Gilles Montambaux

Gilles Montambaux __________________________________________________________________________________

Physique mésoscopique et conduction quantique

Département de Physique 2019

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Avant-propos

Cet enseignement de Physique de neuf blocs fait partie du Programme d’Approfon-dissement enseigne en troisieme annee a l’Ecole Polytechnique. Le but de ce cours estde presenter plusieurs aspects de la richesse des proprietes physiques fondamentales dutransport electronique a des echelles de longueur ou se manifestent des effets spectacu-laires de la mecanique quantique. Cette branche de la physique de la matiere condensees’est developpee a partir des annees 1980 grace aux progres des methodes de lithographiequi ont permis de realiser des situations nouvelles, comme un gaz d’electrons parfaitementbidimensionnel ou unidimensionnel, ou meme zero-dimensionnel – ”une boıte quantique”.La decouverte de nouveaux materiaux comme les nanotubes de carbone ou le graphene aaussi permis, outre les applications potentielles importantes, d’aborder des problemes dephysique jusque la reserves au domaine de la physique des hautes energies.

La miniaturisation des circuits electroniques et le developpement des nanotechnolo-gies posent donc des questions de physique fondamentale, et la physique mesoscopique sedeveloppe au carrefour de problematiques a la fois appliquees et conceptuellement nou-velles.

Le lecteur curieux pourra completer le survol de la discipline propose dans ce cours pard’autres lectures. Voici quelques references utiles :

- The physics of low-dimensional semiconductors, an introduction, J.H. Davies, Cam-

bridge University Press (1998)

- Transport in nanostructures, D.K. Ferry and S.M. Goodnick, Cambridge University Press

(1997)

- Electronic transport in mesoscopic systems, S. Datta, Cambridge University Press (1995)

- Introduction to mesoscopic physics, Y. Imry, Oxford (2002)

- Mesoscopic physics of electrons and photons, E. Akkermans and G. Montambaux, Cam-

bridge University Press (2007) ; version francaise : Physique mesoscopique des electrons et desphotons, EDPSciences (2004)

- Quantum Transport, Y.V. Nazarov and Y.M. Blanter, Cambridge University Press (2009).

Gilles Montambaux

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Table des matieres

1 Introduction 7

1.1 Objectif de ce cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Les materiaux de la Physique Mesoscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Les metaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2 Les heterojonctions de semiconducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.3 Comparaison gaz 2D - metal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 L’effet Aharonov-Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Conductance d’un circuit quantique 21

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1 Necessite d’un nouvelle description pour le transport quantique . . . 21

2.1.2 Avant de commencer, un repere : la loi d’Ohm . . . . . . . . . . . . 22

2.1.3 Conductance = transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 L’exemple du fil unidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.1 Calcul du courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.2 Formule de Landauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.3 Puissance dissipee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.4 Ou est la chute de potentiel ? resistances de contact . . . . . . . . . 27

2.3 Formules de Landauer ”quatre fils” versus ”deux fils” . . . . . . . . . . . . 28

2.4 Le cas multicanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4.1 Modes transverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4.2 Formule de Landauer ”multicanal” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.3 Quantification de la conductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.4 Et pour des particules classiques... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5 Matrice de ”scattering” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6 Formalisme de Landauer-Buttiker a plusieurs terminaux . . . . . . . . . . . 39

2.6.1 Conductance a deux terminaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.6.2 Conductance a trois terminaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.6.3 Conductance a quatre terminaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.6.4 Puissance dissipee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.7 De la formule de Landauer a la loi d’Ohm, barriere diffusive . . . . . . . . . 47

2.7.1 Transport incoherent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.7.2 Transport coherent, localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.8 Resume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 TABLE DES MATIERES

3 L’effet Hall quantique 53

3.1 Introduction : l’effet Hall ”classique” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2 L’effet Hall quantique entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2.1 La decouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2.2 Les niveaux de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2.3 Parenthese : mouvement dans un champ magnetique et un champ electrique 59

3.2.4 Role du desordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2.5 Les etats de bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2.6 Courant de Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2.7 Origine des plateaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3 L’effet Hall quantique fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4 L’effet Hall quantique, un exemple d’isolant topologique . . . . . . . . . . . 70

3.5 L’effet Hall quantique et la metrologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4 Interferences et desordre dans les systemes diffusifs 73

4.1 Probabilite de diffusion quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.1.1 Probabilite classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.1.2 Solution generale - probabilite de retour a l’origine . . . . . . . . . . 79

4.1.3 Diffusion libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.1.4 Temps de diffusion et energie de Thouless . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.2 Conductance, transmission et probabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.2.1 Formule de Landauer et conductance classique . . . . . . . . . . . . 82

4.2.2 Corrections quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.3 Localisation faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.3.1 Localisation et croisements quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.3.2 Localisation faible et dimension d’espace . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.3.3 Systemes finis, conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.3.4 Effets du champ magnetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.3.5 Coherence de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.4 Fluctuations de conductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.4.1 Fluctuations universelles, signatures de la coherence quantique . . . 96

4.4.2 Fluctuations de conductance et correlations de speckle en optique . 97

4.4.3 Amplitude des fluctuations de conductance . . . . . . . . . . . . . . 102

5 Retrodiffusion coherente de la lumiere 105

5.1 Le cone de retrodiffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.2 Dependance angulaire et trajectoires de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.3 Absorption et longueur des trajectoires de diffusion . . . . . . . . . . . . . . 109

5.4 Manifestations de la retrodiffusion coherente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6 Le graphene 113

6.1 Structure de bande du graphene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.2 Quelques proprietes physiques du graphene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.2.1 Densite d’etats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.2.2 Chaleur specifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.2.3 Conductivite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.2.4 Niveaux de Landau dans le graphene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

TABLE DES MATIERES 5

7 Breve introduction a la theorie des matrices aleatoires 1317.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7.1.1 Repulsion de niveaux et integrabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.2 Caracterisation des correlations spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.3 Sequence poissonnienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367.4 Theorie des Matrices Aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

7.4.1 Repulsion de niveaux et matrices 2× 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.4.2 Proprietes spectrales des matrices aleatoires . . . . . . . . . . . . . . 140

7.5 La conjecture de Bohigas-Giannoni-Schmit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427.6 Correlations spectrales en regime diffusif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427.7 Une excursion vers les mathematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

7.7.1 La conjecture de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.7.2 Fonction ζ et distribution des nombres premiers . . . . . . . . . . . 146

8 Supplements 1498.1 Densite d’etats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1508.2 Courant dans le cas multicanal : quelques precisions . . . . . . . . . . . . . 157

8.2.1 Preliminaire : barriere asymetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1578.2.2 Conservation du courant dans le cas multicanal . . . . . . . . . . . . 1588.2.3 Courant total multicanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

8.3 A propos de l’equation de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1618.3.1 Conditions aux limites pour l’equation de diffusion . . . . . . . . . . 1618.3.2 Volume fini et ”mode zero” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1618.3.3 Diffusion dans un domaine anisotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . 1628.3.4 Diffusion unidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1628.3.5 La methode des images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1648.3.6 Autre derivation de l’equation de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . 1658.3.7 La probabilite P0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1668.3.8 Equation differentielle pour le cooperon . . . . . . . . . . . . . . . . 166

8.4 Quantification a une dimension, methode WKB . . . . . . . . . . . . . . . . 1688.5 Capacite quantique (probleme 2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1728.6 Le bruit du courant (probleme 2010) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

9 Formulaire 203

6 TABLE DES MATIERES

Chapitre 1

Introduction

1.1 Objectif de ce cours

Ce cours s’interesse aux proprietes de transport electronique dans des systemes dontla petite taille est a l’origine d’effets physiques nouveaux, essentiellement lies a la natureondulatoire des electrons. Les effets abordes apparaissent sur des echelles de longueurqui s’etendent typiquement du micron jusqu’au nanometre. Ce domaine de recherche com-munement appele celui de la Physique Mesoscopique, du grec µεσoς, s’est developpe depuisle debut des annees 1980, essentiellement grace aux progres des methodes de lithographie.Il a aussi vu la decouverte de nouveaux systemes moleculaires, tels que les nanotubes decarbone ou le graphene, qui offrent de remarquables situations nouvelles de gaz d’electronsstrictement uni- ou bidimensionnel, avec en plus une dynamique completement nouvelle,celle de particules sans masse.

La figure (1.1) presente quatre systemes physiques particulierement interessants. Lefil de cuivre a la geometrie d’un anneau dont on mesure la conductance (a). Selon la loid’Ohm, la conductance de l’anneau est la somme des conductances des deux bras (on ajouteles intensites). Ce n’est plus vrai a l’echelle mesoscopique. De plus si l’anneau est plongedans un champ magnetique, la conductance est modulee par le champ. Cette decouvertespectaculaire au debut des annees 1980 marque le debut du domaine de recherche de laPhysique Mesoscopique, dont la violation de la loi d’Ohm est une caracteristique remar-quable. C’est le domaine du transport quantique. Comme en mecanique quantique, onverra qu’il faut additionner des amplitudes et non pas des intensites pour comprendrel’effet observe, le caractere ondulatoire des electrons et leur coherence de phase jouant unrole essentiel.

Le deuxieme echantillon (b) represente une cavite qui confine un gaz d’electrons bi-dimensionnel. La technique de fabrication d’un tel gaz fait que celui-ci est quasimentexempt d’impuretes. Les electrons se propagent donc de facon balistique sur quelques mi-crons, contrairement au cas d’un metal ou les electrons diffusent sur les impuretes : on ditalors que le mouvement est diffusif, comme c’est le cas dans l’anneau de cuivre. Lorsquele mouvement est balistique, la dynamique electronique est conditionnee par les bords dela cavite, que l’on appelle un billard – ou un billard quantique.

La troisieme figure (c) represente un nanotube de carbone contacte a des plots en or,et la derniere figure est une representation simulee d’un plan de graphene. Graphene etnanotubes sont des cristaux parfaitement bidimensionnels (enroule sur lui-meme dans lecas du nanotube) avec une structure en nid d’abeilles. La consequence spectaculaire decette structure est que les electrons ne se comportent plus comme des particules massives,

8 Introduction

mais comme des particules relativistes sans masse decrites par une equation de Dirac. Lesconsequences fondamentales et appliquees sont remarquables et nombreuses.

Dans ce cours, on s’interesse aux consequences de la coherence de phase des electronssur le transport electrique, dans les regimes balistique ou diffusif. On va voir que pourdecrire ces nouveaux effets, en particulier la violation de la loi d’Ohm, un nouvel outil estnecessaire : C’est le formalisme de Landauer-Buttiker du transport quantique. Trois motscles sont importants dans ce cours : desordre, dimensionnalite et coherence de phase. Unquatrieme facteur qui peut se reveler extremement important est l’interaction entre leselectrons. Bien que la comprehension profonde de nombreux effets lies a l’interaction e-esoit complexe et constitue un ”challenge” essentiel de la physique moderne, il se trouveque l’interaction peut etre oubliee dans bien des situations physiques les plus simples. Ellene sera donc que peu abordee dans ce cours introductif.

anneau métallique Cu gaz 2D, semiconducteur (AlGaAs)

nanotube de carbone

graphène

1 m

20 nm

1 nm

a) b)

c) d)

Figure 1.1 – Quelques exemples de structures etudiees dans ce cours.

cohérence de phase

dimensionnalité désordre

« le triangle mésoscopique »

Figure 1.2 – Le triangle mesoscopique.

1.2 Les materiaux de la Physique Mesoscopique 9

1.2 Les materiaux de la Physique Mesoscopique

La physique abordee dans ce cours a vu son developpement dans les annees recentesgrace aux nouvelles methodes de fabrication de systemes electroniques confines et de petitetaille. Ceux-ci sont essentiellement de deux natures, selon qu’ils sont fabriques a partir demetaux ou de semiconducteurs.

1.2.1 Les metaux

Les metaux utilises sont essentiellement les metaux nobles. Non magnetiques, nonsupraconducteurs, c’est a leurs proprietes de transport de metal ”normal” qu’on s’interesseici. Ils se pretent bien aux techniques de gravure et a la lithographie. Dans les metaux,le libre parcours moyen le est petit, de l’ordre de 1 a 100nm. Les systemes etudies seronten general de dimension grande devant cette longeur. Le transport electronique est doncdiffusif et la physique etudiee sera celle de la diffusion et des effets de coherence de phaseen presence de desordre.

Figure 1.3 – Les differentes etapes de lithographie electronique.

Un circuit electronique tel que l’anneau de la figure (1.1) est realise par la methodedite de lithographie electronique, schematisee sur la figure (1.3), dont les etapes sont lessuivantes : On commence (a) par proteger le substrat isolant par une couche appelee ”resistcoating” en PMMA (polymethylmethacrylate, mieux connu sous le nom de plexigas). Onirradie (b) la surface a l’aide d’un faisceau electronique et on dessine ainsi le circuit quel’on souhaite realiser. Le faisceau electronique casse des liaisons dans le PMMA et le rendainsi soluble. On elimine ensuite la partie gravee a l’aide d’un solvant approprie (c), puison depose ensuite le metal souhaite par evaporation. Le metal est depose (d) directementsur le substrat dans la partie dessinee et sur le PMMA. Il suffit finalement de dissoudre(”lift-off”) le PMMA avec un autre solvant approprie (e). Ne reste plus que le metal deposeexactement selon la gravure dessinee a l’aide du faisceau d’electrons.

10 Introduction

Figure 1.4 – Les elements III-V . Quand on dope AlGaAs avec des atomes de silicium ceux-ciprennent la place des atomes de Ga et liberent chacun un electron libre.

1.2.2 Les heterojonctions de semiconducteurs

Le principe de cette technique de fabrication est qu’un puits de potentiel confineles electrons a l’interface de deux semiconducteurs differents, en l’occurence GaAs etAl0.3Ga0.7As, des elements des colonnes III et V de la table de Mendeleıev (figure 1.4).On peut ainsi pieger un gaz d’electrons parfaitement bidimensionnel le long de cetteinterface (figure 1.5).

Figure 1.5 – Un gaz d’electrons bidimensionnel est confine a l’interface de deux semiconducteurs(principe).

C’est une methode simple dans son principe mais qui necessite un equipement lourd.Deux conditions doivent etre realisees afin de minimiser les contraintes et deformations al’interface : les deux semiconducteurs ont la meme structure cristalline (c.f.c. diamant) etleurs parametres de maille sont aussi proches que possible. On cherche a juxtaposer lesdeux semiconducteurs qui ont une bande interdite differente. Le meilleur choix est realiseavec l’arsenure de gallium GaAs, et un alliage de GaAs et d’aluminium : Al0.3Ga0.7As,que l’on notera plus simplement AlGaAs. On fait croıtre les deux semiconducteurs l’unapres l’autre grace a la technique d’epitaxie par jets moleculaires (MBE : molecular beamepitaxy) qui permet de faire croıtre les deux semiconducteurs couche par couche (figure1.6).


Figure 1.6 – Epitaxie par jets moleculaires (MBE). Dans un four ultra-vide, on bombarde suc-cessivement une surface par differents elements.

La figure (1.7) montre le principe du dopage module qui conduit au confinement d’ungaz bidimensionnel d’un gaz d’electrons a l’interface GaAs/AlGaAs. On dope le semicon-ducteur AlGaAs (celui qui a la plus grande bande interdite) avec du silicium. Les atomesde Si se substituent aux atomes de Ga, et liberent un electron libre par atome (figure 1.4).Ces electrons migrent vers le GaAs pour y abaisser leur energie potentielle. Le deplacementde ces charges induit ainsi un champ electrique E (localement constant, donc un potentielV (z) localement lineaire) au voisinage de l’interface. Ce potentiel confine les porteurs presde l’interface.

Figure 1.7 – Principe du dopage module a l’heterojunction de deux semiconducteurs.

Le principe est simple, mais le dispositif reel est en realite plus complique. On cherchea separer spatialement les impuretes Si donneuses du gaz d’electrons confine pres de l’in-terface. Pour cela, on intercale une region non dopee appelee ”spacer”.

Le profil energetique de l’heterojonction est presente en detail sur la figure (1.8). Ec(z)

12 Introduction

Figure 1.8 – Profil energetique d’une heterojonction GaAs-AlGaAs. Ec(z) est l’energie du basde la bande de conduction. Elle presente une discontinuite ∆Ec aux interfaces AlGaAs-GaAs enz = 0 et z = −s− d. µs est le potentiel chimique du gaz 2D, et µm est celui de la grille metallique.La region ”spacer” permet de separer la zone ou se trouvent les impuretes dopantes et le gaz 2D.

designe l’energie du bas de la bande de conduction. La discontinuite en z = 0 corresponda la difference de bande interdite entre les deux semiconducteurs. Les electrons issus desimpuretes Si ont migre vers GaAs et restent confines a l’interface z & 0. Ils forment ungaz bidimensionnel de densite surfacique n2D. Les impuretes Si sont donc chargees positi-vement, ce qui induit un champ electrique E localement constant dans la region ”spacer”et dans la region ”substrate” au voisinage de z = 0. Les charges positives separees descharges negatives constituent ainsi un condensateur plan. Le champ E est proportionnel ala densite surfacique de charge, E = en2D/ϵ, ou ϵ est la constante dielectrique. L’energiepotentielle electrostatique est donc localement lineaire V (z) = Ec(z) − Ec(0) = eEz au-tour de z = 0. Dans la region ”n-AlGaAs” ou se trouvent les charges positives dues auximpuretes Si, le potentiel varie quadratiquement (puisque d’apres la formule de Poisson,∆V ∝ Cte). Enfin une derniere couche de GaAs protege la region dopee.

Dans ce dispositif, decrit un peu plus en detail dans le probleme de la page 172, leselectrons liberes par la region dopee au Si sont confines dans le potentiel triangulaire V (z)consitue par le potentiel lineaire en z et la barriere de potentiel due a la difference desbandes interdites. Leurs niveaux d’energie sont donc quantifies et leur densite est telleque seul le premier niveau d’energie ε0 est occupe. La fonction d’onde u0(z) de cet etatfondamental est indiquee sur la figure 1.8. Dans la direction parallele a l’interface, leselectrons ont une dynamique de particule libre, avec une masse effective m∗ = 0, 067me.La relation de dispersion electronique est donc donnee par

ε(k) = ε0 +~2

2m∗(k2x + k2y) (1.1)

Cette technique dite du ”dopage module”, en eloignant la zone dopee au Si le pluspossible de l’interface, permet de separer spatialement les impuretes dopantes des chargesqu’elles liberent. Ainsi la mobilite electronique n’est pas ou tres peu affectee par la presencedes impuretes. Cette technique, mise au point aux Laboratoires Bell a la fin des annees1970, est a l’origine des transistors de tres haute mobilite (HMET).


• Potentiel triangulaire

Quel est le spectre electronique de ce gaz confine par le potentiel triangulaire le long de l’interface ?Notons n2D sa densite. Au voisinage de la surface, il regne un champ electrique E relie a la densitesurfacique de charge σ

E =σ

ϵ=en2D

ϵ(1.2)

ou ϵ = ϵ0ϵr est la permittivite de GaAs (ϵr ∼ 11). A ce champ electrique, correspond une energiepotentielle variant lineairement avec la distance z a l’interface :

V (z) = eEz =e2n2D

ϵz . (1.3)

Les niveaux d’energie dans ce puits triangulaire sont solutions de l’equation de Schrodinger

− ~2

2m∗∂2ψ

∂z2+ eEz = εψ (1.4)

ou m∗ est la masse effective des electrons (dans GaAs, m∗ = 0.067me). Apres un changement de

variables, z = ax, avec eE = ~22m∗a3 , l’equation de Schrodinger s’ecrit sous la forme adimensionnee

−ψ′′ + xψ = cψ (1.5)

avec c = 2m∗a2

~2 ε =(

2m∗

(~eE)2

)1/3

ε. Les solutions de cette equation qui decroissent a l’infini sont de la

forme

ψ = αAi(x− c) (1.6)

ou Ai est la fonction d’Airy (voir quelques proprietes de la fonction d’Airy p. 208). La condition d’an-nulation de la fonction d’onde en z = 0 implique la quantification

Ai(−cn) = 0 (1.7)

dont les solutions sont approximativement de la forme

cn =

[3π

2

(n+

3

4

)]2/3

, n = 0, 1, 2, · · · (1.8)

On en deduit les niveaux d’energie dans le potentiel triangulaire et la relation entre positiondes niveaux et densite du gaz 2D

εn = cn

[(~eE)2

2m∗

]1/3

= cn

(~2e4

2m∗ϵ2

)1/3

n2/32D . (1.9)

Finalement, on peut aussi determiner la position moyenne de ce gaz 2D par rapport al’interface. Pour le niveau n, elle est donnee par

zn =

∫∞0zψ2(z)dz∫∞

0ψ2(z)dz

= a

∫∞0xAi2(x− cn)dx∫∞

0Ai2(x− cn)dx

=2

3cna (1.10)

On a utilise la relation (9.48). Finalement, on obtient

zn =2

3

εneE

. (1.11)

En general les conditions experimentales correspondent au cas ou seul le premier niveaun = 0 est occupe. Par ailleurs, le mouvement electronique est libre dans le plan parallelea l’heterojonction. La relation de dispersion electronique est donc donnee par (1.1).

14 Introduction

Figure 1.9 – Solutions de l’equation de Schrodinger dans un potential triangulaire.

1.2.3 Comparaison gaz 2D - metal

Le tableau (1.10) presente les caracteristiques physiques d’un gaz 2D a l’interfaceGaAs/AlxGa1−xAs, et celles d’une couche d’or de 20 nm d’epaisseur. Afin d’apprehenderces differences, faisons ici quelques rappels.

• Pour un gaz de particules libres de masse m∗, la densite d’etats ρ ne depend pasde l’energie a deux dimensions, alors qu’a trois dimensions, elle varie comme

√ε. Plus

precisement, on a, en tenant compte du spin :

ρ2d =m∗

π~2, ρ3d = ρ2d

k

π=m∗2v

π2~3(1.12)

ou v =√

2ε/m∗ est la vitesse a l’energie ε. Ces relations se retrouvent facilement, parexemple en rappelant la relation entre densite d’etats integree n(ε) et vecteur d’onde k

n(ε) =2

(2π)dAdk

d (1.13)

ou Ad est le volume de la sphere unite en dimension d (A1 = 2, A2 = π, A3 = 4π/3). Ona en particulier kF = (3π2n)1/3 en trois dimensions et kF =

√2πn en deux dimensions.

Pour en savoir plus sur la densite d’etats on pourra se reporter a la section 8.1.

• Pour un gaz d’electrons ou de porteurs libres, le modele de Drude relie la conductiviteau temps de collision τ , a la densite n de porteurs et a leur masse effective m∗ :

σ =ne2τ

m∗. (1.14)

On rappelle que le temps de collision decrit plusieurs mecanismes de collision, les collisionselastiques caracterisees par un temps de collision τe independant de la temperature, lescollisions inelastiques avec les vibrations du reseau (les phonons) decrites par un tempscaracteristique τe−ph(T ) qui depend de la temperature et qui diverge a basse temperature.Les deux processus de collisions etant independants, on a la regle de composition deMatthiessen

1

τ=

1

τe+

1

τe−ph(1.15)


GaAs/ Au film unitsAlxGa1−xAs 20nm thick

Effective mass m∗ 0.067 1.1 me = 9.1 10−28gDensity of states ρ(εF ) 0.28× 1011 4× 1013 cm−2meV−1

Areal density n 2× 1011 1.4× 1017 cm−2

Fermi velocity vF 1.9 13 107cm/sFermi wavelength λF 50 0.5 nmFermi energy εF 80 65000 K

Mobility µ 106 20 cm2/VsElastic scattering time τe 40 0.013 psMean free path le 8 0.02 µmDiffusion constant D 7600 70 cm2/s

Figure 1.10 – Comparaison entre les caracteristiques d’un gaz 2D et d’un film d’or.

A basse temperature, τe−ph → ∞, on a τ ≃ τe et σ ≃ ne2τem∗ . Cette contribution restante

est appelee conductivite residuelle.

• La mobilite, par definition, relie la vitesse de derive des porteurs au champ electriqueapplique : vd = µE. Puisque la densite de courant j est reliee a la vitesse de derivej = nevd ≡ σE, la mobilite µ est reliee a la conductivite par

σ = neµ . (1.16)

Dans le modele de Drude, on a donc µ = eτ/m∗. L’interet d’introduire cette nouvellequantite par rapport a la conductivite, est qu’elle ne depend pas explicitement de ladensite de porteurs. Traditionnellement, elle s’exprime non pas en unites SI (m2/Vs),mais en cm2/Vs. Il est utile de retenir que la mobilite typique dans un gaz 2D est d’ordre106 cm2/Vs, et qu’elle peut atteindre 108 cm2/Vs, ce qui correspond un libre parcoursmoyen d’une centaine de µm. Les electrons se deplacent alors de facon balistique dansechantillon mesoscopique. Dans un metal, la mobilite reste faible, de l’ordre de quelques100 cm2/Vs ou moins et le mouvement electronique est diffusif.

• On relie le coefficient de diffusion D au libre parcours moyen et a la vitesse de Fermipar

D =vF led

=v2F τed

(1.17)

ou le = vF τe est le libre parcours moyen elastique et d est la dimension d’espace.

• On rappelle enfin (voir PC) que la relation d’Einstein generalise la formule de Drudepour une relation de dispersion electronique quelconque

σ = e2Dρ(εF ) (1.18)

et on verifiera que pour une relation de dispersion quadratique ε = ~2k2/2m∗, on retrouvebien la formule de Drude a partir de (1.18). Cette formule est plus interessante puisqu’elles’applique a une relation de dispersion quelconque, en particulier pour des electrons sansmasse comme dans le graphene. Elle montre aussi que la conductivite est intrinsequementune propriete du niveau de Fermi, a travers la densite d’etats ρ(ϵF ).

16 Introduction

1.3 L’effet Aharonov-Bohm

Les effets physiques decrits dans ce cours sont pour la plupart lies a la nature on-dulatoire des electrons. Il est souvent utile de proceder par analogie et de faire le lienavec les effets d’interference en optique. La mise en evidence la plus simple de la natureondulatoire de la lumiere est certainement l’experience des trous d’Young. Son equivalentelectronique est particulierement interessant car, contrairement a la lumiere, la phase deselectrons peut etre manipulee facilement, par un champ magnetique. Revenons donc audispositif des trous d’Young schematise sur la figure (1.11). Ici, un solenoıde infinimentlong est place entre les deux trous, de sorte que les electrons qui interferent se deplacenta l’exterieur du solenoıde. Le champ magnetique est donc nul a l’exterieur du solenoıde etclassiquement sa presence n’affecte donc pas le mouvement des electrons.

ea2

Φ δ2i

ea1δ1i

Figure 1.11 – Description schematique de l’effet Aharonov-Bohm. Un tube de flux ϕ est placederriere les deux fentes.

Il n’en va pas de meme en mecanique quantique. Dans ce cas, il faut considerer, afinde calculer l’intensite, la somme des amplitudes complexes associees aux differentes tra-jectoires. Pour les deux trajectoires de la figure 1.11, ces amplitudes sont de la formea1,2 = |a1,2|eiδ1,2 , ou les phases δ1 et δ2 sont donnees par (on note −e la charge del’electron) :

δ1 = δ(0)1 − e

~

∫1A · dl

δ2 = δ(0)2 − e

~

∫2A · dl (1.19)

ou A est le potentiel vecteur et les integrales decrivent la circulation du potentiel vecteur

A le long des deux trajectoires et δ(0)1,2 sont les phases geometriques en l’absence de flux

magnetique 1. En presence d’un flux magnetique ϕ induit par le solenoıde, l’intensite I(ϕ)

1. Une onde plane electronique de la forme eik·r est solution de l’equation de Schrodinger p2

2mψ = Eψ.

En presence d’un potentiel vecteur A, l’equation de Schrodinger devient (p+eA)2

2mψ = Eψ et les solutions

sont de la forme ei[k·r−e~

∫ r0 A·dl].

1.3 L’effet Aharonov-Bohm 17

est donnee par

I(ϕ) = |a1 + a2|2 = |a1|2 + |a2|2 + 2|a1a2| cos(δ1 − δ2)

= I1 + I2 + 2√I1I2 cos(δ1 − δ2) (1.20)

La difference de phase ∆δ(ϕ) = δ1− δ2 entre les deux trajectoires est maintenant moduleepar le flux magnetique ϕ

∆δ(ϕ) = δ(0)2 − δ

(0)1 +

e

~

∮A · dl = ∆δ(0) + 2π

ϕ

ϕ0(1.21)

ou ϕ0 = h/e est le quantum de flux magnetique. Il est donc possible de modifier continumentl’etat d’interference en chaque point de l’ecran en changeant le flux magnetique ϕ. Ceciconstitue l’effet Aharonov-Bohm, un effet conceptuellement remarquable puisqu’il montrele role joue par le potentiel vecteur dans une situation ou le champ magnetique est nul 2.

L’effet Aharonov-Bohm a ete mis en evidence experimentalement : un faisceau coherentd’electrons est emis dans un microscope electronique et scinde en deux faisceaux avantde traverser un aimant toroıdal tel que le champ magnetique reste confine dans le tore.Le champ magnetique est donc nul sur le trajet des electrons. Il s’agit d’une experienceeffectuee dans le vide et les electrons ne subissent pas de collision avant d’interferer 3

B ΦFigure 1.12 – Description schematique de l’experience de Webb et coll. sur l’effet Aharonov-Bohm dans un metal. Dans cette experience, le champ magnetique applique est uniforme. ϕ est leflux a travers l’anneau.

Cette coherence de phase peut elle exister dans les metaux, ou les electrons subissentdes collisions multiples sur des defauts, ou le libre parcours moyen elastique le est beaucoupplus petit que le perimetre de l’anneau ? L’experience a ete realisee a IBM par RichardWebb et coll. (1983) qui ont mesure la resistance d’un anneau d’or 4. Dans ce montageschematise sur la figure 1.12, des electrons incidents sont contraints a passer par les deux

2. Y. Aharonov et D. Bohm, Significance of electromagnetic potentials in quantum theory, Phys. Rev.115, 485 (1959). Une conference internationale a recemment celebre le cinquantenaire de cette decouverte.Le lecteur interesse pourra se faire une idee des nombreux developpements actuels en consultant le sitehttps://www.tau.ac.il/~ab50/.

3. Voir l’article de vulgarisation par Y. Imry et R. Webb, Les interferences quantiques et l’effetAharonov-Bohm, Pour la Science 140, 32 (1989).

4. R. Webb et al., Observation of h/e Aharonov-Bohm oscillations in normal-metal rings, Phys. Rev.Lett. 54, 2696 (1985).

18 Introduction

branches de l’anneau qui constituent l’equivalent des deux trous d’Young, pour etre ensuitecollectes dans le second brin.

L’equivalent de l’intensite I(ϕ) est le courant electrique ou encore la conductance G(ϕ)mesuree pour differentes valeurs du flux magnetique ϕ. Celui-ci est obtenu par l’applica-tion d’un champ magnetique uniforme, ce qui ne correspond pas stricto sensu au cas del’experience de Aharonov-Bohm puisque le champ magnetique n’est pas nul sur les trajec-toires electroniques. Cependant le champ applique est suffisamment faible pour que d’unepart la courbure des trajectoires resultant de la force de Lorentz soit tres inferieure audiametre des fils constituant l’anneau et que d’autre part il n’y ait pas de dephasage entretrajectoires coherentes a l’interieur de l’anneau. On peut alors negliger l’effet du champpour ne garder que celui du flux. La figure 1.13 montre que la magnetoresistance de cetteboucle est en premiere approximation une fonction periodique du flux applique dont laperiode est donnee par le quantum de flux ϕ0 = h/e. En effet, la phase relative des deux

Figure 1.13 – a) Magnetoresistance d’un anneau d’or a T = 0.01K. b) Spectre de Fourierde la magnetoresistance. On voit une contribution principale a la periode ∆B ≃ 0.0076T, cequi correspond a une periode en flux egale a ϕ0 = h/e (ce qu’on verifie aisement, le diametre del’anneau etant 825nm). L’amplitude des oscillations δR est faible. Elle correspond a des oscillationsde conductance δG = δR/R2 de l’ordre de e2/h (R. Webb et al., Observation of h/e Aharonov-Bohm oscillations in normal-metal rings, Phys. Rev. Lett. 54, 2696 (1985).)

trajectoires electroniques etant modulee par le flux, le courant total, donc la conductancede l’anneau, sont des fonctions periodiques du flux 5 :

G(ϕ) = G0 + δG cos(∆δ(0) + 2πϕ

ϕ0) (1.22)

Cette modulation observee de la conductance en fonction du flux prouve que la coherencede phase persiste meme dans un milieu ou le desordre est suffisamment fort pour qu’ily ait de la diffusion multiple sur les impuretes et que le mouvement electronique soit

5. On voit sur la figure 1.13 que la modulation n’est pas exactement periodique. Ceci est du au faitque l’anneau n’est pas unidimensionnel et que les trajectoires de diffusion multiple au sein d’une memebranche peuvent etre aussi modulees par le champ magnetique qui penetre dans l’anneau lui-meme. C’estl’origine du pic a basse frequence de la figure 1.13.b.

1.3 L’effet Aharonov-Bohm 19

diffusif. Cette experience a eu un retentissement important car elle montrait que les effetsd’interferences electroniques ne sont pas detruits par le desordre et sont observables dansles metaux. Elle montre aussi que les interferences ne sont visibles que si le perimetre del’anneau est plus petit qu’une longueur caracteristique, que l’on a baptise la longueur decoherence de phase Lϕ. Cette longueur depend de la temperature, elle augmente a basse

temperature. A basse temperature (∼ 1K) elle est typiquement de l’ordre du µm. C’estcette echelle de longueur caracteristique qui a ete baptisee mesoscopique. Une observationessentielle est que cette longueur n’a rien a voir avec le libre parcours moyen elastiquedes electrons dans le metal. Elle est beaucoup plus grande. Cette comprehension, qu’ilexiste deux echelles de longueur associees a des phenomenes bien differents, les collisionselastiques sur les impuretes (le) et les processus de decoherence (Lϕ) est le point de departdu domaine de recherche appele aujourd’hui Physique Mesoscopique.

Notons toutefois que, si des oscillations survivent dans ce metal desordonne, leur am-plitude est tres faible. Une interference a deux ondes conduit a des oscillations sinusoıdalesdont le contraste est egal a 1 (si I1 = I2 dans l’equation 1.20). Or, on constate que :

1) La figure d’interference de la figure 1.13 est complexe, bien loin d’etre une simplesinusoıde.

2) L’amplitude des oscillations δG de conductance (l’inverse de la resistance) est del’ordre de e2/h, rapport de deux constantes universelles sur lequel on va s’etendre dansce cours. Cette amplitude, si on la compare a la conductance moyenne, est tres faible :δG≪ G. Le contraste des oscillations est tres petit.

Ces deux constatations montrent que si la physique sous-jacente est bien le caractereondulatoire des electrons, la figure d’interference est extremement complexe. En fait, elleresulte non pas de l’interference entre deux chemins mais entre une infinite de trajectoiresde diffusion dans le metal desordonne. La comprehension de cette figure d’interferencecomplexe fera l’objet de la section 4.4.

20 Introduction

Chapitre 2

Conductance d’un circuitquantique

2.1 Introduction

2.1.1 Necessite d’un nouvelle description pour le transport quantique

Figure 2.1 – Les longueurs caracteristiques le et Lϕ definissent les domaines mesoscopique,diffusif, et balistique.

La loi d’Ohm est certainement la loi la plus familiere de notre vie quotidienne : laresistance d’un fil augmente avec sa longueur, un gros fil conduit mieux qu’un fil fin. Pourdes fils en parallele, les courants s’ajoutent, pour des fils en serie, ce sont les tensions qu’ilfaut ajouter. Tout cela s’exprime exprime a l’aide des equations simples, inverses l’une del’autre, pour la resistance R et pour la conductance G = 1/R :

R = ρL

S, G = σ

S

L. (2.1)

Ces comportements nous ont habitues a penser que la quantite fondamentale qui ca-racterise un conducteur est sa resistivite ρ (ou sa conductivite σ = 1/ρ). Cela devient

22 Conductance d’un circuit quantique

faux a l’echelle mesoscopique. L’exemple des oscillations Aharonov-Bohm dans un anneaumontre que les courants en parallele ne s’additionnent pas. La miniaturisation des circuitselectroniques nous oblige a nous poser des questions nouvelles. Par exemple, la conduc-tance d’une chaıne d’atomes d’or presentee sur la page de couverture est-elle reliee a laconductivite de l’or ? La reponse est non. Nous allons voir que la mesure de la conductanced’un echantillon mesoscopique ne depend pas uniquement de l’echantillon, mais aussi dela facon dont il est connecte au monde exterieur, aux fils de mesure. En fait, la loi d’Ohmne s’applique que pour des systemes diffusifs, c’est-a-dire dont la taille typique L est beau-coup plus grande que le libre parcours moyen elastique le et macroscopiques, c’est-a-direpour lesquels la coherence de phase est perdue L ≫ Lϕ. Il va donc falloir avoir recours aune nouvelle description du transport electrique developpee par Rolf Landauer et MarkusButtiker aux Laboratoires IBM dans les annees 60-80.

La figure 2.1 presente les differents regimes physiques qui seront abordes dans ce cours.

2.1.2 Avant de commencer, un repere : la loi d’Ohm

Puisque ce cours va decrire des proprietes de transport non habituelles, c’est-a-diredifferentes de la loi d’Ohm, il n’est pas inutile de revenir sur la loi d’Ohm et de la reformulersous une forme qui permettra la comparaison avec des situations non classiques. Remar-quons d’abord qu’une conductance a les dimensions d’une charge au carre divisee par uneaction. En effet, [G] = [I]/[V ] = Q/(T.V ) = Q2/(T.Q.V ) = Q2/(T.energie) = Q2/action.On peut donc toujours ecrire une conductance en unites du rapport des constantes fon-damentales e2/h. Pour la loi d’Ohm, partons de l’expression de la conductivite classiquedonnee par la formule d’Einstein (1.18), et de la relation entre conductance et conductivitepour un echantillon de longueur L et de section S =W d−1 :

Gdiff = σS

L= e2ρ0D

S

L= e2ρ0S

vFd

leL, (2.2)

le coefficient de diffusion D etant donne par D = vF le/d. Remplacons maintenant ladensite d’etats au niveau de Fermi ρ0 par son expression en dimension d (relation 8.12 eton rajoute la degenerescence de spin. Ad est le volume de la sphere unite.)

ρ0 = ρ(εF ) =2dAd

hvFλd−1F

(2.3)

de sorte que la conductance d’un conducteur diffusif incoherent s’ecrit sous la forme :

Gdiff = 2e2

hAd

(W

λF

)d−1 leL

(2.4)

Cette forme est interessante et tres intuitive. La conductance classique de Ohm est ecriteen unites de 2e2/h, la section est en unites de la longueur d’onde de Fermi λF et ladecroissance avec la longueur est exprimee par le rapport du libre parcours moyen le surla longueur L. Cette expression de la conductance nous permettra de comparer ce regimeclassique avec les differents regimes que nous allons decouvrir maintenant. Avant cela,il nous faut mettre en place un formalisme qui va permettre de decrire de facon la plusgenerale le transport quantique, c’est le formalisme de Landauer-Buttiker.

2.2 L’exemple du fil unidimensionnel 23

Figure 2.2 – Geometrie de Landauer unidimensionnelle.

2.1.3 Conductance = transmission

La premiere etape consiste a modeliser le dispositif qui permet de mesurer la conduc-tance d’un circuit quantique. On presente ici l’approche initialement proposee par R.Landauer et largement developpee par M. Buttiker qui a permis une description du trans-port electrique dans les systemes mesoscopiques 1. L’idee fondamentalement nouvelle duea Landauer consiste a decrire la conductance d’un systeme comme un coefficient de trans-mission. Le systeme a etudier (le ”diffuseur”) est un objet quantique relie par des fils demesure parfaits (appeles fils d’amenee, ou leads en anglais) a des reservoirs, comme lemontre schematiquement la figure (2.2). On definit le reservoir, appele aussi contact outerminal de la facon suivante :

• Il n’existe pas de relation de phase entre ce qui entre et ce qui sort d’un reservoir.

• Le reservoir absorbe les electrons et les renvoie dans le conducteur a un potentielchimique et une temperature donnes.

• La resistance du reservoir est nulle, ou tres faible devant celle de l’objet a etudier.

La figure 2.3 montre trois dispositifs dans lesquels la distinction entre le systeme a etudieret les reservoirs est claire.

On cherche a decrire la transmission d’un reservoir a l’autre a travers l’objet quantique.Pour cela, on va calculer le courant qui traverse le diffuseur, somme des contributions detous les etats quantiques occupes.

2.2 L’exemple du fil unidimensionnel

2.2.1 Calcul du courant

Le courant de probabilite (on considere pour l’instant un probleme unidimensionnelpour lequel densite de courant et courant sont la meme quantite) associe a un etat ψ estdonne par (voir poly. Basdevant-Dalibard)

jp =1

mRe(ψ∗

~i∇ψ) (2.5)

1. Cette approche est largement developpee dans l’article de revue : M. Buttiker, Symmetry of electricalconduction, IBM Journal of Research and Development, 32, 317 (1988).


Figure 2.3 – Objets mesoscopiques contactes a des reservoirs macroscopiques

et le courant de charge est j = −ejp. Dans la geometrie de la figure (2.2), on injecte uneonde plane de vecteur d’onde k depuis le reservoir de gauche. Cette onde est en partietransmise et en partie reflechie par la barriere de potentiel que constitue le diffuseur. Lafonction d’onde a gauche de la barriere est de la forme :

ψ(x) =1√L(eikx + re−ikx) (2.6)

ou r est le coefficient de reflexion. En injectant cette expression de la fonction d’onde dansl’expression (2.5) du courant, on trouve que le courant electrique a gauche de la barrierede potentiel est

j = −e ~kmL

(1− |r|2) . (2.7)

De meme, la fonction d’onde a droite de la barriere s’ecrit en fonction du coefficient detransmission t :

ψ(x) =t√Leikx (2.8)

et le courant a droite s’ecrit

j = −e ~kmL

|t|2 . (2.9)

On notera T = |t|2 et R = |r|2, les coefficients de transmission et de reflexion en intensite.La conservation du courant implique

|r|2 + |t|2 = 1 , R+ T = 1 . (2.10)

Le courant porte par un etat k est

j = −evkL

T (2.11)

ou vk = ~k/m est la vitesse de l’etat k. A priori, les coefficients de transmission et dereflexion dependent de l’energie (voir la section 8.2).

2.2.2 Formule de Landauer

On considere le dispositif de la figure (2.2) ou le reservoir de gauche est porte au po-tentiel electrique V1, c’est-a-dire au potentiel electrochimique µ1 = εF − eV1 et le reservoir


Figure 2.4 – Diagramme energetique correspondant a la figure (2.2). Les reservoirs sont a despotentiels chimiques differents. Les electrons de gauche sont injectes au potentiel µ1 et ceux dedroite sont injectes au potentiel µ2. Dans l’echantillon, aucun processus ne permet l’equilibre entreles deux populations. La thermalisation s’effectue dans les contacts. Dans le conducteur, le potentielchimique moyen est µm = (µ1 + µ2)/2. La discontinuite de potentiel au voisinage de chacun desreservoirs est decrite par la resistance de contact (section 2.2.4).

de droite au potentiel V2, c’est-a-dire au potentiel electrochimique µ2 = εF − eV2 (figure2.4).

Le reservoir de gauche injecte un courant d’electrons I→ vers la droite, electrons dontla distribution en energie est la distribution de Fermi decalee d’une energie −eV1. Ensommant les courants (2.11) associes a tous les etats k :

I→ = −2e∑k>0

vkLT (εk)f(εk + eV1) = −2e

∑k>0

vkLT (εk)θ(µ1 − εk) (2.12)

ou

f(ε) =1

eβ(ε−εF ) + 1(2.13)

est la distribution de Fermi a l’equilibre a la temperature T = 1/kβ. 2 La seconde expres-sion dans (2.12) est a temperature nulle. θ(ε) est la fonction de Heaviside. De meme lereservoir de droite injecte des electrons de droite a gauche, avec une distribution de Fermidecalee de −eV2, donc un courant

I← = −2e∑k<0

vkLT (εk)f(εk + eV2) = −2e

∑k<0

vkLT (εk)θ(µ2 − εk) . (2.14)

Le courant total est donc

I = I→ + I← = −2e∑k>0

vkLT (εk)[f(εk + eV1)− f(εk + eV2)] (2.15)

ou, a temperature nulle :

I = −2e∑k>0

vkLT (εk)[θ(µ1 − εk)− θ(µ2 − εk)] . (2.16)

2. On prendra garde a ne pas confondre la temperature et le coefficient de transmission, tous deuxdecrits par la meme lettre


Ainsi les etats qui participent au courant appartiennent a une tranche d’energie µ2 −µ1 = e(V1 − V2). Il est commode de remplacer la somme sur les vecteurs d’onde par unesomme sur les energies 3

∑k>0

· · · = L

2π

∫k>0

dk · · · = L

2π

∫k>0

dk

dεdε · · · = L

2π~

∫dε

v(ε)· · · (2.17)

La vitesse disparaıt entre les relations (2.15) et (2.17) et le courant se recrit

I = −2e

h

∫ ∞0

T (εk)[f(εk + eV1)− f(εk + eV2)]dε . (2.18)

A temperature nulle, il prend la forme particulierement simple :

I = −2e

h

∫ µ2

µ1

T (ε)dε . (2.19)

Pour une faible tension appliquee, on obtient la conductance G = I/(V1 − V2) sous laforme

G = −2e2

h

∫ ∞0

T (ε)∂f

∂εdε (2.20)

et a basse temperature

G =2e2

hT (εF ) (2.21)

La formule de Landauer donne une interpretation simple et physique de la conduc-tance comme un coefficient de transmission a travers une barriere de potentiel. Pour unetransmission parfaite de la barriere (T = 1), la conductance est une quantite universelle,qui s’exprime comme le rapport de deux constantes universelles. Le rapport RK = h/e2

est homogene a une resistance, et sa valeur est RK = 25812, 807Ω. On verra tout au longde ce cours l’importance de cette quantite.

Le resultat (2.21) peut apparaıtre surprenant. En effet, pour une transmission parfaite,on obtient une conductance finie, alors qu’on pourrait s’attendre a une resistance nulle,c’est-a-dire une conductance infinie. On reviendra plus loin (section 2.3) sur la nature decette quantite, et on montrera que l’on peut mesurer en fait deux conductances, l’une quiest egale a 2e2/h, l’autre qui est infinie !.

3. On rappelle que2

L

∑k

· · · =∫ρ(ε)dε · · ·

ou ρ(ε) est la densite d’etats en energie (incluant le spin) :

ρ(ε) =2

π~v(ε).


2.2.3 Puissance dissipee

On peut neanmoins se poser deja la question suivante. Si, en l’absence de barriere, onmesure une conductance finie, c’est que de l’energie a ete dissipee quelque part. Ce n’estpas dans la barriere qui transmet parfaitement le courant. C’est que l’energie est dissipeedans les reservoirs. En effet, c’est au niveau des reservoirs que s’effectue la thermalisationdes electrons et la modification de leur energie, et non pas dans le canal conducteur.

La relation (2.16) et la figure (2.4) montrent que le courant total dans le conducteur estporte par une tranche d’energie comprise entre µ1 et µ2. Si V1 > V2, c’est-a-dire µ1 < µ2,les electrons de cette tranche d’energie circulent de la droite vers la gauche. Ils sont emisau potentiel µ2 et, en arrivant dans le reservoir de gauche, ils se reequilibrent au potentielµ1. Une energie µ2 − µ1 est donc transferee par electron qui traverse le conducteur en untemps L/v(ε). Une puissance

P =1

2

∫ µ2

µ1

T (ε)ρ(ε)v(ε)(µ2 − µ1)dε (2.22)

est donc transferee depuis le reservoir (2) vers le reservoir (1). La puissance dissipee semet finalement sous la forme, puisque ρ(ε) = 2/π~v(ε),

P =T

π~(µ2 − µ1)

2 = 2e2

hT (V1 − V2)

2 = G(V1 − V2)2 . (2.23)

Par consequent, meme pour une barriere parfaitement transparente (T = 1), la valeurfinie et quantifiee de la conductance est bien accompagnee par une puissance dissipee.Cette dissipation s’effectue dans les reservoirs.

2.2.4 Ou est la chute de potentiel ? resistances de contact

Revenons a la figure (2.4) correspondant au conducteur parfait. Dans ce cas, leselectrons arrivant du reservoir de gauche sont au potentiel chimique µ1 alors que ceuxprovenant du reservoir de droite sont au potentiel chimique µ2. Le potentiel chimiquemoyen µm dans l’echantillon est µm = (µ1 + µ2)/2. La chute de potentiel s’effectue doncau voisinage de chaque reservoir. La chute de potentiel entre les reservoirs (1) et (2) estdonc la somme des deux chutes de potentiel caracterisees par les resistances

Rc =V1 − Vm

I=Vm − V2

I=V1 − V2

2I=

h

4e2

Ces resistances sont appelees resistances de contact (la resistance de contact par di-rection de spin est h/2e2).


2.3 Formules de Landauer ”quatre fils” versus ”deux fils”

Quelle conductance mesure-t-on ?

Nous avons vu que, meme pour un conducteur parfait, on peut mesurer toutefois uneconductance finie (et quantifiee). Bien que son origine soit bien comprise, ce resultat sembleun peu paradoxal, et on souhaiterait pouvoir mesurer une resistance (ou une conductance)propre a l’echantillon (c’est-a-dire G = ∞ quand celui-ci est parfait, et non pas 2e2/h).Pour aller plus loin, il faut bien comprendre comment est effectuee une mesure de conduc-tance.

Figure 2.5 – Geometrie dite ”quatre terminaux” ou ”quatre fils”. En l’absence de diffuseur,VA = VB. On definit une conductance ”deux fils” G2 = I/(V1 − V2) et une conductance ”quatrefils” G4 = I/(VA − VB).

Figure 2.6 – Profil de potentiel chimique dans les cas d’un conducteur parfait et avec une barrierede potentiel.

On injecte un courant I a l’aide d’une source de courant, et on mesure une tension,une difference de potentiel entre deux points, a l’aide d’un voltmetre. Un voltmetre parfaita une impedance infinie, c’est-a-dire que le courant ne circule pas dans le voltmetre (figure

2.3 Formules de Landauer ”quatre fils” versus ”deux fils” 29

2.5). La difference de potentiel entre les reservoirs est V1−V2. Mais dans le fil et en l’absencede diffuseur, il n’y a pas de chute de potentiel et la difference de potentiel VA−VB entre deuxpoints du fil est nulle. On concoit maintenant qu’en presence d’un diffuseur, la differencede potentiel VA−VB sera finie, mais differente de la difference de potentiel V1−V2, a causedes resistances de contact. On definit ainsi deux conductances, une conductance a ”deuxterminaux” ou ”deux fils” et une conductance a ”quatre terminaux” ou ”quatre fils”. Quedoit-on mesurer ? !

Nous avons vu dans la section (2.2.3) qu’il existe une chute de potentiel au contactentre les fils d’amenee et les reservoirs. On concoit donc bien que les potentiels VA etVB dans les fils d’amenee sont differents des potentiels V1 et V2 dans les reservoirs. Ladistribution en energie dans les fils est donc differente de celle dans les reservoirs (figure2.6).

