FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

Jean Paul TRUCProfesseur de Mathématiques Spéciales

à l’Ecole des Pupilles de l’AIR38332 Saint-Ismier Cedex

13 mars 2020

Introduction

Ce chapitre traite des fonctions de Rn dans R. Ces fonctions interviennentdans de nombreux domaines, comme la physique ou l’économie par exemple. Àun n-uplet de nombres réels x = (x1,x2,...,xn), elles associent une valeur réellef(x), ou encore f(x1,x2,...,xn). Ces fonctions sont essentielles pour la modéli-sation des phénomènes. Dans le domaine de l’économie par exemple, qui a priorinous concerne tous, le niveau de production Y peut être modélisé par une fonctionde Cobb-Douglas de la forme : Y = c.KαLβ où K représente le capital, L le tra-vail, et où c, α, β sont des constantes positives determinées par la technologie del’entreprise ou du pays. Le niveau de production dépend donc ici des variablesK etL par le biais de la fonction de deux variables g qui à un couple (x,y) ∈ R+ ×R+

associe la valeur g(x,y) = cxαyβ .Cette fonction est représentée à la figure 1, où on a pris pour les constantes lesvaleurs c = 1, α = 2, β = 1

2 . Au dessus du point du plan Oxy de coordon-nées (x,y,0), on place le point de coordonnées (x,y,z), où z = g(x,y). C’est unmoyen commode de représenter une fonction de deux variables. pour étudier detels objets, il est nécessaire de disposer d’outils appropriés qui nous permettent

FIG. 1 – Fonction de Cob-Douglass

1

d’exprimer comment deux points de Rn sont proches, comment effectuer un pas-sage à la limité, où encore comment exprimer qu’une quantité dépend de manièrecontinue des n variables. C’est le sujet de la section suivante.

1 Continuité des fonctions de Rn dans R

1.1 Quelques rappels de topologie

L’espace Rn est muni d’une norme, c’est à dire d’une application de Rn dansR+ qui permet de mesurer la distance entre deux points. Il y a différentes façonsde le faire, donc différentes normes. Par exemple cela peut être l’une des normesusuelles, définies de la manière suivante : Si x = (x1,x2,...,xn) ∈ Rn, alors :

N1(x) =

n∑i=1

|xi| N2(x) =

√√√√ n∑i=1

x2i , N∞(x) = max

i=1..n|xi|.

Exemple

Dans R2, si u = (2,− 3), on aura :

N1(u) = 2 + | − 3| = 5, N2(u) =√

4 + 9 =√

13, N∞(u) = max2,3 = 3.

Rn étant de dimension finie (de dimension n précisément), toutes les normessur cet espace sont équivalentes, c’est à dire que si un point ou vecteur est grand (oupetit) pour une norme, il l’est aussi pour n’importe quelle autre. Pour une approcheplus rigoureuse de ces notions, le lecteur pourra par exemple consulter [7].

Dans ce qui suit, nous noterons ‖x‖ la norme du vecteur x de Rn pour unenorme quelconque de Rn. La distance entre les points ou vecteurs x et y est donnéepar d(x,y) = ‖x− y‖.

La boule ouverte de centre a et de rayon r > 0 est définie par :

Bo(a,r) = x ∈ Rn / ‖x− a‖ < r.

C’est donc l’ensemble des points x qui sont à une distance strictement inférieure àr du point a.

La boule fermée de centre a et de rayon r > 0 sera définie par :

Bf (a,r) = x ∈ Rn / ‖x− a‖ ≤ r.

Un voisinage du point a est une partie V ⊂ Rn qui contient une boule ouvertede centre a. Une partie U ⊂ Rn est dite ouverte si c’est un voisinage de chacunde ses points. Une partie sera dite fermée si son complémentaire est une partieouverte.

Ces quelques rappels étant faits, nous pouvons énoncer les définitions relativesaux limites et à la continuité des fonctions de plusieurs variables :

2

1.2 Limites et continuité - Définitions

Définition 1 Soit f une application d’une partie D de Rn dans R et a un pointadhérent à D (ce qui signifie que tout voisinage de a rencontre D). On dit que lafonction f admet pour limite le réel l quand x tend vers a (en appartenant à D) siet seulement si :

∀ ε > 0 , ∃ α > 0 / ∀ x ∈ D : ‖ x− a ‖< α =⇒ |f(x)− l| < ε

ou encore : pour tout ε > 0, il existe α > 0 tel que l’image par f de l’intersectionde D avec la boule ouverte de centre a et de rayon α :

Bo(a,α) = x ∈ Rn/‖x− a‖ < α

soit incluse dans ]l − ε,l + ε[. On note :

l = limx→ a,x∈D

f(x)

ou plus simplement :l = lim

x→ af(x)

Avec cette définition, si a appartient à D, il est facile de voir que la seule limitepossible est f(a). On dit dans ce cas que f est continue au point a.Définition 2

f continue en a ⇐⇒ f(a) = limx→ a

f(x)

Passons maintenant à l’étude de quelques situations concrètes.

1.3 Etude d’un premier exemple

On considère la fonction de deux variables définie par :

f(x,y) =2x2y√x2 + y2

.

Nous vous proposons d’étudier le comportement de cette fonction au voisinage del’origine sous forme d’exercice :

– Déterminer le domaine de définition de f .– Est ce que f est continue en tout point intérieur de son domaine de défini-

tion?– Peut-on prolonger f par continuité en (0,0)?

Indications

Commençons par visualiser le graphe de cette fonction au voisinage de (0,0)avec un programme écrit en Python. La figure 27 montre le tracé de la surface (cettenotion sera précisée par la suite) d’équation :

z = f(x,y) =2x2y√x2 + y2

3

au voisinage de l’origine.

FIG. 2 –

Sur ce tracé, on constate un comportement très lisse, régulier. Il devrait doncêtre possible de prolonger par continuité la fonction à l’origine. Passons à la réso-lution de l’exercice. f est définie quand son dénominateur x2 + y2 ne s’annule pasdonc sur l’ouvert D constitué par le plan R2 privé de l’origine.

Sur cet ouvert D, f est continue. En effet l’ application polynômiale en x et y :p1 : (x,y) 7→ 2x2y est continues sur R2 de même que p2 : (x,y) 7→

√x2 + y2

qui n’est autre que la norme euclidienne elle-même. Enfin f est le quotient de deuxfonctions continues sur D, dont le dénominateur ne s’annule pas. Elle est donccontinue sur D. Pour chercher la limite quand le point M(x,y) tend vers O(0,0)dans R2 nous allons utiliser les coordonnées polaires :

x = r cos(θ) y = r sin θ

avec r =√x2 + y2. Remarquez que r = OM (r est la norme euclidienne du

vecteur −−→OM ). Donc le fait que M tende vers O se traduira simplement par r → 0.Nous calculons que :

f(x,y) =2r3 cos2 θ sin θ)

r= 2r2 cos2 θ sin θ = g(r,θ).

La majoration : |g(r,θ)| ≤ 2r2 entraîne immédiatement :

lim(x,y)→ (0,0)

f(x,y) = limr→ 0

g(r,θ) = 0.

On peut donc prolonger f par continuité en posant f(0,0) = 0.

4

1.4 Surface d’équation z = f(x,y)

Nous profiterons de ce premier exemple pour introduire ici la notion de sur-face :

Définition 3 L’espace R3 est rapportéà un repère O,~i,~j,~k. Etant donnée uneapplication f d’une partie D de R2 dans R, nous appellerons surface d’équationz = f(x,y) l’ensemble S formé des points M dont les coordonnées x,y,z vérifient(x,y) ∈ D et z = f(x,y).

1.5 Un deuxième exemple

Déterminer si elle existe, la limite :

lim(x,y)→(0,0)

2xy

x2 + y2

Indications

Posons : f(x,y) =2xy

x2 + y2. Cette fois le tracé de la surface d’équation : z =

f(x,y), réalisé avec le même programme python au voisinage de l’origine (voirla figure 5). montre un comportements très irrégulier au voisinage de la limite. La

FIG. 3

discontinuité de la fonction à l’origine se manifeste par un "trou" dans le tracé.Pour le prouver on peut encore utiliser les coordonnés polaires. Nous calculonscette fois :

f(x,y) =2r2 sin θ cos θ

r2= g(r,θ) = 2 sin θ cos θ = sin 2θ.

Fixons θ = θ0, ce qui revient à s’approcher de l’origine en suivant la demi-droited’angle polaire θ0. La fonction est constante sur cette demi-droite, mais la valeurde cette constante varie avec θ0 et peut prendre toute valeur comprise entre -1 et 1.Il n’y a donc pas de limite pour f(x,y) quand (x,y) tend vers l’origine.

5

1.6 Continuité des applications partielles

Nous pouvons prolonger artificiellement la fonction de l’exemple précédent enposant f(0,0) = 0. la fonction prolongée n’est pas continue à l’origine, mais lelecteur vérifiera que les applications partielles x 7→ f(x,0) et y 7→ f(0,y) le sont.Ceci prouve que la continuité des applications partielles n’entraîne pas la continuitéde l’application. Par contre la réciproque est vraie.

2 Dérivées partielles

Nous considérons ici une fonction f définie sur un ouvert Ω de Rn et un pointa ∈ Ω .

2.1 Dérivée partielle en un point

Définition 4 La dérivée partielle de f au point a = (a1, . . . ,an) par rapport à lai-ème variable est définie, si elle existe, par la limite du taux d’acroissement :

∂f

∂xi(a) = lim

t→0

f(a1, . . . ,ai + t, . . . ,an)− f(a1, . . . ,ai, . . . ,an)

t(1)

Remarque

Dans le cas d’une fonction de deux variables, on a par exemple :

∂f

∂x(a) = lim

t→0

f(a1 + t,a2)− f(a1,a2)

t

Notons e1,...,en) ou ~e1,..., ~en) la base canonique de Rn, ou si vous préférez,pour tout i compris entre 1 et n, ei = (0,...0,,1,0,...,0) (le 1 en ième position).Définition équivalente 5 La dérivée partielle de f au point a = (a1, . . . ,an) parrapport à la i-ème variable est définie, si elle existe, comme la dérivée en zéro dela fonction de R dans R : φ : t→ f(a+ t~ei) = f(a1,...,ai−1,ai + t,ai+1,...,an).En effet, on a:

∂f

∂xi(a) = lim

t→0

φ(t)− φ(0)

t= φ′(0)

2.2 Applications de classe C1

Définition 6 Si la dérivée partielle de f par rapport à la i-ème variable existe entout point de l’ouvert Ω, on définit l’application dérivée partielle par rapport à xi :

∂f

∂xi: x ∈ Ω 7→ ∂f

∂xi(x)

Définition 7 Si pour tout i ∈ [1,n] les dérivées partielles∂f

∂xide f sont définies

et continues en tout point de Ω, on dira que f est de classe C1, ou continuementdifférentiable, sur l’ouvert Ω.

6

2.3 Différentes notations.

On peut également noter :∂f

∂xi= f ′xi . Il est aussi courant de noter, en Méca-

nique classique (ou céleste) ([8]):

∂f

∂xi= fxi

∂2f

∂x2i

= fxixi∂2f

∂xixj= fxixj

Nous utiliserons indifféremment l’une de ces notations.

2.4 Calcul pratique des dérivées partielles.

Dans la pratique on dérive par rapport à une variable, en considérant les autrescomme constantes ; on écrira par exemple :

∂

∂x(x2 − 2xy) = 2(x− y).

Les règles de calcul sont les mêmes que pour les dérivées des fonctions d’unevariable ; par exemple, pour un produit :

∂fg

∂xi=

∂f

∂xig + f

∂g

∂xi

et la dérivation partielle est linéaire :

∂(αf + g)

∂xi= α

∂f

∂xi+∂g

∂xi

Exemples

a) Si r =√x2 + y2, alors

rx =x

rry =

y

r

b) Si θ = arctany

x, alors

θx = − y

x2 + y2

De ces règles de calcul, il résulte facilement le résultat suivant :

proposition 1 Les fonctions de classe C1 sur l’ouvert Ω et à valeurs dans Rforment une algèbre pour les lois suivantes :

– Addition des fonctions.– Multiplication d’une fonction par un scalaire.– Produit de deux fonctions.

(Rappelons qu’une algèbre est un espace vectoriel muni d’une multiplication in-terne qui lui confère une structure d’anneau, les deux multiplications (interne etexterne) étant compatibles). Ceci est une façon commode de dire que le produit(respectivement la somme) de deux fonctions de classe C1 est encore une fonctionde classe C1

7

2.5 Cas particulier d’une fonction prolongée par continuité

Pour calculer la dérivée partielle d’une fonction prolongée en un point, il estindispensable de recourir à la définition, c’est à dire à la limite du taux d’accrois-sement.

2.6 Exemple

Pour (x,y) 6= (0,0) on pose :

z = f(x,y) =2xy

x2 + y2

et f(0,0) = 0. Calculons les dérivées partielles de f en (0,0) si elles existent.

∂f

∂x(0,0) = lim

x→0

f(x,0)− f(0,0)

x= lim

x→00 = 0

de même par rapport à y. On a donc :

∂f

∂x(0,0) =

∂f

∂y(0,0) = 0.

On constate que cette fonction admet bien des dérivées partielles à l’origine etpourtant on a vu que f n’est pas continue en ce point puisqu’elle n’admet pas delimite quand (x,y) tend vers (0,0)..

Remarque

Pour une fonction de plusieurs variables, l’existence des dérivées partielles enun point n’entraîne pas la continuité, alors que pour une fonction d’une variable ladérivabilité entraîne la continuité. En effet il suffit d’une direction pour parcourirla droite réelle, mais deux directions ne permettent pas de juger du comportementd’une fonction dans un plan !

2.7 Dérivée selon un vecteur

Cette dérivée représente la variation de la quantité f(x) quand on se déplacedans une certaine direction avec une certaine vitesse; elle est définie ainsi :

Définition 8 Nous considérons ici une fonction f définie sur un ouvert Ω de Rn,un point a ∈ Ω et un vecteur non nul ~u. La dérivée de f au point a = (a1, . . . ,an)selon le vecteur ~u, notée ∂~uf(a) est définie, si elle existe, par la limite du tauxd’accroissement ci-dessous :

∂~uf(a) = limt→0

f(a+ t~u)− f(a)

t(2)

8

Remarque

Si ~ei est le i-ème vecteur de la base canonique, on a :

∂~eif(a) =∂f

∂xi(a) (3)

D’autre part pour tout scalaire λ : ∂λ~uf(a) = λ∂~uf(a).

