FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 2021 CAHIER 2 … · 5 MAT 2021 MATHÉMATIQUES 5 ALGÈBRE 2 CAHIER THÉORIE 4 2) a2 + a contient 2 termes. 2 3) Dans l'expression algébrique 6a 3: 6

FORMATION INTERMÉDIAIRE

MAT 2021

CAHIER 2ET

CORRIGÉ

MAT 2021 MATHÉMATIQUES 5

ALGÈBRE 2

CAHIER MATIÈRES TABLE DES

I

1.0 NOTIONS ALGÉBRIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Présenter le terme ?algèbre” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Définir les termes de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Exercice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Calculer la valeur numérique d'une expression algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Exercice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.0 OPÉRATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.1 Réduire des termes semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Exercice 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2 Calculer la somme de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Exercice 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Soustraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.1 Calculer la différence de monômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Exercice 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.2 Calculer la différence de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Exercice 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.3 Simplifier des expressions algébriques contenant des parenthèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Exercice 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 Multiplication 27

2.3.1 Appliquer la loi des exposants pour la multiplication . . . . . . . . . . . . . . 27Exercice 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.2 Calculer le produit de plusieurs monômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Exercice 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.3 Calculer le produit d'un polynôme par un monôme . . . . . . . . . . . . . . . 34Exercice 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

DI-AM-91-12-06 BA-PG\98-03


ALGÈBRE 2

CAHIER MATIÈRES TABLE DES

II

2.3.4 Calculer le produit d'un binôme par un binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Exercice 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Exercice 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Exercice 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3.5 Élever un monôme à une puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Exercice 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4.1 Appliquer la loi des exposants pour la division . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Exercice 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4.2 Calculer le quotient d'un monôme par un monôme . . . . . . . . . . . . . . . . 54Exercice 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.4.3 Calculer le quotient d'un polynôme par un monôme . . . . . . . . . . . . . . . 56Exercice 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.5 Simplifier des expressions algébriques en respectant l'ordre des opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Exercice 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.0 EXERCICE DE RENFORCEMENT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

1

1.0 NOTIONS ALGÉBRIQUES

1.1 PRÉSENTER LE TERME ?ALGÈBRE”

L'algèbre est née lorsque les mathématiciens ont pris la liberté de remplacer des nombres par des lettres ou des symboles et qu'ils ont appris à calculer sur ces objets. Naturellement, toutes les habiletés acquises en arithmétique s'appliquent, mais l'algèbre est une ?nouvelle manière de faire” pour résoudre des problèmes.

Expressions arithmétiques Expressions algébriques

3 + 3 x + x32 x2

2 (3) - 6 2x - 62 (3) + 3 (8) 2x + 3y

La connaissance de cette branche des mathématiques est essentielle dans plusieurs domaines tels que le génie, l'exploration spatiale, la comptabilité, l'architecture et évidemment les sciences.

- - -


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

2

1.2 DÉFINIR LES TERMES DE BASE

En algèbre, les nombres sont représentés par des symboles, généralement des lettres. Une même lettre peut être utilisée dans divers problèmes, mais le nombre qu'elle remplace peut varier. Ces lettres sont appelées des VARIABLES (une lettre peut avoir différente valeur; elle est variable). Les nombres qui les accompagnent sont appelés des CONSTANTES (un nombre a toujours la même valeur; il est constant). On se sert souvent de lettres telles que x, y, z, a, b, c comme variables.

+)))))))), *Exemples* .))))))))

1) Dans 2x, 2 est le constant, x est la variable.

2) Dans ab, 1 est le constant (il est inutile d'écrire 1), ab sont les variables.

Remarques

1. Par convention, le produit d'un constant et d'une variable ou de plusieurs variables s'écrit sans le symbole de multiplication. Ainsi 3 x b s'écrit 3b

et 4 x a x y s'écrit 4ay.

2. On respecte l'ordre alphabétique en écrivant les variables. Ainsi on a xyz et non yxz

et ab et non ba.


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

3

EXPRESSION ALGÉBRIQUE

Une expression algébrique est un ensemble de nombres et de variables réunis par l'addition, la soustraction, la multiplication, la division, l'élévation à une puissance, l'extraction déraciné.

+)))))))), *Exemples* .))))))))

1) x2 + 2xy + y2

2) 5 a + b

3) 7x3

—— 4) %2x

TERME

Un terme est une expression composée du produit de nombres et de variables. Parfois un terme comprend seulement un nombre. Dans le terme, on a donc une partie numérique et/ou une partie littérale.

+)))))))),*Exemples*.))))))))

1) x2 + 6x - 9 est une expression algébrique qui contient 3 termes.

1er terme : x2

2e terme : + 6x3e terme : - 9


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

4

2) a2 + a contient 2 termes. 2

3) Dans l'expression algébrique 6a3 :

6 est la partie numérique;a3 est la partie littérale.

POLYNÔMES

On donne souvent le nom de polynôme à une expresssion algébrique. Quelques polynômes ont reçu des noms particuliers.

Monôme est une expression algébrique contenant un terme. Binôme est une expression algébrique contenant deux termes. Trinôme est une expression algébrique contenant trois termes.

+)))))))), *Exemples* .))))))))

1) Monômes

i) 2a ii) (a + b) iii) a

x + b

2) Binômes

i) x = 4 ii) (6x + 7y) + 4 iii) 3x + 4a

7 5


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

5

3) Trinômes

i) x2 + 6x + 5ii) a + b + (2c + d)iii) x + 2y + z

4

COEFFICIENT

Dans l'expression 4 x 9 = 36 : 4 et 9 sont des facteurs; 36 est le produit.

Dans le monôme 5x : 5 et x sont des facteurs ou des coefficients; 5 est le coefficient numérique; x est le coefficient littéral.

EXPOSANT

Un exposant est un nombre ou une lettre qui indique le nombre de fois qu'une variable est multipliée par elle-même.

+)))))))), *Exemples* .))))))))

1) 5 x 2

T T T * * .)))))))))))))))))))> exposant * .)))))))))))))))))))))> variable .))))))))))))))))))))))Q> coefficient numérique

- -

- -


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

6

2) Dans 5x, l'exposant est 1.

y3) Dans a , l'exposant est y.

Remarques

1. On n'écrit pas les coefficients 1 et 1 devant une variable. Ainsi, 1x s'écrit x et 1x -s'écrit x.

-2. Dans le cas de coefficient fractionnaire de numérateur égal à 1 ou à 1, on n'écrit quele dénominateur. Ainsi, 1a s'écrit a et 1a s'écrit a.

4 4 4 413. On n'écrit pas l'exposant d'une variable lorsque cet exposant est 1. Ainsi, 5a s'écrit

5a.


ALGÈBRE 2

CAHIER 1

EXERCICE

7

1. Indiquer le nombre de termes dans chacun des polynômes suivants et donner le nom précis de chacun.

2a. 3x - 5 f. 3x + 6x + 9

b. 4x2 g. (2a + 3b + c)

c. a h. abc

d. 1/2x + 3 i. 1/x + 2/y + 3/z

e. x + 5 j. 5x - (2a + b) - 8c y

22. Soit le polynôme 2x - x - 4.

a. Écrire le coefficient numérique du premier terme.

b. Écrire le terme constant.

c. Écrire l'exposant du premier terme.

d. Combien de termes contient-il?

e. Écrire le coefficient numérique du deuxième terme.

3. Nommer les variables dans les expressions suivantes.

a. 2x c. y2

b. bh d. 2 (a + b) 2

- -


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

8

1.3 CALCULER LA VALEUR NUMÉRIQUE D'UNE EXPRESSION ALGÉBRIQUE

La valeur numérique d'une expression algébrique est le résultat obtenu en substituant aux variables les valeurs qu'elles représentent et en effectuant les opérations indiquées.

