Guía-1B Teórica MATEMÁTICA – 2015

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Contenidos:- Definiciones y características de conjuntos numéricos - Operatoria de números enteros

Introducción. Los seres humanos desde la más lejana antigüedad han tenido la necesidad de contar, y de llevar un registro de los elementos usados en su vida cotidiana como: el número de ovejas de su rebaño, el número de flechas llevadas en su carcaj, el número de peces atrapados en una red, el número de manzanas recolectadas desde un árbol, etc. Para llevar a cabo esto, con frecuencia han utilizados artefactos para registrar cantidades, un ejemplo de esto, es el llamado “hueso de Ishango”, datado en el Paleolítico Superior, hace unos 20.000 años atrás; el hueso de Ishango es uno de los primeros artefactos para contar de la historia humana, este objeto consiste en un largo hueso color marrón (más específicamente, el peroné de un babuino) con un pedazo punzante de cuarzo incrustado en uno de sus extremos, utilizado posiblemente para grabar o escribir. En un principio se pensaba que se utilizaba como palo de conteo, ya que el hueso tiene una serie de muescas talladas divididas en tres columnas que abarcan toda la longitud de la herramienta, pero algunos científicos han sugerido que las agrupaciones de muescas indican un entendimiento matemático que va más allá del conteo, pues parecen estar agrupadas grupos de muescas conformadas por números primos en uno de sus lados.

El hueso de Ishango. Los grupos de marcas en el hueso de Ishango.

Esta necesidad de contar implicó el desarrollo del concepto de número, así es como se desarrolla el conjunto más sencillo de números y el más antiguo: el de los números naturales, que sirve para contar objetos.

a) NÚMEROS NATURALES (IN): Son los números desde el 1 al infinito positivo.IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,............+ } es el más antiguo y más sencillo conjunto numérico desarrollado.

Posteriormente se hace necesario representar con algún símbolo la existencia de conjuntos vacíos, es decir, sin elementos. Los primeros en crear un símbolo para representar la ausencia de cantidad, son los indios. Los grandes matemáticos indios, como Brahamagupta, Mahavira y Bhaskara, se habían hecho preguntas en sus tratados

Brahamagupta (598 - 668) matemático indio

matemáticos. No en vano, en la filosofía india ya se manejaban los conceptos de vacío, nada y nulidad. Una de las personas más inteligentes de la historia, Brahamagupta, además de introducir el cero en las cifras para definir una cantidad nula, dijo cosas que ahora nos parecen obvias, pero en aquella época (el año 628) eran sorprendentes, como: “La suma de cero y un número

negativo es negativa; la suma de un número positivo y cero es positiva; la suma

de cero y cero es cero”. Llegó a averiguar que algo multiplicado por nada no es algo, sino nada (cero). En forma independiente, también en la América precolombina, la civilización Maya, en Mesoamérica, inventó un símbolo para el cero, con lo cual pudieron desarrollar complejos cálculos astronómicos.

De aquí se forma el conjunto de los números cardinales, que mide la “cardinalidad” o número de elementos de un conjunto.

b) NÚMEROS CARDINALES (IN0) Es el conjunto de los Naturales al que se le añade el cero, por lo tanto, ahora es posible considerar conjuntos sin elementos, es decir, vacíos, determinando su cardinalidad.

IN0 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,..........+ }

c) NÚMEROS ENTEROS (Z): Son los números positivos, los negativos y el cero.Z = {- ......,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,.....+ } se extiende desde menos infinito a más infinito, sin límites en ambas direcciones de la recta real.

d) NÚMEROS RACIONALES (Q): Es el conjunto de todos los números que pueden

escribirse como fracción, , es decir, un cociente entre dos números enteros, en donde:

a: Numerador b: Denominador (con b ≠ 0) k: Cociente

Pertenecen al conjunto de los racionales:-El cero-Los números enteros positivos y negativos-Las fracciones -Los decimales finitos-Los decimales infinitos: periódicos o semiperiódicos

e) NÚMEROS IRRACIONALES (Q*): Es el conjunto de los números que no pueden escribirse como fracción. Se caracterizan por tener una expansión decimal infinita no periódica, es decir, al calcular los decimales de ellos, aparecen las dígitos, sin que se encuentre nunca un periodo a repetir.