Considerons la densite electronique nA dans le fil de gauche. On peut ecrire cettedensite de deux facons. C’est le nombre d’etats remplis au potentiel VA. D’autre part cesetats proviennent de trois endroits differents : Ils ont ete soit emis par le reservoir (1),soit emis par le reservoir (1) et reflechis par la barriere de potentiel, soit transmis par labarriere de potentiel depuis le reservoir de droite (2). On a donc

nA =2

2π

∫ ∞−∞

dkfA(ε) =2

2π

∫ ∞0

dk[f1(ε)(1 +R) + f2(ε)T ] (2.24)

nB =2

2π

∫ ∞−∞

dkfB(ε) =2

2π

∫ ∞0

dk[f1(ε)T + f2(ε)(1 +R)] (2.25)

ou fi(ε) = f(ε+ eVi). A temperature nulle,

2

∫ µA

0dE

dk

dE=

∫ µ1

0dE

dk

dE(1 +R) +

∫ µ2

0dE

dk

dET (2.26)

de sorte que, en choisissant un potentiel chimique µ0 de reference,

2∆µA = (1 +R)∆µ1 + T∆µ2 . (2.27)

ou ∆µi = µi − µ0. De meme,

2∆µB = T∆µ1 + (1 +R)∆µ2 (2.28)

et par consequent la difference de potentiel VA − VB de part et d’autre de la barriere depotentiel est donnee par

(µA − µB) = R(µ1 − µ2) ou (VA − VB) = R(V1 − V2) (2.29)

et elle s’annule effectivement pour une barriere parfaitement transparente (R = 0).

On obtient ainsi les conductances G2 = I/(V1 − V2) et G4 = I/(VA − VB) appeleesrespectivement conductance ”a deux” et ”a quatre fils” :

G2 =2e2

hT , G4 =

2e2

h

T

R(2.30)

et en l’absence de barriere, on retrouve G2 = 2e2/h et G4 = ∞.


Ainsi la resistance a deux fils peut se decomposer comme la somme des contributionsen serie de la resistance intrinseque de l’echantillon (mesuree par la resistance quatre fils)et des deux resistances de contact :

1

G2=

1

G4+

h

2e2=

1

G4+ 2Rc (2.31)

Cette difference entre les conductances G2 et G4 a ete mise en evidence dans une tresbelle experience ou, sur un meme dispositif, une mesure de G2 presente une quantificationen plateaux, alors que G4 reste infini (voir page 46 et figure 2.24) 4.

N.B. : On note que bien que la barriere ait une resistance intrinseque finie 1/G4, il n’ya pas de puissance dissipee dans la barriere puisque celle-ci est elastique. A cause de lareflexion sur la barriere, il y a a gauche plus d’electrons au potentiel µ1 qu’en l’absence debarriere. De meme, il y a plus d’electrons au potentiel chimique µ2 a droite de la barriere.L’effet de la barriere est donc de modifier la repartition energetique des electrons dans lefil, mais la dissipation d’energie a toujours lieu dans les reservoirs.

2.4 Le cas multicanal

Figure 2.7 – Formule de Landauer ”multicanal”. tab est un coefficient de transmission en am-plitude, Tab est un coefficient de transmission en intensite.

On cherche maintenant a generaliser la representation de la conductance comme uncoefficient de transmission, au dela de la description unidimensionnelle. La generalisationde la formule (2.21) a des dimensionnalites superieures necessite de definir plus precisementla geometrie du milieu. On considere dorenavant un conducteur desordonne de longueurL et de section carree S = W d−1. Celui-ci est relie a des conducteurs parfaits (figure2.7) qui peuvent etre consideres comme des guides d’ondes pouvant propager les ondesplanes reflechies et transmises par le conducteur. Dans cette geometrie, les vecteurs d’ondetransverses des modes propres du guide d’onde (ou canaux transverses) sont quantifies

4. R. de Picciotto et al., Four terminal resistance of a ballisic quantum wire, Nature 411, 51 (2001).

2.4 Le cas multicanal 31

du fait des conditions aux limites. On peut alors definir le coefficient de transmission Tabd’un canal b entrant vers un canal a sortant (figure 2.7).

On considere la propagation electronique a travers une barriere de potentiel de largeurfinie (bidimensionnelle pour simplifier la representation). Les etats electroniques propa-gatifs injectes dans les fils d’amenee ne sont plus des ondes unidimensionnelles mais, defacon tout a fait analogue a un guide d’onde, de la forme

ψ(x, y) =

√2

LWsin kyy e

ikxx , (2.32)

ou la composante transverse ky du vecteur d’onde est quantifiee par les conditions auxlimites dans la direction y, a savoir que la fonction d’onde s’annule sur les bords du guide.Ainsi

sin kyW = 0 , ky =nyπ

W, (2.33)

ou W est la largeur du fil et ny est un entier ny > 0. L’energie associee a ce mode s’ecrit

ε =~2k2x2m

+~2n2yπ2

2mW 2. (2.34)

De meme, pour un guide d’onde tridimensionnel de section carree W 2, on aurait

ψ(x, y, z) =

√4

LW 2sin kyy sin kzz e

ikxx (2.35)

avec kz = nzπ/W et nz > 0. L’energie de ce mode est

ε =~2k2x2m

+~2n2yπ2

2mW 2+

~2n2zπ2

2mW 2. (2.36)

2.4.1 Modes transverses

Combien de modes transverses (on parle aussi de canaux transverses) peuvent-ilsetre injectes dans le guide ? Comme a une dimension, les modes injectes (par exemple degauche a droite) ont une energie inferieure a l’energie de Fermi εF . A deux dimensions, cettecondition implique que k2x + n2yπ

2/W 2 < k2F . La valeur maximale du nombre quantiqueny est donc Int(kFW/π), ou Int designe la partie entiere (figure 2.8). De meme, a troisdimensions, la condition n2y + n2z < (k2F − k2x)W

2/π2 est realisee pour les valeurs de ny etnz positives dans une sphere de rayon kFW/π, c’est-a-dire pour un nombre de modes egala k2FW

2/(4π). Ainsi le nombre de modes transverses a deux et trois dimensions s’ecrit :

a 2D : M = Int(kFW

π) , a 3D : M = Int(

k2FS

4π) (2.37)

ou S est la section du fil a trois dimensions. Sous une forme plus generale, la nombre de va-

leurs positives de ni dans un cercle/sphere de rayon kFW/π est donne parAd−1

2d−1

(kFWπ

)d−1.


Le nombre de canaux a d dimensions a donc la forme generale (en introduisant la longueurd’onde de Fermi λF = 2π/kF ) :

M = Int

[Ad−1

(W

λF

)d−1]. (2.38)

Figure 2.8 – Dans le fil (ici bidimensionnel), les valeurs de kx forment un quasi-continuum. Lesvaleurs de ky sont quantifiees en unites de π/W . La valeur maximale de ky est kF . Le nombre demodes est donc Int(kFW/π).

2.4.2 Formule de Landauer ”multicanal”

Quel est le courant porte par ces M modes ? Le milieu desordonne melange les modespropres de propagation injectes via la partie non desordonnee du guide d’onde. Ainsi unmode b injecte dans la region desordonnee est transmis vers un mode a avec un coefficientde transmission Tab = |tab|2. Pour calculer le courant Iab transmis d’un mode b vers unmode a, on peut reprendre exactement le calcul unidimensionnel qui conduit a

Iab =2e2

hTab(V1 − V2) . (2.39)

Le courant total Ia ressortant dans le mode a resulte des contributions de tous les courantsincidents injectes dans un mode b avec le coefficient de transmission Tab. Par consequent

Ia =∑b

Iab =2e2

h

∑b

Tab(V1 − V2) , (2.40)

et le courant total sortant est la somme sur tous les modes a sortant :

I =∑a

Ia =∑ab

Iab =2e2

h

∑ab

Tab(V1 − V2) . (2.41)


La conductance est donc donnee par (voir le supplement 8.2 pour une description plusprecise)

G =2e2

h

∑ab

Tab (2.42)

qui constitue la formule de Landauer ”multicanal”. En introduisant la matrice de trans-mission en amplitude t = (tab), on note que

∑ab Tab =

∑ab tab(tab)

∗ =∑

ab tab(t†)ba =∑

a(tt†)aa = Tr t t†. Ainsi la formule de Landauer se recrit

G =2e2

hTr t t† (2.43)

2.4.3 Quantification de la conductance

Figure 2.9 – Quantification de la conductance dans un point contact quantique. En augmentantla tension de grille (gate voltage) negative, on reduit la largeur W de l’orifice entre les deuxregions conductrices et la conductance decroit par paliers de 2e2/h (B.J. Van Wees et al., Quantizedconductance of point contacts in a two-dimensional electron gas, Phys. Rev. Lett. 60, 848 (1988) ;D.A. Wharam et al., One-dimensional transport and the quantisation of the ballistic resistance, J.Phys. C 21, L209 (1988)).

Considerons le resultat precedent dans le cas le plus simple ou il n’existe pas de regiondesordonnee. On a alors affaire a un guide d’onde qui propage sans distorsion les modespropres injectes dans le fil d’amenee et Tab = δab. La conductance est alors simplementproportionnelle au nombre M de modes transmis par le guide d’onde. Elle augmente avecl’energie, a chaque fois qu’un nouveau mode est transmis :

Gq = 2e2

h

∑n>0

Θ(εF − εn) , (2.44)


ou, a deux dimensions par exemple, εn = n2π2~22mW 2 . Ainsi,

Gq =2e2

hM =

2e2

hInt(

kFW

π) =

2e2

hInt(

2W

λF) (2.45)

et a d dimensions, il faut prendre l’expression (2.38) du nombre de canaux :

Gq =2e2

hM =

2e2

hInt

[Ad−1

(W

λF

)d−1]

(2.46)

La conductance est quantifiee en unites de e2/h. Deux experiences remarquables met-tant en evidence cette quantification de la conductance ont ete realisees a la fin des annees1980. L’une d’elle est reproduite sur la figure (2.9). Dans un gaz bidimensionnel (2D)d’electrons realise a l’interface GaAs-GaAlAs, on realise un passage etroit a l’aide d’unegrille appliquee sur le gaz 2D qui permet d’induire des zones interdites pour les electrons.En modifiant la tension Vg appliquee a la grille, on peut moduler la taille de la regionsans electron. On peut ainsi moduler la largeur W du passage. Ce dispositif s’appelle unpoint contact quantique (quantum point contact en anglais avec l’abbreviation couranteQPC). En faisant varier Vg donc W , on observe des plateaux de conductance comme lepredit la relation (2.46).

2.4.4 Et pour des particules classiques...

Figure 2.10 – a,b) Propagation balistique d’une onde au travers d’un orifice. c,d) Propagationbalistique de particules classiques. La conductance ne depend pas de la longueur de la constriction.

Qu’en serait-il si au lieu de traiter les electrons comme des ondes comme on l’a fait ici(Fig.2.10-a,b), on les traite comme des particules classiques (obeissant toutefois a la sta-tistique de Fermi) ? Commencons par considerer le passage d’electrons entre deux cavitesseparees par une paroi percee par un trou de largeur W (ou de section S = W d−1 si onest a d dimensions), geometrie schematisee figure 2.10-c.

Si les densites electroniques nA et nB sont differentes de chaque cote, c’est un problemesimple de theorie cinetique des gaz de montrer que le trou est traverse par un courant departicules Ip donne par

Ip = (nA − nB)S⟨vx⟩+ (2.47)


ou ⟨vx⟩+ est la vitesse positive moyenne selon la direction x perpendiculaire a la paroi. Ladifference de densite est maintenue par une difference de potentiel chimique µA − µB, ellememe entretenue par une difference de potentiel electrique VA − VB :

nA − nB =∂n

∂µ(µA − µB) = ρ0(µA − µB) = −eρ0(VA − VB) (2.48)

ou ρ0 = ∂n/∂µ est la densite d’etats au niveau de Fermi. On obtient ainsi un courant decharge I = −eIp proportionnel a la difference de potentiel electrique VA − VB, donc uneconductance dite de Sharvin

Gbal =I

VA − VB= e2ρ0S⟨vx⟩+ . (2.49)

C’est la conductance a travers un orifice separant deux cavites, mais on peut se convaincrefacilement que c’est aussi la conductance a travers un guide de longueur finie, puisqueles reflexions dans le guide etant speculaires, la distribution des vitesses a la sortie est lameme que pour un orifice. 5

Compte tenu des expressions (9.11,8.12) de la vitesse positive moyenne ⟨vx⟩+, et dela densite d’etats ρ0 au niveau de Fermi (2.3), la conductance de Sharvin s’ecrit sous laforme (avec la degenerescence de spin) :

Gbal = 2e2

hAd−1

(W

λF

)d−1(2.50)

On note ainsi que la conductance a la meme expression que la conductance quantifiee maissans la partie entiere. On resume ces differents comportements dans le tableau de la figure2.27.

Enfin, il est interessant de voir comment on passe continument du regime coherent auregime incoherent en augmentant la temperature. Pour cela, partons de la relation (2.20)pour la conductance a temperature finie :

G(T ) = −∫G(ε)

∂f

∂εdε , f(ε) =

1

eβ(ε−εF ) + 1(2.51)

ou G(ε) est la conductance a temperature nulle :

G(ε) = 2e2

h

∑n>0

Θ(ε− εn) (2.52)

avec εn = n2π2~22mW 2 . On obtient ainsi, apres une integration par parties

G(T ) = 2e2

h

∑n>0

f(εn) . (2.53)

On voit ainsi que comment les plateaux de quantifies disparaissent avec la temperature enreproduisant l’elargissement du facteur de Fermi a temperature finie. A quelle temperature

5. Il est interessant des maintenant de comparer cette conductance de ce fil balistique a la conductanced’un meme fil en presence de desordre (diffusif), relation (2.2). Les deux expressions ont la meme structure,la vitesse caracteristique est de l’ordre de la vitesse de Fermi avec un coefficient geometrique different. Cequi distingue essentiellement la conductance d’un fil balistique de celle d’un fil diffusif est la reduction parle rapport le/L.


caracteristique ces plateaux disparaissent-ils ? Lorsque la temperature est de l’ordre de ladifference d’energie εn+1 − εn. Elle depend donc du plateau considere. Typiquement tousles plateaux ont disparu lorsque

kBT∗ ≃ π2~2

2m∗W 2. (2.54)

Pour une constriction de largeur typique W ≃ 250nm, cette temperature caracteristiqueest de l’ordre de 0.07K pour des electrons libres m∗ ≃ me. L’experience a ete realisee avecun gaz 2D a l’interface GaAs/AlGaAs, dont la masse effective est tres faiblem∗ ≃ 0.067me,ce qui rend la quantification observable a une temperature de l’ordre de T ∗ ≃ 1K.

Figure 2.11 – La quantification de la temperature disparaıt quand la temperature augmente.Experience a gauche, theorie a droite.

2.5 Matrice de ”scattering”

Figure 2.12 – Definition des amplitudes entrantes et sortantes.

On caracterise les proprietes d’une barriere de potentiel par une matrice, appelee ma-trice de diffusion ou de scattering, qui relie les amplitudes des flux entrants aux amplitudesdes flux sortants (plus de precisions dans le supplement 8.2 pour le cas d’une barriereasymetrique). Considerons d’abord le cas unidimensionnel. On note(

oo′

)= S

(ii′

)(2.55)

avec

S =

(s11 s12s21 s22

)=

(r t′

t r′

)(2.56)

2.5 Matrice de ”scattering” 37

ou les quatre coefficients sont des coefficients de transmission ou de reflexion. Cettematrice obeit aux proprietes suivantes 6 .

La conservation du courant |i|2 + |i′|2 = |o|2 + |o′|2 implique que cette matrice soitunitaire. En effet

(o∗ o′∗

)( oo′

)=(i∗ i′∗

)S†S

(ii′

)=(i∗ i′∗

)( ii′

)(2.57)

de sorte que

S†S = 1 (2.58)

Cela implique les relations suivantes entre coefficients

|r|2 + |t|2 = |r′|2 + |t′|2 = 1 , r∗t′ + r′t∗ = 0 . (2.59)

De plus l’invariance par renversement du temps implique que les elements de la matrice Sverifient

S(B) = St(−B) (2.60)

c’est-a-diresij(B) = sji(−B) en particulier t(B) = t′(−B). (2.61)

On peut etendre cette discussion au cas multicanal (figure 2.13). Dans le cas le plusgeneral, le nombre de canaux n’est d’ailleurs pas necessairement le meme a gauche (M) eta droite (M ′). Dans ce cas, la matrice S est de dimension M +M ′. La matrice r est unematrice carreeM ×M , la matrice t aM ′ lignes etM colonnes, la matrice t′ estM ×M ′ etla matrice r′ est carree M ′×M ′. La conservation du courant implique toujours la relationd’unitarite (2.58), a partir de laquelle on montre que (Ta =

∑b Tab, etc.)

Ra + Ta = R′a + T ′a = 1 (2.62)

qui generalise les relations de conservation (2.59). Enfin l’invariance par renversement dutemps implique que

sij(B) = sji(−B) . (2.63)

6. On definit aussi la matrice de transfert M qui relie les amplitudes d’un cote a l’autre du diffuseur.Ses elements sont relies a ceux de la matrice S :(

o′

i′

)= M

(io

)=

(t− rr′/t′ r′/t′

−r/t′ 1/t′

).

L’interet de cette matrice est qu’elle se prete a la description de diffuseurs en serie. Par exemple, pourdeux diffuseurs 1 et 2 en serie, M = M2M1 , dont on deduit en particulier que

t′ =t′1t

′2

1− r′1r2, t =

t1t21− r′1r2

.


Figure 2.13 – Matrice de scattering pour plusieurs canaux (ici M = 2, M ′ = 3) et deux termi-naux. La conductance est donnee par la formule de Landauer (2.43).

Figure 2.14 – Matrice de scattering pour plusieurs canaux et plusieurs terminaux (ici trois).Dans ce cas, on peut definir plusieurs conductances et il faut introduire la matrice de conductanceG, voir section 2.6.

2.6 Formalisme de Landauer-Buttiker a plusieurs terminaux 39

2.6 Formalisme de Landauer-Buttiker a plusieurs terminaux

Figure 2.15 – Geometrie ”multiterminal”.

Il apparaıt que si la nature ondulatoire des porteurs de charge joue un role, la relationentre courant et champ electrique ne peut etre locale. Il faut tenir compte de toute lageometrie du systeme et de la geometrie des contacts qui servent a injecter le courant etmesurer les tensions.

Le formalisme de Landauer pour le cas d’un guide d’onde a ete generalise par Buttikerafin de pouvoir decrire des geometries plus complexes dites “multi-terminales” comportantplusieurs contacts. Considerons la geometrie de la figure (2.15). Un conducteur desordonnede structure complexe est relie a un nombre de terminaux superieur a deux.

Le courant injecte par le terminal i est (−2e/h)Mi∆µi, ou Mi designe le nombre decanaux couples au terminal i et ∆µi = µi−µ0 est le potentiel chimique mesure par rapporta un potentiel de reference µ0. Le courant qui revient dans le terminal i a deux origines,d’une part la reflexion par le conducteur : (2e/h)Rii∆µi et d’autre part le courant qui pro-vient des autres terminaux et qui ont ete transmis par le conducteur : (2e/h)

∑j =i Tij∆µj

ou Tij designe le coefficient de transmission du terminal j vers le terminal i. En sommanttoutes ces contributions, le courant Ii qui sort du terminal i est

Ii =−2e

h

(Mi −Rii)∆µi −∑j =i

Tij∆µj

. (2.64)

Les coefficients de transmission et de reflexion obeissent a certaines contraintes liees a laconservation du courant. Tout d’abord, les courants ne dependent pas de l’origine µ0 despotentiels, ce qui implique 7

Mi −Rii =∑j =i

Tij . (2.65)

On peut donc recrire (2.64) sous les formes equivalentes

Ii =−2e

h

(Mi −Rii) µi −∑j =i

Tijµj

=

−2e

h

∑j

Tij(µi − µj) =2e2

h

∑j

Tij(Vi − Vj) . (2.66)

7. C’est la generalisation de 1−R = T dans le cas a deux terminaux.


Enfin, la somme des courants doit etre nulle∑

i Ii = 0, et ceci quelque soient les potentielschimiques µj . On en deduit

Mi −Rii =∑j =i

Tji . (2.67)

et par consequent, en combinant avec (2.65),∑j =i

Tji =∑j =i

Tij . (2.68)

On obtient ainsi une relation matricielle qui relie les courants Ii aux potentiels Vj : Ii =∑j GijVj . La matrice G = (Gij), dite matrice de conductance, s’ecrit explicitement, par

exemple pour 4 terminaux

I1I2I3I4

=2e2

h

M1 −R11 −T12 −T13 −T14

−T21 M2 −R22 −T23 −T24−T31 −T32 M3 −R33 −T34−T41 −T42 −T43 M4 −R44

V1V2V3V4

(2.69)

Les conditions ecrites plus haut assurent que les sommes des elements de matrice parligne et par colonne sont nulles. A partir de cette matrice, il est possible de determiner lesconductances mesurees dans differentes conditions. On s’interesse particulierement au casou on fait passer un courant I = Ik = −Il entre deux terminaux k et l, et aucun courantdans les autres terminaux. On mesure la tension Vm − Vn entre deux terminaux m et n.On definit ainsi la resistance, dite ”quatre fils” ou ”quatre terminaux” :

Rkl,mn =(Vm − Vn)

I. (2.70)

A cause des relations (2.65) et (2.67), le nombre de coefficients independants de cettematrice N×N est (N−1)2. En l’absence de champ magnetique, la relation (2.63) impliqueque Tij = Tji. Il ne reste plus alors que N(N − 1)/2 coefficients independants. La matriceG est non inversible puisqu’une ligne est la somme des autres. Pour obtenir les tensions enfonction des courants, il faut donc en principe inverser une sous-matrice de la matrice G.

Notons enfin que si aucun courant ne traverse un terminal i, la relation (2.66) montreque le potentiel chimique de ce terminal est donne par la moyenne ponderee des potentielschimiques :

µi =

∑j =i Tijµj∑j =i Tij

. (2.71)

On considere maintenant plusieurs situations.

2.6.1 Conductance a deux terminaux

Dans ce cas la matrice (2.69) est une matrice 2×2, avec T12 = T21 = T (relation 2.68).A partir des relations de reciprocite (2.61), on montre que

G(B) = G(−B) (2.72)

comme on le voit sur la figure (2.17).


Figure 2.16 – Geometrie a deux terminaux.

Figure 2.17 – Dans une geometrie a deux terminaux, la conductance est symetrique en champ.Comparer avec la figure (2.20) (L. Angers et al., Phys. Rev. B 75, 115309 (2007) .

2.6.2 Conductance a trois terminaux

Figure 2.18 – Geometrie a trois terminaux.

Il est instructif de considerer une configuration a trois terminaux, schematisee sur lafigure (2.18). On injecte un courant entre les terminaux (1) et (2) et aucun courant netraverse le terminal (3). La matrice de conductance G s’ecrit : I1

I2I3

=2e2

h

M1 −R11 −T12 −T13−T21 M2 −R22 −T23−T31 −T32 M3 −R33

V1V2V3

. (2.73)

On impose l’absence de courant a travers le terminal 3 et I1 = −I2 = I. En inversant lasous-matrice superieure gauche 8, on montre que

R12,13 =h

2e2T32D

, R12,32 =h

2e2T31D

. (2.75)

8. On note que

M1 −R11 = T12 + T13

M2 −R22 = T21 + T23 . (2.74)


ou D = T12T23 + T13T21 + T13T23 est un sous-determinant de la matrice G (A cause de larelation (2.68), le sous-determinant D peut prendre plusieurs expressions equivalentes) .

Il est interessant de comparer la conductance a deux terminaux G(3)2 = 1/R12,12 mesuree

en presence du terminal (3), a la conductance G2, mesuree en l’absence du terminal (3).On peut ecrire

G(3)2 =

2e2

h(Tel + Tin) = G2 +

2e2

hTin (2.76)

avec

Tel = T21 , Tin =T31T23T31 + T32

. (2.77)

En l’absence du terminal (3), la propagation est coherente a travers l’echantillon. A lacontribution coherente s’ajoute en parallele une contribution incoherente via le terminal(3), qui est decrite par la loi d’Ohm, c’est-a-dire l’addition en serie des resistances R12,13

et R12,32. Le troisieme terminal decrit ainsi la perte de coherence a travers le conducteur.

2.6.3 Conductance a quatre terminaux

Figure 2.19 – Geometrie a quatre terminaux.

On fait passer un courant entre les terminaux (1) et (2) et on mesure la tension entreles contacts (3) et (4), comme le montre la figure (2.19). On mesure ainsi une resistancenotee

R12,34 =V3 − V4

I(2.78)

dont l’expression est obtenue a partir des elements de la matrice G. On impose I3 = I4 = 0et on choisit V4 = 0. En inversant la sous-matrice 3 × 3 superieure gauche de la matrice(2.69), on montre que cette resistance est donnee par 9 :

R12,34 =h

2e2T31T42 − T32T41

D(2.80)

ou D est un sous-determinant de la matrice G. Ce sous-determinant peut-etre ecrit dedifferentes facons, compte tenu de la relation (2.68). La resistance a quatre terminaux

9. Pour etre complet, on donne aussi l’expression de la resistance R12,12 dont le calcul est plus long etfastidieux :

R12,12 =V3 − V4

I=

h

2e2(T31 + T32 + T34)(T41 + T42 + T43)− T34T43

D. (2.79)


depend en toute generalite de 9 coefficients de transmission independants et de 6 coeffi-cients independants en l’absence de champ magnetique.

Il est facile de montrer que pour une structure a quatre terminaux, il est ainsi possiblede definir six conductances differentes. De la relation (2.63), on deduit que les coefficientsde transmission et de reflexion verifient les relations dites de reciprocite

Rii(B) = Rii(−B) , Tij(B) = Tji(−B) (2.81)

par consequent, les conductances verifient les conditions tres generales

Rkl,mn(B) = Rmn,kl(−B) (2.82)

Lorsque l’on change le signe du champ magnetique, les conductances sont inchangees sion permute les sources de courant et les mesures de tension (figure 2.20).

Figure 2.20 – Les conductances mesurees dependent du choix des contacts de tension et decourant. Entre la premiere et la derniere figure, on peut verifier que G23,14(B) = G14,23(−B) (A.Benoit et al., Asymmetry in the magnetoconductance of metal wires and loops, Phys. Rev. Lett.57, 1765 (1986)).

Figure 2.21 – Geometrie a quatre terminaux, limite ou les terminaux de tension sont peu couples.Dans ce cas, l’expression generale (2.80) se simplifie et devient (2.85).

Si les contacts (3) et (4) sont peu couples (figure 2.21), la relation (2.80) se simplifieconsiderablement. Tout d’abord, la resistance ”deux fils” R12,12 est peu affectee par les


terminaux (3) et (4) et devient (T21 = T ) :

R12,12 =h

2e21

T(2.83)

Par ailleurs, de la relation (2.71), on deduit (T43 etant negligeable) :

µ3 =T31µ1 + T32µ2T31 + T32

, µ4 =T41µ1 + T42µ2T41 + T42

(2.84)

de sorte que

R12,34 =T31T42 − T32T41

(T31 + T32)(T41 + T42)R12,12 (2.85)

Cette resistance ”4 terminaux” n’est pas necessairement positive ! De facon generale,les potentiels µ3 et µ4 peuvent prendre n’importe quelle valeur entre µ1 et µ2 de sorte quel’on a necessairement

−R12,12 < R12,34 < R12,12 . (2.86)

Figure 2.22 – Mesure de la resistance ”4 fils” d’un nanotube monoparoi, en fonction de la tensionde grille Vg (B. Gao et al., Four-point resistance of individual single-wall carbon nanotubes, Phys.Rev. Lett. 95, 196802 (2002)).

La figure (2.22) presente la mesure de resistance ”quatre terminaux” d’un nanotubede carbone monoparoi, a l’aide des contacts (3) et (4) constitues de nanotubes multiparoisfaiblement connectes. A haute temperature, la resistance ”quatre terminaux” verifie laloi d’Ohm (resultat non represente ici), mais a basse temperature, la resistance ”quatreterminaux” peut devenir negative.


Figure 2.23 – Geometrie a quatre terminaux, quand les fils de tension sont places dans les filsd’amenee. Dans ce cas, le nombre de coefficients independants se reduit a deux, la transmission Tde la barriere et l’invasivite ϵ. Dans ce cas, les resistances R12,12 et R12,34 sont donnees par lesrelations (2.88).

Finalement on considere la limite ou les terminaux de tension (3) et (4) sont places dansles fils d’amenee (figure 2.23). Dans ce cas, il n’y a que deux parametres, le coefficient detransmission T a travers la barriere et le coefficient de transmission ϵ vers les terminaux detension (3) et (4). Ce dernier coefficient est appele ”invasivite”. Dans ce cas les coefficientsTij s’expriment en fonction des deux coefficients T et ϵ :

T31 = T13 = T42 = T24 = ϵ+ ϵ(1− ϵ)R

T41 = T14 = T32 = T23 = Tϵ(1− ϵ)

T43 = T34 = Tϵ2

T21 = T12 = T (1− ϵ)2 (2.87)

En injectant des resultats dans les expresssions generales ( 2.79 et 2.80) des resistancesR12,12 et R12,34, un calcul long et fastidieux permet de montrer que

R12,12 =h

2e2

(1

T+

2ϵ

2− ϵ

), R12,34 =

h

2e2

(R

T+

ϵ

2− ϵ

). (2.88)

Considerons maintenant trois cas particuliers.

• Les terminaux 3 et 4 sont peu couples (l’invasivite ϵ tend vers 0). On retrouve lesformules de Landauer

R12,12(ϵ) =h

2e21

T, R12,34 =

h

2e21− T

T. (2.89)

• Les terminaux 3 et 4 sont parfaitement couples (ϵ→ 1).

R12,12(ϵ) =h

2e2

(2 +

1

T

), R12,34(ϵ) =

(h

2e2

)1

T. (2.90)

qui verifient la loi d’Ohm.

• La transmission est parfaite dans le fil (T = 1). Dans ce cas, la resistance ”4 termi-naux” R12,34 est nulle si les contacts (3) et (4) sont non invasifs (ϵ = 0) et la resistance”deux terminaux” R12,12 se reduit a la somme des resistances de contact :

R12,12 =h

2e2, R12,34 = 0 . (2.91)


Figure 2.24 – Mesure de resistance ”4 fils” et de resistance ”2 fils” sur le meme echantillonbalistique (R. De Picciotto et al., Four terminal resistance of a ballistic quantum wire, Nature 411,51 (2001)). L’encadre represente le rapport R4t(ϵ)/R2t en fonction de l’invasivite ϵ, bien decrit parla relation (2.93). a droite, representation schematique du dispositif.

C’est ce qui a ete observe dans l’experience de de Picciotto et al. (figure 2.24). Cettememe experience montre que la resistance ”4 terminaux” n’est nulle que si les contacts(3) et (4) sont non invasifs. En effet, on montre a partir de (2.88) que si T = 1, mais ϵ estfinie, les resistances deviennent

R12,12(ϵ) =h

2e22 + ϵ

2− ϵ, R12,34(ϵ) =

h

2e2ϵ

2− ϵ. (2.92)

Ainsi le rapport R4t(ϵ)/R2t(0) de la resistance ”4 terminaux” sur la resistance ”2 termi-naux”, mesure et trace dans l’encadre de la figure (2.24), est donne par

R4t(ϵ)

R2t(0)=

ϵ

2− ϵ. (2.93)

2.6.4 Puissance dissipee

Enfin, on verifie que la puissance P =∑

i Ii∆Vi dissipee dans un circuit multiterminalest donnee par

P =e2

2h

∑ij

(Tij + Tji)(Vi − Vj)2 (2.94)

qu’elle est donc toujours positive (meme si certaines resistances peuvent etre negatives),et qu’elle est symetrique en champ magnetique, puisque Tij(B) = Tji(−B).

2.7 De la formule de Landauer a la loi d’Ohm, barriere diffusive 47

2.7 De la formule de Landauer a la loi d’Ohm, barriere dif-fusive

La formule de Landauer nous a permis de decrire la conductance a travers une barrierede potentiel en la reliant a la transmission de cette barriere. Elle decrit bien les conducteursmesoscopiques balistiques, l’existence d’une resistance d’interface (ou de contact), et laquantification de la conductance. La question se pose maintenant de retrouver la loi d’Ohmpour des conducteurs desordonnes.

2.7.1 Transport incoherent

Figure 2.25 – Deux barrieres de potentiel en serie. Dans le cas incoherent, on les caracterise parleurs coefficients de transmission et de reflexion de l’intensite. Dans le cas coherent, on considereles amplitudes de transmission et de reflexion.

Commencons par considerer le cas unidimensionnel avec deux barrieres en serie. Negligeonspour l’instant toute information sur la phase, c’est-a-dire qu’on caracterise les barrieres parles probabilites T1 et T2 de transmission et non pas par les amplitudes t1 et t2. On pourraitnaıvement penser que le coefficient T de transmission a travers les deux barrieres en serieest simplement le produit T1T2. Ceci conduirait, pour un grand nombre de barrieres enserie a une decroissance exponentielle de la conductance des que Ti = 1. En fait, il estcrucial de tenir compte des reflexions multiples entre les barrieres, ce qui va conduire a laloi d’Ohm. La prise en compte de ces reflexions multiples schematisees sur la figure (2.25)conduit finalement au resultat

T12 =T1T2

1−R1R2(2.95)

ou Ri = 1 − Ti. Ce resultat peut etre recrit pour faire apparaıtre la loi de compositionsuivante :

1− T12T12

=1− T1T1

+1− T2T2

(2.96)

ou plus clairementR12

T12=R1

T1+R2

T2, (2.97)

c’est-a-dire une loi d’addition des resistances ”quatre fils”

1

G12=

1

G1+

1

G2. (2.98)


qui se generalise facilement pour N barrieres supposees identiques GN = G1/N , ce quiest bien la forme de la loi d’Ohm (la resistance augmente lineairement avec la taille del’echantillon) et la relation (2.97) est la loi d’addition des resistances en serie. NotonsL = Nd la longueur de l’echantillon, et d la distance entre les barrieres. On obtient

TN =L0

L+ L0ou G2 =

2e2

h

L0

L+ L0(2.99)

ou on a definit L0 = d T1/R1. En recrivantG2 sous la forme (2.31), on explicite la resistancede contact Rc et la conductance intrinseque ”quatre fils”

G4 =2e2

h

L0

L(2.100)

qui est bien la forme de la loi d’Ohm.On notera la forme de la relation (2.99) pour la conductance ”deux fils”. Elle interpole

entre l’expression quantifiee de la conductance G2 = 2e2

h pour un fil court (L ≪ L0 et

la loi d’Ohm G2 = 2e2

hL0L pour un fil long (L ≫ L0). Une experience, presentee page 50,

decrit le passage continu entre ces deux regimes quand on augmente la longueur du fil.

Afin de donner une signification physique a L0 au dela du petit modele de barriere enserie que nous venons de developper, il est instructif de recrire la formule de Drude pourla conductivite moyenne σ0 sous une forme faisant apparaıtre le nombre de canaux. Laconductance moyenne G d’une tranche d’epaisseur L et de section carree S = W d−1 suitla loi d’Ohm G = σ0S/L ou la conductivite moyenne σ0 = e2Dρ0, ou D est le coefficientde diffusion et ρ0 est la densite d’etats au niveau de Fermi. On obtient ainsi :

G = e2ρ0DW d−1

L. (2.101)

A trois dimensions, la densite d’etats au niveau de Fermi est donnee par ρ0 = k2F /(π2~vF ).

On obtient ainsi pour la conductance moyenne correspondante

G3d

=2e2

h

k2F le3π

S

L=

2e2

h

4M

3

leL

(2.102)

ecrite en fonction du nombre de canaux transverses M = k2FS/4π. Cette relation segeneralise aux dimensions d = 1 et d = 2,

G1d

=2e2

h

2leL

et G2d

=2e2

h

πM

2

leL

(2.103)

ou le nombre de canaux transverses en dimension deux est donne par M = kFW/π.

En comparant les expressions (2.100) et (2.103) pour le fil 1D, la longueur L0 introduitede facon phenomenologique est L0 = 2le. On peut aussi considerer que les cas 2D et 3Dpeuvent etre decrits par un modele effectif de barrieres 1D ou la longueur L0 serait donneepar πMle/2 a deux dimensions et 4Mle/3 a trois dimensions.

2.7.2 Transport coherent, localisation

En considerant les barrieres en serie de la section prececente, on a manipule des proba-bilites de transmission de l’intensite et non pas des amplitudes de probabilite. On a donc

2.7 De la formule de Landauer a la loi d’Ohm, barriere diffusive 49

neglige la coherence de phase entre les ondes electroniques. Refaisons le meme calcul, maiscette fois en considerant les amplitudes t1 et t2 de transmission a travers les barrieres. Onmontre dans ce cas que l’amplitude de transmission a travers l’ensemble (1 + 2) s’ecrit 10

t12 =t1t2

1− r1r2e2iφ(2.104)

En notant ri = |ri|eiθi et θ = θ1 + θ2 + 2φ, on obtient pour le coefficient de transmission

T12 =T1T2

1 +R1R2 − 2√R1R2 cos θ

. (2.105)

On voit que les phases, donc la nature et la position des barrieres, jouent un role tres im-portant. Comment moyenner sur ces phases ? On introduit une loi de composition moyennedans laquelle la resistance R des deux barrieres en serie (en unites de h/2e2) est donneepar

R =

⟨1− T12T12

⟩=

⟨R1 +R2 − 2

√R1R2 cos θ

T1T2

⟩(2.106)

au lieu de (2.96). En moyennant sur la phase, on obtient

R =R1 +R2

T1T2= R1 +R2 + 2R1R2 (2.107)

au lieu de la loi d’Ohm R = R1 + R2. La resistance augmente donc plus vite quelineairement ! Le resultat precedent peut se recrire sous la forme de la loi de composi-tion suivante

1 + 2R = (1 + 2R1)(1 + 2R2) (2.108)

ce qui se generalise pour N diffuseurs a la forme

1 + 2R = (1 + 2R1)N . (2.109)

En definissant comme plus haut la distance d entre diffuseurs et la longueur L0 = d/R1,on obtient

R(L) =1

2(e2L/L0 − 1) (2.110)

La resistance du fil augmente exponentiellement avec sa longueur ! ! Ce resultat etonnantrequiert que le fil soit parfaitement coherent. Il s’interprete par le fait que les electronsne peuvent etre transmis au dela d’une longueur caracteristique ξ = L0/2. Tout se passedonc comme si les electrons etaient localises sur une longueur ξ. Ce phenomene s’appellela localisation d’Anderson et ξ est appelee longueur de localisation. Ainsi on s’attenda ce qu’un fil unidimensionnel quantiquement coherent de longueur L > ξ se comportecomme un isolant. A deux ou trois dimensions, ce phenomene de localisation est moinsimportant. L’etude du transport electronique dans les conducteurs diffusifs fait l’objet duchapitre 4.

10. Ce resultat peut etre obtenu simplement grace a la composition des matrices de transfert, voirremarque au bas de la page 37.


2.8 Resume

Nous avons jusque la decrit trois regimes de transport electrique :

• Le regime diffusif classique , lorsque la longueur de l’echantillon est telle queL ≫ le et L ≫ Lϕ. Dans ce regime la conductance est donnee par la loi d’Ohm (2.4) quenous recrivons ici sous forme adimensionnee (c’est-a-dire en unites de 2e2/h) :

gdiff = Ad

(W

λF

)d−1 leL. (2.111)

• Le regime balistique incoherent (Sharvin) decrit dans la section 2.4.4, ou leselectrons se propagent comme des particules. La longueur de l’echantillon est telle queL < le et L > Lϕ

11. La conductance adimensionnee s’ecrit :

gbal = Ad−1

(W

λF

)d−1. (2.112)

• Le regime balistique coherent , ou les electrons se propagent comme des ondesdans un guide (section 2.4.3). La longueur de l’echantillon est telle que L < le et L < Lϕ.La conductance est quantifiee :

gq = Int

[Ad−1

(W

λF

)d−1]. (2.113)

Le passage du regime de la loi d’Ohm (2.111), ou la conductance decroit avec la lon-gueur, a la loi de Sharvin, ou elle est independante de la longueur (2.112) a ete observeexperimentalement sur des echantillons de petite taille (Fig. 2.26).

Figure 2.26 – Conductance d’un fil en fonction de sa longueur L et de sa largeur W . Quandla longueur augmente, on passe continument du regime balistique incoherent (Sarvin) au regimediffusif incoherent (Ohm). (S. Tarucha et al., Sharvin resistance and its breakdown observed inlong ballistic channels, Phys. Rev. B 47, 4064 (1993)

11. La situation est en realite legerement plus compliquee. Dans l’experience de la figure 2.11, ca n’estpas la variation de longueur de coherence de phase qui separe les regimes coherent et incoherent, mais lavariation de la temperature.

2.8 Resume 51

Notre comprehension du transport quantique par le formalisme de Landauer-Buttikernous permet de decrire continument le passage d’un regime a l’autre. La conductancemesuree est la contribution en serie de la resistance du fil et de la resistance de contact.1/gtotal = 1/gbal + 1/gdiff . Ainsi la conductance totale est

gtotal = Ad

(W

λF

)d−1 leL+ ld

(2.114)

ou ld = leAd/Ad−1 (ici l2 = πle/2). La figure 2.26 montre les deux comportements balis-tique L < le et diffusif L > le sur le meme echantillon, ainsi que l’interpolation entre lesdeux regimes par la formule (2.114).

—————————

La figure (2.27) resume les differents regimes etudies jusque la. Il nous reste a decrire leseffets de coherence de phase dans le regime diffusif, c’est-a-dire la situation ou le ≪ L < Lϕ.Dans ce regime diffusif coherent , la conductance donnee par la loi d’Ohm est corrigeepar une contribution supplementaire dite de localisation faible . L’etude de ce regimesera l’objet du chapitre 4.

Figure 2.27 – Les differents regimes decrits dans ce chapitre. La correction de localisation faibleest etudiee dans le chapitre 4.


Chapitre 3

L’effet Hall quantique

3.1 Introduction : l’effet Hall ”classique”

L’effet Hall quantique constitue certainement une des decouvertes les plus remarquablesde la fin du XXeme siecle en Physique. Sa caracteristique la plus spectaculaire est la mesuredu rapport de constantes universelles h/e2 avec une precision de 10−9, ce qui a eu desconsequences tres importantes en metrologie (voir sur ce sujet, page 72, la derniere sectionde ce chapitre).

L’effet Hall quantique consiste en fait en deux effets physiques differents. Les decouvertesde l’effet Hall quantique entier en 1980, et de l’effet Hall quantique fractionnaire en 1983ont toutes deux ete recompensees par l’attribution du prix Nobel (1985 et 1998). Dans lecadre de ce cours, nous aborderons simplement la physique de l’effet Hall quantique entier,relativement simple a comprendre, encore qu’il souleve un certain nombre de questions sub-tiles qui ne seront pas abordees ici. L’effet Hall quantique fractionnaire est beaucoup pluscomplexe et necessite une comprehension profonde de l’effet de l’interaction coulombienneentre les electrons. Trois decennies apres la decouverte initiale, l’effet Hall quantique esttoujours source de nombreux travaux et questions, comme le montre le nombre constant depublications sur le sujet, une centaine par an, ainsi que l’ouverture recente sur la physiquedes isolants topologiques.

Avant d’aborder l’effet Hall quantique, il est utile de rappeler les ingredients physiquesde l’effet Hall ”classique”, decouvert un siecle auparavant par Edwin Hall (1879). Pendantsa these de doctorat, E. Hall essayait de repondre a une question soulevee par Maxwell, desavoir si la resistance etait affectee par le champ magnetique, le courant devant ”frotter”sur les cotes, a cause de la force de Lorentz (obtenue en 1895 par H.A. Lorentz maisdeja envisagee par J.C. Maxwell en 1835). Il montre experimentalement que sous champmagnetique un courant induit une tension dans la direction perpendiculaire au courantet au champ, et que cette tension est proportionnelle au champ magnetique applique.Cette decouverte remarquable, bien avant la decouverte de l’electron par J.J. Thompsonen 1897, permet de determiner la densite des porteurs de charges, et E. Hall constate aussique le signe de ces porteurs depend du materiau. Ce signe ”anormal” de l’effet Hall nesera compris que 50 ans plus tard par la theorie des bandes et la notion de trou.

L’effet Hall n’est pas qu’une curiosite de laboratoire. Il a aussi des applications extre-mement importantes puisqu’il permet de detecter simplement un champ magnetique ouses variations par une mesure de tension. On trouve des capteurs a effet Hall dans lestelephones portables, l’industrie automobile en utilise pour mesurer la vitesse de rotationdes moteurs, des boıtes de vitesses, des cardans, etc. (plusieurs milliards de sondes de Hall

54 Effet Hall quantique

sont fabriquees par an !).

Figure 3.1 – Geometrie de l’effet Hall.

Rappelons d’abord en quoi consiste l’effet Hall ”classique”. Prenons un gaz de porteursde charge q et de masse m, suppose bidimensionnel, comme indique sur la figure (3.1). Enpresence d’un champ B perpendiculaire au plan, les porteurs injectes dans la direction xsubissent la force de Lorentz et leur trajectoire est courbee, ce qui conduit a une accumu-lation de charges sur les bords de l’echantillon. Ces charges induisent un champ electriqueEy, ce qui correspond a une tension VH le long de la direction y. Un regime stationnaireest ainsi atteint, dans lequel le champ electrique compense la force de Lorentz et l’equationdu mouvement s’ecrit :

mdv

dt= q(E + v ×B)−m

v

τ= 0 (3.1)

ou le dernier terme, phenomenologique, represente un ”frottement” du au desordre, commedans le modele de Drude. τ est appele temps de relaxation ou temps de collision. Enprojetant selon les deux directions x et y, on obtient

Ex + vyB =mvxqτ

Ey − vxB =mvyqτ

. (3.2)

Il n’y a pas de courant dans la direction y (vy = 0). Par consequent, selon la direction x,la vitesse vx reste inchangee vx = qτEx/m, ce qui conduit a une densite de courant

jx = ncqvx =ncq

2τ

mEx (3.3)

inchangee et donnee par la formule de Drude, ou nc designe la densite de porteurs. Lechamp electrique induit selon y est donne par Ey = vxB, ce qui correspond a une differencede potentiel VH , appelee tension de Hall, donnee par VH =WEy ou W est la largeur del’echantillon. Le courant Ix selon x est donne par Ix = jxW = ncqvxW . Par consequent

VH =B

ncqIx (3.4)

ce qui definit une resistance transverse RH = VH/Ix, appelee Resistance de Hall etdonnee par

RH =B

ncq(3.5)

3.2 L’effet Hall quantique entier 55

La mesure de cette resistance, permet de determiner la densite et le signe des porteurs.

Tenseur de conductivite

L’effet Hall correspond a l’existence simultanee d’un courant et d’une tension dans desdirections perpendiculaires. Pour decrire le transport electronique en presence d’un champmagnetique, il est necessaire d’introduire un tenseur de conductivite σ tel que j = σE,pour generaliser la relation scalaire en champ nul j = σE. On definit ainsi le tenseur deconductivite (

jxjy

)= σ

(Ex

Ey

)=

(σxx σxyσyx σyy

)(Ex

Ey

)(3.6)

et le tenseur de resistivite(Ex

Ey

)= ρ

(jxjy

)=

(ρxx ρxyρyx ρyy

)(jxjy

). (3.7)

L’inversion du tenseur de conductivite conduit aux relations

σyy =ρxx

ρ2xx + ρ2xy, σxy =

ρxyρ2xx + ρ2xy

. (3.8)

Dans le modele de Drude, on a, d’apres (3.2),

ρ =

(1/σ −B/ncqB/ncq 1/σ

)(3.9)

ou σ = ncq2τ/m est la conductivite de Drude en champ nul. L’inversion du tenseur de

resistivite conduit au tenseur de conductivite :

σ =σ

1 + ω2c τ

2

1 ωcτ

−ωcτ 1

. (3.10)

3.2 L’effet Hall quantique entier

3.2.1 La decouverte

En 1980, K. von Klitzing effectue des mesures de transport sous fort champ magnetiquesur des echantillons de Si-MOSFET, dans lesquels un gaz bidimensionnnel d’electronsest realise. Il s’agit de mesures simultanees de resistance longitudinale RL = Rxx et deresistance de Hall RH = Rxy, en fonction de la tension de grille qui permet de faire varier ladensite nc de porteurs, ici des electrons, dans un champ magnetique constant. En abaissantla temperature, il constate l’apparition d’oscillations de la resistance longitudinale avecle champ magnetique. Ces oscillations sont connues depuis les annees 1930 sous le nomd’oscillations ”Shubnikov-de Haas”, mais ici elles deviennent geantes, jusqu‘a ce que laresistance longitudinale RL s’annule pour certaines plages de nc (figure 3.2). Et pour cesmemes plages de nc, la resistance de Hall devient constante ! Von Klitzing realise tres viteque cette quantification de la resistance de Hall correspond a

RH =h

ie2, RL = 0 (3.11)


Figure 3.2 – A gauche, l’experience de Von Klitzing consiste a mesurer la tension longitudinale(Upp, entre les ”potential probes”) et la tension transverse (UH entre les ”Hall probes”), en fonctionde la tension de grille Vg qui commande la densite nc d’electrons dans l’echantillon. Classiquement,on s’attend a une tension longitudinale constante et une tension de Hall qui varie comme 1/nc.L’experience montre ici que la tension de Hall presente des plateaux et que la tension longitudinalecorrespondant a ces plateaux s’annule. A droite une experience plus recente montre la variation dela resistance de Hall RH et de la resistance longitudinale RL en fonction du champ magnetique B,pour une densite nc fixee.

ou i est un entier. Il realise aussi tres vite la portee de ce resultat, et son importance enmetrologie. Le titre de l’article publie ”New method for high-accuracy determination ofthe fine-structure constant based on quantized Hall resistance” met en evidence l’interetfondamental de cette experience et relie la quantification de la resistance de Hall a ladetermination de la constante de structure fine 1

α =e2

4πϵ0~c=µ0c

2

e2

h. (3.12)

En effet, µ0 = 4π 10−7 SI et c = 299 792 458 m.s−1 etant tous les deux fixes, la mesuredu quantum de conductance e2/h etait une mesure directe de α. Depuis 1990, l’effet Hallquantique etait utilise pour determiner l’etalon de resistance et le rapport h/e2 permettaitde proposer une nouvelle unite de resistance, le klitzing :

RK−90 =h

e2= 25812, 807Ω . (3.13)

1. K.v. Klitzing, G. Dorda and M. Pepper, New method for high-accuracy determination of the fine-structure constant based on quantized Hall resistance, Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980).


Toutefois, depuis la Conference Generale des Poids et Mesures de novembre 2018 oules constantes universelles e et h ont ete fixees definitivement aux valeurs suivantes (voirpage 72) :

e = 1, 602176634 10−19 C (ou A.s)

h = 6, 62607015 10−34 J.s , (3.14)

il s’en deduit que le klitzing, etalon de resistance, est maintenant fixe exactement etdefinitivement :

RK =h

e2= 25812, 8074593045Ω . (3.15)

Par contre, µ0 n’est plus fixe exactement a la valeur µ0 = 4π 10−7SI, mais se deduitde mesures de la constante de structure fine, les plus precises etant des experiences dephysique atomique.

La comprehension de cet effet remarquable qu’est l’effet Hall quantique necessite ladescription quantique de la dynamique des electrons en presence d’un champ magnetique.

3.2.2 Les niveaux de Landau

La discussion introductive decrivait le comportement des electrons en champ faible.En champ suffisamment fort, les electrons effectuent un mouvement circulaire dans le planperpendiculaire au champ magnetique, bien connu en mecanique classique. L’equation dumouvement classique

mdv

dt= −ev × B (3.16)

decrit en effet un mouvement circulaire de rayon R = mv/eB appele rayon cyclotron eta la pulsation ωc = eB/m appelee pulsation cyclotron. Pour des etats electroniques dansune bande avec une relation de dispersion quadratique, la relation (3.16) reste valable etm designe alors une masse effective.