+)))))))), *Exemples* .))))))))

-1) Évaluer x - y + 5 pour x = 10 et y = 2.

-x - y + 5 = 10 - ( 2) + 5 = 10 + 2 + 5 = 12 + 5 = 17

-2) Évaluer 3xy pour x = 2 et y = 6.

3xy = 3 (2) (6)= -6 (6)

= -36

2 3) Évaluer 3cd pour c = 1 et d = 3.

2 - 23cd = 3 (1) ( 3)= 3 (1) (9) [priorité de l'exponentiation]

= 3 (9) = 27

- 2 4) Évaluer x + 5x + 6 pour x = 3.

- 2 - - 2 x + 5x + 6 = ( 3) + 5 ( 3) + 6 - += ( 9) - 15 + 6

= -9 - 15 + 6= -24 + 6= -18


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

9

2 5) Évaluer x - 4 pour x = 5. 3

x - 42

3 = ( 5) - 4 - 2

3 = 25 - 4

3 = 21

3 = 7

- -

- -


ALGÈBRE 2

CAHIER 2

EXERCICE

10

1. Évaluer les expressions suivantes.

a. x + 6 pour x = 5

b. -60 + y pour y = 6

-c. 50 + x pour x = 3

d. 2x - 6 pour x = 5

-e. t - 2 - w pour t = 5 et w = 6

f. 25x pour x = 4

-g. 10y pour y = 5

h. 5a pour a = 0

i. 4xy pour x = 3 et y = 6

-j. m pour m = 204

k. a pour a = 1 et b = 1b

l. 3x pour x = 0 6

m. x (x - 5) pour x = 10

- 2 n. 3x - 6 pour x = 1 2

- 3 o. 2cd pour c = 2 et d = 2

p. x2 pour x = 25 5


ALGÈBRE 2

CAHIER 2

EXERCICE

11

q. a + b - c2 2 2 pour a = 1, b = 0 et c = 3 -

r. 4x pour x = 3-

3

s. 5x - 3x + 4 2 pour x = 1

t. 3x - (y + 9) 2 pour x = 5 et y = 2 -

u. (x - 2)(x - 3) pour x = 5

v. 6 (y - 4)2 pour y = 7

w. (2x)3 pour x = 2 -

x. 2x - 5 pour x = 72

-3

y. 2x - 5 pour x = 2 2 -

-3

z. x - pour x = 15 -

5


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

12

2.0 OPÉRATIONS

2.1 ADDITION

2.1.1 Réduire les termes semblables

TERMES SEMBLABLES

On appelle termes semblables, les termes qui sont formés des mêmes variables affectés respectivement des mêmes exposants, quels que soient leurs coefficients numériques et les signes.

+)))))))), *Exemples* .))))))))

-1) 4x et 3x sont des termes semblables.

2 22) 5x y et x y sont des termes semblables.

2 23) 8m n et 4mn ne sont pas des termes semblables.

RÉDUCTION DE TERMES SEMBLABLES

La réduction est l'opération par laquelle on remplace plusieurs termes semblables par un seul. Il s'agit d'additionner les coefficients numériques : cette somme devient le coefficient d'un terme unique semblable aux termes réduits.

Tous les principes établis pour les opérations sur les entiers, s'appliquent dans les opérations sur les monômes.


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

13

Cependant, on ne peut procéder à l'addition de monômes que s'ils sont semblables. L'addition de 5a et 4b ne se fait pas plus que celle de 5 oranges et 4 autos. Dans la pratique, on groupe tous les monômes semblables et on en fait la réduction.

TABLEAU DES LOIS DE L'ADDITION

1 cas :er La somme de deux termes positifs est toujours un terme positif. 4x + 6x = 10x

2 cas : e La somme de deux termes négatifs est toujours un terme négatif. -4x + ( 6x) = 10x- -

3 cas : e La somme d'un terme positif et d'un terme négatif est : a) parfois un terme positif;

-4x + 6x = 2x b) parfois un terme négatif.

4x + ( 6x) = 2x - -


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

14

+)))))))), *Exemples* .))))))))-

Réduire les termes semblables suivants.

1)

2)

=

=

=

=

14x - 2x = 12x

8a b - 5a b - 13a b + a b - 7a b2 2 2 2 2ÆÈÇ3a b - 13a b + a b - 7a b2 2 2 2ÆÈÇ-10a b + a b - 7a b2 2 2ÆÈÇ-9a b - 7a b2 2ÆÈÇ-16a b2

3) =

6ab - 6ab0

4) =

6m - m-

-7m [ m - = 1m]-

5) =

14x + a14x + a


ALGÈBRE 2

CAHIER 3

EXERCICE

15

1. Réduire les termes semblables.

a. 7a + 3a h. 12y - 26y

b. 9x + 5x i. 10x + 2x - 5y

c. 15y - 5y j. 9x - 4x - 3x

d. 2a + 4y- k. 12x + x - 2x-

e. 3m - m l. 10a - 13a + 16a2 2 2

f. 2x - 10x m. 5ab + 8ab - 3ab - 6ab2 2 2 2

g. 6a - 12a n. 5xy - 11xy - 2xy3 3 3


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

16

2.1.2 Calculer la somme de polynômes

Pour calculer la somme de polynômes, on peut disposer les expressions d'une des deux manières suivantes.

1. HORIZONTALEMENT : poser les termes semblables de sorte qu'ils se suivent.

Soit à additionner : 2x + 3y + 4 et 5x - 2y - 3.

On a : 2x + 3y + 4 + 5x - 2y - 3= 2x + 5x + 3y - 2y + 4 - 3= 7x + y + 1

2. VERTICALEMENT : poser les termes semblables les uns sous les autres en formant des colonnes. Si un terme manque, on laisse

un espace.

Soit à additionner : 2x + 3y + 4 et 5x - 2y -3.

On a : 2x + 3y + 4 + 5x - 2y - 3

7x + y + 1

+)))))))), *Exemples* .))))))))-

Calculer la somme des polynômes suivants.

1) 5x - 6y et 2x - 3y

5x - 6y2x - 3y7x - 9y

- -


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

17

2) a2 + a - 4 et 2a - 3

a2 + a - 42a - 3

a2 + 3a - 7

3) 3a - 11b + 5c ; 6b - 5a et 5b - c + a

3a - 11b + 5c -5a + 6b

a + 5b - c a + 4c [ 11b + 6b + 5b = 0]


ALGÈBRE 2

CAHIER 4

EXERCICE

18

1. Effectuer les additions suivantes.

2 2a. 3x - 2y h. 2x + 3xy - 5y 5x + 3y -3x2 - 5xy + 4y2

b. x + 6y i. 8a - 6bx - 6y -5a + 3b

-a - b

2c. 5x - 6y j. x2 + y + 4- - 2 23x - 4y x + y

- - 2d. 4a + 8b k. 2x + 3x + 7 a - 10b 3x2 - 6x - 11

2 4x + 2x - 5

e. 2m2 + n2 l. 5a2 - 3a + 2 - 2 2 2m - n 3a + 4a - 3

- 29a - 3a + 5

f. 2x - 3y - 2 m. 3a + 2b x - 2y + 4 - 2b - 5

-4a + 15

g. 2x + 3y + 4z n. 5x - 3y x - y - z 7x + 2z

5y - 3z

2. Additionner horizontalement.

a. 2x + 5x + 7 e. 7x + 2 - 2x

b. 3y - y + 20 f. 3x - 2 - 2x

c. 6x - 10x + 5 g. 5x - 3 + 10x + 20

d. 15 + 4x - 20x h. -2x + 3 - 25x - 3


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

19

2.2 SOUSTRACTION

2.2.1 Calculer la différence de monômes

Auparavant, on a vu que la soustraction était l'inverse de l'addition, c'est-à-dire, pour soustraire un nombre, on additionnne son opposé.

