Groupes Anne Aux Corps

Laurent Garcin MPSI Lyce Jean-Baptiste Corot

GROUPES, ANNEAUX, CORPS

1 Notion de loi

1.1 Loi interne

Dfinition 1.1 Loi interne

Soit E un ensemble. On appelle loi interne sur E toute application de E E dans E.

Notation 1.1

Si est une loi interne sur E, limage dun couple (x, y) E2 par est note x y plutt que (x, y).La notation (E, ) signifie lensemble E muni de la loi interne .

Exemple 1.1

I La loi + est une loi interne sur N mais pas la loi .I Soit A un ensemble. Les lois et sont des lois internes sur P(A).I Le produit vectoriel est une loi interne sur lensemble des vecteurs de lespace mais le produit scalairenen est pas une.

Remarque. Un ensemble muni dune loi interne sappelle un magma.Si la loi nest pas une loi usuelle, on appelle souvent llment x y le produit de x et y, par analogie avec lamultiplication. Bien entendu, si la loi est note +, on parlera plutt de somme.

1.2 Associativit

Dfinition 1.2 Associativit

Soit une loi interne sur un ensemble E. On dit que est associative si pour tout (x, y, z) E3 :

x (y z) = (x y) z

On peut alors noter x y z sans parenthses.

Exemple 1.2

I La multiplication sur C est une loi interne associative.I La soustraction sur Z est une loi interne non associative.

1.3 Commutativit

Dfinition 1.3 Commutativit

Soit une loi interne sur un ensemble E. On dit que est commutative si pour tout (x, y) E2 :

x y = y x

http://laurentb.garcin.free.fr 1


Remarque. Le symbole + est gnralement rserv aux lois commutatives.

Exemple 1.3

I Laddition sur R est commutative.I La composition sur EE nest pas commutative ds que E possde plus de deux lments.

1.4 lment neutre et inversibilit

Dfinition 1.4 lment neutre

Soit une loi interne sur un ensemble E. On dit que e E est un lment neutre de (E, ) si

x E, x e = e x = x

Thorme 1.1 Unicit de llment neutre

Soit une loi interne sur un ensemble E. Si (E, ) possde un lment neutre, il est unique.

Remarque. Si la loi est additive (i.e. note +), llment neutre est gnralement not 0. Si la loi est multi-plicative (i.e. not ), llment neutre est gnralement not 1.

Remarque. Un ensemble muni dune loi interne associative et possdant un lment neutre est appel unmonode.

Exemple 1.4

I 1 est llment neutre de (C,)I est llment neutre de (P(E),) et E est llment neutre de (P(E),).I (N,+) ne possde pas dlment neutre.I IdE est llment neutre de (EE, ).

Dfinition 1.5 lment inversible

Soit une loi interne sur un ensemble E possdant un lment neutre e. On dit quun lment x de E estinversible pour la loi sil existe un lment x tel que

x x = x x = e

Un tel x sappelle un inverse de x.

Remarque. Llment neutre est toujours inversible et il est inverse de lui-mme.

Exemple 1.5

I Tous les lments non nuls de (Q,) sont inversibles.I 1 et 1 sont les seuls lments inversibles de (Z,).I Les lments inversibles de (EE, ) sont les bijections de E dans E.

Tout ce qui suit nest valable que pour les lois associatives possdant un lment neutre.



Thorme 1.2 Unicit de linverse

Soit E un ensemble muni dune loi interne associative possdant un lment neutre. Tout lment inversiblepossde un unique inverse.

Notation 1.2

Linverse est gnralement not x1 ou encore x1 sil y a un risque dambigut sur la loi interne. Si la loiest note +, on parle doppos plutt que dinverse et on le note x plutt que x1.

Thorme 1.3 Proprits de linverse

Soit E un ensemble muni dune loi interne associative possdant un lment neutre.

(i) Soit x E inversible. Alors x1 est inversible et (x1)1 = x.(ii) Soit (x, y, z) E3 avec x inversible. Alors

(x y = x z ou y x = z x) = y = z(iii) Soit (x, y) E2. Si x et y sont inversibles, alors x y est inversible et (x y)1 = y1 x1.

Remarque. La deuxime proprit signifie que lon peut simplifier gauche et droite.

