1. Les méthodes usuelles de prise en compte du risque

Il s'agit de méthodes subjectives utilisées par les décideurs dans la pratique pour tenir compte du risque. Ces méthodes ont pour effet la diminution de la rentabilité du projet. On obtient une rentabilité ajustée pour le risque. Cependant, l'intégration du risque est faite de manière subjective en fonction de la perception du dirigeant et de son attitude vis à vis du risque.

L’ajustement pour le risque peut être fait de plusieurs façons : diminuer la durée de vie du projet, déterminer les cash flows certains à partir des cash flows espérés (méthode de l'équivalent certain) ou intégrer une prime de risque au niveau du taux d'actualisation.

I-1. MINORATION DE la durée de vie DU PROJET

Une attitude prudente du dirigeant consiste à ne pas considérer les cash flows éloignés dans letemps, jugés trop incertains.

Avec I0 : le capital investi à la date 0,k : le taux de rendement minimum exigé,p : la période de minoration de la durée de vie du projet,n : durée de vie probable du projet

CFt : le cash flow net de la période t.

I-2. Méthode de l'équivalent certain

Cette méthode consiste à corriger les cash flows espérés. L'équivalent certain pour chaque cash flow est obtenu en appliquant un coefficient  t positif et inférieur à 1, réduisant les résultats de la période. Ce coefficient tient compte du temps (plus le flux est éloigné, plus est faible) et reflète l'aversion au risque du dirigeant.

Avec I0 : le capital investi à la date 0,k : le taux de rendement minimum exigé,n : durée de vie probable du projetCFt : le cash flow net de la période t.

I-3 MAJORATION DU TAUX D’ACTUALISATION PAR UNE PRIME DE RISQUE

Le risque peut être intégré à travers une prime de risque au niveau du taux d’actualisation. Le taux d'actualisation retenu (k’) sera égal au taux sans risque (k) plus une prime du risque (). Cette prime variera en fonction du niveau du risque du projet.

k’=k+

Avec I0 : le capital investi à la date 0,k' : le taux d'actualisation ajusté pour le risque,n : durée de vie probable du projetCFt : le cash flow net de la période t.

II. Choix d'investissement en avenir risqué

1. Les méthodes usuelles de prise en compte du risque 2. L'approche probabiliste 3. Les décisions séquentielles 4. Le recours à la fonction d'utilité 5. Autres méthodes de prise en compte du risque

2. L'approche probabiliste

Cette méthode permet de mesurer le risque en avenir risqué et suppose que les agents connaissent les distributions de probabilités des flux de liquidités générés par le projet et qu’ils apprécient totalement les caractéristiques du risque à partir de l’espérance mathématique et la variance. La complexité relative à la mesure du risque dépendra de la distribution des cash flows espérés.

Dans le cas général, la technique de l'arbre de décision est utilisée pour évaluer le risque du projet. L'arbre de décision permet de mettre en valeur les différentes éventualités envisagées, de manière à faciliter la détermination des effets des diverses combinaison d'événements sur le projet.

Chaque branche représente un événement ou un choix à faire auquel est associée une probabilité de réalisation. Le schéma suivant présente le répartition des cash flows d’un projetd'une durée de deux ans. Les cash-flows prennent deux valeurs possibles la première période selon l’état de la nature qui se réalisera (S1 ou S2). Pour la deuxième année, les valeurs possibles des cash-flows dépendent, d’une part, de l'état de la nature réalisé la première année et d’autre part, de l’état de nature qui se réalisera la deuxième année.

Graphique : L'arbre de décision pour le calcul des résultats espérés

Chaque extrémité de l’arborescence correspond à une valeur actuelle nette possible. Il y a donc autant de VAN que de chemins possibles au niveau de l’arbre de décision.

En notant CF(Si) : le cash flow de la période 1 sachant que Si s’est réalisé.CF(Si, Sj) : le cash flow de la période 2 sachant que Si s’est réalisé à la période 1 et Sj s’est réalisé à la période 2.

Les valeurs actuelles nettes possibles peuvent être calculées ainsi :

Si S1 se réalise la 1ère période et S1 la 2ème période,

Si S1 se réalise la 1ère période et S2 la 2ème période,

Si S2 se réalise la 1ère période et S1 la 2ème période ,

Si S2 se réalise la 1ère période et S2 la 2ème période,

La question qui se pose également serait : comment estimer la probabilité associée aux différentes VAN ?