Soustraire un monôme revient à additionner son opposé. Comme pour l'addition, on ne peut opérer qu'avec des monômes semblables.

SOUSTRACTION

+ - +( 3x) - ( 2x) ( 7x) - ( 2x)

+ + - ( 3x) + ( 2x) ADDITION ( 7x) + ( 2x)

= 5x = -9x

+)))))))), *Exemples* .))))))))

- 2 - 21) Soustraire 20a de 16a .

- 2 - 216a 16a 2- S))))))> [nombre à soustraire : -20a ]

- 2 + 220a 20a4a2

2) Soustraire 4a de 7a.

+7a - ( 4a)-= 7a + ( 4a) ou 7a - 4a


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

20

= 3a

3) Soustraire le second du premier.

- 2 - 23a bc 3a bc - 2 + 2- 5a bc S))))))> + 5a bc

2 2a bc

Remarques

1. Il est possible de franchir mentalement certaines étapes. 2. Les parenthèses ne sont pas toujours nécessaires pour indiquer l'opposé d'un terme.

+)))))))), *Exemple * .))))))))

2 2 (4xy ) - (7xy )2 - 2= 4xy + ( 7xy ) [faire mentalement cette étape] 2 2= 4xy - 7xy [enlever les parenthèses]

= -3xy2


ALGÈBRE 2

CAHIER 5

EXERCICE

21

1. Soustraire.

a. 5x de 8x b. -4m de 6m c. 10xy de -9xy d. 3x de -3x e. -7y de 30y

- 2 - 2f. 3a b de 9a b

3 - 3g. 3x y de 13x y 2 - 2h. 5x m de 20x m

- 2 - 2i. 20a b de 40a b j. k. l.

2. Soustraire le deuxième monôme du premier.

2 2a. 39b ; 12b f. 2 2b. 12b ; 39b g.

c. 5a; 4b h. - 2 2d. 5a b; 5a b i. - 2 - 2e. 5a b; 5a b j.

3. Soustraire le second monôme du premier.

- 2a. 3a bc d.2 4a bc

2b. 5x y e. - 23x y

2c. -a bm2-4a bm

2 - 221a de 21a x 2 3 2 316x y de 19x y

2 3 - 2 3x y z de x y z

50y; 50y2

- 2 232d ; 10d 2 - 2-32d ; 10d

- 2 32d ; 10d 2 4z ; z

3 2 a cd 3 24a cd

- 3m nx - 3m nx


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

22

2.2.2 Calculer la différence de polynômes

Pour soustraire des polynômes, il faut :

1. changer les signes du polynôme à soustraire; 2. effectuer la réduction de termes semblables, c'est-à-dire, procéder comme dans

l'addition.

- 2 - 2Soit à soustraire 20a + b de 16a + 2b.

- 2 - 216a + 2b 16a + 2b- -20a2 + b S))))))))+>20a2 - b

2 4a + b

Remarque

L'on change tous les signes du polynôme à soustraire.

+)))))))), *Exemples* .))))))))-

Effectuer les soustractions suivantes.

1) 2a + 3b 2a + 3b - a + 2b S)))))))))->a - 2b

a + b

2) 5x - 8 5x - 8 - -3x - 2 S)))))))))>3x + 2

8x - 6

3) 4a - 2b + 3c 4a - 2b + 3c - 2a + 4c S))))))))> -2a - 4c

2a - 2b - c


ALGÈBRE 2

CAHIER 6

EXERCICE

23

1. Effectuer les soustractions.

a. -7x + 2y g. 2a + 3 -2x - 4y a - 2

b. -4abc + ef h. 4x + 6 11abc + 2ef 2x + 6

2c. 12a + 7b i. 6x - 5x + 2- 220a + 11b 3x - 2x - 3

2 2d. 23a - b j. 2a + 3b + 5 - 2 217a - b a - 4b + 5

e. 2x + 3 k. x2 + xy + y2

3x + 4 x2 - xy + y2

2 2f. 4x l. 3x - 4xy + y - 2 22x + 3 2x - 3xy - 4y


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

24

2.2.3 Simplifier des expressions algébriques contenant des parenthèses

En mathématique, on utilise souvent des parenthèses pour grouper des quantités formant untout.

Ainsi, (5 + 2 - 3) est le nombre positif 4.

Il existe plusieurs signes de regroupement :

1. les parenthèses proprement dites ( )2. les crochets [ ]3. les accolades { }

Pour supprimer les parenthèses, on s'appuie sur les règles suivantes.

1re règle

Si le signe (+) précède la parenthèse, on peut la supprimer sans changer aucun signe.

+)))))))), *Exemple * .))))))))

6a + (5b - 4c - 16a) = 6a + 5b - 4c - 16a = -10a + 5b - 4c


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

25

e2 règle

Si le signe (-) précède la parenthèse, on peut la supprimer à condition de changer tous les signes des termes à l'intérieur de la parenthèse.

+)))))))), *Exemple * .))))))))

2 2 2 - 2x2 + y - (2x + y ) - ( 2x + xy)2 2 2 2= x2 + y - 2x - y + 2x - xy

2= x - xy

e3 règle

Quand une expression contient plusieurs signes de regroupement (parenthèses, crochets, accolades) on les supprime successivement en commençant par ceux

qui se trouvent à l'intérieur.

+)))))))), *Exemples* .))))))))

2 2 2 21) 2x - 2y - [x - (2xy - 4x )]2 2 2 2= 2x - 2y - [x - 2xy + 4x ] [éliminer les ( )] 2 2 2= 2x - 2y - [5x - 2xy]2 2 2= 2x - 2y - 5x + 2xy [éliminer les [ ]] 2 2= -3x + 2xy - 2y

2) 10a - {4b - [2c - (4a - b - c)]} = 10a - {4b - [2c - 4a + b + c]} [éliminer les ( )] = 10a - {4b - [3c - 4a + b]} = 10a - {4b - 3c + 4a - b} [éliminer les [ ]]


ALGÈBRE 2

CAHIER 7

EXERCICE

26

= = =

1.

10a - {3b - 3c + 4a}10a - 3b + 3c - 4a 6a - 3b + 3cSupprimer les parenthèses.

[éliminer les { }]

a. (a + 2ab + b + a - 2ab + b ) + (a + b ) 2 2 2 2 2 2

b. x + [(y - x) - (y - z)]

c. (a - 6 + bc) - (2c - 2bc - 3a) - (3c - 4a + bc)

d. -[x + 3y - (3y - c) + 6]

e. (a x - 6z ) - { (a x + 6z ) - [3a x - 3z + 4a x ]} 2 2 2 - 2 2 2 2 2 2 2 2

f. 7ab - [abc + (ab - c2 + a ) - ab]2

g. 2a - (3b + 2c) + {5b - (6c - 6b) + 5c - [2a - (c + 2b)]}

h. x - [2x + (x - 2y) + 2y] - 3x - {4x - [(x + 2y) - y]}

i. x - {3y + [3z - (w - y) + x] - 2a}

j. -{3b + [2b - (a - b)]}

k. a - {2b + [3c - 3a - (a + b)] + [2a - (b + c)]}

l. 7a - (5a x + 3ax - 7x ) - [8a - 4a x - (ax - 7x )]3 2 2 3 3 2 2 3


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

27

2.3 MULTIPLICATION

2.3.1 Appliquer la loi des exposants pour la multiplication

On peut utiliser les symbloles (+), (-), (x) et (÷) entre des nombres ou des termes pour indiquer les opérations d'addition, de soustraction, de multiplication et de division. À ces opérations s'ajoute l'exponentiation indiquant une multiplication répétée.

