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Aula I
Professora Aracéli Ciotti de Marins
Sistematização dos Conjuntos Numéricos
Números Naturais () Números Inteiros () Números Racionais (Q) Números Irracionais (I) Números Reais (R)
Números Naturais ()
Este conjunto é de grande importânciapelo seu uso na contagem. Sua notaçãoé: N = 0, 1, 2, 3, ....
Quando não se utiliza o número 0 (zero),a notação utilizada é:N* = N – 0 = 1, 2, ....
Números Inteiros ()O conjunto dos números inteiros é
formado pelos elementos doconjunto dos naturais acrescidos deseus simétricos.Notação: Z = ..., -2, -1, 0, 1, 2, ....Quando o elemento zero não
pertence ao conjunto, a notação setorna: Z* = Z – 0.
Números Inteiros ()Quando se considera o conjunto dos números
positivos, acrescidos do zero, a notação é:Z+ = N.
Quando o elemento zero não pertence aoconjunto, a notação torna-se: (inteirospositivos).
Analogamente, o conjunto dos inteiros não-positivos é: Z - = ..., -2, -1, 0 e este conjuntosem o zero é o conjunto dos negativos:
*Z
123 ,,...,*Z
Números Racionais ou Fracionários (Q)
São todos os números que podem ser escritossob a forma de fração entre dois númerosinteiros. Tem representação decimal finita oudízima periódica.
A notação deste conjunto é:
Exemplos: 2; -4; 0,5; 1,37; 1,5999...; 0,212121...,etc.
*/ ZqZpqpQ
Números Irracionais (I)
São os números cuja representaçãodecimal não é exata nem periódica,conseqüentemente não podem serescritos como uma fração entre doisinteiros.Exemplos: = 3,14159265...,
e = 2,718281828..., ,etc.
...,414213562412
Números Reais (R)
Representam a união entre osnúmeros Racionais e Irracionais:R = Q I.
Operações com números reais
Existem quatro operações básicasenvolvendo os números reais:
Adição: a + bMultiplicação: a b ou a . b Subtração: a – b Divisão: a/b ou
ba
Exercícios
Determine se é verdadeira (V) ou falsa (F) cadauma das afirmações, justificando sua resposta:( ) – 7 N( ) Q( ) 5 Z( ) -8 Q( ) 3 R( ) - I( ) – 7 Z( ) 3 Q
2
Exercício
Faça um esquema que represente asistematização do conjunto dos númerosReais, decompostos em outros conjuntos.
Par Ordenado, Sistema Cartesiano
e Produto Cartesiano
Par OrdenadoPar é todo conjunto formado por dois
elementos {a, b}, não importando a ordemque a e b aparecem no conjunto, assim,são iguais os conjuntos: {a, b} = {b, a}.Porém, quando a ordem dos elementosimporta, o par passa a ser chamado depar ordenado.
ExemploSeja o par {x, y} a solução do sistema:
Verifica-se que x = -1 e y = 2 é solução,ao passo que x = 2 e y = -1 não é. Assim,com notação de conjuntos, temos que:{-1, 2} = {2, -1}, o que não deve ocorreneste casso, então, utilizamos a notação(-1, 2) para representar o par ordenado(x,y). Logo (-1,2)(2,-1).
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yxyx
PropriedadeSe (a, b) = (c, d) então a = c e b = d.Exemplo:Determine a e b se: (a + 2, 18) = (0, 3b).
Exercícios: Determine a e b:
(a, b) = (1, 3) (2a – 2, b + 3) = (3a + 5, 2b – 7) (2a, a – 8) = (1 – 3b, b)
Sistema Cartesiano Ortogonal
É um sistema formado por dois eixos, x e y, perpendiculares entre si:
y
a
b
x
(a, b)
1º quadrante2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
y
a
b
x
(a, b)
1º quadrante2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
a
b
x
(a, b)
1º quadrante2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
O eixo x é denominado eixo dasabscissas e o eixo y é denominadoeixo das ordenadas. Estes eixosdividem o plano em quatro regiões,chamadas quadrantes. Este sistema éutilizado para localizar pontos, comabscissas e ordenadas conhecidas.