1) El número es irracional ya que = 1,414213562373095048801688...... es un número de infinitas cifras decimales, sin que se presente un período o semiperíodo, por lo tanto es imposible expresarlo como una fracción.2) El número pi, es un irracional puesto que π = 3,14159265358979323846.... y no es posible expresarlo como fracción. El número pi expresa el número de veces que el diámetro de una circunferencia está contenido en su perímetro.

3) El número e, es uno de los más importantes números reales. Se relaciona con muchos interesantes resultados. Por ejemplo, la derivada de la función exponencial

es esa misma función. El logaritmo en base e, se llama logaritmo natural o neperiano. El número e, fue reconocido y utilizado por primera vez por el matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo en el cálculo matemático. Su valor aproximado es: e = 2,71828182845904523536028747135266…..

Los números irracionales pueden clasificarse en dos tipos: números algebraicos, y números trascendentes; los números algebraicos son aquellos números reales (o complejos) que son soluciones de algún tipo de ecuación polinómica de la forma:

Donde:

, es el grado del polinomio. , los coeficientes del polinomio son números enteros.

Por ejemplo, el número , es raíz (es decir, solución) de la ecuación polinómica:

; y el número , es raíz de la ecuación .En tanto que los números trascendentes, son un tipo de número irracional que no es raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros. En este sentido, número trascendente es antónimo (de significado contrario) de número algebraico. La definición no proviene de una simple relación algebraica, sino que se define como una propiedad fundamental de las matemáticas. Los números trascendentes más conocidos son sin duda π y e. El conjunto de números algebraicos es infinito numerable, mientras el conjunto de números reales es infinito no numerable; por lo tanto, el conjunto de números trascendentes es también no numerable, es decir, hay muchos más números trascendentes que algebraicos en los irracionales, pero es muy difícil determinar cuales son ellos. Como los números trascendentes no son soluciones de ecuaciones polinómicas, pueden expresarse como series infinitas, como por ejemplo en:

Serie de Leibnitz-Gregory:

Fórmula de Euler:

Fórmula de Euler:

Donde lo números factoriales se definen como: 0! = 1, 1! = 1, y k! = 1·2·3·4·5·6·7…·k

f) NÚMEROS REALES (IR): Es el conjunto resultante de la unión de los Racionales con los Irracionales.Es decir: IR = Q U Q*

Pertenecen al conjunto de los Reales- El cero, los enteros positivos y negativos- Las fracciones.- Los decimales finitos y los decimales periódicos y semiperiódicos- Los irracionales.

Podemos representar esto mediante el diagrama siguiente:

Preguntas: Ojo esto es lo que debes saber!!!1) Clasifica los siguientes números, según el conjunto más pequeño, o mínimo al que pertenezcan, o que los contenga, completando la tabla tal como se indica:

Número Conjunto al que pertenece 0 Números cardinales, IN0

-5

2.310

2) Al sumar dos números racionales cualesquiera, el resultado ¿a qué conjunto pertenecerá siempre? Dé 5 ejemplos

3) ¿Puede ocurrir que al sumar dos números irracionales, el resultado sea un número racional? Si su respuesta es sí, de un ejemplo; si su respuesta es no, demuéstrelo rigurosamente.

4) ¿Puede ocurrir que al multiplicar dos números irracionales, el resultado sea un número entero? Si su respuesta es sí, de un ejemplo; si su respuesta es no, demuéstrelo rigurosamente.

5) ¿Qué diferencia hay entre los números irracionales algebraicos, y los números irracionales trascendentes?

NÚMEROS ENTEROS CONSECUTIVOS:Es importante el concepto de consecutividad numérica. Si definimos un número entero cualquiera con la letra n, entonces el entero que se obtiene al restar uno será su antecesor, y el entero que se obtiene al sumar uno a n, será su sucesor.

