Fonctions entières ( n variables) et fonctions plurisousharmoniques d'ordre fini dans C n

FONCTIONS ENTIERES (n variables) ET FONCT1ONS

P L U R I S O U S H A R M O N I Q U E S D ' O R D R E FINI DANS C n

Par

PIERRE LELONG

d Paris, France

1. I n t r o d u c t i o n

On 6tudiera ici une repr6sentation des fonctions enti~res d 'ordre fini ~t partir

de leurs z6ros dans le cas de n variables: cette entreprise peut apparaltre

hautement d6mod6e, le probl~me de Cousin 6tant r6solu depuis fort long-

temps dans C n. Comme excuse on rappellera qu'il existe encore au-del~

des th6or~mes d'existence nombre de probl~mes non triviaux de majoration

qui sont plus ou moins li6s ~t une telle repr6sentation (qu'on obtiendra ici

sous forme d 'un potentiel). De tels probl~mes conservent donc un int6r~t

pour l '"analyse f ine", notamment dans le cas des fonctions de type exponentiel.

Les r6sultats principaux ont 6t6 indiqu6s il y a d6j~ quelques ann6es dans

les Notes [9]; une occasion r6cente(~) m 'a conduit ~t en pr6ciser quelques

points. D'autre part on trouvera dans les travaux de V. Avanissian [1], [2]

et dans [6] des appplications M'6tude de certaines classes de fonctions enti6res.

Les th6orbmes d'existence rel6vent de m6thodes g6n6rales classiques; ce

sont donc la repr6sentation des solutions et leur majoration qui pr6senteront

de l'int6r~t dans l '6tude des deux probl6mes suivants:

P r o b l e m e A. Ddterminer une fonction enti~re F ( z ) = F(zl,z2,...,Zn) ayant dans C n des zdros donnds W n-1 (donn6e de Cousin).

P r o b l 6 m e B. Ddterminer unefonction plurisousharmonique V(zl , z2 , ' " , z , )

dans C n solution de l'dquation:

(1) Les journ6es math6matiques franco-isra61iennes (Janvier 1963) organis6es l'Universit6 de J6rusalem; la notion de courant positif expos~e ~ cette occasion a d'autre part fait l'objet de [12] et [13].

365

366 PIERRE LELONG

(1) 2 id :d ;V = 0

o4 d: (respectivement d;) est la difffrentielle par rapport aux z~ (respectivement

par rapport aux :~), et o/1 la donn6e 0 est un "cou ran t " (au sens de forme

diff6rentielle ext6rieure g6n6ralis6e) donn6 dans C", positif et ferm&

Le Probl~me A sera trait6/t partir de la solution du Probl~me B; une don-

n6e de Cousin W "-x d6termine en effet un courant positif ferm6 dans C"

savoir le courant 01 d'int6gration sur W'-~, cf [10]; V = log [ F[ est alors,

solution d 'un probl~me B ofa la donn6e 0 ne diff6re de 0x que par un facteur

num6rique.

Dans les deux cas on d6finira des indicatrices de croissance relatives:

a) ~tla donn6e de Cousin W"-I , ou ~t la donn6e 0 de courant (positif,

ferm6) dans C",

b) ~t la solution cherch6e, F pour le Probl6me A, V pour le second: on

consid6rera le maximum re(t) de log IF I, (ou celui de V) dans une boule

lizll , .

On obtient l 'existence et la repr6sentation d 'une solution (F, ou V) dont

a croissance poss6de un certain caract6re minimal et est major6e en fonction

de l'indicatrice de la donn6e (W "-~, ou 0). Indiquons quelques r6sultats. A

un courant 0 positif, ferm6, correspondent, comme on l 'a vu darts [10] une

raesure a, " t race de 0 " et une mesure " t race projective" v qui sont routes

deux positives. L'indicatrice v(t), mesure de v port6e par la boule ][ z 1[ < t

jouera le r61e d'indicatrice de croissance de la donn6e (W ~-1, ou 0).

On se limite au cas o4 v(t) est d 'ordre de croissance fini et oil l 'origine

n'appartient pas au support de la donn6e.

Ayant ainsi une notion de "donn6e de Cousin" ou de "courant positif

ferm6" d 'ordre fini dans C ", on construit /t part ir du noyau

h . (a , z )=[ la - z [ I 2-2" de la th6orie du potentiel dans R2"= C ", un noyau

canonique e.(a,z,q) de genre q", d'une mani6re standard (c'est-~-dire en

proe&lant comme dans le cas n = 1) et choisissant l 'entier q, (q ~ 0), de

mani6re ~t assurer la convergence du potentiel.

(2) V(z) = Iq(z) = k.a. �9 e.(a, z, q)

(k. constante d6pendant de n).

FONCTIONS ENTI~RES (n variables)... 367

Le rdsultat essentiel est que le potentiel lq(z), qui est par construction

une fonction R2~-sousharmonique, est une fonction plurisousharmonique

dans C", d6s que a est la "mesure t race" d 'un courant 0 positif et ferm6

dans C".

Les propri6t~s de croissance de Iq(z) s 'dtudient de mani6re standard, et

on a la satisfaction d 'avoir "p long6" la th6orie classique (n = I) dans un

cadre de r6sultats valables quel que soit n (abstraction faite de la pr6sence

de coefficients num6riques qui d6pendent de n et de q). La comparaison

des croissances de l,~(z) et de v(t) et les r6sultats concernant le cas d 'un ordre

entier ou non entier s 'obtiennent sans rien modifier aux raisonnements clas-

siques (n = 1). D'autre par t , (2) fournit une repr6sentation de log IF(z)[ solution du Probl6me A. Signalons que dans ce cas W. Stoll avait 6tabli [18]

l'existence d 'une solution du m~me ordre fini que v(t) sans utiliser une repr6-

sentation convergente. En utilisant la g6n6ralisation du produit canonique de Weierstrass (con-

sid6r6 sous forme logarithmique) donn~e par le potentiel canonique (2), on

o btient ais6ment une transcription de cert aines propri6t6s "f ines" de la th~orie

classique des fonctions enti~res (n = 1) au cas de n variables, dans la mesure

oflelles reposent sur des 6nonc6s liant l 'abondance des z6ros ~ la croissance;

on a, ~t titre d'exemple, g6ndralis6 les th6or~mes de Lindel6f. Les applications

h la transformation de Fourier-Laplace am6nent ~t ne pas consid6rer comme

tout ~t fait inutiles de telles g6ndralisations. En fait on a dans ce genre de pro-

bl6me le choix entre deux m6thodes: ou bien chercher des propridt6s de crois-

sance uniformes pour les fonctions enti6res d 'une variable sections de F par

certains sous-espaces lin6aires (cette m6thode est, par exemple, utilis6e dans

[14]), ou bien, utiliser une th6orie et une reprdsentation applicables aux

fonctions enti~res de n variables comme celle qui est esquiss6e ici.

2. Don n~es de C o u s i n et courants p o s i t i f s ferm~s.

1) Soit W "-t = (Ui,fj} une "donn~e de Cousin de z~ros" dans C": c'est

la donn6e d 'un recouvrement {U j} de C"par des domaines, et celle {fj} d 'une

fonction f~ holomorphe dans U j, pour tout j , avec la condition

f ,, = f ~ f ; '

368 PIERRE LELONG

holomorphe dans U s c3 Uj si l 'on a Us c3 Uj # r Rappelons que s i f e s t holo-

morphe, log I f [ est plurisousharmonique, done localement sommable. On

peut done consid6rer (les d6riv6es 6tant prises au sens des distributions)le

courant (au sens de G. de Rham [17-]), d6fini par:

(3) 0 = 0j = i z - l d z d ; l o g l f j ] .

La d6finition est bien coh6rente car si U s c3 Uj # r on a dans U s c3 Uj:

r oj = in- d a loglLJI = 0

loglL,j] &ant alors la partie r6elle d 'une fonction holomorphe, done une

fonction pluriharmonique.

Dans la suite le courant 0 ddfini par (3) sera dit associ6 fi la donn6e de

Cousin W n-1 = {Uj , f j } .

2) Rappelons briSvement quelques propri6t6s utiles des courants et des

formes positifs (cf. [12] et ]-13-I), not ion qui a 6t6 introduite d6jh dans [10].

Une forme diff6rentielle ext6rieure 0 (qui peut &re un courant) est dite positive dans l'algSbre ext6rieure E2n engendr6e sur les d~,,d;, si

(1) elle est homogSne de type (p,p) , 0 < p < n

(11) pour tout systSme cq,...,~c,_p de formes lin6aires pures,

~ = ~, c~.sdz s oil les cck. s sont coefficients dSrivables, la forme (de degr6 ma- 1

ximum)

(0, c~) = 0 A (i~1, A ~ I ) A "'" A (io:n-p A ~'n-p)

repr6sente une mesure positive (on rappelle que ~k est le conjugu6 de cq).

Dans la suite on posera

i fl" (4) fl = ~ ~] dzk A d~., ; tip = ~.

II fin= ~./3 = 2-n(idzl A d~q) A "'" (idz,, A d:.,,)

ft, est l'"616ment de volume" de C" = R 2n. D'autre part on convient d'iden-

tifier les distributions (et en particulier les mesures)/l des courants du degr6

maximum (n,n). Ceci dit, dans le cas d 'un courant de type (1,1),

FONCrIONS ENTt~RES (n variables)... 369

(5) 0 = 2 i ~ tp~dzpAd2p P , q

la condition de positivit6 prend une forme simple: elle exprime que, pour

tout vecteur 2 = (2s) complexe, la distribution

6o(2 ) = 2 [ ]E tp~Ap~q]fl. est une mesure positive. Aux courants tp~ de degrd nul qui figurent dans (5)

nous associerons les distributions Tp~ = tp~fl,, de sorte que la condition

de positivit6 s'6crit encore

(6) 6o(s ) = 2 Z Tp~2p~q >= O.

Elle entralne que les coefficients Tp~ soient des mesures deux ",i deux con-

juguges Tp~ = T~7 ,, Tpi > 0.

3) Rappelons que le produit d 'un courant ou d 'une forme positive par

une forme positive de type (1, 1) est encore positif (cf. ]-12]). I1 en r6sulte que

le produit d 'un courant positif par les puissances de fl fournit encore des

courants positifs.

4) Une fonction V, b. valeurs r6elles, - ov < V< + ~ , V ~ - ov est

dite plurisousharmonique dans un domaine D de C" si elle est semi-continue

sup6rieurement et si la restriction de V h une vari6t6 lin6aire L 1 ~. une di-

mension complexe est localement (c'est-h-dire sur chaque composante con-

nexe de L I ~ D ) , soit une fonction sousharmonique, soit la constante - ~ .