La description quantique de ce mouvement conduit a des trajectoires et des niveauxd’energie quantifies. Avant de developper ce calcul quantique, il est utile de decrire le plussimplement possible cette quantification.

La mecanique quantique nous apprend qu’un mouvement periodique est quantifie.La condition de quantification dite de Bohr-Sommerfeld (appliquee pour la premiere foispar Bohr en 1913 pour la quantification de l’atome d’hydrogene) implique que sur unetrajectoire periodique, ∮

p · dl = (n+ γ)h (3.17)

ou n est un entier positif et 0 ≤ γ < 1. On rappelle que l’impulsion p est reliee a la quantitede mouvementmv par p = mv−eA et dans la jauge symetrique, le potentiel vecteur s’ecritA = 1

2B× r. Sur une trajectoire circulaire de rayon R, la condition de quantification (3.17)conduit a

2πR(mv − 1

2eBR) = (n+ γ)h (3.18)

et, puisque mv = eBR, on deduit que l’energie ε = 12mv

2 est quantifiee

ε = (n+1

2)~eB

m= (n+

1

2)~ωc (3.19)


ou la valeur de γ = 1/2 ne peut etre determinee par ce calcul semi-classique et necessiteun calcul quantique. On note aussi que le rayon cyclotron R est quantifie, puisque ε =12mv

2 = 12mω

2cR

2. On obtient :

R =√2n+ 1

√~eB

=√2n+ 1 ℓB (3.20)

ou on a introduit la longueur ℓB =√

~eB appelee longueur magnetique.

Ce petit calcul nous rappelle qu’en presence d’un champ magnetique les niveauxd’energie du gaz d’electrons bidimensionnel sont quantifies en niveaux discrets appelesniveaux de Landau. Cette quantification qui n’est pas prise en compte dans la descrip-tion de l’effet Hall ”classique” est un ingredient essentiel pour comprendre la quantificationde l’effet Hall sous champ fort. Le calcul quantique complet de la quantification de Landauest rappele en PC 2.

Notons enfin que ces niveaux de Landau sont fortement degeneres. En effet, on partd’electrons libres a deux dimensions pour lesquels la densite d’etats, c’est-a-dire le nombred’etats dont l’energie est comprise dans une tranche [ε, ε+dε], est donnee par ρ(ε) = dN<(ε)

dε

ou N<(ε) est le nombre d’etats d’energie inferieure a ε : 3 N<(ε) = s πk2

(2π)2= s mε

2π~2 . s = 2

est la degenerescence de spin. A deux dimensions, la densite d’etats est donc independantede l’energie ρ(ε) = s m

2π~2 . On note aussi ρ1 = m/(2π~2), la densite d’etats par directionde spin.

Le continuum d’etats en champ nul doit se condenser en niveaux discrets separes de~ωc (figure 3.3). Le nombre d’etats nB dans un niveau de Landau, appele degenerescencedu niveau de Landau, est donc necessairement egal au nombre d’etats compris dans unetranche de largeur ~ωc, c’est-a-dire nB = ρ1 ~ωc = eB

h , par direction de spin. Pour unedensite nc d’electrons, et un champ magnetique B, c’est-a-dire une degenerescence nB desniveaux, on note ν le facteur de remplissage

ν =ncnB

. (3.23)

Ainsi on peut recrire la resistance de Hall donnee par (3.5) sous la forme

RH =h

νe2. (3.24)

2. Petit rappel : les niveaux de Landau sont directement relies au spectre de l’oscillateur harmonique.Dans la jauge de Landau Ax = −By, l’hamiltonien pour un electron libre de charge −e s’ecrit :

H =(px − eBy)2

2m+

p2y2m

(3.21)

C’est l’hamiltonien d’un oscillateur harmonique de masse m et de pulsation ωc = eB/m, dont la position yest centree en y0 = px/(eB) (l’energie ne dependant pas du centre de cet oscillateur). Les valeurs propressont donc En = (n + 1/2)~ωc. Les valeurs de px sont quantifiees (par exemple par des conditions auxlimites periodiques dans la direction x : px = ~kx = nxh/Lx avec nx entier relatif). Les valeurs possiblesde y0 sont donc y0 = nxh/(eBLx) et comme y0 est confine dans la direction y (−Ly/2 < y0 < Ly/2), onen deduit que −1/2 < nx

heBLxLy

< 1/2. Par consequent, la degenerescence d’un niveau de Landau par

unite de surface, c’est-a-dire le nombre de valeurs de ny permises est

nB = eB/h . (3.22)

.3. La densite electronique nc est donc donnee par nc = N<(εF )


Figure 3.3 – En presence d’un champ magnetique, le continuum d’etats electronique est quantifieen niveaux de Landau d’energie (n + 1/2)~ωc. Ces niveaux doublement degeneres de spin sonteventuellement scindes en sous-niveaux electroniques de spin paralleles ou antiparalleles au champ,a cause de l’effet Zeeman ou d’autres mecanismes lies aux interactions electron-electron et qui neseront pas discutes ici.

En quoi cette quantification du spectre en niveaux de Landau nous renseigne-t-elle surl’apparition de plateaux pour la resistance de Hall ?

Puisque la resistance de Hall est donnee par RH = B/nce, on remarque que lorsquela densite nc de porteurs est telle que i niveaux de Landau sont completement remplis,c’est-a-dire lorsque nc = inB (le facteur de remplissage ν est alors un entier i), alors laresistance de Hall est egale a RH = h/(ie2).

Mais cela n’explique pas les plateaux de resistance de Hall ! Si on fait varier nc a Bfixe, ou si on fait varier le champ magnetique B a densite nc de porteurs fixee, commentexpliquer que la resistance de Hall reste constante, meme si le facteur de remplissage νn’est plus entier ? On voit que tout se passe comme si, bien que les niveaux de Landaune soient plus completement remplis, la conductance (ou la resistance) de Hall reste cellede i niveaux completement remplis. Comment expliquer par ailleurs que la resistancelongitudinale s’annule ? La reponse assez complexe a ces deux questions reside dans deuxingredients importants, le desordre et les etats de bord.

3.2.3 Parenthese : mouvement dans un champ magnetique et un champelectrique

Rappelons quelques elements de mecanique classique. Nous savons que dans un champmagnetique les trajectoires classiques sont circulaires. Rajoutons un champ electrique dansla direction y. Les equations du mouvement s’ecrivent

mdvxdt

= −evyB

mdvydt

= evxB − eEy (3.25)

ce qui nous montre que, dans un referentiel se deplacant a la vitesse vdx = Ey/B, les

equations du mouvement sont inchangees. L’effet du champ electrique E est donc sim-plement une derive des trajectoires cyclotron dans la direction x avec la vitesse vd =


(E × B)/B2. On peut alors considerer que les trajectoires electroniques dans la barre deHall sont des orbites cyclotron derivant a la vitesse vd (figure 3.4).

Figure 3.4 – Sous champ electrique (nul, puis croissant de gauche a droite), les trajectoires

cyclotron derivent a la vitesse vd = (E × B)/B2.

3.2.4 Role du desordre

Une observation essentielle est que l’observation de l’effet Hall quantique, c’est-a-direl’existence de plateaux pour la resistance de Hall, n’est possible que dans des echantillons”sales”, suffisamment desordonnes. L’effet (la largeur des plateaux) tend a disparaıtre pourdes echantillons de plus en plus purs. Le desordre joue donc un role essentiel. Quelle est lanature de ce desordre ? celui-ci est du au potentiel induit par les impuretes de substitutiona l’origine du dopage du semiconducteur. On peut representer l’effet du desordre par unpotentiel V (r) aleatoire a l’interieur de l’echantillon et dont les variations spatiales sontlentes devant le rayon cyclotron (plus precisement ℓB∇V ≪ ~ωc). Alors, localement, unetrajectoire cyclotron est soumise a un champ electrique E = 1

e∇V et acquiert donc unevitesse de derive 4

vd =1

e(∇V ×B)/B2 (3.26)

Ainsi les orbites cyclotron peuvent restent piegees le long des equipotentielles, comme onle voit sur la figure (3.5).

Ces trajectoires sont donc localisees par le potentiel de desordre et ne peuvent contri-buer au transport electronique. Pourtant, la resistance longitudinale est nulle ! il n’y apas de chute de potentiel le long de la direction x. Ce qui amene a se poser la question :comment le courant est-il transporte dans la direction x ?

3.2.5 Les etats de bord

C’est la qu’interviennent les etats de bord. Ce qui caracterise un bord, c’est l’existenced’un potentiel V (y) qui confine les electrons dans l’echantillon. Ce potentiel est rapidement

4. On prendra garde a ne pas confondre le potentiel electrostatique Vel tel que E = −∇Vel et l’energiepotentielle V . On a V = qVel = −eVel de sorte que E = 1

e∇V .


Figure 3.5 – En presence d’un potentiel de desordre V (r), les trajectoires cyclotron s’enroulentautour des equipotentielles de V (r), et sont localisees. Elles sont piegees par le desordre.

croissant au bord. L’hamiltonien decrivant la geometrie d’un ruban infini selon la directionx avec des bords selon la direction y est de la forme

H =1

2m(p+ eA)2 + V (y) (3.27)

ou V (y) est le potentiel de confinement. Le potentiel vecteur est choisi dans la jauge deLandau A = (−By, 0). Dans cette jauge, l’invariance par translation le long de la directionx implique que les fonctions d’onde sont de la forme

ψn,k(x, y) = eikxFn,k(y) , (3.28)

ou k est le vecteur d’onde selon x. L’equation de Schrodinger est celle d’un oscillateurharmonique unidimensionnel dans un potentiel V (y) :

E Fn,k(y) =

[p2y2m

+1

2mω2

c (y − yc)2 + V (y)

]Fn,k(y) (3.29)

ou ωc = eB/m est la frequence cyclotron. 5 La position yc du centre de l’oscillateur, quicorrespond a la position du centre de l’orbite cyclotron est reliee a la composante k duvecteur d’onde selon la direction x.

yc =~keB

= kℓ2B (3.30)

ou ℓB est la longueur magnetique, definie par ℓB =√h/eB.

Au centre de l’echantillon, le potentiel V (y) est nul et les niveaux d’energie ne dependentpas de la position yc : En,k = (n+ 1/2)~ωc. Pres des bords, a cause du potentiel de confi-nement, leur energie augmente (figure 3.6) et elle depend donc de k par l’intermediaire deyc :

En,k = En[yc(k)]

Deux limites peuvent etre considerees pour decrire le potentiel de confinement auvoisinage des bords d’un echantillon de largeur L :

5. On rappelle que les solutions de l’equation (3.29) sont donnees par

Fn,k(y) =

(1

πℓ2B

)1/41√2nn!

e−u2/2Hn(u)

ou Hn sont les polynomes de Hermite et u = (y − yc)/ℓ2B .


Figure 3.6 – Gauche : Representation schematique des trajectoires cyclotron en volume et presdes bords, en l’absence de desordre. Les trajectoires qui rebondissent sur les bords sont appelees enanglais ”skipping orbits” (orbites ”sautillantes”). La quantification semiclassique de ces trajectoiresest donnee par la quantification de leur surface A(R, yc) = (n+γ)h/eB ou R est le rayon cyclotronet yc est la distance aux bords. Droite : L’energie des niveaux de Landau augmente lorsque lestrajectoires cyclotron se rapprochent des bords.

• Le potentiel au voisinage des bords est infini et abrupt :

V (y) = 0 , 0 < y < L

V (y) = ∞ , y < 0 ou y > L . (3.31)

Les niveaux d’energie sont obtenus par resolution de l’equation de Schrodinger avec barrieresde potentiel infinies. Ce probleme est bien decrit par la quantification de Bohr-Sommerfeldd’orbites cyclotron rebondissant sur les bords (voir PC). Les orbites semiclassiques sontrepresentees sur la figure (3.7.a). On montre en PC que la dependence des niveaux d’energiepres des bords peut etre obtenue par la regle de quantification de la surface des orbites cy-clotron A(R, yc) = (n+ γ)h/eB, ou R est le rayon cyclotron relie a l’energie ε = 1

2mω2cR

2

et yc est la distance entre un bord et le centre de l’orbite cyclotron. Pour les ”skippingorbits”, l’orbite cyclotron est tronquee et par consequent pour une valeur de n et doncune valeur de A fixees, le rayon cyclotron donc l’energie augmentent en se rapprochant dubord.

• Le potentiel au voisinage des bords est lentement variable. On suppose dans cettelimite que la variation du potentiel (par rapport a la distance entre niveaux de Landau) estlente sur l’echelle associee a l’extension d’un etat propre, c’est-a-dire ℓB. Cette conditionse traduit par ℓB

∂V∂y ≪ ~ωc. Dans ce cas, les niveaux d’energie suivent ”adiabatiquement”

le potentiel et on a tout simplement

En,k = En[yc(k)] = (n+ 1/2)~ωc + V (yc) . (3.32)

Les orbites semiclassiques correspondant a cette situation sont representees sur la figure(3.7.b).

Dans les deux cas, les niveaux d’energie dependent de k, par l’intermediaire de yc.La variation des niveaux d’energie En(yc) est representee sur la figure (3.6) dans le casd’un potentiel abrupt. Puisque pres des bords, l’energie depend de yc, donc de k, les etatsassocies ont une vitesse finie dans la direction x

vk =∂En(yc)

~ ∂k=

1

eB

∂En(yc)

∂yc. (3.33)


Figure 3.7 – Description semiclassique des etats de bords, a) dans un potentiel de confinementabrupt, b) dans un potentiel lentement variable aux bords.

Dans le cas du potentiel lentement variable, compte tenu de (3.32), la relation (3.33)montre que vk = 1

eB∂V∂yc

, ce qui s’interprete simplement comme la vitesse de derive (eq.

3.26) induite par le champ electrique Ey = ∂Ve ∂y .

On constate aussi sur la figure (3.6) que lorsque le niveau de Fermi se trouve au-dessusdu niveau n, il y a M = n + 1 canaux de bords au niveau de Fermi. Nous avons deja vuque les etats de volume ne conduisent pas et nous allons montrer maintenant que ce sontces M canaux de bords qui contribuent a la conduction de Hall.

3.2.6 Courant de Hall

Si les etats de volume sont pieges par le potentiel de desordre, les etats de bord sontdelocalises et ne sont pas sensibles au desordre. Cela se comprend qualitativement a l’aidede la figure (3.8) qui montre qu’une trajectoire pres des bords repart toujours dans lameme direction meme apres collision sur une impurete. La transmission associee a uncanal de bord est donc parfaitement egale a 1. Les etats de bords sont par ailleurs desetats chiraux, c’est-a-dire que les etats d’un bord portent un courant dans une directiondonnee et ceux de l’autre bord portent un courant dans l’autre direction (figure 3.9). Seulsces etats de bords peuvent contribuer au courant, les trajectoires de volume etant piegeespar le desordre. Ainsi le systeme est isolant en volume et parfaitement conducteur sur lesbords. C’est un exemple de ce qu’on appelle maintenant un isolant topologique (voir section3.4).

On utilise maintenant l’approche de Landauer pour calculer le courant porte par cesetats de bord. Precisons d’abord la geometrie de la mesure. On utilise en general unegeometrie a six terminaux (figure 3.10), comme c’est le cas dans l’experience presentee surla figure (3.2) . Les terminaux (1) et (2) sont les terminaux d’injection du courant, et lesautres terminaux servent a mesurer les potentiels. Puisque la transmission des etats debord est parfaite (T = 1), on a V1 = V3 = V4 et V2 = V5 = V6. La resistance longitudinaleest donc nulle :

RL = R12,34 = (V3 − V4)/I = (V5 − V6)/I = 0 . (3.34)


Figure 3.8 – Apres collision sur une impurete pres d’un bord, une trajectoire cyclotron repartdans la meme direction. .

Figure 3.9 – Representation schematique des etats de volume et de bords. Chaque trajectoirerepresentee decrit le mouvement du centre de guidage de la trajectoire cyclotron qui s’enrouleautour d’une equipotentielle. Ainsi le systeme est isolant en volume et parfaitement conducteur surles bords.

Par ailleurs le courant dans la direction x est la somme des contributions des deuxcourants de bord. Le courant sur le bord superieur est du aux electrons emis par le reservoir(1) au potentiel V1. Pour un canal de bord (qui correspond a un niveau de Landau envolume, figure 3.6), la transmission de ce canal etant parfaite (T = 1), le courant I→ estdonne par

I→ = −e∑k>0

vkLf(εk + eV1) . (3.35)

Le courant parcouru dans l’autre direction le long de l’autre bord est emis par le reservoir(2) au potentiel V2 et est donne par

I← = −e∑k<0

vkLf(εk + eV2) . (3.36)

Si les deux reservoirs sont au meme potentiel, les deux bords portent chacun des courantsnon nuls mais qui se compensent. Lorsque les potentiels sont differents, V1 = V2, le couranttotal I est donne a basse temperature par

I = I→ + I← =e2

2ρ1(E)v(E) (V1 − V2) (3.37)

La dependence en energie de ces etats de bords n’est pas simple en general (eq. 3.33). Lavitesse d’un etat kx est donnee par v(kx) =

1~∂E∂kx

= 1eB

∂E∂y et depend de la forme precise du


Figure 3.10 – Geometrie a six terminaux pour l’etude de l’effet Hall quantique. Les mesuresde tension donnent acces a la resistance longitudinale RL = (V3 − V4)/I et la resistance de HallRH = (V3−V5)/I. La resistance ”2-terminaux” est donnee par R2t = (V1−V2)/I . On a representeici deux canaux de bords.

potentiel de confinement. Mais il n’est pas necessaire de connaıtre cette vitesse, mais derappeler que la combinaison ρ1(E)v(E) = 2

h (pour une direction de spin) est universelle.Par consequent, le courant total porte par un canal de bord est donne par la formule deLandauer

I =e2

h(V1 − V2) . (3.38)

Et puisque V3 = V1 et V5 = V2, la resistance de Hall est quantifiee. Pour une direction despin :

RH = R12,35 =V3 − V5

I=

h

e2(3.39)

PourM canaux de bords, le courant est simplement la somme des contributions identiquesde ces differents canaux et la resistance de Hall devient

RH = R12,35 =V3 − V5

I=

h

Me2. (3.40)

On note que la resistance ”2-terminaux” R12,12 est aussi quantifiee 6

R2t = R12,12 =V1 − V2

I=

h

Me2. (3.42)

Si la transmission aux contacts devient imparfaite, la resistance ”deux-terminaux” n’estplus quantifiee. Mis la resistance de Hall RH reste quantifiee. On montre par exemple que,

6. A titre d’exemple, voici l’expression particulierement simple de la matrice de conductance G pour lageometrie a six terminaux de la figure 3.10 :

G =e2

h

2 0 0 0 −2 00 2 0 −2 0 0−2 0 2 0 0 00 0 −2 2 0 00 0 0 0 2 −20 −2 0 0 0 2

(3.41)

L’ecriture de cette matrice et son inversion sont bien sur inutiles dans ce cas tres simple.


dans la geometrie de la figure 3.11 (M = 2), la resistance ”deux-terminaux” R2t et laresistance de Hall RH sont donnees par :

R2t =

(M2 −R2

MT 2

)h

e2, RH =

h

Me2. (3.43)

ou T et R sont les coefficients de transmission et de reflexion (T + R = M) des deuxbarrieres tunnel. Ainsi la quantification de la conductance de Hall est une propriete beau-coup plus ”robuste” que la quantification de la conductance longitudinale.

Figure 3.11 – En presence de barrieres tunnel, la resistance de Hall reste quantifiee, mais laresistance ”2-fils” ne l’est plus. La resistance longitudinale reste nulle.

3.2.7 Origine des plateaux

Il reste a comprendre pourquoi on observe des plateaux. Il faut comprendre pourquoi,lorsque le champ B ou lorsque le nombre de porteurs nc sont modifies, la resistance de Hallreste constante. Ceci est possible grace aux etats pieges en volume dont le spectre formeun continuum en energie (figure 3.12). Ainsi, lorsque B ou nc varient, le potentiel chimiquevarie continument, mais le nombre de canaux de bords M reste fixe. La resistance de Hallne change pas et correspond a la transmission parfaite de ces M canaux de bord. Puisqueleur transmission est parfaite, V5 = V6 et la resistance longitudinale RL est donc nulle. Cecijusqu’a ce que le potentiel chimique se trouve dans une region d’etats delocalises (on peutimaginer le potentiel comme un ensemble de collines et de depressions autour desquelsles etats restent pieges). Il existe une valeur particuliere (ou plutot une fenetre etroite )du potentiel chimique pour laquelle les etats deviennent delocalises dans des ”vallees” quirelient les deux bords (figure 3.12.e). Pour cette valeur du potentiel chimique, la resistancede Hall saute alors rapidement de M a M − 1 et la resistance longitudinale RL est finie,car un des canaux de bord devient fortement diffuse par le potentiel de volume.

En resume, dans le regime de quantification de l’effet Hall, le courant longitudinal estporte par les etats de bord, dont la transmission est parfaite, ces etats n’etant pas sensiblesau desordre. Le mecanisme de transport est bien decrit par l’approche de Landauer-Butti-ker, avec cette nouveaute remarquable que les etats portant un courant positif ou negatifsont separes spatialement, ce qui a pour consequence la transmission parfaite des canaux.


Figure 3.12 – Description schematique de la quantification de l’effet Hall.


La figure (3.13) montre des images obtenues par microscopie a effet tunnel qui per-mettent de visualiser les trajectoires electroniques au niveau de Fermi, dans le regimed’effet Hall quantique. D’une figure a l’autre, on deplace le potentiel chimique (en faisantvarier une tension de grille). La figure (a) correspond au cas ou le potentiel chimique setrouve entre deux niveaux de Landau. Les trajectoires sont localisees (montrees par desfleches) autour de maxima du potentiel de desordre. En deplacant le niveau de Fermi, lestrajectoires deviennent de plus en plus grandes et ”percolent” au passage d’un niveau deLandau ((c) et (d)). Les figures (f) et (g) correspondent a nouveau a un potentiel chimiqueentre deux niveaux de Landau. Les trajectoires sont localisees autour des memes maximade potentiel de desordre que dans la figure (a). Ces images confirment donc parfaitementla description qualitative de la figure (3.12).

Figure 3.13 – Trajectoires electroniques visualisees par STM, au passage d’un niveau de Landau.

3.3 L’effet Hall quantique fractionnaire 69

3.3 L’effet Hall quantique fractionnaire

L’histoire est loin d’etre terminee. Dans les annees 1980, l’utilisation d’echantillons deAlGaAs au lieu de Si-MOSFET a permis de reduire le desordre et d’atteindre des mobilitesplus importantes. Dans de tels echantillons, les plateaux de Hall sont plus etroits, et ”vontlaisser la place” a un effet encore plus spectaculaire. En 1981, D. Tsui et H. Stormer auxBell Laboratories constatent pour des champs suffisamment eleves d’un nouveau plateau,correspondant, si on continue a garder la relation (3.11), a une valeur de ν fractionnaire. Ilsobservent un plateau pour ν = 1/3 ! On rapporte l’anecdote suivante : D. Tsui regardantsa courbe se serait exclame : ”Quarks” !

Rien a voir pourtant avec les particules elementaires, mais cette decouverte allait etrela premiere d’une serie d’observations de nouveaux plateaux fractionnaires, de plus en plusnombreux au fur et a mesure que la mobilite des echantillons a ete amelioree. La figure(3.14) presente une hierarchie complexe de ces plateaux, accompagnee par une annulationde la resistance longitudinale. Les plateaux correspondent a des facteurs de remplissagefractionnaires ν = p/q, ou p et q sont des entiers

RH =q

p

h

e2(3.44)

La comprehension de cet effet est complexe et necessite la prise en compte de l’interactioncoulombienne entre les electrons. La valeur quantifiee de RH correspond a l’exixtence decharges effectives fractionnaires e∗ = ep/q qui sont des excitations elementaires d’un etatfondamental fortement correle.

Figure 3.14 – Effet Hall quantique fractionnaire.


3.4 L’effet Hall quantique, un exemple d’isolant topologique

La propriete remarquable de l’effet Hall quantique – le systeme est isolant en volumeet parfaitement conducteur sur les bords – en fait le premier exemple de ce qu’on appellemaintenant un isolant topologique. Cet etat est topologique au sens ou la conductance deHall et le nombre de canaux de bords sont insensibles aux defauts du systeme et ne sontpas alteres sauf quand on passe d’un plateau de Hall a un autre. On dit que les canaux debord sont topologiquement proteges. Outre leur interet fondamental, la robustesse de cesetats les rendraient utiles pour le calcul quantique...

Les chercheurs se sont pose la question s’il pouvait exister de tels etats de bord topolo-giquement proteges en l’absence de champ magnetique applique. Dans certains materiauxcomposes d’elements lourds, comme HgTe, il existe un effet appele couplage spin-orbitepar lequel le mouvement orbital des electrons est couple au degre de liberte de spin. Cecouplage peut etre decrit par un champ magnetique effectif qui depend de la vitesse del’electron et qui se couple a son spin. Ainsi a cause de ce couplage, deux electrons devitesses opposees ”voient” des champs opposes ±Bso et orientent donc leur spin dans desdirections opposees. Pour les canaux de bord, tout se passe comme si les electrons despin ↑ voient un champ magnetique Bso alors que les electrons de spin ↓ voient un champmagnetique oppose −Bso.

Figure 3.15 – Ces deux schemas illustrent la difference de comportement pour deux canaux debord dans l’effet Hall quantique (en haut) et l’effet Hall quantique de spin (n bas). Dans le premiercas, les electrons de spin ↑ et ↓ circulent dans le meme sens. Dans le second cas, ils circulent dansdes directions opposees.

Si ce champ effectif Bso est assez fort, la situation ressemble a celle de l’effet Hallquantique habituel, mais les electrons de spin ↑ et ↓ parcourent des trajectoires de bordsdans des sens opposes (figure 3.16), ce qui conduit a des comportements nouveaux, quiont ete mis en evidence experimentalement. Le lecteur interesse pourra consulter l’articlepedagogique de M. Buttiker, Edge States without magnetic fields, Science 325, 278 (2009).

3.4 L’effet Hall quantique, un exemple d’isolant topologique 71

Plus generalement, la matiere condensee devient un champ d’etudes en plein renou-vellement ou les aspects topologiques de certaines proprietes de la matiere sont mis enevidence. C’est ce domaine qui a ete mis en lumiere aupres d’un large public par l’attri-bution du prix Nobel de Physique 2016 ”pour les decouvertes theoriques des transitionsde phases topologiques et des phases topologiques de la matiere”. Le domaine d’etudesdes isolants topologiques est actuellement en plein developpement. Le lecteur interessepourra consulter l’article deja tres avance de M. Hasan et C. Kane accessible sur la pagehttps://arxiv.org/pdf/1002.3895.pdf.

Figure 3.16 – Haut : Comparaison schematique entre l’effet Hall quantique et l’effet Hall quan-tique de spin. Bas : representation d’artiste des etats de bord de l’effet Hall quantique de spin.


3.5 L’effet Hall quantique et la metrologie

La decouverte de l’effet Hall quantique et sa comprehension ont joue un grand rolesur la determination experimentale des constantes fondamentales e et h. La determinationexperimentale extremement precise des plateaux de Hall, de meme que l’effet Josephson ontpermis de mesurer respectivement h/e2 et h/e. La combinaison de ces mesures a permis,avec d’autres experiences hors du cadre de la matiere condensee, des determinations deplus en plus precises de e et de h.

La 26eme Conference Generale des Poids et Mesures (CPGM) qui s’est reunit en no-vembre 2018 a fixe definitivement les valeurs de ces deux constantes fondamentales e et h(ainsi que la constante de Boltzman kB et le nombre d’Avogadro NA).

La nouvelle definition de l’ampere , autrefois determine comme ”l’intensite d’un courantconstant qui, s’il est maintenu dans deux conducteurs lineaires et paralleles, de longueursinfinies, de sections negligeables et distants d’un metre dans le vide, produit entre cesdeux conducteurs une force lineaire egale a 2 10−7 newton par metre (1948)”, se deduitmaintenant de celle de la charge elementaire e. Le principe en est le suivant : en utilisantla loi d’Ohm, I = V/R, on mesure le courant par l’intermediaire d’une mesure de tensionet de resistance. La source de tension est une jonction supraconductrice qui, a partird’un rayonnement micro-onde de frequence bien determinee fJ , produit une tension VJ =fJh/2e. La resistance est la resistance de Hall d’un gaz 2D dans le regime d’effet Hallquantique RH = h/e2. Le courant est donc I = VJ/RH = efJ/2. La frequence etant tresbien determinee, on relie la determination de la charge a une mesure de courant. Ainsi ona choisi de fixer definitivement la charge electrique ce qui permet de relier une mesure decourant (l’ampere) a une mesure de frequence, de meme que le metre et la seconde ont eterelies en 1983 en fixant definitivement la vitesse de la lumiere c.

De meme , la nouvelle definition du kilogramme, autrefois determine comme ”la massedu prototype international, surnomme le grand K, constitue d’un alliage de 90% de pla-tine et 10% d’iridium, conserve au pavillon de Breteuil a Sevres (1889)”, est maintenantobtenue a l’aide d’un dispositif appele balance du watt qui le relie a la constante de Planckdont la valeur est fixee definitivement.

Le kelvin jusque la defini comme ”la fraction 1/273, 16 de la temperature du pointtriple de l’eau”, est maintenant defini a partir de la constante de Boltzmann kB quiest fixee definitivement. Elle etait mesuree jusque la a partir de mesures thermodyna-miques (constante des gaz parfaits, vitesse du son, ...) et de la determination du nombred’Avogadro (premiere mesure par J. Perrin), ou directement (rayonnement du corps noir,premiere determination par M. Planck). Il fallait pour cela connaıtre la temperature. Ondefinissait donc la constante de Boltzmann a partir du kelvin. La CPGM a choisi de fixerdefinitivement la constante de Boltzmann. C’est maintenant la definition du kelvin quis’en deduit.

Les valeurs exactes des sept constantes fondamentales sont donnees page 203.

Chapitre 4

Interferences et desordre dans lessystemes diffusifs

On aborde maintenant les proprietes de transport electronique dans des conducteursdesordonnes dans lesquels le libre parcours moyen le est petit devant la taille typique Lde l’echantillon (regime represente au bas de la figure (2.1). Ainsi, pendant son parcoursa travers l’echantillon, chaque electron subit un grand nombre de collisions elastiques. Lemouvement electronique est diffusif et le systeme est classiquement bien decrit par la loid’Ohm. Toutefois, si la taille du conducteur est petite devant une longueur caracteristiqueLϕ appelee longueur de coherence de phase, des effets d’interferences peuvent se manifes-ter. Par exemple l’experience de R. Webb et coll. sur un anneau mesoscopique d’or montrel’existence d’oscillations Aharonov-Bohm de la resistance lorsque le flux ϕ a travers l’an-neau varie (figure 4.1.a). Cette experience montre donc l’existence d’effets d’interference,meme en presence de desordre 1.

Dans cette experience, deux resultats importants sont a remarquer : d’une part laperiode des oscillations correspond au quantum de flux ϕ0 = h/e comme on s’y attend.D’autre part, l’amplitude des oscillations correspond a des variations de la conductancede l’ordre de ∆G = ∆R/R2 ≃ e2/h. Comment expliquer que ces oscillations survivent audesordre ? Comment expliquer leur amplitude ?

Une autre experience tout aussi importante que celle de Webb et coll. a ete realiseepar Sharvin et Sharvin (pere et fils) sur un cylindre traverse par un champ magnetiqueparallele a son axe (figure 4.1.b) 2. On mesure la resistance du cylindre en fonction du fluxmagnetique qui traverse l’anneau et on observe aussi des oscillations, mais de periode ϕ0/2au lieu de ϕ0 !

La disparition du signal de periode ϕ0 dans cette experience peut se comprendre parl’argument simple suivant : le cylindre peut etre vu comme un empilement d’anneauxindependants. Pour chaque anneau, les oscillations Aharonov-Bohm ont une phase donneequi depend de la configuration de desordre et cette phase varie d’un anneau a l’autre. Enmoyennant sur plusieurs anneaux, a cause de cette phase aleatoire, les oscillations doiventdisparaıtre. Ainsi les oscillations subsistent pour une configuration de desordre, mais dis-paraissent en moyenne. Cet argument simple, s’il permet de comprendre pourquoi lesoscillations de periode ϕ0 disparaissent en moyenne, predit que les autres harmoniques

1. R. Webb et al., Observation of h/e Aharonov-Bohm oscillations in normal-metal rings, Phys. Rev.Lett. 54, 2696 (1985).

2. D. Yu. Sharvin et Yu. V. Sharvin, Magnetic flux quantization in a cylindrical film of a normal metal,JETP Lett. 34, 272 (1981).

74 Interferences et desordre

Figure 4.1 – L’experience de R. Webb et coll. sur un anneau isole (a-gauche) montre des oscil-lations de resistance de periode ϕ0 = h/e, alors que l’experience de Sharvin-Sharvin (b-droite) surun cylindre montre des oscillations de periode ϕ0/2.

devraient aussi disparaıtre. Ce n’est pas le cas dans le cylindre, ou on observe des oscil-lations de periode ϕ0/2. Ce resultat montre qu’il existe une contribution de periode ϕ0/2qui survit a la moyenne sur le desordre. Quelle est la nature de cette contribution ?

Un autre type d’experience, tout aussi fondamental, a montre l’existence d’effets decoherence de phase en presence de desordre. La figure 4.13, sur laquelle nous revien-drons plus loin, montre la dependance en champ magnetique de la resistance d’un filmde magnesium a basse temperature. Elle montre que la resistance decroıt avec le champmagnetique et que cet effet diminue lorsque la temperature augmente. On dit que lamagnetoresistance est negative. Cette variation est la signature d’un effet physique im-portant appele la localisation faible qui correspond a un effet d’interference modulepar le champ magnetique. On va montrer que les oscillations de Sharvin-Sharvin et lamagnetoresistance negative sont deux manifestations de la meme physique, a savoir cellede la localisation faible qui resulte d’un effet d’interference quantique.

Pour comprendre ces effets, on revient a l’approche de Landauer du transport quantiquepour decrire la conductance a travers un conducteur desordonne. Dans cette approche, laconductance apparaıt comme un coefficient de transmission (elle relie la conductance auxelements d’une matrice de transmission). Pour un conducteur desordonne, cette trans-mission depend de la configuration precise du desordre, mais il est possible de relier laconductance moyenne a la probabilite de traverser l’echantillon. Quelle est la nature decette probabilite ? En premier lieu, que peut-on dire de la probabilite P (r, r′, t) d’allerd’un point r a un point r′ pendant un temps t ? Cette quantite est aussi utile pour decrirela diffusion de la lumiere ou de tout autre type d’onde a travers un systeme desordonne.

Afin de decrire les effets d’intreferences quantiques dans les systemes desordonnes, ilnous faut d’abord bien comprendre la structure de cette probabilite de diffusion, qui decritle mouvement moyen d’une particule dans un systeme desordonne.

4.1 Probabilite de diffusion quantique 75

4.1 Probabilite de diffusion quantique

En physique classique, la probabilite de diffusion est solution de l’equation

D∆P =∂P

∂t(4.1)

qui resulte de deux equations, la loi de Fick qui exprime que le flux de particules estproportionnel au gradient de probabilite

F = −D ∇P (4.2)

ou D est le coefficient de diffusion, et la relation de conservation

divF +∂P

∂t= 0 . (4.3)

Qu’en est-il en mecanique quantique ?

Nous allons montrer qu’en mecanique quantique s’ajoute a la probabilite classique unedeuxieme contribution qui decrit les effets d’interferences. Certains passages techniquesseront simplement esquisses car ils necessitent l’utilisation d’un formalisme plus sophis-tique, celui des fonctions de Green, qui ne sera pas developpe ici. Mais dans son principe,la physique des interferences quantiques dans les conducteurs desordonnes est tres simpleet correspond a l’experience des trous d’Young, mais ici dans une configuration bien pluscomplexe puisqu’au lieu d’additionner deux amplitudes associees a deux chemins, il va fal-loir additionner les amplitudes associees a une infinite de trajectoires de diffusion (figure4.2).

Figure 4.2 – Dans l’experience des trous d’Young (a), on ajoute deux amplitudes complexes.Dans un conducteur desordonne (b), on ajoute les amplitudes associees a toutes les trajectoires dediffusion. Attention : ici G =

∑j Aj designe la fonction de Green et non pas la conductance.

En mecanique quantique, la propagation d’un point a un autre est decrite par uneamplitude de probabilite, appelee aussi fonction de Green et notee G(r, r′). Dans unmilieu desordonne, il y a de nombreuses facons de diffuser d’un point a un autre. Parconsequent la fonction de Green a la structure suivante : c’est la somme de contributionsassociees a des trajectoires de diffusion multiple allant toutes de r a r′, chaque contributionetant decrite par une amplitude complexe avec une phase proportionnelle a la longueur dela trajectoire 3 :

G(r, r′) =∑j

Aj(r, r′) =

∑j

aj(r, r′)eikL|(r,r

′) (4.4)

3. On prendra garde a ne pas confondre la fonction de Green G(r, r′) et la conductance G.


ou aj = |Aj |. Cette expression generalise tout simplement la geometrie des trous d’Young,lorsque la probabilite d’aller d’une source S a un point E de l’ecran est donnee par lasomme de deux contributions :

G(S,E) = a1eikL1 + a2e

ikL2 .

La probabilite est le module carre de l’amplitude. Pour les trous d’Young, elle s’ecrit

P (S,E) = |G(S,E)|2 = a21 + a22 + (a1a∗2e

ik(L1−L2) + c.c.) (4.5)

Ici, elle se generalise en

|G(r, r′)|2 =∑j,j′

Aj(r, r′)A∗j′(r, r

′) (4.6)

qu’il est important de separer en deux types de contributions :

|G(r, r′)|2 =∑j

|Aj(r, r′)|2 +

∑j =j′

Aj(r, r′)A∗j′(r, r

′) (4.7)

Figure 4.3 – Les deux contributions a la probabilite de diffusion quantique. En premiere ap-proximation, le terme d’interference disparaıt quand on moyenne sur le desordre. La contributionclassique est appelee ”diffuson”.

La probabilite que nous considerons est une moyenne de cette quantite, moyenne realiseesur toutes les configurations du desordre. Schematiquement on a la structure (en oubliantpour l’instant la variable temporelle)

P (r, r′) = |G(r, r′)|2 = |∑j

Aj(r, r′)|2 . (4.8)

Le symbole · · · indique qu’une moyenne a ete faite sur toutes les configurations de desordre.D’apres (4.7), les differentes contributions a la probabilite peuvent etre classees en deuxcategories :

P (r, r′) =∑j

|Aj(r, r′)|2 +∑j′ =j

Aj(r, r′)A∗j′(r, r′) . (4.9)


C’est exactement la structure de l’intensite pour la geometrie des trous d’Young, maisici l’intensite ne resulte pas de la contribution de deux chemins mais d’une infinite dechemins de diffusion multiple sur les impuretes. Le premier terme, diagonal, est purementclassique, au sens ou toutes les phases ont disparu, et le second terme est la contributiondes interferences quantiques.

Le second terme decrit les interferences entre trajectoires j et j′ differentes. Chaquecontribution dans la somme a une phase aleatoire qui depend de la configuration dudesordre. Puisque ces phases ne sont pas correlees, on peut penser que les termes d’in-terferences disparaissent quand on moyenne sur le desordre. Ainsi, il semble qu’en moyenne,les effets d’interference disparaissent et que ne subsiste que la contribution classique, quicorrespond a sommer des intensites. Cette premiere approximation correspond a la des-cription classique du transport electronique, qui conduit a la loi d’Ohm ou tout effetd’interference est neglige (figure 4.3).

Nous verrons plus loin que dans un conducteur desordonne, le second terme est petitmais non nul. Il donne lieu a des corrections quantiques a la loi d’Ohm. Ces corrections a laconductance sont faibles, d’ordre e2/h, mais elles donnent lieu a plusieurs proprietes impor-tantes telles que les oscillations Aharonov-Bohm, la localisation faible, ou les fluctuationsuniverselles de conductance. On analyse maintenant plus en details les deux contributions,classique et quantique, a la probabilite.

4.1.1 Probabilite classique

Le premier terme de la probabilite (4.9) est purement classique. Note Pcl, il est donnepar une somme d’intensites :

Pcl(r, r′) =

∑j

|Aj(r, r′)|2 (4.10)

Figure 4.4 – Deux representations schematiques d’une fonction de Green G(r, r′) et de la proba-bilite classique Pcl(r, r

′) ∝∑

j |Aj(r, r′)|2. Les diagrammes du haut decrivent une suite de quelquescollisions, qui ne sont pas representes dans les diagrammes du bas.

Pour se representer l’eq. (4.10) simplement, on schematise sur la figure 4.4 une am-plitude quantique par une ligne (mais c’est en fait une trajectoire aleatoire compliquee).Son complexe conjugue est represente par une ligne hachuree. L’equation (4.10) corres-pond a l’appariement de chaque trajectoire avec son complexe conjugue, et les phasesdisparaissent. La quantite

∑j |Aj(r, r′)|2 est la probabibilite classique. Dans le jargon du

transport quantique, on l’appelle un ”diffuson”.

On va maintenant calculer cette probabilite classique Pcl(r, r′, t) et montrer que dans

certaines limites, c’est effectivement la solution d’une equation de diffusion. Cette proba-bilite 4 d’aller d’un point r a un point r′ est la somme d’une infinite de contributions : la

4. Afin d’alleger les notations, on continue de noter P pour la probabilite classique Pcl.


probabilite, notee P0(r, r′, t) d’aller de r a r′ sans collision, plus la probabilite d’aller de

r a r′ apres une collision en un point r1, plus la probabilite d’aller de r a r′ apres deuxcollisions, trois collisions, etc., ce qui s’ecrit :

P (r, r′, t) = P0(r, r′, t) +

∫P0(r, r1, t1)P0(r1, r

′, t− t1)dr1dt1τe

+

+

∫P0(r, r1, t1)P0(r1, r2, t2)P0(r2, r

′, t− t1 − t2)dr1dr2dt1τe

dt2τe

+ · · ·

ou le signe∫

represente plusieurs integrales spatiales et temporelles. Cette serie infiniepeut etre resommee sous la forme d’une equation integrale :

P (r, r′, t) = P0(r, r′, t) +

1

τe

∫P0(r, r1, t1)P (r1, r

′, t− t1)dr1dt1 . (4.11)

En introduisant la transformee de Fourier

P (q, ω) =

∫P (R, t)eiωt−iq·RdRdt , (4.12)

l’equation integrale prend la forme simple

P (q, ω) = P0(q, ω) +1

τeP0(q, ω)P (q, ω) , (4.13)

ce qui donne immediatement

P (q, ω) =P0(q, ω)

1− P0(q, ω)/τe. (4.14)

Le denominateur correspond a la sommation infinie sur tous les evenements de collision.Il ne reste plus qu’a determiner l’inconnue P0(q, ω) qui represente la probabilite d’aller d’unpoint a un autre sans collision. Cette quantite peut etre obtenue a l’aide d’une techniquediagrammatique de fonction de Green, mais elle peut aussi etre ”intuitee” tres facilement,ce que nous faisons ici. Cherchons d’abord la probabilite d’aller de r a r′, en l’absencede desordre, c’est-a-dire de facon balistique. Cette probabilite s’ecrit simplement, a troisdimensions :

P0(r, r′, t) =

δ(R− vt)

4πR2(4.15)

ou R = r−r′ et R = |R|. v est la vitesse de propagation balistique, ici la vitesse de Fermi.En presence de desordre, P0 devient la probabilite d’une propagation balistique de r a r′

sans collision. On suppose que la probabilite de ne pas avoir de collision en un temps tdecroıt exponentiellement avec le temps e−t/τe , ce que donnerait un calcul de type regled’or de Fermi, le temps de collision τe etant donne par

1

τe=

2π

~ρ0|V |2 , (4.16)


ou ρ0 est la densite d’etats au niveau de Fermi et V un element de matrice typique del’interaction avec le potentiel de desordre. Ainsi la probabilite d’aller de r a r′ en un tempst sans collision s’ecrit

P0(r, r′, t) =

δ(R− vt)

4πR2e−t/τe (4.17)

dont on peut maintenant deduire la probabilite P (r, r′, t). On calcule d’abord la trans-formee de Fourier P0(q, ω). A partir de (4.17), on obtient 5

P0(q, ω) =1

qvarctan

qle1− iωτe

(4.18)

ou q = |q| et le libre parcours moyen le = vτe. En injectant cette expression dans (4.14),on en deduit la probabilite cherchee P (q, ω). Sa transformee de Fourier P (r, r′, t) decrit laprobabilite a toute echelle de temps ou de longueur. L’expression obtenue n’est pas simple,mais on s’interesse ici aux echelles de temps grandes devant le temps de collision, et auxechelles de longueur grandes devant le libre parcours moyen le, c’est-a-dire a la limitede basse frequence et grandes longueurs d’ondes ωτe ≪ 1, qle ≪ 1, qui est appelee ap-proximation de diffusion. Dans cette limite, l’expression (4.18) de P0(q, ω) se simplifieconsiderablement et devient, a l’ordre le plus bas en ω et q :

P0(q, ω) = τe(1 + iωτe −Dq2 + · · · ) (4.19)

avec le coefficient de diffusion D = vle/d = v2τe/d (ici d = 3, on obtiendrait la memestructure en d dimensions, voir Appendice 8.3.7). Dans l’approximation de diffusion, onobtient donc

P (q, ω) =1

−iω +Dq2(4.20)

qui est la transformee de Fourier de l’equation de diffusion :

[∂

∂t−D∆

]Pcl(r, r

′, t) = δ(r − r′)δ(t) (4.21)

C’est l’equation de diffusion classique (4.1), ici avec un terme source. Dans l’Appendice8.3.6, on presente une derivation de cette equation directement dans l’espace reel, dansl’approximation de variations lentes.

4.1.2 Solution generale - probabilite de retour a l’origine

La solution generale de l’equation (4.21) est de la forme :

P (r, r′, t) = θ(t)∑n

ψ∗n(r)ψn(r′)e−Ent (4.22)

5. La probabilite P0 en dimension d est donnee dans l’appendice 8.3.7 et dans le tableau (8.7).


ou encore

P (r, r′, ω) =∑n

ψ∗n(r)ψn(r′)

−iω + En(4.23)

ou En et ψn sont les valeurs propres (ou frequences propres 6) et les fonctions propresnormalisees (ou modes) de l’equation :

−D∆ψn(r) = Enψn(r) . (4.24)

Parmi des solutions de cette equation de diffusion, on s’interessera essentiellement a laprobabilite de retour a l’origine, qui va intervenir dans plusieurs quantites physiques.C’est la probabilite P (r, r, t) pour une particule de revenir a sa position originale apresun temps t. On considerera aussi la probabilite integree en volume :

P (t) =

∫ΩP (r, r, t)dr = θ(t)

∑n

e−Ent(4.25)

ou Ω est le volume du systeme. Cette quantite ne depend que des valeurs propres del’equation de diffusion et non plus de ses fonctions propres.

L’equation aux valeurs propres (4.24) ressemble beaucoup a l’equation de Schrodingerpour une particule libre de masse m = ~/(2D). Par consequent, P (t) peut aussi s’in-terpreter comme la fonction de partition associee a cette equation de Schrodinger, ou letemps jouerait le role de l’inverse de la temperature. Cette remarque nous permettra d’uti-liser certaines solutions connues de l’equation de Schrodinger afin de les transposer au casde la diffusion.

4.1.3 Diffusion libre

La solution de l’equation (4.21) dans l’espace libre de dimension d est simple et parti-culierement utile. Pour l’obtenir, on peut partir de la transformee de Fourier P (q, t) quiobeit a l’equation

(∂

∂t+Dq2)P (q, t) = δ(t) (4.26)

dont la solution est

P (q, t) = θ(t)e−Dq2t . (4.27)

On en deduit que

P (r, r′, t) =

∫dq

(2π)dP (q, t)eiq.(r−r

′) (4.28)

s’ecrit

P (r, r′, t) =θ(t)

(4πDt)d/2e−|r−r

′|2/4Dt (4.29)

6. Les valeurs propres En sont homogenes a l’inverse d’un temps. Malgre tout on parle souvent d’energiepour designer ces valeurs propres de l’equation de diffusion.


A partir de cette equation, on obtient la distance typique atteinte par diffusion apres untemps t ⟨

R2(t)⟩= 2dDt , (4.30)

ainsi que la moyenne du facteur de phase eiq.R(t) :⟨eiq.R(t)

⟩= e−Dq2t . (4.31)

Enfin, la probabilite de retour a l’origine apres un temps t s’obtient a partir de (4.29) enprenant r = r′, soit

P (r, r, t) =θ(t)

(4πDt)d/2(4.32)

de sorte que la probabilite integree P (t) definie par (4.25) s’ecrit, pour un volume Ω :

P (t) =Ω θ(t)

(4πDt)d/2(4.33)

Dans ce resultat, la dependance en d, la dimension d’espace, est cruciale. Elle permettrade comprendre pourquoi la dimension d’espace joue un role si important dans la physiquemesoscopique des systemes diffusifs.

4.1.4 Temps de diffusion et energie de Thouless

Considerons maintenant la diffusion d’une particule dans un domaine de taille finie, parexemple un cube d’arete L. Aux temps suffisamment petits, la particule diffuse commedans un milieu infini, jusqu’a ce que la probabilite d’atteindre les bords devienne nonnegligeable. On peut ainsi definir un temps caracteristique typique a partir duquel uneparticule diffusive commence a ”sentir” l’effet des bords. Au-dela de ce temps, la probabilitede trouver une particule en un point donne tend a devenir spatialement uniforme : laparticule diffusive explore de maniere ergodique tout le volume mis a sa disposition (figure4.5). On definit ce temps τD en utilisant la relation (4.30) etablie pour un milieu infini eten prenant pour taille typique ⟨R2(t)⟩ = L2 soit : 7

τD =L2

D. (4.34)

τD est appele temps de diffusion ou temps ergodique, ou encore temps de Thouless. L’in-verse de ce temps definit une frequence ou une energie caracteristique appelee frequencede Thouless ou energie de Thouless 8 :

Ec =~τD

=~DL2

(4.35)

Ce temps et cette energie jouent un role fondamental pour la description des proprietesde transport et la thermodynamique des metaux faiblement desordonnes.

7. Cette definition de τD est celle utilisee dans la litterature. Il est a noter qu’elle ne fait pas intervenirla dimensionnalite d’espace d qui apparaıt cependant dans (4.30).

8. Voir remarque au bas de la page 80. De plus, on prend souvent ~ = 1.


Figure 4.5 – Evolution de la probabilite classique Pcl(r, r′, t) dans un plan de taille finie, pour

une particule injectee au milieu (r = (L/2, L/2)) a l’instant initial. Les quatres valeurs du tempssont telles que, depuis le haut vers le bas, t/τD = 0.01, 0.03, 0.05, 0.1. A gauche (a), les conditionsaux limites sont celles d’un systeme isole et a droite (b), ce sont celles d’un systeme ouvert ou laprobabilite devient uniforme, mais nulle...

4.2 Conductance, transmission et probabilite

Il s’agit maintenant de relier la conductance moyenne (sur le desordre) d’un echantillona la probabilite de traverser cet echantillon, et d’evaluer la probabilite classique et lescorrections quantiques a cette probabilite classique.

