Bâtiment & Gén i e

ecacu

Jacques LAMIRAULT w ,ndow• lnt• rn•tExplo••• 13 Henri RENAUD ~ .i"<~>"JU...:. ...... ~,o-.;p.J~

MaÎtre de conférences École centrale de Nantes

Département Génie civil

L OK J

t-FOUCHER 3 1 rue de Fleurus 75278 Paris Cedex 06

Agrégé de Génie civil IUFM de Nantes

• > ' • ~ So. 'M'M·~lJliE . . ~ . ~. ; i : . ! ( '"-" ' _;t '_.!J: --.,:x .............. ~ • ...; ~---: ......_.. '

1 Calcul du béton armé aux états limites . . ...... . ... ....... .. ..... ..... .. ... .. ..... ..... .... ...... .... . .. ... 5 1. Notions d'états Limites ............. .. ... ...... ...... .... .. .......... ... .. ..... ... ............................. 00. 5 2. États limites ultimes el étals limit~s ùe service......................... .............................. 5 3. Principes généraux des justifications ... .. ... .. ... .. .. ... .... . .. ............ ..... ... .. ..... .. ... ..... .. ... 6 4. E.L.U. ou E.L.S .? ............. ..... ......................... :.. .. ... .... ..... ............... ....... ...... .. .. .... . 6

2 Formulaire des puulres .... ....... .. ... .. .. .. .... .... ...... . . .. .. . ..... .. ..... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. ........... 7 1. Notations et convention s du formulaire des poutres .. .. .. ..... .. ... .... ................... ... ...... 7 2. Formulaire des poutres .. .. ... .. .. .. . .. ... .. ... .. ... ....... .... .. .. .. .. ... ..... . ... .. . .. .. ..... ..... ... .. ... .. ... 8 3. Mode d'utilisation du formulaire .... .. .. ...... .. .... ....... . .. ..... ... .. ... .. .. ... ..... .. .. ..... .... ... . ... 12

3 Caractéristiques géométriques des sections ........................ ......... ......... ... ..... .......... 15 1 . Moment statique (rappels) . .... . ... .. ..... ... .. . .. .. .. .. .... ..... .. .. .. . .. . .. .. ... .. ... .. .. ... ..... . .... . .... 15 2. Moment quadratique (rappels) .... .. .. ... ....... ... .. .... ... ...... ................. .... ... .. ... ... ........ . 16 3. Tableau des caractéri stiques des sections courantes ............ ........... ...... ... .... .. .. .. ..... 17 4. Section en forme de Té ............ .. .. .. .. .. ... ....... .. .. .. ...... .. ...... .... .................... ............. 18 5. Application aux sections courantes de béton armé .. ....... .. ... .......... ..... .. ... ..... .. ....... . 19

4 Actions permanentes et variables ....... ... ..... .... .. ... .. .... ......... ... ...... ... .......... .......... ..... 23 1. Naturedesactions ... .. ... ..... 00.. ........................... .. ............................. ..................... 23 2. Évaluation des charges permanentes ...................................... ......... .. ... .. .... .... ....... 24 3. F.valuation des charges d'exploitation ..................................... ............... ........ ....... 25 4. Application: calcul d 'une descente de charges .. .... ......... ... ............... .. .. ..... ..... ... .... . 26

5 Calcul des soli ici ta ti ons .. .. ................ .. ...... .. ...... ...... ........... .... ............................ 00 .... 29 1. Principe ..... ..... ............ ............ ................ ...... ... .. ......... .... ... .................. ... ......... .. . . 29 2. Combinaisons d'actions .... oo ... oo ........ .............. ...................... .. ...... .. .. .......... oo........ . 30 3. Applications ............... ... oo ............. .. .. ............. ... .... ..... oo .. ..... ... oo ... oo.. ....... ........ .. .... 31

6 Bétons et aciers: caractéristiques .... .. .. . .. .. .. ...... .. ..... .. ... .. .. .. .... .. .. ... .. ... .. .. .. . .. . .. .. ... .. . 35 1. Les bétons .. .. .. .. . .. .. . .. .. . .... .. . .. .. ... .. . .. .. ... .. .. . .. .. ... .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. ... ..... ..... .. .. . .. . . . .. .. . .. . 35 2. Les aciers .............. ... .. ..... .. ... ..... .... ........ .. ...... ..... .. ..... .. ... ...... :.. .. ...... .. ....... ..... ..... . 38

7 Déformations et contraintes de caJcuJ .......... ...... ........ .. ... ............................. 00......... 41 1. Etat limite de résistance ... .. . .. ... .. ... .. ..... .. ... .. .. ... .. .......... ..... .. ........ .. ....... .. .. ...... ... .. . 41 2. État limite de service . .. ... .. ... .. .. . .. .. . .... .. . .. ..... .. .. . .. ... .. ... .. ... .. .. ....... . .. .. . .. .. .. . .. .. ... .. . .. . 47

8 Semelles de fondations . .. ... .. ... .. .. .. . .. ... .. .. . .. .. . .... .. ... ... .. .. . .. .. ... .. .. . .. .. . .. .. ... .. .. . .... . .. .. . .. . 51 1. Sollicitations de calcul .......... .. ... ... .. ..... .. ... .. ....... ... .. .. ........ ... ... ... ..... ........ ... .. .. ... ... 51 2. Prédimensionnement des semelles .. ... ... .. ...... .... .... ..... .......... ... .. ... .. .. ... .. ... .. ... .. .. ... . 52 3. Détermination des aciers tendus ........................... ................ .... .......... .. ........ .. ... .. . 54 4. Tableau d'arrê t pratique des barres des semelles e t attentes ............... ... .................. 56

9 Pu leau x: cumpression centrée .... ....... .. ... .. ... .. .. .. .... .. .. .. ... .. .. .......... .. ............. ........ .. . 59 1. Notations et rappels .. ....... .. .... ... . .. ..... .. ... ....... .. ..... ..... ..... .. ... ..... ............... ..... ..... . .. 59 2. Hypor.hèses ci 'études ...... ... .. . .... ... .... ..... .......... ...... .. ..... .... ... .... ... .......... .. ....... ... .... .. 60 3. Calcul des armatures longitudinales .......... ... .. .. .... .. .. ............. .. ...... ...... .. ..... .. ........ . 60 4. Dispositions constructives .. . .... ............ ........ .. ......... . ......... ...... .... ..... ............ ..... ... . 6 J

S. Application .. . .. .. . .... . . .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. ..... .. . .. .. ... .. .. ... ... .. .. ... .. .. . .. .... ... ... .... .. . ... .. .. ... .. .. . . 65

ISBN 2-216-01646-2

Toute représentation, :raduction , adaptation ou reproduction. même partielle, par :ou> procédés. cr. tous pays. :-aite sans autorisation

pt~laùk, e:>t il lidte et expDser ai< le cuntrcvcnant à des poursuites judiciaires (Réf. Loi du 11 ma-s 1957) ....-------------...

©Le~ Éuilious FOUCHER, Paris 1 993 W1ndows Internet Explorer &J

OK

10 Tirants: traction s imple ........................ ............. ... ............ ........... ...... ............. .... ... . 1. Hypothèses d'études ......................... ................................................................... . 2. Contrainte& de calcul ......................................................................... ............ .. .... . 3 . . Détermination des ~ecr.ions d'armatures 4. Dispositions réglementaires minimales ............... ... .. ....... ................. ............... ..... .

11 E.L.li.R.: flexion simple ........................................................................................ .. 1. Hypothèses d'études ..................... ..... .............. ............... ............... ..... .......... ..... .. . 2. Contraintes de calcul .......... .. ........ ............................... ..... ............. ................. ... . .. 3. Combinaisons ................................................. ..... ....................... ............... ........ .. 4. Calcul ùe sullicila.tiuns ..................... .......................................................... ......... . 5. Conditions d'équilibre d'une section rectangu laire ....... ... .. .................................... . 6. l\1oment critique ultime .......... .. ................................... .................................. ...... . 7. l\1oment critique réduit ....... .......... ............................................... ....... ................. . 8. Calcul des armatures lungi tuùinaks lendue:s ....... .. .... ........... ................................ .

12 E.L.S.: flexion s imple ....... ............... ............................................... ... .............. ....... . 1. I-I y po thèses d'études ........... ........ ... ............ ... ............................... ............... ........ .. 2. Contraintes de calcul ..... ............ ...... .......... .................. .................. ............. ..... .... . 3. Combinaisons d'actions ...... ... . ...... .. ........... .. ....... ................................................. . 4 . Calcul des sollicitations ....... ................. .............................................................. . 5. Conditions d'équilibre d'une section rectangulaire ......................... .. ..................... . 6. I\1oment limite de service ............................ ............................................. ... .. ...... . 7. l\1omentlimiteréduitdeservice ............. ..... ........... .... ............... ............ .. ........... . . 8. Calcul des armatures longitudinales tendues ... ........................... ... .. ..................... .

13 Vérification des section~ .............. ................... ...... ...................... ......... ....... .. .......... . 1. Hypothèses de calcu l ...... ......... .................. ....... .... .. .. ....... ........... ............ ... ........ .. . 2. Caractéristiques géométriques ................................................... ......... ................. . 3. Expression de la contrainte normale au niveau d'une fibre ........ ............................ .

14 Liaisons béton - acier .... .............. ..... ............ ... ............................ .. .............. ........... . 1. Contrainte d'adhérence ... .......... ............... .. ......... .. ... .. .. ............ ... .. ....................... . 2. Ancrage des aciers .................................... .............. .... .. ........... .. .. ....................... . 3. Entraînement des barœs isolées uu en pa4uet ....... .................... ............................ .

15 Effort tranchant: justifications et dispositions constructives ............................... .. ! . Contrainte tangente conventionnelle ......... ................ ............. ....... ........... .... ........ . 2. Contrajnle iangt!nle linül~ uitiuie .......... ........................... ..... ................. ............. . 3. Armatures d'une poutre ........ ............... .... .................... .............. ... ...................... .. 4. Dispositions constructives minimales ................... .. .. ... .. ........ ... ........................... . 5. Effort tranchant réduit au voisinage d'un appui ...... .. ... ....... ... .. .. .. ......................... . 6. Justifications aux appuis .. .... ... ............... ............ ................................................. . 7. Cas des dalles ............ .......... ... ........ ........ ............... .................. .......... ... .. ......... ... .

16 Micro-projet Bâtiment ............................. ... .............. ... ........................... ............... . 1 . Étude demandée ...................... ............ .... ............................. ............... ................ .. 2. Valeurs caractéris tiques e t valeurs de calcul des matériaux .... ......................... ...... . 3. Calcul des éléments porteurs .............................................................................. .. 4. Calcul des panneaux de dalles rectangulaires

sous chargement modéré uniforme ........................ .. ... ........ ................................ .. .

67 67 67 67 68

73 73 73 74 74 74 77 77 78

83 83 83 84 g4

84 88 RR 89

95 96 96 97

103 103 103 108

111 Ill 1 1..., 11 L.

ll3 114 115 ll6 117

120 120 121 122

129

Annexe 1 Caractéristiques des aciers .................................................................... .. ...... 135

Annexe 2 Contraintes limites des maté,riaux à J'E.L.S . ..... ............... ............ .. ................ . 136

Annexe 3 Moments critiques réduits .. ......... ...... .. .... .. .. ....... ...... .. ... .... .... ....... .... .. ........... 137

Annexe 4 Tableaux de calcul à l'E.L.U.R. ..... ... ............ ................. ............... ................. . 138

Annexe 5 Tableaux de calcul à l'E.L.S. ................................ .. ........................................ 140

•· ·• .

Les ouvragé.~ en béton armé sbnt calculés en re spec tant les règlements, normes t;L Documen~s Techn~qÛes Unifiés (D.T.{).) en . . . . : ... .

. v1guenr. ... .. .. . .. . Le B.A.E.L. (Règlement .Béton Aimé aux État~ Limites) presënt les règles techniques de: ~ · - conf:eption, . , , - :çaJcuJ des différents ouvragee; deol~r sttltt.: lttre'.IfA., . . -justifications (véri fi cations diversl!s et dispositions constructives

minimales). ·

Le,présent çhap i tre .a ·pour objet de famil.i~riser k 1 e~teur aLt~ nu- . tions d'états limites . bases d'éfabbrat1oil ëlu règleine,nt B .A;E.L. 9 l.

• • t.

Notions d 1états limites (B.A.E.L. A l )

• Dans le domaine des constructions, un état limite est celui qui salis- . fait strictement aux conditions prévues sous l'effel ùes actions (forces, moments ou coup1es) qui ag issent sur Ja construction ou l'un de ses élémenls ).

• Quelles sont ces conditions ? Citons: la stabilité, la résistance , la durabilité, Jes déforma tions non nuisibles pour satisfaire les fonctions techniques ci' utilisation ùes struc­tures.

Exemple : résister aux sollicitations imposées, à l'effet des intempé­ries, des dilatations , des re traits. etc .

D ' •· ~ , rflDCtpt.S ge.t.etaUX

œ. États limites ultimes et états limites de service

Il est nécessaire. de bien différencier ces deux états qu i sont à considérer dans tous les calculs B.A. soi t cl irec­temt;nl , soit implici tement pour l' un des états . , Etats Limites Ultimes (E.L.U.) On distingue : • État limite d 'équilibre statique

-+ Stabilité des constructions (non glissement, non renversement) .

• État limite ultime de résistance (~ymbule E.L.U.R.) -+ Capacité pon ante qui dépend des matériaux

constitutifs (non rupture par écra~ement ou par allongement ex.œssif).

• État limite de stabilité de forme (symhole E.I .. U.S.F. ) -+ Pas d'instabilité.

Exemple: pour un poteau B.A., non-risque de flambe ­ment.

NB. Ils concernent !a capacité portante et !a Limitation des risques de ruine de lu us ordres .

États Limites de Services (E. L. S.) On distingue:

• État limite de compression du béton ~ Cuntraime de compression bornée par le règle­

ment B. A.E. L.

• État limite de déformation ~ Limitation des désordres. Exemple: flèche des planchers limitée pour réduire les désordres de fi ssuration des r.loisons ou de~ revêtementJ .w:ellés.

• État Jimite d'ouverture de tissures ~ Durabil ité des ouvrages.

Exemple: non-corrosion des aciers.

NB. Ils cono~rneu r les conditions d'u tilisation des ouvrages ct la durabilité,

Calcul du béton armé aux états iimltes 5

13.: Principes généraux des justifications

Ils s'appl iquent essentiellement pour:

• la sécurité des ouvrages, par util isaüon de coeffic ients de sécurité: - coefficjent de majoration pour les valeurs nominales des actions (charges permanentes , charges d'exploitation, etc. ); -coefficient de minoration pour les contraintes de calcul béton et acier ;

• les combinaj!;ons d'actions dans un état limite donné:

à l'E.L.U. * à I'R.L.S. * 1,35 G + 1,50 Q8

G: charges permanentes Q8 : charges d'exploitation

*en général.

Les calculs justifi e~ tif~ concernent à la fois: -les états limites ultimes E.L.U., - les états limites de service E.L.S. Par exemple, pour la détermination des sections d'acier:

Calcul à I'E.L.U.R. Calcul à l'E.L.S.

Si. A..su <Aser ' on retient A,er

Si A su> A 3er, on retient A su

E.L.U. ou E.L.S. ?

Remarque: les combinaisons détermi­nerzt les sollicitations les plus défavo­rables, comme par exemple dans le r:rH des poutrP.s uvee porte-à-faux Ot{ les cas de chargement des poutres continues.

Notations Mu moment de flexion

à l'état limite ultime. Mser moment de Oe.üon

à l'état limi te de service . A

50 section théorique d'armature à l'E.L.U.

1\ser section théorique d'armature à l'E.L.S.

Indiquer, dans les différents cas ci-dessous, quel ~stl'état limite à considérer.

6

~. ÉtJu ilihre d'un mur de soutènement Rxemple: stabilité au renversement

b. Cas de fissuration très préjudiciable Exemple: limiwtiurt des contraintes de traction. des aciers

c. Cas de limitation de flèche Exemple:f< L/500 si la longueur L < 5,00 m.

d. Équilibre d'un poteau élancé (faible section , grande hauteur) e. Contr<~inte:: de compression du béton impos6e

B.A. Guide de calcul

Réponse

a E.L.U. équilibre statique b E.L.S. c E.L.S. d E.L.U.S.F. e E.L.S.

Formulaire clts poutres But Déterminer la valeur nurné~que des sollicitations telles que: - actions aux appuis, . - effort tranchant, en particuljer au voisinage des appuis, - moment de flexion, en particulier Mf mnx: Wondowolnttrntl hplortr El

Démarche proposée • Définir les liaisons mécaniques de la poutre (types d'appuis).

[ OK =:J • Déterminer le (ou les) cas de charge (charges uniformes, réparties, concentrées, etc .).

• Effectuer le schéma mécanique de la poutre chargée. • Décoder et sélectionner' dans le formulaire le (ou les) cas de

chargement correspondant. NB. Le fmmuluiJt~ c:i-uprès est limiré à

quelques cas courants pour familia­ri.w-!r fp l l'r'tPur;, .wn utilisation .

• Choisir et utiliser les formules adéquat~ en appliquant, s'il y a lieu, le principe de superposition des états d'équilibre .

. ~ Notations et conventions du formulaire des poutres

Notations (figure 1)

A B x' x

q

p C, D a R,...R0 VA, VB x xo

Appui de gauche } , Appui de rtmite Travee AB Ligne moyenne continue représentative des cen­tres de surface des sections le long de la poutre Intensité de la charge uniformément répartie par mètre de poutre Charge concentrée Points d'application de la charge P Dist~ce de la chargt! concenLr~e à l'appui considéré Actions ùes appuis A el B sur la poutre AB Efforts tranchanrs aux appuis A et B Ahscisse d'une ection courante Abscisse où s'exerce le moment maximal M0 dans la travée AB Moment de flexion dans une section d'abscisse x Moment maximal de flexion en travée

Cbar ::s cor centrées

Poutre sur appui simple

· Fig.l

Schéma du cas de charge

Conventions (figure 2)

( 1) Charge répartie uniforme (2) Charge concentrée (3) Couple de flexion

Types d'appuis: ( 4) simples ou libres ( 5) articulations (6) enca~trement à une seule extrémité (7) encastrement à chaque extrémité (8) Poutre continue (à plusieurs travées)

Représentation des moments de flexion : diagramme disposé du côté de la fibre tendue de la poutre pour lever toute équivoque quant à la disposition des aciers de traction Représentation des efforts tranchants :

VA-RA et V8 =-R8 dans le cas d'une poutre à une seule travée AB

q

CD R lllll 1111 11 111 111

t ;\ ®L 6 <D C0 0 LA N6 ® 0 A B 0

.Fig. 2

® a~ (1)~ A B ~ ® /\ z b.

i \ 8 c Schémas de représentation

z

3

Poutres sur deux appuis simples

~

Cas de charge

q!m

lllllll 'IIIIIIIIIIIII Jl TA B~

f ~·

RA= qL Rn= RA 2

Charge uniformément répartie

1' a r b

l c A

t ~ B

P ·b RA= -

L

P· a Rn=­

L Charge concentrée P

RA = ~ (L-a) Rn =RA

Charge en trapèze régulier

Effort tranchant Moment de flexion

~~ f X L j· t A - B~ A 8

. qL . . .qL VA= - VB = -

2 2 , qL2

v(x) = -- qx 2

1 + le B

A - 1

V_ =RA V_=- R8 AC CB

V_ signifie V entre A et C AC

· \' _ signifie V entre Cet B CB

avec Q= q (L - a)

0 V11 = ~ - RA Vo = - RB

2

qL1 L M 0 = S pour xo = 2

qx M (x) =-(L-x)

2

A . 8 ~~

P·a·b M 0 = pour x0 = a

L

q[L2 a

2] L Mo = - - - - pour x0 = -

2 4 3 2

r ~ ts(: r t x l. j' ~ A s6 A _ J B ~ A , L 1. A'\_ / !]

" .. 4> '1 1 ---.J ~ . • ' /

• qL Tl R H - R ~ RA = 4 R8 =RA .,A = A vn- - B

Charge répartie (triangle isocèle)

qL RA= -. 6

qL R~~ = -

3 Charge à réprutition variable

8 B.A. Guide de calcul

vr.r.) =- 1-4 - pour.x::::;-qL [ x~ l L . 4 L2 2

qL2 L M0 =- pour x0 = -

12 2

qLx[ (·x)2] M(x) = 6 1- Ï

L Xo =--=

-./3 qL2

M0 = -· - pour 9/3

Observations

Flèche

5 qL4

f= 384 . El· L

pour x= -2

Si a = b = ~ 2

p RA =-

2 P·L

M o=-4

PL3

f =-48 El

Charge uniformément

répartie p 1m2

sur un trapèze

S = aire du trapèze

QI = p· S

, Q1 [L2 a-;. ] Mo = 2(L -a) 4 - 3

Avec P= qL: 2

p R,1 = 2 =RB

PL .Mo=-

6

V= 0 pour x=~ 2

q·L AvecP= --

2 2

Rs =- p 3

•

1

1

6

7

•

..:

Cas de charge

' ' f t " 1 flll ll=l ll llqÎrl I l l ~ 11 11 ~ A+

1, 8

R,, = q (L + 2a)

Ra = RA 2 Charges

uniformément réparties

p~ Hp A+ L fB

RA = [> RLl =P

Charges concentrées sur porte-à-faux

p . a R _ P (L +a) RA = - - /) - ___.: _ __:_1

Effort tranchant

,, a J. L .~ c. r 1~ f+>.

A ~B

qL vdr. = -

2

qL v 8 = - -g ') ...

L >~ (l L

1

Cf] B

V11A = - P V.111 =P . .

v_.=o AB

L L V_= R A Charge concentrée A»

Vc<n - P

sur 1 porte-à-faux

Poutre encastrée à chaque extrémité

Cas de charge ·· EtioJZt tranchant

qlm 1 111 1111 11 1 1 11 1 1111 1 1 ~ 11 111111 11 1111 1 11 1 1 ~ 1

A --:::::=] Y.: A JJ L [. L t 1 1 l

qL R - qL RA= - 8 - -2 2

Charge uniformément VA =RA V8 =-Rfl répartie

' ù2 t: l' U2

> '

'A ·J ) + t: 11;1 -L

RA= P/2 RB= P/2 "A =P/2 Vs- - P/2 Charge concentrée fJ en L/2

Moment de flexion

}:1\=1:1 A L B

M q 'L2 4 2 ) à · ' o = - ~ - a rm-portce 8 ,

a-MA = Ma =- q-

2

(1 ~ t a 1 L

.'\ B

M0 =-P·a

lvl0 = M 8 = - P · a

Momenl de flexion

~/ A 8

} ~-

qL2 qL2 M A=- - M n = - -

12 12

~~1 MA=

PL PL - Mn=--

8 8

Observations

V!IA signifie:

effort tranchant immédiatement à gauche de la section située en A

VdA : V à droite deA

Moment constant de .1 à li

Sens des aerions aux appuis:

RA : vers le bas

R8

: vers le haut

Observations

Pour .xo = L/2 : v - " -u

qL2 M o = -

24 qL4

Flèche= - -384EJ

Pour x0 = L /2 : V = 0

PL M o - -

8

Formulaire des poutres 9

Cas de charge Effort tranchant

~ {;

1 <

D 8

1 -

1

u :,, " R,4 =P Ra =P VA = RA Va =- R8

Deux charges concen1rée1> P 1 V en = 0

Charge conœnlr ée P

L

Moment de flexion

~\ 74 ~ a ~' ~ a ~ . l'a(L - a) M M A=- = B

L

Observations

Entre Cet D:

Pa 2

,'Vf =-L

Pour x0 =a :

V=O

2Pr/'(L - a)1

Mo= ~ L '

Poutre encastrée à une extrémité et sur appui libre à l'autre

Cos de charge Effort tr anchant Mument d e flexion Obser vations

-

13

~m ~ L L

~ 3U4 ~ 3 1 \'= 0 pour Xr = - L Ar+---.. 8

. 8 111J 111 111111111 111111111§

w --------

-l?s;J~. 3 _l. L ~ -, ., l .l_r_ t --~ ! 1 L ~ M-0 pour x = - L

l L 4 .,.. 1

3 5 M A= O

qL2 R ,t = - qi, R0 = - qL Mn= - -

8 8 V(.x) =RA - qx 8 Charge uniformément répartie VA= RA Vo =-Rn 9 ., 3L

M o = - qi/ pour x0 = -128 8

~ L/2 L /' 1 l'l J P üüï xo = L/2 : 1 -r AJ.

Lf2

1 ! c•• r / ji

·~ "1

5 + ,'vf0 = PL

AE - A <::::........_==:=/ B 32

f L 5 1 v" = R A = - P . 16 3

Charge concenLTée en f./2 11 M A=O M 8 ---PL VB -- RB = - P 16

16

r-t + a ~' ~~ / ·~

Pour x0 =a:

A: T

1 BI M =Pa(L-a)2 (2L + u) AE - A~ 8

1

0 2L~ t L

·r-L 1

VB =-Pa (3L2 -a 2

) = -Rn Pa(L 2 -a2

) Charge concentrée P 2L3 M ;. - 0 M a=-

P(L a)2 (2L - a) 2V. VA =

2L3 = R . ..._

10 B.A. Guide de calcul

1 .·

Poutres en console

Rn= qi. 1 Charge un.iforméwenl répartie

b

~ D

L

" R8 = P

Charge concentrée VA

Effort tranchant

V9 = - qL V(x) = - px

b

=0 Vœ = - P

Poutres continues (cas simples)

Mome1.1t de tlcxion

qL2 x2 M8 = - - M (x) = - q-2 . 2

L

•1 A ~~ ,( b B}

Ms = - Pb

Cnargé uniformémenl répat1ie

M3 = 0 ~ Moment sur appuis

qlm qlm

. Observations

Flèche en .4 :

. qL4 J = 8EI

Flèche en C :

P b3

f = JE!

Flèche en A :

P b2

f = - (?,L-!J) 6EI

. Moments en travée

M1 _ 2 = 0,070qU

18 rrT'TTIII ,.,...,.-111-,-1 .-----, , .:..,..--,1 , l--..-111 ,-,111-111 U III"'TT'TIII"'T'TTIIIT'T"'i-IIIT'TTIII TTT"III T'TT'"III T'TT'"III T"T'T"'IIII

! 1 ~ 2 6 3

+-- L L - - - ----+.,

R1 =0,375qL R2 = l ,250qL R_1 = 0,375qL ~ Actions des appuis

Cas tl t: deux travées

qin: qin: q/111

11 11 , 111111 11 1111111111 1111 1 w 111 1, I , II I II I II II I I II II I IJII I II I II II II I I II II r r • r, r 11 11 M2

_ 3

= o.o25qL2 1 '-' 2 · 3 4

L L L t. 1

~R-~=_0_,4_00_q_L ______ R2_=_1_,1_0_~L __ c_as_d_c_tro-is_t_rn_v:_~_=_1_, 1_00-qL _____ __ R_4_=_0_A_OO_q_L~~M_,_-_4_=_0._08~

Formulaire des poutres 11

3 Mode d'utilisation du formulaire

• •·>'~ ~~~

1 :r.~:utft1 Poutre sur deux appuis

._ .... •• ·•• • •mr

Fig. 3 Schéma perspectif de la poutre

Données • Appuis simples aux extrémités • Section de pou tre : 20 cm x 50 cm • Portée entre appu is : 8,00 rn • Charge d'explo itation unifonnémt::nl répartie :

12 000 ~lm ou 12 kN ou 0,012 M N

Hypothèses de fonctionnement à I'E.L.U.R. Combinaison d'action

G charge permanente QB : charge d'exploitation

1,35 G + 1,5 Q11

Déterminer: - Les action aux appuis RA, R8 ;

-les efforts tranchanls VA, V8 et V(x) pour déter-miner les cadres et étriers;

- les moments de flexion M0 e t M(x) pour déter­miner les sections d'acier tendu .

2 . ~ Poutre sur appuis libres

Données

• Section de poutœ B.A. • Portée entre appuis • Charge d'exploitation:

15cmx50cm 6 ,00 rn

- une charge répartie en triangle isocèle sur toute la longueur L de la poutre (valeur max q1 =9000Nim) ;

une charge concentrée P = 20 000 N à mi­por tée .

~ Déterminer les valeurs n.wnériques de VA et de M0 ,;,te

... •~·~ pour un calcul de la section d'ar.ier à l'EL U.R.

12 B.A. Guide de calcul

charge permanente

/ charge. d'exploitation

A~tlllll{lll ~Il l flllll~ B

_ 8.00 r ~Fig. 4 __,. Ponue sur deux appuis

if*; ~ ..

Réponse: application directe elu formulaire

• Charge permanente par mètre de poutre 0,20 x 0,50 x 25 _000 = 2 500 N/m

• Combinaison de charge ( 1,35 G + 1 ,5QR) J ,35 x 2 500 + 1,5 x 12 000 = 21 375 K/m

• Utilisa tion du formulaire: cas n° 1

RA = R8 = qU2 = 855001\

VA = 85 500 N et V 8 = - 85 500 N

V(x)=qU2-qx=85500-2t375x

pour x = 1 rn ---* V( l ) = 64 125 N pour x = 2 m -7 V(2) = 42 750 N pour x= 4 rn -7 V( 4) = 0

L2 M 0 = q - - l7 1 000Nm

8 . 213ï5

M(.x) = - - ·x· (8 - x) . . 2

pour x= l m~ M( I ) = 74812Nm pour x= 2 rn---* M(2 ) = 128 250 Nm

Réponse: application du priadpe de superposition

Nature des charges Formulaire

Charge perma nente uniformément répartie qul- 1,35 X L 875 = 2 531 N/rn

• Effort tranchant à l'flppui A

. . 6 , 00 -VA = 2 531 x - = 7 )93 N

2 • Moment de flexion à mi-portée

6, 002 M 0 =2 531 x -

8- = I l 390Nm

Charges d'exploit.ttion • Charge répartie en triangle isocèle

qû = 1. 5 x 9 000 = 13 ) 00 N

\l = 13 500 x 6' OO = 20 250 N

.1\ 4

6,00? M 0 = 13 SOOx--:;;; 40500Nrn

12 • Charge cou<.:èlllrée

~. = 1,5 p = 30 000 N

v Pu -/1 2

:;;; 15 000 N

Pu Mo = - L = 45 000 N rn

4

Ca! n(. 1

L Ve -q-

2

Charge pennanente: poids propre par mètre de poutre

0,15 x 0.50 x 1 ,00 x 25 000 = 1 875 Nm

Application du principe de superposition

Sommation de ré ultals partiels ci-contre:::

VA = 7 59 3 + 2 0 250 + 15 000 = 42 843 1\

,'\-10 = 11 390 + 40 500 + 45 000 = 96 ~YU ~rn

( , ' '·) x0 étant egal a 2"

Wondowslnt•rntt E>q>lor•r UtJ

Calculer les mmnt>flfs d'enwslrement sur appuis et le moment maximal en travée à l'E.L. UR.

p Charge d exp:oitation

p

7,00

Fig. 6 Poutre enc&strée à ses deux extrérrùtés

Données

Section: 20 cm x 5) c m; portée : 7 ,00 m

Ln poutre supporte en char[? es d'exploitation: - deux charges concentrées de même ù1tensité,

J> = 26 000 N , situées chw.:une à 1,25 rn de chaque extrémiré.:

- une charge d'exploitarion t.mifnrmhne nt répartie de 1 8 000 ;.Jfm .

Réponse

Combinaison d'action: 1,35 G L.5 Qn

• Charges uniformément réparties p .rn. qu= 1,35 X 2 750 + 1,5 X 18 000 = 3U 712 Nfm

Formulaire: <.:~ 11° 9 ~ MA =M 8 = - 125 409 ]'\rn

M0 :;;; + 62 705 Nrn

• Charges concentrées d 'exploitation Pu- 1,5 X 26 000 = 39 000 N

Formulaire· ca ne 11 ----?

MA = M 0 = - 40 045 N rn

M0 = + 8 705 Nm

• Effet total des charges réparties et concentrées MA= M8 = - 165 454 Nrn

L M0 =+ 7 l410Nmpourx0 :::

2

Formulaire des poutres 13

Bu~

Déterminer, pbur·une ~èction donnée d'un, ~J.émem D§chi• ou cç>~npti­mé, les caractéristiques géométriques qui servent à 'étudier, par la suite , l'équilibre d'une section B.A. sous t'effet des so1licitations.

1 Moment statique (symbole. Jl-15

)

li sert à trouver le centre de gravité (C.d .G.) d'une surface donnée (S). par rapport à un axe situé nans son plan. Da11s le cas q;u béton armé, l'équation dite ... du «Moment statique» pcrlnct de trouver la position de la fibre neutre d'une section .. ( axe. Gx, ' passant par le centre de gravité (j ). :

La distance de l a fibre neutre à la fibre la pluscomprimée de la section permet de calêüler le moment quadratique par rapport. à l'axe Gx.

2 Moment quadratique (symbole / axe con~déré)

Il intervient dans le l:alcul des: - êontraintes de.conipression dÙ1béton t!l'Lle' traction 'êtes aciers dâns

une section de béton armé soumise à un moment dê flexion ; - contraintes de cisaillement dues à l'effort tranchant; - déforma~ons (exemples: flèche. des éléments) .

Moment statique (rappels)

Théorème

Le moment statique d'une surface plane par rapport à un axe passant dans son plan est égal au produit de l'aire de cette surface par la di stance de son centre de gravité (ou centre de surface) à l'axe considéré:

M 1 Ox=S· y s ·C M~ l Oy= s. x0

Propriétés Si l'axe Ox passe par le centre de gravité ~ Ms 1 Ox = 0 Si l'axe Oy passe par le centre de gravité ~ M~ 1 Oy = 0

Principe de calcul pour une section homogène Prenons une section en Té pour servir d'exemple:

Aire élémentak e Distance du C.D.G. à l'axe Ox Produit

Al.yl

A2. Y1 A3· Y3

Cnités usuelles Aire totaleS .......................... cm2,

Ordonnée y ........... : .............. ·cm: Abscisse x .. .. . .. ... ... . .. .. ..... ... . cm Moment statique M

8 ............ cmJ

r-:'['' . 1

'-:- ,' ~~ '"7 y2 Ms 1 Ox = LAi · Y; = S · Yc

Ms 1 Ox On en déduit Yc; = --..:.:... __ Fi ;Tl ;J (it)i- --t- ' · ,~ · __ , t 1

Il l' • , , / J . , .. , -L...:...Y.._t .i_____J_-

s 0 x

Caractéristiques géométriques des sections 15

f- Moment quadratique (rappels)

Définition Le moment quadrdlique d'un élément de surface plane par rapport à un axe Ox, situé dans son plan, est égal au produit de l'aire ds de cet élément par le carré de sa distance à l'axe considéré Ox. Le moment quadratique de la surface plane S contenant tous les élément~

d'aire ds , par rapport à l'axe Ox, e5t égal à la summe des moments quadratiques élémentaires :

fy m.ax l ox =-

> mm

Méthode de ~:alcul

/ ds

Traitons un exemple simple, le cas de la section rectangulaire • Calculons le mument quadratique pM rapport à l'axe Ox • Soit un élémeUL de surface d'aire ds = b · dy

Sa distance à l'axe Ox est y qui varie entre 0 et h.

f ox= J0

11

i ds - J;1

/ · b ·dy

h . b3

Remarque: on obtient de m&me 1 0 >' = - -3

Théorème de Huyahens

( 1)

Le moment quadratique d'une surface plane S, par rappo1t à un axe Ox de son plan , est égal à la somme :

• du moment quadratique lex de cette surface par rappott à l'axe GX, parallèle à Ox e l passant par le C.d .G. (fig . 2);

• du produil de l'aire de la surface S par le carré de la distance y c du centre de gravité à J'axe Ox.

2 fox=lc;x + S · YG

Application à la section rectangulaire pour détermin~r Iax

2 T GX = 1 O.A - S ' Y G

lex = - - b. h - 1 bh; (h "2

3 2;

16 B.A. Guide de calcul

(2)

{3)

y y

dy - ·· '-" '

x -h y c; ,

w r + Yc;

0

tl. Tableau des caractéristiques des sections courantes .....

Furm~ de la section Aire Centre de gravité

~Nr 1 Rectangle Position de G '

1 1._ G • x h

1

..:::: A = b x h v, -- = v 2 2

~-L i

t 1 t b

4 ' Triongle

~h 11 2 = 1

;;,N

,=~ ~-~ A b x h

= - - h 2 \) 1 = -

3 ~ ~

J 1

b , <

1 - Disque

' :P 1 r:.D 2 D f{ G• v - ·-·r-·-·-Q

A = v 1 = - = r 4 2

;:..-

~/

Remarque: le rayon de giration est tel que: 2 r ;;'x =

f xox ( moment quadratique)

A (aire de la s ection) suit

- Calculer en utilisant le tableuu ci-dessus 0

- Masquer les résultats indiqués 0

- Contr{Jler les résultats obtenus.

Section Résultats Section

Il. = 640 cm 2

v, = 20 çrn

lax = 85 333 cm 4

1ox = 341 333 cm4 EB3 . ~

J 40 J J 16 J

A = 640 cm 2

v, = 13,33 cm

lax = 56 889 cm4

1ox = 170 667 cm4

Moment quadratique

Par rapport au C.doGo:

bh3

lxox = -12

Par rapport à la base:

bh3

1 XOT. = -3

bh1

f x·x = -36

J x 'x = bh3 -12

nD4 4

f xox 'itl'

= - = 4 64

Résultat'i

A - 6<10 cm2

v, = 8 cm

lex = 13 653 cm4

1ox = 54 613 (.;[114

A = 640 cm2

VI = 14,28 cm 1cx = 32 659 cm4

1

Caractéristiques géométriques des sections 17

p~ Section en forme de Té

Établissons les formules pour calculer Yc et J(jx dans une scx;tjon homogène en Té dans le cas où Yr; > h0 .

y

" -ho

,_ -- --

+ 1 x

1 1

~~ v,

\ \

l bu L ., ..

b

r 1 ~) / x

-, :)< /~ ·r, ;] '·, ,/ '--. " 1 -,....., / ,' ::__ 1\ ; 1 / <,

-- -- '""- \ , '-,

1 / '--, \ ' 1 ·, 1 ,~\

1 \ ~ 1 \

1

1 \

1

1

\ 1

\ 1

h

Eig.3 ~ 6

Calcul de >o Calcul de lex

Calcul dey0 (ou v2) CaJcul de l ex en fonction de v1 ~t de v2

Aires Distance du C.d .G. Produit Aires lex = J, + 1'2 + 1.3 à l'axe Ox r ., 3

sl - bo ·h h b

0 h.,

IlL= bo· vL I l bo . Vt

- -- = 2 2 l

ho .., 3

(b b0 ) h~ b . v2 s2 = (b - bo) ho - .4.2 = b. v2 / 2 =

2 ..,

3 ""

2 2 3

s = SI + s2 M 5 f Ox ho h + (h - ho) lz0 A3 = (b - h0) (v:< - ho) / 3 (b

(v1 - h0 ) = = bo) 2 3

f------ -~ 2 3 3 3

bu h~ + (b - bo) ho ho v, b 112 ( v ... - h0 )

Yc = = v 2 Ir;x = + -- - (b - b0 ) " 2S 3 3 3

NB. Choix de l'axe Ox passant par l'arrêre supérieure de la section. NB. Choix de l'axe G.'<· passant par {F. C.d .. G. Les rectangles hachurés d 'ain; Wt11l~ A1 sonr à

rlMJLire dans les caiculs .

Exemple numérique avec: b0 =20cm ; b=ROcm; h0 - 18cm; h=78 cm .

L'appl ication des formules ci-dessus donne:

Yr: = 26,13cm et lcx= 1 394 443 cm4.

1 8 B .• A. Guide de calcul

- Choix préalable d'un r~férentiel Ox, Oy. - Choix de surfaces élémentaires. - Détermination de Yc avec le moment statique.

- Utilisalion du zhéorème de Huyghens pour lex ou I0x .

Rectangle Trapèze 1

Té Section en «I»

y ol .x y t y t

1 1

' ho J 1

' 1

1 1 1

h ' ' '

1 1 ! ' '

1 1 ol '--

hi

0 x ~ y bo 0 1 x. b i x

b = 15 cm b = 30cm b =50 cm b = 65cm h =45 cm h0 = 20 cm h0 = 20cm h0 = 15 cm

h = 45 cm h = 45 cm b1 = 22cm h0 = 12 cm h =45cm

h0 = 10 cm h.

