreprise est supposée « preneuse de prix » : la RT augmente à taux constant (tangente α représente donc à la fois ce prix et la Rm de cette firme). Elle est supposée « rationnelle ». Elle vise donc à maximiser π = RT - CT

Ce profit est positif entre A et B : la quantité qui correspond à A est dite « Seuil de Rentabilité » (quantité minimale qui, pour un prix donné débouche sur π = 0).

Ce profit passe pour un optimum si π’ = 0 c’est-à-dire ici pour Q1 et Q* : la Rm (pente de la RT) est égale au Cm (pente de la tangente en tout point au CT).Ce profit est maximum si π’’ < 0, c’est-à-dire si (-Cm’ > 0) Cm’ > 0 Cm . Donc π* pour Q*La perte est symétriquement maximale pour Q1 (seconde solution à l’équation du second degré).

Si P est inférieur au minimum du CMT (par exemple en PZ) il est clair que l’entreprise n’offrira pas QZ à perte (pour ce niveau de production le CM > P !).

Dit autrement, la « Courbe d’Offre » est donnée par la partie de la branche croissante du Cm située au-dessus du minimum du CM : dit « Seuil de Fermeture ».

CT

Q

P

CmCM P

Q0

0

Q1

SR Q*

SR Q*

Qz

RT

CmCM

A

α

B

B

CFix

SF

Pz

A E RM

Rm

SCHEMA 55


Par définition, le TMST de L à K = dk / dL c’est-à-dire figuré par la pente de la tangente en tout point à une courbe Q d’iso-production (tangente α).

Il est donc décroissant (rappel : je raisonne en valeur absolue !) entre A et B : la courbe Q est donc strictement convexe et les facteurs L et K sont dans un rapport d’imparfaite substituabilité.

Entre deux points d’une même courbe Q par définition : ∆Q = 0 et donc : dk.PmK = dl.PmL

Il vient donc : dk / dL = PmL / PmK

Ainsi, en tout point de la courbe, le TMST le L à K est donné par le rapport inverse des Pm mesurées en ce point (ce qui n’est en rien la définition de ce TMST).

Hypothèse fondamentale de convexité stricte des courbes isoquantes(donc de décroissance du TMST de L à K)

0

K

L

A

B2

Courbe Q = Q0

1

α2α1

α2 < α1 (TMSLK)1 > (TMSLK)2

SCHEMA 56


Sur l’isoquante q0, entre les combinaisons A et B, l’individu substitue du L à du K.

Au-delà de A (par exemple en C) il y aurait « gaspillage » de K (la PmK deviendrait négative).

Au-delà de B (par exemple en D) il y aurait « gaspillage » de L (la PmL deviendrait négative).

En A, la PmK = 0 (donc le TMST de L à K = ∞)

En B, la PmL = 0 (donc le TMST de L à K = 0)

Les « Lignes de faîte » sont les lieux géométriques de ces deux valeurs limite du TMST de L à K. Elles délimitent la « Zone d’Efficience Technique » de la production (au sein de laquelle la PmL et la PmK sont positives).

Efficience technique de la productionLes « lignes de faîte »

0

K

L

A

B

PmL et PmK > 0

TMS LK = ∞

TMS LK = 0

q0

D

C

SCHEMA 57


En E : l’agent maximise Q sous contrainte de son CT et des prix factoriels (PL et PK) qui s’imposent à lui,ou, pour l’envisager autrement, il y minimise le CT de production de QE à des prix factoriels donnés.

En ce point E, nous vérifions donc :

TMST de L à K = PmL / PmK = PL / PK = Tg α

Dit autrement en E (et rien qu’en E !) sont égalisées la pente de la tangente à la courbe QE (ou TMST de L à K en ce point) et la pente de la « Droite de Budget » (donnée par le rapport des prix factoriels).

Ainsi, par exemple en A, produire la même quantité supposerait un budget supérieur (ce qui se traduirait par le fait que le TMST de L à K en A serait > au rapport PL / PK).

Ainsi, par exemple en B, produire la même quantité supposerait un budget supérieur (ce qui se traduirait par le fait que le TMST de L à K en B serait < au rapport PL / PK).

Ainsi, par exemple en C ou en D, le même budget qu’en E ne procurerait qu’une quantité < QE.

Equilibre du producteur « rationnel »

0

K

L

A

B

α

CTPK

CTPL

E

D

C

SCHEMA 58


Eutope et coût total de longue période(Hypothèse d’une Fonction de Production non-homogène : revoir le schéma 44)

Pour des prix factoriels donnés (pente de la Droite de Budget inchangée) faisons augmenter le budget c’est-à-dire CT = k.PK + L.PL.

En A, en B, en C nous vérifions que PmL / PmK = PL / PK. La courbe OABC est dite Eutope. C’est donc en A que l’output QA est élaboré au moindre coût, idem en B pour QB…

La mise en relation de ces CT minimum avec les niveaux correspondants de production est, par définition, le « Coût Total de Longue Période » (absence de coût fixe).

Si la Fonction de Production est, comme ici supposé, non-homogène :à la phase des Rendements Croissants à l’échelle correspondra un CTLP croissant à taux décroissantà la phase des Rendements Décroissants à l’échelle correspondra un CTLP croissant à taux croissant.

Et le CTLP aura donc l’allure ci-contre (c’est-à-dire sera exprimé en Q3).

CT

LCT

Q0

0

QA

CT3

PL

Qc

CT1

PL

CT2

PL

CT1

CT3

EutopeQ

cQ

B

A

BC

QA

CTLP

SCHEMA 59


Coût Total ; CM et Cm de « Longue Période »(Hypothèse d’une Fonction de Production non-homogène : revoir les schémas 44 & 58)

Entre O et Q1, le CTLP est croissant à taux décroissant et donc le Cm de LP est décroissant.

Pour Q1, le CTLP connaît une inflexion : le Cm de LP passe par son minimum.

Au-delà de Q1, le CTLP augmente à taux croissant : le Cm de LP est croissant.