Attention ! Linverse de x y nest pas x1 y1 mais bien y1 x1.1.5 Puissances

Notation 1.3 Puissance

Soit E un ensemble muni dune loi interne associative et dun lment neutre e.Soient x un lment de E et n N.

I Llment x x x n fois

se note xn ou encore xn sil ny a pas dambigut sur la loi.

I Par convention, on pose x0 = e.

I Si x est inversible, on pose xn = (x1)n = (xn)1.

Remarque. Si la loi est not additivement +, on parle plutt de multiple que de puissance et le multiplekme de x scrit kx plutt que x+k.

Proposition 1.1 Rgles de calcul

Soit E un ensemble muni dune loi interne associative et dun lment neutre e.Soient x un lment de E.1. Pour tout (n, p) N2, xn xp = xn+p.2. Si x est inversible, alors pour tout (n, p) Z2, xn xp = xn+p.

Attention ! En gnral (x y)n 6= xn yn, moins davoir commutativit de .



1.6 Distributivit

Dfinition 1.6 Distributivit

Soit E un ensemble et et > deux lois internes sur E. On dit que la loi est distributive par rapport > si :

(x, y, z) E2, x (y>z) = (x y)>(x z) et (y>z) x = (y x)>(z x)

Exemple 1.6

I La loi est distributive sur la loi + dans Z.I Pour tout ensemble E, lunion et lintersection sont deux lois distributives lune sur lautre dansP(E).

2 Groupes

2.1 Dfinition

Dfinition 2.1

On appelle groupe tout ensemble G muni dune loi interne vrifiant les conditions suivantes :(i) est associative,(ii) (E, ) possde un lment neutre,(iii) tout lment est inversible.

Remarque. Il peut arriver quon parle dun groupe sans prciser sa loi. Le produit de deux lments x et yde G se notera alors simplement xy.

Dfinition 2.2 Groupe commutatif

Soit (G, ) un groupe. Si la loi est commutative, on dit que le groupe (G, ) est commutatif ou ablien.

2.2 Groupes classiques

Proposition 2.1 Ensembles de nombres

I (Z,+), (Q,+), (R,+) et (C,+) sont des groupes commutatifs dlment neutre 0.I (Q,), (R,) et (C,) sont des groupes commutatifs dlment neutre 1.

Remarque. Quand on parle du groupe R sans prciser la loi, on parle toujours du groupe additif (R,+). Demme, quand on parle du groupe C sans prciser la loi, on parle toujours du groupe multiplicatif (C,).

Proposition 2.2 Groupe symtrique

Soit E un ensemble. Lensemble des bijections de E sur E est not S(E). (S(E), ) est un groupe dlmentneutre IdE.



Proposition 2.3 Ensembles de transformations du plan

On note P le plan. Les ensembles suivants munis de la loi de composition sont des groupes dlment neutreIdP :

I lensemble des homothties du plan de rapport non nul,I lensemble des translations du plan,I lensemble des rotations du plan,I lensemble des similitudes directes du plan de rapport non nul,I lensemble des similitudes du plan de rapport non nul.

Remarque. Les lments inversibles dun monode forment un groupe.

2.3 Sous-groupes

Dfinition 2.3 Sous-groupe

Soient (G, ) un groupe et H un ensemble. On dit que H est un sous-groupe de G si :(i) H G(ii) H contient llment neutre,(iii) H est stable pour la loi i.e. (h, h ) H2, h h H,(iv) H est stable par passage linverse i.e. h H, h1 H.

Exemple 2.1

Soit G un groupe dlment neutre e. Alors G et {e} sont des sous-groupes de G.

Remarque. Si H est un sous-groupe dun groupe (G, ). Alors pour tout (h,n) H Z, hn H.

Proposition 2.4

Soient (G, ) un groupe et H un sous-groupe de G. Alors (H, ) est un groupe. De plus,(i) llment neutre de (H, ) est llment neutre de (G, ) ;(ii) si h H, linverse de h en tant qulment du groupe (H, ) est gal son inverse en tant qulment du

groupe (G, ).

Remarque. Si on voulait tre rigoureux, il faudrait munir H de la restriction de H.

Remarque. Si K est un sous-groupe de H qui est un sous-groupe de G, alors K est un sous-groupe de G.

Thorme 2.1 Caractrisation des sous-groupes

Soient (G, ) un groupe dlment neutre e et H un ensemble. Alors H est un sous-groupe si et seulement si(i) H G ;(ii) H contient llment neutre ;(iii) (h, k) H2, h k1 H.