I1 est plus commode d'utiliser une d6finition 6quivalente (cf [-11]): pour

que V, ( - o o ~ V < oo) soit plurisousharmonique, il faut et il suffit

(1) que V soit localement sommable

[ 1 (II) que la distribution 6v(2 ) = ~-" azp des "J fl" soit positive pour tout

vecteur ~.

( l i d qu 'en chaque point Vsoit 6gal b. son maximum en mesure au voisinage

de ce point .

Remarque. La condition ( I I )= 6v(2" ) > 0 6quivaut fi dire que le courant

est un courant positif.

0 = 2 id, d; V

370 PIERRE L E L O N G

3. Trace et norme d 'un courant pos i t iL

On appellera trace du courant positif 0 de type (1,1) la mesure positive

(7) o = 0 A f l . _ l = 4 [ ~ t , , ] f l . = 4 ~ T p , .

On utilise les notations (4) et (5): ~ est une mesure positive comme produit

d 'un courant positif (1,1) et de formes positives (1,1).

P r o p o s i t i o n 1.

Si 0 est un courant positif, la mesure positive a, trace de 0 ddfinie par

(7) a m#me support que 0 et sa norme est (quivalente d celle de 0.

En effet en 6crivant que, p o u r f ~ 0, h support compact, on a gi0(~(f) ~ 0

quel qur soit le vecteur 7, il vient

I T,~(f)[ g sup, %;(f) 6 ~: %~-(f) - lof t ) 1r

les mesures Tp~ 6tant positives. Si d'autre part f est continue k valeurs r~elles

on ~crira f = f + - f - et l 'on obtiendra encore I%q~l ~ ~oclfl). Enfin si

f = f l + ifz est continue ~ valeurs complexes, on aura

(8) I T,0~I _~ ~o(1:11) + ~(1:~1) -- to(I/I).

D6finissons la norme II 0 IIo du courant 0 dans un ouvert D par

(9) l lob = sup, Io(4)1

sur les formes diff6rentielles ~b ~ coefficients continus, h support compact

dans D, dent les coefficients ne surpassent pas l'unit~ en valeur absolue.

Alors d ' ap r~ (8), on obtient

II o liD-- 2 "§ z II T,~ I[a ~ 2"n~a(D) �9 P,q

Dans l 'autre sens, si l 'on consid~re une forme ~=2"- ta ( z ) f l , _ l , otJ

a(z) est une fonction continue positive, ~ support compact dam D, v6rifiant

I a(z) ] < 1, on ob tient, d'apr~s (7):

FONCTIONS ENTII~RES (/1 variables). . . 371

II011o ->- 2"-Xtr(D) �9

D'ot'l

(10) 2"- ~a(D) z II o I1,, z 2nn2a(D)

qui mont re que aiD [ = [[trl[ o est une norme 6quivalente ~ Hollo d~fini par

(9); il en r6sulte en par t icul ier que les supports de t r e t de 0 coincident .

4. Trace project ive d'un eourant pos i t i f (1, 1) ferm&

Consid&ons d ' au t re par t la forme 0t d~finie sur l 'espace project i f F ' - t

des directions complexes 2 issues de l 'origine, et donn6e par :

i (11) ct = ~d~d~log ~ Z~k �9

est une forme positive (v&ification directe, ou remarquer que log I1 z II est

une fonct ion plur isousharmonique); ct et les puissances ~t p, 1 ~ p < n, sont

d6finies s au f / l l 'or igine et sont des formes positives. I1 en r~sulte (cf [10])

que si 0 est un couran t posit if de type (n - p, n - p),

=Lo ~" (12) v = n - P 0 A c t p a p! A

sont des mesures positives. En calculant J'v dans le domaine 0 < r I _< II z II < r2,

on obtient (of. [10]) lorsque 0 est positif et fermd:

v(rl, r~) = pln [ rlv r~--Tj -

oil a(r) d~ igne la mesure a port6e par la boule II ~ II < r I I e n r~sulte que:

(I) tr(r)r -2p est fonct ion croissante de r,

(II) la limite

v(0) = p ! n - p lim a(t) t - 2 p lmO

existe pour t > 0 t endan t vers z&o, e t e s t finie, positive.

(III) si l 'on pose

372 P I E R R E L E L O N G

(13) v(t)= f v=v(0)+ f v = p!n-Pa( t ) t -2p

I l z l l< f O < l l z l l < t

la fonct ion v(t) est croissante pour t > 0 et tend vers v(0) quand t ~ 0.

D6finition 1. Nous appellerons trace projective (par rapport ~t

l'origine) du courant positif ferm~ 0 la mesure positive v ddfinie par (12).

Duns la suite nous aurons p = n - 1 ; nous d6signerons par z,,(1) la mesure de la boule unit6 duns R ~ par ~om(1 ) la mesure de la sphere unit6 duns R m.

On a

~P 2rt" "r2~(1) = - - p t t~ 1(1) - (n - 1)!

et (13) 6nonce que si 0 est un couran t posi t i f et ferm6, de type (1, 1),

(14) v(t) = tT(t)['C2,,_ 2 ( 1 ) t 2 n - 2"] - 1

r appor t de la mesure tr port6e par la boule [I z II < t au volume de cette boule

est une fonct ion croissante.

Cas d'une donnde de Cousin. Dans le cas d ' u n ensemble analyt ique quel-

conque W on salt que l ' i n t6gra t ion sur W e s t un couran t 0 pos i t i f ferm6 (cf

1-10]); i l en r6sulte une d6finition pr6cise de t r , " l ' a i r e " d ' u n tel ensemble par (12).

Duns le cas d ' une donn6e de Cousin W n- l , il est bien connu depuis H. Poincar6

que " l ' a i r e " de l ' ensemble f = 0 est p ropor t ionnel le au laplacien A( loglJ [),

le germe &ant d6fini par une seule 6quat ion f = 0. Le couran t d ' in t6gra t ion 0

sur W n-1 est d6fini pa r (3) et la mesure a t race de 0 est ' T a i r e " port6e par Vl, r n - 1 �9

(15) tr = ire -1 dzd~log[fk[ A fl~-i = 2 ~ A ( l o g [ f k l ) f l , .

On renvoie le lecteur au m6moire I-8] oi~ sont 6tablies par vole 616mentaire

ces propri6t6s ainsi que la croissance de v(t) duns ce pas carticulier.

Duns le c a s n = 1, a est la mesure posi t ive "mul t ip l i c i t6" des z6ros isol6s

al,a2,. . , et tr(t) le n o m b r e n(t) des z6ros de module inf6rieur h t, compt~s

avec leurs multiplicit6s. On a tr(t) = v(t) = n(t), ce qui revient ~t poser ro(l ) = 1.


5. Ind icatr ices de cro i s sance .

Soit 0 un courant positif et ferm6 de type (1,1), donn6 dans C". Nous

consid6rerons les deux indicatrices suivantes:

a) ~(t) mesure de la trace a d6finie par (7) dans la boule L] z [] < t,

b) v(t) mesure de la trace projective d6finie par (12) pour p = n - 1, dans

la boule ]] z ]] < t; a(t) et v(t) sont li6es par (14). L'indicatrice v(t) sera dite

indicatr ice project ive de centre l 'or igine ou simplement indicatr ice project ive.

Dans le cas d 'une donn6e de Cousin, a(t) et v(t) sont rspectivement l'aire

de W "-x consid6r6e d 'abord comme ensemble de C" dans le premier cas, puis

comme ensemble de P"-x , espace projectif des directions complexes issues

de l'origine, dans le second.

D~f in i t ion 2. a) Unefonc t ion croissante f ( t ) > 0 ddfinie pour t > t o > O,

sera dite d' ordre f i n i 2 si l' on a

l o g f ( t ) _ 2 < oo pour t ~ + 0o . lim sup log t

b) Elle sera dite du type c si l 'on a

c = l i m s u p f ( t ) t -~ pour t -~ + ~ .

c) Un courant pos i t i f f e r m d 0 et une donnde de Cousin W "-1 dans C"

seront dits de l 'ordre f i n i 2 et du type c s ' i l e n e s t ainsi de leurs indicatr ices

project ives de centre O.

Dans la suite on supposera que l'origine n'appartient pas au support S(O)

ou S(W"-I) ; on a done a ( t )= v ( t ) = 0 dans un intervalle 0 < t < ro.

Propos i t ion 2. Si a(t) et v(t) sont les indicatr ices (ordinaire et pro-

.jective) de croissance relat ives ~ un courant f e r m d pos i t i f ou ~ une donnde

de Cousin dans C n, les condit ions suivantes (I), (II), ( I I I ) , ( IV ) sont 6qui-

valentes pour t ~ + 0% s i s > 0:

f~ ([) r -s dv(t) < oo

(II) lira v(t)t-" = 0 et v(t)t-.~-x dt < eo tm~

374 PIERRE LELONG

f o o

(III) lira o(t) t -~+z-2" = 0 et o(t) t - ' + l - 2 " d t < oo t = O O

f o o

(IV) t - ' + 2 - 2 " d a ( t ) < oo .

D6monstration. v(t) 6tant positive et croissante, on a

(16) t - ' d v ( t ) = [ v ( t ) t - ' ] : + s v ( t ) t - S - ' d t .

a a

La convergence du premier membre de (16) entraine l'existence d 'une limite I /

pour v(u)u -~ + s f v(t)t 1 - adt; l 'int6grale est donc bom6e, done convergente. a

I1 en r6sulte l 'existence de lim v ( u ) u - s = c. Mais c > 0 entrainerait la di- u = o o

vergence de l ' int6grale pr6c6dente. On a donc c = 0, et (I)--, (II). La r~ci-

proque ( I I ) -~ ( I ) r6suite imm6diatement de (16).

D 'au t re part s > 0 entraine s + 2 n - 2 > 0; l '6quivalence entre (III) et

(IV) s'6tablit alors de m~me.

Enfin en remplaq.ant dans (III) or(t)= r2, ,_z(1) t2"-2v( t ) , on obtient l'6qui-

valence de (I) et (III) .

C o r o l l a i r e s . l) S i l ' o n p o s e g 1 = in f . d e s r t e l s q u ' o n ait J" t - ' d v ( t ) < o o ,

on a 2t = 4, 2 6tant l 'ordre de v(t). D6monstrat ion/ t partir de l '6quivalence

( I ) ~ ( I I ) comme dans le cas classique (n = 1).

2) Soit q le plus petit entier tel que f t - ~ - l d v ( t ) < oo. Alors si l 'ordre 2

n 'est pas entier, on a q = E(2), partie enti6re de 4.

