MEC3510 A2013 Bloc02 Courbes

Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 1

Bloc 2 - Modlisation de courbes & conditions de continuit

MEC3510 lments de CFAO


Plan

A. Introduction

B. Notions thoriques sur les courbes

C. Notions appliques


Plan

A. Introduction

A.1 Pourquoi tudier les courbes & surfaces?

A.2 Exemple dans lindustrie

A.3 Objectifs du cours


Pourquoi tudier courbes & surfaces?

Connaissance des fondements mathmatiques des courbes & surfaces permet lingnieur de reconnatre les capacits et les limites des outils de conception mis sa disposition ;

Spcifications de design ncessitent souvent un contrle prcis des conditions de continuit entre les lments gomtriques dfinissant le produit (ex. surfaces de classe A en automobile) ;

Tir de: www.design-engine.com

A.1


Exemple dans lindustrie

CONCEPTION DUNE AUTOMOBILE

du design vers lingnierie

A.2


Objectifs du cours

Connatre les notions mathmatiques supportant les outils de modlisation de courbes et surfaces disponibles sur les logiciels de CFAO, en vue dune exploitation efficace ;

Comprendre les informations donnes par les logiciels de CFAO.

Utilisateur

Outils de modlisation

de courbes/surfaces

Besoin choix dun outil de modlisation

Courbes/surfaces avec

caractristiques intrinsques

Informations

Connaissance &

comprhension

permettent de faire

un choix + clair

A.3


Plan

A. Introduction




Plan


B.1 Reprsentations mathmatiques

B.2 Types de courbes paramtriques

B.3 Drives premire, seconde et proprits gomtriques dune courbe

B.4 Notions de continuit

B.5 Contrle local et contrle global

B.6 Courbes synthtiques : descriptions mathmatiques et caractristiques

B.7 Synthse des courbes synthtiques : Hermite, Quintique, Bzier, B-spline, NURBS


Rappels

Vecteurs: produit scalaire, produit vectoriel

Transformation rigide

Matrices: addition, multiplication par un vecteur, multiplication par une matrice

Matrices: transpose, inversion

Interpolation, Ajustement


Reprsentations mathmatiques

Forme explicite: y = f(x) Ex: y = mx + b (q. droite)

Forme implicite: f (x, y, z) = 0 Ex: ax + by + c = 0 (q. droite)

Pas adquat pour CAO:

- droite verticale: pente infinie

- multi-valeur: mme valeur pour un x, y, z donn

- ncessit dvaluer une courbe intervalles rguliers

B.1


Forme paramtrique et vectorielle x, y, z exprims en terme de variables indpendantes (paramtres)

Expression gnrale:

Entit de dimension gomtrique k dans un espace n

dimensions: )(uPP

),...,,( 21 npppP

),...,,( 21 kuuuu

: vecteur de coord. n dimensions

: jeu de k paramtres (kn)

Ex: surface (dim. gom. 2) dans un espace 3D (n=3):

),(

),(

),(

),(

vuzz

vuyy

vuxx

vuP

Reprsentations mathmatiques B.1


Forme paramtrique et vectorielle

Courbes: P(u) = [x(u) y(u) z(u)]T

Surfaces: P(u,v) = [x(u,v) y(u,v) z(u,v)]T

Solides: P(u,v,w) = [x(u,v,w) y(u,v,w) z(u,v,w)]T

Gnralement employe en CAO

- facile valuer diffrents intervalles (rguliers ou non)

- facile reprsenter en petits segments

- une valeur du paramtre correspond un point sur la courbe

Cependant, dans certaines

applications, les formes

implicites sont plus efficaces



umin umax

P(u) P(u)

x(u)

umin umax u

y(u) u

z(u)

u

Composantes dans lespace paramtrique

S(u,v,w)

COURBE SOLIDE

S(u,v)

SURFACE

Forme paramtrique et vectorielle



Types de courbes paramtriques

Analytique Coniques (6.2):

lignes ;

cercles et arcs de cercles ;

ellipses et arcs dellipses ;

paraboles ;

hyperboles ;

Autres : spirales, etc.

Peuvent reprsenter plusieurs pices mcaniques ;

Mais ne suffisent pas rencontrer toutes

les spcifications gomtriques de design.

B.2


Synthtique Utilisation de fonctions polynomiales :

P(u) = [x(u) y(u) z(u)]T

= a0 + a1u + a2u2 + a3u

3 + + anun (0 u 1)

Afin de trouver les ai , le modle est construit partir de donnes: Points de contrles ; Drives premires ; Drives secondes ; Etc.

Exemples : courbes dHermite, quintique, Bzier, B-spline et NURBS

Permettent la modlisation de produits gomtrie complexe: voitures, coque des navires, ailes et fuselage davions, hlices, bouteilles, etc.