1 = 15 cm

*- Réponses ·' ·-V ·'-:<'•'

~~~~·~''"""''

VI = 2lcm VI = 27, 214 cm VI = 28, 105 cm !0x = 455 625 cm4 !0 = 683 438 cm4

x 10 x = 1 159 380 cm4 I o~~ = 1 267 667 <.:m4

lex= 113 906 cm4 !&x= 187 313 cm4 ]&X= 226 202 cm4 lr_;y = 256 606 cm4 "

Application aux sections courantes de béton armé

Principes de calcul (préliminaires indispensahles)

1° Le béton tendu est négligé dans les calculs du C.d.G. et de /G (sauf cas particuliers).

zo Le moment quadratique des aciers I A par rapport à l'axe passant par leur propre centre de gravité est également négligé.

3° La section d'acier est prise équivalente à une section fictive de béton: coefficient d'équivalence n pris égal à 15.

Exemple Section d'acier constituée par: 4 HA 14 + 4 HA 16 ---7 Section totale As= 14,20 cm2

Section fictive équivalente en béton: A5 x 1 5

Soit: 14, 20 cm2 x 15 = 213 cm2

4° La hauteur utile de la section (symbole d) est égale à la distance de la fibre la plus comprimée du béton au C.d .G. des aciers tendus.

Remarques 1. La hauœur uri le de la section. symbole d, est prise. égale à la distance enm? le Cd. G. des aciers tendus et la fibre la plils comprimée de la section . 2. R,?ppel: le momem statique par rapport à un axe passant par le C.d.G. àe la section est nul

LM!GX=O s ( éauatwn du second def:ré en Y dite du

« Mom~-.nl SUl lÙJiiP. » j.

Caractéristiques géométriques des sections î 9

Cas d'une section rectangulaire (fig . 5)

On veut calculer yG = Y et lv:<"

Position de l'axe passant par le C.d .G.

Aire Oistanœ algébrique Moment élémentaire du C.d .G. à l'axe GX statique

-'}

sl b· y h· y ..

= y - - -2 2

s2 = fi · As - (d- Y) - n · A 5 (d - n

~ I b· y 2 Ms 1 GX = 0 ----; - n · A~ (d - Y) = 0

2

Calcul de lax• par application du théorème de Huyghens et en tenant

compte des principes de calcul pour les sections B. A.:

b· y 3 ~ .

3 - n · A s (d - ~) 1

Exemple numérique avec: b = H~ cm ; d = 45 <.:rn; A = 8 04 cm2

s ' Par utilisation des deux forrilu les pré<.:édentes, on trouve :

Y =y0 = 18,75cm : I0x= 122652 cm4

Cas d'une section en forme de Té (fig. 6)

Éludions le cas où Y = y 0 > h0 Remarque: Si Yc < h'J , il s'agit d'une !'-ection n::t:Langulaire en raison de la zone de béton tendu , non prise en compte dans les calculs.

r /-

Yc

d G •

LJ Section B.A. rectangulaire

d

..... :;~

Fi~.6 .... ~

y

b

G

Section B.A. en Té

Équation du moment statique Moment quadratique lex 1 1

x

Aire 1

Distance Moment slatique Aire Expression de Tex

b· y 2 ' l y h· y -

h . y - - - b. YI --2 2 3

,., fY - h0 )

3

( b - ho ) ( Y - h0) (Y - h0 ) (Y - h0 ) "

(h-b0) (Y- ho) -- (b- ho) (h - b0 ) '

3 2 l

n · ,15 -(d- Y) - n·As(d- Y ) n·As n ·A (d-Y)2

s '

I Ms 1 GX = 0 ----; Total des valeurs algébriques :

b. y 2 1

bY ~ (Y-h0 ) 3

( Y h ) (h b ' - 0 - n · As (d- Y ) 0 l ex · A~ (d - Y 12 - - cJ = = -- (b - br~) .,-n

2 3 3

20 B.A . Guide de calcul

x

) 2

lixemple numérique: section en Té, en matériau homogène

b=80 cm; b0 = 20cm; h0 = 12 cm; d= 72 cm

L'application des· fon nules précédentes (p. 18) donne:

Yc =17,708cm ; /Gx=7721 97cm4

Sections rectangulairt!s Section en Té

Données Réponse Données Réponse

b = 20cm Yu = 25,5 cm d = 60cm IGX = 334 964 Cm'~

Yc = 26.25 cm lvx = 1 202 897 cm4

b = 80 cm

ho = 20cm

As = 4 HA 20 ho = 12 cm d = 60cm

b = 15 cm Yc = 20, 42cm d = 55 cm JGX = 1.50 731 cm4

As = 3 HA 16

A = 1 HA 20 s + 8 HA 25

totalisanl42, 4 lcm2

Caractéristiques géométriques des sections 21

& • . ~ ~~ attlODS per•aaeates et Vlllb es But tl s'agi.t ... de déterrrii ner la·natutê. et l'intensité deS différentes charges Oll

actions qu i agissent sur une structure et en particul ier sur l'un de ses élé-menls (exempl~s: poteau , po,ytrc·, p1anche,F , fondation , etc.) . ·

Démarche proposé' • Analyser les actionspermane.ntcs ,ct variables pour les combinaisons

de charges à l'E.L.U. ou à rE.L.S. . , .. • l tiliser les exlraits de normes et nchcs techniques des fabricants qui

indiquent: .; , les poids volumiques ou surfacigue .

- les charges d'exploitation. · • Évaluer les charges sur les éléments porteurs compte tenu du cahier

des pre~criptions techniques du maitre d'œuvre.

Nature des actions (B. A.E.L. A:~)

Actions permanentes (symbole général G)

Symboles et désignation

Actions variables (symbole général Q )

Symboles et désignation Q1 : Charges d'exploitation G1 : Poids propre des st.rnctures, maçonneries ou

béton armé Exemple: fondations, murs .

Nxemple: charges unifonnément réparties sur les planchers (symbole QB)

G2 : Poids des autres éléments de la construction Exemple: couverture, charpente, carrelages.

Q2 Charges climatiques • action du vent (symbole W)

• action de la neige (symbole Sn) G3 : Forces exercées par la poussée des terres ou la

pression des liguides Q3 Action de la température, (symbole T)

Coefficient de dil atation du béton armé: I0-5

Exemple: cas des murs de sous-sol . G4 : Déformation différées dans le temps

Exemple: celle:; causées par Le retrait du béton. Q4 Actions passagères en cours d'exécution

'Cx .. l., , .I ! . • ~ 'S J_ -~'et•nn riA w,, , ;;v;,., ,1 v Li empt". ueput at': JAH .. j.r.,, ue '"tuc:-,'""'"" .

Désigner par le symbole cor­respondant, La charge perma­nente ou variable, dans la liste ci-c.:vnLre:

Liste des aerions • Plancher B .A • Voile B.A. • Coffre-fort sur plancher • Cloisons sur pla[)cher • Poutre B.A. • Chai-peul~ bois ou métal • Chauffe-eau 200 dm1

• Neige sur versant ou terrasse • Personnes sur planchers • Voitures (actions des roues)

~

~

~

~

~

~

----;.

----;.

----;.

----;.

· .. fr@'W#.:~ •.. . 'im' ..

•. ~Jtt

Masquer le.! réponus ci·dessous et conrrD!er les vûlres.

type d'action ? ?

? ? ? ? ? ? ?

~ Gt Gt QI G2 Gl G2 QI sn Q, Q,

Actions permanentes et variables . 23

,

, ~. Evaluation des charges permanentes (Extraits NF P 06-004)

2 .1 Matériaux de construction 2.2 Éléments constitutifs des maconneries

>

1 Béton armé ........ .... .. ..... ................ .......... 25 000 NJm3 Acier .oo .oo .... ..... .... .. oo . 0000000 ...... .. .. ..... 00 .oo .. 00 7~ 500 N/m3

Désignation

Maçonneries de moellons 00 00 • • oo .. 00 . .. .... oo 23 000 N/m3

Calcaire Gompact ..... ... .. ... ... .... : oo .. . oo ... 28 000 N/m~ Briques pleines

l conifères ... .. ... .... .. 00 00 . oo .. .... .... 6 000 N/m3

Dois feui ll us ...... .... .. ... . 00 . ........ .. .... 8 000 N/m3

tropicaux durs .. 00 •• 00 00 00 000000.... 10 000 N/m3

Br.iq ues creuses

-Autres éléments Blocs pleins en béton de gravillons

(poids par m2 et par cm d'épaisseur)

Carreaux de plâtre Enduit de plâtre F.nduil de mortier hydraulique Complexes isolants

lOO N/m2/cm de

1~0 N/m2/cm voir fiches des fabricants

2..3 Poids des éléments constitutifs des planchers

• Dalles pleines: 250 N/m2/cm d 'épaisseur Exemple: dalle B.A. de 18 cm d'épr ~ 4 500 N/m2

• Planchers à poutrelles préfabriquées et entrevous ("A;r f.""; "'h ::..t" d-" c"b...=---•t"- --·e .. • "' T"\, .,....,. ') \ vvu U l .. dl~ \.-~ Ul lll.,dl ll ,,, eX ll lpH::. J"'.J"',Jj,

lourds

Blocs creux en béton de gravillons lourds

Blocs pleins de béton cellulaire

Pierre de taille : - parois pleines - auto-portant - attaché

A titre indicatif, le poids, en N/m1 , dépend des épaisseurs et des entrevous utilisés:

Poids en N/m2 des planchers courants avec : poutrell~ + eJltrevuus + table de compression (épr: 4 à 5 cm)

Type Entrevous

(épr en cm) Béton Polystyrène Terre cuite

12+4 2 500 1 700 2:100

16 +4 2 850 2000 2 600

20+4 3 300 1

2 lOO 3 000

24 B.A. Guide de calcul

EJi (cm)

5,5 10,5

15 20 25

15 20

15 20

15 20 25

20 8 ,., .)

Poids (N/m2)

1 050 2 000

1 300 1 750 2 0:'50

3 150 4200

2 000 2 700

1 200 1 600 2050

5 300 2 200

800

!! i

i

2.4 Revêtements des plan~hers

• Chape en mortier ou dalle flottante : 200 l\/m2/cm d'ép' Exemple: chape de 4 cm d'épr ~ 800 ~1m2

• Carrelages sct!llés y compris mortier de pose: - grès cérame épr Y mm . . 900 N/m2

- marbre épr 12 mm à 15 mm 1 000 N/m2

• Parquets de 23 mm y l:ompris lambourdes 250 N/m2

• Sols minces textiles (moquettes): 80 N/m2

2.5 Toitures

• Terrasses - P.tanchéité multicoul:he - Asphalte coulé sablé - Gravillons pour protection

d'étanchéité • Autrt!s toitures

- Support rle couverture. - liteaux sapin -voligeage sapi11 -chevrons sapin (60 X XO)

- Couvertures en ardoises

120 N/m2

500 N/m2

200 N/m~

30 N/m2

lOO N/m2

70 N/m2

(lattis ct voligeage compris) : 300 N/m2

2.6 Cloisons de distribution

- Couvertures en tuiles (li teaux compris)

Cloisons légères, nun porteuses, de masse< 2 500 ~lm Elles sont prises en compte comme une charge permanente uniformément répartie. On admet: 500 N/m2.

Évaluer les charges perma­nentes par m2 de plancher suivant les données ci-contre:

"

Locaux d'habitation • Dalle pleine en B.A épaisseur 16 cm • Dalle flottante d'épaisseur 5 cm • Revêtement moquette • Cloison rle disttibmion, type Placopan

: 500 à 750 N/m2

~ 4 000 N/m2

~ 1 000 N/m2

~ 80 N/m2

~ 500 N/m2

5 580 N/m2

Evaluation des charges d'exploitation (Extraies NF P 06-00I)

Nature ct destination Charges d'exploi- Nature et destination Charges d'exploi· du local tation en N/m2 du local tation en N/m2

Bâtiments à usage Bâtiments scolaires d'habitation et universitaires

Logemem y compris combles Salles de classe, ùorloi rs, aménageables 1 500 sanitaires collectifs 2 500

Balcons 3 500 Ate liers , laboratoires Escaliers (marches isolées (matériel lourd exclu) 2 500

exclues) 2 500 Circulation . escaliers 4 000 Greniers proprement dits 2 500 Bibliothèques, salles de réunion 4 000 Bâtiments de bureaux Cuisines col lectives 5 000 Bureaux proprement dits 2 500 Bâtiments hospitaliers Circulations et escaliers 2 500 et dispensaires Halls de réception 2 500 Chambres 1 500 Halls à guichet 4 000 Circulation interne 2 500

Locaux méd icotechniques (salles de travail et d'opérations) 3 500

Actions permanentes et variables 25

Cas des terrasses (voir D.T.U. no 113) Terrasses non accessibles 1 000 N/m2

Terrasses accessibles privées 1 500 N/m2

Terrasses accessibles au public 5 000 N/m2

.. li~:.. ·~ '!W;",~'!;:::rr ·~ ,·..-1 (tt~. "'-if!'fl_-~.~:~w rn! . .....;; -w~ __ ,_. .. , ·~j .. 1-.»L.~q H 'i'rl_ Données ~-.:4 • Bâtiment à usage d'habitation avec ascenseur ·~ et escalier de service (volées droites préfa-~ briquées)

• Les séjours disposent, en façade, de balcons • Les planchers 110nt en dalle pleine B.A. • La terrasse B.A. e~t non access ible

Cas des marches préfabriquées indépendantes en porte-à .. faux Chacune doit résister à: - une charge concentrée de 5 000 N, à l'extrémité de

la marche, si 1 a portée est inférieure à 1, 10 m et 1 'escalièr non accessible au public;

-une charge Q = 10 000 N, répmtie, si la portée est > 1,10 rn et l'escalier non accessible au public ;

- une charge Q = 15 000 N, répartie, si la portée est > 1,10 met l'escalier accessible au public .

Évaluer les charges d'exploitation

• Terrasse ~ 1 000 N/m2

• Plancher -- l 500 N/m2

• Balcons ~ 3 500 N/m2

• Escaliers -- 2 500 N/m2

,~ Appli~ation: calcul d'une descente de charges ,.

Remarque préliminaire La loi de dégressiort rh~· charges d'exploiralion n'est appli­cable qu'aux bâtirrumt~> d'habitation dont ie nombra d'étages est supérieur ri 5 en g é nérat (NF P 06-00 l).

Descriptif succinct

• Bâtiment d' ha bitation

• Fondations par semelles continues en B./\.

• Murs de façacle en blocs creux de béton en gra­villons lourds hourdés au mortier de ciment avec pote lets raidisseurs incorporés et chaînages ho ri­zontaux

• Voile B.A. pour refend : épr 16 cm

• Plancher B.A. avec poutrelles préfabriquées el

tab le de compression: type ( 16 + 4)

• Plancher-terrasse B.A. non accessible au public et avec protection lourde comprise: 5 000 N/m2

• Étanchéité multicouche : 120 N/m2

Vérifier les valeurs prises pour les charges perma­nentes et d'exploitation.

Contrôler les résultats obtenus pour les pressions exer­cùs sur le ~·ol de fondation dans le cas du mur de faça­de e1 du refend porteur .

26 B.A. Guide de calcul

+ N 1 ~ Plaud~cr :erras~e ~~~~- ·~----------~~

~\

~ Vo:!e BA N <"i

4 '--......_ ~ ...

.\' .1 1

+ .. Mur de

façade D~llage sur

N6 ..... 1 rerre-p· ei n

N7 - _L +_

w w +i

4,50 H 20 L6

{~~; 1 :l Coupe sdu~matique cie la structure porteuse

Étapu du calcul A dions verticales

• Sélectionner une tranche de bâtiment de longueur 1,00 m (sans baie) et sur la hauteur totale du bâtiment.

• Considérer chaque travée de plancher indépendante (exemple : le refend porte une moitié de travée de part et d'autre) .

• Différencier les charges permanentes et celles d'exploitation.

• Effectut!r la descente de charges niveau par niveau par calcul cumu­lé à partir du haut.

• Calculer la pression exercée sur le sol : - sans coeffi cient de pondération,

Couverture

-.::::;:>"

Charpente .J-,.

Murs de l'étage -J._,

Murs du R.n.c. .b

Dallage

~ Ft md a !ions

7 Sol de fondation

- avec coefftciems de pondération. Schéma de principe

Descente de charge pour le mur de façade

Charges permanentes (j Charges d'exploitation Q

:'tlinau Désignation Poids Poids des ouvrages L 1 H unité Total Cumul L 1 unité Total Cumul

Nl Étanchéité 2,85 1.00 120 342

Terrasse B. A. 2,85 1,00 5 000 14 250 14 592 2,85 1,00 1 000 2 850 2 850

N2 Mur de façade 1,00 2,50 2 700 n7."iO 21 342 2 HSO

N3 Plancher B. A 2,45 1,00 2 850 G 983 28 325 2,25 l ,OO 1 500 3 375 6 225 f--

N'l 1-

Mur de façade 6750 35 Oï5 6225

NS Plancher R. A. 6 983 42 05~ 3 375 9 600

N6 Mur ùe façade 6 750 48 808 9 600 t--

N7 S~melle B. A . 1,00 0,60 • 0,40 25 000 6 000 'i4 808 9 600

• Pression exercée sur le sol de fondation sans application des coefficients de pondération:

(]'= G + Q = 54 RO~ + 9 600 = 0,107 N/m.m2 , ou 0,107 :t\1Pa

s 600 x 1 000 • Avec coefficients de pondération:

(]'= 1,35 G- 1, 50 Q = 0 147 MPa s '

Descente de charge pour le refend porteur (voiles B .A. )

Calcul direct pour obtenir la contrainte exercée sur le sol

Charges permanentes

Étanchéité ....................................... ..... .. .... . Plancher-terrasse ......... ........................... .... . Planchers B.A ......................................... ... . Voiles ......... ......... ........... .................. ... ....... . Semelle B.A. . ............. ... .................. ... ........ .

TOTAL ... ... ...... .......... .... ...................... ...... . .

559 N 23 300 N 26 5G2 N 30 000 N GOOOK

86 421 N

Charges d'exploitation Sur tenasse ....... ........... ............................ ... 4 660 N Sur planchers ........ ... ...... ......... .. .... .... .......... 13 500 N

• Sans coefficient de pondération: 18160 N

(G+ Q) = 104 581 N Contrainte exercée sur le sol : (J'sol= 0,174 MPa

• Avec coefficients de pondération: ( 1,35 G + 1,50 Q) = 143 908 N

Contrainte exercée sur le sol: <T~01 = 0,240 MPa

1

Actîons permanentes et variables 27

H, RENAUD

DESSIN TECHNIQUE

LECTURloE PLAN BATIMENT / GRos œuvRe-

à

lut

Il s'agit de. _çonnattre et d'appliquer les modalité; de coJeul cteJ sollicitations dans une ou plusieurs sec tions d'un 6lément B.A. (semelles de fondation, poteau , p outre , dalle, etc.) Ces sollicitations (effons, moments de flexion etc.) proviennent :

- des actions permanentes } , d' , 1 · , , . 1

d . . b etu tees aux c taptlres preœuents

- es acuons vana les dans une section donnée. d'un élément de la slrucluœ B.A.

Dé mare he

Les sollicitations sont calculées par appliëation:: • de principes et de métlwdes ùe r6sistance des matériaux en tenant

compte du règlement B.A.D.L. pour les combinaisons d'actions à l'E.L.U.R. ·et à l'El.S.

• des méthodes spécifiques précon isées d(lns le règlement .13 .A.E.L. ou lt!S D.T. U. (Documents Techniques Unifiés).

Exemple: 1\.-féthode forfaitaire pour le calcul des poutres ei dalles de planchers a .,·· ....

Principe

Isoler l'éléme;nt de structure B.A. considéré

Faire 1 'inventaire ciès B,:.f tions permanentes et ~ar~ables

Calculer les sollicitations dans nne section S

Efforts <~=Cii:!ll!!:----.-œ!'=..l.===--~-cJ>..,. Moments

• Etl'ort tranchant, symbult V Exemple: cas des poutres

• Effort normal, symbole N Exemple: cas des poteaux

Éléments courants des structures B.A. (B.A.E.L. B 1 à B9)

Ce sont les fonc!M.ions, poteaux , poutres, soumis uniquement aux actions verticales : - des charges permanentes G, -des charges ù'~x.pluilatiun Q, à l'exclu ion de toute action climatique , telle que la neige uu le vent.

• Moment de flexion: symbole général.M - symbole Mu à l'E.L. U. - symholc Mm à l'E.L.S.

Exemple: cas des poutres ct des planchers

Calcul des sollicitations 29

~;. Combinaisons d'actions Cas des fondations (B .A.R.L B9.2 )

Combinaison d'actions: \ 1,35 G + 1,50 Q

R em arque: le r:alcul des fondations s'effectue gé néralement pour les cas simples par la méthode des bielles suivuni D.T.U. 13,1

Cas des poteaux (B.A.E.L. B2.8.2,11)

Dans Jes cas les plus courants (poteaux de bâtiment, d'angle , de rj ve, intérieurs), l'unique combinaison d'actions à considérer est:

1 1,35 G + 1,50 Q 1

Cas des planchers: poutres ~u dalles • Cas d'une seule travée sans porte-à- faux: • Cas de plusieurs travées sans porte-à-faux :

E.L.S. E.L. U.R. ----

,.--~

Travées chargé~s l Etat Travées déchargées

l ,35G + 1 ,50Q G+Q E.L.U. 1,35 G + 1,50 Q8 1,35 G G + 1,50 Q8 G _Il r--

E.L.S. (;+ QB G

Cas d'une poutre reposant sur deux appuis, prolonaée par un porte .. à-faux (B./\.E.L. B.6.1, 22)

Combinaisons à considérer

• aux états limites E. L. lJ. R.

Q) 1,35 G + 1 ,5 Q 8 1,35 G

U A

(j) 1,35 G 1,35 (J + 1,5 QB

1 ~

,SJ 1.35 G + 1 ,5 Q Il 1 ,35 G + t.S Q B

'~' D

(~) G + 1.5 Q 8 G

D

0 G G+1,5Q 8

6

aD

L

G

ü

/' . _\

But reche•·ché dans chacun des cas de chargement

-Moment de flexion maximal sur l'appui A : Mu"'

- Moment de flexion maximal en travée AB: Mu (AB)

-Valeur maximale de l'action de l'appui A sur la poutre : R~,

- T ,ongueur des armatures en chapeaux du côté de la travée

1

- Éventuellement déterminant pour le moment maximal positi f en travée

Remarque (B.A.E.L. BJ.3): la 4e combinaison est prise en consùlharion pour la justification de l'~quilibre statique mais

avec 0,9 G dans la travée udjaceme au porte-àjau.x.

• aux états Jimites E. L. S.

Q) ü ;\ ..._ ,

- Moment de flexion maximal en travée sur l'appui A: Mser A

@ ~~~~~~===========-=17\ - Moment de tlexion maximal en travée AR: ,\tf>er IAB)

u li ~

Remarque: pour les bâtiments courants soumis aux actions permanentes er variables avec d u1rges climattqucs (neige et

venr) se reporter au B.A.E.L Annexe D.2.2).

30 B.A. Guide de calcul

Applications Le premier cas proposé concerne J'assimilation des contenus du pré­sent chapitre. Le deuxième cas nécessite de: - rechercher les poids unitaires des éléments constitutifs dans le cha-

pitre 4, ainsi que les chargee;; d'exploitation; - procéder par utilisation du formulaire des poutres du chapitre 2. Le troisième cas a pour objet le calcul des sollicitations par étapes en utilisant le principe de superposHion.

- Analyser li!s combinaisons de chargement n.0 1 à 4 ci-dessous . - Indiquer l'intérêt de chaque combinaison pour le calr. ul des

sollicitations: action des appuis et moment de flexion (max. ou . ?

lntn .. ) .

Cas de charge Réponses

(D Y A ;\ ~ L.::>

Q)'l ----,

Q / \ fj,

(3)\ '/ 6 D L)_

~ ;\ 1

r A

1- L t L , :r A B c

Calculer numériquement les momenis de flexion sur appuis et en travées d'une poutre de rive encustrée à chacune de ses exirémités.

Données - && "lllllii1i

• Section de poutre: 16 cm x 50 cm • • Portée entr~ appuis (voiles B. A) : 4, 40 rn

• Dalle B.A. épr: 18 cm • Portée de la dalle : 5, 20 m • Allège en blocs l:reux de béton , épr : 15 cm • Hauteur d'allège: 90 cm • Enduit mortier sur allège, épr: 1 cm

- Moment maximal négatif sur l'appui n et R8 maximal

- Moment maximal positif en travée AB et moment minimal ~n travée BC

- Moment maximal positif en travée BC et moment minimal en travée liB

- .\1oment minimal négatif sur l'appui B

Calcul des sollicitations 31

Étapes du calcul .

• Déterminer la charg~ permanente par mètre de longueu r de poutre due au po id s propre des éléments : poutre, dalle , allège.

• Procéder de même pour la charge d'exploitation .

Réponse

• Charges permanentes p. m.

Poutre: 2 000 N/m

L>allc : 11 700 N/m

Allège :

Enduit :

Total

1800 N/m

162 N/m

g = 15 662 N/m

• Charges '·ariables p. rn. Avec 1 500 N/m2 pour local d'habitation,on a:

q = 3 900 Nlm

~e-"t:ii·:j~o1ittrè~ aiiiacipa-li cfèl'.=faôtliu.:;;*

• Effec tuer la combinaison d'action suivant les états considérés.

• Utiliser le [onnulaire des poutres : cas n° 9

NB. Calcul aux états limites (E.L. U.R. er F:.L.S.)

• Moments à rE. L. S.

avec s = g + q = l9 562 N/m, il vient :

sL2

MA= M JJ = - - = - 3 l 560 Nm 12

., sC

et J\.·10 = +- = + 15 780 Nm 24

• Moments à I'E.L. U.R.

avec s = 1 ,35g + J ,Sq = 26 944 N/rn , il vient: .... s ,,~ .,

.'I-1A=M8 = - - =- -4., 500Nrn 12

/ 2 et M0 == +:._:_ = + 21 775 Nm

24

t.:;4 · - . - J3 ~ - - - '"--• .,.._

~ Calculer les solliciTations à l'EL U. R. pour la poUTre de plancher n° 4 { .. ~ de la figurtJ ci-contre, de section 20 cm x 50 cm. ~".t

ii ' •..- . Données

:;.

• Plam:her B.A. constitué par des poutres d~ section 20 x 50 et une dalle épais~e de 18 cm d'épaisseur .

• Portées des poutres: 5,00 m.

• Surface des travées : 4,20 X 5,00 m.

• Chaque poutre intérieure supporte une partie de la dalle en forme de trapèze régulier de part et d'autre de la nervure (lignes de partage inclinées à 45°).

• Le bâtiment est à usag~ de bureaux .

Étapes du calcul

• ralculer ics charges perrnanenl~s et d'exploitation par mètre d~ poutre .

• Utiliser Je formulaiœ pour les cas de chargement :

- uniformément répani ,

-en trapèze régulier.

• Tenir com pte de la combinaison de cheuge à l'E.L.U.R.

• Cu mu 1er le~ résultats partiels.

32 B.A. Guide de calcul

. /

~/

"' '

"' ' ' "' 0 ~~~Y , ,

,/ , '

/ , /

~~ -1, 20

\

-v " .. 0 4. 20 X 50 ' N

" -,~ ,-; '-..

/' ' '

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/ 0 •. , , rt "' / ..,.

, '---' / " "' ' ', ' 0 ,,

N --;"-

<; ?

Réponse

Remarque préüminaire: les valeurs auxiliaires s'obtiennent fiu:ilemenf Pur exemple: poids propre de la poutre par mètre:

• Charge pennanente pondérée par mèh·e

-Poutre seule: 1,35 x 2 500 N/rn = 3 375!\/m J l l llll ll ll l ll l ll ll l ll l l ll ll~ CD fj 1 l'l~ I

- Dalle en lraphe: 1.35 X qlmax = 25 515 N/rn

• Charge d'exploitation pondérée par mètre

- Dalle en trapèze: 1,5 X q2max = 1.5 X 10 500 = 15 750 N/m

q:!miiJI

Lf':rtTrrriiOIIJJIID]Dllb~ (})

- Poutre seule : 1,5 (0,20 x 1.00 x 2 500) = 750 N/m ~11 ' 11 lliiii!I!!IJI!!! lill!! !lil l ('"""_4 /) 1 b.

Calcul des sollicitations, formulai r t! des poutres cas l et 3

~a ture Action des appuis :Moment maximal en travée de la charge RA =Rn Mo

Sch6rna (1) 8438 ~ 10 547 Nm

Schéma (Î) 36 997 ~ 60981 Nm

Schéma@ 22 838 N 37 643 Nm

Schéma® 1 X75 N 2 344 !\m

Total 70 148 N 111 515 Nm

Calcul des sollici1ations 33

Le calcul de.(j ouvrages en B.A. est effectué à partir d'hypothèses des études qui tiennent compte , en particulier, des caractéristiques phy­siques , chimique~ el mécaniques,des matériau"X (béton, acier). Les caractères des matériaux concer-

Extrait d'un r.artorJ.che de plan ~ d'armatures B. A.

-ncnt: Hypothèses des études - - ---r

Charges des planchers Béton 1 Acier 1-----

- les résistances cF~ractéristiq ues 'à la compression et à la traction,

- les déformations ('allongement et permanentes d'exploitation f c28 == 25 ~1Pa HA: FeE 400

0: FcE21S raccourcissement) ,' , , Cloisons : 500 Nfm2 . Revêt. sol: 600 N/m2

2 500 N/m2

- les diagrammes déformations ­contraintes .

Les bétons Un béton hydraulique résul te du mélange en proportions définjes <.les composants suivants: -granulats naturels ou artificiels (sables, gravillons, graviers), - liants normalü;és : ciments artificiels, - adjuvants éventuels pour augmemer les performances physiques ou

mécaniques , - eau de mouillage des granul ats et d'hydraLation du liant.

1.1 Tableau de dassement des granulats (NF P u~-101)

Appellation !---- -

Catégories suivant grosseur de grains*

en mm

Sable

Fins: 0,080 à 0,315 Moyens: 0,31) à 1,25 Gros : 1 ,25 ~ 5

Gravillons

Petits: 5 à 8 Moyens: 8 à 12,5 Gros : 12,5 à 20

Hxemple: un~ maille de 12,5 mm conespond à un iliamèlre ùe 16 mm. NB. Éléments très fins : fines. farines, fil/er~< 0,08 mm.

1.2. Principaux liants utilisés pour travaux B.A. (NF P l5-30l )

Ciments Portland Ciments Portland artificiel composés

Teneur ~ 97% Teneur ~ 65 % de clinker de clink:er

Utilisations l ou

recommandations

CPA 45 CPJ 45 Tous travaux CPA 45 R CPJ 45 R courants

1-----------~-- - -------+-------------------1 CPA 55 CPJ 55 Éléments CPA 55 R CPJ 55 R préfabriqués

CPA HP Travaux qui exigent CPA HPR <.les résistances

exception ne Iles

Do.'\age min : 350 kg CPJ 45 par m3

TS: T.S.H.A.

Cailloux et pier res cassées

Petits: 20 à31,5 Moyens: 31,5 à 50 Gros: 50 à 80

>!- mailles carrées des tamis exprimées en mm.

Symboles

J dP.çigne un ciment avec cons tituanîs sa nndai res < 35 %.

R désiRne un ciment à début de dur­cissement rapide .

HP dés1gne un cimP.II f à haute perfor­mance.

45 ou 55 irul itfUl! la classe du ciment en Mfln.

Bétons et aciers: caractéristiques 35

1.3 Résistances caractéristiques du béton

Elles servent ete hase pour le calcul des projets en B. A.

Résistante caractéristique à la compression à j jours (symbole f ,)

Elle est définie par une valeur de la rési~tance à la compression du béton à l'âge de 28 jours par essais sur éprou­vettes cylindriques. ( 0 16 cm: surface = 200 cm2 ; h = 32 cm)

Exemple: fc?B = 30 Y1Pa , fig: 1 ...

Éprouvette cylindrique ~r· hétnn

16 t

J j

Résistance caractéristique à la traction à j jours (sy mbole f

1i)

Elle est conYentionnellement définie à partir de la résistance à la compres~iun par la relation:

1 ftj = 0,6 + 0,06 fcj

Exemple avec .fez& = 30 MPa:

ftzs = 0.6 + 0,06 x 30 = 2,4 MPa

Remarque importante pour les calculs : les résistances à (<j » jours des bétons, non traité.~ thermiquement, peu· venL ê!re évaluées par les formules approchées des tableaux suivants:

fe,;

j <60

J ~ 60

f c28 ~ 40 M Pa

J · .fc:/R

4,76+0,83 j

l ' 1() fc 28

1.4 Déformation du béton

Déformation longitudinale (B.A.E.L. A.2. 1, 2)

On distingue: - le module de déformation instantanée (durée d'ap­

plication des charges < 24 heures) (symbole Ei J J

1 E iJ = ll 000 f,/13 (MPa)]

- le module de déformation différ ée (longue durée d'application) (symhole E .. )

[ r . = 3 Îoo r 1 ' 3 V.f • CJ

La va leur de ces modules intervient dans 1c ca leu 1 des flèche et tes effets dus au retrait et au fluage du béton.

Contrainte normale

~Fig.2:.,

Motlules de défor­matiuu iustantrmée et

différé~

0

36 B.A. Guide de calcul

2 F. Je Déformation unitaire

.fcJ 40 MPa <fc: 28 ~llO MPa

j ~ 28 J f · c28 1,40+ 0,95 j

28< j < 60 Bétons à Haute Résistance voir B.A.E.L. A.2.1, 11

Déformation transversale (B.A.E.L. A.2.1, 3)

Elle se traduir par le coefficient de Poisson

déformation transversale v=

défonnation longitudinale

Le coeffi cient de Poisson est pris égal à : v= 0,20 pour la justification aux b:.L.S. (section

non fi~surée) v = 0 (zéro) dans le cas des E.L.U.

I'Fig.37

.Ai Coefficient de Poisson :

f).d v =

1l

NB. ,\défaut de mesures , on P.Jtime que le raccourcissement unitaire dû att retrait aiteim les valeurs suivantes dans le cas·de pièces non massives à l'air libre: 1 ,5 . 1 o-4 dans les climats très humides'

2 · 10-4 en climat humide, ce qui est cas de la France sauf son quart Sud-Est, 3 · 10-4 en climat tempéré sec, tP.l que le quart Sud-Est de la France,

4 · 10-4 en climat chaud et sec. 5 . 1 o-4 en climat très sec ou désertique .

les contraintes de trar.timz du béton el le:, modules de déformation ins­tantanée du béton.

Indication Ut~.Ji~er le.s in forma lions des para:: graphes 1.3 ct 1.4 .

Calculer la résistance. ~ppro.xima ­tive du bélon en cornpre~sion à 4 jours sachant qu'il dn it atleindre à l'âf?e de 28 jours: ·

f r:28 = 30 MP a

lndltalion Se reporter à la remarque du para­graphe 1.3 .

Calculer la contrainte due au. retrait dam· le cas d'une poutre B.A. de sec­tion 15 cm x 50 cm , sachant qrre: - ses extrémités sont liées à des mas-

sifs bétorwés. f cj = 30 Ml'a,

- le bâtiment est .çitu.é à Nancy .

Résistance caractéristique du béton en compression ( fc2r. en MPa)

Résistance caractéristique ùu béton en traction (f 128 e

Module EiZR en .MPa

Réponse

4x30

n MPa)

f = =1485 MPa . o4 • 4, ï6+0,83x4

Réponse

18 25 30

1,68 2,1 2,4

28 828 32164 34 180

j1j = E vj X raccourcissement unitaire (application de la loi de Hooke):

E . = 3 700 f 1' 3 = 11 497 MPa vj · c28

Évaluation de la contrainte de traction provoquée par le retrait:

JtiJ = 11 497 x 2.l0- 4 = 2,3 MPa

(L'effet du retrait n'ec;t théo1iquement pa~ à craindre si la résistance à la Lraction du béton (f) est suffisante pour s'opposer à la fissuration.)

On a: .t:

f 1,; = 0,6 + 0,06 f cj = 2,4 MPa > ftlj

Bétons et aciers: caractérist iques 37

Les aciers

2 . 1 Caractères mécaniques (B.A.E.L. /\ .2.2 )

• Le caractère mécanique, qui sert de: base aux justifications dans le cadre des états limite;;, est b limite d'élasticité garanlie (symbole fe) .

• Le module d'élas ticité longitudina le (symbole E.) est pris égal à " 200 000 MPa.

• Diagramme dHormations-contra intcs

C'est nn diagramme conventionnel , faci le d'u ti lisation , pour le calcul des contraintes et déformatiom. us

Analyse du diagramme de la figure 4

• Cas de la traction

- Droite OA (domaine élastique) : propo1tionnali té déformations-contraintes

. { r.~ = f/E. Coordonnées du pomt A · = f -

ifs · e

- Horizontale AB d'ordonnée a, = fe

fe - - ...... A ______ B

Al longement '

(domaine plastique) ' Raccoun:issemr.nt

La position du point n correspond à un allongement 8 = 10%o s

• Cas de la compression

0 0

·;;; ,, e "'-

~ .. - 't

F~g.-4

Le diagramme correspondant est syméttique à celui ùe la traction par rapport à l'origine O.

le '----------'- - - - j.

Diagramme convent ionnel déformations-contraintes de 1 acier

2.2 Caractéristiques des aciers pour le béton armé

.2..2.1 Aders en barres

Caractéristiques

Dénomination

U nùte éia1>liyue en MPa

Rébistance à la rupture uR en MPa

Allongement à la rupture

Types d'a ciers (1~8 = 200 OUO MPa)

Doux et lisses, symbole 0 (Nf A 35-015)

FeE 215 FeE 235

f, =2 15 \0

fe=2:>.'1

-.. ''10 (J R ::- . 1. a R 3: 410

22~

A Haute Adhérence , symbole HA (NF A 35-016)

Fe E400 Fe E 500

r = 400 . e .fe= 500

aR ~ 480 a R?: 550

14 % 12 %

Coefficient de scellement , symbole 1.Jis 1.5 ----~r-------------------------------------------------~

Coefficient de fissuratiun, symbole 'Y1 1 1,6

Diamètres ~ourants en mm 6-8-10- 12 6-8-10-12-14-16-20-25-32-40

NB. Voir tableau des section~ deç ariers en Annexe 1.

38 B.A. Guide de ca lcul

1.12 Treillis soudés

Types de treillis (.'JF A 35-022)

Caractédstiqu~s Lisses, symbole T.S.L. A Haute Adhérence, symbole T.S. H.A.

------+--------------------------r------------- --------~

f , = 500 "

fe= 500 Limite élastique en MPa

(tous diamètres) (tous diamètres)

Résistance à la rupture en MPa O"R = 550 O"R = 550 r---------------------------~--------- ------------r----------~--------------~ Allongement à la ruplure 8% 8%

Coefficient de scellement, symbole lf/s

Coefficient de fissuration, symbole TJ

1,5

1,3 pour 0 < 6 mm

1 ,h pour 0 ::::: 6 mm

Diamètres courants 3,5 mm à 9 mm

avec un pas de 0,5 mm

-3,5 à 12 mm avec un pas dc O,S mm

- 14 à 16 mm sur commande

NB. Voir tabléau des sections des aciers en A rm e xe 1.

~·";;l , • Tl"' ,..-'f"' ~ .... ~ ...... 1 ..... l.: ~ :&\

Déterminer l'allongement unitaire correspondant à une contrainte de 348 MPa exercée sur un acier Fe E400

Indication Exploiter le diagramme déformations-contraintes de la figure 4.

Résistance LÎ la rupture u R ~. Comparer les raJÏ!;orts :

= Limite élastique .fe

pour les aciers HA Fe E 400 et Fe E 500.

Calculer pour un acier à. haule adhérence, de limite d'élasticité garantie f e = 400 MPa le rap­port entre son allongemenz à la rupture et celui correspondant à sa limite élastique.

Indication Lire et décoder le tableau des aciers en barres.

Réponse La lui de Hooke exprime la contrainte dans le domaine

élastique par rr~ = Es . ss %o pour ifs< f t". J

On a: e eton = s""'

348 x 1000

200 000 = l , 74 %o

En déduire le iype d'acier qui offre le plus àe sécurité à l'utiLisateur .

Indi~ation

Lire et décoder le tableau des ac iers en barres.

Réponse

L'allongement à la rupture est 70 fuis plus grand que celui qui correspond à la limite élastique.

Bétons et aciers : caractér istiques 39

Dêform.atlons ct· coiatr-aiot.es de calcul • État limite ultime

Les hypothèses de calcul sont relatives : - au diagramme rectangulaiœ Je compression de béton ; - aux contraintes de çalcu.l elu béton et de l' acier ; . -à la règle dite des «pivots» qui détermine lës déformations limites

d'une section soumise à une sollicitation normale. en particulier à un moment de flexion simpJe.

• ÉtatJimite de service

Le principe de la justification des sections impose la limitation Jes contraintes :

- de compression du béton; - de traction de l'acier vis -à-vis de la fissuration en mi li cü préj udi-

ciable. - ' ··. · · .. Ces notions ont déterminantes pour le calcul des sections d'arma­turcs et de la vérification des contraintes en compression et en trac­tion du béton ct de .l' acier .

État limite de résistance (B.A.E.L. A.t1 .3)

1.1 Hypothèses de calcul des sections soumises à une-ou plusieurs sollicitations (B.A.E.L. A.4.3, 2)

• Hypothèse de Navier: les sectio ns plllnes, normales à la fibre moyenne avant déformation, restent planes après déformation.

• Non-glissement relatif entre armatures et béton en raison de l ' asso-ciation béton-acier par· adhérence mutuelle. . ·

• Résistance à la traction du héton non prise en compte. dans les calculs . • Les diagrammes déformations-contraintes sont définies ci -après:

- béton en compression (voir paragraphe 1.2); - acier tendu ou comprimé (voir paragraphe 1.3) .

• Le diagramme des déformations limites d'une section fait l'objet de la règle dite des «trois pivots» A, B. C (voir paragraphe 1.4).

1.2 Diagrammes déformations .. contraintes du béton (B.A.E.L. A.4.3, 4)

On distingue (fig . 1 ) : • le diagramme « par abole-rectangle» ; • le diagramme rectangulaire simplifié qu i sera étudié et utilisé Jans

nos calculs en raison de : -sa simplicité d'emploi; -sa concordance satisfaisante. en flex ion sim ple , Clvec le diagram-me «parabole-rectangle» .

Déformations et contraintes de calcul 41

3t5%o ()Pivot D

lt

1 1 ..___

- ~ --

1 -/ -

/ -- /

uxc ncutrv ~ -/- - ~- - 1- -- - -

Diagramme des déformations (pivut B , voir paragraphe 1.4)

0 Diagnuumc:; f)ia e,ramme

parabole-recra ngle recwngulaire

Diagramme des contraintes (R. A.E.L. A.4.1, 4)

Dispositions relatives au diagramme rectangulaire

Hypothèses de départ: • section rectangulaire partiellement comprimée;

• position de. l'axe neutre connue, soit Ox, et sa ctistancc y

11 à la fihrc la plus comprimée.

Contrainte de calcul du béton

Symboles . 0,85 f cl8 lb u = - --=-=-=-

(J • 'Yb rb . : contrainte de calcul • t:

fc2R : résistance caractéristique à Remarque 28 jour.s Si tes zones comprimées présentent rb : coefficient de sécurité u.n. e largeur dh:rnissantP- vers lt~'i

jïbres les plus comprimées: O,Rn I c28 f, J = - --=-="-

8. 'Yb

Zone comprimée décroissante vers 1 <~ fihre l t'l p l lls

c.<Hnp• irnée

f)

rb = 1,5 en général rb = 1,15 dans le cas de combi­

naisons accidentelles : coefficient d'application

-fJ Durée d'applicat ion

1 >24 h

O,Y 1 ~ durée ~ 24 h

0,85 si durée < 1 h

DHurmation maximale du béton: b"bc = 3,5 o/oc

Diagramme rectangulaire

Distance à partir de l'axe neutre Contrainte de calcul

O~y<0 20 y . (; contrainte nul le

fbu = 0,85 f c28

0 20 v ~v~ y e. rb • • li -· u valeur constante pour ëbc ~ 3,5 %

42 BA Guide de calcul

Notations

ahc : contrainte de compression du béton

I c) : résistance caractétistique du héton en compression à j jours