Le Cm de LP traverse (pour Q2) le CM de LP au minimum de ce dernier (l’angle α formé par l’axe OQ et le rayon joignant l’origine à tout point de la courbe de CTLP est alors minimum).

CT

Q

CmCM

Q0

0

Q1

Q1

Q2

Q2

Cm

CM

α

SCHEMA 60


Déséconomies d’echelle

Ce schéma fait suite au schéma 45 (et à l’encart).

La Fonction de Production est ici homogène d’un degré inférieur à 1.

La multiplication par « m » des doses de K et de L entraîne multiplication par « n » de la quantité produite avec n < m (« Rendements Physiques Décroissants à l’échelle »).

Exprimé de façon duale, pour doubler (par exemple) l’output Q1 il convient d’engager un budget « plus que doublé ».

Dit autrement, le CT de LP augmente à taux croissant et donc :Le CM de LP (tangente de l’angle α formé par le rayon unissant l’origine à tout point de la courbe) est croissant. La production s’effectue donc en subissant des « Déséconomies d’Echelle ».Le Cm de LP (pente β de la tangente en tout point à la courbe) est, lui aussi, croissant.Pour toute valeur de Q, nous vérifions que β > α et que donc Cm > CM.

CT

Q

CT1

CT>2CT1

Q0

0Q

12Q

1

α β

CmLP

CMLP

CTLP

SCHEMA 61


Economies d’echelle


La Fonction de Production est ici homogène d’un degré supérieur à 1.

La multiplication par « m » des doses de K et de L entraîne multiplication par « n » de la quantité produite avec n > m (« Rendements Physiques Croissants à l’échelle »).

Exprimé de façon duale, pour doubler (par exemple) l’output Q1 il suffit d’engager un budget « moins que doublé ».

Dit autrement, le CT de LP augmente à taux décroissant et donc :

le CM de LP (tangente de l’angle α formé par le rayon unissant l’origine à tout point de la courbe) est décroissant. La production s’effectue donc en bénéficiant d’ « Economies d’Echelle ».

le Cm de LP (pente β de la tangente en tout point à la courbe) est, lui aussi, décroissant.pour toute valeur de Q, nous vérifions que β < α et que donc Cm < CM.

CT

Q

CT1

CT2<2CT

1

Q0

Q1

2Q1

αβ

CmLP

CMLP

CTLP

SCHEMA 62


Fonction de Cobb-Douglas (Stricto-sensu)


La Fonction de Production est ici homogène de degré 1.

La multiplication par « m » des doses de K et de L entraîne multiplication par « m » de la quantité produite (« Rendements Physiques Constants à l’échelle »).

Symétriquement, pour doubler (par exemple) l’output Q1 il suffit d’engager un budget double. Dit autrement, le CT de LP augmente à taux constant et donc :

le CM de LP (tangente de l’angle α formé par le rayon unissant l’origine à tout point de la courbe) est constant. La production s’effectue donc sans bénéficier d’Economies à l’échelle et sans subir de Déséconomies à l’échelle.

le Cm de LP (pente β de la tangente en tout point à la courbe) est constant… et confondu dans ce cas avec le CM de LP.

CT

CMCm

Q

CT1

CT2= 2CT

1

Q0

0Q

1Q

2=2Q

1

α = β

CMLP

CmLP

CT

SCHEMA 63


Choix de taille(Fonction de Production non-homogène)

Par définition l’Eutope indique les combinaisons (K*/L*) optimales en fonction de Q et le CT de LP qui en est issu le CT minimum en fonction de Q.

Par exemple, pour produire Q* au moindre coût il convient de retenir k* et donc d’investir le coût fixe (k*.PK).

Dit autrement le CT de CP correspondant est tangent au CT de LP pour ce niveau Q* d’output. Si l’entreprise retenait k1 pour produire Q* en A elle combinerait relativement « trop de K » à « trop peu de L » et supporterait un surcoût.

En effet, k1 est la dose de K correcte pour élaborer Q1 > Q*. Il en irait de même si k2 (qui n’est le choix correct que pour produire Q2 < Q*) était retenu pour produire Q* en B.

K

LCT

Q0Q*

l*

Q1

k1Pk

k2

k*

k1

k*Pk

Eutopeq

1q*

Aq

2

CTLP

CTCP

(k*)

α

B

E

tg α = Pl/Pk

SCHEMA 64


Choix de taille (avec déséconomies à l’echelle)

Le CT de LP est alors croissant à taux croissant et, donc, les CM et Cm de LP sont croissants.

Si le prix de marché qui s’impose à elle (ce qui est le cas en C.P.P) est P, la firme rationnelle doit élaborer Q* (pour π’ = π maxi) et, pour ce faire, retenir la « taille » correspondant au coût fixe = k*.PK.

Le sur-profit optimal alors réalisé est indiqué par l’aire :

(ABCD) = (P – CMC).Q*

CT

Q

k*Pk

Q0

0

Q*

Q*

CmLP

CMLP

LP

CmCP

CMCP

P

CP

A

D

B

C

SCHEMA 65


Choix de taille (avec économies à l’echelle)

Le CT de LP est croissant à taux décroissant et, donc, les Cm et CM de LP sont décroissant.

Si le prix de marché qui (en CPP) s’impose à elle est P, la firme rationnelle doit élaborer Q* et, pour ce faire, retenir la « taille » correspondant au coût fixe = k*.PK.

Le sur-profit optimal alors réalisé est indiqué par l’aire (ABCD) et serait donc négatif !!!

CT

CMCm

Q

k.Pk

Q0 Q*

Q*

CmLP

CMLP

LP

CmCP

CMCP

P

CP

AB

CD

SCHEMA 66


0

P

Q

Stabilité « statique » de l’équilibre

Un équilibre est dit stable si à la suite d’un choc exogène (ci-dessous le déplacement de la courbe de Demande collective) qui rompt l’équilibre initial (E1) un processus endogène conduit à ce que s’établisse un équilibre (E2). On remarquera qu’il s’agit d’un équilibre et non nécessairement du même équilibre (!) pour qu’il nous suffise de parler de « stabilité » !