Tenemos entonces: Antecesor Número Sucesor

n - 1 n n + 1

NÚMEROS ENTEROS PARES E IMPARES:Los números pares son de la forma 2n, donde n pertenece a los enteros (Z), ejemplo:

Pares = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, …..2n, con n variando desde uno hacia adelante, n = 1, 2, 3,… En tanto los números impares son de la forma 2n –1, donde n también pertenece a Z. Ejemplo:

Impares = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, ….2n – 1, con n variando desde uno hacia adelante, n = 1, 2, 3,…

Números pares Números impares2n 2n – 1

NÚMEROS PARES CONSECUTIVOS:Si queremos considerar números pares consecutivos, se tiene que:

Antecesor Par Número Par Sucesor Par2n - 2 2n 2n + 2

NÚMEROS IMPARES CONSECUTIVOS:Si queremos considerar números impares consecutivos, se tiene que:

Antecesor Impar Número Impar Sucesor Impar2n - 3 2n-1 2n + 1

Preguntas: Ojo esto es lo que debes saber!!!1) Encuentre 3 números enteros consecutivos, cuya suma sea igual a 672.

2) Encuentre 4 números enteros consecutivos, cuya suma sea igual a 226.

3) Encuentre 3 números pares consecutivos, cuya suma sea igual a 6.672.

4) Encuentre 6 números impares consecutivos, cuya suma sea igual a 132.

5) Encuentre 5 números impares consecutivos, cuya suma sea igual a 625.

6) Encuentre 7 números enteros consecutivos, tal que, su suma sea igual -63

7) Encuentre 5 números enteros consecutivos, tal que, su suma sea igual 335

8) Encuentre 5 números pares consecutivos, cuya suma sea igual 1130

9) Generalice las ideas vistas para par e impar, y encuentre 4 múltiplos consecutivos de 3, cuya suma sea igual a 210

10) Encuentre 5 múltiplos consecutivos de 19, cuya suma sea igual a 1140

NÚMEROS PRIMOS:Un número n se considera primo cuando solamente es divisible por 1 y por n. Es decir, que no tiene factores, excepto el uno (1) y sí mismo.

Cabe destacar que el número 1 no se considera primo, y que el número 2 es el único número primo par.

Los primeros números primos de la recta numérica son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, etc. 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, …. Se sabe, demostración ya hecha en la Antigüedad por el matemático griego Euclides, que los números primos son infinitos, y la base para construir todos los demás números enteros. Sin embargo, los números primos siguen constituyendo un gran misterio, pues hay muchos problemas relacionados con ellos que aún no tienen solución, o conjeturas que nadie ha podido demostrar, ya sea en forma positiva (que sea verdadera), o en forma negativa (que sea falsa).

Según lo anterior, podemos dividir a los números naturales, en números primos, números compuestos (todos los demás, que tienen mas de 2 factores, ejemplo 6 = 1·6 = 2·3) y la unidad (el uno, 1), que no es ni primo, ni compuesto.

DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS

Cuando vamos a descomponer un número en factores primos, comenzamos siempre por los factores más pequeños. Escribimos el número a descomponer y a su derecha trazamos una recta vertical y detrás de ésta, vamos colocando los factores primos comenzando por el menor.Ahora tienes que recordar muy bien cuándo un número es divisible por 2, 3, 5, 7, 11, 13,…………….etc.

Siempre que descompongas un número en sus factores primos el último valor que aparecerá será el 1.

La respuesta se presenta como:

Como ves, se escribe el número y a su derecha en forma de producto (por eso estamos hablando de factores) los números primos con sus exponentes o número de veces que se repite cada factor.

Ejem: Observa como hemos descompuesto los números: 90, 1050, 8400 y 126348:

A veces, pueden salir números primos muy grandes y en ese caso, es trabajoso comprobar que verdaderamente lo son.

El teorema fundamental de la Aritmética, establece que cualquier número natural, puede descomponerse en forma única en el producto de sus factores primos que lo conforman (excepto el orden de los factores).

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.) El mínimo común múltiplo (abreviado m.c.m), de dos o más números naturales, es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Sólo se aplica con números naturales.

Cálculo del mínimo común múltiplo

1) Se descomponen los números en factores primos.

2) Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.

Ejem:

Hallar el m.c.m. de 72, 108 y 60, es decir, m.c.m.(72, 108, 60).

Sol.

- Descomponiendo en factores primos los números:

72 = 23 · 32

108 = 22 · 33

60 = 22 · 3 · 5

- m.c.m. (72, 108, 60) = 23 · 33 · 5 = 1080

1080 es el menor múltiplo común a 72, 108 y 60.

