123

hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

  • Upload
    others

  • View
    3

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

��� ��� ���� ��� ��� ��������� ����������� ��� ���������� �������"!$#

%'&)(*,+.-0/1*2+.3�4 57698 3;:=< :>-?8":>3

@BADCFEGCIHDJKHDJLA>M &)%D% J�NDHDCPO�JL@ %'&)(Q +�< :>3SRUT"VW57/16X+.3YTZ:>3;:=<[3;\ :

] J %D^ JL_a` ( Jcbed=dGf

Page 2: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

ghjikIlnmpoqksr

t J`uA ^ HDJ.O�J.vPCFE ( JwJL@ ^ HDJ ( JLNDH ( J & OLO�J�@B@BCF`uvPJv &Z^B(�xJL@y`zJ�vPv{J ^}|S~J�� ( C{JHDJ.v�� | �=_�� ^ � % C{J�HDJ� ( � ^}| J�NDHDCPJLOn�z� ^ JLvPvPJ��>Aq��J�vPv{J�JL@ ^ H ~JLEUJLvP� %D%S~J�JwH & ND@Z����A ( @BADC{ND� ] ^n& O}�G@��7��� x� v &�% �=A ( @BADC ^ J�HDJ�@O |u& _ % @B��������v�J�@ ^ ` & @ ~Ja@BA ( ADNDJa@BADC ^ JaHq��J�M % �=@ ~J�@j�>ADJ���� & C�� & C ^�& A.� ( �=A % JaHDJ ^B(n& E & CPvj� � vP� xJ�` ( JJ ^ ^ � % �=vP�=�=C{J | �=_�� ^ � % C{�>ADJ�@B� x& v����¡ND@ ^ C ^ A ^ HDJa¢ &)^}|S~J�_ &)^ C{�>ADJ�@ HDJa£=AD@B@�CPJ�Aq� t J�@jCPH ~J�J�@L�¤ND� ^ CP�=ND@L�%D( � % �=@BC ^ C{�=ND@�� ^}|S~J�� (�xJ�_¥J�@��>J ^ H ~J�_��=ND@ ^�(n&)^ CP�=ND@sH & ND@SvPJ�O�� (B% @ %D( C{NDO�C %'& v�HDJ¦O�J ^B(}& E & CPv'@B�=N ^ HDC ( JLO�§^ J�_¥J�N ^ C{ND@ % C (>~J�@ %'&)( v{J ^ J�M ^ JcHDJ � ( � ^}| JLNDHDCPJ�O}�¤� t & @BJ�ADvPJ %'&)(B^ CPJc� ( C{�=CPN & vPJ¨J�@ ^ �©� ( _ ~J�J %'&)( v{J�@HDJ�A>M &)%D% J�NDHDCPOLJ�@�� %'&)(9ª J�NDC{@�§¡« |u&)( vPJL@;«9C{@BCPND@��>C¬�­� xA®�>ADJ�v{�>ADJ�@ &)¯°( _ &)^ C{�=ND@�@ & ND@±H ~J�_¥�=ND@ ^B(n&)^ C{�=NHDJ � ( � ^}| J�NDHDC{J�O}��@��=N ^�~J ^}& `uvPCPJL@��

t & vPJ�O ^ A ( J®HDJ�O�J®v{C{E ( J¥NDJ ( J�_ % v & OLJ ~J�EGCPHDJL_�_�J�N ^¨%'& @�OLJ�vPv{J�HDJ ����A ( @�ADCPND� ] ^n& O}�G@��D� ] �=N& _c`uC ^ C{�=N²J�@ ^ HDJ ( J�NDH ( J�O�J ^B^ J�HDJ ( NDC xJ ( J % vPAD@X� & O�CPv{Je�pJ�N HD�=NDN & N ^ ADNDJ�J�M % �=@BC ^ C{�=N % v{AD@°@�³G@ ^>~J´§_ &)^ C{�>ADJ���J ^¦% v{AD@���`¤�=A ( ` & O | CP�­ADJ�����HDJ�@ C{H ~J�J�@ HDJ � ( � ^}| J�NDHDCPJLOn�z�qµ��=AD@¦v{J�@ @BA¶��J ^ @ ^B(n& C ^>~J�@¦H & ND@��v &w% �=A ( @BADC ^ JL��NDJ�@B�=N ^°%'& @XO��=AGEUJ (B^ @ %'&)( O�J�@XND� ^ J�@��p·sN %'&)(B^ CPO�ADv{CPJ ( �pC{v±Nq�¸J�@ ^X%'& @X� & C ^ _�JLN>§^ C{�=N�Hq��CPNG¹uNDCF§º� ( �=A % ��» ¼{HDJ�@��½NDC¾Hq� & ` ~J�v{C & NDCP@ &)^ CP�=Nq�q�=A�@BO |S~J�_ &)^ C{@ &)^ CP�=NHDJ�@ ^ ³ % J�@�Hq� | �=_¥� ^ � % CPJe�zJ ^v¬� & @ % JLO ^ ^ � % �=@�CP�>ADJcNq��J�@ ^j%'& @jO��=ND@BC{H ~J (>~J���@ & AD�¿H & ND@jv¬�¸C{N ^�( �>HDADO ^ CP�=N'��� ª J % v{AD@��qv & @ ^B( ADO ^ A ( JaHDJ���=A ( N & v¨��CPN ^ CP_¥J���_ &)^}|S~J�_ &)^ C{�>ADJe�z�>ADC¿� & C ^ HDJÀ����A ( @BADCPND� ] ^}& On�>@B��ADNDJ�v{J�O ^ A ( J %'& @B@BC{�=NDN & N ^ Je�% vPJLCPNDJ"HDJ@BA (B%D( CP@BJ�@L��J ^�%D(>~J�O�C{J�AD@BJ % �=A ( v & O��=_ %D(G~J | J�ND@BC{�=N�HDJ"v & � ~JLN xJ�@BJ"HDJL@�O��=NDO�J %D^ @��ÁJL@ ^% J ( HDADJe�

£=JcEU�=ADH (n& CP@ ( J�_�J ( O�CPJ ( � v & CPN. ( AD�=ADC xJ ( J�@�� � v{`¤J (B^ ±A (B( �=NDC¬��J ^ ±J ( N |u&)( H.Ã�J�vPv{J (j% �=A ( v{J�@CPNDND�=_c` (n& `uv{J�@;HDCP@BO�AD@�@BCP�=ND@¦�­ADJ9��� & C½JLADJ�@ & EUJ�O¨JLA>Mq�uJ ^Áª JLNDCP@�§Ä« |u&)( v{J�@j«±CP@BC{ND@��GC % �=A ( @ & vPJ�O ^ A ( J&)^B^ JLN ^ CFEUJaHDA ^ J�M ^ Je� % �=A ( ADNDJ %D( J�_¥C xJ ( J (>~J�H & O ^ CP�=NHDA"HDJ ( NDCPJ (�%'&)(n& � (n&)%u| Je�IJ ^j% �=A ( v{J�@jHDJ�A>M&)%D% JLNDHDCPO�J�@L�ÅCP@B@�AD@cHDJ�@ &�^}|qxJ�@�Je���­Aq�¸CPv &w& O�O�J %D^G~J®HDJ����=CPNDH ( J x& O�J�v{C{E ( Je��£=J�@�ADCP@ ( J�OL�=NDN & CP@B@ & N ^& A>M_�J�_c` ( JL@�HDJXv¬� ~J��>ADC % J"��� ~J��=_ ~J ^�( CPJcJ ^j^ � % �=vP�=�=C{J & v{� ~JL` ( C{�>ADJ�@B��J ^�% vPAD@ %'&)(B^ C{O�ADvPC xJ ( J�_�JLN ^®x& ( ADND�¥Ã &e| NwJ ^ÁÆz& `uC{J�N�¢.� ( JLv¬� % �=A ( vPJ�A ( @B�=A ^ C{J�N�@ & ND@Á� & CPvPv{Je�

� J�� ( �=J�@Á¢ & v ^ @BCPNDC{� ^ CP@

Page 3: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

:UÇ�È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r

Í'Î�Í'Î7Ï�вÑ=ÐDÒÅÓÔ>Õ'Ö�׶ØÙÔÚ�Ö�ÛZÖ Ò Ö�ÜpØÙÝqÞ�Ô ßpàeá Î t & O &)^>~J��=� ( CPJ | �=_�� ^ � % C{�>ADJ ßpàeá J�@ ^ H ~J�¹uNDCPJ�O�v & @B@BCâ§�>ADJL_�J�N ^ O��=_¥_�J ~J ^n& N ^ v & O &)^>~JL�=� ( CPJ¿HD�=N ^ vPJL@��e`G��J ^ @½@B�=N ^ vPJL@¾ãqäÀ§ºO��=_ % vPJ´MDJ�@���J ^ v{J�@�_�� (�%u| CP@B_�JL@vPJL@�O�v & @B@BJ�@ÁHq� | �=_�� ^ � % C{JjHq� &)%D% vPC{O &)^ C{�=ND@ÁO��=N ^ C{N­ADJ�@�J�N ^�( JXãqäZ§ºO��=_ % v{J�MDJ�@L�zå N�H ~J�_¥�=N ^B( JK�­Aq�¸�=N�e` ^ C{J�N ^ ADNDJ�O &)^>~J��=� ( CPJ ~JL�>ADC{E & vPJLN ^ JjJ�N�vP�­O & vPC{@ & N ^ v & O &)^>~J��=� ( C{Jjæ¤çnè�HDJ¥éÄê¶ë­ìjvPJ�@9J�@ %'& O�J�@ ^ � % �=vP�)§�=CP�­ADJ�@XJ ^®&)%D% v{CPO &)^ C{�=ND@°OL�=N ^ C{N­ADJL@�� ( J�v &)^ CFEUJ�_�J�N ^¥& A>M ~J��­ADC{E & vPJ�NDO�JL@¥� & C{`uv{J�@ ^ � % �=vP�=�=C{�>ADJ�@L�¿åjN(n&)%D% J�vPv{J¦�>ADJÁ@BCzí H ~J�@BC{�=NDJ ADNDJ¦O &)^>~JL�=� ( CPJÁJ ^;î ADNDJ %'&)(B^ C{J¦HDJcïDðâ��í����UCPv'J�MDC{@ ^ Jc�Ù�>ADC ^�^ J x& J�EUJ�N>§^ ADJ�v{vPJ�_¥J�N ^¦& � (n& NDHDC ( v¬��ADNDC{EUJ ( @ÁHDJ¨` & @BJñ�;ADNDJ�O &)^>~J��=� ( CPJ îóò�ô í ��v{�>O & v{CP@ ~JLJ¨HDJ¨í ( J�v &)^ C{EUJL_�J�N ^x&aî �¿J ^ ADNy�©�=NDO ^ J�A (±õö í ÷ îøòùô í ���©�=NDO ^ J�A ( HDJ vP�>O & vPCP@ &)^ CP�=N'� ^ J�v��>ADJe� % �=A (±^ �=A ^±úWû.î �õ � ú �Å@B�=C ^ ADN�CP@��=_�� (B%u| CP@�_�J9HDJ îøòùô íü�UJ ^ �>ADCu@B�=C{J�N ^ ADNDC{EUJ ( @BJ�v{@ % �=A ( O�J ^B^ J %D( � %D( C ~J ^>~Je� � A ^B( J´§_�J�N ^ HDC ^ � % �=A (9^ �=A ^ �©�=NDO ^ J�A (Áýóö í ÷ íÿþ ^ J�vz�>ADJe� % �=A (9^ �=A ^±ú$û.î � ý � ú �s@��=C ^ CPNUEUJ ( @�C{`uvPJ)�CPvIJ�MGCP@ ^ JKADN�ADNDC{�>ADJ��©�=NDO ^ J�A (��ýóö>îóò�ô í ÷�í[þ ^ JLv½�­ADJ ý����ýjõ