Si 2 est entier, on a q = 2 - 1 s i f t -~ d r ( t ) < oo, auquel cas v(t) est du

type nul de l 'ordre 4; sinon on a q = 2.

6. Noyau canonique de genre q.

Pour un entier q , q > 0, on se propose de d6finir un noyau en(z,z,q) dans

C n. On suppose a # 0 et l 'on pose

hnCa,z) = II a - z II 2 - 2 n n > X

FONCTIONS ENTI~RES (tl variables)... 375

h l ( a , z ) = - l o g l a - - z I pour n = l . On op6re alors comme darts le cas

classique (n = 1) en d6veloppant h~ au voisinage de z = 0 en s6rie de poly-

nfmes homog6nes

I

h , ( a , z ) = 11 a I1~.-~ + P l ( a , z ) + P 2 ( a , z ) + ... + P , ( a , z ) + . . . .

variables.

Par d~finition, on pose

1 (17) e , ( a , z , q ) = - hn(a,z ) § a

P o s o n s II ~ II

On en d~duit:

(18) h ( a , z ) =

- - + . . . + P , ( a , z ) = - Pq+ l ( a , z ) - Pq+ 2(a,z) . . .

-- II a II , . u > 0. et appelons v l'angle (~,~) dans R2"; on a:

II a - - z }12 = II a II ~ El - 2u cos o + u 2 j .

II a II ' - ~'[1 - 2u cos v + u 2 ] -" +1

a I[ 2-2"[1 + Bx(cos v)u + . . . + B~(cos v)u ~ + ' " ]

oi~ les Bs d6signent les polyn6mes de Gegenbauer; il en r6sulte:

co

(19) e , ( a , z , q ) = - [I a II 2-2" ~, B ~ ( c o s v ) u ' . q + !

On remarquera d 'autre part que l 'on a (n > 1) :

( 1 - 2ueoso + 02) - '+1 = [(1 - ue~~ - ue-i~)] - "+ l

ce qui donne comme s~rie majorante de (19) pour [ u I < 1 :

o o

( 1 - u ) - ~ ' + 2 = X b. .~u ~

avee, pour n ~ 2:

P, 6tant un polyn6me des zj,z-k homog6ne de degr6 s de l'ensemble de ces

376 PIERRE LELONG

b , . o = l , b . , l = 2 n - 2 , b . , , = [ s ! ] - l ( 2 n - 2 ) . . . ( 2 n + s - - 3 ) .

Dans la suite on utilisera les majorat ions, valables pour tou t s > 0, n > 2:

(20) ] B,(cos v) l ~ b,,, .

D ~ f i n i t i o n 3. On appelle noyau canonique, de genre l 'entier q >= O,

de la dimension n, le noyau e,,(a,z,q) ddf[ni par (17) pour n >=2.

S i n = 1, on d6finit de m~me, b. part i r de - h l ( a , z ) = l o g I a - z [ l'.ex-

pression

oft

E ( u , q ) = ( 1 - u ) e x p u + - ~ - + . . - +

est le facteur canonique de Weierstrass de genre q.

7. Majorations du noyaux canonique G(a,z q)

On d6montrera successivement:

Proposition 3. II existe un hombre z = z(n,q), 0 < z < 1, et une con-

stante Cl(n,q) tels qu'on ait pour a # O, u < z, la majoration:

(21) l e.(a,z,q)l <= C,(n,q) II a 11=-2"u q+'

off l 'on pose u = II z l[ (l[ a I I ) - '

Proposit ion 4. II existe une constante f inie C2(n,q) telle qu'on ait

pour u ~_ z la majoration:

(22) e,,(a,z,q) Z C=(n,q)It a I[~-~"u ~

Les Proposi t ions 3 et 4 ent ra inent h leur t eur :

Proposit ion 5. II existe une constante f inie C(n,q), ddpendant de n

FONCTIONS ENTI~RES (/7 variables)... 377

et de q, (q >= 0), q eh t i er , n >= 1 en t i e r ) tel le: qu 'on ai t , que ls que so ien t z et

a, a r

(23) e , ( a , z , q ) < C ( n , q ) l[ a[l z-2~ t[ z II ~+1 = [] a [Is([[ z I1 + [I a l l )"

D ~ m o n s t r a t i o n e t ~ v a l u a t i o n d e s e o n s t a n t e s : a) Lesmajora t i0ns

(2!), (22) sont class!ques pour 17 = 1 (cf. Par exemple, [15], p, 214), Pour:

n > 2, on p0sera:

( , ) 2 , - , (24) z = 1 2 n + q - l . O < z < l

et on aura gt partir de (19) et (20):

] e n ( a , z , q ) [ < II + b, , ,q+: q-; .-]

qui 6tablit la Proposit ion 1 avec

C l ( n , q ) = b.,q+l + b,,,q+2z + "'" �9

En remarquant qu 'on a, pour s > 1, n > 1:

b,,,q+~ <= (2n + q + s - 3) 2n-3

on peut donner la m a j o r a t i o n :

(25) C i ( n , q ) < ( 2 n - 2 + q)2.-2, n > 2

= q 1' q > l . et l 'on sait qu'elle est encore valable pour n = 1, z q + =

b) Passons maintenant au cas u > z e t / t la d6monstration de la Propo- sition 4. On a - h n ( a , z ) < 0; il r6sulte alors de (17), de u > z et de (20):

(26)

e , , ( a , z , q ) < II a 112-2"[1 + b,,,lu + ".. + b,,,qu ~]

e . ( a , z , q ) N ][ a + .b..lz. + .... + bn,qZ']

qui 6tablit (22) avec:

378 PmRRE LELONG

(27) Cz(n,q) = ~-a[1 + b,,,(r +. . . + b,,,~Tq] .

On peut donner de C2(n,q) des 6valuations approch6es de forme plus

simple, mais d 'un int6rSt limit6: les approximations devront 8tre faites pour

les applications directement /t partir de (27), soit qu'il s'agisse de grandes

valeurs de q, n 6tant donn6, soit qu'il s'agisse, inversement, d'6tudier de telles

majorations pour q fix6, (c'est-/t-dire, comme On le verra, pour un ordre de croissance de 0 fix6) quand le hombre n de variables augraente inddfiniment.

En utilisant la majoration de b,.~ donn6e plus haut, on obtient, par

exemple:

(28) r,2,,- C2(n,q) ~_ (q + 1)(2n - 2)qexp "

Elle est encore valable pour n - 1, si l 'on convient de remplacer le facteur

2n - 2 par l'unitd, et majore dans ce cas l'expression C2(1,q) = e + 21ogq,

q ~ 1 donn6e par la th6orie classique.

On pourra aussi, d 'une mani6re plus pr6eise, remarquer que pour n ~ 2, on a l e s deux majorations:

(2n- ~ ] ( inf l ' (2n+ 3)2"-3,(2n 2)~) (29) C2(n,q)<(q + 1)exp [2n ~- q q - --

(29') Cz(n, q) _~ e 2-- 2(2n + q - 2) 2"- 2.

c) La Proposition 5 r6sulte maintenant des Propositions 3 et 4 comme darts le cas n --- 1: (23) s'6crit en effet

(30) e,,(a,z,q) < C(n,q) ~ a II 2-2" u'+ t - I+U

On remarque que pour u_~z, on a 1 + u ~_ 1 +~, et que pour u ~_~, on a

u T , ~_ ~ -- (1 + T - l ) - I l + u l + z

ce qui 6tablit la Proposition 5 avec


(31) C(n,q) = sup[(1 + z)C1 (n, q),(1 + z -1)C2(n ,q) ] .

En particulier pour n ~ 2, on pourra prendre

(31') C(n,q) < 3e2"-z(2n + q - 2) 2"-2 .

8. P o t e n t i e i c a n o n i q u e .

Nous allons construire/ t partir du noyau canonique e.(a,z,q) un potentiel

la(z) convergeant dans C", de mani6re que, ~t ddfaut de l 'dquation

2idzd;I+ = 0

il satisfasse

(32)

c'est-~-dire (32'):

(32')

2id~dil+ A 8,,-1 = 0 A fl,,-I =

AI . # , = .

Le noyau e,,(a,z,q) ne diff~re du noyau - h , , ( a , z ) que d 'un polyn6me

harmonique. On satisfera donc (32)' en formant un potentiel de noyau

e,(a, z, q) et de mesure positive/~ vdrifiant

(2n - 2)c%n_1# = AI+" fin = a

ce qui donne

(n - 2) 1 (33) # = k . . tr avec kn = 4n"

1 1 Si n = 2, on prendra k2 = ~ ; s in = 1, on prendra k I = 2~ ~.

D 6 f i n i t i o n 4. La donnde 0 de courant positif fermd (respectivement la

donnde de Cousin W ~-1) dtant d'ordre fini 2, dans C", on appelle potentiel

canonique (de genre l' entier q) relatif d cette donn~e le potentiel


(34) Iq(z) = k.er. �9 e.(a, z, q) = k. f do'(a) e n (a, z, q)

l'entier q dtant le plus petit entier pour lequel l'intdgrale

(35) f t -qdv ( t )

converge, ok v(t) est l'indicatrice projective de la donn~e; o17 suppose que

le support de la donn~e ne contient pas l'origine.

Propri~t~s du potentiel canonique- 1) I1 est imm6diat que l'int6grale

Iq converge uniform6ment sur tout compact, car on a pour [] z II < R et

lla I1_-__ R ' > R~-I:

f da(a) e n(a, z,q) I[al l>R'

oo

<[izll~+l f d~r(t) = t 2 n - l + q

t~R"

et l'int6grale au second membre converge en m~me temps que (35) d'apr~s la

Proposition 2.

2) !~(z) est une fonction R2"-sousharmonique dans tout l 'espace; en

effetil en est ainsi de l'int6grale ffjall~R,da(a)e,,(a,z,q) qui est la somme d'un

potentiel et d 'une fonction harmonique; il en est donc encore de m~me de

Iq(z), la convergence 6tant uniforme.

3) Ia(z) v6rifie AI, = a, (au sens des distributions) d'apr~s (32'), donc

est harmonique en dehors du support S(0); en particulier Iq est harmonique

Hans une boule II z II < ro ne contenant aucun point du support de 0.

M a j o r a t i o n du p o t e n t i e l e a n o n i q u e . On se propose d'6tablir

l'6nonc6 suivant:

Th6ori~me 1. Soit 0 un courant positi f ferm~dont le support ne contient

pas l'origine et d'ordre fini 2; alors le potentiel canonique associ~ ,~ 0 par

(34) vdrifie (32) et il existe une constante finie A(n,q) de mani~re qu'on

ait la majoration, pour H z II =< r:

FONCTIONS ENTII~RES (n variables). . . 3 8 1

(36) [ ; v(t)dt f v(t)dt] ]q(Z) ~ A(n,q)r q ~ + r tq +2 J .