3 Plan tangent à une surface d’équation z = f(x,y)

L’espace R3 est rapporté à un repère O,~i,~j,~k. Nous considérons dans cettepartie une application f de classe C1 sur l’ouvert Ω de R2, à valeurs dans R. Onnote S la surface d’équation z = f(x,y).

Définition 9 le plan tangent à la surface S au pointM0 de coordonnées (x0,y0,z0)est le plan passant par M0, de vecteurs directeurs :

~u =∂ ~M

∂x= ~i+ fx(x0,y0)~k = (1,0,fx(x0,y0))

~v =∂ ~M

∂y= ~j + fy(x0,y0)~k = (0,1,fy(x0,y0))

(4)

Interprétation géométrique :

Supposons pour simplifier que Ω =]a,b[×]c,d[. Nous disposons d’un réseaude courbes tracées sur la surface S (voir figure 4); ce sont les courbes (Cλ), dereprésentation paramétrique:

x = λ, y = t, z = f(λ,t),

où λ est fixé, λ ∈]a,b[ et où t varie dans ]c,d[, et les courbes (Γµ), de représentationparamétrique:

x = t, y = µ, z = f(t,µ),

où µ ∈]c,d[ et où t varie dans ]a,b[. Deux de ces courbes passent par le point M0 ;ce sont les courbes (Cx0) et (Γy0). Le vecteur ~u (respectivement : ~v) est le vecteurtangent (voir figure 5) à la courbe (Γy0) (respectivement (Cx0)) au point M0.

Proposition 2 le plan tangent à la surface S d’équation z = f(x,y) au point M0

de coordonnées (x0,y0,z0) a pour équation:

z − z0 = fx(x0,y0)(x− x0) + fy(x0,y0)(y − y0) (5)

9

FIG. 4 – Courbes coordonnées sur une surface.

En effet le point P (x,y,z) est dans le plan tangent si et seulement si les vecteurs−−−→M0P , ~u, ~v sont liés ; ceci équivaut à la nullité du déterminant :∣∣∣∣∣∣

x− x0 1 0y − y0 0 1z − z0 fx(x0,y0) fy(x0,y0)

∣∣∣∣∣∣ = 0

En développant le déterminant par rapport à la dernière ligne on obtient l’équation(5).

3.1 Exemple - Exercice

Déterminer l’équation du plan tangent au paraboloïde (P) d’équation z = x2 +y2 au point A(1,0,1).

Solution : Ici f(x,y) = x2 + y2 et f ′x = 2x, f ′y = 2y. Au point A on a :f ′x(1,0) = 2 et f ′y(1,0) = 0. L’équation du plan tangent est donc : z − 1 = 2(x −1) + 0.(y − 0) ou encore : z − 2x+ 1 = 0.

4 Différentiabilité des fonctions de Rn dans R

4.1 Différentielle de f en a

Définition 10 Nous considérons toujours une fonction f définie sur un ouvert Ωde Rn et un point a ∈ Ω. On suppose que f admet des dérivées partielles parrapport à chaque variable au point a. On appelle différentielle de f en a et on note

10

FIG. 5 – Plan tangent à une surface.

dfa l’application linéaire de Rn dans R définie par :

dfa : h = (h1,...,hn) 7→n∑i=1

∂f

∂xi(a)hi.

4.2 Remarques

– La différentielle de f en a est donc une forme linéaire sur l’espace Rn, c’està dire un élément de l’espace dual.

– Le calcul de la différentielle est linéaire, c’est à dire que si f et g sont deuxapplications admettant des dérivées partielles en a et si λ ∈ R, alors :

d(λf + g)a = λdfa + dga

4.3 Écriture de la différentielle dans la base duale

On rappelle que les dxi sont les formes linéaires :

dxi : h = (h1,...,hn)→ hi.

Ces n formes linéaires constituent une base de l’espace dual L(Rn,R), c’est-à-direqu’elles permettent d’écrire toute forme linéaire sur Rn de manière unique. Dans

11

cette base duale dx1,...,dxn, la différentielle de f s’écrit donc :

dfa =n∑i=1

∂f

∂xi(a) dxi.

(6)

Exemples

a) L’application g : (x,y)→ 3x2 + xy a pour différentielle au pointM = (x,y) : dgM = (6x+ y)dx+ xdy.Par exemple au point A = (1,1), la différentielle sera : dgA = 7dx+ dy.C’est l’application qui au vecteur (h,k) associe 7h+ k.

b) Si f est déjà une forme linéaire sur Rn, alors en tout point a on a : dfa = f .

En effet la forme linéaire f =

n∑i=1

aidxi est définie par une expression du type:

f(x1,x2,...,xn) =

n∑i=1

aixi

où les ai sont des constantes réelles qui caractérisent f . Les dérivées partielles sont

donc constantes:∂f

∂xi= ai et on a: dfa =

n∑i=1

ai dxi = f .

4.4 Différentiabilité de f en a

Définition 11 Nous considérons toujours une fonction f définie sur un ouvert Ωde Rn et un point a ∈ Ω. On suppose que f admet des dérivées partielles parrapport à chaque variable au point a. On dira que f est différentiable en a si etseulement si pour tout accroissement vectoriel ~h = (h1,...,hn) ∈ Rn assez petit,on peut écrire un développement limité au premier ordre de la forme :

f(a+ ~h) = f(a) + dfa(~h) + o(‖ ~h ‖).

soit encore :

f(a1 + h1,...,an + hn) = f(a1,...,an) +n∑i=1

∂f

∂xi(a)hi + o(‖ ~h ‖).

Remarque

La notation ‖ ~h ‖ désigne ici la norme du vecteur pour une norme choisie dansRn ( toutes les normes sont ici équivalentes). Quand au o(‖ ~h ‖), il représente unequantité réelle négligeable par rapport à la norme du vecteur ~h.

12

Exemple

Considérons la fonction f définie par : f(x,y) = x2 + y2. Alors, f est diffé-rentiable en tout point (a,b) de R2, en effet :

f(a+ h,b+ k) = f(a,b) + 2ah+ 2bk + (h2 + k2)

et si on choisit la norme euclidienne, il est clair que, en notant u = (h,k), on abien : h2 + k2 = ‖u‖2 = o(‖u‖).Proposition 3 Une fonction différentiable en a est continue en a.

en effet on a alors :

lim~h→~0

f(a+ ~h) = lim~h→~0

f(a) + dfa(~h) + o(‖ ~h ‖) = f(a)

puisque la différentielle dfa, linéaire, est donc continue 1. On retiendra donc que cen’est pas l’existence des dérivées partielles mais bien la différentiablité qui entraînela continuité.

4.5 Différentielle et dérivée selon un vecteur - Dérivée normale

Si ~u 6= ~0 et si a ∈ Ω, nous avons pour t suffisament petit, en tenant compte dela linéarité de dfa et de ‖t~u‖ = |t|‖~u‖ :

f(a+ t~u) = f(a) + dfa(t~u) + o(‖t~u‖)= f(a) + tdfa(~u) + o(t)

et il en résulte que la dérivée de f en a selon le vecteur ~u est donnée par :

∂f~u(a) = limt→0

f(a+ t~u)− f(a)

t= dfa(~u)

Cette quantité est particulièrement utile pour l’étude des équations aux dé-rivées partielles lorsque ~u est un vecteur normal à la frontière d’un certaindomaine U de Rn. Examinons pour commencer le cas n = 2 de deux variables. fest supposéee différentiable en tout point de l’ouvert Ω ⊂ R2. U est un ouvert dontl’adhérence 2 U est contenue dans l’ouvert Ω. On suppose que la frontière de U estune courbe simple régulière (C) et que ~n est un vecteur normal unitaire à (C) aupoint A = (a,b) de la frontière de U , orienté vers l’extérieur (voir figure 6). Ondéfinit alors la dérivéee normale de f en A par :

∂f~n(A) = dfA(~n) =∂f

∂x(a,b)ξ +

∂f

∂y(a,b)η

1. Rappelons au lecteur que si E est un espace vectoriel normé de dimension finie et si F est unespace vectoriel normé, alors toute application linéaire de E dans F est continue

2. l’adhérence de U est formée de tous les points x qui sont limites d’une suite de points de U .Elle contient U ainsi que sa frontière.

13

en notant ~n = ξ~i + η~j, dans la base canonique orthonorméee de R2. Ceci segénéralise à Rn avec :

∂f~n(A) = dfA(~n) =n∑i=1

∂f

∂x(A)ξi (7)

en notant le vecteur normal à la frontière au point A : ~n =∑n

i=1 ξi~ei, dans labase canonique orthonorméee de Rn. D’un point de vue physique, cette quantitéreprésente le taux de variation de f quand on se déplace à partir du point A dans ladirection normale à la frontière.

FIG. 6 – Vecteur normal à la frontière de U .

4.6 Cas des fonctions de classe C1

Le théorème suivant est le moyen le plus commode de s’assurer qu’une fonc-tion est différentiable :Théorème 1 Si f est de classe C1 sur l’ouvert Ω, alors f est différentiable en toutpoint a ∈ Ω.

Démonstration

Elle consiste à passer de a + h à a par des déplacements successifs parallèlesaux axes de coordonnées et affectant une seule variable à chaque fois. On note :h = (h1,...,hn) et vn = h ; pour tout entier 1 ≤ j < n,

vj = (h1,...,hj ,0,...0)

et v0 = ~0 . On calcule :

f(a+ h)− f(a) = f(a+ vn)− f(a) =

n∑j=1

f(a+ vj)− f(a+ vj−1)

14

f(a+ h)− f(a) =

n∑j=1

[f(a+ vj−1 + tej)]hj0

en notant ej = (0,...,1,...,0) le j-ème vecteur de base canonique. Nous pouvonsécrire les variations [f(a+vj−1 + tej)]

hj0 sous forme intégrale ; en effet, la dérivée

au point t de la fonction

t −→ f(a+ vj−1 + tej)

se calcule facilement en prenant la limite quand δ tend vers zéro du taux d’accrois-sement :

τ(δ) =f(a+ vj−1 + (t+ δ)ej)− f(a+ vj−1 + tej)

δ

et par définition, cette limite est∂f

∂xj(a+ vj−1 + tej) . Nous pouvons donc écrire :

f(a+ h)− f(a) =n∑j=1

∫ hj

0

∂f

∂xj(a+ vj−1 + tej)dt. (1)

D’autre part on a également :

dfa(h) =

n∑j=1

∫ hj

0

∂f

∂xj(a)dt. (2)

On fait alors la différence de (1) et (2) :

f(a+ h)− f(a)− dfa(h) =

n∑j=1

∫ hj

0

( ∂f∂xj

(a+ vj−1 + tej)−∂f

∂xj(a))dt. (3)

La continuité des dérivées partielles permet alors de montrer que ceci est bien uno(‖ h ‖). Examinons par exemple l’une de ces intégrales et majorons la :∣∣∣ ∫ hj

0

( ∂f∂xj

(a+vj−1+tej)−∂f

∂xj(a))dt∣∣∣ ≤ |hj | sup

[0,hj ]

∣∣∣ ∂f∂xj

(a+vj−1+tej)−∂f

∂xj(a)∣∣∣

Prenons par exemple la norme de la plus grande coordonnée : ‖ h ‖= max |hj |.Alors :∣∣∣ ∫ hj

0

( ∂f∂xj

(a+vj−1 + tej)−∂f

∂xj(a))dt∣∣∣ ≤‖ h ‖ sup

y∈B(a,‖h‖)

∣∣∣ ∂f∂xj

(y)− ∂f

∂xj(a)∣∣∣

et la borne supérieure ci dessus tend vers zéro avec ‖ h ‖ du fait de la continuitéde la dérivée partielle. Chaque intégrale est bien un o(‖ h ‖) et donc il en est demême de leur somme. .

15

Remarque 1

De cette démonstration on peut retenir le fait que si f est de classe C1 surl’ouvert Ω ⊂ R2, contenant le rectangle [a,b]× [c,d] alors ∀(x,y) ∈ [a,b]× [c,d]:

f(b,y)− f(a,y) =

∫ b

a

∂f

∂x(t,y)dt.

f(x,c)− f(x,d) =

∫ d

c

∂f

∂y(x,t)dt.

formules qui remplacent la relation f(b) − f(a) =

∫ b

af ′(t)dt bien connue pour

les fonctions d’une variable.

Remarque 2

Le théorème précédent n’est pas optimal, au sens que ses hypothèses sont unpeu trop fortes. Le théorème suivant donne une condition suffisante sur les dérivéespartielles de la fonction f pour que celle-ci soit différentiable en a.Théorème 2 On suppose que :

(i) l’une des dérivées partielles ∂f∂x1

,..., ∂f∂xn de la fonction f existe au pointa = (a1,...,an).

(ii) les n− 1 autres dérivées partielles existent dans un voisinage de a et qu’enoutre elles sont continues en a.Alors la fonction f est différentiable en a.Pour la démonstration, voir [11].

Contre exemple

La fonction g définie pour (x,y) 6= (0,0) par

g(x,y) =xy√x2 + y2

et g(0,0) = 0 admet des dérivées partielles à l’origine que l’on peut calculer :g′x(0,0) = g′y(0,0) = 0. Mais elle n’est pas différentiable en (0,0) (cf. exercice 7de la série 2).

4.7 Retour à la variable unique : la dérivée d’une fonction composée.

Théorème 3 On se donne n fonctions de R dans R, xi : t→ xi(t) de classe C1

sur l’intervalle I et une fonction f de Rn dans R de classe C1 sur l’ouvert Ω. Onsuppose que :

∀t ∈ I : x(t) = (x1(t),...,xn(t)) ∈ Ω

16

Alors la fonction : φ : t → f(x1(t),...,xn(t)) est de classe C1 sur l’intervalle Iet :

∀t ∈ I : φ′(t) =

n∑i=1

∂f

∂xi(x1(t),...,xn(t))x′i(t). (8)

Ce qui s’écrit encore :

d

dtf(x1(t),...,xn(t)) =

n∑i=1

∂f

∂xi(x1(t),...,xn(t))x′i(t)

Pour la démonstration nous calculons : φ(t+ h) = f(x(t+ h)). Pour tout i ona :

xi(t+ h) = xi(t) + x′i(t)h+ o(h)

ce qui en introduisant le vecteur dérivé x′(t) de la fonction 3vectorielle x s’écrit:x(t + h) = x(t) + hx′(t) + o(h), le o(h) étant cette fois une fonction vectorielledont les n composantes sont des o(h). Pour plus de commodités, nous l’écrironsh−−→ε(h) avec lim

h→0

−−→ε(h) = ~0.