í �õ� � � � ���ý

î ò�ô í

�ýí þ

] CIv¬���=N�ND� ^ J î��� �� v &X%'&)(B^ CPJ�HDJ�ïDðâ�¬æ¤ç}è¤�9�©� ( _ ~J�JKHDJL@ ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�J�@�� & CF`uvPJ�@ ^ � % �=v{�=�=CP�­ADJ�@�� & A ^B( J´§_�J�N ^ HDC ^ �DHDJ�@ &)%D% vPCPO &)^ CP�=ND@;O��=N ^ CPN�ADJ�@�� ö�� ÷ � ^ JLvPvPJL@��>ADJ ö� �����=���q� ö ���U� � �p÷ ���e���a�9@��=C ^ ADNDJ &)%D% vPC{O &)^ C{�=N�`uC ��J�O ^ CFEUJ��� � % �=A (¦^ �=A ^! �" f=�'J ^¦^ �=A ^$#�û%� �&�('I����) # � ö ��'q� � ) # �¿÷ �('I���*)+�p� # �B��@��=C ^ ADNwC{@B�=_�� ( §%u| CP@�_�JKHDJK� ( �=A % JL@,�& vP� ( @Áv & O &)^>~JL�=� ( CPJ | �=_�� ^ � % C{�>ADJ ßpàeá J�@ ^�~J��>ADCFE & v{J�N ^ J x& v & O &)^>~J��=� ( C{J î ò�ô�� �� æ¤çnèù�

t & O &)^G~J��=� ( C{J | �=_�� ^ � % CP�­ADJ % JLA ^.-J ^B( J ~J�� & v{J�_�J�N ^ H ~JL¹uNDCPJ)� x&�~JL�>ADC{E & vPJLNDO�J.HDJO &)^G~J��=� ( C{J�@%D(�xJ�@L�;JLN ^ J ( _�J�@yHq�¸JLND@BJ�_c`uvPJ�@�@BC{_ % vPC{O�C & A>M¤� t & O &)^>~J��=� ( CPJwHDJL@�J�ND@�J�_c`uvPJ�@�@BCP_ % vPCPOLC & A>M1JL@ ^ v &O &)^>~JL�=� ( CPJ./0 HDJ�@ %D(>~J�� & C{@BO�J & A>M"�Ù�©�=NDO ^ J�A ( @9O��=N ^B(n& E &)( C & N ^ @ x& E & v{J�A ( @±H & ND@9v & O &)^>~J��=� ( CPJ21 ,3 HDJ�@J�ND@BJL_a`uv{J�@n�9@BA ( v & O &)^>~JL�=� ( CPJ 0 HDJ�@Á@BCP_ % vPJ�MGJ�@��uO &)^>~J��=� ( CPJ�HD�=N ^ vPJ�@Á�e`G��J ^ @;@B�=N ^ vPJ�@;J�ND@BJL_a`uv{J�@

465 ��7 d8)�f�)������+):9�;<) 9 û>= )� ( HD�=NDN ~J�@ %'&)( v¬�¸� ( H ( JjN &)^ A ( J�v��DJ ^ vPJ�@9_�� (B%u| C{@B_�J�@±v{J�@ &)%D% vPCPO &)^ CP�=ND@9O ( �=C{@B@ & N ^ J�@�� t J�@;@BCP_ % v{J�MDJL@^ � % �=vP�=�=CP�­ADJ�@9@ ^n& NDH &)( HD@

4 �� ��5 ��7 � # �?) # ô )������ # 5 � û>@ 5BA ôDC 5EFHG � # F � f�) # F " dI)Ád6JLKMJL9%;�©� ( _�JLN ^ ADNÀJ�@ %'& O�J ^ � % �=v{�=�=CP�>ADJaO��=@�CP_ % v{CPO�C & v 4 �� �� ���©�=NDO ^ J�A ( O�� E &)( C & N ^ HDJ 0 H & ND@¨æ¤çnè¤���IJ�NH ~JL¹uNDC{@B@ & N ^ � % �=A (Á^ �=A ^ _�� (B%u| C{@B_�JON ö 4P5 ÷ 4 '�HDJ 0 �'ADNDJ &)%D% vPC{O &)^ C{�=N�O��=N ^ C{N­ADJ

4 �Q ��R ö 4 �� ��5 S ÷ 4 �� ��'f

Page 4: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

%'&)( 4 �Q ��R � # �T) # ô )������Q) # 5 � � �VUT�?):U ô )������+):UT'u� ) � xA UXW � ERZY FH[\G W # F ) d6J^]<J å N�J�N�H ~J�HDADC ^ ADN�ADNDC{�>ADJ�� x& C{@B�=_�� (B%u| C{@B_�JjADNDCP�­ADJ %D(�xJL@n�;O��=A % v{J¨HDJK�©�=NDO ^ J�A ( @ & H¶���=CPN ^ @

C_`C ö /0 S ÷ æ¤çnè ) a ö æ¤çnè S ÷ /0���©�=NDO ^ J�A ( HDJ (>~J & v{CP@ &)^ CP�=N ^ � % �=vP�=�=C{�>ADJe�IJ ^ �©�=NDO ^ J�A ( J�ND@BJL_a`uv{J®@BCP_ % vPCPOLC & vp@BC{ND�=ADvPCPJ ( � ^ J�vs�>ADJ�v &( J�@ ^B( CPO ^ CP�=N0HDJ C��C x& v & O &)^>~J��=� ( CPJ 0 ��C{HDJ�N ^ C{¹ ~J�J x& ADNDJ�@B�=AD@�§ O &)^G~J��=� ( C{J % vPJLCPNDJ�HDJb/0 � %'&)( v{J% vP�=ND�=JL_�J�N ^ HDJdc��=NDJ�H & ��@B�=C ^ CP@B�=_¥� (B%u| J & A��©�=NDO ^ J�A ( 4 �Q �� ö 0 ÷ æzçnèù�¤�p�=A ( ^ �=A ^ J�ND@�J�_c`uvPJ@BC{_ % vPC{O�C & v`e �uv¬��J�@ %'& O�J ^ � % �=v{�=�=CP�>ADJ C e C J�@ ^ vPJ��>AD� ^ CPJ�N ^

C e C �gf 5 4 �Q ��5 h e 5Oidj )� xA�v��¸J�ND@BJL_a`uv{Jke 5 J�@ ^ O��=ND@BC{H ~J (>~J�OL�=_�_�J�J�@ %'& O�J ^ � % �=vP�=�=C{�>ADJ�HDCP@BO ( J ^ �¿J ^ j J�@ ^ v &�( J�v &)^ C{�=NHq� ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�J¨J�ND�=JLNDH (G~J�J %'&)( vPJ�@ ( J�v &)^ CP�=ND@ ~J�v ~JL_�J�N ^n& C ( JL@