La probabilité associée à chaque VAN possible est appelée probabilité liée et sera évaluée à partir des informations suivantes :

Les probabilités initiales associées aux premières périodes ; Les probabilités conditionnelles associées aux branches relatives aux périodes

suivantes (de la deuxième période jusqu’à la fin du projet).

La probabilité liée est égale au produit de la probabilité initiale relative au cash-flow de la première période (1ère branche du chemin) avec toutes les autres probabilités conditionnelles relatives aux autres cash-flows (branches suivantes du chemin).

Suite à la détermination de la distribution de probabilités qui indique les chances de réalisation d’une valeur donnée, il serait possible de calculer la valeur moyenne la VAN et sa dispersion autour de la moyenne.

L’espérance et la variance de la VAN peuvent être directement déduites en utilisant la distribution des valeurs de la VAN.

pi : la probabilité liée

VANi : la VAN

La variance ou l'écart type sont les mesures habituelles de la dispersion autour de l'espérance mathématique. Plus le projet est risqué, plus la dispersion des cash-flows attendus est grande.

pi : la probabilité liée

VANi : la VAN

avec E(VAN) : l'espérance de la VANVar(VAN) : la variance de la VAN

(VAN) : l’écart type de la VAN

Dans le cas, où on compare entre les risques de deux projets et que les deux projets ont des espérances de VAN différentes, il est important de retenir dans ce cas une mesure relative du risque : le coefficient de variation.

« Le coefficient de variation traduit l’étendue d’une distribution de probabilités et représente une mesure relative du risque : plus il est élevé, plus la distribution est étalée, plus l’écart typeest grand et plus le risque du projet est important »

L’analyse de la moyenne variance de la valeur actuelle nette peut être également déduite suite à une étude de la distribution des cash-flows annuels. La moyenne espérée de la VAN sera alors estimée comme suit :

avec CFt : le cash flow de la période tk : le taux d’actualisationn : la durée du projet

La variance de la VAN dépend de la covariance entre les différents cash-flows. Elle peut être exprimée ainsi :

avec CFt : le cash flow de la période tk : le taux d’actualisationn : la durée du projettt’ : le coefficient de corrélation entre le CF et le CF ’

Dans le cas d’indépendance totale, les covariances sont nulles. La variance de la VAN sera égale à :

avec ² (CFt) : la variance du cash flow de la période t.k : le taux d’actualisationn : la durée du projet

Dans le cas où les cash-flows sont parfaitement corrélés, les coefficients de corrélationsont égaux à 1.

Enfin, en supposant que la VAN est une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance E(VAN) et de variance VAR(VAN),

VAN ---->N(E(VAN),Var(VAN))

il serait intéressant de juger un projet en déterminant la probabilité d’avoir une VAN positive ou supérieure à un niveau donné.

L’appréhension du risque à partir de la variance ou de l’écart type peut être critiquée.

Premièrement, cette mesure du risque suppose que les distributions de probabilités sont normales, or cette condition n’est pas toujours satisfaite.

Deuxièmement, elle suppose que l’investisseur considère comme équivalentes les issues favorables et les issues défavorables. Or le plus souvent, il existe des seuils critiques auxquels l’investisseur est particulièrement sensible. Ainsi, un investissementpeut se trouver éliminé car, en cas de conjoncture défavorable, il entraînerait la cessation des activités de l’entreprise. Les investisseurs intègrent fréquemment ce souci de sécurité dans leur procédure de choix.

Enfin, l’approche probabiliste débouche sur des critères objectifs (espérance, variance)et donc sur la même décision indépendamment de l’attitude du dirigeant vis-à-vis du ri

3. Les décisions séquentielles

Jusque là, on a présenté la décision d'investissement comme si c'était une décision prise en une seule fois lors du démarrage du projet. Or, certains projets nécessitent une séquence de décisions liées entre elles et échelonnées dans le temps.

Pour limiter les conséquences du caractère irréversible d'un investissement, les dirigeants tentent de substituer à un engagement unique et total à une date donnée, une série d'engagements étalés dans le temps et décidés sur la base des informations nouvelles qui parviennent à l'entreprise au fur et à mesure et qui permettent de rendre plus précises les prévisions effectuées.