φ(t+h) = f(x(t)+hx′(t)+h−−→ε(h)) = f(x(t))+dfx(t)(hx

′(t)+h−−→ε(h))+o(‖ hx′(t)+h−−→ε(h) ‖)

Comme: ‖ hx′(t) + h−−→ε(h) ‖= |h| ‖ x′(t) +

−−→ε(h) ‖, on voit que

o(‖ hx′(t)+h−−→ε(h) ‖) = o(h). En utilisant la linéarité de la différentielle on obtient

alors:φ(t+ h) = φ(t) + h dfx(t)(x

′(t)) + h dfx(t)(−−→ε(h)) + o(h)

Mais la différentielle est une application linéaire continue:

limh→0

dfx(t)(−−→ε(h)) = dfx(t)(~0) = 0,

donc on a bien montré que:

φ(t+ h) = φ(t) + h dfx(t)(x′(t)) + o(h)

Ceci prouve que φ est dérivable au point t et aussi que:

φ′(t) = dfx(t)(x′(t)) =

n∑i=1

∂f

∂xi(x1(t),...,xn(t))x′i(t)

3. On rappelle ici que si x(t) =∑

i xi(t)ei, alors x′(t) =∑

i x′i(t)ei.

17

Exemple

L’espace R3 euclidien étant rapporté à un repère orthonormé, déterminer lepoint de la courbe de représentation paramétrique :

x = t y = t2 z = t3 t ∈ [0,1]

le plus éloigné de l’origine O. Il suffit ici de considérer la fonction :

φ : t→ ‖−−→OM(t)‖ =√x(t)2 + y(t)2 + z(t)2

dont on calcule la dérivée par rapport à t en utilisant (8) :

φ′(t) =2x(t)x′(t)

2√x(t)2 + y(t)2 + z(t)2

+2y(t)y′(t)

2√x(t)2 + y(t)2 + z(t)2

+2z(t)z′(t)

2√x(t)2 + y(t)2 + z(t)2

φ′(t) =t+ 2t3 + 3t5√t2 + t4 + t6

La fonction est croissante donc l’extrémité (t=1) est le point le plus éloigné.4

4.8 Application aux équations différentielles exactes.

Considérons par exemple le problème suivant : On cherche les fonctions déri-vables de R dans R vérifiant :

2xy + (1 + x2)y′(x) = 0 (9)

On remarque facilement que la fonction f définie par f(x,y) = (1 + x2)y

vérifie∂f

∂x= 2xy et

∂f

∂y= 1 + x2, si bien que l’équation différentielle s’écrit :

∂f

∂x+∂f

∂yy′(x) = 0

ce qui d’après la dérivation des fonctions composées équivaut àd

dxf(x,y(x)) = 0 ou encore à f(x,y(x)) = Cte. Nous pouvons donc en déduire

que les solutions de l’équation (9) sont les fonctions définies par :

y(x) =C

1 + x2

Cette méthode de résolution se généralise à toute équation de la forme :

∂f

∂x+∂f

∂yy′(x) = 0 (10)

que l’on appelle souvent équation différentielle exacte.

4. c©Jean Paul TRUCProfesseur de Mathématiques Spéciales à l’Ecole des Pupilles de l’AIR

18

FIG. 7 – Solutions de l’équation différentielle (9).

5 Application aux courbes tracées sur une surface

Nous considérons dans cette partie des applications de classe C1 sur un ouvertΩ de R2, à valeurs dans R.

5.1 Tangente à une courbe tracée sur une surface

Proposition 4 Soit (C) une courbe de classe C1 tracée sur la surface S d’équa-tion z = f(x,y) et passant par le point M0. Alors la tangente à (C) au point M0

est située dans le plan π tangent à la surface S au point M0.

En effet une telle courbe admet une représentation paramétrique de la forme :

x = x(t), y = y(t), z = f(x(t),y(t)) = z(t)

avec pour un certain t0 : x(t0) = x0, y(t0) = y0. On a pour tout t :

z(t) = f(x(t),y(t)),

d’où :z′(t) =

∂f

∂x(x(t),y(t))x′(t) +

∂f

∂y(x(t),y(t))y′(t).

Pour t = t0 :

z′(t0) =∂f

∂x(x0,y0))x′(t0) +

∂f

∂y(x0),y0))y′(t0)

19

FIG. 8 – Tangente à une courbe

Les coordonnées (x′(t0),y′(t0),z′(t0)) du vecteur tangent à la courbe en M0 véri-fient donc l’équation :

z = fx(x0,y0)x+ fy(x0,y0)y

qui est justement l’équation du plan vectoriel qui est la direction du plan affinetangent en M0 à la surface. En effet l’équation :

z − z0 = fx(x0,y0)(x− x0) + fy(x0,y0)(y − y0)

est de la forme :z = fx(x0,y0)x+ fy(x0,y0)y + Cte.

D’après le résultat précédent on voit que le plan tangent est le plan passant parM0 qui admet pour direction le plan vectoriel formé par les vecteurs tangents enM0 aux courbes tracées sur la surface passant par M0.

5.2 Tangente à la courbe intersection de deux surfaces

Proposition 5 Soit (C) la courbe intersection de deux surfaces S et S′ d’équationsrespectives z = f(x,y) et z = g(x,y). On suppose que les deux plans tangents enM0 sont distincts. Alors la tangente à (C) au point M0 est l’intersection des planstangents à chacune des surfaces au point M0.

Cela résulte simplement de la proposition précédente. (Nous admettons ici lefait que la courbe intersection (voir figure 10) admet un paramétrage de classe C1,ce qui relève d’un résultat à venir).

20

FIG. 9 – Tangente à une courbe intersection de deux surfaces

FIG. 10 – Courbe intersection d’un cylindre elliptique et d’une sphère.

6 Vecteur gradient

6.1 Gradient de f en a

Dans cette partie, Rn est muni du produit scalaire usuel

< x,y >=∑i

xiyi

Définition 12 Nous considérons toujours une fonction f définie sur un ouvert Ωde Rn et un point a ∈ Ω. On suppose que f admet des dérivées partielles par rap-port à chaque variable au point a. On appelle gradient f en a et on note

−−→gradf(a)

21

ou ~∇f(a) le vecteur de Rn :

~∇f(a) =( ∂f∂x1

(a),...,∂f

∂xn(a)).

Remarque

Dans la base canonique le gradient s’écrit donc :

~∇f(a) =

n∑i=1

∂f

∂xi(a)~ei.

6.2 Ecriture de la différentielle.

L’action de la différentielle sur un vecteur peut s’exprimer comme le produitscalaire calculé dans la base canonique (orthonormée) :

dfa(~h) =< ~∇f(a),~h > .

On trouve ici une illustration du fait que pour un espace euclidien E, le dual E∗

est isomorphe à E, toute forme linéaire correspondant au produit scalaire par unvecteur donné.

6.3 Retrouver une fonction à partir de son gradient.

Pour déterminer f connaissant ~∇f =∑i

Ai~ei on doit intégrer le système

d’équations :

∀i ∈ [1..n] :∂f

∂xi= Ai(x1,x2,...xn)

Examinons quelques exemples :– Déterminer la fonction f de R2 dans R dont le gradient est égal à

(2xy2 + 1)~i+ 2x2y~j.On doit intégrer le système :

f ′x = 2xy2 + 1f ′y = 2x2y

En intégrant la première équation par rapport à x on obtient :

f(x,y) = x2y2 + x+ k(y)

où k est une fonction d’une seule variable, dérivable. On dérive ensuite cetteexpression de f par rapport à y et on la reporte dans la deuxième équationce qui donne :

f ′y = 2x2y = 2x2y + k′(y)

22

donc k′(y) = 0 et k est une "‘vraie"’ constante. Les fonctions cherchéessont :

f(x,y) = x2y2 + x+ k

– Déterminer la fonction f de R2 dans R dont le gradient est égal ày2~i+ (2xy − 1)~j.(Réponse : f(x,y) = xy2 − y + Cte.)

– Déterminer la fonction f de R2 dans R dont le gradient est égal à y~i− x~j.(Réponse : le problème n’a pas de solution).

Cette question sera reprise plus loin d’une manière plus systématique.

7 Application à l’étude des courbes en dimension deux

Le plan est rapporté à un repère orthonormé O,~i,~j.

7.1 Courbes de niveaux d’une fonction

Définition 13 On appelle courbe de niveau d’une fonction f de Ω ⊂ R2 dans Rl’ensemble des points M(x,y) ∈ Ω dont les coordonnées vérifient une relation dela forme : f(x,y) = k, où k est une constante réelle qui caractérise la courbe deniveau. Nous l’appellerons également courbe d’équation f(x,y) = k.

Par exemple les courbes de niveau de la fonction définie par f(x,y) = x2 + y2 ontpour équation x2 + y2 = C. Elles sont vides pour C < 0, réduite à un point pourC = 0, et sont des cercles pour C > 0.Dans ce paragraphe, sauf précision supplémentaire, le mot courbe signifie courbede niveau.

7.2 Point régulier d’une courbe

Définition 14 Le pointM(a,b) de la courbe de niveau d’une fonction f de Ω ⊂ R2

dans R est dit régulier si ~∇f(M) 6= ~0. Dans le cas contraire le point M est unpoint singulier.

L’allure d’une courbe de niveau au voisinage d’un point régulier est analogue àcelle d’un graphe de fonction x→ y(x) ou y → x(y) comme le prouve le théorèmedes fonctions implicites. Certains auteurs (et non des moindres ! voir par exemple[2] page 236) prennent d’ailleurs ceci comme définition d’un point régulier.

Étude d’un exemple

Intéressons nous aux courbes de niveau de la fonction f définie par

f(x,y) = x2 + y2 − y3

4.

Près de l’origine (cf. figure 11), y est petit et y3 négligeable par rapport à y2. Lescourbes ont l’allure de cercle ; elles se déforment (cf. figure 12) quand on s’éloignede O, et deviennent même non bornées.

23

7.3 Théorème des fonctions implicites en dimension deux.

Nous admettrons le théorème suivant :Théorème 4 (Théorème des fonctions implicites) Si M(a,b) est un point régu-lier de la courbe (C) de niveau d’une fonction f de classe C1 de Ω ⊂ R2 dans R

et si∂f

∂y(a,b) 6= 0 , il existe un voisinage

V =]a− α,a+ α[×]b− β,b+ β[de (a,b) et une fonction de classe C1 :

φ :]a− α,a+ α[ −→ ]b− β,b+ β[

tels que :– M(x,y) ∈ (C) ∩ V ⇐⇒ x ∈]a− α,a+ α[ et y = φ(x)

– φ(a) = b

– La dérivée de φ en a vaut :

φ′(a) = −∂f∂x (a,b)∂f∂y (a,b)

.

Le lecteur intéressé par une démonstration peut consulter [2] ou [3].

FIG. 11 – Courbes de niveau. FIG. 12 – Courbes de niveau.

Remarque

Par contre au voisinage d’un point singulier, l’allure d’une courbe de niveau dela fonction f peut être différente de celle d’un graphe de fonction ; Revenons à lafonction

f(x,y) = x2 + y2 − y3

4.

24

Cherchons ses points singuliers ou le gradient s’annule.

f ′x = 2x, f ′y = 2y − 3y2

4= y(

2− 3y

4

)Il y en a deux (0,0) et (0,8/3). Le premier correspond à une courbe de niveauréduite à un point et le second à une courbe de niveau particulière ; calculonsf(0,8/3) = 64/81. Nous voyons sur la figure 13 que le point singulier est un

FIG. 13 – Courbe de niveau avec point singulier.

point double de la courbe. Au voisinage de ce point la courbe n’a pas l’allure d’ungraphe de fonction.

7.4 Vecteur normal aux courbes de niveaux.

Théorème 5 Soit f une fonction de classeC1 sur l’ouvert Ω de R2 ; alors, en toutpoint régulier M d’une courbe de niveau de f , le gradient ~∇f(M) est un vecteurnormal à la courbe de niveau au point M .

Démonstration

Considérons donc un point A(a,b) d’une courbe d’équationf(x,y) = k = Cte et supposons que ~∇f(A) 6= 0. Nous supposerons par exemple

que∂f

∂y(a,b) 6= 0 . Le théorème des fonctions implicites nous dit qu’au voisinage

de A la courbe coïncide avec le graphe d’une fonction φ, telle que φ(a) = b. On adonc :

∀x ∈ I =]a− α,a+ α[ : f(x,φ(x)) = k

25

En dérivant cette relation, nous obtenons :

∀x ∈ I :∂f

∂x(x,φ(x)) +

∂f

∂y(x,φ(x))φ′(x) = 0,

ce qui exprime, en notant M(x) = (x,φ(x)) que :

〈~∇f(M(x)),

−−→dM

dx〉 = 0.

Le vecteur dérivé−−→dM

dx=~i+ φ′(x)~j est non nul, donc c’est un vecteur tangent à la

courbe. En particulier au point M(a), qui coïncide avec le point A(a,b) le gradientest donc orthogonal à un vecteur tangent et par suite c’est bien un vecteur normal.

7.5 Equation de la tangente à une courbe de niveau

Proposition 6 Sous les hypothèses du théorème 5, la tangente à la courbe d’équa-tion cartésienne f(x,y) = C en un point régulier M(a,b) a pour équation :

∂f

∂x(a,b)(x− a) +

∂f

∂y(a,b)(y − b) = 0.

Démonstration

Le point T (x,y) est situé sur la tangente si et seulement si le vecteur−−→MT = (x− a)~i+ (y − b)~j est orthogonal au vecteur~∇f(M) =

∂f

∂x(a,b)~i +

∂f

∂y(a,b)~j. En écrivant que le produit scalaire est nul, on

obtient l’équation.

7.6 Equation de la normale à une courbe de niveau

Proposition 7 En un point régulier M(a,b) de la courbe d’équation cartésiennef(x,y) = C, la normale à la courbe a pour équation :

∂f

∂x(a,b)(y − b)− ∂f

∂y(a,b)(x− a) = 0.

Démonstration

Le point N(x,y) est situé sur la normale si et seulement si le vecteur−−→MN = (x− a)~i+ (y − b)~j est colinéaire au vecteur~∇f(M) =

∂f

∂x(a,b)~i +

∂f

∂y(a,b)~j. En écrivant que leur déterminant en base ~i,~j

est nul, on obtient l’équation.