Ainsi, au lieu d'écrire : 5 x 5 x 5 = 1253on écrit : 5 = 125

Dans l'opération d'exponentiation, chaque nombre ou variable prend un nom bien précis.

PUISSANCE

On appelle puissance d'un nombre, le produit de plusieurs facteurs égal à ce nombre, c'est le résultat.

BASE

La base est le nombre qui se répète dans la multiplication.

EXPOSANT

L'exposant indique combien de fois la base est répétée dans la multiplication. C'est le degré de la puissance.

+)))))))), *Exemple * .))))))))

exposant

35 = 125 puissance

base


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

28

Remarques

21. La seconde puissance d'un nombre se nomme le carré de ce nombre. Ainsi 6 se lit: ?6 exposant 2” ou ?6 au carré”.

32. La troisième puissance d'un nombre se nomme le cube de ce nombre. Ainsi 6 se lit: ?6 exposant 3” ou ?6 au cube”.

Avant de formuler la loi des exposants, il serait bon de revoir la loi des signes pour la multiplication.

RÉSUMÉ

Loi des signes pour la multiplication.

(+) x (+) = (+)

(+) x (-) = (-)

(-) x (+) = (-)

(-) x (-) = (+)

Il est possible de découvrir la loi des exposants en observant comment s'effectue le produit suivant.

2 3Soit à multiplier 2 par 2 .

Sachant que 22 = 2 x 2 et que 23 = 2 x 2 x 2

2 3alors 2 x 2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2= 32

mais 32 = 25


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

29

2 3 2 + 3donc 2 x 2 = 2 2 3 5 2 x 2 = 2

= 32

Conclusion

Loi des exposants pour la multiplication.

Dans une multiplication, lorsque les bases sont identiques, on peut additionner les exposants.

+)))))))), *Exemples* .))))))))

1) x6 C x7 = x6 + 7

13= x

2) a5 x ax x a-2 = a5 + x + -2

3 + x= a

Remarques

1. Une puissance de degré pair d'un nombre négatif est un nombre positif.

- 2 - ( 5) = ( 5)( 5) 2 est un exposant pair.= 25

2. Une puissance de degré impair d'un nombre négatif est un nombre négatif.

- 3 - - ( 4) = ( 4)( 4)( 4) 3 est un exposant impair.= -64


ALGÈBRE 2

CAHIER 8

EXERCICE

30

1. Dans chacune des expressions suivantes, identifier la base et l'exposant.

3 ya. x c. x

b. 45 d. m

2. Calculer les produits.

a. x3 C x5 i. d3 C d2 C d7

b. a C a C a j. x C x C x C x

c. a6 C a10 k. n C n3 C n5 C n7

d. b C b5 l. z C z8

e. y7 C y18 m. x C x6 C x12

f. 52 C 5 n. a3 C a2 C a0 C a20

g. 42 C 43 o. r C r3

h. b5 C b4 C b3 p. 103 C 104


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

31

2.3.2 Calculer le produit de plusieurs monômes

Dans les monômes, on définit les coefficients comme suit :

3ab

coefficient coefficient numérique littéral

Puisque le produit de monômes est le résultat de la multiplication de plusieurs facteurs, on utilise la loi de multiplication des entiers ainsi que celle des exposants.

2 - 3 3Soit à multiplier 4a c par 5a c .

2Puisque 4a c signifie 4 C a C a C c - 3 3 et que 5a c signifie 5 C a C a C a C c C c C c

2 - 3 3 alors 4a c( 5a c ) signifie 4 C a C a C c C 5 C a C a C a C c C c C c

On peut changer l'ordre des facteurs pour faciliter la multiplication.

-(4) ( 5) C a C a C a C a C a C c C c C c C c

- 5 4 - 5 420 C a C c = 20a c

On effectue les produits en tenant compte de la loi des signes et de la loi des exposants pour la multiplication.

Conclusion

Produit de monômes

1. Effectuer le produit des coefficients numériques en respectant la loi des signes pour la multiplication.

2. Multiplier la partie littérale en appliquant la loi des exposants.

- -


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

32

+)))))))), *Exemples* .))))))))

- 2 - 3 6 - - 2 + 3 1 + 61) 6a b x 5a b = ( 6)( 5) a b 5 7= 30a b

- - 3 - 3 - - - 1 + 3 1 + 1 + 32) ( 5xy)( 4x y)( y z) = ( 5)( 4)( 1) x y z 4 5= -20x y z

3) 5(4b) = ( 5)(4)(b) = -20b

4) 2m(3n)(4p) = (2)(3)(4) mnp = 24mnp

5) x5 C -x2 = -x7

Remarques

1. Respecter l'ordre alphabétique. 2. Le point remplace le symbole (x) de la multiplication.


ALGÈBRE 2

CAHIER 9

EXERCICE

33

1. Effectuer les multiplications suivantes.

a. (ab) (ab) j. -abc C c3 C a4

2 3 2 2b. (ab ) (ab) k. (4x y) (3x y) (xy )

2 2 - 2 - 2c. (4a b) (6ab c) l. (2ab) ( 3c ) ( b d)

4 - 2 5d. (9a b) ( 4ab ) m. 6m (2n) (3n )

- 4 - 2 3 4 - 5 4e. ( 3xy ) ( 8x y) n. (b c ) ( bc) (b c )

- - 3 - 2f. (11xy) ( 2xy) o. ( 5xy ) ( 3x y)

- 2 - - 2 - 2 - 3g. ( 3x ) ( 4xy) ( 5x ) p. ( 3a ) ( a )

-h. 5ab (2ab) (3b) q. ( 5xy) (9x)

- - 2 5 - 2i. ( ab) ( 3ab ) r. x ( x )

- -


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

34

2.3.3 Calculer le produit d'un polynôme par un monôme

Multiplication d'un polynôme par un monôme

Multiplier chaque terme d'un polynôme par le monôme donné.

2Soit à multiplier (a - 4b + 2c) par 7a.

2On a 7a(a - 4b + 2c)T T T T /))- * * /)))))))- * .))))))))))))

2= (7a)(a ) - (7a)(4b) + (7a)(2c)3= 7a - 28ab + 14ac la loi des exposants

— pour la multiplication � +)))))))), *Exemples* .))))))))

1) 5x( 3x - 4) = (5x)( 3x) - (5x)(4) 2= -15x - 20x

2 3 2 3 22) y (y - 3x) = (y )(y ) - (y )(3x) 5 2= y - 3xy

3) 2x(x - 5)(x) = (2x)(x)(x - 5) [changer l'ordre des termes] 2= 2x (x - 5)

2 2= (2x )(x) - (2x )(5)3 2= 2x - 10x


ALGÈBRE 2

CAHIER 10

EXERCICE

35


a. x (x -6) i. -5 (4x -6) ( 3)-

b. 4 (x + 10)- j. 5a b (3a b - 2a b ) 2 2 2 5

c. 5 (2x - 15)- k. 3xy ( x y + xy ) 4 - 2 3

d. 6 ( 4 - 3x) - - l. 2a ( 4ab + 3a b) - 3 - 2 2

e. 2x (5x - 1) m. -x (x - 5)

f. n (2n - 2) 2 2 n. y ( y - 6) - -

g. x (2 - 3x ) 2 3 o. 5x (3x - 2y)-

h. 5x (4x - 6)- p. 2x (3x - 4y)-

- -


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

36

2.3.4 Calculer le produit d'un binôme par un binôme

Multiplication d'un binôme par un binôme

Multiplier chaque terme du second binôme par les termes du premier.

