INSA Toulouse 1A Electrocinétique 1 2008/2009 Unités et Grandeurs

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    Units et Grandeurs

    Exercices dlectricit UV1 et UV2

    Edition 2008-2009

    Dpartement des sciences et techniques pour lingnieur

    Physique 1re anne

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    Chapitre 1 : Les grandeurs physiques et leur mesure

    1 - Notion de grandeur

    Une grandeur permet dexprimer quantitativement les proprits ou les caractristiques descorps.

    2 - Grandeurs physiques G

    2.1 Dfinition

    Toute proprit ou qualit caractrisant un systme physique, susceptible devariation (continue ou discontinue) et laquelle on s'efforce de faire correspondre :

    -soit un nombre - grandeur scalaire : M, U, T, ,L...

    -soit un vecteur - grandeur vectorielle : V , Fr

    2.2 Lois de la physique relations de dpendance entre grandeurs

    Ex : amF =

    2.3 Grandeurs mesurables - reprables

    Grandeur mesurable directement : (additives) par ex : tension U, poids. Grandeur mesurable indirectement: (non additives) par ex. , rsistivit (relation de

    dpendance : R = l/s)

    Grandeurs reprables : par ex. duret, date3 - Systme de grandeurs

    4 - Dimensions dune grandeur

    4.1 Dfinition

    G = k LMT... Systme de grandeurs fondamentales L, M, T

    Grandeurs

    (lois de la physique)

    Systme de grandeurs

    Drives(relations de

    dpendance)

    Fondamentales(choix arbitraire)

    LMTI

    JN

    FPS

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    quation aux dimensions ou dimension de G

    [G] = LMT

    4.2 Application

    Vrification de lhomognit dune formule

    [F] = MLT-2

    [E] = ML2

    T-2

    Conseil (ou plutt obligation !) : conserver les expressions littrales dans les calculs

    FAUTES DHOMOGENETE = FAUTES GRAVES

    Consquence : apparition de constantes dimensionnes par ex. rr

    'MMGF

    3=

    Chapitre II : Systmes dunits - Le systme S.I.

    1 - Gnralits - Mesure dune grandeur

    1.1 Grandeur mesurable

    a) Grandeur mesurableUne grandeur est mesurable sil est possible de concevoir une opration dfinissant lerapport de deux grandeurs de lespce envisage.

    b) Mesure dune grandeurLa mesure dune grandeurG, en adoptant la grandeur de mme espce u comme

    unit, est le rapport g( =u

    G)de ces deux grandeurs.

    La mesure de g na de sens que si lon prcise lunit choisie.

    1.2 Principe de mesure dune grandeur

    a) Mesure directeLa mesure est dite directe si la comparaison entre la grandeur tudie et la grandeurchoisie comme unit est possible grce un instrument de mesureExemple :

    b) Mesure indirecteSi la comparaison prcdente de la grandeur lunit est difficile, peu prcise ouimpossible, la mesure doit tre indirecte

    Exemple :

    talon de V ? on a V = D/T avec D unit de longueur et T unit de temps.La mesure de la grandeur G tudie est suppose relie aux mesures de grandeurs

    auxiliaires, directement mesurable par une loi physique ou mathmatique traduitepar une formule appele relation de dpendance, ici V = D/T.

    2 - Constitution gnrale dun systme dunit

    !

    Distance mesurer

    Unit

    V

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    2.1 Coordination des units

    Pour chaque espce de grandeur mesurable, on peut faire un choix dune grandeurparticulire appele unit, laquelle seront rapportes toutes les autres grandeurs decette espce. Comme les diverses grandeurs sont lies par des thormesmathmatiques ou des lois physiques, entre leurs mesures vont exister des relations dedpendances.

    Un systme cohrent dunits comprendra : un petit nombre dunits de base ( ou units fondamentales ), choisies de faon

    cohrente. des units drives des prcdentes par des formules sans coefficients

    numriques

    2.2 Units fondamentales

    Les grandeurs dont les units serviront dunits de base doivent se prter des mesuresdirectes trs prcises. Dautres part, il faut pouvoir raliser des talons fixant de faoninvariable certaines grandeurs intervenant dans la dfinition des units de base.

