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COURS : RSISTANCE DES MATRIAUX (RDM)

La rsistance des matriaux (RDM) est l'tude de la rsistance et de la dformation des solides dans le but de dterminer ou de vrifier leurs dimensions afin qu'ils supportent les charges dans des conditions de scurit satisfaisantes et au meilleur cot (optimisation des formes, des dimensions, des matriaux, ).

Cest une science exprimentale ge de plus de 300 ans:

Au 16me sicle, GALILEE effectuait des travaux exprimentaux sur les effets de la traction et de la flexion.

Au 17me sicle, HOOKE affinait les expriences de Galile et nonait la premire loi gnrale; dans la mme priode, BERNOULLI poursuivait ses travaux sur la flexion.

Au 18me sicle, COULOMB tablit une mthode de calcul dune poutre flchie en considrant lquilibre dun tronon de poutre.

Lindustrialisation entrana un dveloppement important des expriences et des thories sur le comportement de la matire (thorie de llasticit).

Actuellement, les recherches se poursuivent dans plusieurs domaines: la fatigue des matriaux, les comportements trs basse ou trs hautes tempratures

1- Hypothses de la R.D.M.:

1-1- Sur le solide dformable:

1-1-1Matriau

Le matriau utilis est suppos homogne et isotrope.

Homogne : mme constitution physique et chimique en tous points.

Isotrope : en chacun des points, et dans toutes les directions autour de ces points, il a les mmes caractristiques mcaniques.

Le bois et le bton n'entrent pas dans cette catgorie, on dit qu'ils sont anisotropes.

1-1-2Gomtrie du solide

En R.D.M, on tudie des solides idaux appels poutres.

Une poutre est un solide engendr par une surface plane dont le centre G dcrit une courbe plane appele ligne moyenne.

Caractristiques d'une poutre :

la ligne moyenne passant par les diffrents centres de gravit G des sections est droite ou grand rayon de courbure,

section droite S constante ou variant faiblement et progressivement,

la section S reste perpendiculaire la ligne moyenne,

grande longueur par rapport aux dimensions transversales,

plan de symtrie longitudinal.

Une poutre peut tre assimile un empilement infini de section droite:

1-2- Sur les dformations:

Hypothse de Navier-Bernoulli : les sections planes et droites (normales la ligne moyenne) avant dformation, restent planes et droites aprs dformation (normales la ligne dforme).

2- Efforts intrieurs ou efforts de cohsion:

2-1-Principe de calcul:

(xyzOGS(E)(E2)(E1)Plan (P) perpendiculaireA la ligne moyenneLigne moyenneF1F4F2F3)Les efforts intrieurs sont calculs avec le principe fondamental de la statique partir des actions extrieures agissant sur la poutre.

partir dun plan de coupe (P) imaginaire (section S de centre de surface G), on divise la poutre (E) en deux tronons fictifs (E1) et (E2).

Chaque tronon est en quilibre et lapplication du principe fondamental de la statique, lun ou lautre, permet de faire apparatre et de calculer les efforts intrieurs exercs entre les deux tronons, au niveau de la coupure.

Etudions lquilibre du tronon (E1):

(yzOGS(E1)F1F2xRMG)Laction entre les deux tronons est une action dencastrement qui se modlise par:

une rsultante:

un moment rsultant:

En appliquant le principe fondamental de la statique, on obtient les quations suivantes:

(yzOGS(E1)xTyMfyTzMfzNMT)2-2-Composantes des efforts intrieurs:

Par convention, on note:

Avec:Neffort normal suivant (G, x)

Tyeffort tranchant suivant (G, y)

Tzeffort tranchant suivant (G, z)

MTmoment de torsion suivant (G, x)

Mfymoment flchissant ou moment de flexion suivant (G, y)

Mfzmoment flchissant ou moment de flexion suivant (G, z)

2-3-Dfinition de la contrainte:

(fi) (y)La contrainte donne une indication sur les actions de cohsion en chacun des points de la section.

(M) ((E1))Notons laction mcanique au point M

(S)S llment de surface entourant M

(x) (G) (z)On appelle vecteur contrainte au point M relativement llment de surface S orient par sa normale extrieure , le vecteur not tel que:

Unit:Lunit SI est le Pascal: 1 Pa = 1 Nm-2

Un multiple trs utilis est le Mgapascal: 1 MPa = 106 Pa = 1 Nmm-2 = 10 bars

Remarques:

la contrainte est homogne une pression,

plus S est petit et plus on se rapproche de la dfinition du point,

la projection du vecteur contrainte selon les trois axes nous donne:

avec:contrainte normale suivant (G, x)

ycontrainte de cisaillement suivant (G, y)

zcontrainte de cisaillement suivant (G, z)

3- Traction / compression:

3-1-Dfinition:

Une poutre droite est sollicite en traction/compression chaque fois que les actions aux extrmits se rduisent deux forces gales et opposes de direction la ligne moyenne.