f 1:1: : contrainte de calcul (voir tableau çi-ùëssous)

yb : coeftïcient de sécutité

eoc : déformation du béton en compression

Diagrammes déÎormations­

conLrai ntes du béton

NB. Les coefficients 0,85 au llumératw

et eau dénominateur ont POI!I' objet dt tenir compte de ce que la résistance du béton ej'/ fonction décroi!SStmle dl! fu durit

d'application des charges.

Tableau des contraintes de calcul Les contraintes sont données ci-après en fonction des résistanœs carac­téristiques du béton à 28 jours d' âge.

-Résistances caractéristiques Contraintes

du béton de caJcuJ -

en compre.ssion en traction en compression fc~ (MPa) / 128 (MPa) f tx• (:\1Pa) avec () = l

111 1,56 9,07

lX 1,68 10,20

20 1,80 11,33

'1? ~~ 1,92 12,47

~

25 2,10 l4,17

27 2,22 15,30 r---

30 2,40 17,00 ~

35 2,70 Jl),H3

40 3,00 22,117 -45 3,3 25,50

50 3,6 28,33 -

55 3,9 31,17

j 60 4,2 34,00

1.3 Diagramme déformations-contraintes de t•acier (B.A.E. L. 4.3, 2)

NB. Revoir les caractéri!i;tiques de l'c1cier dans le chapitre 6 , Bétons et aciers: caractérisriques>-. a, (Contraintes de tr11l:tiun ou de compression j

Le diagramme de calcul se dédui t de celui conven­tionnellement défini des déform ations-contraintes conformément à la figure 3 .

• Limite d'élasticité garantie : fe

• Coefticient de sécurité: 'Ys

- casçourants : ys = 1, 15 - combinaisons accidentelles : 'Ys = 1

• Module d'élasticité longitudinale: Es = 2 00 000 MPa • Contrainte de calcul : f = f 1 'V su e ',;

wFîg. 3,,~ ,..;~"' ..• ,*~~ ~·-"

Déformations-contraintes de l'acier : diagramme conventionnel de calcul

(en trai t continu)

t - - - - --- - - - --- - - - - - - - -, 1

C.: 1 Diagra nune. ùt: calcul +---~------------------~ D

0

Déformations et contraintes de calcul 43

Interpréter Ü>; diagramme déformations-contra intes de l 'acier.

Déformation longitudinale Cl. s

5 en , (!o

Contrainte de calcu l enMPa

fc x 1 ()()()

'Ys • Es

Déformation élastique Variation linéaire de la contrainte pour les valeurs définies par cs

lnte1préter. à titre d'exe mple, le tableau ci-contre pour un. acier HA Fe E 400 el un acier Fe 500.

Déformation plastique conventionnelle

Contrainte Type esen %v de calcul d'acier

(M Pa)

Constante

Observations

Fe E 400 1,739 347,8 0"5= Es • S

5 %c =.fe/ 1,15

10 :147,H

Fe E 500 2,174 434,S

10 434,8

~~ ~'J'.$1i!Jll !fi'i i'tJ~l!a ,. , :. :. . . . . . . .• . . :

~.-: La résistance caractéristique du béton 1,28 étant prise égale à 23 MPa, quelle est

la contrainte de ca lcul f bu , sachant que la durée d'application de la combinaison de charges est supérieure à 24 heures? .

•

On donne lu cunirüiiLfé de calcul f bu= 11 ,90 MPa. Calculer la contra in te caractéristique prise comme référence à 28 jours d 'âge du béton.

1.4 Règle des trois pivots (B.A.E.L. A.4 .3, 3)

• lJ ne section de béton soumise à des sollicitations normales se déforme sujvant l'hypothèse de NaYier (voir paragraphe 1) .

• Les positions limites que peut prendre la droite de déformation sont déterminées à partir des diagrammes déformations contraintes du béton et de l'acier étudiés précédemment (voir paragraphe 1. 2 et 1.3).

• La déformation de la section est représentée par une droite, passant par l'un des pivots «A», «B» ou «C>>, à J'intérieur ou à la frontière des domaines repérés (1), (2) , (3) sur Ja figure 4.

44 B.A. Guide de calcul

idem

idem

idem

f bu= 13,03 MPa

Section de béton armé A:Iongcmcnts

(traction) 2 %c 1

Raccourcis,;ements ... ( . 1 " , compressJOn) ., ... /"')(1

A

IO %c Allongements l 1

Section a v ct l lf déformation 2 %u

Diagrammes des déformations limites de la section

Wtndow• lnttrnd hplorrr !3

OK

I.e tahleau ci-après permet d'analyser : • la position des pivots repérés A, B . C; • les domaines (1), ~. @ ct les valeurs des déformations limite

Nolations

h : hauteur totale de la section d : hantcur utile en fl exion simple y J : position de Je fibre neutre A : section des aciers tendus s

Analyse du diagramme des déformations limites d'une section r------------------

Pivot A Domaine 1

Allongement unitaite de l' acier:

Traction simple: • limite AA' • béton entièrement tendu.

Flexion simple* : • acier tendu (~;,· = 10 %o) s • • béton partiellement comprimé:

0 :;;; s 1r. ~ 3, 5 o/oc

(+)Flexion simple ou composée .

Pivot B Domaine 2

Raccourcis cmc.nt unitaire du béton comprimé:

F.'bc = 3,5 %o

Flexion simple * : • acier tendu • béton panidlement comprimé.

Recommandation :

fc

(voir § 1.3)

(*) Flexinn simple ou composée.

(*) N.B. La .flexion composée n' t'~·r pas ~nvisagée dans le cadre de cet ouvrage.

Pivot C Domaine 3

Rac.eourci1lsernent unitaire du béton comprimé:

êuc = 2 'foo pour Yu

Compression simple:

= 3 h 7

si la droite de déformation est parallèle à la ùroite représentative de la section av~ nt déformation*.

e') Sinon, .flexion compusé11.

Déformations et contraintes de calcul 45

Sa . Pivot A - Domaine 1

Diagrammes relatifs aux trois pivo l~

Analyser la figure Sa relative à la règle des trois pivots . Ca lculer la vuleur de Yu en f onction de la hauteur utile d , quand la droite de déformation est représentée par la droite AB. En posant a J = y/ d , en déduire une rè~ le pratique de déterminatwn des pivots A uu B dans le calcul en flexion simple d 'une section B.A. Remarque: dons ce CU))' a < 1.

u

~ . ~ if"

~ ;~:;:~~~ ~;~:~;::":~~~~~:~:~7~: ~ la table de compression soit entière­

·~"·' m ent prise en r:ompte dans le calcul à l'E.L. U.R. • Hauteur de la table : hn • llauteur utile : d • Diagramme rectangulaire pour le

béton comprimé.

46 B. A_ Guide de calcul

0'

El 1 L _ __ _ _ __ _ _ L _ __ _ _ _ _ _

0 0

Sb. Pivot B - Domaine 2 5c . Pivot C - Domaine 3

Réponse

La cons idération des triang les semblables dans la f igu re Sa donne: ...

3,5 %c = -- - v = 0, 259 d 10 ~ .. u

. 00 (d - Yu)

Ainsi, la règle pratique pour la déterminati on des pivo ts est:

aJ = 0,259 _. droile de déformation AB: pivots A et B au < 0,259 -+ le pivot est en A

au> 0,259-+ le pivot est en B.

Réponse

La condition pour avoir toute la hauteur de la tab le de com­pression entièrement comprimée dans le cas de la flexion simple est (cf . fig . n:

h0 = O,HO Yu soit

Yu Avec : a = - il faut

u d '

Yu= 1.25 h0

ho a = 1 25 - . u • d.

;

Etat limite de service

2.1 Hypothèses de calcul

Sous l' effet des sullit:itations: • les sections droites restent planes après déformation de la ~~t:tion ; • pas de glissement re latif entre le béton et l'acier; • la résistance à la traction du béton tendu n' est pas prise e.n compte dans

les calculs; • les contraintes sont proportionnelles aux déformations; • Je coefficient d' équivalence n ~st pris égal à 15*.

*Rappel: cnefjïcient utillsé dans le chapitre 3 « Caracléristiques g~omé­triques des sections », paragraphe 5.

Remarque: les aires des aciers ne sum pas déduites, dans les calculs, de 1 'aire du béton comprimi .

l.l État limite de compression du béton à I'E.L.S.

La contrainte de compression du béton , symbole o-bc, est limité à:

1 'OÇ,, = 0,6 fc j

Résistance caractéristique 18 20

.fc28 (MPa) 22 25 27

l Contrainte limite

ubc (MPa) 10,8 1 12 13,2 15 16,2

----·t -"<::!

/

-L-...1.. - - - - --~---+'

30

18

" sc n

Section B.A. Diagramme des déforma tions

Diagramm~ des contraintes

35 40 45 50 55 60

21 24 27 30 33 36

Notations

Asl : section d 'acier tendu

A s2 : section d'acier comprimt!

ê lll: : déformation du béton comprimé

8 st : déformation de r acier tendu

O"bc : t:ontrainte de compression du béton

if~c : conrrainte de compress ion de l'acier

O'Sl : con trai nte de traction de

l'acier n : coefficient d'équivalence

Ft&.6 Défonnations ct contrnintes dans une section B.A. soumise à la fl ex ion simple.

On observera et on comparera les diagrammes déformations-contraintes: • à l'E.L.U.R. ( fig. 1), diagramme rectangulaire: • à I'E.L.S. (fig .6), diagramme triangulaire de compression du béton.

Déformations et contraintes de calcul 4 7

2 .3 État limite d•ouverture des-fissures (B.A.E.L. A. 4.5 , 3)

2 .3 .1 Contraintes lim.ites de traction des aders

Cas Conditions particulières Contraintes limites de traction (en MPa)

Fissuration peu préjudiciable

Fissuration préjudiciahle

Fissuration Lrès préjudiciable

Locaux c.otwett s et clos non soumis à condensations

Coefficient de fissuration (symbole) : 1J 7J = 1 pour ronds lisses 7J = t ,6 pour aciers HA

diamètre ~ 6 mm 7J = 1 ,3 pour aciers l lA

si diamètre < 6 mm (*)

Diamètres des aciers> 8 mm (**) rrst == inf (o,sJ~; go) 7J frj)

N. B. Aciers dP: :waLl à prévoir dans les poutres de grande hauteur (hauteur totale >60 cm). ( *) 3 cm2 par mètre de longueur de purement dans ie cas de fissuration pr~iudiciable .

(**) 5 cm2 par mètre de long u.P.IIr de paremen! dwz!; le cas de .fissuration très préjudiciable .

.2..3.2 Tableau des valeurs des contraintes limites des aciers en traction - Détermination à I'E.L.S. Ce tableau a été pla<.:é t!n Annexe 2 pour servir au calcul ou aux. vérifi­cations des ouvrage élém~nlaires des différents chapitres .

On considère une poutre de rive d' un hâ.timent: la j ïssuration est préjudiciable .

La résistance caracléristiq ue du béton utilisé est de 25 MPa. Quelle est la contrainte limite de trar.tion d 'un acier HA FeE 400 pour une déte rmination aux E.L.S.?

48 B.A. Guide de calc ul

Réponse

• Contrainte limite. de traction du béton : f ,j = 0,6 + 0,06 fe;= 2,10 MPa

• Cunlrainte limite de traction des aciers (fi ssuration préjudiciable. ) :

~ ~ '

CT 51 = inf l: .t; 110) 7J ft_;)

<r,., = inf (266,67 MPa; 201,63 MPa)

On retient : cr,., = 20 l , 63 MPa

On cons idère des longrines de fondations par plnts situées en milieu agressif. La résistance carac1éristique du béton est de 22 MPa. Déterminer la contrainte limite de traction pour un calcul aux E.L.S.

Soit Lme puutre de sous-sol en milieu humide, mais à l 'abri du intemp éries: on considère la fissuration préjudiciable.

La section de la poutre en sous-face du plancher est de 20 cm X 45 cm. Déterminer l'armature de peau (on se reporte­ra au §2.31 ).

Répon•e

Co ntrô ler le résultat par lt!<.; Lure du «Tab1eau des va1eurs des contraintes limites des acit!rs en tracti on>• , Annexe 2.

&éponte

Fissuration préjudiciah le -- 3 cm2 de sec.:tion d'acier pour l'armature de peau par mètre de. parement. Périmèlre à considérer . La largeur de poutre en fond de moule ~lant à exclure en raison de la pré.,ence des aciers de traclion, on a deux fois ]a hauteur de la re tom bée de poutre : 90 cm.

Section théori4ue c.;orrespondante: 2,70 cm2 d'acier HA.

Déformations et contraintes de calcul 49

Semelles de fondatio-ns ht

Calculer des ouvrages de fondations par semelles rigides soumises à des charges centrées . Les semelles de fondation sont les ouvrages ùe transition· enlre les charges appliquées sur murs ou poteaux et le sol porteur. Les semelles en béton armé sont:

' . continues • superficielles · ) ou

\ isolées • rigides (non flexibles). Flles ont pour hnt essenti't:l de : • transmettre les charges .au sol • répartir les pressions

l'on:a ou actions

• Charge~ transmises par les murs ou ies poteaux isolés: permanentes el d'exploitation, verticales, c;upposées cenlrées sur l'axe des semelles.

• Actions ascendantes du sol so11s la semelle de fondation dans l'hypothèse dune répartition uniforme des contraintes.

• Condition d'équi11bre statique

Elle dépend d.e la capacité portante .du sol ( non-t~sement, non-glissc­!llent, non-poinçonnement) .

JUidllcations des sections (bélon et ader)

À l'ELU. et à l'E.L.S. suivant les prescriptions du D.T.U. 13- 12 ct elu B.A.E.L. pour: -le dimensionnement géométrique, -le calcul des armatures , -les dispositions constructives minjmales.

Sollicitations de calcul

Charges verticales centrées r------------- ------------------

R.L.~.R. R.L.S. -Combinaisons de charges

Nu = 1,35 G + 1.5 Q

Rtmarqrm :

------------------~ Combinaisons de charg~

Nser = G + Q

1. Les combinaisoru d'aerions ont fait l'objet du chapitu 5 2. Le calcul d'une desce!l/e de char Res est effectué à la jïn du chapitre 4, en

considérant les états limite ç ( E.L. U. R. el E.L.S. ) .

W1ndowslnttrnd Exploror L !3 ]

OK

NB. La .teii•I'Jles e.xcenrrdes , les radiers, les semelles .~ur pieux, ne som pas abordées dans le p1lwu chapitre .

Les ejJf't~· de la neige et du vent n'ont pas été pri1 rn compre dans les exemples ou applica­tions traitées.

Semelles de fondations 51

Prédimensionnement des semelles

Hypothèses d'études

1. Charges centrées sur semelles . 2. Sol homogène. 3. Semelle rigide (voir conùiLion ci-contre). 4. Diagramme de répartition uniforme des pressions sur le sol. 5. Transmission des charges appliquées aux semelles par des bielles obli­

ques symétriques par rapport à l'axe. Ces bielles ùe béton comprimé engendrent des efforts de traction à la base de;; semelles (fig . 3) · NB. Le calcul de.s sP.t:tùms d'acier s'effecrnei

6. L'armature équilibre ces efforl!> de traction . I'E. L. uR.

Les vérifications concernant l'effort tranchant et la contrainte ùe compres­sion des nielles ne sont pas nécessaires .

Tableau indicatif des contraintes de caltul admises pour le sol (symhole O'wl)

Nature d u sol

n désagrégées Roches peu fissurées saines no ct de stratification favorable

compacité TetTains non cohérents à bonne

Terrains non cohérents à comp acité moyenne

Argiles(*)

O'sol (}]Pa)

0,75 à 4,5

0,15 à 0,75

0,20 à 0,40

0,10à0,30

Prédimensionnement des semelles rigides

"' Certaines argiles rr~s plastique.~ ne JeT.

pas visées dans ce ttûdeau.

,\ 'B. Le calcul des pressions exercées Jurlt sol s'effectue à l'.K L S.

Il s 'agit de déterminer les dimensions d'une semelle rigide de fondation sous mur ou sous poteau d1

section carrée ou rectangulaire.

• Éléments connus

- Contrainte de calcul admise sur le sol: 0' 001

- Charges appliquées au niveau supérieur de la semdle: G, Q

Dimensions L • Éléments inconnus

cas d'une semelle continue:

• épaisseur du mur , symbole b

• longueur prise égale à 1,00 rn

cas d'une semelle isolée :

• section rectangulaire du poteau: a x b.

. . ~ continue: B, h - DtmensJOns de la semelle L . 1, A B ~. ..,_ 1so ee : , , ri

- Poids propre de la semelle (p. p.)

• Équilibre statique

Nser = G + Q +p. p. semelle= O'sol X aire de la surface pmtante avec 0'~01 ~ O'sol

52 B.A. Guide de calcul

B

Semelle continue

1

Semelle continue

S (surface ën rn2) ... B- t

~ -- -1,00 (longueur en m)

e

n ;;:::: nt (L=l,OOm)

~

h= d+ 0,05 .-(en m)

Aire de la surface .. portante: S

' 1re étape Aire approchée S 1 < S

' sl =

(G+Q) 1

1

<J~ol

' ze étape Choix des dimensions de la surface portante (multiples de 0,05 m)

.L

' 3e étape

Semelle isolée

Semelle isolée

Respect de l'homothétie:: des dimensions poteau et semelle:

a

b BI

...... A 1 = ~s ~ 1 h et B1 = ys 1 ~

(Uni tés: S1 en x

..

Cunùitiun de rigidité (D.T.U. 13-12)

ll - b R-h h = d + 0,05

-- ~ d~ 4 (en rn)

Hauteur tOtale: h = d + 0,05 m (h étant multiple de 0,05 m)

' 4e étape

Condition o-801 <v-sol

v- = Nse: + p.p. semelle sol aire surface portante

Semelles de fondations 53

Exemple d'application

Dimensionner une semelle isolée sous pot~au de section carrée • Charge sur semelJe isolée: Nsex = G + Q = 0,80 M~ • Contrainte limite sur le sol : o-

501 = 0,5 MPa

• Poteau isolé: section carrée de 20 cm x 20 m1 ~a lb= 1

• Aire approchée: S1 = 0,80/0,5 = L,GO m2

• Cotés de la semelle : A = B = / 1, 6 x 1 = 1, 265 m

1.265 - 0,20 • Hauteur utile : d = = 0, 27 rn

4 • Choix des dimensions: A = B = 1 ,30 rn

avec h = d + 0,05 ~ h = 0,35 m • Contrôle de h contrainte sur le sol:

0, 80+0;0148 = 0,4 R2 MPa < 0,5 MPa 1, 30 x 1, 30

~ Détermination des aciers tendus

N": chorge ultime Bielle!> élémentaires symétriques (p. rn. dans le cas d'une ~t:md le continuei

d

Cas d'une st:melle rigide

1 1 1

d P: action é lémentaire ascendante du sol dA : effort élémentaire de tra<.:.tiuu d B: effort élémentaire de compression

ùaus la b ie Ile hét.on

_..... ---- - ---........ . / d P ">-.__

1/ ·'r--,'dB~ / / '</ \

1 :' / '\a

-----{---d-f- -- '~- -t----+ \ Action sur / \\ les aciers tendus /

(cornpn~ante d A.) / "-, ' //

Schéma de principe de la méthode des bielles (semelle continue ou isolée)

,, __ _..//

Méthode des bielles comprimées

Semelle continue sous mur

• Nappe: inférieure // B (p.m.)

Nu (B- b) Ax = -

8 d f su • Nappe supérieure ..L IJ

(aciers de répartition placés dans le sens longi­tudinal)

Semelle io;oléc sous poteau

• Nappe inférieure// B - ---------,

A = Nu (B - b) ...

8 d · f su • Napp~ supérieure// A:

(d, <d)

NB. N1, ne tiem pas compte de l'a crion du poids propre de lfl .Œmelle dam le calcul des aciers.

54 B.A. Guide de calcul

=

Dispositions construcaives Remarques :

• S~Lion minimale des aciers de répartition constituant Je chaînage longitudinal :

tl : huweur utile

0 1 : diamètre des aciers pour A .t

0 2 : diamètn~ des acien pour A ., > 2 cm2 pour FeE 400 > 3 cm2 pour Ronds Lisses > 1,6 cm2 pour T.S. ou FeE 500

• Enrobage des al:iers ?-: 3 cm

* th 1

Windows Internet Explorer

OK

ader:; transversaux

aciers

d 1 = d - (01 + 0 2)

---~--., 1

B

'.{ 1 & ~ ('1

Al

2

aciers

B longitudinaux o·ansversanx

Semelles continues: coupe type

Calculer les armatures d'une semelle sous poteau rectangulaire de section 20cmx 30cm.

Données Nu= 1,12 MN fsu =fe 1]'5 = 348 MPa A = 1,20m

B = l,80m d = 0,40m

at.:i~" longil udimw x.

Semelles isolées : coupe type

lléponse

• Nappe inférieure: 4

A _ 1,12 ( l, HO - 0, 30) ~- "

09 ,

J. - - L, cm-. 8 0,40 348

- Choix de 8 HA 16 totalisant 16,09 cm2, espacés de 16 cm

• Nappe supérieure:

Remarque : Choix a priori d'un diamètre >(]6 mm pour Jes aciers de la nappe supérieure afin de calc1ûer la va leur de dl. En p renant 0 2 = 12 mm, on a d1 = 0, 386 m.

1. 12 (1,20 - 0,20) IOL 0 42 2 A = -- -- = 1 cm ) ' ,

8 0, 38() 348

- Choix de 10 HA 12 totalisant 1L31 cm2, espacés de 19 cm

Semelles de fondations 55

Tableau d'arrêt pratique des barres des semelles et attentes

Ancrage , symbole ls ls = 40 0 pour Fe E 400 l5 = 50 0 pour Fe E 500

Arrêts des ùarrt!l!i

Barres avec; crochets à 12 Ü0 ou 135° si

·Barres rectilignes (sans croçhets) si

Barres de longueur 0,86 B disposées en portefeuille si ls < B/8

Armatures du chaînage Recouvrement -ç 35 0 ou correspondant à trois soudure!\ clans le cas de treillis soudés

Aciers en attente pour poteaux ou voiles B.A.

Avec retour d'équerre dans la semelle s' il faut équili­brer un moment de flexion ou un effort de traction

~- ,1· 35 0

200

-~1f!!;J;JI!l~1· tdl' . . ; ... ~:· .... -.-· ............. : ............ · · ~.,;;,;.· ................ -. ............................ ·~ Déterminer les sections d'armature des deux semelles rigides décrites ci-après . ~ Se reporter au§ 3 pour exploiter les formules de calcul des. aciers par la méthude des biell~s.

:, ' 1 Semelle continue sous mur 2. Semelle isolée sous poteau'

Données • Charge pemtanente p.m. • ·Charge d'exploitation

: G = 0,30 MN : Q= 0,05 MN

• .:\1atériaux acier : t'eE400 (y, = 1,15)

>

béton : f czs·= 25 MPa

• Contrainte limite sur le sol (roche)

(}"sol= 0.75 M Pa

• Dimensions---+,~'-----2_0_>~'-

Mur

Semelle H.A .

• . ......, _J..,.___~~~- r,-:-::-;~;::-:~~0"77~:1--~De~'t~on~·de propreté

Sol de fondation l'\ïveau hnrs )//~,v.

gd> .50 cm

56 B.A. Guide de calcul

Données • Charge perrnammte p.m. • Charge d'exploitation

• Matériaux

acier : Fe E 400

: G=0,167MN : Q = 0,383 MN

hé ton : f c28 = 22 1v1Pa

• Contrainte admise sur le sol (argiles) asot = 0,3 MPa

, / 20

/

NB. Par simpl{ficaüon, preiU!re la même valeur de d pour l! calcul de A , ej A:o,·

Réponses

• Contrôles préliminaires

8 - b d = 2L cm > - - = 7 5 cm

4 '

G + Q + p.p. semell e

0: ... 11 = Aire surface portante

O'sol = O,?On MPa < aso1

• Calcul des sections d'acier

Nu= 1,35 G + 1,5 Q = 0.48 MN

1. )Jappe i11 ft!rieure

Nu (B - b) 104

Ax = ---8 d J,u

0,48 (0,50- 0,20) 104

Ax= -------------8 0, 21 348

A x = 2,46 cm2 par mètre

2. Nappe supérieure

l 2 A ,= - A = 0, 62 cm par mètre 4 A

• Choix des sections réelles

A x : 5 H..l\ 8 totali~ant 2,51 cm2

A 1

: t.:baînage minimal 2 cm2,

soit 3 HA 10 filants

Réponses

• Contrôles préliminaires

160 25 d = 35 cm >

Rapports d'homotMLie voisins: A R - = 6, 5; - = 6. 4 a b

0, 55+ 0, 020R = 0, 274 MPa tT~ol =

1, 30x 1. 60

• Calcul des sections d'acier

Nu= 1,35 x 0,167 + 1,50 x 0,383 = 0,80 MN

1. Nappe inférieure Il B

fsu = f/ Ys = 348 !vlPa

0,80 ( 1,60 0,25) 104

A x = - - -------8 0,35 348

A =Il 08 cm2 x '

2. Kappe supérieure// A

O,RO ( l ,30- 0,20) 104

A = --- ----------y 8 0, 35 34R

A = 9 03 cm2 } '

• Choix des sections réelles

A. : 10 HA 12 tot.alisant 11,31 cm2 x

A Y : 8 HA 12 totallsant Y.OS cm2

W1ndows Internet hplortr ~

Trouver les dimensions des deux seme/les ci-après , soumise à une charge centrée , dans l' hypothè~e d'une répartition uniforme deç con traintes .

Utiliser la démarche propusée dans le § 3.

3. Semelle continue Données

G = 0,21 MN : Q = 0,10 MN

u-sol= 0.4 MPa

Épai seur du mur : 30 cm

Enrobage ~ 4 cm

4. Semelle isolée sous poteau Données

N = G + Q = 0,486 Ml\ ~r

a sol = 0,95 MPa

Section du poteau : 20 cm X 30 cm

..._. semelle à base rectangulaire

Semelles de fondations 57

1

,l "

1 !

1

1

1

58

Réponse

• Aire approchée de la semelle

SI= G+Q= 0,31 = 0,775m2 <Tsol 0, 40

• Choix de la largeur B

8 1 = 0,775 rn ____. B = 0,80 m

• Hauteur utile minimale

d = 0,80- 0.30 = 0,125 rn 4

• Hauteur totale ?- d + 0,05 rn

On prend: h = 0,20 rn

• Contrôle de la contrainte sur le sol 0,31 +0.004

U~0 1 = = 0, 393MPa 0,80

<Tsol < 0,4 MPa ____. Conùiliun satisfaite

Réponse

• Aire approchée de la semelle

S _ 0,4H6 _ O Sl? 2 1 - - ,. - rn

0,95 A

Homothétie des dimensions: a

• Choix des dimensions

(,~ , B ,/s b ,ote 1 = V 1 ~ = 0,876 rn

1 CôtéA 1 = ys,~ = 0,584 rn

Choix: B = 0,90 m; A= 0,60 rn

• Hauteur utile mimimalt d _ 0,90 - 0,30 = 0 15 rn

4 ' • Hauteur totale retenue: 0,20 rn

IJ

b

• Contrôle de la contrainte sur le so l

N + p.p. semelle o-

501 = _ser = 0,905 MPa

Aire surf. portante

u 1 < 0.95 MPa - .. Condition satisfaite so .

Dicoder les donnéeJ et les résultats obtenus ci-après par ordinateur (logiciel C.B. A.). CvnLrôler Je prédimensionnement de La surjàce portante et vérifier la détermination des sections d'ar· mature.

5 Semelle continue 6 Semelle isolée sous poteau

f SEMELLES DE FONDATIONS * OTU 13.12 * SEI'1ELLES DE FONDATIONS ~ DTU 13 . 12

"* A r·ma tLlres Fe (MP.._) t 7 500 ~ Ar m?.tLi r e s Fe (MPa } : ? 51)0

* Sol Sigs 01Pa): ? 0.2 * Sol Sigs ( MPa) : ? 0 . 7

* Semelle 1.IsoLée * Semelle l,Isolee 2.Continue ( 112): 7 2 2 . Continue (1/2) : ? 1

Arrondi s ur A et B (cm) : 7 5 Arrond i sur A et B (cm } : ? 5

* Epaisseur dL\ mLlr e (cm) 1 ? 2 0 * P oteau ,;l.(b a (cm): 7 20

* Chargee c~ntrees b (cm ) : ? ?.5 - pe r-manentes g (MN/rn): ? 0 .095 * Charges c:?ntr·ees - variables q <MN/rn): ? 0.025 - permanentes G (MN) 1 ? 0 .55

- variables Q (MN): 7 0 . 25

* Predimcnsionnement A B H

- 11inimum {cm) 100 . 0 61 . 2 15.3 * Predimensionnemen t A B H

- Ar-r-ondi 5 1 00 65 20 - MinimL!m (cm) 96 .1 120 .1 28.8 - An·ond i 5 9!5 125 30

* Contrainte sol Sigma= O.l90 MPa :« Apprn:{ . As Il a B A y 1.43 cm2 * Contrain te sol Si·gma= 1).681 MP~

(d=H- 5cm ) Il • A A x = !) • :56 cm2/m * Appro>: . As Il • B j!:.\y = 12.8~ cmZ (d=H-!km) Il ... A A~·~ 9.64 cm2

B.A. Guide de calcul

Poteau: et~~prusitn ecatri.t _,

But

Les poteaux sont généralement soumis· à des ctiar,ics. vcrticà1es qu 'ils trarismettent jusqu'aux fondations. 11 . s'agilde":· ·. · · -préciser les hypothèses d'.étucies; ·· · :-· "·.: . · .. : - calculer les armatures longi t.uôin~Jes; · · -choisir et organiser les. armatut~:s· l cingitl)dinal,~S. _et üànsve.rsale~ .

et1 respectant lèS · dispositions Co!lSfr:tîëtlVes~. ~_:;·'·~ .. ·.· .. -.. ~ .. ···· Démarcli~ · · · · ·· .. · ·· ·· · · · ,. · · ,. .. ·

Dans les c~s courFJ;nts d,~s potèaüx ··:de--b~tim,~~t';·~~ .'i:A(Qql 's~eft'e.~tu..e, p~· ·· la mé~~9de 'fdrf.ai.t~ir,c dülli/\:E::L.- :~ . P.a.!~iF~~hy'p?thès~~. si tl1plës; entre autres···· · ..... ·· ... · .... .. , .. _ .. , .. . _;· .... ;·:.: .. :" .. :· · - élanccmeht limitépoür parer au ri:squèct~ ina}hbet~~n~ ; : ··· ··· -effort normal de «compression centrée)) ; ·~ .. · . -justifications des sections à l' Ë. L. U. R. seul~ , .

Notations et rappels Longueur de flambement

J..>nlle H.A. Batimeot Cas général

Cas lr Longueur de flambement Ir suivant liaisons

12 >lo 0 11 >lo

0,7 10 ...

[2 [ 2

Pult:au Autres lo

Oallc B.A.

l 0 / /"

Poutre ~

:? f t I, l o

Poteau

.t'

op :.:'f"o' ""~"" Légende

r (a)

i (b)

OF (c)

m':-7 m'm m'P () )'7.777 '

2 1(1 ln lo O,ïOï /0 0,707/0 lo/2 f- 1,

(a) encastrement, (h) articulation , (c) encast1ement el ùéplaœrne::nl

possible par tran~ l atinn .

1 Stmdle isolée

Notations Schéma de princip~

T .ongueur de fla JUbt:lltt:nt e::n fundion ùes liaison;; d'extrémités

1 Hauteur de plancher à plancher : /0 • Longueur de flarub t::ment : lr Section type B /min i À

1 Moment quadratique : l min 1 Section de béton : B r-ç--• Rayon de giration : i = y 1

; in

1 Élancement : À = l f 1 i

c=Ja ba3 a ~ I f ab - 2~3 -- 12 2/3 a

b (1 'iT D 2 1T' D '' D lf

0 -- - 4 -4 64 4 D

Poteaux: compression centrée 59

~. Hypothèses d'études

• Compression «centrée» L' excentrernent éventuel de 1' effort de compression est limité à la moit ié de la dimension ùu «noyau central ».

• Élancement: ~ 70 • Combinaison d'action

Dans les cas courants, l'unique combinaison à considérer est:

1 1,35 G+1 ,5Q 1 àl ' E.L. U. R.

Évaluation ~es charges verticales (B. A . E. L. H.R. 1)

Bâtimen t Poteaux de rive Sans majoration de charges

à d t:ux tra vées Poteaux centraux Charges majorées de 15 %

Bâtiment à plus Poteaux de rive Sans majoration de charges

de trois travées Poteaux intermédiaires voi-Çhargcs majorées de 10 %

s ins des poteaux de ri v ~s

Sections Noyau cent r a l 1-

Rectangulaire Losange de sommet (a x b) a/6 , b/6 sur les axes

Circulaire Cercle de rayon R/4

b

1

i I l- ------<:t7

1

1

1 b . (i

· Fi~. 3- Noyau central. s~lion rl!<:tangulai re

Calcul des armature$ longitudinales

Méthode forfaitaire Ex.emple : poteau intérieur d"étage

-

~·

-

Données Comb inaison de base Longueur de flambement Section cln poteau

Matériaux

: N = 1.35 G + 1,5 Q

l r a , bou D

f r.n• f e

Rayon cie girilti ou

! // ............

~ 1 r '-, forfaitaire , A = . ~ 70/>--~-

'-..... L .,~ non non '-....,_.,/ applicable

Méthode

Élancement

Joui Coeff icient O' // '-...._

~:~A ~ 50:'".,~ + '-...../ '

1 ( 1)

(50 "2

a: = 0,6 _T,J

1

( 1) .Si Nu/2 appliqué avant 90 j : di viser a par l , 10

<J = 0.368 MN Q = 0,148 MN /0 = 3,00m Section rectangulaù e

.fc28 = 24 MPa

} Nu = 0, 719 Ml\.

l r - 0,7 !0 = 2,10 rn a= 18 n n; b = 25 cm Je= 400 MPa

J 25 x 1 8~ - 4 1 = ba 112 =

12 = 12 bü cm

B= ab = IR x 2) - 450 cm2

' J i =y8 = s ,196cm

l e 210 A = T = .s, 196 = 40,42 < 70

( ou A= 2./3Lr la)

À< 50

u= 0,85

= 0,671 n . , 2

1+0,2 1..,- ) \. .)) '

N.B. On suppose que la majorité des charges est app!i· quée après 90 juur~ .

28 j: di viser a par 1.20. rem placer f ..:2s par f,r

60 B.A. Guide de calcul

Section réduite ' ~1) (- lem d'enrobage) ~ '" '*!'\· / '~ , y

IBr =(a 2) /Type '-, > 16 x 23 368 cm;t 2) (b -+-<,~tio B r = 1t (d-2)-/4 Br = (a - 2) (b- 2) = =

1 v/

1

1

A (N B f. \ y (1) c·813 0.0368 x 24J 1. 15 4 A n r . c2.81 s 12, 00 cm2 théorique th = - - -

A th= 0, 671 - 0,9 x 1,5 400 ·lü = , a 0,9 Yb ) fe

' u = 2 (0, 18 + 0, 25) = 0,86 m

f A (4u) 4u cm 2 (2)

A (4u) 4 x 0, 86 = 3,44 cm2 = =

Amin ' \

\ B 18 x 25 2 /l (0.2%) = 0·2

100 A (0, 2rfo) = 0,2 = 0,9 cm

100

' lA nin = sup (A (4u); A(0,2%)) 1 A min = sup (3, 44 ; O. 9) 2 = 3,44 cm

• A SC3lc 1

As ccl: = s up (Ath ; Amin) 1 (3) As cale sup (12,00; 3,44) 12,00 cm 2

= =

(2) u représente le périmètre de la section exprimé en rn.

(3) Vérifier de plus queA.s < 5% B, sinon frettage (cf B . A. E. L. A.8.1,2) .

. Dispositions constructives CB.A.E.L. A .7.2 el A. s.l)

Indications règlementaires 1

Exemple (suite)

• Enrobage Distance mini aux parements Chuix As: 4 HA 2 0 de toute

0 lem local couvert, sans (12,57 cm2)

armature ~ condensation .

1 i- c:;;:. 3cm intempéries, condensa- -llT

~ IJ. ls cm

ti on

~ littoral, brouillard salin • Bétonnage cornet c "? 0L et cg (cf A.7.2) ~tr :s {diamèrres max:i respecTivement des c ~ 1 cm

ad~~s l:mgiludinaux et des granulats) c "? 20 mrn

• Armatures e

Rspacements maximaux Section rectangulaire 18 X 25 1

J] e < 18 +JO= 28 cm longitu-

[ Section Section 25 dina les rectangulaire circulaire e < 40 cm

1 17 1 1

As

l b 1 e s,; a + 1 0 CHI 11 ;:>- G e e ~ • ,f ''·' / ~ ·--*-· Choix: :>0

1 P- ~ 40 cm -À> 35 As à placer 1\ ~ 1 ' ...t [] aux angles

si A> 35 • • 1 4HA 20

~ le long d~ b cadres HA 8

• Armatures transversales

Jonction par

recouvre­ment

Iodicadons rè1lementaires

~ /

0Ll /,

li

=J 0v2 /_,

Diamètres ct espacements

Ceinturage externe de A,

0t;;;::, ~L avec fe > :no MPa J',, [r

~ .~ = i nf (a + 1 0 cm;

15 0min; 40 cm) ~ O,fi ls = 24 0 pour HA

l' ~ 3 cours transversaux

Exemple (suite)

. 20mm 0t = 8mm ;?- -

3-

st ~ ~ = inf (28; 30; 40) = 28 cm

Choix: s1 = 25 cm

(4 cadres HA 8 p.m.)

Déterminer les valeurs suivantes :

Poteau B.A. de caractéristiques géométriques suivantes: section 35 x 50 cm, le= 2,50 rn

Moment quadratique 1 min

?

Rayon de giration i Élancement A

? rép. : 24,ï5

Établir les rapports l f 1 a et lfl n .----S--. --------.-----~-.----r--c-1·r-,.-u-la-1·r-e----, pour respecter A ~-50

ection type rectangu am: ....

Paramètres connus Réponse

_ __J __ l_r·_D ___ _, lrl a ·~ 14,4 et lrf D ·~· q.,s

le coefficient de ')

réduction œ. Réponse

50< À< 70; (50"~

a = 0,61 T ) = 0,534 pour j > 90 jours \ /

Poteau de bâtiment d'élancement 53, chargé à 20 jours.

• La mise en charge précoce impose œ = • fclS doit être remplacé par fc20

0,534

1,2 = 0,445

Déterminer les armatures d'un poteau intérieur B.A. soumis à un effort normal de compression centrée sur la section de béton. ·

Données • Effort normal à l'état limite ultime E.L.U.: N = 850 000 N (ou 0,85 MN) u . •

• Section du poteau: 25 cm X 25 cm • Longueur de flambement : z1 = 320 cm • Chargement> N/2 appliqué avant 90 j • Résistance caractéristique du béton: fc2s = 30 MPa

(béton réali1:1é avec gravillons moyens: maille de tamis 8 à 12,5 mm) • Armatures en acjer HA: ). = 400 MPa · -v = 1 15

e ' ,.:; '

62 B.A. Guide de calcul

R.appel des formules

• Effort normal u lt ime Nu = 1,35 G + 1,5 Q

• Élancement mécaniqut! À

Zr !?. lr À = -:- = 2-v 3 -

1 a

• Valeur du coefficient a pour À ~ 50 0,85

œ = 1 + 0,2 (~ J

• Règle: (Y est à divis~;r par 1,10 si la majeure par­t ie des charges est appliquée avanl 90 j ours.

• Section réduite de b6Lon Br Br = (a - 2) (b- 2)

Section théorique de l'al'mature

A =(Nu _ Br fc28 ) 'Ys th œ 0 9 'V +

• rb . Je

Application numérique

• Valeur de l'effort normal ultime Nu = 0,85 MN

• Élancement du poteau (a= 25 cm) 320

À = 2/3 25 = 44,34

• Détermination du coefficient al À< 50) 0,85

œ = (4434 )2 = 0,644 1 + 0, 2 3.5

Chargement avan t 90 jours: a = • Section r~Juite de béton

B = 529 cm2 r

Calcul de la section th~orique

0,644

1,1

- (0,850 - 0,0529 x 30) . 1,15 A th - 0,585 1 ,35 400

= 0,585

unités: BretA enm2

fc28 etfe en MPa

N. B. Veiller aux unités pour exprimer ensuite la section en cm2.

Nu en MN

• .Sec ti on réelle: voir Lableau Annexe 1

Dispositions constructives minimales • Sec tion minimale d 'aciers

As ~ 4 U = 8 (a.+ b) /100 unités: A

5 en cm2; u en m; (a. + b) en cm

• Pourcentages d'armature B B

0,2 100 ~ As ~ 5 100

• Armatures Lransversales

0 l > 0 L/3

A1h = 7,98 cm2

• ·sccbon réelle: 4 HA 16 totalisant 8,04 cm2

Dispositions constructivt!s • Armature réelle A s= H,04 cm2

H , 2 As 3: - (25 + 25) = 4 cm

100 • Cormûle des pourcentages d ' acier

625 625 0,2 x lOO < 8,04 < 5 x lOO

• Cadres du poteau 0 L = 16 mm__. 0 1 = 6 mm

Espacement des cours transversaux Espacement des cadres s1 < inf { 15 0 Lmin; 40 cm ; a+ 10 cm} s1 = inf {15 X 16; 40; 35} = 24 cm

• Longueur de recouvrement • Valeur de l r en cm lr :?- 24 0L Lr ;;;: 24 X 1,6 = 38,4 cm, soit 1 r = 40 cm

• Nombre de cours tran•wersaux disposés sur la 1

• Cadres disposés sur recouvrement longueur lr

1 3 cours espacés de 12 cm

v;;,>- 3 cours

Enrobage et bétonnage correct 1 cm : lieu clos, couvert, sans condensation 3 cm: intcmpéri es, condensation 5 cm: mer, brouillard salin Enrobage m inimal c ::3: sup {0L; cg} avec 0~,: di amètre maximal des aciers

c : diamètre maximal de~ l!.ranulats g ~

2'i

l î ~~-- Î D _l

14 HA 161

cadn:s HA 6

Poteaux.: compression centrée 63

Données Nu = 0,684 YI N fc2P. = 30 MPa fe = 500 MPa t, = 4.50 rn Section béton : 25 cm x 35 cm

Indications réglementaires lr

A = -:- = 62,35 l

150 "2

50 < A < 70 ~ a = 0, 61 T ) \ /

La valeur de a est à divi ser par 1,10 car la majeu­re partie des charges est appliquée avant 90 jours .

* =>OTE AUX DE BA.I IMENTS ~ Ar-t.B . 8.4 * * MateriaLD; Fc ;28 ( MPa ) : ,.., 30

re ( MPa ); ? son

* Flambsmemt L f ( m ' . .. ? 4 . 50

* S:?ction ! . Rectang le 2 . CErc l e 1 /2 ? 1

* Rectangle a(b a ( cm ) : ? 25 b ( cm ) ; ? 3 5

* Charge Lll time Nu ( MN ): ? 0 . 684 > Nl.t/2 a J ( j OLlr) ! ? 4 1)

* ~\rm.::J.tures As 6.06 c m2

* Details Lambdë~ = 62 . :;>5 Al p ha .351

s "" 875 c m2 Dr 7 59 cm2 A the or 6 . 06 cm2

u 1.2 rn A ( 4u ) 4.8 cm2 A ( . 2 1. ) = 1.7'5 cm2

(Logiciel C.B . A. )

1) Décoder directement dans les listings ci-après les donnée~>· de l'étude relatives: aux caractéristiques des matériaux fc:28 et f e; à la longueur de flambem ent lf ; uux dimensions de la seclion (petit côté a, grand côté b, diamètrP. n ); à l'effort nurmul ultime Nu; à l 'application des charges dam· le temps (en jours) .

2) Effectuer, dans LP..\' deu.r: cas, le calcul de l 'armature A5

et vérifier les dispositions constructives mini­males.

* POTEAUX DE BATI MENTS a Art . B.8 .4 * * Mater~~ux Fc28 (MPa ) ;

Fe (MF'a)• * Fldm~ement Lf ( m ) : * Section 1 . Rectang l e

2 . Ce r c l e 1 / 2 * Rectë~ngle a <b a ( cm ) : b ( cm ) :

* Charge ultime Nu (MN): > Nu/2 a J (jour ) :

* Armatu-es As mini

* Detai ls Lambda Alpha

s = 600 cm2 Br

? 25 ? 500 ? 2.80

? i ? 20 ? 3 0 ? 0 . 45 ? 35

4

48 . 5 • 558 504

A t heor =-2.93 u .. 1 m A ( 4u) = 4

A ( • 2 ï. ) = 1.2

Remarques

A th< 0 - • section de bé zon surabondante

Sect ion minimale: A s :nm = 4 cm2 Section réelle :A< = 4 HA 12

64 B.A . Guide de calcul

cm2

c m2 cm2 cm2 c m2

* POTEAUX DE BAT I MENTS * Art.B . 8.4 *

* * :t:

;t

* * *

M.;~ teri.;~ux

F l ambemen t. Section

Diametre Charge u l t ime

) Nu/2

Armatun~~

Detai l s

Fc 28 ( MPa):? 2 0 Fe (MPa ) : ? 500 Lf ( m ) : ? 2.90

1 . Re c t a ng 1 e 2 . Cercle 1/ 2 ? 2

D ( c m) t 7 25 Nu (MN): ? 0 . 560

a J (jour): ? 30

As 8.37 cm2

46 . 4 . 572

s = 490 . 87 cm2

L a mbda Alpha 8r 415.48 cm2

u - . 7854 m A theo r A ( 4 u ) A (. 2/. )

8 . 37 cm2 = 3 • .L4 c m2

.98 cm2

Remarques (Logiciel C.B. A.)

Section théorique :A th = 8,37 cm2

Section réelle : i\5

= 9,24 cm2

(soit 6 aciers 0 14 à placer symétriquement)

Application

Évaluer la capacité portante du poteau P 2 de la figure ci-dessous sachant qu 'il est .ti tué ù l'intérieur d'un bâtiment courant. Il est réalisé avec wz béton dosé à 350 kg/rn3 de ciment CPJ 45 et des armatures de nuan­ce FeE 400.

DODDées

fc2-x = 20 MPa; f e = 400 MPa c = 20 mm; j ~ 90J·ours gmax

Réponse

Lecture de plan • Hauteur libre : 10 = 2,70 rn • Section 20 x 50: R = 1000 cm2

• i\ = n,786 cm2 (6 HA 12) • s = 18 cm

1

PDutre

-t-- - - --1' 1 1 1 1 : 1 +- --=-F--..J. 1 1 1 1 1 1 1 j . , 1 1

Î 1 '\

rt · 1 1

,,.,.

f--

~ o-)( M

! ~ L ~ f>

_J

POTEAU COUP E

P2 I-I

~t.. 2.60

st+ 2.20

~ ~5

AG L• l.JO (1 :18)

Vérification des dispositions constructives (3) • Enrobage : c = 40 - 6 - 6 = 28 mm > 1 cm

3 6 HA 12 ~c:::J

·~/ L= 3.37 - r--

• Bétonnage: c = 28 mm > c g • Écarttments

maxi entre HA 12 : 21 cm maxi autorisé : inf (a + 1 0; 40) = 30 cm

• À>35 ~barres HA 12 le long des grands côtés

• 01 = 6 mm donc 01

> 0

L = 4 mm 3

(étrier central s'opposant à la poussée au vide) • s1 = 18 cm n'excédant pas