Soit à calculer le produit de (x + 3) par (x - 2).

On peut adopter la disposition suivante :

x + 3 1. x C x = x2

1 2 2. x C 3 = 3x

x - 2

x + 3 3. 2 C x = 2x

3 4 - 4. 2 C 3 = 6

x - 2

Donc x + 3 x - 2 x2 + 3x

- 2x - 6 x2 + x - 6 [additionner les termes semblables]

- -

- -


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

37

Remarque

Pour des raisons d'ordre pratique, il est d'usage d'effectuer les quatre produits dans cet ordre.

Une autre façon très commode d'effectuer la multiplication de binômes consiste à disposer les termes horizontalement.

Soit à multiplier x + 3 par x - 2. +))))))))), /)))))), * R R R

-(x + 3) (x - 2) = x(x) - x(2) + 3(x) + 3( 2)T T T/))- * = x2 - 2x + 3x - 6.)))))

= x2 + x - 6

+)))))))),*Exemples*.))))))))

1) Multiplier 2x - 3 par x + 6.

22x - 3 [x (2x) = 2x ] x + 6 [x ( 3) = 3x]2x2 - 3x [6 (2x) = 12x]

12x - 18 [6 ( 3) = 18]22x +9x - 18

2) (3a - 2b) (2a + 5b)

3a - 2b2a + 5b6a2 - 4ab

15ab - 10b2

2 26a + 11ab - 10b

- -


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

38

3) (4 - 2x) (3 - 4x) = 4(3) + 4( 4x) - 2x(3) - 2x( 4x)= 12 - 16x - 6x + 8x2

= 12 - 22x + 8x2

- -


ALGÈBRE 2

CAHIER 11

EXERCICE

39


a. (x + 2) (x + 3) g. (x - y) (x - 9y)

b. (x + 7) (x - 1) h. (4 + x) (6 + x)

c. (x - 3) (x + 5) i. (2 - x) (3 + x)

d. (a - 2) (a - 6) j. (2x + 8) (x - 4)

e. (2x - 6) (x + 3) k. ( 3x - 10) ( x - 6)

f. (2y + 4) (3y - 5) l. (x + a) (x - b)


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

40

En travaillant avec le produit de deux binômes, l'on remarque qu'il existe deux cas spéciaux. Dans chaque cas, on peut calculer mentalement le produit de ces binômes.

1er cas : le carré d'un binôme

Soit à trouver : (x + 3) .2

(x + 3) (x + 3) = x(x + 3) + 3 (x + 3) = x2 + 3x + 3x + 9 = x2 + 6x + 9

2(x + 3)2 = x + 2(3x) + 9

le carré de = le carré + le double + le carré la somme du premier produit du second de deux terme des deux terme coefficients termes

RÉSUMÉ

Pour calculer mentalement le carré de deux binômes on fait :

1. le carré du premier terme; 2. le double produit du premier terme par le second; 3. le carré du second terme.

+)))))))), *Exemples* .))))))))-

Effectuer les produits suivants.

2 2 21) (2x + 5) = (2x) + 2(2x)(5) + (5) 2= 4x + 2(10x) + 252= 4x + 20x + 25


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

41

2 2 - - 22) (x - 3) = (x) + 2(x)( 3) + ( 3) -= x2 + 2( 3x) + 9

= x2 - 6x + 9

2 2 - - 23) (4x - 6) = (4x) + 2(4x)( 6) + ( 6) 2 = 16x + 2( 24x) + 362= 16x - 48x + 36


ALGÈBRE 2

CAHIER 12

EXERCICE

42

1. Calculer mentalement les produits suivants.

a. (x + 2)2 f. (x - y)2

b. (x - 3)2 g. (3a - 2b)2

c. (2a + 1)2 h. (2x + 3y)2

d. (3a - 2)2 i. (4 + 2x)2

e. (a + b)2 j. (3 - x)2


ALGÈBRE 2

CAHIER 12

EXERCICE

43

e2 cas : produit d'une somme par une différence

Soit à multiplier x + 3 par x - 3.

-(x + 3) (x - 3) = x(x + 3) 3(x + 3)= x2 + 3x - 3x - 9 = x2 - 9

(x + 3) (x - 3) = x2 - 9

la somme la différence la différence de deux x de deux = des carrés coefficients coefficients des deux coefficients

RÉSUMÉ

Le produit de la somme de deux coefficients par la différence de ces mêmes deux coefficients est égal au carré du premier moins le carré du second.

+)))))))), *Exemples* .))))))))

2 21) (x + 5) (x - 5) = (x) - (5)= x2 - 25

2 22) (2x - 1) (2x + 1) = (2x) - (1)2= 4x - 1

2 23) (3x + 6y) (3x - 6y) = (3x) - (6y)2 2= 9x - 36y


ALGÈBRE 2

CAHIER 13

EXERCICE

44

1. Calculer mentalement les produits suivants.

a. (x - 5) (x + 5) f. (a + b) (a - b)

b. (y + 3) (y - 3) g. (x + y) (x - y)

c. (2x + 5) (2x - 5) h. (2 - 5y) (2 + 5y)

d. (x + 1) (x - 1) i. (6x + 1) (6x - 1)

e. (4x + 5y) (4x - 5y) j. (m - 7) (m + 7)


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

45

2.3.5 Élever un monôme à une puissance

En travaillant avec les monômes, il est possible d'appliquer la loi des exposants.

1er cas : puissance d'une base affectée d'un exposant

3 4 Soit à simplifier (a ) .

3 4 3 3 3 3Puisque (a ) peut s'écrire a C a C a C a

D'après la loi des exposants a3 + 3 + 3 + 3

3 4 12Donc (a ) = a

Mais 3 x 4 = 12

3 4 3 x 4Alors (a ) = a 3 4 12(a ) = a

RÉSUMÉ

Pour élever à une puissance quelconque une base affectée d'un exposant, on fait le produit des exposants.

+)))))))), *Exemples* .))))))))

2 3 2 x 3 61) (a ) = a = a

3 2 3 x 2 62) (4 ) = 4 = 4 = 4 096


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

46

e2 cas : puissance d'un produit

3 2 2 Soit à simplifier (2a b ) .

3 2 2 3 2 3 2Puisque (2a b ) peut s'écrire 2a b C 2a b

On peut changer l'ordre des facteurs 2 C 2 C a3 C a3 C b2 C b2

D'après la loi des exposants 22 C a3 + 3 C b2 + 2

3 2 2 6 4Donc (2a b ) = 4a b

RÉSUMÉ

Pour élever un produit à une puissance quelconque, il suffit d'élever chacun des facteurs à cette puissance.

+)))))))), *Exemples* .))))))))

2 3 5 2 x 5 3 x 5 1 x 51) (a b d) = a b d = a10 b15 d5

4 2 2 4 x 22) (5x ) = 5 C x = 25x8

3) (ab)8 = a8 b8


ALGÈBRE 2

CAHIER 14

EXERCICE

47

1. Simplifier les expressions suivantes.

a. (xy)4 h. (a b ) 2 2 5

b. (x ) 5 3 i. (3x y) 2 4

c. (b ) 5 5 j. (abc)4

d. (a ) 2 4 k. (2a b c) 5 2 3

e. (c ) 9 3 l. ( 2xy) - 3

f. (2a)3 m. (3a b) 2 2

g. ( 2x)- 3


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

48

2.4 DIVISION

2.4.1 Appliquer la loi des exposants pour la division

Avant d'aborder la loi des exposants, il serait utile de faire une révision.

1) Réviser les termes de base :

DIVIDENDE : le nombre à diviser;

DIVISEUR : le nombre qui divise;

QUOTIENT : le résultat.