    UNITES FONDAMENTALES S.I.

    Mcanique m longueur : mtre

    kg masse : kilogramme

    s temps : seconde

    Electricit A intensit du courant : ampre

    Thermodynamique K temprature : Kelvin

    Photomtrie Cd intensit lumineuse : candelaChimie mol quantit de matire : mole

    2.3 Units drives

    Les formules retenues pour dfinir les units gomtriques et mcaniques drives sontles mmes pour tous les systmes LMT. Par exemple

    Vitesse = distance/temps sexprime en m.s-1.Acclration = vitesse sur temps en m.s-2Force = masse x acclration en kg. m.s-2 ou N (newton)

    2.4 Conventions lgales

    Nom des units et symboles Multiples et sous-multiples

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    Facteur multiplicatif Prfixe Symbole

    1018 exa E1015 peta P1012 tra T109 giga G

    106

    mga M103 kilo k102 hecto h101 dca da

    10-1 dci d10-2 centi c10-3 milli m10-6 micro

    10-9 nano n10-12 pico p10-15 femto f

    10-18 atto a

    Systmes dunits

    Cohrents Incohrents

    SI CGS MTS MKpS

    Units fondamentalesassocies aux grandeursfondamentales. Nombre miniEtalons - Minimum de coefdans les relations de dpendances

    m

    kg

    cm

    g

    m

    t

    m

    kgf

    s s s s

    Units A . . .. . . .

    . . . .. . . .

    Units drivesrelations de dpendance N

    Pa

    m2

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    3 - Systmes dunits

    3.1 Grandeurs et units fondamentales du systme SI

    Grandeurs G Units

    nom dimension nom symbole

    Longueur L mtre mFo Masse M kilogramme kgn

    d Temps T seconde same

    Intensit de courantlectrique

    I ampre A

    nta

    TempratureThermodynamique

    kelvin K

    le Intensit lumineuse J candela cds

    Quantit de matire N mole mol

    Suppl Angle plan radian radmenta Angle solide stradian srires

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    3.2 Autres systmes

    Grandeurs Systmes dunits

    CGS MTS SInom symbole nom symbole nom symbolelongueur L

    centimtrecm mtre m mtre m

    masse M gramme g tonne t kilogramme kgfondamentales

    temps T seconde s seconde s seconde s

    force F dyne dyn sthne sn newton N

    pression p barye pize pascal Pa

    travail W erg Joule J

    drives

    puissance P erg/s watt W

    Chapitre 3 : Calcul de petites variations erreurs de mesure calcul dincertitudesur la mesure dune grandeur

    1 - Calcul de petites variations

    Soit une grandeur physique G qui dpend dune autre grandeur physique x. La loi dedpendance scrit G=G(x).

    Exemple : la longueur dun fil varie avec la temprature suivant la loi approche :

    L=L0(1+).

    Si la grandeur physique x varie dune petite quantit dx autour dune valeur x0, lagrandeur G variera galement dune petite quantit G autour de G(x0). On peut utiliser

    la calcul diffrentiel pour estimer cette variation par :

    dx)x('Gdxdx

    dG

    dGG 0xx 0 =

    = = (voir figure)

    On voit que lapproximation est dautant meilleure que la variation de x est petite (sauf sila loi de dpendance est linaire auquel cas le calcul devient rigoureusement exact).

    x0 x0+dx

    dg

    G(x0+dx)

    G

    G(x0)

    x

    G

    Tangente en x0

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    Exemple : pour le fil, =

    =

    =

    d.Ldd

    dLdL 0

    0

    Gnralisation

    Si la grandeur physique dpend de plusieurs variables x, y, z la relation prcdente segnralise de la faon suivante :

    dzz

    Gdy

    y

    Gdx

    x

    GdGG

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    zzyy

    xx

    zzyy

    xx

    zzyy

    xx

    ===

    ===

    ===

    +

    +

    =

    dG reprsente lestimation de la petite variation de G autour de G(x 0, y0, z0) pour unepetite variation de dx de x, dy de y et dz de z autour de x 0, y0 et z0 respectivement.