~=inf(a+lO; 150L; 40) =18cm

Vérification des pourcentages réglementaires

• A5 >Amio = sup { 4u; 0,2% B} = 5,6 c.:m2

.4s < 5% B = 50 cm2

Calcul de la capacité portante ultime Nu

~ _ (Br fc2S A fe) I Yu- a 0 9 + S

\. • 'Yb 'Ys

Ir = 0,710 = 1,89 rn

A = 2/3 ~ = 32,74 < 50 a

0,85 donc œ =

/ À )2 1 + 0,2 t_35 /

= 0, 7234

B1

= g64 cm2 et fc28 = 20 MPa

Nu = 1,097 MN

;t f---' - -·

5) 19 élr ie·s HAS L-40

(1: 18) '(]' 15

6 ~i"rJ Œ(HAJ2 !,-:: 3.37 1

1 1 1

rtL g ~

.lilz1

~ GO

attentH dans -"' la semelle 11·-- ~~ "' 4 19 codrP« H~6 L- 1.30

lL IB ) t .. ~ _ ... ~»~ rr Sec ..., ç -

z 7 HA 12 L ·t.70 ~ .. ., :> ' E

2" Iii 1 - 1~.6 .,> ._, ' ~ ~ "" \ cu ~ 1.± O.Q_O .!! ~Al

1( , 1\ "r f...-\ J 1 +-25

~ 0 M

~;- ·.~······· · ..... , • • · •J•· '"' ~:r:· :il."to~rt~iT{;,wv~ -.... ·,.· ..... ·•·· ~-.· .. •.i·,···"·:i'"'~· .. t "' ·~4 .. •·· ,l' r;f, ... "' \ - 1

t ion

0.1JL

~0.4Q_ (t:I G )~J L "--(i) 8 Hl\ 12 L: 1.40

. , er l it 1.30

N.B. Hauteur libre du poteuu = 260 cm + 10 cm

Poteaux : compression centrée 65

~~ ~ l ,,

!l ~~

,!

1 !

Cet ouvrage est illustré de nombreux exemples traités ou vérifiés à l'aide de modules de calculs é laborés par les auteurs dans un souci pédagogique.

Ces modules fonctionnent .:;ur compatibles PC sous DOS : - dix d'entre eux sont regroupés sur une première disquette ; - dix autres modules seront regro~pés sur une seconde disquette.

• Contenu de la disquette ne l

Elle comporte 6 modules RdM et 4 modules BAEL 91, correspondant s~nsiblement au contenu de cet ouvrage.

Thèmes Applications Cas traités

RdM CdG et moment quadratique f x Section: • simples ~ • composees

Poutres ISO (calcul de M et Il) Charges: • un ifonnes • localisées • trapézoïdales • quelconques

8AEL91 Armatures des st:c.:lions de poutres fléchies As: ELS ct ELUR à section rectangulaire

Vérification des contraintes et J'i-1u (section rectangulaire et en Té)

cr et I'.1u : ELS ct EI.UH.

Armatures de poteaux en compression centrée B. 8. 4: mélhode forfaita ire

• Contenu de la d isquette n° 2 (en préparation)

Fondations rigides, poutres continues (méthodes Caquot et fOifaitaiœ), adhérence, effort tranchant, tlèches. calcul des sections fléchies avec armatures comprimées à l'ELS el à J' ELUR. ·

Pour tout renseignement complémentaire concernant les conditions d'obtention de ces produi ts,

écrivez soit directement aux auteurs à l'adresse indiquée ci-dessous :

J. LAMIRAULT, La boratoire de Génie civil

École centra le de Nantes

1 rue de la ~oë, 44072 Nantes Cedex 03

soit aux Éditions FOUCHER (Sertice Édition - Secteur industrie l).

· sqnt de~ éiém~nts fLA. s.oninis à un·~ffortnor~-hal de tra:c- . IÎOlf. ,,

Ils §ery~nt. à ~quilfbrer: ' . . . - lës poussees )lorizontaies , .. par exemple les opoussées engendrées

ail x app1ïis: par.nn. arc; : ·· · · · . · - les actions vehicMe$; ;cusd;'utilisati0n: s.uspentes. Condition:d't s~Uid~~~icin .. d~ ·tracticin shnpîe danS une sectiOtl.·:·le point d'application de l'effort normahle tracti<n1 N doit co'inCidd a vetlle · C. d. G. de la se.ctioncles.armatd tes et de:ce1kdubéton. ·

Démare;he ·

Il s' ~gH de considêrer; les étàts.l!rrÏi ù~s afin de: · ,. - déteriùiner les se.cüons d' acie.ri et( foncti.on de Nu .et Nser; .:. cô.ntfôlerJes ~i sposuions réglementaires minimales.

Hypothèses d'études • La résistance du béton

tendu n' est pas prise en compte .

• L'effort normal N est uniquement équilibré par les aciers.

y!

l\' -- --=

s

1

• Même centre de sur- Schéma de principe

face (C.d.G.) pour la

-3--+

section de béton el pour la sec tion des armatures. • La condition d'équilibre statique doit être satisfaite:

- àl'E.L.U.R. __.. Nu - àl'E.L.S. - Nser·

Principe cie cah:ul

Effort normal = (

Section l r Contra inte l rl o~ ':lr•ior{~ } X ~ . .-l o ".-; 1" .. 1 ~ l \..oiV•) UVlVJ;} J l UV VUJVU l J

Contraintes de calcul État limite de résistance (E.L.U.R.)

• Déformation de l'acier :

r.s = 1 0 %o ._ pi vot A • Contrainte de traction: fsu = .f/Yr,

État limite de service (E.L. S .)

• État limite d'ouverture de fissures. La contrainte de traction des aciers ast est bornée suivant les cas de fissura lion: - préjudiciable, - très préjudiciable.

• La valeur des contraintes de calcul est fonction de la nuance de 1' acier et de la résistance du béton à la traction (voir Annexe 2).

Détermination des sections d'armatures Calcul E.L.U.R.

• Effort normal de traction N

11 = 135 Cf+ 1 ,50 Q

• Condition d'équilibre statique

Nu = A.,u X f su • Calcul de la section théorique

A =N 1 f su u ~u

Calcul E.L.S.

• Effort normal de traction

N se.r =Ci+ Q • Condition d ' équilibre statique

N -A x-~cr - scr crst • Calcul ùe la seclion tMorique

A - i\T j * ser - 1 ser a ,t

Section théorique à retenir: A = sup {A 11 ; AsP.r}

*Voir Annexe 2 pour <r~t

Tirants: traction simple 67

Conséquence pratique Condition de non~fragilité

( B.A.E.L. A .4.2) Notations

Limitation de Ja section rtu héton •1 - - ------ ­ A. : ~ e<.:liun réelle des ac iers tendus f~ :limite d'élas ticité de l' acier vis-à-v is de la section d ' aciers A ~ X f .. ~

....__.,..__.. Effort

de trac tion des ac ie rs

B X ft2B ~

Effort de traction du béton

B : section totale du bé ton tendu ft2b: rés istance caractéristique du

béton à la traction

Dispositions réglemen~aires minimales

Conditions d'enrobage des aciers (B.A.E.L. A.7.1)

L 'enrobage c de toute arrnatuœ c:st au moins égal à: • 5 cm : ou vragt:s à la mer • 3 cm: milieu soumis à des actions agressives • 3 cm: milieu soumis so it

- aux intempéries - aux condensations - aux liquides

• 1 cm : JocF~ n x couverts ct clos, sans condensation .

Possibilités de bétonnage correct (B.A.E. L. A.7.2)

01~ {h / 35 ; 0 ; b0110} e ~ {c: 0 } ~ s·

eh ç. { 1 ,Sc g; 0} c

1?: 0

Voir fi gu re 2.

•

0 t

• ~ = :

-~

Ct

bo

" •

• 1 I t' v

: P.h

Proll~ction des aciers et po>sibüités cie bétonnugc

68 B.A. Guide de calcul

Diamètres et écartements

Cas de la fissuration préjudi~iable

• Aciers longitudinaux tenrtus: 0 .... ::;::: 6mm '

• Écar tement entre harrcs : eh ~ 4 0 si 0 ~ 20 mm

Cas cie la fissuration très préjudiciable

• Acier s tendus : 0;;:: 8 mm

• Écll rte ment entre barres : eh ~ 3 0 si 0 ~ 20 mm

Jonction de barres par recouvrement

• Longueur de scellement droit ls En pratique:

l5 = 40 0 pour Fe E 400

l5 = 50 0 pour Fe E 500

;Fig. :l Jonc..tion ue uanes par recouvrement

• Nombre de cadres sur Ja longueur de recouvre­m ent Condirion : 2n A

1 ~ n 1 A 1

n : nombre de cadres ,\ : section d'un brin n1 :nombre de barres non cominut::s au droit

du recouvremenL A1 : ~ e<.: tio n d'une baue

s , pour un tirant en B. A. soumis ù un effort normal de traction simple, appliqué au. C. d. G. de la section.

Données

Nu = 220 000 1\, ou 0,22 MN

Nser = 160 000 N, ou 0,16 MN Section du tirant: 15 cm x 15 cm

Réponse

AcierFe E400; y ,= 1,15 ; 7J= 1,6 s

Béton: f çza = 30 M Pa Cas de fissuration préjudiciable

Calcul E. L. S. CalculE. L. U. R. • Contraintes de calcul de 1' acier: • Contrainte de calcul: crst = 21 6 MPa

pivot A ; F:s = 10 %o fe 1 y~= 348 MPa

(Lire la valeur de ifst tm Annexe 2, pour

fct.& = 30 MPa et fiss. préj .)

• Section théorique d 'armature tendue (en cm2): • Section théorique d ·armature tendue (en cm2) :

N ser 0 , 16 X 1 ()4 2 Aser = -=- = --"'~-16 - cm

CTst '"'

As~r = 7,41 cm2

>A u = 6,32 cm2 *

Au = Nu 1 f:;u

0,22 4 2 Au=

348 X 10 = 6,32cm *

Choix de la section réelle:

A5 = 4 HA 16 totalisant 8.04 cm2

Contrôle de la condition de non-fragilité As X fe ~ B X ft28

8,04 x 10"4 x 400 > 225 x 10"4 x 2,40 ou: 0,32 MN > 0,054 MN

(*) Remarque: !P. calcul E.L. U.R. avec un acier HA FeE 500 donne Au - 5,06 cm2.

Section du tirant

Contrôler les dispusilions constructives ci-après d'un tirant de section 20 cm X 20 cm, armé de 4 HA 20 (Voir figure 5). Béton: fc28 = 25 MPa Viamhre. des granulals utilis-és· c ::S; 20 mm. Cas de jïssuration préjudiciable. s

J'i

20

cadres HA 6

(6p.m.)

15

cadres HA o (5 p.m.)

4 HA L6

Il HA20

Tirants: traction simple 69

Données Réponse

Dispositions constr uctives minimales Conformité

Enrobage : c ;;;;:-: 3 cm

Possibilité de bétonnage correct: eh ~ ( 0; 1,5 c~:) ch ~ 4 0

Diamètres des cadres : 6mm

-------+---------------------------Oui

(Voir fig. 2) Oui eh = 8,8 cm> 8 cm

Oui Espacement des cadres : 20 c rn Pas de règle part icu liè-re en zone courante

Condition de non fragilité: As= 12,57 cm2; B = 400 cm2 fe= 400 MPa; J,28 = 2, lü MPa

Condition: .45 X .f 't- ~ R X f t2R

vérifiée

Remarques: • ftjfort de traction (en admettant.!!! conformitéj:

N11

- 0,437 MN à l'E.L.U.R. et Nser = 0,254 MN à L'E.L.S.

• Avec utilisation d'un acier HA FeE 500, on a:

NJ = 0,546 MN et N~er est inchangé.

~~r.=~rfiT~ ~. '""7. ;Ba ,.,~ . ~ ~ · ·· ~ ,~ ~jl.!"~-'!:i. ......... ...!,!~~! ~- ~ ~ *"ll!la...li"''ft- :og;.,

~ Déterminer la section d 'armature et conm?ler les ~.. dispositions constructives du tirant horizontal de :..,..

1 lafigure 6. ~ c 'fr etirant reli~ les mon.rants inclinés d'un portique ~;·. :o~ au niveau des appuis. ". Il repose sur le sol et son poids propre n'est pas à

prendre en compte. Il est destiné à équilibrer les p oussées horizon­tales du portique.

Données • Matériaux:

acier FeE 400; n = 1,6 béton fc2& = 27 MPa

• Cas de fissurai ion: très préjudiciable • Sol jugé agressif • Effort normal de traction simple:

Nu = 0,540 MN N ser = 0,365 MN

Répon se

CalculE. L.U.R. Calcul E.L.S . ... t'.r1 • Contrainte de calcul de l'acier: L •

pivot A; ss = 10 %o ; f &:: = 348 MPa • Contrainte de cal cu 1 <T

5t:

r;- - r:n Mo ... "' s t - .... , v J,. .1~ u (vûir Annex.e2)

• Section théorique de 1' armature: Section théorique de 1' armature

0,540 Au =

348 X 10

4 = 15,52 cm2 * 0, 365 4 ? Aser =

170 X 10 = 21,47 cm-

Aser > Au --+ Choix de la section réelle:

4 HA 20 + 2 HA 25 totalisant 22,39 cm2

' ('~) Remarque: le calcul E.L U.R. avec un ucier HA Fe E 500 donne A

11 = 12,42 cm2 .

rt .. ,... .. tw Dispositions constructives minimales ~ .. • • • c ~ 3 cm : vérifié

• eh = 7,15 cm~ 3 0: conforme

• Détonnage correct assuré (B.A.E .L. A .7.2) • Même C.d.G. pour l ' armature et la section de béton

(aciers disposés symétriquement )

70 B.A. Guide de calcul

Sr.r.lion du ti rant

30

(5 p.m.)

Rech~rcher l'état limite déternûnunl pour la sec­tion des armatures d'un tirant (s'agit-t'il de l'E.L.ff.R. ou.del'E.L.S. ?).

Nu= 0,40 1 MN et N ser = 0,288 MN Je= 400 MPa; f c28 = 40 MPa Cas d~ fissuration préjudiciable .

Un atelier industriel est réali .~ l. à l 'a ide d'élé­ments préf abriqués formant arcs isostatiques à trois articulations. Po~1r équilibrer les poussées engendrées en pied, un tirant hmù;ontal B.A. repose sur le sol el relie les extrémités distantes de 16 m. Déterminer l'armature du iiranl soumis à un effort normal de traction simple.

L-:.---: ::--.-: -:\,\ h

Timnl lwriw n1tll B.A. ~\ 1\ de section 10 cm X20 cm B ------------ ,·

-,!<--- - ---'-· - ~~

Réponse

A = 11 50 cm2· 11 = 11 12 cm2 u ' ' ser '

État déterminant: E .L. U.R.

Remarques: dans la majeure panie des cas rencontrés, c 'est l'E. L. S. qui est /' état déterminant. L'utilisation d 'un acie r HA FeE 500 donnerait pour Le calcul à l'EL U.R.: A = 9 22 cm2 < 11 12 cm7. 'J , t •

Données

• Matériaux utilisés :

béton j c28 = 22 MPa acier FeE 400; n = 1,6 (barres du commerce : L = 12 rn)

• Set: lion du tirant prévue: 20 cm x 20 cm

• Fi s~ uration jugée très préjudiciable • Efforls normaux:

Nu = 0 ,420 MN

Nser = 0,300 _.\1N

Atelier industriel: éléruerrls dr l;; strucwre

Réponses

CalculE. L. U. R.

• • Contrainte de calcul de l'acier: fsu = 34R MPa

• Section théorique de 1 'armature : 0,420 4 2

Au= 348

x 10 = 12, 06cm *

CalculE. L. S.

• Contrainte de calcul de J.' acier: u = 158 MPa st

• Sect ion théorique de 1 ' armature : 0, 300 4 2

Aser = iss x 10 - 18, 99 cm

A ser > Au ---+ Choix de la section réelle:

4 HA 25 totalisant 19,63 cm2

(* )Remarque: le calcul E.L [J. R. avP.c w t acier HA FeE 500 donne A11 = 9,66 cm2.

Tirants : traction simple 71

Étude de la jonction des barres par recouvre­ment décalé

( l décalage 1 2 barres) • Longueur de recouvrement

l_ = 40 0 • =40X2,5cm =100cm.

• Nombre de cadres n sur /s Section totale de deux aciers tendus: A = 9 82 cm2

:sl ' Sec tion J'un brin de cadre HA H: A

1 = 0,5 cm2

Il faut 2 n x A 1 =As l' J'où:

9,82 n = 2 x O,S = 10 caùres,

soit 10 HA 8 espacés de 10 cm.

20

3

0.8

Section du tirant

Les dispositions constructhes et la r.ondition de non-fragilité sont conformes (analyser 'la figureR en tenant compte du paragraphe 4).

72 B.A. Guide de calcul

2 .. 'i 7.4 20

cadres HA 8

(5 p.m.)

4 HA25

2.5 3

0.8

-On~uns~dère des éltmcnts fl éc~i s (pqùtres; ùall~s de .planchers etc.) en béton armé. . ·· · Les sollicj.tations normales ~ont .cellt:.S,.qui .pt;uven:t être équilibrées à l'aide des contraitiles normales développées sur les sections droites des pièces(B.A.E.L.A.4)par-: · .. : · .. : ·.. .· w.

- compression. ùu béton essentïellemènt (zone c:Omprimé~) ~· -traction des aciers (zone tendue).. . . , . Le principe desjustificatiorts (B.·A. E:t. A.l.2.) conduit à considérer: - lès états limites u ltimes, en parüculi~r l' état limite ultime de rés~s-

tance .(E.L:'E'.R.); · ·· · ' · · : ·~ - lés états 1imites de set vice (~.L.S.) . .

. - \.

Le présen t chapilre .a pour. but 4_'étudj~r et . .d'apphquer. les méthoq~~ de determination simple ct r~ pide d,üne section de béton armé en effcct:u~nt deux étapes principaies; - ·· · !.ContrÔler en une seulcphase si : .. ·.~·

- .la secüon est _sans armature compri,mée.CA ~ =;9); .~~ ·" .. . . ·, .. ' ~·.. :• ... ' ... ' •· * . . ~ ~

· '- la contrainte limiic de compression du béton à 11 E. L. S. est respectée ,(rrbc ;:> ~be). (B.A.E.L. A .. 4:5.2) ' ,· .. · .. . .. ,,

2. Déterminer l' armature longit~1 dinaie pa:r l'une des méthodes sui-~~: · : . . - 'calcuÎ direct ; - utilisati ot~ ·de tableaux numériques:

... '. ;~ . . ; . .,; .. ;. •: ; ; ;

Remarque importante Dans le cas de fiss uration peu préjudi­ciable, la détermination de l 'm mature tendue est obtenue par un seul calcul e.fj'ectué à l'EL U.K. , qui tient comple de la limite <Tbc imposée en service. La vérification des contraintes à l'E.L.S. n' e~t donc pus nécessaire mais peut ser­vir à contrôler les ré.fultats obtenus .

Hypothèses d'études (B.AE.L. A.4.3.)

Contraintes de calcul (B.A.E.L. A.4.3.4 .)

• Béton : diagramme rectangulaire simplifié relatif aux déformations - contrain Les en compression.

N.B. Les contraintes de traction sont négligées da11s les calculs.

• Acier: diagramme bilinéaire de calcul (traction et compression).

• Adhérence: pas de g hssement entre ader et béton.

• Déformations limites: suivant la règle des «troi s pivots» qui impose en tlexjon simple d'atteindre l' un des pivots 1\ ou B.

-Pivot A : allongement des aciers li mité à 10 o/oo

-Pivot B: raccow·cissement du béton limité à 3,5 %u

N.B. Voir également r:ltapitre 6 <' Bétons et aciers - Carac­léristiq!teS» et chapitre 7 «Déformations et contraintes de calcul».

• Contrainte de compression du béton

= 0 RS fcj • . 1, 5

Cas coul'an~ :

(j ~ 28 jours et 'Yb = 1 ,5 )

• Contrainte de traction des aciers

Cas couran t." (Ys= 1,15) : - Acier HA Fe E 400 :

[Z;l = fe 1 ')',

f su = 347,8 MPa si l ,74%o ~ 1':, ~ 10 %o - Acier liA Fe E 500 :

fsu = 434,tl MPa si 2,17%o:;:;; s8 ~ 10 %o

• Contrainte limite d e compression du b éton à I'E.L.S.

• Résistance caractéristique du béton en traction

1 ft j = 0,6 + 0,06 fe_;

N.B. Voir chapitre 6 et 7 et Annexe 2 .

E.L.U.R. : Flexion simple 73

Combinaisons

On distingue les cas suivants : - une seule travée sans porte à faux; - plusieurs travées sans porte à faux; - poutres avec porte à faux; En général , dans les t ravées chargées, on prend à l'E.L.U.R.:

1,35 G + l ,S QB

N.IJ. Revoir le chap itre 5.

Calcul des sollicitations

• Moment ultime : M

11= 1,35 M (G) + 1,5 M (QA)

• Moment en service : Msu = M (G) + M (QR)

• Rapport des moments :

1,35 ::;; 1' !S 1 ,5

R emarque: la valeur de y inTervient dans le calcul du mo­

m ent r:ritiqu.e à l ' E. L. U. R. (vo ir paragraphe 6 ).

Conditions d'équilibre d'une section rectangulaire On considère une section couran te soumise à un moment de flexion simple .

Béton comprimé " ..... 0 00 ,,__ 1 _OÎ-~w.f -- --:,,:

~ Diagranunc-des déformations

Section B.A.

Section re.ctangulaire B. A. : conditions d'équilibre

5 .. -r:. ____ • .:_ ...... ... ~ ....... ~ • .:-... ........ • ~ ICo'JUda.avu.a u ~'lgaaaua·~

• Équilibre des efforts normaux :

"5' -4 -+ "'-'proj . Ox ( F } = 0 soit

effort de compression = effort de traction du béton des aciers - - - - -._,

J~l.l = N su

0,80 Yu . b . f bu = A:t · fsu (1 )

• Bras de levier (symbole Zu)

z.,~ = tl - 0,40 Yu (2)

74 B.A. Guide de calcul

fsu ., Nsu .. v / -----~---~~

Diagranune des contraintes

So!Jic itations imemes

• Équilibre des moments par rap))Qrt au C.d.G. dt!s aciers tendus

-+ -+ I M 1 A { F } = 0 , soiL

moment de flexion - . -

effort de compression . -

bras de levier . -

Mu = Nbu X Zu

-

1 Mu = (0,80 Yu· b · fbu) (d- 0,4 Y.) (3 )

• Expression de M.u

Avec (1) et (2) on obtient:

{3')

5.2. Paramètres de cal~ul

• Position relative de la fibre neutre dans la sec­tion (symbole a

11)

a =y 1 d u ll (4)

• Pourcentage mécanique: ~------------~

Au fsu On pose: Pu =

b · d fbu (5)

• L'équation (1) devient: 0 80 u = p

' u u

• Bras de levier réduit (symholc /311

)

On pose f3u = Z11 1 d soit 1 (311 = 1 - 0,40 au

Préciser les étapes du calcul à l'E.L.U.R. pour déterminer la section d 'armature Au en utilisant les paramètres de calcul:

11 · a · t1 ~""bu ' u• f-'u

On ulilisera les formules prh:Mente.~ (n° 1 à 9).

Remarque: dans cerre première approche, il n'est pas tenu compte de la notion de «moment critique:. définie ci-après (paragraphe 6).

• Section utile el u héton : h; d

• Contraintes de calcul béton : fbu acier : fsu

• Moment agissant ultime: 1\;fu

Déterminer le pivot à considérer A ou B à l'aide du paramètre:

!J.bu =

Indications

• Partir du diagramm~ d~ déformation de La sec­tion en considérant: - le pivot A__. e_" = 10 %o - le. pivot B ~ sbc = 3,5 %o

• Tracer la ligne qui joint A el B. • Établir une relation entre triangles semblables

pour obtenir la valeur particulière de au= y111 d.

• Moment ultime r éduit: !J..,,11

Mu= 0,80 au (1 - 0,40 œ11

) b. d2• /bu

Eu posant:

(7 )

on obtient J'expression du moment ultime réduit:

Mhu = 0,80 au (1- 0,40 au) (8)

• Expression de a11

en fonction de Mbu

au = 1, 25 ( 1 - ~ 1 2 .Ubu ) ( 9)

Réponse /

Etapes principales:

1. Calcul du moment réduit :

J.Lbu = b . d2 . r . hu

2. Position relative de la fibre neutre:

au = l, 25 ( 1 - J 1 - 2 J.l..bu )

3. Bras de levier réduit: f3u = 1 - 0,4 a11

4. Section d'armature. La formule (3 ' ) donne:

Au = f3u · d · fsu

• Calculer !J.bu en fonccion de a u

• En déduire la règle pratique de détermination des pivots (pivot A ou pivot B).

Réponse • 1 )iagrammc de

déformation de la section:

lO%~

Pivot A

Pivot B 3,5 %c

E.L.U.R. : Flexion simple 75

1 ..

.

111

Relation en tre triangles :

,<;be 3, 5 = - - =

bhc + Bst 13, 5

• Valeur correspondante de 14"' :

lkcu = 0,80 au (1 - 0,40 a) = 0, 1 Rô

• Déternünaliun des pivots: ~u ~ 0,186 pivot A

76

soit flbu ?.: 0,186 pjvot B

Calculer l'armaturP. tendue pour les sections correspondant aux données suivantes, en exploitant le gra­phique ci-après qui donne f3u en fon ction de JJ-b'l :

Section r Établissement du graphique

.Ubu --7 {311 Section TT

M u = 0,044 MNm Mu 1"1u = 0,238 MNm J.l-bu =

b 15 cm h· d2. J b 25 cm = bu = d = 30 cm 1, 25 ( 1 - ! 1 - 2 1-Lbu) d = 50 cm

au = fbu = 14,17 MPa fbu = 14,17 MPa

fsu 3 47,8 MPa f3 u = 1 - 0, 40 a u f su 434,8 MPa = =

JA,u = 0,2300 soit /J-bu 0,2688 =

0, 5 ( 1 + ~ 1 - 2 J.l-bu ) f3u =

-

0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.00 0.05 0. 10 1.00~ ·-r~~"'--f-~~-'----1---'-~""'---f--'-~'""""-f~--'--'----'--'-L-'--- 1.00

0.95 ~ ~~

0.90 +---+----1----1--..-.::>o.....--"-...i-~---+-

0.85 +----+-- ---+-- -t----t----f'"ç

- -1---+-- --1--- -t--- +- 0.95

1- - --+------ -t-----+ 0.90

_1_ - - - - --T----+---+0.85

. : . . }\-1,·, Calçu!~r J..tb1, ·= . : , .. :. 2 . ~· ~

0.80 - , . · : lr d :fbu 1---t---t--- -l-- - - +----1-- - -1- 0.80

075 - ,u .. ~. ·· p,~;;. ~""~ --~0.75

0.70 t- . .. . .. j\;[ " 1-----.-----t----+---t--~-+----+ 0.70 r.alla\ler ·Asu = "'-

13. · d · fsu '\

0.65 +-- - -+-----1---- +--1-- -+--- 1\ - -t-----..,.-f-- - -1---t-'\-\- - +- 0.65

0.60 -t--o--.--r-r-+--.---.--.---.----.--.----.-.,-,--r--.--.---.--r+""T""'.,.,.--.--t---r-.---.+-----r-. 1 ,,-,---.---1- -,-,h-+ 0.60 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

Moment ultime réduit : JL'o<.•

N.B. Les valeurs de Jlbu sont limitées par celles des moments ultimes réduits explicités au paragraphe suivant pour

avoir une sec1iun sans aciers comprimés.

B.A. Guide de calcul

Réponse (~11 connu)

Lecture du graphique Calcul direct i Lecture du graphique Section 1 Section 1 Section Il Section n

f3u = 0,870 f3u = 0.867 Calcul f3u= 0,840 7 = 26,1 cm Z

11 = 26,0 cm à z = 42 cm " li u

. M u effectuer 11 u 4,85 cm

2 A

11 = 4,85 cm2 A. = 13,03 cm2 - = u

7 • f '-U SU

-Remarque: on pourra apprécier les fa ibles écarts de résultat.<i nhtemts par simple lecture d u graphique ou par r:alr:ul di reet.

Moment critique ultime (symbole 1Uc)

Par définition, il s'agit du momt:ml agissant ultime dans une section de béton armé qui satisfait stricte­meut à la fois:

1. l'équilibre de la section B.A. à l ' E .L .U. R. avec une arma tuœ tendue Au ;

2. l' état li mite de compress ion du hé ton à l'E.L.S. sur la fibre la plus comprimée du béton avec (B. A. E. L. A.4.5.2):

crbc = 0,6 fcJ et Aser= Au

E.L.U.R.

Mu_. A u

Section B.A . E.L.S.

-

Moment critique réduit (symbole f.Lc)

Il dépend: - de la résis tance caractéri stique ùu béton en com­

pression: f ?S ; c_

de la limite élastique de l ' acier utilisé fe; - du cas de fissuration; - du rapport "(=Mu 1 M ser ·

M Par déf inition : f..Lc = b 2 c f

· d · bu

Les tableaux ci-après donne nt le moment critique r6ùuil en fonction de y et de .f c' dans le cas de fissu-

ration peu préjudiciable . Ils fi gurent en totalité dans l'Annexe 3.

Exemple de lecture sur zab/eau

Données: • Matér iaux

béton : f 1,;28 = 30 MPa acier: HA Fe E 400

• Fissuration peu préj udiciable • Rapport y= 1,38

.__ ______ M_u_=_:~_1 c_ s_i _A_u_=_A_s_er ___ __ ____JI 1 Moment critique réduit : tJ.c = 0, 315 9

Tableaux des moments critiques réduits, fissuration peu préjudiciable

Tableau 1: Aders HA de nuance Fe E 400 Tableau l. : Aciers HA de nuance Fe E 500

1 'Y Résistances caractéristiques f ., (MPa)

18 20 22 25 27 30 32 35 37 4) 'Y

Résistances caractéristiques fe (MPa) 18 20 :Z:l 25 2ï 30 ~., 35 " 7 4() .l~ .J •

1.35 .2420 .2.'i)4 .2(17:i .2835 2930 .3057 .3132 .3235 .3297 .3382 IJ5 . 213R .2271 .H92 .7.554 .2652 .2784 .2864 .2974 .3041 .3 132

1.36 .2449 .2584 .2706 .2867 .2963 .3()1)1 .3167 .3271 .3333 .3418 1.36 .2165 .2299 .2421 .2584 .2683 .2816 .2897 .3007 .3074 .3167

IJ7 .2479 .2.1i15 .7738 .2900 .2996 .3125 .3202 .33.)6 .3369 .3454 l J'i .2191 .23?.7 .2450 .2615 .2714 .2849 .2930 .3041 .3 108 .3202

1.38 .2508 .2646 .2770 .2933 .3030 .3159 .3236 .3341 .3404 .3491

- -- _,_ ,_ 1 38 .2219 .:2355 .2479 .2646 .2746 .2881 .2963 .3075 .3 1 4J~

Ces tableaux figurent en totalité (1,35 ~ y ~ 1,50) dans l'Ann exe 3.

E.LU.R. : Flexion simple 77

l!>- Calcul des armatures longitudinales tendues 8.1. Premier proa:édé de cala:ul (méthode directe)

Organigramme de calcul

Données:

Exemple: poutre B.A. simplement Oécbie

Section rectangulaire: b = 18 cm; d = 35 cm Fissuration peu préjudiciable Béton: fc28 = 22 MPa; acier: f c = 400 MPa

Mu• (Mser)

b, d, fbu' fsu *

_ ___ _ __,

e = 10 %o SI

[;=

l Z11 = d- 0,4 Yul

j Mn

Zu · fsu

(*) Rappels: "'= M 1 M · 1 u ser '

78 B.A. Guide de calcul

M0 = 44 100 Nm Mu =66150 Nm

Mser = 30 000 Nm

f vu = 12,47 Mpa

f.Ltu = 0,1604

J.J-bu < 0,186

Pivot A est = 10 o/éo

. Mser = 45 000 Nm

Y= 1,47

1-Lt,ll = 0,2406

f.Lt,0

> 0,186

PivotB 8lx: = - 3,5 %o

Lecture tabltaux des moments critiques réduits

inutile

u 1 = j = 34 7, 8 MPa ::. su

œ0 = 0,2198

Yu = 7,69 cm

zu = 31,92 cm

N.R. Avec fe= 500 MPa,

A = 3 18 cm2 u ,

ILe = 0,3061

0'5{ = fsu = 347,8 MPa

au= 0,3497

Yu = 12.24 cm

zu = 30,10 cm

N. B. Avec!, = 500 MPa, e

A = 5,05 cm2 u

'

8.2.. Second procédé de calcul (méthode par tableau)

Organigramme de calcul

Données :

Mu, (Mser)

. b, d, fhu' f~u *

' A1u IJ.bu =

b d2 f bu

/i, oui // ""- non ~bu,;; O,lg6/,..;>-

"-, // '-.../

r r

1 Pivot A

1 Pivot R

1 Lire lkc( y, fe) 1

± oui // "-, / :<: "

~ - -J-fou ....._ Mc;/>

" //

)non

~ 1

iis:;t 0 1

Lecture du tableau de l'Annexe 4 a e

1 ikbu u 1 /3,J 1 st

~~-~t=

' J

t A = p · bd ! bu

li u f ~u

(*) Rappels: 'Y = lvf11

f M ser ;

fbu = 0,85 .fc28 j Yb ; f su =fe l'Ys

'

Exemple: poutre B.A. simplement fléchie

Section rectangulaire: b = 15 cm ; d = 35 cm Fissuration peu préjudiciable Béton: fc28 = 27 MPa; acier : f eE 400

Mu = 73 660 Nm

Ms er = 51 510 Nm

!hu = 15,3 Mpa

l' = 1,43

1-'-btl = 0,2620

1-'-t,u > 0,186

Pivot B

/J-e

~li

uc:t

ll:'u

= 0,3200

< ILe

= 347,8 MPa

= 0,388

= 0,845

= 0,310

Yu = 13,58 cm

Zu = 29,57 cm

N.B. Avec f e= 500 :YlPa,

Au= 5,73 cm2

J\tu = 91 R70 Nm ,11,1 = ser 63 360 Nm

l' ::::: 1,45

j.J.bll = 0,326g

J-lbu > 0,186

Pivot B

ILe = 0,3269

f.L.ou = ILe

ust = 347,8 MPa

ll:' u = 0.514

13.. = 0,794 ' u

P = 0,4 11 u

Y = 18,00 cm ·li

Zu = 27,80 cm

A = Y 49 cm2 u '

N.B. Avu: fe = 500 MPa ,

;l u = 7,60 cm1

-

Remarque: la rapidité d 'obtention du résultai peut être testée directement par le lecteur en utilisant l'un des deux procé­dés avec les exemples fou rnis pour l'autre et réciproquement.

E.L.U.R. : Flexion simple 79

8.3 Choix des armatures

Le choix de A5

(section réelle) impose de prendre en compte: • 4 ~ A ·

J. s u '

• -\;a> Jl.miu = 0 ,23 bd f t/ f e (armature min imale pour respeccer la condilion ùe non-fragili té);

• les dispositions constructives (enrobage, bétonnage correct, cf chap 10).

Trouver les moments critiques réduits J.Lc et le moment M c correspondant. On utilisera les tableaux des moments critiques réduits.

Données

Fissuration peu préj udiciable

b = 20 cm ; d = 40 cm

fc28 = 30 MPa

Mu 'Y = - - = 1, 39

.lv! ser

Acier

l··e E 400

FeE 500

Réponse

0,319 4

0 ,291 4

Mc (MNm)

0,173 8

0,158 5

N. B . Po ur toute valeur~ ft", la .:>ection de poutre ne nécessite pas d'urmult•re comprimée .

VJ!~,.~~-f0?~ ~::t .. 'l ~~i!;:~;~~l:~~~:-: . . , ! . !·~::::~ij,!ï:~k~~;-~ t ~'Ulitl;;~i!!l~ii~i·~.t-~ t:: U.::.t!\..-""";;.,;; "J !JJJ .:J'..t""-"'-~..:.,:.t t.. ~ ... ...&Uitiiill't* n "d . ., • ~ .......... ,.,. ~"''"'"'-~~ ŒJ'iltW*® h·~.n • _..,. .. ..:_J • - ---~~

~ Déterminer la section d'armature théorique Au nécessuire enj7exion simple, par la méthode directe. ·1i1 Vér(fier la condition de non-fragilité A min et choisir l'armature tendue réelle.

Données

• Section: 25cm x 55 cm; d =50 cm • Matériaux

béton: f czs = 25 MPa acier : HA Fe E 500

• Fissuration peu préjudic iable • Moments de flexion

Mu = 0,21R MNm Mser = 0,170 MN rn

25

-Section B.A.

80 B.A. Guide de calcul

C> V")

V') V l

Réponse

• Contraintes ùe (;ale.; ut :

f hu =>14, 17 M•Pa; f su = 434,8 MPa • Moment ult1Ji1e rédu it:

J.-1-bu = 0 ,268 8 ·· -> 0 , 186 ---+ pivot B

J.l·c = 0,27fl R pour y= 1,4

'' <::: ·r1. ---+ (;akul direct ~""bu ~""c

• P(,)5itîon relative de la fibre neu tre :

a ._ = 1, 25 ( l - j 1 - 2 Vbü ) 0, 400

llu ~ f3 u

• Section théorique d'arma ttire : ,'\u = 1 :~,rn cm2

• Condition de non-fragilité :

A 0 ?3 0 25 -o 2' 10 1: j '} Clt12

.'"1m in = '- X ' X) X 400 =

• Choix de A5

:

3 HA 20 + 2 HA 1 6 ~o i t l :~,44 cm2

2 H.'\ 16

3 HA 20 Armature tendue

Cas 1 : poutre intérieure - --------;@ Calculer l 'a rmature tendue néces­saire dans la seClion médiane de la poutre intérieure représentée ci-

rr===========~========~======~ ----®

• contre. Contrôler qtu l 'armature mise en plw.:e convient.

Donn~es

1 • Moments agissants:

5135 2X27 4XI7

M = 0,267 :\1Nm u 40 60

M = O.lS4MNm scr

• Section: b = 40 cm d = 53 cm

• Matériaux.:

fc28 = 20 MPa

fe = 400 MPa

Éléments de réponse

• Moment réduit: Mu

JLbu = 2 = 0, 209 7 b . d . /bu

• Pivot B car p.bu > 0, 186

~~-mf-~} I· 1 3~ 1 1 40 1

• Valeur du rapport Mu 1 Mser : y = 1,45 1 1 • Momt!n t critique réduit: ILe= 0,286 R (par iulerpolation) > ~u • Calcul de la section d'armature à l'aide des tahleaux numériques:

Option 1: utilisation du paramètre pu

Lecture sur tableau (Annexe 3) lL ___. p = 0 238 r· l)u u '

Section théorique :

A b . d . /bu Mu

14 HAZO • 07.56

2 2 HAIS • 04 . 13

3 4 HAlO • 07 .84

4 30 CAO HA06 • 01.90 5 60 ETR HA06 • 01 .Z4

n = Pu · = /su

16,44 cm2 Au =

f3 u · d · fsu

• Section réelle : 4 HA 20 + 2 HA 16 = 16,59 cm2

• Contrôle de l'armature mis<:! en place: condition As ;::;: Au vérifiée

Remarques: • Le lecteur pourra vérifier que la condition de non-fragilité est satisfaite et que lee; c:nruliLiuns d 'enro­

bage et de bétonnage correct sont respectées (voir chap. 10, figu re 2).

• La section théoriyue d 'armature avec un acier HA re E 500 serait: Au tMor. = 13,15 cm2.

E.L.U.R. : Flexion simple 81

Cas 2.: dalle épaisse en en~orbellement (bal~on)

Contrôler les données et les résul­tats du calcul par ordinateur d'une section d 'armalure au droit de l'appui d 'une dalle de balcon située dans un hall d'exposition et repré-

Garde-corps Oalle R.A. """

• sentée ci-contre.

Données

Matériaux:

.fc2!l = 22 MPa

fe = 400 MPa Charge d'exploitation: 5 000 :t\/m2

Réponses

165

Moment eu ser·vice Moment ultime

• Moment dû au poids propre: .52 l. 6_

0,16 x 1,00 x 1,00 x 25 000 x-·-2

0,10 x 0,90 x 1,00 x 25 000 x 1,60

=

= ' 5 445 Nm

3 600Nm

9045Nm • Moment dû à la charge d'exploitation:

1.552

5 000 x -2

- = 6 006 Nm

• ToLal des moments: E.L.S.: 15 051 Nm;

• Fissuration peu préjudiciable (hall couvert)

Largeur: bande de 1 ,00 m

t x 1.35 = 12 211 Nm

x 1,50 = 9 009 Nm

E.L.U.R.: 21220Nm

Calcul par ordinateur (logiciel C.B.A.)

) .. E~W.R ·~. lNIJI~nON: ~~ÇJ~8i.ÇT.AtJ(;lJI.AIRE i

• Moment agissant: M11 = 21 220 Nm

• Contraintes de calcul: fb] = 12,47 :\fPa; fw = 347.8 MPa

. '* · Settion. (cm> . largeur: b. :? .100 ·· ··· ·· · ·· · ·· · · : · H.uti1ë·· d ·· :·? tz·

• Hauteur utile prise égale à 12 cm, par sécurité vis à vis de la position des ac.:ier~ après <.:oulage.

• Moment réduit:~~~ = O, llH 2 < 0,1X6 pivot A

• ~u --. a0

= 0. 157 7

• Section théorique Au = 5,43 cm2 par mèrre.

• Condition de non-fragilité: Amin= 1,33 cm2/m

• Choix des aciers: As ~ A11

N.B. Aciers principaux placés à la partie supérieure de la dalle pour la zone en encorbellement.

82 B.A. Guide de calcul

J ~&teri aux . , tMPa) Beton Fc2B:? 22

* FhiUr&' P.N.. Acisr f& ~? 400

* Moment (r,Nm) · Mu • ·;? o. 021220 . l1sen'? 0.015051 Sallllli= 1, 41

t Details de ~alcul

11ub • . 1162 tluc = .• 21365 . ·

• ~1v,ot ~ .

· Alu ·• .1577 Ale •= •• 4519

. Epbc= 1. 972 h.· ·· . ;. Epst::: 10 l. Fbu ., 12.47 M?a : Feu • 347.83 MPa Bèta;:;; ' .936ci · zu - =11.24 Clll

!; ;

.. * · ~'matüfil~ . ·· te~tdue. ..... ~s .: .= 5;43· clll2

N. R. P.n prenant f c = 500 MPa , As= 4,34 cm2.

""j

Les é l.ém~nts de s,tructures B.A. soumis à. un mp,men.t de. flexion simple sont généralement calcu_Iés à 1' état linii~e de :service dhns les cas sui- · vants: : . - fissuration. préjùdiciable (F.PJ, ' , -fissuration très préjudiciable (F.T.P.j F.xemples .. d~ouvrages: . . . -poutres de rive· soumises aux Înternpérjes, - poulr~ intérieures de sous-so1 soumises aux condensations, - longriQes de fôndation~ en terrain hulnide et parfois agressif.

·~ . . . .

ce' cï1apittea polir but .d·~~posë; tes procédés~ae ctéttiminatïon des ···. seétions d'arrnatt,res tendues suivant les cas de fissuration.( caJcul . diicct ou ~tjlïsation de t<Ü>leaux numér.iyut!s ). . ... Le principe de ju,stifièation vis~~·-vis de la duràbiJité d e la structure oQnd1,1~t à . s.~ ~ssriryr du I).On-dép.assem~nt des: contraint~s linü.tes de . calcul à l'E.L.S .. :- · . : · .. .. ' · ·· ·· ... ' ··· · · : Remarque importante -de compression du béton (B. A:E:L. A.4.5,2}, . Dans li' cas de fissuration peu préjudi­

ciable, le calcul E.L. U.R. sans armature comprimée est déterminant (voir cha­pitre 11) .

-de tractîon dès aciers suivant.le'cas de: fissuration en'\:1sagé (.B.A.E.b · A.4.5,3, état llmite d'ouverture des· fissures): F.P :ou F.T:P. ·

Hypothèses d'études (B .A.E.L A.4.5,2)

• Les vérifications à effectuer portent sur:

-l'état limite de compression du béton (1\..4 .5,2);

-l'état. limite d'ouverture des fissures (A.4.5}).

• Les règles de calcul en section courante tiennent compte des hypothèses suivantes:

-hypothèse de Navier (section plane avant ct après déformation);

-résistance du béton tendu négligée; -béton et acier sont considérés comme matér iaux

linéairement élastiques;

- adhérence mutuelle entre béton ~l acier sans glis­sement relatif;

-coefficient d'équivalence n pris égal à 15.

~s (module d' élasticité de 1' acier) n=

~b (module d'élasticité du béton)

N.B. Voir également chapitre 2, prJragraphe 5: ,~Applications Ju uctions courante~ tle béton armé».

Contraintes de calcul (à l' E.L. S.)

• Contrainte de compression du béton limitée à:

CU;= 0,6 f e} 1

• Contrainte de traction des aciers limitée suivant les cas de fissuration :

- fiss uration préjudiciable (F.P.) :

- . ( 1 - - ' O'st = mf 1,213/e: llO y 17. flj)

- fissuration très préjudiciable (F.T.P.) :

~ = inf (o,5Je; 90 /11~) où 17 = coefficient de fi ssuration de 1 ' acier utilisé

!,1

=résis tance caractéristique du béton à la traction .

N.B. Se reporter à t'Annexe 2: «Tableau des contruintP.s

limites à l'E.L.S. ».

E. L S. : flexion simple 83

Combinaisons d'actions

• Les comhinaisons de base pour les cas courants ont été définies au chapitre 5.

• En général, dans les travées chargées , on considè­re à 1 'E.L.S.:

U : charge permanente Q6 : charge d ' exploitation

Voir chapirre 4: «Ac1ions permanentes et variablesN.

Rappel. A l'E.L ll. R. la combinaison de base pour les ws

courants et pour les travées chargées est:

1,35 G + 1.5 On Elle sert au c:tdc.:ul du rapport des moments: y = M/M~er·

Calcul des sollicitations

• Moment à l'E.L.S. · M ser = M (G) + ,'\tf(QB)

• Moment u ltime à I'R.l -.L .R.

Mu= 1,35 M(G) + 1,5 M(Q8 )

• Rapport des moments: ITJavcc 1,35 <;;y <;; 1.5

N.JJ. La va leur de y intervient pour la détermination du moment ultime critique en service pour justifier que:

• o-bc ~ o-bc - • contrainte de compression non dépassée • A ~= 0 _. sec/ion _wms armature c:omprimée.

•il!!:"· 'il" . " .. Conditions d'équilibre d'une section rectangulaire

On considère une sec tion courante d ' une poutre soumi l'e à un moment de flexion simple.

Section B.A. Béton comprimé

Moment agissant

A

·1l. b -~· Section

B.A. Diagramme

des déformations

Section rectangulaire B.A.: conditions d équilibre à l'E.L.S.

5 .1 Équations d'équilibre

• Équilibre des efforts normaux

• ) {F } "'"'proJ o~ im • = 0, soit

effort de compression du béton

= effort de traction de l'acier

Nbc =

[ b. y, O'bc

2 = 11 ser

• Bras de levier (symbole z1)

VJ Z1=d-::_

3

84 B.A. Guide de calcul

Nst

O'st (1 )

(2)

// Nt "-' ----~~· --. - -------1--~,;.;..._ ...

u ,t tt

Diagramme des contraintes

Efforts normaux ct moments internes

• Équilibre d es m oments par rapport au C.d.G. des aciers tendus - -i\!Jser = ~Ml A { Fint } , soit

moment effort x bras = de flexion de compression de levier

M = Nbc x zl scr

(31

• Expression de 1lfser. Avec ( 1) et (2) on obtient:

,~~tf = A • 0' • 7 scr scr st "'1 (3')

ttions

1,5

tination du r que: 'l dépassée méf>.

u C.d.G.

x as levier

ZJ

J (3)

1btient:

(3')

• Relation dans le diagramme des contraintes de la section homogénéisée

O"bc YJ , soit =

d YI n

= YI

d n . (Tbc + IJst

Remarque Avec l 'équation (3') t:!l o-st = o-st . on obtient

Aser = M ser

-... ,

Moment appliqué : M~er = NYJ. • z1

5.2, Paramètres de calcul

(j")

• Position relative de la fibre neutre par rapport à la fibre la plus comprimée