+)))))))), *Exemple * .))))))))

dividende

56 = 8 quotient 7

diviseur

2) Réviser la loi des signes pour la division.

RÉSUMÉ

Loi des signes pour la division

(+) ÷ (+) = (+) (+) ÷ (-) = (-) (-) ÷ (+) = (-)


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

49

(-) ÷ (-) = (+)

Il est possible de découvrir la loi des exposants en observant comment s'effectue la division suivante.

6 4Soit à diviser 3 par 3 .

En effectuant la division, on a /3 C /3 C /3 C /3 C 3 C 3 /3 C /3 C /3 C /3

= 3 C 3

= 32

Ce qui revient à écrire 36 = 36 - 4

34

= 32

= 9

Conclusion

Loi des exposants pour la division

Dans une division, lorsque les bases sont identiques, on peut soustraire les exposants, c'est-à-dire l'exposant du numérateur

moins l'exposant du dénominateur.

+)))))))), *Exemples* .))))))))

1) x7 ÷ x2 = x7 - 2 = x5

2) a11 ÷ a10 = a11 - 10 = a


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

50

3 3 - 1 23) 5 ÷ 5 = 5 = 5 = 25

CAS PARTICULIERS

1er cas : l'exposant est nul

5 5Soit à diviser a par a .

En faisant le calcul tout au long, on a :

a/ C /a C /a C /a C /a = 1 a/ C /a C /a C /a C /a

En appliquant la loi des exposants, on a :

5 5 - 5 0a = a = a 5a

Donc a0 = 1.

Conclusion

Tout nombre (non nul) affecté de l'exposant 0 est égal à 1.

+)))))))), *Exemples* .))))))))

1) x6 ÷ x6 = x6 - 6 = x0 = 1

2) x3 ÷ x3 = x3 - 3 = x0 = 1


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

51

5 5 5 - 5 03) 2 ÷ 2 = 2 = 2 = 1

e2 cas : l'exposant est négatif

3 5Soit à diviser x par x .

En faisant le calcul tout au long, on a :

x/ C /x C /x = 1 x x x x C x2/ C / C / C x

En appliquant la loi des exposants, on a :

3 3 - 5 -2x = x = x 5x

Donc x-2 = 1 2 x .

Conclusion

Tout nombre affecté d'un exposant négatif est égal à son inverse affecté du même exposant positif.

+)))))))), *Exemples* .))))))))

6 8 6 - 8 -21) p ÷ p = p = p = 1 2p

2) a ÷ a4 = a1 - 4 = a-3 = 1


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

52

3a

3) x4 ÷ x5 = x4 - 5 = x-1 = 1 x

3 5 3 - 5 -24) 2 ÷ 2 = 2 = 2 = 1 = 1 22 4

Remarque

x-1 se lit : ?x exposant moins 1” ou ?l'inverse de x”.


ALGÈBRE 2

CAHIER 15

EXERCICE

53

1. Simplifier et donner la réponse avec des exposants positifs.

a. x11 ÷ x9 i. x5 ÷ x5

2 3 3b. y ÷ y j. 2 ÷ 2

c. x5 ÷ x2 k. x4 ÷ x4

6 4 20 2d. 2 ÷ 2 l. p ÷ p

e. x12 ÷ x9 m. z5 ÷ z3

4 7 2 5f. 5 ÷ 5 n. 3 ÷ 3

g. x ÷ x3 o. m6 ÷ m

h. x6 ÷ x8 p. x7 ÷ x7


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

54

2.4.2 Calculer le quotient d'un monôme par un monôme

Division d'un monôme par un monôme

1. Diviser les coefficients numériques en observant la loi des signes dans la division.

2. Soustraire les exposants d'une même variable.

8 3 - 6 5Soit à diviser 25a c par 5a c .

8 3 - 8 - 6 3 - 525a c = 25 ÷ ( 5) a c 6 5-5a c

2 -2= -5a c

= -5a2

2c

Remarque

Au lieu d'écrire c-2 on préfère rendre l'exposant positif au dénominateur.

+)))))))), *Exemples* .))))))))

- 5 3 2 - 41) 21x y z ÷ 7xy z = 3x y

- 5 - 52) 42ab ÷ 6a = 7b

3) 6ab ÷ 12ab = 1 2


ALGÈBRE 2

CAHIER 16

EXERCICE

55

1. Effectuer les divisions suivantes.

4 - 3 2a. 3x ÷ ( x) g. 36x y ÷ 6xyz

2 2 5 10 4 2 10 10b. 12x b c h. 9a b c ÷ a b c 4ab

- 3 4 3 - 3 - 2c. 6x y ÷ 2y i. 2ax c ÷ ( 3ax c)

3 4 - 2 3 - 2 2d. 12a b c ÷ 4a b j. 125mn ÷ 5m n

- 3 5 - 4 2 2e. 9x y ÷ 3xy k. 40x ÷ 64x y

f. 3abc ÷ 12abc


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

56

2.4.3 Calculer le quotient d'un polynôme par un monôme

Division d'un polynôme par un monôme

Pour diviser un polynôme par un monôme, on divise chacun des termes du polynôme par le monôme donné.

3 2Soit à diviser 10ax + 20x par 5x.

3 2 3 2On écrit : 10ax + 20x = 10ax + 20x 5x 5x 5x

2= 2ax + 4x

+)))))))), *Exemples* .))))))))

4 3 2 - 2 - 21) (4b - 8b + 12b ) ÷ ( 4b ) = b + 2b - 3

3 2 - - 22) (4ax - 10x + 4x) ÷ ( 2x) = 2ax + 5x - 2

Remarque

Pour vérifier le quotient obtenu, il suffit de multiplier ce quotient par le diviseur; le produit donne le dividende.

- - 2 3 22x ( 2ax + 5x - 2) = 4ax - 10x + 4x


ALGÈBRE 2

CAHIER 17

EXERCICE

57


a. (12x + 21y) ÷ 3 g. ( 16x y + 8xy) ÷ ( 8xy)- 3 -

b. (16x - 24y ) ÷ 8 2 2 - h. (4x - 8x + 12x ) ÷ ( 2x ) 4 3 2 - 2

c. (5x + 17x) ÷ x 2 i. ( 6x - 12x + 2x) ÷ (2x) - 4 3

d. ( 9a + 13a ) ÷ a - 3 4 j. ( 20b + 2b - 4b ) ÷ ( 2b ) - 2 3 5 - 2

e. (8x - 9x ) ÷ ( x ) 3 5 - 3 k. (5a + 15a - 10a ) ÷ (5a ) 7 5 4 2

f. (8a - 12a ) ÷ ( 4a ) 5 3 - 3 l. (3x - 9x + 15x) ÷ ( 3x) 2 2 -


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

58

2.5 SIMPLIFIER DES EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES EN RESPECTANT L'ORDRE DES OPÉRATIONS

Pour effectuer les opérations sur les polynômes, on suit les mêmes règles utilisées pour effectuer les opérations sur les entiers.

ORDRE DES OPÉRATIONS

1. Lorsqu'une expression contient différentes sortes de parenthèses, on les élimine successivement en commençant par celles à l'intérieur.

2. L'exponentiation à priorité sur la multiplication et la division.

3. Les multiplications et les divisions ont priorité sur les additions et les soustractions.

4. Les multiplications et les divisions se font dans l'ordre où elles apparaissent. (de gauche à droite)

5. Les additions et les soustractions se font dans l'ordre où elles apparaissent. (de gauche à droite)

+)))))))), *Exemples* .))))))))