- Entonces, 1080 es el menor número que puede ser dividido por 72, 108 y 60.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.) Se define el máximo común divisor (abreviado m.c.d.) de dos o más números enteros al mayor número que los divide sin dejar resto. Por ejemplo, el m.c.d. de 42 y 56 es 14. En efecto,

y Siendo 3 y 4 primos entre sí, es decir, no existe ningún número natural, aparte de 1, que divida a la vez al 3 y al 4.

Cálculo del máximo común divisor

1) Se descomponen los números en factores primos.

2) Se toman los factores comunes con menor exponente.

3) Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el m.c.d.

Ejemplo de cálculo de máximo común divisor

Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60, es decir, M.C.D.(72, 108, 60):

Sol.

- Primero hacemos la descomposición en factores primos:

72 = 23 · 32

108 = 22 · 33

60 = 22 · 3 · 5

- El MCD será entonces, M.C.D.(72, 108, 60) = 22 · 3 = 12

- Entonces, 12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60.

Preguntas: Ojo esto es lo que debes saber!!!1) Encuentra los primeros números primos del 1 al 100, usando la criba de Eratóstenes, es decir, el procedimiento siguiente: - Se forma una tabla con todos los números naturales comprendidos entre 1 y n (en este caso n = 100) - Luego se van tachando los números que no son primos (los números compuestos) de la siguiente manera: Comenzando por el 2, se tachan todos sus múltiplos, excepto 2 que es el primer primo, hasta n (n = 100)- Luego comenzando de nuevo, cuando se encuentra un número entero que no ha sido tachado (en este caso 3, el segundo primo), ese número es declarado primo, y se procede a tachar todos sus múltiplos, y así sucesivamente. El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado como primo es mayor que n. Usando este método, encuentra todos los primos en la siguiente tabla, tachando o borrando los números compuestos:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

2) Encuentra todos los factores primos de 2.310

3) Encuentra todos los factores primos de 2.904

4) Encuentra todos los factores primos de 16.093

5) Encuentra el M.C.M.(616, 3969, 648)

6) Encuentra el M.C.M.(616, 396, 647)

7) Encuentra el M.C.D.(77, 112, 633, 933)

8) Encuentra el M.C.D.(72, 112, 604, 723)

9) Una viejecita llevaba huevos al mercado cuando se le cayó la cesta y se hicieron añicos.

¿Cuantos huevos llevaba, abuelita? – le preguntaron,

No lo se, pero recuerdo que al contarlos en grupos de 2, sobraba 1, si los contaba en grupos de 3, sobraban 2, si los contaba en grupos de 4 sobraban 3, y si los contaba en grupos de 5, sobraban 4 respectivamente. ¿Cuantos huevos llevaba la viejecita?

Sol. En la canasta tenia 59 huevos, porque: en grupos de 2 seria 2×29=58 y sobra 1, en grupos de 3 seria 3×19=57 y sobran 2, en grupos de 4 seria 4×14=56 y sobran 3, en grupos de 5 seria 5×11=55 y sobran 4.

10) Tres marineros y un mono llegan a una isla desierta. Durante todo el día se dedican a recolectar cocos, y forman un montón común. Al llegar la noche, cansados por el trabajo realizado, se van a dormir dejando para el día siguiente el reparto de los cocos. Durante la noche, uno de los marineros, desconfiando de los otros dos, decide quedarse con su parte, procediendo a formar tres montones iguales y guardándose uno de ellos. Como al hacerlo le sobra un coco, se lo da al mono. El segundo marinero, teniendo la misma idea, procede en igual forma con los cocos que ha dejado el primero. Al hacer los tres montones le sobra un coco, que se lo da al

mono. Por último, el tercer hombre se levanta y procede de la misma forma que los anteriores. A la mañana siguiente, aunque el montón de cocos (que al comienzo de toda manipulación era inferior a 100) se encuentra notablemente reducido, los tres marineros se sienten igualmente culpables y no dicen nada, procediendo al reparto de los cocos. Al hacerlo les sobra uno, que se lo dan al mono. ¿Cuántos cocos había al inicio? Sol.