Types de courbes paramtriques

B.2


Drives premire, seconde et proprits gomtriques dune courbe

Les drives premire et seconde sont des notions primordiales dans le calcul des courbes : elles permettent de calculer les proprits gomtriques dune courbe, et dvaluer la continuit la jonction entre deux courbes

B.3


Plan


B.3 Drives premire, seconde et proprits gomtriques dune courbe

B.3.1 Drive premire et tangente dune courbe paramtrique

B.3.2 Drive seconde et courbure dune courbe paramtrique

B.3.3 Drives dune courbe - Exemple


Drive premire et tangente dune courbe paramtrique

Drive premire dune courbe en un point

est la norme de la drive (longueur)

est le vecteur tangent unitaire (orientation)

Analogue la vitesse dune particule en un point de sa trajectoire

P(u)/u |u=0

P(u)/u |u=0,3

P(u)/u |u=1

)( )('))(())(())((

/)()(' utuPu

uz

u

uy

u

uxuuPuP

T

)(' uP

t

B.3.1


Drive seconde et courbure dune courbe paramtrique

Drive seconde dune courbe en un point

Dcomposition en une composante normale et tangentielle:

est le vecteur de courbure gom.

n(u) est le vecteur normal unitaire

k(u) est la courbure (scalaire)

=1/k(u) est le rayon de courbure

T

u

uz

u

uy

u

uxuuPuP

2

2

2

2

2

222 ))(())(())((/)()(''

P(u) (u)n k(u) (u)'P

K(u) k(u) n(u)

Courbure nulle drives premires et secondes sont aligns (produit vectoriel nul)

P(u) est analogue lacclration dune particule en un point de sa trajectoire

2

(||P(u)||)t u

P(u) = (||P(u)|| t) = (||P(u)||)t + ||P(u)||2 k(u)n(u) u u

B.3.2


Soit la courbe P(u) suivante dfinie par x(u) et y(u).

Calculez les drives premire et seconde

Calculez la tangente en u=1

Calculez la pente de cette courbe dans le plan (x,y) u=2

3 2

3 2

( ) 2 12 3( ) , 0,3

( ) 4 2 5

x u u u up u u

y u u u u

Drives dune courbe Exemple

B.3.3


Notions de continuit

Conditions de continuit gomtrique (G0, G1, G2) et paramtrique (C0,C1,C2) entre deux segments de courbe

B.4


Plan


B.4 Notions de continuit B.4.1 Continuit dordre 0

B.4.2 Continuit dordre 1

B.4.3 Continuit dordre 2

B.4.4 Exemples dapplication : continuit de courbes

B.4.5 Notions de continuit - Exemple


Continuit dordre 0

Continuit paramtrique (C) OU gomtrique (G) dordre 0 si les courbes partagent un point commun leur jonction

Pas de discontinuit entre les courbes

G0 = C0 P1(u)|u=1 = P2(u) |u=0

P1(u)

P2(u)

point de jonction

u u

B.4.1


Continuit dordre 1

Continuit paramtrique C1 Continuit des drives premires P1(1) = P2 (0) Norme des drives premires ET vecteurs tangents

unitaires sont gaux

Continuit gomtrique G1 P1(1) = k P2 (0) ; k > 0 Seuls les vecteurs tangents unitaires sont gaux Les drives premires sont gales un facteur k prs

Une continuit G1 parat aussi lisse quune continuit C1

P1(u)

P2(u)

B.4.2


Continuit dordre 2

Continuit paramtrique C2 Continuit des drives secondes

P1(1) = P2 (0)

Norme et Direction des drives secondes sont gales

Continuit gomtrique G2 Continuit du vecteur de courbure

k1(1)n(1) = k2 (0)n(0) P1(1) = (a1/a2)2 P2(0)

avec a1 = norme de P1 et a2 = norme de P2

P1(1) = (a1/a2)2 P2(0) + P2(0)

avec arbitraire

Seuls les vecteurs de courbures sont gaux

Forme

gnralise

B.4.3


Exemples dapplication : continuit de courbes

Tir de www.think3.com

LABORATOIRE SUR Modlisation de courbes et surfaces

B.4.4

Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier

Quel ordre de continuit paramtrique a-t-on entre les 2 courbes paramtriques suivantes ?

28

0%0%0%

C0 C1 C2

3 2

3 2

3 2

3 2

2 3( ) , 0,3

4 5

8 28 30 6( ) , 3,4

8 52 102 68

u up u u

u u

v v vq v v

v v v

1. C0

2. G0

3. C1

4. G1

5. C2

6. G2


Quel ordre de continuit paramtrique a-t-on entre les 2 courbes paramtriques suivantes ?

29

0%0%0%

C0 C1 C2

3 2

3 2

3 2

3 2

2 3( ) , 0,3

4 5

8 28 30 6( ) , 3,4

8 52 102 68

u up u u

u u

v v vq v v

v v v

1. C0

2. G0

3. C1

4. G1

5. C2

6. G2


Contrle local et contrle global

Contrle local : la modification dune donne dentre entrane la modification dune portion de la courbe seulement

Contrle global : la modification dune donne dentre entrane la modification de toute la courbe


Plan


B.6 Courbes synthtiques : descriptions mathmatiques et caractristiques

B.6.1 volution des courbes synthtiques

B.6.2 Courbes polynomiales

B.6.3 Courbes dHermite

B.6.4 Courbes quintiques

B.6.5 Courbes de Bzier

B.6.6 Courbes B-splines

B.6.7 Courbe NURBS

31


volution des courbes synthtiques (annes 60-70)

Courbes non-rationnelles

(dfinies par un seul polynme)

Note : ces courbes sont des cas

particuliers de courbes NURBS

COURBES POLYNOMIALES

COURBES CUBIQUES-QUINTIQUES

COURBES DE BZIER

B-SPLINES

NURBS Non-uniform Rational B-Splines

Courbes rationnelles (dfinies par le ratio de deux

polynmes)

B.6.1


Courbes polynomiales

La majorit des quations en CFAO sont de degr 3

Continuit de courbure assure

Prsence doscillations des degrs suprieurs

P(u) = a0 + a1u + a2u2 + a3u

3 + + anun (0 u 1)

Rsoudre les n +1 coefficients (ai i=0 n) requiert donc n+1 conditions initiales

Dterminer les ai 4 conditions initiales

Les ai sont des vecteurs de

coefficients algbriques

Convention : notation en gras = vecteur!

