Gestion de Portefeuille Et Encadrement Du Risque. Auteur: mariane mouhammed, ensae

8/14/2019 Gestion de Portefeuille Et Encadrement Du Risque. Auteur: mariane mouhammed, ensae

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T a b l e d e s m a t i r e s

I n t r o d u c t i o n 2

I G e s t i o n d e p o r t e f e u i l l e 3

1 A p p r o c h e S t a t i q u e 3

1 . 1 N o t a t i o n s e t h y p o t h s e s d e b a s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 . 2 A v e r s i o n e t u t i l i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 . 3 P r o g r a m m e d e m a r k o v i t z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 . 3 . 1 R s o l u t i o n d u p r o g r a m m e d e m a r k o v i t z s a n s c o n t r a i n t e : . . . . . . . . . . . . 5

1 . 3 . 2 R s o l u t i o n d u p r o g r a m m e d e m a r k o v i t z s o u s c o n t r a i n t e : . . . . . . . . . . . . 5

2 A p p r o c h e D y n a m i q u e 7

2 . 1 G e s t i o n d y n a m i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 . 2 R s o l u t i o n d u p r o g r a m m e d e m a x i m i s a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 . 2 . 1 S o l u t i o n o p t i m a l e d a n s l e c a s s a n s c o n t r a i n t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 . 2 . 2 S o l u t i o n o p t i m a l e d a n s l e c a s a v e c c o n t r a i n t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4

3 A p p r o c h e d e B l a c k - L i t t e r m a n 2 1

3 . 1 L e m o d l e d e B l a c k - L i t t e r m a n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1

3 . 2 S p c i c a t i o n d e s v u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2

3 . 3 C a l i b r a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3

I I M o d l i s a t i o n G A R C H 2 4

1 R e p r s e n t a t i o n d u m o d l e G A R C H ( p , q ) 2 4

2 V r i c a t i o n d e l ' h y p o t h s e d u b r u i t G A R C H 2 5

3 I d e n t i c a t i o n d e s o r d r e s p e t q d u m o d l e G A R C H 2 8

3 . 1 M t h o d e d ' a j u s t e m e n t d u m o d l e a u t o r e g r e s s i f A R ( p ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8

3 . 2 M t h o d e d ' a j u s t e m e n t d u m o d l e m o y e n n e m o b i l e M A ( q ) . . . . . . . . . . . . . . . 2 9

4 E s t i m a t i o n d e s p a r a m t r e s d u m o d l e G A R C H ( p , q ) p a r q u a s i - m a x i m u m d e v r a i -

s e m b l a n c e 3 0

4 . 1 Q u a s i - v r a i s e m b l a n c e c o n d i t i o n n e l l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0

4 . 2 C a l c u l n u m r i q u e d e l ' e s t i m a t e u r d u Q M V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1

5 A d q u a t i o n d u m o d l e e s t i m e t s l e c t i o n n a l e d u m o d l e l e p l u s a p p r o p r i 3 3

6 P r v i s i o n d e s s r i e s n a n c i r e s 3 4

7 E x e m p l e n u m r i q u e d ' a j u s t e m e n t e t p r v i s i o n G A R C H 3 4

C o n c l u s i o n 3 7

B i b l i o g r a p h i e 3 8


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A n n e x e 3 9

1 A p p r o c h e s t a t i q u e - o p t i m i s a t i o n s o u s c o n t r a i n t e s 3 9

2 A p p r o c h e d y n a m i q u e - o p t i m i s a t i o n s a n s c o n t r a i n t e s 4 0

2 . 1 C a s d ' u n e f o n c t i o n d ' u t i l i t p u i s s a n c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0

2 . 2 C a s d ' u n e f o n c t i o n d ' u t i l i t e x p o n e n t i e l l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0

3 A p p r o c h e d y n a m i q u e - o p t i m i s a t i o n s o u s c o n t r a i n t e s 4 2

3 . 1 F a c t o r i s a t i o n m a t r i c i e l l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2

4 D t e r m i n a t i o n d u v e c t e u r d e s r e n d e m e n t d ' q u i l i b r e d e B l a c k - L i t t e r m a n 4 4


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R e m e r c i e m e n t s

J e r e m e r c i e l a B N P P a r i b a s e t l ' e n s e m b l e d e s c o l l a b o r a t e u r s a v e c l e s q u e l s j ' a i t a m e n

t r a v a i l l e r p o u r l e u r a c c u e i l e t l e u r b o n n e h u m e u r .

P l u s p a r t i c u l i r e m e n t , j e s o u h a i t e t r a n s m e t t r e u n r e m e r c i e m e n t s i n c r e J a l i l a A Z I K I , m o n

r e s p o n s a b l e d e s t a g e , p o u r s a d i s p o n i b i l i t e t c ' e s t g r c e s e s c o n s e i l s a v i s s , c l a i r s e t c i b l s q u e j ' a i

p u m e n e r b i e n c e t r a v a i l .

A u s s i , j ' i n c l u s m a r e c o n n a i s s a n c e l ' e n s e m b l e d e s m e m b r e s d e l a s a l l e d e s m a r c h s q u i m ' o n t

m o t i v p a r l e u r d y n a m i s m e e t l e u r o u v e r t u r e d ' e s p r i t q u i a l a r g e m e n t p a r t i c i p f a c i l i t e r m o n

i n t g r a t i o n a u s e i n d e l a s o c i t .

M a g r a t i t u d e s ' a d r e s s e e n n a u c o r p s e n s e i g n a n t d e l ' E N S A E , p o u r l e u r s p d a g o g i e e t l e u r s

c o n s e i l s q u i m e s e r o n t u t i l e s t o u t e m a v i e p r o f e s s i o n n e l l e .


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I n t r o d u c t i o n

A v e c l a c r o i s s a n c e d e s m a r c h s n a n c i e r s , l a v i s i b i l i t s u r l e s s t r a t g i e s d ' i n v e s t i s s e m e n t d e v i e n t

d e m o i n s e n m o i n s l u c i d e e t n c e s s i t e u n e a n a l y s e d ' i n f o r m a t i o n d e p l u s e n p l u s c o m p l e x e . L e b u t

t a n t d ' a i d e r l e s g e s t i o n n a i r e s d e s p o r t e f e u i l l e s p r e n d r e d e s c h o i x d ' i n v e s t i s s e m e n t o p t i m a u x t o u t

e n a i l l a n t u n e a i d e c l a i r e s u r l e r i s q u e q u ' i l s e n c o u r e n t . C ' e s t d a n s c e c a d r e q u e s ' e s t s i t u e n o t r e

m i s s i o n d e s t a g e q u i a v a i t p o u r o b j e c t i f , d e m e t t r e l a d i s p o s i t i o n d e s g r a n t s d e p o r t e f e u i l l e s ,

d e s o u t i l s d e g e s t i o n e t d ' a i d e l a d c i s i o n q u i s ' a d a p t e n t a u x h o r i z o n s d ' i n v e s t i s s e m e n t e t a u x

c o n t r a i n t e s d e s e x p o s i t i o n s , m a i s a u s s i a u x c o n v i c t i o n s s u b j e c t i v e s s u r l e s p e r f o r m a n c e s d u m a r c h ,

e t q u i o r e n t l e u r u t i l i s a t e u r l a p o s s i b i l i t d e s u i v r e e t d e p r v o i r l e s r i s q u e s a s s o c i s s e s p o s i t i o n s .

D a n s u n p r e m i e r t e m p s , n o u s p r s e n t e r o n s l a t h o r i e c l a s s i q u e d e g e s t i o n d e p o r t e f e u i l l e a v a n t

d e s ' a t t a r d e r s u r l ' a p p r o c h e d e b a s e u t i l i s e d a n s n o t r e t u d e , s a v o i r l ' a p p r o c h e d y n a m i q u e d e

g e s t i o n d e p o r t e f e u i l l e . P u i s , n o u s i n s i s t e r o n s s u r l ' a p p r o c h e d e B l a c k - L i t t e r m a n q u i p e r m e t d e m a -

r i e r l e s m o d l e s q u a n t i t a t i f s d e g e s t i o n a v e c l e s v u e s p e r s o n n e l l e s d u g r a n t .

L a d e u x i m e p a r t i e s e r a c o n s a c r e l a m o d l i s a t i o n d e s s r i e s n a n c i r e s p a r l e m o d l e G A R C H

( m o d l e A u t o R g r e s s i f C o n d i t i o n n e l l e m e n t H t r o s c d a s t i q u e ) . L a p a r t i c u l a r i t d e c e m o d l e e s t

q u ' i l r e p o s e e s s e n t i e l l e m e n t s u r l e c o n c e p t d e v a r i a n c e c o n d i t i o n n e l l e , g r a n d e u r d e g r a n d e u t i l i t

p o u r l a m e s u r e r d e l a V a R ( V a l u e - A t - R i s k ) e t d ' a u t r e s i n d i c a t e u r s e s s e n t i e l s a u b o n e n c a d r e m e n t

d u r i s q u e d e p o r t e f e u i l l e . L ' o r g a n i s a t i o n d e c e t t e p a r t i e , e x p l i c i t e r a d a n s u n p r e m i e r t e m p s l e s m o -

t i v a t i o n s d e r r i r e s l e c h o i x d e l a m o d l i s a t i o n G A R C H , e n s u i t e , l a d m a r c h e c h o i s i a u c o u r s d e

l a m o d l i s a t i o n e t q u i a s e r v i d e b a s e p o u r l ' i m p l m e n t a t i o n d e l ' o u t i l s i n f o r m a t i q u e . E n n , n o u s

r e p r e n d r o n s b r i v e m e n t l e s t a p e s d e m o d l i s a t i o n s o u s u n e x e m p l e n u m r i q u e .


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G e s t i o n d e p r o t e f e u i l l e

P r e m i r e p a r t i e

G e s t i o n d e p o r t e f e u i l l e

1 A p p r o c h e S t a t i q u e

A l o r s q u e l e s p o r t e f e u i l l e s t a i e n t g r s c o m m e u n e n s e m b l e d e t i t r e s p l u s o u m o i n s i n d p e n d a n t s ,

l e s t r a v a u x d e m a r k o w i t z ( 1 9 5 9 ) [ 1 ] s u r l a g e s t i o n s t a t i q u e d e p o r t e f e u i l l e s e s o n t a t t a r d s s u r l a p r i s e

e n c o m p t e d e s d p e n d a n c e s e n t r e l e s t i t r e s i n d i v i d u e l l e s e t o n t p e r m e t d ' t a b l i r u n c a d r e d ' a n a l y s e

f o r m e l c o n n u s o u s l e n o m d e l ' a p p r o c h e s t a t i q u e d e g e s t i o n d e p o r t e f e u i l l e e t q u i e s t c o n s i d r l a

b a s e d e l a g e s t i o n m o d r n e d u p o r t e f e u i l l e .

D a n s c e t t e p a r t i e , n o u s a l l o n s p r s e n t e r l e s h y p o t h s e s d e b a s e d e c e t t e a p p r o c h e , s e s f o n d e m e n t s

m a t h m a t i q u e s e t l e s m t h o d e s n u m r i q u e s q u i p e r m e t t e n t d e c h e r c h e r l e s a l l o c a t i o n s o p t i m a l e s

d a n s l e c a s d e g e s t i o n s o u s c o n t r a i n t e s .

1 . 1 N o t a t i o n s e t h y p o t h s e s d e b a s e s

O n c o n s i d r e u n m a r c h c o m p o s d e :

n a c t i f s r i s q u s d e p r i x

Sit

0tT

1 a c t i f s a n s r i s q u e d e p r i x

S0t

q u i s ' a p p r c i e a v e c l e t a u x s a n s r i s q u e r ;

S0T = S00 (1 + r)

O n s u p p o s e q u ' o n d i s p o s e d ' u n e r i c h e s s e i n i t i a l e V0 i n v e s t i r e n r e s p e c t a n t l a c o n t r a i n t e b u d g t a i r e

ni=0

i0 = 1 , a v e c

i0 l a p r o p o r t i o n d e r i c h e s s e i n v e r s t i r e n a c t i f i .