    2 - Erreurs et incertitudes sur la mesure dune grandeur

    2.1 - Dfinitions

    2.1.a Valeur approche dune grandeur, valeur vraie -

    Valeur vraie : Toute grandeur physique G, dans des conditions exprimentales fixes, aune valeur parfaitement dfinie gv qui est inconnue lexprimentateur.

    Le rsultat de mesure gm dune grandeur G est le rsultat numrique obtenu enaffectant le rsultat brut donn par un instrument de mesure dun certain nombre decorrections convenables. Cest une valeur approche dont on voudrait bien connatrele degr dapproximation.

    2.1.b Erreurs

    On suppose la grandeur G dfinie avec une approximation bien meilleure que celle que

    permet datteindre lappareillage utilis, ce cas (frquent en T.P. ), permet de parler dunevaleur vraie gv de la grandeur G. Soit gm le rsultat dune mesure de la grandeur G.

    On appelle :

    erreur absolue du rsultat de mesure g (positif ou ngatif) dfini par : g = gm - gv . erreur relative du mme rsultat de mesure le rel

    vg

    g

    Ces deux quantits g etvg

    gsont inconnues ; on ignore mme leurs signes.

    2.1.c Incertitude sur une grandeur trs bien dfinie

    On appelle

    incertitude absolue du rsultat de mesure une limite suprieure raisonnable g de lavaleur absolue g de lerreur absolue g entachant ce rsultat

    incertitude relative (ou prcision) du mme rsultat une limite suprieure raisonnablede la valeur absolue

    vg

    gde lerreur relative

    vg

    gentachant ce rsultat.

    Le taux dincertitude caractrise la qualit dune mesure. Lapproximation est dautantmeilleure que lincertitude relative est plus petite.

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    2.2 - Causes derreurs

    2.1 Erreur due aux instruments de mesures.

    On peut citer : temps de rponse, hystrsis, erreur de zro

    2.2 Erreur due lexprimentateur

    On peut citer : le choix de la mthode de mesure, choix de lappareil de mesure, la lecture, lerglage de lappareil

    2.3 Dtermination de lincertitude sur une mesure directe

    4.1 Causes derreurs et dincertitude

    appareil : ga se reporter la notice. lecture : gl

    4.2 Incertitude sur la mesure

    g = ga + gl

    2.4 - Dtermination de lincertitude sur une mesure indirecte

    Le problme est le suivant : soit G une grandeur physique, quelle est lincertitude absolue grsultant de la mesure directe de trois grandeurs x, y, z sachant que g = g(x, y, z) (relation dedpendance) , les incertitudes sur x, y, z tant connues ?

    On utilise le calcul diffrentiel :

    g= g(x, y, z) diffrentielle : dz

    z

    gdy

    y

    gdx

    x

    gdg

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    zzyy

    xx

    zzyy

    xx

    zzyy

    xx

    ===

    ===

    ===

    +

    +

    =

    erreur : g dg avec dx, dy, dz inconnus (on ne connat que leursintervalles probables de variation x, y, z cest--dire que -x < dx < +x

    etc)

    incertitude : zz

    gy

    y

    gx

    x

    gg

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    zzyy

    xx

    zzyy

    xx

    zzyy

    xx

    +

    +

    =

    ===

    ===

    ===

    : majoration

    raisonnable de lerreur.

    Astuce de calcul dans le cas (frquent !) o g a une expression simple du genre produit ouquotient :

    on calcule ln g on diffrencie cette expression en remarquant que

    g

    dg)g(lnd = (voir exemples de TD)

    on calcule lerreur relativeg

    g

    on regroupe les termes faisant intervenir les erreurs identiques on calcule ensuite lincertitude en se plaant dans le cas le plus dfavorable

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    Tableau 1 Units lgales

    Grandeurs Units S I Multiples et sous-multiples dcimaux

    ayant un nom spcial

    Un

    Noms Symboles

    (1)

    Dimensions

    (2)

    Noms et symboles Noms et

    symboles

    Valeurs en

    S I

    N

    sy

    Longueur L mtre (m) mille

    Longueur d'onde L mtre (m)