26

7.7 Un exemple d’utilisation : l’équation tangentielle d’une conique

Considérons par exemple une ellipse E , d’équationx2

a2+y2

b2= 1. Alors la

droite D d’équation ux + vy + w = 0 est tangente à l’ellipse si et seulement sia2u2 + b2v2 − w2 = 0. Ceci est l’équation tangentielle de l’ellipse.Grâce à ceci on peut par exemple montrer qu’étant donné un point M0(x0,y0)extérieur à E , l’équation du faisceau de tangentes menées par M0 à l’ellipse E est :

(a2 − x20)(y − y0)2 + (b2 − y2

0)(x− x0)2 + 2x0y0(x− x0)(y − y0) = 0.

la démonstration est laissée au lecteur à titre d’exercice.

FIG. 14 – tangentes à l’ellipse.

Par exemple avec l’ellipse de la figure 14, d’équationx2

4+ y2 = 1, on peut

calculer que les deux tangentes menées par le point (2,2) ont pour équation x = 2et 3(x− 2) = 8(y − 2).

8 Étude des surfaces en dimension trois

L’espace est rapporté à un repère orthonormé O,~i,~j,~k. Nous commençons pardéfinir un autre type de surface que celles vues jusqu’à présent, dont l’équationétait de la forme z = f(x,y). Le lien entre ces deux notions sera assuré par lethéorème des fonctions implicites en dimension trois.

8.1 Surfaces équipotentielles ou surfaces de potentiel

Définition 15 On appelle surface équipotentielle d’une fonction f de Ω ⊂ R3

dans R l’ensemble S des points M(x,y,z) ∈ Ω dont les coordonnées vérifient une

27

relation de la forme : f(x,y,z) = k. où k est une constante réelle qui caractérisela surface.

Remarque

Il nous arrivera également d’appeler S surface d’équation f(x,y,z) = k.

8.1.1 Exemple

– Les sphères centrées à l’origine sont les équipotentielles de la fonction défi-nie par :

f(x,y,z) = x2 + y2 + z2

– Les équipotentielles d’une forme linéaire non nulle f(x,y,z) = ax+by+czforment une famille de plans parallèles.

– Les surfaces d’équation z = g(x,y) définies au paragraphe 1.4 en sont uncas particulier puisqu’il suffit de poser f(x,y,z) = z − g(x,y) pour écrirel’équation sous la forme : f(x,y,z) = 0.

8.2 Point régulier d’une surface

Définition 16 Le point M(a,b,c) de la surface équipotentielle d’une fonction f deΩ ⊂ R3 dans R est dit régulier si ~∇f(M) 6= ~0. Dans le cas contraire le point Mest un point singulier.

L’allure d’une surface équipotentielle au voisinage d’un point régulier est ana-logue à celle d’une surface du type défini au 1.4 comme le prouve le théorème desfonctions implicites (admis):

8.3 Théorème des fonctions implicites en dimension trois.

Théorème 6 (théorème des fonctions implicites) Si M(a,b,c) est un point régu-lier de la surface (S), équipotentielle d’une fonction f de classe C1 de Ω ⊂ R3

dans R et si∂f

∂z(a,b,c) 6= 0, il existe un voisinage

V =]a−α,a+α[×]b− β,b+ β[×]c− δ,c+ δ[ de (a,b,c) et une fonction de classeC1 :

φ : ]a− α,a+ α[×]b− β,b+ β[ −→ ]c− δ,c+ δ[

tels que :– M(x,y,z) ∈ (S)∩V ⇐⇒ (x,y) ∈]a−α,a+α[×]b−β,b+β[ et z = φ(x,y)

– φ(a,b) = c

– Les dérivées partielles de φ en (a,b) valent :

φ′x(a,b) = −∂f∂x (a,b,c)∂f∂z (a,b,c)

φ′y(a,b) = −∂f∂y (a,b,c)

∂f∂z (a,b,c)

28

Par contre au voisinage d’un point singulier, l’allure d’une surface équipo-tentielle peut être différente de celle d’une surface d’équation z = g(x,y). Parexemple, la surface d’équation : z2 − y3 = 0, représentée à la figure 15, présenteun pli qui coïncide avec l’axe Ox ; cet axe est formé uniquement de points sin-guliers de la surface. La classification des différents aspects que peut présenterune surface nécessite aussi d’étudier les singularités de son contour apparent. Parexemple la surface d’équation : x3 + xy + z = 0, représentée à la figure 16 pré-sente quant à elle une fronce. L’étude des singularités d’une surface est un point

FIG. 15 – Pli sur une surface.

essentiel de la théorie des catastrophes de René Thom (Medaille Fields en 1958).Pour une initiation à ces phénomènes, on pourra lire l’ouvrage de Thom [14], oul’article d’Ivar Ekeland paru dans la revue La Recherche [4].

8.4 Surfaces algébriques -complément

Une surface est dite algébrique lorsqu’elle possède une équation cartésiennepolynomiale à coefficients réels.

Le degré (ou parfois l’ordre) d’une surface algébrique d’équation P (x,y,z) =0, est le degré du polynôme P , supposé sans facteur carré ; c’est aussi le nombre depoints d’intersection, comptés avec les multiplicités, de la surface avec une droitequelconque, dans l’espace projectif complexe (et dans la pratique, le nombre maxi-mum de points d’intersection de la surface avec une droite dans l’espace affine réelest un minorant du degré et donne très souvent le degré). La notion de degré estprojective, à savoir que toute homographie transforme une surface algébrique enune surface algébrique de même degré. La surface est dite décomposable si elle estréunion de surfaces algébriques de degré plus petit et indécomposable dans le cascontraire, c’est-à-dire quand le polynôme P est irréductible dans R[X,Y,Z].

Les surfaces de degré 1 sont les plans, celles de degré 2 les quadriques, celles

29

FIG. 16 – Fronce sur une surface.

FIG. 17 – René Thom (1923 - 2002).

30

FIG. 18 – sextique de Barth

de degré 3 les surfaces cubiques, et celles de degré 4 les surfaces quartiques. Lessurfaces de degré six sont les sextiques. A t(itre d’exemple, examinons par exemplela surface d’équation :

4φ2(x2 − y2

φ2

)(z2 − x2

φ2

)(y2 − z2

φ2

)− (2φ+ 1)

(x2 + y2 + z2 − 1

)2= 0

où φ désigne le nombre d’or. Cette surface se nomme la sextique de Barth (1994).Sa caractéristique essentielle est de posséder 65 points singuliers réels ordinaires(i. e. non dégénérés), nombre maximal pour une surface sextique ; seuls 50 sontà distance finie, les 15 autres étant à l’infini. La surface est composée de 20 petits"tétraèdres" "posés" sur les 20 faces triangulaires d’un icosidodécaèdre ; 3 sommetsde chaque tétraèdre sont reliés à un autre tétraèdre (ce qui fait 20.3/2= 30 pointssinguliers) et l’autre sommet est relié à une nappe infinie (ce qui fait 20 autrespoints singuliers).

8.5 Plan tangent à une surface.

Nous généralisons ici les résultats obtenus pour les surfaces d’équation z =f(x,y).Théorème 7 Soit f de classe C1 sur Ω. On considère une surface équipotentielleS de f ; si le gradient de f ne s’annule pas au point A de S, alors:

– Il existe un plan unique P passant par A tel que la tangente en A à toutecourbe paramétrée de classe C1 tracée sur S et passant par A appartienneà P . Ce plan est appelé par définition le plan tangent à S au point A.

– Le gradient ~∇f(A) est normal à la surface au point A, c’est à dire normalau plan tangent P en ce point.

Démonstration

Ce résultat se déduit du théorème des fonctions implicites. Supposons parexemple que fz(a,b,c) 6= 0. Alors au voisinage du point A la surface est le graphe

31

d’une fonction z = φ(x,y). Il ne reste alors plus qu’à faire appel aux propositions 2et 4 que nous avons déjà établies pour ces surfaces. Ce plan tangent a pour équation(5) :

z − z0 = φx(x0,y0,z0)(x− x0) + φy(x0,y0,z0)(y − y0)

= −∂f∂x (x0,y0,z0)∂f∂z (x0,y0,z0)

(x− x0)−∂f∂y (x0,y0,z0)

∂f∂z (x0,y0,z0)

(y − x0)

ou encore :∂f

∂x(x0,y0,z0)(x− x0) +

∂f

∂y(x0,y0,z0)(y − y0) +

∂f

∂z(x0,y0,z0)(z − z0) = 0

Cette équation sécrit :〈~∇f(M0),

−−−→M0M〉 = 0

Sous cette forme on constate que le vecteur gradient est bien normal au plan tangentdonc à la surface au point M0. .

Nous avons au passage prouvé le résultat suivant :

Proposition 8 En un point régulier M(a,b,c) d’une surface d’équationf(x,y,z) = C, le plan tangent a pour équation :

∂f

∂x(a,b,c)(x− a) +

∂f

∂y(a,b,c)(y − b) +

∂f

∂z(a,b,c)(z − b) = 0.

(11)

Remarque 1

Inversement on peut retrouver l’équation (11) à partir du fait que le gradientest un vecteur normal. En effet le point T (x,y,z) est situé dans le plan tangent siet seulement si le vecteur ~MT = (x − a)~i + (y − b)~j + (z − b)~k est orthogonal

au vecteur ~∇f(M) =∂f

∂x(a,b,c)~i+

∂f

∂y(a,b,c)~j +

∂f

∂z(a,b,c)~k . En écrivant que le

produit scalaire est nul, on retrouve alors l’équation (11).

Remarque 2

Une surface d’équation z = g(x,y) est une surface de potentiel zéro pour lafonction f définie par f(x,y,z) = z − g(x,y). Ceci permet également de retrouverl’équation (5) à partir de (11).

9 Dérivées partielles d’ordre supérieur

9.1 Dérivées partielles d’ordre deux

Définition 17 Si l’application∂f

∂xiadmet une dérivée partielle par rapportà la

j-ème variable au point a on pose :∂2f

∂xj∂xi(a) =

∂

∂xj

( ∂f∂xi

)(a).

32

9.2 Applications de classe C2

Définition 18 Si la dérivée partielle de f par rapport aux i-ème et j-èmes va-riables existe en tout point de Ω, on définit l’application :

∂2f

∂xi∂xj: x ∈ Ω→ ∂2f

∂xi∂xj(x)

Remarque

On peut aussi noter∂2f

∂xi∂xj= f ′′xixj = fxixj .

9.3 Fonction de classe C2

Définition 19 Si pour tout couple d’indices (i,j) ∈ [1,n]2 les dérivées partielles

d’ordre deux de la fonction f , les∂2f

∂xi∂xj, sont définies et continues en tout point

de Ω, on dira que f est de classe C2 sur l’ouvert Ω.

9.4 Théorème de Schwarz

Les dérivées partielles ne dépendent pas de l’ordre des dérivations effectuées :Théorème (admis) 8 Si f est de classe C2 sur Ω alors :

∂2f

∂xi∂xj=

∂2f

∂xj∂xi

Preuve

Pour une démonstration complète de ce résultat, voir par exemple [10] ou dansun cadre plus général [1]. Ce théorème se généralise aux dérivations partiellesd’ordre quelconque. Nous en donnons ci-dessous une démonstration dans le casn = 2. Soit donc (a,b) un point d’un ouvert de R2 sur lequel la fonction f est declasse C2 ; pour t assez petit nous pouvons définir une fonction φ par la formule

φ(t) = f(a+ t,b+ t)− f(a+ t,b)− f(a,b+ t) + f(a,b).

On va maintenant montrer que

limt→0

φ(t)

t2=

∂2f

∂x∂y(a,b) =

∂2f

∂y∂x(a,b).

Une première façon de faire le calcul est la suivante :

f(a+ b+ ,b+ t)− f(a+ t,b) =

∫ t

0

∂f

∂y(a+ t,b+ u)du

f(a,b+ t)− f(a,b) =

∫ t

0

∂f

∂y(a,b+ u)du

33

si bien que :

φ(t) =

∫ t

0

∂f

∂y(a+ t,b+ u)− ∂f

∂y(a,b+ u) du

φ(t) =

∫ t

0

(∫ t

0

∂2f

∂x∂y(a+ v,b+ u)dv

)du.

Dans l’intégrale centrale, on pose v = tξ :

φ(t) = t

∫ t

0

(∫ 1

0

∂2f

∂x∂y(a+ tξ,b+ u)dξ

)du.

On pose ensuite u = tη , d’où :

φ(t) = t2∫ 1

0

(∫ 1

0

∂2f

∂x∂y(a+ tξ,b+ tη)dξ

)dη.

En terme d’intégrale double, on peut écrire :

φ(t)

t2=

∫ ∫[0,1]2

∂2f

∂x∂y(a+ tξ,b+ tη) dξdη.

Quand t tend vers zéro, en utilisant la continuité de la dérivée partielle seconde,il est facile de montrer que cette intégrale double converge vers l’intégrale de lafonction constante : ∫ ∫

[0,1]2

∂2f

∂x∂y(a,b) dξdη =

∂2f

∂x∂y(a,b).

On utilise ensuite la décomposition

φ(t) = f(a+ t,b+ t)− f(a,b+ t)− (f(a+ t,b)− f(a,b))

=

∫ t

0

(∫ t

0

∂2f

∂y∂x(a+ u,b+ v)dv

)du.

La même technique donne l’autre limite.

Contre exemple

Le lecteur vérifiera que la fonction f définie pour (x,y) 6= (0,0) par

f(x,y) =xy3

x2 + y2, f(0,0) = 0

admet des dérivées partielles premières nulle à l’origine, mais que

∂2f

∂y∂x(0,0) = 1,

∂2f

∂x∂y(0,0) = 0.

34

9.5 Généralisation

Une fonction est de classe Ck sur un ouvert si elle admet des dérivéees par-tielles d’ordre inférieur ou égal à k, continues sur l’ouvert. Le théorème de Schwarzse généralise alors à toutes les dérivées d’ordre inférieur ou égal à k. Il suffiradonc de considérer, pour tout n-uple d’entiers m1,m2,...,mn la dérivée partielle :

∂mf

∂x1m1 ...∂xnmn

(a) . avec m = m1 + ...+mn.

9.6 Formule de Taylor à l’ordre deux

Le résultat suivant (cf. [1]) généralise la formule connue pour les fonctionsd’une variable.Théorème 9 Si f est de classe C3 sur l’ouvert Ω ⊂ R2 alors, en tout point (a,b)de Ω on peut écrire pour h et k assez petits, le développement suivant:

f(a+ h,b+ k) = f(a,b) +∂f

∂x(a,b)h+

∂f

∂y(a,b)k + ...