� # ):e R �VUD��� j � 4 �� ��R � # �Q):UG�B) N ö 4P5 ÷ 4 ' û ïuð � 0 ��) #.û 4 �Q ��5 ) U û el' �p�=A (;^ �=A ^ JL@ %'& O�J ^ � % �=vP�=�=C{�>ADJ � �Dv¬�¸JLND@BJ�_c`uvPJ�@BCP_ % vPCPOLC & v,a;� � ��J�@ ^ H ~J�¹uNDC %'&)(

��aÁ� � �B� 5 � ßpàZm �Q �� � 4 �Q ��5 ) � � ) 9 " d n NDJ ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�Jc� & C{`uv{J�@BCP_ % vPCPOLC & vPJ¨J�@ ^ ADN._�� (B%u| C{@B_�J¨Hq��J�ND@BJ�_c`uv{J�@j@BCP_ % v{CPO�C & A>M�HD�=N ^ v &�(>~J & §vPC{@ &)^ C{�=N ^ � % �=v{�=�=CP�­ADJ¨J�@ ^ ADNDJ ~J��­ADC{E & vPJ�NDO�JcHq� | �=_�� ^ � % C{Je� ] Cùv¬���=N�ND� ^ J î /o v &¥%'&)(B^ CPJ¨HDJ®ïuðâ� 0 ��©� ( _ ~JLJ¨HDJ�@ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J�@�� & C{`uvPJL@����=NwH ~JL_��=N ^�( J¨�­ADJ�v & O &)^G~J��=� ( C{J¨vP�­O & vPC{@ ~J�J î òùô/o /0 J�@ ^®~J��­ADC{E & §vPJLN ^ J x& v & O &)^>~J��=� ( C{J | �=_�� ^ � % CP�>ADJ ßpàeá � ª J°� &`pO��=N % vPAD@ %D(>~J�O�CP@�Je��v{J�@¨�©�=NDO ^ J�A ( @ CqrC J ^ a�@B�=N ^O��=_ %'&)^ C{`uvPJL@ & A>M ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J�@Á� & C{`uvPJL@��uJ ^ C{NDHDADCP@BJLN ^ HDJL@ ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�J�@;HDJ¨O &)^>~JL�=� ( CPJ�@

î òùô/o /0 S ÷ î òùô�� �� æ¤çnè ) î òùô�� �� æ¤ç}è S ÷ î ò�ô/o /0�>A & @�CF§ C{N�EUJ ( @BJ�@Áv¬�¸ADNDJKHDJ¨v�� & A ^B( J°�ÙEU�=C (Á%'&)( J�MGJ�_ % vPJtsvuxwzy©���

t & O &)^>~J��=� ( CPJ | �=_�� ^ � % C{�>ADJ ßpàeá % J�A ^k-J ^B( J & AD@B@BC9�e` ^ J�N�ADJe� x&W~J��­ADC{E & vPJ�NDO�J�HDJ�O &)^G~J��=� ( C{J�@%D(�xJ�@L�¤O��=_�_�JKvP�­O & vPC{@ &)^ CP�=N�HDJcv & O &)^>~J��=� ( CPJD{q|~};HDJ�@ % J ^ C ^ J�@¦O &)^>~J��=� ( CPJL@�� t �¸C{NDO�vPAD@BC{�=N 0 � ÷ {q|_}´�H ~JL¹uNDC{JKJ�N & @B@B�­O�C & N ^�x& v¬�¸JLND@BJ�_c`uvPJ � ( HD�=NDN ~J 465 ��9 " dG�>v & O &)^>~J��=� ( CPJ O�� (B( J�@ % �=NDH & N ^ Je�u�©�=A ( NDC ^ADN��e`G��J ^ O��=@BC{_ % vPC{O�C & vqHDJ�{q|~}n�uHq��� xA�ADN�O��=A % v{J¨HDJ��©�=NDO ^ J�A ( @ & H¶���=CPN ^ @

� ö�/0 S ÷�{�|~} ) � ö {q|~} S ÷ /0���©�=NDO ^ J�A ( HDJ (>~J & vPCP@ &)^ CP�=NwO &)^>~J��=� ( CP�­ADJe�¤J ^ �©�=NDO ^ J�A ( NDJ ( �}� ^ J�v��>ADJav &�( J�@ ^B( CPO ^ CP�=N.HDJ ��x& 0 @B�=C ^v¬��CPNDO�v{AD@BCP�=N 0 � ÷ {�|~}´�I�p�=A (K^ �=A ^ J % J ^ C ^ J°O &)^G~J��=� ( C{Jt�X�½v��¸J�ND@�J�_c`uvPJX@BCP_ % v{CPO�C & v��0�����X��NDJ ( ��HDJ���±J�@ ^ H ~JL¹uNDC %'&)(

�V�0�����B� 5 � ßpàZmB���Q� � 4P5 )���� ) 9 " d )b

Page 5: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

v¬��J�ND@BJ�_c`uv{J°� ( HD�=NDN ~J 465 ~J ^n& N ^ C{HDJ�N ^ C{¹ ~J x& v & O &)^>~JL�=� ( CPJXO�� (B( JL@ % �=NDH & N ^ Je�½��v{AD@KO��=NDO (ñxJ ^ J�_¥J�N ^ ��V�0���¨�B� 5 J�@ ^ v¬�¸JLND@BJ�_c`uvPJj�©� ( _ ~JjHDJ�@Á@BADC ^ J�@ÁHDJD9�� xJ�O | J�@ÁO��=_ % �=@ & `uvPJ�@9HDJO�°� n NDJ ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�J� & C{`uv{J¨O &)^>~J��=� ( CP�­ADJKJL@ ^ ADNw�©�=NDO ^ J�A ( JLN ^B( J % J ^ C ^ J�@;O &)^>~JL�=� ( CPJ�@ÁHD�=N ^ vPJKNDJ ( �ÅJL@ ^ ADNDJ ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�J� & C{`uv{J®@BCP_ % vPCPOLC & vPJ)� ] CSv��¸�=NÀND� ^ J î �?�+� v &�%'&)(B^ CPJ¥HDJ�ïDðâ�H{q|~}��¨�©� ( _ ~J�J�HDJ�@ ~J��­ADC{E & vPJ�NDO�JL@X� & CF`uvPJ�@L��=N®H ~J�_��=N ^B( J �­ADJ¦v & O &)^G~J��=� ( C{J¦vP�­O & vPC{@ ~J�J î ò�ô���+� {�|~}¿J�@ ^�~JL�>ADC{E & vPJLN ^ J x& v & O &)^>~JL�=� ( CPJ | �=_¥� ^ � % CP�­ADJßpàeá � ª JK� &`pO��=N % v{AD@ %D(>~J�OLCP@BJe�'vPJ��©�=NDO ^ JLA ( NDJ ( �pC{NDHDADC ^ ADNDJ ~J��­ADC{E & vPJ�NDOLJ¨HDJ¨O &)^G~J��=� ( C{J�@