    Nombre d'onde 1L

    1 par mtre (m

    1)

    Aire. superficie A 2L mtre carr (2

    m )are(a)hectare(ha)

    210 410

    Section efficace n 2L mtre carr (m2

    ) barn (b) 2810 Volume V 3L mtre cube (

    3m )

    litre(l) 310 Angle plan radian (rad) tour (

    gradedegrminutsecon

    Angle solide stradian (sr)

    Masse m M kilogramme (kg) tonne (t) 310 carat n

    Masse atomiqueam M

    kilogramme (kg) unit datomiq

    Masse liniquel

    ML 1 kilogramme par mtre (kg/m) tex(tex) 610 Masse surfacique

    A ML2

    kilogramme par mtre carr

    (kg m/ 2 )Masse volumique

    ML 3 kilogramme par mtre cube

    (kg m/3)

    Volume massique V 13ML mtre cube par kilogramme

    (m kg3/ )

    Concentrations ML

    3

    kilogramme par mtre cube

    (kg m/3)

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    Temps t T seconde (s) minuteheure( jou

    Frquence f 1T hertz (Hz)

    Vitesse V 1LT mtre par seconde (m/s) kilom

    heure nud

    Vitesse angulaire 1T radian par seconde(rad/s) tour pa(tr/mintour pa(tr/s)

    Acclration a LT2

    mtre par seconde carre (m/s2

    ) gal (Gal) 210 Acclration angulaire a 2T radian par seconde (rad/ s

    2)

    Force F 2LMT newton (N)

    Moment d'une force M 22MTL newton-mtre (N.m)

    Tension capillaire y 2MT newton par mtre (N/m)

    Travail, nergie, quantit dechaleur

    W 22

    MTL

    joule (J)watthelectro

    Intensit nergtique I 32 MTL watt par stradian (W/sr)

    Puissance, flux nergtique,flux thermique

    P 32MTL watt (W)

    Contrainte Pression P

    21MTL pascal (Pa) bar (bar) 510

    Viscosit dynamique v 11MTL pascal seconde(Pa-s)

    Viscosit cinmatique v 12TL mtre carr par seconde(m2

    /s)

    Intensit de courantlectrique

    I I ampre (A)

    Force lectromotrice,diffrence de potentiel,

    tension U 132

    IMTL

    volt (V)

    Rsistance lectrique R 232 IMTL ohm ()

    Intensit de champ lectrique E 13ILMT volt par mtre (V/m)

    Conductance lectrique G 2312 ITML siemens(S)

    Quantit d'lectricit, chargelectrique

    Q TI coulomb (C) amp(Ah)

    Capacit lectrique C 2412 ITML farad (F)

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    Inductance lectrique L 222 IMTL

    henry (H)

    Flux D'induction magntique 122 IMTL weber (Wb)

    Induction magntique B 12IMT

    tesla (T)

    Intensit de champmagntique

    H L I1

    ampre par mtre (A/m)

    Force magntomotrice F I ampre (A)

    Temprature T kelvin (K) degr Celsius (C)Capacit thermique entropie C

    S L MT2 2 1

    joule par kelvin (J/K)

    Capacit thermiquemassique, entropie massique

    c s

    L T2 2 1 joule par kilogramme kelvin( )[ ]K.kg/J

    Conductivit thermique LMT 3 1 watt par mtre kelvinK.m/W

    Activit A T1

    becquerel (Bq) curie (

    Exposition X TM I1

    coulomb par kilogramme (C/kg) roentg

    Dose absorbe D L T2 2

    gray (Gy) rad (rd) 2

    10

    Quantit de matire

    n N mole (mol)

    Intensit lumineuse I J candela (cd)

    Flux lumineux J lumen (lm)

    Eclairement lumineux E JL2

    lux (lx)

    Luminance lumineuse L L J2

    candela par mtre ( )2m/cd Vergence des systmesoptiques

    L1

    ( )1m dioptri

    (1)Les symboles des grandeurs sont ceux qui figurent dans les normes franaises.(2)Les formules de dimensions sont tablies partir des grandeurs de base : longueur (L), masse

    courant (I),temprature (). Intensit lumineuse (J), quantit de matire (N).