B.6.2

Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 34 34

Courbes dHermite Expression gnrale

Si les 4 conditions initiales sont les points et drives premires aux extrmits de la courbe, on a une courbe dHermite

P(0) = P0

P(1) = P1

P(0) = P0

P(1) = P1

Rfrence : KUNWOO LEE, Principles of CAD/CAM/CAE

Systems, 1999

(q. 6.13)

Fonctions dinfluence

P(u) = a0 + a1u + a2u2 + a3u

3 (0 u 1) (q. 6.10)

En remplaant les conditions initiales dans 6.10, on obtient

P0=P(0) = a0

P1=P(1) = a0+ a1+ a2+ a3 (q 6.11)

P0=P(0) = a1

P1=P(1) = a1+ 2a2+ 3a3

En solutionnant 6.11 pour les ai, on obtient lexpression gnrale

P0

P1 P0

P1

P(u) = [ 1-3u2+2u3 3u2-2u3 u-2u2+u3 -u2+u3 ]

P0 P1 P0 P1

Coefficients

gomtriques (+ intuitif)

B.6.3

HERMITE, Charles

(1822-1901)

Mathmaticien

Franais


forme matricielle

P(u) = [ H1(u) H2(u) H3(u) H4(u) ] = [ 1 u u2 u3 ]

1 0 0 0

0 0 1 0

-3 3 -2 -1

2 -2 1 1

P0 P1 P0 P1

H1(u) = 1 3u2 + 2u3

H2(u) = 3u2 - 2u3

H3(u) = u 2u2 + u3

H4(u) = -u2 + u3

q. 6.14

P0 P1 P0 P1

Courbes dHermite Expression gnrale

B.6.3

Hi(u) = 1 pour 0 u 1 et i = 1 4


valuer la courbe dHermite pour u = 0, 0.5 et 1 si les conditions initiales sont :

Courbes dHermite Exemple de calcul

(1,2)

(4,4)

60 Note : les vecteurs de tangence sont unitaires

x

y

u

B.6.3


Courbes dHermite Effet des drives premires

B.6.3


Courbes de degr 3

Courbes dfinies par les points et drives premires aux extrmits

Modification dune condition initiale entrane la modification de toute la courbe contrle GLOBAL

Courbes dHermite Proprits/Inconvnients

Modification dun point Modification dune drive premire

PRINCIPAL INCONVNIENT : difficile de prdire la

forme de la courbe partir des drives premires

B.6.3


Courbes quintiques Expression gnrale

P(u) = [ F1(u) F2(u) F3(u) F4(u) F5(u) F6(u) ]

= [ 1 u u2 u3 u4 u5]

Courbes de degr 5 dont les 6 conditions initiales sont les points, les drives premires et les drives secondes aux extrmits

1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0.5 0

-10 10 -6 -4 -1.5 0.5

-15 -15 8 7 1.5 -1

-6 6 -3 -3 -0.5 0.5

P0

P1

P0 P1 P0 P1

P0

P1

P0 P1 P0 P1

B.6.4


Courbes de degr 5

Courbes dfinies par les points, les drives premires aux extrmits et les drives secondes aux extrmits


Courbes quintiques Caractristiques/Inconvnients

PRINCIPAL INCONVNIENT : comme lHermite, difficile de prdire la forme de la courbe partir des drives premires ET des drives secondes

COURBES DE BZIER

B.6.4


Choix de nouvelles conditions initiales (P0, P1, P2, , Pn) et de nouvelles fonctions dinfluence tel que

)10()()(0

,

uPuBuP i

n

i

ni

ini

ni uuini

nuB

)1(

!)(!

!)(,

Courbes de Bzier Expression gnrale

BZIER, Pierre (1910-1999)

Ingnieur Franais, cie Renault

Polynme

de Bernstein

Points de

contrle

Polygone de

contrle

Nombre de points de contrle = n + 1

Degr de la courbe = n

Ordre de la courbe = n + 1

Degr de la courbe = nombre de points de contrle -1

B.6.5


Courbes de Bzier Exemples

Quel est le degr de chacune des courbes?

Tir de ZEID, CAD/CAM theory

and practice, 1991

B.6.5


Calculer le polynme dune courbe de Bzier compose de 4 points de contrle (P0, P1, P2 et P3) ?

Courbes de Bzier Exemple de calcul

Tir de ZEID, CAD/CAM theory

and practice, 1991

B.6.5


Courbes de Bzier Fonctions dinfluence

B0,2

B1,2

B2,2 B0,3

B1,3 B2,3

B3,3

B0,4

B1,4 B2,4

B3,4

B4,4 B0,5

B1,5 B2,5

B4,5

B5,5

B3,5

Bi,n(u) = 1 pour 0 u 1

B.6.5


Les conditions initiales sont les points de contrle

La courbe passe par P0 et Pn : premier et dernier point de contrle

La courbe sinscrit dans un polygone de contrle

La premire tangente a la mme direction que le premier segment du polygone P1-P0. Idem pour le dernier segment Pn-Pn-1

P(0) = n(P1-P0) et P(1) = n(Pn-Pn-1)