Mthode Sous-groupes en pratiqueIl est souvent plus facile de montrer quun ensemble muni dune loi interne est un groupe en montrant quil estun sous-groupe dun groupe connu.

Exemple 2.2

I (Z,+) est un sous-groupe de (Q,+, ) qui est un sous-groupe de (R,+) qui est un sous-groupe de (C,+).I (Q,) est un sous-groupe de (R,) qui est un sous-groupe de (C,).I Soit n N. (Un,) est un sous-groupe de (U,) qui est un sous-groupe de (C,).I Les homothties de rapport non nul, les translations, les rotations et les similitudes directes formentdes sous-groupes du groupe des similitudes.I Soient E un ensemble et a E. Les lments de S(E) fixant a forment un sous-groupe de S(E).

2.4 Morphismes de groupes (hors-programme)

Dfinition 2.4 Morphisme de groupes

Soient (G, ) et (G , .) deux groupes. On appelle morphisme (de groupes) de G dans G toute applicationf de G dans G telle que :

(x, y) G2, f(x y) = f(x).f(y)On appelle endomorphisme (de groupe) de G tout morphisme de G dans G.

Exemple 2.3

I Lexponentielle est un morphisme de (R,+) dans (R,).I Le logarithme est un morphisme de (R,) dans (R,+).I Le module est un morphisme de (C,) dans (R,).I La valeur absolue est un endomorphisme de (R,).

Proposition 2.5 Morphisme, lment neutre et inverse

Soit f un morphisme de (G, ) dans (G , .). On note e et e les lments neutres respectifs de G et G . Alors(i) f(e) = e ,(ii) x G, f(x1) = f(x)1.(iii) x G, n Z, f(xn) = f(x)n.

Proposition 2.6 Morphisme et composition

Soient f : G G et g : G G deux morphismes de groupes. Alors g f : G G est un morphisme degroupes.



Proposition 2.7 Images directe et rciproque dun sous-groupe par un morphisme de groupes

Soit f : G G un morphisme de groupes.(i) Si H est un sous-groupe de G, alors f(H) est un sous-groupe de G .(ii) Si K est un sous-groupe de G , alors f1(K) est un sous-groupe de G.

Dfinition 2.5 Noyau et image dun morphisme

Soit f : G G un morphisme de groupes. On note e llment neutre de G .(i) On appelle noyau de f lensemble Ker f = f1({e }) = {x G | f(x) = e }.(ii) On appelle image de f lensemble Im f = f(G) = {f(x), x G}.

Remarque. Limage du morphisme f nest autre que limage de lapplication f.

Thorme 2.2

Soit f : G G un morphisme de groupes.(i) Ker f est un sous-groupe de G.(ii) Im f est un sous-groupe de G .

Exemple 2.4

Le module est un morphisme de (C, ) dans (R, ). Par dfinition, son noyau est U qui est donc un sous-groupede (C, ).De mme, {1, 1} est un sous-groupe de {R,} puisque cest le noyau de lendomorphisme valeur absolue de (R,).

Proposition 2.8

Soit f : G G un morphisme de groupes. On note e llment neutre de G.(i) f est injectif si et seulement si Ker f = {e}.(ii) f est surjectif si et seulement si Im f = G .

Remarque. En ce qui concerne la premire proposition, pour prouver linjectivit de f, il suffit de montrerque Ker f {e} puisque Ker f, tant un sous-groupe, contient ncessairement e.

Mthode Injectivit en pratiquePour prouver linjectivit dun morphisme de groupes f : G G , on commence la dmonstration par : Soitx G tel que f(x) = e et on montre que x = e.

Dfinition 2.6 Isomorphisme, automorphisme

Soient G et G deux groupes.On appelle isomorphisme de G sur G tout morphisme bijectif de G dans G .On appelle automomorphisme de G tout endomorphisme bijectif de G. On dit que G est isomorphe G sil existe un isomorphisme de G sur G .



Remarque. Dire que deux groupes sont isomorphes veut dire quils ont la mme structure. Si on connat lun,on connat lautre. Toute proprit lie la structure de groupe qui est vraie dans un groupe est aussi vraie dansun groupe qui lui est isomorphe.