0 r

Le fait que Iq(z) vdrifie (32) rdsulte de l 'dquivalence de (32) et de (32') et

du choix de la " m a s s e " # definie par (33) pour le potentiel I~.

La majorat ion (36) s 'dtabli t comme pour n = 1: d 'aprhs la Proposi t ion 5

on a la majorat ion suivante, o/1 l ' on pose II z II - - r :

oo

Iq(z) < knC(n, q)r ~ + i f da(t) --~ t q + 2 n - 2 ( t "]- F )

u

Apr~s une intdgration par parties, on obtient pour le second membre

une expression o/l figure a(t) ~ la place de la diffdrentielle dtr; on a

a(t) = z2~ - 2(1) t2"- 2v(t), ce qui permet d 'expr imer le second membre en fonct ion

de l ' indicatrice projective; on obtient :

oo

. . . . r ll/ f at br v t d,] Iq(z) < k,,C(n,q)z2,,_2~l) [tq(r + t)J,o + (r + t)2tq +1 o

avec a = q + 2n - 1, b = q + 2n - 2. La partie intdgrde est nulle

d 'aprbs le choix de q et la Proposi t ion 2. I1 vient donc, en remarquan t

que k,z2,_2(1 ) = [4n(n - 1)] -1 :

(37)

en posant :

oo

f v(t)dt Iq(z) < A(n,q)r q+ l (t + r)tq +1 o

(38) A(n,q) = ( 2 n ) - l ( q + 2 n - 1 ) C ( n , q ) ( 2 n - 2) -1 , n > 2.

S i n = 1, le dernier facteur doit ~tre remplacd par l 'unitd.

A partir de (37), en sdparant les deux intervalles t < r et t ~ r, on obtient

(36), qui est donc valable quel que soit n.


C o m p a r a i s o n d e s c r o i s s a n c e s . Nous poserons

(39) M(t) = sup I~(z) II=ll ~;t

et l[I,,O,t] d~signera la moyenne de I~ sur la sph6re II z I[ = t. La fonction

I~ 6tant R2n-sousharmonique, de "masse" # = knot, on a, d'apr6s le th6or~me

de Gauss:

f A l , d~ = ( 2 n - 2)~o2._dz(t ) = zz._2(1)t2"-~l~gtl(I,,O,t)

II:ll :~ *

quidonne

0o)

On obtient donc:

01 gil[z '~ = v(t).

t

f v(u)du = Ilia,O, t] < M(t) U

0

et:

(40') v(t)log2 ~ l(I~,O,2t) - l(Iq,O, t).

En comparant (39) et (36) ,on obtient:

T h ~ o r ~ m e 2. Le potentiel canonique l~(z) relatif dun courant positif

fermd dans C ~ d'ordre fini 2, et de support ne contenant pas l'origine ales

propridtds suivantes, M(t) dtant ddfini par (39):

(i) v(t) et M(t) sont du mime ordre fini 2.

(ii) Si A n'est pas entier les types de v(t) et de M(t) sont les mimes. De plus o0 oo

les tntdgrales f M(t)t -~-ldt et f v(t)t-~-ldt sont de m~me nature. 0o

(iii) Si 2 est entier et s i f t-~ dv(t) converge (auquel cas on a q = 2 - 1 et o

v(t) est du type nul d' aprds la Proposition 2), M(t) est du type nul de l' ordre 2.

FONCTIONS ENTI~RES ( n variables)... 383

D 6 m o n s t r a t i o n . De (40') on d6duit v(t) < M(2t)(log2) -1, pour t ___ tl,

ce qui montre que l 'ordre L de M(t) n'est pas inf6rieur/i celui de v(t) et que

la convergence dans (ii) de l'int6grale portant sur M(t) entralne celle de

l 'int6grale portant sur v(t).

Dans l'autre sens on utilise (36) pour montrer que l'ordre de M(t) ne surpaslse

pas celui de v(t) et que si 2 n 'est pas entier la convergence de l'int6grale portant

sur v(t)entraine celle de l'int6grale portant sur M(t): la d6monstration est iden-

t ique/t la d6monstration classique (n = 1), et r6sulte dans les deux cas de (36).

Enfin darts le cas (iii), on a d'apr6s la Proposition 2, limv(t)t -~= 0, et ImeO

f v(t)dt < ao. I1 existe alors une valeur a > 0, telle que l 'on air/t la lois, e>0

o

6tant donn6: eo

f v(t)dt _ v ( t )<a t ~ pour t>a et ~<e.

On a alors d'apr6s (36), pour Ilzll = , > a:

r - ' M ( r ) f i , 4 (n ,q ) j t ' + 8 r + 8 . 0

Le premier terme du crochet, a 6tant fix6, tend vers z6ro quand r ~ + oo ;

le crochet peut done ~tre rendu aussi petit qu 'on veut par choix de r assez

grand, ce qui 6tablit (iii).

C o r o l l a i r e . Toujours avec les hypoth6ses du Th6or6me 2, on a:

(4t ) l(ll ,[ , 0,r) ~ 2M(r)

(42) AClI, I. 0.,3 2M(r)

ot~ A d6signe la moyenne sur la boule II z II - , .

En effet I~ 6tant sousharmonique, on a:

384 PIERRE LELONG

0 = lq(O) N l(Iq, O, r ) l(I~,'O, r) - l(I~[, O, r)

1(1~,, O; 19 < l(I~, O, 0 ~ M(r)

l(l!,l,O,r) = l(t~,O,r) + 1(i~ O,r) <= 2M(r),

qui &ablit (41). I1 en rdsulte l(I,;,O,t) < 2M(r) pour 0 _< t _< r, ce qui entraine

(42).

9. Un lemme sur la c o m p l e x i f i ~ e d'une fonct ion harmonique .

Nous aurons besoin de la propri~t6 suivante qui est 616mentaire: une fonc'

tion f ( x l , . . . , xp) harmonique darts R p qui v~rifie une. majoration

If(x,I _~ c II x II* est un polyn6me de degr6 au plus E(s), partie entibre de s;

D'une manibre plus pr6cise on a:

Lemme 1. Soit f(.x) une fonctio ~ harmonique dans.la boule [I x [I < R:

R Cp" sa complexifide f ( X ) est holdmorphe dans la boule II x II <~-~ de De

plus en d6signant par me(r) [respectivernent par re(r)], le maximum de ]fl dans la boule [[ X H < r de C ~, [respectivement dans la boule II x II-- r de RP],

on a, en supposant r'x/2 < r < R:

(43, mc(r ')_~(1 r ' Z ] ( 1 - r'2] - '`z + r 2 I "-ri-] m(r) .

En effet la representation int6grale classique dans la boule II x II < r, soit B:

p r z - Z X ~ t~

(44, / ( x ) = o~; 1(1, J f ( ~ , ~ . - ~ [~r~ ~_ X.3~].;~ do~p(0t)

d6finit aussi la comple xifi6e f (X ) comme fonction holomorphe darts la "cellule

d 'harmonieit6" H(B) de la boule B" H(B) est la composante connexe

(of. [20]) contenant B de l 'ensemble compl~mentaire dans C" de la r6u-

nion des c,6nes isotropes

Z ( X k - r c t k ) 2 ----- 0 #1~1# = 1

oi~ (r~k) parcourt la fronti~re de B. Un calcul simple montre q u ' o n a

FONCTIONS ENTIf:RES (n variables)... 385

[ ~ (Xk-- rct,)2[ > IRe ~ ( X , - rCtk)2J > (r-- r 'cost~) 2 -- r '2 sin2r

oh I'on a pos6 ]lx]] = ]]X l l c o s r r ' c o s r IIX]I = r ' < r~/2.

II en rdsulte

!. 2

(45) [ ~" (rttk -- Xk)2[ ----> -~- -- r'2"

La complexifibe f ( X ) est donc holomorphe dans la boule [Ix II--< r ' tant

qu 'on a r 'x/2 < R, et la minoration (45) donne (43).

En particulier pour r' = �89 r, on a:

C o r o l l a i r e . a) Si f ( x ) est harmonique dans 1~ p, on a

mc(r ) ~ 54~/2 m(2r).

b) Si l'on a If(x)[ =< c II x I1', la complexifi& f ( X ) v#rifie

I I:(x) II -< c'll x II"

avec C ' = 5.2 "-p-2 C.

II en rdsulte que f est un polynbme harmonique dont le degrd ne surpasse

pas E(s).

10. So lut ion loca le du Problbme B.

L'existence d 'une solution locale de (1)sur une varibt6 analytique complexe

relbve de thbor~mes gbnbraux: 6tant donn6 un germe de courant ferm6 de

type (p, q), il existe une solution Vde l 'bquation (1) qui est un germe de courant

de type ( p - 1, q - 1), (cf. ['5]). On donnera toutefois, pour 8tre complet, une dbmonstration directe, sous

la forme suivante:

Proposi t ion 6. Si 0 est un courant ferm6 positif dans la boule H z II < R, il existe une fonction plurisousharmonique V solution de

(I) 2id, d;V = 0

dans une boule concentrique [[ z [I < kR.

386 PIERRE LELONG

Soit B la boule compacte I] z }] =< R~ < R; consid6rons la restricl~a ~ B

de a = AV.//., d6finie par (32), et la mesure/~ = k.a, d6finie par (33), de mani&r

que si l 'on pose

on ait

U~(z) = f dlt(a) h.(a, z)

- A U ~ . ]~ . = a = A V ' ] ~ sur B

On a alors en posant H = V+ U ~:

A H = A ( V + U ~ ) = 0 sur B.

Explicitons d'autre part

(46) 0 = 2i ~: tp ,dzpAd~, .

I1 reste h d6terminer au voisinage de l'origine la fonction harmonique

H = V + U ~.

D'aprbs (1) et (46), elle v6rifie le syst~me (au sens de~ e o u r a l ~ et d ~ distributions):

8e H ~2 U a, (47) OzpOY,~ tp~ + Ozt, Oy.2 hp;

Or hp; fin est une distribution v6rifiant Ahpl = 0; ello s'ideatilir ~laQfoa~ti~

harmonique. On est donc ramen6 h la r6solution de (1), oi~le s~ont l malabr~

est une forme diff6rentielle ferm6e 2i ~ hp~zp A d~;, ~ ~cdi~i~l~ , l la l l t i~ i -

ques dans une boule II z II - R2, R2 < R, < R. On p o ~ r , ~ U ~ - ordonn6es xk,x,+.: zk = x~ + ixk+., ~,~ = xk - ix,+. sur C~= R 2~. Les hp;

consid&6es comme des fonctions des x j, 1 ~_j ~ 2n- oat d ~ c m ~ 7 ~ l l ~ s

R2 holomorphes dans la boule B': II x H < ~ S de C ~'. On po~er~ to~jo~

Zk = X~ + iXk+. et Zk+~ = Xk - Xk+,, X, 6tant la complexifi~e de x,.