Courbes de Bzier Proprits

Courbe passe

par P0 et Pn

Courbe inscrite dans le

polygone de contrle

Points de contrle

P(1) = n(Pn Pn-1)

= 3(P3 P2)

P(0) = n(P1 P0)

= 3(P1 P0)

B.6.5


Le degr n le plus lev est dtermin par les n+1 points de contrle

La courbe est symtrique par rapport u et (1-u) Bi,n(u)=Bn-i,n(1-u)

La squence des points de contrles peut tre invers sans changer la forme de la courbe


Courbes de Bzier Proprits (suite)

B.6.5


Une courbe de Bzier est quivalente une courbe dHermite si : DegrBzier = 3 (4 points de contrle)

P0 Bzier = P0 Hermite P3 Bzier = P1 Hermite P1 Bzier = (P0 Hermite/3) + P0 Hermite car P0=3(P1- P0)

P2 Bzier = P1 Hermite - (P1 Hermite/3) car P3=3(P3- P2)

Courbes de Bzier quivalence avec la courbe dHermite

B.6.5


Calculer les coordonnes du point P2 pour assurer une continuit paramtrique dordre 1 (C1) entre la courbe dHermite A et la courbe de Bzier B.

B.6.5

x

y

( )CP u

( )AP u

, (0)AP

, (1)AP

(0)AP

(1)AP

(0)CP

(1)CP

(2)CP

(3)CP

(4)CP

1 2 3 4

2 2 0

10 7 0( ) ( ), ( ), ( ), ( )

6 6 0

6 3 0

AP u H u H u H u H u

0,4 1,4 2,4 3,4 4,4

18 1 0

21 4 0

( ) ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) 22 0 0

25 2 0

28 1 0

CP u B u B u B u B u B u

Courbes de Bzier Exemple: Donnez lquation complte de la courbe PB(u) permettant de raccorder les courbes PA(u) et PC(u) avec une continuit paramtrique dordre 1 (C1) si on utilise une courbe de Bzier de degr 3


Courbes de Bzier Exemple: Soient 2 courbes de Bzier PB1(u1) et PB2(u2) construire partir des sries de points de contrle suivants: PB1(u1): P1, P2, P3, P4, P5 et PB2(u2): P6, P7, P8, P9 ;

crivez les deux quations PB1(u1) et PB2(u2)

crivez lquation de la courbe dHermite PH(u3) qui permettra de joindre PB1 et PB2 (entre P5 et P6) avec une continuit paramtrique dordre C1.

B.6.5


La courbe ne passe pas par les points de contrle

Le contrle de la courbe est globale

Le degr de la courbe est fonction du nombre de points de contrles : n+1

Besoin de nouvelles fonctions dinfluence qui ne doivent pas intgrer n dans leur dfinition

doivent tre non-nulles sur une portion de la courbe seulement pour obtenir un contrle local

Courbes de Bzier Inconvnients

B-Splines

B.6.5


<

51

)0()()( max0

, tuPuNuP i

n

i

ki

Tir de KUNWOO LEE, Principles of

CAD/CAM/CAE Systems, 1999

Choix de nouvelles fonctions dinfluence (Cox et de Boor, 1972)

Courbes B-splines Expression gnrale

Priodique :

Non-priodique :

Vecteur de noeuds

B.6.6


<

52

max,

0

( ) ( ) (0 )n

i k i

i

P u N u P u t

Courbes B-splines Expression gnrale : explications

ordre k

Priodique :

Non-priodique :

Vecteur de noeuds

n+1 points de contrle

Le premier et le dernier

nud se rpte k fois

Pour k =1, le degr de Ni,1 est 0. Si k = 2, Ni,1 est multipli par u et le degr de Ni,2 est 1. Et

ainsi de suite degr = k -1

Calcul rcursif des

fonctions dinfluence

B.6.6

Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 53 Tir de KUNWOO LEE, Principles of


Courbes B-splines Exemple : vecteur de noeuds

Calculer le vecteur de nuds non-priodiques dune B-Spline dordre 4 compose de 7 points de contrle

B.6.6

Cours MEC3510 lments de CFAO C.E. Aubin, . Wagnac, F.Salako, D. Pri-Curnier 54 Tir de KUNWOO LEE, Principles of


Courbes B-splines Exemple : fonctions dinfluence

Quelles sont les fonctions dinfluence ncessaires au calcul dune B-Spline dordre 3 passant par 2 points de contrle?

B.6.6


Quel est lordre de cette B-Spline ?

55

0%0%0%0%

2 3 4 5

1. 2

2. 3

3. 4

4. 5


Quel est le nombre de points de contrle composant cette B-Spline?

56

0%0%0%0%

6 7 8 9

1. 6

2. 7

3. 8

4. 9


Courbes B-splines Exemple : fonctions dinfluence et nuds non-priodiques

B.6.6

N0,3

N1,3 N2,3

N3,3

Calculez le vecteur

de nuds non priodique de cette

B-Spline


Courbes B-splines Exemple de calcul

Calculer le polynme dune B-spline uniforme non-priodique dordre 3 passant par 4 points de contrle

B.6.6


Solution : 1. Forme de lquation P(u) = N0,3P0 + N1,3P1 + N2,3P2 + N3,3P3 0 u umax

2. Calcul du vecteur de nuds Vecteur de nuds non-priodique courbe passe par premier et

dernier point de contrle) Nombre de nuds = n + k +1 = 3 + 3 + 1 = 7 tmax = umax = n k + 2 = 2 t = [0 0 0 1 2 2 2] donc, lintervalle de la courbe est 0 u 2

B.6.6



Solution (suite): 3. Quelles sont les fonctions dinfluence ncessaires

B.6.6

1,0N

1,1N

2,0N

1,3N

2,2N

3,0N

3,1N

1,2N

2,1N

N2,3

N3,3 N3,2

N4,2 N4,1

N5,1



Solution (suite): 4. Calcul des fonctions dinfluence dordre 1

B.6.6

1 seule fonction dinfluence dordre 1 peut tre non-nulle aux valeurs limites de lintervalle. Cest pourquoi les fonctions N0,1, N1,1, N4,1 et N5,1 sont poses nulles. Le choix de la fonction

dinfluence non-nulle ne modifie pas le rsultat final.

