geometrie et fonctions sous geogebra

7/24/2019 geometrie et fonctions sous geogebra

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Gomtrie, fonctions et statistiques

sous Geoplan

Claude Saint-Raymond


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Sommaire

PRISE EN MAIN DE GEOPLAN PAR LA GEOMETRIE....................................................... .................................. 3

POUR CREER UN OBJET MATHEMATIQUE .........................................................................................................................4

POUR CREER LES TROIS SOMMETS A, B ET C DU TRIANGLE ............................................................................................4

POUR CREER LE TRIANGLE ABC.....................................................................................................................................5

POUR CREER LE CERCLE CIRCONSCRIT AU TRIANGLE ABC.............................................................................................6

POUR CREER LORTHOCENTRE H DU TRIANGLE ABC ........................................................ ............................................. 6

POUR CREER LE SYMETRIQUE DE H PAR LA SYMETRIE DAXE (BC) ........................................................ ........................ 7

POUR TRACER LA DEMI-DROITE [AH) SUPPORT DE LA HAUTEUR ISSUE DE A..................................................................7

AMELIORER LA FIGURE POUR UNE INTERVENTION COLLECTIVE......................................................... 10POUR MONTRER QUE OH = OA = RAYON DU CERCLE .................................................................................................10

POUR VISUALISER LES SEGMENTS [OA], [OH] ET LEUR LONGUEUR............................................................................11

POUR PRESENTER DES CAS PARTICULIERS .....................................................................................................................12

POUR INITIALISER UNE FIGURE .....................................................................................................................................14

POUR REALISER UN HISTORIQUE SELECTIF............................................................... ..................................... 15

POUR EVALUER ET ECRIRE UNE VARIABLE DANS UN TEXTE MATHEMATIQUE ...............................................................17

POUR ECRIRE DES SYMBOLES MATHEMATIQUES DANS UN TEXTE..................................................................................18

POUR METTRE EN PAGE LA FIGURE DANS UN TRAITEMENT DE TEXTE ............................................................................19

GEOPLAN ET LES CALCULS.............................................................. .......................................................... ............ 20

POUR CONJECTURER UNE PROPRIETE NUMERIQUE ........................................................................................................20

POUR SELECTIONNER UN DOMAINE PLAN ......................................................................................................................22

POUR UNE AIDE A LA PROGRAMMATION LINEAIRE ........................................................................................................24

POUR REPRESENTER UNE FONCTION DUNE VARIABLE..................................................................................................25

POUR SIMULER UNE EXPERIENCE STATISTIQUE .............................................................................................................27

Gomtrie, fonctions et statistiques sous GEOPLAN 2/30 ditions Didier, 2005


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Les fichiers qui accompagnent le manuel Mathxseconde sont raliss pour :

viter lenseignant ou llve des manipulations techniques inutiles, source de distraction delobjectif mathmatique ;

faciliter lutilisation collective par le professeur avec un vidoprojecteur ou le travail individuelde llve pour certaines activits en salle informatique.

Les actions mathmatiques prvisibles sont programmes grce aux commandes de Goplan.Chacune est associe une touche du clavier.

Par exemple

Retrouver la figure initiale (Touche 0)

Dplacer un point M en utilisant les flches de direction du clavier (Touche M)

Afficher un tableau de valeurs dune fonction (Touche V)

Permettre laffichage de la trace dun point mobile (Touche T)

Nous avons conserv les mmes conventions de touches de commande pour toutes les activits,mais chaque commande est rappele dans le commentaire de la figure.

La touche F3 ouvre le commentaire . On obtient par exemple :

Tous les fichiers proposs sur le CD-Rom sont livrs cls en mains et ne ncessitent aucuneconnaissance pralable des logiciels Goplan-Gospace. Cependant, pour ceux qui souhaiteraientmieux connatre ce logiciel, ou crer des activits originales pour la classe, nous prsentons dans cedocument quelques exemples permettant de dcouvrir diffrentes fonctionnalits de Goplan.

Prise en main de Goplan par la gomtrie

La prise en main dun logiciel, quel quil soit, ncessite un apprentissage minimum. GOPLAN,

nchappe pas cette rgle. Ce premier contact est cependant facilit car la ralisation dune figuresuit avec rigueur les mmes processus que ceux utiliss pour une cration classique.