La fonction

FONCTION$ ENTI~RES (n variables)... 387

2 [ Z k , Z k + . , t , t ' ] = ~, hp;(Zkt,Zk+.t')ZrZ.+. p o.~"

est holomorphe darts B' et l 'on a une solution de (47) sous la forme:

1 I

H(Z~,Zk+n) = f at f ~.(Zk, Zk+n,t,t')dt'. 0 0

1 , R 2 Un calcul simple montre que si Zes t pris dans la boule ~- B : II X II < ~ , le

point (Zkt,Zk+~t'), 0 < t < 1, 0 < t' ~ 1 demeure dans B'. I1 en r6sulte que

H est holomorphe dans la boule {[ X I[ <2.-~2, et v6rifie (47)sur l'intersection , v

de cette boule avec le sous-espace Zk+~ = Zk. Finalement la Proposition 6

est 6tablie en prenant, par exemple, k =�88 R z et R~ 6tant suffisamment voisins

de R. La fonction V= H - U ~ est 6videmment R2n-sousharmonique dans

la boule t[ZI[ < kR; elle v&ifie les conditions (I), (II), (Ill) rappel6es au

w 4; elle est doric plurisousharmonique.

11. Th6or6me principal: Nous d6montrerons maintenant le r6sultat

principal:

Th6orb.me 3. Le potentiel canonique I~(z) relatif ~t un courant positif

ferm~ 0 d'ordre fini 2 dans Cndont le support ne contient pas l'origine est

une Jonction plurisousharmonique dans C'.

D~monstration. Par construction I~(z) v~rifie l'~quation

(32) 2id, d;I~ A tin-1 = 0 A f l , - l .

On va 6tablir qu'il v6rifie aussi l'~quation

(1) 2id, d;I~ = O,

ce qui suffira ~t montrer que Ig est plurisousharmonique. En effet, Iq &ant

R2"-sousharmonique v6rifie les conditions (I), (III) rappel~es au w 4; il

suffit done de montrer que 2id, d i I~ est un courant positif fermd, ce qui r~-

sultera de (1).

I1 existe d'apr6s la Proposition 6 un recouvrement localement fini de C"

388 PIERRE LELONG

par des boules ouvertes U k de mani~re qu 'on connaisse une fonction Vk pluri-

sousharmonique dans Uk et solution de:

(48) 2idzdzVk = 0 dans U k.

Posons:

H k = Is(z ) - Vk(z).

D'apr~s (48), on a, en utilisant (32) et (32')

AHk " ft. = 2idzd~(lq - Vk) A f l . - i = O.

Les H k sont donc harmoniques; oil consid6rera alors dans chaque Uk la

fonction :

~2Hk -- DV';[ ls - VI,] (49) A i d ' - OZpO~,s

ot't l 'on pose D v ' ; - 02 Ozv O~,~"

On a alors:

Proposition 7. Les fonctions AP';dans Uk d~finissent une fonction A p';

harmonique dans C". En effet, en supposant Uk C~ Uj # r on a, d'apr~s (48).

A~ '~- Ay';= DP'~(Vy - Vk) = O.

D'autre part, si l 'on consid~re les fonctions AP' ;pour 1 =< p, s <='n, on a:

Proposition 8. Si q >2, les fonctions A p's s'annulent ~ ['origine

ainsi que leurs ddrivdes d'ordre m < q - 2.

En effet, on peut prendre dans le recouvrement {U~} une boule {Uo} de

centre l 'origine, la fonction Vo correspondante 6rant la constante nulle dans

Uo, U o n e rencontrant pas le support S(O). On a alors AP';= DP';Is dans

Uo. Or, par construction Is(z) a ses d6riv6es, jusqu'~t l 'ordre q compris, nulles

/t l 'origine.

Proposition 9. II existe des constantes C~,,,Cp ~finies et positives telles

que AP';(z) vdrifie pour [[ z II <- r la majoration:


? (50) [A"Z(z)] < r-2fCp,sv(2r) + Cp,~M(2r)]

o~t M(r) est ddfini par (39).

D 6 m o n s t r a t i o n . Nous partirons de (49) et proc6derons d 'abord ~ une

r6gularisation des deux termes de la diff6rence qui figure au second membre

de (49). Darts ce but on utilisera un noyau ~l(z) = ~(r) ne d6pendant que de

[I z I[ = r ; o n suppose de plus qu 'on a ~l(Z)~ O, que le support S(~ , )es t

la boule ][ z [] __< 1, que ~ (z ) est ind6finiment d6rivable, et v6rifie:

f ~(z)fl.=~o2~_~(1) f O(r)rZ"-~dr= l.

On d6finit par homoth6tie une suite c~p(z) de noyaux:

O~p(Zl,...,Zn) = ~ l ( ~ .." ~)p-2n

qui poss~dent encore les mSmes propri6t6s, notamment f%(z)f l . = 1, mais

dont les supports sont les boules [I z l[ < P, et l 'on donnera ~t p des valeurs

augmentant ind6finiment.

On pose:

On a alors:

(51)

Mp, ; = sup[ DP" ~z~(z) I .

- �9 I - 2 n - 2 1 D'%(z) l _-< M ,;p

Utilisons Ctp comme noyau de convolution, en remarquant que A p's n'est

pas modifi6 par cette convolution, % ne d6pendant que de II z II, (on utilise

la propri6t6 d 'une fonction harmonique d'Stre 6gale en Zo A sa moyenne

sur les sphbres de centre Zo). D'apr~s (49), on aura:

A p's= DP'sIq - D p' Vk

A p ' ;= AP'~*ep = (DP';Iq)* % - (DP';Vk)*ep = $1 - $2.

390 PIERRE LELONG

Dans ces conditions $1 et $2 sont des fonctions dr S~( z ) , S2 ( z ) . On

vales majorer successivement:

S~(z) = F(Dn';Jq).%]~ = [Iq . DV'~%]~ .

D'apr& (50, on a:

ISl(z)[ < Mp sp - 2 n - 2 f FJq(z 4t'u)lfln(U ). II"ll <p

soit II z II = ,': on majore rint~grale au second membre par rint~grale de

I Iq[ &endue ~ la boule B(O,r + p) de centre l'origine, de rayon r +p. De plus,

on prendra:

p = kr .

On a alors d'apr6s (42), pour [[ z[[ = r

I Sx(Z)[ < Mv,;(kr) -2"-2 x 2 m [ ( k + 1)r] x r2.(1) x (k + 1)2"r 2".

On prendra p = r, k = 1, ce qui donne:

(52) [ S~(z)[ __< r - 2 C ' , , , ; m ( 2 r )

!

avec Cv,; = 2My ]z2n(1)22".

Majorons maintenant S2(z), en utilisant le fait que, par contruction, on a

2idzd;Vk = 0 = 2i X t v A d z " A d~s �9

La distribution D p' s Vk a donc pour valeur tv,; fl, = Tp, , et l 'on a:

S2(Z ) = - - T;,; F%(z - u)] .

Majorons Tv,- ~ qui est, en fait, une m e s u r e (complexe), d'apr~s (8), enap-

pliquant la Proposition 1 (ici interviennent explicitement les majorations

d 'un courant positif en fonction de la trace a, et le fair que les Tp,;sont des

mesures). On aura, d'apr6s (8):


1 II T,.~ 11o - ~- II ~ I1o

sur tout ouvert D. Posons d'autre part Mo = sup I ~l(z)I.

1 f d~(~)%(~ - u) < II ~ II" MoP- I s~ (~) l _~ ~- 2n

au second membre, figure la mesure a port~e par la boule B(z, p).

P o l o , , , comme plu~ haut II ~ II = r, P - - r et majorons par la mesure a(2r).

p o r t ~ par B (O,2r), On aura, en remplar a(t) en fonction de l'indicatrice

projective v(t), selon (14):

(53)

a v e c

[ S2(z)] _~ Cp,;r -2 v(2r)

Cp.; = 22n-2Moz2n_2(1 ).

La Proposition 9 et (50) r6sultent alors de (52) et (53).

D~monstrat ion du T h 6 o r 6 m e 3. Ilsuffit d'apr6s (49) de d6montrer

qu 'on a, pour tout couple p,$:

A/" ;(z) -- 0.

I! en r6sultera en effet qu 'on a dans chaque Uk:DP';Iq = DP';Vk, ce qui

entralnera:

2~idzd;Iq = 2id~d~Vk = 0 ,

dans chaque Ua.

Or d'apr~s la Proposition 9 et le Corollaire du Lemme 1, w A p' ' est un

polyn6me, et, d'apr~s le Th6or~me 2, w 8:

degr6 A p'; ~ E(2 - 2) si 2 > 2.

Distinguons alors plusieurs eas:

392 PIERRE LELONG

a) Si it < 2, (50) mont re que A p'; tend vers z6ro quand II z II- + ; A",

&ant une fonct ion harmonique , ceci entraine Ap.; = 0.

b) Si 2 > 2 et si l ' on a q = E(2), on a degr6 A n ' - < q - 2, tandis que A n' ; a

d ' au t re part ses d6riv6es nulles ~t l 'or igine jusqu' / t l 'o rdre m < q - 2. On a

donc A p'; = 0.

c) Si it > 2 est entier et si l ' on a q = 2 - 1, v(t) est du type nul et d 'apr~s

le Th6or~me 2, (iii), M ( r ) est aussi du type nul ; on a donc : [ aP ' ; (z) I < e(r)r ~- 2,

off e(r) ~ 0 quand r---} + oo. Si 2 = 2, cette in6galit6 montre encore que

AP'S(z) ~ 0 quand [1 z II- + oo; on en d6duit A p ' ; = 0. Si it > 3, on en d6dui t :

degr6 A P ' ; < i t - 3 = q - 2, et la nullit6 des d6riv6es h l 'or igine juw

l 'o rdre m < q - 2, donne encore A p'; = O.

Finalement, les polyn6mes A p';, 1 < p, s < n , sont tous ident iquement nuls

et l ' on a:

2 i d ,d ; Iq = O.

Iq est donc une fonct ion plur isousharmonique et est solution de l '6quat ion

(1) dans tou t C ".

12. So lut ion gfin~rale du Probl~me B. Soit V(z) unesolut~on de

(t) . On a:

d f l , ( V - Iq) = O .