-1) [6x (x - 4) - 15 - (2x + 3) (2x - 5)] ÷ 2x2 2 = [6x - 24x - 15 - (4x - 4x - 15)] ÷ 2x2 2 = [6x - 24x - 15 - 4x + 4x + 15] ÷ 2x2 = [2x - 20x] ÷ 2x


ALGÈBRE 2

CAHIER THÉORIE

59

= -x + 10

2 22) (a + 1) - (a + 2a + 1)2= a2 + 2a + 1 - a - 2a - 1

= 0

2 3 23) 32x y ÷ 4xy + 3xy - y(5xy)2 2 2= 8xy + 3xy - 5xy

2 2= 11xy - 5xy= 6xy2


ALGÈBRE 2

CAHIER 18

EXERCICE

60


2 3a. x2 + (3x ) (x) - x - (5x) (2x)

b. (3x + 5) (5x - 1) - (x + 1) (x - 3)

2 2c. (3x - 1) - 4(2x - 5)

d. (a + 2) (a - 5) - (2a + 1) (a - 1)

3 2 3 2 4 2 3e. c d - 2c d + 4cd 8c - 16a b c 4 2 3d ‰ 8a b c �

f. a(a - c) + b(a - c) - b(a - c)

3 3g. 2a b + 3ab - ab - 8a ÷ 4b ‰ b �

- 2 5 5h. (3x - 2) ( x - 4) - 6x b ÷ 3b

- 2 i. -[ 6b - 6b] ÷ 3b

-j. 4x - (x + 3) (x - 1) - (2x - 5) ( x + 2)

2 2 2 2k. 2x [(4x + y ) + (x - 3y )]

2l. [18a b (3a + 2)] ÷ 3ab

m. 2x - 4y + [6z - (x + y) + 3y] - 3x

- 5 4 3 5 4 3 3n. [( 12x - 4x + 5x ) - (6x + 2x - x )] ÷ 6x

3 2 - 3o. [(7x - 4x + 6x) - ( 4x + 1)] 2xy

2 4p. 12x y - (y + 4) (y - 3) 2 2 x y

q. [4x (2x + 3) - 2x (x - 3)] ÷ 6x


ALGÈBRE 2

CAHIER RENFORCEMENT

EXERCICE DE

61

3.0 EXERCICE DE RENFORCEMENT

1. Effectuer les additions suivantes.

a. 5a2 - 5b2 b. 5x2 - 6y2

2 2 - 2 22a + b 4x + 12y - 2 2 2 27a - 8b 7x - 2y

2. 3 3 3 3a. Soustraire 8b - 6a de 5a - 4b .

b. Soustraire 2a + 3b - c de 5a - 4b + 2c.


a. x2 C x5 f. (x -2) (x + 9)

2 3 b. (x ) g. (x - 6) (x + 6)

2 3 3 c. (x y ) h. (2x + 5) (3x - 6)

- 3 - 2 5d. 6 (5a + b) i. ( 4a bc) ( 9ab c )

2e. 2x (2x - 3y)


ALGÈBRE 2

CAHIER RENFORCEMENT

EXERCICE DE

62


6 2 - 5 2a. x ÷ x d. ( 18x ) ÷ (6x )

5 5 3 2b. x ÷ x e. (8x - 16x + 20x) ÷ 2x

- 7 9 - 4 4 8 20c. ( 40x y ) ÷ ( 8x y ) f. x ÷ x Donner la réponse de deux manières.

5. Simplifier.

2a. (x + 4) (x - 3) - (x - 6x - 9)

b. 3x - [y - (x + y - 3)]

c. 2x - {3x + 2 (x - 2y)}

d. 15x - {4 - [3 - 5x - (3x - 7)]}

2 2 - 2 2e. [(4x y - 5xy) - ( 8x y + xy)] ÷ 6xy

3 2f. 7a (a - ab + 3b) - 14a b ÷ 7a


MAT 2021

CORRIGÉ (Cahier 2)

DI-AM-91-12-09 BA-PG\98-03


CORRIGÉ CAHIER 2

1

EXERCICE 1, PAGE 7

1. a. 2 termes : binôme f. 3 termes : trinôme b. 1 terme : monôme g. 1 terme : monôme c. 1 terme : monôme h. 1 terme : monôme d. 2 termes : binôme i. 3 termes : trinôme e. 1 terme : monôme j. 3 termes : trinôme

2. a. 2 d. 3 b. -4 e. -1 c. 2

3. a. x c. y b. bh d. (a + b)

EXERCICE 2, PAGE 10

1. a. 11 n. -4 1/2 b. -54 o. 32 c. 47 p. 125 d. 4 q. -8 e. 9 r. -4 f. 100 s. 6 g. -50 t. 2 h. 0 u. 6 i. 72 v. 54 j. -5 w. -64 k. l x. -31 l. 0 y. -1 m. 50 z. 3


CORRIGÉ CAHIER 2

2

EXERCICE 3, PAGE 15

1. a. 10a h. -14y b. 14x i. 12x - 5y c. 10y j. 2x d. -2a + 4y k. -13x e. 2m l. 13a2

f. -8x m. 4ab2

g. -6a n. -8xy3

EXERCICE 4, PAGE 18

1. a. 8x + y h. -x2 - 2xy - y2

b. 2x i. 2a - 4b 2c. 2x - 10y j. 2y + 4

- 2d. 3a - 2b k. 5x - x - 9 e. m2 l. -a2 - 2a + 4 f. 3x - 5y + 2 m. -a + 10 g. x + 2y + 3z n. 12x + 2y - z

2. a. 7x + 7 e. 5x + 2 b. 2y + 20 f. x - 2 c. -4x + 5 g. 15x + 17 d. 15 - 16x h. -27x


CORRIGÉ CAHIER 2

3

EXERCICE 5, PAGE 21

31. a. 3x g. -16x y2b. 10m h. -25x m

- - 2c. 19xy i. 20a b - - 2 2d. 6x j. 21a x - 21a

2 3e. 37y k. 3x y- 2 - 2 3f. 6a b l. 2x y z

2. a. 27b2 f. 50y - 50y2

b. -27b2 g. -42d2

c. 5a - 4b h. -22d2

- 2 - 2d. 10a b i. 32d + 10d e. 0 j. 4z2 + z

- 2 - 3 23. a. 7a bc d. 3a cd 2b. 8x y e. 0 2c. 3a bm

EXERCICE 6, PAGE 23

1. a. -5x + 6y g. a + 5 b. -15abc - ef h. 2x

2c. 32a - 4b i. 3x - 3x + 5d. 40a2 j. a + 7b e. -x - 1 k. 2xy f. 6x - 3 l. x2 - xy + 5y2


CORRIGÉ CAHIER 2

4

EXERCICE 7, PAGE 26

2 21. a. 3a + 3b b. z c. 8a - 6 + 2bc - 5c d. -x - c - 6

2 2 2e. 9a x - 3z f. 7ab - abc + c2 - a2

EXERCICE 8, PAGE 30

1. a.

b.