a 1 = y1 1 d l (4)

En posant : 11 ser

K = O"sr

r = e t b . d CT be

l'équation ( 1) devient:

r = 2K (S)

• Bras de levie1· réduit (symbole {31)

f3 t = 1

• Moment de service réduit par rapport au C .c de l 'armature

E3f3l h · d2

· O"bc

En posant: Ms t'.r

~Lb = - - - - ­b · d

2 · a'"'

1 ' ex pres :siun du moment de service réduit <.lu bé (7) devient :

1 - œ, · f3t ~= 2

• Les tr iangles semblables du diagramme des contn tes permettenl <.1 'écrire:

En utilisant (9) , l ' équation (7) devient:

a f'· f3t 2

= ") ( 1 ) b . d • <T st _n - a 1 M St:r

En posant:

M ser f.J-s =

b · d2 · O"st

on obtient le moment de service réduit de l' acier:

(1

Remarque

Les paramètres suivants: 14,, ILs• {31, K et p dépende du paramètre a 1.

LoJsq ue o-st = o-~t' on calcule ILs par:

M xt'r f.ks = -

b · d 2 · O"st

Par simple lecture de tableaux numériqu~s, on a:

ILs -+ a, ____.. {31 - K __. p

La détermination de la section d ' armature est immé dia te:

1\t! >er A ser = U d

1-' 1 · · IJ sr ou Aser = P · b · d

E. L. s. : Flexion simple 8~

Préciser les étapes de calcul à l 'E. L.S. pour déterminer la section d'armature tendue d'tme section rectangulaire en ~ttilisant les équations d' équilibre.

Données

• Section utile: b; d • Contraintes de calcul maximales autorisées :

(Tbc = O'lx; et (Tst = (Tst

• Moment agissant: Ms._1

• Cas de fissuration préjudiciable.

Remarque: dans cet exercice d'assimilation, il n'est pas tenu compte de la notion de <(moment limite» explicitée dans le paragraphe 6 ci-après.

Préc iser les étapes de caü:ul à l'E.L.S. pour déterminer la section d'armature tendue d'une section rectangulaire, en u.tilisanlles paramètres de calcul.

• Se<..:tion utile: b; d • Contra intes de calcul :

a bc ~ abc et (Tst = (Tst

• Moment agissant: lvfser

• Condition de non-fragilité:

A ~ 0, 23 ftj . b . d min - r

• 1'-

Rt!marque: dans cat exercice d'assimilatiun. il n'est pas tenu compte de la notion de «moment limita» explicitée dans le paragraphe 6 ci-après.

86 B.A. Guide de calcul

Réponse

1. Pos ition de la fibre neutre: n . abc

Yt = n . O'bc + O'st

2.Hras de levier: z. l=d -yl/3

3.Moment limite de service:

Utn; M1im = b · Yt · 2 · z 1

4. Contrôle:

M ser ~ Jl,flim

Si non salisfait, des aciers comprimés peuvent être nécessaires .

5. Section d 'armature tendue:

Réponse

Mser A ser == - - -

Z 1 · 0' st

l. Moment de service réduit de l 'acier: Mser

J.Ls == -b d1~ . • . CTst V

2.Position relativ_e de la fibre neutre a 1 = ~ ~ et (1'~1

rapportK= -(J'be

par lecture des tableaux numériques à I'E.L.S. en Annex.e 5

3. Comrôle de ubc: Œst - -

CTbc = K ~ abc

Si non satisfait, des acit::rs comprimés sont néw­saires.

4. Bras de levier rédu it: {31 = 1 - a 1/3

5. Sect ion d' armature tendue:

M sec A ser = R. d -

fJI · · O"st

N. R. S'assurer du respect de la condition de twn-fragilil!. A ;;::A .

ser mm

Calculer l'armature tendue pour les sections correspondantes aux données suivantes, en exploilanlle gra­phique ci -après avec <Tst = <T~ 1 •

Section 1 Cas de fissuration : F .P.

M~er = 0,278 4 MNm

b = 0,20 m d= 0,60 rn

fc28 = 30 MPa

Fe E 400 HA

~s = 0,017 9

0.000

Construction du graphique

/J-s ---+ /31 Section Il

Cas de fissuration : F.T.P

M ser (par définition ) lvfscr = 0,142 7 MNm

œ2 . f3 1 1

/J-s = 2n (1- œ1

) (équation 10)

a 1 e.sl obtenu en résolvant (10)

œ. {31 = l _ _ 1

3

0.005 0.010

et

0.015 0.020

b= 0,18 m d = 0,50 m

f c28 = 25 .MPa

Fe E500 HA

P-s = 0,0 15 7

0.025 0.030 0.035 0.040 Graphique 0 .95,-t--'---.L......Jl.....L-.--'---.L......l---L..-f--...L._L.--L_..J...-t-..L.._---L_..J...+-L....J._..J.......J._+---'L.J 1 1 -J-L--L--l......l.-+-..l.......JL....L--L-+--0. 9 5

\

0.9u-i--~r-l-----!-----+----l--- Calculër J-4.~ ·· .. .Mscr

: _ Li<~O, lbb; ~ .... -~ O .B>~t--------1-----P...,._---+----+----· f.Ls ·- --+-0.85 ~ · M-

Cnlcn]er A scr :;:

f3 r .. f-t. ffst

---t-0.90

- - --+-0.80

-------o. 75·-rl --,--.,--,,--j-,-~-r+--~-r-t-...-r-r--r+-r-r-.-r--l---r-o.,.-h 1 1 ,-+---.--.-.--.-1-0. 75

0.000 0.005 O.Q10 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040

l.tponse Moment réduit IL s

Lecture du graphique Section 1

f..!s = 0,017 9 ~ /:31 = 0,816 7

"1 = 0,489 m

Mser Aser =

Z 1 • ffst = 26,35 cm2

Calcul diroct Section 1 Section n

{31 = 0,818 Cak ul ~ .... 1 = 0,491 rn à

effectuer A = 26 25 cm2

ser '

Lecture du graphique Section Tl

1-ts = 0,01 5 7 ~ /31 = 0,827

z1 = 0,414 m

N.B. Les valeurs du moment limite de l'acier p.,5

sont limitées par celles du moment réduit limite JJ-8

lim à ne pas dépas­

ser'pour satisfaire à la fois les just(fications à l'E.L.S. et à l'Ji.L. U. R. (Cas d'ur{e sectiou rectan8ulaire sans arma­mre comprimée.)

E. L. S. : flexion simple 87

Moment limite de Service (symbol~ M ser lim)

• :Moments

-à l'E.L.S.: Mser } M lM rapport: -y= - à l'E.L.U.R.: Mu u :.er

• Cont rain tes limites de calcul -à l'E.L.S. (voir Annexe 2):

aue= 0,6 f c28

a st est fonction de la résistanœ caractéristique du béton et du type d'acier.

- à J'E.L.U .R. : - !c2'~ .fbu = 0,8) T,5 avec f) = 1

• Le moment li mi te dépend de -y, f c28 eL fe.

Il correspond à 1' atteinte en service: - soil de la contrainte abc sur Je béton com­

primé; - soit de la section d 'armature limite qui per­

met d' éttuilibrer strictement le moment ulti ­me Mu= y. Mser·

N.B. Le moment est dit «limite>> car il assure le strit:t respect de la capw:ité portante à l' E.L. U.N. et 1 ou de la contrain­

te O"bc à l' E.L.S.

Moment limite réduit de service (symbole 11-slim)

M ornent limite réduit de l ' acier:

M se.r lim fLslim = 2 -

b·d ·(J" Sl

Se propriétés sont celles définies préeédemmem pour une section re<.:Langulaire sans armature comprimée.

Les valeurs courantes des moments limites réduits font l'objet des tableaux ci-après en fonction des cas de fissuration: F.P. ou F.T .P .

Exemples de lecture des tableaux

Exem ple 1 F.xemp le 2 1------- ---------+-----------------~

Béton: Béton : fc28 = 25 MPa .fc2g = 35 MP<:~

Acier HA: re E 400 Acier HA: FeE 500

F.P. F.T.P. 'Y = 1 ,3 8 'Y = 1 ,40

p,~ =0,0162 fL, = 0,027 9

Tableaux des moments limites réduits ILs lim des aciers HA

Tableau 1: cas de la fissuration préjudiciable

Type "'',J e (MPa) 16 18 20 22 25 27 30 32 35 37 40 acier ' y '~

' Fe ESOO 1.35 <y< 1.5 0,0106 0,0119 0,01 32 0,0144 0,0162 0,0173 0,0189 0,0200 0,0215 0,0224 0,0239

n1J=] .6 'Y:::;:; 1,39 0,0106 O,Oll9t 0,0!32 0,0144 0,0162 0,0173 0,0189 0,0200 0,0215 0,0224 0,0239 JI' - ~ Â t -- t -~ t - f- t - t - - f-

) -

1 1,40 l' 0,0232

1,41 Lectuœ de Ji·, lim pour FeE 400 (F.P.) 0,0225

1,42 Mu

0,0224 0,0217

FeE 400 1,43 Données : - = Y, .fe -- 0,()220 0,0210 ,W ser '

1,44 L ire: 1-'-slim 0,0215 0,0213 0,0202

1,45 Repérer la zone -~9 0,0212 0,0207 0,0194

1 ,4(i de lecture a ou b 1 1 0,0206 0,200 0,018f

@zones (b) 1,47 , 0.0200 0,01 93 0,0177

1,4R l l t l l 1 0,0200 0,0194 0,0186 0,0169

L 1,49 0,0196 o.o1g7 0,0179 0,0159

1 ,) () 0,0106 ] 0,011~ 0,0132 0,01 44 0,0162 0,0173 0,0189 0,0191 O,OHH 0,017 1 0,0150

- -88 B.A. Guide de calcu l

-

--

8.2. Second procédé de calcul (méthode par tableau ou graphique)

Organigramme de calcul

Options: l ./\ '

5::!-0

2. Modifier -section - matériaux

Préférer FeE 500**

.'III scr

b d 2 a st

Lire J.Ls liut (y, f.)

---

1 Méthode au choix

1 Graphique Tableau

1

, Lecture du tableau

de l'Annexe 5

-Exemple: poutre BA simplement fléchie

Section rectangulai re: h = 20 cm; d = 45 cm

fe= 27 MPa ; FeE 500 HA

Mser = 0,12 MNm

.fe= 35 :\1PA ; FeE 400 HA

Mser = 0,194 5 MNm

Mu = 0,299 7 MNm

Fissuration préj udiciahle

lfst = 207,3 1 MPa

1Ls =0,0143

ILs 1 i 111 = 0, 0 1 7 3

Méthode tableau

/-{8=0,0143

a 1 = 0,505 y 1 = 22,73 cm

T< = 14,6l) IThc = 14, 11 MPa

p = 1,72.10 -2

Aser= ] 5,48 cm2

Méthode graphique 1-----

!3, = 0,832

z1 = 37,44 cm

A . 2 su = 15,46 cm

cr51 = 228,63 MPa

fLs = 0,021 0

fLs Jim = 0,018 7 (y= 1,49)

fLs >ILs lim (zone b)

choix FeE 500 (J.Ls < 0,0215)

Méthode tableau

Il. =0.021 0 r-s .

/31 = 0.808 2 z1 = 36.34 cm

K = 11,07 o-bc = 20,65 MPa

p = 2,598.10 -2

Méthode graphique

/31 = 0,809

z1 = 36,4j cm

A~er = 23,34 cm2

(*) Rappels: "r' = M~ 1 Mser; 0'51 suivant cas de fissuration (cf §3); O'bc = 0,6 f czs

(**) Dans l~ t.as où fl·s n'excède pas la borne supérieure des valeurs P-siim pour la ~·aleur fe considérée, la conserva· lion possible du Fe E 400 impose la détermination de A

8 à l 'E.L. UR. sv us M

11• Cette .:.olu.tion est souwmt moins inté­

ressante qu'à l'E.L.S. avec des Fe .b 500. (se rapporter à 1 'exercice d'assimilation 1 ).

90 B.A. Guide de calcul

Contrôler lP.s résultats obten us par ordinateur p our une section rectangulaire flic hie à l 'E.L. S. en .fissuration préjudiciable ave c y = M J Mser = 1 ,48 . Le choix de~,­Fe E 500 est -il just~fié?

lndh:ations j.).s lim

Fe E 400 Fe E 500

fe = 35 ~fPa O,OlY 4 0,021 5

1' = 1,48

• Le cal cu 1 avec des Fe E 400 ùunne une armature iden­tique à celle calculée avec des FeE 500 car :

o-st = 229 MPa (id° Fe E 400 et FeE 500) -.f-,1'- __:..18"--- 1

3 HA25

Contr{Jler les résultats obtenus pour les données précé­dentes en fi n ·urazion très p réjudiciable (F.T.P.).

Inditations

• En fissuration très préjudiciable les valeurs de I-Ls Jim sont identiques pom les Fe E 400 ct f e E 500.

' 1-t,lim = 0,027 9 pourJc28 = 35 MPa et')' = 1,48

• Choix: 2 HA 25 + 4 HA 20, soit 22,39 cm2

4HA 20

- ~ "\,

t • 4 --

j 2 HA 25

l8

r-

Rappel: la section A appror:ltie est obtenue uvee u,1

= a et ~ , ~

• ELS l lNITIATlON SEtlT.RECTANaJLAI~ i

t Seçtion .(ci!i); : .. Largwr. b &? 1e, H~utile cr :? 45

t Matér i aU>I ,

U~Pa} Baton F.c28:? 35 , Ader Fv :1 500.

i Fissuration ·, Eta :? 1. '0 (NP=O,P=1 ,TPF2> 1 '? 1

l t100élt agiSst . (t1ft) Miin'? 0.150 *.Moment résist.beton Ml. • .119. MNm

' '"'' ,. " ~ • 1

* f'f.aat\r&~: -approt:hée A ! • 19. 07 cm2 , -.calc:uU·Ii A s= 17.83 tm2.

Dft:-ai 1 aes· cal culs tA~ s• 0) Mus = :o1e' · · Alpha.1a .547

. lt\b = .ZlZb B!t!1 •• 9177 K" '= 1~.~2: .. · Rho Y.= 2.2013 ·HautfNrh:m) · êontratnt!.<MPa) Üni te V1· = 24.~1 18.4 Beton 21 ZL • 3&. B': . . 22~~ b3· Ac:ier , 228 ~ 63 ~ ..

t . EL.S * INiii'ATldN sect.RECmNBOLAIRE J· ,

E. L. S. : flexion simple 91

Le moment réduit de l'acier à l 'E.L.S. étant connu, déterminer le moment ultime réduit du béton à l'E.L. U. R. On utiliser.a notamment les expressions du paragraphe 5.

Réponse

Expressions de Mu, Mscr et 'Y

• Moment ultime M : u

Mu =p,u .b. d 2 .fbu • Moment de service Mscr :

M~f':r = f.Ls. b. d 2 . <Tsl

• Avec (a) el (b), on a:

'Y =

ou y

• On obtient:

Mu

Hœr f.Ls · U ~t

fLbu · 0,8Sfc2a

f-t~ · lf sL • 1 , 5

f.tl.Ju = Y · f.Ls · 30" st

1,7 f:2.E

Poutre sur deux appuis

(a)

(b)

(c)

(d)

Exemple numérique

Fiss. préjud.

f c2R = 25 MPa

fe = 400 MPa

'Y = 1,38

JLst = 0,016 2

Fiss. Très Préjud.

f czs = 35 MPa fe = 500 MPa

'Y = 1,40

f.Lsl = 0,027 9

L ' utilisation de l 'expression (d) ci-contre donne les valeurs de ILtJu correspondantes:

ILs! ____. .Ubul = 0,318

1Ls2 _____. P,u2 = 0,368

Déterminer la section d'armature longitudinale à placer ù mi-portée de la poutre de la figure 4, à l'aide des données mentionnées ci-aprks:

Données • Section 20 x 55 ; p'ortéc: 7,00 rn entre poteaux B.A. • La poutre supporte le plancher et les <.:barges d'exploitation . le mur pignon extérieur enduit.

N.B. Les .fermettes de la charpente prennent appui su.rlt~s murs de façade.

~ __. l"''oo.

""""' "'s"" -....,..,. ....... __. roo... ~ """"'-

.-J 4 ...... - ' • f' 1 1 -, .. ~. ' . ... •· , . .....

250 1 1

G) or. 1 1 "" -1

1 .J 1 1

1 ,_2/ ~ 1 1 1 1

- ~ ~ --:- .- -; ~(O)H-- - ::- -L'• · • 'i ~ · ·.. ·-

" v 700

Flg.4

92 B.A. Guide de calcul

0 0 01

~

0 Vl N

1 1 ~ .... --, V)

V)

-----' ,.-

(fi Triangle en maçonnerie de biocs en béton de 20 cm+ enduit 1,5 cm

@) Linteau-chaînage B.A. + enduit 1 ,5 cm

(}) Baie : 2,50 m x 1,45 rn

@ Mur de blocs creux en béton de 20 cm + enduit 1,5 cm

(D Plancher ll.A. (portée transversale 4,00 m), épaisseur 20 cm

@ Poutre B.A. 20 x 55

Charge d'exploitation : 1 500 N/m2

Réponse

• Matériaux Poids propres (cf chap. 4: «Actions permanentes et variables))) Caractéristiques: fc28 = 25 MPa; acier FeE 500 HA.

• Détermination des actions

Rep. ~harge permanente Type

5 :~ Triangulaire g /./ ,f?s ~ 1 :::::,

4 ~~ g4 Uniforme

~r~· ig3

3 250

1

1

Ré part. part.

2 !g,

Uniforme . 1 -

1 R~ gl Répa1tie

,_ g<) 0 . 1 .... - 1 Répartie

Charge d'exploitation sur plancher Répartie -·

nétail des actions

Rs = (2 700 + 270) X 2,00

blocs / '\enduit

g4 = (25 000 x 0,2 + 270) x 0,2 lt

\BA

g 3 =-2 970x 1,45

g2 = 2 970 x 2,50

g, = 25 000 x 0,2 x 2,00

' ' t rn- portes '

g0 = (25 000 X 0 ,2 + 270) x 0,55

Qll = 1 500 x 2,00 - -

• Déterminat.ion des sollidtations M (L/2). Se reporter au formulaire. -

N/ml

5 940

1 054

- 4306,5

7 425

10 000

2 898,5 -

3 000

Chargements Total (N/m) M (L/2) M (Nm)

R4 + R2 + R1 + RIJ

g5 g3 (sur b = 2,50 m)

soit:

QB

Mg =I39716Nm

Mq = 18 375 Nm

+ 21 377,5 gf218

+ 5 940 gL2!12

- 4 306,5 gb(2L- b)/8

+ 3 000 qL2f8

Mser = Mg + MlJ = 158 091 Nm Mu = 1,35 Mg + 1,5 Mq = 216 179 Nm

• Calcul de la section d'armatures longitudinales

+ 130 937

+ 24 255

- 15 476

+ 18 375

La façade étant exposée aux intempéries, la fissuration est préjudiciable; a priori, calcul à l'E.L.S.

• Contraintes limites de calcul CTbc = 0,6 .fc28 = 15 MPa; .ft.f = 0,6 + 0,06 fcj = 2,1 MPa;

crst =inf (2/3fc ; llOy' rJ. Ji1 ) = 201,63 MPa

• Moment réduit (un choisi l d = 50 cm)

A1 ser 0,158 091 = 0, ()15 7 ILs= =

h. d. (TS[ ?

0, 2 x 0, s- x 20 1: 63

'V = 1 = 1, 367 fl.·s lim = 0, 016 2, donc P-s < f.l·s lim

l'v! ser

E: L. S. : f lex ion simple 93

• Calcul par tableau E.L.S. (ast = a st)

f.l.s = 0,0157 Lecture -----+ a 1 = 0,522 K = 13,73 p = 1,901%

Aser = p .b. d Ir M ser ) ou encore Aser =

'· f3 1 • d · IT st ,

Aser = 19,01 cm2

u. ubc = ;t = 14,6~ MPa

• Choix des armatures

2 HA 25 + 3 liA 20, soit 19,24 cm2

{31 = 0,826

Remarque: la condition de non-fragilité est bien respecrée: As min= 0,966 cm2

94 B.A. Guide de calcul

3HA20

But

Les vérificatim)s à effectuer ·concement les états limites de· service vis-à~ vis .O(} .ht .durabili té .de Ii structure: (B.A. :EL: :A:.4.5 ) . ..

. ·• . . . ·~ . ' .

E.L.S. flexi01) simple

État limite de ,compressio:I! 1

. ·du beton . ~ ~ ~ .... ··- ·

État limite d'ouvcrtU;re .des fissurës. .. · . .

La contrai rite de compl'ession dû .. :En particulier, la contnùrltc de béton est limitée à: traction deS aciers est limitée sui-. . . .

cr "'" 0 6 f vant les cas de: be-:- ' cj . fe élanl la résistance caractéris- fissuration préjudiciable (F.P.). 1 • .

tique du béton en compression - fissurati~n :très préj udiqi<ible à} jours . .. .. (F.T.P.r~~-: ·· . ··

On pourra se reporter au chapitre 7: <<Déforni~tions et contraintes de calcul>) et on co1tsultera 1' Annexe 2.

Démarche

Les différente'~ étapes de ce chapitre sont les su.ivai1tes:

1. Hypothèses de calcul fixées ·pat Îe règlemerit (B:A.E.L. A.4.5,1 ).

2 Caractéristiques géométriques de la section homogénéisée (position de l'axe neutre et calcul du moment quadratique)<

3. Expression de la contrainte normale ~n un point par: les formuJès clas­siques qe la résistance des matériaux dans l'hypothèse d'tin com­portemenrlinéairemenrélast~que des mat~da1.;1x associés. : ·· ··

4. Vérifications des contraintes Uustifications 'des sections):

Les sections béton et acier . conviennent.

soit en raison de: • section jnsuffisante d' a~ier; • dimensions de la secrid.n de

béton non conformes ( b. ou h); • choix ~e: c,aractéristiqu~s, 4es

matériaux.non adaptées (fc28 ou .fe).

N.R. l.'hat limit l:' tltt déformation n'est

pas envisagé dans ce chapitre (par exemple: limita lion de flèche des élé· ments soumü à laflnion).

N.B. Dans tous les cas, le calcul à l' E.L.ll.R. doic P.tre également satisfait.

Vérification des sections 95

Hypothèses de calcul

llappels (voir chapitre 12)

• Hypothèses de Navier • Résistance du béton tendu négl igée • Coefficient d' équ iv al en ce pris égal à 15

(n =Es 1 Et) • Béton e t acier considérés comme matéri aux linéai­

rement é lastiques • Contraintes limites de calcul à 1' E.L.S.: voir dé lails

chapitre 7 (fig. 6).

1 ; , ' j . 1 ~· • ·.. • / ' '

J •• \ ' 1.' • 1 •••••

M ser

Moment appliqué Mser

s~ction

r«!t;langulaire

Notations

Lf • moment de service ..Ct:i ser ·

u bc cunlrainte de compression du béton

use contrainte de compression de l' acier

u st contrainte de traction de l ' acier.

Diagramme des contraintes

Effort~ nnrmau >.. el n Joi[JC!Dt interne

Combinaisons d'actions pour le calcul à rE.L.S. Combinaison de base (cas courants) :

G+QB

Pour les différents cas de chargement, se reporter au chapitre 5: «Calcul <.les sollic itations».

Caractéristiques géométriques

.1.1 Position de l'axe neutre d•une section rectangulaire homocénéisée (distance Y; par rapport à la fibre la plus comprimée)

• Équation dite du moment statique par rapport à la fibre nt:U[re:

~ + n · tl ; (y 1 -d' ) - n ·A, (d - y 1) =il(!) La résolution de <.:erte équa tion donne la valeur de y 1 (fig .l ). Si la section n'a pas d ' armature comprimée, A 's = 0; l'équation (1) devient:

l b · y~ ~1 2 - n·A5 (d-y1)~ (l ')

.1.2. Moment quadratique par rap· port à l'axe neutre {M"'"'"' l.. - 1 -T \ \ ~ yu!U Vlt:· J x)

• Éléments géométriques connus: b; d; d'; A ~ ; A1

• Expression du moment quadratique :

b . y31 ' 2 1 x = -

3- + n · A s (y 1 - d' )

+ n · As (d- Yt) 2 (2)

Si la section ne comporte pas d ' armature compn· mée, A's = 0; l 'équation (2) devient:

1 1 ~ b . yf 2 L -3- + n · A s (d - Y J) · (2')

N. B. Voir le chapitre 3: «<Caracréristiques géométriques des ser.tions~>, !>·e reporter aux exercices du paragraphe 5: «Ap­plications aux sections courantes en B.Al> et à la.fit:ure 6 du chapitre 7.

96 B.A. Guide de calcul

Contrainte normale au niveau d'une fibre

L'expression de la contrainte norm ale en un point est dunn~, compte tenu des hypothèses précédentes, par la formule classique de résistance de matériaux:

1 q = ~ y

a (MPa) : contrainte en u n point au niveau d'une fibre

M (_\1Nm): moment agissant dans la section lx (m4) : moment quadratique y ( m) : d.is tance del'axeneutreà la

fibre considérée.

Dans le cas du b~Lun armé, on considère dans la section homogénéisée: • la fibre la plus comprimée du béton pour évaluer

la con traime a-bc à une distance y 1 de 1' axe neutre --+ équation (3) ci-après;

• la fibre située au niveau du C.d.G. des acier s comprimés à une distance (y1 - d') pour trouver a sc

_. équation ( 4) ci-après;

• la fibre la plus tendue de l'aci~r au ni veau du C.d.G . de l'armature tendue à u ne distance (d- y 1 )

de 1' axe ne utre pour trouver la contrainte us1

_. équaüon (5) ci-après.

Contraintes de compression

Ms~r 1 C!bc = -- ·YI l.x

• Béton:

M s:;r ( - d' :) cr sc = n . -1- y 1 . x

• Acier:

Contrainte de traction de l'acier

l Mse-a sr = n · -~~~' _<_d _-_Y_I_)----' I x

(3)

(4)

(5)

Remarque: la conrrainte de l'acier est nfois plus forte que celle du béron au niveau d'une même fibre (voir équations (4) et(5)).

N.B. Les contraintes limites de calcul elu béton et de l'acier

sont données dans l'Annexe 2.

Contrôle complémentaire des résultats

Équilibre des efforts normaux de compression et de traction

• Section sans armature comprimée:

b · Yt - 2- · <Tbc = t1s · C!'st

• Section avec armature comprimée:

b . YJ ' -,.,- • O'[J ~ + A~ . O's~: = As . U s t

L.

Équilibre des moments

Moment agissant = Moment interne

M. _= effort de compression x bras de levier ~t.

ou

Mser = effort de traction x bras ùe levier

N.H. Cela est conforme aux équations d 'l.qu.ilibre do.ns wœ sectioll; chapitre 12, paragraphe 5.

Vérification des sections 97

Calculer les contrain tes à l'E.L.S. dans une section de poutre sans aciers comprimés.

• Section: voir figure • Matériaux

hé ton : f c?.S = 10 M Pa acier: f c = 500 MPa

• Cas de fissuration préjudiciable • Moment de service : Mscr = 0,057 MNm • Rapport y: M) 1'.tf

5er = 1,40

Indications Les principale.s étapes de calcul sont les suivan tes: 1. Recherche de la position de la fibre neutre . 2 . Cakul du momenl quadratique. 3. Calcul des contraintes. 4. Contrôle des résultats.

Détail de l'armature tendue

Réponse

Calcul des contraintes Équation du moment statiq ue

h · YÎ . --- fi· A 5 (d-y1) = 0

2

9y f - 15x 6,03(50-yd = 0

d' où y 1 = 17, 95 c rn

• Moment quadratique

b · Yt 2 l x=-- + Il · As (d -yl)

3 3

( 1 ')

(2')

(, .. 18 x 17, 95

15 x 6,03 (50- 17, 95)2 = +

3

lx 127 612 <.:rn 4 = • Contrainte du béton comprimé

M <er crbc = - -- · Yt = 8, 017 MPa

l x (3)

O"bc < O"bc = l8 MPa

• Contrainte de l'acier tendu M Sl'.r , (5)

<Tst = n · -- (d- y 1 ) = 214,74 MPa l x

u~t < u~t = 216 MPa

98 B.A. Guide de calcul

Contrôle des résultats • Équilibre des efforts normaux

0,18 x 0, 1795 Nbc = 8,017 x

2 = 0,129 5 MN

N st = 214, 74 x 6,03 >< 10-~: = 0, 129 5 MN

On a bie n Nbc = Nst

• Équilibre des moments

M ser = N be X Z 1

YI z1 =d =44,017cm 3

soit :

M str = 0, 129 5 X 44,017 X 10-2

MNm

M scr = 0,057 MNm

Il y a bien égalité des moments externe et interne.

Calculer les contraintes à l'E.L.S. dans une section de poutre sans aciers comprimés. Contrôler la section d'acier à l' E.L. U.R.

Données

• Sections : voir figure • Caractéristiques des maté1iaux

fc28 = 35 MPa ; a-bc = 2 1 MPa

ft: = 500 MPa ; ust = 228,63 MPa

•. Cas de fissuration pr6judiciable • \1omcnt à I'E.L.S .: 0,042 MNm • Moment à l'E.L.U.R.: 0 ,060 5 MNm

Calcul des contraintes

• Position de la fibre neutre: équation (1 ')-+ y1 = 16 cm

• Moment quadratique : équation (2') --. Ix = 66 618 cm4

• Contrainte du béton: équation (3) ----. a bc = 10,09 MPa

o-ht: < crbc = 21 .MPa • Contrainte de l'acier :

équation (5)- u51

=227 \1Pa <Tst < <Tst = 228,63 MPa

1< 15 [, 1 2HA 12

fi 2 HA 14

Réponse

1

Contrôle E.L.U .R.

• Moment ultime réduit : M ..

1-Lbu = ~ d 2 . f hu = 0, 127 1 (pivot A)

• Lectuœ des tableaux E.L.U.R.: lknu ____. {3

11 = 0,932

/ '

OU f3u = 0, 5 ( 1 + V l - 2f.Ll!u ) ' /

• Section théorique à l'E.L.U.R.: Jy[IJ ?

Au = = 3,73 c.; m-f3u · d · /su

• Contrôle vis-à-vis de l'E.L.U.R.: 2 HA 12 + 2 HA 14, suit 5,34 cm2

A = 5 34 cm2 >A = 3 73 cm2 s ' li - '

Remarque: la conditiun de non-J1w:ilité de la sect1on est égalP.mtmJ satisFaite; A . ;?. 0.23 b.d. f1./f . . 'J ' :mn 1 e

p~fLII!!ffi~~~.,..,r~,~~·' ~~...........,, ~,.~.,. - ·,-w· .· ~ ~~~~ !~·~1t"·o!Q ,.;~-~ :, ~~'@'W~~fi·~<o .!L'~'W' ;:~"'». .. "'.'~*~ ;~;~· ., ' 9:'~AA .,; .. : ~~<tii •·. -:» ";';~ ·• .• , ,· ... ~:a • • • 1 ........_ - t:wJt · ...... ~ ., . ~-,. .. ;; • :ll '' '' ;.-' $.·~.~ '!#· - ~ -· ,,~& -"'- ~ · ~ - - . '

Calculer les contraintes d 'une section rectangulaire avec aciers comprimés et cvntrôler les résultats en utilisant les équations d'équilibre.

Données

• Cas de Fissuration très préjudiciable • Dimensions uti1es :

b = 25 cm; d = 50 cm; d ' = 4 crn • Caractéristiques des matériaux

béton : f c2R = 27 M Pa ; <Tbc = 16,2 MPa acier : f" = 500 MPa ; u51 = 170 MPa

• Moment de service : 0,248 MNm • Section des armatures

comprimées: A~ = 8,04 cm2

tendues : A_= 35,73 cm2 ~

25 1' 1' .,. 1

.,f---,j<----f' /--

1

1 1

- +--- - - -·

! -~---- 4....' --1 +>t- - - L ___ .J

Section B.A. avec aciet~'> comprimés et diagramme des contraintes

Vérification des sections 99

Réponse Calcul des contraintes

• Positio n de la fibre neutre: équation (1) __. y

1 2

25 Yd + 15x8,04(y1 -4) - 15x 35, 73(50-y1 ) = 0

ou : YT + 52, 524 y l - 2 1 R2, 39 = 0

On obtient: y 1 = 27,33 cm

• Moment quaùraUque: équation (2) __. lx

25 x 27,333

lx= 3

+15x8,04(27,33 -4)2

+ 15 x 35, 73 (50 - 27. 33)2

On obtient: 1.~. = 511 194 cmtJ • Comrain~es du béton en compression:

équation (3) __. abc

248 000 O"bc =

511194 X 27,33 = 13,26MPa

O"bc < ub; = 16,2 MPa

• Acier en compression: équalion ( 4) ____. u se

248 000 (27, 33 - 4) . <Tsc = 15 X

511 194 = 16Y, 77 MPa

O"sc < O"sc = 0, 5 f e • Acier en traction: ·

équalion (5) ____. o-st

248 000 (50 - 27, 33) O"st = 15 X

511 194 = 164,97 :MPa

ff8t < <Tst = 170 MPa

Contrôle des résultats • Équilibre des efforts normaux:

Nbc = b. YI

2 = 0,453 :VI~

N sc = A's . erse = 0 ,136 5 MN

Nsr = As . u~~ = 0,589 4 MN

On obtient: N bc + Nsc- Nst = 0

• Équilibre des moments

Expression du moment interne par rapport au centre de gravité des aciers tendus:

N lJç ( d - y 1 / 3) + N ;c ( d - d' ) = M scr

On obtient:

0 ,185 23 M~m + 0,062 7<J MNm = 0,248 MNm

Di;jgrarnme des contraintes (à gauche) Efforts normaux et momenl~ t) rlrnire)

Remarque: le contrôlP. à L'é.L. U.R. est inutile. Dans le cas de fissuration très préjudiciable (FTP), le calcul à l' E.L.S. est toujours déterminant.

Données Dimensions: voir figure 6.

Section er. Té avec table épaisse

1 00 B.A. Guide de calcul

Cas 1

80 t

~ .4s

h o=20crn --DU

Cas2 Données Dimensions: RO voir figure 7. 1

~r_ Section en Té J_1Q_j avec table peu épaisse

• Malériaux: f en= 30 MPa ; fe= 500 MPa

• Cas de fiss uration préjudiciable • Moment appliqués:

M . = 0, 165 MNm s~t

Mu = 0,235 MNm

• Section des armatures tendues: 2 HA 25 + 2 HA 20-+ 16.1 cm2

Éléments de réponse

1. Vérification à l'F..L.S.

• Condition pour que l'axe Uëulre soit situé dans la rahle de compression:

b . h5 -

2- - n · A, (d - h0 ) > 0

On a: b = 80 cm; hu = 20 cm; d = 5:1 cm.

D'où: 80 x 202

2 - 15 x 16, 1 (53 - 20) > 0

Cette section en Té se vérifie comme une sec­tion r~<.:tangulaire.

• Position de l'axe neutre :

b · v2 T - n · As (d - YI) = 0

~ y 1 = 15, 12 cm

' • Moment quadratique: b . y3 .

lx = T + n . A~ (d - Yl )2

l x = 438 704 cm4

• Calcul des contraintes à l'E.L.S.: J\t[ ser

<The = - ·- · YI = 5, 69 MPa lx

M scr <rst = n · ·-

1- (d - Y1) = 213,7 MPa x

• Contrôle à l'E.L.S.: u he < 18 MPa o-st < 216 MPa

La section convient à l'E.L.S.

2. Vérification à E .L. U .R. Il suffit de s ·assurer que:

A ~ A avec u s

A11

: section lhéorique à l'E.L.U .R.

As: section réelle d'acier tendu.

• Moment réduit:

Mu 1-tbu = b . d 2 . ~ = 0, 061 5

• 1 hu ~pivotA

• Matériaux: f ao = 25 MPa; fe= 500 MPa

• Cas de fi ssuration préjudiciable • Moments appliqués :

M~~r - 0,370 :\1Nrn A1u = 0,525 4 :\1Nm

• Section des aciers tendus: 8 HA 25-+ - 39.27 cm:.

Éléments de réponse

1. Vérification à I'F..L.S ..

• Condition pour que 1 'axe n~utre soit situé dans la nervnre:

RO x 122

2 - 15 x 39,27 (54- 12) < 0

L'inégalité est vérifiée: J' axe neutre est dans la nervure.

• Équation du moment statique On se reportera au chapitre 3: «Caractéristiqtu~!i géo­

métriques des sections».

• Position de l'axe neutre :

b. v2 2 ~ - (h-ho) (Yl -ho) - n·As (d-y l ) = 0

L,

__.. y 1 = 23,41 cm

• Moment quadratique: ,

b ·Yi l"Y I - hoj"J " Ix = -3

- - (b - bo ) 3

+ n· A s(d- yl /

Ix = 863 609 cm4

• Calcul des contraintes à l 'E .L.S On utilisera le~· équations (3) et (5) du présent cha­

pitre er on veillera particulièrement aux unités.

• Contrôle à l'E.L.S.:

o-bc = 10,03 Mpa < rrbc = 15 JvfPa

o-st = 196,57 MPa < ast = 202 MPa La section convient à l'E.L. S.

2. Vérification à E.L.U.R. Le diagramme reclangulairc est dans la table seule si (cf. chapitre 7, 1.2 er exerciœ 6).

0,80 Yu~ h0, ou y11

::S1,25 h0

Dans le cas où: Yu > 1,25 h0

le diagramme rectangulaire est à la fois dans la table et dans la nerv Lrre .

Vérification des sections 1 01

11 • Bras de levier réduit:

/3 11 = 0, 5 ( 1 + {r-Ï -- --.,.2-J.t-bu) = 0, 968 2

• Section d'armature théorique à l'E.L.U.R.: Mu 2 2

Au = = 10,53 cm < 16,1 cm f3u · ·d · fsu

N.B. Calcul à l'E.L.S. prépondérant.

• Équilibre de la section à l'E.L.U.R. a = 0 0794· y = 4 208 <.:rn u ' , u !

J.l,b'J ____. f3u = 0,9682; Zu = 51,314 cm

Équilibre des efforts normaux.(fig.8):

Nbu = 0,80 Yu· b · fbu = 0,457 8 Ml\

lYsu = A,1 • fsu = 0,457 X MN Équilibre des moments: Moment interne= Nbu · Zu = 0 ,234 9 MNm

Sh6ma de principe

= moment externe.

0.457 8 MN Nbu

-1/')

Il

"' N

1--'!"'"'--4. N $U

0.457 8 MN

L 'étuùe ùe cette condition revient à calculer le moment Mhrn équ ili bré par la table seule par rappurl au centre de gravité des aciers tendus et à le com­parer au moment appliqué Mu:

Mbtu =b. h0 (d- h012) fuu = 0,653 MNm Mu = 0,525 4 MNm < Mbtu

Le diagramme rectangulaire est bien dans la table seule .

• Moment réduit à l'E.L.U.R.: Mu

J.l..bu = b . d 2 . !bu = 0, 158 9

• Lecture des tableaux E.J:-..U.R.: J.l,bu _., au= 0,218; f3u = 0,913

• Position de la fibre neutre: Yu= 0,218 X 0,54 = 11,77 cm On a bien: v < 1,25 h

0 - ll

• Section théorique à l' E.L.U.R. 0,525 4

0,913 x 0,54 x 434,8

La section réelle /\.5 = 39,27 cm2 convient donc à

J'E.L.S. et à l'E.L.U.R.

Controler dans chacun des cas proposés les sections d'armatures à l'E.L.S. calculées par ordinateur (lo!(iciel CBA). Pour la démarche, on pourra se reporter à L'exercice précédent.

l E.L.S.* SECTlONS B.A. RECTANGULAIRES*

* Sec: ti on krnl L"'ry~:~ur b :? 20 H.utile d :? 4S:.

t; Materiau:< iMPal Eti! t on F~:2B:i,':22 : . .

ftc:i cr· · Fe :? :-4(16 / . ~ F(:;~ur<ttÙm Et.a : ? '1.6 ;:

<P=1;TP,.2>:?· 2

lt c.ùcul== l

t 11oment agi Glôt. (11Nir.) 11sur;? 0 .1.35

* Aciers tend.Js <c:m2) A -a;? Z4, }3 co1~pr imar. A' 5l "'? :L 26

* .Cc.;mhuinlE:f> . . <Nf>\a)

(cm) .d' .:7 4 '

· · c~l cul * Hmi ~e; S~c l2.95 13.2 ·:' Ssc: 163.56 ·· 2~-: ·' * yl= 25.31 cm 3\it 15\.1:5 157.74

1 02 B.A. Guide de calcul

1· * . : E. LS. j SFCTIONS B.A. EN 1

* 'Section (cml

··* ·· Mat;criaux · · ',.:;~ <HP.:il

t ·fi ssuho ti on

Lésrgeur u ;? Bé H.uti 151 d :7 ,bO Nervl.lt'e b0•.? ... 30 H. t<:~bl.a h (l:? 15.

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t Ca1èu1=1 Vari f:.:2 Chgt::o3 F:ln:.:4 choi Xl::!

*Moment agisst. <NNm> ~er:? 0~75

f Ad!:'rs tendus <cm2> A s:? :72 .. 38 comprimœ~ A's:? 0

t • .c;::~nt: rai htes ... :: ('t)Pa) '

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F.:LS r.:al cul '* ''1 i ml tc. Sbc 14. 09 ' ' t5 fiL>t 200. 42 " '20 l. b3 E\..UR .. tMNm) ·

Mru= 1.1609 ~--~~ ~------------~~~~--~

T .'association ~éton-acier rés~lte principalement :der adh~œnc~ entre matériaux'. • Le béton ~xêrtë· àussi sur Ï' ~Çiet:èt r~ciprocp~e~~nt ünë torce d~f~ot- : te ment soüs l':effet d'un· effort de traction ou'de compre~sio.n ;, (Coefficient de frottement Qe l'acier sur le 'béton pris égal à 0;4.) · En cumuJantles (oree~ dues à l'adhérence:et au frottement,'op a:

. -!forces de liaison = Forcés d'adhérence·+ Forces de frottement . . . ' ' .. . ,. . . .....

Les. liaisons eritie béton et armatures concernent : · -J~s ariër.:j.~cs f.cctilig~ e,s : 9\H::û\lrbes .(cro~Jfe.ts) ; . · · ·· .... '· .. : ; :; '

e;ûmple: extrémitéS:des armatures tendues d'une poLipr.e; - les recouvrements de barres ou de treil lis· soudés

e~emple: continf!il{des barres soû.mises à un effort de trac­Ï,ion (poutres) ou de compression (poteàu);

. .,... 1 'e.ntraîi1ement des armauires des barres, i~ol.~es ou .. en p:aq~~t. . , ·· '·· ··· ·· éxemple: b~r~e;· diSpos/es en chap~:àùx sûr Ùnè 'm~nie !u.tppe: '

Les règles à respecter, toutes ~ela ti v es à 1' état~Ïiu~ite ultiinë; ;visent:: - les extrémités des barres qui doivent être ancrées avec une sécurité

suffisante·(A.6.1,2 pour ies barres, A.6.2, l pou des ·treillis soudés) ; - les arm~ttlr~s en partie coQrante soumises à des contraintcs 'ditcs

ad' entrâ;înemenf', qui do!vent être limité~s pour ne pas end~inma-ger k ~~(Ç1~ :eutourant les ~flll~tun::s; · ·· . · ' '

., .. , ... ;;

Contrainte d'adhérence <B.A.E.L. A.6. l .l)

La liaison entre une armature et le béton est mesurée par la contrainte d'adhérence 'Ts définie par la formule:

[ r,- ~ ~ J ( 1)

où dF/dx : variation de l 'ef fort ax ial p(lr unité de. longueur

Périm~tœ uti lt. : 11 = -rr0 C.uulrainle J 'adhérence.: -r,

u : périmètre utile d'une barre ou d'un paquet de barres .

Conditions d'équilibre d'un tronçon de barre de longueur dx

Ancrace des aciers 2..1 Valeur limite ultime de la contrainte d'adhérence (B.A.E.L. A.ô. l ,2)

L'efficacité d'une barre du point de vue de l'adhéren­ce est caractérisée par son coefficient de scellement 'Y, :

1fr5 = 1 pour les ronds lisses

1.Jr< = 1, 6 pour les aciers H .A. La valeur Ùltime de la contrainte d'aùh6rence, symbo­le 'T~ u · est donné par :

~~ --7-su_=_0-.-6-~-;--.f-L-j~ (2)

r Extrémité de poutre

î Cuulntiul~ d'adhérence 75

1 F

Longueur Effort Je Lraction de scelle.me.nt l s

Schémas de principe : à gauche, essai d'arrachement à droite, ancrage d'une barr~

liaison béton - acier 1 03

Contrôler les valeurs de T si/. dans le tableau ci-contre avec 1Jrs = 1,5 (contraintes exprimées en MPa).

.fc28

f t2R

~'lU

18

1.68

2,27

20 -

1,80

2,43

2,.2, Antrages rettilignes (B.A.E.L. A.6. 1,23)

1..1..1 Cas d'une barre isolée tendue

22 1 ,..,~ ?'"' ~::> _,

1,92 2.10 2 ')•') , .. ..::. 2,59 2,83 3,00

Longueur de scellement droil ls : Exemple de calcul

:10 32 3') ?,7 40

2,40 2.52 2,70 2,82 3,00

3,24 3,40 3,64 3,8 1 4,05

0. f 0 = lG mm; f e = 500 MPa; fc28 = 30 MPa l< = __ ._e · 4 'Tsu

(3) 1, 6 x 500

ls = 4 "' ..,4 = 61, 8 cm x-'·""'

où 0 : diamètre de la barre fe : limite élastique de l'acier 'Tsu : contrainte limite ultime d ' adhérence

Établir laformule {3) donnant la longueur de scellement droit.

Réponse On a l'équation d ' équilibre·: force de traction (N,) = force d'adhérence (Fat! )

2 n . 0 . f e

soit 4

=1t·0·T · f su s

d 'où 0 ·fe

l ,

Barre scellée

Scellement droit

.2..2.1 Tableau des valeurs forfaitaires de la longueur de segment droit (à défaut de calcul de la longueur ls par la formule (3 ))

Barres tendues isolées (HA) Treillis--soudés TSL et TSHA (B.A.E.L. /\.6. 1 ,22) (B .A.E.L. A.6.2)

Types d'acier (tfi'~ ~ 1,5) Zone d'ancrage /

3 fils Oerépartilion ~ f e= 400 MPa j = 500 MPa e ' ~ \. >. ls = 40 0 /s =50 0 • ~ f-il porteur

Exemple: 1/; Acier HA; f e = 500 MPa Fils porteurs: 3 soudures sur chaque fil

•

Di<lmètre de lil bilrre: 16 mm Fils transversaux: 2 soudures sur chaque fil

l5

= 50 X 1 .6 = 80 cm 1

1

j Longueur forfaitaire ido acier HA avec fe= 500 MPa

1 04 B.A. Guide de calcul

...

-

Déterminer et comparer les lonf?ueurs de scellement droit à partir des deux groupes de données suivantes:

Données • Acier HA; fe = 500 MPa • Tre ill is soudés TSHA • Diamètre de la barre : 20 mm • Panneau : TSHA 6 / 5,5 100 x 200 • Jc2R = 25 MPa

Longueur forfaitaire: Longueur calculée:

!1 = 1 00 cm !2 = 88,4 cm

= 44,2 0

• fc28 = 30 MPa

Réponse Longueur forfaitaire: Longueur calculée:

l.l.l Longueur de scellement droit dans le cas de paquets

/ 3 = 30 cm l4 = 23,2 cm

= 38,7 0

Paquet de deux barres Paquet de t rois barres

Périmètre utile rl'une barre : u1 = n: · 0 ')

Périmètre utile d'une barre: u; = ; n - 0

-r

ls

1' i s

~· A partir de l'ancrage, on a:

1,5{, + ls + l5

paquet t::: 1 d~ 3 barre!>

'/

1.3 Ancrage par courbure des barres tendues

2.3.1 Rayons de courbure minimaux (B.A.E.L. A .6.1,25)

Aciers Façonnage Façonnage des cadres, en barres des crochets étriers, épingles

Ronds lisses y:;;.-,30 r)!:20

Aciers HA ,.~ 5,5 0 r ~ 2 0 en général

2..3.2. Caractéristiques des crochets courants

Types de crochets façonnés

8= 90° v/~' 8 = 120" li

-~~ ~ 1

{7- 1

l~y-1 ~-

lz J 1 /2 ! '2 ..

9= 180°

l

Longueur équivalente l5 de scellement d roit

Angle de 90" Angle de 120° Angle de 1~0"

1 1 baiTe

paquet de 2 barres

Rayon de courbure

Angle de 135°

1.

ls= 1,87 11 + !2 + 2, 19 r Crochet à retour d'équerre

ls = 2,31 /1 +l2 + 3,28r Très utHisé pour poutres

ls = 3,51!1 + 1., + 6,28 r l5 = 2,57 ! 1 - 12 + 3,92 r

Liaîson béton -acier 1 05

-........... .,......._ ........ ._.......,.,....,.~....:---.....-:;;;; ·~.tt\ .

~ JJéterminer la longueur équiva lente de scellement d m il pour une barre tendue d'uni'! poutre intérieure prenant appui sur un poteau de rive.

• Acier HA 20; fe = 500 MPa • enrobage mini: 3 cm • crochet à 120° • longueur 11 = ~ 0 • Section du poteau: 25 cm x 25 cm

Réponse

• Rayon de courbure: 5,5 0 = 11 cm • Longueur l2 :

25 - 3 - 1 - 11 = 1 0 cm

L LI 1 - rayon - 112 diamètre de l'ac ier enrobage

dimen.sion du côté du poteau

• Longueur éguivalt:nte !5

:

1, =2,31 x 16+ 10 +3,28x Ll cm '

ls = 83,04 cm