Nous vous proposons de raliser, pas pas, une construction de gomtrie pure puis damliorerson fichier pour une intervention collective en classe.

Nous avons choisi de travailler la proprit suivante :

Le symtrique de lorthocentre dun triangle ABC, dans la symtrie axiale, daxe (BC) est unpoint du cercle circonscrit au triangle.



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Pour crer un objet mathmatique

Le menu Crer regroupe toutes les crations dobjets mathmatiques :

Pour crer les trois sommets A, B et C du triangle

Dvelopper le menu Point / Point libre / Dans le plan :

Complter la bote de dialogue avec les noms des sommets du triangle :

Pensez utiliserlaide !



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Pour crer le triangle ABC

Dvelopper le menu Crer / Ligne / Polygone / Polygone dfini par ses sommets :

Complter la bote de dialogue :en saisissant le nom des sommets

ou bienen cliquant sur le point

ou bienen droulant la liste des objets (Touche R)puis en cliquant sur le point (ci-dessous) :

Chaque objet doit trenomm.ABC est un nom partentire.



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Pour crer le cercle circonscrit au triangle ABC

Dvelopper le menu Crer / Ligne / Cercle / Circonscrit :

Pour crer lorthocentre H du triangle ABC

Dvelopper le menu Crer / Point / Centre (Divers) / Orthocentre :

Remarque :

Il est possible de modifier les menus afin de les adapter un niveau ou un exercice. Par exemple,si lon souhaite que llve construise lui-mme lorthocentre, cet item peut tre rendu inactif dansle menu Centres / (divers) . On obtient alors :

Visible mais inactif.



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Pour crer le symtrique de H par la symtrie daxe (BC)

Dvelopper le menu Crer / Point / Point image par / Symtrie axiale :

Pour tracer la demi-droite [AH) support de la hauteur issue de A

Dvelopper le menu : Crer / ligne / Demi-droite(s) / Dfinies par deux points :

Parenthses inutiles lors dela saisie mais restituesdans les rappels.



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Pour dessiner la hauteur en pointills ou en couleur

Ouvrir la bote des styles :

Menu Divers / Style crayon ou CLIC sur licne .

Choisir le style de trait et/ou lacouleur de lobjet.

Cliquer sur lobjet modifier dansla figure

ou

choisir lobjet dans la liste desRappels en cliquant sur licne



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Pour dplacer un objet libre et conjecturer la proprit

Dplacer les sommets du triangle, par exemple A : un clic-gauche-maintenu sur le point Apermet de dplacer, avec la souris, le point A.

Il existe une seconde mthode de dplacement du point A, spcifique GOPLAN, trs utile enclasse pour limiter les manipulations informatiques et permettre, par exemple, lenseignant dese concentrer sur la gestion de la classe.

1. Dvelopper le Menu Crer / Commande / Slection pour pilotage au Clavier :

2. Complter la bote de dialogue en choisissant une touche associe cette commande, ici latouche A semble pertinente.

La programmation est acheve. Il suffit de lutiliser pour proposer une conjecture.

3. Pour utiliser cette programmation, il suffit : dactiver la commande : Touche A ; de dplacer le point A en utilisant les flches de direction du clavier.

4. Si vous estimez que le pas de dplacement du point A est inadapt, il est possible de lemodifier en activant les touches + ou .

Le nouveau pas apparat en haut gauche de lcran :

Animation :vous pouvez tlcharger un fichier reprenant la dmarche de cette premire partie

ladresse http://mathx.editionsdidier.com/geoplan/orthosym.g2w

http://mathx.editionsdidier.com/geoplan/orthosym.g2whttp://mathx.editionsdidier.com/geoplan/orthosym.g2w


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Amliorer la figure pour une intervention collective

La ralisation de la figure par llve lui permet de distinguer les donnes de la conjecture et demieux comprendre les liens qui unissent les donnes.

videmment cette conjecture ne dmontre pas la proprit. Lenseignant doit ensuite choisir de

guider ou non llve ou la classe vers une dmonstration. Cependant, il est possible de visualiserles remarques prvisibles des lves en compltant cette figure.