2. a. b. c. d. e. f. g. h.

base : x exposant : 3

base : 4 exposant : 5

8x 3a 16a

b6

25y 53

45

b12

g. 10b - 2c h. -8x + y i. -4y - 3z + w + 2a j. -6b + a k. 3a - 2c

- 3 2 2l. a - a x - 2ax

c. base : x exposant : y

d. base : m exposant : 1

i. d12

j. x4

k. n16

l. z9

19m. x 25n. a 4o. r

p. 107


CORRIGÉ CAHIER 2

5

EXERCICE 9, PAGE 33

1. a. a b 2 2 j. a bc - 5 4

b. a b 2 3 k. 12x y 6 4

c. 24a b c 3 3 l. 6ab c d 3 2

d. 36a b - 5 3 m. 36mn6

e. 24x y 3 5 n. b c - 9 9

f. 22x y - 2 2 o. 15x y 3 4

g. 60x y - 5 p. 3a5

h. 30a b 2 3 q. 45x y - 2

i. 3a b 2 3 r. x - 7

EXERCICE 10, PAGE 35

1. a. x - 6x2 i. 60x - 90 b. 4x - 40- j. 15a b - 10a b 4 2 4 6

c. 10x + 75- k. 3x y + 3x y - 3 5 2 7

d. 24 + 18x l. 8a b - 6a b4 2 5

e. 10x - 2x 2 m. x + 5x- 2

f. 2n - 2n 4 2 n. y + 6y 2

g. 2x - 3x 2 5 o. 15x + 10xy - 2

h. 20x + 30x - 2 p. 6x + 8xy - 2


1. a. b. c. d. e. f.

x + 5x + 62

x + 6x - 72

x + 2x - 152

a - 8a + 122

2x - 18 2

6y + 2y - 20 2 l.

g. x - 10xy + 9y2 2

h. 24 + 10x + x2

i. 6 - x - x2

j. 2x - 32 2

k. 3x + 28x + 60 2

x + ax - bx - ab2


CORRIGÉ CAHIER 2

6


1. a. x2 + 4x + 4 f. x2 - 2xy + y2

2 2 2b. x - 6x + 9 g. 9a - 12ab + 4b 2 2 2c. 4a + 4a + 1 h. 4x + 12xy + 9y 2 2d. 9a - 12a + 4 i. 16 + 16x + 4x

e. a2 + 2ab + b2 j. 9 - 6x + x2


1. a. x2 - 25 f. a2 - b2

2 2 2b. y - 9 g. x - y 2 2c. 4x - 25 h. 4 - 25y

2 2d. x - 1 i. 36x - 1 2 2 2e. 16x - 25y j. m - 49


4 4 10 101. a. x y h. a b 15 8 4b. x i. 81x y 25 4 4 4c. b j. a b c 8 15 6 3d. a k. 8a b c 27 - 3 3e. c l. 8x y

3 4 2f. 8a m. 9a b g. -8x3


CORRIGÉ CAHIER 2

7


1. a. x2 i. x0 ou 1 b. y j. 20 ou 1 c. x3 k. x0 ou 1 d. 22 l. p18

3 2e. x m. z f. 1/53 n. 1/33

g. 1/x2 o. m5

h. 1/x2 p. x0 ou 1


- 3 21. a. 3x g. 6x y z

2 3b. 3x bc h. 9a 6a c

- 3c. 3x y i. 2x 3

d. -3abc j. -25 mn

2e. 3x y k. 5 8y

f. 1/4


CORRIGÉ CAHIER 2

8


1. a. b

4x + 7y 2x + 3y - 2 2

c. 5x + 17 d. 9a + 13a - 2 3

e. 8 + 9x- 2

f. 2a + 3 - 2


- 2 31. a. 9x + 2x 2b. 14x + 24x - 2

- 2c. 7x + 74x - 99 d. -a2 - 2a - 9

3e. 31c d - 8cd f. a2 - ac

g. h. i. j. k. l.

2x - 12

2x + 4x - 6 - 2

-3x - 6x + 13 2

10 - b + 2b3

a + 3a - 2a 5 3 2

2x - 5

j. 7x + x + 13 - 2

k. 10x - 4xy 3 2

l. 18a + 12a 2

m. 2x - 2y + 6z-

n. 3x - x + 1 - 2

o. 22x y - 8x y + 12x y - 2xy 4 3 2

2 3 2g. 2ab + 2ab - 2a /b p. 11y - y + 12 - 2h. 5x - 10x + 8 q. x + 3

i. -2b - 2


CORRIGÉ CAHIER 2

9

EXERCICE DE RENFORCEMENT, PAGE 61

- 2 2 21. a. 12b b. 8x + 4y

3 32. a. 11a - 12b b. 3a - 7b + 3c

3. a. x7 f. x2 + 7x - 18 b. x6 g. x2 - 36

6 9 2c. x y h. 6x + 3x - 30 4 3 6d. 30a + 6b i. 36a b c

3e. 4x - 6xy

4. a. x4 d. -3x3

0 2b. x ou 1 e. 4x - 8x + 10 3 5 -12 12c. 5x y f. x ou 1/x

5. a. 7x - 3 d. 7x + 6 b. 4x - 3 e. 2xy - 1

- 2 2c. 3x + 4y f. 7a - 7a b + 19ab


MAT 2021

DEVOIR 2ET

CORRIGÉ


ALGÈBRE 2

CAHIER 2

DEVOIR

1

1.

(30 pts)

2.

(40 pts)

Simplifier.

a. x ÷ x f. x ÷ x8 2 2 10

b. a ! a g. y ! y ! y6 20 2

c. ( 4a b ) h. ( 3a b) - 3 6 3 - 2 4

d. x ÷ x i. y ÷ y 6 6 5 5

e. (2 ) j. ( 1) 3 2 - 11

Effectuer les opérations demandées.

a. Additionner : 3x + 14y - 32 2

7x - 16y + 7 - 2 2

-7x + 10y - 112 2

b. Soustraire : 17x - 14c + 4 10x - 5c - 8

c.

d.

Additionner :

Soustraire :

7x + 4y-

-9x + 11y

a + b - c 4a - 5b + 3c

e.

f.

Soustraire :

(3x - 4y) (5x + y)

7x + xy + 8x- 2 de 6x + 4xy - 7x2

DI-AM-91-07-04 BA-PG\98-04


ALGÈBRE 2

CAHIER 2

DEVOIR

2

2 - 2g. x y( x y - 3xy)

2h. Diviser : 2x + 12x + 16 par 2x

i. (4x - 3) (2x + 6)

2j. -2x(6x - 3x + 6)


(30 pts) a. 2a + 5b - (a + 4b)

b. 6x + {3y - [(x + y) + 2y]}

2 2c. (x + 1) - (x + 2x + 1)

2 3 2d. 16x y ÷ 4xy + 3xy - y(5xy)

3e. 7x(x - xy + 3y) - 14x y 7x2

2f. 12x - 7x(x - 3) - x(5 - 3x)

-g. 10x - { - [3y - 5z - ( 2x - 3y - z) + 4x] - 5y}

2 4 2 2h. 3x y ÷ x y - (y + 4)(y + 3)

i. (3 - y)(y - 2) - (y - 6)

3 2 2j. 7a - 6a (a + 4) - a(3 - a )


CORRIGÉ 2

DEVOIR

1

1. a. x6 f. x-8 ou 1 8x

b. a7 g. y23

- 9 18 8 4c. 64a b h. 81a b

d. x0 ou 1 i. y0 ou 1

e. 26 ou 64 j. -1

- 2 2 2 22. a. 11x + 8y - 7 f. 15x - 17xy - 4y

4 2 3 2b. 7x - 9c + 12 g. -x y - 3x y

c. -16x + 15y h. x + 6 + 8 x

- 2d. 3a + 6b - 4c i. 8x + 18x - 18

2 - 3 2e. 13x + 3xy - 15x j. 12x + 6x - 12x

23. a. a + b f. 8x + 16x

b. 5x g. 16x + 11y - 4z

2c. 0 h. 2y - 7y - 12

d. 2xy2 i. 4y - y2

2 2 3 2e. 7x - 7x y + 19xy j. 2a - 24a - 3a

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FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 2021 CAHIER 2 … · 5 MAT 2021 MATHÉMATIQUES 5 ALGÈBRE 2 CAHIER THÉORIE 4 2) a2 + a contient 2 termes. 2 3) Dans l'expression algébrique 6a 3: 6