D o n c V = Iq + H, off H est une fonct ion plur iharmonique. Si H est d ' o rd re de

croissance infini, il en est de m~me de V. Si H est d ' o rd re de croissance finie

it', alors, d 'apr6s le corollaire du Lemme 1, w c 'est un polyn6me et it' est

entier. De plus on a: ordre de V =< sup(). ,) . ' ) et ordre de V = sup(,Lit ' ) si

it # it'.�82

D o n c :

a) si v(t) a un ordre de croissance 2 non entier, les solutions Vde l '~quation

(1) sont toutes d ' o r d r e au moins it. Celles qui sont d 'o rd re it sont de la forme

v = I , ( z ) + P~(z)

FONCTIONS ENTI~RES (r/ variables)... 393

off Pq(z) est un polyn6me pluriharmonique, partie rdelle d 'un polyn6me des

zk seuls, qu 'on exprime au moyen des ddrivdes de V/t l 'origine [q = E(,~) < 2].

1

Les solutions d 'ordre 2 ' > 2 ont un ordre 2' entier et sont de la forme

(54) V = Iq(z) + Pq(z) + Pi(z)

off P](z) d'aprds le corollaire du Lemme 1, w est un polyn6me. Etant

pluriharmonique, il est la pattie rdelle d 'un polyn6me arbitraire des z I seuls,

somme de polyn6mes homog~nes des degrds q + 1, ...,2.

b) Si v(t) a un ordre de croissance ). entier, toute solution V de (1) est soit

d 'ordre de croissance infini, soit d 'un ordre de croissance 2' entier avec2' ~ 2.

En effet, pour une fonction V(z) plurisousharmonique, on a, si l 'origine

r/ 'appartient pas au support de dzd~V:

0 - --1(v, 0, r) v(r) c~log r

r|

v(t) dt (55) ;~(v,0,r) = v(0) + /

J t 0

qui montrc que M(r) > l(V,O,r) cst au moins de l'ordre de v(r); donc 2' __> 2.

Commc plus haut, (54) donne l'cxprcssion dc la solution gdndrale d'ordre

fini dc (I). Dans tousles cas on peut dnonccr:

, T h d o r ~ m e 4. Le potentiel canonique lq(z) est une solution du Probl~me

B qu i est du plus petit ordre de croissance. Les solutions V d 'ordref in i ne

different de Iq(z) que par l'addition de la partie rdelle d'un polyn6me des

variables zk seules, dont le degrd ne surpasse pas l' ordre de V. Toute solution

ne:diff~re de Iq(g) que par addition de la partie rdelle d'une fonction enti~re.

13. S o l u t i o n du P r o b l 6 m e A et d i v i s i b i l i t 6 des f o n e t i o n s e n t i i ! r e s .

Soit 0 le courant positif fermd construit dans C" /t partir d 'une donnde

de Cousin W " - I = {Uk,f ,} , et ddfini par:

(-3) 0 = iTr-ldzd~'log[fk]


dans U~. On suppose 0 d'ordre fini 2 et l'origine ext~rieure au support S ( W ' - ~). On obtient alors:

Th~or~me 5. 1. Si la donn~e de Cousin W ~ - l = {Ut,fk} dans C" ne contient pas rorigine et si W ~-1 a une indicatrice v(t) d'ordre fini 2, il existe une fonction entiJre F o d'ordre 2, telle que W n-I = {F = 0}, et

ddfinie par

(56)

log[ Fo(z ) I = 2hie(z) = k~ f da(a)e,(a, z, q) = I~(z)

logFo(z) = 2k'fda(a) fd, e,(a,z,q)= 2 fd, o o

( n - 2)! s i n > 2; k,~= 1 si n = 1; a est l'aire sur Wn-l; Oz est un oi: k" - 2n~--------i- -

chemin compact allant de 0 ?: z sur l'ensemble C ' - Wn-l; q, genre du

potentiel canonique est pris ~gal au plus petit entier tel que l'intdgrale

ft-qdv(t) converge.

2. On a pour la solution Fo du probl~me de Cousin la majoration

(57)

l, O0

. ~[ [" v(t)dt f v(t)dt] log lFo(z ) [<A ' (n ,q ) r [ j ~ + r J t~+2 j

0 r

oit A ' (n ,q )= 2rcA(n,q) est donnd par (38).

3. Fo(z ) est du m~me ordre fini 2 que v(t) (et du mime type si 2 n'est pas

entier); toute fonction enti~re F(z) nulle sur W ~- t e s t divisible par Fo(z) et

d'un ordre de croissance au moins dgal d 2.

D ~ m o a s t r a t i o n . Tout d'abord, dans un domaine U~, on a (55) et:

2idzd~I~ = 0 = i~- 'dzd; log [f~[

e, dd2 I, - log If, I) -- o .

La fonction 2nl~ ne diff~rr doric de log [f~ I que par une fonction plurihar-


monique dans Uk; en particulier elle est une fonction pluriharmonique uni-

forme en tout point de C " - W "-1. Montrons que 2nI~ s'~erit loglFol, Fo holomorphe. Remarquons que si G = A +iB est holomorphe, on a

dig = d,C = 0, ce qui donne d , A - id~ B = 0, et:

dG = d~G = 2 d~A.

Si donc 2nlq(z) est de la forme log] Fo(z) [ = A, et si G = A + iB =log Fo(z),

la diff6rentielle d G a pour valeur

dG = d l o g F o = 2d, A = 2d, I;

et logFo(z) est donn6e en tout point z r W "-1 par la seconde formule (56).

La diff6rentielle d z peut ~tre 6chang6e avec l'int6gration par rappor t / t da(a) par suite de la convergence uniforme de l'int6grale sur tout compact. Reste

6tablir que si l 'on remplace un chemin compact l = 0z par un autre chemin

compact l ' = 0z, les r6sultats obtenus diff6reront d 'un multiple de 2in. I1

suffit pour cela d'6tablir que

2 f d,Z;(z) = 2i~N 7

Nentier, pour tout cycle ferm6 ?. L'ensemble C ~ - W"- t 6tant localement con-

nexe par arc, il suffit d'6tablir la proposition quand ? appartient ~ un U~ et

est la fronti~re d 'une vari6t6 ?' appartenant/t U k. Or on a dans Uk d'apr~s (55):

(58) - log If l) = o

qui entraine:

2 f dj;(z) = 2f; ddJ~(z) = - 2 f d,d fl~(z) 7 7' 7'

= - 2 f df l; log[fk]= 2 f dd, log]fk]= 2 f d~log If~ ].

7" 7' 7

Or, fk 6tant holomorphe dans Uk et logfk ~tant holomorphe sur ~,, on a :


2 f d~Ioglf~[ = f dlogA=2izN, N entier, ) ,

qui 6tablit la propri6t& Donc:

F o - - e 2 ~ r o .

est une fonction uniforme sur C~ - W~-k Elle y est holomorphe. En effet

G = l o g F o l 'est au voisinage de tout poin t z o ~ W n-~, car, dans U k, au

voisinage de z o, on a fk ~ O, ce qui entralne:

d O - - 2 d : ;

= - 2d=d=Z : - 2d d; og Irkl : 0

Finalement Fo(z) est uniformr dans C n, s 'annule sur W n- t, est holomorphe

sauf peut &re aux points de W n-1. Mais Fo(z ) demeure born6 au voisinage

de tout point de W n- l . Donc d'apr~s un th6or~me classique de Riemann,

Fo(z ) est ho lomorphe dans C ~.

Le 2. r6sulte du Th6or~me 2 et de la majorat ien du potenticl canenique

l~(z). Le 3. s'6tablit ainsi: F(z) s 'annule sur W ~-~; I 'ensemble F = 0 est la

r6union de W ~-1 et d 'une autre donn6e de Cousin W~ -1. En effet, si z o ap-

partient h IF = 0] et non ~ W ~-1, il existe un voisinage de Zo dans lequel

W~ -1 est d6fini par F = 0. Si Zo appartient 5. W ~-~, F = 0 est 6quivalent

un pseudo-polyn6me n dans un voisinage U de Zo; alors 14: n-~ est d6fini

par un pseudo-polyn6me n' qui divise ~ e t le quotient n~ = n n ' - ~ est un

pseudo-polyn6me (toujours avec la m~me variable distingu6e)et n~ = 0 d6finit

W~- ldans un voisinage de z o. Si W ~-1 = (Uk,fk}, O11 a ainsi W~ ' - z = {Uk,Ffk I ) oi~ Ffk -1 est holomorphe, 6quivalent ~t ~ au voisinage de z o.

Alors si F~(z) est la solution "min ima le" du probl6me de Cousin relatif

/~ W'~ -1 d6finie selon le Th6or~me 5, 1, on a, h(z) 6tant enti6re,

F(z) = F'o(Z) Fo(z) e htz)

ce qui 6tablit la premi&e partie de 3. Si de plus v(t) et vl(t) sont les indications relatives ~ Wet ~ 14:1, on a

FONCTIONS ENTIERES (n variables)... 397

~(t) = v(t) + vl(t ) > v(t)

ordre ~(t) > ordre v(t) = ~..

L'ordrc de log I F(z) I est au moins 6gal b. l 'ordre de ~(t), d'apr~s (55). Donc

log I F(z) Iest d'ordre de croissance au moins 6gal/t 2, ce qui 6tablit la derni~re

partie de 3.

C o r o l l a i r e . A partir de (57) 072 obtient pour M(O=suplogllFo(z) I Ilzll<t

les propridtds ~nonc~es au Thdordme 2.

R e m a r q u e . La solution Iq (Probl~me B)--respectiv(ment Fo (Prob-

l~me A)---est caract4ris4e en posant V = Iq, respectivement V = l o g [ F o l ,

par les propri6t6s suivantes:

a) si q = E(2), V e s t d 'ordre ;t et s 'annule ainsi que ses d6riv6es d 'ordre

m < E(;t) ~ l 'origine.

b) si q = 2 - 1, V est d 'ordre 2, du type nul, et s 'annule ainsi que ses d6ri-

v4es d 'ordre m < ;t - 1 b. l 'origine.

13. Cas p a r t i e u l i e r s . 1) Supposons d 'abord donn4e une vari6t6

alg6brique P~(z) = 0 oia Pm est un polyn6me de degr6 m. Alors on a

(59) loglP~,(z) I = l o g l P ( 0 ) [ + k'~ &r(a) [I a - zll 2"-2 + 11 a 112 --2

r4sultat qui complSte ceux donn4s dans I-8-1,

Remarquons que, mSme dans ce cas, la repr6sentation se fair au moyen

de I~(z) = k" f dtr(a)en(a,z,O) pal" une intdgrate s i n > 2. L'indicatrice v(t)

tend vers le degr6 rn quand t ~ + oo, cf [-8-1.