Prenons quelques exemples :

Pour montrer que OH = OA = rayon du cercle

Si le point H, symtrique de H est un point du cercle circonscrit, la distance au centre ducercle des points A, B, C et H doit tre la mme. On peut prvoir dafficher ces distances, lesvaleurs sont approches (nous restons dans le domaine de la conjecture).

Dfinir le centre O du cercle circonscrit :

Menu Crer / Point / Centre divers / Cercle circonscrit .

Dfinir laffichage des distances OA et OH, par exemple :

Menu : Crer / Affichage / Longueur dun segment .

En itrant cette dmarche pour les deux mesures, on obtient laffichage suivant :



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Pour visualiser les segments [OA], [OH] et leur longueur

Dfinir les segments [OA] et [OH] :

Menu Crer / Ligne / Segment(s) / dfini par deux points .

Programmer laffichage simultan de OA, de OH et des segments [OA] et [OH] :Menu Crer / Commande / Dessin en bloc

Choisir les objets concerns :

cliquer sur lobjet, ou saisir le nom au clavier ou ouvrir le menu de Rappel ;

choisir un nom de touche associ la commande, ici R pour Rayon .

Une fois cette programmation ralise, les segments et leur longueur safficheront simultanmentlorsque le professeur ou un lve activera la touche choisie, ici R.

Touche R pourmodifierlaffichage

Sparer les objets par unespace ou une virgule.



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Pour prsenter des cas particuliers

La dmonstration de cette proprit peut tre envisage des degrs de comptences varis. Il peuttre utile de commencer par tudier des cas particuliers, par exemple pour un triangle rectangle enA. La dmonstration est ici simple puisque le diamtre est aussi un axe de symtrie, cependant lafigure doit tre montre aux lves sans quaucune intervention informatique naltre le dialogue

avec la classe.Pour cela, programmons cette figure particulire :

Construire A sur le cercle de diamtre [BC] afin dobtenir un triangle rectangle en A :

Menu Crer / Ligne / Cercle / Dfini par diamtre

Menu Crer / Point / Point libre / Sur un cercle

Programmer laffectation du point libre A sur A :

Menu Crer / Commande / Affectations directes

Complter la bote de dialogue :

laction de la touche P affecte le point A aupoint A, le triangle est maintenant rectangleen A (mais A reste libre).

Remarque:

On peut dfinir par cette mthode tout casparticulier utile.



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Pour mieux prsenter la figure

Ouvrir le menu des styles .

Pour colorer le cercle :

cliquer sur la couleur puis sur le cercle.

Pour modifier laspect ou la place dun point :

cliquer sur lune des icnes puis sur le point.

Pour modifier laspect des cts du triangle

Cliquer sur lune des icnes puis le ct

Pour quadriller ou graduer un repre :

cliquer sur licne puis sur les axes du repre.

Pour remplir une surface ferme :

cliquer sur le motif puis sur le pourtourde lobjet.

Pour gommer le cercle de diamtre [BC] ou rtablir son image :

cliquer sur licne puis sur le cercle.

Sil nest pas possible de distinguer deux objets superposs :

ouvrir la liste des objets : CLIC sur licne

puis choisir lobjet modifier.

Noubliez paslaide contextueet hypertexte

lle.



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Pour initialiser une figure

Si, aprs avoir travaill sur une figure, on souhaite retrouver une configuration connue (casparticulier ou figure initiale), on peut utiliser la mthode prcdente, mais elle peut savrerfastidieuse. Il existe une autre commande qui regroupe toutes les affectations y compris la position

du repre par dfaut souvent utilis pour fixer des points par leurs coordonnes.Utilisons cette commande pour dfinir une figure initiale centre.

Dvelopper le menu : Crer / Commande / Affectations mmorises

Saisir le nom des objets dont la position sera mmorise :

Clic sur lobjet ou criture du nom ou touche de Rappel

.

Roxy est lenom du reprepar dfa

ut.

En choisissant toujours la mme touche, par exemple 0 , pour cette commande dinitialisation vousmmoriserez les commandes rcurrentes.



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Pour raliser un historique slectif

Si vous souhaitez, par exemple, reconstruire tout ou une partie de la figure pour rappelerlenchanement des donnes, il suffit denregistrer la succession des objets faire apparatre laidede la commande de Dessin par tapes :

Laction de la touche H * permet ensuite defaire apparatre successivement le triangle

ABC , le cercle c , lorthocentre H et le symtrique H .