Exemple 2.5

I (C,+) et (R2,+) sont isomorphes.I Notons #P et #E le plan et lespace vectoriel. Alors ( #P ,+) et ( #E,+) sont respectivement isomorphes (R2,+) et (R3,+).

Thorme 2.3 Rciproque dun isomorphisme

Soit f un isomorphisme de groupes de G sur G . Alors f1 est un isomorphisme de groupes de G sur G.

Thorme 2.4 Groupe des automorphismes

Soit G un groupe. Lensemble des automorphismes de G, not Aut(G), est un sous-groupe de (S(G), ).

3 Anneaux

3.1 Dfinition et premires proprits

Dfinition 3.1 Anneau

On appelle anneau tout triplet (A,+,) o A est un ensemble et + et sont des lois internes sur A vrifiantles conditions suivantes :

(i) (A,+) est un groupe commutatif dont llment neutre est gnralement not 0A ou 0,(ii) est associative,(iii) A possde un lment neutre pour gnralement not 1A ou 1,(iv) est distributive sur +.

Si est commutative, on dit que lanneau (A,+,) est commutatif.

Exemple 3.1

I (Z,+,), (Q,+,), (R,+,) et (C,+,) sont trois exemples danneaux commutatifs.I (Rn,+,) est un anneau commutatif (laddition et la multiplication seffectuant composante par com-posante).I (RR,+,) est un anneau commutatif.I Lensemble des polynmes coefficients dans R (not R[X]) est aussi un anneau commutatif.

Notation 3.1

Soit A un anneau. On note A lensemble des lments inversibles de A.

Proposition 3.1

Si (A,+,) est un anneau, (A,) est un groupe.



Thorme 3.1 Rgle de calcul dans les anneaux

Soient (A,+,) un anneau, (a, b) A2 et n Z.(i) 0A a = a 0A = 0A,(ii) n(a b) = (na) b = a (nb),

Remarque. On peut avoir 1A = 0A mais il est facile de voir que, dans ce cas, tout lment de A est nul i.e.A = {0}. On appelle cet anneau lanneau nul.

Dfinition 3.2 Anneau intgre

On dit quun anneau A est intgre sil est non nul et sil vrifie la proprit suivante :

(a, b) A2, ab = 0 (a = 0 ou b = 0)Remarque. On peut gnraliser un produit de plus de deux facteurs.

Exemple 3.2

Les anneaux Z, Q, R et C sont intgres.Les anneaux (RR,+,) et (Rn,+,) pour n > 2 ne sont pas intgres.

Attention ! Tous les anneaux ne sont pas intgres. Nous verrons par exemple dans le cadre de lalgbrelinaire des anneaux non intgres.

3.2 Formules

Dfinition 3.3

Soient (A,+,) un anneau et (a, b) A2. On dit que a et b commutent si a b = b a.

Proposition 3.2

Soient (A,+,) un anneau et (a, b) A2 tels que a et b commutent. Alors

(i) n N, an bn = (a b)n1k=0

akbn1k =

[n1k=0

akbn1k

](a b),

(ii) n N, (a+ b)n =nk=0

n

k

akbnk.

En particulier, ces formules sont toujours vraies dans un anneau commutatif.

3.3 Sous-anneaux

Dfinition 3.4 Sous-anneau

Soient (A,+,) un anneau et B un ensemble. On dit que B est un sous-anneau de (A,+,) si :(i) (B,+) est un sous-groupe de (A,+) ;(ii) 1A B ;(iii) B est stable par .



Proposition 3.3

Si B est un sous-anneau de (A,+,), alors (B,+,) est un anneau. De plus, 1B = 1A.

Proposition 3.4 Caractrisation des sous-anneaux

Soient (A,+,) un anneau et B un ensemble. B est un sous-anneau de (A,+,) si et seulement si :(i) B A ;(ii) 1A B ;(iii) (a, b) B2, a b B ;(iv) (a, b) B2, a b B.

Mthode Sous-anneaux en pratiqueIl est souvent plus facile de montrer quun triplet (A,+,) est un anneau en montrant quil est un sous-anneaudun anneau connu.

Exemple 3.3

(Z,+,) est un sous-anneau de (Q,+,) qui est un sous-anneau de (R,+,) qui est un sous-anneau de(C,+,).

Exercice 3.1 Entiers de Gauss

Montrer que Z[i] = {a+ ib, (a, b) Z2} est un sous-anneau de C.