Dans ce cas, la décision d’investissement est dite séquentielle et elle se présente comme une suite d’actions et d’évènements. A chaque action possible sont attachés différents évènements probables qui suscitent à leur tour d’autres actions. Chaque décision dépend des décisions prises antérieurement et conditionne à son tour les décisions futures.

Dans le cadre des décisions d'investissement séquentielles, un recours aux techniques d'analyse de décisions est nécessaire. L'idée de base est de décomposer un problème complexeen petits problèmes plus faciles à résoudre et ce à travers les arbres de décision.

L’arbre de décision sera alors présenté avec deux catégories de nœuds : des nœuds d’incertitude et des nœuds décisionnels.

- Les nœuds décisionnels () partent des branches qui représentent les décisions ou les actions possibles ;

- Les nœuds d’incertitude (Ο) partent des branches qui représentent tous les états de la nature ou les conséquences possibles.

Trois phases essentielles doivent être distinguées pour la résolution de ces problèmes :

- Prévoir toutes les conséquences possibles de chaque décision ;

- Assigner les probabilités aux diverses conséquences possibles ;

- Evaluer les différentes alternatives en calculant la VAN espérée (Il serait alors important d’intégrer une prime de risque lors de l’actualisation des flux).

Le processus de résolution consiste :

A chaque noeud d'incertitude, on calcule les conséquences de toutes les branches émanant de ce noeud ; on revient alors en arrière jusqu’au premier noeud décisionnel où l’on calcule l’espérance mathématique des VAN correspondant aux branches qui émanent du noeud d'incertitude. On procède de la même façon pour tous les points qui se situent au même niveau de l’arbre. La VAN moyenne la plus élevée est retenue comme la meilleure décision à ce stade. On poursuit ce raisonnement itératif jusqu’au noeud de décision initial.

4. Le recours à la fonction d'utilité

L'approche par la théorie de l'utilité permet la définition de critères de choix rationnels en situation risquée. Il est en fait important d'intégrer l'attitude des preneurs de décision vis à vis du risque. En effet, la valeur d'un projet d'investissement n'est pas liée à l'ensemble des rendements possibles mais plutôt à l'ensemble des niveaux d'utilité qui leur sont associés. Les données objectives fournies par les critères (espérance et variance) ne suffisent pas pour se prononcer sur la décision définitive des dirigeants. Ces derniers évaluent le projet de manière subjective en rapport avec leur aversion au risque et la richesse dont ils disposent. Il est donc essentiel d’inclure dans la décision d’investissement une analyse de l’utilité espérée en définissant une axiomatique de choix rationnels en avenir incertain décrivant les réactions des individus face à un arbitrage entre la rentabilité espérée et le risque encouru.

4.1. Les axiomes de rationalité

Ils sont au nombre de six. Nous utiliserons les conventions de signe suivantes : > signifie « strictement préféré à » ; « préféré ou équivalent à » ; « équivalent à ».Nous définissons une loterie comme un jeu dont les résultats sont aléatoires. La notation G(x, z ; p, (1-p)) désigne une loterie qui rapporte x (un résultat aléatoire) avec une probabilité p et zavec une probabilité (1-p).

Axiome de comparabilité :Etant donné S, l’ensemble des résultats possibles relatifs à différents projets d’investissement sur lesquels porte le choix du décideur, et x, y appartenant à S, le décideur est toujours en mesure de dire si x > y, ou y > x , ou bien x y.

Axiome de transitivité :Soient x, y, z Si x > y et y > z, alors x > z ;Si x y et y z, alors x z.

Axiome d’indépendance forte.Soient G(x, z ; p, (1-p)) une loterie qui rapporte x avec une probabilité p et z avec une probabilité (1-p) ; et G(y, z ; p, (1-p)) une loterie qui rapporte y avec une probabilité p et z

avec une probabilité (1-p).Si x y, alors G(x, z ; p, (1-p)) G(y, z ; p, (1-p))Si x > y, alors G(x, z ; p, (1-p)) > G(y, z ; p, (1-p))Si x < y, alors G(x, z ; p, (1-p)) < G(y, z ; p, (1-p))

En d’autres termes, le classement des deux projets n’est pas modifié lorsqu’ils sont introduits dans une loterie comportant un troisième projet.

Axiome d’unicité.Si x > y z ou x y > z, il existe une seule probabilité p telle que y soit équivalent à une loterie rapportant x avec une probabilité p et z avec une probabilité (1-p),y G(x, z ; p, (1-p)), où y est un équivalent certain de G.