En E1, pour P1, les deux types d’agents optimisent leurs fonctions-objectif respectives (max de U pour les Consommateurs et max de π pour les firmes). Suite au déplacement de la Demande, P1 n’est plus un prix d’équilibre puisque, à ce prix, les consommateurs désireraient désormais disposer de : QA > Q1.

Walras (Léon) nomme « Demande Nette » cet écart entre quantités offertes et demandées à tel prix. Ici, la « Demande Nette » est > 0 (excès de Demande sur l’Offre). Elle entraîne, selon cette approche, augmentation de P (d’où diminution de la quantité demandée et augmentation de la quantité offerte) et se résout en E2. Le prix P2 (pour Q2) est un nouvel équilibre et l’équilibre est alors qualifié de « stable ». Dans l’univers walrassien c’est donc P qui joue le rôle de vecteur de re-équilibrage du marché suite à un choc exogène.

On notera que face à ce même choc, Marshall (Alfred) raisonne symétriquement. Pour Q1, le choc exogène (« augmentation de la Demande ») détermine un « Prix de Demande » (PB) > au « Prix d’Offre » et cet écart BE1 de prix va se résoudre, dans cette approche, par une augmentation des quantités conduisant à E2 pour Q2.

OffreD

2

D1

E2

E1

PB

P2

P1

QA

Q2

Q1

A

B

SCHEMA 67


A l’équilibre initial de marché (P*), la firme rationnelle est conduite à produire q* et à choisir la taille d’équipement dont le Cm coupe en A le Cm de LP. Elle réalise alors un sur-profit donné par [(AB). q*]. Le nombre d’entreprises est : n = (QE / q*). Du fait de l’hypothèse de mobilité, l’existence de ce sur-profit va susciter des entrées dans la branche. La courbe d’offre collective se déplace « vers la droite » entraînant baisse de P.

Ce processus prend fin lorsque le sur-profit a disparu, c’est-à-dire pour P = « Seuil de Fermeture » = minimum du CM de LP. Au terme de ce processus, la quantité d’équilibre sur le marché sera QELP et chacune des entreprises présentes offrira q*LP en utilisant la taille ad hoc (celle dont le Cm coupe en Z le Cm de LP). Le nombre d’entreprises sera devenu :

N = (QELP / q*LP) > n

C.P.P. : équilibre conjoint et annulation du sur-profit en LP

Off

re

D2

D1

E2

E1

P2

P3

P*

SF

QQELP

QE

q*1

q*LP

A

BSFE

4

E3

Offre

rigid

e

Z

CmLP

CMLP

Hors de la courbe d’offre !

LE MARCHÉ LA FIRME REPRESENTATIVEP

Off

reO

ffre

Off

re

SCHEMA 68


Cas particulier dans lequel la courbe de Demande rencontre celle de CM de LP sur la partie décroissante de cette dernière (phase des « Rendements Croissants à l’Echelle ») : autrement dit, la question n’a de sens que si la Fonction de Production est supposée non-homogène !

Ce type de situation se produirait lorsque, en termes relatifs, les coûts fixes de la branche sont élevés et les coûts variables y sont faibles (chemins de fer ; distribution d’eau…).

L’Etat est alors dans l’impossibilité de lutter contre la Rente du monopole (qui réduit le Surplus des consommateurs) en imposant une « Tarification au Cm » (point 1) qui entraînerait : π < 0.

Il est alors économiquement plus rentable qu’une seule entreprise produise (Q2) au prix (P2).

Au mieux, la Puissance publique ne peut qu’imposer l’équilibre (3) correspondant à π = 0.

Le monopole « naturel »

0

P,C

Q

P2

CMLP

CmLP

Rm

RM

Q2

12

3

SCHEMA 69


Demande Collective (ou « au Marché ») et Demande « à la Firme » sont ici bien entendu confondues.

Cette Fonction de Demande est « normale » (décroissante) et ici linéaire :

P = a.Q + b

RT = P.Q = a.Q2 + b.Q

prend donc la forme d’une parabole.

Cette dernière passe par un maximum pour QZ (au prix PZ) qui annule sa dérivée première ou :

Rm = 2.a.Q + b

Le coefficient d’élasticité-prix-direct de la Demande est égal à –1 en Z (puisque Rm = P (1 + 1/e) comme déjà démontré).

La Demande est « élastique » (e < -1) entre A et Z et « inélastique » (e > - 1) entre Z et B.

Les recettes du monopole (Nous ne faisons ici que synthétiser les schémas 26 et 27)

0

R

Q

PZ

RT

Rm

RM

QZ

e = -1

e = -∞

e = 0

A

B

Z

SCHEMA 70


Le monopole rationnel maximise en E son sur-profit (aire P*EBC) en proposant un prix P* qui lui permet d’écouler Q* (quantité pour laquelle Rm = Cm).

À ce prix, le « Surplus du Consommateur » est mesuré par l’aire (AP*E) et nous nous trouvons nécessairement sur la partie « élastique » de la Demande (pour qu’il en aille autrement il faudrait que le Cm puisse coupe la Rm sur la partie négative de cette dernière !). Revoir le schéma 69.

Si la firme renonce (ou est contrainte à renoncer) à maximiser son profit elle va écouler une quantité > Q* à un prix < P*.

On montre qu’il ne s’agit nullement d’un « jeu à somme nulle » : l’augmentation du « Surplus » (S) excède alors la diminution du sur-profit (π) ! Il en va ainsi en passant de E à G qui maximise la RT. Il en va encore ainsi en passant de G à Z (« Tarification au Coût Marginal »). On peut montrer qu’en Z la somme (S + π) est maximale.

Bien entendu en H le sur-profit sera nul (puisque P = CM) mais la somme (S + π) sera plus faible qu’en Z.