N0,1 = 1 0 u 0 0 ailleurs






= 0

= 0

= 0

= 0




B.6.6

Note : 0/0 = 0 dans

le calcul dune courbe B-Spline

N0,2 = (u 0) N0,1 + (0 u) N1,1 = 0 (0 0) (0 0)

1-u 0 u 1 0 ailleurs

N1,2 = (u 0) N1,1 + (1 u) N2,1 = (0 0) (1 0)

0 0

u 0 u 1 2-u 1 u 2

N2,2 = (u 0) N2,1 + (2 u) N3,1 = (1 0) (2 1)

0

u - 1 0 u 1 0 ailleurs

N3,2 = (u 1) N3,1 + (2 u) N4,1 = (2 1) (2 2)

N4,2 = (u 2) N4,1 + (2 u) N5,1 = 0 (2 2) (2 2)

0

0 0




B.6.6

Note : 0/0 = 0 dans le calcul

dune courbe B-Spline

N0,3 = (u 0) N0,2 + (1 u) N1,2 = (0 0) (1 0)

u(1-u) + u(2-u)/2 0 u 1 (2-u)2/2 1 u 2

N1,3 = (u 0) N1,2 + (2 u) N2,2 = (1 0) (2 0)

0

u2/2 0 u 1 u(2-u)/2 + (2-u)(u-1) 1 u 2

N2,3 = (u 0) N2,2 + (2 u) N3,2 = (2 0) (2 1)

(u-1)2 /2 1 u 2

0 ailleurs N3,3 = (u 1) N3,2 + (2 u) N4,2 =

(2 1) (2 2)

0

(1-u)(1-u)N2,1 = (1-u)2 0 u 1

0 = 0 ailleurs



Solution (suite et fin): 7. quation finale

B.6.6

P(u) = (1-u)2N2,1P0 + [[(u(1-u)+u(2-u)/2]N2,1+ ((2-u)2/2)N3,1]P1 + [(u2/2)N2,1 + [u(2-u)/2 + (2-u)(u-1)]N3,1]P2 + (u-1)2N3,1P3

N0,3 N1,3 N2,3 N3,3

P1(u) = (1-u)2 P0 +[(u(1-u)+u(2-u)/2]P1 + (u

2/2) P2 0 u 1

En rcrivant lquation pour chaque intervalle de u, on obtient 2 segments de courbes dont les quations sont :

P2(u) = (2-u)2/2 P1 + [u(2-u)/2 + (2-u)(u-1)]P2 + (u-1)

2 P3 1 u 2

De cet exemple, on observe les proprits suivantes des courbes B-Splines :

- une B-Spline est une courbe compose de n-k+2 segments de courbes

- une B-Spline est drivable k-2 fois (dans lexemple, la drive 1ire est continue sur toute la courbe) - chaque segment de courbe est affect par k points

- chaque point affecte au maximum k segments. (Dans lexemple, le point 3 affecte seulement le segment 2 contrle local)

P0

P1 P2

P3

u=1

u=2 P1(u)

P2(u)



Degr maximal sur le polynme : k-1

n+1 points de contrles

Ordre k

n-k+2 : nombre de segments

Chaque segment de courbe est affect par k points de contrles


Courbes B-splines Proprits

B.6.6


Dans le vecteur de nuds, la premire valeur et la dernire valeur sont dupliqus k fois

Avec un vecteur de nuds non-priodiques, la courbe passe par le premier et le dernier point de contrle

Pour une valeur de paramtre donne, la somme des fonctions dinfluences est toujours gale 1

Pour une B-spline, lorsque le nombre de points (n+1) est gal lordre, alors cest quivalent une Bzier

Le contrle est LOCAL sur la courbe : chaque point affecte au maximum k segments de courbes

Courbes B-splines Proprits (suite)

B.6.6


Courbes B-splines Proprit : contrle local

Le dplacement du point P6 naffecte que 2 segments de la courbe

Le dplacement dun point affecte au maximum k segments (ex. P3 et P4).

B.6.6


Courbes B-splines Proprit : effet de la rptition dun point

B.6.6


Plus k est petit, plus la courbe colle aux points de contrle

Plus k est grand, plus la courbe sapproche dune Bzier

Courbes B-splines Proprit : effet de lordre sur la courbe

B.6.6


Plus k est petit, plus le contrle local est fort

Plus k est grand, plus le contrle local est faible

Courbes B-splines Proprit : effet de lordre sur le contrle

B.6.6


Courbes B-splines Proprit : continuit sur une courbe

B.6.6


Courbes B-splines Inconvnient

Ne peuvent quapproximer les coniques telles que le cercle, lellipse, la parabole et lhyperbole.