î òùô���Q� {�|~} S ÷ î òùô/o /0 ���s�=C (½%'&)( J�MGJ�_ % vPJ!s��`yº� ����·sN ( JLE & NDO | Je�eO��=N ^B(n& C ( J�_�J�N ^¾& Ac�©�=NDO ^ J�A ( HDJ (>~J & v{CP@ &)^ CP�=N ^ � % �=vP�=�=C{�>ADJe�vPJ��©�=NDO ^ JLA ( HDJ (>~J & vPC{@ &)^ CP�=N�O &)^>~J��=� ( CP�>ADJ�Nq�¸JL@ ^Á%'& @ÁO��=_ %'&)^ CF`uvPJ & A>M ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J�@Á� & C{`uv{J�@�� �

� C{ND@BC¬�'�=NwHDCP@ % �=@BJcHDJ % v{AD@BCPJ�A ( @ O &)^>~J��=� ( C{J�@��zæ¤çnèù� /0 �Z{q|_}´�zHD�=N ^ vPJ�@��e`D��J ^ @ % JLAGEUJ�N ^ @�J ( EGC (O��=_�_¥J���_¥�>H xJ�v{J�@B� % �=A ( vPJ�@ ^ ³ % J�@;Hq� | �=_¥� ^ � % CPJe�Í'Î\�zÎ�Ï�Ð ÜÅ× Ö���� ÓÔ>Û ÐuÒ ØÙÝqÞ�Ô���Ô u × Ö Ò Ú�Ô8����ØÙÔ Ñ�� Ô ÒL� ���{Ú`�IÜsÖ Ò Ú��Ô8��Ô?ØV����ÜpØÙ× ÐDÒ ×)Ø Ñ Ô8  Î t J®H ~JL¹�>ADJ � ( � ^}| J�NDHDC{J�O}�a@BJ % �=@BJ9H & ND@K����A ( @�ADCPND� ] ^n& O}�G@B��J�@ ^ HDJ9O | J ( O | J ( é¡ê¶ë>颡´ì;v{J�@pO &)^>~JL�=� ( CPJ�@¾HD�=N ^vPJL@��e`G��J ^ @�@��=N ^ HDJ�@���_��>H xJLvPJ�@B� % �=A ( v{J�@ ^ ³ % J�@jHq� | �=_�� ^ � % C{Je� ª Ja� &`pO��=N % vPAD@ %D(>~J�O�C{@BJe�ICPv�@�� & �=C ^HDJ ^�( �=AGEUJ (;^ �=AD@�v{J�@ ^�( C % v{J ^ @¨��í�) î )�£I���D� xA�í J�@ ^ ADNDJKO &)^>~J��=� ( CPJe� î ADNDJ %'&)(B^ CPJ¨HDJ°ïDðF��íó�´�DJ ^£ ö í ÷ ßpàeá ADN�©�=NDO ^ J�A ( � ^ J�vP@ �­ADJ % �=A ( ^ �=A ^júøûZî ��£¾� ú �Á@B�=C ^ ADN.C{@B�=_�� (B%u| C{@B_�Je�'J ^ ^ J�v{@�>ADJKvPJK�©�=NDO ^ J�A ( �£ öGîóò�ô í ÷ ß¾àeá �'H ~J�HDADC ^ HDJd£ %'&)( v &a%D( � %D( C ~J ^G~J¨ADNDCFEUJ ( @BJ�v{vPJ�HDJKv & O &)^>~J��=� ( C{JvP�­O & vPC{@ ~J�Je�D@��=C ^ ADNDJ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J�HDJ¨O &)^>~J��=� ( CPJL@

í �õ� � � � ���£î ò�ô í

¤ �£ßpàeá

ª�& ND@jO�J ^B^ J ( JLO | J ( O | Je�ùC{v�J�@ ^ �=ADC{H ~J %'&)( OLJX�­Aq�¸C{v &)%D% JLvPvPJaADNDJ�� | ³ % � ^B|IxJ�@BJaCPND@ % C (n&)^B( C{O�J��"����CPND@¡§% C ( CPND� & @B@�AD_ %D^ CP�=ND���´�'�­ADCùNq��J�@ ^ � & _ & CP@;�©� ( _�J�v{vPJ�_�JLN ^ A ^ CPv{CP@ ~JLJe��_ & CP@;@BJ (B^ ADNDCP�>ADJL_�J�N ^ O��=_�_�J@B�=A ( OLJ¨Hq�¸C{N ^ ADC ^ C{�=ND@ ö¥H¦ �k§:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡­¬~¡´ì � ë­é¡ê�®�¨¡°¯�뱫\² �?³ ¡Q´ § ¡�ì­¬~¡ ßpàeá ¡´ì´é�¨¡°¯Lë�«\² �?³ ¡�´u颡¶µ�t³·�¸§:� éZ¨¡:©­ê�ª+«�¡I¹'ê�´ § é¬ë(¡ ³H³ ¡~º¼»·�N�Hq� & A ^B( J�@ ^ J ( _�J�@ ö¤^ �=A ^ J & A ^ �)§ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�JXHDJ ßpàeá J�@ ^ C{@B�=_�� (B%u| J & A"�©�=NDO ^ J�A ( C{HDJ�N ^ CP�>ADJ)�J ^ vPJ�@BJ�ADv & A ^ �=_�� (B%u| C{@B_�JjHDA��©�=NDO ^ J�A ( C{HDJ�N ^ CP�>ADJKJ�@ ^ v¬�¸C{HDJ�N ^ C ^>~J)� Y ô [