L a r i c h e s s e l a d a t e T q u ' o n n o t e VT s ' c r i t a i n s i :

VT =n

i=0

i0V0Si0

SiT

E n i n t g r a n t l a c o n t r a i n t e b u d g t a i r e e t r e m p l a c a n t l e p r i x d e l ' a c t i f s a n s r i s q u e p a r s o n e x p r e s s i o n

e n f o n c t i o n d u t a u x s a n s r i s q u e , o n o b t i e n t :

VTV0

= 00(1 + r) +n

i=1

i0SiT

Si0

D e l , l a s u r p e r f o r m a n c e d u p o r t e f e u i l l e p a r r a p p o r t a u t a u x s a n s r i s q u e s ' c r i t :

VTV0

1 r =n

i=1

i0

SiTSi0

1 r

O n n o t e :

(0) l a s u r p e r f o r m a n c e d u p o r t e f e u i l l e p a r r a p p o r t l ' a c t i f s a n s r i s q u e . i l a s u r p e r f o r m a n c e d e l ' a c t i f i p a r r a p p o r t l ' a c t i f s a n s r i s q u e .

S o u s f o r m e m a t r i c i e l l e , l a s u r p e r f o r m a n c e d u p o r t e f e u i l l e d e v i e n t :

(0) = 0 a v e c =

1, 2,...,n

D a n s l a s u i t e , o n s u p p o s e q u e e s t u n v e c t e u r g a u s s i e n m u l t i v a r i d e m o y e n n e e t d e m a t r i c e d e v a r i a n c e c o v a r i a n c e .

p a g e : 3


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1 . 2 A v e r s i o n e t u t i l i t

D e f a o n g n r a l e , o n c o n s i d r e q u e l e s i n v e s t i s s e u r s s o n t a v e r s e s a u r i s q u e . P o u r c e t t e r a i s o n ,

p l u s u n i n v e s t i s s e m e n t e s t r i s q u , p l u s i l d e v r a o r i r u n r e n d e m e n t e s p r l e v . S i n o n l ' i n v e s t i s s e u r

s e t o u r n e r a v e r s d e s t i t r e s q u i o r e n t l e m m e r e n d e m e n t e s p r a v e c p l u s d e c e r t i t u d e .

P o u r d t e r m i n e r l a s t r a t g i e d ' a l l o c a t i o n d ' a c t i f s o p t i m a l e , u n i n v e s t i s s e u r t e n t e a l o r s d e m a x i m i s e r

u n e f o n c t i o n d ' u t i l i t U q u i t i e n t c o m p t e d u r e n d e m e n t e s p r , d u r i s q u e a s s o c i l ' o b t e n t i o n d e c e r e n d e m e n t , m a i s a u s s i d e l ' a v e r s i o n a u r i s q u e .

R e m a r q u e :

D a n s c e t t e a p p r o c h e , o n s e l i m i t e a u c a s d ' u n e f o n c t i o n d ' u t i l i t e x p o n e n t i e l l e ; U(x) = exp (x),o e s t l ' a v e r s i o n a u r i s q u e . P o u r c e t t e f o n c t i o n , o n a :

U = exp (x) xd o n c

UU

= x

E n p o s a n t v0 =1

, o n o b t i e n t :

U

U= x

v0

O n c o n s t a t e a l o r s q u e v0 l ' u n i t d ' u n e r i c h e s s e e t p e u t t r e c o m p a r l a r i c h e s s e i n i t i a l e p o u r e s t i m e r l ' a v e r s i o n a u r i s q u e .

1 . 3 P r o g r a m m e d e m a r k o v i t z

L a s t r u c t u r e f o n c t i o n n e l l e d u p r o b l m e d e g e s t i o n d u p o r t e f e u i l l e p r s e n t e p a r m a r k o v i t z c o n s i s t e

t r o u v e r l a ( o u l e s ) s t r a t g i e s Rn q u i m a x i m i s e n t E [U(VT)] , a v e c :

U(VT) = exp (VT) .

O n s a i t q u e (, ) d o n c () (, ) .

E n u t l i s a n t l a t r a n s f o r m e d e l a p l a c e , o n o b t i e n t :

E [U(VT)] = exp (V0 (1 + r)) exp V0 +

2V202

= UE [VT] V0

2

E n n d e c o m p t e , o n t r o u v e l a r e l a t i o n d ' q u i v a l e n c e s u i v a n t e :

supRnE [U(VT)] supRn V02

q u i s i m p l i e l a s t r u c t u r e f o n c t i o n n e l l e d u p r o g r a m m e d e m a x i m i s a t i o n d e m a r k o v i t z .

p a g e : 4


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1 . 3 . 1 R s o l u t i o n d u p r o g r a m m e d e m a r k o v i t z s a n s c o n t r a i n t e :

C e p r o g r a m m e e s t s i m p l e r s o u d r e c a r l a f o n c t i o n f t e l q u e f() =

V0

2 q u ' o n

c h e r c h e m a x i m i s e r e s t q u a d r a t i q u e c o n c a v e , c e q u i a s s u r e l ' e x i s t e n c e e t l ' u n i c i t d e s o n m a x i m u m .

L a m t h o d e u s u e l l e d e r s o l u t i o n c o n s i s t e c h e r c h e r l e v e c t e u r d e s i q u i a n n u l e l a d r i v e p r e m i r e d e fR a p p e l : s o i e n t a , R d e u x v e c t e u r s d e Rn e t u n e m a t r i c e d e Rn Rno n m o n t r e q u e :

aR

a= R e t

aa

a= 2a

d o n c

f ()

= V0

a i n s i l e o p t i m a l v r i e V0 = 0

=1

V0 1

E n v e r t u d e l a s i m p l i c a t i o n V0 = 1 e x p l i q u e p r c d e m m e n t , l e p r o g r a m m e d e m a x i m i s a t i o n d e m a r k o v i t z p o u r u n e f o n c t i o n d ' u t i l i t e x p o n e n t i e l l e c o n s i s t e t r o u v e r l e v e c t e u r q u i m a x i m i s e l ' e x p r e s s i o n .d o n c :

= 1.

1 . 3 . 2 R s o l u t i o n d u p r o g r a m m e d e m a r k o v i t z s o u s c o n t r a i n t e :

l e p r o g r a m m e d e m a r k o v i t z s o u s c o n t r a i n t e s s u r l e s p r o p o r t i o n s d e r i c h e s s e s i n v e s t i e s s ' c r i t s o u s

l a f o r m e s u i v a n t e :

sup (

)

s.c :imin i imax ,i [1, . . . , n]

L ' i n t r t d e c e p r o g r a m m e , e s t d e t e n i r c o m p t e d e s c o n t r a i n t e s p r a t i q u e s q u i s ' i m p o s e n t , t e l l e s q u e

l a l i m i t a t i o n o u l ' i n t e r d i c t i o n d e l a v e n t e d c o u v e r t , o u e n c o r e l a n c e s s i t d e r e s t r e i n d r e l ' e x p o -

s i t i o n s u r d e s m a r c h s o u d e s t i t r e s p a r t i c u l i r s .

T o u t e f o i s , l a s o l u t i o n a n a l y t i q u e d e c e p r o g r a m m e e s t b e a u c o u p m o i n s v i d e n t e c o m m e e x p o s

d a n s l e t h o r m e d e K a r u c h - K u h n - T u c k e r . D ' a u t a n t p l u s l e n o m b r e d ' o p r a t i o n s n c e s s a i r e s p o u r

r s o u d r e c e s y s t m e d e m a n i r e a n a l y t i q u e , a u g m e n t e d e l ' o r d r e d e 3n e n f o n c t i o n d e l a d i m e n s i o n d u p r o b l m e ( v o i r a n n e x e ) .

L a m t h o d e d e r e s o l u t i o n a l t e r n a t i v e d e c e p r o b l m e , c o n s i s t e t r o u v e r u n e s o l u t i o n a p p r o c h e

p a r u n e d e s m t h o d e s n u m r i q u e s , t e l l e q u e c e l l e d e l a r e l a x a t i o n p n a l i s e [ 2 ] [ 3 ] q u i s ' a d a p t e c o m -

p l t e m e n t l a n a t u r e d e c e p r o b l m e .

A p e r u d e l a m t h o d e d e r e l a x a t i o n p n a l i s e

I l s ' a g i t d ' u n e m t h o d e i t r a t i v e o , p a r t a n t d ' u n v e c t e u r i n i t i a l 0 a r b i t r a i r e , o n c o n s t r u i t u n e s u i t e d e v e c t e u r s k, k 0 . A u t r e m e n t d i t , l ' o b j e c t i f e s t l a c o n s t r u c t i o n d ' u n e m t h o d e c o n v e r g e n t e , e n c e s e n s q u e , p o u r t o u t v e c t e u r i n i t i a l 0 , l a s u i t e (k)k0 c o n v e r g e v e r s u n e s o l u t i o n d u p r o b l m e .

P o u r c o n s t r u i r e l e v e c t e u r k+1 p a r t i r d u v e c t e u r k , l ' i d e c o n s i s t e s e r a m e n e r u n p r o b l m e " f a c i l e r s o u d r e n u m r i q u e m e n t " , s a v o i r u n p r o b l m e d e m a x i m i s a t i o n p o u r u n e f o n c t i o n d ' u n e

s e u l e v a r i a b l e r e l l e . P o u r c e l a , p a r t a n t d ' u n v e c t e u r i n i t i a l 0 , c h a q u e v e c t e u r k e s t c o n s t r u i t e n

p a g e : 5


8/46


c a l c u l a n t s u c c e s i v e m e n t s e s c o m p o s a n t e s p a r l a r s o l u t i o n d e s p r o b l m e s s u i v a n t s d e m i n i m i s a t i o n

u n e v a r i a b l e ( o n a e n t o u r d e c r o c h e t s c h a q u e n o u v e l l e c o m p o s a n t e c a l c u l e ) :

Jk+11 , k2 , k3 , . . . , kn = supJ, k2 , k3 , . . . , kn ,J

k+11 ,

k+12

, k3 , . . . , kn

= supJ

k+11 , ,

k3 , . . . ,

kn

,

.

.

.

J

k+11 , . . . , k+1n1,

k+1n

= supJ

k+11 , . . . ,

k+1n1,

.

a v e c l ' e n s e m b l e d e s s t r a t g i e s a d m i s s i b l e s d ' i n v e s t i s s e m e n t d a n s l e s a c t i f s r i s q u s e t J e s t l a f o n c t i o n d n i e p a r :

J() = .

p a g e : 6


9/46


2 A p p r o c h e D y n a m i q u e

L a g e s t i o n s t a t i q u e d u p o r t e f e u i l l e a p p o r t e d e n o m b r e u x e n s e i g n e m e n t s r o b u s t e s , m a i s t r s p a r -

t i e l s . L e s h y p o t h s e s r e t e n u e s n e p e r m e t t e n t p a s d e m e t t r e e n p l a c e s d e s s t r a t g i e s p l u s c o m p l e x e s

q u e d ' a c h e t e r e t a t t e n d r e . L a g e s t i o n d y n a m i q u e d u p o r t e f e u i l l e v i e n t p o u r r e m d i e r c e p r o b l m e .

P l u s i e u r s a p p r o c h e s d e g e s t i o n d y n a m i q u e s o n t p o s s i b l e s , n o u s p r s e n t e r o n s c e l l e d v e l o p p e p a r

S a m u e l s o n 1 9 6 9 e t a n e p a r M e r t o n 1 9 9 8 , e t q u i c o n s i s t e c h e r c h e r u n e s t r a t g i e d e p o r t e f e u i l l e

e n u t i l i s a n t d e s m t h o d e s d e t y p e c o n t r l e o p t i m a l . E n s u i t e , n o u s a l l o n s l ' a p p l i q u e r p o u r d i r e n t e s

f o n c t i o n s d ' u t i l i t p o u r c o n c l u r e p a r l a s u i t e s u r l e s a v a n t a g e s e t i n c o n v n i e n t s d e l ' a p p r o c h e . E n n ,

n o u s a l l o n s t e n d r e l ' a p p r o c h e d a n s l e c a s d e g e s t i o n s o u s c o n t r a i n t e s e t p r o p o s e r u n e m t h o d e d e

r s o l u t i o n n u m r i q u e .

2 . 1 G e s t i o n d y n a m i q u e

O n c o n s i d r e u n e d u r e d e d t e n t i o n

[0, T].

1 a c t i f s a n s r i s q u e r e p r s e n t p a r u n z r o c o u p o n d e m a t u r i t T : B (t, T)dB (t, T) = B (t, T) (rtdt + B (t, B (t, T)) dWt)B (T, T) = 1

a v e c Wt e s t u n m o u v e m e n t b r o w n i e n s t a n d a r d m u l t i d i m e n t i o n n e l d e d i m e n s i o n n + 1 .

n a c t i f s r i s q u s : dSt = diag (St) (rtdt + (t, St) dWt) (2.1)S0 = s0

a v e c :

St = S1t , . . . , S nt

2 =

.