B.6.6


Courbes B-spline Exemple:

B.6.6

Soit la courbe B-Spline P(u) dordre 4 passant par 8 points de contrle (non dfinis),

Quel est le degr de la courbe P(u) ? Calculez le vecteur de noeuds non priodiques

associ cette courbe P(u).

Quelles fonctions dinfluence devrez-vous calculer afin dobtenir lexpression de la fonction dinfluence N3,4(u)?


B.6.6

Soit la courbe B-Spline P(u) dont les fonctions dinfluence sont illustres ci-dessus.

Combien de points de contrle dfinissent cette B-Spline ? Dterminez lordre K de cette B-Spline Si cette B-Spline est assemble avec une courbe dHermite,

est-il possible davoir une continuit C2 au point de jonction ?

Courbes B-spline Exemple:


Avec les mmes points de contrle, quel ordre de la B-Spline la rapprocherait le plus des points de contrle sans donner le polygone de contrle ?

75

0%0%0%0%

2 3 4 5

1. 2

2. 3

3. 4

4. 5


Avec les mmes points de contrle, quel ordre de la B-Spline donnerait la courbe la plus lisse ?

76

1. 3

2. 4

3. 5

4. 6 0%0%0%0%

3 4 5 6


Avec les mmes points de contrle, quel ordre de la B-Spline donnerait lquivalent dune courbe de Bzier ?

77

0%0%0%0%

3 4 5 6

1. 3

2. 4

3. 5

4. 6


Courbe NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline) Expression gnrale

Gnralisation de toutes les courbes

)0(

)(

)(

)( max

0

,

0

,

tu

uNh

PuNh

uPn

i

kii

i

n

i

kii

Tir de KUNWOO LEE, Principles of


B.6.7

mme fonction

quune B-Spline


n+1 points de contrles

Ordre k

Degr : k-1

Le contrle est local sur la courbe : chaque point affecte au maximum k segments de courbes

Chaque segment de courbe est affect par k points de contrles

Courbes NURBS Proprits

B.6.7



Dans le vecteur de nuds, la premire valeur et la dernire valeur sont dupliqus k fois

Avec un vecteur de nuds non-priodiques, la courbe passe par le premier et le dernier point de contrle

Pour une valeur de paramtre donne, la somme des fonctions dinfluences est toujours gale 1

Courbes NURBS Proprits (suite)

B.6.7


http://en.wikipedia.org/wiki/NURBS

Courbes NURBS Proprit : effet de lordre sur une NURBS

B.6.7


Quelle condition permet davoir un contrle local de la courbe ?

82

25%

25%25%

25%

1. 2. 3. 4.

1. Dcoupler le degr du nombre de points

2. Avoir le maximum de points pour calculer la courbe

3. Augmenter le nombre de fonctions dinfluences

4. Connaitre les vecteurs vitesse aux dbut et fin de la courbe


Quelle condition permet davoir un contrle local de la courbe ?

83

25%

25%25%

25%

1. 2. 3. 4.

1. Dcoupler le degr du nombre de points

2. Avoir le maximum de points pour calculer la courbe

3. Augmenter le nombre de fonctions dinfluences

4. Connaitre les vecteurs vitesse aux dbut et fin de la courbe


Synthse des courbes synthtiques : Hermite, Quintique, Bzier, B-spline, NURBS

Type de courbe

Cond. initiales

quation Principales caractristiques de la courbe

Ordre Degr Tangence aux extrmits

Contrle

Hermite cubique

P0, P1, P0, P1

P(u) = F1(u)P0 + F2(u)P1 + F3(u)P0 +F4(u)P1 ( 0 u 1)

4 3 P(0) = P0 P(1) = P1

Global

Quintique P0, P1, P0, P1,

P0, P1,

P(u) = F1(u)P0 + F2(u)P1 + F3(u)P0 + F4(u)P1 + F5(u)P0 + F6(u)P1

( 0 u 1)

6 5 P(0) = P0 P(1) = P1

Global

Bzier P0, P1,

P2,, Pn

( 0 u 1)

n +1

(nbre de points)

n P(0) = n(P1 P0)

P(1) = n(Pn Pn-1)

Global

B-Spline P0, P1,

P2,, Pn Ordre k

k k-1 Orient selon

(P1 P0) et (Pn Pn-1)

Local

Nurbs P0, P1,

P2,, Pn Ordre k

k k-1 Orient selon

(P1 P0) et (Pn Pn-1)

Local

)0()()( max0

, tuPuNuP i

n

i

ki

)10()()(0

,

uPuBuP i

n

i

ni

)0()()( max0

, tuPuNuP i

n

i

ki

)0(

)(

)(

)( max

0

,

0

,

tu

uNh

PuNh

uPn

i

kii

i

n

i

kii

B.7


Plan

A. Introduction




Plan


C.1 Features de modlisation de courbes sur CATIA v5

C.2 Types de courbe disponibles

C.3 Caractristiques des principaux features de courbes

C.4 Synthse

C.5 Outils danalyse de courbe

C.6 volution des outils de modlisation


Cration de courbes partir de courbes et surfaces existantes

Features de modlisation de courbes disponibles sur CATIA V5

Courbe 3D (ateliers DSE, FS)

Cration de courbes partir de points

Courbe (ateliers GSD, WSD)

Courbe 2D (dans une esquisse)

Courbe de raccordement (ateliers GSD, WSD)

Courbe isoparamtrique (ateliers GSD, FS)

Courbe sur surface (atelier FS) Cong de raccordement (atelier FS)

Projection de courbe (ateliers WSD, GSD, FS)

Raccord de courbe Freestyle (atelier FS)

Connecteur de courbes (atelier FS)

C.1

Intersection (ateliers WSD, GSD)

Note :

Cette liste nest pas exhaustive. De plus, certains de ces features sont aussi disponibles dans dautres ateliers.