Axiome des classements composés.Si x y z ou x u z et si y G(x, z ; p1, (1-p1)), et u G(x, z ; p2, (1-p2)),

alors p1 > p2 entraîne y > u

et p1 = p2 entraîne y u.

Cet axiome précise l’axiome précédent et le classement des éventualités.

Axiome de non satiétéL’auteur du choix préfère toujours plus à moins de gain.

Cette axiomatique permet le classement des projets en fonction du critère de l’espérance de la fonction d’utilité et permet la construction d’une fonction d’utilité de manière assez simple. Les deux premiers axiomes suffisent à déterminer sur S une structure de préordre complet. Les axiomes suivants rendent ce préordre compatible avec le critère de l’espérance mathématique. En effet, ce dernier implique que l’utilité totale d’un projet dont la rentabilité est aléatoire est égale à la somme pondérée des utilités des différentes rentabilités, les poids étant égaux aux probabilités de réalisation de chacune des rentabilités.

Pour déduire de cet ensemble d’axiomes, la règle du classement des projets par l’espérance dela fonction d’utilité, on montre qu‘ils impliquent à la fois :

- l’existence d’une fonction d’utilité U() conservant la relation d’ordre sur les projets telle que:

U(x) > U(y) entraîne x > y,

et

U(x) = U(y) entraîne x y.

- l’identité entre la relation d’ordre qui correspond à la fonction d’utilité et celle associée à son espérance, soit :U[G(x, y ; p, (1-p))] = p U(x) + (1-p) U(y)

2.2. L’attitude face au risque

La façon de classer les préférences d’un individu pour des investissements aléatoires peut êtreexprimée au moyen d’une fonction d’utilité qui lui est propre et qui dépend, en général, de sa richesse. Il est possible d’obtenir des informations intéressantes sur l’attitude des investisseursenvers le risque ainsi qu’une mesure de l’intensité de cette attitude simplement en étudiant la forme des fonctions d’utilité usuelles.

L’axiome de non-satiété implique que toute fonction d’utilité doit être croissante et monotone,ce qui indique que l’utilité marginale des gains est toujours positive, mais elle peut être décroissante, croissante ou constante, suivant les cas. Les fonctions d’utilité construites peuvent donc avoir trois formes: la fonction est soit concave par rapport à l’axe horizontal, soit convexe, soit linéaire. Ces formes correspondent respectivement à trois types de comportements vis à vis du risque : une aversion, une préférence et une indifférence vis à vis du risque .

A- L’AVERSION AU RISQUE

Un investisseur est réputé avoir une aversion au risque lorsque, toutes choses égales par ailleurs, il préfère les distributions de gains les moins dispersées. Dans ce cas, s’il doit choisir entre deux investissements à espérance de gain identique, il préfère le résultat certain au résultat aléatoire. L’aversion envers le risque se définit comme le refus de l’auteur du choix des’engager dans un investissement aléatoire d’espérance de revenu nulle.

Soit un investisseur qui dispose d’une richesse W et qui a le choix entre participer ou pas à un jeu aléatoire équitable (E (jeu) = 0).Le jeu permet de réaliser h > 0 avec une probabilité p et h < 0 avec une probabilité (1-p).

Si la personne est averse au risque, alors pour un gain espéré identique, elle préfèrera ne pas jouer.

U (ne pas jouer) > U (jeu)U(W) > p U(w+h ) + (1-p) U(w+h )U(W+ (ph +(1-p)h )) > p U(w+h ) + (1-p) U(w+h )U(p(W+h )+(1-p)(W+h )) > p U(w+h ) + (1-p) U(w+h )

Sachant que p [0, 1], cette inégalité permet de déduire que la fonction d’utilité qui caractériseune personne averse au risque est une fonction concave tel que présenté au niveau du schéma suivant.

Soit W*, l’équivalent certain du jeu, qui est déterminé comme suit :

W* / U(W*) = U (Jeu)

L'équivalent certain d'un jeu peut être défini comme le plus faible montant auquel il serait d'accord de céder son droit de participation au jeu.

Le schéma montre que U(W) est supérieure à U(W*), ce qui signifie que l’individu préfère détenir une richesse certaine W plutôt qu’investir.

On définit par convention la prime de risque = E(gain du jeu) – W* = W – W*.