.

.

(n,n) .

.

.

21,n+1

.

.

.

2n+1,1 . . . 2n+1,n+1

t a n t l a m a t r i c e d e v a r a i n c e c o v a r i a n c e e n t r e l e s a c t i f s r i s q u s . L e s t e r m e s 2.,n+1 e t

2n+1,.

q u a n d e u x , d s i g n e n t l a c o v a r i a n c c e e n t r e l e s a c t i f s r i s q u s e t l ' a c t i f s a n s r i s q u e .

P a r t a n t d ' u n e r i c h e s s e i n i t i a l e Vo = , l a c o n d i t i o n d ' a u t o n a n c e m e n t s ' a p p l i q u e l o c a l e m e n t l ' i n s t a n t

te t i m p l i q u e q u e n o u s i n v e s t i s s o n s

1nj=1 j,t d a n s l ' a c t i f s a n s r i s q u e , e t q u e l e p r o c e s s u s d e l a r i c h e s s e (Vt)0tT v o l u e a v e c l a d y n a m i q u e :

dVt =n

j=1

j,tVtdiag

Sjt

1dSjt +

1 nj=1

j,t

Vt dB (t, T)B (t, T)

, t

E n u t l i s a n t l e s v a l e u r s f o r w a r d , o n p e u t m o n t r e r q u e l ' q u a t i o n d e l a d y n a m i q u e d e l a r i c h e s s e p e u t

s e s i m p l i e r s o u s l a f o r m e : dVt = Vt

t

dStSt

V0 =

p a g e : 7


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o Vt e s t l a r i c h e s s e f o r w a r d e t St e s t l e p r i x f o r w a r d . D a n s l e b u t d ' a s s o u p l i r l e s n o t a t i o n s , o n n o t e r a d a n s l a s u i t e Vt e t St p o u r d s i g n e r l e s v a l e u r s f o r w a r d d e s g r a n d e u r s a s s o c i e s . A i n s i , l a d y n a m i q u e d e s r i c h e s s e s f o r w a r d s ' c r i t :

dVt = Vt (ttdt + ttdWt)

V0 =

a v e c t l a v o l a t i l i t d e s p r i x f o r w a r d e t t l a t e n d a n c e d e s p r i x f o r w a r d .

N o u s p o u v o n s d o n c n a l e m e n t c r i r e l e p r o g r a m m e d ' o p t i m i s a t i o n d y n a m i q u e a n d e c o n s t r u i r e

l e p o r t e f e u i l l e e e c i e n t : suptE [U(VT)]s.c :V0 =

2 . 2 R s o l u t i o n d u p r o g r a m m e d e m a x i m i s a t i o n

L a r s o l u t i o n d e c e p r o g r a m m e r e p o s e s u r l ' a p p r o c h e d i t e d e p r o g r a m m a t i o n d y n a m i q u e q u i

v a t r e p r s e n t e d e m a n i r e h e u r i s t i q u e . P o u r c e q u i e s t d e s f o n d e m e n t s m a t h m a t i q u e d e c e t t e

a p p r o c h e , l e l e c t e u r e s t r e n v o y a u p a p i e r d e F l e m i n g e t S o n e r [ 4 ] .

O n i n t r o d u i t l a f o n c t i o n v a l e u r :

J(t, v) = supE [U(VT) |Vt = v] .L e p r i n c i p e d e b a s e d e c e t t e m t h o d e e s t d e t r o u v e r l e s s t r a t g i e s t q u i p e r m e t t e n t d e r e s t e r t o u j o u r s o p t i m a l s u r l ' h o r i z o n d ' i n v e s t i s s e m e n t .

A i n s i ,

t0 [t, T] , J(t, Vt) = sup(t,t0)Et [J(t0, Vt0) |Vt] .e n p a r t i c u l i e r :

J(t, Vt) = sup(t,t+h)Et [J(t + h, Vt+h) |Vt] .L e d v e l o p p e m e n t d e t a y l o r a u s e c o n d o r d r e d e l a f o n c t i o n v a l e u r d o n n e :

J(t, Vt) = sup(t,t+h)Et

J(t, Vt) + h

J

t+ (Vt+h Vt) J

V+

1

2(Vt+h Vt)2

2J

V 2+ (h) |Vt

.

C o m m e dVt = Vt (ttdt + ttdWt), o n u t i l i s e l e s a p p r o x i m a t i o n s s u i v a n t e s :

Et [Vt+h Vt] = Vttth

Et

(Vt+h Vt)2

= V2t (

ttdWt)

2

d o n c

h Jt

+ sup(t,t+h)Vthtt JV + 12 V2t (tdWt)2 2JV 2 (h) .

a v e c :

(tdWt)2

=n+1i=1

nj=1

2j 2ji h

c a r dWti.dWtj = 0 p o u r i = j.

A i n s i , l a f o n c t i o n v a l e u r e s t s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n d e H a m i l t o n J a c c o b i B e l l m a n ( H J B ) s u i v a n t e : Jt + sup(t,t+h)

Vt

JV +12

V2t

n+1i=1

nj=1

2j

2ji

2JV2

= 0 (2.2)

J(T, VT) = U(VT)

p a g e : 8


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2 . 2 . 1 S o l u t i o n o p t i m a l e d a n s l e c a s s a n s c o n t r a i n t e s

D a n s c e c a s , o n s u p p o s e q u e l e d o m a i n e d e s s t r a t g i e s d ' i n v e s t i s s e m e n t s a d m i s s i b l e s c o i n c i d e a v e c l ' e s p a c e v e c t o r i e l d e s n o m b r e s r e l s ; = Rn . D e l , l ' e q u t i o n d e ( 2 . 2 ) d e H J B d e v i e n t :

Jt + supRn

Vt

JV +12 V

2t

n+1i=1

nj=1

2j

2ji

2JV2

= 0 (2.3)

J(T, VT) = U(VT)

= Jt

+n

j=1

supRn

Vtjj

J

V+

V2t2

n+1i=1

2j 2ji

= 0

= Jt

+n

j=1

supRn

j Vtj

J

V+2j

V2t2

n+1i=1

2ji

= 0

O r , o n m o n t r e q u e J e s t c o n c a v e d u f a i t q u ' e l l e c o n s t i t u e l ' e s p e r a n c e d ' u n e f o n c t i o n c o n c a v e . D o n c

l e s u p d e jVtj JV +2j V2t2 n+1i=1 2ji e s t a t t e i n t p o u r : j =

j JVVt

2JV2

n+1i=1

2ji

.

F i n a l e m e n t , e n r e m p l a c a n t p a r s o n e x p r e s s i o n , l ' e q u a t i o n ( 2 . 3 ) s e s i m p l i f e e t d e v i e n t : Jt 12n

j=1(j JV )

2

2JV2

n+1i=1

2ji

= 0

J(T, VT) = U(VT)

C o m m e n t a i r e :

L e f a i t q u e l e s j s o i e n t f o n c t i o n s d e J

t,

J

Ve t

2J

V2 t r a d u i t l e c o m p o r t e m e n t d e m y o p i e d e s i n -

v e s t i s s e u r s . I l s ' a g i t t o u t s i m p l e m e n t d u f a i t d e s ' a t t a r d e r a u x u c t u a t i o n s c o u r t t e r m e e t d ' t r e

i n c a p a b l e d ' a d o p t e r u n e v i s i o n l o n g t e r m e .

a - A p p l i c a t i o n a u c a s d ' u n e f o n c t i o n d ' u t i l i t p u i s s a n c e

O n s u p p o s e q u e l a f o n c t i o n d ' u t i l i t d e l ' i n v e s t i s s e u r e s t d e l a f o r m e :

U(x) =x1

1 .

D a n s c e c a s , o n m o n t r e ( v o i r a n n e x e ) q u e l a s t r a t g i e o p t i m a l e d ' i n v e s t i s s e m e n t c o n s i s t e p l a c e r

d a n s c h a q u e a c t i f r i s q u j , l a p r o p o r t i o n d e r i c h e s s e :

j = t,jn+1

i=1 2t,ji

R e m a r q u e :

S o u s l ' h y p o t h s e d ' a n t i c i p a t i o n s s t a t i o n n a i r e s d e l a v a r i a n c e " t = " e t d u r e n d e m e n t m o y e n " t = " , o n o b t i e n t u n e s t r a t g i e d ' a l l o c a t i o n c o n s t a n t e e n f o n c t i o n d u t e m p s . U n e t e l l e s t r a t g i e e s t a p p e l c o n s t a n t m i x .

S o i t QT l a p r o b a b i l i t f o r w a r d r i s q u e n e u t r e . E n v e r t u d e l ' e q u a t i o n ( 2 . 1 ) , l a d y n a m i q u e d e s a c t i f s r i s q u s s o u s l a p r o b a b i l i t QT e s t :

dSt = [diagSt] dWQT

p a g e : 9


12/46


e t p u i s q u e

dVtVt

= t [diagSt]1 dSt a l o r s :

dVtVt= tdWQT

dVtVt

=n

j=1

n+1i=1

j ij dWQT

.

d o n c :

Vt = V0exp

n+1

i=1

nj=1 j ij

22

t +n+1i=1

nj=1

j ij

WQTi . (1)

D ' a u t r e p a r t , o n a :

dSjtSjt

=n+1i=1

ij dWQT

d o n c

Sjt = Sj0exp

n+1

i=1 2ij

2 t +

n+1i=1

ij dWQT

. (2)

D e s d e u x e q u a t i o n s ( 1 ) e t ( 2 ) , o n m o n t r e q u e

VtV0

=n

j=1

SjtSj0

jexp [f(, )]

o f e s t u n e f o n c t i o n d e e t .

I n t e r p r t a t i o n d e l a s t r a t g i e d ' i n v e s t i s s e m e n t c o n s t a n t - m i x

O n c o n s t a t e , p a r t i r d e l a g u r e c i - d e s s o u s , q u e l a s t r a t g i e d ' i n v e s t i s s e m e n t c o n s t a n t - m i x d o n n e

t o u j o u r s u n e r i c h e s s e p o s i t i v e . P a r a i l l e u r s , s o u s l ' h y p o t h s e d ' a n t i c i p a t i o n s s t a t i o n n a i r e s , l a r i c h e s s e

n a l e n e d p e n d p a s d u c h e m i n s u i v i , m a i s s e u l e m e n t d e s p r i x o b s r v s l a d a t e d ' v a l u a t i o n e t l a

d a t e n a l e .

M i s e e n p l a c e p r a t i q u e d e l a s t r a t g i e c o n s t a n t - m i x :

S u p p o s o n s q u e l ' a c t i f r i s q u j v a r i e d e x% :

Sjt Sjt (1 + x)

a l o r s , e n s e s e r v a n t d e l ' e q u a t i o n

dVtVt

=n

j=1 j dS

jt

Sjt, l a r i c h e s s e v o l u e d e x% :

Vt Vt

1 + j x

S o i t jt l e n o m b r e d ' a c t i f s r i s q u s j d t e n u s p a r l ' i n v e s t i s s e u r j u s t e a v a n t l a v a r i a t i o n d u p r i x . O n a :

jt = jVtSt

.

p a g e : 1 0


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F i g . 1 E v o l u t i o n d e l a r i c h e s s e e n f o n c t i o n d u p r i x d e l ' a c t i f r i s q u p o u r = - 0 , 5 e t = 0 , 5

p a g e : 1 1


14/46


P o u r g a r d e r l a m m e c o m p o s i t i o n a p r s l a v a r i a t i o n d u p r i x , l e n o m b r e d ' a c t i f s r i s q u s d t e n u s

v a u t :

jt = jVt 1 + j xSt (1 + x) .