Sea x el número de cocos.          Tras separar su parte el primer marinero, quedan: (x-1) 2/3.          Tras separar su parte el segundo marinero, quedan: [(x-1) 2/3-1] 2/3=(x-1) 4/9-2/3.

         Tras separar su parte el tercer marinero, quedan: [(x-1) 4/9-2/3-1] 2/3=(x-1) 8/27-10/9.          Finalmente, el último reparto nos dice que: (x-1) 8/27-10/9-1=múltiplo de 3. Simplificando se obtiene: 8x=27 3n+65=81n+65. Ecuación diofántica, que tiene como soluciones:          a) Si el número de cocos al comienzo era Menor que 100: x=79.  b) Si el número de cocos al comienzo está Entre 200 y 300: x=241.

DIVISIBILIDAD Hay pruebas de divisibilidad para varios tipos de números, las más utilizadas son:

Es divisible por Condición Ejemplos2 Si termina en cero o es par 15750243 Si la suma de sus cifras, es

un múltiplo de 37524, la suma de sus dígitos es 18,que se divide

por 3 4 Si las dos últimas cifras

forman un múltiplo de 4700128, el 28 es múltiplo de 4

5 Si termina en cero o en cinco

3905, termina en 5

6 Si es divisible por 2 y por 3 a la vez

5142, es par y la suma de sus dígitos es 12 que es divisible por 3

9 Al sumar sus cifras es múltiplo de 9

738,suma 18, que es múltiplo de 9

10 Termina en cero 701300, termina en cero

PRIORIDAD DE OPERATORIA MATEMÁTICA.Para poder llegar al resultado correcto al trabajar en matemática, se deben realizar lasoperaciones con un cierto orden. Esta regla se conoce con el nombre de: Prioridad de operatoria.

Prioridad operatoria

Ejemplo: Resolver la siguiente expresión 13 – (-7 + 3·9) – 32 =Primero:El paréntesis (-7 + 3·9) y dentro de él, primero el producto 3·9 = 27 y luego la suma de - 7 + 27 = 20. Segundo:El cuadrado 32 = 9, entonces esto queda: 13 – 20 – 9Finalmente las sumas y resta: 13 – 20 – 9 = -16.

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN EN Z. 1) Propiedad de Clausura o Cierre: La suma de 2 números enteros es un número entero.Si a, b Z ∈ ⇒ a + b Z ∈

2) Es conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma.Si a, b Z, a + b = b + a∈

3) Es asociativa: No importa el orden en el cual se agrupen los sumandos. La suma nocambia.Si a, b, c Z ∈ ⇒ ( a + b ) + c = a + ( b + c )

4) Está provista de un elemento Neutro aditivo: En este caso representado por el cero, 0. Si este elemento neutro lo sumamos con cualquier elemento perteneciente a Z, no lo altera.

1º Paréntesis2º Potencias3º Multiplicaciones y divisiones4º Sumas y restas

Si a, 0 Z ∈ ⇒ a + 0 = 0 + a = a

5) Inverso Aditivo: A todo número entero a se puede asociar su opuesto –a, tal queal sumarse ambos, el resultado es el elemento neutro.Si a Z ∈ ⇒ a + ( -a ) = ( -a ) + a = 0Suma reiterada de enteros: Sumar varios enteros es agregar el primero al segundo, al resultado obtenido agregar el tercero y así sucesivamente.

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN EN Z.

En la multiplicación de números enteros, se cumplen las siguientes propiedades:1) Clausura o ley de composición interna:Si a y b son números enteros, entonces se cumple que (a·b) Z. ∈

2) Conmutativa:Si a y b son números enteros, entonces se cumple que a·b = b·a

3) Asociativa:Si a, b y c son números enteros, entonces se cumple que (a·b)·c = a·(b·c)

4) Elemento neutro multiplicativo:Si a es un número entero, existe (+1) Z, llamado elemento neutro multiplicativo, que∈ cumple con: a·(+1) = +a

5) Multiplicativa del cero (absorbente):Si a es un número entero, entonces se cumple que a·0 = 0·a = 0

6) Distributiva de la multiplicación con respecto de la adición:Si a, b y c son números enteros, entonces se cumple que a·(b + c) = a·b + a·c