Plus la courbe d’utilité est concave, plus l’aversion pour le risque est grande et plus la prime de risque est élevée. La prime de risque est définie comme étant le montant que l’investisseur est prêt à payer pour se prémunir contre le risque.

B- PREFERENCE POUR LE RISQUE

Dans le cas de préférence pour le risque, la fonction d’utilité sera convexe ce qui implique uneutilité marginale croissante en fonction de la richesse. La dérivée première et la dérivée seconde de la fonction d’utilité seront alors positives.En d’autres termes, un accroissement de la richesse d’un montant h augmenterait le niveau d’utilité de l’individu plus qu’une perte de richesse d’un même montant h le diminuerait. L’utilité de l’équivalent certain de l’investissement est supérieure à l’espérance mathématique de la richesse associée à l’investissement aléatoire. En d’autres termes, l’investisseur préfère la distribution aléatoire de probabilité à son équivalent certain W* qui est défini comme suit :

W* / U(W*) = U (Jeu)

Cette préférence pour le risque est caractérisée par une prime de risque négative ( = W* - E(gain du jeu) = W* - W). L’individu accepterait de payer pour pouvoir accéder à des opportunités d’investissement risquées.

Dans le cas de l’exemple précédent et pour une personne qui a une préférence pour le risque, elle préfèrera ne pas jouer.

U (ne pas jouer) < U du jeuU(W) < p U(w+h1) + (1-p) U(w+h2)U(W+ (ph1+(1-p)h 2)) < p U(w+h1) + (1-p) U(w+h2)U(p(W+h1)+(1-p)(W+h 2)) < p U(w+h1) + (1-p) U(w+h2)

Sachant que p [0, 1], cette inégalité permet de déduire que la fonction d’utilité qui caractériseune personne qui a une préférence pour le risque est une fonction convexe tel que présenté au niveau du schéma suivant.

C- INDIFFERENCE AU RISQUE

Dans le cas d’une indifférence au risque, l’utilité marginale de la richesse sera constante. En effet, la dérivée première sera constante. Une perte de la richesse d’un montant h diminue l’utilité dans la même proportion qu’une hausse de richesse d’un montant h augmente l’utilité.L’investisseur étant indifférent vis-à-vis du risque, la prime de risque sera nulle dans ce cas.

Dans le cas de l’exemple précédent et pour une personne indifférente au risque

Uespérée (ne pas jouer) = Uespérée du jeuU(W) = p U(w+h ) + (1-p) U(w+h )U(W+ (ph +(1-p)h )) = p U(w+h ) + (1-p) U(w+h )U(p(W+h )+(1-p)(W+h )) = p U(w+h ) + (1-p) U(w+h )

Sachant que p [0,1], cette égalité permet de déduire que la fonction d’utilité qui caractérise une personne indifférente au risque est une droite tel que présenté au niveau du schéma suivant.

D- MESURES LOCALES D’AVERSION AU RISQUE

L’intensité de l’aversion au risque d’un individu à fonction d’utilité concave dépend de la courbure de cette fonction, donc de la dérivée seconde U’’.une mesure de l’intensité de l’aversion au risque a été proposée par Arrow et Pratt (1970). Reprenons le cas de l’investisseur qui dispose d’une richesse W, qui a le choix entre investir etne pas investir. Le résultat de l’investissement est aléatoire .En utilisant un développement de Taylor, ils montrent que la prime peut être exprimée ainsi :

Cette expression relie le risque à un terme RA(W) qui représente une mesure de l’aversion absolue au risque.

De même, une aversion au risque relative a été définie comme suit :

5. Autres méthodes de prise en compte du risque

D’autres méthodes permettent d’intégrer le risque dans la décision d’investissement, on peut citer les suivantes :

Les techniques de simulation

Elles consistent à déterminer la distribution de probabilité de la VAN à partir des distributions de probabilités des différents paramètres économiques qui influencent la VAN puisque tous les paramètres du projet sont risqués. Basée sur la simulation de Monte-Carlo, cette technique permet de déterminer une distribution empirique de la VAN.

La méthode des scénarios

Cette méthode s’intègre dans le cadre des analyses de sensibilité d’un projet. Elle consiste à envisager différents scénarios de réalisation pour le projet (optimiste, réaliste et pessimiste) et d’attribuer ensuite des valeurs subjectives aux différentes variables du projet.Il est possible par la suite de calculer une VAN pour chaque scénario. Les valeurs obtenues de la VAN permettent de donner une idée sur le degré de variabilité de la rentabilité du projet et du risque associé.