F i n a l e m e n t , l a q u a n t i t n d ' a c t i f s r i s q u s a c h e t e r p o u r g a r d e r l a m m e c o m p o s i t i o n e s t g a l e :

= t t = jVt (1 + jx) Vt (1 + x)

Sjt (1 + x)

= 2j j VtxSt (1 + x)

F i g . 2 V a r i a t i o n d u n o m b r e d ' a c t i f s r i s q u s d t e n u s s u i t e l ' a u g m e n t a t i o n d e s o n p r i x e n x %

A p a r t i r d u g r a p h i q u e c i - d e s s u s , o n c o n s t a t e q u e q u a n d l e p r i x d ' u n a c t i f r i s q u a u g m e n t e ,

l ' i n v e s t i s s e u r v e n d u n e p a r t i e d e c e d e r n i e r p o u r d i m i n u e r l ' a u g m e n t a t i o n d e l a p r o p o r t i o n d e c e t

a c t i f c o n s t a t e s u r s o n p o r t e f e u i l l e , e t c e , d a n s l e b u t d e r e s t e r c o n s t a n t - m i x . D e f a o n s i m p l e ,

l a s t r a t g i e c o n s t a n t - m i x c o n s i s t e v e n d r e l ' a c t i f r i s q u e n f a v e u r d e l ' a c t i f s a n s r i s q u e l o r s q u e s o n

p r i x a u g m e n t e e t f a i r e l ' i n v e r s e q u a n d i l b a i s s e .

L ' i n t r t d e c e t t e s t r a t g i e e s t q u e l e g e s t i o n n a i r e p e u t t i r e r p r o t d e s h a u s s e s d u m a r c h e n v e n d a n t

l ' a c t i f r i s q u , c e q u i p e r m e t d e c o l l e c t e r d e s b n c e s . E t l o r s q u e l e m a r c h e s t e n b a i s s e , d ' a c h e t e r

p a g e : 1 2


15/46


p l u t t l ' a c t i f r i s q u e n a n t i c i p a n t l e r e t o u r l a h a u s s e d u m a r c h .

L i m i t e s d e l ' a p p r o c h e

S i l e s a c t i f s r i s q u s d u p o r t e f e u i l l e s u b i s s e n t u n e h a u s s e p e r s i s t a n t e d e p r i x , o n a u r a d e m o i n s

e n m o i n s d ' a c t i f s r i s q u s e t d e p l u s e n p l u s d ' a c t i f s s a n s r i s q u e . C e q u i r d u i r a l e r e n d e m e n t

d u p o r t e f e u i l l e p u i s q u ' i l v a t e n d r e v e r s c e l u i d e l ' a c t i f s a n s r i s q u e .

A l ' o p p o s , s u i t e u n e b a i s s e p e r s i s t a n t e d e s p r i x d e s a c t i f s r i s q u s q u i c o m p o s e n t l e p o r t e -

f e u i l l e , o n a u r a d e p l u s e n p l u s d ' a c t i f s r i s q u s e t d e m o i n s e n m o i n s d ' a c t i f s s a n s r i s q u e . C e

q u i c o n d u i r a d e s p e r t e s t r s l o u r d e s s i l e s p r i x c o n t i n u e n t l e u r s b a i s s e .

b - A p p l i c a t i o n a u c a s d ' u n e f o n c t i o n d ' u t i l i t e x p o n e n t i e l l e

O n s u p p o s e q u e l a f o n c t i o n d ' u t i l i t d e l ' i n v e s t i s s e u r e s t d e l a f o r m e :

U(Vt) =

exp VtV0

D a n s c e c a s , o n m o n t r e ( v o i r a n n e x e ) q u e l a s t r a t g i e o p t i m a l e d ' i n v e s t i s s e m e n t c o n s i s t e p l a c e r

d a n s c h a q u e a c t i f j , l a p r o p o r t i o n d e l a r i c h e s s e :

j =jn+1

i=1 2ji

V0Vt

R e m a r q u e

S o i t Mjt l e m o n t a n t i n v e s t i d a n s l ' a c t i f j l ' i n s t a n t t.O n a :

Mjt = tjVt

Mj

t=

jn+1i=1 2jid o n c , s o u s l ' h y p o t h s e d ' a n t i c i p a t i o n s s t a t i o n n a i r e s , l e m o n t a n t i n v e s t i d a n s l ' a c t i f r i s q u j r e s t e c o n s t a n t e n f o n c t i o n d u t e m p s .

P a r t a n t d e l a f o r m u l e ( 2 . 1 ) , e t u t i l i s a n t l a f o r m u l e d ' i t , o n p e u t m o n t r e r q u ' o n a s o u s l a p r o b a b i l i t

f o r w a r d r i s q u e n e u t r e QT :

d ln (St) = dWQTt

1

221n+1dt a v e c 1n+1 =

11

.

.

.

1

(n+1,1)

d o n c

dVtVt

= t d ln (St) + 12t21n+1dt

Vt V0 =n

j=1

V0jn+1i=1

2ji

ln

SjTSj0

+

1

2

nj=1

V0jn+1i=1

2ji

n+1i=1

2ji t

Vt V0V0

=

nj=1

jn+1

i=1 2ji

ln

SjTSj0

+

1

2j t

R e m a r q u e

L a r i c h e s s e t a n t e x p r i m e e n v a l e u r f o r w a r d , VT V0 s i g n i e q u ' o n r a l i s e u n e p e r f o r m a n c e m e i l l e u r q u e c e l l e d e l ' a c t i f s a n s r i s q u e ;

VT V0 VTspot V0spot .

p a g e : 1 3


16/46


17/46


u n e t a p e d e c a l c u l d e l a p o l i t i q u e o p t i m a l e p o u r c h a q u e d a t e t [0, T[ e t c h a q u e n i v e a u d e r i c h e s s e d t e n u e Vt , e n f o n c t i o n d e l a f o n c t i o n v a l e u r J, c e c i e n m a x i m i s a n t l e s e c o n d m e m b r e d e l ' q u a t i o n d e B e l l m a n .

u n e t a p e d e r s o l u t i o n e x a c t e d e l ' e q u a t i o n d e B e l l m a n d a n s l a q u e l l e o n r e m p l a c e l e c o n t r l e

r e l p a r l e c o n t r l e p r c d e m e n t t r o u v .

C e l a c o n s i s t e d o n c c a l c u l e r l e s d e u x s u i t e s r c u r r e n t e s (n)(0tT,Vt[0,[) e t (Jn)(0tT,Vt[0,[)d n i e s p a r :

n+1 =sup

Vt JnV

+1

2V2t

n+1i=1

nj=1

2j 2ji

2JnV2

(1) Jn+1

t+ Vt

n

Jn+1V

+1

2V2t

n+1

i=1n

j=1(n)

2j

2ji

2Jn+1V 2

= 0 (2)

D a n s c e t a l g o r i t h m e , l a s u i t e Jn c o n v e r g e r a p i d e m e n t v e r s l a s o l u t i o n J d e l ' q u a t i o n d e B e l l m a n , c a u s e d u f a i t q u e l e c o n r l e o p t i m a l e e s t r g u l i e r p a r r a p p o r t l a f o n c t i o n J .

p a g e : 1 5


18/46


F i g . 4 E s t i m a t i o n d e l a f o n c t i o n v a l e u r o b t e n u e p a r l ' a l o g o r i t h m e d e H o w a r d a p r s s e u l e m e n t 1 5

i t r a t i o n s

p a g e : 1 6


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T o u t e f o i s , l a r s o l u t i o n p r a t i q u e d e c e p r o b l m e n c e s s i t e d ' o p r e r d e s c h a n g e m e n t s d e v a r i a b l e

p o u r s e r a m e n e r u n d o m a i n e d ' t u d e b o r n .

C h a n g e m e n t d e v a r i a b l e e t d t r m i n a t i o n d e l a n o u v e l l e q u a t i o n d e B e l l m a n :

O n p o s e :

t =Vt/V0

1 + Vt/V0 [0, 1[

L ' i d e d e r r i r e c e c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e e s t q u e l a f o n c t i o n f d n i e p a r :

f : x x1 + x

e s t v a l e u r s d a n s ]0, 1[ p o u r t o u t x d a n s R+ . P a r a i l l e u r s , l ' u t i l i s a t i o n d u r a p p o r t Vt/V0 p l u t t q u e

Vtd o n n e q u e

0 =

1

2e t p e r m e t d e g a g n e r e n t e r m e d e s i m p l i c a t i o n d a n s l a r s o l u t i o n d u p r o b l m e .

a i n s i :

tVt

=

Vt/V01+Vt/V0

Vt

=1

(1 + Vt/V0)2

=1

V0(1 t)2 .

e t

2tV2t

=

1V0 (1 t)

2

t t

Vt

= 2

V20 (1 t)3

.

d o n c

Vt JVt

= Vt Jt

tVt

= Vt Jt

1V0

(1 t)2

= t (1 t) Jt

.

e t

V2t2J

V2t= V2t

1V0

(1 t)2 Jt

t t

V

= V2t 2

V0(1 t) J

t+

1

V0(1 t)2

2J

2t

tVt

= 22t (1 t)J

t+ 2t

1 2t

2J2t

d s l o r s , l ' q u a t i o n d e H J B q u i s e r v i v r a p o u r c h e r c h e r l a s t r a t g i e o p t i m a l e e s t : 0 =Jt + supt

(1 ) t J + 12

n+1i=1

nj=1

2j

2ji 2 (1 )

2 J + (1 + )

2J2

(2.4)

J(T, T) = U

T1T

p a g e : 1 7


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D i s c r t i s a t i o n d e l ' q u a t i o n d e H J B

L a d i s c r t i s a t i o n d e c e p r o b l m e d e m a n d e d e r e c h i r s u r u n m a i l l a g e e n e s p a c e - t e m p s q u i c o n t i e n t

e x p l i c i t e m e n t l a c o u r b e d e f r o n t i r e . O n s u g g r e l a m t h o d e d e r s o l u t i o n c o u r a m m e n t p r a t i q u e

d e d i r e n c e s n i e s b a s e s u r l e s t h t a - s c h m a s .

D i s c r t i s a t i o n e n t e m p s

N o u s c r i v o n s l ' q u a t i o n p r c d e n t e d e H J B s o u s l a f o r m e :

J

t+ supA (t, ) J(t, ) = 0 (3)

a v e c t q u i v a r i e d a n s [0, T] e t l ' o p r a t e u r A e s t d o n n p a r :

A (t, ) = (1 ) t

+

1

2

n+1

i=1n

j=12j

2ji 2 (1 )

2

+ (1 + )

2

2

A p r s e n t , o n i n t r o d u i t u n p a s d e t e m p s s u b d i v i s a n t n o t r e i n t e r v a l l e [0, T] e n N i n t e r v a l l e s g a l e s , a s s o c i e s a u x i n s t a n t s i n t e r m d i a i r e s tk :

t =T

N, tk = k t , 0 k N

P o u r t r o u v e r d e s s o l u t i o n s a p p r o c h e s , n o u s u t i l i s o n s l e s t h t a - s c h m a s q u i s e t r a d u i s e n t s o u s l ' e x -

p r e s s i o n :

0 =J((i + 1) t, ) J((i) t, )

t+ Ak [J((i + 1) t, ) + (J(it, ) J((i + 1) t, ))]

a v e c 0 1.

D i s c r t i s a t i o n e n e s p a c e

L e s t e m p s i n t e r m d i a i r e s tk d n i s s e n t n a t u r e l l e m e n t p o u r 0 k N, d e s p o i n t s s u r l e m a i l l a g e d e p o i n t s . D a n s u n s o u c i d e s i m p l i c i t d a n s l a m i s e e n o e u v r e p r a t i q u e , o n g a r d e i c i u n e p r o g r e s s i o n

u n i f o r m e p o u r l ' e n s e m b l e d e s p o i n t s d e l a s u i t e (k) :

k = k , 0 k M

L e s d o n n e i n t r o d u i t e s c i - d e s s u s c o n d u i s e n t u n e g r i l l e c a r t s i e n n e (tk, k) p a s c o n s t a n t e n t e m p s

e t e s p a c e a v e c l a c o n d i t i o n a u b o r d J(T, ) = U

1

. C o m p t e t e n u d e l a r e l a t i o n (3) v a l a b l e

d a n s l e c a s d ' u n e s p a c e c o n t i n u , l ' o p r a t e u r d i s c r e t Ak a g i t s u r l a f o n c t i o n v a l e u r J l ' a i d e d ' u n o p r a t e u r a u x d i r e n c e s n i e s d n i t p a r :

f o r m u l e s p o u r l a p r e m i r e d i r e n t i t a t i o n

J (i, k)

k J(i, k + 1) J(i, k)

xJ (i, k)

k J(i, k + 1) J(i, k 1)

2xJ (i, k)

k J(i, k) J(i, k 1)

x

a v e c , l a p r e m i r e d r i v e p r e m i r e q u i c o n c e r n e l e s p o i n t s d c e n t r s d r o i t e , l a d e u x i m e l e s

p o i n t s c e n t r s e t l a t r o i s i m e l e s p o i n t s d c e n t r s g a u c h e .

p a g e : 1 8


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f o r m u l e s p o u r l a s e c o n d e d i r e n t i t a t i o n :

2J(i, k)

2k

J(i, k + 2)

2J(i, k + 1) + J(i, k)

(x)2

2J(i, k)

2k J(i, k + 1) 2J(i, k) + J(i, k 1)

(x)2

2J(i, k)

2k J(i, k 2) 2J(i, k 1) + J(i, k)

(x)2

a v e c , l a p r e m i r e d r i v e s e c o n d e q u i c o n c e r n e l e s p o i n t s d c e n t r s d r o i t e , l a d e u x i m e l e s

p o i n t s c e n t r s e t l a t r o i s i m e l e s p o i n t s d c e n t r s g a u c h e .

