8/20/2019 Géométrie Des Courbes - Courbes de L_espace

1/2

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 14 juin 2011 Enoncés 1

Courbes de l’espace

Exercice 1 [ 00631 ] [correction]Déterminer le vecteur tangent T en tout point régulier de la courbe Γ dénie parle paramétrage cartésien :

x = a(1 + cos t)cos ty = a(1 + cos t)sin tz = 4a sin( t/ 2)

Calculer la longueur de Γ.

Exercice 2 [ 00632 ] [correction]Soit Γ la courbe dénie par le paramétrage cartésien :

x = cos 3 t

y = sin 3 t

z = 34

cos 2t

Montrer que la tangente en tout point régulier de Γ fait un angle constant avecl’axe (Oz).

8/20/2019 Géométrie Des Courbes - Courbes de L_espace

2/2

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 14 juin 2011 Corrections 2

Corrections

Exercice 1 : [énoncé]

x (t) = −2a sin 3t2

cos t2

y (t) = 2 a cos 3t2 cos

t2

z (t) = 2 a cos t2

donc pour t /∈ π + 2 πZ (de sorte que cos(t/ 2) = 0 ), on a

T

− 1√ 2 sin

3t2

1√ 2 cos

3t2

1√ 2

Le paramétrage est 4π périodique. La longueur de Γ est donc

L = 4 π

0

d−−→OM dt

dt = 4 π

02√ 2a cos t

2dt = 4 √ 2a

2 π

0 |cos t| dt = 16 √ 2a

Exercice 2 : [énoncé]

x (t) = −3sin t cos2 t

y (t) = 3 sin 2 t cos tz (t) = −3sin t cos t

donc

T

1√ 2 cos t

− 1√ 2 sin t

1√ 2

On a −→T · k = 1

√ 2 doncEcart ( T , k) = π/ 4