L’entreprise X a le choix entre deux projets d’investissement A et B de même durée de vie et de même coûts. Les deux projets génèreront des cash flows aléatoires, distribués selon une loi normale. La distribution de probabilités des VAN possibles se présente comme suit :

Classer les deux projets selon leur niveau de risque en se basant sur le coefficient de variation.

Projet A :E(VANA) = 264Variance (VANA) = 35424Ecart type (VANA) = 188,2126Coefficient de variation du projet A (CV(A)) est de : 0,7129Projet B :E( VANB) = 310Variance (VANB) = 43900Ecart type (VANB) = 209,523268Coefficient de variation du projet B (CV (B)) est de : 0,67588CV (A) > CV (B)En se basant sur le coefficient de variation, le projet A est plus risqué que le projet B.

Une entreprise envisage d’investir dans un projet d’une durée de 2 ans et nécessitant un investissement initial de 1000 dinars. Le projet génèrera des cash flows aléatoires, distribués selon une loi normale. La distribution de probabilités des cash flows se présente comme suit :

1- Déterminer toutes les valeurs de VAN possibles sachant que le taux d’actualisation sans risque est de 10%.

2- Déterminer l’espérance et la variance de la VAN et en déduire la probabilité d’avoir une VAN positive.

E(VAN) = 239,669Variance (VAN) = 40598,320Ecart type (VAN) = 201,4902Nous allons procéder à un changement de variable (de VAN à Z) Z = [VAN-E(VAN)]/? (VAN) suit une loi normale centrée réduite N(0,1).Prob (VAN>0)= Prob(Z > - 1,189) = Prob (Z<1,189) = 88,2%

Une entreprise envisage de lancer un nouveau produit. Ce projet d’une durée de vie de 4 ans, nécessite un investissement initial en machines égal à 12 500 dinars. Le niveau de la demande pour ce nouveau produit dépendra de la situation future de l’économie (on suppose que s’il y a récession (expansion), elle sera maintenue jusqu’à la fin du projet) :- En cas d’expansion (60% de chances), la firme vendra 1000 unités avec une progression annuelle de 10% (par rapport à t-1).- En cas de récession (40% de chances), il y aura une faible demande. En effet, l’entreprise ne pourra vendre que 900 unités aussi bien à la première qu’à la deuxième année. Le niveau de lademande baissera de 10% à la troisième et la quatrième années par rapport au niveau de la deuxième année. Par ailleurs,

Le prix de vente unitaire est de 7 DT ; Les charges variables unitaires s’élèvent à 2 DT ; Les charges fixes (y compris l’amortissement) s’élèvent à 4000 DT ; Taux d’imposition : 35% ; Taux de rendement exigé sans risque est de 10%.

L’exploitation de ce projet nécessite chaque année un besoin en fonds de roulement égal à 25% du chiffre d’affaires. L’investissement en BFR supplémentaire est réalisé la même année où le besoin est constaté.Les machines sont amorties sur 5 ans et elles peuvent être cédées à la fin du projet à 3500 DT en cas d’expansion et à 500 DT en cas de récession.Question :Le dirigeant n’acceptera de retenir le projet que s’il y a au moins 40% de chances de réaliser une VAN positive. Quelle sera sa décision sachant qu’on supposera que la valeur actuelle nette suit une loi normale ?

Afin de déterminer la probabilité d’avoir une VAN positive, nous allons évaluer la VAN en cas d’expansion et par la suite la VAN en cas de récession.Cas d'expansion

(*) Dans ce cas, la vente des machines à la fin du projet génère une plus value de 1000 dinars (prix de cession (3 500 dinars) – Valeur comptable nette des machines (2500)). L’entreprise payera alors un impôt sur la plus value.

VAN1 = 718,974Cas de récession

(*) Dans ce cas, la vente des machines à la fin du projet génère une moins value de 2000 dinars (prix de cession (500 dinars) – Valeur comptable nette des machines (2500)). L’entreprise réalisera alors une économie d’impôt sur la moins value.

VAN2 = -964,763

E(VAN) = -1141,7935Variance (VAN) = 4252457,699

(VAN) = 2062,148

Nous allons procéder à un changement de variable (de VAN à Z) Z = [VAN-E(VAN)]/? (VAN) suit une loi normale centrée réduite N(0,1).Prob (VAN>0)= Prob (Z > 0,468) = 1- Prob (Z<0,468) = 1- 0.68 = 32%

La société décidera alors de rejeter le projet.