L’équilibre du monopole et ses modifications

0

C,P

Q

P*

Cm

Rm

RM

Q*

A

BZ

CM

C

E

G

H

SCHEMA 71


L’égalisation du Cm et de la Rm « synthétique » détermine la quantité (Q*) à produire. Il devient dès lors possible d’évaluer le CT correspondant. Le π sera donc maximisé si la RT tirée de la vente de Q* l’est. On montre que c’est le cas si l’entreprise fixe des prix PA et PB tels que la répartition de Q* entre les segments A et B de marché respecte la règle :

RmA = RmB = CmQ* = 0x

Ces prix (PA et PB) encadrent alors le prix (PU) unique qui aurait prévalu en

absence de discrimination. Le π de l’entreprise progresse par rapport à sa valeur en absence de discrimination. Les consommateurs de type B bénéficient de la pratique (PB < PU). Seuls les consommateurs de type A pâtissent de cette pratique commerciale : ils payent PA > PU et leur Surplus (aire M.PA.A) est < au Surplus dont ils auraient bénéficié au prix PU. Ici encore, il ne s’agit pas d’un « jeu à somme nulle » : l’augmentation de π reste < à la diminution de la Σ de « Surplus » A et B provoquée par cette discrimination.

Le monopole discriminant (Cas le plus généralement exposé)

PA

QqB

qA

0 Q*

PU

xE

Cm

A SYNTHÈSEBP P P

A

PB

B

M

Rmsynthèse

RmB

RmA

SCHEMA 72


Comme unique modification par rapport au schéma 71, déplaçons le Cm de telle façon que le prix unique qui aurait prévalu en cas de non-discrimination devienne > au « Prix de Réservation » des consommateurs B.

Dans ce cas, la discrimination permet aux B de consommer (moyennant augmentation du prix acquitté par les A).

Le monopole discriminant (Cas le moins généralement exposé)

PA

QqA

0 Q*

PU

x

Cm

A SYNTHÈSEBP P P,C

A

M

Rmsynthèse

RmB

RmA

RMsynthèse

RMB

RMA

SCHEMA 73


L’égalisation de la Rm et du Cm synthétique détermine Q* (puis P* par report sur la demande). La RT* est donc déterminée et le π sera maximum si Q* est répartie entre les établissements de telle façon que le

CT de production soit minimum. C’est le cas pour une répartition telle que :

Cm1 = Cm2 = Cm synthétique = 0X

Le monopole à établissements multiples

Qq1

0 q2

Q*

P*

x

Cmsynthèse

1 SYNTHÈSE2P P P,C

Rm

RM

Cm1

Cm2

q1 + q

2 = Q*

SCHEMA 74


Tout déplacement de la Demande dans son quadrant impose (outre la modification évidente de Q*) de re-calculer la répartition optimale (c’est-à-dire celle qui minimise le CT) entre établissements.

La contraction de la Demande peut devenir telle qu’il devienne rationnel de ne pas utiliser l’ensemble des établissements : ci-dessous l’établissement 3 ne sera pas utilisé du fait de la modicité de la Demande.

Le monopole à établissements multiples : contraction de la demande

Qq1

0 q2

Q*

P

x

Cmsynthèse

1 SYNTHÈSE32C

mC

mC

m P,C

RmRM

Cm1

Cm2

q1 + q

2 = Q*

Cm3

SCHEMA 75


La concurrence monopolistique (Équilibres de CP et de LP)

0

P,C

Q

PZ

CMLP

CmLP

Rm RM

Q*

En « Courte Période », la firme produit Q* (déterminée par Rm = CmLP) et adopte (bien entendu) pour ce faire la « taille » d’équipement pour laquelle le Cm de CP et le Cm de LP se coupent pour Q*). Le prix pratiqué est indiqué par le report de Q* dans la courbe de demande de CP. Le sur-profit positif réalisé entraîne perte de part de marché.

Si nous supposons que la demande « à la firme » se contracte sans changer de pente, l’équilibre après cet ajustement de LP va se réaliser en Z. La firme aura adopté alors la « taille » adaptée à cette production (tangence des CM de LP et de CP en Z ou encore séquence des Cm de LP et de CP pour QZ). Le prix sera PZ et le sur-profit sera nul.

CM

CmCM

Cm

Rm

Z

SCHEMA 76


Les n firmes « satellites » se trouvant en position de « preneuses de prix » (alors même que nous ne sommes pas en CPP) la notion de « Courbe d’Offre » a du sens.

À partir de la courbe de demande collective (AB) qui s’adresse à l’ensemble du Marché (Firme « Dominante » + « Satellites ») il devient donc possible (par simple soustraction) de déterminer l’expression de la partie de la Demande Collective que se réserve la Firme « Dominante » (CB).

D’où la Rm de la Firme « Dominante » qui, égalisée au Cm de la même détermine la quantité (QL) qu’elle offrira et le prix (P*) qu’elle va imposer.

À ce prix, la demande collective indique (P*H) et donc, l’ensemble des firmes « satellites » offrira la différence c’est-à-dire (E’ H)… pour autant que P* soit supérieur à leur propre « Seuil de Fermeture ».

La firme dominante

0

C,P

Q

P*

Cm de L

Rm

RM

QL

A

B

C

E

HE’

SCHEMA 77


Le produit est supposé homogène. Au départ de l’analyse, l’entreprise considérée écoule Q* à P*. Elle ne modifiera ce prix que si elle pense (information nulle même si éventualités probabilisables !) que son profit en serait augmenté.

Selon Sweezy, elle imagine qu’en cas d’augmentation du prix qu’elle pratique elle ne serait pas « suivie à la hausse » et imagine qu’en cas de diminution du prix qu’elle pratique elle serait « suivie à la baisse » (l’entrepreneur pense donc que, à partir de E, l’élasticité-directe-prix de la demande qui s’adresse à lui serait plus forte « à la hausse » que « à la baisse »).

Il en tire la conclusion que (si ses conjectures sur les réactions de ses concurrents sont correctes) toute modification de P* ferait diminuer son π.

Il ne modifiera donc pas ce P*… et ne pourra donc jamais savoir si ses conjectures sur les réactions des concurrents étaient exactes !