Exemplo:
Faça um sistema cartesiano ortogonal,e nele localize os pontos: A(3,0), B(0,-2),C(2,2), D(-2,-3), E(1,-4), F(-3,4).
Exercícios:
Determine se as sentenças sãoverdadeiras (V) ou falsas (F): ( ) (-5, 4) 3 quadrante; ( ) os pontos de abscissas negativas e
ordenadas positivas pertencem ao 1ºquadrante; ( ) um ponto no 4º quadrante tem
abscissa positiva e ordenada negativa.
Produto Cartesiano
Definição: dados dois conjuntos não-vazios A e B, denomina-se produtocartesiano de A por B o conjuntoA x B, cujos elementos são todos ospares ordenados (x, y), em que oprimeiro elemento pertence à A e osegundo pertence à B:
Observação: A x A = A2. ByAxyxBA /,
Exemplo
Sendo A = {1, 2, 3} e B = {1, 4}.Determine A x B e represente num planocartesiano e por meio de um diagrama deVenn.
Exercícios
Dados os conjuntos A = {1, 3, 5}, B = {-2, 1} eC = {-1, 0, 1}, representar, pelos elementos e noplano cartesiano, os seguintes produtos:
A x BB x AA x CC x AB2
C2
Relações Binárias
Introdução
Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} eB = {2, 4, 6, 8}. O produto cartesiano de Apor B é:
A x B = {(1,2), (1,4), (1,6), (1,8), (2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (3,2), (3,4), (3,6), (3,8), (4,2), (4,4), (4,6), (4,8)}.
Consideremos, agora, alguns subconjuntos de A x B: R1 = {(x, y) A x B / y = 2x} = {(1,2),
(2,4), (3,6), (4,8)} R2 = {(x, y) A x B / y = x} = {(2,2),
(4,4)} R3 = {(x, y) A x B / y = 6} = {(1,6),
(2,6), (3,6), (4,6)} R4 = {(x, y) A x B / x = 2} = {(2,2),
(2,4), (2,6), (2,8)}
Cada um dos conjuntos R1,R2, R3 e R4 são relações entreos elementos de A e B. Eles sãodenominados relação ou relaçãobinária de A e B.
Definição
R é uma relação de A em B se esomente se R estiver contido emA x B, em outras palavras, se R forsubconjunto do produto cartesiano deA com B.
Os conjuntos R1, R2, R3 e R4estão contidos em A x B e sãoformados por pares ordenados (x, y)em que o primeiro elemento x de A é“associado” ao elementocorrespondente y de B, mediantecerto critério de “relacionamento” ou“correspondência”.
Observações
A é o conjunto de partida da relação R; B é o conjunto de chegada ou contra-
domínio da relação R. Quando o par ordenado (x, y) pertence à
relação R, escrevemos xRy, e se o par não pertence à relação, escrevemos x y. R
Domínio
Seja R uma relação de A em B.Chama-se domínio de R, o conjunto D(R)de todos os primeiros elementos dospares ordenados que pertencem à R:
RyxByRDx ,/
Imagem
Chama-se imagem de R, o conjuntoIm(R) de todos os segundoselementos dos pares ordenados quepertencem à R:
RyxAxRy ,/Im
Exemplo
Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} eB = {1, 2, 3, 5, 6}, determinar o domínioe a imagem da relaçãoR = {(x, y) A x B / y = x + 1}.
Exercício
Dados os conjuntos A = {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} e B = {0,2,4,6,8},determinar a relação, as imagens e osdomínios das seguintes relações de Aem B:R1 = {(x, y) A x B / y = 2x}R2 = {(x, y) A x B / y = 2x + 1}R3 = {(x, y) A x B / y = x2}R4 = {(x, y) A x B / y = |x|}
Relação Inversa
Dada uma relação binária R de A em B, o conjunto:
representa uma relação de B em A, que é denominada relação inversa de R.
RyxABxyR ,/,1
Exemplo
Dados os conjuntos A = {1,2,-4} eB = {0,1,2,3}, determine a relaçãoinversa de R = {(x, y) A x B / y > x}.
Exercício
Determine a relação inversa paracada uma das relações do exercícioanterior