Une entreprise a le choix entre deux projets mutuellement exclusifs A et B. Les projets d’un coût de 8000 dinars génèrent des cash-flows aléatoires et indépendants sur deux ans.La distribution de probabilité des cash-flows est normale et se présente comme suit :

Questions :1/ Calculer pour chaque projet la probabilité que la VAN soit supérieure à zéro. Quel projet retenir ?2/ La fonction d’utilité des dirigeants de l’entreprise est la suivante : U(w) = 0.25 + 0.1 log(w)a- Quelle est l’attitude des dirigeants vis-à-vis du risque ?b- Mesurer l’aversion absolue et l’aversion relative vis-à-vis du risque ;c- Calculer la prime de risque associée à chaque cash-flow ;d- Quel est le projet qui sera choisi par les dirigeants ?

1/ Calculons d’abord l’espérance et l’écart-type de la VAN pour chaque projet

En supposant que la VAN de chaque projet suit une loi normale, et après avoir procédé au changement de la VAN en une variable centrée réduite, on peut lire sur la table de la loi normale centrée réduite : P(VANA > 0) = 0,988P(VANB > 0) = 0,675On retient alors le projet A.

2/ a - L’attitude des dirigeants vis-à-vis du risque peut être examinée à partir des dérivées première et seconde de la fonction d’utilité.

U’(w) = 0,1/w positive pour w>0U’’(w) = -0,1/w2 négative pour w >0

b – Aversion absolue : décroissante en fonction de w

Aversion relative : constante quelque soit la richesse w.

c – Primes de risque

La prime de risque associée au cash flow de la date t :L’équivalent certain du casf flow de la date t : EC(CFt) est déterminé tel que :

VAN (A) = 1548,616VAN (B) = 317,116Le projet à choisir est le projet A puisque VAN (A) > VAN (B)

La société ALPHA est une agence de photocopie pour le grand public. Les machines sont utilisées pendant deux années avant d’être cédées sur le marché d’occasion. Les dirigeants de ALPHA ont remarqué qu’il y a 70% de chances que les machines s’avèrent fiables sur les deux années d’exploitation (si une machine est fiable ou non fiable, elle le sera sur les deux années consécutives). Les cash flows par photocopieur sont présentés dans le tableau qui suit :

Un fournisseur de photocopieurs propose à la société ALPHA les deux offres suivantes :Offre 1 : une offre de machines neuves au prix de 5000 dinars la machine.Offre 2 : Suite à l’achat d’une machine neuve, le fournisseur propose d’effectuer une révisioncomplète de la machine si elle s’avère non fiable au bout d’une année, et ce à un coût de 300 dinars. Une machine révisée aura une probabilité de 40% d’être non fiable et une probabilité de 60% d’être fiable, avec des cash flows nets respectifs de 2000 et 3500.Le taux d’actualisation avec risque du secteur est de 10%.1/ Présenter l’arbre de décision relatif à cette opération d’achat.2/ La proposition de révision est-elle intéressante ?3/ Quelle est la stratégie optimale à suivre par l’entreprise ?

1/ Le graphique suivant présente les stratégies possibles à adopter ou les décisions à prendre par l’entreprise en fonction des deux états de la nature qui se présentent (machine fiable ou non fiable).

2/ Pour déterminer si la proposition de révision est intéressante ou non, il faut comparer les revenus de la décision de révision et de la décision de non révision, au cas où le photocopieur s’avère non fiable à t=1. La décision de l’entreprise à t=1 :

- Ne pas réviser : la machine demeure non fiable avec un CF de 1600 et par conséquent la VAN en t=1 est égale à 1454,55 soit [1600/ (1,1)]. - Réviser : la VAN espérée (t=1) est :

Si la machine est non fiable, la société ALPHA a intérêt à retenir systématiquement l’option de la révision, ce qui nous fait aboutir à ce nouvel arbre de décision.

3/ Nous allons comparer l‘espérance de la VAN de l’offre 1 et celle de l’offre 2.Offre 1 :

Offre 2 :

La deuxième offre est plus intéressante puisque son espérance de VAN est supérieure à celle de la première offre.La stratégie optimale serait alors :Accepter la deuxième offre et réviser le photocopieur s’il s’avère non fiable au bout d’une période.