D i s c r t i s a t i o n d u p r o b l m e d e r s o l u t i o n d e H o w a r d :

C o m m e m e n t i o n n a u p a r a v a n t , l ' a l g o r i t h m e d e H o w a r d s e b a s e s u r u n e a l t e r n a n c e e n t r e i t r a t i o n s

s u r l e s p o l i t q u e s e t i t r a t i o n s s u r l e s v a l e u r s . L ' e x p r e s s i o n g n r a l e d u p r o b l m e t a n t i n t r o d u i t e

d a n s l e c a s c o n t i n u , n o u s p r o p o s o n s c i - d e s s o u s u n e r e f o r m u l a t i o n d a n s l e c a s d i s c r e t q u i s ' a d a p t e

l a r s o l u t i o n p a r d i r e n c e s n i e s .

I t r a t i o n s u r l a p o l i t i q u e :

l e b u t e s t d e r e c h e r c h e r l e c o n t r l e o p t i m a l n+1 q u i v r i e p o u r u n e f o n c t i o n v a l e u r Jn d o n n e , l a r e l a t i o n ( 1 ) .

E n v e r t u d u c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e o p r , e t e n s e d o n n a n t u n e f o n c t i o n v a l e u r Jn , o n m o n t r e q u e l e c o n t r l e o p t i m a l e jn+1 p o u r l ' a c t i f r i s q u e j , a u p o i n t (i, k) s u r l a g r i l l e d e d i s c r t i s a t i o n , e s t l e m a x i m u m d e l ' q u a t i o n d e s e c o n d d e g r s u i v a n t e :

aj 2j + bj j

a v e c : aj =

12

2 (1 k)n+1

i=1 2ij

2 Jk + (1 k) 2J2k bj = k (1 k) Jk j

o n p o s e :

maxj =bj2aj

L a d t e r m i n a t i o n d u m a x i m u m r e l a t i f d e c e t t e q u a t i o n p a s s e p a r l a d t e r m i n a t i o n d e s a c o n c a v i t ;

S i

2J2

k

< 0 :

si

maxj jmin

alors jn+1 = jmin

si maxj jmax alors jn+1 = jmax si jmin maxj jmax alors jn+1 = maxj

S i

2J2

k

0 : si

aj j2max + bj

jmax aj j2min + bj jmin

alors jn+1 =

jmax

si

aj j2max + bj

jmax < aj

j2min + bj

jmin

alors jn+1 =

jmin

I t r a t i o n s u r l a f o n c t i o n v a l e u r J :D a n s c e t t e i t r a t i o n , o n c h e r c h e d t e r m i n e r l a f o n c t i o n v a l e u r Jn+1 p a r t i r d u c o n t r l e n c a l c u l

p a g e : 1 9


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p a r l e b i a i s d e l ' i t r a t i o n s u r l a p o l i t i q u e .

P a r t a n t d e l ' q u a t i o n ( 2 ) , o n m o n t r e q u e Jn+1 v r i e a u p o i n t k l a r e l a t i o n :

0 =J(i + 1, k) J(i, k)

Dt+ (1 ) Aki+1 + Aki

E n r a m n a g e a n t l e s t e r m e s d e c e t t e q u a t i o n , o n d d u i t l a r e l a t i o n d e r c u r r e n c e s u i v a n t e e n t r e

l e s J(i, ) : 1 + Dt (1 ) Ak

J(i + 1, k) =

1 DtAk

J(i, k)

S o u s f o r m e m a t r i c i e l l e , o n p e u t m o n t r e r q u e l e p a s s a g e d u v e c t e u r J(i + 1, ) a u v e c t e u r J(i, ) s ef a i t v i a l a r s o l u t i o n d ' u n s y s t m e l i n a i r e d e l a f o r m e :

AiJ(i, ) = bi+1o A e s t u n e m a t r i c e q u a d r i d i a g o n a l e :

A =

a1 1 a1 2 a1 3a2 1 a2 2 a2 3 0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 an1n2 an1n1 an1na n n2 a n n1 a n n

L a c o n s t r u c t i o n d e Jn+1 p o u r l ' e n s e m b l e d u m a i l l a g e d u p o i n t s c o m m e n c e p a r l ' u t i l i s a t i o n d e l a c o n d i t i o n a u b o r d q u i n o u s r e n s e i g n e s u r l a v a l e u r d u v e c t e u r J(T, ) J(T) = U, d u q u e l o n c a l c u l J(, T t) ;

J(T

t,

) = A1TtATJ(T,

)

A i n s i d e s u i t e , o n d t e r m i n e l e s t e r m e s J(, T 2t) , J(, T 3t) , . . . , J (, 0) q u i c o n s t i - t u e n t l e s v a l e u r s d e l a f o n c t i o n v a l e u r Jn+1 s u r l e d o m a i n e d ' t u d e . i l r e s t e a l o r s s i m p l e m e n t c a l c u l e r . . .

R e m a r q u e

L ' a l g o r i t h m e d e H o w a r d n c e s s i t e s o u v e n t p e u d ' i t r a t i o n s p o u r c o n v e r g e r " b i b c o o l 1 9 " , m a i s c h a q u e

i t r a t i o n c o m p r e n d u n e i n v e r s i o n d e m a t r i c e . C e t t e m t h o d e , s ' a v r e d o n c p e u p r a t i q u e v u l ' i m -

p o r t a n t t e m p s d e c a l c u l n c e s s a i r e p o u r i n v e r s e r l e s m a t r i c e s d e g r a n d e s t a i l l e s . P o u r c o n t o u r n e r

c e p r o b l m e , o n p r o p o s e d e r s o u d r e l e s y s t m e l i n a i r e A J = b p a r f a c t o r i s a t i o n p l u t t q u e p a r i n v e r s i o n d e l a m a t r i c e A( v o i r a n n e x e ) .

p a g e : 2 0


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3 A p p r o c h e d e B l a c k - L i t t e r m a n

L ' i n t r t d e c e t t e a p p r o c h e , c o n n u e e n c o r e s o u s l e n o m d e l ' a l l o c a t i o n m i x t e , e s t d e t r o u v e r u n

q u i l i b r e e n t r e l e s p o s i t i o n s d e l o n g e t d e c o u r t t e r m e s .

L e s p o s i t i o n s d e l o n g t e r m e s o n t l e s a l l o c a t i o n s d u p o r t e f e u i l l e d e r f r e n c e q u i p e u t t r e r e p r s e n t

p a r l ' i n d i c e d u m a r c h d o n t l e s a c t i f s c o n s t i t u t i f s s o n t p o n d r s p a r l e u r c a p i t a l i s a t i o n b o u r s i r e

, o u p a r l e s a l l o c a t i o n s i s s u e s d ' u n e o p t i m i s a t i o n q u a n t i t a t i v e , t e l l e q u e l ' o p t i m i s a t i o n s t a t i q u e o u

d y n a m i q u e p r s e n t e s a u p a r a v a n t .

L e s p o s i t i o n s d e c o u r t t e r m e s o n t h a b i t u e l l e m e n t l e p r o d u i t d e m o d l e s o u d ' i d e s d u g e s t i o n n a i r e

d e p o r t e f e u i l l e . C e s p r v i s i o n s p e u v e n t t r e l a s o u r c e d e r e n d e m e n t e x c d e n t a i r e s p a r r a p p o r t a u

p o r t e f e u i l l e d e r f r e n c e , m a i s a u s s i u n e s o u r c e d e r i s q u e .

L ' a l l o c a t i o n m i x t e d ' a c t i f s a d o n c p o u r b u t , d ' o b t e n i r u n c o m p r o m i s e n t r e l e p o r t e f e u i l l e d e r -

f r e n c e e t l e s p o s i t i o n s t a c t i q u e s , d e t e l l e m a n i r e q u e l e p o t e n t i e l d e r e n d e m e n t s e x c d e n t a i r e s o i t

i n t r e s s a n t s a n s q u e l e r i s q u e e n c o u r u p u i s s e e m p c h e r l ' a t t e i n t e d e s o b j e c t i f s n a n c i r e s d u p o r t e -

f e u i l l e .

D a n s c e t t e s e c t i o n , o n m o n t r e r a e n p r e m i e r l i e u l e f o n d e m e n t m a t h m a t i q u e d e l ' a p p r o c h e , e n s u i t e ,

l a d m a r c h e p r a t i q u e d e s p c i c a t i o n d e s v u e s d u g e s t i o n n a i r e d u p o r t e f e u i l l e , e n n o n e x p o s e r a

u n e m t h o d e d e c a l i b r a t i o n d e s p a r a m t r e s d u m o d l e .

3 . 1 L e m o d l e d e B l a c k - L i t t e r m a n

E t a n t d o n n l a p r o b l m a t i q u e l a q u e l l e f a i t f a c e l e g e s t i o n n a i r e d e p o r t e f e u i l l e , l e m o d l e d e

B l a c k - L i t t e r m a n [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] p r o d u i t u n v e c t e u r d e p r v i s i o n s d e r e n d e m e n t s p o n d r s e n t r e l e s r e n -

d e m e n t s d u m a r c h e t l e s v u e s d u g e s t i o n n a i r e . O n n o t e BL c e v e c t e u r d e r e n d e m e n t s e s p r s e t l e v e c t e u r d e s r e n d e m e n t s d ' q u i l i b r e d n i s p a r t i r d e s p o n d r a t i o n s d e c a p i t a l i s a t i o n . C e s r e n d e m e n t s d ' q u i l i b r e o n t d e s f o n d e m e n t s s o l i d e s q u i n e p e u v e n t p a s t r e i g n o r s . O n s ' a u t o r i s e

n a n m o i n s d e s c a r t s e n f o n c t i o n d e s v u e s d u g r a n t .

O n s u p p o s e q u e l e s r e n d e m e n t s e s p r s s o n t d i s t r i b u s a u t o u r d e s r e n d e m e n t s i m p l i c i t e s d ' q u i -

l i b r e a v e c u n e m a t r i c e d e c o v a r i a n c e p r o p o r t i o n n e l l e l a m a t r i c e d e c o v a r i a n c e i n i t i a l e ;

BL (, )L e f a c t e u r d e p r o p o r t i o n n a l i t s e r a p l u s a u m o i n s f a i b l e e n f o n c t i o n d e s n i v e a u x d e c o n a n c e d a n s l e m a r c h , p l u s e s t g r a n d , p l u s l a c o n a n c e d a n s l e m a r c h s e r a g r a n d e .

D a n s l e c a s o o n d i s p o s e p a s d e v u e p a r t i c u l i r e , = 0, l e s r e n d e m e n t s e s p r s s e r o n t g a u x . D a n s l e c a s d e v u e s , i l f a u t l e s c o m b i n e r a v e c l ' q u i l i b r e d e m a n i r e o p t i m a l e , c ' e s t t o u t l ' o b - j e c t i f , l a d i c u l t d e l ' a p p r o c h e d e B l a c k - L i t t e r m a n .

P o u r l e m o m e n t , s u p p o s o n s q u e n o u s p o u v o n s p r c i s e r c e s v u e s s o u s l a f o r m e m a t r i c i e l l e s u i v a n t e :

P.BL = V +

a v e c P u n e m a t r i c e k l i g n e s e t n c o l o n n e s , a v e c k l e n o m b r e d e v u e s e t n l e n o m b r e d ' a c t i f s , u n t e r m e d ' i n c r t i t u d e s u r l a v u e . P.BL e s t s u p p o s n o r m a l e m e n t d i s t r i b u d e m o y e n n e V e t d e m a t r i c e d e c o v a r i a n c e c o r r e s p o n d a n t a u t e r m e d ' i n c e r t i t u d e .