4.2.1 Formule de Landauer et conductance classique

Figure 4.6 – Dans le formalisme de Landauer, la conductance est reliee aux coefficients detransmission entre differents canaux entrants et sortants. |ka| = |kb| = kF et les composantestransverses sont quantifiees : kay = nyπ/W .

4.2 Conductance, transmission et probabilite 83

Le formalisme de Landauer permet de relier la conductance d’un conducteur desordonnea la transmission a travers ce conducteur (figure 4.6) :

G = 2e2

h

∑a,b

Tab . (4.36)

Celui-ci est connecte a des conducteurs parfaits (figure 4.6) qui peuvent etre considerescomme des guides d’onde ou se propagent des ondes electroniques. Dans cette geometrie,les composantes transverses des vecteurs d’ondes sont quantifies par les conditions aux li-mites. Chaque coefficient de transmission Tab entre un canal b et un canal a est le modulecarre d’une amplitude et, en moyenne, il a, a peu de differentes pres, la meme structureque la probabilite P (r, r′, ω), la difference principale etant qu’au lieu d’injecter une par-ticule en un point r dans l’echantillon, on injecte une onde plane ka depuis l’exterieur del’echantillon. Les conditions aux limites sont donc differentes. Sans entrer dans les details,on concoit et on accepte ici sans demonstration que, apres moyenne sur le desordre, lescoefficients de transmission moyens Tab et donc la conductance moyenne peuvent etre reliesa la probabilite P (0, L) de traverser l’echantillon desordonne (figure 4.7) :

G ∝ P (0, L) . (4.37)

P (0, L) est solution de l’equation de diffusion avec les conditions aux limites appropriees.Ainsi, pour la suite, le message important est celui de la figure (4.7) : la conductanceest proportionnelle a la probabilite de traverser l’echantillon. En premiere approximation,la conductance est donc reliee a la probabilite classique de traverser l’echantillon, ce quicorrespond a la loi d’Ohm (on peut montrer explicitement que P (0, L) varie comme 1/L).Pour comprendre les corrections quantiques a la conductance, il faut donc commencer pardecrire les corrections quantiques a la probabilite de diffusion P (0, L).

Figure 4.7 – La conductance moyenne est proportionnelle a la probabilite P (0, L) de traverserl’echantillon desordonne. La loi d’Ohm revient a negliger les termes d’interferences qui contribuenta la probabilite de diffusion. L’objet qui represente cette probabilite est la somme de contributionsde trajectoires appariees.


• Remarque : la conductance classique, rapport de deux volumes

La conductance G a les dimensions de e2/h. On introduit la conductance sans dimension g

g = G/(2e2/h) . (4.38)

Puisque cette quantite est sans dimension, on peut l’ecrire comme le rapport de deux quantites.Par exemple, a partir de (2.2), on peut montrer simplement que c’est le rapport de deux energies :g ∝ Ec/∆, l’energie de Thouless Ec definie en (4.35) et la distance moyenne entre niveauxd’energie ∆ = 1/(ρ0Ω), Ω = SL etant le volume. Ici, on va l’ecrire comme le rapport de deuxvolumes. Cette remarque sera utile pour decrire l’importance relative des effets quantiques parrapport au transport classique.Partons de la relation (2.111) pour la conductance classique sans dimension. En introduisant letemps de diffusion τD = L2/D, la conductance g peut etre recrite sous la forme

g = dAdΩ

λd−1F vF τD

(4.39)

ou Ω = Ld est le volume du systeme. Cette quantite apparaıt ainsi comme le rapport de deuxvolumes, le volume Ω du systeme et le volume d’un tube de longueur vF τD et de section λd−1

F ,comme le montre schematiquement la figure 4.8. Plus le temps τD passe dans l’echantillon estgrand, plus la conductance est faible.

Figure 4.8 – La conductance est le rapport de deux volumes.

4.2.2 Corrections quantiques

Le diffuson est une quantite classique. Il ne depend pas des phases des amplitudes com-plexes. Dans le regime diffusif, il est solution d’une equation de diffusion. On va maintenantse demander si des effets n’ont pas ete oublies en negligeant tous les termes d’interferencedans la relation (4.9). La figure (4.9) montre schematiquement quelques termes qui ontete negliges jusque la. Ils correspondent a l’appariement de trajectoires j et j′ differentes.Ces termes donnent des contributions tres faibles a cause du dephasage lie a la differencede marche Lj − Lj′ entre les trajectoires. Lorsqu’on moyenne sur tous les configurationsd’impuretes possibles, les seules contributions importantes proviennent des appariementsde trajectoires qui ne sont pas eloignees de plus de λF . Il est ainsi possible de montrer queles contributions de tous ces appariements sont d’ordre 1/kF le au plus, qui est tres faibledans la limite de faible desordre.

De facon plus generale, les effets quantiques apparaissent pour chaque appariement oules deux trajectoires ne sont pas exactement identiques. Ils apparaissent systematiquement

4.2 Conductance, transmission et probabilite 85

Figure 4.9 – Exemples d’appariements qui contribuent a la probabilite de diffusion quantique(4.9). Les contributions sont d’autant plus faibles que les trajectoires appariees sont differentes. Ladistance entre deux impuretes appartenant a deux trajectoires differentes ne doit pas depasser λF .

Figure 4.10 – Representation schematique d’appariements de quatre trajectoires faisant ap-paraıtre le croisement de deux diffusons. Detail : le volume de la region d’intersection est pro-portionnel a λd−1

F le.

si deux diffusons se croisent 9, ou si un diffuson se croise avec lui-meme. Cette notionde croisement quantique est tres importante parce qu’elle est a l’origine des effetsquantiques. Le diffuson etant un objet classique, les effets de coherence ne peuvent resulterque de ces croisements quantiques, qui sont a l’origine des corrections de localisation faibleou des fluctuations universelles de conductance. Essayons de comprendre qualitativementla nature de ces croisements.

La figure 4.10 montre qu’un croisement melange quatre amplitudes complexes ap-partenant a deux diffusons et les apparie differemment. Les deux diffusons sortant sontconstruits avec des amplitudes Aj and Aj′ qui constituaient des diffusons differents. Ellesont la meme phase puisqu’elles suivent les memes trajectoires. Le croisement quantique,appele aussi dans la litterature une ”boıte de Hikami”, permute les amplitudes quantiques.C’est un objet de courte portee puisque les trajectoires doivent rester aussi proches quepossible pour eviter un dephasage (figure 4.10). Puisque le croisement se fait entre deuxcollisions successives sur des impuretes, et puisque le dephasage entre les trajectoires doitetre inferieur a 2π, on voit que le volume de cet objet est de l’ordre de λd−1F le.

9. La probabilite ou la conductance font intervenir le produit de deux amplitudes complexes. Il existed’autres quantites comme la fonction de correlation de deux conductances, qui font intervenir quatreamplitudes complexes qui doivent etre appariees deux a deux. C’est dans de tels cas qu’il apparaıt descroisements quantiques comme celui de la figure 4.10.


Il est important de pouvoir evaluer la probabilite de tels croisements, puisqu’ils sont al’origine des effets quantiques. Puisque le volume d’un croisement est d’ordre λd−1F le, undiffuson de longueur t peut etre vu comme un objet de longueur L = vF t et de ”sectionefficace” λd−1F . Il a donc un volume fini vFλ

d−1F t. La probabilite dp×(t) de croisement de

deux diffusons apres un temps dt dans un volume Ω = Ld est donc proportionnelle aurapport entre le volume d’un diffuson et le volume du systeme :

dp×(t) =λd−1F vFdt

Ω∝ 1

g

dt

τD(4.40)

ou on a utilise (4.39) pour introduire la conductance sans dimension g = G/(2e2/h) etle temps de Thouless τD = L2/D, le temps necessaire pour traverser l’echantillon. Laprobabilite d’un croisement quantique pendant la traversee de l’echantillon est donnee par

p×(τD) =

∫ τD

0dp×(t) ≃

1

g. (4.41)

C’est exactement l’inverse de la conductance ! Cette remarque est essentielle pour com-prendre les effets de coherence de phase dans les systemes desordonnes. Tous ces effetspeuvent etre compris en termes de croisements quantiques et la probabilite de tels croise-ments, qui mesure l’importance des effets quantiques, est simplement donne par l’inversede la conductance sans dimension conductance g.

Dans un bon metal, la conductance g est grande et les effets quantiques sont faibles.Dans la limite opposee, quand g devient de l’ordre de l’unite, la probabilite de croisementquantique est d’ordre 1. Cela correspond a la localisation dite d’Anderson, un regime oules ondes electroniques sont localisees par le desordre fort. Nous ne considerons pas ceregime ici, mais seulement le cas de desordre faible, quand les effets quantiques restentpetits. L’approche a la localisation d’Anderson peut etre vue comme la proliferation decroisement quantiques.

Une premiere conclusion qualitative mais importante de cette discussion est la sui-vante : le transport classique est decrit par la conductance G = 2ge2/h et les correctionsquantiques sont plus faibles dans un rapport 1/g. On en deduit que les corrections quan-tiques sont d’ordre G/g, c’est-a-dire d’ordre e2/h !

4.3 Localisation faible

4.3.1 Localisation et croisements quantiques

Nous avons vu que la probabilite et la conductance classiques peuvent s’exprimercomme la somme des contributions de paires d’amplitudes complexes conjuguees. Au delade ces contributions classiques, une classe importante de diagrammes correspond aux tra-jectoires formant des boucles, avec un croisement quantique (figure 4.11). On voit quepour une telle boucle les trajectoires sont inversees. Si le systeme est invariant par ren-versement du temps, une trajectoire j et la trajectoire inverse jT ont exactement la memephase kLj . Cette phase peut etre tres compliquee car elle depend de la configuration dedesordre, mais c’est la meme pour les deux trajectoires. Par consequent la contribution deces boucles ne s’annule pas en moyenne.

En utilisant le meme genre d’argument qualitatif que dans la section (4.2.2), on peutevaluer la probabilite qu’une trajectoire traversant le systeme forme une boucle avec un

4.3 Localisation faible 87

Figure 4.11 – Haut : appariement de trajectoires contribuant a la conductance classique. Bas :appariement de trajectoires formant une boucle et a l’origine de la correction de localisation faible.

croisement quantique. Puisqu’il y a un croisement quantique, cette probabilite est faible,d’ordre 1/g. De plus, elle depend de la distribution de boucles dans le systeme desordonne.Notons Pint(t) cette distribution de boucles de temps t. Cette quantite n’est autre que laprobabilite (4.33) de retour a l’origine apres un temps t. En fait, ce n’est pas tout a faitla probabilite classique Pcl(t) qui correspond au produit d’une amplitude avec son ampli-tude conjuguee. Ici, Pint(t) correspond a l’appariement d’une amplitude avec l’amplitudeconjuguee associee a la trajectoire obtenue par renversement du sens du temps. La pro-babilite classique est appelee diffuson, cette contribution est appelee le cooperon 10 .Lorsque le systeme est invariant par renversement du sens du temps, ces deux contribu-tions sont identiques (figure 4.12). Par contre, la contribution Pint(t) depend du champmagnetique (qui brise l’invariance par renversement du sens du temps) et est reduite s’ilexiste des processus qui brisent la coherence de phase.

La probabilite de traverser le systeme avec une boucle est de la forme :

po(τD) =

∫ τD

0Pint(t) dp×(t) =

1

g

∫ τD

0Pint(t)

dt

τD. (4.42)

La coherence de phase est brisee par le couplage des electrons a d’autres degresde liberte comme les phonons ou par l’interaction entre les electrons eux-memes. Cesphenomenes dependent de la temperature et sont decrits phenomelogiquement par unelongueur de coherence de phase dependant de la temperature Lϕ(T ) =

√Dτϕ(T ) : les

trajectoires de longueur superieures a Lϕ ne contribuent pas a la correction de localisation

faible. A cause de cette perte de coherence de phase au bout d’un temps τϕ, appele tempsde coherence de phase seules les trajectoires de temps t inferieur a τϕ contribuent. Parconsequent la probabilite d’avoir des trajectoires avec des boucles de taille t inferieure aτϕ est :

po(τϕ) =

∫ min(τD,τϕ)

0Pint(t) dp×(t) =

1

g

∫ min(τD,τϕ)

0Pint(t)

dt

τD(4.43)

10. La structure des appariements qui constituent le cooperon ressemble a celle des diagrammes quiinterviennent dans la theorie BCS de la supraconductivite et qui ont ete introduits par L.N. Cooper.


Figure 4.12 – (a) Pour une boucle fermee et s’il y a invariance par renversement du tempset coherence de phase, la probabilite de retour a l’origine est doublee car le cooperon est egal audiffuson : Pint(t) = Pcl(t). (b) Si l’invariance par renversement du sens du temps est brisee par unchamp magnetique, le cooperon n’est plus egal au diffuson.

La correction relative a la conductivite (ou a la conductance) due a l’existence de bouclesquantiquement coherentes est simplement proportionnelle a la probabilite d’avoir de tellesboucles :

∆σ

σ0=

∆G

G0= −po(τϕ) (4.44)

On peut montrer que le signe de la correction est negatif car les trajectoires j and jT ontdes impulsions opposees. Cette correction quantique a la conductivite classique de Drudeest appelee la correction de localisation faible.

Les equations (4.43, 4.44) n’ont de sens que dans le regime diffusif, c’est-a-dire si t > τe.La contribution de la probabilite de retour a la correction de localisation faible doit doncetre integree entre τe, le temps le plus court pour la diffusion, et le temps de coherencede phase τϕ. En combinant (4.43) et (4.44), et en remplacant les bornes par des coupuresexponentielles, la correction de localisation faible s’ecrit 11 :

∆G = −4e2

h

∫ ∞0

Pint(t) (e−t/τϕ − e−t/τe)

dt

τD. (4.45)

Nous allons maintenant evaluer cette correction dans diverses geometries. Notons dejaque, tout comme la probabilite de retour a l’origine, la correction de localisation faibledepend fortement de la geometrie du conducteur a travers la dependance temporelle dePint(t). Cette contribution est petite, d’ordre 1/g a cause du croisement quantique, mais,contrairement aux contributions de la figure (4.9), elle peut etre mise en evidence parl’application d’un champ magnetique.

11. Notons que ce resultat exact (4.45) a pu, a un facteur 2 pres, etre obtenu par des arguments qualitatifs.Il faut un calcul beaucoup plus sophistique pour obtenir le bon prefacteur.


4.3.2 Localisation faible et dimension d’espace

Considerons un conducteur infini, ou de taille L ≫ Lϕ. Pour la diffusion sans bord,les valeurs propres En de l’equation de diffusion sont Dq2 et la probabilite de retour P (t)est donnee par (4.33). Puisque la dependance temporelle P (t) depend de la dimensiond’espace d, la correction de localisation faible en depend aussi. En inserant (4.33) dans(4.45), et en introduisant Lϕ =

√Dτϕ, on obtient les resultats importants :

∆g =

−Lϕ

Lquasi− 1d

− 1

πlnLϕ

led = 2

− 1

2π

(L

le− L

Lϕ

)d = 3

(4.46)

ou g = G/(2e2/h) est la conductance sans dimension. On a utilise les integrales (9.20). Lalongueur de coherence de phase Lϕ(T ) depend de la temperature en loi de puissance, cequi conduit en particulier une dependance tres caracteristique en lnT a deux dimensionspour la correction de localisation faible.

4.3.3 Systemes finis, conditions aux limites

Dans un conducteur mesoscopique, le temps de coupure dans (4.43) n’est pas le tempsde coherence de phase τϕ, mais le temps de Thouless τD. Autrement dit, la longueur decoupure dans les equations (4.46) est la taille du systeme au lieu de la longueur Lϕ. Parconsequent, a l’aide de (4.46), il apparaıt que la correction de localisation faible dans lecas du fil quasi-1d est universelle, c’est un nombre, independant du desordre (le). A 2d et3d, l’integrale (4.45) diverge aux temps courts et elle doit etre coupee par τe, de sorte quela correction de localisation faible n’est pas universelle.

Pour calculer quantitativement la correction de localisation faible et la probabilite deretour dans un systeme fini, il faut prendre en compte correctement les conditions auxlimites. Considerons par exemple le cas du fil parfaitement connecte a des reservoirs. Leselectrons peuvent quitter l’echantillon et la probabilite doit s’annuler aux bords (conditionde Dirichlet). Les valeurs de q permises sont : q = nπ/L avec n = 1, 2, 3, · · · , et les energiespropres sont En = n2π2Ec. En injectant ces energies propres dans l’expression generale(4.45) de la correction de localisation faible, on obtient :

∆g = −2∑n=0

1

π2n2 + τD/τϕ. (4.47)

Dans la limite macroscopique (L≫ Lϕ, c’est-a-dire τD ≫ τϕ), on peut remplacer la sommepar une integrale et retrouver ∆g = −Lϕ/L. Dans la limite mesoscopique (L≪ Lϕ, c’est-a-dire τD ≪ τϕ), on obtient

∆g = −2∑n=0

1

π2n2= −1

3. (4.48)

La somme (4.47) peut aussi etre effectuee (en utilisant la relation 9.21) pour obtenir

∆g = −Lϕ

L

(coth

L

Lϕ−Lϕ

L

)(4.49)


qui interpole continument entre les deux limites (4.46) et (4.48).

4.3.4 Effets du champ magnetique

Pour calculer la correction de localisation faible sous champ magnetique, il faut savoircomment le cooperon (qui est egal au diffuson en l’absence de champ) est affecte par lechamp. On peut montrer que le cooperon obeit a une equation differentielle similaire acelle du diffuson. Elle ressemble beaucoup a une equation de diffusion. Au lieu de (4.21),on a 12 [

∂

∂t−D(∇+

2ieA

~)2]Pint(r, r

′, t) = δ(r − r′)δ(t) . (4.50)

L’effet du champ magnetique est decrit par la substitution ~∇/i → ~∇/i+ 2eA (commedans l’equation de Schrodinger) avec une charge effective charge −2e pour prendre encompte l’appariement des trajectoires. Les solutions de cette equation sont toujours de laforme (4.22), et les valeurs propres En sont solutions de l’equation

−D(∇r +2ieA

~c)2ψn(r) = Enψn(r) . (4.51)

et la probabilite integree de retour a l’origine est donnee par

P (t) = θ(t)∑n

e−Ent . (4.52)

Considerons maintenant l’effet du champ dans quelques geometries remarquables.

• Geometries de l’anneau et du cylindre : oscillations Sharvin-Sharvin

Considerons d’abord la geometrie d’un anneau traverse par un flux Aharonov-Bohm.En presence du flux ϕ, chaque trajectoire fermee est affectee d’une phase Aharonov-Bohm2πϕ/ϕ0. La trajectoire obtenue par renversement du sens du temps ”accumule” une phaseopposee −2πϕ/ϕ0, de sorte que la phase relative entre les deux trajectoires est 4πϕ/ϕ0.C’est la raison pour laquelle les quantites moyennes oscillent avec la periode ϕ0/2 = h/2eet non ϕ0.

Le calcul de la probabilite de retour dans cette geometrie peut etre fait directementen resolvant (4.51) 13. Mais on peut l’obtenir par un argument simple. Rappelons qu’a1d, pour un espace infini, la probabilite d’aller de r a r′ est donnee par (4.29) avecd = 1. La probabilite de retour est obtenue en faisant r = r′. Dans la geometrie del’anneau, c’est la probabilite de retour avec la condition de ne pas faire le tour de l’anneau,1/

√4πDt. La probabilite de retour avec la contrainte d’avoir effectue un tour contient le

facteur supplementaire e−L2/4Dt. Et la phase accumulee apres un tour est 4πϕ/ϕ0 de

sorte que la contribution des trajectoires faisant un tour contient le terme cos 4πϕ/ϕ0.En ajoutant toutes les contributions correspondant a des nombres m de tours, on obtient

12. Une derivation de cette equation est proposee page 166.13. On obtient les solutions de l’equation (4.51) et on en deduit la probabilite Pint(t) :

Pint(t) = θ(t)∞∑

n=−∞

e−4π2 D

L2 (n+2φ)2(4.53)

ou φ = ϕ/ϕ0. Une transformation de Poisson (9.36) conduit a (4.54).


ainsi directement le developpement de Fourier de la probabilite de retour en presence d’unflux :

Pint(t, ϕ) =Lθ(t)√4πDt

+∞∑m=−∞

e−m2L2/4Dt cos 4πmϕ/ϕ0 . (4.54)

L’harmonique m represente ainsi la probabilite de retour apres avoir effectue m toursautour de l’anneau. En inserant cette expression dans (4.45) et en integrant sur le temps(integrale 9.24), on obtient facilement

∆G(ϕ) = −se2

h

Lϕ

L

(1 + 2

+∞∑m=1

e−mL/Lϕ cos 4πmϕ/ϕ0

)(4.55)

que l’on peut resommer sous la forme

∆G(ϕ) = −se2

h

Lϕ

L

sinhL/Lϕ

coshL/Lϕ − cos 4πϕ/ϕ0. (4.56)

Le premier terme de (4.55) correspond resultat diffusif 1d infini et les harmoniques decroissentd’autant plus rapidement avec la taille L que leur ordre est eleve, ce qui se comprend tresbien puisqu’elles correspondent a des trajectoires diffusives de plus en plus longues.

Pour un cylindre, les electrons peuvent diffuser le long de l’axe z du cylindre, de sorteque (4.54) est simplement multiplie par Lz/

√4πDt. En inserant cette probabilite dans

(4.45) et apres integration sur le temps, on obtient

∆G(ϕ) = −s e2

πh

L

Lz

[lnLϕ

le+ 2

+∞∑m=1

K0(mL/Lϕ) cos 4πmϕ/ϕ0

](4.57)

ou K0 est une fonction de Bessel modifiee (eqs. 9.27, 9.28). Le premier terme correspondau resultat connu a deux dimensions (4.46). Les contributions des harmoniques decroissentapproximativement en e−mL/Lϕ . Ce sont ces oscillations qui ont ete observees par Shar-vin et Sharvin en 1981, peu apres leur prediction par Altshuler, Aronov et Spivak 14.La theorie decrit parfaitement bien la forme de ces oscillations representees sur la figure4.1. On pretera toutefois attention a la decroissance avec le champ de l’amplitude de cesoscillations, dont on essaiera de comprendre l’origine.

• Film bidimensionnel sous champ magnetique

Dans la geometrie de l’anneau ou du fil, toutes les paires de trajectoires accumulent lameme phase 4πϕ/ϕ0. Dans la geometrie du plan et pour un champ magnetique uniforme,les trajectoires de taille differente accumulent des phases differentes : ϕ(A) = BA(t)selon la surface A(t) qu’elles entourent. La probabilite de retour est donc modulee par lamoyenne ⟨cos 4πϕ(A)/ϕ0⟩A prise sur la distribution de toutes les aires A. Commenconspar une discussion qualitative. Les petites trajectoires accumulent un flux Aharonov-Bohmplus petit que ϕ0 et leur contribution a Pint et donc a la correction de localisation faibleest peu modifiee. Les grandes trajectoires accumulent un flux ϕ(A) plus grand que ϕ0et leur contribution disparaıt lorsqu’on moyenne sur A. Quand le champ augmente, lacontribution des trajectoires de plus en plus petites est progressivement supprimee. Les

14. B. Altshuler, A. Aronov et B. Spivak, The Aharonov-Bohm effect in disordered conductors, JETPLett. 33, 94 (1981).


trajectoires de taille plus grande qu’une taille caracteristique LB correspondant a BL2B ≃

ϕ0 ne contribuent pas. A cette longueur correspond un temps caracteristique τB = L2B/D ≃

ϕ0/BD, de sorte qu’on s’attend qualitativement a

⟨cos 4πϕ(A)/ϕ0⟩A(t) ≃ e−t/τB . (4.58)

A cause de cette nouvelle coupure en temps, on s’attend a une dependance en champ dela correction de localisation faible de la forme

∆g = − 1

πln

min(Lϕ, LB)

le(4.59)

au lieu de (4.46).Le calcul exact se fait a partir de l’equation (4.52). Les valeurs propres En sont solutions

d’une equation de Schrodinger effective pour une particule libre de masse m = ~/2D etde charge −2e dans un champ uniforme B. Ces solutions sont bien connues, ce sont lesniveaux de Landau

En = (n+1

2)4eDB

~, (4.60)

ou n est un entier. La degenerescence de ces niveaux pour une surface S est gn = 2eBh S.

La probabilite integree de retour a l’origine Pint(t) est simplement donnee par la somme∑n gne

−Ent, c’est-a-dire :

Pint(t, B) =BS/ϕ0

sinh(4πBDt/ϕ0). (4.61)

Cette expression n’est autre que la fonction de partition de l’oscillateur harmonique.Dans la limite B → 0, on retrouve le resultat de la diffusion libre a deux dimensions :S/(4πDt). Aux temps long, Pint(t, B) decroit exponentiellement avec l’echelle de tempsτB = ϕ0/4πBD introduite qualitativement dans (4.58). En inserant (4.61) dans (4.45), onobtient, a l’aide de (9.23)

∆g(B) = − 1

2π

[Ψ

(1

2+

~4eDBτe

)−Ψ

(1

2+

~4eDBτϕ

)](4.62)

ou Ψ est la fonction digamma dont on rappelle les comportements limites en (9.31,9.32).C’est la forme exacte correspondant a la forme approchee devinee plus haut (4.59). Si laconductance classique ne depend pas du champ, la magnetoconductance est la differencedes corrections de localisation faible δg(B) = g(B)− g(0) = δg(B)− δg(0). Elle s’ecrit :

δg(B) =1

2π

[ln

(4eDBτϕ

~

)+Ψ

(1

2+

~4eDBτϕ

)](4.63)

La magnetoconductance est positive. Dans la limite B ≪ Bϕ, le developpement asymp-totique (9.31) montre que la magnetoconductance varie quadratiquement en champ. Ladependance en champ de la correction de localisation faible a ete etudiee experimentalementtres precisement, en particulier dans des films metalliques, comme le montre la figure 4.13sur un exemple celebre. L’ajustement des resultats experimentaux avec le comportementtheorique permet de deduire la dependance en temperature du temps de coherence de phaseτϕ(T ). C’est la methode habituellement utilisee pour mesurer la longueur de coherence dephase et sa dependance en temperature.


Figure 4.13 – Dependance en champ magnetique de la magnetoresistance d’un film demagnesium, pour differentes temperatures. Les points sont les resultats experimentaux et lacourbe correspond a (4.62). Le temps τϕ(T ) est un parametre d’ajustement. G. Bergmann, Weak-localization in thin films, Phys. Rev. 107, 1 (1984).

4.3.5 Coherence de phase

Jusqu’a present, nous avons introduit le temps de coherence de phase τϕ (et la longueurde coherence de phase Lϕ =

√Dτϕ) de facon phenomenologique. Precisons ici qualitative-

ment son origine. De facon generale, la coherence de phase est limitee par le couplage deselectrons a d’autres degres de liberte, comme les phonons ou les impuretes magnetiques.Ces mecanismes donnent lieu a l’apparition d’une phase relative ∆ϕ(t) entre les deux am-plitudes complexes formant le cooperon. Cette phase relative est une variable aleatoiredont la distribution depend du phenomene a l’origine du dephasage. Ainsi la probabilitede retour a l’origine se trouve affectee par ce dephasage

Pint(r, r, t)⟨ei∆ϕ(t)⟩ (4.64)

ou ⟨· · · ⟩ est la moyenne sur les trajectoires de diffusion et sur la dynamique du processusde dephasage. En general ce dephasage decroit exponentiellement avec le temps

⟨ei∆ϕ(t)⟩ = e−t/τϕ , (4.65)

ce qui definit le temps de coherence de phase τϕ. La description des mecanismes micro-scopiques impliques et de leur contribution au dephasage depasse largement le cadre de cecours. On se limite ici a enoncer quelques resultats.

Le couplage electron-phonon est la principale source de decoherence a haute temperature.Les collisions electron-phonon sont des collisions inelastiques. Lors d’une telle collision,l’electron change d’etat quantique et change donc de phase de facon aleatoire. Le tempsde coherence τϕ diminue lorsque la densite de phonons augmente et depend donc de la


temperature. Le traitement microscopique de ce couplage conduit a une dependance de laforme

1

τ e−phϕ (T )= B T 3 (4.66)

ou le coefficient B depend des caracteristiques du materiau (par exemple la temperaturede Debye).

Le couplage electron-electron est aussi source de decoherence. Les collisions electron-electron sont des collisions elastiques, mais du point de vue de chaque electron, elles sontinelastiques : il y a transfert d’energie entre electrons et ainsi chacun perd la memoirede sa phase. La description microscopique de la decoherence due a l’interaction electron-electron est difficile. C’est en principe un probleme a N-corps. Une simplification consistea decrire l’interaction d’un electron avec le potentiel electrique moyen du a l’ensemble desautres electrons. Ce potentiel moyen fluctue au cours du temps et le dephasage induitest aussi fluctuant. Il depend aussi des trajectoires electroniques et depend donc de ladimension d’espace d. Le calcul de ce dephasage et de ses fluctuations temporelles conduitaux dependances en temperature du temps de coherence de phase τ eeϕ :

1

τ e−eϕ (T )∝

T 2/3 quasi− 1d

T d = 2

T 3/2 d = 3

(4.67)

Enfin les impuretes magnetiques induisent un champ magnetique aleatoire qui dephaseles trajectoires conjugees qui constituent le cooperon (tout comme un champ magnetiqueuniforme). Ce dephasage aleatoire est decrit par un temps caracteristique τ e−mϕ qui estindependant de la temperature.

Comment mesure-t-on le temps de coherence de phase ? La methode usuelle consistea mesurer la magnetoresistance, a en deduire la dependance en champ magnetique dela correction de localisation faible. En ajustant les courbes experimentales a differentestemperatures avec l’expression theorique (par exemple (4.63) pour d = 2), on en deduitla dependance en temperature τϕ(T ) du temps de coherence de phase. Par exemple lesresultats de la figure 4.13 ont permis de montrer que, en deux dimensions, le temps decoherence de phase varie comme 1/T a basse temperature. C’est la contribution des colli-sions electron-electron (eq. 4.67).

La dependance en temperature presente en general differents regimes associes auxcontributions des differents mecanismes de dephasage. Le temps de coherence τϕ(T ) mesureresulte de la somme des differentes contributions

1

τϕ(T )=

1

τ e−phϕ

+1

τ e−eϕ

+1

τ e−mϕ

. (4.68)

La figure 4.14 presente des resultats obtenus sur des fils metalliques d’or, d’argentet de cuivre. La dependance en T 2/3, caracteristique de la contribution des interactionelectron-electron, est observee sur les fils d’or et d’argent. A plus haute temperature, lacontribution des phonons (T 3) devient dominante. En utilisant la relation

1

τϕ= AT 2/3 +BT 3 (4.69)


ou A et B sont des parametres ajustables, on obtient pour les fils d’argent la courbe en traitplein sur la figure 4.14. La saturation observee a basse temperature et particulierementdans le cuivre est attribuee a la contribution des impuretes magnetiques.

Figure 4.14 – Comportement du temps de coherence de phase τϕ de quatre fils metalliques (argent(• et ), or (∗) et cuivre ()) par mesure de la magnetoresistance. Dans les echantillons les pluspurs (argent(•) et or (∗)), on observe une dependance τ−1

ϕ (T ) = AT 2/3 + BT 3 (lignes pleines).

La ligne en tirets represente la contribution AT 2/3 pour l’argent. Pour de l’argent moins pur ()et pour le cuivre (), ce comportement en loi de puissance n’est pas observe. La saturation a bassetemperature a ete attribuee a la contribution des impuretes magnetiques (F. Pierre et al., Dephasingof electrons in mesoscopic metal wires, Phys. Rev. B 68, 85413 (2003)).


4.4 Fluctuations de conductance

4.4.1 Fluctuations universelles, signatures de la coherence quantique

16.5

16.4

16.3

16.2

16.1

16.0

15.9200 600 1000 1400 1800

15.9

16.0

16.1

16.2

16.3

16.4

16.5

200 600 1000 1400 1800

(a)

(b)

G (

e2 /

h )

G (

e2 /

h )

4.00

200 600 1000 1400 1800

3.00

2.00

1.00

0.00

(c)

var

(G)

(10-3

( e2 /

h )2

)

B ( 10-4 Teslas )

B ( 10-4 Teslas )

B ( 10-4 Teslas )

Figure 4.15 – Fluctuations reproductibles de la

magnetoconductance en unites de e2/h, a T =45mK pour un gaz 2D AlGaAs. La figure (a)montre 46 mesures en fonction du champ, pourle meme echantillon, mais avec des recuits suc-cessifs. Chaque trace correspond a une configu-ration du desordre et est appele une ”empreintedigitale magnetique”. Ici l’amplitude des fluctua-tions est plus petite que e2/h parce que L > Lϕ

(voir eq. 4.89). La figure (b) presente la conduc-tance moyenne en fonction du champ. La correc-tion de localisation faible disparaıt au dela d’uncertain champ. Au dela du meme champ, la va-riance des fluctuations, montree sur la figure (c),est reduite d’un facteur 2.

Aux echelles L < Lϕ, un conducteur est un objet quantique. Sa conductance depend dela figure d’interference complexe entre toutes les trajectoires de diffusion. Cette figure d’in-terference peut etre modifiee par des parametres exterieurs, tels qu’un champ magnetiqueou une tension de grille. Par exemple la figure 4.15.a montre la variation de la conduc-tance en fonction du champ, pour 46 echantillons differents (en fait le meme echantillonapres des recuits successifs, de sorte que la configuration d’impuretes a change et la fi-gure d’interference est differente). Elle montre des ”fluctuations” qui sont reproductiblespour une configuration donnee du desordre. Chaque trace est donc une empreinte digitalemagnetique, caracteristique de chaque configuration. La figure 4.15.b montre la conduc-tance moyennee sur ces 46 echantillons. On voit que la correction de localisation faibledisparaıt autour d’un champ caracteristique Bϕ, et que pour le meme champ la variationdes fluctuations, presentee sur la figure 4.15.c est reduite d’un facteur 2.

L’universalite des fluctuations de conductance est une signature de la coherence quan-tique. Classiquement, on decrirait le systeme comme l’addition d’un grand nombre d’elementsincoherents. Ce nombre est d’ordre N = (L/Lc)

d, ou Lc est une longueur de correlation,de l’ordre du libre parcours moyen. On s’attendrait alors a des fluctuations relatives de laconductance de l’ordre de

δG

G≃ 1√

N=

(Lc

L

)d/2

(4.70)

4.4 Fluctuations de conductance 97

CO

ND

UC

TA

NC

E

(e2/ h) ( )a ( )b ( )c

88.2

88.0

87.8

87.6

18 4

16

14

12

10

2

0

-20 1 2 3 40 1 2 3 40 1 2 3 4

B (T) B (T) B (T)

Figure 4.16 – Variations aperiodiques de la magnetoconductance de trois systemes differents. (a)Anneau d’or de 0.8 mm de diametre, (b) echantillon de Si-MOSFET, et (c) resultat de simulationsnumeriques sur le modele d’Anderson. La conductance varie de plusieurs ordres de grandeur d’unsysteme a l’autre, mais les fluctuations restent de l’ordre de e2/h.

et comme G varie comme Ld−2, on s’attendrait a des fluctuations de conductance de l’ordrede

δG ∝ Ld−42 (4.71)

qui disparaissent pour grand L (si d ≤ 3). On dit dans ce cas que le systeme est auto-moyennant.

Le fait que les fluctuations δG restent finies signifie qu’il existe des correlations duesa la coherence quantique. De plus, si on considere des systemes tres differents, commesur la figure (4.16), mais quantiquement coherents (L < Lϕ), on trouve que l’amplitudedes fluctuations est toujours la meme : elle ne depend pas du desordre : elle est univer-selle, d’ordre e2/h. Ce resultat ne doit pas a priori nous surprendre, puisque l’argumentdeveloppe dans la section 4.2.2 a montre que les effets quantiques sont d’ordre e2/h.

4.4.2 Fluctuations de conductance et correlations de speckle en optique

Afin de comprendre l’origine de cette universalite, il est important de mieux com-prendre la nature de ces fluctuations dans l’approche de Landauer et pour cela faire le lienavec une physique equivalente en optique, ou on peut mesurer les fluctuations d’un coef-ficient de transmission. En optique, la lumiere diffusee au travers d’un milieu desordonneforme une figure sur un ecran (figure 4.17), figure appelee tavelure ou speckle en anglais(c’est la generalisation de l’experience des trous d’Young : deux trous produisent desfranges bien definies. Ici, un systeme diffusant, une suspension colloıdale par exemple,produit une figure d’interference compliquee). Un faisceau laser est envoye sur le milieudiffusant, selon une direction a et l’intensite diffusee est mesuree selon une direction b.La figure de speckle 4.17 represente l’intensite lumineuse mesuree dans une direction bpour une direction d’incidence fixe a 15. Par consequent l’intensite sur l’ecran mesure lecoefficient de transmission Tab pour une direction incidente a. On note tout de suite qu’ily a des taches noires, ce qui montre que les fluctuations relatives d’intensite sont d’ordre

15. Pour une telle geometrie, a et b sont des variables angulaires continues. Pour la geometrie de guided’onde, les variables a et b sont discretes a cause de la quantification transverse.


1. Cette observation constitue la loi de Rayleigh 16 :

δT 2ab = Tab

2 . (4.73)

Figure 4.17 – Une figure de speckle. La courbe blanche represente la dependance angulaire del’intensite le long d’une ligne representee par la ligne blanche en tirets. Les fluctuations relativessont de l’ordre de l’unite (figure : G. Maret, Universite de Constance).

Pourtant en electronique, les fluctuations relatives de conductance g (sans dimension)sont tres petites, d’ordre 1/g. Pourquoi les fluctuations sont elles grandes en optique et

petites en electronique ? Comment expliquer a la fois δT 2ab = Tab

2 et δg2 ≃ 1 ?

Afin de relier les deux questions, on utilise de formalisme de Landauer qui relie ex-plicitement la conductance (ici sans dimension) a un coefficient de transmission (relation2.42) :

g =∑ab

Tab . (4.74)

La difference principale entre l’optique et l’electronique est qu’en optique, on peut mesurerseparement chaque coefficient de transmission Tab, alors qu’en electronique la conductanceest donnee par la somme des Tab sur tous les canaux entrant et sortant.

Evaluons d’abord l’amplitude des coefficients Tab. En supposant qu’en moyenne leurdependance angulaire est negligeable, la relation de Landauer (4.36), dans laquelle il y aM2 termes, conduit a :

g =M2 Tab (4.75)

16. Rappelons que

δX2 = (X −X)2 = X2 −X2.

La loi de Rayleigh peut donc aussi s’ecrire :

T 2ab = 2 Tab

2 . (4.72)


et le coefficient de transmission moyen est donc egal a

Tab =g

M2, (4.76)

M etant le nombre de canaux transverses.

Figure 4.18 – Representation schematique de deux contributions au produit des valeurs moyennesTabTa′b′ . La premiere (a) correspond au produit Tab Ta′b′ . La seconde (b) est une contribution a

la fonction de correlation que l’on note δTab δTa′b′C1

. Lorsque a = b, on obtient la loi de RayleighδT 2

ab = Tab2 .

Calculons maintenant la fonction de correlation TabTa′b′ entre deux coefficients de trans-mission. Cette fonction est le produit de deux transmissions moyennes plus un terme decorrelation :

TabTa′b′ = Tab Ta′b′ + δTab δTa′b′ . (4.77)

Le terme de correlation est construit en appariant des trajectoires correspondant a descoefficients de transmission differents (Figure 4.18 ). On voit qu’il n’y a pas de dephasageentre les trajectoires diffusives appariees, sauf a l’exterieur de l’echantillon, puisque a et a′

(b et b′) correspondent a differents canaux entrant (ou sortant). Le second terme est doncde la forme Tab

2 f(a, a′, b, b′) ou f est une fonction a courte portee qui diminue rapidementdes que a = a′ ou b = b′. Si a et b sont des directions angulaires, f decroit rapidementen fonction de l’ecart angulaire. Dans la geometrie d’un guide d’ondes, ou les modes sontquantifies, on a simplement f = δaa′δbb′ . Cette contribution a la fonction de correlationδTab δTa′b′ , appelee la contribution C1, s’ecrit donc :

δTab δTa′b′C1

= Tab2 δaa′δbb′ . (4.78)


Pour a = a′ et b = b′, on a la loi de Rayleigh (4.73) :

T 2ab = 2 Tab

2 . (4.79)

L’amplitude des fluctuations est de l’ordre de la moyenne. Les fluctuations du coefficientde transmission Tab sont grandes et c’est ce qui explique pourquoi il y a des taches noiressur la figure 4.17.

Pour calculer les fluctuations de conductance, il suffit de sommer sur tous les canauxentrants et sortants :

δg2 =∑aa′bb′

δTabδTa′b′ =∑aa′bb′

Tab2 δaa′δbb′ =M2 Tab

2 =g2

M2≪ 1 . (4.80)

Cette somme est petite car la plupart des termes sont nuls. Donc cette approche ex-plique pourquoi les fluctuations des Tab sont larges, mais n’explique pas l’amplitude desfluctuations de conductance. C’est donc qu’il existe des contributions supplementaires ala fonction de correlation δTab δTa′b′ qui ont ete oubliees. Quelles sont ces contributionssupplementaires ?

Une autre contribution est obtenue en appariant des trajectoires de facon differente : enechangeant l’appariement d’amplitudes, on a une contribution qui contient un croisement,comme indique sur la figure 4.19.a. A cause du croisement, et selon l’argumentation dela page 86, cette contribution est plus petite, par un facteur 1/g. Sa contribution a lafonction de correlation δTabδTa′b′ est petite. Mais sa dependance angulaire est differente.La figure 4.19 montre qu’il y a un dephasage soit a l’entree, soit a la sortie, de sorte que,au lieu de (4.78), cette seconde contribution, appelee C2, est de la forme

δTabδTa′b′C2

=2

3gTab

2 (δaa′ + δbb′) . (4.81)

Le facteur 2/3 provient d’une integration sur la position du croisement quantique, quin’est pas detaillee ici. En sommant sur tous les canaux d’entree et de sortie, on obtientpour cette contribution :

δg2 =∑aa′bb′

2

3gTab

2 (δaa′ + δbb′) =4g2

3M≪ 1 . (4.82)

Cette contribution ne peut donc expliquer l’amplitude observee des fluctuations de conduc-tance. Considerons donc la contribution suivante, montree sur la figure 4.19, avec deuxcroisements quantiques. Cette contribution, notee C3, est encore plus faible, d’ordre 1/g

2 :

δTabδTa′b′C3

=2

15g2Tab

2 . (4.83)

Le facteur 2/15 provient de l’integration sur les positions des deux croisements quantiques.Ce terme n’a pas de dependance angulaire, si bien que la somme sur tous les modes contientM4 termes et la contribution aux fluctuations de conductance est

δg2 =2

15. (4.84)


Figure 4.19 – Representation schematique des contributions C2 et C3 a la fonction de correlationδTabδTa′b′ . Pour la contribution C2, au lieu d’apparier a et a′ en entree, on peut aussi apparier bet b′ en sortie.

L’amplitude est universelle au sens ou elle est independante de l’amplitude du desordre.Cette universalite provient du fait que la fonction de correlation est construite a par-tir du produit de deux conductances et de deux croisements quantiques, ce qui donneg2 × 1/g2 ≃ 1. Les contributions avec un seul croisement ou pas de croisement sontnegligeables a cause de leur dependance angulaire. Les termes suivants, avec n croise-ments sont aussi negligeables, d’ordre 1/gn−2. En optique, quand on considere une figurede speckle, c’est la premiere contribution (C1) qui est la plus importante, et les contribu-tions avec un ou deux croisement sont difficiles a mettre en evidence experimentalement(bien que petites, elles ont des dependances angulaires specifiques, ce qui permet leur ob-servation). En electronique, seule la contribution avec deux croisements est importante acause de la sommation sur tous les canaux d’entree et de sortie. En resume,

∑ab Tab a des

fluctuations beaucoup plus petites que Tab. On a utilise une recette tres simple pour evaluerl’importance des quantites moyennes ou les fonctions de correlations : chaque croisementquantique donne un facteur 1/g. En resume, voici regroupees les differentes contributionsa la fonction de correlation des coefficients de transmission et aux fluctuations de conduc-tance. On rappelle que g/M ∝ le/L qui est negligeable dans le regime diffusif :

δTabδTa′b′ = Tab2

(δaa′δbb′ +

2

3g(δaa′ + δbb′) +

2

15g2

). (4.85)

δg2 =g2

M2+

4g

3M+

2

15−→le≪L

2

15. (4.86)

On aurait pu penser naıvement que deux coefficients de transmission Tab et Ta′b′ differentsne sont pas correles : δTabδTa′b′ = Tab

2 δaa′δbb′ , ce qui est suffisant pour comprendre la loide Rayleigh. L’existence meme des fluctuations universelles de conductance prouve impli-citement l’existence du troisieme terme dans la relation (4.85), c’est-a-dire de correlationsfaibles mais a longue portee induites par la diffusion multiple.


4.4.3 Amplitude des fluctuations de conductance

Pour estimer plus precisement l’amplitude des fluctuations de conductance, leur depen-dance en fonction de la geometrie ou de parametres exterieurs, il faut analyser plus endetails la structure des trajectoires appariees et de leur croisement. En plus des deuxcroisements, il y a une boucle. il faut donc sommer la contribution de toutes les boucles,comme pour le calcul de la correction de localisation faible. Mais a la difference de lalocalisation faible, cette boucle contient deux croisements au lieu d’un seul croisement.Donc pour une position donnee d’un croisement, il faut sommer sur toutes les positionspossibles du second. Puisque ce second croisement est necessairement place le long de laboucle, la sommation sur toutes les positions possibles de ce second croisement par rapportau premier donne un element de volume proportionnel a la longueur de la boucle. Pourune trajectoire de longueur vF t, ce volume est d’ordre vF tλ

d−1F . De plus, P (t) contient

des contributions soit avec deux diffusons, soit avec deux cooperons. Apres une analysesoigneuse de tous les croisements et appariements possibles, et sans entrer plus dans lesdetails ici, on peut montrer que l’amplitude des fluctuations de conductance a une structuretres voisine de celle de la correction de localisation faible :

δG2 = 6s2(e2

h

)2 ∫ ∞0

t [Pcl(t) + Pint(t)]e−t/τϕ dt

τ2D(4.87)

Les contributions des cooperons Pint et des diffusons Pcl sont egales. Sous champ magnetique,la contribution des cooperons est supprimee, si bien que la variance est reduite d’un facteur2, comme on le voit sur la figure 4.15.c. Cela apparaıt pour le meme champ caracteristiqueque celui qui decrit la disparition de la correction de localisation faible, c’est-a-dire pourquantum de flux a travers le systeme ou a travers la surface L2

ϕ.Les processus de perte de coherence de phase ne suppriment pas seulement la contri-

bution des cooperons mais aussi celle des diffusons. Cela peut surprendre puisqu’on a vuqu’un diffuson correspond a la diffusion classique. Il ne devrait donc pas dependre desphenomenes de dephasage, puisqu’un evenement de dephasage affecte en meme temps unetrajectoire et sa trajectoire conjuguee. En fait cette contribution des diffusons pour lesfluctuations de conductance n’est pas vraiment classique car elle correspond a l’apparie-ment de trajectoires correspondant a des systemes differents. Un evenement de dephasageaffecte differemment les deux amplitudes qui correspondent a des systemes differents.

Comme pour la correction de localisation faible (4.45), il est possible d’evaluer facile-ment δg2 pour differentes geometries a partir de la connaissance de la probabilite de retoura l’origine. Par exemple pour un fil mesoscopique quasi-1d connecte a des reservoirs, P (t)est donne par

Pcl(t) = Pint(t) = θ(t)∑q

e−Dq2t

ou les valeurs de q sont quantifiees par la condition de Dirichlet : q = nπ/L, n = 0. Onobtient ainsi

δg2 = 6∑n>0

1

π4n4=

2

15. (4.88)

Le choix des conditions aux limites est important. Si le systeme est isole, ce qui correspondaux conditions aux limites de Neumann, le mode q = 0 conduit a une divergence des


fluctuations, qui ne sont plus universelles.Dans la limite macroscopique, quand Lϕ ≫ L, la probablite P (t) est celle du systeme

infini (4.33), P (t) = (τD/4πt)d/2 et il faut prendre en compte le facteur de decoherence

e−t/τϕ dans l’integrale. On obtient dans ce cas :

δg2 ∝(Lϕ

L

) 4−d2

. (4.89)

Ce resultat n’est pas surprenant, c’est celui qui etait prevu par l’argument simple condui-sant a (4.70), traitant les fluctuations comme dues a l’addition incoherente des contribu-tions de regions de taille Lϕ.

Enfin, on peut verifier facilement que la fonction de correlation de n conductancesimplique 2n − 2 croisements. Par consequent le cumulant d’ordre n de la distribution deconductance est d’ordre gn/g2n−2 ∝ 1/gn−2. Il tend donc vers zero pour n > 2 dansla limite metallique g → ∞, ce qui signifie que la distribution de conductance est unegaussienne.


Chapitre 5

Retrodiffusion coherente de lalumiere

5.1 Le cone de retrodiffusion

Figure 5.1 – A gauche, dependance angulaire de l’intensite reflechie (albedo) par un milieudiffusant (billes de polystyrene). A droite, dependance angulaire de l’intensite moyenne reflechiepar ce meme milieu (moyenne sur la distribution spatiale des billes). L’intensite moyenne presenteun maximum dans la direction exacte de retrodiffusion (G. Maret, Universite de Constance).

La coherence de phase est a l’origine des effets d’interference associes a la correctionde localisation faible. Cette coherence a des effets tout aussi importants en optique. Nousavons deja largement utilite l’analogie electronique-optique dans le chapitre precedent, enparticulier en comparant les fluctuations de speckle et les fluctuations de conductance. Ons’interesse ici a un effet tres spectaculaire en optique, la retrodiffusion coherente.

On eclaire un milieu desordonne avec un faisceau laser et on observe la dependanceangulaire de l’intensite reflechie. Le coefficient de reflexion est appele albedo. On obtientune figure de speckle (figure 5.1) tres analogue a ce qui est observe en transmission (figure4.17). On observe en particulier des taches sombres, compatibles avec une distribution deRayleigh du coefficient de reflexion. La figure (5.2) montre schematiquement le dispositifsimple necessaire a cette observation.

106 Retrodiffusion coherente de la lumiere

Figure 5.2 – Schema experimental. A gauche : on envoie un faisceau incident dans la directionnormale a l’interface air-milieu diffusant. On mesure le signal reflechi dans la direction θ autourde la direction de retrodiffusion. A droite : afin d’analyser le signal reflechi autour de θ = 0, onutilise une lame semi-reflechissante.

Si on moyenne sur la configuration de desordre, on s’attendrait naıvement a observerune distribution uniforme sur l’ecran. Or, la figure (5.1) montre qu’il n’en est rien et qu’onobserve un maximum autour de la direction de retrodiffusion (θ = 0). Une analyse fine(figure 5.3) montre que la dependance angulaire de cette intensite est tout a fait curieuse :elle presente un pic triangulaire autour de θ = 0. Dans la direction exacte de retrodiffusion,l’intensite est doublee ! C’est le cone de retrodiffusion coherente.

-100 0 100 200 300

0.8

1.2

1.6

2.0

Sca

led

Inte

nsit

y

Angle (mrad)

-5 0 51.8

1.9

2.0

Figure 5.3 – Cone de retrodiffusion coherente par une poudre de ZnO eclairee par un laservert. L’intensite mesuree dans la direction de retrodiffusion est doublee. Le maximum presenteune singularite triangulaire (D.S. Wiersma et al., An accurate technique to record the angulardistribution of backscattered light, Rev. Sci. Instrum. 66, 5473 (1995)).