Lgende :

DSE : Digitized Shape Editor

GSD : Generative Shape Design

WSD : Wireframe and Surface Design

FS : Freestyle

Coniques

Cercle, ellipse, parabole, hyperbole, etc.


Displayed type What is it ? s

NurbsCurve Non Uniform Rational B-Spline Curve

NupbsCurve Non Uniform polynomial B-Spline Curve

PNupbs Parametric non rational curve on a surface

SplineCurve Parametric non rational curve

PSpline Parametric curve on a surface

Autres types : PLine, Line, Helix, Plane, IntCurve,

MergedCurve, etc.

Voir laide de CATIA pour la liste complte

Types de courbes disponibles sur CATIA V5

C.2

chaque feature de modlisation de courbe

est associ un type de courbe qui dicte les

proprits de la courbe rsultante


Types de courbes disponibles sur CATIA V5

C.2

Quelques dfinitions

NURBS : une NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline) est une B-Spline non uniforme dont les poids, qui multiplient les points de contrle, sont des nombres rationels. Dans CATIA, elle sert principalement reprsenter exactement les coniques telles un cercle, une ellipse, une parabole, etc.

NUPBS : une NUPBS (Non-Uniform Polynomial B-Spline) est une NURBS dont les poids, qui multiplient les points de contrle, sont unitaires (h = 1). Cest donc une B-Spline (ou une Bzier/quintique/Hermite dans certains cas). Le terme NUPBS est propre CATIA.

PNUPBS : une PNUPBS est une courbe paramtrique non-rationelle NUPBS sur une surface.

SplineCurve : une SplineCurve est une courbe paramtrique non rationelle passant par les points. Le degr de cette courbe nest pas renseign dans CATIA.

PSpline : une PSpline est une courbe paramtrique sur une surface.


C.3.1 Courbe (ateliers GSD, WSD) C.3.2 Courbe 3D (ateliers DSE, FS)

C.3.2.1 - par tous les points

C.3.2.2 - par points de contrle

C.3.3 Courbe 2D (dans lesquisse)

Caractristiques des principaux features de courbe

C.3


Courbe (ateliers GSD, WSD) Type : SplineCurve Donnes utilisateurs : n+1 points Proprits

Courbe de degr non renseign (cubique ou quintique?) Passe par les n+1 points Compose de n segments de courbe Possible de spcifier la direction, lorientation et la tension de la

tangente Aussi possible de spcifier lorientation du vecteur de coubure

(perpendiculaire la tangente) et la valeur du rayon de courbure Formulation similaire une courbe cubique dHermite si on spcifie les

tangences aux extrmits Contrle GLOBAL

C.3.1




Exemple : courbe avec tangente aux extrmits

C.3.1


Point.1

Point.2

Droite.1

(dir. Tangente)

Droite.2

X = points de la courbe dHermite suivante :

P(u) = [ 1 u u2 u3 ]

1 0 0 0

0 0 1 0

-3 -3 -3 -1

2 -2 1 1

0 0 0

3 2 0

3 0 0

-3 3 0

Courbe trace dans CATIA

Direction

tangente

Direction

tangente

Sens de

paramtrage



Exemple : effet de la tension en tangence

C.3.1


4

La tension augmente/diminue leffet de la tangence sur la forme de la courbe

(correspond multiplier la norme de la

drive premire par un scalaire)

Multiplication de la tension par 4



Exemple : ajout dun rayon de courbure

C.3.1


Direction du vecteur de courbure

perpendiculaire au vecteur de tangence

R = 4mm



Exemple : courbe multi-segments

C.3.1


Continuit gomtrique dordre 2 entre chaque segment (courbure continue)

Analyse de

courbure Courbe passant par 4 points 3 segments

Pt1

Pt2

Pt3

Pt4 Segment 1

Segment 3

Segment 2


C.3.1 Courbe (ateliers GSD, WSD)

C.3.2 Courbe 3D (ateliers DSE, FS)





C.3.2


Courbe 3D : par tous les points (ateliers DSE, FS)

Type : NuPbs Curve

Donnes utilisateurs : points de passage

Proprits

B-Spline dinterpolation (calcul des points de contrle partir des points de passage)

Degr 5, ordre 6 ( modifiable)

Passe par les n+1 points

Compose de n segments

Contrle global

Ordre Degr # de segments Contrle

6 5 n Global

C.3.2.1




Exemples

Donnes utilisateurs Proprits de la courbe

# pts contrle

(n+1)

Ordre k Degr # de segments

(n)

Contrle

2 6 5 1 Global

5 6 5 4 Global

6 6 5 5 Global

10 6 5 9 Global

C.3.2.1




Exemples (suite)

C.3.2.1


2 pts :

5 pts :

10 pts :

Calcul des points de contrle

partir des points de passage

Affichage dhabillage

Polygone de contrle



Exemple : contrle de la tangence/courbure aux points

1. En imposant une tangence/courbure au point dsir

2. En slectionnant un point sur une courbe existante et en imposant une continuit en tangence/courbure


C.3.2.2

Illustration du cas #1


Courbe 3D : par points de contrle (ateliers DSE, FS)