La repr4sentation (59) s'applique aussi aux donn6es de Cousin (~t crois- oo

sance lente) pour lesquelles j" t -~dv ( t )< oo. 0

2) Supposons maintenant la donn6e W n-1 d 'ordre un, alors on a

[. t-2dv(t) < oo et l 'on prendra en g6nSral q = 1 (ce sera toujours le cas si

le type de v(t) n'est pas nul. Darts ces conditions on aura pour la solution F o

du probl6me de Cousin:

log I Fo(z)] = k" I da(a) et(a, z, q)

avec W


e ~ ( a , z , q ) = - I [ a - z l [ 2 - 2 " + l [ a l l 2 - 2 " [ 1 + ( n - l ) Za,_~ + Z,~,,fi] li a Ii 2 ]

M. L e s r e l a t i o n s d ' o r t h o g o n a l i t ~ . Un des r~sultats de notre ~tude

est le suivant. Soit d'apr~s (18):

oo

11, - z U 2-2" = IL a II 2-2 . ~: ~ ( c o s v).~ = z P~. 0 0

o . p o ~ e . = II~ I[ IL a II-~, P. est u . polynSme homog~ne de d e y ~ total de t'ensemble des zt,f./. On a:

P, = I1 ~ ll*lL a li -*-2"+2 B~(cosv).

Pour z appartenant R u n compact, soit I[ z H < R,

(60) Js(z) = k,,~ra * Ps(z, ~., a, ~) = k n f Ps(z, ~., a, a-) da(a)

converge uniform6ment, ear en d6signant par Ms une majoration en module

du polyn6me Bs(x), pour I xl ~ 1, on a:

I e ,I - Ms Rs II a II-s-2"+2

l'int~grale J , est major~e ~t partir de

oo

R s ft-,-2.+2da(t) 0

qu,i converge pour s > q + 1.

On a alors:

TheorY.me 6.

1) Soit P~(z,Y.,a,a-) le polyn~me homog~ne de degrd s (par rapport ?t

rensemble des zk,s obtenu en d~veloppant pour a ~ 0 le noyau fondamental

FONCTIONS ENTI~/RF~ (n variables)... 399

[ a - ~ ~ , - 2, au ooisinage de l' origine z =O. Chaque intdgrale J,(z) donnde

lair (60) QI obteaue comme produit de composition de P~ avec la masure "trace" d'un courant positif fermd O, donnd dans C", et de support ne con-

tenant pas l'origine, est pluriharrrwnique etpartie r~elle d'ur~ polyn~me

Iloraogirte des z~, de degrd s. En r si l 'on d6veloppe le potentiel canonique lq(z) relatif/ t 0 en s6rie

de polyn6mes homog6nes T, au voisinage de l'origine, on a

(61) J,(z)=T,(z).

Mais le support S(O) ne contenant pas l'origine, d,d;Iq et par suite d~/;T~

s~amluleat darts tree boule eontenant l 'origine; T, est done un pol~n~ae

l~mfiharmooique et (61) 6tablit l'6nonc6.

C o r o l l a l r e . 1) Soient P,,p,~ les polynOmes homogdnes de degrd s - 2,

d~rivdes de P, par rapport d un, variable zp e ta une variable ~,,,.

Alors on a pour s ~ q + 1,a ~ p, m ___ n, et (z ,g)appartenant/ t un voisina-

ge de l'origine:

J~.p,.--(z,~) = f a~(a) P,,p,.--(z, ~, a, a') --* 0 . ,I

2)D6signons par a~ )'~') le coefficient du mon6me z 'x ' . . .z~' . . . :[ t , ~

dans J , : ~E rt + ~t~ = s. Alors on pourra encore 6crire les relations d 'ortho-

8onalit6 donn6es en annulant.

a~"~ 0, lrl + l t l = s ~ q + I

pottr tousles arrangements (r),(t) oil l 'on n 'a pas (l) -- 0 ou (r) = 0. Elles 6quivalent aux conditions:

f da(a){D~X)'(~'ll a - z I]2-2"} z--o = 0 .

pour + q + t, Ixl o,

15. E x t e n s i o n des t h~o r~mes de L i n d e l i i f . Faisons une remarque pr~lalal~le qui r en l'6Jaon~ suivant.

4 0 0 PIERRE LELONG

Lemme 2. Si Pt(xl , . . . ,x,~) est une famil le de polyn6mes pour lesquels

le degrd est borne par un nombre fixe s, il est Equivalent de dire que les

coefficients de Pt ont en module une borne supdrieure finie ou d'~noncer que

[ Pt(x)l est bornd sur tout compact de g m inddpendamment de t.

On peut supposer degr6 Pt = s, certains coefficients pouvant &re nuls. Pour

un polyn6me q(x) d'une variable, v6rifiant [q(x)] < M pour Ix [ --6< 1, x r~el,

il est bien connu que le complexifi6 q(X) v6rifie

I q(X) I __< M(a + ~ + 1) < M(1 + 2a)

dans le plan complexe ii l'int6rieur du cercle IX] < a. Si donc on a

____ M pour Ix, l _-< 1, x, r6els, le complexifi6 e , ( x i , ' " , X m ) ;

v6rifiera

[ P, I < M(1 + 2a)"

pour sup [ Xk ] _--< a. I1 en r6sulte (par exemple ~ partir de l'int6grale de Cauchy) une majoration

en module de tous l e s coefficients de Pt par des nombres ind6pendants de t.

Dans l 'autre sens l'6nonc6 est 6vident.

Soit d'apr~ s (17), Ps(a,z) le polyn6me homog~ne de degr6 s des (zi,;~j)

dans le d6veloppement de [] a - z [12-2n au voisinage de l'origine z = 0. On

suppose a # 0. On a alors:

TheorY.me 7. Soit 0 un courant positif fermE (ou une donnEe de Cousin)

de support ne contenant pas l'origine et d'ordre entier 2. Pour que le po-

tentiel canonique Ir associE soit du type fini de l' ordre 2, il faut et il suffit

que:

a) v(t) soit du type moyen ou nul (c' est-a-dire de type fini)

b) les polyn6mes

(61) QR,x(z)= k~ f dtr(a)p~(a~z)

Ilall __.R

forment une famil le bornEe en module sur tout compact quand R ~ + 60...

FUNCTIONS ENTIf~RES ( n variables)... 4 0 1

D6mons tra t ion . Consid6rons plusieurs cas:

1) Suit q = 2 - 1. Alors en se reportant h l'expression de Ps, donn6e par

(18), on a

Px(a, z) = B~(cos v)II z II 411 a II-2,§ 2 - x

oo

et on voit que la convergence de l'int6grale f t-Xdv(t) , qui entraine celle 0

oo

de f t -2n+2-J'dtT(t) a pour cons6quence la convergence absolue de l'int6grale 0

qui figure dans (61); les polyn6mes QR.~, de degr6 2, forment donc une famille

born6e en module sur tout compact et b) est r~alis6. D'autre part v(t) est

du type nul de l 'ordre 2. L'enonc6 est donc 6tabli si q = 2 - 1.

2) D'autre part si Iq(z) est du type fini de l 'ordre 2, v(t) est aussi, d'apr~s

(40'), du type fini de l 'ordre 2.

3) Dans ces conditions on va majorer la diff&ence

D(z) = Ix(z) - QR.x(z)

pour les valeurs z v6rifiant II z II = R. On a d 'abord

~(z) = go ~ d~(a)en(a,z,~- 1) + kn ~ d~(a)e~(a,z,~) = I1 + I2. r

Ilall _R I!atl > R

En se reportant/t la majoration (23) du noyau e,(a, z, q), on a:

R

11 < k~C(n,2 - 1)11 z Ilx_f t-2~+a-x(t + II z II )-1 da(t). 0

En particulier pour II z II = R, on obtient, apr6s int6gration par parties ct

remplacement de a(t) en function de v(t);: R

(62) It ~ Csv(R) + C6 Rx-t J t -X- tv( t )dt .

rO


De mSme on aura pour II z ]1 = R, en d6signant toujours par C~ des valeurs

num6riques ind6pendantes de R:

(63) 12 ~_ k .C(n ,A)R x+l f t R

-2n+2-x(t + R)-lda(t).

D'ofa pour H zl[ = R:

R 00

(64) la(z) - QR.x(z) ~_ Csv(R ) + C6 R x - I f t-~-xv(t)at +cTRx+' f t - x - ~ ( t ) a t .

to R

I1 en r6sulte:

P r o p o s i t i o n 10. (I) Si v(t) est du typc fini de l 'ordre entier 2, on a pour

II z I1 = R

(65) O(z) = Ix(z) - QR.x(z) <= c s g x.

(II) Si v(t) est du type . . I de l 'ordre entier 2, on a pour 1] z 11 = R

(66) D(z) = Ix(z) - QR,x(z) ~_ 8(R)R x, e(R)---} 0 quand R--} + oo.

Pour 6tablir (1"), on remarque que si v(t) < K t x, le second terme au second

membre de (64) est major6 par C 6 R X - I K I o g R = o(RX), les deux autres ro

termes 6taut O(RX).

Pour 6tablir (II) on remarque que si v(t) <el(t) t ~ les deux premiers termes

au second membre de (64) sont aussi o(tX), cependant que le dernier terme co

est major6 par CTt~I(R)[ f t - 2dt]R x + t = ~2( R)R ~, off ~k( t) -~ 0 quandt ~ + ~ . R

4) Revenons alors ~t la d~monstration du th~or~me. Si les Folyr,~mes

QR,a(z), homog~nes de degr6 2, sont major,s en module sur tout compact (par

exemple par K pour I Iz l l - - 1), on a:


IOR,~(z)[ _ K R x

pour II z II =< g et (65) nous donne pour I[ z [1 = R:

Ix(z ) < KR x + c s g X = O(R z)

qui 6tablit que Ix(z) est du type fini de l 'ordre 2 lorsque les conditions a) et

b) sont v6rifi6es.

5) Dans l 'autre sens, montrons que si I~(z) est du type fini de l 'ordre ),

la condition b) est v6rifi6e, la condition a) l '6tant d6jh, ainsi qu'on l 'a vu au 2).

Posons Q~,x = - QR,z:Q~,a est un polyn6me harmonique de degr6 2 et

d'apr~s (65) v6rifie pour Ilzl[ = R:

, < Q~,~ = CaR z - Ix(z).

I1 en r6sulte, en consid6rant la moyenne l(lk, O,t) sur une sphdre de centre

l'origine, de rayon t:

t + /(Qa.a,0, R) <- CaR x + l(I;-,O, R).