Cet effet resulte de la coherence de phase, et comme pour les ondes electroniques, ilest du a une contribution de chemins de diffusion multiple parcourus dans des directionsopposees.

5.2 Dependance angulaire et trajectoires de diffusion 107

Figure 5.4 – Appariement des amplitudes pour les contributions incoherente et coherente. Pourla contribution coherente, le dephasage depend de la distance R = |r1 − r2| entre la premiere et laderniere impurete de la sequence de collisions multiples a l’interieur du milieu diffusant.

5.2 Dependance angulaire et trajectoires de diffusion

La figure (5.4) montre tout d’abord la contribution classique au coefficient de reflexion :on apparie une amplitude et son complexe conjugue. Par contre, la contribution coherenteest obtenue en appariant une trajectoire et le complexe conjugue de la trajectoire opposeepar renversement du temps. Dans l’echantillon, les trajectoires etant exactement iden-tiques, il n’y a pas de dephasage. Le seul dephasage apparaıt a l’entree et a la sortie del’echantillon. Si on note ki et ke, les directions incidente et emergente, le dephasage s’ecritsimplement

ei(ki+ke)(r1−r2) (5.1)

ou r1 et r2 sont les positions respectives de la premiere et de la derniere impurete visitees.

Afin de determiner la distribution angulaire d’intensite dans le pic de retrodiffusioncoherente, et comprendre la forme triangulaire de ce pic, il faut calculer l’intensite moyennereflechie, somme des deux contributions, incoherente et coherente, qui s’ecrit

I(ki,ke) = I0 [1 + ⟨cos(ki + ke)(r1 − r2)⟩r1,r2 ] (5.2)

ou la moyenne ⟨· · · ⟩r1,r2 est effectuee sur les positions de la premiere et de la derniereimpurete. Toute la difficulte est de calculer cette moyenne.

On considere le cas particulier d’une incidence normale et on cherche a determinerl’intensite dans le voisinage immediat de la direction de retrodiffusion ke ≃ −ki. On notek⊥ = (ki + ke)⊥ la composante du vecteur ki + ke parallele a l’interface (perpendiculaireau rayon incident) et θ l’angle entre rayons incident et emergent. On a donc k⊥ = |k⊥| =k| sin θ| ≃ k |θ| ou k = 2π/λ et λ est la longueur d’onde du rayonnement. On peut doncrecrire la dependance angulaire de l’intensite sous la forme

I(θ) = I0 [1 + r(θ)] , (5.3)


ou le facteur d’amplification r(θ) est donnee par

r(θ) = ⟨eik⊥·(r1−r2)⟩r1,r2 =

∫eik⊥·(r1−r2)P (r1, r2)dr1dr2∫

P (r1, r2)dr1dr2(5.4)

ou P (r1, r2) est la probabilite que l’onde diffuse depuis un point r1 vers un point r2, toutdeux proches de l’interface. Il s’agit de determiner cette probabilite. Ceci se fait en troisetapes

• On determine d’abord la probabilite Pd(r1, r2) d’aller d’un point r1 a un point r2dans l’espace a trois dimensions. Celle-ci est solution de l’equation de diffusion

−D∆Pd(r1, r2) = δ(r1 − r2) (5.5)

ou on a introduit le coefficient de diffusion D = cle/3, ou c est la vitesse de la lumiereet le est le libre parcours moyen. Elle s’ecrit (cf. solution de l’equation de Poisson enelectrostatique) :

Pd(r1, r2) =1

4πD|r1 − r2|. (5.6)

• Il nous faut maintenant connaıtre la probabilite de diffusion P ′d(r1, r2) dans le demi-espace z > 0, ou z est la direction perpendiculaire a l’interface. Contrairement a Pd(r1, r2),celle-ci n’est pas invariante par translation dans la direction z. On peut donc la decomposersous la forme P ′d(r1, r2) = P ′d(ρ, z1, z2) ou z1 et z2 sont les coordonnees des points r1 etr2 le long de la normale a l’interface, et ρ est la composante du vecteur r1 − r2 parallelea l’interface. Compte tenu de la condition aux limites

P ′d(r1, r2) = 0 si r1 ou r2 appartiennent a l’interface

et en utilisant la methode des images (analogie electrostatique, voir complement 8.3.5),cette probabilite s’ecrit

P ′d(r1, r2) = P ′d(ρ, z1, z2) =

(1

4πD√ρ2 + (z1 − z2)2

− 1

4πD√ρ2 + (z1 + z2)2

)(5.7)

ou ρ = |ρ|. P ′d(r1, r2) est la probabilite d’aller de r1 a r2, deux points quelconques dudemi-espace z > 0.

• On cherche en fait la probabilite d’aller de r1 a r2, deux points proches de l’interface,typiquement a une distance le de l’interface. La probabilite que la premiere impurete soita distance z1 de l’interface varie comme e−z1/le . De meme, la probabilite que la derniereimpurete soit a distance z2 de l’interface varie comme e−z2/le . La probabilite recherchees’ecrit donc :

P (r1, r2) = P (ρ, z1, z2) = e−z1/lee−z1/leP ′d(r1, r2) (5.8)

Le facteur d’amplification r(θ) n’est autre que la transformee de Fourier de cette quantite.En injectant P (r1, r2) dans (5.4), on obtient

r(θ) =N(k⊥)

N(k⊥ = 0)avec N(k⊥) =

∫eik⊥.ρP (ρ, z1, z2) d

2ρ dz1dz2 (5.9)

5.3 Absorption et longueur des trajectoires de diffusion 109

En utilisant la relation (9.29), une etape assez longue et meticuleuse developpee en PCconduit au resultat 1

r(θ) =1

(1 + kle|θ|)2(5.10)

qui decrit bien une dependance triangulaire autour de la direction de retrodiffusion. Lalargeur a mi-hauteur du cone de retrodiffusion depend du rapport entre le libre parcoursmoyen le et la longueur d’onde

∆θ =2(√2− 1)

kle≃ 0.132

λ

le. (5.11)

Cette mesure permet ainsi de remonter au libre parcours moyen du milieu diffusant. Atitre d’exercice, on pourra evaluer le libre parcours moyen dans l’exemple de la figure (5.3).

5.3 Absorption et longueur des trajectoires de diffusion

La singularite triangulaire observee aux petits angles resulte de la contribution deslongues trajectoires de diffusion a l’intensite reflechie, ce qui apparaıt naturellement atravers la transformation de Fourier (5.9). Pour s’en convaincre physiquement, on etudiemaintenant l’evolution du cone dans un milieu absorbant caracterise par une longueurd’absorption la (On definit aussi le temps τa = la/c). L’absorption est controlee par l’ad-dition d’un colorant (figure 5.5). On coupe ainsi la contribution des trajectoires de longueursuperieure a la.

La probabilite Pd(r1, r2) d’aller de r1 a r2 sans etre absorbe devient :

Pd(r1, r2) =1

4πDRe−R/La , R = |r1 − r2| (5.12)

ou la longueur La est donnee par La =√Dτa =

√lale/3. En reprenant les etapes du

calcul precedent et en utilisant (9.30), on constate facilement qu’il suffit de remplacer k⊥par ka =

√k2a + 1/L2

a de sorte que le facteur d’amplification r(θ) devient

r(θ) =1(

1 +√

(kleθ)2 + 3le/la

)2 (5.13)

Il y a donc a la fois reduction et arrondissement du cone. C’est ce qui est observe sur lafigure (5.5).

1. La presentation faite dans ce chapitre de la retrodiffusion coherente a ete simplifiee. En particulier,on a decrit la propagation d’ondes scalaires. Or la polarisation de la lumiere joue un role important, carelle peut tourner pendant le processus de diffusion multiple. Sa description depasse le cadre de ce cours.


lale=¥,40,10

-2 -1 0 1 20.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Θ

rHΘL

ANGLE θ (degrees)

-.5 .50

α (θ) / αd0

1

2

0 5-5 θ (mrd)

la = ∝la = 810 µm

la = 190 µm

Figure 5.5 – Evolution du cone de retrodiffusion coherente en presence d’absorption. A gauche,comportement decrit par l’equation (5.13). A droite, mesure obtenue avec une suspension aqueusede spheres de polystyrene dans laquelle un colorant a ete additionne (P.Wolf et al., Optical coherentbackscattering by random media : an experimental study, J. Physique 49, 63 (1988)).

5.4 Manifestations de la retrodiffusion coherente

Il est relativement facile de mettre en evidence le cone de retrodiffusion coherente,mais sa largeur (typiquement inferieure a 1) depend de la nature des diffuseurs et dulibre parcours moyen de la lumiere dans le milieu desordonne (eq. 5.11). La figure (5.6)montre l’intensite reflechie par differents milieux diffusants.

Figure 5.6 – Cones de retrodiffusion coherente obtenus pour differents materiaux pour la longueurd’onde λ = 0.514µm (R. Lenke et G. Maret, multiple scattering of light, coherent backscatteringand transmission, Prog. Colloid Polym. Sci. 104, 126 (1997)).

L’etude de la retrodiffusion coherente est un exemple actuel de recherche dans le do-maine de la propagation des ondes dans les milieux desordonnes. C’est un sujet de recherchetres original et actif, avec des applications potentielles comme la caracterisation de tissusbiologiques (detection de cellules cancereuses par exemple). Dans un registre plus fonda-mental, mentionnons la retrodiffusion coherente d’un faisceau laser par un gaz d’atomes

5.4 Manifestations de la retrodiffusion coherente 111

froids (G. Labeyrie et al., Coherent backscattering of light by cold atoms : theory meetsexperiment, Europhys. Lett. 61, 327 (2003)).

Ce phenomene de retrodiffusion coherente n’est pas limite a l’optique, mais se ren-contre dans de nombreuses situations physiques ou des ondes sont reflechies par un milieudiffusant. Recemment a ete observee la retrodiffusion coherente d’ondes de matiere (unnuage d’atomes ultra-froids) par un potentiel desordonne constitue d’un speckle optiquedans lequel les atomes se propagent de facon diffusive et coherente (F. Jendrzejewski etal., Coherent backscattering of ultra-cold atoms, Phys. Rev. Lett. 109), 195302 (2012)).

Ce phenomene est aussi observe avec ces ondes acoustiques, et meme des ondes sis-miques ! Une experience a consiste a frapper avec une masse sur une plaque d’aluminiumposee au sol et a mesurer le signal recu en fonction de la distance a la source, a l’aidede capteur de micro-vibrations sismiques appeles geophones (schema figure 5.7). Le signalrecu est plus important au voisinage de la source.

Figure 5.7 – Schema de principe pour la mesure de retrodiffusion d’ondes sismiques (E. Laroseet al., Weak Localization of Seismic Waves, Phys. Rev. Lett. 93, 048501 (2004)).

Figure 5.8 – Retrodiffusion de la lumiere par les anneaux de Saturne, image obtenue par la sondeCassini en 2006 (http ://saturn.jpl.nasa.gov).

Mentionnons pour finir cette curiosite : l’intensite du rayonnement solaire reflechie par


les anneaux de Saturne presente un maximum dans la direction de retrodiffusion (figure5.8). Il est probable qu’il s’agisse ici aussi de retrodiffusion coherente.

En conclusion, il est interessant de comparer la nature des trajectoires de diffusion im-pliquees dans les deux phenomenes physiques que sont la localisation faible et la retrodiffusioncoherente. Si dans les deux cas, il s’agit de la contribution a l’intensite moyenne de l’appa-riement de trajectoires conjuguees par renversement du temps, la nature des trajectoiressemble tres differente. Il n’en est rien. Dans les deux cas, cet appariement est realise grace aun croisement de trajectoires (le croisement quantique discute dans le chapitre precedent).Dans le cas de la localisation faible, ce croisement s’effectue dans l’echantillon et impliquequatre collisions (figure 4.10). Dans le cas de la retrodiffusion coherente, le croisement alieu a l’exterieur de l’echantillon (a l’infini pour des ondes places). Cela se traduit par deseffets d’amplitude tres differentes. Pour la localisation faible, la correction est tres faible,d’ordre 1/g. Pour la retrodiffusion coherente, l’effet est grand (doublement de l’intensite)mais dans une fenetre angulaire extremement faible, d’ordre 1/kle.

Figure 5.9 – Localisation faible et retrodiffusion coherente sont des manifestations de la coherencequantique. Cette figure montre comment sont impliques les croisements de trajectoires.

Chapitre 6

Le graphene

Figure 6.1 – Simulation d’une feuille de graphene libre. Elle tend a se gondoler pour former des”vagues” qui peuvent affecter les proprietes electroniques.

A l’automne 2010, le Prix Nobel de Physique a ete attribue a A. Geim et K. Novoselov,deux chercheurs de l’Universite de Manchester, pour ”leurs experiences remarquables surle graphene, materiau bidimensionnel”.

Avec le diamant, le graphite, les nanotubes et les fullerenes, il constitue une formeallotropique du carbone (figure 6.2). Mais c’est un cristal tout a fait remarquable, puis-qu’il s’agit du premier cristal parfaitement bidimensionnel, etant constitue d’une couchemonoatomique d’atomes de carbone. Il n’y a pas si longtemps, il etait considere comme uncristal ”hypothetique” auquel on faisait reference par exemple pour expliquer la structurecristalline des nanotubes de carbone, un nanotube etant constitue d’un plan de grapheneenroule sur lui-meme. Certains arguments thermodynamiques concluaient a l’instabilited’un tel cristal bidimensionnel. Aussi, bien que plusieurs equipes s’interessaient a l’obten-tion de feuilles de graphite de plus en plus fines, l’annonce de la decouverte en 2004 demonocouches de carbone eut un retentissement important.

La beaute de cette decouverte tient aussi a sa simplicite. La methode dite du scotch estdans son principe et meme dans sa realisation extremement simple. Il s’agit de cliver uncristal de graphite, dont on sait depuis longtemps qu’il est constitue de plans atomiquesde structure hexagonale, faiblement couples par des liaisons van der Walls. On deposeune faible epaisseur de graphite sur le scotch que l’on replie sur lui-meme puis que l’on

114 Le graphene

Figure 6.2 – Les formes allotropiques du carbone sont des realisations ideales d’objets tri-, bi-,uni- ou zero–dimensionnels.

ouvre et referme plusieurs fois, en fabriquant ainsi des couches de plus en plus fines de gra-phite. C’est pratiquement le reve de Democrite qui se realise : en divisant successivementla matiere, on atteint l’unite indivisible. C’est exactement ce qui est realise ici, l’uniten’etant pas un atome, mais un plan atomique. Et c’est ce qu’a permis de faire le scotch !La suite de l’operation consiste a deposer les morceaux tres fins obtenus, dont rien ne ga-rantit encore qu’ils soient monoatomiques, sur un substrat de silice (SiO2), habituellementutilise a cause de ses proprietes mecaniques. Il reste a pouvoir observer ces fines feuilles deun ou quelques plans atomiques : il ne suffit pas de fabriquer ces feuillets, il faut pouvoirles localiser et les caracteriser (on a compare la recherche d’une feuille de graphene sur lesubstrat a celle d’un banc dans la ville de Paris depuis un helicoptere). Or, il se trouveque l’epaisseur du substrat de silice est de 300nm, du meme ordre de grandeur qu’une lon-gueur d’onde lumineuse, et que l’ajout d’une seule monocouche atomique est suffisant pourmodifier le contraste. Ainsi un simple microscope permet de reperer et de distinguer desfeuillets monocouches, bicouches ou multicouches. Selon Geim et Novoselov, ”If not thissimple yet effective way to scan substrate in search of graphene cristallites, they wouldprobably remain undiscovered today”. Il existe ensuite d’autres methodes plus sophis-tiquees permettant d’identifier et de caracteriser ces feuillets, comme le microscope a forceatomique ou la diffusion Raman. L’experience qui a permis de mettre definitivement enevidence l’existence du graphene fut realisee en 2005 par la meme equipe de Manchester etpar une autre equipe de Columbia University, c’est l’observation de l’effet Hall quantique.Cette experience confirmait par ailleurs la structure electronique tout a fait particuliere dugraphene, et montrait aussi que les bicouches de graphene ont des proprietes radicalementdifferentes des monocouches.

Il reste ensuite a contacter le graphene obtenu. La figure (6.5) montre la feuille de graphenesur le substrat de SiO2 et contactee a des plots d’or. L’ensemble graphene-SiO2-Si dopeforme ainsi un condensateur d’epaisseur l = 300nm. On peut ainsi controler la charge dela feuille de graphene en appliquant une tension Vg au condensateur ainsi forme.

La methode de fabrication que nous venons de decrire est dite du graphene exfolie,n’est pas la seule. Une autre methode, dite du graphene epitaxie, a ete developpee a peu

115

Figure 6.3 – La feuille de graphene, element constituant de plusieurs varietes allotropiques ducarbone, les fullerenes, les nanotubes et le graphite.

Figure 6.4 – Feuillets de graphene monocouches, bicouches, ou multicouches observes au micro-scope optique.

pres en meme temps que la precedente et consiste a partir d’un echantillon de carburede silicium (SiC), et a chauffer la surface sous vide afin d’evaporer les atomes de Si.Les atomes de carbone restant en surface se reorganisent en couches de graphene. Unetroisieme methode, dite CVD (Chemical Vapor Decomposition), consiste a condenser unevapeur de carbone sur une surface metallique. Sous certaines conditions se forme aussi ensurface une couche de graphene. Ces differentes methodes de fabrication se developpentet s’ameliorent tres rapidement. Alors que les premiers echantillons avaient des tailles dequelques µm2, on peut maintenant fabriquer des echantillons de plusieurs cm2. On peutles etudier sur differents substrats et aussi dans l’etat suspendu. Par differentes methodesde lithographie, on sait aussi en faire des rubans.

Pourquoi le graphene est-il si interessant ?

* Tout d’abord parce que c’est le premier cristal parfaitement bidimensionnel, faitd’une seule couche atomique. On pourrait penser que sa stabilite requiert son depot surun substrat. Ce n’est pas le cas. On sait maintenant fabriquer du graphene suspendu,parfaitement libre et dont la structure ressemble a la vue d’artiste de la figure (6.1).

116 Le graphene

Figure 6.5 – L’ensemble graphene-SiO2-Si dope forme un condensateur. L’application d’unetension de grille Vg permet de moduler la densite nc porteurs dans la feuille de graphene par effetcapacitif.

* La structure de bande du graphene est tout a fait exceptionnelle. Les electrons secomportent comme des particules relativistes sans masse (comme de neutrinos charges,pour etre plus precis, d’ou le titre provocateur des premiers seminaires donnes par lesdecouvreurs : quantum electrodynamics in a pencil trace). Cette propriete a conduit lesphysiciens a reconsiderer toutes les proprietes electroniques des solides dans ce nouveaucadre conceptuel, en particulier de decouvrir des effets alors inobserves car reserves ades particules de tres haute energie, comme l’effet Klein, discute en 1928, juste apres ladescription par Dirac des particules quantiques relativistes.

* Il est possible de controler la densite de porteurs par effet capacitif. La charge Qportee par la couche de graphene est controlee par la tension Vg appliquee au condensateurgraphene-SiO2-Si

Q = CgVg , Cg =ϵ0ϵrl

(6.1)

Cg est la capacite de l’ensemble. Ainsi la densite nc de porteurs de charge est donnee parnc = Q/|e| :

nc = αVg . (6.2)

Pour une epaisseur l = 300nm de SiO2 dont la permittivite relative est ϵ ≃ 4, le pa-rametre α est de l’ordre de 7 1010cm−2V −1. Cette variation lineaire du nombre de porteurs,electrons ou trous, est mesuree par effet Hall (figure 6.6).

* Du cote applicatif, la vitesse des electrons etant tres grande, un ordre de grandeursuperieure a sa valeur dans les semiconducteurs, il est concevable de fabriquer dans lefutur des circuits integres de transistors plus rapides que dans le silicium. Par ailleurs, saforte conductivite electrique, sa transparence optique et sa flexibilite devraient permettredes applications vers les ecrans tactiles.

6.1 Structure de bande du graphene

La structure en nid d’abeilles du graphene est due a l’hybridation sp2 des orbitalesatomiques du carbone, orbitales qui pointent dans un plan, dans des directions a 120 lesunes des autres (figure 6.7). Chaque atome de carbone possede six electrons, dont deuxelectrons profonds dans l’orbitale 1s. Des quatres electrons restant dans les orbitales 2set 2p, trois remplissent les orbitales hybridees sp2 et participent a la liaison covalenteentre les atomes de carbone. Le dernier electron remplit l’orbitale restante 2pz. C’est le

6.1 Structure de bande du graphene 117

Figure 6.6 – Variation de l’effet Hall en fonction de la tension de grille. L’inverse de laresistivite de Hall mesure directement la densite de porteurs nc : 1/ρxy = nc|e|B et leur signe.Cette experience montre de facon spectaculaire la dependance lineaire du nombre de porteurs enfonction de la tension de grille Vg. Les trois figures schematiques montrent la relation de dispersion(voir plus loin) la position du niveau de Fermi correspondant aux trois regions.

Figure 6.7 – Orbitales sp2 et pz.

recouvrement des orbitales atomiques 2pz qui conduit a la delocalisation des electrons 2pzdans le cristal (exactement comme la delocalisation des electrons π dans le benzene). Ondecrit la bande electronique associee a ce recouvrement des orbitales pz par la methodedes liaisons fortes. Puisqu’il y a un electron libre par atome de carbone, cette dernierebande est a moitie remplie.

Une caracteristique essentielle du reseau en ”nid d’abeilles” est que ce n’est pas unreseau de Bravais. La figure (6.8) montre le reseau reel avec deux vecteurs de transla-tion elementaires a1 et a2. Il n’est pas possible de reconstituer le cristal par transla-tions multiples de ces translations elementaires. Le cristal graphene est constitue d’unreseau, le reseau de Bravais triangulaire, et de deux atomes par maille elementaire. Celaest schematise sur la figure (6.8) ou les deux atomes inequivalents (mais bien sur identiqueschimiquement) sont reperes a l’aide de deux couleurs differentes. Cette structure est es-sentielle et va conditionner la nature des fonctions d’onde electroniques et de nombreusesproprietes du graphene.

Avant de calculer la structure electronique, il est utile de decrire le reseau reel et le

reseau reciproque. La distance interatomique a = 1, 2A, et a1 et a2 sont deux vecteurs

118 Le graphene

Réseau de Bravais triangulaire + 2 atomes par cellule unité

Le réseau « !"#"$%&'!((') *#+$'),#-%)#.+#/0)'%.#"'#1/%2%!)

a=1.42 A

t1a

2a

t=2.8eV0 1

3a a a

a = distance C-Ca0 = paramètre de maille

Figure 6.8 – Structure atomique du graphene. Le reeau en ”nid d’abeilles” est un reseau deBravais triangulaire avec deux atomes par mailles.

de base du reseau reel 1. Leur longueur, appelee parametre de maille, est a0 = |a1| =|a2| = a

√3. Le reseau reciproque est represente sur la figure (6.9). C’est aussi un reseau

triangulaire. On rappelle que les vecteurs elementaires, notes a∗1 et a∗2, du reseau reciproque

verifient

a∗i · a∗j = 2πδij (6.4)

Ils sont indiques sur la figure (6.9), ainsi que la premiere zone de Brillouin. On a aussimentionne les distances entre quelques points particuliers de l’espace reciproque.

On se propose d’etudier la structure de cette bande, dans l’approximation des liai-sons fortes. On suppose que l’hamiltonien atomique n’admet qu’une valeur propre nondegeneree, associee a un etat |φ⟩. On note |φA

j ⟩ [resp. |φBj ⟩] l’etat centre sur le site (j, A)

[resp. (j, B)], c’est-a-dire le site A [resp. B] de la maille elementaire j. Ainsi :

⟨r |φ⟩ = φ(r)

⟨r |φAj ⟩ = φ(r −Rj)

⟨r |φBj ⟩ = φ(r −Rj − d)

ou d est le vecteur qui relie A et B. On cherche des solutions de l’hamiltonien total sousla forme de combinaisons lineaires d’etats atomiques satisfaisant le theoreme de Bloch :

|ψk⟩ =1√N

∑j

( λA|φAj ⟩+ λB|φB

j ⟩ ) eik.Rj

j est l’indice de maille et dans chaque maille, il faut chercher une combinaison lineairedes deux fonctions atomiques centrees sur les atomes A et B. On suppose que les etats

1. On choisit icia1 =

a

2(√3, 3) , a1 =

a

2(−

√3, 3) . (6.3)


Figure 6.9 – Reseaux reel et reciproque.

centres sur des atomes differents ont un recouvrement tres faible, de sorte que : ⟨φAj |φA

j′⟩ =⟨φB

j |φBj′⟩ = δj,j′ et ⟨φA

j |φBj′⟩ = 0. Enfin, on suppose que les seuls elements de matrice non

nuls de l’hamiltonien H sont les elements diagonaux :

⟨φAj |H|φA

j ⟩ = ⟨φBj |H|φB

j ⟩ = ε0

ainsi que les integrales de transfert entre sites premiers voisins :

⟨φAj |H|φB

j′⟩ = −t , pour (j, A) et (j′, B) premiers voisins ,

⟨φAj |H|φB

j′⟩ = 0 , sinon ,

ou t = 2, 8eV . En projetant l’equation de Schrodinger : H|ψk⟩ = ε|ψk⟩ sur deux etatsatomiques |φA

l ⟩ et |φBl ⟩, on obtient deux equations couplees pour les coefficients λA et

λB :

ε0λA − tλB (1 + eik.a1 + eik.a2) = ελA

ε0λB − tλA (1 + e−ik.a1 + e−ik.a2) = ελB (6.5)

Ce systeme d’equations peut etre mis sous la forme

Heff ψk = ε(k)ψk (6.6)

ou on a introduit l’hamiltonien effectif de dimension 2, et on a pris l’origine des energiesen ε0 :

Heff =

(0 f∗(k)

f(k) 0

), (6.7)

avec f(k) = −t(1 + e−ik.a1 + e−ik.a2). La fonction d’onde ψk a deux composantes ψk =(λAλB

). Pour chaque etat k, λA et λB sont les amplitudes de la fonction d’onde sur les

120 Le graphene

deux sites A et B. En introduisant module et phase de la fonction f(k), l’hamiltonien serecrit

Heff = |f(k)|(

0 e−iθk

eiθk 0

), θk = arg[f(k)] (6.8)

Les valeurs propres ε(k) sont donc donnees par ε(k) = ±|f(k)|, c’est-a-dire 2

ε(k) = ±t |1 + eik.a1 + eik.a2 | (6.11)

et les fonctions propres normalises sont donnees par

ψ(k) =1√2

(1

±eiθk

), (6.12)

le signe ± correspondant respectivement aux bandes superieure et inferieure.

Figure 6.10 – Le spectre ε(k) donne par (6.11) est une tres bonne approximation pour le graphene.On a neglige ici le couplage t′ entre seconds voisins qui ne joue pas un role important. L’energies’annule en deux points K et K ′ non equivalents. Au voisinage de ces points, appeles points deDirac, la relation de dispersion est lineaire.

Le spectre obtenu, represente sur la figure (6.10) est tout a fait remarquable. Il estconstitue de deux sous-bandes, comprises entre −3t et 3t, qui se touchent en un ensemblede points discrets. Sur la figure on compte six points, mais il n’existe en fait que deux

2. La relation de dispersion se met aussi sous la forme

εk = ± [3 + 2 cosk.a1 + 2 cosk.a2 + 2 cosk.(a1 − a2)]1/2 , (6.9)

et on rencontre souvent dans la litterature, l’expression en coordonnees cartesiennes (en utilisant les coor-donnees 6.3)

εk = ±[3 + 2 cos

√3kxa+ 4 cos

√3

2kxa cos

3

2kya

]1/2

. (6.10)


Figure 6.11 – Lignes isoenergie, correspondant au spectre ε(k) de la figure (6.10), et positiondes deux points de Dirac, aux coins de la Zone de Brillouin.

points differents. Les coordonnees de ces points, appeles points de Dirac et notes K et K ′,solutions de ε(k) = 0 sont donnees par

K(′) = ±1

3(a∗1 − a∗2) +G (6.13)

ou a∗1 et a∗2 sont les vecteurs elementaires du reseau reciproque et ou le vecteur G designetout vecteur du reseau reciproque.

Le relation de dispersion presente plusieurs caracteristiques qu’il est interessant dediscuter. En haut et bas de bande, c’est-a-dire autour du vecteur d’onde k = 0 et auvoisinage des energies ±3t, la structure de bande est parabolique. On peut montrer quel’energie varie comme

ε(k) = ±t(3− 3

4k2a2

). (6.14)

Les etats electroniques au voisinage de ces energies ressemblent donc a des etats d’electronslibre avec une masse effective m∗ definie par ~2/2m∗ = 9ta2/4. Autour des energies ±t,la structure de bande est aussi tout a fait particuliere puisqu’elle presente des points”selle” : l’energie augmente quadratiquement avec le vecteur d’onde dans une directionmais diminue dans l’autre. En fait ces regions du spectre nous interessent peu ici, car lesetats correspondant sont soit vides soit occupes, le niveau de Fermi se trouvant en ε = 0.

Puisqu’il y a un electron pz par atome de carbone, l’energie de Fermi se situe exac-tement entre les deux bandes, au point d’energie nulle. La surface de Fermi n’est doncconstituee que des deux points K et K ′. Le graphene n’est donc pas un metal puisqueson spectre presente un gap, mais ce gap s’annule au niveau de Fermi. On parle de se-miconducteur a gap nul. Afin de comprendre les proprietes physiques du graphene, ondoit s’interesser a son spectre au voisinage de l’energie nulle. Pour cela, on effectue undeveloppement autour des deux points K (Le voisinage d’un point K s’appelle une vallee).

122 Le graphene

Le developpement de la fonction f(k) s’ecrit, en notant k = K(′) + q,

f(K(′) + q) =3

2ta(±qx − iqy) . (6.15)

Le spectre d’energie autour des points K et K ′ a donc la forme

ε(q) = ±3

2t a |q| . (6.16)

L’energie varie lineairement en fonction du vecteur d’onde. Le spectre est identique acelui d’un photon (on compare plutot a celui d’un neutrino, qui comme l’electron est unfermion, alors que le photon est un boson). On caracterise d’ailleurs ce spectre par unevitesse qui jouerait le role de la vitesse de la lumiere, et qui est donnee par

c = vF =3

2

ta

~(6.17)

Cette vitesse, la vitesse de Fermi, dans le graphene est de l’ordre de 106m/s, soit 300 foisplus petite que la vitesse de la lumiere.

Ainsi la relation de dispersion autour des points de Dirac, qui se met sous la forme

ε(q) = ±~vF |q| , (6.18)

est a l’origine des proprietes electroniques tout a fait originales du graphene dont nousdonnons maintenant quelques elements. Notons pour commencer, qu’au voisinage d’unpoint K ou K ′, apres linearisation de la fonction f , l’hamiltonien effectif (6.7) s’ecrit :

Heff = c

(mDc px − ipy

px + ipy −mDc

)(6.19)

ou p = ~q. Le lecteur averti reconnaıtra sous cette forme l’equation de Dirac en dimension

2 pour une particule de masse mD et dont le spectre est ε(q) = ±√p2c2 +m2

Dc4. En

introduisant les matrices de Pauli (9.12), il est parfois ecrit sous la forme

Heff = c σ · p+mDc2 σz (6.20)

ou σ = (σx, σz). Ici les energies de site sur les deux sous-reseaux etant identiques, la massemD est ici nulle. Pour le nitrure de bore (BN) dont la structure est identique au graphenemais ou les energies des sites B et N sont differentes, la masse mD est non nulle et elle estdonnee par mDc

2 = |εB − εN |/2 ou εB et εN sont les energies de site des atomes de boreet d’azote.

6.2 Quelques proprietes physiques du graphene

Une propriete interessante du graphene est qu’il peut etre dope facilement par effetcapacitif. On peut ainsi deplacer l’energie de Fermi au voisinage du point de Dirac, parconsequent atteindre deux regimes differents, selon que la temperature est plus grandeou plus petite que la temperature de Fermi. Il faut donc dans un premier temps savoircomment l’energie de Fermi (qui est nulle a dopage nul) varie lorsque on varie la tensionde grille Vg et donc la densite de porteurs nc.

6.2 Quelques proprietes physiques du graphene 123

ΡHΕ L

Ε

-3 -2 -1 0 1 2 30.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Figure 6.12 – A gauche : relation de dispersion (6.11). A droite : densite d’etats correspondante,pour les deux directions de spin. Celle-ci a une expression analytique. Elle varie lineairement autourde ε = 0 (eq. 6.23). En bord de bande, a partir de (6.14), on peut montrer que ρ(ε) → 2/(3πta2).Sur cette figure, on a pris t = a = 1.

6.2.1 Densite d’etats

Commencons par calculer la dependence en energie de la densite nc (positive ounegative) de porteurs. Celle-ci est proportionnelle au volume de l’espace des moments :

nc(ε) =4

(2π)2πk2 =

k2

π=

ε2

π~2v2F(6.21)

Le facteur 4 tient compte des degenerescences de spin et de vallee. On obtient ainsi unerelation importante entre l’energie de Fermi et la densite de porteurs

εF = ~vF |kF | = ~vF√π|nc| (6.22)

et la dependence en energie de la densite d’etats ρ(ε) = ∂nc/∂ε

ρ(ε) =2

π~2v2F|ε| (6.23)

La densite d’etats varie lineairement autour du point de demi-remplissage ou elles’annule. Cette variation particuliere conditionne les proprietes physiques originales dugraphene. Le graphene non dope n’est donc pas metallique puisqu’il n’y a pas d’etats auniveau de Fermi. Ce n’est pas non plus un isolant puisqu’il n’y a pas de gap. Le dopageinduit par la tension de grille Vg va dont jouer un role primordial.

Nous avons vu que la densite de porteurs nc peut etre modulee par effect capacitif,nc = αVg (relation 6.2) Ainsi l’energie de Fermi depend de la tension de grille Vg appliquee :

TF =~vFkB

√π|nc| =

~vFkB

√πα|Vg| (6.24)

Cette temperature caracteristique separe deux regimes, le regime du gaz degenereT ≪ TF et le regime classique T ≫ TF . La physique du demi-remplissage (TF = 0) estdonc celle d’un gaz classique (figure 6.13).

124 Le graphene

Figure 6.13 – Variation de la temperature de Fermi en fonction de la densite de porteurs nc.Cette variation definit deux regions aux proprietes physiques distinctes.

6.2.2 Chaleur specifique

On rappelle que la chaleur specifique est donnee par C(T ) = ∂E/∂T , ou E est l’energiemoyenne a temperature T . On considere ici le cas du demi-remplissage, c’est-a-dire ouεF = 0.

Avant tout calcul, rappelons d’abord pourquoi la chaleur specifique d’un gaz parfaitest constante, et celle d’un metal (la contribution des electrons) varie lineairement entemperature. Dans un gaz parfait, elle est constante parce que l’energie moyenne d’unemolecule est d’ordre kBT (le prefacteur dependant du nombre de degres de liberte in-ternes). Dans un metal, l’energie moyenne que peut echanger chaque electron est aussid’ordre kBT , mais a cause du principe de Pauli, et de la distribution de Fermi, seule unefraction kBT/εF peut etre excitee thermiquement, d’ou une energie moyenne proportion-nelle a T 2 et une chaleur specifique proportionnelle a T . Dans le graphene, la densited’etats s’annule lineairement autour du point de Dirac. La fraction d’electron thermique-ment actives dans une tranche d’energie kBT varie donc comme T 2, d’ou une energiemoyenne en T 3 et une chaleur specifique en T 2. Plus precisement, l’energie moyenne estdonnee par

E =

∫ ∞∞

ερ(ε)f(ε)dε (6.25)

ou f(ε) = 1/(eβ(ε−εF ) + 1) est le facteur de Fermi. On voit deja que f etant une fonctionde ε/T , si la densite d’etats varie comme une loi de puissance εα, alors l’energie moyennevarie comme Tα+2 et la chaleur specifique comme Tα+1. Ici, en utilisant la forme (6.23)de la densite d’etats, l’expression de la vitesse de Fermi et la relation (9.17), on obtientfinalement

C(T ) =8ζ(3)

πkB

(kBT

ta

)2

(6.26)

Cette expression correspond au cas ou εF = 0. Si on dope le systeme pour atteindre lalimite TF ≫ T , alors la chaleur specifique redevient lineaire en T .


Figure 6.14 – Variation de la conductivite en fonction de la tension de grille pour du grapheneexfolie depose sur SiO2.

6.2.3 Conductivite

Pour calculer la conducticite, partons de la formule d’Einstein qui la relie directementa la densite d’etats (voir PC). A temperature nulle,

σ(εF , 0) = e2Dρ(ε) (6.27)

ou le coefficient de diffusion est D = vF le/2 et la densite d’etats est donnee par (6.23). Onobtient ainsi 3

σ(εF , 0) = 2e2

hkF le (6.29)

La conductivite a temperature finie se deduit de son expression a temperature nulle

σ(εF , T ) =

∫σ(ε, 0)

(−∂f∂ε

)dε (6.30)

La encore, on distingue deux regimes. Si T ≫ TF , prenons alors la limite simple εF = 0.En utilisant (9.14), on obtient

σ(0, T ) = 4e2

h

le~vF

∫ ∞0

ε

(−∂f∂ε

)dε = 4 ln 2

e2

h

kBTτe~

(6.31)

Dans la limite inverse, T ≪ TF , on garde l’expression a temperature nulle (6.29) 4

3. En toute generalite, a deux dimensions, la conductivite a temperature nulle peut se mettre sous laforme

σ(εF , 0) = se2

2hkF le (6.28)

ou s est la degenerescence des degres de liberte internes. Ici s = 4 (spin 1/2 et deux vallees K et K′).4. Pour toute temperature un calcul plus precis donne, en utilisant (9.14) :

σ(εF , T ) = 2e2

h

kBTτe~

ln(2 + 2 coshβεF ) (6.32)

126 Le graphene

La figure 6.14 montre la dependence observee experimentalement de la conductiviteen fonction de la tension de grille Vg, dans un regime correspondant a T ≪ TF . D’apres larelation (6.29), si le libre moyen etait constant, on s’attendrait a une dependance en

√Vg,

car σ ∝ kF ∝√

|nc| ∝√Vg. Afin de comprendre le comportement observe lineaire en Vg,

il faut donc supposer que le libre parcours moyen le n’est pas constant mais qu’il varie en√Vg. Cette variation σ(Vg) mesuree experimentalement est encore controversee et semble

dependre de la nature du substrat et des impuretes.

6.2.4 Niveaux de Landau dans le graphene

La structure particuliere de la fonction d’onde (a deux composantes) dans le grapheneainsi que le spectre lineaire a basse energie (autour de ε = 0) se traduisent, sous champmagnetique, par un comportement radicalement different de celui de particules massives.La decouverte et la mesure de l’effet Hall quantique dans le graphene ont montre sans am-biguıte d’une part que le graphene est parfaitement bidimensionnel et d’autre part qu’il estbien decrit par une equation de Dirac pour une particule sans masse. C’est veritablementla realisation de cette experience qui a ete recompensee par le prix Nobel de Physique2010. On cherche ici a obtenir le spectre electronique de basse energie du graphene, enpresence de champ magnetique.

On part de l’hamiltonien en l’absence de champ magnetique, linearise autour d’un desdeux points K :

H = vF

(0 px − ipy

px + ipy 0

). (6.33)

On applique un champ magnetiqueB dans la direction perpendiculaire au plan de graphene.En choisissant la jauge de Landau A = (0, Bx, 0), l’hamiltonien devient

H = vF

(0 px − i(py + eBx)

px + i(py + eBx) 0

). (6.34)

Comme l’hamiltonien commute avec py, on cherche des solutions sous la forme

ψ(r) = ψ(x)eikyy (6.35)

ou ψ(x) est solution de

vF

(0 px − i(~ky + eBx)

px + i(~ky + eBx) 0

)ψ(x) = εψ(x) . (6.36)

Tout comme en champ nul, une caracteristique de cet hamiltonien 2× 2 est que son carreest un operateur diagonal :

H2 = v2F

(p2x + (~ky + eBx)2 + ~eB 0

0 p2x + (~ky + eBx)2 − ~eB

).

On a utilise la relation de commutation [x, px] = i~. En introduisant les observablessans dimension (on rappelle que ℓB =

√~/eB est la longueur magnetique) X = (x +

~ky/eB)/ℓB = (x + ~ky/eB)√eB/~ et P = pxℓB/~ = p/

√~eB, l’hamiltonien effectif

devient

H2 = v2F~eB(P 2 + X2 + 1 0

0 P 2 + X2 − 1

)


Figure 6.15 – Haut : Comparaison du spectre sous champ magnetique d’une particule massiveet d’une particule relativiste sans masse (c ≡ vF ). Bas : Evolution des niveaux de Landau avecle champ magnetique pour une particule massive et d’une particule relativiste sans masse. On aindique la valeur de la conductance quantifiee de Hall entre chaque niveau de Landau.

avec [X,P ] = i. On rappelle (cf. oscillateur harmonique) que l’operateur P 2+X2 = 2n+1,ou n est l’operateur nombre. On en deduit que les valeurs propres de H2 sont donnes par2n v2F~eB ou n ∈ N. Le spectre de H est donc quantifie en niveaux discrets, les niveauxde Landau, dont les energies sont donnees par

εn = ±vF√2n~eB (6.37)

Par ailleurs un argument tout a fait identique a celui utilise pour une particule massive(eq. 3.22), qui consiste a compter le nombre de valeurs possibles du vecteur d’onde ky,montre que la degenerescence des niveaux de Landau est toujours nB = eB/h, qu’il fauttoutefois multiplier par un facteur 2 pour tenir compte de la degenerescence de vallee (Ket K ′).

La figure (6.15) compare le spectre de Landau d’une particule massive decrite parl’equation de Schrodinger et celui d’une particule relativiste sans masse. On note trois

128 Le graphene

Figure 6.16 – A gauche, spectre de transmission infrarouge a travers une couche de graphene.Les pics d’absorption correspondent aux transitions entre niveaux de Landau, donc les energiessont indiquees sur la figure de droite (M.L. Sadowski et al., Landau level spectroscopy of ultrathingraphite layers, Phys. Rev. Lett. 97, 266405 (2006)).

differences essentielles qui caracterisent le spectre de la particule relativiste sans masse :i) les niveaux d’energie negative, ii) le spectre en

√B, iii) la dependance en n au lieu de

n+ 1/2 et par consequent l’existence d’un niveau de Landau d’energie nulle. L’energie dece niveau est independante du champ mais sa degenerescence 2eB/h augmente bien suravec le champ.

Ce spectre tout a fait particulier a pu etre sonde experimentalement par des mesuresde transmission infrarouge (figure 6.16). On observe un minimum de transmission lorsquel’energie du rayonnement incident correspond a la difference d’energie entre deux niveauxde Landau. On verifie ainsi que les position des pics varie comme (

√n−

√n′)

√B.

Enfin, la figure (6.17) compare la sequence des plateaux de l’effet Hall quantique pourun gaz 2D massif et pour le graphene (ici sans la degenerescence de spin). La sequenceσxy = (2i+ 1)e2/h correspond d’une part a la double degenerescence de vallee et a l’exis-tence du niveau d’energie nulle (figure 6.15). C’est l’observation de cette sequence quia montre sans ambiguıte que le spectre est decrit par une equation de Dirac 2D pourune particule sans masse (K.S Novoselov et al., Two-dimensional gas of massless Diracfermions in graphene, Nature, 438, 197 (2005)).


Figure 6.17 – Comparaison entre les plateaux de l’effet Hall quantique (g = gs = 2 est ladegenerescence de spin) pour une particule massive et d’une particule relativiste sans masse (g =gsgv = 4, ou gv = 2 est la degenerescence de vallee. Par vallee et par spin, on a donc σxy =(i+ 1/2)e2/h.

L’etude du graphene est un theme de recherche en plein developpement, en ce quiconcerne a la fois les aspects fondamentaux et appliques. Pour une lecture plus approfondiesur le sujet, on pourra consulter les references generales suivantes :

The rise of graphene, A. Geim and K. Novoselov, Nat. Mat. 6, 183 (2007)

The electronic properties of graphene, A.H. Castro Neto, F. Guinea, N.M.R. Peres, K.S.Novoselov and A.K. Geim, Rev. Mod. Phys. 81, 109 (2009)

Graphene : status and prospects, A. Geim, Science 324, 530 (2009)

130 Theorie des matrices aleatoires

Chapitre 7

Breve introduction a la theorie desmatrices aleatoires

7.1 Introduction

On a considere dans ce cours des signatures de la coherence de phase essentiellementsur des proprietes de transport comme la conductance electrique. Leur mise en evidencenecessite de coupler le milieu desordonne au monde exterieur, represente par les fils demesure pour la conductance. On peut aussi caracteriser un systeme quantique isole (c’est-a-dire non couple au monde exterieur) en s’interessant a ses proprietes spectrales. Et la naturedu spectre et de ses correlations conditionne un certain nombre des proprietes physiquesde ce systeme. Par exemple, il est en principe possible de lire directement sur le spectred’un metal desordonne si celui-ci est un bon ou un mauvais conducteur. La nature duspectre peut aussi conditionner le comportement des quantites thermodynamiques commel’aimantation en presence d’un champ magnetique, un aspect qui ne sera toutefois pasaborde dans ce cours.

Le but de ce chapitre est de decrire les proprietes spectrales d’un metal desordonne, ouplus generalement d’un systeme quantique chaotique, dans un sens que l’on precisera plusloin, par des methodes statistiques. Certaines de ces proprietes presentent des aspectsuniversels communs a de nombreux systemes physiques differents (noyaux, atomes oumolecules complexes, metaux, . . . ). Cette universalite est bien decrite par la theorie desmatrices aleatoires, dont on donne ici quelques elements.

7.1.1 Repulsion de niveaux et integrabilite

La figure 7.1.a presente deux spectres. Le premier est le spectre, obtenu numeriquement,d’un metal faiblement desordonne, c’est-a-dire pour lequel kF le ≫ 1. L’autre est celuid’une sequence de nombres aleatoires sans correlation, c’est-a-dire distribues selon uneloi de Poisson. Ces deux spectres sont tres differents. Celui du metal paraıt beaucoupplus ”regulier”. Une premiere facon de caracteriser ces differences consiste a etudier laprobabilite P (s) pour que deux niveaux d’energie premiers voisins soient distants de s,ou s est la distance entre ces deux niveaux voisins ∆n = ϵn+1 − ϵn, normalisee par ladistance moyenne ∆ = ∆n entre ces niveaux : s = ∆n/∆. La figure 7.1.b indique que pourle spectre du metal, la probabilite que deux niveaux soient tres proches tend vers 0, cequi est radicalement different pour un spectre sans correlation. Cette propriete, appelee

132 Breve introduction a la theorie des matrices aleatoires

(a)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3

P(s)

s

(b)

c

c

c

c

c

c

c

c

cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

uuuuuu

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu

Figure 7.1 – a) Comparaison du spectre d’un metal bon conducteur dans le regime kF le ≫ 1(a gauche) et d’un spectre poissonnien, c’est-a-dire correspondant a une distribution aleatoire deniveaux sans correlation (a droite). b) Distribution P (s) pour le spectre du metal (points noirs) etle spectre poissonnien (points blancs).

repulsion de niveaux est la signature de fortes correlations spectrales 1.

Il se trouve que ce comportement est tres general. Cette repulsion de niveaux estaussi observee dans les spectres d’energie d’une large gamme de systemes quantiques. Parexemple, la figure 7.2 montre un histogramme des ecarts entre niveaux tres excites denoyaux lourds. Remarquablement, cet histogramme est decrit par la meme distributionP (s) que celle d’un metal desordonne, et pourtant ces systemes sont tres differents. Lesnoyaux lourds contiennent un grand nombre de particules (les neutrons et les protons) eninteraction forte V (ri). C’est un systeme a N corps extremement complexe, decrit parun hamiltonien de la forme :

H =∑i

p2i2m

+ V (r1, r2, · · · , rN ) , p =~i∇ , (7.1)

impossible a resoudre par des methodes analytiques. Dans un metal, meme en negligeantl’interaction coulombienne entre les electrons, c’est le desordre, decrit par un potentielaleatoire a un corps V (r), qui induit la complexite :

h =p2

2m+ V (r) . (7.2)

Malgre leur difference, ces deux systemes physiques manifestent tous les deux cette rigiditespectrale bien decrite par lameme fonction P (s). Cette distribution est aussi observee dansd’autres systemes beaucoup plus simples comme le spectre de l’atome d’hydrogene sousfort champ magnetique.

1. Les resultats numeriques presentes dans ce chapitre pour le spectre d’un metal ont ete obtenus apartir du modele d’Anderson. C’est un modele de liaisons fortes dans lequel on a introduit une energie desite aleatoire. Les parametres qui le caracterisent sont l’energie t de saut d’un site a l’autre et la largeur enenergie W de la distribution du desordre sur un site. Dans ce modele, en dimension 3, la limite de faibledesordre kF le ≫ 1 correspond au cas W ≪Wc, ou Wc = 16, 5 t est une valeur critique au-dela de laquellele systeme devient isolant. La nature de cette transition et de cette phase isolante a ete et est encore l’objetde travaux theoriques importants.

7.1 Introduction 133

Figure 7.2 – Histogramme des ecarts entre niveaux de plusieurs noyaux lourds, determines pardiffusion de neutrons (donnees prises sur differents isotopes de Cd, Sm,Gd,Dy,Er, Y b,W, Th, U)(O. Bohigas, 1991). La distribution P (s) des ecarts entre niveaux premiers voisins est la memeque pour le spectre d’un metal.

Plus surprenant encore, l’apparition de ce type de correlations spectrales ne necessitepas un hamiltonien complique. Cette rigidite spectrale apparaıt de facon spectaculaire dansle spectre d’un systeme aussi simple que celui constitue d’une particule dans une ”boıte”.A deux dimensions, on appelle ces boıtes des billards. L’hamiltonien de ce systeme a deuxdegres de liberte, les deux composantes de l’impulsion, est reduit au terme cinetique et aupotentiel qui confine la particule dans le billard :

h =p2

2m+ V (r) , V (r) = 0 a l’interieur , V (r) = ∞ a l’exterieur du billard ,

(7.3)et l’equation de Schrodinger se reduit a une simple equation differentielle avec la conditionaux limites appropriee :

− ~2

2m∆ψ = ϵ ψ , ψ|bord = 0 . (7.4)

La figure 7.3 montre une resultat surprenant : la distribution de niveaux depend dela forme du billard ! Pour un billard rectangulaire, c’est la distribution d’un spectre sanscorrelation et pour un billard ayant la forme d’un stade, c’est une distribution identique acelle observee dans les systemes bien plus complexes que sont les noyaux lourds. En quoices deux billards sont-ils si differents ?

Pour un billard rectangulaire, il y a autant d’integrales du mouvement (l’energie et unecomposante de l’impulsion) que de degres de liberte et le comportement classique est doncparfaitement determine. Les energies propres sont indexees au moyen de deux nombresquantiques nx et ny correspondant aux deux composantes de l’impulsion et sont de la

forme E = ~22m

(n2x/a

2 + n2y/b2)ou nx et ny sont des entiers, a et b sont les dimensions

du rectangle. On dit que le systeme est integrable. A haute energie, si a et b ne sontpas commensurables, la repartition de ces valeurs propres correspond a une distributionpoissonnienne, c’est-a-dire sans correlation entre les niveaux (fig. 7.3). Par contre pourun billard de forme quelconque (ici la forme d’un stade), seule l’energie est une constantedu mouvement : le module de l’impulsion est toujours conserve lors d’une reflexion surles bords, mais pas chacune des composantes separement. On dit que le systeme est non-integrable. La figure 7.3 semble montrer que systemes integrables et non-integrables ontdes proprietes radicalement differentes.