~~~~;~:::•/~~. ess:~~ ,,o,;;'~ur;r .;:_Réponse l 'ancrage total dune barre HA 16 dune poutre repu- 0 f sant à chaque extrémité sur un voile B.A. • l~ = ~ ~ = 61 ,73 cm .::::: 62 cm

~ • Rayon d:s~ourburc: R , ~ cm

• l2 = 18- [2,5 + 0,8 + 8.81 = 5,9 cm

• l~ = 2,57 lt + 12 + 3,92 r

62 - 5,9 - 3,92 x 8,8 cm

Données

.. ,il • f czR = 30 MPa; f e= 500 MPa

• '\f/5 = 1 ,5; enrobage mini = 2,5 cm • Crochet à 135° -- 2,57

• ÉJ.Htisseur du voile: 1 R cm 8,4 cm, soit 5,2S 0.

Cerce 2.4 Ancraces des cadres, étriers, épingles (B .A .E.L. A .G .L,255)

Un adm t:l que les ancrage des extrémités sont assurés par courbure suivant le rayon mjnimal, si les parties courhes son t prolongées par des pllrties rectilignes de

0 lnnrr. \c.., .... "' e' _ .... ....... ..., >. •vll (;U<-U 1 ::> ~<:llC :S i:l.

- cing diamètres pour un arc de 1 goc:; - dix diamèlres pour un arc de nsu; -quinze. diamèLres pour un arc de 90°.

Condition: l'inclinaison {3 des plans de;; ancrages doil être inférieure à 1T/8 (voir bas de la f igure 5).

Rayons de courhure minimaux: voir le paragraphe 2.3.1 et lt:s fiches d'identification de l'acier utilisé .

106 B.A. Guide de calcul

Ancrage des cadt~!>.

étriers , épingle.;;

"' :1

&1

1 __ ')

Cpingle É.rier Cadre Cadre

Cou di ti uns {3 ;;.; 'iT/8

2 .5 Jonctions par recouvrement (B.A.E.L. A.6.1,2)

1..5. 1 Barres rectilicnes sans crochet

•

Barres tendues

Continuité par simple recouvrement

., '

' !

. :~:lll l llll lllll l ! llllll llll lllll lll ll l l l [Fi~: , . ..

Jll llll llll ll l l l i l lll il! l l l l lll ll:~: 1

1 1

F e E 400 : l r ·= 40 0 F e E 500 : l r = 50 0

ontinuité par couvre-joint . c l 1 1' s r •s v

rl " 1 r F

ll llmllll ll lll l'llll~~~~~~~mlll lll llllll l lll :::r' ·~! fF

E! ~· lr = 2/s l 1

• C outures des jonctions

D ans le cas général , on trou v ~ : des barres arrêtées, -

- des barres continues . [.

av es armatures d~ <.:outures (cadres, étriers ) doivent oir une résistance au moins égale à celle des barres rêtée1' (vo ir exercic~ 6). ar

R elation à respecter: L A1 • f ct ~ I. As · fe

Barres comprimées -----~

• La longueur de recouvrement peut être prise égale à:

1 r = 0,6 l s

Les vak urs forfaitaires deviennent alors pour les aciers à haute adhérence ( '1/!'s = 1,5):

Fe E 400 : l = 24 0 r

Fe E 500 : Zr = 30 0

• Les jonctions peuvent se faire par aboutement de barres au contact en utilisant des «manchons» .

~{~· 8 :,;l Cas d'armatures de poteaux superposés

Armatures àc couture

mn: 1,

L'effort de r.raction F admet pour composantes: • F., ùu.:li née ùe 1T/4 sur l'axe. de la barre ;

• F. de direction verticale.

1.5 • .2. Barres rectilignes avec crochets normaux

• R onds lisses L ongueur de recouvrement : l r = 0,6 ls

v akur forfaitaire dels : l5 =50 0

• A cier HA Fe E 400 ou 500 L ongucur de recouvrement: l r = 0,4 1 s

ale ur forfaitaire de l s: v

,_._____

15 = 40 0 pour acier FeE 400

l8 =50 0 pour acier FeE 500

1,: ~ 20 1 1

fi ~t_ - - - - - -

0,61 s: barres lisses ( r = 3 0)

0,4/ s : barres HA (r= 5,5 0)

Façonnage du crochet <•normal»

liaison béton - acier 1 07

Remarquu: 1. On prend rfig. 11):

. SI C>) 0.6 /s + C } . ~ 0

011 0,41$ - (' 2. Le respect des prescriptions cmu:ernant le cmchet !wn nal

dispense de vérifier la condition de non-écrasement du béton.

3. Leç couture.~ dispn-;ler le long du recouvr~menl doivent

avoir une section au moins égale à la moitié de celte néces­saire pour un scellement droit.

Pour assurer la conrinuité des barres dans une poutre, il est pré vu. une jonction pur simple recouvremen t. Déte rminer:

- la longueur da recouvrement; - lu sec:tion et la disposition des aciers de coutures.

• Nappe inférieure constituée de 4HA1 6 (Fe E 500); A = 8,04 cm2

s • Diamètre des cadres prévus: 6 mm (Fe E 400) • Recouvrement sans crochet de 2 harres

2.5.3 Treillis soudés (B.A.E.L. A.6.2)

( Élévation J)

1 Plan

{ c ~ s 0 -t 0.41 s

Barre!\ HA c > S0 -t 0,4ls + r.

~EJ Recouvrement avec crochets normaux

Réponse

• Longueur l = 50 0 = RO cm ~

~

• Nombre de cadres à répartir sur la longueur ls

Condition :

IA ·f ~ IA ·f 1 et s e

P.. t = K cadres x n :orins x ·1

Section A~ 1 à prendre: 4,02 cm2

4,02 x 500 N = ~ 9 cadres

2 x 0,28 x 400

Les valeurs forfaitaires des recouvrements sont identiques à celles des ancrages de trei ll is soudés lisses (TSL) el à haute adhérence (TSHA): se reporter au paragraphe 2.2.2. Les r~commandations de mise en œuvre sont indiqu~e~ sur les figure.s 12 et 13.

('

1

~ 4cm

~f~==~r::a~~~~~~~;,~~;;;ïe;;~,~~ ;_~)~ ~ 4cm - t-r --5 Î ô: t lj

Recouvrement des fils porteurs Recou~mcnt des fils de répartition

Entraînement des barres isolées ou en paquet cs.A.E.L. A.6. 1J)

Dans un élément fléchi, l' effort de traction des arma~

l urcs tendues varie entre deux sections voisines. dis~ tantes de d .x (fïg. 14). Il en résulte une contrainte d'adhérence 7'~e pour satis­faire la condi tion d ' équilibre sur le tronçon de barre considéré .

108 B.A. Ouide de calcul

Barre tendue

~ 1-l ~•-__:::...._'T_se___:: __ .;;:•~-:;._-...;;•:...._---1_ ~~ ·- ----- · 'Tsc dx

Sz

Schéma de. principe

3.1 Cas d'une seule nappe

Conditions particulières: - barres de meme diamètre; - barres isolées ou en paquets.

La contrainte d'adhérence par entraînemenl d~s arma­tures se détermine par:

1'sc = 0,9 d · I u

où V :effort tranchant à l'étal ultime u d : hauteur utile de la poutre I, u: somme des périmètres uti les des barres ou

des paquets (voir tah lcau ci-après) . N.B. 0,9 d est la ~·aleur forfa itaire du hras dP. levier de Ja poutre.

3.2 Cas de plusieurs nappes (i-ème nappe)

Dans une po ut re fléchie de section constante, la contrainte 'Tse qui s'exerce soit: - sur une barre ou des barres isolées. - sur un paquet (2 ou 3 barres), est prise égale à 1' expression:

Vu A$; 'Tse =

0, 9 d · Ui As

où As;: section de la bane ou d u paquet considéré (i-èrne nappe)

·\ : section totale des armatures tendues u 1 : périmètre ut.iJe minimal t:irconscrit à la sec­

rion droite du paquet (voir tableau ci-après).

Tableau des périmètres utiles

1. Barre isolée : 1T 0

2. Paquet de deux harres : (1r + 2) 0

3. Paquet de trois barres : ( 'TT'+ 3 ) 0 (l )

R;me isolée

3 .3 Valeur limite ultime de la contrainte d'adhérence (symbole r sc. u)

La contrai nte d' adhérence r se doit être inft!rieure à:

7 sc, u = 'P's · f tj N.B. Dans le cas des dalles. voir B.A .E.L. A.6.J,3.

Valeurs de Tse u en MPa (1/l's = 1,5) '

fc28 20 25 30 35

Tse, u 2,70 3.15 3,60 4 ,05

3.4 Entraînement des treillis soudés formés de fils ou barres HA

40 -

4,50

On adopte la même justification qu 'au paragraphe 3.2 compte tenu de la valeur de 1/!

5 figurant dans la fiche d'i dentification du produit.

N. B. Voir B. A.E.L. r'l.6.2.3 et Annexe 2 pnur les valeurs de 1Jis.

0 (2) (3)

Paquets

Liaison béton - acier 1 09

Choisir les armatures en chapeaux· d 'une poutre continue et contrôler la contrainte d 'adhérence par entraînement.

• Acier: Fe E 500

• Béton : f ,28 = 25 MPa • Calcul en flexion s imple

section théorique: A ;::; 4 cm2 . s

effort tranchant : Vu = 0,1 15 MN hauteur utile : d = 40 cm

Réponse

• Choix de 2 HA 16-+ 4,02 cm2

Calcul de la contrainte d'adhérence: 0,1 15

Tse = 0,9 X 0,40 X 0, lOO = 3• 19 MPa

'rse > 'rse, u = 3, 15 MPa

• Choix. Je 3 HA 14-+ 4 ,62 cm2

0,115 ·Tse = 0, 9 X 0,40 X 0, 132 = 2•42 MPa

Cc dernier choix convient pour le diamètre et la section des chapeaux :

Chapeaux (acier tendu; sc.ction A,)

11 0 B.A. Guide de calcul

/ ./ L

JI <'>

\

Poutre continue / \

f-- \ Poteau \

~ \ f-- \

_._uv- \ L- \

\

An11ature rllante sur appui \

\ \

Flg. ~~ Poutre continue t.a·

-< J

Il s''agit des justifications à effectùèi 't)our les puu~res et dalles sous sçl­licita,tiun d'effort tranchant: qu(conceFQent :

1 ;. J~ contraiïlte tangeritê ultime d<i c1saille·(li·~ri t du beton; 2. lè:'s· armatti res transversales de! ï 1 fline (ex: :eactres' étÏ:Ïers); 3. Ieszones d'appuides poÙtres :·: ·

. -:- appui simple d' aboi1t, . · :-: :appui intêrmédiaire. . ', .·· · · .