...+1

2

[∂2f

∂x2(a,b)h2 + 2

∂2f

∂x∂y(a,b)hk +

∂2f

∂y2(a,b)k2

]+ o(h2 + k2)

(Nous n’avons pas choisi des hypothèses optimales pour écrire cette formule, c’estvolontaire.)Preuve : Il existe r > 0 tel que B(a,r) ⊂ Ω ; nous choisissons (h,k) de normeinférieure à r. Pour la démonstration nous définissons une fonction g : R → R,sur [−1,−] par la formule : g(t) = f(a+ th,b+ tk). La fonction g est de classe C3

et nous lui appliquons la formule de Taylor avec reste intégrale à l’ordre deux :

g(1) = g(0) + g′(0) +1

2g′′(0) +

1

2

∫ 1

0g′′′(u)(1− u)2du.

Nous calculons que :

g′(t) = h∂f

∂x(a+ th,b+ tk) + k

∂f

∂y(a+ th,b+ tk)

g′′(t) =∂2f

∂x2(a+th,b+tk)h2 +2

∂2f

∂x∂y(a+th,b+tk)hk+

∂2f

∂y2(a+th,b+tk)k2.

Quant à la dérivée troisième, elle s’écrit :

g′′′(t) =∑k

∑i

∑j

∂3f

∂xi∂xj∂xk(a+ th,b+ tk)hihjhk

avec les conventions x1 = x, x2 = y, h1 = h, h2 = k. On voit alors clairement quel’intégrale est unO(N(h,k))3, en prenant pour norme N :N(h,k) = max(|h|,|k|) ;comme toutes les normes sont équivalentes, le reste est un O(‖(h,k)‖3) pour toutenorme, donc un o(‖(h,k)‖2).

35

10 Champ de vecteurs dérivant d’un potentiel

10.1 Champ de vecteurs

Donnons tout d’abord la définition d’un champ de vecteurs :

Définition 20 On appelle champ de vecteurs défini sur un ouvert Ω de Rn uneapplication ~v de Ω dans Rn.

Relativement à une base de Rn, par exemple la base canonique eii=1..n, lechamp de vecteurs au point M = (x1,...,xn) s’écrit :

−→v (M) =n∑i=1

Ai(x1,...,xn)~ei

Les fonctions Ai de Ω dans Rn sont appellées les coordonnées du champ.

10.2 Cas de deux variables

Théorème 10 Soit P et Q deux fonctions de classe C1 sur l’ouvert simplementconnexe 5 Ω de R2, alors le champ de vecteur défini par

∀(x,y) ∈ Ω : ~v = P (x,y)~i+Q(x,y)~j

est un gradient si et seulement si :

∀(x,y) ∈ Ω :∂P

∂y(x,y) =

∂Q

∂x(x,y)

Démonstration

La condition est nécessaire : En effet si ~v est le gradient d’une fonction f , alorsP (x,y) = ∂f

∂x et Q(x,y) = ∂f∂y . Comme f est de classe C2 le théorème de Schwarz

donne :∂P

∂y=

∂2f

∂y∂x=

∂2f

∂x∂y=∂Q

∂x

On remarquera qu’il n’est pas nécessaire que l’ouvert soit simplement connexe(c’est à dire sans trou et d’un seul morceau) pour prouver que la condition estnécessaire.

Nous démontrerons la réciproque dans le cas particulier où l’ouvert Ω est étoilépar rapport à un point que nous pouvons toujours prendre comme étant l’origineO. Si M(x,y) ∈ Ω, le segment OM est inclus dans Ω, c’est à dire que ∀t ∈[0,1], (tx,ty) ∈ Ω. Nous pouvons alors définir une fonction f sur Ω par:

∀(x,y) ∈ Ω : f(x,y) =

∫ 1

0xP (tx,ty) + yQ(tx,ty) dt

5. simplement connexe signifie que l’ouvert est sans trou et en un seul morceau

36

Le théorème de dérivation des intégrales à paramètres s’applique et nous calculonspar exemple que:

∀(x,y) ∈ Ω :∂f

∂x(x,y) =

∫ 1

0P (tx,ty) + xt

∂P

∂x(tx,ty) + yt

∂Q

∂x(tx,ty) dt

Mais:∂P

∂y=∂Q

∂x, d’où:

∂f

∂x(x,y) =

∫ 1

0P (tx,ty) + xt

∂P

∂x(tx,ty) + yt

∂P

∂x(tx,ty) dt

∂f

∂x(x,y) =

∫ 1

0P (tx,ty) dt+

∫ 1

0t∂

∂t

(P (tx,ty)

)dt

En calculant la dernière intégrale par une intégration par parties par rapport à t:

∂f

∂x(x,y) =

∫ 1

0P (tx,ty) dt+

[tP (tx,ty)

]1

0−∫ 1

0P (tx,ty) dt

soit après calcul∂f

∂x(x,y) = P (x,y). On montre de la même façon que

∂f

∂y(x,y) = Q(x,y). (Pour le cas général voir par exemple [5] page 320).

Remarque

Nous verrons dans la leçon sur les intégrales multiples et curvilignes que l’hy-pothèse faite sur l’ouvert Ω est bien nécessaire.

6

10.3 Cas de trois variables

Le résultat précédent se généralise ; pour plus de commodités, nous définironstout d’abord le rotationnel d’un champ de vecteurs. L’espace est rapporté à unrepère orthonormé (O,~i,~j,~k).Définition 21 Etant donné un champ de vecteurs ~v = A~i+B~j+C~k de classe C1

défini sur l’ouvert Ω de R3 Nous appelerons rotationnel de ~v le champ de vecteurs−→rot(~v) défini par :

−→rot(~v) =

(∂C∂y− ∂B

∂z

)~i+

(∂A∂z− ∂C

∂x

)~j +

(∂B∂x− ∂A

∂y

)~k

6. c©Jean Paul TRUCProfesseur de Mathématiques Spécialesà l’Ecole des Pupilles de l’AIR

37

Remarque

La quantité ci dessus est en fait formellement le produit vectoriel de l’opérateur

Nabla : −→∇ =∂

∂x~i+

∂

∂y~j +

∂

∂z~k avec le champ :

−→rot~v =

−→∇ ∧ ~v.

On peut alors prouver le résultat suivant :Théorème 11 Soit P , Q et R trois fonctions de classe C1 sur l’ouvert simplementconnexe Ω de R3, alors le champ de vecteur défini par

∀(x,y,z) ∈ Ω : ~v = P (x,y,z)~i+Q(x,y,z)~j +R(x,y,z)~k

est un gradient si et seulement si :

∀M(x,y,z) ∈ Ω :−→rot(~v)(M) = ~∇∧−−−→v(M) = ~0

On peut facilement montrer que la condition est nécessaire ; en effet si~v =−→∇f , alors la première composante de −→rot(~v) vaut:

∂f ′z∂y−∂f ′y∂z

= f ′′yz − f ′′zy = 0

d’après le théorème de Schwarz. Il en est de même pour les deux autres compo-santes. Pour la réciproque la démonstration est analogue à celle que nous avonsdonnée pour deux variables dans le cas d’un ouvert étoilé.

10.4 Remarque

Pour toute fonction f de classe C2 sur un ouvert U on a donc :−→rot(−→∇f) = ~0 (12)

11 Equation de Laplace et fonctions harmoniques

11.1 Laplacien

Définition 22 On appelle Laplacien de la fonction f de classe C2 sur l’ouvertΩ ⊂ Rn la fonction ∆f définie par:

∀x ∈ Ω : ∆f(x) =n∑i=1

∂2f

∂x2i

(x).

En dimension trois par exemple, on a:

∆f =∂2f

∂x2+∂2f

∂y2+∂2f

∂z2

Nous nous limiterons dans la suite à des fonctions de deux variables. Le laplacien

de la fonction se note aussi~∇2f

, ce qui se justifie formellement par le carréscalaire de l’opérateur nabla.

38

11.2 Fonctions harmoniques

Définition 23 La fonction f de classeC2 sur l’ouvert Ω ⊂ Rn est dite harmoniquesi elle vérifie en tout point de Ω l’équation aux dérivées partielles de Laplace :

∆f =

n∑i=1

∂2f

∂x2i

= 0 (13)

Ces fonctions ont des propriétés remarquables et sont reliées aux fonctions holo-morphes d’une variable complexe z. Pour plus de détails, voir par exemple [9].Nous y reviendrons quand nous disposerons d’outils plus efficaces comme la for-mule de Green. Toutefois une propriété importante, pas trop difficile à démontrerest la suivante, connue sous le nom de principe du maximum :

Proposition 9 Considérons une fonction harmonique f définie sur l’ouvert Ω ⊂Rn à valeurs dans R. Soit D(a,r) une boule fermée de centre a et de rayon r > 0incluse dans Ω. Alors la fonction f atteint son maximum sur D(a,r) en un point dela frontière ∂D(a,r).

Il en résulte en particulier que si deux fonctions harmoniques coïncident sur lafrontière ∂D(a,r), alors elles sont égales sur D(a,r).

Ce résultat est démontré en exercice dans le cas n = 2.

11.3 Un exemple de problème avec conditions aux limites en dimen-sion deux

Nous cherchons ici à déterminer une fonction qui soit continue sur le carréK = [0,1]× [0,1] et qui soit harmonique à l’intérieur de K. Nous demanderons enoutre que les conditions aux limites suivantes soient vérifiées :

∀x ∈ [0,1] f(x,0) = 0 (1)∀x ∈ [0,1] f(x,1) = sin(πx) (2)

(14)

Nous chercherons f sous la forme f(x,y) = φ(x)ψ(y), les fonctions φ et ψétant supposées dans C2([0,1],R). La condition (14) nous donne :

∀x ∈ [0,1] : f(x,1) = sinπx = φ(x)ψ(1)

ce qui à un coefficient multiplicatif près détermine φ ; nous prendrons : φ(x) =sinπx ∀x ∈ [0,1]. L’équation (13) devient alors :

∀(x,y) ∈]0,1[2 : sin(πx) [ψ′′(y)− π2ψ(y)] = 0

On en déduit ( prendre par exemple x = 12 ) que ψ est solution de l’équation

différentielle linéaire :ψ′′(y)− π2ψ(y) = 0

39

donc de la forme : ψ(y) = A cosh(πy) + B sinh(πy). Nous devons avoir à causede (14) ψ(1) = 1 et ψ(0) = 0 ce qui permet de déterminer les constantes A et B :

A = 0 et B =1

sinhπ. La fonction f cherchée est définie par :

f(x,y) =sin(πx) sinh(πy)

sinh(π)

La représentation graphique de f est donnée à la figure 19 :

FIG. 19 – Une fonction harmonique.

Pour une étude complète des fonctions harmoniques, voir par exemple [6].

12 Extrema des fonctions de plusieurs variables

12.1 Extrema et points critiques

Définition 24 La fonction f définie sur l’ouvert Ω ⊂ Rn à valeurs dans R ad-met un maximum (respectivement : minimum) local au point a ∈ Ω s’il existe unvoisinage V de a tel que : ∀x ∈ V : f(x) ≤ f(a) (respectivement f(x) ≥ f(a)).

Théorème 12 Si la fonction f de classe C1 sur l’ouvert Ω ⊂ Rn à valeurs dansR admet un extremum au point a, alors :

∀i ∈ [1..n] :∂f

∂xi(a) = 0

40

Preuve

On se ramène aux fonctions d’une variable en considérant pour j ∈ [[1,n]] lafonction

ψ(t) = f(a+ t~ej).

ψ admet un extremum local en zéro donc sa dérivée en zéro s’aanule. mais ψ′(0) =dfa(~ej) = ∂f

∂xj(a), ce qui entraîne que cette dérivée partielle est nulle pour tout j.

Définition 25 Un point a ∈ Ω tel que :

∀i ∈ [1..n] :∂f

∂xi(a) = 0

est appelé un point critique de f .

12.2 Point selle

Le théorème 12 nous dit alors que les extrema d’une fonction ne peuvent seproduire qu’en un point critique. Par contre la réciproque est fausse ; en un pointcritique, il n’y a pas nécessairement un extremum pour la fonction. Considéronspar exemple la fonction de deux variables définie par f(x,y) = x2− y2. On vérifiefacilement que l’origine O(0,0) est un point critique, mais ce n’est pas un point oùla fonction admet un extremum comme le montre la représentation graphique de fdonnée à la figure 20. La surface d’équation z = x2 − y2 présente une allure de“point selle” ou de “col” au voisinage de l’origine.

FIG. 20 – Un point selle.

12.3 Cas d’une fonction continue sur un compact

Soit K un compact de Rn et f continue sur K. D’après le cours de topologiel’existence du maximum ou du minimum de f sur K est alors assurée ; il y a deuxcas de figure :

– Soit ce maximum est atteint sur la frontière ∂K.

41

– Soit il est atteint en un point intérieur qui est alors un point critique, commenous l’avons vu.

12.4 Recherche pratique d’un extremum

Nous nous limitons ici au cas d’une fonction de deux variables ; dans la pra-tique on détermine d’abord le ou les points critiques éventuels puis au voisinaged’un point critique (a,b) on pose : x = a+ h,y = b+ k et on étudie le signe de ladifférence :

δ(h,k) = f(a+ h,b+ k)− f(a,b)

pour h et k voisins de zéro.

Exemple

Considérons la fonction définie sur R2 par :

f(x,y) = 2x2 + y2 − 2xy + 4x

Les points critiques éventuels sont les solutions du système :∂f

∂x= 4x− 2y + 4 = 0

∂f

∂y= 2y − 2x = 0

Il y a un seul point critique : (−2,− 2) . On calcule :

δ(h,k) = f(−2 + h,− 2 + k)− f(−2,− 2) = 2h2 + k2 − 2hk

et on remarque que ∀(h,k) ∈ R2 : δ(h,k) = (h − k)2 + h2 ≥ 0. On a donctrouvé un minimum qui est de plus strict car δ(h,k) > 0 si (h,k) 6= (0,0). L’allurede la surface d’équation z = f(x,y) au voisinage du point critique est visible surla figure 21.

12.5 La règle “rt− s2” pour une fonction de deux variables

Dans le cas des fonctions de deux variables la règle dite rt−s2 permet d’énon-cer des conditions suffisantes pour l’existence d’un extremum.

12.5.1 Notations r,t,s

En un point critique (a,b) de f , nous noterons:

r =∂2f

∂x2(a,b), t =

∂2f

∂y2(a,b), s =

∂2f

∂x∂y(a,b)

Cette notation est attribuée à Gaspard Monge (1746-1818). D’abord professeur àl’école du génie militaire de Mézières, il y invente la géométrie descriptive pour letracé des ouvrages de défense ; il travaille sur de nombreux sujets, notamment les

42

FIG. 21 – Un minimum.