Nous sommes donc hors univers walrasien puisque l’agent n’agit nullement ici en fonction de ce qu’il est censé savoir mais en fonction de ce qu’il envisage comme conséquence à ses éventuelles décisions actuelles : le futur prévu (redouté) détermine les décisions de la période T qui, à leur tour, déterminent la situations en (T + 1) !

Oligopole de Sweezy

0

P

Q

P*

xz

y

Cm

Q*

E

SCHEMA 78A


Duopole de Cournot : approche via la fonction de Demande Inverse

Les hypothèses

Dans son ouvrage de 1838 (Recherches sur les Principes Mathématiques de la Théorie des Richesses) Augustin COURNOT (1801-1877) postule que :

les entreprises sont « rationnelles » : leur but est la maximisation de π.le bien est homogène ce qui implique fluidité de la demande et, donc, unicité du prix. Dès lors la stratégie des firmes ne pourra être que « en quantité ». Par hommage, aujourd’hui encore, on parle en ce cas d’approche cournotienne.

chacun des deux duopoleurs adopte le même comportement : on parle alors de duopole « symétrique ». Les deux entreprises sont « pacifiques » (ne cherchant pas à dominer le marché). Chaque duopoleur détermine le niveau de son offre optimale à l’instant (t) en fonction de l’offre constatée de l’autre firme en (t - 1). Dans ce cheminement itératif vers l’équilibre on parle alors de comportement de « dépendance » : la firme A s’adapte à l’instant (t) aux conditions de marché qu’a créé B en « jouant » en (t - 1) et B s’adaptera en (t + 1) aux conditions de marché déterminées par l’offre de A lors de (t)…/…On résume souvent cette hypothèse en disant que les « variations conjecturales » des deux firmes sont nulles.

enfin, pour simplifier, Cournot suppose l’absence de coûts : l’objectif se réduit ainsi à la maximisation de la Recette Totale.Nous respectons (schéma 78 & 79) cette dernière hypothèse avant de la lever (schéma 80) lors du traitement de note exemple chiffré comparant diverses solutions.

Supposons une fonction de Demande Inverse linéaire de la forme :

P = a - b.Q

Pour faciliter l’exposé donnons-nous : P = 300 - Q

Avec, bien entendu, Q = QA + QB

Supposons, enfin, que la firme A soit la première à « jouer ». Datons la chose T0.

En l’absence de coûts, elle va offrir la quantité qui maximise sa RT (annule sa Recette Marginale) :

RT = P.Q = 300 Q – Q2 Rm = 300 – 2.Q = 0 Q = 150

Il vient alors P = 150 et l’histoire s’arrêterait là si A disposait d’un monopole… ce qui n’est pas ici le cas !

Suite page suivante

SCHEMA 78B



α

CTPK

CTPL

E

D

C

0

P

Q

A

300

150

100 E

Rm

150

200

30075

E : équilibre de Cournot (n=2)

A : équilibre d’un monopole (n=1)

Lors de T1, en fonction de hypothèses de Cournot, l’entreprise B va alors considérer que le marché dont elle dispose n’est plus que de :

(300 – 150) = 150 = 300 (1/2) et, pour maximiser sa propre RT va annuler sa propre Rm en offrant :

150 x 1/2 = 75 = 300 x 1/4

Lors de T2, réagissant à son tour, la firme A va considérer que le marché qui lui reste n’est plus que :

Q = 300 – 75 = 225 Dans le but de maximiser sa RT est va donc offrir :

Q = 225 / 2 = 112,5 (en par rapport à son offre de Q = 150 lors de T0)

En T3, réagissant à son tour, la firme B va considérer que son marché ne se monte plus qu’à :

Q = 300 – 112,5 = 187,5 et va donc offrir, dans le but de maximiser sa RT :

Q = 187,5 / 2 = 93,75 (en par rapport à son offre de Q = 75 lors de T1)

Etc…

Suite page suivante

SCHEMA 78C



Note annexeCritiquant la façon dont COURNOT décrivait le comportement des firmes le mathématicien Joseph BERTRAND exposa en 1883 (« Théorie mathématique de la Richesse Sociale », Journal des Savants) un modèle de duopole dans lequel était abandonnée l’hypothèse d’un prix unique. Au lieu, comme ci-dessus, de se livrer à une « concurrence en quantité », les firmes vont engager une « guerre des prix », chacune en rajoutant (sans fin) dans la baisse de P, dans le but d’attirer vers elle une plus grande part de la Demande collective.

Généralisation En acceptant les hypothèses de Cournot et l’idée, comme ici, d’une fonction de Demande Inverse de type linéaire il vient :

QA = a / 3b soit ici : QA = 300 / 3 = 100

QB = a / 3b soit ici : QB = 300 / 3 = 100

P = a / 3 soit ici : P = 300 / 3 = 100« Temps de Jeu »

0

1

2

3

4

5

6

7

Firme A

300 x 1/2 = 150

-

(300 – 75) x 1/2 = 112, 5

-

(300 – 93,75) x 1/2 = 103,125

-

(300 – 98,4375) x 1/2 = 100,78125

-

Firme B

-

(300 – 150) x 1/2 = 75

-

(300 – 112,5) x 1/2 = 93,75

-

(300 – 103,125) x 1/2 = 98,4375

-

(300 – 100,78125) x 1/2 = 99,609

N

1

2

infini

Q

150

200

300dans notre exemple

P

150

100

0 en absence de coûts !

Surplus

11 250

20 000

-

CommentairesEn tant que mathématicien, Cournot examine les conséquences (selon les hypothèses qui sont les siennes) de la croissance de N (le nombre de firmes) sur les coordonnées de l’équilibre. De fait, et pour utiliser un vocabulaire actuel qui n’était alors pas le sien, on peut dire qu’il tend à montrer que le « Surplus des Consommateurs » est d’autant plus élevé que N est grand.