Distribution de probabilité des écarts entre niveaux premiers voisins, P(s)

Répulsion des niveaux

Figure 7.3 – Distribution des ecarts entre niveaux premiers voisins pour un billard rectangulaire(distribution de Poisson) et un billard ayant la forme d’un stade. Les trajectoires classiques sontde natures radicalement differentes.

Une autre difference importante entre ces deux billards est le comportement des tra-jectoires classiques. Dans le billard rectangulaire, un faible ecart angulaire initial entredeux trajectoires reste faible, ce qui est heureux pour les amateurs chevronnes du jeu debillard a trois bandes. Dans le billard en forme de stade, un faible ecart initial divergeexponentiellement avec le nombre de rebonds. On dit que ce systeme est classiquementchaotique : on ne peut prevoir l’evolution des trajectoires aux temps longs (fig. 7.3).

Ainsi pour un systeme integrable, c’est-a-dire, dont le nombre de constantes du mou-vement est egal au nombre de degres de liberte, les trajectoires classiques sont stables etle spectre du probleme quantique correspondant est poissonnien. Pour un systeme non-integrable, le comportement classique est chaotique, c’est-a-dire que deux trajectoires ini-tialement proches se separent aux temps longs. Le spectre associe a ces formes met enevidence le phenomene de repulsion de niveaux, avec la meme distribution P (s) que pourle spectre d’un noyau lourd ou d’un metal ! Cette correspondance entre nature des trajec-toires classiques et correlations spectrales est une conjecture, dite de Bohigas-Giannoni-Schmit, sur laquelle on revient un peu plus loin.

Ainsi un noyau lourd, une molecule complexe, un metal desordonne ou un billardchaotique ont donc une caracteristique commune, a savoir une meme statistique entreniveaux d’energie premiers voisins. Pour ces differents systemes, a un corps ou a N corps,l’ensemble des bons nombres quantiques est inferieur a celui des degres de liberte. On lesappelle des systemes complexes.

Ce phenomene n’est pas propre aux spectres quantiques, mais se manifeste aussi dansle spectre d’equations d’ondes, electromagnetiques ou acoustiques. L’equation differentiellecorrespondante est l’equation de Helmholtz

∆ψ +ω2

c2ψ = 0 , ψ|bord = 0 . (7.5)

La figure 7.4 montre le spectre d’un billard tridimensionnel, equivalent du stade a deuxdimensions, qui presente la meme distribution P (s) .

7.2 Caracterisation des correlations spectrales 135

s

P(s)

-

Figure 7.4 – Histogramme des ecarts entre les frequences propres d’une cavite chaotique micro-ondes tridimensionnelle.

Qu’y a-t-il de commun a ces differents systemes complexes ? Comment caracteriserl’universalite de leur proprietes spectrales ? Pour cela, E.P. Wigner et F. Dyson ont pro-pose dans les annees 50-60 une description statistique tres generale de l’hamiltonien dessystemes complexes qui constitue la theorie des matrices aleatoires. Celle-ci a ete initiale-ment proposee afin de decrire les niveaux tres excites des noyaux lourds. Cette approcheconsiste a remplacer l’hamiltonien microscopique par une matrice dont les elements sontdes variables aleatoires independantes. L’interet de cette theorie est sa generalite et leresultat remarquable que la distribution des niveaux d’energie ainsi obtenue ne dependque de la symetrie de l’hamiltonien. Cette approche a ete appliquee a une large variete deproblemes en physique nucleaire et en physique atomique ou moleculaire. En physique dessolides, elle a ete utilisee pour la premiere fois par Gorkov et Eliashberg afin de decrirela polarisabilite de petits agregats metalliques. Dans ce cas, la complexite ne provientpas des interactions entre particules comme en physique nucleaire, mais des collisions quesubissent les electrons sur la surface irreguliere de l’agregat metallique qui constitue ainsiun exemple de billard dont la surface est aleatoire.

7.2 Caracterisation des correlations spectrales

Afin de caracteriser la distribution des energies propres ou les correlations spectrales,on introduit les quantites suivantes :

• La distribution P (s) des ecarts d’energie (normalises a l’ecart moyen ∆) entre ni-veaux premiers voisins.

• La fluctuation du nombre de niveaux N(E) contenus dans un intervalle d’energiedonnee E. Cette fonction N(E) appelee fonction de comptage n’est autre que ladensite d’etats integree sur un intervalle de largeur E (notee N<(E) dans le coursde physique statistique) :

N(E) = Ω

∫ E

0ρ(ϵ)dϵ =

∑α

Θ(E − ϵα) (7.6)


Elle augmente d’une unite pour chaque energie propre (Θ est la fonction de Heavi-side). La fluctuation du nombre de niveaux est donnee par la variance :

Σ2(E) = N(E)2 −N(E)2 (7.7)

ou . . . est une moyenne sur plusieurs regions du spectre (ou plusieurs configurationsde desordre dans le cas d’un potentiel desordonne).

On va maintenant s’interesser a ces deux quantites pour deux sequences de niveaux, lespectre poissonnien et un spectre de valeurs propres de matrices aleatoires.

7.3 Sequence poissonnienne

Pour une sequence de valeurs propres sans correlation, la probabilite P (s) s’ecrit :

P (s) = e−s (7.8)

ou s est exprime en unite de la distance moyenne entre niveaux.

Annexe : Demonstration de l’expression (7.8) de la distribution P (s) pour une sequencepoissonnienne.

On considere une sequence de N points dans un intervalle [0, L]. La probabilite d’une confi-guration donnee est constante :

P (ϵ1, ϵ2, · · · , ϵN ) =

(1

L

)N

.

Considerons deux niveaux premiers voisins ϵi et ϵi+1 et s la distance entre ces niveauxnormalisee a la distance moyenne ∆ = L/N : s = |ϵi − ϵi+1|/∆. La probabilite P (s) est leproduit des probabilites pj pour que chacun des autres niveaux ϵj ne soit pas dans l’intervalle[ϵi, ϵi+1]. Chacune de ces probabilites etant egale a pj = (1− |ϵi − ϵi+1|/L), on en deduit

P (s) =

(1− |ϵi − ϵi+1|

L

)N−2

≃(1− s

N

)N

−→N→∞

e−s .

Par ailleurs, comme le spectre est sans correlation, la variance est proportionnelle a lamoyenne.

Σ2(E) = N(E) =E

∆. (7.9)

7.4 Theorie des Matrices Aleatoires 137

7.4 Universalite des correlations spectrales : la theorie desmatrices aleatoires

Cette theorie repose sur une proposition de E.P. Wigner 2 pour decrire le spectre desniveaux excites des noyaux lourds. Il suggere de remplacer l’hamiltonien complique et im-possible a resoudre par un hamiltonien choisi aleatoirement, une matrice dont les elementssont tires au hasard. Cette idee brillante est tres bien resumee par F. Dyson 3 qui a parti-cipe au developpement de cette theorie :

The statistical theory will not predict the detailed sequence of any one nucleus, but itwill describe the general appearance and the degree of irregularity of the level structure thatis expected to occur in any nucleus which is too complicated to be understood in detail.

We picture a complex nucleus as a black box in which a large number of particles areinteracting according to unknown laws. As in orthodox statistical mechanics, we shall consi-der an ensemble of Hamiltonians, each of which could describe a different nucleus. Thereis a strong logical expectation, though no mathematical proof, that an ensemble averagewill correctly describe the behavior of one particular system which is under observation.The expectation is strong, because the system might be one of a huge variety of systems.

7.4.1 Repulsion de niveaux et matrices 2× 2

Avant d’aborder la description du spectre de matrices aleatoires en general, consideronscomme l’avait fait Wigner, un ensemble de matrices 2 × 2 aleatoires. C’est l’exemple leplus simple qui presente le phenomene de repulsion de niveaux. Pour le mettre en evidence,calculons tout d’abord la distribution Po(s) pour le cas de matrices reelles symetriques,

H =

(h11 h12h12 h22

)avec une distribution gaussienne et normalisee des elements hij :

p(hij) =

√λ

πe−λh

2ij .

Les elements de matrice etant supposes independants, leur distribution est donnee par

P (hij) =∏ij

p(hij) =1

Ze−λ(h

211+h2

22+2h212) (7.10)

ou Z est une constante de normalisation. La distance s entre deux valeurs propres est 4 :

s = |ϵ1 − ϵ2| =√

(h11 − h22)2 + 4h212 .

2. E.P. Wigner (1902-1995), physicien theoricien hongrois naturalise americain, prix Nobel de physique1963, ”pour ses contributions la theorie du noyau atomique et des particules elementaires, particulierementgrace la decouverte et a l’application de principes fondamentaux de symetrie”.

3. F. Dyson (1923- ), physicien theoricien et mathematicien americain. Sa contribution principaleconcerne l’electrodynamique quantique, pour laquelle Feynman, Schwinger et Tomonaga obtinrent le prixNobel en 1965. Par sa comprehension profonde de cette theorie, il a pu prouver l’equivalence des theoriesde Feynman et Schwinger-Tomonaga et largement contribuer a leur diffusion et leur comprehension parle milieu scientifique. Il est le premier a avoir compris l’importance et la puissance des diagrammes deFeynman. Ses contributions a la physique statistique sont aussi tres importantes.

4. La distance moyenne entre niveaux est prise egale a 1.


La probabilite que s soit nul, donc que les deux niveaux soient degeneres, impose que soientrealisees simultanement les deux conditions (h11−h22) = 0 et h12 = 0. La probabilite d’untel evenement est nulle et donc les valeurs propres ”se repoussent” necessairement. Laprobabilite Po(s) est donnee par l’integrale :

Po(s) =

∫P (hij)δ

(s−

√(h11 − h22)2 + 4h212

)dh11dh22dh12 (7.11)

L’integration sur les elements de matrice conduit a

Po(s) =π

2s e−

π4s2 (7.12)

ou on a normalise la probabilite pour que s = 1. Cette probabilite Po(s) presente deuxcaracteristiques tres differentes du cas poissonnien : elle s’annule lineairement lorsque stend vers 0 et elle presente une decroissance plus rapide a grande separation (s→ ∞).

Ce resultat se generalise aux matrices complexes hermiticiennes. Dans ce cas, h12 estcomplexe et la separation entre les deux valeurs propres devient :

s =√

(h11 − h22)2 + 4|h12|2

L’annulation de s impose que (h11 − h22), Re(h12) et Im(h12) soient nuls simultanement,et requiert donc une condition supplementaire par rapport au cas des matrices reelles.La probabilite d’avoir deux niveaux proches est donc encore plus faible : ”la repulsion deniveaux est plus forte”. Un calcul similaire a celui de Po(s) conduit a :

Pu(s) =32

π2s2 e−

4πs2 (7.13)

Pour des matrices hermiticiennes, la repulsion de niveaux pour s→ 0 est donc quadratiqueet non plus lineaire comme pour des matrices reelles. C’est une propriete essentielle etabsolument generale des spectres de systemes ”complexes” (figure 7.5).

Figure 7.5 – Distribution P (s) pour un metal faiblement desordonne obtenue par resolutionnumerique du modele d’Anderson, avec (points noirs) ou sans (points blancs) champ magnetique.Ces distributions sont tres bien decrites par les lois de Wigner GOE (7.12) et GUE (7.13) pourdes matrices aleatoires 2× 2.


Ces deux situations correspondent a des symetries differentes de l’hamiltonien. Lepremier cas decrit des systemes complexes dont l’hamiltonien est invariant par renverse-

ment du sens du temps. Par exemple, p2

2m + v(r) ne change pas car le renversement dutemps change p en −p. Les matrices sont reelles et diagonalisables par une transforma-tion orthogonale. L’ensemble statistique de ces matrices est appele Ensemble OrthogonalGaussien (GOE pour Gaussian Orthogonal Ensemble). Dans ce cas, la repulsion de ni-veaux est lineaire. Le second cas decrit des systemes dont l’hamiltonien n’est pas invariantpar renversement du temps, ce qui est le cas en presence d’un champ magnetique. En ef-fet, le renversement du temps change p en −p, mais pas le sens du champ. L’hamiltonien(p−qA)2

2m +v(r) est donc transforme en (p+qA)2

2m +v(r). Dans ce cas, les matrices ne sont plusreelles mais hermiticiennes et elles sont diagonalisables par une transformation unitaire.L’ensemble statistique de ces matrices est appele Ensemble Unitaire Gaussien (GUE pourGaussian Unitary Ensemble). Dans ce cas, la repulsion de niveaux est quadratique.

Annexe : Distribution des valeurs propres de matrices N ×N

On veut generaliser les resultats precedents obtenus pour des matrices 2 × 2 et determinerla distribution P (ϵ1, ϵ2, · · · , ϵN ) des valeurs propres de matrices N ×N .

Considerons d’abord un ensemble de matrices aleatoires N ×N symetriques reelles H, dontla distribution des N(N + 1)/2 elements hij est donnee par 5 :

P (hij) =1

Z e−λ(

∑i h2

ii+∑

j =i h2ij) . (7.14)

L’argument de l’exponentielle n’est autre que la trace de la matriceH2. Il est donc independantde la base choisie et se recrit comme la somme des carres des valeurs propres ϵi :

P (hij) =1

Z e−λTrH2

=1

Z e−λ

∑i ϵ2i . (7.15)

On cherche maintenant a determiner la distribution des valeurs propres de H en generalisantla methode exposee pour des matrices 2× 2. Une transformation orthogonale O diagonalisecette matrice :

H = OTDO ,

ou D est la matrice diagonale dont les elements sont les energies propres, Dij = ϵiδij . Ainsi,

hij =∑k

ϵkOikOjk (7.16)

La probabilite etant conservee, on a :

P (D)dD = P (H)dH =1

Z e−λTrH2

dH =1

Z e−λ

∑i ϵ2i dH (7.17)

avec

dH = dh11dh22 · · · dhNNdh12dh13 · · · (7.18)

et

dD = dϵ1dϵ2 · · · ϵNdθ1dθ2 · · · dθN(N−1)/2 (7.19)

ou les θj sont les parametres de la matrice O. Par consequent,

P (D) = P (ϵ1, ϵ2, · · · , ϵN , θ1, θ2, · · · , θN(N−1)/2) =1

ZJ e−λ∑

i ϵ2i

ou le jacobien J (ϵi, θi) de la transformation orthogonale est le determinant d’ordreN(N + 1)/2 :

5. On verifie que h2ij = 1/(4λ) pour i = j et que h2

ii = 1/(2λ).


J =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂h11∂ϵ1

∂h11∂ϵ2

· · · ∂h11∂ϵN

∂h11∂θ1

∂h11∂θ2

· · · ∂h11∂θN(N−1)

2∂h12∂ϵ1

∂h12∂ϵ2

. . . ∂h12∂ϵN

∂h12∂θ1

∂h12∂θ2

· · · ∂h12∂θN(N−1)

2

......

......

......

......

∂hij

∂ϵ1

∂hij

∂ϵ2. . .

∂hij

∂ϵN

∂hij

∂θ1

∂hij

∂θ2· · · ∂hij

∂θN(N−1)2

......

......

......

......

∂hNN∂ϵ1

∂hNN∂ϵ2

· · · ∂hNN∂ϵN

∂hNN∂θ1

∂hNN∂θ2

· · · ∂hNN∂θN(N−1)

2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Puisque la transformation (7.16) est lineaire, les elements des N premieres colonnes de cedeterminant ne dependent pas des energies ϵi. Pour la meme raison, les elements des N(N −1)/2 colonnes suivantes dependent lineairement des energies. Le jacobien J (ϵi, θi) estdonc un polynome homogene de degre N(N − 1)/2 de ces energies ϵi. Par ailleurs il s’annulesi deux energies ϵi et ϵj sont egales. Il est donc de la forme :

J (ϵi, θi) =N∏i<j

|ϵi − ϵj |f(θi) .

En integrant sur les variables θi, on deduit

P (ϵ1, ϵ2, · · · , ϵN ) =1

Z

N∏i<j

|ϵi − ϵj |e−λ∑

i ϵ2i .

Dans le cas d’un ensemble de matrices complexes hermiticiennes, on utilise une transfor-mation unitaire pour diagonaliser la matrice et le nombre d’elements independants nondiagonaux est N(N − 1) (une partie reelle et une partie imaginaire pour chaque element).Le jacobien est donc un polynome de degre N(N − 1) qui s’annule si deux valeurs propressont egales. La dependance en |ϵi − ϵj | est alors quadratique.Pour resumer, la distribution des valeurs propres de matrices aleatoires gaussiennes est :

P (ϵ1, ϵ2, · · · , ϵN ) ∝N∏i<j

|ϵi − ϵj |βe−λβ∑

i ϵ2i (7.20)

ou β = 1 pour l’ensemble GOE et β = 2 pour l’ensemble GUE.

7.4.2 Proprietes spectrales des matrices aleatoires

• Distribution des ecarts entre niveaux

La distribution P (s) des ecarts entre niveaux premiers voisins s’obtient en principe apartir de la distribution (7.20). C’est un calcul long et difficile. Dans la limite N → ∞,il se trouve que l’expression (7.12) obtenue pour des matrices 2 × 2 est une excellenteapproximation pour les matrices N × N (figure 7.6). Par exemple, la pente a petit s estπ/2 pour les matrices 2×2, elle est egale a π2/6 pour N → ∞. La qualite de cette approxi-mation est remarquable. Elle tient au fait que la fonction P (s) mesure des correlations acourte portee. La separation entre niveaux premiers voisins est peu sensible a la presencedes autres niveaux. Ce sont les fonctions simples (7.12) et (7.13) etablies par Wignerpour les matrices 2× 2 qui sont habituellement utilisees pour comparer avec des resultatsexperimantaux ou numeriques.


Figure 7.6 – Comparaison entre les distributions Pw(s) pour des matrices aleatoires 2 × 2 etP (s) pour des matrices N ×N dans la limite N → ∞.

• Rigidite spectrale

Le spectre des matrices aleatoires est rigide, c’est-a-dire que la fluctuation (7.7) dunombre de niveaux dans un intervalle d’energie donne E est petite. L’expression exactede la variance est compliquee. Pour E → 0, elle tend asymptotiquement vers un compor-tement poissonnien Σ2(E) → E/∆. Dans la limite de grande energie E ≫ ∆, elle varielogarithmiquement comme (figure 7.7) :

Σ2(E) =2

βπ2

[ln

(2πE

∆

)+ cβ

](7.21)

avec cβ=1 = 1+eγ−π2/8, cβ=2 = 1+eγ , ou γ ≃ 0.577 est la constante d’Euler. Ce resultatest une caracterisation spectaculaire de la rigidite du spectre des matrices aleatoires. Sion considere le spectre de plusieurs matrices aleatoires, la fluctuation du nombre de cesniveaux dans un intervalle d’energie fixe contenant 106 niveaux, n’est que de 3 ou 4 !

Par ailleurs, on notera ce resultat important que la fluctuation du nombre de niveauxvarie en gros comme 1/β pour E ≫ ∆. Ainsi, lorsque l’invariance par renversement dusens du temps est brisee, la variance est reduite d’un facteur 2. Cette reduction n’est passans rapport avec la reduction d’un facteur 2 des fluctuations de conductance sous champmagnetique (voir la section 4.4).

Figure 7.7 – Σ2(E) pour un metal faiblement desordonne, avec (points noirs) ou sans (pointsblancs) champ magnetique, obtenu a partir du modele d’Anderson (W/t = 4). Ces resultats sonttres bien decrits par la theorie des matrices aleatoires (courbes continues pour β = 1 et 2). La lignedroite represente le cas poissonnien.


7.5 La conjecture de Bohigas-Giannoni-Schmit

Si on peut concevoir assez bien que la suggestion de Wigner puisse s’appliquer auspectre de systemes aussi complexes que des noyaux atomiques lourds, il n’est pas dutout evident, il est meme tout a fait remarquable qu’elle s’applique a des systemes quan-tiques aussi simples que des billards a deux dimensions (ou des cavites acoustiques ouelectromagetiques). Cette constation est en fait l’objet d’une conjecture, dite de Bohigas-Giannoni-Schmit, qui s’enonce ainsi 6 :

La distribution des niveaux d’un systeme a deux degres de liberte classiquementnon-integrable (chaotique) est celle de matrices aleatoires gaussiennes.

Cette conjecture a donne naissance a un domaine de la physique, appele le chaos quantique.

7.6 Correlations spectrales en regime diffusif

La theorie des matrices aleatoires decrit des proprietes universelles, communes a dessystemes physiques tres differents. Elle ne contient aucune information sur les echellesd’energie caracteristiques de chaque systeme. La dimensionnalite d’espace n’y joue aucunrole, alors que nous avons vu par ailleurs dans ce cours que dans un metal elle conditionnede facon essentielle les proprietes de transport, par exemple les corrections de localisationfaible (section 4.3.2).

Cherchons donc comment decrire les correlations spectrales d’un systeme electroniquedesordonne. Pour cela, une description microscopique s’avere necessaire. En effet l’hamil-tonien d’Anderson, un hamiltonien de liaisons fortes avec une energie de site aleatoire,a une structure tres differente de celle d’une matrice gaussienne aleatoire. Il a beaucoupd’elements de matrice nuls et seuls les termes diagonaux sont aleatoires, les termes non-diagonaux etant constants. Par ailleurs, nous avons vu qu’a l’approximation de diffusion, ilexiste une autre echelle d’energie, l’energie de Thouless (4.35) qui n’apparaıt pas pour lesmatrices aleatoires. On peut donc s’attendre a ce que les correlations spectrales presententdes deviations au comportement universel decrit par les matrices aleatoires.

Voyons d’abord qualitativement quelle peut etre l’origine de ces deviations. Un hamil-tonien aleatoire est ergodique au sens ou les fonctions d’onde correspondantes couvrentuniformement l’espace des phases et n’ont pas de structure interne. Ca n’est certainementpas le cas pour un metal, si on considere l’evolution d’un paquet d’onde electronique auxpetits temps (c’est-a-dire aux grandes energies). Dans cette limite, un electron qui dif-fuse n’a pas eu le temps d’explorer tout l’espace (figure 7.8). Plus precisement, pour destemps t petits devant le temps caracteristique τD = L2/D, les correlations spatiales nepeuvent s’etendre sur tout l’echantillon mais seulement sur une taille de l’ordre de

√Dt.

Cela correspond a des energies E = ~/t grandes devant l’energie de Thouless, E ≫ Ec.Les correlations spatiales s’etendent sur une echelle LE =

√Dt =

√~D/E ≪ L. A cette

echelle d’energie, le systeme de dimensionnalite d peut etre vu comme un ensemble deNE ∼ (L/LE)

d sous-systemes decorreles et donc independants (figure 7.8). Par consequent,

6. O. Bohigas, M. J. Giannoni et C. Schmit, Observation of h/e Aharonov-Bohm oscillations in normal-metal rings, Phys. Rev. Lett. 52, 1 (1984).

7.6 Correlations spectrales en regime diffusif 143

la variance Σ2(E) est proportionnelle au nombre de ces sous-systemes. On en deduit ainsique

Σ2(E) = NE ∼ (L/LE)d ∼ (E/Ec)

d/2 (7.22)

Cet argument heuristique semble indiquer que les correlations spectrales dans un metaldesordonne sont universelles a basse energie avec des deviations qui sont une signature dela diffusion electronique. La description du spectre par la theorie des matrices aleatoiresne decrit donc que les correlations spectrales pour des energies inferieures a l’energie deThouless. C’est ce que montre la figure 7.8 ou on constate effectivement qu’au-dela d’unecertaine energie, la variance presente des deviations au comportement logarithmique (7.21)des matrices aleatoires.

t > τD

τD

t < ∆

2

E/

(E)Σ

0.5

0.0

1.0

1.5

2.0

0 10 20/E ∆

)E2(Σ

Figure 7.8 – A gauche, description schematique de la diffusion aux petits temps (regime diffusif)et aux grands temps (regime ergodique). Aux petits temps t ≪ τD, le systeme peut etre scinde enparties independantes non correlees. La variance Σ2(E) est proportionnelle au nombre de ces sous-systemes. A droite, variance de la fluctuation du nombre de niveaux dans un intervalle de largeurE pour le modele d’Anderson et pour differentes valeurs du parametre de desordre W . Lorsque Waugmente, la deviation au comportement “matrices aleatoires” (courbe inferieure en trait continu)apparaıt pour des energies de plus en plus petites. Ce resultat permet de mettre en evidence qua-litativement l’energie de Thouless Ec et de montrer qu’elle decroıt lorsque W augmente. La lignedroite represente le comportement poissonnien.


7.7 Une excursion vers les mathematiques

7.7.1 La conjecture de Riemann

La conjecture de Riemann est certainement une des plus celebres conjectures desmathematiques, un des 23 problemes enonces par Hilbert au debut du XXeme siecle (laplupart ayant ete resolus), un des sept problemes du millenaire. Son enonce est simple :

Les zeros complexes de la fonction zeta de Riemann sont tous situessur la ligne s = 1/2 du plan complexe.

Pourquoi cet enonce est il si important ? Quel est le lien avec les matrices aleatoires ? C’estce que ce dernier paragraphe (recreatif ? ) de ce cours se propose d’aborder.

La fonction zeta definie pour Re(s) > 1 s’ecrit

ζ(s) =

∞∑n=1

1

ns. (7.23)

Elle joue un role tres important en theorie des nombres car elle est reliee a l’ensemble desnombres premiers. Euler a montre qu’elle peut se recrire comme un produit infini 7. Pours > 1, on montre facilement que

ζ(s) =∏

p premier

1

1− p−s(7.26)

Cette fonction analytique possede un prolongement unique dans le plan complexe etobeit a la relation fonctionnelle

ζ(s) = 2sπs−1 sin(πs

2)Γ(1− s)ζ(1− s) (7.27)

ou Γ est la fonction Γ. La figure 7.9 montre la fonction ζ en fonction de son argumentcomplexe. On y voit les zeros sur l’axe reel negatif. Ils sont appeles les zeros triviaux(−2,−4,−6, · · · ) car ils resultent simplement de la relation fonctionnelle. On y voit aussiles premiers zeros sur la ligne critique Re(s) = 1/2.

Dans son article qui relie la fonction de distribution des nombres premiers π(x) (voirencadre) aux zeros de la fonction de Riemann, il ecrit :

Il est fort probable que toutes les racines soient reelles (Re(s) = 1/2). Bien sur, unedemonstration rigoureuse en serait souhaitable ; pour le moment, apres quelques vaguestentatives restees vaines, j’ai provisoirement mis de cote la recherche d’une preuve, carelle semble inutile pour l’objectif suivant de mes investigations.

7. En effet, considerons les premiers termes de ce produit

ζ(s) =1

1− 2−s× 1

1− 3−s× 1

1− 5−s× 1

1− 7−s· · · (7.24)

En developpant chaque terme de ce produit sous le forme d’une serie

ζ(s) =

(1 +

1

2s+

1

4s+

1

8s· · ·

)(1 +

1

3s+

1

9s· · ·

)(1 +

1

5s· · ·

)(1 +

1

7s· · ·

)· · · (7.25)

on montre facilement la relation d’Euler.

7.7 Une excursion vers les mathematiques 145

Figure 7.9 – A gauche, la fonction ln ζ(s) a valeurs dans le plan complexe. Le pic positifrepresente la divergence en s = 1. Les pics negatifs representent les zeros de la fonction ζ. Adroite, la fonction ζ(1/2 + iy).

Le calcul numerique des 1013 premiers zeros montre qu’ils sont tous sur la ligne critique.Toutefois la conjecture n’est toujours pas prouvee.

Quel rapport avec les matrices aleatoires ? Dans les annees 1970, le mathematicien H.Montgomery etudie la repartition statistique des zeros non-triviaux sur la ligne critiqueet formule une conjecture sur leur distribution. En visite a l’Advanced Studies Institute,il rencontre fortuitement F. Dyson (au moment de la pause the...) et lui fait part deses resultats, au vu desquels ce dernier constate que la distribution est celle de matricesaleatoires hermiticiennes, decrites par l’ensemble GUE ! La figure 7.10 montre en effet quela fonction P (s) de l’ensemble GUE des matrices aleatoires decrit parfaitemet la repartitiondes zeros de la fonction ζ !

Ainsi, se trouve confortee l’hypothese de Hilbert et Polya qui avaient specule que lesvaleurs les zeros fonction ζ doivent etre les valeurs propres d’un operateur hermitien,ce qui pourrait permettre de demontrer l’hypothese de Riemann. Il reste a trouver cetHamiltonien !

Figure 7.10 – Distribution P (s) des ecarts entre 106 zeros autour du 1020eme zero de la fonctionzeta et distribution GUE de Wigner.


7.7.2 Fonction ζ et distribution des nombres premiers

Figure 7.11 – La fonction π(x).

La repartition des nombres premiers est un probleme difficile etudie depuis longtemps.Il s’agit de determiner la fonction π(x), nombre de nombres premiers inferieurs ou egaux ax. C’est C. Gauss (1777-1855) qui le premier a propose une formule approchee pour cettefonction, dont il pensait qu’elle etait une borne superieure

π(x) ≃∫ x

2

dt

ln t− . . . (7.28)

En 1859, B. Riemann a demontre une formule complexe pour la fonction π(x) qui s’ecritexplicitement en fonction des zeros de la fonction ζ. Le point de depart est la relationd’Euler (7.26) qui, en passant au continuum, et en integrant par parties, se recrit :

ln ζ(s) = s

∫ ∞1

π(x)

x(xs − 1)dx . (7.29)

La demonstration de Riemann consiste en une sorte d’inversion de cette formule. Il montreque la fonction π(x) se recrit comme une somme infinie qui fait intervenir les zeros non-triviaux ρ de la fonction ζ, a condition, et c’est la conjecture de Riemann, que ceux-ciaient tous une partie reelle egale a 1/2. Pour cela, Riemann introduit la fonction J(x)definie par :

J(x) =

∞∑p=1

π(x1/p)

p. (7.30)

Cette fonction a une signification simple : Si la fonction π(x) saute de une unite pour tousles nombres premiers, la fonction J(x) saute de une unite pour tous les nombres premiers,elle saute d’un facteur 1/2 pour tous les carres, d’un facteur 1/3 pour tous les cubes, etc.(figure 7.12). L’inversion de cette formule s’ecrit 8 :

π(x) =

∞∑1

µ(n)

nJ(x1/n) (7.31)

ou µ(n) est la fonction de Moebius definie par µ(1) = 1 et

µ(n) = 0 si n est divisible par carre parfait

µ(n) = 1 si n est le produit d’un nombre pair de nombres premiers

8. Remarquons que la somme sur n dans la relation (7.31) n’est pas infinie, puisque J(x) = 0 pourx < 2. Elle contient donc un nombre nmax de termes tels que x1/nmax < 2, donc nmax ≥ lnx/ ln 2.

7.7 Une excursion vers les mathematiques 147

µ(n) = −1 si n est le produit d’un nombre impair de nombres premiers distincts 9.

La formule de Riemann s’ecrit, pour la fonction J(x) :

J(x) = li(x)−∑ρ

li(x)− ln 2 (7.33)

ou ρ designe l’ensemble des zeros ρ = 12 + iγ avec γ reel. La fonction li(x), dite fonction

d’ecart logarithmique integrale, est definie par

li(x) =

∫ x

0

dt

ln t(7.34)

Une excellente approximation de la fonction J(x) donnee par la relation exacte (7.33)consiste a remplacer li(x) par son expression asymptotique ∼ x/ lnx de sorte que

J(x) ≃ li(x)− ln 2− 2

√x

lnx

∑γ>0

sin(γ lnx)

γ(7.35)

Ainsi la formule de Riemann apparaıt comme une sorte de developpement de Fourierdont les harmoniques sont les zeros de la fonction zeta.

J(x)

π (x)

100 zéros

0 10 20 30 40 50 600

5

10

15

20

Figure 7.12 – Fonctions J(x) et π(x) et leur approximation par la formule de Riemann(7.35,7.31).

9. Pour ℜ(s) > 1, la fonction de Moebius verifie la relation

1

ζ(s)=

∞∑1

µ(n)

ns. (7.32)


Chapitre 8

Supplements

150 Supplements

8.1 Densite d’etats

1 - Definition

La densite d’etats est une quantite purement classique qui compte le nombre de modesou d’etats quantiques a une energie ε ou une pulsation ω donnee. Il peut s’agir des modeselectromagnetiques ou des modes acoustiques dans une boıte, ou des energies propres d’unprobleme quantique.

On considere un spectre εn, ou n designe un ensemble de nombres quantiques. Onappelle densite d’etats par unite de volume ρ(ε) a l’energie ε, la quantite

ρ(ε) =1

V

∑n

δ(ε− εn) , (8.1)

ou V est le volume. En particulier pour des electrons dont les niveaux d’energie dependentdu vecteur d’onde k, n = (σ,k) et la densite d’etats s’ecrit

ρ(ε) =1

V

∑(k,σ)

δ(ε− εk,σ) =2

V

∑k

δ(ε− εk) . (8.2)

La derniere notation correspond au cas ou l’energie ne depend pas du spin (absence dechamp magnetique). Dans tous les cas rencontres, on part d’une relation de dispersiondonnee εk et d’une degenerescence associee a chaque etat k (cette degenerescence est 2pour des particules de spin 1/2 en l’absence de champ magnetique ; ce peut etre le nombrede polarisations pour un mode de vibration, etc.) De maniere generale, pour un spectreεk la densite d’etats est donnee par :

ρ(ε) =s

V

∑k

δ(ε− εk) (8.3)

ou s est la degenerescence des etats k, que l’on prend egale a 1 a partir de maintenant.

On considere en general un spectre quasi-continu (limite de grand volume), de sorte quel’on peut remplacer la somme discrete sur les vecteurs d’onde par une somme de Riemann,car on connaıt la distance entre chaque valeur de k. Pour un echantillon de taille Ld, lesvaleurs possibles du vecteur d’onde dependent des conditions aux limites. Ainsi pour desconditions aux limites periodiques et dans la direction i, ki = 2πni/L avec ni ∈ Z. Pourdes conditions aux limites de bords durs, ki = πni/L avec ni ∈ N∗. On obtient dans lesdeux cas, la meme densite d’etats :

ρ(ε) =1

V

(L

2π

)d ∫ddk δ(ε− εk) =

∫ddk

(2π)dδ(ε− εk) (8.4)

Pour les conditions aux limites de bord dur, la densite en k est double (L/π dans chaquedirection), mais on integre sur les k > 0, ce qui donne le meme resultat (la densite d’etatsne depend pas des conditions aux limites).

On definit aussi la densite d’etats integree qui, par integration de (8.4), est donneepar :

N<(ε) =

∫ε(k)<ϵ

ddk

(2π)d(8.5)

8.1 Densite d’etats 151

2 - Pourquoi cette quantite est-elle utile et importante ?

Le calcul de quantites physiques implique souvent une somme de la forme

1

V

∑k

φ(εk) . (8.6)

(Par exemple pour l’energie totale d’un gaz de fermions φ(εk) = εkf(εk) ou f est le facteurde Fermi.) Il est souvent interessant de remplacer cette somme discrete sur les vecteursd’onde par une integrale sur les energies ε. En inserant une integrale sur ε :

1

V

∑k

φ(εk) =1

V

∑k

∫φ(ε)δ(ε− εk)dε (8.7)

et en inversant la somme et l’integrale, on obtient

1

V

∑k

φ(εk) =

∫φ(ε)ρ(ε)dε (8.8)

3 - Comment calculer une densite d’etats

La densite d’etats en energie ρ(ε) depend de la relation de dispersion εk. Pour unerelation de dispersion quelconque, son calcul n’est pas toujours simple (et il faut parfoisrecours a des methodes numeriques, en particulier bien sur si le spectre εk a lui aussi eteobtenu numeriquement). Il existe toutefois un cas particulierement simple :

3a - Cas ou la relation de dispersion est isotrope

Dans les cas les plus souvent rencontres (a basse energie), la relation de dispersion estisotrope. L’energie (ou la pulsation) ne depend que de k = |k|.

εk = ε(k) = ε(|k|) et inversement k = k(ε) (8.9)

Dans ce cas l’integrale (8.8) est un element de couronne a d dimensions, de rayon k(ε).Ainsi selon la dimension consideree :

ρ3d(ε)dε =1

(2π)34πk2dk , ρ2d(ε)dε =

1

(2π)22πkdk , ρ1d(ε)dε =

1

(2π)2dk

(8.10)(Notons le facteur 2 a une dimension : l’element de couronne entre les rayons k et k + dkest 2dk). En remplacant k par son expression k(ε), obtenue en inversant la relation dedispersion (8.9), on en deduit la densite d’etats.

Remarque importante : si la methode precedente est celle qui est le plus souventpresentee dans la litterature, ce n’est pas la plus simple car elle implique de calculer laderivee dk/dε. Il est en fait plus simple de calculer la densite d’etats integree N<(ε),c’est-a-dire le nombre total d’etats d’energie inferieure a une energie donnee ε (ce nombreest proportionnel au volume de l’espace des k, formule 8.5). Pour une relation de disper-sion isotrope (8.9) :

N<(ε) =1

(2π)dAdk

d(ε) (8.11)

152 Supplements

avec A3 = 4π/3, A2 = π, A1 = 2 [plus generalement Ad = πd/2/Γ(1 + d/2)], puis dederiver par rapport a ε.

En introduisant la vitesse v = v(ε) = ∂ε~∂k , et en derivant (8.11), on obtient la forme

utile, pour une relation de dispersion isotrope :

ρ(ε) =dAd

hvλd−1. (8.12)

On retrouve simplement ce resultat en ecrivant que le nombre total d’etats est (kL)d, eten derivant par rapport a l’energie, on a ρ0 ∝ kd/ε ≃ kd−1/~v ∝ 1/~vλd−1.

3b - Ce qu’il faut savoir retrouver tres vite

Pour une relation de dispersion isotrope ε(|k|) ∝ kα (α = 2 : electrons libres ou avecune masse effective, magnons dans un ferromagnetique... ; α = 1 : electrons au demi-remplissage dans le graphene, modes electromagnetiques ou acoustiques (phonons), ma-gnons dans un antiferromagnetique...), et une dimension d’espace d,

N<(ε) ∝ kd(ε) ∝ εd/α (8.13)

et par consequent, en derivant

ρ(ε) ∝ εd/α−1 (8.14)

et avec les facteurs numeriques, pour une dispersion ε(|k|) = Ckα :

N<(ε) =Adk

d

(2π)d=

Ad

(2π)d

( εC

)d/α(8.15)

En derivant :

ρ(ε) =dN<(ε)

dε=

dAd

α(2π)dεd/α−1

Cd/α(8.16)

Multiplier eventuellement par un facteur de degenerescence (spin, polarisation, les deuxvallees dans le graphene, etc). On rappelle ici les densites d’etats (sans spin) pour le gazd’electrons libres a d = 3, 2, 1. En faisant C = ~2/(2m), on obtient :

ρ3d(ε) =1

4π2

(2m

~2

)3/2√ε , ρ2d(ε) =

m

2π~2, ρ1d(ε) =

1

2π

√2m

~2ε(8.17)

L’origine de la dependence ρ(ε) ∝ εd/2−1 pour un spectre quadratique est visualisee sur lafigure (8.1).


Figure 8.1 – Lignes iso-energie pour la relation εk = ~2k2/(2m) a d = 1 et d = 2. On voitclairement que le nombre d’etats dans une tranche d’energie dε diminue lorsque ε augmente ad = 1, mais qu’il est constant a d = 2.

3c - Retour sur quelques cas connus

On retrouve ainsi :

* Pour les electrons libres a d dimensions : ρ(ε) ∝ εd/2−1.

* La densite de modes electromagnetiques (α = 1) a d = 3 : ρ(ω) ∝ ω2,

resultat classique du a Rayleigh.

* La densite de modes acoustiques (phonons, α = 1) a d dimensions : ρ(ω) ∝ ωd−1.

* La densite d’etats dans le graphene a demi-remplissage : ρ(ε) ∝ ε.

3d - Un exemple de calcul analytique de densite d’etats dans un cas plusdifficile

Considerons la relation de dispersion obtenue en liaisons fortes sur le reseau carre (leslongueurs sont fixees a 1) :

εk = −2t cos kx − 2t cos ky (8.18)

qui est representee sur la figure (8.2). Notons t = 1 pour alleger les notations. Cetterelation n’est clairement pas isotrope et la methode (3a, 3b) n’est d’aucun secours (saufpour decrire les bords de bande ou le spectre est quadratique, voir plus loin). La densited’etats correspondant a la relation de dispersion (8.18) est representee sur la figure (8.3).Elle peut etre calculee analytiquement. Partons de la densite d’etats integree N<(ε) :

N<(ε) =1

(2π)2

∫Sdkx dky (8.19)

ou l’integrale est une surface S delimitee par la condition −2t cos kx − 2t cos ky < ε.Integrons d’abord sur ky. La condition precedente implique que cos ky > − cos kx − ε/2.

154 Supplements

-2

0

2

-2

0

2

-4

-2

0

2

4

Figure 8.2 – Relation de dispersion εk, pour le modele de liaisons fortes avec couplage entrepremiers voisins sur le reseau carre (relation 8.18).

Considerons d’abord le cas ε < 0. La condition se recrit |ky| < arccos(− cos kx − ε/2). Parconsequent la densite d’etats integree s’ecrit

N<(ε) =4

(2π)2

∫ arccos(−1−ε/2)

0dkx arccos(− cos kx − ε/2) . (8.20)

La densite d’etats est obtenue par derivation

ρ(ε) =2

(2π)2

∫ arccos(−1−ε/2)

0

dkx√1− (cos kx + ε/2)2

(8.21)

L’integrale est connue et s’exprime a l’aide de la fonction elliptique K ′(x). En faisant lememe calcul pour ε > 0, on obtient finalement, en retablissant t :

ρ(ε) =1

2π2tK ′(|ε|4t

)(8.22)

• Au milieu du spectre (ε = 0), la densite d’etats presente une divergence logarithmique :

ρ(ε) =1

2π2ln

16t

|ε|, (8.23)

obtenue en utilisant le developpant de la fonction elliptique dans (8.22) (K ′(x) ∼ ln(4/x)pour x petit).

• Aux extremites du spectre, c’est-a-dire autour du point de coordonnees (kx, ky) =(0, 0) pour le bas de bande et autour du point de coordonnees (π, π) pour le haut de bande,la relation de dispersion (8.18) a un developpement quadratique

εk = ±4t∓ tq2 (8.24)

ou q est l’ecart au point considere. On a donc une relation de dispersion quadratiqueavec une masse effective m∗ = ~2/(2t). D’apres (8.17), on attend donc une densite d’etatsconstante en bord de spectre, donne par

ρ(εk) =m∗

2π~2=

1

4πt, (8.25)


-4 -2 0 2 40.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Et

de

nsi

téd

'éta

ts

Figure 8.3 – Densite d’etats pour la relation de dispersion (8.18).

ce qu’on retrouve aussi a partir de la formule exacte (8.22), car K ′(1) = π/2.

3e - Point selle et divergence logarithmique de la densite d’etats

En milieu du milieu de bande, la densite d’etats presente une divergence. Cette diver-gence est due a la structure particuliere de la relation de dispersion qui presente un pointselle en (π, 0) (et les autres points identiques modulo un vecteur du reseau reciproque).On effectue un developpement autour de ce point, la relation de dispersion a une structurehyperbolique

εq = t(q2y − q2x) . (8.26)

L’energie augmente dans une direction et diminue dans l’autre. Pour calculer la densited’etats, on reprend le calcul de la densite d’etats integree qui est proportionnelle a lasurface definie par t(q2y − q2x) < ε, c’est-a-dire |qy| <

√ε/t+ q2x et donc (attention aux

facteurs 2, bien prendre toutes les regions de la zone de Brillouin concernees)

N<(ε) =1

(2π)2

∫Sdqx dqy =

8

(2π)2

∫ qm

0dqx

√ε/t+ q2x (8.27)

La densite d’etats est obtenue en derivant :

ρ(ε) =1

π2

∫ qm

0

dqx√ε/t+ q2x

(8.28)

La borne superieure pour qx a ete mise a la main, et decrit la limite de validite dudeveloppement (8.26). Typiquement qm est de l’ordre de l’unite. L’integrale dans (8.28)conduit a

ρ(ε) =1

2π2ln

4q2mt

|ε|. (8.29)

que l’on peut comparer au resultat exact (8.23).

3f - Un resume : la densite d’etats dans le graphene

La relation de dispersion du modele de liaisons fortes premiers voisins sur le reseau nidd’abeille qui decrit le graphene est plus complexe (equations 6.11, 6.9, 6.10). La densite

156 Supplements

d’etats peut aussi etre calculee analytiquement pour cette relation de dispersion. Mais cen’est pas le but de ces notes qui est simplement de rappeler deux situations simples, larelation de dispersion isotrope kα en dimension d et le point selle en dimension 2. Ainsila comprehension de la structure de densite d’etats pour le graphene (figure 6.12), avectrois comportements bien caracteristiques en bord de bande (ε = ±3t), en milieu de bande(ε = 0) et pour le point selle (ε = ±1), doit maintenant paraıtre simple.

8.2 Courant dans le cas multicanal : quelques precisions 157

8.2 Courant dans le cas multicanal : quelques precisions

8.2.1 Preliminaire : barriere asymetrique

Dans la section 2.2.1, on a defini les coefficients de transmission et de reflexion pourl’amplitude de la fonction d’onde. Ces expressions sont correctes pour une barriere symetrique,c’est-a-dire lorsque les vecteurs d’onde sont identiques de part et d’autre de la barriere.Ce sont aussi les coefficients de transmission et de reflexion du flux. Ces deux definitionsne sont pas en general identiques.

Figure 8.4 – Barriere de potentiel asymetrique.

Prenons le cas unidimensionnel d’une barriere asymetrique (figure 1). Dans ce cas lesvecteurs d’onde, donc les vitesses, a gauche et a droite sont differents : ~kg =

√2mϵ,

~kd =√

2m(ϵ− V ). Il faut alors distinguer les coefficients de transmission ou de reflexion(t, r) de la fonction d’onde et les coefficients de transmission ou de reflexion du flux (t, r).Si on note pour la fonction d’onde, pour une energie donnee ϵ,

ψg(x) =1√L

(eikgx + r e−ikgx

)et ψd(x) =

t√Leikdx , (8.30)

on a pour le courant, au lieu de (2.7) et (2.9), et avec vg,d = ~kg,d/m,

jg = −evgL

(1− |r|2) , jd = −evdL

|t|2 (8.31)

et par consequent la loi de conservation (au lieu de 2.10) :

1− |r|2 = vdvg

|t|2 . (8.32)

Cela conduit a definir les coefficients de transmission et de reflexion du flux r = r ett =

√vdvgt et les coefficients de transmission et de reflexion en intensite :

T = |t|2 = vdvg

|t|2 et R = |r|2 = |r|2 (8.33)

qui verifientR+ T = 1 . (8.34)

La matrice S =

(r t′

t r′

)n’est pas unitaire. C’est la matrice S =

(r t′

t r′

)qui est

unitaire. Dans le cas symetrique, vd = vg, on retrouve le resultat du poly.

158 Supplements

8.2.2 Conservation du courant dans le cas multicanal

Figure 8.5 – Transmission d’un canal b vers un canal a.

Dans le cas multicanal, le vecteur d’onde a une composante transverse. Pour un modeb donne, la composante transverse est quantifiee : kby = nbyπ/W et, a l’energie ϵ, la com-

posante longitudinale kbx est donnee par

ϵ =~2(kbx)2

2m+

~2(kby)2

2m.

Dans ce cas, meme si la barriere est symetrique, les modes a gauche et a droite peuventetre differents (nay = nby) et par consequent k

ax = kbx. Considerons une onde incidente dans

le mode b. La fonction d’onde a gauche s’ecrit

ψg(r) =

√2

LWg

[eik

bxx sin kbyy +

∑b′

rb′b e−ikb′x x sin kb

′y y

]. (8.35)

A droite, elle s’ecrit :

ψd(r) =

√2

LWd

∑a

tab eikaxx sin kayy . (8.36)

On a introduit les coefficients de transmission tab et de reflexion rb′b en amplitude de lafonction d’onde. La densite de courant, puis le courant associe a cette fonction d’ondepeuvent etre calcules a gauche ou a droite. Pour cela, en calculant le courant, flux de ladensite de courant I =

∫W0 j(y)dy avec j = −e

m Re(ψ∗ ~i∇xψ), on utilise l’orthogonalite desmodes transverses :

2

W

∫ W

0sin kayy sin ka

′y y dy = δaa′ .

On obtient ainsi le courant associe a un mode b donne et pour un etat de vecteur d’ondekbx :

Ib(kbx) = − e

L

[vbx −

∑b′

|rb′b|2 vb′

x

]= − e

L

∑a

|tab|2vax . (8.37)

On introduit les coefficients de transmission et de reflexion en amplitude de courant, et nonpas en amplitude de fonction d’onde. Cette distinction n’etait pas utile pour une barriere1D symetrique, les vecteurs d’onde etant identiques des deux cotes de la barriere. On a :

rb′b =

√vb′xvbx

rb′b , tab =

√vaxvbxtab . (8.38)

8.2 Courant dans le cas multicanal : quelques precisions 159

On introduit aussi les coefficients

Rb′b = |rb′b|2 , Tab = |tab|2 . (8.39)

La conservation du courant (eq. 8.37) implique

Rb + Tb = 1 (8.40)

ou on a defini les coefficients de reflexion et de transmission du mode b

Rb =∑b′

Rb′b et Tb =∑a

Tab . (8.41)

8.2.3 Courant total multicanal

On calcule d’abord le courant total associe au mode b (kby fixe). Comme dans (2.12), oncalcule le courant de gauche vers la droite, en sommant sur tous les courants associes auxetats kbx occupes. A l’aide de (8.37,8.38,8.39), on obtient, en utilisant |tab|2vax = |tab|2vbx =Tabv

bx :

Ib→

= 2∑kbx>0

Ib(kbx)f(ϵ+ eV1) = −2e

L

∑kbx>0

vbx∑a

Tab f(ϵ+ eV1) (8.42)

De meme, le courant de la droite vers la gauche revenant dans le mode b provient desdifferents modes a a droite :

Ib←

= −2e

L

∑kax<0

∑a

|tba|2 vbx f(ϵ+ eV2) = −2e

L

∑kax<0

vax∑a

Tab f(ϵ+ eV2) (8.43)

On en deduit le courant total dans le mode b :

Ib =−2e

L

∑kbx>0

vbx∑a

Tab f(ϵ+ eV1)−∑kax>0

vax∑a

Tab f(ϵ+ eV2)

(8.44)

En transformant la somme sur les vecteurs d’onde en une integrale sur les energies, lavitesse disparaıt (vx = ∂ϵ/∂(~kx)) :∑

kx>0

vx · · · =L

2π

∫>vx · · · dkx =

L

2π

∫vx · · ·

dkxdϵ

dϵ =L

h

∫dϵ

et finalement

Ib = −2e

h

∫dϵ∑a

Tab(ϵ) [f(ϵ+ eV1)− f(ϵ+ eV2)] (8.45)

qui generalise (2.18). Le courant total est donne par la somme sur tous les modes b en-trants :

I =∑b

Ib = −2e

h

∫dϵ∑a,b

Tab(ϵ) [f(ϵ+ eV1)− f(ϵ+ eV2)] (8.46)

160 Supplements

ce qui, en linearisant, definit la conductance (T = 0K)

G =2e2

h

∑a,b

Tab . (8.47)

8.3 A propos de l’equation de diffusion 161

8.3 A propos de l’equation de diffusion

8.3.1 Conditions aux limites pour l’equation de diffusion

Pour resoudre l’equation de diffusion (4.21) dans un volume Ω fini, il faut preciser lesconditions aux limites aux bords. A part les conditions aux limites periodiques, nous enrencontrerons essentiellement deux types :

• Condition de Neumann. Le courant associe a la probabilite de diffusion s’annulesur les bords :

n.∇r′P (r, r′, t)|r′∈∂Ω = 0 (8.48)

ou n est un vecteur unitaire normal en chaque point du bord ∂Ω. Cette conditiondecrit un systeme isole : les electrons ne peuvent sortir de l’echantillon.