équations aux dérivées partielles, de 1772 à 1780. Elu à l’académie des sciences, ilest nommé en 1783 examinateur des élèves de la Marine, où il succèdeà Bezout. Ilparticipeà la création de l’école polytechnique, accompagne Bonaparte en Egypte,puis reprend son poste de professeur à l’X, d’où il sera licencié après la chute del’Empire.

12.5.2 La règle “rt− s2”

Proposition 10 Si f est de classe C2 sur Ω ⊂ R2 et si (a,b) est un point critiquede f , alors:

– Si rt− s2 > 0 et r < 0 f présente un maximum en ce point.– Si rt− s2 > 0 et r > 0 f présente un minimum en ce point.– Si rt− s2 < 0 f ne présente pas d’extremum en ce point (point selle )– Si rt− s2 = 0 on ne peut conclure.

Preuve

Limitons nous à f C3 pour pouvoir appliquer notre formule de Taylor à l’ordre2. Au voisinage du point critique on a:

f(a+ h,b+ k) = f(a,b) +1

2

[rh2 + 2shk + tk2

]+ o(h2 + k2)

Pour h et k assez petit la différence δ(h,k) = f(a+ h,b+ k)− f(a,b) est donc dusigne de la forme quadratique q(h,k) = rh2 + 2shk + tk2. Nous supposerons lelecteur familiarisé avec les formes quadratiques. La matrice de cette forme en basecanonique est :

A =

(r ss t

)Cette matrice symétrique réelle admet deux valeurs propres réelles λ et µ et on a:

Tr(A) = r + t = λ+ µ det(A) = rt− s2 = λµ

43

Supposons par exemple que rt− s2 > 0 et r < 0; les deux valeurs propres sont demême signe. Comme r < 0 on a aussi t < 0 sinon on aurait rt − s2 < 0. Doncλ + µ < 0, ce qui entraîne que les deux valeurs propres sont négatives. La formequadratique est donc définie négative, c’est-à-dire que:

∀(h,k) 6= (0,0) : q(h,k) < 0

La différence δ est donc négative au voisinage du point critique ; on a un maximumlocal. On traiterait de même les autres cas.

12.6 La Hessienne

La matrice que nous venons de rencontrer :

A =

(r ss t

)=

(fxx(a,b) fxy(a,b)fyx(a,b) fyy(a,b)

)= H(f)(a,b),

est appelée la matrice hessienne de f au point (a,b), ou encore hessienne. Cettenotion se généralise pour une fonctions de n variables de classe C2 en considérantla matrice carrée symétrique (grâce au théorème de Schwarz) :

H(f)M = (fxiyj (M)),

l’indice de ligne i et celui des colonnes j variant de 1 à n. La forme quadratiqueassociée :

M = (x1,...,xn) 7→ tXH(f)MX =∑i

∑j

fxiyj (M)xiyj

est la forme hessienne. On a noté ici X le vecteur colonne formé par les xi.La règle du rt − s2 revient à dire que si la forme hessienne au point critique

est définie positive (respectivement négative), alors on a un minimum local strict(respectivement un maximum). Cela se généralise à n variables.

La hessienne étant une matrice symétrique réelle, elle est diagonalisable et sesvaleurs propres λi sont réelles. Dans une base bien choisie, formée de vecteurspropres, la forme quadratique associéee s’écrira :

n∑i=1

λiy2i , (15)

où les yi sont les nouvelles coordonnées du pointM . Si aucune des valeurs propresn’est nulle, le point critique est dit non dégénéré et on définit son indice comme lenombre de valeurs propres négatives de la hessienne.

Le déterminant de la hessienne est le hessien. Ces termes ont été introduitpar James Joseph Sylvester, en hommage au mathématicien allemand Ludwig OttoHesse (1811-1874). Dans le cas de deux variable par exemple, la valeur du hessienest rt− s2.

44

Remarque - introduction à la théorie de Morse

Il est intéressant de constater que la forme de la hessienne 15 "déteint" enquelque sorte sur la fonction elle-même, bien que la preuve de ce résultat soit bienau-delà des objectifs de ce livre. Ceci est assuré par le lemme de Morse, du nomdu mathématicien américain Harold Calvin Marston Morse (1892-1977). Nous endonnons ci-dessous une version simplifiée.

Proposition - lemme de Morse 11 Soit f une fonction C2 de l’ouvert Ω de Rndans R. On suppose que ~0 = (0,...,0) ∈ Ω et que la différentielle df(

~0) est nulle,c’est-à-dire que l’origineO est un point critique de f . On suppose également que lahessienne à l’origine est non dégénérée et d’indice k. Alors il existe un difféomor-phisme φ : (x1,...,xn) 7→ (y1,...,yn) d’un voisinage V de O = ~0 sur un voisinageU deO, tel que pour tout x ∈ V : f(x) = f(~0)+y2

1 +...+y2n−k−y2

n−k+1−...−y2n.

La notion de difféomorphisme qui définit ici un nouveau système de coordon-nées sera précisée par la suite, mais attention : les mots "système de coordonnées"cachent ici une complexité bien supérieure à celle d’un changement de base clas-sique. Nous y reviendrons par la suite. Ces systèmes de coordonnées ont été repré-sentés graphiquement dans le numéro 112 de la revue Quadrature [12]. La figure 22ci-dessous, tirée de cet article représente, à gauche le système de coordonnées pourla fonction f(x,y) = xy + x2 − y2 + 5xy2 et à droite, le système de coordonnéespour la fonction g(x,y) = xy + x2 + y2 + 5x2y.

FIG. 22 – Illustration du lemme de Morse.

12.7 Multiplicateurs de Lagrange.

Comment trouver un extremum d’une fonction de plusieurs variables quandles variables en question sont liées entre elles par une ou plusieurs relations (oucontraintes) ? Les multiplicateurs de Lagrange peuvent nous aider à résoudre le

45

problème. Pour simplifier nous examinerons ici le cas de deux variables et d’uneseule contrainte. Il n’y a alors qu’un seul multiplicateur.

Proposition 12 Considérons deux fonctions f et g de classe C1 sur l’ouvert Ω ⊂R2. Soit C la courbe d’équation : g(x,y) = 0. Si le point A(a,b) est un pointrégulier de C tel que

f(a,b) = max(x,y)∈C

f(x,y)

ou bienf(a,b) = min

(x,y)∈Cf(x,y)

Alors il existe un réel µ tel que :

−→∇f(A) = µ−→∇g(A)

Preuve :

Nous pouvons supposer par exemple que gy(a,b) 6= 0 et que f(A) est un maxi-mum. D’après le théorème des fonctions implicites il existe une fonction φ declasse C1 définie au voisinage de a telle que la partie de C voisine de A admetteune équation de la forme : y = φ(x). La fonction :

x→ f(x,φ(x))

est maximale pour x = a donc sa dérivée en a doit s’annuler.

d

dxf(x,φ(x)) = fx(x,φ(x)) + fy(x,φ(x))φ′(x)

pour x = a nous avons b = φ(a), d’où :

0 = fx(a,b) + fy(a,b)φ′(a) = fx(a,b)− fy(a,b)

gx(a,b)

gy(a,b)

ou encore :fx(a,b)gy(a,b)− fy(a,b)gx(a,b) = 0

Le déterminant en base canonique des vecteurs ~∇f(A) et ~∇g(A) est donc nul.Ces deux vecteurs sont liés et comme ~∇g(A) 6= ~0, il existe un scalaire µ (unmultiplicateur de Lagrange) tel que

−→∇f(A) = µ−→∇g(A)

46

Un exemple

Trouver le maximum de la quantité : f(x,y) = xy quand x et y vérifient x2 +y2 = 1.

Ici g(x,y) = x2 + y2 − 1 et −→∇g(x,y) = (2x,2y). Tous les points du cercle Cde centre O et de rayon 1 sont réguliers. Si f restreinte à C est maximale en unpoint (a,b), il existera un réeel µ tel que :

−→∇f(a,b) = µ−→∇g(a,b)

ce qui se traduit ici par :b = 2µa a = 2µb

On en tire : a2 = b2 = 2µab, d’où :

a2 + b2 = 1 = 4µ2(a2 + b2)

ce qui donne µ = ±12 et a = ±b. Comme un cherche un maximum on a : a = b,

ce qui donne les deux points :

A( 1√

2,

1√2

)B(−1√

2,−1√

2

)et f(A) = f(B) = 1

2 . Comme :

∀(x,y) ∈ C : 1 = x2 + y2 ≥ 2xy

ce sont effectivement les deux points de C où f est maximale. Géométriquement,les courbes d’équation xy = k sont des hyperboles équilatères qui s’éloignentde O quand k augmente. La plus grande valeur de k pour laquelle l’hyperbole

FIG. 23 – Un maximum sous contrainte.

touche encore le cercle correspond au maximum sous contrainte. C’est k = 12 pour

laquelle l’hyperbole est tangente au cercle.

47

12.8 Généralisation à plusieurs variables

Le résultat précédent reste valable pour optimiser une fonction f(x1,...,xn)sous la contrainte g(x1,...,xn) = 0. Si f et g sont C1 sur l’ouvert Ω de Rn et si lemaximum ou le minimum de f sur l’ensemble X formé des points de Ω vérifiantla contrainte est atteint en un point A régulier pour g (i.e. −→∇g(A) 6= −→0 ) alors ilexiste un réel µ tel que : −→∇f(A) = µ

−→∇g(A).

12.9 Généralisation à plusieurs contraintes

Si on cherche maintenant un extremum de la fonction f satisfaisant simultané-ment les contraintes gi(x1,...,xn) = 0 pour i = 1 à p et si cet extremum est atteinten un point A où la falille de vecteurs −→∇gi(A)i=1...p est libre, alors il existe des

réels λi tels que −→∇f(A) =

p∑i=1

λi−→∇g(A). Ces réels sont appelés des multiplica-

teurs de Lagrange, du nom du célèbre mathématicien et astronome Joseph Louisde Lagrange, né à Turin en 1736 et mort à Paris en 1813, est un mathématicien,mécanicien et astronome sarde naturalisé français.

13 Théorème des accroissements finis

L’inégalité des accroissements finis connue pour les fonctions d’une variablese généralise aux fonctions de plusieurs variables sous la forme suivante:Théorème 13 Soit D un ouvert convexe de Rn et f une application de D dans Rde classe C1. Alors ∀(A,B) ∈ D2 :

|f(B)− f(A)| ≤‖ −−→AB‖ supz∈AB

‖−→∇f(z)‖

Démonstration

On considère la fonction réelle :

φ : t ∈ [0,1] −→ f(A+ t−−→AB) ∈ R

qui est la composée φ = f ψ de f et de la fonction de classe C1 :ψ : t −→ A+ t

−−→AB. Sa dérivée est donnée par :

φ′(t) = 〈−→∇f(ψ(t)),ψ′(t)〉 = 〈−→∇f(A+ t−−→AB),

−−→AB〉.

L’inégalité de Cauchy Schwarz nous donne alors :

∀t ∈ [0,1] : |φ′(t)| ≤ ‖−→∇f(A+ t−−→AB)‖‖−−→AB‖.

L’inégalité des accroissements finis appliquée à φ donne :

|φ(1)− φ(0)| ≤ 1. supt∈[0,1]

|φ′(t)|

48

soit encore :

|f(B)− f(A)| ≤ ‖−−→AB)‖ supt∈[0,1]

‖−→∇f(A+ t−−→AB)‖

Corollaire 14 Soit D un ouvert convexe de Rn et f une application de D dans Rde classe C1 telle que ∀z ∈ Ω :

−→∇f(z) = ~0, alors f est constante.

7

7. c©Jean Paul TRUCProfesseur de Mathématiques Spécialesà l’Ecole des Pupilles de l’AIR

49

14 Exercices - Première série

Exercice 1

On considère la fonction f de deux variables définie par f(0,0) = 0 et f(x,y) =xy(x2 − y2)

x2 + y2si (x,y) 6= (0,0).

– Démontrer que f ∈ C1(R2,R).– Calculer f ′′xy(0,0) et f ′′yx(0,0). Que remarquez vous?

Exercice 2 (Centrale)

Déterminer les extremas éventuels de la fonction de deux variables définie surR2 par :

f(x,y) = x2 + 4x3 − 2xy + 3y2

Exercice 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Montrer que les courbes d’équa-tions respectives:

4x2 + 6xy − 7y3 − 3x3 = 0x2 − xy − y2 + 1 = 0

sont tangentes au point A(1,1).

Exercice 4 (CCP PSI )

Pour tout couple (x,y) de R2 différent de (0,0) on pose:

f(x,y) =1− cos(x2 + y2)

x2 + y2

Montrer que f se prolonge par continuité en (0,0) et donner la valeur de f(0,0).Calculer f ′x(0,0) et f ′y(0,0).

Exercice 5 (TPE PC )

Soit f la fonction de R2 dans R définie par:

f(x,y) = xy√

1− x− y

définie à l’intérieur du triangle:

T = (x,y) / x ≥ 0, y ≥ 0, 1− x− y ≥ 0

Déterminer les extrema de f .

50

Exercice 6 (CCP PSI )

Soit f la fonction de R2 dans R définie par:

f(x,y) = x2 + x2y + y3

Déterminer les extrema de f .

Exercice 7

Soit r la fonction de R3 dans R définie par:

r(x,y,z) =√x2 + y2 + z2

et g définie sur R3 privé de l’origine par :

g(x,y,z) = f(r)

où f est ube fonction de classe C2 sur [0,+∞[.1. Déterminer f pour que ∆g = 0.2. Etudier le cas de Rn.

Exercice 8

Existe t’il une fonction f telle que le champ de vecteurs −→V défini par:

−→V (x,y) =

(x3 + xy2 + x

x2 + y2

)~i+

(y − y3 − yx2

x2 + y2

)~j

soit égal à−−→gradf ?

Exercice 9

On considère la fonction de deux variables définie par :

f(x,y) =ln(1 + xy2)

x2 + y2

Nous vous proposons d’étudier le comportement de cette fonction au voisinage del’origine sous forme d’exercice :

– Déterminer le domaine de définition de f .– Est ce que f est continue en tout point intérieur de son domaine de défini-

tion?– Déterminer la limite :

lim(x,y)→(0,0)

ln(1 + xy2)

x2 + y2

Peut-on prolonger f par continuité en (0,0)?

