Gnomons, astrolabestemps solaires

et heures de prières

Les sciences arabes

phm - version 2007/02/12

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Heure solaire et gnomon

La direction de l’ombre solaire (h et a) visualise l'écoulement du temps.

Les grecs puis les arabes possèdent les mathématiques pour passer de (h et a) à H

L’heure solaire la plus simple : Angle horaire Hliée au plan équatorial et à la direction Nord-Sud (méridien).

Heure régulière, indépendante de la latitude.

Construction de cadrans solaires, de l’astrolabe.

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Démarche mathématique entre•la règle des heures de prières•la mesure sur un gnomon•leur détermination avec l’astrolabe.

Heure solaire et gnomon

Dans les pays de religion musulmane,soleil très souvent présent, usage du gnomon : moments des prières imposées par le rituel.

Utilisation.

Tracé sur l’astrolabe

Etablissement des formules

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Les mathématiques permettent - par la mesure de l'angle de hauteur ou de la longueur de l'ombre- de calculer l'heure solaire.

L'heure de l'ombre du gnomon

L'ombre du gnomon donne► a : l'azimut du Soleil quand le Sud est bien repéré.

dépend de la latitude► h : la hauteur du Soleil

varie avec la dateL’indication du gnomon ne donne pas une heure répétitive avec les saisons.

La règle des heures de prière impose de savoir reconnaître le bon moment.

Recherche : Relation gnomon, ombre, hauteur, heure

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Relation gnomon, ombre, hauteur, heure

Le gnomon GP de hauteur L donne une ombre PO.Sa hauteur h est mesurable par l'astrolabe ou calculable par la formule :

tan hG PO P

LO P

Une valeur particulière de h est hm lors du passage au méridien.

tan hL

PO mm

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Relation gnomon, ombre, hauteur, heure (suite)

Mais au méridien, hm connue indépendamment de la mesure au gnomon :

h m 90

avec déclinaison du Soleil

- indépendante du lieu,

- dépend du jour de l'année (année solaire).

Il suffit d’avoir un tableau et connaître le jour du calendrier solaire.

m

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Relation gnomon, ombre, hauteur, heure (fin)

En trigonométrie sphérique•connaissant h, et , •on sait calculer l'angle horaire

L'heure solaire étant : TSol = H+12

co ssin sin sin

co s co sH

h

(1)

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Pour fixer l'heure de la prière, la règle coranique (ou mathématiquement adaptée) se sert de l'allongement de l'ombre du gnomon par rapport à la longueur de l’ombre méridienne.

Recherche : quelle (s) règle (s) édicter ?

De la règle religieuse à la courbe de l'astrolabe

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1) Prière de midi ou az-zuhr.

Se partage en deux temps : appel et début de la prière :

► Appel - l'ombre méridienne du gnomon s'est allongée d'un doigt

► Début - l'ombre méridienne du gnomon s'est allongée de trois doigts.

Règle (s) édicter ?

Le doigt est "la moitié du sixième du gnomon" - soit 1/12 de la longueur du gnomon- trois doigts valent un quart de gnomon.

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Règle (s) édicter ?

Pour chacun des allongements de l’ombre, au cours de l’année :

- calcul des hauteurs du Soleil - calcul de l'heure solaire H

Report sur l'astrolabe l'heure et la hauteur pour tracer les courbes en fonction de l'époque de l'année (par la déclinaison).

2) Prière de l'après-midi ou al-asr :

► l'ombre méridienne s'est allongée de la longueur du gnomon.

Selon d'autres auteurs (sans h) ce serait deux longueurs de gnomon.

Recherche : quelle relation mathématique ?

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Pour un jour donné, l'ombre méridienne est hm

OO ‘ = L est l'allongement de l'ombre du bâton.

: coefficient d’allongement de l’ombre

Relation mathématique

Relier cet allongement

à la hauteur h

puis à l'heure.

Un peu de mathématique.

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Relation mathématique

Dans le triangle OPG, on relie la hauteur du gnomon à l'ombre et à l'angle h

tan

tanco tan

hL

O O O PL

LLh

hm m

m

m

1

avec h m 9 0

tantan ( )

h

1

pour une date donnée, on peut calculer les heures de prières par la position du Soleil sur l'astrolabe.

avec la formule co ssin sin sin

co s co sH

h

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Recherche : calcul des valeurs de la hauteur du Soleil et des heures de prière dans un tableur au cours de l'année.

En fonction de la déclinaison du Soleil à différentes dates,

- pour les quatre valeurs de l'allongement de l'ombre (1/12, ¼, 1 et 2)

- pour une latitude connue,

à l’aide d’un tableur calculer :

►les hauteurs du Soleil

►les heures des prières

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- Données col. A et B : dates et déclinaisons du Soleil sur l’année- mettre dans la cellule (B4) la latitude- mettre les cellule (F11, J11, N11, R11) le coefficient d'allongement de l'ombre- colonne C : calculer valeurs h m avec sa formule- colonnes D, H, L, P : valeurs de la hauteur h avec sa formule- colonne E, F et G (idem [col. I, J, K], [col. M, N, P], [col. Q, R, S] :

valeurs de l'angle horaire H, l'heure solaire T (décimale et normale).

Travail

- Tracer pour l’az-zuhr, la variation de l’heure avec la date.

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Pour chaque prière (chaque ), porter pour les différentes dates les points (h;T) sur le tympan.

Tracés sur l'astrolabe.

Pour ne pas surcharger les réseaux de coordonnées, on construit leurs symétriques sous l'horizon (cercle bleu) par rapport au centre.

Ces points reliés entre eux forment les courbes de prières.

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Tracés sur l'astrolabe.

Tracer aussi les cercles de déclinaisons correspondant à quelques déclinaisons choisies (déclinaisons du Soleil à son entrée dans les signes du Zodiaque sur l'écliptique).

r requat

tan ( )9 0

2

On rappelle que dans la projection stéréographique de l’astrolabe, le rayon d'un cercle d'égale déclinaison a pour valeur

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Le Soleil sur l'ostentor est placé au jour désiré sur l'écliptique de l'araignée.

Détermination de la hauteur du Soleilet de l'heure au moment de la prière

• On amène le Soleil sur la courbe de prière,

On tourne l’ostentor de façon que le Soleil soit sur la courbe de prières choisie.

On lit l’heure de prière sur la graduation externe de la mère et la hauteur sur les amilcantarats.

Si les courbes de prières sont tracées sous l’horizon (habituellement)

• Le soleil étant à la bonne déclinaison,

• Rotation de 180S de l’ostentor, on lit la hauteur et l’heure de prière.

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Détermination de la hauteur du Soleilet de l'heure au moment de la prière