• Condition de Dirichlet. La probabilite s’annule sur les bords :

P (r, r′, t)|r′∈∂Ω = 0 (8.49)

Pour un systeme electronique, cette condition correspond au couplage du systemea un ”reservoir”, de telle maniere qu’une particule qui quitte le milieu n’y retourneplus (systeme connecte).

Notons que les sens physiques des conditions de Neumann et Dirichlet sont ici inverses dece qu’elles sont pour une equation de Schrodinger ou un systeme isole est limite par unebarriere de potentiel infinie aux bords, ce qui correspond a la condition de Dirichlet.

8.3.2 Volume fini et ”mode zero”

Considerons un systeme fini de volume Ω. Le spectre de l’eq.(4.24) est discret et il estdecrit par la sequence de valeurs propres En. La probabilite integree de retour a l’origines’ecrit :

P (t) = θ(t)∑n

e−Ent (8.50)

Pour un systeme isole, les conditions aux limites de Neumann (8.48) impliquent que l’etatfondamental de l’equation de diffusion est d’energie nulle c’est-a-dire E0 = 0. Lorsque letemps t tend vers l’infini, la probabilite (8.50) tend donc vers la valeur finie 1. Ce resultatexprime simplement que, du fait des parois reflechissantes, la particule ne peut pas sortirdu volume Ω. Dans un systeme fini, la particule repasse donc necessairement une infinitede fois pres de son point de depart et P (t) → 1 lorsque t→ ∞.

Pour un systeme ouvert, la condition de Dirichlet (8.49) impose a l’etat fondamentald’avoir une energie strictement superieure a celle du fondamental de Neumann. Le modeE0 = 0 est exclu et l’energie du fondamental est finie et proportionnelle a l’energie deThouless Ec. Ce gap controle le comportement aux temps longs de la probabilite de retoura l’origine. Ceci traduit l’existence d’une probabilite d’absorption finie de la particule auxbords du systeme. On a P (t) ≃ e−t/τD lorsque t→ ∞.

162 Supplements

8.3.3 Diffusion dans un domaine anisotrope

On considere l’exemple de la diffusion dans un domaine anisotrope 1 c’est-a-dire dontles dimensions Lx > Ly > Lz sont tres differentes. Le comportement des solutions del’equation de diffusion pour une particule placee initialement au centre du domaine dependde l’echelle de temps consideree. On peut definir maintenant trois temps caracteristiques

τ(x)D > τ

(y)D > τ

(z)D et donc trois energies de Thouless Ec

(x) < Ec(y) < Ec

(z). On distinguealors les regimes suivants :

• t < τ(z)D : la diffusion est tridimensionnelle et la probabilite de retour a l’origine est

proche de celle du milieu infini correspondant. Par consequent, en utilisant (4.33),on a P (t) ≃ Ω/(4πDt)3/2 ou Ω = LxLyLz est le volume du domaine.

• τ(z)D < t < τ

(y)D : pour ces temps intermediaires la diffusion est bidimensionnelle et

donc P (t) ≃ LxLy/4πDt.

• τ(y)D < t < τ

(x)D : la diffusion devient unidimensionnelle, soit P (t) ≃ Lx/(4πDt)

1/2.

• t > τ(x)D : la probabilite est uniforme, on est dans le regime ergodique defini dans la

section 4.1.4. On parle alors de regime zero-dimensionnel.

La figure 8.6 resume ces differentes situations pour le cas d’un systeme bidimensionnel.

P

(a)x y

(b)x y

(c)x y

Figure 8.6 – Solution de l’equation de diffusion dans un domaine bidimensionnel anisotrope.

(a) Aux temps courts t ≪ τ(y)D la diffusion est isotrope. (b) Pour un temps comparable a τ

(y)D la

diffusion est modifiee par les effets des bords perpendiculaires a la direction y et finalement elle

devient unidimensionnelle (c) pour t≫ τ(y)D .

8.3.4 Diffusion unidimensionnelle

On decrit ici quatre solutions particulieres de l’equation de diffusion a une dimensionet qui correspondent a des situations physiques frequemment rencontrees, en particulierdans ce cours.

• L’anneau - conditions aux limites periodiques

On considere un anneau de perimetre L. Les frequences propres sont q = 2nπ/L avecn = 0,±1,±2,±3, · · · ou n est le moment angulaire autour de l’anneau. La probabiliteP (z, z′, t) s’ecrit :

P (z, z′, t) =1

L

∑n

e−4π2Ecn2te2in

πL(z−z′) (8.51)

1. On suppose le mouvement diffusif dans les trois directions c’est-a-dire Li ≫ le, avec un coefficientde diffusion isotrope qui reflete l’isotropie du probleme au niveau microscopique.


ou z decrit la coordonnee d’un point courant le long de l’anneau et ou Ec = D/L2 estl’energie de Thouless. Du fait de l’invariance par translation le long de l’anneau, la proba-bilite ne depend que de la distance |z − z′| et la probabilite de retour a l’origine P (z, z, t)ne depend donc pas du point de depart. En utilisant la transformation de Poisson (9.35),on peut recrire la probabilite P (z, z′, t) sous la forme

P (z, z′, t) =1√4πDt

∞∑m=−∞

e−(z−z′+mL)2/4Dt . (8.52)

Le terme m de cette serie represente la probabilite d’aller de z a z′ apres avoir effectuem tours autour de l’anneau. Le nombre d’enroulements m est un nombre topologiqueindependant de la forme exacte de l’anneau.

Il existe une dualite interessante entre le developpement (8.51) en modes et le developpement(8.52) en nombres d’enroulements. Ne garder que le mode zero (probabilite independantedu temps pour t ≫ τD) dans la relation (8.51) correspond a une somme continue surtous les nombres d’enroulements. Inversement, lorsque t≪ τD, le nombre d’enroulementsm = 0 correspond a une somme continue sur tous les modes.

• Bords absorbants : fil connecte

Un fil de longueur L relie a des contacts est decrit par les conditions aux limites deDirichlet puisqu’une particule ou une onde qui diffuse pres d’un bord est absorbee parles contacts. Les solutions de l’equation (4.24) compatibles avec la contrainte (8.49) sontψ(z) =

√2/L sin qz ou z est la coordonnee le long du fil et les modes propres sont q = nπ/L

avec n = 1, 2, 3, · · · . La probabilite est donc :

P (z, z′, t) =2

L

∑n>0

e−π2Ecn2t sinnπ

z

Lsinnπ

z′

L(8.53)

La probabilite depend maintenant des positions z et z′ et non plus uniquement de leurdistance. La probabilite de retour a l’origine P (t) s’obtient a partir de (8.53)

P (t) =∑n>0

e−π2Ecn2t (8.54)

qui tend vers 0 lorsque t→ ∞, ce qui traduit l’absence de mode zero.

• Bords reflechissants : fil isole

Pour un fil metallique isole, les electrons ne peuvent pas sortir et le courant de proba-bilite est donc nul. Ceci correspond a la condition aux limites de Neumann (8.48). Dans cecas, on obtient un spectre de modes propres identique a celui obtenu pour le fil connectea ceci pres que la valeur n = 0, qui correspond a une solution constante, est maintenantpermise, car c’est le courant et non la fonction propre qui s’annule aux extremites dufil. Les valeurs permises du vecteur d’onde sont q = nπ/L avec n = 0, 1, 2, 3, · · · , ou Lest la longueur du fil. Par contre, les solutions propres sont differentes et donnees parψn(r) =

√2/L cos qz, de telle sorte que la probabilite est :

P (z, z′, t) =1

L+

2

L

∑n>0

e−π2Ecn2t cosnπ

z

Lcosnπ

z′

L(8.55)

164 Supplements

La probabilite integree P (t) est donnee par

P (t) = 1 +∑n>0

e−π2Ecn2t (8.56)

et differe de l’expression (8.54) obtenue pour les conditions aux limites absorbantes parun terme constant correspondant au mode zero.

• Fil semi-infini

Le cas du fil semi-infini est aussi interessant. Il se deduit simplement des deux casprecedents en prenant la limite L→ ∞. Pour le bord absorbant par exemple, la probabiliteP (z, z′, t) s’obtient a partir de la relation (8.53) de sorte que

P (z, z′, t) =2

π

∫ ∞0

e−Dq2t sin qz sin qz′dq (8.57)

qui peut aussi se mettre sous la forme :

P (z, z′, t) =1√4πDt

[e−(z−z

′)2/4Dt − e−(z+z′)2/4Dt]

. (8.58)

De meme, pour le cas d’un bord reflechissant, on obtient, a partir de la relation (8.55),

P (z, z′, t) =2

π

∫ ∞0

e−Dq2t cos qz cos qz′dq (8.59)

ou encore

P (z, z′, t) =1√4πDt

[e−(z−z

′)2/4Dt + e−(z+z′)2/4Dt]

. (8.60)

8.3.5 La methode des images

Les relations (8.58) et (8.60) pour le cas d’un fil semi-infini peuvent s’interpreter sim-plement a l’aide de la methode des images utilisee en electrostatique pour decrire lessolutions de l’equation de Poisson avec des bords. Pour un bord reflechissant, la relation(8.60) s’interprete comme la superposition des contributions de deux charges, l’une placeeen z et son image placee en −z. Pour le cas d’une paroi absorbante ou la probabilite doits’annuler en z′ = 0, l’image doit avoir une ”charge” negative, comme le montre la relation(8.58).

Le cas de l’anneau unidimensionnel de longueur L peut aussi etre decrit par la methodedes images. On place une infinite d’images aux positions z+mL, ce qui permet d’interpreterle developpement (8.52) de la probabilite en nombres d’enroulements m.

Finalement, pour un fil de longueur finie, une transformation de Poisson des expressions(8.53) et (8.55) permet d’ecrire la probabilite sous la forme

P (z, z′, t) =1√4πDt

∞∑m=−∞

[e−(z−z

′+2mL)2/4Dt ± e−(z+z′+2mL)2/4Dt]

(8.61)

Le signe + correspond aux conditions aux limites de bord dur et le signe − correspondaux parois absorbantes. La forme obtenue s’interprete simplement comme la diffusion apartir d’une infinite d’images de charge positive situees au points d’abscisse z + 2mL etd’images situees aux points d’abscisse −z + 2mL. Selon la condition aux limites choisie,ce deuxieme ensemble d’images possede des charges positives ou negatives.


8.3.6 Autre derivation de l’equation de diffusion

La resolution de l’equation integrale (4.11) qui conduit a la solution (4.14) est exacte.Dans l’approximation de diffusion, la solution se reduit a (4.20), donc (4.21). Dans cetteapproximation, il est aussi possible d’obtenir (4.21) directement dans l’espace reel. Cettederivation est particulierement utile pour obtenir une equation differentielle pour le coope-ron en presence d’un champ magnetique. Partons de l’equation integrale (4.11)et effectuonsune transformee de Fourier temporelle. La transformee de Fourier P (r, r′, ω) est solutionde

P (r, r′, ω) = P0(r, r′, ω) +

1

τe

∫P (r, r1, ω)P0(r1, r

′, ω)dr1 . (8.62)

A l’approximation de diffusion, les variations spatiales de Pω(r, r′) sont lentes 2. On peut

alors developper P (r, r1, ω) autour de r1 = r′ :

Pω(r, r1) = Pω(r, r′) + (r1 − r′).∇r′Pω(r, r

′) +1

2[(r1 − r′).∇r′ ]2Pω(r, r

′) + · · · (8.63)

L’integrale du terme lineaire en gradient ainsi que les termes croises dans la contributionquadratique s’annulent par symetrie, de telle sorte que l’equation integrale (8.62) devient :

Pω(r, r′) = P0(r, r

′) + P (r, r′, ω)

∫P0(r1, r

′, ω)

τedr1

+1

2d∆r′Pω(r, r

′)

∫P0(r1, r

′, ω)

τe(r1 − r′)2dr1 + · · · (8.64)

Les deux integrales se calculent aisement :∫P0(r1, r

′, ω)dr1 =τe

1− iωτe≃ τe(1 + iωτe) (8.65)

∫P0(r1, r

′, ω)(r1 − r′)2dr1 = 2l2eτe

(1− iωτe)2≃ 2l2eτe (8.66)

Le developpement (8.64) peut alors se mettre sous la forme suivante

(−iω −D∆r′)Pω(r, r′) =

1

τeP0(r, r

′, ω) (8.67)

ou la constante de diffusion D est definie par D = vled = v2τe

d . d est la dimension d’espace

et v est la vitesse. A trois dimensions, P0(r, r′, ω), transformee de Fourier de (4.17), est

egale a

P0(r, r′, ω) =

eiωR/v−R/le

4πR2v(8.68)

ou R = |r− r′|. Dans la limite diffusive, on peut remplacer cette fonction dans le membrede droite de (8.67), par τeδ(r − r′). On obtient ainsi une equation de diffusion pourP (r, r′, ω) :

(−iω −D∆r′)Pω(r, r′) = δ(r − r′) (8.69)

qui est la transformee de Fourier de (4.21).

2. On utilise les deux notations P (r, r′, ω) ou Pω(r, r′).

166 Supplements

8.3.7 La probabilite P0

En toute dimension, la probabilite P0(r, r′, t) d’aller de r a r′ sans collision est

P0(R, t) =δ(R− vt)e−t/τe

ΩRd−1 (8.70)

ou Ω est l’angle solide en dimension d. C’est aussi la surface de la ”sphere” unite endimension d (Ω3 = 4π, Ω2 = 2π). v est la vitesse, R = r − r′ et R = |R|. La transformeede Fourier P0(r, ω) s’ecrit

P0(R, ω) =e−R/le+iωR/v

ΩvRd−1 (8.71)

Enfin la transformee de Fourier P0(q, ω) =∫P0(R, ω)e

−iq.RddR =∫P0(R, ω)e

−iq.RRd−1dRdΩse met sous la forme

P0(q, ω) = ⟨ τe1− iωτe + iqle cos θ

⟩ (8.72)

ou ⟨· · · ⟩ designe la moyenne angulaire. En developpant pour ωτe ≪ 1 et qle ≪ 1, onobtient

P0(q, ω) = τe(1 + iωτe −Dq2τe + · · · ) (8.73)

avec D = vle/d = v2τe/d, puisque ⟨cos θ⟩ = 0 et ⟨cos2 θ⟩ = 1/d. La table 8.7 presente lesexpressions de P0(R, t) et de ses transformees de Fourier en dimensions 1, 2 et 3.

3d 2d 1d

P0(q, ω)1

qvarctan

qle1− iωτe

τe√(1− iωτe)2 + q2l2e

τe(1− iωτe)

(1− iωτe)2 + q2l2e

P0(q, t) e−t/τesin qvt

qvte−t/τeJ0(qvt) e−t/τe cos qvt

P0(R, ω)eiωR/v−R/le

4πR2v

eiωR/v−R/le

2πRv

eiωR/v−R/le

2v

P0(R, t)δ(R− vt)

4πR2e−t/τe

δ(R− vt)

2πRe−t/τe

δ(R− vt)

2e−t/τe

Figure 8.7 – Probabilite P0 d’aller de r a r′ sans collision pendant un temps t. R = |R| = |r−r′|.En toute dimension d, pour qle ≪ 1 et ωτe ≪ 1, on a P0(q, ω) = τe(1 + iωτe −Dq2τe + · · · ) avecD = vle/d.

8.3.8 Equation differentielle pour le cooperon

Il existe une contribution importante a la probabilite de diffusion quantique, pour lestrajectoires fermees. Cette contribution est appelee le cooperon. Nous avons vu que lacontribution du cooperon est egale a la contribution classique

Pint(r, r, t) = Pcl(r, r, t) . (8.74)

Toutefois en presence d’un champ magnetique, ces contributions sont differentes pourla raison suivante : le cooperon correspond a l’appariement de trajectoires parcourues


dans des sens opposes. En presence d’un champ magnetique B, l’amplitude associee a

une trajectoire entre deux points r et r′ acquiert une phase φ(r, r′) = e~∫ r′

r A · dl, ouA est le potentiel vecteur associe au champ B. Pour le diffuson, les deux trajectoiresappariees etant parcourues dans le meme sens, les phases disparaissent. Pour le cooperon,les deux trajectoires parcourues dans des sens differents sont donc dephasees d’une quantite

2φ(r, r′) = 2e~∫ r′

r A · dl. Ainsi l’equation integrale pour le cooperon s’ecrit

P (r, r′, ω) = P0(r, r′, ω) +

1

τe

∫P (r, r1, ω)P0(r1, r

′, ω)e−2iφ(r1,r′)dr1 (8.75)

En notant que

∇r1

[P (r, r1)e

−iφ(r1,r′)] ∣∣∣

r′=

[∇r′ + 2i

eA

~

]P (r, r′) , (8.76)

un calcul identique a celui de la section precedente conduit a

(−iω −D

[∇r′ + i

2e

~A(r′)

]2)P (r, r′, ω) = δ(r − r′) . (8.77)

Le cooperon obeit donc a une equation de diffusion dans laquelle la contribution du champmagnetique est prise en compte par la substitution

∇ → ∇+ i2e

~A . (8.78)

Cette substitution est analogue a la substitution ∇ → ∇ + ieA/~ dans l’equation deSchrodinger, mais ici avec une charge effective −2e au lieu de −e.

168 Supplements

8.4 Quantification a une dimension, methode WKB

V(x)

Ea b

Figure 8.8 – Potentiel V (x). Les points a et b tels que V (a) = V (b) = E sont appeles points derebroussement.

On presente ici une methode, appelee approximationWKB (Wentzel-Kramers-Brillouin),qui permet de trouver les solutions approchees (dans un sens que l’on precisera plus tard)de l’equation de Schrodinger pour un puits de potentiel V (x) a une dimension

− ~2

2m∂2xψ = [E − V (x)]ψ , (8.79)

la condition etant que ce potentiel soit lentement variable.

Si le potentiel est constant V (x) = V , les solutions sont de la forme e±ikx ou ~k =√2m(E − V ), pour E > V (x). Comme pour des ondes classiques, dans une ”boıte” de

longueur L, les valeurs de k permises sont telles que la taille de la boıte est un multiplede la demi-longueur d’onde

L = (n+ γ)λ

2c’est-a-dire kL = (n+ γ)π. (8.80)

n est le nombre de noeuds de la fonction d’onde, et prend donc les valeurs n = 0, 1, 2, · · · .Le parametre γ depend des conditions aux limites imposees aux bords de la boıte. Parexemple, pour des bords durs, la fonction d’onde s’annule en x = 0 et x = L et on obtientkL = (n + 1)π. Si on imposait a la fonction d’onde d’etre maximale (ventre) aux bords,on aurait kL = nπ.

Si le potentiel n’est pas constant, mais lentement variable, il semble raisonnable degeneraliser la forme de la fonction d’onde avec un facteur de phase qui varie sous la forme

e±i∫k(x)dx avec k(x) =

1

~√

2m(E − V (x)) . (8.81)

La condition de quantification (8.80), dite de Bohr-Sommerfeld, devient 3∫ b

ak(x)dx = (n+ γ)π (8.82)

3. Cette formule unidimensionnelle est un cas particulier d’une relation plus generale de la regle deBohr-Sommerfeld,

∮p(r) · dr = (n + γ)h ou l’integrale est prise sur une trajectoire classique fermee. Ici

cette integrale se reduit a 2∫ b

ap(x)dx = (n+ γ)h ou a et b sont les positions des points de rebroussement

de la trajectoire classique.

8.4 Quantification a une dimension, methode WKB 169

ou a et b sont les bords de la boıte. Si maintenant on cherche a resoudre l’equation deSchrodinger avec un potentiel V (x) sans bords, comme celui de la figure (8.8), la reglede quantification de Bohr-Sommerfeld garde la forme precedente, ou a et b designent lespositions des points de rebroussement, c’est-a-dire les positions qu’une particule classiquene peut pas depasser, et ou γ prend la valeur 1/2. Afin de montrer cette regle de quantifi-cation et de comprendre la signification du facteur γ, on part de l’equation de Schrodingerque l’on cherche a resoudre pour un potentiel lentement variable. Si E > V (x), on chercheles solutions sous la forme

ψ(x) = A(x)eiχ(x) . (8.83)

En injectant cette forme dans l’equation de Schrodinger (8.79), on obtient

− ~2

2m

[A′′ −Aχ′2 + i(Aχ′′ + 2A′χ′)

]= [E − V (x)] .A (8.84)

En negligeant A′′ et en separant parties reelle et imaginaire, on obtient

χ′2 =2m

~2(E − V ) ,

A′

A=

χ′′

2χ′(8.85)

ce qui conduit a des solutions de la forme

ψ(x) =α√k(x)

e±i∫k(x)dx . (8.86)

De meme, si E < V (x), les solutions varient exponentiellement

ψ(x) =α√κ(x)

e±∫κ(x)dx (8.87)

avec

κ(x) =1

~√

2m(V (x)− E)) . (8.88)

Si la forme (8.86) est correcte presque partout, elle ne l’est plus au voisinage des pointsde rebroussement puisque k(x) → 0, ce qui conduit a une divergence de la fonction d’onde.Un traitement particulier du voisinage de ces points est donc necessaire. On peut montrerque si le potentiel varie lentement autour du point a, la fonction d’onde dans le puits doitetre de la forme

ψ(x) ≃ 2α√k(x)

cos

[∫ x

ak(x)dx− π/4

](8.89)

De meme, on montre que si on effectue le developpement a partir du point de rebous-sement b, la fonction d’onde a la forme

ψ(x) =2α√k(x)

cos

[∫ x

bk(x)dx+ π/4

](8.90)

Le raccordement entre les deux formes (8.89) et (8.90) implique la quantification deBohr-Sommerfeld 4

∫ b

ak(x)dx = (n+ 1/2)π , n = 0, 1, 2, · · · (8.91)

4. A l’aide de la relation (8.91), montrer qu’on retrouve les niveaux exacts de l’oscillateur harmonique

170 Supplements

Plus generalement, l’approximation WKB conduit a

ψ(x) =α√k(x)

cos

[∫ x

ak(x)dx− φa

](8.92)

ψ(x) =α√k(x)

cos

[∫ x

bk(x)dx+ φb

](8.93)

∫ ba k(x)dx = (n+ γ)π avec γ = (φa + φb)/π (8.94)

ou φj = 0 pour une fonction maximale au bord, φj = π/2 pour une barriere de potentielinfinie et φj = π/4 pour un potentiel doux.

Par exemple, pour un potentiel infini d’un cote et doux de l’autre cote, comme le puitsde potentiel triangulaire, on a φa = 1/2 et φb = 1/4 de sorte que le facteur γ est egal a3/4 dans ce cas.

Figure 8.9 – A gauche, pour une barriere de potentiel infinie, la fonction d’onde s’annule au bord.A droite, pour un potentiel doux, variant lineairement au voisinage du point de rebroussement, lafonction d’onde est finie au point de rebroussement. Elle decroit exponentiellement d’un cote etoscille de l’autre cote, avec un decalage de phase π/4.

8.4 Quantification a une dimension, methode WKB 171

• Demonstration des expressions (8.87) et (8.89)

Pres du point de rebroussement a, on effectue un developpement lineaire du potentiel. En notantV ′ = ∂V/∂x|a,

V (x) = V (a) + V ′(x− a) = E + V ′(x− a) , V ′ < 0. (8.95)

Ainsi, l’equation de Schrodinger devient :

∂2xψ − 2mV ′

~2(x− a)ψ = 0 (8.96)

En posant x − a = βy, avec β3 = ~22m|V ′| , on obtient l’equation sans dimension, dite equation

d’Airy a

ψ′′ + y ψ = 0 (8.97)

dont la solution physique (qui ne diverge pas a l’infini) s’exprime a l’aide de la fonction d’AiryAi

ψ(y) = αAi(−y) (8.98)

ou α est un coefficient de proportionnalite. Cette fonction decrit le passage entre le comportementoscillant de la fonction d’onde pour x > a (y > 0) et sa decroissance exponentielle pour x < a(y < 0). Afin de retrouver la forme WKB (8.86) loin du point de rebroussement, on ecrit ledeveloppement asymptotique de la fonction d’Airy pour les grands arguments. Pour x > a (y > 0),

Ai(−y) →cos( 2

3y3/2 − π

4)

√πy1/4

, y > 0 (8.99)

En notant que√y = βk(x), et que 2

3y3/2 =

∫ x

ak(x)dx, on trouve ainsi

ψ(x) → α√πβk(x)

cos

[∫ x

a

k(x)dx− π/4

](8.100)

qui est bien la forme (8.89) avec 2α = α/√πβ .

Par ailleurs pour x < a (y < 0), le comportement asymptotique de la fonction d’Airy est

Ai(−y) ∼ e−23(−y)3/2

2√π(−y)1/4

y < 0 (8.101)

En notant√−y = aκ(x), et que 2

3(−y)3/2 =

∫ x

ak(x)dx, on trouve (8.87).

a. Quelques proprietes des fonctions d’Airy sont mentionnees page 208.

172 Supplements

8.5 Capacite quantique (probleme 2012)

La capacite d’un condensateur mesure la variation de charge induite par une variationde tension appliquee a ses armatures. Outre la contribution electrostatique bien connue,nous allons voir qu’il existe une autre contribution cinetique, d’origine quantique car lieeau principe de Pauli : pour ajouter une charge, il faut fournir une energie cinetique finie,de l’ordre de l’energie de Fermi. Dans ce probleme, on cherche ainsi a determiner lacapacite quantique de plusieurs systemes bidimensionnels. Dans les parties A et B, toutesles capacites sont definies par unite de surface.

A - Capacite d’une heterojonction semiconductrice

Figure 8.10 – Profil d’energie a l’interface GaAs/AlxGa1−xAs. Le gaz electronique 2D est confinepar le puits de potentiel triangulaire a l’interface z = 0.

On considere une heterojonction de deux semiconducteurs GaAs et AlxGa1−xAs (notedans la suite AlGaAs). Le profil energetique est rappele Figure 8.10. Un gaz d’electronsbidimensionnel de densite n2D est ainsi confine pres de l’interface AlGaAs-GaAs (z & 0).La masse effective des electrons a l’interface est m∗ = 0, 067me ou me est la masse del’electron libre. La permittivite electrique relative ϵr de GaAs est ϵr ≃ 11.

L’ensemble peut etre decrit comme un condensateur plan dont une armature est le gaz2D et l’autre est l’interface en contact avec la grille metallique (Figure 8.10). L’epaisseurl de ce condensateur plan est donc l = c+ d+ s, ou s = 20 nm est l’epaisseur du ”spacer”,d = 20 nm est l’epaisseur de la region dopee et c = 10 nm est l’epaisseur de la couche deprotection. Le dopage en impuretes de silicium (dans la region n-AlGaAs) est tel que ladensite n2D du gaz bidimensionnel d’electrons confines en z & 0 est n2D = 31015 m−2.

On cherche ici a determiner la capacite de cette heterojonction.

• Puits de potentiel triangulaire

On commence par decrire le confinement du gaz 2D dans le puits de potentiel trian-gulaire a l’interface AlGaAs-GaAs.

8.5 Capacite quantique (probleme 2012) 173

A.1 - On rappelle qu’au voisinage du plan z = 0, le profil de potentiel est localementlineaire V (z) = eEz pour z > 0. Rappeler l’expression du champ electrique local E enfonction de la densite n2D. Estimer numeriquement la valeur de ce champ electrique.

A.2 - Rappeler l’expression des niveaux d’energie εn(k) dans ce puits triangulaire, enprenant en compte le mouvement bidimensionnel le long de l’interface.

On suppose dans la suite que la temperature T = 0 et que seule la premiere bande estoccupee

A.3 - Rappeler l’expression de l’energie de Fermi εF en fonction de la densite electroniquen2D (on la definit de sorte que εF = 0 pour n2D = 0).

• Capacite de l’heterojonction GaAs - AlGaAs

On cherche a determiner la capacite de l’heterojonction, c’est-a-dire a montrer com-ment la densite n2D varie en fonction de la tension vg appliquee a la grille metallique. Onnote ainsi la capacite Ct (definie positive et par unite de surface) de l’heterojonction :

Ct = −∂Qe

∂vg= e

∂n2D∂vg

(8.102)

ou Qe = −en2D est la densite de charge du gaz 2D.

Nous allons voir que cette capacite a plusieurs contributions, d’une part une contribu-tion electrostatique (comme dans un condensateur classique), d’autre part une contributioncinetique, d’origine quantique puisque, a cause du principe de Pauli, les charges ajouteesont une energie voisine de l’energie de Fermi.

En l’absence de tension appliquee sur la grille metallique (vg = 0), les potentielschimiques respectifs µm et µs de la grille metallique et du gaz 2D sont identiques (lesnotations sont explicitees sur la Figure 8.10). L’application d’une tension de grille vgpositive abaisse le potentiel chimique de la grille par rapport a celui du gaz 2D : µm =µs − evg.

A.4 - Montrer que le potentiel chimique du gaz 2D est de la forme

µs = ε0(n2D) + εF (n2D) (8.103)

ou ε0(n2D) est l’energie du fondamental dans le puits de potentiel 1D cree a l’interface etεF (n2D) est l’energie de Fermi du gaz 2D a l’interface.

A.5 - Montrer que le potentiel chimique µm de la grille metallique est de la forme

µm = µ0 −e2l

ϵn2D (8.104)

ou µ0 est le potentiel chimique en l’absence du gaz 2D. L’expression de µ0 qu’on ne detaillepas ici est liee a d’autres caracteristiques de la jonction (les charges positives associees auximpuretes Si donneuses, et le potentiel Vb qui est une caracteristique de l’interface metal-GaAs) qui ne dependent pas de n2D. ϵ est la permittivite dielectrique du milieu.

A.6 - Ecrire la relation entre la difference de potentiel vg appliquee entre le metal et legaz 2D, et la densite n2D du gaz. Montrer qu’il existe une tension seuil vT pour obtenirun gaz d’electrons a l’interface AlGaAs-GaAs. Montrer que la capacite Ct peut se decrire

174 Supplements

comme la contribution de trois condensateurs en serie, dont on va maintenant decrire lescapacites.

• Capacite d’origine electrostatique

A.7 - L’ensemble constitue par les deux plans charges forme un condensateur pland’epaisseur l, dont les plaques sont la grille metallique et le gaz 2D. Donner l’expressionde la capacite Cg associee. Cette capacite geometrique est d’origine electrostatique.

• Capacite liee a la deformation du puits de potentiel

A.8 - La pente du puits de potentiel triangulaire depend de la densite de charge n2D.Par consequent le niveau d’energie du fondamental ε0 en depend aussi. A cet effet, on peutassocier une capacite Cg′ que l’on ecrira aussi sous la forme

Cg′ =ϵ0ϵrl′

(8.105)

ou l′ est une longueur que l’on determinera et que l’on comparera a l. On montrera quecette longueur l′ n’est autre que la distance moyenne z0 qui separe le gaz 2D de l’interfaceGaAs-GaAlAs. Estimer numeriquement cette distance. On utilisera l’expression du champelectrique obtenue en A.1. Verifier que l′ ≪ l. En deduire que la contribution de Cg′ estnegligeable devant celle de la capacite electrostatique.

• Capacite quantique

A.9 - En variant vg, on modifie l’energie de Fermi εF et par consequent le nombre deporteurs n2D. A cette variation est associee une capacite Cq. Montrer qu’elle est reliee ala densite d’etats au niveau de Fermi ρ(εF ) du gaz 2D :

Cq = e2ρ(εF ) . (8.106)

Cette contribution Cq est liee au principe de Pauli et est appelee ”capacite quantique”.Elle est d’origine cinetique et on verifiera qu’elle diverge si ~ → 0. Afin de la comparer ala capacite electrostatique Cg, on l’ecrira sous la forme

Cq =ϵ0ϵrlq

(8.107)

ou lq est une distance que l’on determinera. Ecrire lq en fonction du rayon de Bohr aB,puis comparer cette longueur a l et l′.

A.10 - Comparer les trois contributions Cg, Cg′ et Cq a la capacite totale. En conclureque la capacite d’un gaz 2D est essentiellement d’origine electrostatique, et que l’on peutnegliger la contribution de la capacite quantique.

Comme dans l’exemple precedent, la capacite quantique est en general grande devant lacapacite geometrique (electrostatique) et on peut alors negliger sa contribution (on rappelleque ce sont les inverses des capacites qui s’ajoutent). On peut avoir acces a la capacitequantique si celle-ci devient petite ou si elle presente une variation particuliere avec un


parametre exterieur. C’est ce qu’on va etudier dans les deux exemples qui suivent. Dansces exemples, deux contributions seront a retenir, la capacite geometrique Cg et la capacitequantique Cq (la troisieme contribution Cg′ est absente). On a ainsi

Ct = e∂n2D∂vg

et1

Ct=

1

Cg+

1

Cq. (8.108)

B - Capacite quantique du graphene

Dans le graphene ou la densite d’etats depend lineairement de l’energie et s’annule audemi-remplissage, la capacite quantique Cq = e2ρ(εF ) est faible, beaucoup plus petite quela capacite geometrique (electrostatique) et elle est donc aisement mesurable (on rappellequ’on mesure des capacites en serie). C’est l’objet du travail de la reference Density ofstates and zero Landau level probed through capacitance of graphene, L. A. Ponomarenkoet al., Phys. Rev. Lett. 105, 136801 (2010) d’ou est tire cet exercice.

Figure 8.11 – Representation schematique de la coupe d’une feuille de graphene deposee sur dusilicium oxide et sur laquelle a ete deposee une couche isolante d’alumine et une grille metalliqueen aluminum (”top-gate”) .

Une feuille de graphene est deposee sur un substrat de silicium oxyde. Afin de mesurerla capacite, on place une fine couche de dielectrique (alumine ϵr ≃ 9) d’une dizaine denm au-dessus et on la recouvre d’une grille metallique en aluminium (”top-gate”, voirFig. 8.11). L’ensemble graphene-Al2O3-Al forme ainsi un condensateur dont la capacitegeometrique est beaucoup plus grande que la capacite quantique.

B.1 - Evaluer la capacite geometrique Cg du condensateur forme par l’ensemble graphene-Al2O3-grille (ordre de grandeur). Verifier que cette estimation est du meme ordre de gran-deur que la capacite mesuree (Figure 8.12.a), l’imprecision provenant de l’incertitude surl’epaisseur du dielectrique.

B.2 - On rappelle que, dans le graphene, la relation de dispersion est lineaire ε(k) =±~vF |k| et la vitesse de Fermi est vF = 1, 15 106 m.s−1. Rappeler comment l’energie deFermi depend de n2D dans le graphene. Qu’y-a-t-il de nouveau par rapport au cas du gaz2D ?

176 Supplements

Figure 8.12 – a) Mesure de la capacite totale Ct, en fonction de la tension de grille vg. Lacapacite geometrique Cg est estimee a 0, 46µF/cm−2. b) Variation de la capacite quantique Cq enfonction de l’energie de Fermi, deduite de la mesure (a).

B.3 - Montrer la dependance de la capacite quantique en fonction de la densite deporteurs n2D :

Cq = β√n2D (8.109)

Donner l’expression de β. Evaluer numeriquement β (preciser les unites).

B.4 - A partir de (8.108) et (8.109), montrer que la dependence de la densite de porteursn2D en fonction de la tension de grille vg est donnee par :

en2D = Cgv∗(√

1 + vg/v∗ − 1

)2

(8.110)

On donnera l’expression et la valeur de la tension caracteristique v∗.

B.5 - Montrer que la dependance de la capacite totale en fonction de la tension degrille vg est donnee par

Ct(vg) = Cg

(1− 1√

1 + vg/v∗

). (8.111)

Decrire et commenter les deux limites vg ≫ v∗ et vg ≪ v∗.

B.6 - Comparer qualitativement avec la courbe experimentale (Figure 8.12.a). En pre-nant un point sur la courbe, extraire une estimation de v∗ et comparer avec la valeurtheorique attendue.

Dans les questions qui precedent, ils s’agissait de montrer qu’une dependance lineairede la densite d’etats en energie, c’est-a-dire une capacite quantique variant comme β

√n2D,

permettait de comprendre le resultat experimental de la figure 8.12.a. En fait, les auteursde l’experience ont effectue la demarche inverse. Il s’agissait, a partir de la mesure deCt(vg), de montrer que Cq varie comme

√n2D, ce qui implique une densite d’etats lineaire

en energie.


B.7 - Montrer comment en integrant la courbe experimentale 8.12.a, on peut deduirela dependance Cq en fonction de

√n2D, c’est-a-dire la courbe 8.12.b.

B.8 - A partir de la pente de la courbe de la figure 8.12.b, deduire le parametre β etdonc la vitesse de Fermi. Comparer avec la valeur connue donnee dans le texte.

B.9 - L’experience (Figure 8.12.a) montre que Ct(vg) ne tend pas vers 0 lorsquevg tend vers 0, comme on pourrait s’y attendre, mais garde une valeur finie [Ct(0) ≃0, 325µF.cm−2]. Montrer que de cette valeur finie, on extrait une valeur finie de la capa-cite quantique Cq. On voit ainsi que la capacite quantique sature pour une valeur finie dela densite de porteurs n2D que l’on estimera. Donner une explication possible pour cettesaturation.

• Capacite quantique du graphene sous champ magnetique

On rappelle l’expression des niveaux de Landau dans le graphene :

εn(B) = ±vF√2i~eB , i = 0, 1, 2, · · · . (8.112)

B.10 - La figure 8.13 montre la dependance de la capacite quantique en fonction de latension de grille vg, sous un champ magnetique de 16 T. Que devrait-on voir a temperaturenulle et en l’absence de desordre ? Montrer que cette figure prouve bien l’existence d’unniveau de Landau d’energie nulle.

B.11 - Calculer la position theorique des valeurs de vg pour lesquelles Cq est maximale.Comparer avec la Figure 8.13.

Figure 8.13 – Oscillations magnetiques de la capacite quantique Cq en fonction de la tension degrille vg, pour un champ magnetique B = 16T et pour differentes temperatures.

178 Supplements

C - Capacite quantique d’un gaz 2D sous champ magnetique

Si la mesure de la capacite quantique d’un gaz 2D est difficile, cela devient possiblesous champ magnetique car la densite d’etats presente des oscillations, dues a la quan-tification en niveau de Landau, et dont l’amplitude depend de la temperature. Commela capacite geometrique ne depend pas du champ magnetique, on peut donc extraire lacapacite quantique et ses variations avec le champ. La Figure 8.14 presente une mesurede la capacite totale Ct d’un gaz 2D sous champ magnetique, ainsi que la densite d’etatsqui a ete deduite de cette mesure. La surface de ce gaz 2D est S = 1, 6 10−7m2 (Ici lescapacites sont indiquees en valeur absolue et non pas par unite de surface).

Figure 8.14 – En haut, capacite totale Ct d’un gaz 2D sous champ magnetique. En bas, densited’etats ρ(ε) deduite de la mesure de capacite. La densite d’etats est donnee en unites de 1013 cm−2

eV−1.

C.1 - Commenter les deux courbes. Expliquer en particulier pourquoi la capacitepresente des pics etroits alors que la variation de la densite d’etats est plus douce. Es-timer la capacite geometrique d’apres la Figure 8.14.

C.2 - D’apres la courbe de densite d’etats, estimer la capacite quantique moyenne etla comparer a la capacite geometrique.

C.3 - Verifier que les minima de capacite totale Ct sont bien en accord avec les mi-nima de densite d’etats. Calculer par exemple la capacite quantique et la capacite totalecorrespondant au minimum de densite d’etats autour de 1, 43T .


On donne

~ = 1, 05× 10−34J.s

e = 1, 6× 10−19C

me = 9× 10−31kg

Permittivite du vide ϵ0 = 8, 85 10−12F.m−1

Rayon de Bohr aB =~24πϵ0mee2

= 0, 53A

180 Supplements

* * *

Capacite quantique - corrige* * *

A - Capacite d’une heterojonction semiconductrice

• Puits de potentiel triangulaire

A.1 - L’ensemble constitue un condensateur plan. Du cote de l’interface, les chargessont situees en z & 0. Au voisinage de ces charges, le champ electrique E est donne parE = −σ/ϵ, ou σ = −en2D est la densite de charge et ou ϵ = ϵ0ϵr est la permittivite. Ona donc localement un potentiel de la forme V (z) = eEz. Ce potentiel est triangulaire, carpour z < 0 on a une marche de potentiel qui correspond a la difference d’energie entre lesbandes de conduction de GaAs et GaAlAs. L’amplitude du champ electrique est

E =1, 6 10−19 × 3 1015

13× 8.85 10−12≃ 4 106V.m−1 . (8.113)

A.2 - On a vu dans le cours que les niveaux quantifies dans un puits triangulaire sontdonnes par

εn ≃ cn

[(eE~)2

2m∗

]1/3(8.114)

avec

cn ≃[3π

2(n+

3

4)

]2/3.

Pour n = 0, on obtient c0 = 2.3203. La valeur exacte est c0 = 2.3381. En prenant encompte le mouvement le long de l’interface, les niveaux d’energie sont

εn(k) = εn +~2k2

2m∗

ou k est un vecteur bidimensionnel.

A.3 - La densite electronique pour une energie εF (origine prise en ε0) est donnee par

n(εF ) =2

(2π)2πk2F =

k2Fπ

.

Par consequent l’energie de Fermi est donnee par [n2D = n(εF )]

εF =~2k2F2m∗

=~2πm∗

n2D

ce qui, au passage, nous rappelle que la densite d’etats ρ(εF ) a deux dimensions estconstante et donnee par

ρ(εF ) =∂n2D∂εF

=m∗

π~2.


• Capacite de l’heterojonction GaAs - AlGaAs

A.4 - Le potentiel chimique µs du gaz 2D est donne par

µs = ε0(n2D) + εF (n2D)

ou ε0(n2D) est l’energie du fondamental dans le puits triangulaire, donnee par

ε0(n2D) = c0

(~2e4

2m∗ϵ2

)1/3

n2/32D . (8.115)

A.5 - L’ensemble peut-etre decrit comme un condensateur plan dont une des armaturesest le gaz 2D. A la densite de charge surfacique σ = −en2D correspond donc un champelectrique E = −σ

ϵ =en2D

ϵ et un potentiel electrostatique ϕ(z) = −Ez = − en2Dϵ z. ϵ = ϵ0ϵr

est la constante dielectrique du milieu. Si on note µ0 le potentiel chimique de la grillemetallique en l’absence de gaz 2D, le potentiel chimique en presence du gaz devient

µm = µ0 − eϕ(z = −l) = µ0 −e2l

ϵn2D .

µ0 est le potentiel chimique en l’absence de gaz 2D. Il depend de la densite de chargespositives dans la region n-AlGaAs et de la difference de potentiel Vb, dite tension deSchottky, entre le semiconducteur et le metal.

A.6 - La tension vg est reliee a la difference de potentiel chimique µs − µm. Parconsequent

evg = µs − µm = ε0(n2D) + εF (n2D) +e2l

ϵn2D − µ0

Pour avoir un gaz a l’interface, il faut donc appliquer une tension superieure a une tensionseuil vT = −µ0/e.

La difference de potentiel chimique µs − µm depend donc de vg via trois mecanismesdifferents. La capacite totale Ct est donnee par

1

Ct=

1

e

∂vg∂n2D

=1

e2∂µs − µm∂n2D

=1

e2

(e2l

ϵ+

∂ε0∂n2D

+∂εF∂n2D

).

C’est donc la composition de trois capacites en serie.

• Capacite d’origine electrostatique

A.7 - La capacite d’origine electrostatique, dite capacite geometrique est donnee par

Cg =ϵ

l=ϵ0ϵrl

ou l’epaisseur du condensateur est l = c+ d+ s = 50 nm.

182 Supplements

• Capacite liee a la deformation du puits de potentiel

A.8 - Lorsque n2D varie, le puits se deforme, l’energie ε0 varie. Cela definit une capaciteCg′ telle que

Cg′ = e2∂n2D∂ε0

=ϵ

l′.

En utilisant (8.115), on a

l′ =ϵ

e2∂ε0n2D

=2ϵ

3e2ε0n2D

avec ϵ = ϵ0ϵr

On rappelle que la distance z0 est donnee par (cours et DM)

z0 =2

3

ε0eE

=2

3c0

(~2

2m∗eE

)1/3

ou on a utilise l’expression (8.114) pour ε0. Compte tenu de l’expression du champelectrique E = en2D/ϵ, on voit que l′ = z0. Numeriquement cette grandeur vaut, comptetenu de la valeur du champ electrique obtenue plus haut (Eq. 8.113)

l′ = z0 ≃ 8nm .

Tout se passe donc comme si l’epaisseur du condensateur que constitue ce dispositif etaitl + l′, ce qui est normal puisque le gaz 2D est en fait a distance l + l′ de l’armaturemetallique. Comme l′ ≪ l, on a Cg′ ≫ Cg. La contribution de Cg′ est donc negligeabledevant celle de la capacite electrostatique.

• Capacite quantique

A.9 - La capacite quantique est donnee par

Cq = e2∂n2D∂εF

= e2ρ(εF )

qui est une expression generale. Pour le gaz 2D, on obtient

Cq =m∗e2

π~2

que l’on peut recrire sous la forme

Cq =ϵ0ϵrlq

ou la longueur lq est donnee par

lq =ϵ0ϵrπ~2

m∗e2= aB

ϵr4

me

m∗.

En utilisant aB = 0, 53A, ϵr = 13, m∗ = 0, 067me, on obtient lq ≃ 2, 5 nm. Puisque lq ≪ l,

la capacite quantique est donc bien plus grande que la capacite electrostatique. Pour cegaz 2D, on peut donc negliger la contribution de la capacite quantique dans l’addition enserie des capacites inverses.


A.10 - La capacite totale inverse est la somme des inverses des capacites

1

Ct=

1

Cg+

1

Cg′+

1

Cq=

1

ϵ0ϵr(l + l′ + lq) ≃

l

ϵ0ϵr

avec l = 50 nm, l′ = 8 nm et lq = 2, 5 nm. La capacite de cette heterojonction est doncessentiellement d’origine electrostatique.

B - Capacite quantique du graphene

Dans le graphene, la densite d’etats depend maintenant de l’energie et s’annule audemi-remplissage. Cette singularite doit etre observee dans une mesure de capacite. Deplus, l’epaisseur geometrique du condensateur peut etre tres petite et la capacite quantiquepeut ainsi devenir plus petite que la capacite geometrique et etre mesuree facilement.

B.1 - Pour une epaisseur de dielectrique de 10 nm et de permittivite relative ϵr = 9,la capacite geometrique (par unite de surface) est

Cg =ϵrϵ0d

=9× 8, 9 10−12

10 10−9= 0.8µF.cm−2

qui est l’ordre de grandeur de la capacite mesuree (0.46µF.cm−2), l’epaisseur du dielectriquedevant etre sensiblement superieure a 10 nm.

B.2 - Pour une relation de dispersion lineaire,

ε = ±~vFk ,

la densite d’etats integree s’ecrit :

n(ε) =4

(2π)2πk2 =

k2

π=

ε2

π~2v2F,

ou le facteur 4 correspond a la degenerescence de spin et de vallee. En particulier n2D =k2F /π. L’energie de Fermi est donnee par εF = ~vFkF . Par consequent

εF = ~vF√πn2D (8.116)

au lieu d’une relation lineaire pour un gaz 2D massif ou la relation est lineaire :

εF =π~2

m∗n2D

B.3 - La capacite quantique est donnee par

Cq = e2∂n2D∂εF

=2e2

π~2v2FεF .

Contrairement au gaz 2D usuel, la capacite quantique depend du remplissage et s’annuleau demi-remplissage. En utilisant (8.116), on a

184 Supplements

Cq =2e2√π~vF

√n2D ≡ β

√n2D

ou, avec vF = 1, 15 106 m.s−1, on a β = 2e2√π~vF

= 2, 38× 10−10 F.m−1 (memes unites que

la permittivite).

B.4 - La capacite totale est donnee par l’addition des capacites inverses

1

Ct=

1

Cg+

1

Cq=

1

Cg+

1

β√n2D

(8.117)

Par ailleurs, en utilisant la definition (7 de l’enonce) de la capacite totale :

1

Ct=

1

e

∂vg∂n2D

=1

Cg+

1

β√n2D

.

L’integration conduit avge

=n2DCg

+2√n2Dβ

d’ou on tire

Cq = β√n2D = Cg(

√1 + vg/v∗ − 1) ,

ou on a introduit la tension caracteristique

v∗ =eCg

β2≃ 0, 0132V .

En elevant au carre, on obtient la relation demandee :

en2D = Cgv∗(√

1 + vg/v∗ − 1

)2

(8.118)

B.5 - En reportant cette expression dans (8.117), on obtient

Ct(vg) = Cg

(1− 1√

1 + vg/v∗

)(8.119)

• Dans la limite vg ≫ v∗, Ct → Cg. En effet, on s’est eloigne du point de Dirac et lacapacite quantique est grande et donc sa contribution (en serie) est negligeable.

• Dans la limite vg ≪ v∗, Ct → Cq =Cgvg2v∗ = β2

2e vg. On est tres proche du point de Dirac,la capacite quantique est tres petite et sa contribution est dominante.

B.6 - En prenant un point vg = 3V , Ct = 0.43 10−2 F.m−2, on obtient v∗ ≃ 0.0128V ,en bon accord avec la valeur attendue.

B.7 - En integrant la courbe experimentale Ct(vg) on obtient n2D(vg) :

e2n2D(vg) =

∫ vg

0Ct(vg)dvg .

Par ailleurs, la capacite quantique Cq(vg) est donnee par l’addition en serie des capacitesinverses, c’est-a-dire


Cq(vg) =Ct(vg)Cg

Cg − Ct(vg)

n2D et Cq(vg) sont donc deux variables parametrees par vg. En eliminant vg, on peut donctracer la courbe Cq(

√n2D), ce qu’on fait les auteurs de ce travail. En observant que la

dependance est bien lineaire, ils en deduisent que la densite d’etats est bien ici une fonctionlineaire de l’energie.

B.8 - D’apres la Figure 3.b de l’enonce, on deduit une pente

β =Cq√n2D

=7 10−2

3.15 108= 2, 2 10−10 F.m−2 (8.120)

d’ou on deduit la vitesse de Fermi

vF =2e2√π ~β

=2(1, 6 10−19)2√

π 1, 05 10−34 2, 2 10−10= 1, 25 106m.s−1 ,

ce qui est tres proche de la valeur connue indiquee dans l’enonce.

B.9 - Comme la capacite totale sature a la valeur Ct(0) donnee par

1

Ct(0)=

1

Cq(0)+

1

Cg,

on en deduit une valeur finie de la capacite quantique en vg = 0, Cq(0) = 1, 1µF.cm−2,ce qui conduit, compte tenu de la valeur (8.120) de β a n2D ≃ 2, 5 1011 cm−2. Meme sivg = 0, il reste donc une densite finie de porteurs. On peut attribuer cette saturation aufait que dans le graphene, meme si la densite moyenne de porteurs est nulle pour vg = 0,il existe des regions avec des electrons ou des trous. La fluctuation δn2D est donc finie etc’est ce que mesure cette experience.

B.10 - La capacite quantique est proportionnelle a la densite d’etats. Sous champmagnetique, celle-ci est constituee d’un ensemble de fonctions delta correspondant auxniveaux de Landau. Le pic en vg = 0 prouve l’existence d’un niveau de Landau a energienulle. Ici les pics sont elargis par le desordre et la temperature.