Or on a, I~ 6tant R2"-sousharmonique et nulle h l'origine:

l(I;, O, t) <= l(If, O, t) <= M(t) = O(tX).

I1 en r6sulte:

I(QT.,,O,R) < CgR x

Mais Q.~+~ est une fonction harmonique nulle b. l'origine. On a donc:

ItrV+,~R.x, O, R) = I(Q~.~, O, R)

qui entraine pour [[ z [[ = R:

P 0 -h- /(IQR,x], ,R) I(]QRxl,O,R) < 2C9 Rx

et, puisque QR x est homog~ne du degr6 2, on a pour II II = 2

(67) I(1Qa.a[ ;0,2) < 2 X + 1 c 9 .

404 PIERRE LELONG

QR,a est d 'autre part une fonction harmonique: la repr6scntation int6grale

(44) donne alors ~t partir de (67) une majorat ion de [QR, I indfpendante de

R, sur la boule unit6 II z 11 = 1, aes polyn6mes QR,x sont donc born~s en module sur tout compact , ce qui ach~ve la d6monstration du Th6or~me

7(2).

On en d6duit:

Th6or6me 8. Une fonction entikre F (et plus g~ndralement une for, c-

tion plurisousharmonique V dans C") d'ordre fini entier 2 est du type fini

si et seulement si on a:

(68) v(r) = O(r ~)

et s i l a condition b) est v~rifi~e, tret v dtant les indicatrices associ~es aux

zdros de F (ou dans le second cas au courant O= 2idzd y ) . On suppose de plus

que l' origine n" appartient pas aux zdros de F (respectivement au support de 0).

D 6 m o n s t r a t i o n . I1 suffit 6videmment de faire la d6monstration pour

une fonction plurisousharmonique V, et de particulariser 6ventuellement

2 ~ l o g [ F I = V.

Soit Iq(z) le potentiel canonique associ6 ~ 0 = 2idzd~V. On a

(69) V = Rep(z) + l~(z)

ofa p(z) est un polyn6me des z k. On a donc:

ordre de v(t) = ordre de lq = 2' < 2.

Si 2 ' < 2 , on a q < E ( 2 ' ) < 2 - 1 , ce qui entralne la convergence de

f dv(t)t -~. On a donc (68). De plus, comme au 1) de la d~monstration du Th6o-

r~me 7, les polyn6mes Qs.~ relatifs ~ l 'entier 2 demeurent born~s sur tout com-

pact. R6ciproquement, d 'autre part, Va son type donn6 par le premier terme au

second membre de (69); V est donc de type fini, de l 'ordre 2, 2 6tant ledegr6

de p. Si 2' = 2 et si degr6 p < 2, le thgor~me se ram~ne au Thgor~me 7.

(2) Cette d6monstration s'applique aussi dans le cas classique (n = 1).

FONCTIONS ~NTIi~Rr.S (n variables). . . 405

Reste le cas oth it' = 2 et degrd p = 2: si le type de Vest fini, il e n e s t de m~me

du type de Iq; les condi t ions a) et b) du Thdor6me 7 sont alors vdrifides et l 'dnoncd actuel en rdsulte. Inversement , si elles sont vdrifides, 1~ est de type

fini et la s o m m e (69) est au plus de type fini. L 'dnoncd est donc dtabli dans

t o u s l e s eas.

On a encore :

T h 6 o r 6 m e 9. Si it est un entier positif, la fonction enti~re F (respec-

tivement la fonction plurisousharmonique V dans C n) est du type nul si et

seulement si sont v#rifids l'un des ensembles (A) ou (B) de conditions:

(A) a) v(t) --- o( t ~) q = it

b) l im [QR x(z) + Repa(z)] = 0 R = o o

uniformdment sur tout compact, p~ d~signant l'ensemble des termes de

plus haut degr~ it dans le polyn6me p(z) qui intervient dans (68).

Le second groupe de conditions su

(B) a') q___it- 1

b') p , ( z ) - O.

D 6 m o n s t r a t i o n : 1) Si q = 2 - 1, Ig(z) est du type nul de l ' o rd re 2,

d ' apr~s le Thdor~me 2, (iii). D o n e on a :

Rep(z) < ~(r)r a,

o 4 0 quand II z II = + oo. D'apr s un raisonnement fait plus haut,

ceci en t ra ine : degrd p < 2, et b). Les condi t ions (B) sont ainsi rdalisdes.

Si q < 2 - 1, on a ordre v(t) ~ 2 - 1, done ordre la < 2 - 1, et l ' on about i t

encore ~t la conclusion Pa = 0. Ceci ach~ve l 'd tude de la condi t ion ndcessaire

(B) si q ~ it - 1.

2) Rdciproquement si q ~ it - 1 et Pa = 0, on a degrd p _~ 2 - 1. D ' a u t r e

par t , I a dtant du type nul de l ' o rd re 2, il rdsulte de (69) qu ' i l e n e s t de m~me

de 1I, ce qui te rmine l 'd tude du cas q ~ it - 1 et des condi t ions (B).

406 PIERRE LELONG

3) Reste le cas oh q = 2: v(t) est du type nul en mSme temps que V d'apr6s

(55). Alors I~ est du type fini de l 'ordre 2 et ceci entraine dans (69)

degr6 p < 2.

De plus, on aura v(t) < e(t) t ~, e(t) --+ 0 quand t -} + oo et le (II) de la Pro-

position 10 entralne (66). Dgsignons par Pa-1 les termes de p de degr6 au

plus 2 - 1 :

(70) V(z) = Repa_ 1 + (Rep~ + QR,a) + (lq - QR 4).

Pour II z II = R, la premiere et la derni~re parenth~se au second membrc

sont major6es par des quantit6s o(RX), d'apr~s la Proposition 10 et (66), v(t) 6tant du type nul. Donc si V(z) est du type nul, on a:

(71) Q~,x = Repa + QR a < ex(R) Ra el(t) --* 0 quand t --} + oo.

On en d6duit en op6rant comme au 5) de la d6monstration de la Proposi-

tion 10 que le polyn6me homog~ne et harmonique de degr6 2 donn6 par Q'~,a

est major6 pour [I z [] __< 1 par une quantit6 Clo e I(R) proportionnelle ~t e~(R). I I e n r6sulte b).

R6ciproquement, si les conditions (A), c'est-~-dire a) et b), sent v6rififcs,

les coefficients de Q~,a donn6s par (71) sent major6s par une expression de

la forme e~(R), ce qui entralne pour [[ z ][ = R, la majoration (71). Alors

dans (70) toutes les quantit6s au second membre sent o(R ~) quand R + ~ ~ . I1 en r6sulte une majoration V(z) < d ( R ) R a, ce qui ach~ve d'6tablir l'6nonc6

du th6or~me.

BIBLIOGRAPHIE

1. V. Avanissian, Fonctions plulisousharmoniques et fonctions doublcmcnt sousharmoniques Ann. E.N.S., t. 78, 1961.

2. V. Avanissiaa. Fonctions enti6res de p variables. Journal d'Analyse Math. J6rusalem, t . 9, 1962, p. 347-367.

3. V. Avanissian, Fonctions plurisousharmoniques, diff6rcnces de dcux fonctions plurisousharmoniques. C. R. Ae. Sc. Paris, t. 252, 1961, p. 499-501.

4. M. Brelot, Etude des fonctiom sousharmoniques au voisinage d'un point singulicr. Ann. Institut Fourier t. 1 1950, p. 121-156.

5. P. Dolbeault, Formes diff6rentiellcs et cohomologie sur une vari6t6 analytique complexe, Annals of Math. t. 64, 1956, p. 83-330.

6. H. Kneser. Zur Theorie der gebrochcnen Funktionen mehrerer Vcrfinderlicher, Jahresbericht der Deutsehen Math. geminingung, t. 48, 1938, p. 1-28.

7. P. Lelong, Los fonctions plurisousharmoniques. Ann. E. N. S. t. 62, 1945, p. 301-338.

rONCTIONS ENTIERES (n va r i ab l e s ) . . . 407

8. P. Lelong, Propri6t6s m6triques des vari6t& analytiques complexes dfflnies par une ~quation. Ann E. N. S., t. 67, 1950. p. 393-419.

9. P. Lelong, a) Sur la repr6sentation d'une fonetion plurisousharmonique ~t partir d'un potentiel (C. R. Ac. Se. Paris, t. 237, p. 691-693), 1953. b) Sur l'extension aux fonctions enti6res de n variables, d'ordre fini, d'un d6veloppement canonique de Weierstrass. Ibidem, p. 865-867. c) Sur l'6tude des noyaux primaires et un th6or6me de divisibilit6 des fonctions enti&es de n variables. Ibidem p. 1379-1381.

10. P. Lelong, Int6gration sur un ensemble analytique complexe. Bull. Soe. Math. Ft. ~. 85, 1957, p. 239-262.

11. P. Lelong, Ensembles singuliers impropres des fonetions plurisousharmonique~. ournal de Math., t. 36, 1957, p. 263-303.

12. P. Lelong, Formes et eourants positifs, S6minaire d'Analyse, Institut H. Poincard Paris, 4e ann6e, 1962. Expos6 n ~ 1.

13. P. Lelong, Fonctions plurisousharmoniques et courants positifs [Colloque du Sdminaire dYtd de Varenna. Italie, Juillet 1963].

14. B. Malgrange, Existence et approximation des solutions des 6quations aux d6riv&s partielles. Ann. lnstitut Fourier, t. VI, 1956, p. 271-368.

15. R. Nevanlinna, Eindeutige analytische Funktionen, Springer 1936. 16. Ph. Noverraz, Comparaison d'indicatriees de eroissance pour des fonctions pluri-

sousharmoniques ou enti6res d'ordre fini. Journal d'Analyse Math., Vol. 12, 1964. 17. G. De Rhan,, Vari6t6s diff&entiables, Hermann, Paris, 1955. 18. W. Stoll, Ganze Funktionen endlicher Ordnung mit gegebenen Nullstellenflfichen.

Math. Zeitschrift, t. 57, 1953, p. 211-237. 19. R. P. Boas, Entire Functions, Acad. Press, 1954. 20. P. Lelong, Prolongement analytique et singularit6s complexes des fonctions

harmoniques, Bull. Soc. Math. Belg., 1954, p. 10-23.

INSTITUT HENRI POINCAR]~, FACULTI~ DES SCIENCES,

UNIVERSIT~ DE PARIS.

(Rea;u le 9 mars 1964)

Documents

Fonctions entières ( n variables) et fonctions plurisousharmoniques d'ordre fini dans C n