La sollicitation d 'effort t~ancha~t V~ est toÎijours détërminée à 1 'émt limite ultime{E.L.U.). · .. . . . .La çpmbinaiso.n.dc bas.è· . .dans les .. c~s,courants pour.ca):culer .l/

0·est.: ..

' :·· 1)5 0 + '1,5 Q ·' .

Rema~ques . . . • Oi2 se ~~eporte,-a . égalemen.t w t B.:A:E.L. A.3.J ,2pout r express iony;Jes

combinaisons les plus d,éfavbr'ables~Joiid'ame'ntale's ou acÇidentelles.~ ' ' • Les diverses justijicationsaccotriJÎagnée.\· (t exemples se réfèrent au chapitre 2

. ':Formulaires des, poutres ".pour:.. · ·;: {es notaûqns et coitvention:s; · . " .. .. · :. ~ · - ·.les notions. de calcutd/effort trail·cha1!fct def11ôment de flexion (cf exercices). · .-

Ridle d'appui 1

T : contrainte tangente ultime de cisaillement \ Appui B.A.

Visualisation des etfets produits par l'effo11 tranchant dans une poutre fléchie en béton armé

~g,-,_3 •il Schéma de principe ~~~

Contrainte tancente conventionnelle

Justifications de râme d'une poutre (B.A.E.L. A.5.1)

Notations

Conuaintes de traction

Cadres

\\ ~Fissures à 45° env .

Unités V · valeur de l' effort tranchant dans la section u·

V : Ml\ u b0 : rn

d : m ru : MPa

considérée

(1) b0 : largeur de l' âme

d : hauteur utile.

T : contrainte tangente conventionnelle \1

Effort tranchant : justifications ct dispositions constructives 111

Calcul de la contrainte tanf?ente conventionnelle.

Données •. Poutre de section rectangulaire: 20 cm x 45 cm; d = 41 cm • Portée: 5,80 m • Appuis simples en A et B • Charges uniformément réparties:

- permanentes y compris poids propre: g = 18 500 N/m - d ' exploitation: q= 4600Nim.

Caltul

• Effort lranchanl à l'appui A. (ou B) :

VA= (1,35 G + 1,5 Q) L/2

VA= 92 438 N

• Contrainte tangente conventionnelle: 0,092 438 MN

Tu= 0,20 rn x 0,41 rn= 1. 127 MPa

Contrainte tangente limite ultime

État limite ultime du béton de l'âme d'une section courante (B.A. ru ,_ A.5.1)

La détermination de la contrainte tangente limite ultime Tu dépend des cas rencontrés.

• Cas des armatures transversales droites (a= 'TT/2, fig. 3)

Fissuration peu préj udi<..:iable

Fissuration préjudiciable

ou très préjudiciable

--}--

• Cas des armatures transversales inclinées à 45° --

r: =min (0,20fc; 1 lb; 5MPa) 1 (2)

T: =min (0,15fc; 1 lb; 4MPa) 1 (3)

7u=min(0,27fc/lb; 7MPa) 1 (4)

\\S\SS 1111111 Diverses disposi tions des armatures transversales

Armatures droites

(lY = rri2)

Armatures inclinées

(45" ~ (} ~90")

Calcul de la conirainte tangente limite ultime.

fc 2s (MPa) Cas de fissuration

25 Peu préjudiciable

20 Préjudiciable

40 Peu préjudiciable

42 Très préjudiciable

112 B.A. Guide de calcul

Armatures droites

el barres re ievées à 45"

Valeur de 7u

25 0,20 x D = 3,33 MPa

20 0, 15 x l, 5 = 2 MPa

Tu ~ min (5. 33; 5) = 5 MPa

Tu :-s; min (4,2; 4) = 4 MPa

Armatures tranversales d'une poutre

3.1 Détermination des armatures d'âme (B.A.E.L. A.5. 1, 232)

Notations A

1 : section d' un cours d'armatures transversales .

s1

: espacement entre deux cours successifs de cadres ou d'étriers

f1j: contrainte caraçLéris liyue de traction du bétOn à

j jours, pla fo nnée à 3,3 MPa

Coefficient k:

k = 0 si {

k = l s i [

repr ise de bétonnage

fissuration très préjudiciable

cas de flexion simple, sans reprise de bétonnage ou reprise avec inùen laLion ;>-: 5mm

Fig. 4

Armauues d'âme d~ poutre

u : angle d'incli naison des cadres Vu: effort tranchant à l'état ul time b0 : épaisseur de J' âm:::

Condition

)'~( Tu - 0,3 / 11 .. k) ~

0,9/c (cos a+ sin a)

Espacements ~es armatures transversales dans les cas courants Avec a = '1T 12 (armatures droites)

k = 1 A

1 fixé ( sect.i on des cadres , étriers) :

s, -::.: 0,9A 1 ·fc

)'~ · b'J (Tu - 0,3ftj)

(5)

(o)

3 .1 Règle de Caquot pour la détermination pratique des espacements

Conditions d'application • Ch (l ri?es uniformément réoarties

- ~ .a.

• Section cons tante de poutre • Cas de flexion simple et k = 1.

Démarche à suivre

1 ::> Calcul de l'espacement s1 à l' appui: A

1 étant fixé,

on uti li se la fonnule (6) ci -dessus .

2u Position du premier cours a une distance s.f2 de l'appui.

3c Espacements ~u ivan ts en prenant la suite des valeurs en cm :

7, 8, 9, 10, 11 , 13, 16, 20, 25, 35, 40

Chaque valeur d'espacement es t répétée autant de fois qu'il y a de mètres rlans la demi-portée.

Application Poutre de 6.20 rn de portée et s, = 12,4 cm à l' appui. - '

Espaœments suh·ant Caquot : • Pre mier cours à sJ2- 6 cm • Nombre enti er de mètres dans la demi-portée égal

à trois . • Cbuix des e pacements:

6cm 11 cm x 3 cours 13 cm x 3 cours

16 cm x 3 cours 20 cm x J cours 25 cm x 3 cours

Remarque: lire ci-après(.§ 4) les disposit ions constntr:tives minimales pour les valeu rs de st.

Effort tranchant: justifications et dispositions constructives 113

Calcul de l'espa cement initial près de l'appui pour la poutre de l 'exemple 1.

Données complémentaires

Armatures droi tes (a= 90°) Cadres simples. diamètre 6 mm, acier FeE 215 Béton: fen = 30 MPa

~ Indications ii""'"

Pas de reprise de bétonnage Fissuration peu préjudicia~le

Calcul

,, , • Contrai nte tangente limite ultime: • UtiUsation de la formule (6) : T = 41v1Pa u 0, 9 x 0, 57 x JO- 4 x 215

sL ~ . cm 1, 15 x 0, 20 (1, 127- 0,3 x 2,4) Contrainte caracléristique de trac tion du béton

autorisée: st ~ 11,78 cm; on pre nd s t = 11 cm. f t2ll = 2,4 MPa < fr 28 = 3,3 MPa

• Section At: 2 brins 0 6 mm • Premier cours placé à s/ 2 du nu de 1 'appui .

Position du premier cours placé à 6 cm du nu de l'appui .

Remarque: par le procédé de Caquot, applicable dans ce cas, nn déduit les espacements suivants: '*'

1 lfi 3 x 11 3 x 13 3 x 16 3 x20 3 x25 29 i

_l 1 _l 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 l 1

1261 1 1 1

2901 6 39 78 186 261

wv- 1

-~ 20 ·~

~~~ v

Dispositions constructives minimales

Espacements des cours de cadres ou d•étriers (B.A.E.L A.5 .2) ---.

Diamètre des armatures d'âme, symbole : 01

(B.A.E.L. A. 7 .2, 2) ___.

0 1 : di amètre des barres longitudinales

s. ~ min (0,9 d; 40 cm)

At· fe s ~---

l 0,4 h0

( h b '

~ 1 ~ min )S; 1 ~} ; 0 1 j

(7)

J (8)

(9)

Cvntrbles des dispositions constructives de la poutre P.tudiée dans l'exemple 1. Les espacements des cadres ont été obtenus dans l'exemple 3.

Indications ;!j ë s1 :nnx = 2~ cm (voir figure 5)

fi!' 0,9 d = 36,9 cm '.1 A = (} 57 cm2 jj l '

fl As = 2 HA 16 + 1 HA 12

~~l Diamètres à considérer (fnrmule 9) : ,ii- 0 = 6 mm

' ; < 0

1 min= 12 Illlll

114 B.A. Guide de calcul

Contrôles

• Es pacenœnls s1

max (formule 7) :

s1 ~min (36,9 cm; 40 cm).

stmax = 29 cm convient.

• bpacements maxi à l 'appui (formule 8) : 0,57 x 215

sr~ 0. 4 x 20 "" 15,31 cm

s t = 11 cm convient.

~~ Effort tranchant réduit au voisinage d'un appui Intérêt

Minoration dt.:: l'effort tranchant ultime pour la véri ­fication de la résistance du béton e r des armatures d ' âme (B .A.E. L. A.S . l , 23).

Cet effort peut être éval ué suivant les conditions pres­cri tes ci-contre.

Toutefois ces l:onditions ne s'appliquent pas aux règles concernant les zones tl' appu i vis-à-vis:

- de la bielle d ' about,

- de la section minimale des armatures Jongitudjnales.

On se reportera au paragraphe 6 : "Justifil:ation aux appuis".

Appui d'about Appui intermédiaire

t~~·~~U l.i! ~ d'une charge répartie

Con ditions prescri tes

• Cas de charges situées ent re le nn de l'appui et h/2

Les charges situées entre le nu de l'appui et les sec­lions distantes de h/2 ne sont pas prises en compte ( fig. 6).

• Cas de charges Qi situées entre h/2 et 1,5/t

L'effort tnmchant Vui développé par une charge concentrée Qi peut être réduit dans le rapport 2a 1 3h:

2a Vu réd = V ui ·

3 h

ave<.: a : distance à partir du nu de l'appui du point d'application de Q, (fig. 7)

h: hauteur de poutre.

Cas de charges concentrées

~li11fjj;;l::t:UiJ:f!ftroiR.,I-:r t ëLrJ: ;:: -~, · . .,' '"_ ~- . .; ~ : Calr:ul de l'espacement initial en terumt c:ompte de l'effort tranchant réduit dans le cas d'une charge uni­forme . Ca.ç de la poutre étudiée dans les exemp/e:s préc:édents.

Données

• Hauteu r : h = 45 cm

• Charges uniformes: 1,35 g + 1,5 q = 31 875 N/m

• vu= 92 438 ~

• Section de~ cadres:

2 brins 0 6 mm - 0.57 cm2

• Acier des cadres: f c = 2L5 MPa

Calcul

• Effort tranchant rédu it : vll réd= vt: - ( l ,35 g + 1,5 q) h/2

V11 rt'd = 85 266 N

• Contrainte tangente co nventionnelle:

Vu réd 7',1 = -- = 1,04 MPa ' b0 · d

• Espacement initial : 0,9 x 0,57 x 10 4 x 215

s t ~ 1, 1 .') x 0' 20 (1 : 04 - 0' 3 x 2, 4) = 0' 15

1ll

Remarque: on JlOlera l'écart obzenu pour st suivant l'utilisation de vu (exemple .:3) ou de vu rétJ•

Effort t ranchant: justifications et dispositions constructives 115

6 Justifications aux appuis (B.A.E.L. A.s. -t , :1)

6.1 Appui simple d•about

Notations a : profondeur d'appui f ?0 : résistance caractéris tique du béton en comJ.:m~ssion

c -" à 28 jours d'âge

A 5 : section minimale ùes aciers longitudinaux inférieurs prolongés sur 1 ' appui

'}'5

: 1,15 en général

Conditions prescrites • Profondeur minimale d'appui

2 Vu 0,8fc28 - - ~ (B.A. E. L. A.5. 1,3 1) bn · a 'Yb

ou Vu~ 0,267 ho -a· fc28

soit: 3,75 vu

a~ ---

bo ·fe 28 (10)

La valeur de a est prise au p lus éga le au bras de levier de la poutre évalué à 0,9 d. ·

• Section minimale d'armatures inférieures sur appui

·v A . •S v ~ -

s f e u

• Profundeur d 'appui prise en compte: suivantB.A.E.L. A.5. 1, 313 (fig . 9 et 10).

6.2. Appui intermédiaire

L ·effort tranchant Vu prend la valeur:

V o : à gauche de 1' appui u., v nci : à droite de 1, appui.

L'act ion verticale ùe l 'appui intermédiaire est égale à :

Ru = IVugl + IVudl

( Il )

La valeur du moment de flexion à l'état ultime sur l'appui est Mu.

Remarques (B.A. EL A. 5. 7, 321)

• Le moment Mu, nomwlcmcnt négatifs ur appui avec les conventions ttstœlles de s igne, P.Sf pris en valeur algébrique.

• Pour Vu, il s'agit de la valeur (normalement p ositive) à tlruite de fa ligne d 'appui (vu ir fig. 4).

Conditions prescrites • Profondeur minimale d 'appui

Pour chaque des travét:s adj acentes, il faut vérifier :

Vu:::;:; 0,267 b0 . a. f c28 (id0 à appui simple d ' about)

116 B.A. Guide de calcul

c

v u

Appui simple d'about

.. Darre droite

Barre avec crochd

• Contrainte moyenne de compression sur l'appui • Ru 1, 3 fc 28

O"m!J ·= -- :c;; - - -bo · a 'Yb

ou 1 umb ~ 0,867 fc2R 1 (12)

• St!ction minimale d 'armatures infér ieures sur appui

'Ys ( Mu ") As ?-: - Vu + - -fe \ 0,9 d"

'------

Contrôles des conditions aux. appuis de lu pouzre de I'e.xemple 1, vis-à-vis de l 'effort traflchanl.

Données complémenlaires

Section utile: 20 cm x 41 cm • Aciers principaux inférieurs:

fe = 500 MPa A

3 = 2 HA 20 (sur l'appui )

• Béton: f c28 = 30 MPa • Appuis sur poteau B.A. de. s~<.:tion:

20 cm x 20 cm • Enrobage: 3 cm

Effort tranchant :

vu = 92 438!\

Vuréil = R5 266 N (cf§ 5)

Cas des dalles (B.A.E.L. A.s, 2)

Aucune armatnre d'effort tranchant n' est requise si:

• -ru :c;; 1"11

(valeur 1 imite)

avt:c .,-T-0

-=-0-,-07- f-c2_8_/_')'_b-,

• Pièce bétonnée sans reprise sur toute son épais:s~u r.

N.B. Valeur de Tu faible dans le cas généml.

Contrôle de ·Tu pour dalle sur appuis simples.

• Dalle de portée L = 4,20 m

• Épaisseur 18 cm ; d = 15 cm

• Matériaux: .f czs = 25 MPa f e = 500 MPa

• Charges permanentes: 1 000 N/m2

d'exploitation : 4 000 N/m2

(13)

Contrôles

• Profondeur utile de l 'appui : a= 20 cm- 3 cm - 2 cm= 15 cm

L L L___ H.A.E.L. fig. 9 - enrobage

côté du poteau

• Profondeur minimale (formule 10):

3, 75 x 0, 092 438 MN

0,20 rn x 30 MPa = 0•058

rn

• Sec: tion mi nimale des aciers inférieurs prolongés sur appui:

1, l5 x 0,092 438 x 104

As ;;:;: SOO = 2,13 cm2

On a 2 HA 20---. 6,28 cm2 > 2,13 cm2

(14)

Contrôle

• Valeur de l'effort tranchant: Vu= (1,35 g + 1,5 q) L/2 = 28 192 N

• Con traint~ tangente conventionnelle::

{/

ru = bo ~ d = 0, 188 .MPa . • Contrainte tangente limite:

-ru" = 1, 167 MPa > 0,188 MPa

Effort tranchant: Justifications et dispositions constructives 117

. ~lJl·~~- ~ r Poutre rectangulaire soumise à la sollicitation d•effort tranchant

~1 Données Étapes de l'étude

~ • Section: 20 cm x 60 cm 1 o Calcul de la contrainte tangentP. conventionnelle fn1 • Hauteur utile : 55 cm et contrôle:

• Enrobage: 3 cm • Portée eulœ appuis : 7,00 rn • Appuis: poteaux B.A., St:(;lion 20 cm x 20 cm • Matériaux

béton: f:28 = 25 MPa aciers principaux: fe = 500 MPa aciers transversaux à di sposition:

~~·!.i1 . .fe= 215 MPa et fe = 500 MPa Charge permau~nles y compris poids propre

JQ de la poutre : g = 17 640 N/m il;;l • Charges d'exploitation: q = 8 000 N/m (~i • Cas de fissuration préJ. udiciable itr.l • r:- Aciers principaux tendus : •l st:ction médiane : 5 HA 20 + 1 HA 16 ~~ section ù'.appui: 3 HA 20

~i

T ~ 1 u u

2° D étermination par le culcul des espacements des a rmatures transversales co"stituées par un cadre et un étrier.

Option 1: HA 6 FeE 500 Option 2: 0 8 FeE 215

Prise en compte de l'effort tranchant rédu iz et de5 düpositions constructives minimales.

3° Vérifications à l 'appui ximple d 'about : profondeur minimale d'appu i ;

- ~t:l:lion minimale A . s

1 '1

~- 1 o Calcul de la contrainte tangente conventionnelle

i~~ J , • • Charge par mètre de poutre à I'E.L.U. ,. .

1.35 g + 1,5 q = 23 814 + 12 000 = 35 8 14 N/m

Effort tranchan t V" aux appuis Vu =35814x 3,5 =125349~

vu rée: = 35 814 (3,50 - 0,60/2) = 114 600 .'J

Contrainte tangente conventionnelle Vu réd 0, 114 600

'Tu = - - = _ - 1,04 MPa ho · d 0,20 x 0,:'l5

Contrainte tangente limite ultime Cas de fissuration préjudiciable :

'Tu = min (0, 15 fc2K 1 'Yb; 4 MPa)

T 11 = 2, 5 MPa

T .J < r ~ vérifié.

118 B.A. Guide de calcul

q!m

' 1 1 JJ 1 l 1 l l 1 l JI 1 J 1 1 .J l J H J J 1

20~ ·fJ,x•,,3xl71 ~~~ . 4~', 1 !~7 125

700

v~

~ Vu réd(x=h/2) .,, «" ..

(') t ~ . "" ~· .. '-..... . ~ ~ ' ' • '~ "> -..... 1 ,5 q { 18 * ;~ .. 0 '·,,,_

i l'; ~ •. ~ . .. ·t ;;~.):

3 Schéma de principe : bi::lle de compression

et trt:ction des aciers

(*) Cette vnlcur (pour;;- //2) t:cnt comvt~: .lu diagram mP. envelo~pe

des efforts trnnchant3.

-:,.Fig; U : Pout r~ sur deux appuis !..:.::.~~ ·

~: 2. o Calcul des espatemenls des armatures transversales tL ~ • ., Section d' armatures transversales

~ Option 1, acier Fe E 500 : 1 cadre Tf A 6 + 1 étrier HA 6 - Au = 1,13 cm2 - s0

[i: Option 2, acjer Fe E 21 5 : 1 <.:adre 0 8 + 1 étrier 0 8 - J1 t2 = 2,0 l cm2 -+ s12 ~ . ~ n· . . . . (0 9 d 40 ) A. t . f e ' . 1 à 40 ,;: ISpOS Jtlons conslructives : s{ ::;:; mm , ; cm et St ~ , equ1va ant : s 1 ~ cm rrr. o. 4 bo ~j -• ~ r-t

"

fi ~ ~

•• ~ ~

-

Distance x du nu de l ' appui

(rn)

x = h/2

0 ,50

1,00

1,50

0,114 605

0,1 07 442

0,089 535

Tableau de calcul des espacements (en cm)

v 0,9 A t · fe u 7u = - - s ~

b0 · d 1 1,15 b0 . 'Tu

(\1N) s t l 5t2

fe= 500 MPa f e= 21 5 MPa

1,042 21 , l 16.2

O,Y76 22,6 17,3

0,814 27,2 20 ,)3

0,651 33,9 1 26,0

Choix des s12

(fig . 11 )

16 x 3

17 x 3 20 x 3

25 x 2

-

f= 0,071 62H

0,053 721 -

~ ' • ~ ~ ~ ';: ffi%

ra iD

fi 1 ~

~ r

~

2,00

2,50 3,00

0,015 814

0,017 907

0,448

0,326

0,163

3° Vérifications à l'appui simple d'about

• Profondeur minima le d ' appui

La limitat ion de la contrainte de compression dans la bielle d 'appui implique la condition:

3,75 Vu u ;>- (formule 10'1

ho · f c 28 ,

3. 75 x 0, 125 349 a ~ 0, 20 x 25 = 0, 094 rn

C~;tte c.:ondition est satisfaite:

a = 1 5 cm > 9 4 cm

40 37,8 25 x 2

40 1

40 27 x 2

40 L 40 29 x 1

• Section minimale des aciers tendus prolon­gés sur appui

1, 15 Vu ;1 :;: f, formu le I l)

s fe Va leur de la section minimale :

1. 15 x 0, 125 349 x 104 2 As ?..::

500 = 2,88 cm

Cette condition est satisfaite:

3 HA 20 - !\ = 9,42 crn2 > 2 88 cm2 s

Effort tranchant : Just ifications et dispositions constructives 119

Ce chapitre a pour but de familiariser I:étudiant à l:'.ét1.1de globale d 'un e.nsemhk d' éléments d ' une structure porte!,lse clas~ique. . , , , II conceriù~ le catcut d ·ouvrages étél~éntaire.~: · s~ll?-eù~·s·.: i;oiea~x . poutres et planchers. L: applü.:ation proposée est un: bâtiment courant dont les planchers supportent une charge d'exploifalion moqérée . .

· • 11 s'i:gitd'e.xploiter les conrui;issances acqo.i~e$ dàtts Ïes cha~it~ès ·pré- ~ céden~s· pour: · - le calcul de~· sollicitations ( effori normal, mdm ent de flexion,

.. effontr.a.nchant.,ctc. ); : . . ; .. ~. . · .. :;;.. ·. · -la détf!nnination ·des sections d'armatures sousTcffetües solli- · citations de calcul (Nu~ Mser• Mu , V) ; -les dispositions construptive s . rfglementair~s et justifications

·diverses vis-à-vis des secti(}ns béton'âci~r, l e~ :zo.n~s d ~·appui, etc.

• L a première partie du chapi tre fa.it i ' objet de l'étude classique. "sçmelles-poteaux- poutres rectangulaires ou ep Té." ·

• La seconde partie trai te du: calcul d~~ ~4fl'll<:s: sh,J\ a~p~is çô;nünos: - 1er CâS: panneaux longs u,niformémènt chargés ;· - z:: cas ':' panneaux dont le rappurl des portées ~st tel que: :

. . lx " , . 0;4. :s:; - ,:s; ;l . : . ly

, , Etude demandee

Le bâtiment à 6tudier est représenté schématiquement sur le plan de cof­frage de la fi gure 1, complété par une coupe v~rlicale de principe au voi­sinage du poteau P 2 .

• ~

0 tn

' , , ' ' /

' 1

' , g ' / ® 00 1 IDJ x

~~ g J.. 0

N , ' '<@»' ,' @>, ',

' ' (G) ' ' '

J.J2o 670 0

f20 20x50

P3~,bo .,., 670

~ig. i li:;-.... Plan de coffrage, plancher haut du rez de-chaussée

120 B.A. Guide de calcul

Coupe de principe au voisinagl': de P2

1.1 Éléments de construction à justifier

On demande de calculer les éléments de construction mentionnés ci-après:

• Poutre L 1 • Poutre L2 • Poteau P2 • Semelle S2 • Dalles f-g

(20 x 55) (20 x 60) (20 x 50)

sil u6e en rive, à sec tion rectangulaire intérieure , à section en Té situé en rive

fondation à section rectangulaire sous P 2

• Hourdis TJ 1-D2

(2,40 x 6,70) en continuité, portant d ans un seul sens (6,70 x 7,00 ) en continuité sur L2 , portant dans deux sens

1.2 Données complémentaires

Objet Thème d'application

permanentes • Poids spécifique des éléments B .A. • Planch~:rs typt: dalle pleine reposant sur murs,

poutres et poteaux , coulés en place sans reprise ùe

Actions bétonnage Épaisseur : pour D 1 et D2

pmu f , g, h , i • Façades en éléments légers préfabr iqués

variables • Charges d'exploitation: niveau cou rant terrasse

héton • Résistance spécifiée en compression à 28 j ours

Matériaux aciers Type I 11 = 1 ,n ; 'f's = 1 ,5 (HA ) 17=1 , tfls = l (lisse)

• Éléments intérieurs (lels 4ue ùalles el poulre L2)

Fi ssuration • Éléments an contact avec l'extérieur (poutre L 1 et semelle S2 en particulier)

Poteau P2 • N 'assure aucun comreventement • Mise en charge après 90 jours

-Sol • Contrainte limite de compression E.L.S .: a s

Données

2 500 daN/m3

20 cm

16 cm 120 daN/rn

350 daN/m2

100 daN/m2

25 :\1Pa

FeE 500 HA FeE 235

Peu préjudiciable

Préjudiciable

Compression centrée

1,5MPa

Valeurs caractéristiques et valeurs de calcul des matériaux

2.1 Contraintes limites sous sollicitations normales de flexion

Valeurs CMPa) Matériaux E.L.S. (Mpa) E.L.U.R. ( lVlPa)

caractéristiques y

Compression f c2~ 25

Traction Réton I'Tbc = n, () fc2 8 15 !tou = O, 85 fc28 14,17 1,5

!128 = 0,6 + 0,06 fc28 2. L 'Yu

-'? ) r

Limite élastlqu e fe 500 Acier -

* = inf ( j f e ; 1l 0 J TJ ft.i 201 ,63 fsu • c

1,15 O'st = - 434,8 ' / 'Ys

*en fissuration préjudiciable.

Micro-projet Bâtiment 121

2..2 Contraintes limites sous solli~:itations tangentes dues à Vu

Justification

Cisa illement de l'âme

Adhérence

Application Contrainte limite

Fissuration peu préjudiciable '~u = infla.2 1c;28 ~sMPa) \. "Yb

r---------------------+-----

Fissuratio n préjudiciable 'Tu = inf (o, 15 1;:g; 4 MPa)

Ancrage

1 Entrainement

: Première partie:. ptutr·es, poc:eau1_, semelle Calcul des éléments porteurs

3.1 Étude de la poutre de rive L1

• Situation: rive, fissuration préjudiciable, calcul à 1' E.L.S. a priori .

• Sec ti on: 20 x 55; la situation impose 1e calcul en sec-tion rectangulaire.

• Distance entre mur d ' appui s: 7,00 m (poutre ISO). • Longueur J 'appui: 50 cm. • La figure 3 met en éviclence des charges dt: lype:

- uniformes réparties, - tri an gul 1li res .

• Le triangle supérieur es t pris en compte par simplifi­cation et sécurité.

3.1.1 Cah:ul des sollicitations

J J 50 r r"

700

Poutre de rive L 1

~ ~

/

On uti lise les conventions suivantes: Type R , charge uniforme g, A1c = gl2 !8 ; V(O ) = gl/2

T ype T, charge triangul ain::. g, .i\-t c = g["l-/ 12; V(O ) = gl/4

(MPa)

3,33

2,5

-2,835

3,15

~: .. ,]

Actions Origine Type Intensité (daN/rn ) M r.cntré (daNm) Vappuï (da;.J") --------~----------------~--

Dalle R g 1 =0,2x0,3x2SOO = 150 918,75 525

---------+------------~-------T g2 = 0,2 x 3 .5 x 2 500 = 1 750 7 145 ,83 3 062,5

permanentes 1-----------

(1 Poutre R g1 = 0,2 x 0,55 x 2 500 = 275 1 684,4 962.5

Façade R R.1 = 120 735 420 ------------~~--~ -----------------r----~--~---+----~

Total Mc = 10484 Vc = 4970 ·--------------------~--~----------------------~ --~ , Charges d'exploita- R q81 = 0,3 x 350- 105

variables 1 ti on ~ur dalle qB t---T--t--=o.:..---------------­q 82 = 1,.s x 3c;o = t 22s

643,13 367,5 ------------~-----

5002,08 2 143,8 Q

Total M Q = 5 645 ,2 VQ = 2 511,3

M ser = 16 129,2

M11

= 22 621 ,2 · V,_= JO 476,'i

Total E.L.S.:

E.L.U.R.:

G+Q

1,35G + 1,5 Q ('JI= 1 ,402)

122 B.A. Guide de calcul

3.1.2 Armature longitudinale à mi-portée (calcul E.L.S.) N.H. Les calculs s'effectuent à l'l!..L.S. r. tu· ln.fissuralion t'.~· t. préjudiciable.

Méthode par tableau (cf. chap. 12. § 8.2)

Mser = 0,161 2Y2 M'lm

ast = crs, = 20 1 ,63 MPa a priori d = 50 cm, f.Ls = 0,015 99

f.Ls < ILslim = 0,016 2 (Annexe 3)

Lecture tableau (Annexe 5)

K fLt, al

0,016 13,55 0,216 7 0,525

O'st 14,9 MPa a bc = = K

Contrainte béton:

A, = pb d = 19,4 cm2

Choix initial de 4

f3:. lOOp

0,824 8 1,940

Contrô le 0l = 8 mm; 0 1. = 25 mm ; c = 3 cm d réel = 48,7 cm< 50 cm initial

Consé quence

bles Solutions possi

• Solu

• Solu

Complément au

tion 1: sans aciers comprimés

Modalités a tx; = at:c = 15 MPa

Hon 2: avec aciers comprimés

Modalités a bc = abc - 15 MPa

u = a = 201 63 MPa st st '

chapitre 12 Choix. de la sol uti on 1 (A' s = 0 et u bc = O'bc)

Méthode tableau

Calcul par ordinateur

Détermination de A5

t ELS t INITIATION SECi .RECTANGULAIRE * ~ Section (cm) l argeur b :7 20

H.utile d :'?50 t Materiau~

lM?a) 8eton Fc28:? 25 ~Cier Fe :? 500

l Fissuration Eta :? 1.6 I NP;O,P=l, T~=2l:? 1

~Moment agisst . (MNml Mser:? 0. 161292 * Mo~ent resist .beton Ml = .163 M~m

t Ar~ture; -aporacbee A s= 19.41 cm2 -calc:ulee As= 19.4 cm2

Detail des calculs tA' s~ C> Mu5 • .016 Alpha1~ .5255 Mub • .2167 Beta1 • .8249 K ., 13.55 Rho Y.= 1.9396 Hauteur(cml Contrainte(HPa>Lioi te Y1 • 26. 27 14.89 Betcn 15 Z1 = 41.24 201.63 At:ier 201.63

Vérification finale

t E.L.S.t SECTIONS B.A. RECTANGULA[RêS

t Section !cm) Largeur b :? 20 H.utile d :? 48.7

* Materiaux IMPa) Beton Fc28:? 25

Acier Fe :? 500 t Fissurat ion Eta :? 1.6

(PN=O,P=1,TP=2l:? 1

: Calcul=1 V;;if=2 Rün=3 fin=4 Chüix:1

'i 11oment agisst.(MNmi Hser:? 0.161292

t Aci;!f's tendus (cm2) A s:? 22.71 coopri rres A's:? 0

J Contraintes calcul t l i ~ite (MPa) Sbc 15 15

* yl= 27. 12 cm Sst 179.07 · 20l.63

M ser J.Lb =

h d2 CTb-= 0, 226 7 f l( - 11, 94

l/31 :0,8144 p % = 2, 33

~As = pbd = 22,7cm2

d = 48,7 cm Choix final: 4 HA 25 + 2 HA 14 (22, ï l cm2)

·d inateur présenté à I' E.L.S. justifie ce choix. A l'E.L.U.R., M = 0,266 MNm Le contrôle par or - u

Micro-projet Bâtiment 123

3 .1.3 Plan d'armatures Le plan d' armatures est tracé en D.A.O. (fig . 4) à partir du logiciel SIFRA.

( 1 PI EC~ / 20 X 55 ECHELLE .030 EC,ELLE .050

EÀ'ROB~GE INFERIEUR 03 E~ROB~GE LATERAL • .03

r----.:.2...:Hc;.::A::_::6...:X:.:.....:7:...;·..:::5.::.0 _ _ ____ 1.....:r l-==--.::.o3=-· ~~ 7 .ts 2 t-'A 14 X 2 . 04

2 HA 14 X 2.04 1 1 ~ IG

1.aa 1. 811

f ["i'Q!l 4 HA 1 0 X 7 . 94

1

~~~~~~~~~~~~~~~~! l 2 HA 14 X 3 . 76 li0al1.&1 ~

124

2 HA 25_X 4 . 4 7 O"§fl 1.26 ~

2 HA 25 X 7 . 94 fi06l 47 7.47

10 I l ~ z:

~ x zo

50

' " 2 HA 14

2 HA 25

DR . 3·:l C.l.D o.e li x

10

7.00

x 1 . 4E 2!5

NUMERO

101

102

103

104

105

106

107

106

109

Analyse et décodaae

LOGICIEL • SIFRA 3~20 O:YBENS

Plan d'armatures de la poutre de 1 ive T .1

B.A. Guide de calcul

• Armatures principales tendues 1er lit: 2 liA 25 ; L = 794 Cl li

Longueur sur l'appui 47 cm 2c Iii : 2 HA 25 ; L = 44 7 cm

placés à panir de 126 cm du nu de l'appui gauche

3: lit: 2 HA 14 ; t = 176cm placés à partir de 16l cm du nu de l'appui gauche

• Chapeaux d 'extrémités 2 HA 14 ; L = 204 cm

• Aciers de moot.ag~-assemblage

2 HA 6 ; L= 750 cm • Armatures transversales

30 cadres droits (a= !>0°) en 0 8 Fe E 235; L = 146 cm

• Aciers de pt'.au 4 liA 10; L= 794 t:rn

Épis transversaux en HA 6 ; L = 26 cm 30 épis espacés de 50 cm

0

~ x t o

50

DES }GNATI ON

Z HA 14 X 2.04

2 HA 14 X 2 .04

2 HA 6 X 7 . 50

4 HA 10 X 7 .94

30 EP I HA 6 x .26

2 HA 25 X 7 . 94

Z HA ZS X 4 . 47

Z HA 14 X 3 . 76

30 CAO OX 8 x 1. 46

:::;

3.1.4 Justification des armatures à t•appui (c.f chap. 15 )

Armatures loo gitucllnales

\'u = 0,104 765 MN. vu Minimum requis pour les aciers longitudinaux: A >- -s - j'

su

As min= 2,41 cm2. On retient 2 HA 25 filant soit 9,82 cm2.

Armatures transversales (cf. fig. 2)

• Contrainte tangente convent ionnelle de l'âme:

v 'Tu = ~d = 1, 048 MPa < 2,5 MPa, vérifié.

b(l

On peut doue disposer des armatures droites . 1'\ous choisissons l cadre 0 8 (2 hrins), At = 1.01 cm2

• Dispositions constructives minimales réglementaires:

(h b0 ) (' 550 200 J

0 t = 8 mm ~ inf 35

; 10

; 0L = inf 35

; 10 ; 25 =

s1 :os; inf (0, 9 d; 40 cm) = 40 cm ~ ~ 1\. 1 /e _ l , Olx235 _ soits,~29cm

st -- -0 4 20

- 29,7 cm 0, 4 b ' x

• Espacement calculé à l'appui :

0,9 A1 /e s

1 :S = 22,2 cm (avec K = 1)

1. 15 b ( 7'11 - 0, 3 k ft j )

On choisit un espacement de 20 cm à l 'appui.

15,7 mm

Calcul par ordinateur (cf. chap. 15.)

S POUTRE B.A. • EFFORT ·T~~HANT * ELU*

t ~ateriauM (MPM> Brtcn Fcj:? .25 Acier · Fe 1'? 2~5

* Fiii~~ition (PN~,P=i,TP.=2l :? 1 *Reprises de betonnage (0/11 :1·0 t Section 1-Rect. 2=Tê (1/2)1? 1 * Ame (cr~) Largeur b- :? 20

H.uttle· d ~7 50 t Eftort Tranchant (~~) · Vut? .0.104765

1 Tu ti".Pal

Tu45 4.50

Tu90 Tu 1 VerH 2.50 1.05 Tu90

t Cadres a qoo At/St= 4.54 cm2/o Section <cn2> At:? 1.01

• Ecart. Maxi 29.7 co St = 22.2 cm t Appui Kcment !h~l MuA:? 0

a> 7.9 en As> 5.1Z tm2

Remarque: lu règle d' espacenu>.nt de Caquot ne peut être utilisée qu'avec des charxes uniformém,ent répar·ties. Les espa·

aments intermé.diairP.S dnivent être calculés avec Vu (x) en respectant s1 .::;- 29 c,nL

3.1.5 Justification de la bielle d'appui et ete l'ancrage • La compression dans la bielle impost:: une longueur d 'appui:

3, 75 vu amin ~ b ç , = 7, 9 cm (Urée! > amiL)

0 J Cj

• Ancrage des barres HA 25 traversant l'appui : 0 .

l5

= -4

· J c = 1 LO, 23 cm , donc néœssité d'un ancrage par crochet. 'Tsu

Un crochet "nonnar' nécessite une longueur la= 0,4 xl,= 44,1 cm. Cc type d'ancrage convient car la longueur d'appui de 50 cm est

suffisante.

3.1.6 Condition de non·fra1ilité f ' 'J l

As min= 0,23 bd;~ = 0,23x20x50 x ~~O = 0, 97 cm2

, toujours vérifié.

Micro-projet Bâtiment 125

3.2. Étude de la poutre intérieure L2

Situation: - poutre intérieure, isostatique appuyée à ses extrémités; plancher à 2 travées en continuité prenant appui inter­méd ia ire sur L 2 ;

- évaluation des charges majorée forfai tairement par coef­ficient 1,15 (B.A.E. L. B .6.2).

3.2.1 Calcul des sollicitations Les calculs s'effe<.:luenl à l'E.L.U.R. car la fissuration est peu préju­diciable. La répartition des chargement~ ( d. fig. l ) induit les effets suivants :

Actions Origine Mau centre (da.~m) V appui (daN)

pe-rmanentes G Dalle+ poutre 17 967 8 225 variables Q Exploitation q

6 11 719,3 5 267,5

Sollicitations de ë.L.S. M sel = 34 139 calcul (majora-

E.L.U.R. Mu = 48 llO 'Y= 1,409

vu= 21 856 tion 1,15)

3.2..2. Largeur b de la table de compression On <.:huisil d = 54 cm et b = 45 cm. Le moment que peut équilibrer la table

seule est M btu = b h0 (d - ~)!bu = 56 113 daNM > Mu

Ce résulta t ind ique que seule la table est comprimée et que le calcu l s'effectue en section rectangulaire.

3.2.3 Armature longitudinale à mi .. portée • Calcul par ordinateu r • Déterminaliun E.L.U.R.

'Y 11-bu 1 11-critiquc

1,41 0,249 4 < 0,273 9 1

Chojx d'armatures: 5 HA 25 soit 24,54 cm2

• V~rification E.L.S.

l.1..4 Armatures à l'appui

vu "' • As~- = 5,03cm~

fsu On retient 2 HA 25 filants.

• At = 1, 01 cm2 ( 1 cadre 0 8)

b0 d 2, 02 < 3.13 MPa

• s t ;:::;; 29 t::.m } . . • ffi llll 0t = R mm < h 1 35

126 B.A. Guide de calcul

Calcul par ordinateur

Détermination t Vérification ---7

* E.L.U.R. * SECTIONS B.A. SN lE t

* Section Ital largeur b 1 '? 45 H.utile d :? 54 tlervure bO: ? 20 H.table hO:? 20

l lfrat!!'iaw: lKPa) Beton Fc28:? 25

Acier Fe :? 500

i Calcul::l VEYif=2 Chgt=3 Fin•4 choix: 1

i Mon~,t agisst.(NN3l Nu :? 0.4811 i l'lo~ent agisst. (l"flml liser:? 0.34139

Sanma• 1. 409 t Manent resist.table Mbtu= .561 MWn t Mom;nt limi te Ml = .b19 MNn t Calcul en se::tion rectangulaire

t Armature t;ndue As= 24. 18 cm2 * Minimum (N. fragilitel As> 1.25 cn2

45

{ . ' ----,

' 1 1 ' 1 ' ' ' ' '

'V \1)

-J 20 J

Section de la poutre Lz.