Pour poursuivre notre exempleQ = 300 x (N / N+1) ce qui donne :

Comme le suggère (sans le démontrer formellement mais cette démonstration relève de l’arithmétique la plus élémentaire) le tableau suivant, nous conver-geons rapidement dans cet exemple vers un équilibre* caractérisé par :

QA = 100 & QB = 100 Q = 200 P = 300 – Q = 100

* Le duopole sera en équilibre si QA et QB prennent des valeurs telles, que chaque firme maximise sa propre RT l’offre de l’autre firme étant donnée ET si, dès lors, aucune des deux firmes ne désire plus alors modifier son offre.Dans le vocabulaire contemporain de la « Théorie des jeux » (dont ce modèle de Cournot constitue les prémices) le duopole de Cournot relève des « Équilibres de Nash » c’est-à-dire des cas où tel « joueur » n’a pas intérêt à modifier sa propre stratégie en découvrant celle de l’autre si cet autre « joueur » ne modifie pas sa propre stratégie.NASH (J.) : « Non Coopératives Games » (Annals of Mathématics, Volume 54 / 1951). Prix Nobel d’Économie 1994.

SCHEMA 79A


Duopole de Cournot : approche via les fonctions de Réaction

La « Fonction de Réaction » de A (par exemple) indique, pour chaque niveau de production de B, le niveau Q*A qui maximise πA (ou RTA sous hypothèse d’absence de coûts).

Développons à partir de notre exemple : supposons une fonction de Demande Inverse linéaire de la forme : P = a - b.QPour faciliter l’exposé donnons nous : P = 300 - QAvec, bien entendu, Q = QA + QB

Exprimons les « Fonctions de Réaction » : RTA = P.QA

= (a – b.Q). QA = [a – b (QA + QB)].QA = a.QA – b.QA

2 – b.QA.QB

Qui sera maximum si sa dérivée première (ou RmA) est nulle :

RmA = a – 2.b.QA – b.QB = 0

Q*A = (a – b.QB) / 2.b … « Fonction de Réaction » de A

Soit, dans le cas de notre exemple : Q*A = 150 – QB / 2

RTB = P.QB = (a – b.Q). QB = [a – b (QA + QB)].QB

= a.QB – b.QB2 – b.QA.QB

Qui sera maximum si sa dérivée première (ou RmB) est nulle :

RmB = a – 2.b.QB – b.QA = 0

Q*B = (a – b.QA) / 2.b … « Fonction de Réaction » de B

Soit, dans le cas de notre exemple : Q*B = 150 – QA/ 2

L’équilibre est atteint lorsque les deux firmes se situent sur leurs « Fonc-tion de Réaction ». Déterminons ce « Point de Cournot » en portant, par exemple, la « Fonction de Réaction » de B dans l’expression de celle de A.

Il vient : Q*A = a / 2b – QB / 2 avec Q*B = a / 2b – QA / 2

Q*A = a / 2b – [(a / 4b) – QA / 4]

3.QA / 4 = a / 4b Q*A = a / 3b

Soit, dans notre exemple : Q*A = 300 / 3 = 100

Que nous portons dans l’expression de la « Fonction de Réaction » de B. Il vient :

Q*B = a / 2b – QA / 2 avec Q*A = a / 3b

Q*B = a / 3b

Soit, dans notre exemple : Q*B = 100

Il vient donc : Q* = Q*A + Q*B = 2.a / 3.b

Soit dans notre exemple Q* = 200

Et enfin, en portant dans la « Demande inverse » :

P = a – b.Q avec Q = 2a / 3b

P = a – 2a / 3 P = a / 3et dans notre exemple P = 100

Pour aller au-delà on pourra consulter :DEFALVARD (Hervé) : « Fondements de la Microéconomie ». Volume 2 : « L’Équilibre des marchés » (pages 127 à 160). Éditions de Boeck, Bruxelles, 2003.

Suite page suivante

SCHEMA 79B


Duopole de Cournot : approche via les fonctions de Réaction

Il est ici encore possible de procéder par itération pour établir l’équilibre :Supposons que la Firme A soit la première à « jouer » et décide d’offrir

QA = 120La « Fonction de Réaction » de B nous permet de calculer qu’alors :

QB = 150 – 60 = 90

S’adaptant à cette offre de B la firme A offrira alors : QA = 150 – 45 = 105 (en )

S’adaptant à cette offre de A la firme B offrira alors : QB = 150 – 52,5 = 97,5 (en )

S’adaptant à cette offre de B la firme A offrira alors : QA = 150 – 48,75 = 101,25 (en )

S’adaptant à cette offre de A la firme B offrira alors : QB = 150 – 50,625 = 99,375 (en )

Pour converger rapidement vers : QA + QB = 100 + 100 = Q = 200…&… P = 100

α

CTPK

CTPL

E

D

C

0

QB

Q

150

100E

100 150

FRA

FRB

SCHEMA 80A


Duopole : les variantesDuopole Asymétrique : STACKELBERG (1934) ; Duopole Symétrique : BOWLEY (1924)

STACKELBERGSelon les hypothèses de cet auteur, l’une des deux firmes endosse un rôle de leader quand l’autre devient « suiveuse » (ou « dominée ») chacune conservant une stratégie « en quantités » (nous restons bien dans une approche courno-tienne). La modification par rapport au modèle originel porte donc sur le comportement de cette firme leader : cette dernière ne fait plus une conjecture nulle consistant comme nous l’avons vu à réagir « mécaniquement à l’offre observée (lors du « jeu » précédant) de sa rivale. Elle considère les réactions de cette rivale en faisant la conjecture que cette dernière (« dominée ») va continuer à s’adapter (en ∆Q) mécaniquement à ses propres stratégies. Ce faisant, la firme leader intègre le comportement anticipé de la firme « suiveuse » dans la détermination de sa propre stratégie.

L’hypothèse de STACKELBERG va donc se traduire par le fait que dans l’expression de la fonction de profit de la Leader nous allons remplacer la quantité offerte par la « suiveuse » par l’expression de la « Fonction de Réaction » de cette dernière (que Leader est censé connaître quand l’inverse n’est pas vrai : d’où la dénomination de duopole « asymétrique »).Il va en découler (comme nous l’illustrons dans l’exemple qui suit) que, par rapport au « Point de Cournot » :

la quantité offerte par la firme supposée leader progressela quantité offerte par la firme supposée « dominée » régresse.