*H pour Historique

Suggestion :

Lhistorique complet, non slectif, de la figure est galement disponible :

Menu Divers / historique

On peut alors construire ou dtruire la figure pas pas.

Animation: vous pouvez tlcharger un fichier danimation cr sur Geoplan ladresse :http://mathx.editionsdidier.com/geoplan/orthosym.g2w

http://mathx.editionsdidier.com/geoplan/orthosym.g2whttp://mathx.editionsdidier.com/geoplan/orthosym.g2w


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Pour mmoriser les commandes ou le texte de lexercice

Il est possible de mmoriser du texte dans un petit diteur nomm Commentaire . Cecommentaire est accessible en activant la touche F3.

Pour la figure que vous avez ralise on pourrait y lire :

Pour crire dans cet diteur :

Dvelopper le Menu Editer / Editer commentaire :

Rdiger votre texte :

Zone de saisie.

Texte mis en forme.



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Pour valuer et crire une variable dans un texte mathmatique

La mthode prsente pour crire le texte du commentaire est utilisable pour tous les autresaffichages, au sein du dessin de la figure mais aussi dans le bandeau suprieur.

Pour remplacer laffichage prcdent par un affichage plus explicite, il suffit :

De dvelopper le Menu daffichage :

Menu Crer / Affichage / Texte .

De saisir le texte, par exemple OA =, suivi de val(OA,2) qui value la longueur OA avecune prcision dun centime.

On peut poursuivre dans la mme phraseavec ; OH = val(OH;2).

On peut atteindreune prcision dunmillionime.

On obtient laffichage ci-contre :

Suggestion :

Penser raliser laffichage avec la couleur de lobjet correspondant pour renforcer les liens entrefigure et mesures.



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Pour crire des symboles mathmatiques dans un texte

Il est possible dans lditeur de commentaires ou dans laffichage dcrire les symboles ounotations avec les conventions du langage mathmatique.

Les conventions dcriture sont prsentes dans lannexe du menu daide :

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _

Par exemple si vous souhaitez afficher la mesure des angles BAH et BCH pour montrer leur galit,il suffit dinclure dans une phrase de votre choix . \hat(BAH)\ . \hat(BCH)\ .

Le symbole \ sobtientavec la combinaison detouches AltrGr 8.



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Pour mettre en page la figure dans un traitement de texte

Copier la figure ou une partie de cette figure dans le presse-papiers :

Dvelopper le menu Editer / Copier image (copie ajuste) :

Ouvrir le traitement de texte.

Copier limage lendroit choisi : Menu Edition / Coller .

Suggestion:

Une mise en page possible et trs rapide consiste crerdans le traitement de textes un tableau dune ligne etdeux colonnes puis de coller limage dans lune descases et le texte dans la seconde, comme pour cetexemple.

La bordure peut ensuite tre efface.

Adapter le cadre.

Ouvrir un cadre decopie.



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Goplan et les calculs

Lappartenance au cercle circonscrit dun triangle pour les symtriques de lorthocentre par rapportaux trois cts du triangle relve de la gomtrie pure.

Goplan peut galement nous tre utile dans un cadre numrique, analytique, fonctionnel oustatistique.

Ralisons brivement une situation pour chaque domaine.

Pour conjecturer une proprit numrique

Montrons que la somme des distances dun point M aux trois cts dun triangle quilatralABC est constante si le point est intrieur au triangle.

Crer la figure gomtrique

Placer deux points libres B et C. Menu Crer / Point / Point libre / Dans le plan

Placer le sommet A laide dune rotation. Menu Crer / Point / Point image par / Rotation

Dessiner le triangle ABC. Menu Crer / Ligne / Polygone / Dfini par sessommets

Placer un point libre M du plan. Menu Crer / Point / Point libre / Dans le plan

Projeter orthogonalement M sur chaquects en R, S et T.

Menu Crer / Point / Point image par / Projectionorthogonale

Dessiner les trois segments [MR], [MS] et[MT].

MenuCrer / Ligne / Segment / Dfini par deuxpoints

Crer le calcul MR+ MS+ MT support de la conjecture

Menu Crer / Numrique / Calcul algbrique :

Tous les objetssont nomms.