51

Exercice 10

a) Déterminer si elle existe, la limite :

lim(x,y)→(0,0)

ln(1 + xy)

x2 + y2

b) Pour (x,y) 6= (0,0) et |xy| < 1 on pose :

z = f(x,y) =ln(1 + xy)

x2 + y2

et f(0,0) = 0. Déterminer les dérivées partielles de f en (0,0) si elles existent.

52

15 Exercices - Deuxième série

Exercice 1

Déterminer les dérivées partielles à l’origine de la fonction f définie par :

f(x,y) =

2xy

x2 + y2si (x,y) 6= (0,0)

0 si (x,y) = (0,0)

Exercice 2

Déterminer les extrema de la fonction f définie sur R2 par

f(x,y) = 2x2 + y2 − xy − 7y

Exercice 3

Soit g une fonction C1 sur R. On considère le champ de vecteurs−→V défini par:

−→V (x,y) = (x2 + y2 − 1)g(x)~i+ 2yg(x)~j

Existe t’il une fonction f de classe C2 sur R2 telle que −→V soit égal à−−→gradf ? Si

oui déterminer f .

Exercice 4

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. On considère l’ellipse E d’équa-

tion :x2

a2+y2

b2= 1. Si M ∈ E on considère le symétrique M ′ de M par rapport à

Ox. La normale à la courbe au point M recoupe la droite OM ′ en un point P .– On demande de déterminer l’équation cartésienne de l’ensemble des pointsP obtenus quand M parcourt l’ellipse.

– Que remarque t’on si a = b ? Retrouver ce résultat par un raisonnementgéométrique.

Exercice 5

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Montrer que les courbes d’équa-tions respectives:

5y − 2x+ y2 − x2y = 02y + 5x+ x4 − x2y2 = 0

(16)

se coupent perpendiculairement à l’origine.

53

Exercice 6

L’espace R3 est rapporté à un repère orthonormé. On considère la surface Sd’équation :

x2 + 4y2 + z2 = 4

Quelle est la nature de S ? Existe-t’il des pointsM de S où le plan tangent Π coupeles axes en trois points A,B,C, tels que :

OA = OB = OC

Exercice 7

Soit g la fonction définie pour (x,y) 6= (0,0) par

g(x,y) =xy√x2 + y2

et g(0,0) = 0.– Montrer que g est continue sur R2.– Montrer que g admet des dérivées partielles en (0,0). Est elle de classe C1

sur R2 ?– Montrer que g n’est pas différentiable à l’origine.

Exercice 8

R3 est rapporté à un repère orthonormé. Caractériser la courbe (C) de R3 dé-terminée par le système d’équations :

x2 + y2 + z2 = 0x+ y + z = 1

déterminer l’équation cartésienne du cône de sommet O et de directrice (C).

Exercice 9

R3 est rapporté à un repère orthonormé. Déterminer les points de la surfaced’équation x2 + y2 − z2 = 1 où le plan tangent est perpendiculaire au vecteur(1,2,3).

Exercice 10 (Principe du maximum)

Soit f une fonction harmonique sur un ouvert de R2 contenant le disque ferméD(0,r) de rayon r > 0. Pour tout entier p ≥ 1 on définit la fonction fp par :

fp(x,y) = f(x,y) +x2 + y2

p.

– Justifier que fp admet un maximum atteint en un point (ap,bp) de D(0,r).

54

– On suppose que (ap,bp) est dans l’intérieur D(0,r) de D(0,r). On fixe x =

ap. En considérant la fonction : y 7→ f(ap,y), montrer que∂2f

∂y2(ap,bp) ≤ 0.

On montrerait de même que∂2f

∂x2(ap,bp) ≤ 0.

– Calculer le laplacien de fp et aboutir à une contradiction.– Que peut-on en déduire pour le point Mp(ap,bp)?– Montrer que l’on peut extraire une sous suite de (Mp) telle que les abscissesap convergent vers un réel a.

– Par une seconde extraction montrer qu’on peut extraire une sous suite, encorenotée (Mp) qui converge vers un point M(a,b) du cercle C(0,r).

– Montrer que :f(a,b) = max

(x,y)∈D(0,r)f(x,y).

55

16 Solution des exercices - Première série

Exercice 1

En utilisant des taux d’accroissement, on calcule que :

∂f

∂x(0,0) = lim

t→0

f(t,0)− 0

t= 0

∂f

∂y(0,0) = lim

t→0

f(0,t)− 0

t= 0

d’autre part en un point différent de (0,0) nous avons :

fx(x,y) = yx2 − y2

x2 + y2+

4x2y3

(x2 + y2)2

en passant en coordonnées polaires cette dérivée partielle se met sous la forme :

fx(x,y) =r3

r2g(θ) + 4

r5

r4h(θ)

où g et h sont des fonctions bornées. Il en résulte que cette quantité tend vers zéroavec r ce qui signifie que :

lim(x,y)→(0,0)

fx(x,y) = 0 = fx(0,0)

Calculons la dérivée partielle par rapport à y :On fait le même raisonnement pour fy. f est donc C1 sur R2. Toujours avec un

taux d’accroissement on calcule que :

fxy(0,0) = −1

fyx(0,0) = 1

Ceci prouve que f n’est pas C2 au voisinage de l’origine car sinon le théorème deSchwarz s’appliquerait.

Exercice 2 (Centrale)

Nous cherchons les points critiques de la fonction f en résolvant le système :fx(x,y) = 2x+ 12x2 − 2y = 0fy(x,y) = −2x+ 6y = 0

On trouve deux points critiques : L’origine O(0,0) et le pointA(−1

9 ,−127). On peut appliquer la règle rt− s2 :

– A l’origine : r = 2, t = 6, s = −2. rt− s2 > 0 et r > 0. On a un minimum.– Au point A : r = −2

3 , t = 6. rt− s2 < 0 et on a un point selle.

56

FIG. 24 – Surface d’équation z = f(x,y) = x2 + 4x3 − 2xy + 3y2.

FIG. 25 – Surface d’équation z = f(x,y) = x2 + 4x3 − 2xy + 3y2.

57

Ceci est visible sur les figures 24 et 25 qui montrent l’allure de la surface d’équationz = f(x,y) = x2 + 4x3 − 2xy + 3y2 au voisinage des deux points critiques. Ilest possible de donner une solution sans la règle rt − s2, en ce qui concerne leminimum à l’origine : Comme f(O) = f(0,0) = 0, il s’agit de prouver que pour(x,y) voisin de (0,0) et différent de (0,0) on a f(x,y) > 0. Pour cela remarquonsque :

f(x,y) = (x− y)2 + 2y2 + 4x3

Pour tout (x,y) ∈ E = R2, nous définissons :

N(x,y) =√

(x− y)2 + 2y2

Cette application est de la forme :

∀~u ∈ E : N(~u) = ‖φ(~u)‖

où φ est l’isomorphisme de E = R2 :

φ : (x,y)→ (x− y,√

2y)

et où ‖ ‖ est la norme euclidienne. Il est facile de montrer qu’une telle applicationest une norme sur E. Comme toutes les normes sont équivalentes il existe k > 0tel que :

N(x,y) ≥ k√x2 + y2

ce qui donne :f(x,y) ≥ k2(x2 + y2) + 4x3

or :k2(x2 + y2) + 4x3 = x2(k2 + 4x) + k2y2

est positif pour x assez petit. Ceci prouve que f(x,y) > 0 pour (x,y) voisin de(0,0) et différent de (0,0). On a donc bien un minimum local strict.

Exercice 3

On pose :

f(x,y) = 4x2 + 6xy − 7y3 − 3x3

g(x,y) = x2 − xy − y2 + 1

Comme f(1,1) = g(1,1) = 0, les deux courbes passent par le point A ; on vérifiefacilement que les gradients de f et g en ce point sont colinéaires et non nuls. Lesdeux courbes ont donc un vecteur normal commun en A donc elles ont la mêmetangente en A.

58

FIG. 26 – Courbes tangentes en un point (Exercice 3).

Exercice 4 (CCP PSI )

Si nous posons r =√x2 + y2, nous avons:

f(x,y) =1− cos(r2)

r2= g(r)

Quand (x,y) tend vers (0,0), r tend vers zéro. Un développement limité de g(r) enzéro nous donne:

g(r) =1− (1− r4

2 + o(r4))

r2=r2

2+ o(r2)

On a donc:lim

(x,y)→(0,0)f(x,y) = lim

r→0g(r) = 0

et on peut prolonger par continuité en (0,0) en posant f(0,0) = 0. Nous calculonsf ′x(0,0) à l’aide d’un taux d’accroissement:

f ′x(0,0) = limx→0

f(x,0)− f(0,0)

x= lim

x→0

1− cos(x2)

x3

de nouveau un développement limité conduit à: f ′x(0,0) = 0.Par symétrie: f ′y(0,0) = 0.

Exercice 5 (TPE PC )

Comme ∀(x,y) ∈ T : f(x,y) = xy√

1− x− y ≥ 0 et que la fonction prendla valeur 0 sur les côtés du triangle I (i-e pour x = 0 ou y = 0, ou x + y = 1),on peut dire que f est minimale sur le bord de T . On peut chercher un extremum àl’intérieur Ω de T ; f est de classe C1 sur l’ouvert Ω, de dérivées partielles:

f ′x =y(2− 3x− 2y)

2√

1− x− yf ′y =

x(2− 3y − 2x)

2√

1− x− y

59

Le système des points critiques f ′x = f ′y = 0 est équivalent à:2− 3x− 2y = 02− 3y − 2x = 0

On en tire facilement x = 25 et y = 2

5 . Comme T est compact et f continue, il existeforcément un point de T où f atteint son maximum, et ce point est nécessairementun point intérieur puisque il est clair que f ne peut être maximale en un point de lafrontière. Comme il n’y a qu’un seul point critique à l’intérieur de T , la fonction fadmet donc nécessairement son maximum en ce point.

Exercice 6 (CCP PSI )

Considérons la fonction de R2 dans R définie par:

f(x,y) = x2 + x2y + y3

Le système des points critiques f ′x = f ′y = 0 s’écrit:2x(1 + y) = 0x2 + 3y2 = 0

Il y a un seul point critique: O(0,0). Mais comme f(0,y) = y3 change de signe auvoisinage de y = 0, ce point n’est pas un extremum local pour f .

Exercice 7

Commençons par poser r =√x2 + y2 + z2 ; nous calculons facilement:

r′x =x

rr′y = −y

rr′z =

z

r

La fonction f est définie sur R3 privé de l’origine O(0,0,0) par :g(x,y,z) = f(r). Calculons les dérivéees partielles du premier ordre. Comme :

r′x =x

r, nous avons : g′x = f ′(r)r′x = x

f ′(r)

r. Nous calculons ensuite les dérivées

partielles d’ordre deux.

g′′xx =∂

∂x

(xf ′(r)

r

)=f ′(r)

r+ x

∂

∂x

(f ′(r)r

)Mais :

∂

∂x

(f ′(r)r

)=(f ′′(r)

r− f ′(r)

r2

)xr

ce qui donne :

g′′xx =f ′′(r)

r+x2f ′′(r)

r2− x2f ′(r)

r3

On en déduit par symétrie :

g′′yy =f ′′(r)

r+y2f ′′(r)

r2− y2f ′(r)

r3

60

g′′zz =f ′′(r)

r+z2f ′′(r)

r2− z2f ′(r)

r3

et en ajoutant ces trois quantités :

∆g = f ′′(r) + 2f ′(r)

r

Le Laplacien est nul si et seulement si f est solution de l’équation différentielle :

f ′′(r) + 2f ′(r)

r= 0 (17)

Les solutions de (17) sont les :

f : r → c

r+ d

avec (c,d) ∈ R2. Les fonctions radiales harmoniques g sont donc définies par :

g(x,y,z) =c√

x2 + y2 + z2+ d

Dans Rn, on fera les mêmes calculs avec r =

√√√√ n∑1

x2i . On trouve que le Laplacien

est nul si et seulement si f est solution de l’équation différentielle :

f ′′(r) + nf ′(r)

r= 0 (18)

Si n 6= 2, les solutions de (17) sont les :

f : r → c

rn−2+ d

avec (c,d) ∈ R2. Les fonctions radiales harmoniques g sont donc définies par :

g(x1,x2,...,xn) =c

rn−2+ d

Si n = 2 on trouve : g(x,y) = c ln(r) + d.

Exercice 8

L’équation−−→gradf =

−→V équivaut au système:

f ′x =x3 + xy2 + x

x2 + y2

f ′y =y − y3 − yx2

x2 + y2

(19)

Remarquons que:f ′x =

x

x2 + y2+ x (20)

61

Il est facile d’intégrer cette équation par rapport à x:

f(x,y) =1

2ln(x2 + y2

)+x2

2+ C(y) (21)

où C est une fonction dérivable de la variable réelle y. Dérivons (21) par rapport ày et reportons cette expression dans la deuxième équation de (19); il vient:

C ′(y) = −2y, soit C(y) = −y2

2+ K avec K ∈ R. La fonction f existe bien et

elle est de la forme:

f(x,y) =1

2ln(x2 + y2

)+x2

2− y2

2+K

Exercice 9

Commençons par visualiser le graphe de cette fonction au voisinage de (0,0)avec un logiciel comme Maple ou Mathematica. La figure 27 montre le tracé de lasurface (cette notion sera précisée par la suite) d’équation :

z = f(x,y) =ln(1 + xy2)

x2 + y2

au voisinage de l’origine.

FIG. 27 –

Sur ce tracé, on constate un comportement très lisse, régulier. Il devrait doncêtre possible de prolonger par continuité la fonction à l’origine. Passons à la résolu-tion de l’exercice. f est définie quand son dénominateur x2 + y2 ne s’annule pas et

quand la quantité 1 + xy2 est strictement positive. La courbe d’équation x = − 1

y2

partage le plan Oxy en trois régions. Celle qui contient l’origine correspond aux

62

points (x,y) tels que 1+xy2 > 0. Le domaine de définitionD de f est donc consti-tué de cette région, privée de sa frontière et de l’origine. C’est une partie ouvertede R2.

FIG. 28 – Domaine de définition de la fonction f .