(yzOS(E1)xNGOGS(E)(E2)(E1)- FF)Equilibre du tronon (E1):

(- F)

si N > 0: traction (extension)

si N < 0: compression

3-2-Rpartition des contraintes:

(Traction) (Compression)Rpartition uniforme des contraintes:

(: contrainte normale en Mpa ou Nmm-2N: effort normal en NS: aire de la section droite en mm)

3-3-Condition de rsistance:

Pour des raisons de scurit, la contrainte normale maximum max doit rester infrieure la rsistance lastique du matriau Re soit :

Pour plus de sret, on adopte trs souvent un coefficient de scurit s et on dfinit alors la rsistance pratique l'extension note Rpe avec Rpe = Re/s:

3-4-Essai de traction Relation entre contraintes et dformations:

Sur une machine de traction, on teste une prouvette de matire c'est--dire une poutre aux formes tudies, destine lexprimentation.

Extrait du Guide de Mcanique NATHAN

A laide dun vrin hydraulique, on exerce sur lprouvette une force longitudinale qui la sollicite en traction et provoque son allongement. On relve en temps rel lallongement de lprouvette jusqu la rupture de celle-ci.

3-4-1Notion de dformation

Lexprimentation montre que les allongements sont proportionnels aux longueurs initiales.

Lallongement relatif est appel galement dformation :

(sans unit)

Le volume de la poutre tant constant, lallongement de la poutre saccompagne dune contraction transversale de la poutre:

Allongement relatif longitudinal:

(d = = contraction relative transversale)

Contraction relative transversale:

La contraction relative transversale est proportionnelle lallongement relatif longitudinale:

avec le coefficient de POISSON du matriau

Les matriaux tests peuvent tre ductiles ou fragiles, de manire simplifie:

matriau ductile: matriau qui accepte des dformations importantes avant de se rompre et qui ncessite beaucoup dnergie pour tre rompu.

matriau fragile: matriau qui supporte mal les dformations et ncessite peu dnergie pour tre rompu.

3-4-2Rsultats de lessai de traction

allure de la courbe de traction dun matriau ductile

(acier, alliage daluminium,)

Extrait du Guide de Mcanique

NATHAN

Le domaine lastique du matriau est la zone pour laquelle les contraintes engendrent des dformations totalement rversibles.

Le domaine de dformation plastique du matriau est la zone pour laquelle les contraintes engendrent des dformations qui ne sont pas totalement rversibles: une partie des dformations reste permanente.

3-4-3Loi de Hooke:

En dformation lastique, la contrainte normale est proportionnelle l'allongement relatif

= E.

:contrainte normale (en MPa ou Nmm-2)

:dformation (sans unit)

E :module dlasticit longitudinal du matriau appel Module dYOUNG (en MPa)

contrainte gale, plus le module dYOUNG est important moins les dformations du matriau sont importantes.

3-4-4Raideur dune poutre:

On sait que: et

Do, daprs la loi de Hooke:

Le comportement est analogue celui dun ressort (F = kx) o est la raideur de la poutre.

3-5-Phnomne de concentration de contraintes:

Dans la majorit des cas, les pices tudies ne sont pas des poutres parfaites et prsentent de brusques variations de section.

Au voisinage du changement de section, la rpartition des contraintes n'est plus uniforme.

La contrainte maxi engendre est suprieure la contrainte uniforme ; on dit qu'il y a concentration de contraintes.

Ces contraintes plus importantes doivent rester infrieures la limite pratique lextension Rpe.

Les abaques ci-dessous permettent de dterminer en fonction du cas, un coefficient Kt tel que :

(illustrations: concentrations de contraintes au niveau dun paulement darbre)

Exemples dabaques:

Ils permettent dvaluer un coefficient de concentration de contraintes en fonction de la forme gomtrique en prsence.

4- Flexion plane simple:

4-1-Dfinition:

Dans le cas de la flexion pure (Mfz 0, T = 0), les poutres se dforment suivant des arcs de cercle.

(yzOS(E1)xOGS(E)(E2)(E1)- MfGMfMfz- Mf)Equilibre du tronon (E1):

4-2-Rpartition des contraintes:

(GMyPlan neutreyx)

: contrainte normale en MPa ou en Nmm-2

Mfz: moment flchissant en Nmm

y: distance entre le plan neutre et le point M en mm

IGz: moment quadratique de la section S par rapport laxe (G, z)

Suivant la forme de la section de la poutre:

Sections droites

IGz

5- Cisaillement:

5-1-Dfinition:

Ltude du cisaillement ressemble celle de la traction sauf que les efforts sont radiaux.

(yzOGS(E1)xTyOGS(E)(E2)(E1)- FFGTz) (F)

5-2-Rpartition des contraintes:

(G)Rpartition uniforme des contraintes:

(: contrainte tangentielle en MPa ou Nmm-2T: effort tranchant en NS: aire de la section droite en mm)

6- Torsion:

6-1-Dfinition:

Une poutre droite est sollicite en torsion chaque fois que les actions aux extrmits se rduisent deux couples gaux et opposs daxe la ligne moyenne.

(yzOGS(E1)xMTOGS(E)(E2)(E1)- M)

(- M) (M)

6-2-Rpartition des contraintes:

(GMr = GM)

: contrainte tangentielle en Mpa ou N/mm

r: rayon GM en mm

MT: couple de torsion en N.mm

I0: moment quadratique par rapport au point G

avec d: diamtre de la section

7- Condition de rsistance pour toutes les sollicitations:

Soient:

Re la rsistance lastique du matriau (en Mpa);

s un coefficient de scurit;

Rp la rsistance pratique la sollicitation tudie, avec ;

Alors, la condition de rsistance scrit:

maxi Rp

Frdric EMERY

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Lyce Maurice Genevoix - Bressuire (79)

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