B.11 - La densite d’etats est maximale lorsque l’energie de Fermi coincide avec unniveau de Landau, donc lorsque

εF = ~vF√πn2D = vF

√2i~eB

ou, ce qui revient au meme, lorsque le nombre total d’electrons remplit un nombre entierde niveaux de Landau :

n2D = 4ieB

h

On rappelle que le facteur 4 correspond a la degenerescence de spin et de vallee. Eninversant l’expression (8.118) de n2D, on obtient

vgv∗

=

(1 +

√en2DCgv∗

)2

− 1

ou

vg = v∗[(1 +

√ib)2 − 1

]

186 Supplements

avec b = 4e2BhCgv∗

≃ 39, 4 ≪ 1. On a donc approximativement :

vg ≃ v∗(ib+ 2√ib)

ce qui donne pour les quatre premiers pics, 0, 0.69, 1, 28, 1, 85V , ainsi qu’on le voit sur laFigure 5 de l’enonce.

C - Capacite quantique d’un gaz 2D sous champ magnetique

Les donnes sont tirees de l’article : Direct measurement of the density of states of atwo-dimensional electron gas, T.P. Smith et al., Phys. Rev. B 32, 2696 (1985).

C.1 - La capacite totale est donnee par l’addition des capacites en serie

1

Ct=

1

Cg+

1

Cq(B),

la capacite quantique etant modulee par le champ magnetique puisque la densite d’etats endepend : Cq(B)/S = e2ρ(εF , B). Lorsque la densite d’etats est elevee, la capacite quantiqueCq est grande devant Cg. La capacite totale atteint alors son maximum Ctmax ≃ Cg qui nedepend pas du champ magnetique. Cela correspond aux plateaux de Ct. On peut doncestimer

Cg ≃ Ctmax ≃ 213 pF .

Ainsi la capacite totale Ct sature periodiquement a une valeur maximale comparable aCg, a chaque fois que la densite d’etats est elevee. Ceci explique pourquoi les deux courbesont des formes differentes.

C.2 - D’apres la courbe du bas, la densite d’etats moyenne est ρ(εF ) ≃ 3 1013 cm−2

eV−1 = 31017 m−2.eV−1. La capacite quantique est donc (attention ρ(εF ) est deja donneen unites d’eV). Cq = e2ρ(εF )S = 1, 6 10−19 × 3 1017 × 1, 6 10−7 = 7680 pF. La capacitequantique est grande devant la capacite geometrique, donc sa contribution en serie restefaible, sauf lorsque la densite d’etats atteint un minimum. Dans ce cas, capacite quantiqueet geometrique deviennent comparables et la capacite totale diminue fortement.

C.3 - Ainsi, pour le champ magnetique 1, 43 T, la capacite quantique Cq = 1, 6 10−19×3 1017 × 1, 6 10−7 ≃ 683 pF. La capacite totale est donc

1

Ct=

1

213+

1

683

donc Ct ≃ 192 pF, ce qui correspond au mininum mesure sur la courbe du haut.

8.6 Le bruit du courant (probleme 2010) 187

8.6 Le bruit du courant (probleme 2010)

Figure 8.15 – Mesure ”deux terminaux” du courant a travers une jonction tunnel.

On s’interesse aux proprietes de transport a travers une barriere tunnel. Celle-ci estconnectee a deux reservoirs par l’intermediaire de conducteurs parfaits (figure 8.15). Latemperature T est uniforme dans l’ensemble du dispositif, de sorte que l’equilibre ther-mique est realise. Une difference de potentiel V = VG − VD appliquee entre les deuxreservoirs induit un courant I, les electrons traversant la barriere isolante par effet tunnel.On note µG = ϵF −eVG et µD = ϵF −eVD, les potentiels chimiques respectifs des reservoirsde gauche et de droite, ou −e designe la charge de l’electron. On suppose que ϵF ≫ kT . Onnote Θ(ϵ) le coefficient de transmission en intensite, eventuellement dependant de l’energie,de la barriere tunnel.

Dans ce probleme, on s’interesse tout particulierement aux fluctuations temporellesdu courant, liees a la nature discrete de la charge electronique. L’intensite de ce courantfluctue au cours du temps pour deux raisons differentes :

• A temperature finie, ce courant a des fluctuations thermiques (bruit thermique, ditde ”Johnson-Nyquist”).

• Le courant est constitue par le franchissement aleatoire de la barriere tunnel par leselectrons dans un sens ou dans l’autre. Cette source de bruit, appele bruit de grenaille,bruit de Schottky, ou bruit en exces, est liee a la quantification de la charge et restepresente meme a basse temperature.

Les deux premieres parties decrivent les caracteristiques generales du bruit et per-mettent d’etablir les expressions generales (8.128) et (8.130) qui caracterisent les fluctua-tions du courant. Dans les parties suivantes, on etudie le bruit dans differents dispositifs,une jonction tunnel, un contact ponctuel quantique et un fil metallique.

188 Supplements

1 - Caracterisation du bruit - densite spectrale

Le transfert des electrons est un processus stochastique et le nombre d’electrons tra-versant la jonction dans un intervalle de temps donne est aleatoire. Plusieurs mesures decourant effectuees sur le meme systeme donnent donc des resultats differents. On cherchea decrire ces fluctuations.

On mesure le courant, note IT (t), pendant un intervalle de temps fini [0, T ] (on pren-dra garde de ne pas confondre le temps T et la temperature... aucune ambiguıte n’estpossible !). La fluctuation du courant δIT (t) = IT (t) − ⟨I⟩ autour de sa valeur moyenneest caracterisee par la fonction de correlation

C(t) = limT→∞

1

T

∫ ∞−∞

dt1⟨δIT (t1)δIT (t1 + t)⟩ . (8.121)

ou ⟨· · · ⟩ designe une moyenne statistique. On introduit la densite spectrale de bruit a lapulsation ω > 0. Cette quantite est definie par

S(ω) = 2

∫ ∞−∞

C(t) cosωtdt . (8.122)

1) Montrer que

S(ω) = limT→∞

2

T|⟨δIT (ω)⟩|2 (8.123)

ou IT (ω) est la transformee de Fourier de IT (t). Cette quantite est directement accessibleexperimentalement : dans le cas d’un bruit blanc (S(ω) independant de ω), on peut montrerqu’elle est donnee par S = ⟨δI2(t)⟩/∆f , ou ∆f est la bande passante en frequence dudetecteur.

A partir de maintenant, on notera I(t) ≡ IT (t), en omettant d’indiquer le temps T .

2 - L’approche ”paquets d’ondes”

Dans un premier temps, on considere des electrons sans spin. Afin de calculer le cou-rant moyen et ses fluctuations a travers une barriere de potentiel, on propose maintenantune description microscopique du bruit : on decrit le transfert d’un electron d’energie ϵcomme celui d’un paquet d’ondes constitue d’une superposition d’ondes planes d’energiescomprises entre ϵ et ϵ+∆ϵ. Les electrons traversent la jonction sous la forme de paquetsd’ondes independants et sont emis par les reservoirs a intervalles de temps τ reguliers,ou τ = h/∆ϵ, ∆ϵ etant la largeur en energie des paquets d’ondes. Le courant porte parune tranche d’energie ∆ϵ autour d’une energie ϵ est decrit comme une suite de paquetsse propageant soit de la gauche vers la droite, soit de la droite vers la gauche. Le courantassocie a l’energie ϵ, mesure dans l’intervalle de temps [0, T ], est donc de la forme

iϵ(t) = −eT/τ∑m=1

gm δ(t−mτ) . (8.124)

La fonction δ est une fonction etroite (ici un pic de Dirac) qui decrit l’emission des paquetsd’ondes a intervalles de temps reguliersmτ . Dans l’expression (8.124), gm est un entier qui,au temps mτ , peut prendre l’une des valeurs suivantes : gm = +1 si un electron a ete emisde la gauche vers la droite, gm = −1 pour une emission de la gauche vers la droite, gm = 0


si aucun electron n’a ete emis, gm = 0 si deux electrons ont ete emis simultanement, unde la gauche vers la droite, l’autre de la droite vers la gauche.

2-a) Montrer que la contribution de la tranche d’energie [ϵ, ϵ+∆ϵ] au courant moyens’ecrit :

⟨iϵ⟩ = − e

h∆ϵ⟨g(ϵ)⟩ (8.125)

ou ⟨· · · ⟩ designe ici une moyenne temporelle. En deduire que le courant moyen est donnepar

⟨I⟩ = − e

h

∫⟨g(ϵ)⟩dϵ (8.126)

ou on note ⟨g(ϵ)⟩ = ⟨gm⟩. On supposera (ergoditite) que moyennes temporelle et statistiquesont equivalentes.

2-b) Montrer que la fonction de correlation ⟨δiϵ(ω)δiϵ(−ω)⟩ est donnee par

⟨δiϵ(ω)δiϵ(−ω)⟩ =e2T

τ(⟨g2(ϵ)⟩ − ⟨g(ϵ)⟩2) (8.127)

ou iϵ(ω) est la transformee de Fourier de iϵ(t). Pour obtenir ce resultat, on suppose qu’il n’ya aucune correlation entre les processus de transmission aux temps mτ et m′τ si m = m′.

2-c) En sommant sur toutes les energies, montrer que

S = S(ω) =2e2

h

∫dϵ(⟨g2(ϵ)⟩ − ⟨g(ϵ)⟩2) , (8.128)

qui ne depend pas de la pulsation ω et que l’on notera dorenavant S.

2-d) Il s’agit maintenant de calculer explicitement le courant moyen ⟨I⟩ et le bruit Sen calculant les quantites ⟨g(ϵ)⟩ et ⟨g2(ϵ)⟩ pour une energie donnee ϵ (identique de part etd’autre de la barriere). La moyenne statistique est double, d’une part sur les occupationsthermiques des reservoirs, d’autre part sur les differents processus de transfert de chargeaffectes de leur probabilite respective. Au tempsmτ , six processus de transfert electroniquesont possibles selon l’etat initial dans lequel se trouve le niveau considere de part et d’autrede la barriere :

190 Supplements

A - L’etat considere est initialement occupe a gauche, inoccupe a droite, ce quel’on note (•, ). Quelle est la probabilite de cette configuration initiale ? Exprimercette probabilite en fonction des facteurs d’occupation fG et fD des deux reservoirs,respectivement aux potentiels chimiques µG et µD ? Dans ce cas :

A1 - Soit l’electron est transmis depuis la gauche vers la droite. Quelle est la pro-babilite p(•, → , •) associee a ce processus, produit de la probabilite thermiquepar la probabilite de transmission Θ(ϵ) ?A2 - Soit l’electron est reflechi. Quelle est la probabilite p(•, → •, ) associee ace processus ?

B - L’etat considere est initialement occupe a droite, inoccupe a gauche, (, •). Quelleest la probabilite de cette configuration initiale. Dans ce cas :

B1 - Soit l’electron est transmis depuis la droite vers la gauche. Quelle est laprobabilite p(, • → •, ) associee a ce processus ?B2 - Soit l’electron est reflechi et reste a droite. Quelle est la probabilite p(, • →, •) associee a ce processus ?

C - Le niveau est initialement vide de part et d’autre (, ). Quelle est la probabilitede cette configuration ?

D - Le niveau est initialement occupe de part et d’autre (•, •). Quelle est la probabilitede cette configuration ?

Pour chaque processus, indiquer la valeur de la charge transferee (gm = +1,−1, ou 0).Verifier que la somme des probabilites des differentes configurations est bien egale a 1.

2-e) Calculer ⟨g(ϵ)⟩. Retrouver ainsi l’expression de Landauer du courant moyen (enrajoutant la degenescence de spin)

⟨I⟩ = −2e

h

∫dϵΘ(ϵ) [fG(ϵ)− fD(ϵ)] , (8.129)

que l’on note I a partir de maintenant.

2-f) Lorsque la difference de potentiel V entre les reservoirs est faible, montrer qu’unerelation lineaire I = GV existe entre courant et tension et etablir l’expression de la conduc-tance G. Que devient cette expression a temperature nulle ?

3 - Expression generale du bruit

3-a) En utilisant les resultats des questions 2-c, 2-d, 2-e, etablir l’expression generaledu bruit sous la forme (en retablissant le spin)

S =4e2

h

∫dϵ(Θ(ϵ) [fG(1− fG) + fD(1− fD)] + Θ(ϵ)[1−Θ(ϵ)] [fG − fD]

2). (8.130)

3-b) Que devient l’expression de S lorsque la tension V est nulle ? Le resultat Seq ainsiobtenu correspond aux seules fluctuations thermiques du courant a l’equilibre (bruit deJohnson-Nyquist).

3-c) Demontrer que la distribution de Fermi-Dirac satisfait :

−kT ∂f∂ϵ

= f(1− f) (8.131)


et utiliser cette formule pour etablir la relation existant a temperature finie entre le bruit al’equilibre Seq et la conductance G. Justifier le terme de ”relation fluctuation-dissipation”employe pour designer cette relation.

3-d) Montrer la relation∫dϵfG(1− fG) =

∫dϵfD(1− fD) = kT (8.132)∫

dϵ(fG − fD)2 = 2kT

(eV

2kTcoth

eV

2kT− 1

)(8.133)

On pourra d’abord montrer que∫dϵfD(1− fG) =

eV

1− e−βeV(8.134)

ou β = 1/kT .

3-e) En supposant que le coefficient de transmission Θ ne depend pas de l’energie, endeduire une expression generale du bruit S en fonction de la tension V , de la temperatureT et du coefficient de transmission Θ de la barriere. Ecrire explicitement la contributionhors equilibre, celle qui s’annule lorsque V = 0. Cette contribution s’appelle ”le bruit degrenaille”. Elle resulte du caractere aleatoire du passage des electrons a travers la barriere.

3-f) Dans la limite eV ≫ kT , Montrer que S tend vers une valeur finie independantede la temperature que l’on calculera.

3-g) Que devient le bruit de grenaille lorsque la transmission Θ de la barriere tend vers0, ou vers 1 ? Interpretation.

3-h ) Etablir le rapport entre le bruit de grenaille (toujours dans la limite eV ≫ kTet l’intensite moyenne I. Montrer que dans la limite ou le coefficient de transmission estfaible, ce rapport permet de mesurer directement la charge electrique des porteurs.

4 - Jonction tunnel de faible transmission

On suppose toujours que la transmission Θ ne depend pas de l’energie et que Θ ≪ 1,mais le rapport eV/kT est quelconque.

4-a) Montrer que le bruit S s’exprime comme une fonction de l’intensite I sous laforme :

S = 2eI∗ϕ(I/I∗) (8.135)

ou ϕ est une fonction que l’on calculera et I∗ une intensite caracteristique dont on donneral’expression en fonction de la temperature et de la resistance R de la jonction.

4-b) Tracer l’allure de la fonction ϕ. Interpreter les limites de faible intensite et deforte intensite.

4-c) La figure (8.16) reproduit des mesures de bruit dans une jonction tunnel, pourdeux situations (a) et (b) differentes decrites dans la legende. Calculer pour les deuxcas l’intensite caracteristique I∗. Expliquer pourquoi deux regimes sont apparents sur lacourbe (a), et justifier quantitativement la valeur mesuree a faible intensite. Quel est leregime de bruit correspondant a la courbe (b). Quelle est la pente mesuree pour cettederniere courbe ? Est-ce le resultat attendu ?

192 Supplements

Figure 8.16 – Mesure du bruit S en fonction du courant I a travers une jonction tunnel de faibletransmission. La courbe (a) correspond au courant a travers une jonction de resistance R = 0.32GΩa la temperature T = 300K ; la courbe (b) correspond a R = 2.7GΩ et T = 77K, d’apres H.Birket al., Shot noise suppression in the single-electron tunneling regime, Phys. Rev. Lett. 75, 1610(1995).

————————————

Dans la suite, on definit le rapport

F =S

2eI(8.136)

appele facteur de Fano.

5 - Generalisation a plusieurs canaux

On admettra sans demonstration que dans le cas de plusieurs canaux de transmission,l’expression du bruit de grenaille (kT ≪ eV ) devient

S =4e3

h

∑n

Θn(1−Θn)V (8.137)

ou les Θn sont les coefficients de transmission associes aux modes propres de conduction.

5) Rappeler l’expression de la conductance dans le cas multicanal et donner l’expressiondu facteur de Fano.


6 - Le bruit dans un contact ponctuel quantique

Figure 8.17 – Contact ponctuel quantique.

Un contact ponctuel quantique (”QPC” en anglais) est une constriction realisee entredeux regions d’un gaz d’electrons bidimensionnel, dont le schema est rappele figure (8.17).La taille de la constriction est de l’ordre de la longueur de Fermi des electrons. En variantla tension de grille, il est possible de faire varier la largeur de la constriction et de fairevarier ainsi le nombre de modes de transmission. La transmission des modes successifspasse ainsi de Θn = 0 a Θn = 1.

Figure 8.18 – Facteur de Fano F en fonction de la conductance G (en unites de 2e2/h), dans unpoint contact quantique. Les courbes pleines sont les courbes theoriques. D’apres A. Kumar et al.,Experimental test of the quantum shot noise reduction theory, Phys. Rev. Lett. 76, 2778 (1996).

6-a) La figure (8.18) montre l’evolution du facteur de Fano en fonction de la conduc-tance G (en unites de 2e2/h) du point quantique. Montrer que la premiere branche de lacourbe correspond a la transmission par un seul mode. Quelle est l’equation de la courbeF (G) ?

6-b) Que se passe-t-il lorsque G = 1 ? A quoi correspond la branche suivante ? Montrer

194 Supplements

que l’equation de la seconde branche est

F (G) =(G− 1)(2−G)

G. (8.138)

Commenter la figure (8.18). Proposer une explication pour l’ecart entre theorie et experiencea partir de G = 1.

6-c) Quelle est l’equation de la neme branche correspondant a l’ouverture du neme

mode ?

7 - Le bruit dans un metal

On rappelle que, dans le regime metallique, les canaux Θn de transmission sont repartisselon la loi de distribution

P (Θn) =ld2L

1

Θn

√1−Θn

. (8.139)

ou ld est le libre parcours moyen, a un facteur numerique pres qui depend de la dimensiond’espace.

7) En deduire que, dans un metal diffusif, le facteur de Fano est un nombre universel(c’est-a-dire qu’il ne depend pas du desordre) que l’on determinera.


* * *Le bruit du courant - corrige

* * *

1 - Caracterisation du bruit - densite spectrale

1) On introduit la transformee de Fourier

δI(t1) =1

2π

∫ ∞−∞

δI(ω′)e−iω′t1dω′

δI(t1 + t) =1

2π

∫ ∞−∞

δI(ω)e−iω(t1+t)dω (8.140)

de sorte que

C(t) =1

4π2T

ydt1dωdω

′⟨δI(ω)δI(ω′)⟩e−i(ω+ω′)t1−iωt

=1

2πT

∫ ∞−∞

⟨δI(ω)⟩δI(−ω)e−iωtdω (8.141)

puisque∫dt1e

−i(ω+ω′)t1 = 2πδ(ω + ω′). Par ailleurs δI(−ω) = δI∗(ω), puisque I(t) estreel. Par consequent

C(t) =1

2πT

∫ ∫ ∞−∞

|⟨δI(ω)⟩|2e−iωtdt . (8.142)

En prenant la transformee de Fourier inverse et puisque C(t) est paire, on obtient

S(ω) = limT→∞

2

T|⟨δI(ω)⟩|2 . (8.143)

2 - L’approche ”paquets d’ondes”

Cette approche a ete developpee dans la reference : Wave paquet approach to noisein multichannel mesoscopic systems, Th. Martin et R. Landauer, Phys. Rev. B 45, 1742(1992).

2-a) On noteN = T/τ le nombre d’evenements tunnel pendant le temps T . La moyenne⟨iϵ⟩ du courant iϵ(t) est donnee par

⟨iϵ⟩ =1

T

∫ T

0iϵ(t)dt = − e

T

T/τ∑1

gm

∫ T

0δ(t−mτ)dt = − e

Nτ

N∑1

gm (8.144)

et puisque τ = h/∆ϵ,

⟨iϵ⟩ = − eτ⟨gm⟩ = −e∆ϵ

h⟨gm⟩ = −e∆ϵ

h⟨g(ϵ)⟩ . (8.145)

Le courant moyen total est obtenu en sommant sur toutes les tranches d’energie :

⟨I⟩ =∑

⟨iϵ⟩ = − e

h

∑⟨g(ϵ)⟩∆ϵ = − e

h

∫⟨g(ϵ)⟩dϵ (8.146)

196 Supplements

ou∑

designe la somme sur toutes les tranches d’energie.

2-b)

iϵ(ω) = −eN∑1

gm

∫δ(t−mτ)eiωtdt = −e

N∑1

gmeimωτ (8.147)

Par consequent la fonction de correlation ⟨δiϵ(ω)δiϵ(−ω)⟩ s’ecrit

⟨δiϵ(ω)δiϵ(−ω)⟩ = e2∑m,m′

[⟨gmgm′⟩ − ⟨gm⟩⟨gm′⟩]ei(m−m′)ωτ . (8.148)

On suppose que les evenements tunnel ne sont pas correles, donc ⟨gmgm′⟩ − ⟨gm⟩⟨gm′⟩ =[⟨g2m⟩ − ⟨gm⟩2]δm,m′ . Par consequent :

⟨δiϵ(ω)δiϵ(−ω)⟩ = e2N∑

m=1

[⟨g2m⟩−⟨gm⟩2] = e2T

τ

1

N

N∑m=1

[⟨g2m⟩−⟨gm⟩2] = e2T∆ϵ

h[⟨g2(ϵ)⟩−⟨g(ϵ)⟩2]

(8.149)

2-c) En sommant sur toutes les tranches d’energie qui sont non correlees entre elles,on obtient la densite spectrale de bruit

S = S(ω) =2e2

h

∫dϵ [⟨g2(ϵ)⟩ − ⟨g(ϵ)⟩2] (8.150)

qui ne depend pas de la pulsation ω.

2-d)

A - L’etat initial (•, ) a pour probabilite fG(ϵ)[1− fD(ϵ)], avec

fG(ϵ) =1

eβ(ϵ−µG) + 1, fD(ϵ) =

1

eβ(ϵ−µD) + 1(8.151)

Le processus correspondant au transfert d’un electron de la gauche vers la droite a doncpour probabilite

p(•, → , •) = fG(ϵ)[1− fD(ϵ)]Θ(ϵ) . (8.152)

et la charge transferee est gm = +1. Le processus correspondant a la reflexion d’un electronde la gauche vers la gauche a pour probabilite p(•, → •, ) = fG(ϵ)[1− fD(ϵ)] [1−Θ(ϵ)].Aucune charge n’est transferee dans ce processus (gm = 0).

B - L’etat initial (, •) a pour probabilite fD(ϵ)[1−fG(ϵ)]. Le processus correspondantau transfert d’un electron de la droite vers la gauche a donc pour probabilite

p(, • → •, ) = fD(ϵ)[1− fG(ϵ)]Θ(ϵ) . (8.153)

et la charge transferee est gm = −1. Le processus correspondant a la reflexion d’un electronde la droite vers la droite pour probabilite p(, • → , •) = fD(ϵ)[1 − fG(ϵ)][1 − Θ(ϵ)].Aucune charge n’est transferee dans ce processus (gm = 0).

C - La probabilite que le niveau soit inoccupe de chaque cote de la barriere (, ) est[1− fG(ϵ)][1− fD(ϵ)]. Dans ce cas, aucune charge n’est transferee (gm = 0).


D - La probabilite que le niveau soit occupe de part et d’autre (•, •) est fG(ϵ)fD(ϵ).Dans ce cas aussi, le transfert de charge est nul (gm = 0).

On verifie que fG(ϵ)[1−fD(ϵ)]+fD(ϵ)[1−fG(ϵ)]+[1−fG(ϵ)][1−fD(ϵ)]+fG(ϵ)fD(ϵ) = 1.

2-e) En ne considerant que les processus qui contribuent a un transfert de charge :

⟨g(ϵ)⟩ = p(•, → , •)× (+1) + p(, • → •, )× (−1)

=fG(ϵ)[1− fD(ϵ)]Θ(ϵ)× (+1)

+fD(ϵ)[1− fG(ϵ)]Θ(ϵ)× (−1)

= [fG(ϵ)− fD(ϵ)]Θ(ϵ) . (8.154)

Les deux derniers processus (C et D) ne contribuent pas au courant. En inserant ce resultatdans (8.146), et en multipliant par 2 pour tenir compte de la degenerescence du spin, onobtient le courant moyen

I = ⟨I⟩ = −2e

h

∫dϵΘ(ϵ) [fG(ϵ)− fD(ϵ)] . (8.155)

2-f)

fG(ϵ)− fD(ϵ) = f(ϵ+ eVG)− f(ϵ+ eVD) = e(VG − VD)∂f

∂ϵ(8.156)

ou f est le facteur de Fermi a l’equilibre. Comme V = VG−VD, on obtient la conductancesous la forme

G = 2e2

h

∫dϵΘ(ϵ)

(−∂f∂ϵ

). (8.157)

A temperature nulle, la distribution de Fermi est un creneau : f = θ(ϵF − ϵ) ou ϵF estle niveau de Fermi commun aux deux reservoirs (en l’absence de tension). Ainsi ∂f

∂ϵ =−δ(ϵ− ϵF ) et on obtient la formule de Landauer a temperature nulle :

G = 2e2

hΘ(ϵF ) (8.158)

3 - Expression generale du bruit

3-a) On calcule ⟨g2(ϵ)⟩, de facon analogue a (8.154) :

⟨g2(ϵ)⟩ = p(•, → , •)× (+1) + p(, • → •, )× (+1)

=fG(ϵ)[1− fD(ϵ)]Θ(ϵ)× (+1)

+fD(ϵ)[1− fG(ϵ)]Θ(ϵ)× (+1)

= Θ(ϵ) (fG + fD − 2fGfD) , (8.159)

de sorte que

⟨g(ϵ)2⟩ − ⟨g(ϵ)⟩2 = Θ(fG + fD − 2fGfD)−Θ2(fG − fD)2 . (8.160)

En remarquant que

fG + fD − 2fGfD = fG(1− fG) + fD(1− fD) + (fG − fD)2 . (8.161)

198 Supplements

et en multipliant par un facteur 2 pour tenir compte du spin, on obtient l’expressiongenerale du bruit :

S =4e2

h

∫dϵ(Θ(ϵ) [fG(1− fG) + fD(1− fD)] + Θ(ϵ)[1−Θ(ϵ)] [fG − fD]

2). (8.162)

avec fG = fG(ϵ) et fD = fD(ϵ).

3-b) Lorsque la tension V = 0, on a fG = fD = f . La contribution restant est le bruita l’equilibre, appele aussi bruit de Johnson-Nyquist :

Seq =8e2

h

∫dϵΘ(ϵ)f(1− f) . (8.163)

3-c)

∂f

∂ϵ= − βeβ(ϵ−µ)

(1 + eβ(ϵ−µ))2= −βf(1− f) . (8.164)

de sorte que

Seq = kT8e2

h

∫dϵΘ(ϵ)

(−∂f∂ϵ

). (8.165)

et en utilisant l’expression (8.157) de la conductance,

Seq = 4kT G . (8.166)

Cette relation lie une mesure (Seq) des fluctuations a l’equilibre a la conductance qui estun coefficient de transport (dissipation).

3-d) Commencons par calculer F (V ) ≡∫dϵfD(1− fG). Rappelons que µD−µG = eV .

F (V ) =

∫ ∞0

dϵ

eβ(ϵ−µD) + 1

(1− dϵ

eβ(ϵ−µG) + 1

)=

∫ ∞0

eβ(ϵ−µG)dϵ

(eβ(ϵ−µD) + 1)(eβ(ϵ−µG) + 1)(8.167)

F (V ) =1

1− e−βeV

∫ ∞0

dϵ

(eβ(ϵ−µG)

eβ(ϵ−µG) + 1− eβ(ϵ−µD)

eβ(ϵ−µD) + 1

)(8.168)

F (V ) =1

1− e−βeVln

1 + eβ(ϵ−µG)

1 + eβ(ϵ−µD)

∣∣∣∣∣∞

0

=eV

1− e−βeV. (8.169)

On a utilise βµ≫ 1. On deduit aisement de ce resultat que

F (0) =

∫dϵfG(1− fG) =

∫dϵfD(1− fD) = kT . (8.170)

Par ailleurs, puisque

(fG − fD)2 = fD(1− fG) + fG(1− fD)− fD(1− fD)− fG(1− fG) , (8.171)


on obtient facilement∫dϵ(fG − fD)

2 = F (V ) + F (−V )− 2F (0) = 2kT

(eV

2kTcoth

eV

2kT− 1

). (8.172)

3-e) En utilisant ces integrales et en supposant Θ independant de l’energie, on obtientfacilement

S =8e2

hkT

[Θ+Θ(1−Θ)

(eV

2kTcoth

eV

2kT− 1

)]. (8.173)

Le premier terme est la contribution d’equilibre de Johnson-Nyquist. Le second terme, quis’annule lorsque V = 0 est un bruit hors equilibre, appele ”bruit de grenaille”.

3-f) Ce terme reste fini a temperature nulle. Dans la limite eV ≫ kT , coth → 1 et onobtient une valeur independante de la temperature :

S0 =4e3

hΘ(1−Θ) . (8.174)

3-g) Le bruit de grenaille tend vers 0 dans les deux limites d’une barriere parfaitementtransparente (Θ = 0) et parfaitement isolante (Θ = 1) : le bruit resulte du caracterealeatoire de la transmission a travers la barriere de potentiel ; si la transmission est nulleou parfaite, ce caractere aleatoire disparaıt.

3-h) Puisque I = GV = 2e2

h ΘV , le rapport S0/I est egal a

S0I

= 2e(1−Θ) (8.175)

Il ne depend que de la charge des porteurs. Des mesures de bruit ont ainsi pu confirmerl’existence de quasiparticules de charge fractionnaire dans l’effet Hall quantique fraction-naire.

4 - Jonction tunnel de faible transmission

4-a) Dans la limite Θ ≪ 1, l’expression (8.173) se simplifie en

S =4e3

hΘV coth

eV

2kT(8.176)

La tension est proportionnelle au courant V = I/G = RI avec R = 1/G = h/(2e2Θ). Onpeut donc ecrire le bruit en fonction de l’intensite sous la forme

S

2eI∗= ϕ(I/I∗) =

I

I∗coth

I

I∗avec I∗ =

2kT

eR= 4

ekT

hΘ (8.177)

4-b) La fonction ϕ(I/I∗) est tracee sur la figure (8.19). Elle varie comme ϕ(x) ≃ 1+x2/3pour x ≪ 1 et comme ϕ(x) ≃ x pour x≫ 1. Pour I ≫ I∗, on est dans le regime de bruitde grenaille S ≃ 2eI, alors que pour I ≪ I∗, on retrouve le bruit thermique d’equilibreS ≃ Seq.

4-c) Les valeurs des parametres experimentaux conduisent a I∗ ≃ 0.16nA pour (a),alors que I∗ ≃ 5.10−3 nA pour (b). On observe donc le passage du regime de bruit ther-mique pour I < I∗ au regime de bruit de grenaille pour la courbe (a). Notons que la valeurmesuree a I = 0 est bien S/2e = I∗ ≃ 0.16nA. Pour la courbe (b), I∗ est si faible que

200 Supplements

-4 -2 0 2 40

1

2

3

4

II*

S2e

I*

Figure 8.19 – Bruit S/(2eI∗) en fonction de I/I∗.

toute la courbe est dans le regime de bruit de grenaille : la dependence en intensite estdonc lineaire, et la pente mesuree correspond bien a la relation : S = 2eI.

5 - Generalisation a plusieurs canaux

5) On rappelle que dans le cas multicanal, le courant est donne par

I = GV =2e2

h

∑n

Θn V (8.178)

Le facteur de Fano, defini par F = S/(2eI) est donc egal a

F =

∑nΘn(1−Θn)∑

nΘn. (8.179)

6 - Le bruit dans un contact ponctuel quantique

6-a) La premiere branche correspond a G < 1 (unites de 2e2/h). Il n’y a qu’un seulmode de transmission dont le coefficient Θ1 varie entre 0 et 1.

S =4e3

hΘ1(1−Θ1) et I =

2e2

hΘ1V (8.180)

et G = Θ1 en unites de 2e2/h. Par consequent le facteur de Fano F varie avec la conduc-tance G comme

F = 1−Θ1 = 1−G . (8.181)

6-b) Lorsque G = 1, le premier mode transmet parfaitement et le bruit s’annule.Lorsque G augmente au-dela de G = 1, le second mode commence a transmettre avec uncoefficient de transmission Θ2. Le bruit est uniquement du a la transmission de ce secondmode, puisque le premier mode conduit parfaitement.

S =4e3

h[0 + Θ2(1−Θ2)]V et I =

2e2

h(1 + Θ2)V (8.182)


et la conductance G = 1 + Θ2, en unites de 2e2/h. Le facteur de Fano est relie a latransmission du second mode :

F =Θ2(1−Θ2)

1 + Θ2=

(G− 1)(2−G)

G. (8.183)

Les branches correspondant a l’ouverture successive des modes sont representees sur lafigure (8.20). Pour la premiere branche, l’accord entre experience et la courbe theorique(8.181) est excellent. Il est moins bon pour la seconde branche et on remarque deja quepour G = 1, le bruit ne s’annule pas completement. Une explication possible est que latransmission du premier mode n’est pas parfaitement egale a 1.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.50.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Conductance GHunitésde 2 e2hL

Fa

cte

ur

de

Fa

no

F

Figure 8.20 – Facteur de Fano en fonction de la conductance G sans dimension. Les branchessuccessives correspondent aux equations (8.181, 8.183 et 8.185).

6-d) Si n− 1 canaux conduisent deja (transmission supposee parfaite), le bruit est dua la transmission du neme canal et le courant est du a la transmission parfaite des n − 1premiers canaux, plus celle du dernier canal avec un coefficient de transmission Θn :

S =4e3

h[0 + Θn(1−Θn)]V et I =

2e2

h(n− 1 + Θn)V (8.184)

et la conductance G = n − 1 + Θn, en unites de 2e2/h. Le facteur de Fano pour latransmission du neme mode est :

F =Θn(1−Θn)

n− 1 + Θn=

(G+ 1− n)(n−G)

G. (8.185)

7 - Le bruit dans un metal

7-a) Le bruit est donne par la contribution de tous les canaux avec la distribution deprobabilite des transmissions Θn. Dans la limite d’un grand nombre de canaux :

S =4e3V

h

∑n

Θn(1−Θn) =4e3

hV

∫ 1

0P (Θ)Θ(1−Θ)dΘ . (8.186)

202 Supplements

et le courant moyen est donne par

I =2e2V

h

∑n

Θn =2e2V

h

∫ 1

0P (Θ)ΘdΘ . (8.187)

Le facteur de Fano est donc egal a

F =

∫ 10 P (Θ)Θ(1−Θ)dΘ∫ 1

0 P (Θ)ΘdΘ. (8.188)

Dans un fil diffusif, la distribution des coefficients de transmission est telle que

P (Θ) ∝ 1

Θ√1−Θ

. (8.189)

On en deduit le facteur de Fano :

F =

∫ 10

√1−ΘdΘ∫ 1

01√1−ΘdΘ

=1

3. (8.190)

Cette reduction du bruit dans un conducteur metallique a ete observee experimentalement(1/3-shot noise suppression in diffusive nanowires, M. Henry et al., Phys. Rev. B 59, 2871(1999)).

Chapitre 9

Formulaire

Figure 9.1 – Les sept constantes fondamentales fixees definitivement par la Conference Generaledes Poids et Mesures en novembre 2018 (image CNRS).

RK klitzing 25812, 8074593045 Ω

me masse de l’electron ∼ 9, 1 10−31 kg

aB rayon de Bohr 4πϵ0~2/m2e2 ∼ 0, 53 10−10 m

µ0 permeabilite magnetique du vide ou constante magnetique ∼ 4π10−7 kg.m.A−2.s−2

ϵ0 permittivite electrique du vide ou constante dielectrique = 1/(µ0c2)

204 Formulaire

Densite d’etats et conductance

• Densite d’etats (par direction de spin) pour un spectre isotrope ε(k) = ε(|k|)

ρ(ε) =dAd

(2π)dkd−1

~v(9.1)

ou Ad est le volume de la sphere unite :

Ad =πd/2

Γ(1 + d/2), A3 =

4π

3, A2 = π , A1 = 2 (9.2)

• Densite d’etats (par direction de spin) pour le spectre ε = ~2k22m

ρ(ε) =dAd

(2π)dmkd−2

~2(9.3)

En particulier,

ρ(ε) =mk

2π2~2(d = 3) =

m

2π~2(d = 2) =

m

πk~2(d = 1) (9.4)

• Conductivite et conductance classiques (degenerescence de spin s = 2)

σ0 = se2Dρ0 = se2

~Ad

(2π)dkd−1F le (9.5)

G = σ0Ld−2 = s

e2

~Ad

(2π)d(kFL)

d−2kF le (9.6)

En dimension d = 3 :

G = se2

h

k2F le3π

A

L= s

e2

h

(le3L

)(k2FA

π

)(9.7)


G = se2

h

(le2L

)kFL (9.8)


G = se2

h

2leL

(9.9)

• Vitesses moyennes

⟨v2x⟩ =v2Fd

(9.10)

⟨vx⟩+ = vFAd−1Ad

(9.11)

205

Divers

• Les matrices de Pauli

σx =

(0 11 0

)σy =

(0 −ii 0

)σz =

(1 00 −1

)(9.12)

• Integrales thermiques

Fonction de Fermi f(ε) = 1/(eβ(ε−εF ) + 1)

−∂f∂ε

=β

4 cosh2 β2 (ε− εF )

,∂f

∂T= − 1

kBT 2

∂f

∂ε(9.13)

∫ ∞0

f(ε)dε = −∫ ∞0

ε∂f

∂εdε = kBT ln(1 + eβεF ) (9.14)

Pour µ = 0 ∫ ∞0

f(ε)dε = −∫ ∞0

εf ′(ε)dε = kBT ln 2 (9.15)

∫ ∞0

εf(ε)dε = −1

2

∫ ∞0

ε2f ′(ε)dε =π2

12(kBT )

2 (9.16)

∫ ∞0

ε2f(ε)dε = −1

3

∫ ∞0

ε3f ′(ε)dε =3

2ζ(3)(kBT )

3 (9.17)

• Fonction zeta de Riemann

ζ(s) =

∞∑1

1

ns(9.18)

ζ(3/2) ≃ 2, 612 , ζ(2) = π2/6 , ζ(4) = π4/90 (9.19)

• Utiles ∫ ∞0

dt√te−at =

√π

a,

∫ ∞0

dt

t(e−at − e−bt) = ln

b

a∫ ∞0

dt

t3/2(e−at − e−bt) = 2

√π(√b−

√a) (9.20)

∑n>0

1

π2n2 + y2=

1

2y

(coth y − 1

y

)(9.21)

∑n>0

cosnx

n2 + a2=

π

2a

cosha(π − |x|)sinhπa

− 1

2a2(9.22)

206 Formulaire

1

2

∫ ∞0

e−yt − e−zt

sinh(t/2)dt = Ψ(z +

1

2)−Ψ(y +

1

2) (9.23)

∫ ∞0

e−yx(1

x− 1

sinhx

)dx = Ψ(y +

1

2)− ln y/2

∫ ∞0

e−βx−γx

x32

dx =

√π

γe−2√βγ (9.24)

∫ ∞0

e−βx−γx

x12

dx =

√π

βe−2√βγ (9.25)

∫ ∞0

e−βx−γx

xdx = 2K0(2

√βγ) (9.26)

La fonction K0(x), appelee fonction de Bessel modifiee, a les comportements asymp-totiques suivants :

K0(x) ≃√

π

2xe−x , for x→ ∞ (9.27)

K0(x) ∼ −γ − lnx/2 , for x→ 0 (9.28)

ou γ ≃ 0.577 est la constante d’Euler.

∫d2ρ

eik⊥·ρ√ρ2 + z2

=2π

k⊥e−k⊥|z| , k⊥ = |k⊥| (9.29)

∫d2ρ

eik⊥·ρ√ρ2 + z2

e−√

ρ2+z2/La =2π

kae−ka|z| avec ka =

√k2⊥ + 1/L2

a (9.30)

• Fonction digamma Ψ(x)

Ψ(1

2+ x) ≃ lnx+

1

24x2+ · · · , pour x→ ∞ (9.31)

Ψ(1

2+ x) ≃ Ψ(1/2) + xΨ′(1/2) + · · · , pour x→ 0 (9.32)

Ψ(1

2) = −γ − 2 ln 2 (9.33)

ou γ ≃ 0.577 est la constante d’Euler.

N∑n=0

1

n+ x= lnN −Ψ(x) , pour N → ∞ (9.34)

207

• Formules de sommation de Poisson

∞∑n=−∞

f(n) =∑m∈Z

∫ ∞−∞

f(y)e2iπmydy (9.35)

∞∑n=−∞

f(n+ φ) =∑m∈Z

∫ ∞−∞

f(y)e2iπmydy e2iπmφ

Si f est une fonction paire :

∞∑n=−∞

f(n+ φ) =∑m∈Z

∫ ∞−∞

f(y)e2iπmydy cos 2πmφ (9.36)

• Transformees de Laplace

La transformee de Laplace

Pγ(r, r′) =

∫ ∞0

P (r, r′, t)e−γtdt (9.37)

de la probabilite de diffusion joue un role important en physique mesoscopique des conduc-teurs diffusifs, car elle represente la probabibite integree sur le temps, en presence d’unecoupure 1/γ due par exemple a des processus de dephasage. On presente ici quelques so-lutions pour la diffusion unidimensionnelle avec differentes conditions aux limites. Ces solu-tions peuvent s’obtenir, soit par transformation de Laplace des solutions (8.51,8.53,8.55,8.58,8.60),soit par resolution directe de l’equation differentielle

(γ −D∆)Pγ(r, r′) = δ(r − r′) (9.38)

On note Lγ =√D/γ, r = z et r′ = z′.

* Conditions aux limites periodiques

Pγ(z, z′) =

Lγ

2D

cosh(L− z − z′|)/2Lγ

sinhL/2Lγ(9.39)

* Systeme connecte a des reservoirs

Pγ(z, z′) =

Lγ

D

sinh zm/Lγ sinh(L− zM )/Lγ

sinhL/Lγ(9.40)

avec zm = min(z, z′), ZM = max(z, z′). Pγ(z, z′) converge dans la limite τγ → ∞ :

Pγ=0(z, z′) =

zmD

(1− zML

) (9.41)

* Fil isole

Pγ(z, z′) =

Lγ

D

cosh zm/Lγ cosh(L− zM )/Lγ

sinhL/Lγ(9.42)

* Fil semi-infini

Pγ(z, z′) =

Lγ

2D

[e− |z−z′|

Lγ ± e− (z+z′)

Lγ

](9.43)

selon que le fil est isole ou contacte en z = 0.

208 Formulaire

• Equation et fonctions d’Airy

L’equation differentielle

ψ′′ − xψ = 0 (9.44)

a pour solutionsψ(x) = αAi(x) + βBi(x) (9.45)

ou les fonctions Ai(x) et Bi(x), dites fonctions d’Airy, sont representees sur la figure (9.2).

Figure 9.2 – Fonctions d’Airy Ai et Bi.

• Pour x grand, ces fonctions ont les comportements asymptotiques suivants :

Ai(x) ∼ e−23x3/2

2√πx1/4

x > 0 (9.46)

Ai(x) ∼cos(23(−x)

3/2 − π4 )√

π(−x)1/4x < 0 (9.47)

Pour x < 0 grand, les zeros de la fonction d’Airy sont donc donnes approximativementpar (n ≤ 0)

xn = −[3π

2

(n+

3

4

)]2/3• Une propriete de la fonction d’Airy Ai : si −cn est un zero de la fonction d’Airy,

alors ∫∞0 xAi2(x− cn)dx∫∞0 Ai2(x− cn)dx

=2

3cn . (9.48)

209

• Tableau periodique des elements

Figure 9.3 – La table periodique.

Index

Equation de diffusion, 161

Absorption, 109

Aharonov-Bohm

effet, 16, 17, 90

oscillations, 73

Airy

equation, 171

fonction, 13, 171, 208

Albedo, 105

AlGaAs, 10

Amplitude de probabilite, 75

Anderson

localisation d’, 49, 86

modele d’, 97, 142

Approximation de diffusion, 79

Buttiker, 23, 39

balistique, 7

Balistique (transport), 15

BGS, 142

Boıte de Hikami, 85

Bohr-Sommerfeld (quantification de), 57, 168

Bruit

de grenaille, 187

thermique, 187

Cone

de retrodiffusion coherente, 105

de Dirac, 121

Canal

de bord, 64

transverse, 48

Capacite quantique, 174

CGPM, 57

Coefficient

de diffusion, 15, 108

de reflexion, 24, 37, 39, 107

de transmission, 23, 24, 32, 37, 39, 83

Coherence de phase, 87, 93

longueur de, 19, 73, 87

temps de, 87, 93Condition aux limites

bord absorbant, 163bord dur, 150, 163Dirichlet, 161Neumann, 161periodique, 150, 162

Conductance, 48, 86deux terminaux, 29, 40fluctuations universelles, 96, 100matrice de, 40quantification de la, 33quatre terminaux, 29, 42trois terminaux, 41

Conductance de Sharvin, 34, 35Conductance et transmission, 82Conductivite, 14

residuelle, 15Conjecture de Riemann, 144, 146Constante de structure fine, 56Constantes fondamentales, 203Contact (resistance de), 27Cooperon, 87, 90, 102, 166Correlations

spectrales, 135, 137spectrales en regime diffusif, 142

Corrections quantiques, 84Couplage

electron-electron, 94electron-phonon, 93

Courant de probabilite, 23Croisement quantique, 85, 86, 100, 112CVD, chemical vapor decomposition, 115Cyclotron (rayon), 58

Degenerescence d’un niveau de Landau, 58Desordre et effet Hall quantique, 59, 60Densite d’etats, 14, 26, 150

electrons dans le graphene, 123, 153electrons libres, 153modes electromagnetiques, 153

INDEX 211

modes acoustiques, 153diffusif, 7Diffusif (transport), 9, 15, 73Diffusion

equation de, 79, 108, 161approximation de, 79coefficient de, 15, 108coherente de la lumiere, 105condition aux limites de Dirichlet, 161condition aux limites de Neumann, 161constante de, 165libre, 80matrice de, 36multiple, 18, 106temps de, 81

Diffuson, 76, 77, 84, 102Dirac

equation de, 122cones de, 121points de, 121

Dirichlet (conditions aux limites), 161, 163Dopage module, 11Drude (modele de), 14, 15

Effet Hall quantique, 53Effet Hall quantique fractionnaire, 53Einstein (relation d’), 15Empreinte digitale magnetique, 96Enroulements (nombre d’), 164Epitaxie par jets moleculaires, 10Equation

d’Airy, 171de diffusion, 79, 108de Dirac, 122

Ergodiqueregime, 142, 143

Ergodique (regime), 81Etats de bord, 59, 60

Facteur de Fano, 192Fick (loi de ), 75Fluctuations universelles de conductance, 96,

100Fonction

ζ de Riemann, 205digamma ψ(x), 206d’Airy, 171, 208de correlation C1, 99de correlation C2, 100

de correlation C3, 100de Green, 75de partition, 80

Fonction ζ de Riemann, 146Fonction de comptage N(E), 135Formulaire, 203Formule de Landauer, 24Formule de Landauer multicanal—hyperpage,

32, 33

GaAs, 10Gaussienne (loi), 137GOE (Ensemble Orthogonal Gaussien), 139Graphene, 113

epitaxie, 114chaleur specifique, 124conductivite, 125densite d’etats, 123exfolie, 114liaisons fortes, 116niveaux de Landau, 126vallee, 122

Green (fonction de), 75Grenaille (bruit de), 187GUE (Ensemble Unitaire Gaussien), 139

Heterojonction de semiconducteurs, 10, 172Hermite (polynomes de), 61Hybridation sp2, 116

Images (methode des), 108, 164Impuretes magnetiques, 94Integrable (systeme), 131Invariance

par renversement du temps, 141Isolant topologique, 63, 70

Jacobien, 139Jauge de Landau, 61Johnson-Nyquist (bruit de), 187

Klitzing (quantum de resistance), 56

Landaujauge de, 61niveaux dans le graphene, 126niveaux de, 58

Landauer, 23, 63, 74, 97formule de, 24formule de (multicanal), 32, 33

212 INDEX

Libre parcours moyen elastique, 15, 73Lift-off, 9Lithographie electronique, 9Localisation

d’Anderson, 49, 86faible, 74, 86, 88, 112longueur de, 49

Loid’Ohm, 47, 48, 73de Fick, 75de Rayleigh, 98, 100

Longueurde coherence de phase, 19, 73, 87de localisation ξ, 49magnetique, 58

Lorentz (force de), 18, 54

Mesoscopique (Physique), 19Methode des images, 108, 164Methode WKB, 168metrologie, 72Magnetoconductance, 97Magnetoresistance negative, 74Matrice

de diffusion, 36de scattering—hyperpage, 36aleatoire, 135, 137aleatoire gaussienne, 137, 140complexe hermiticienne, 138de conductance, 40de transfert, 37de transmission, 33symetrique reelle, 137

Matthiessen, 14MBE, 10Mobilite, 15Modele de Drude, 14, 15Mode transverse, 31Mode zero, 161MOSFET, 55

Neumann (conditions aux limites), 161, 163Nitrure de bore, 122Niveaux de Landau, 58

graphene, 126

Ohm (loi d’), 47, 48, 73Oscillateur harmonique, 58, 127Oscillations

Aharonov-Bohm, 73Sharvin-Sharvin, 73, 90Shubnikov-de Haas, 55

Pauli (matrices de), 205Plateau de Hall, 66PMMA, 9Point contact quantique, 34Point de Dirac, 121Poisson

distribution de, 131, 136Poisson (formules de sommation), 207Probabilite

P (s) des ecarts entre niveaux, 131, 135,140

de diffusion, 80de diffusion quantique, 75, 84de retour a l’origine, 79

QPC, 34Quantification de la conductance, 33Quantum

de flux ϕ0 = h/e, 17, 73de resistance RK , 26, 56

Reflexion (coefficient de), 24, 37, 39Repulsion (des niveaux d’energie), 131, 132,

137, 138Reservoir, 23, 24Resistance

de contact, 27deux terminaux, 29quantum de, 26, 56quatre terminaux, 29, 40, 44

Retrodiffusion coherente, 105Rayleigh

loi de, 98, 100Rayon cyclotron, 58Riemann (conjecture), 144Riemann :conjecture, 146Rigidite spectrale, 141

Schottky (bruit de), 187Sharvin

conductance de, 35Sharvin-Sharvin

oscillations, 73, 90Shubnikov-de Haas (oscillations), 55Skipping orbits, 62Spacer, 11

INDEX 213

Speckle, 97, 105Speckle fluctuations, 97Spectre des noyaux lourds, 132

Tavelure, 97Temps

de coherence de phase, 87, 89, 93de diffusion, 81de Thouless, 89

Terminal, 23, 39Theorie des matrices aleatoires, 131Thouless

energie de, 81temps de, 81, 162

Transfert (matrice de), 37Transmission

amplitude de, 47coefficient de, 23, 24, 32, 37, 39, 83matrice de, 33probabilite de, 47

Vallee (graphene), 122Variance Σ2(E), 136, 143Von Klitzing, 55

Webb, 17, 73Wigner, 137WKB (methode), 168

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Gilles Montambaux