    (3) Le symbole de jour est (d) sur le plan international mais le symbole (J) est tolr en France

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    Units accessoires

    Grandeurs Symbole Valeur dans le S.I.

    Longueur :le parsec pc 1 pc m10.085,3 16= l'anne lumire

    1 anne lumire m10.46,9

    13

    = l'unit astronomique UA 1 UA m10.496,1 11= le mille terrestre 1 mille terrestre m10.609,1 3=

    l'angstrom m101 10=

    Surface :

    le barn b 228 m10b1 =

    Volume :le stre st 3m1st1 =

    Masse :

    le gramme g kg10g1 3=

    Temps :le jour 1 jour = 86 400 sl'heure h 1 h = 3 600 sla minute mn 1 mn = 60 s

    Frquence :le tour par minute

    Acclration :le gal 1 gal = s/m10 2

    Force :le sthne sn 1sn = 103Nle kilogramme force kgf 1 kgf= 9,81 N

    la dyne dyn 1 dyn = 10 5 N

    Pression :l'atmosphre normale atm Pa10.013,1atm1 5=

    ..............le kilogramme force parcentimtre carr 2cm/kgf kgf cm Pa / , .

    2 49 81 10=

    la pize pz Pa10pz1 3=

    le torr Pa10.334,1torr1 2=

    la barye Pa10barye1 1=

    Intervalle de temprature:le degr Celsius C 1C = 1 K

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    Energie :le watt heure Wh J10.6,3Wh1 3= le kilogrammtre kgm 1 kgm = 9,81Jla calorie cal 1 cal = 4,186Jl'erg 1 erg = J10 7 l'lectronvolt ev

    1 eV J10.1602,1

    19

    =

    Puissance :le cheval vapeur cv 1 cv = 736 W

    Induction magntique :

    le gauss 1 104gauss T =

    le gamma 1 109= T

    Flux magntique :le maxwell 1 maxwell = 10 8Wb

    Le champ magntique :l'rsted 1 rsted = 79,58 A/m

    Le systme MKpS

    Grandeurs Systme d'unit M K p S

    nom symbole

    longueur L mtre M

    Force kilogramme force Kgf

    temps T seconde s

    Masse unit de masse u.m.

    pression kilogramme force /m2 kgf/m2

    travail kilogrammtre Kgm

    puissance kilogrammtre par s kgm/s

    Fondamentales

    Drives

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    Principales Constantes Physiques

    Vitesse de la lumire c 2.99793 108 m/s

    Acclration de la pesanteur g 9.807 m s-2

    Charge de llectron e 1.6021 10-19 C

    Masse de llectron au repos me 9.1091 10-31 kg

    Charge spcifique de llectron e / me 1.7588 1011 C kg -1

    Electronvolt eV 1.6021 10-19 J

    Masse du proton au repos mn 1.6725 10-27 kg

    Unit de masse atomique u 1.6604 10-27 kg

    Nombre dAvogadro N 6.02252 1023 particules par mole

    Masse de latome de Carbone 126C 12.00000 u

    Rayon de Bohr a0 5.2917 10-11 m

    Temprature du point triple de leau 273.16 K

    Volume normal dun gaz parfait 2.2414 10-2 m3 mol-1

    Pression atmosphrique normale 1.01325 105 Pa = 760 torr

    Permittivit du vide 0 8.8544 10-12 N-1 m-2 C2

    Permabilit du vide 0 1.2566 10-6 m kg C-2

    Equivalent mcanique de la Calorie J 4.1855 J cal-1

    Constante des gaz parfaits R 8.3143 J K-1 mol-1

    Constante de la gravitation G 6.670 10-11 N m2 kg-2

    Constante de Coulomb 8.9874 109 N m2 C-2

    Constante de Faraday 9.6487 104 C mol-1

    Constante de Boltzman k 1.3805 10-23 J K-1

    Constante de Planck hh = h/2

    6.6256 10-34 J s1.0545 10-34 J s

    Constante de Rydberg 1.0974 107 m-1Constante de Stefan Boltzman 5.6686 10-3 W m-2 K-4