·sN %'&)(B^ CPOLADvPCPJ ( �uH & ND@¦v & @�C ^ A &)^ C{�=N�O�C⧠HDJ�@�@BAD@��¤@BC½£¤þ ö í ÷ ßpàeá J�@ ^ ADNwHDJ�A>MDC xJ�_�J¨�©�=NDO ^ J�A (& ³ & N ^ v{J�@¥_ -J�_�J�@ %D( � %D( C ~J ^G~J�@��­ADJx£Å�sJ ^ @BC �£ òùô H ~J�@�CP�=NDJwADN1�>A & @�CF§ C{N�EUJ ( @BJwHDJ �£Å�¿vPJ��©�=NDO ^ J�A (ô t � &)( �=AD_�JLN ^ �­Aq�¸CPv�HD�=NDNDJ°J�N� & EUJ�A ( HDJaO�J ^B^ J | ³ % � ^}|qxJL@BJ %'&)(}&X- ¼ ^ N & » ¼P� �½« �¸JL@ ^ J�@B@BJ�N ^ C{J�vPv{J�_�J�N ^Xö� ] �¸C{vD³ & E & C ^ ADNDJ & A ^ �)§ ~J��­ADC{E & vPJ�NDOLJ¦ND�=N ^B( CFEGC & vPJ;HDJ ßpàeá ���=A®ADN & A ^ �=_�� (B%u| C{@B_�J;ND�=N�CPHDJ�N ^ C{�>ADJHDA��©�=NDO ^ J�A ( CPHDJLN ^ C{�>ADJe������J�N & A (n& C{@�J�N ^ J�NDHDA %'&)( v{J ( �9�=A ��� & A (n& CP@�ADNDJ"C{H ~J�J % �=A ( J�N�H ~J�¹uNDC (ADND�D�p·�N (>~J & v{C ^>~J)�ÅOe�¸JL@ ^ _��=CPND@cN & » ¼{�Á�­Aq�¸CPv�Nq��³ %'&)(n&X- ¼ ^ � t � | ³ % � ^B|IxJ�@BJyCPND@ % C (n&)^B( C{O�JyNq�¸J�@ ^°%'& @aADNDJO��=N¶��J�O ^ A ( Je�Å«9J°�>ADJ¥OLJ ^c&)( �=AD_¥J�N ^�%D(>~J ^ J�NDHÀJ�@ ^ �>ADJX@��¸C{v¾³ & E & C ^ ADNÀOL�=N ^B( J�§ J�MGJ�_ % v{Je�ICPv¾@BJ (n& C ^|u& A ^ J�_¥J�N ^ ND�=N�OL�=ND@ ^B( ADO ^ CP�ÅJ ^ ND�=N�O & ND�=NDCP�>ADJ)� x& O��=A % @�Hq� & MDC{�=_�J�@±HDA�O | �=CâMq� � CPND@BC�� % �=A ( HDJ�@�©�=NDO ^ JLA ( @��>�=A°_�� (B%u| C{@B_�J�@¾HDJ��©�=NDO ^ J�A ( @��­O��=ND@ ^B( ADC ^ @sJ�M % v{CPO�C ^ J�_�J�N ^ �=C{vG³ &j^ �=A ^ JÁO |u& NDOLJ��>Aq��J�vPv{J@B�=C ^ @ &)^ CP@B� & C ^ Je� t � | ³ % � ^B|IxJ�@BJ�C{ND@ % C (n&)^�( CPO�J�ND�=AD@�C{NDO�C ^ J & v{� ( @ x& O | J ( O | J ( ADNDJ %D( J�AGEUJ¨HDC ( J�O ^ J)�

¾

Page 6: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

�£ þ �£�òùô ö ßpàeá ÷ ßpàeá JL@ ^ ADNDJ & A ^ �)§ ~J��­ADC{E & vPJ�NDOLJ¥HDJ ßpàeá �IJ ^ v¬� | ³ % � ^}|qxJ�@�J¥CPND@ % C (n&)^B( CPO�JXCP_ % v{CP�­ADJ�>ADJ°O�JX�©�=NDO ^ J�A ( JL@ ^ O & ND�=NDC{�>ADJ�_¥J�N ^ CP@��=_�� (B%u| J & AZ�©�=NDO ^ J�A ( CPHDJ�N ^ C{�>ADJe�½J ^�%'&)( @BADC ^ J°�­ADJ¥v{J�@�©�=NDO ^ JLA ( @ �£7J ^ �£¤þ±@B�=N ^ O & ND�=NDCP�­ADJ�_�J�N ^ CP@B�=_�� (�%u| J�@��ÅJ ^ £7J ^ £¤þ & AD@B@BC��¿åjN % J�A ^ HD�=NDO�@BJyvPCâ§_�C ^ J (¥x& O | J ( O | J ( vPJ�@jO��=A % v{J�@°��í�) î ��� ^ J�vP@ �­ADJXv & O &)^>~J��=� ( C{J î òùô}í @B�=C ^�~J��­ADC{E & vPJ�N ^ J x& ßpàeá �� ( � ^}| J�NDHDCPJLOn� &)%D% J�v{vPJl¿�ê°¬I¨¡ ³ «©ì � é�¡�ë�ª­ÀDê�¿�ê¶é¡ê:¹�«�¯Lë&¡����=A % vPAD@ @BC{_ % vPJL_�J�N ^ ¿�ê°¬I¨¡ ³ «©ì � é�¡�ë�ªn�zADN ^ JLvO��=A % v{Je�

¢.�>HDADv{�¨v�� | ³ % � ^B|IxJ�@BJ;CPND@ % C (n&)^B( C{O�Je�Uv & �>ADJ�@ ^ CP�=NXHDJ�H ~J %'&)(�^ @BJ (>~J�HDADC ^ HD�=NDO x& v &j( J�O | J ( O | J¦HDJ^ �=AD@KvPJ�@K_��>H ~J�v{CP@ &)^ J�A ( @��½Â±CPJ�N"J�N ^ J�NDHDAq� � ( � ^}| J�NDHDC{J�O}�ZNq� &)(�( C{EUJ (}&�%'& @ x& HD�=NDNDJ ( ADNDJ ( J % �=ND@BJO��=_ % v xJ ^ J x& ADNDJ9�>ADJL@ ^ CP�=N & AD@B@�CG� ~J�N ~J (n& v{Je�)EU�=C ( J±N & » ¼{EUJe�?Á ~J & ND_��=CPND@L�¶_��ñ³UJ�NDN & N ^ �>ADJ�v{�>ADJ�@ | ³ % �)§^}|qxJ�@�J�@ ( JL@ ^B( C{O ^ C{EUJL@��DCPv &)(B( C{EUJe�DHDJ�� &`pO��=N & @�@BJ¼Â�@ ^ A %S~JL¹ & N ^ Je� x& HD�=NDNDJ ( ADNDJ�O &)(n& O ^>~J ( CP@ &)^ CP�=Nq�DH & ND@vPJ�O & @S� xA®í J�@ ^ ADNDJ O &)^>~J��=� ( CPJ�HDJ %D(>~J�� & C{@BO�J & A>M /à @�A ( ADNDJ % J ^ C ^ J¦O &)^G~J��=� ( C{J à �U��v�HDC ^S& vP� ( @S�­ADJ/à J�@ ^ ADNÄ¿�ê°¬I¨¡ ³ «©ì � é�¡�ë�ª^¨¡ ³ ¨¡Q¿<¡Q´'é � «�ª:¡jJ ^ à ADNDJ §:� éZ¨¡Å©�ê?ª+«�¡jé�¡´ì´é¢» t JL@Á_��­H ~J�vPC{@ &)^ J�A ( @ ~J�v ~J�_�J�N ^n& C ( J�@� ~J�N ~J (}& vPCP@�J�N ^ vPJ�_��>H ~JLvPCP@ &)^ J�A ( `uCPJ�N�O��=NDN­A �T/0 ) î /o �±HDJ�@�J�ND@�J�_c`uvPJ�@¦@�CP_ % v{CPO�C & A>Mq�Í'ÎÇÆqβÏ�Ð � ÓÔ±Èz��Ø Ò Ø Ö�� Ò Ö�Ü¿Ö���Ø�ÝqÞ�Ô>��ÔZßpàeá Î �p�=A ( v & H ~JL¹uNDC ^ CP�=N�_ -J�_¥J¦HDJjv & O &)^>~J��=� ( CPJ | �=_�� ^ �)§% CP�­ADJ ßpàeá � � ( � ^}| J�NDHDCPJLOn��NDJwO | �=C{@BC ^¥%'& @®v & EUJ ( @�CP�=N1O�v & @B@BCP�­ADJe�s�¡vÁNq� & CP_¥J %'& @ ^B( � % v{J�@�_ ~J´§^}| �­HDJ�@�@BC{_ % vPC{O�C & v{J�@��9J ^ @BJZ_ ~J�¹uJ�HDJ�@�J�@ %'& O�J�@ ^ � % �=vP�=�=C{�>ADJ�@L� ] �=N�_��>H ~JLvPCP@ &)^ J�A (�%D(G~J�� ~J (>~JÀJL@ ^�\{�|~}+) î ���Q� ���zJ ^ @B�=N�C{ND@ % C (}&)^ CP�=N ^ � % �=@�CP�>ADJ)�z�¡vÅH ~JL¹uNDC ^ HD�=NDOavPJ�@ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J�@j� & C{`uv{J�@�H & ND@�{�|~}O��=_�_¥J ~J ^}& N ^ v{J�@��©�=NDO ^ J�A ( @ÊÉ ö à ÷ Ë®�¿J�N ^B( J % J ^ C ^ J�@�O &)^>~JL�=� ( CPJ�@L� ^ J�v{@¥�­ADJ�vPJ�_¥� (B%u| CP@B_¥JHDJ ^ � % �=@²�VÉ�Ì?):É Ì � ö /à ÷ /Ë ��� xAgÉqÌ�H ~J�@�CP�=NDJ²vPJZ�©�=NDO ^ J�A ( CP_ & �=J�CPNUEUJ ( @BJÀHDJ %D(>~J�� & CP@BOLJ & A>MýÎÍ÷ É Ì � ý � ��ý Éù� ý ûÐÏ�Ñ ��/Ëa���IJ ^ É Ì @B�=N & H¶���=CPN ^�x& H ( �=C ^ Jñ�j@��=C ^ ADNDJ ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�J°Hq� � (B^ C{N>§¢ & Â�A ( � n N²_�� (B%u| C{@B_�J�HDJ ^ � % �=@­Ò ö�� ÷ �YJ�@ ^ ADNDJ ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�JyHq� � (B^ C{N>§ ¢ & Â�A ( @BC % �=A (

^ �=A ^ 9 " dG�uvPJ�_�� (B%u| CP@�_�J Ó 5 ���*)ÕÔ�� S ÷Ó 5 � � ):Ò Ì ��Ô��B� )