D a n s l e c a s d e v u e i n c e r t a i n e s , o n m o n t r e q u e l ' e s p r a n c e d e BL e s t : ( v o i r a n n e x e )

BL =

()

1+ P1P

1

()

1 + P1V

p a g e : 2 1


24/46


C e t t e f o r m u l e c o n n u e s o u s l e n o m d e " M a s t e r F o r m u l a " s ' i n t e r p r t e d e l a m a n i r e s u i v a n t e :

L ' e s p r a n c e d e s r e n d e m e n t s BL a p p a r a t c o m m e u n e m o y e n n e p o n d r e : d e s r e n d e m e n t s

a v e c u n c o e c i e n t d e p o n d r a t i o n

()1

, q u i s e r a d ' a u t a n t p l u s f o r t q u e

e t s e r o n t f a i b l e s . d e s v u e s V a v e c u n c o e c i e n t d e p o n d r a t i o n P1 q u i s e r a d ' a u t a n t p l u s f o r t q u e l ' i n c e r t i -

t u d e s u r l a v u e s e r a f a i b l e . L o r s q u e l e g r a n t e s t m o i n s c o n a n t d a n s s e s v u e s l ' e s p r a n c e d u r e n d e m e n t s e r a p l u s p r o c h e d e s

r e n d e m e n t s d ' q u i l i b r e .L ' e s p r a n c e d e s r e n d e m e n t a p p a r a t d o n c c o m m e u n c o m p r o m i s ( m a i s o p t i m a l ) e n t r e l ' q u i l i b r e d u

m a r c h e t l e s v u e s .

R e m a r q u e :

D a n s l e c a s d ' u n s e u l a c t i f d e r e n d e m e n t d ' q u i l i b r e e t d e v a r i a n c e 2 , a v e c BL (v , w 2) , l ar e l a t i o n p r c d e n t e d e v i e n t :

BL =

2+

v

w

2

1

2+

1

w

2

o n r e m a r q u e n e t t e m e n t q u e l ' e s p r a n c e d u r e n d e m e n t e s t b i e n u n e m o y e n n e e n t r e l e r e n d e m e n t

d ' q u i l i b r e e t l a v u e .

L a d e r n i r e t a p e c o n s i s t e d t e r m i n e r l e s p o n d r a t i o n s o p t i m a l e s . P o u r c e l a , i l s u t d ' u t i l i s e r

l ' a p p r o c h e s t a t i q u e o u d y n a m i q u e i n t r o d u i t e s a u p a r a v a n t , e n r e m p l a a n t u n i q u e m e n t l e v e c t e u r d e s

r e n d e m e n t s m o y e n s h i s t o r i q u e s , p a r l e v e c t e u r BL .

E x e m p l e :

D a n s l e c a s d e l ' a p p r o c h e s t a t i q u e s a n s c o n t r a i n t e s , l e v e c t e u r d e s a l l o c a t i o n s o p t i m a l e s s ' c r i t :

wBL =1

1BL.

a v e c l e c o e c i e n t d ' a v e r s i o n a u r i s q u e

3 . 2 S p c i c a t i o n d e s v u e s

O n p e u t s p c i e r l e s v u e s d e d i r e n t e s m a n i r e s :

e n r e l a t i f , d u t y p e : l e s e c t e u r A v a s u r p e r f o r m e r l e s e c t e u r B d e 5 %, o u d e m a n i r e a b s o l u e : l e s e c t e u r C a u n r e n d e m e n t e s p r d e 1 0 %.C o n s i d r o n s p a r e x e m p l e , l a v u e s u i v a n t e : " L e s s e c t e u r s d e l a p h a r m a c i e e t d e s v a l e u r s m o b i l i r e s

v a s u r p e r f o r m e r l e s t e l e c o m e t l e s t e c h n o l o g i e s p a r 3 %, p l u s a u m o i n s 1 % a v e c u n e c o n a n c e d e 9 0 %. C e t t e v u e s ' e x p r i m e d e l a m a n i r e s u i v a n t e :

wpharmpharmBL + wmobil

mobilBL

wtelectelecBL + wtechtechBL (3%, 0.612)

L a p e r f o r m a n c e r e l a t i v e d e 3 % p l u s a u m o i n s 1 % e s t i n t e r p r t c o m m e u n e v a r i a b l e a l a t o i r e n o r - m a l e m e n t d i s t r i b u e d e m o y e n n e 3 % e t v a r i a n c e t e l l e q u e 9 0 % s e t r o u v e e n t r e 2 % e t 4 %, a u t r e m e n t d i t t e l q u e 1 . 6 4 5 = 1 %, s o i t = 0 . 6 1 %.U n e v u e a b s o l u e p e u t t r e f o r m u l e d e l a m a n i r e s u i v a n t e : l e s e c t e u r d e s b i e n s n o n c y c l i q u e s s e r a

d e 7 . 5 % p l u s a u m o i n s 1 . 5 % ( 9 0 % d e c o n a n c e ) . S e t r a d u i s a n t p a r :

1.cyclBL (7.5%, 0.912)

p a g e : 2 2


25/46


D e l a m m e f a o n q u e p r c d e m e n t , = 0 . 9 1 c o r r e s p o n d l ' c a r t t y p e n o r m a l , t e l q u e 1 . 5 = 1 . 6 4 5 .O n p e u t e n p l u s , c o m b i n e r c e s d e u x v u e s s o u s u n e f o r m e m a t r i c i e l l e p o u r c o n s t r u i r e l a m a t r i c e

Pd e 2 l i g n e s ( n o m b r e d e v u e s ) e t 1 0 c o l o n n e s ( n o m b r e d ' a t i f s g a l e 1 0 p a r e x e m p l e ) .

P =

0 0 0.34 0 0.66 0 0.51 0.49 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0

a v e c

V =

3%

7.5%

e t

=

0.61%2 0

0 0.91%2

3 . 3 C a l i b r a t i o n s

L a c a l i b r a t i o n c o n s i s t e t r o u v e r l a v a l e u r d e s p a r a m t r e s d u m o d l e p a r t i r d e s d o n n e s d u

m a r c h . A i n s i , d a n s l e c a s d u p o r t e f e u i l l e d e m a r c h , d e r e n d e m e n t rm e t v o l a t i l i t M, l e p a r a m t r e d ' a v e r s i o n s ' o b t i e n t p a r l a r e l a t i o n :

=rM rfree

2M.

L e p a r a m t r e q u i i n t e r v i e n t d a n s l a f o r m u l e d e B l a c k - L i t t e r m a n p e u t t r e c a l i b r d e p l u s i e u r s m a n i r e s . U n e p r e m i r e m t h o d e c o n s i s t e r e c h e r c h e r u n c o m p r o m i s e n t r e l a c o n a n c e t o t a l e r e -

p r s e n t e p a r l a v a r i a n c e t o t a l e " trace()" e t u n t e r m e d ' i n c e r t i t u d e s u r l e s v u e s l i e s a u m a r c h " 1kPP

1k " , a v e c 1k l e v e c t e u r d e d i m e n s i o n k c o n t e n a n t d e s 1 :

= 1kPP

1k

R e m a r q u e :

E n a p p l i q u a n t l a r e l a t i o n p r c e d e n t e d a n s l e c a s d ' u n s e u l a c t i f , o n o b t i e n t :

=w2

2

e t

BL =1

2( + v )

U n e a u t r e f a o n p o u r c a l i b r e r c o n s i s t e e x a m i n e r l e s p e r f o r m a n c e s a t t e n d u e s . L ' I n f o r m a t i o n R a t i o a n t i c p d o i t r e s t e r r a i s o n n a b l e . C e r a t i o d ' i n f o r m a t i o n e s t g a l a u r e n d e m e n t e n e x c s d i v i s

p a r l ' c a r t t y p e d e s r e n d e m e n t s e n e x c s , p l u s c o n n u s o u s l e n o m d e " T r a c k i n g E r r o r " . U n r a t i o

d ' i n f o r m a t i o n r a l i s t e n e p e u t d p a s s e r 2 : d e s r e n d e m e n t s a n t i c i p s q u i s ' c a r t e n t d e p l u s d e 2 c a r t

t y p e d e s r e n d e m e n t s d ' q u i l i b r e s o n t t r s i m p r o b a b l e s . S i l e R a t i o d ' i n f o r m a t i o n e s t s u p r i e u r 2 ,

i l s u t d e d i m i n u e r j u s q u ' o b t e n i r u n r a t i o d ' i n f o r m a t i o n g a l 2 .

p a g e : 2 3


26/46

M o d l i s a t i o n G A R C H

D e u x i m e p a r t i e


L a m o d l i s a t i o n d e s s r i e s n a n c i r e s e s t u n p r o b l m e c o m p l e x e . C e t t e c o m p l e x i t n ' e s t p a s

s e u l e m e n t d u e l a g r a n d e v a r i t d e s s r i e s ( p r i x d ' a c t i o n s , t a u x d ' i n t r t , t a u x d e c h a n g e . . . ) ,

l ' i m p o r t a n c e d e l a f r q u e n c e d ' o b s e r v a t i o n ( m i n u t e , j o u r , h e u r e , . . . ) o u l a d i s p o n i b i l i t d ' c h a n -

t i l l o n s d e t r s g r a n d e t a i l l e . E l l e t i e n t s u r t o u t l ' e x i s t e n c e d e r g u l a r i t s s t a t i s t i q u e s ( ' f a i t s s t y l i s s ' )

c o m m u n e s u n t r s g r a n d n o m b r e d e s r i e s n a n c i r e s e t d i c i l e s r e p r o d u i r e a r t i c i e l l e m e n t

p a r t i r d e m o d l e s s t a c h a s t i q u e s .

P a r m i c e s r g u l a r i t s , o n c i t e c i - d e s s o u s , c e l l e s v r i e s p o u r l e s s r i e s q u o t i d i e n n e s d e p r i x d e s

a c t i o n s .

S o i t pt l e c o u r s d ' u n a c t i f l a d a t e t e t rt

rt =

ptpt1pt1

s o n r e n d e m e n t .

( i )N o n s t a t i o n n a r i t d e pt .

( i ) A u t o c o r r l a t i o n d e s c a r r e s d e s v a r i a t i o n s d e p r i x ; o n c o n s t a t e q u e l a s r i e (rt) p r s e n t e d e t r s f a i b l e s a u t o c o r r l a t i o n s , l e r e n d a n t p r o c h e d ' u n b r u i t b l a n c . E n r e v a n c h e l e s s r i e s d e s c a r -

r e s r2t s o n t s o u v e n t f o r t e m e n t a u t o c o r r l e s . C e s d e u x p r o p o r i t s n e s o n t p a s i n c o m p a t i b l e s m a i s m o n t r e n t q u e l e b r u i t b l a n c rt n ' e s t p a s i n d p e n d a n t .

( i i i ) R e g r o u p e m e n t d e s e x t r m e s ; L e s g r a n d e s v a l e u r s d e |rt|, o u f o r t e s v a r i a t i o n s d e p r i x , t e n d e n t

t r e s u i v i e s d e g r a n d e s v a l e u r s , e t l e s p e t i t e s d e p e t i t e s . C e t t e p r o p r i t s e v o i t s o u v e n t l ' o e i l n u

s u r l e s t r a j e c t o i r e s d e s s r i e s . C o m m e c e s s o u s p r i o d e s s o n t r c u r r e n t e s m a i s s e s u c c d e n t d e f a o n

n o n p r i o d i q u e s , c e c i n e s i g n i e p a s q u e l a s u i t e d e s r e n d e m e n t e s t i n c o m p a t i b l e a v e c u n p r o c e s s u s

s t a t i o n n a i r e . C ' e s t u n p h n o m n e c o n n u s o u s l e n o m d ' h t r o s c d a s t i c i t c o n d i t i o n n e l l e ( v a r i a n c e

c o n d i t i o n n e l l e n ' e s t p a s c o n s t a n t e ) .