BOWLEYRetour à un duopole « symétrique » : chacune des deux firmes se comportant en leader. D’où une situation de conflit. Cette hypothèse (A dispose de la « Fonction de Réaction » de B et B dispose de la « Fonction de Réaction » de A) ne permet pas de déboucher sur un « équilibre » : graphiquement, le point calculé, ne relève pas des « Fonctions de Réaction » !

En effet, accepter cette hypothèse de Bowley implique que les anticipations des firmes ne sont désormais pas cohérentes. En tant que leader, chaque firme conjecture que l’autre s’adapte de manière passive à ses propres stratégies de dominante. Aussi chaque firme à intérêt à modifier sa stratégie (négation même de la notion d’équilibre) car le π qu’elle réalise n’est plus optimal étant donné que la firme adverse se comporte aussi en leader.

Une lutte va alors s’engager, chacune faisant varier son offre (∆Q) dans l’espoir d’augmenter son π voire de provoquer la disparition de la firme adverse. Tant que persiste cette « guerre » (via ∆Q : univers cournotien) la situation restera instable.Toujours à la recherche d’un équilibre, l’Économiste envisagera donc deux issues :

l’une des deux firmes parvient à éliminer l’autre…et nous retrouvons une situation de Monopole.craignant une issue incertaine, les deux firmes s’entendent (Cartel) et nous savons alors déterminer l’équilibre d’un Cartel (hormis la question ouverte de la répartition du Profit-Joint).

Ce Cartel, comme nous le savons et comme nous l’illustrons ci-dessous dans notre exercice d’application, se révèle alors défavorable au Consommateur (Q en baisse et P à la hausse).

Pour aller au-delà on pourra consulter :DEFALVARD (Hervé) : « Fondements de la Microéconomie ». Volume 2 : « L’Équilibre des marchés » (pages 127 à 160). Éditions de Boeck, Bruxelles, 2003

Toutefois : Cette hypothèse de Stackelberg, comparée au modèle originel de Cournot, n’est ni systématiquement favorable ni systématiquement défavorable au Consommateur !Dans l’exemple qui suit, cette hypothèse de Stackelberg est favorable au Consommateur (« Surplus » en ) que l’on prenne l’une ou l’autre firme pour leader. Encore une fois la chose n’est pas généralisable : il est des cas où, par rapport au « Point de Cournot », la contraction de la Q offerte par la firme « dominée » l’emporte sur la progression de la Q offerte par Leader.

Suite page suivante

SCHEMA 80B



11

22

33

Suite page suivante

EXERCICE D’APPLICATIONOn se donne : P = 400 – 2.Q avec Q = QA + QB et CTA = 20. QA et CTB = 2.QB2

COURNOTÉtablissons les expressions des « Fonctions de réaction »

πA = P.QA – CTA = [(400 – 2.QA – 2.QB). QA] - 20. QA

πA = 380.QA – 2.QA2 – 2.QA.QB

Qui sera maximum si : π’ = 380 – 4.QA – 2.QB = 0 Q*A = (380 – 2.QB) / 4 = 95 – 0,5.QB Fonction de Réaction de A

πB = P.QB – CTB = [(400 – 2.QA – 2.QB). QB] - 2. QB2

πB = 400.QB – 4.QB2 – 2.QA.QB

Qui sera maximum si : π’ = 400 – 2.QA – 8.QB = 0 Q*B = 50 – 0,25.QA Fonction de Réaction de B

Portons l’une dans l’autre (par exemple la FRB dans la FRA). Il vient :QA = 95 – 0,5 (50 – 0,25 QA) = 70 – 0,125. QA 0,875.QA = 70 Q*A = 80

D’où Q*B en portant dans la « Fonction de Réaction » de B : Q*B = 50 – 20 = 30Donc : Q = QA + QB = 110 = Q P = 400 – 220 = 180 = P

Il est alors possible de calculer les Profits réalisés : π*A = (180 x 80) – (20 x 80) = 12800

π*B = (180 x 30) – (2x 302) = 5400 – 1800 = 3600Évaluons le « Surplus du Consommateur » : SC = (400 – 180) x 110/2 = 12100

STACKELBERG 1

Supposons que la firme A soit Leader (dispose donc de la « Fonction de Réaction » de B). Il vient : π*A = 380.QA – 2.QA

2 – 2.QA.QB = 380 .QA – 2.QA2 – 2.QA (50 – 0,25.QA)

π*A = 280.QA – 1,5. QA2

Qui sera maximum si : 280 – 3.QA = 0 Q*A ≈ 93,333 (en par rapport aux hypothèses de Cournot).

D’où l’offre de B en portant dans la « Fonction de Réaction » de B : Q*B = 50 – 0,25 (Q*A) ≈ 26,6666 (en par rapport aux hypothèses de Cournot).

Il vient, Q = QA + QB = 120 (en ). Dans notre exemple (ce qui n’est pas généralisable, l’hypothèse de Stackelberg est favorable au Consommateur). Il vient en effet P = 400 – 240 = 160 (en ).