* E.L.S. i SECTIONS B. A. EN TE

* Section (cal Largeur b :? 45 H.utile d :? 54 Nervure bO: 1 20 H.table hO:? 20

t Materiaux lMPa> Beton Fc2B:? 25

Acier Fe :? 500 * Fissuration Eta :? 1.6

(?t-FO,P-t,iMl:? ô

& Calculai Verif=2 Chgt=3 Fin=4 chcdx:2

'Honent agisst.!MNml Mser:? 0.34139

* Aciers tendus (cm2) A s:1 24.54 comprimes A•s:? 0

* Contraintes· ELS calcul t li !!lite !MPa> Sbc 14 •. 47. 15

yl= 22.71 cm Sst.298.95 * . ELUR (MN~l

yu= 20.'12 cm Mru= .4869

• Espacement calculé:

0,9Atfc sr ~ , = 6, 7 cm (avec f~. = 235 MPa et K = 1).

l, 15 b (Tu - Û, 3 k f t} )

On choisit un espacement de 6,5 cm à l'appui. L'espacement des cadres à mi-portée est de 25 cm.

3.2.5 Autres justifications Mêmes conclusions qu'aux paragraphes 3.1 .4 à 3 .1.6.

3.3 Étude du poteau P2

• Situation: pot~au de ri v~ d ·un bâ.timent contre venté par des pans verticaux, compression supposée centrée. • Justification: calcul du tronçon inférieur le plus sollicité, encastré sur la semelle S2.

3.3.1 Calcul des sollicitations Le tableau qui suit indique les charges transmises à P 2 au niveau haut de chaque plancher.

•

Niveau ne Charges permanentes

• Dalle-terrasse (6,90 x 4,00 = 27,6 m2)

0 ,2 x 27,6 x 2 500

,.., ,4,

• Retombées de poutre/\

L2 : 0,4 x 0,2 x 3,50 x 2 500

L3, L11 : 0,3 x 0,2 x 6,70 x 2 500

• Façades 6,70 x 120

• Poteau 0,2 x O,S x 2 ,RO x 2 'lOO

1 idem

0 iùe.rn sauf pol~au (H = 3,40rn)

- 01., ' MaJorat10n de b ,o (poteau llltermed1aue), soit Nu= 1,15 x 102 209 = 117 540 da_'J

• Longueur de flambement:

G (daN)

13 800

700 1 005

804

700 G2= 17 009

Gl= 17 009

Gu = 17 159

le= 0,7 l0 = 2,38 m (poteau ancré sur fondation)

, .- Zr • Elancement : A = 2 ..; 3 - = 41, 22 < 50

a

Charges d'exploitation Nu= 1,35 G + 1,5 QB Q8 (daN) (dai\)

Terra!:> se

non accessible

(qn = 100 daN/m2)

Q2 = 2 760 27 102,15

(q13 = 350 daN/m2)

Q1 = 9 660 37 452,1 5

Q0 = 9 660 37 654,65

Total 102 209 daN

Calcul par ordinateur

t ~OTEAUX ΠBATlMENTS * Art.B.8.4 i

i Materiaux Fc28 tf1Pal: '? 25 Fe tMPa)t ? 500

• Le poteau P2 peut être justifié par la méthode forfaitaire (A < 70, t Flambement Lf ( m ): ? 2.38 compression "centrée").

3.3.2. Cal.:ul des armatures (méthode forfaitaire B.R.4)

• Les résultats sont fournis par la sortie informatique ci-comre. • Choix des barres

longitudinales: 6 HA 12, soit 6.79 cm2

transversales : 0 t = 6 mm (> 0 L/3)

st = 18 cm (15 0L) soit : 1 cadre + 1 épingle 06

Section du poteau Cadres H6 + épingles HA 6

* Section 1.Rectangle . 2.Cercle · 1/2 ? 1

~ Rectangle a<b a (cm){ ? 20 b (cmh ? 50

t Charge ultime tlu ! MN>: ? 1.1754 > l'tt/.2 a J (jour l: ? 90

; Armatures As .mini = 5.6 cra2

t Detai ls Lambda ;: 41.22 Alpha =.ôéS

S ;: lOOO cm2 Br = 864 c:m2 A theor = 3.83 CIB2

U ::: l.4 m A ( 4u> ;: 5.6 cm2 A L 2'l.) ::: 2 crt2

Micro-projet Bâtiment 127

3 .4 Étude de la semelle 52

• Situation: - supporte les charges transmises par le poteau P 2

axia-lemen t;

- fissuration préjudiciahle. • Justification: calcu l ~n semelle isolée rig ide à ~ection rectangu­

laire et homothétique.

3.4.1 Calcul des sollicitations • Dimc ntionnement effeclu~ à l'E.L.S. en prenant les charges G et Q

majorées de 15 % au-dessus du niveau de S2

, soi t:

Gmai =51 Li? x 1,15 = SX R53,55 daN} N = (G + Q) = 84 245,22 daN

Q . = 22 080 X 115 = 2.'i 392 daN · ser . m; · ~ .

• Détermination des armatures à l'E.L.U.R.:

.V:1 = (1 ,35 G + 1,5 Q)maj = 117 540 daN

3.4.2. Dimensionnement et contrôle de la contrainte au sol

• Section minimale: Nw 0,84 245 ?

Smin = a; = l , S = O,s~-

• Coefficient d'homothétie: A = mm = 2, 37, ~S .

~oit A~ Aa = 47,4 cm ab B ::::: Ab= J l R,5 cm

Nous <.:hoisissons (fig.ï): A= 50 cm ct l:J = 1 15 cm (S = 0,5 x 1,15 = 0,575 m2 > S:nin)

• Condi tion de rigidité imposant la hauteur:

(B - b A - a) 1 1 5 - 50

h > s up -4-; -

4- + 5 cm =

4 + 5 =

Nous choisissons h = 25 cm.

• Contrôle de la contrainte normale a~

21, 25 cm

Poids propre S2: 0,25 x 0,50 x 1, 15 x 2 500 = 359,4 daN

Nse1 = 84 245,2 + 359,4 = 84 605 ùaN

N scr 0, 84 605 _ _ u~ = ~ = O,S x 1, lS = 1,411 MPa < 1,:> MPa

3 .4.3 Armatures longitudinales suivant la méthode des bielles (calcul à l'E. L.U.R.)

Nous choisissonsd1 = d2 = h- 5 = 20 cm • Sens x (parallèlement au petit côté)

Nu (A - a) 2 A - ' = 10, 98 Clll

x - H d fsu • Sens y

NIJ (J:J- h) A .v = = 5, 07 cm

2

8 dfsu

• Maj oration de 10 % en fissuratio n préjudiciabl e (article 2.34 d u D.T.U.l3. 12),soit: A.-r = l ,l Ox l0,98= 12,08cm2

·\. = 1, 10 X 5,07 = 5,58 cm 2

128 B.A. Guide de calcul

'.Fig.?. Dimensions de la semt:lle

Calcul par ordinateur (*)

* SEMELLES DE FONDAilONS ~ DTU 13.12

~ llrroatur~

*Sol Fe IKP~l1 ~ 500 Sigs <If> al : ? 1. S

1. Ii0l92 S Seœlle

rr~roncJi 2.Continue <112!: ? 1 eur A et B (cm)J ? 5

a <crnlJ ? 20 b (t:m)l ? 50

~ · Charg~ centrees • permr:v~entes S <MN>: ? 0,58853:i5 - v;riüblss Q (~): ? 0.25392

t Pradi~gnsiannenent A 8 H - Hinimun (CBl 47,5 118.7 22.2 - Arrondi 5 5() 115 25

' Contr~inte sol Sigma= 1,471 MP3 * Appt•uu .Az 11 a B Ay .. 10.98 c:1112 (a~IHklll Il a A Ax e 5,1)7 r;a2

(*) prédimensionnement automatique en fonc­

tion de a. b et~~.

·· ... · Se·e:Aa.d:e pa~~ .. t~e .. d·a· Iles-; · ?•• ' c •~;., ,, ,.: .. ,•,,; --~ Cf tA 1. '.:·· •.• ' ' 0

Calcul des panneaux de dalles rectangulaires sous chargement modéré uniforme

11 s'agit de panneaux reposant sur ùes appuis continus et supportant un chargement uniformément réparti sur leur surface . Ils sontjustifiés essentiellement à la flex ion.

Notations

Géométrie

~1 Il Portées entre murs d 'appuis :

-!f (@) lx : petite portée } l ~ l lv'-' !y : grande portée x )'

Il ~ h : épaissenr (faib le devant lx et l)

Moments .~f~ 1 ---- ..--· A10 : moment .isoslatiyue évalué au centre (dalle simplement appuyée)

Mw.- . ..-· ..-1--- j --" ' " A11 : moment en travée

) ~l moments tenant compte des continuités

.' cl A1w: murnt:mt sur appui de gauche et du sens x ou y

A1e : momen t sur appui de droite ~ ·= c .,

M "' ',r: / 8 r lx

Méthodes utilisées sui varit le rapport l,J lJ

Appuis Méthodes de calcul lJ /)' R.A.R. I .. -

continus sur Mo Mt , Mw,Me

2 côtés A8 .2 Panneaux longs ! :\1éthode forfai taire 1 et uniformément chargés (annexe El)

l/ly < 0,4 Annexe El (calcul dans le sens porteur /x) si Q'B < inf(2G; 5 000 N/m1) 4 côtés

0,4 :$ l 11 :s; 1 Annexe E3 Panneaux de hourdis rectangulai Procédés de calcul approché res caJculés daitS lës sens lx et ly A.8.2, 32 · )( )' .

4.1 Panneaux de dalles portant dans un seul sens (l_/ l> < 0,4 )

4.1.1 Application de la méthode forfaitaire ( B.A.E.L. annexe El )

I\otations

portée entre nus d'appuis

b = l m su ivant ly Qs

a = G + QB

MiJx: moment iso au milieu de lx

Conditions d'application

• Calcul dans le sens lx un iquement pour une bande de largeur unitaire sur !

1

• Fissuration peu préjudiciable

• Rapport des portées successives compris enlre 0,8 et 1,25 ~::zz=;;:==:::;;lr"' "',, //

Ma : moment sur appuis • Inerties des lravées identiques /"'/h(' ~----------------------~

M. : murnent en travée

RemarqfJ.es: lous les momenrs sont pris / - - ----"---:::><'-en valeur absolue.

Micro-projet Bâtiment 129

4.1.2 Évaluation des moments Mw . Me ct M1

On choisit les momen ts Mw et Me en fom: Li on de .~10 , puis on détermine les moments M1 qui respe<.:tenr les

inégalilés suivantes :

1 Travée

Appuis

M::~ -- ~

M o

Travée de rive

Travée in ter. 1

Li

j< ~ @

2 travées

0,6 x

M -w + Me Mt +

2 :::::: s up (1 - 0, 3 a~ L 05) M 0

6 1

" L.>.

lf 1. 2 + 0, 3 a ")

Mt?- 2 Mo /

(1 + 0, 3 a'

Mt~ - 2- - J ,\.1 o ' /

3 travées 1 4 Lra vt:es et plus

-

Remarques: de part et rl'outrf! de chaque appui intermédiaire. on retient /.a plus grande des valeurs absolues des moments évaluP.s à gauche (Mw) el à droite (Me) de l'appui considéré.

4.1.3 Calcul des armatures • Calcul en fl ex ion s~ns l : .A x x • Armatures forfaitai ressens /Y: A.y =A,/4

4 . .1 Autres prescriptions réglementaires concernant les dalles T.es principaks indications son t résumées dans le tahleau ui vant :

Armatures principales

Pourcentages minimaux

(B.7.4)

nonne construction

A rrft de barres (E.l.3)

Armatures transversales

( A.5.2, 2 )

Ca lcul de A et A en tl ex ion (diamètre ma xi 0 = h 1 10) x y . --------------~

Sen5 y

Sens x

A J l , 2 %o : FeE 215, Fe E 235lisses Po = - l0,8 %f} : FeE 400, TS lisses 0 > 6 mm

b 11 0,6 %o : Fe E 500, TS liss es 0 ~ 6 mm

Écarlement sens x inf (3 h; 33 cm) maxi entre barres sens y inf ( 4 h ; 45 cm)

;;!: { sup (11; /3 ) ~ ~ sup (/2; l3 )

:,;. -k sup_(_l1_; '_':< ) ;;;- ~sup(/ 1 : l2 ) [ j r--if ' f f /i' f

lr(~=---~~~--=-------------~--J~

{ 1 LI -~ ~ l~ Il ~fo s,iO 1 -.;; ïÔ ! 1 -

-1- +

Au cu ne n'est requise si 'Tu < 'Tu

~ - _ fe ; 'i'u = , lu = 0,0 / --·

bd 'Yb b : largcurun ité (l m)

~~ t ,l ~ /2 l 13

4

Vu maxi au milieu de l>, r Pu . [x . { y

Vu = - ,.,-- - -'­""l'( + 1:;

u~ IJisposition correcte

pu: chargement surfacique (E.l ,.U.R.)

130 B.A. Guide de calcul

4.3 Applications: calcul des panneaux de dalles f- g

4.3.1 Situation

Méthode de calcul Situation

• Fissuration peu préjudiciable

.Méthode de calcul

• Calcul E.L.L.R. N. B. On se reportera à la fig ure 1.

• Travées de mêmes portées (1 = 2,40 m )

• Rapport des côtés: 2,40

lx fly= 6,?0 = 0,358 < 0, 4

• Actions: G = 0 ,16 x 2 500 = 400 daN/m2

Q = QB = 350 daN/m 2

donc QB < inf (2G; 500 daN/m2)

• Calcul dans le sens lx uniquernenL

• Application de l a méthode forfaitai r~ de l'annexe E 1

•.

4.3.2. Moments agissants (par bande ùe largeur unitaire)

Indications Valeur des actions et sollicitations

• Largeur de bande g = 0,16 x 2 500 x 1 = 400 daN/m b = 1 rn q = 350 x 1 = 350 daN/rn

• Combinaison E.L.U.R. Pu = l,35g + 1,5q = 1 065 daN/m ? l;

• Moment isostatiq ue Mox = Pu g = 766,R daNm (pour chaque travée)

0,15 Mo 0,50 M0 0.4Q.'.,f0 /J • Coefficients : Moments ; \ t \ Il

QB sur T 8 (7) '1

a = - = 0, 467 appuis A ]) c G + Qn

1 + 0,3a=l, l4> 1,05 (daNm)

MA = 115 1

MB = 383,4 1

Mc = 306,7

1 T 0,3 a = 0,57

Travée AB Travée RC 2

1,2 + 0, 3 a Conditions

Mu + M A + M B

~ 1,14 M o1 M o +Mc

= 0,67 à respecter 2 Mt2 + ") ~ l, l4M02

2 en tra,•ée 1,2 + 0,3 a 1 + 0, 3 a Mrt ~ 2 Mot Mil~ 2 Mo2

Moment ultime M1

( daNrn ) Mtt = 624,9 M 12 = 529, 1

Effort tranchant V (daN) + 1 166 -1390 + 1 310 -1 246 u

4.3.3 Section d'armatures (par mètre)

Utilisation de TS (fe = 500 MPa) Travée

(*) E:m::pté~ pour la valeur A/4 = 0 ,52 cm2 du tableau ( < 1 ,2M cm2), toutes les valeurs indiquées pour A x ct AY = A

1/4 sont conforme~ aux

minima exigés.

f (rive)

g

Pour un choix 0 > 6 mm: TS lisses

Section Mu (MNm)

Appui A 0,0115 Centre 0,062 49

Appui B 0,038 34 Centre 0,052 9 L

Appui C 0,030 67

Po= 0,8 %o ; (h = 16cm)~

b d (cm) (cm)

t A

1

lOO 13

~ ~ Px~ 1,06 %o;

P ;?;!= 0 8 %o· >' • ,

~u Pivot f3u

o,o4g o A 0,975 4 0,260 9 B O,H45 8 0,160 1 A 0,9 11 2 0,220 9 B 0,873 6

0, 128 J i\ 0,931 2

A r ~ 1,70 cm2

,1~ ~ l ,28 cm2

A * A) 4 x

(cm2 )

2,09 0,52 13,07 3,27 7,44 J ,86

10,72 2,68 5,83 1,46

Micro-projet Bâtiment 131

4.3.4 Contrôle de la section d'appui B (travée f )

- 25 Tu = 0,11 MPa < Tu = 0,07 X 15 = 1.17 MPa

' 4.4 Panneaux de hourdis calculés suivant 2. sens (0,4 :s; lJ l)' < 1)

4.4.1 Application de la méthode de l'annexe E3

Notations '. ,, 11

Il -- J~ - -- - -- - --- --~ -- - 1

1 1

/y

-- ,r-- - - ---- - - 1 1 - -

1 1 1 1 I l Il

p : charge uniformément réparti t! par unité d' aire

!--- -

Moment isostatique lvt0 au centre sui vant x e l y

Conditions- Calcul de M0

l ( 04:<:;_:_ < l

' l .v

• Calcul suivant x ct y

• Lecture de f..Lx et f..Ly en fonction de lx f ly dans le tableau ci-contre supposant des contours articulés

-

v= 0 (*) r---

0,40 0,45

0,50 0,60

0,65 0,70 0,75

0,80 0,85 0,90

0,95 1 1,00

J-I-x Mx

= pli

0, 110

0, 102 0,088 0,081 0,0745 0,068 0,062

0,056 0,05 1 0,046 0,041 0,037

Mv J-I- y =

Mx

0,305(**) 0,369 0,436 0,509 0,595

0,685 0,778

l 0,887 1,000

-("') Il es[ rappelé que , sauf cas particulier, le coef-fic ient de Poisson du béton est pris égal à 0 (zéro) pour le calcul de~ sollic•talillns e t à 0,2 pour Je calcul des déformations (article A.2.1 ,3) .

, ("'*) Les valeurs de l"' mférieures à 0,25 ( corrcs-4 .4.2 Evaluation des moments (Mw, i'rfe et Mt ) l pnudaul à « ::::; 0,5S7)le sontpas à prendre en consi-

Les moments sur appuis Ma ( Mw ct Me) sui va nt x ou y et ]es mumt!nts dération, en applicatio11 de l '~rtide A.8.2,4J.

en travée Mt sont choisis t!n fonction de M0 suivant chaque sens, dans le respect des inégalités suivan tes :

l.f • IYl t 't"

(dans chaque sens x et y)

Travée intermédiaire

ou

Travée de rive

Remarque: Les moments d'encastrement A.fay sont sensibLement égaux à Max (l\.8.2,32).

4.4.3 Armatures et prescriptions réclementaires Les armatures sont évaluées dans le sens x et v suivant M et M .

- x y

Sc reporter au paragraphe 4.2 pour les prescription réglementaires.

132 B.A. Guide de calcul

1

•

4.5 Application : calcul de la dalle de plancher D1

4.5.1 Situation - Méthode de calcul

Situation

• Fissuration peu préjudiciable • Rapport des côtés

l-.: 6,70 -l = 7 60 = 0, RR2

y ,

• Chargement uniformément répartie sur dalle d'épaisseur 20 cm

Méthode de calcul

• Calcul E.L.CR.

• Calcul danfi les 2 sens suivant l'annexe E3

4 .5.2 Moments agissant (par bande de largeur unitaire dans chaque sens)

• Lecture tableau annexe E3 { f..tx = 0,~47 8 f..ty = 0,145

• g = 500 daN/m2

Mo q = 350 daN/m2

iso- Pu = 1 200 daN/rn

s tatique • M = O.Y f..t pl2 x r. = 2 574,9 daNm

Moy= f..tyM Ox = 1 91 R,3 daNm

Sens x (daNm) Sens x (da~m)

Ma M w.r = 0,3 M0x = 772,5 M wy = 0,3 M0.x = 772,5

Mex = 0,5 M0x = 1 287,5 Mey = 0,3 M0x = 772,5

Condition Mt + Mw + Me

1, 25 M 0 2 =

1

Mt MtX = 0,85 Mnr = 2 188,7 Mty = 0,95 M0y = 1 822,4 Fig.JJ

0•30 M0x 0,50 Mox~ 1

0,85 Mox

~ 670

Moments de flexion en travée et sur

appuis.

4.5.3 Sections d'armatures (p.m. à l ' R.LU.R.)

Utilisation de TS (fe= 500 MPa)

Sens Section Mu (MNm) 1 b (cm) d (cm) ft bu {311 A calc (cm2) A . mm

Appui de rive 0,007 725 1 0,01 8 86 0,990 5 1,06 1,7 suivant -

x Travée 0,021 887 17 0 ,053 45 0,972 5 3,05 1,7

Appuj inter. 0,012 875 100 0 ,03 1 44 0,9R4 0 1,77 1,7 -

t suivanL Appuis (wou e) 0,007 725 16 0.021 30 0,989 2 1,12 1,6 -y Travée 0,01 8 224 0,050 24 0,974 2 2,69 1,6

Faire choix des armatures dans le tableau de TS en respectant les conditions constructives du paragraphe 4.2 et calcul er les arrêts de barres.

4.5.4 Vérifi~ation de la contrainte de dsaillement

v. .. es t maximal le long de l y; 0,012 x 6, 7 x 76

= - - = 0,028 MN 2 x 6, 7 + 7,6

Vu 0, 02R = = 0,175 MPa < Tu = 1, 17 MPa

bd 1 x 0, 16

Micro-projet Bâtiment 133

Caractéristiques des barres pour béton armé section en cm2

Diamètre Nombre de barres Masse nominal

(mm) 1 2 3 4 5 6 1 7 R 9 (kg/m)

5 0.20 0.39 0.59 0.79 0.98 1.18 1.37 1.57 1.77 0.154 6 0.28 0.57 0.85 1.13 1.41 1.70 1.98 2.26 2.54 0.222 8 0.50 1.01 1.51 2.01 2.51 1.02 3.52 4.02 4.52 0.395

JO 0.79 1.57 2.36 3.1 4 3.93 4.71 5.50 6.28 7.07 0.617 12 1.13 2.26 3.39 . 4.52 5.65 6.79 7.92 9.05 10.18 0.888 14 J.5·1 3.08 4.62 6.16 7.70 9.24 10.78 12.12 13.85 1.208 16 2.01 4.02 6.03 8.04 10.05 12.06 14.07 t6.og 18.10 J .578 20 3. 14 6.28 9.42 12.57 15.71 18.85 2 1.99 25.13 28.27 2.466 25 4.91 9.82 14.73 19.63 24.54 29.45 34.36 39.27 44.18 3.853 32 8.04 16.08 24.13 32.17 40.21 48.25 56.30 64.34 72.38 6.313 40 12.57 25.13 :n .70 50.27 62.83 75.40 g7.96 100.53 113.10 9.865

:r:~ Caractéristiques des treillis soudés standards (extraits Doc. ADETS)

Types P ésignation et

ca ractéristiques ADETS

R901

TSL 1/1< = J 1]= 1

R902

R903

fe = 500 MP<t P903 <Tn = 550 \1Pa t;R = 8 o/o

PlOO ,

P200

TSHA P300 ... P400

1/1 = 1.5 s . ' P500

1'/ = 1.3. 0 < 6 Tf= L6. 0 ~ () P600

'

P7oo·=

P800

LJ d •:.n 1

-

l>lt: ~n ~AR t e " &Y.~ L

L~t:ur :slanJanll = 2.40 m

Se ct. 1 s

s s ( <:1112 1 Ill) (cm2!m)

0,48 1

0,48 0,32

0,64 0,64 0,32

0,64 0,64 0,64

0,64 0,64 0,6'1

·i.06 1,06 1;06

1,31 1,31 1,19

. 1,58 1,58 :) ,19

1,96 ' 1.96 ' 1)9

2,83 2.83. 1,19

3,85 3.85 • 1.28

. '.: 5,03 5,03 1;70

6,36 n;3ô 2,12

E e

(nun)

200 300 150 300 150 150 150 150 150 1:>0

150 200

· l:'iO 200 100 200

100 200

100 300

100 300

100 300

L l D d E e

J)

d (mm)

3,5 3,5

3.5 3,5

3,5 3,5 3,5 3,5

4,5 4,5

5 5,5

5,5 5,5

5 5,5

ti 5,5

7 7

8 8

9 9

1 Nbr e Longueur ;< ;.<

de largeur :::1 :::1 ~ ~

tïls L ~ 41

l :; a N 0 e'l ~ p..

n (m)

12 50.00 • 167 2,40

16 50,00 167 2,40 •

16 50.00 • 334 2.40 J() 4,80 • 32 2.40 16 4.80 32 2.40 • 16 4.80 . 24 2,40 • i 16 4,SO .. . i 24 2;40 •

. ..

24 4,80 24 2,40 • 2"- n,OO :;o 2,40 . . •

24 n,OO 20 2,40 • 24 20

6.00 • 2,40 •

24 6,00 • 20 2,40

longueur du panneau largeur unique (2,40m) diamètre fil le plus long diamètre fille plus court espacement fil le plus long espacement fil le plus coure

Masse Masse

1 rouleau nominale ou

(kglm2 ) lpanneau (kg)

0,625 75,06.

0.750 90,06

1,000 120,12 -

1,000 11 ,52 ' .

1,657 . :

19,20

1

1,952 22,ti0

2,182' . 25,14

2,475 2R,.'i 1

3,155 45,43

4,02? 57,9!!

' ~.267 ; 75,84

fi,o.'i3 95,8 1

135

Tableaux des contraintes limites O"bcet O"st à I'E.L.S.

Tableau 1: contrainte limite de ~ompression du béton

ftj = 0,6 + 0,06 fc1

crbc = 0,6 f cj

fcj

J,} crb,; (M Pa)

18

1,68

10,8

20 22

1,80 1,92

12,0 13,2

25 27 30 35 40 -

2,10 2,22 2,40 2,70 3,0

15,0 16,2 18,0 2 1,0 24,0

Tableau .2,: contrainte limite d•ouverture des fissures

r

O"st (MPa)

!<'issu ration ~ peu préjud. préjudiciable très préjudiciable

Limites

~ . / r--:: \

. 1 . ~) réglementaires f e mf l2/3fc; 110 y '1} ftj ) mq.o, 5 fe , 90 y 7J !tj

Résistances caractéristiques

~ fcj (MPa) fcj (MPa) du béton

Type d 'aciers '1} Classe 18 20 22 25 27 30 35 40 18 20 22 25 27 30 35 40

Ronds Fe E 215 143 1 1143 108 Jl08 1 1 1 1

1 1 1 1

Aciers lisses 1

143 1148 l1s2 157 ~~ 1157 1 1 fl

1 1118 foe E 235 117 ,.. ...

en

barres F~ E400 Barres

TE400 et fils 1.6

liA E500

TESOO

180 187 193 202 207 216 229 241 148 153 158 165 170 176 187 197

Treillis

o;oudés 1 TSL 500 143 148 152 lSY 164 170 181 191 117 121 125 130 134 139 1 4~ 156

Treillis* lisses

soudés

(0~6 mm) Treillis

soudés 1,6 TSHA 500 180 187 193 202 207 216 229 241 148 L53 158 165 l70 176 187 197

HA 1 1 1 1

(*)Vans le cas de treillis sPudés avec 0 < 6 mm , prendre 17 = 1,3.

136 B.A. Guida de calcul

Moaats critittes réâits Cas â fissuration pet tréjadlci.ablt

~ . Aciers HA de nuance Fe E 400

Rapport Résistances caractéristiques du béton fe (MPa) 'Y

1 18 20 22 25 27 30 32 1.35 .2420 .2554 .2675 .2835 .2930 .3057 .3132 1.36 .2449 .2584 .2706 .2867 .2963 .3091 .3167

1.37 .2471) .26t5 .2738 .2900 .2996 .3125 .3202

1.3R .250b .2646 .2770 .2933 .3030 .3159 .3236

1.39 .2538 .2677 .2801 .2966 .3063 .3194 .3271

1.40 .2568 .2708 .2833 .2999 .3098 .3229 .'3307

1.41 .2598 .2739 .2865 .3033 .3 131 .3264 .3342

1.42 .2628 .2770 .2897 .3066 1

.3166 .3299 .3378

1.43 .2658 .2802 .2930 .3100 .3200 .3334 .3414

1.44 .2688 .2833 .2963 .3134 .3234 .3369 .3449

1.45 .2719 .2865 .2995 . .3167 .3269 .3404 .3485

1.46 .2750 .28% .3028 .3202 .3304 .3440 .3521 1.47 .2781 .2929 .3061 .3236 .3339 .3476 J SSR

1.48 .2812 .2961 .3094 .3271 .3374 .35 12 .3594

1.49 .2843 .2993 .3 128 .3305 .3409 .~54R .3631

1.50 .2874 .3025 1 .3161 .3340 .3444 .3584 J 668

Aciers HA de nuance Fe E 500

1 Rap~ort 1

Résistances caractéristiques du béton f..: (MPa)

18 20 22 25 27 30 1 32

1.35 .213H .2271 .2392 .2554 .2652 .2784 .2864

1.36 .2165 .2299 .242 1 .2584 .2683 .2816 .2897 1 ,.,,., 1 •• ,_1!

, 1111 .LJ 71

2'l'17 • .,J,/, t

')JI<;(I ,.W"'T..JV

?1'\ 1'\ .wv .r.~ .27!4 .2849 .2.930

1.38 .2219 .2355 .2479 .2646 .2746 .2881 .2963

1.39 .2246 .2383 .2509 .2677 .277ï .2914 .2996 1.40 .2273 .2412 .2538 .2708 .2809 .2947 .3030 1.41 .2300 .2440 .2568 .2739 .2841 .2979 .3063 1.42 .232H .2469 .2598 .2770 .2873 .3013 .3097 1.43 .2355 .2498 .2627 .2802 .2905 .3046 .3131

1.44 .23~3 .2527 .2658 .2833 .2938 .3079 .3165 1.4.'5 .2411 .2556 .2688 .2865 .2970 .3113 .3199 1.411 .2439 .2585 .2718 .2896 .3003 .3146 .3233 l.47 .24f17 .2615 .2749 .2929 .3036 .318l .3268 l.48 .2495 .2645 .2780 .2961 .3069 .3215 .3302 l.49 .2523 .2674 .2811 1 .2993 .3102 .3249 .3337 1.50 .2.'552 .2704 .2842 .3025 .3135 .3283 .3372

35 37 40 .3235 .3297 .3382 .3271 .3333 .3418 .3306 .3369 .3454 -.3341 .3404 .3491 .3377 .3440 .3527 .3413 .3477 .3563 .3449 .3513 .3601 .3485 .3550 .3638 .3521 .3586 . .3674 -.355!) .3623 .3712 .3594 .3660 .3749 .3631 .3697 .3787 .3668 .3734 .3824 .3705 .3771 .3862 .3742 .3810 L .3900 .3780 .3847 .3938

35 37 40 .2974 .3041 .3 112

-.3007 .3074 .1167

-J041 .:nos .3202

-.3075 .3143 .3236

-.3109 .3178 3271 .3143 .3212 3307 .3178 .3247 .3342

.3212 .3282 .337R

.3247 .3317 .3414

.3281 .3352 .3449

.331G .3388 J4R5

.3352 .3423 J521

.3387 .3459 J 55H

.3422 .3495 .3594

.3458 .3530 J611

.3493 .35G7 1 J 66R

137

• Flexion simple- Section rectangulaire

• Aciers naturels: fe E 400 ~ 0 feE5oo~@

• Béton: diagramme rectangulaire simplifié

1\"otations

As ....,4--- - - -- -- - - -- - ·-

J b J

Contraintes de calcul Paramètres

B6lon A1 u

P. bu = ')

!bu

0,85 /cj h rr !bu =

l'Il Yu œu =

'Yb = 1, 5 d

f3u (u

= Acier d

f e BsL : allongement armature A11

fsu = pourcentage mécanique Ys Pu :

'Ys = 1. 15 Au f su Pt: =

bd /hu J

138 B_A_ Guide de calcul

f.Abu au

1·

f3u 1 8 st

':t ·~ ,, •• l " ; . -

0.000 0.000 1.0000 10. 000 0.0()0 0.000 -0. 002 o.oo:s 0.999(1 10.000 0.002 0.002 0.004 0.011.1 o. 9ll80 10.000 0.004 0.004 0.006 o.ooa o. 11970 10. 000 o.oo& 0.006 o.ooa 0.010 0.996<1 10.000 o.oos 0.008

"

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.. 0~ 150 0.204 0~ 91S:S 1.0. 000 .. 0.1ô3 O.lôl o.~ - ·o;366 0.~6 6.060 o.m. o.q]3- o.~ 0.~65 0.7'139 2 • .691 . 0.452 0.~2

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0.156 0.213 0.9U7 10.000 0.171 0.171 0.256 Q,3'77 0.8493 5.789 0.301 0.301 0.35~ 0.579 O.ïb83 2.541 0.4&3 0.46l 0. 158 0.216' 0. <1135 10.000 0.173 0.173 0.2œ o.~ 0.8471? 5. 701 0.304 o0.304 0. 358 0.534 0.7ô55 2.'495 . 0~467 . 0. 467

0.160 0.175 0.175 .Q,2b0 0.394 0.84&4 5.&15 0.307. O.&ï7 0.3b0 0.471 0.102 0.178 0.179 ·0;2b2 . 0;·368 · ·O,a450 :; . ~~0 o.:no :o. 310 0.475

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0. 170 0.234 '0.90'62 10.000 o.tœ 0.189 0.270 0.402 0.8391 5.202 0.322 -0.3:22 0.310 0.613 0.7550 2.21~ 0.490 0.490 0.112 0.238 0.9050 lO.C.OO 0.190 0.190 0.212 .0 .. 406 ·o.837& 5.123 0.325 0.325 0.372 0.618 0./530 . 2.169 0.494 0.495 0.174 0. 241 0.9037 10.000 0.193 0.1~3 0.774 0. 410 0.8362 ~.045 0,326 0.328 0.374 o.m 0.7510 2.122 0.498 0.510 0.17& 0.244 0~'1025 ' 10.000 0.195 0.195 0.27b 0.41;3 0.6347 4.9~ 0.331 0.'331 0.376 O.ô<!l o. 7490 2.W8 0.502 0.525 0.178 0.247 O .• 901~ lO.po:O 0.198 0.198 0.278 :0.417 0.8332 4.992 0.334 0. 334 0.378 0.63l o. 7470 2.m 0.306 0.54!

0.180 0 ,~0 o-.croOQ 1o.poo 0.200 0.200 4.817 o.m 0,337 0.380 0.638 0.7449 1.989: 0.510 0.182 0;2'53 o-.8997 10.000 0.203 0.203 4,743 0.340 0.340 .. 0.382 0.643 0.74~ 1.~~ 0._51.4 0.154 0.256 O.S975l0,0QO.· Q,20'5 0,20S 0.343 (].343 · 0.384 .0.648 0.7400 0.1S6 . 0•259 ~.8962 9.~92 0.208 0.208 0.34~ ' 0.3~6 · . 0.38& 0.653 . o. 7387; 0.18S Q, 263 . O~S95QT 9,829 . 0.210 (),210 0.349 0.349 0.388 0 •. 656 0.7366 . . .

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0.190 0.266 0.8937 9.b70 o. 2.13 0.213 o. 290 . !h-440 0.8240 4. 456 0.352 0.352 0.390 0.664 0.7345 . 1.173 ·0.531 ·0.651 0.192 0.269 0.&924 9.515 0.215 0.215 0.292 ~.444: 0.822:1 ol.387 0,355 (),;)55 0.392 O.bb9 0.7324 1. 731 .0.538 0.672 0. 194 0.272 0.8912 9.302 0.219 0.218 0.2'14 0~448 0.8209 4.::a8 0.358 0.3$ 0.394 0.674 0.1302 1. èe9 0.555 C.ô9t. 0.196 0.275 o. am 1!.212 0.220 0.220 0. 290 0.452 0.8194 4.251 0.361 0.361 0,396 O.bOO 0.7200 l.b/18 :0.574 0.718 0.118 0. 279 O.BBBb · 9. 006 0.223 0,223 0.298 0.455 0.8178 4. 184 0.364 o.~ 0.398 0.685 o.n5B 1.606 0.594 0.742

0.400 O.b91 0, 723~ 1.~· 0.614 0.708 0. 420 o. 7!jl 0.7000 .1. 167. 0.894 1.118 . 0.440 0.817 o.6732 ., d.7S4' 1.45P 1,812 .. , 0.460 O.B% 0.6414 . 0, •. .104:. 3 •. 085 3;956 .. 0. 490 ·· t;OOO · O.ôOOO o.ooo :o.poo .o.ooo .

ANNEXE 1 -CARACTÉRISTIQUES DES ACIERS 139

Tableaux de calcul à 11E.L.S.

1• Fle.xion simple- Section rectangulaire

• Aciers } d . ,1 . LS omame e a tJqut: n = • Béton

Contraintes de calcul

Bét on

x· (JI

Limite rég l ementaüe

O"bc = 0 ,6 .fcj

A ci er

1

emcnta1re Limi te régl

O"s: (cf. HAEL)

_j

Paramètres

M &er JL~ =

b d?. (]'SI

(]'Sl K = -

(.f ho~

M :..:r f..tb = - -

' )

b d- l'Tb~

YI Cl:'j = -

d

f3I ::1

= -d

A, p = -

bd

Windows Jnternrt E)(J)Iore-r c-~ 1

..t ,)o,U"JU....:.~JJI.J-J~~

1 OK 1

140 B.A. Guide de calcul

1 ~. 1

K 1

ILb 1

a,l /31 ltoop 0.0000 e.oo o.oooo o. ooo 1.0000 0.000 0.0002 193.63 0.0368 0.075 0.9749 0.021 o. 0004 127.22 0.0509 0.1~ 0,9&49 0.041 0.00011 102.14 0.0613 o. 128 o. 9573 0.0!13 o.oooa 97.23 0.06'18 0.147 o. 95l1 O.OB4

0.0010 77.04 0,0771 0.163 Q.9451 0.106 0.0012 b9.51 0.~4 o.m 0.9~ 0.127 0.0014 113.72 0.0892 0.191 0.9365 O. ISO 0.001b 59.02 0.0945 0.203 0,9325 0.172 0.0018 ".111 o.om 0.214 0,9297 0.194

0.0020 51.89 0.1037 0,224 0.9253 0.216 0.0022 49.07 o. 1079 o.234 o.mo 0.2:39 0.0024 46.61 0. 1119 0.243 0.9188 0.2bl 0.0026 44.45 0. 1155 o.m o.9159 0.284 0.0029 42.53 0.1190 o. 2b1 o. 9131 0.307

0.0030 40.79 0.1224 0.269 0.9104 0.330 0.0032 39.23 0.125b o.m o.~oJS 0.353 0.00'34 37.82 0.128D 0.284 0.9053 0.375 0.003~ 30,51 o. l315 o;~11 o.9029 o.399 o.oœa ~5.32 o.1342 o.29a 0.9006 o.422 1

f 0.0040 34.22 o. sos

l 0,1369 O.B9e4 0. 445

{ 0.0042 33.21 0.1394 0.311 0.89&3 0.469 0.0044 32.~ 0.141~ 0.317 0.8942 0.492 0.0046 31.37 0.1443 o.m 0.9722 0.516 0.0049 3<),54 0. 1%6 0.329 0.8902 0.539

0.0050 1!1.77 0.1488 0.335 0,8SS3 o.~ 0.0052 29.04 0.1510 0.341 9.9865 0.$1 0.0054 23.34 0.1~1 0.346 0.8846 0.610 0.005b 21.70 0.1~1 0.~1 0.8829 0.634 o.~ 27.08 0.1571 Q,JSô 0.11812 0.659

0.0060 26.49 0.1590 0.3!2 o. 8795 0.&92 O.OOb2 25.94 0.1608 0.3b6 o. am 0.706 0.0004 25.41 0.1626 0.371 0.8763 o.m 0.0066 24.9l 0,1644 0.376 0.8747 0.754 O.OObB 24.43 0.1661 O.JEO 0.8732 o.m

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ANNEXE 1 -CARACTÉRISTIQUES DES ACIERS 141

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