Remarque :De nombreuses fonctions mathmatiques, listes dans laide, permettent dassurer la majorit des

besoins en analyse au lyce.



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Afficher le calcul

On pourrait se contenter dafficher lavaleur de la variable s :

Menu Crer / Affichage /Variable numrique dj

dfinie :

Prfrons cependant un affichage plusexplicite :

obtenu en dveloppant le menu :

Menu Crer / Affichage / Texte

o

MR+MS+MTnest quun texte

et

val(s,2)affiche la valeur de s au centimeprs.

Atteindre la conjecture en dplaant le point libre M

Soit avec la souris ;

soit en programmant son dplacementavec une commande :

Menu Crer / Commande / Slectionpour pilotage au clavier .

Animation:vous pouvez tlcharger un fichier danimation cr sur Geoplan ladresse :http://mathx.editionsdidier.com/geoplan/equilateral.g2w

http://mathx.editionsdidier.com/geoplan/equilateral.g2whttp://mathx.editionsdidier.com/geoplan/equilateral.g2w


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Pour slectionner un domaine plan

Rsoudre graphiquement le systme

0 ; 0

0,5 5

2 10

x y

y x

y x

+ +

.

Dessiner le repre par dfaut sil est absent : icne .

Rendre le quadrillage visible, clic sur licne ad hoc de la bote desstyles :

Crer les droites (non parallles aux axes) frontires du domaine plan contenant les points dont lescoordonnes sont solutions, en utilisant leur quation :

Menu Crer / Ligne / Droite(s) / Dfinie par une quation

Majuscules et pointdcimal ncessaires.

Remarques :

Le trac des droites frontires permet de mieux dlimiter le domaine des solutions car le trac dundemi-plan ne montre pas la droite frontire.

La convention qui consiste hachurer le domaine qui ne contient pas les points solutions duneinquation est adapte une lecture graphique. Cela induit une modification de chaque inquation

pour obtenir le demi-plan complmentaire.



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Crer les demi-plans complmentaires aux demi plans solutions :

Menu Crer / Demi-plan / Dfini par inquation

Itrer cette construction pour les deux inquations, on obtient :



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Pour une aide la programmation linaire

Le rgionnement du plan est souvent associ aux problmes doptimisations linaires.

Compltons donc le systme prcdent par loptimisation lie, par exemple, lquationo b doit tre le plus grand possible et (x;y) un couple de nombres entiers.0y x b+ =

Crer la variable b.

Complter la bote dedialogue.

Menu Crer / Numrique / Variable relle libre dans un intervalle

Crer la droite

dquation Y+ Xb = 0.

Menu Crer / Ligne / Droite(s) / Dfinie par une quation

Crer la commande depilotage au clavier dunombre b

Menu Crer / Commande / Slection pour pilotage au clavier

Dterminer graphiquement la position correspondant loptimisation demande en pilotant auclavier le paramtre b .

Laisser Goplangrer les nomsdes commandes.

On peut apporter de nombreuses amliorations cette figure, entre autres, placer un point libre coordonnes entirespour tester des situations et faire comprendre le problme avant de chercher loptimiser.

Animation :vous pouvez tlcharger un fichier danimation cr sur Geoplan ladresse :http://mathx.editionsdidier.com/geoplan/program_lin.g2w

http://mathx.editionsdidier.com/geoplan/prog_lin.g2whttp://mathx.editionsdidier.com/geoplan/prog_lin.g2w


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Pour reprsenter une fonction dune variable

Bien que GOPLAN-GOSPACE soit, avant tout, un logiciel de gomtrie, des fonctionnalitssimples permettent de lutiliser pour reprsenter des fonctions dune ou plusieurs variables enliaison ou non avec une figure de gomtrie.

Prenons lexemple de la fonction

1( ) ln( )2

0

x f x x x x

x

= + >

Dessiner le repre par dfaut, sil est absent : icne .

Dfinir la fonction :

Menu Crer / Numrique / Fonction numrique / A 1 variable


Remarques :

Les fonctions peuvent tre composes tout comme les transformations gomtriques. Lesnotations habituelles, comme ( ( ))f g x sont parfaitement comprises et values.

On peut dfinir un tableau de valeurs pour toute expression algbrique dpendant dunevariable relle libre.