Évaluons le « Surplus du Consommateur » : SS-1 = (400 – 160) x 120/2 = 14 400 (en )Calculons les Profits :

π*A = (P.QA) – CTA = (160 x 93,3333) – (20 x 93,3333) ≈ 13066,66 (en )π*B = (P.QB) – CTB = (160 x 26,6666) – (2 x 26,66662) ≈ 2844,45 (en )

Cette hypothèse est, bien entendu, favorable à la firme A (dont Q et π progressent par rapport à l’hypothèse Cournot) et défavorable à la firme B (dont Q et π reculent par rapport à l’hypothèse Cournot).Dans le cas qui nous occupe (ce qui n’est en rien généralisable comme nous l’avons déjà souligné) cette « hypothèse Stackelberg -1 » se révèle favorable au Consommateur (dont le « Surplus » progresse : Q en et P en ) voire « à la Société » puisque si nous comparons ces deux premières hypothèses, le gain en « Surplus du Consommateur » (14400 – 12100 = + 2300) l’emporte sur la baisse de la somme des profits : (12800 + 3600) – (13066,666 + 2844,444) = - 489

STACKELBERG 2

Supposons à l’inverse que la firme B soit Leader (dispose de la « Fonction de Réaction » de A). Il vient :

π*B = 400.QB – 4.QB2 – 2.QA.QB = 400 QB – 4.QB

2 – 2.QB.(95 – 0,5. QB)π*B = 210 QB – 3. QB

2

Qui sera maximum si : 210 = 6. QB

Q*B = 35 (bien entendu en par rapport à l’hypothèse initiale de Cournot)

D’où Q*A en portant dans la « Fonction de Réaction » de cette dernière :

Q*A = 95 – (05 x 35- = 77,5) (bien entendu en par rapport à la solution Cournot)

Il vient, Q = QA + QB = 112,5 (en ). Dans notre exemple (ce qui n’est pas généralisable, l’hypothèse de Stackelberg est favorable au Consommateur). Il vient en effet P = 175 (en )Évaluons le « Surplus du Consommateur » : SS-1 = (400 – 175) x 112,5/2 = 12 656,25Calculons les Profits. Il vient : π*A = 12 012,5

π*B = 3675Cette hypothèse est, bien entendu, favorable à la firme B (dont Q et π progressent par rapport à l’hypothèse Cournot) et défavorable à la firme A (dont Q et π reculent par rapport à l’hypothèse Cournot).

Dans le cas qui nous occupe (ce qui n’est en rien généralisable comme nous l’avons déjà souligné) cette « hypothèse Stackelberg -2 » se révèle favorable au Consommateur (dont le « Surplus » progresse : Q en et P en ) mais non à « à la Société » puisque la somme « Profit + Surplus » diminue par rapport à l’hypothèse Counot.

SCHEMA 80C



Q

QA

QB

P

πA

πB

πΣ

Surplus

π + S

Cournot

110

80

30

180

12 800

3 600

16 400

12 100

28 500

Stack. 1

120

93.333

26.666

160

13 066.666

2 844.44

15 911

14 400

30 311

Stack. 2

112.5

77.5

35

175

12 012.5

3 675

15 687.5

12 656.25

28 343.75

Bowley

128.333

93.333

35

143.333

11 511

2 566.666

14 077.666

-

-

Cartel

95

90

5

210

?

?

18 100

9 025

27 125

44

EXERCICE D’APPLICATION (suite)On se donne : P = 400 – 2.Q avec Q = QA + QB et CTA = 20. QA et CTB = 2.QB

2

BOWLEY

En fonction de ce qui précède, il apparaît que les deux firmes ont intérêt à adopter une attitude « de maîtrise ». chacune va donc fixer son offre en toute indépendance et aucun des deux rivaux n’acceptera de s’adapter. en conséquence, la production totale sera plus élevée que celle :

calculée par A supposant que B va s’adaptercalculée par B supposant que A va s’adapter

Les « Fonctions de Réactions sont dès lors dénuées de sens et l’excès de Q va provo-quer une diminution de P entraînant les profits à la baisse.Dans le cas qui nous occupe :

Q = 93,333 + 35 = 128,333 = Q P = 143,333

Il en découlerait une diminution des profits des firmes A et B ! On peut calculer : π*A = 11 511π*B = 2566,666

Une lutte (cournotienne) va s’engager chacune des deux firmes faisant varier son offre dans l’espoir d’augmenter son profit voire de provoquer la disparition de l’autre. tant que cette « guerre » persistera la situation restera instable (non-équilibre !) et l’issue indéterminée. Deux solutions (en vue de parvenir à un équilibre) sont concevables :

Ou bien l’une des deux firmes parvient à éliminer l’autre…et nous retrouvons un Monopole !

Ou, craignant une issue incertaine, les deux firmes s’entendent pour former un Cartel…que nous savons résoudre .

Envisageons cette dernière solution.Le but du Cartel est de maximiser le « Profit-Joint » soit, dans notre cas :

πJ = πA + πB = (380.QA – 2.QA2 – 2.QA.QB) + (400.QB – 2.QA.QB – 4.QB

2)πJ = 380.QA + 400. QB – 2.QA

2 – 4. QB2 – 4.QA.QB

Qui sera maximum si : π’A = 380 – 4.QA – 4.QB = 0 (*)π’B = 400 – 8.QB – 4.QA = 0 (**)

En portant l’un dans l’autre, il vient : QA = 90…QB = 5…Q = 95…P = 210Solution sans surprise défavorable au Consommateur (dont le Surplus diminue) ainsi que socialement parlant puisque comme nous le savons, en cas de cartel, cette perte se surplus sur le gain de profit généré par cet accord.Reste LA question de la répartition de ce profit-joint !Il convient de trouver une solution avantageuse aux deux participants…ce qui n’est pas manifestement le cas si nous retenions une répartition du « Profit-Joint » en fonction des quotas de production !

Le score maxi du πA = 13066Le score maxi du πB = 3675

Soit une somme de π = 16 741Et aucune des deux firmes n’accepterait, bien entendu moins après formation du cartel !Calculons le Profit-Joint maximisé via ce cartel :

πJ = 380.QA + 400. QB – 2.QA2 – 4. QB

2 – 4.QA.QB = 18100

Dit autrement, la formation d’un cartel fait progresser le Profit de (A + B) de : 18100 – 16 741 = 1359. À partir de là nous pouvons envisager divers types de répartition de ce ∆.π entre les deux firmes :

Moitié par moitiéEn fonction des quotas de production … / …

Documents

SCHEMA 01 La « loi de l’utilité marginale décroissante ...eco.um1.free.fr/Cours/Semestre 2/Microeconomie 2/martos/schemas.pdf · Utilité totale 0 30 55 75 90 100 105 108 109