( i v ) Q u e u e s d e d i s t r i b u t i o n p a i s s e s : L o r s q u e l ' o n c o n s i d r e l e s d i s t r i b u t i o n s d e p r o b a b i -

l i t e m p i r i q u e s d e s r i e s d e r e n d e m e n t s , o u d e v a r i a t i o n s d e p r i x , o u e n c o r e d u l o g a r i t h m e d e c e s

v a r i a t i o n s d e p r i x , o n s ' a p e r o i t g n r a l e m e n t q u e c e l l e s - c i n e c o r r e s p o n d e n t p a s u n e d i s t r i b u t i o n

g a u s s i e n n e . P l u s p r c i s m e n t , l e s d i s t r i b u t i o n s d e c e s s r i e s p r s e n t e n t d e s q u e u e s p a i s s e s e t d e s

p i c s e n z r o : e l l e s s o n t d i t e s L e p t o k u r t i q u e s .

( v ) E e t d e l e v i e r : I l s ' a g i t d e l ' a s s y m t r i e d e l ' i m p a c t d e s v a l e u r s p a s s e s p o s i t i v e s s u r l a

v o l a t i l i t d e l a d a t e c o u r a n t e . A i n s i , l e s v a l e u r s n g a t i v e s ( b a i s s e s d u c o u r s ) t e n d e n t p r o v o q u e r u n

a c c r o i s s e m e n t d e v o l a t i l i t s u p r i e u r c e l u i i n d u i t p a r d e s v a l e u r s p o s i t i v e s ( h a u s s e s d e s c o u r s ) d e

m m e a m p l i t u d e .

1 R e p r s e n t a t i o n d u m o d l e G A R C H ( p , q )

L e s p r o p r i t s p r c d e n t e s i l l u s t r e n t l a d i c u l t d e m o d l i s e r l e s s r i e s n a n c i r e s . L e m o d l e

i n t r o d u i t d a n s l a l i t t r a t u r e c o n o m t r i q u e p a r E n g l e ( 1 9 8 2 ) a n d e p r e n d r e e n c o m p t e l e s p r o p o -

r i t s d e s s r i e s n a n c i r e s r e p o s e e s s e n t i e l l e m e n t s u r l e c o n c e p t d e v a r i a n c e c o n d i t i o n n e l l e . D a n s

c e m o d l e , c e l l e - c i s ' c r i t c o m m e u n e f o n c t i o n a n e d e s v a l e u r s p a s s e s d u c a r r d e l a s r i e . C e t t e

s p c i c a t i o n p a r t i c u l i r e c o n n u e s o u s l e n o m G A R C H ( m o d l e A u t o R g r e s s i f C o n d i t i o n n e l l e m e n t

H t r o s c d a s t i q u e ) [ 1 0 ] s e r v l e t r s f r u c t u e u s e c a r e l l e p e r m e t u n e t u d e c o m p l t e d e s p r o p o r i t s

d e s s o l u t i o n s t o u t e n t a n t a s s e z g n r a l e .

P o u r t o u t p r o c e s s u s (rt), n o u s n o t o n s rt =: (rs; s t 1) l a t r i b u e n g e n d r e p a r l e p a s s

p a g e : 2 4


27/46


d e rt . N o u s d o n n o n s u n e d n i t i o n d u p r o c e s s u s G A R C H f o n d e s u r l e s d e u x p r e m i e r s m o m e n t s d e rt c o n d i t i o n n e l s s o n p a s s .

D n i t i o n :

S o i t (t) u n e s u i t e d e v a r i a b l e s i . i . d d e l o i (0, 1) . O n d i t q u e (rt) e s t u n p r o c e s s u s G A R C H ( p , q ) a u s e n s f o r t ( r e l a t i v e m e n t l a s u i t e (t) ) s ' i l v r i e : ( i ) rt = tta v e c t i n d p e n d a n t d e t+i p o u r t o u t i 0 ;( i i ) I l e x i s t e d e s c o n s t a n t e s w, i, i = 1, . . . , q e t j , j = 1, . . . , p t e l l e s q u e

2t = V

rt|rt1

= w +

qi=1

ir2ti +

pj=1

j 2tj , t Z (1)

R e m a r q u e

S o i t

(t)l e p r o c e s s u s d ' i n n o v a t i o n d e

r

2

t. P a r d n i t i o n

t = r

2

t E

[r

2

t |rt1].

E n r e m p l a a n t d a n s l ' q u a t i o n ( 1 ) , o n o b t i e n t :

r2t =

max(p,q)i=1

(i + i) r2ti + t

pj=1

j 2tj , t Z (2)

a v e c l a c o n v e n t i o n i = 0 ( r e s p . j = 0 ) s i i > q ( r e s p . j > p) . O n r e t r o u v e a i n s i d a n s c e t t e q u a t i o n l a s t r u c t u r e l i n a i r e d e s m o d l e s A R M A , p e r m e t t a n t p a r e x e m p l e l ' i d e n t i c a t i o n d e s o r d r e s p e t q

d u m o d l e G A R C H .

S o u s d e s h y p o t h s e s s u p p l m e n t a i r e s i m p l i q u a n t l a s t a t i o n n a r i t d e r2t , o n p e u t a r m e r q u e s i rt e s t u n p r o c e s s u s G A R C H ( p , q ) , ( r2t ) e s t u n p r o c e s s u s A R M A (max (p, q) , p).

D a n s l a s u i t e , n o u s p r s e n t o n s u n e a n a l y s e s t a t i s t i q u e d u m o d l e G A R C H c o m p o r t a n t p l u s i e u r s

t a p e s : v r i c a t i o n d e l ' h y p o t h s e d u b r u i t G A R C H , i d e n t i c a t i o n d e s o r d r e s p e t q, e s t i m a t i o n d e s p a r a m t r e s d e l a v o l a t i l i t ( c o e c i e n t s w , i , j ) p o u r d e s o r d r e s p e t q d o n n s , a d q u a t i o n d u m o d l e e s t i m e t s l e c t i o n n a l e d u m o d l e l e p l u s a p p r o p r i .

2 V r i c a t i o n d e l ' h y p o t h s e d u b r u i t G A R C H

O n n o t e (h) ( r e s p . (h)) l ' a u t o c o r r l a t i o n d ' o r d r e h ( r e s p . e m p i r i q u e ) d u p r o c e s s u s rt , e t (h)( r e s p . (h)) s o n a u t o c o v a r i a n c e d ' o r d r e h ( r e s p . e m p i r i q u e ) . O n m o n t r e q u e s i (rt) e s t u n p r o c e s s u s G A R C H ( p , q ) s t r i c t e m e n t s t a t i o n n a i r e n o n a n t i c i p a t i f a v e c l a c o n d i t i o n d u m o m e n t d ' o r d r e 4 n i ( E[r4

t] 21, m

R e m a r q u e s :

- L a s t a t i s t i q u e d e p o r t m a n t e a u d a n s l e c a s d ' u n b r u i t b l a n c f o r t ( b r u i t i . i . d ) p r e n d l a f o r m e s u i v a n t e :

Qm = nm

h=1

2(h).C e t t e d e r n i r e s u i t a s y m p t o t i q u e m e n t u n e l o i 2 m d e g r s d e l i b e r t .

- D a n s l e c o r r l o g r a m m e e m p i r i q u e d e s i m u l a t i o n d ' u n b r u i t b l a n c , o n a c o n s t a t q u e l e s o r d r e s 2

e t 4 d e s a u t o c o r r l a t i o n s s o n t t r s n e t t e m e n t e n d e h o r s d e s b a n d e s d e c o n a n c e 9 5 % c a l c u l e s s o u s l ' h y p o t h s e d e b r u i t b l a n c f o r t ( v o i r g u r e c i - d e s s o u s ) . L e p r a t i c i e n n o n a v e r t i s e r a t e n t a r e j e t e r

l ' h y p o t h s e d e b r u i t b l a n c .

P o u r v i t e r c e g e n r e d e s p c i c a t i o n s , i l f a u t d o n c b i e n t r e c o n s c i e n t q u e l e s l i m i t e s [1.96/n , 1.96/n]n e s o n t p a s v a l a b l e s p o u r l e s a u t o c o r r l a t i o n s d ' u n b r u i t b l a n c G A R C H ( b r u i t s rt d p e n d a n t s ) e t c o m m e l e m o n t r e l a b o r n e d e s i g n i c a t i v i t p o u r u n b r u i t b l a n c G A R C H , o n n e d e v r a i t p a s r e j e t e r

l ' h y p o t h s e d e b r u i t b l a n c G A R C H c a r t o u t e s l e s a u t o c o r r l a t i o n s s o n t l ' i n t r i e u r o u n e d b o r d e n t

q u e l g r e m e n t d e s l i m i t e s d e s i g n i c a t i v i t .

p a g e : 2 6


29/46


F i g . 5 C o r r l o g r a m m e d ' u n e s i m u l a t i o n d ' u n b r u i t b l a n c e t b o r n e s d e s i g n i c a t i v i t

p a g e : 2 7


30/46


3 I d e n t i c a t i o n d e s o r d r e s p e t q d u m o d l e G A R C H

I l n ' e s t s o u v e n t p a s f a c i l e d ' i d e n t i e r l e s o r d r e s d ' u n m o d l e G A R C H ( P , Q ) p a r t i r d e s a u t o c o r -

r l a t i o n s o u d e s a u t o c o r r l a t i o n s p a r t i e l l e s . L a m t h o d e d e c o i n ( B g u i n , 1 9 8 0 ) , d e B o x e t J e n k i n s

( 1 9 8 1 ) o u e n c o r e l a m t h o d e d e l ' e p s i l o n - a l g o r i t h m e ( B e r l i n e t , 1 9 8 2 ) d n i s s e n t d e s s t a t i s t i q u e s p l u s

c o m m o d e s . N o u s p r s e n t o n s l a m t h o d e d e B o x e t J e n k i n s [ 1 1 ] .

P r i n c i p e d e l a m t h o d e :

P o u r i d e n t i e r l e s o r d r e s d ' u n G A R C H ( p , q ) , o n u t i l i s e l e f a i t q u e ( r2t ) s u i t u n A R M A ( P , Q ) a v e c P = m a x ( p , q ) e t Q = p .

O n c o m m e n c e p a r a j u s t e r u n m o d l e A R M A ( P , Q ) r2t , p o u r c e l a , o n p r o c d e e n d e u x t e m p s ; - D ' a b o r d , o n a j u s t e u n m o d l e a u t o r g r e s s i f d ' o r d r e P " A R ( P ) " r2t :

r2t =P

i=1 ir2ti + at (4)

- E n s u i t e , o n a j u s t e u n m o d l e m o y e n n e m o b i l e d ' o r d r e Q " M A ( Q ) " a u b r u i t at :

at =

Qj=1

jbtj (5)

d e ( 4 ) e t ( 5 ) , o n t r o u v e l e s o r d r e s P e t Q q u i v r i f e n t s p c i c a t i o n :

r2t =P

i=1

ir2ti +

Qj=1

j btj

P a r l a s u i t e ,

Q u a n d l ' a j u s t e m e n t A R M A r e s s o r t P > Q a l o r s l e m o d l e G A R C H ( p , q ) r e t e n i r e s t t e l q u e p = Q , q = P .

Q u a n d l ' a j u s t e m e n t A R M A r e s s o r t P Q , c e c i a b o u t i t a u x c h o i x d e s m o d l e s G A R C H ( p , q ) a v e c ( p , q ) = ( Q , 0 ) , ( Q , 1 ) , . . . , ( Q , P ) . L a s l e c t i o n d u m o d l e l e p l u s a p p r o p r i e n t r e c e s d e r n i e r s s e r a p r s e n t e d a n s l ' t a p e 5 d e v a l i d a t i o n d u m o d l e .

R e s t e d t e r m i n e r u n e m t h o d e p o u r a j u s t e r l e s m o d l e s A R ( P ) e t M A ( Q ) , c e c i f e r a l ' o b j e t

d e s d e u x p o i n t s s u i v a n t s .

3 . 1 M t h o d e d ' a j u s t e m e n t d u m o d l e a u t o r e g r e s s i f A R ( p )

U n p r o c e s s u s a u t r o r g r e s s i f d ' o r d r e P e s t d n i p a r l e m o d l e :

Xt = 1Xt1 + + PXtP + w + ata v e c

at B r u i t b l a n c (0, 2)P = 0, (w, 1, . . . , P) RP+1

O n m o n t r e q u e l e s p r o c e s s u s {Xt} e t {Xt w} o n t l a m m e s t r u c t u r e d ' a u t o c o v a r i a n c e e t d ' a u t o -

c o r r l a t i o n .