Comme sur une calculatrice, la dfinition de la fonction doit tre suivie de la dfinition delenvironnement graphique de fentrage .



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Dfinir la reprsentation graphique (fentre, nom, nombre de points)

Menu Crer / Ligne / Courbe / Graphe dune fonction dj cre


On obtient :

Suggestions :

On pourrait amliorer cette reprsentation graphique en prvoyant : un zoom avant et un zoom arrire sur un point particulier ; laffichage dun point mobile sur la courbe et ses coordonnes ; la reprsentation graphique de la fonction drive, etc.

Ce fichier devient ainsi un outil de tous les jours, car la fonction peut tre modifie sans difficult

dun clic sur licne de modificationAnimation :vous pouvez tlcharger un fichier danimation cr sur Geoplan ladresse :http://mathx.editionsdidier.com/geoplan/fonction.g2w

http://mathx.editionsdidier.com/geoplan/fonction.g2whttp://mathx.editionsdidier.com/geoplan/fonction.g2w


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Pour simuler une exprience statistique

GOPLAN est dot dun gnrateur alatoire qui permet de simuler des expriences statistiques etdintroduire la notion de probabilit.

Testons cette capacit dans une simulation simple : Dtermination de .

Simulons le lancer alatoire quirparti dune flchette dans un carr de ct 2 circonscrit uncercle de rayon 1. Pour un grand nombre dexpriences, la stabilisation de la frquencefdu nombredimpacts dans le cercle est voisine de la probabilit de lvnement limpact est dans le cercle et 4 freprsente une valeur approche de .

Pour 1000 lancers :

La dernire partie de ce fichier est un peu plus dlicate que les prcdents mais une fois matrise

elle permet de gnrer un grand nombre de simulations sur le mme modle.

Crer la figure compose dun cercle de rayon 1 et dun carr circonscrit.

Extrait du texte de la figure crit automatiquement par Goplan :

c cercle de centre o et de rayon 1 (unit Uoxy)

Unit du repre Roxy.

A point de coordonnes (1,-1) dans le repre Roxy

B image de A par la rotation de centre o et d'angle

pi/2 (radian)

C image de B par la rotation de centre o et d'angle

pi/2 (radian)

D image de C par la rotation de centre o et d'angle

pi/2 (radian)

q polygone ABCD

Crer un cadre, ici le carr, qui permet de limiter la position dun point libreM:

Menu Crer / Cadre

Crer un point libre M dans le cadre :

Menu Crer / Point / Point libre / Dans un cadre

Crer les variables numriques s et t totalisant respectivement les nombre dimpacts dansle cercle et dans le carr :

Menu Crer / Numrique / Variable entire / Dans un intervalle



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Calculer la frquences

ft

= :

Menu Crer / Numrique /Calcul algbrique

Afficher 4f :

Menu Crer / Affichage /Texte

Crer une commande dinitialisationaffectant 0 aux variables s et t :

Menu Crer / Commande /Affectation directe

Crer une commande de position

alatoire pour le point M :Menu Crer / Commande /Affectation Alatoire



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Crer une commande de TRACE permettant de conserver la trace des impacts :

Menu Crer / Commande / Trace

Crer la commande conditionnelle modifiant le nombre s dimpacts dans le cercle et t dansle carr :

Menu Crer / Commande / Affectation directe

La touche estdisponible galementau clavier.

Cette commande ajoute 1 au nombre total dimpacts t et 1 au nombre s dimpacts dans lecercle condition que M soit dans le cercle. En effet, la fonction (oM


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Crer la commande en itrant 1000 fois la commande de lancer prcdente :

Menu Crer / Commande / rptition de commande

Pour lancer la simulation, il suffit dinitialiser la figure (TOUCHE 0)puis dactiver les 1000lancers (TOUCHE M). La stabilisation de 4f est effectivement proche de .

Remarque :

On peut cumuler les expriences en itrant la commande M sans rinitialiser, ci-dessous pour 10000lancers :

Animation :vous pouvez tlcharger un fichier danimation cr sur Geoplan ladresse :http://mathx editionsdidier/geoplan/calcul pig2w
http://mathx.editionsdidier.com/geoplan/calcul_pi.g2whttp://mathx.editionsdidier.com/geoplan/calcul_pi.g2w

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