Sur cet ouvert D, f est continue. En effet les applications polynômiales :

p1 : (x,y)→ 1 + xy2

p2 : (x,y)→ x2 + y2

sont continues sur R2. Par composition d’applications continues, la fonction :

(x,y) 7→ ln(1 + xy2)

est continue sur D. Enfin f est le quotient de deux fonctions continues sur D, dontle dénominateur ne s’annule pas. Elle est donc continue sur D. Pour chercher lalimite quand le point M(x,y) tend vers O(0,0) dans R2 nous allons utiliser lescoordonnées polaires :

x = r cos(θ) y = r sin θ

avec r =√x2 + y2. Remarquez que r = OM (r est la norme euclidienne du

vecteur −−→OM ). Donc le fait que M tende vers O se traduira simplement par r → 0.Nous calculons que :

f(x,y) =ln(1 + r3 sin2 θ cos θ)

r2= g(r,θ)

et comme |r3 sin2 θ cos θ| ≤ r3, nous avons :

| ln(1 + r3 sin θ cos θ)| ≤ max(|ln(1− r3)|,ln(1 + r3)

)63

d’où :

|g(r,θ)| ≤ |ln(1− r3)|r2

+ln(1 + r3)

r2

Comme ln(1 + u) ∼ u quand u→ 0, le majorant ci dessus tend vers zéro et

lim(x,y)→ (0,0)

f(x,y) = limr→ 0

g(r,θ) = 0

On peut donc prolonger f par continuité en posant f(0,0) = 0.

Exercice 10

a) Cette fois cette limite n’existe pas, comme le montre le tracé de la surfaced’équation :

z = f(x,y) =ln(1 + xy)

x2 + y2

au voisinage de l’origine (voir la figure 29). La discontinuité est visible à l’origine

FIG. 29 –

par un "trou" dans le tracé (noter aussi les fuites z → −∞ quand la valeur duproduit xy est voisine de -1). Pour le prouver on peut encore utiliser les coordonnéspolaires. Nous calculons cette fois :

f(x,y) =ln(1 + r2 sin θ cos θ)

r2= g(r,θ)

Fixons θ = θ0, ce qui revient à s’approcher de l’origine en suivant la demi-droited’angle polaire θ0. Nous supposerons θ0 6= 0(π). On a alors quand r → 0 :

g(r,θ0) ∼ r2 sin θ0 cos θ0

r2

quantité qui tend verssin(2θ0)

2. La limite existe mais varie avec l’angle d’ap-

proche. Il n’y a donc pas de limite pour f(x,y) quand (x,y) tend vers l’origine.

64

b) Nous calculons que :

∂f

∂x(0,0) = lim

x→0

f(x,0)− f(0,0)

x= lim

x→00 = 0,

de même par rapport à y. On a donc :

∂f

∂x(0,0) =

∂f

∂y(0,0) = 0

On constate que cette fonction admet bien des dérivées partielles à l’origine etpourtant d’après le a) on sait que f n’est pas continue en ce point.

65

17 Solution des exercices - Deuxième série

Correction de l’exercice 1

On calcule les dérivées partielles de f à l’origine :

∂f

∂x(0,0) = lim

t→0

f(t,0)− 0

t= 0

∂f

∂y(0,0) = lim

t→0

f(0,t)− 0

t= 0

Correction de l’exercice 2

Le seul point critique est (1,4). On calcule

f(1 + h,4 + k)− f(1,4) = 2h2 + k2 − kh = (h− k

2)2 + h2 +

3

4k2

Cette forme quadratique est donc définie positive et il y a un minimum.

Correction de l’exercice 3

D’après le théorème de Poincaré le champ de vecteurs −→V défini par:−→V (x,y) = (x2 + y2 − 1)g(x)~i+ 2yg(x)~j

dérive d’un potentiel scalaire si et seulement si :

∂

∂y

((x2 + y2 − 1)g(x)

)=

∂

∂x

(2yg(x)

)ou encore :

∀(x,y) ∈ R2 : 2yg(x) = 2yg′(x)

pour y = 1, on voit que ceci équivaut à : ∀x ∈ R g′(x) = g(x) ou encore à :g(x) = Cex avec C ∈ R. Ceci étant réalisé, cherchons le potentiel f . Il fautintégrer le système :

∂f

∂x= C(x2 + y2 − 1)ex

∂f

∂y= 2Cyex

En intégrant la deuxième équation par rapport à y on a :

f(x,y) = Cy2ex + ψ(x)

puis en dérivant par rapport à x et en reportant dans la première équation :

ψ′(x) = C(x2 − 1)ex

Une double intégration par parties conduit à :

ψ(x) = C(x− 1)2ex + Cte

D’où :f(x,y) = C(y2 + (x− 1)2)ex + Cte

66

Correction de l’exercice 4

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. On considère l’ellipse E d’équa-

tion : f(x,y) =x2

a2+y2

b2= 1. Si M ∈ E on considère le symétrique M ′(x,−y) de

M(x,y) par rapport àOx. Un point de la droiteOM ′ a des coordonnées de la forme(tx, − ty). L’équation de la normale MN en M , en notant (u,v) les coordonnéesd’un point de la normale, est :

fx(x,y)(y − v)− fy(x,y)(x− u) = 0

ou encore :x

a2(y − v)− y

b2(x− u) = 0 (22)

Le point d’intersection de OM ′ et MN vérifie :

x

a2(y + ty)− y

b2(x− tx) = 0

On en tire :

t =a2 − b2

a2 + b2

Comme t est constant, on en déduit que P décrit une ellipse homothétique à l’el-lipse initiale, le rapport d’homothétie étant t. Dans le cas où a = b, t = 0 et doncP = O. L’ellipse est un cercle et le point P reste toujours confondu avec le centredu cercle O. En effet la normale au cercle est toujours égale au rayon.

FIG. 30 –

Exercice 5

Comme f(0,0) = g(0,0) = 0, les deux courbes passent par le point O. Oncalcule sans difficultés que :

−→∇g(0,0) = 5~i+ 2~j

67

−→∇f(0,0) = −2~i+ 5~j

et donc :〈−→∇f(0,0),

−→∇g(0,0)〉 = −10 + 10 = 0

Les deux courbes se coupent à angle droit à l’origine.

Exercice 6

L’espace R3 est rapporté à un repère orthonormé. La surface S d’équation :

f(x,y,z) = x2 + 4y2 + z2 = 4

est une quadrique. C’est un ellipsoïde centré à l’origine dont les axes coïncidentavec les axes du repère. L’équation du plan tangent Π en un point M0(a,b,c) s’ob-tient en appliquant (11). On trouve :

ax+ 4by + cz = 4

Ce plan coupe les axes aux points A(xA,0,0), B(0,yB,0), C(0,0,ZC). Nous calcu-lons grâce à l’équation de Π :

xA =4

a, yB =

1

b, zC =

4

c

On veut que xA = yB = zC = µ ; on en tire :

a =4

µ, b =

1

µ, c =

4

µ

En écrivant que (a,b,c) vérifie l’équation de S on trouve que9

µ2= 1, d’où µ =

±3. Il y a donc deux points de l’ellipsoïde qui conviennent. Ce sont :(4

3,1

3,4

3

)et(

− 4

3,− 1

3,− 4

3

).

Exercice 8

La première équation s’écrit:

(x2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 = 5.

C’est l’équation d’une sphère de centre Ω(0,1,2) et de rayon R =√

5. L’intersec-tion de cette sphère avec le plan défini par la deuxième équation est un cercle ouun point ou ∅. Pour le savoir on calcule la distance d du centre de la sphère au plan.

d =|xΩ + yΩ + zΩ − 1|√

1 + 1 + 1=

2√3.

Comme d < R, (C) est un cercle. Le cône est formé des points M(x,y,z) pourlesquel il existe un point A ∈ (C) tel que O,M,A soient alignés. Ceci se traduitpar l’existence d’un réel t tel que :

x = ta, y = tb, z = tc

68

a+ b+ c = 1, a2 + b2 + c2 − 2b− 4c = 0.

On remarque que :x+ y + z = t(a+ b+ c) = t,

et en remplaçant t dans la dernière équation on obtient l’équation cartésienne ducône :

x2 + y2 + z2 = (x+ y + z)(2y + 4z).

Exercice 9

La surface est un hyperboloïde de révolution à une nappe. Le plan tangent aupoint M(a,b,c) a pour vecteur normal le gradient de f en M :

−→∇f(M) = (2a,2b,2c)

qui doit être colinéaire à (1,2,3). Il existe donc un réel t tel que :

a = t, b = 2t, c = 3t.

En reportant dans l’équation de l’hyperboloïde on en tire −4t2 = 1, ce qui estimpossible ; il n’existe pas de point M répondant à la question.

8

8. c©Jean Paul TRUCProfesseur de Mathématiques Spéciales à l’Ecole des Pupilles de l’AIR

69

Références

[1] Henri Cartan, Calcul Différentiel, Hermann.[2] Richard Courant - Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis II-1,

Springer.[3] Claude Deschamps - André Warusfel, Mathématiques deuxième année, Du-

nod.[4] Ivar Ekeland, La théorie des catastrophes, LA RECHERCHE, Numéro 81,

Septembre 1977.[5] Lelong Ferrand - Arnaudiès, Intégrales multiples Tome 4, Dunod.[6] John Fritz, Partial Differential Equations, Springer-Verlag.[7] Marcel Grangé, Calcul différentiel, Ellipses.[8] C.L. Siegel et J.K. Moser, Lectures on Celestial Mechanics, Springer-Verlag,

1971.[9] Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, Wiley.

[10] Lelong Ferrand - Arnaudiès, Analyse Tome 2, Dunod.[11] Ahmed Lesfari, Fonctions différentiables, Revue Quadrature, numéro 84.[12] Jean-François Rameau, Homéomorphismes vers le développement au second

ordre , Revue Quadrature, numéro 111, avril 2019.[13] S.L. Salas, E. Hille, J.T. Anderson, Calculus, Wiley International Edition.[14] René Thom, Paraboles et Catastrophes, Flammarion.

70

Indexéquations différentielles exactes, 17

accroissements finis, 40algèbre, 7

Champ de vecteurs, 31classe C1, 13col, 36conditions aux limites, 34continuité, 2coordonnées polaires, 4courbe de niveau, 21courbes tracées sur une surface, 18

dérivée partielle, 6Dérivée selon un vecteur, 8Dérivées partielles d’ordre deux, 29différentiable, 11Différentielle, 10dérivée normale, 12

Equation de la tangente, 24espace dual, 11Extrema, 35

fonction composée, 15fonctions harmoniques, 34fronce, 26

intersection de deux surfaces, 18

Laplacien, 34limite, 2

maximum sous contrainte, 40Monge, 38Multiplicateurs de Lagrange, 39

normale à une courbe, 24

opérateur Nabla, 33ouvert simplement connexe, 31

plan tangent, 9Plan tangent à une surface, 28pli, 26

point critique, 35point régulier, 26Point régulier d’une courbe, 21Point régulier d’une surface, 26Point selle, 36point singulier, 22

rotationnel, 33

surface équipotentielle, 25surface d’équation z = f(x,y), 5, 9

Théorème de Schwarz, 30théorème des fonctions implicites, 21, 26théorie des catastrophes, 26

Vecteur gradient, 19Vecteur normal, 23vecteur normal, 23

71

Table des matières

1 Continuité des fonctions de Rn dans R 21.1 Quelques rappels de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Limites et continuité - Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Etude d’un premier exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Surface d’équation z = f(x,y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Un deuxième exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 Continuité des applications partielles . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Dérivées partielles 62.1 Dérivée partielle en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Applications de classe C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Différentes notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4 Calcul pratique des dérivées partielles. . . . . . . . . . . . . . . . 72.5 Cas particulier d’une fonction prolongée par continuité . . . . . . 82.6 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.7 Dérivée selon un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Plan tangent à une surface d’équation z = f(x,y) 93.1 Exemple - Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Différentiabilité des fonctions de Rn dans R 104.1 Différentielle de f en a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.3 Écriture de la différentielle dans la base duale . . . . . . . . . . . 114.4 Différentiabilité de f en a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.5 Différentielle et dérivée selon un vecteur - Dérivée normale . . . 134.6 Cas des fonctions de classe C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.7 Retour à la variable unique : la dérivée d’une fonction composée. . 164.8 Application aux équations différentielles exactes. . . . . . . . . . 18

5 Application aux courbes tracées sur une surface 195.1 Tangente à une courbe tracée sur une surface . . . . . . . . . . . . 195.2 Tangente à la courbe intersection de deux surfaces . . . . . . . . . 20

6 Vecteur gradient 216.1 Gradient de f en a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.2 Ecriture de la différentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.3 Retrouver une fonction à partir de son gradient. . . . . . . . . . . 22

7 Application à l’étude des courbes en dimension deux 237.1 Courbes de niveaux d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . 237.2 Point régulier d’une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.3 Théorème des fonctions implicites en dimension deux. . . . . . . 247.4 Vecteur normal aux courbes de niveaux. . . . . . . . . . . . . . . 257.5 Equation de la tangente à une courbe de niveau . . . . . . . . . . 26

72

7.6 Equation de la normale à une courbe de niveau . . . . . . . . . . 267.7 Un exemple d’utilisation : l’équation tangentielle d’une conique . 27

8 Étude des surfaces en dimension trois 278.1 Surfaces équipotentielles ou surfaces de potentiel . . . . . . . . . 27

8.1.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288.2 Point régulier d’une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288.3 Théorème des fonctions implicites en dimension trois. . . . . . . . 288.4 Surfaces algébriques -complément . . . . . . . . . . . . . . . . . 298.5 Plan tangent à une surface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

9 Dérivées partielles d’ordre supérieur 329.1 Dérivées partielles d’ordre deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329.2 Applications de classe C2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339.3 Fonction de classe C2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339.4 Théorème de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339.5 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359.6 Formule de Taylor à l’ordre deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

10 Champ de vecteurs dérivant d’un potentiel 3610.1 Champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3610.2 Cas de deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3610.3 Cas de trois variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3710.4 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

11 Equation de Laplace et fonctions harmoniques 3811.1 Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3811.2 Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3911.3 Un exemple de problème avec conditions aux limites en dimension

deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

12 Extrema des fonctions de plusieurs variables 4012.1 Extrema et points critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4012.2 Point selle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4112.3 Cas d’une fonction continue sur un compact . . . . . . . . . . . . 4112.4 Recherche pratique d’un extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . 4212.5 La règle “rt− s2” pour une fonction de deux variables . . . . . . 42

12.5.1 Notations r,t,s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4212.5.2 La règle “rt− s2” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

12.6 La Hessienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4412.7 Multiplicateurs de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4512.8 Généralisation à plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . 4812.9 Généralisation à plusieurs contraintes . . . . . . . . . . . . . . . 48

13 Théorème des accroissements finis 48

14 Exercices - Première série 50

73

15 Exercices - Deuxième série 53

16 Solution des exercices - Première série 56

17 Solution des exercices - Deuxième série 66

74