Type : NuPbs Curve

Donnes utilisateurs :

Points de contrle (n+1)

Ordre maximal (kmax)

Proprits* :


k = n+1 si n+1 < kmax k-1 n k + 2 Global

k = kmax si n +1 kmax k-1 n k + 2 Local

* Valables pour kmax = 6. En gnral, pour la plupart des

applications, il nest pas ncessaire dutiliser kmax > 6


C.3.2.2



Exemples :


C.3.2.2

Donnes utilisateurs Proprits de la courbe

# pts contrle (n+1)

Kmax Ordre k Degr # de segments

(n-k+2)

Contrle

2 6 2 1 1 Global

5 6 5 4 1 Global

6 6 6 5 1 Global

10 6 6 5 5 Local

15 6 6 5 10 Local

Lorsque n+1 kmax (avec kmax = 6), la

NUPBS par points

de contrle est

quivalente une

courbe de Bzier

(degr = n) et le

contrle est global



Exemple : contrle de la tangence aux extrmits 1. Par la position des points de contrle

2. En slectionnant un point sur une courbe existante et en imposant une continuit en tangence/courbure


C.3.2.2

Modification de la position du point 1 Courbe initiale

1

t

1

t Illustration du cas #1


C.3.1 Courbe (ateliers GSD, WSD)

C.3.2 Courbe 3D (ateliers DSE, FS)





C.3.3



Courbe 2D (dans lesquisse) Type : PSpline (parametric curve on a surface)

Donnes utilisateurs : points de passage

Proprits Courbe de degr non renseign (cubique ou

quintique?)

Courbe planaire qui passe par les n+1 points

Compose de n segments de courbe

Possibilit de spcifier lorientation et la direction de tangence, et le rayon de courbure chaque point

Contrle GLOBAL

C.3.3


N/D N/D n Global


Courbe 2D (dans lesquisse) Exemple : contrle de la tangence/courbure


C.3.3

Coincidence entre la

tangente et la droite


Tableau Synthse Courbes partir de points

C.4

Feature de cration de

courbe

Type Donnes de dpart quivalence

Principales caractristiques de la courbe

Ordre Degr Tangence (TG) Courbure (CO)

Contrle

Courbe Spline-Curve

n+1 points

Similaire Hermite si tg aux extrmits spcifies

Non renseign Non renseign

TG : chaque points, direction, orientation, tension

CO : direction, rayon

Global

Courbe 3D Par tous les points

NuPbS n+1 points B-Spline dinterpolation

6 5 TG : chaque points, direction, orientation, tension

CO : direction, rayon

Global

Courbe 3D Par les points de contrle

NuPbS n+1 points Si n+1 < kmax , Bzier

n+1 si n+1 < kmax k-1 TG : aux extrmits, continuit avec une autre courbe

CO : : aux extrmits, continuit avec une autre courbe

Global

kmax si n +1 kmax Local

Courbe 2D Esquisse

PSpline n+1 points Similaire Hermite si tg aux extrmits spcifies

Non renseign

Non renseign

TG : chaque points, direction, orientation

CO : rayon

Local


Outils danalyse disponibles

Information gomtrique ateliers GSD et FreeStyle

Indique les informations gomtriques de la courbe (type,

nombre de segments, ordre, etc.)

Note : cet outil sera explor au laboratoire

C.5



Affichage dhabillage ateliers GSD et FreeStyle

Affiche les points et le polygone de contrle, ainsi que

les segments des courbes de type NUPBS

Note : cet outil ne sera pas explor au laboratoire

C.5



Analyse de courbure ateliers GSD et FreeStyle

Indique la courbure le long de la courbe (0 uumax)


C.5



Connexion de courbes ateliers GSD et FreeStyle

G0 (distance) : Indique la distance entre les extrmits les plus proches des courbes slectionnes (0 mm G0, C0).


C.5




G1 (tangence) : Indique la diffrence dangle entre les vecteurs tangents


C.5


P(u)= ||P(u)|| t


C.5


On a G1 si la diffrence dangle est de 0 la jonction.

On ne peut pas conclure sur C1 car la norme de la tangente nest pas spcifie par lutilisateur, ni renseigne par le logiciel.

Exemple :

G1 G1

connu



Connexion de courbes

Courbure : calcule un pourcentage reprsentant la diffrence de courbure la jonction des courbes, selon lquation:

21

12

kk

kk


C.5



Connexion de courbes

On a G2 si les 3 conditions suivantes sont respectes :

1. Continuit G1

2. Le pourcentage est de 0%

3. Les vecteurs de courbure sont dans la mme direction (courbe planaire, mme direction indique par lutilisateur, etc.)

C.5

0%

0mm

0

tangente P1 et P2

Direction du vecteur de

courbure de P1

direction du vecteur de

courbure de P2

P2

P1

Exemple 2 :

G1, pourcentage de 0% MAIS vecteurs de

courbure de directions diffrentes G2

Exemple 1 :

Pourcentage de 0% MAIS G1 non

respect G2

0%

0mm

13


Outils danalyse : Exemple

C.5


volution des outils de modlisation de courbe & surfaces

Ingnierie du contenu motionnel

Cration de forme esthtique et intuitive

Une seule solution, du concept au produit

Nouvelle approche p/r au design traditionnel

Tir de: www.catia.com (voir la dmo)

C.6

Documents

MEC3510 A2013 Bloc02 Courbes