Exercice 3.2

Soit d N qui ne soit pas un carr dentier. Montrer que Z[d] est un sous anneau de R.

Exercice 3.3

Montrer que Z est le seul sous-anneau de Z.

3.4 Morphismes danneaux (hors-programme)

Dfinition 3.5 Morphisme danneaux

Soient (A,+,) et (B,,) deux anneaux. On appellemorphisme danneaux de A dans B toute applicationf : A B telle que :

(i) f(1A) = 1B,(ii) (a, b) A2, f(a+ b) = f(a) f(b),(iii) (a, b) A2, f(a b) = f(a) f(b),



Remarque. En particulier, f est un morphismes de groupes de (A,+) dans (B,). On peut donc dfinir lenoyau et limage dun morphisme danneaux.

Remarque. On peut galement dfinir des notions dendomorphisme, disomorphisme etdautomorphisme danneaux.

Proposition 3.5 Images directe et rciproque dun sous-anneau par un morphisme danneaux

Soit f : A B un morphisme danneaux.(i) Si C est un sous-anneau de A, alors f(C) est un sous-anneau de B.(ii) Si D est un sous-anneau de B, alors f1(D) est un sous-anneau de A.

4 Corps

4.1 Dfinition et premires proprits

Dfinition 4.1 Corps

On appelle corps tout anneau commutatif (K,+,) dans lequel tout lment non nul est inversible pour .

Remarque. En particulier, un corps est un anneau.Pour tout corps K, K = K \ {0K}.

Thorme 4.1 Corps et intgrit

Tout corps est intgre.

Remarque. On peut donc calculer dans un corps quelconque comme on calculerait dans Q, R ou C.

Exemple 4.1

Q, R et C sont des corps.

4.2 Sous-corps

Dfinition 4.2 Sous-corps

Soit (K,+,) un corps et L un ensemble. On dit que L est un sous-corps de (K,+,) si(i) L est un sous-anneau de (K,+,) ;(ii) L est stable par inversion i.e. x L \ {0K}, x1 L.

Proposition 4.1

Soient (K,+,) un corps et L un sous-corps de (K,+,). Alors (L,+,) est un corps.



Proposition 4.2 Sous-corps

Soit (K,+,) un corps et L un ensemble. L est un sous-corps de (K,+,) si et seulement si(i) L K ;(ii) 1K L ;(iii) (x, y) L2, x y L ;(iv) (x, y) L (L \ {0K}), x y1 L.

Mthode Sous-corps en pratiqueIl est souvent plus facile de montrer quun triplet (K,+,) est un corps en montrant quil est un sous-corpsdun corps connu.

Exemple 4.2

(Q,+,) est un sous-corps de (R,+,) qui est un sous-corps de (C,+,). Q est le plus petit sous-corps de C.

Remarque. Un sous-corps est un sous-anneau mais un sous-anneau dun corps nest pas forcment un sous-corps. Par exemple, Q est bien un sous-anneau de R car Q est un sous-corps de R. Mais Z nest pas un sous-corpsde Q bien quil soit un sous-anneau de Q et que Q soit un corps.

Exercice 4.1

Montrer que Q[i] = {a+ ib, (a, b) Q2} est un sous-corps de C.

Exercice 4.2

Soit d N qui ne soit pas un carr dentier. Montrer que Q[d] est un sous-corps de C.

4.3 Morphismes de corps (hors-programme)

Dfinition 4.3 Morphisme de corps

Soient (K,+,) et (L,,) deux corps. On appelle morphisme de corps de K dans L tout morphismedanneaux de K dans L.

Proposition 4.3

Soit f : K L un morphisme de corps. Alors1. x K, f(x) K et f(x1) = f(x)1.2. f est injectif.

On peut galement dfinir des notions dendomorphisme, disomorphisme et dautomorphisme de corps.

Exemple 4.3

La conjugaison est un automorphisme de corps de C.


Notion de loiLoi interneAssociativitCommutativitlment neutre et inversibilitPuissancesDistributivit

GroupesDfinitionGroupes classiquesSous-groupesMorphismes de groupes (hors-programme)

AnneauxDfinition et premires propritsFormulesSous-anneauxMorphismes d'anneaux (hors-programme)

CorpsDfinition et premires propritsSous-corpsMorphismes de corps (hors-programme)

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