D a n s l a s u i t e , l o r s q u ' o n v a s ' i n t r e s s e r a u x a u t o c o v a r i a n c e s e t a u x a u t o c o r r l a t i o n s , o n s u p p o s e

s a n s r e s t r u c t i o n q u e l e p r o c e s s u s e s t c e n t r (w = 0).

p a g e : 2 8


31/46


P a r a i l l e u r s , o n m o n t r e l a r e l a t i o n d e r c u r r e n c e s u i v a n t e e n t r e l e s a u t o c o r r l a t i o n s :

k > 1, t = 1k1 + + PkPd u q u e l l e , o n d d u i t l e s y s t m e d ' q u a t i o n s c i - d e s s o u s c o n n u s o u s l e n o m d u s y s t m e d e Y u l e - W a l k e r ,

e t q u i p e r m e t t r a d e d t e r m i n e r l ' o r d r e P d u m o d l e A R : 1 (1) . . . (P1)

(1) 1.

.

.

.

.

.

(P1) 1

12

.

.

.

P

=

12

.

.

.

P

T h o r m e

P o u r u n p r o c e s s u s A R ( P ) , o n a

k, k (0, 1N

) p o u r k P + 1

a v e c

k, k l ' e t i m a t i o n d u c o e c i e n t d ' a u t o c o r r l a t i o n p a r t i e l l e k, k .A p p l i c a t i o n

d e p o i n t d e v u p r a t i q u e , l ' o r d r e P r e t e n i r e s t c e l u i q u i v r i e :

|k, k| < 2n

p o u r k = P + 1, P + 2, . . .

k,k t a n t l a d e r n i r e c o m p o s a n t e d e l a s o l u t i o n d u s y s t m e d e Y u l e - W a l k e r d ' o r d r e k ; 1 (1) . . . (k1)(1) 1

.

.

.

.

.

.(k1) 1

k,1k,2

.

.

.k,k

=(1)(2)

.

.

.(k)

.

3 . 2 M t h o d e d ' a j u s t e m e n t d u m o d l e m o y e n n e m o b i l e M A ( q )

U n p r o c e s s u s m o y e n n e m o b i l e d ' o r d r e Q e s t d n i p a r l e m o d l e :

Xt = w + 0at + 1at1 + + QatQa v e c at B r u i t b l a n c (0, 2)

Q = 0, (w, 0, 1, . . . , Q) RQ+2T h o r m e

S i ( Xt ) s u i t u n p r o c e s s u s m o y e n n e m o b i l e d ' o r d r e Q a l o r s , p o u r t o u t k Q + 1 k (0, 2k)a v e c

2k =1

N

1 + 221 + + +22Q

e t k l e c o e c i e n t d ' a u t o c o r r l a t i u o n d ' o r d r e k d u p r o c e s s u s ( Xt ) .A p p l i c a t i o n

p a g e : 2 9


32/46


E n p r a t i q u e , o n n e c o n n a i t p a s l ' o r d r e q , o n t e s t e s u c c e s s i v e m e n t l e s m o d l e s M A ( Q ) p o u r Q = 0 , 1 , 2 , . . .

P o u r t e s t e r H0 : MA(Q) , o n s ' i n t r e s s e k = Q + 1 . D a n s c e c a s ,

2k 1

N

1 + 212 + + +22Q1

l ' h y p o t h s e H0 s e r a r e t e n u e s i |k| < 1.96 k p o u r k = Q + 1 , Q + 2 , . . .4 E s t i m a t i o n d e s p a r a m t r e s d u m o d l e G A R C H ( p , q ) p a r q u a s i - m a x i m u m

d e v r a i s e m b l a n c e

D a n s c e t t e p a r t i e n o u s p r s e n t o n s u n e p r o c d u r e i t r a t i v e d e c a l c u l d e l a l o g - v r a i s e m b l a n c e ,

c o n d i t i o n n e l l e m e n t d e s v a l e u r s i n i t i a l e s . C e t t e v r a i s e m b l a n c e e s t c r i t e c o m m e s i l a v a r i a b l e t a i t

n o r m a l e c e n t r e r d u i t e , o n p a r l e d e p s e u d o o u q u a s i - v r a i s e m b l a n c e [ 1 2 ] [ 1 3 ] .

4 . 1 Q u a s i - v r a i s e m b l a n c e c o n d i t i o n n e l l e

O n s u p p o s e q u e l e s o b s e r v a t i o n s r1, . . . , rn c o n s t i t u e n t u n e r a l i s a t i o n ( d e l o n g u e u r n ) d ' u n p r o c e s s u s G A R C H ( p , q ) d n i p a r :

rt = tt2t = V

rt/rt1

= w +

qi=1 ir

2ti +

pj=1 j

2tj

o l e s o r d r e s p e t q s o n t s u p p o s s c o n n u s . O n n o t e l e v e c t e u r d e s p a r a m t r e s ;

= (1, . . . , p+q+1) := (w, 1, . . . , q, 1, . . . , p)

L a v r a i e v a l e u r d e s p a r a m t r e s e s t i n c o n n u e e t e s t n o t e : 0 = (1, . . . , p+q+1)

.

P o u r c r i r e l a v r a i s e m b l a n c e d u m o d l e , i l f a u t s p c i e r u n e d i s t r i b u t i o n p a r t i c u l i r e p o u r l e s v a -

r i a b l e s i . i . d t . o n c o n s i d r e l a v r a i s e m b l a n c e g a u s s i e n n e , i . e . l a v r a i s e m b l a n c e o b t e n u e p a r t i r d ' u n e l o i n o r m a l e c e n t r e r d u i t e p o u r l e s t . N o u s n e f e r o n s c e p e n d a n t p a s l ' h y p o t h s e q u e c e t t e l o i c o n s t i t u e l a v r a i e d i s t r i b u t i o n d u p r o c e s s u s t .E t a n t d o n n e s d e s v a l e u r s i n i t i a l e s r0, . . . , r1q,

20, . . . ,

21p q u e n o u s a l l o n s p r c i s e r , l a v r a i s e m -

b l a n c e c o n d i t i o n n e l l e g a u s s s i e n n e Ln() s ' c r i t :

Ln() = Ln(; r1, . . . , rn) =n

t=1

122t

exp

r

2t

22t

o l e s 2t s o n t d n i e s r c u r s i v e m e n t , p o u r t 1 , p a r

2t =

2t () = w +

q

i=1

ir2ti +

p

j=1

j 2tj ().

P o u r u n e v a l e u r d o n n e d e , s o u s l ' h y p o t h s e d e s t a t i o n n a r i t a u s e c o n d o r d r e , l a v a r a i n c e n o n c o n d i t o n n e l l e ( c o r r e s p o n d a n t c e t t e v a l e u r d e ) e s t u n c h o i x r a i s o n n a b l e p o u r l e s v a l e u r s i n i t i a l e s i n c o n n u e s :

r20 = = r21q = 20 = = 21p =1

n

nt=1

r2t

U n e s t i m a t e u r d e q u a s i m a x i m u m d e v r a i s e m b l a n c e ( Q M V ) d e e s t d n i c o m m e t o u t e q u a n t i t e n v r i a n t p r e s q u e s r e m e n t : Ln(

n) = sup Ln()

p a g e : 3 0


33/46


O n v o i t , e n p r e n a n t l e l o g a r i t h m e , q u e m a x i m i s e r l a v r a i s e m b l a n c e r e v i e n t m a x i m i s e r p a r r a p p o r t

log Ln () =

nt=1

lt ()

o

lt () = 12

log 2t 1

2

r2t2t

4 . 2 C a l c u l n u m r i q u e d e l ' e s t i m a t e u r d u Q M V

P l u t t q u e d ' u t i l i s e r l e s q u a t i o n s d e v r a i s e m b l a n c e s o b t e n u e s e n a n n u l a n t l a d r i v e p a r r a p p o r t

d u l o g - v r a i s e m b l a n c e p o u r c a l c u l e r l e s p a r a m t r e s d u m o d l e , n o u s p r o p o s o n s d ' u t i l i s e r u n e m - t h o d e n u m r i q u e q u i v a d o n n e r c e r t e s , u n i q u e m e n t u n e a p p r o x i m a t i o n d e c e s d e r n i e r s , m a i s q u i v a

p e r m e t t r e d e r d u i r e s i g n i c a t i v e m e n t l e t e m p s d e c a l c u l n c e s s a i r e p o u r l a r s o l u t i o n a n a l y t i q u e .

l a m t h o d e d e L e v e n b e r g M a r q u a r d t q u ' o n v a d t a i l l e r p a r l a s u i t e , s e m b l e t r e u n b o n c h o i x e t s a

m i s e e n p l a c e p r a t i q u e n c e s s i s t e l a f o i s , l e c a l c u l d e l a d r i v e p r e m i r e d e l a l o g - v r a i s e m b l a n c e

e t d e l a m a t r i c e H e s s i e n n e .

C a l c u l d e l a d r i v e p r e m i r e d e l a l o g - v r a i s e m b l a n c e

L a d r i v a t i o n p a r r a p p o r t d e lt d o n n e :

lt

= 12

1

2t

2t

+1

2

2t

r2t4t

=1

2

1

2t

2t

r2t2t

1

a v e c

2t

= zt +

pi=1

i 2ti

(6)

e t

zt =

1, r2t1, . . . , r2tq,

2t1, . . . ,

2tp

N o t o n s q u e l e c a l c u l d e

2p

r e q u i e r t l e c a l c u l d e

20

.

P u i s q u e 20 e s t c a l c u l e c o m m e l a m o y e n n e d e s c a r r s d e s r e n d e m e n t s c h a n t i l l o n n a l e s , e l l e n e d p e n d p a s d e ;

1

T

nt=1

r2t

= 0

d o n c s i t 0, 2t

= 0

C e q u i p e r m e t d ' o p r e r u n c a l c u l r c u r s i f d e s d r i v e s d a n s l ' q u a t i o n ( 6 ) .

C a l c u l d e l a m a t r i c e h e s s i e n n e ( H )

L a d r i v e s e c o n d e p a r r a p p o r t d e lt e s t d e l a f o r m e :

2lt

=

r2t2t

1

1

2

1

2t

2t

1

2

1

4t

2t

2t

r2t2t

=

r2t2t

1

1

2

1

2t

22t

12

1

4t

2t

2t

1

2

1

4t

2t

2t

r2t2t

.

p a g e : 3 1


34/46


a v e c

22

t =zt +

pi=1

2ti

i +

pi=1

i22ti

= A +

pi=1

Bi +

pi=1

Ci (7)

A, Bi, Ci t a n t d e s m a t r i c e s d e d i m e n s i o n (1 + q+ p)(1 + q+ p) a v e c ;

A =

1, r2t1, . . . , 2t1, . . . ,

2tp

[0, 1, . . . , 1, . . . , p]

=

0 0 0 0 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 0 0 02t1

w

2t11

2t1

q

2t11

2t1

p.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

2tpw

2tp1

2tp

q

2tp1

2tp

p

l e n o m b r e d e s l i g n e s n u l l e s e s t d e 1 + q.

Bi = 2ti

i

i

= (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)

(1 + q+ i) m e c o m p o s a n t e

Bi =

0 0 . . . 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 . . . 02ti

w

2ti1

2ti

p.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 . . . 0

o n a d o n c :

pi=1

Bi = A

L e s m a t r i c e s Ci p e u v e n t t r e c a l c u l e s d e m a n i r e r c u r s i v e d e l ' q u a t i o n ( 7 ) , e t c e , e n u t i l i s a n t l a c o n d i t i o n i n i t i a l e :

22t

= 0 , t 0M t h o d e d e L e v e n b e r g M a r q u a r d t

I l s ' a g i t d ' u n e v a r i a n t e d e l a m t h o d e d e g r a d i e n t q u i p e r m e t d e r d u i r e s i g n i c a t i v e m e n t l e n o m b r e

d ' i t r a t i o n s . E n e e t , l a m t h o d e d e g r a d i e n t d o n n e l a d i r e c t i o n v e r s l a q u e l l e s e d p l a c e r p o u r t r o u -

v e r l e m a x i m u m , m a i s n e d o n n e p a s l e p a s . D a n s l a d e s c e n t e d e g r a d i e n t c l a s s i q u e c e p a s e s t u n

c o e c i e n t x e , e t d a n s c e t t e v a r i a n t e , i l v a r i e c h a q u e i t r a t i o n e t p e

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Gestion de Portefeuille Et Encadrement Du Risque. Auteur: mariane mouhammed, ensae