CPNDHDADC ^9%'&)( Ò��GJ�@ ^ ADN�C{@B�=_�� (B%u| C{@B_�Je� % �=A (;^ �=A ^ � & CP@�O�J & A�v{�>O & v{J�_�J�N ^ O��=ND@ ^}& N ^ Ô�@BA ( ���GHq��J�N>§@BJ�_c`uv{J�@¥@BCI9 � dG�pHDJ�� ( �=A % JL@¥@BCI9 � f=�¾HDJ�� ( �=A % J�@ & ` ~J�vPC{J�ND@°@�C29 " b>�¾�¡v9ND� ^ J×ÖLØ v &%'&)(B^ C{JaHDJ�ïDðâ�\{�|~}��¦�©� ( _ ~J�JaHDJ�@ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J�@�� & C{`uv{J�@ & C{ND@BCÅH ~JL¹uNDC{J�@��½J ^ CPv &)¯°( _�J���@ & ND@ %D( JLAGEUJe�% ADCP@��>Aq�¸C{vzNq��A ^ CPv{CP@BJ¿� & _ & CP@��©� ( _�J�vPv{J�_�J�N ^ OLJ (>~J�@BADv ^n&)^ �s�­ADJ!ÖLØ � î ���Q� � & A ^�( J�_�J�N ^ HDC ^ �>�­ADJ¦@ &H ~JL¹uNDC ^ CP�=NyO��ñ» ¼{NDO�CPHDJ & EUJ�O¦v & H ~JL¹uNDC ^ C{�=NyO�v & @B@�CP�>ADJ)� YVÙ [ � CPND@BC��>CPv'H ~JL¹uNDC ^ v & O &)^>~JL�=� ( CPJ | �=_¥� ^ � % CP�­ADJßpàeá O��=_�_¥J ~J ^n& N ^ v & O &)^>~JL�=� ( CPJ�vP�­O & vPC{@ ~J�JDÖ òùôØ {q|_}´�Ù n NDJ�H ~J�_¥�=ND@ ^B(n&)^ C{�=N�H ~J ^}& CPvPv ~J�J�HDJ�OLJ�� & C ^ J�@ ^ J�M % �=@ ~JLJ�H & ND@PsÛÚÜyº� t ��CPH ~J�J�HDJ¨v & H ~J�_¥�=ND@ ^B(n&)^ C{�=NJ�@ ^ HDJ�O��=_ %'&)( J ( v¬�¸JL@ %'& O�J�OLv & @B@BCF¹ & N ^ C �0� à � C � (>~J & v{CP@ &)^ CP�=N ^ � % �=vP�=�=C{�>ADJ9HDA�NDJ ( �¤Hq�¸ADNDJ % J ^ C ^ J�O & §^>~J��=� ( CPJ à � x& @B�=N ^ � % �=@¾O�v & @�@BC{¹ & N ^ /à �=�p�=A ( OLJ�v & �=�=NXH ~JL¹uNDC ^ ADN°_�� (B%u| CP@�_�J±HDJ ^ � % �=@��=�©�=NDO ^ � ( CPJLvJ�N à �

æy� C �0� à � C � S ÷ /à )� xA % �=A (¦^ �=A ^ J�@ %'& O�J ^ � % �=vP�=�=C{�>ADJ � �zæ®� � �;H ~J�@�CP�=NDJavPJ ^ � % �=@ HDJ�@ � & C{@BO�J & A>M.Hq��J�ND@BJ�_c`uv{J�@ @BA (� �±J ^ �=N2H ~J�_��=N ^B( J�>ADJ�O�J�_¥� (B%u| CP@B_¥JJL@ ^ ADNDJ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J"Hq� � (B^ C{N>§ ¢ & Â�A ( �9·�ND@�ADC ^ Je�;�=N_��=N ^B( J°�>ADJ % �=A (�^ �=A ^ J�@ %'& O�J ^ � % �=v{�=�=CP�­ADJZ���=J�N ^ C{vP� � � %'&)( J�MDJL_ % vPJ°ADN1ã¤äZ§ O��=_ % v{J�MDJ)�ùv{J�@J�@ %'& OLJ�@ HDJ�O�� | �=_��=v{�=�=CPJ�HDA ^ � % �=@�æy� � �9J ^ HDJ�v¬��J�@ %'& O�J ^ � % �=vP�=�=C{�>ADJ � @B�=N ^ O & ND�=NDCP�­ADJ�_�J�N ^CP@��=_�� (B%u| J�@��½·�NG¹uNq�ùADN ^}|�~J�� (�xJL_�J¥HDJtÝ | C ^ J | J & HÀHD�=NDNDJ®ADNDJ�O &)(}& O ^>~J ( C{@ &)^ C{�=NZO�� | �=_��=v{�=�=CP�>ADJHDJ�@ ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�J�@�� & CF`uvPJ�@ ^ � % �=vP�=�=C{�>ADJ�@L� & N & v{�=�=ADJ x& v & H ~JL¹uNDC ^ CP�=N1HDJ�@ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J�@�Hq� � (B^ C{N>§¢ & Â�A ( �ÙvPJ�@XO��=NDHDC ^ CP�=ND@¥@�A ( v{J¸����J ^ vPJ×� ô ~J ^n& N ^ ~J��>ADCFE & v{J�N ^ J�@ & A>M0O��=NDHDC ^ CP�=ND@X@BA ( v{J

Ó � J ^Þ

Page 7: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

·sND@BADC ^ J)�¿C{v�E ~J ( C{¹uJy�>ADJ×ÖLØ�@ &)^ C{@B� & C ^�x& ADN?OLJ (B^n& C{N?ND�=_c` ( JyHDJ %D( � %D( C ~J ^>~J�@°�©� ( _�J�vPv{J�@cHDJ@ ^n& `uC{vPC ^G~J��ÙH ~J¡� x& H ~J�_��=N ^B(>~JLJ�@ %'&)(Iß ADCPv{vPJ�N % �=A (9î �?�+� svà6y �´�=HD�=N ^ v &�% v{AD@�CP_ % � (B^n& N ^ J;O�� (B( JL@ % �=NDH& A ^B|S~J�� (�xJ�_�J � HDJ ß ADC{vPv{J�N öá «_É ö à ÷ ËΡ´ì´ézë±´t¿�ê�ªÅ¹�À~«©ì+¿l¡I¬~¡�{q|~}�é�¡ ³ ¯Lë(¡�â_¹�ê¶ë±ª�é¡ê¶ë­é�ê �Vã ¡�é�ä�¬±¡�Ë<â~É`åTä ö à åTä9÷ ËæåTäì�ê�«Ùé�¬ � ´DìIÖLظâ �?³ ê�ª´ì$Éç¡´ì´éI¬ � ´DìIÖLØ%»t & O &)^G~J��=� ( C{J à åTäÁJ�@ ^ v & O &)^>~J��=� ( C{J HD�=N ^ v{J�@±�e`G��J ^ @9@B�=N ^ vPJ�@±O��=A % v{J�@K��|�)¬è ö É���|G�¾÷ ä����G� xA×|¥JL@ ^ADN��e`G��J ^ HDJ à J ^ ècADN¨_�� (B%u| CP@�_�JsHDJ*Ë®� J ^ É�åTäpJ�@ ^ v{Js�©�=NDO ^ J�A ( ��|()¬èz� Í÷ �VÉ���|>�Q)¬èz����C{NDHDADC ^�%'&)( ɽ�ª�& ND@±vPJ¦OL�=N ^ J´M ^ J ^ � % �=@BCP�­ADJ & HD� %D^>~J %'&)( � ( � ^}| JLNDHDCPJ�O}�¤�>O�J (>~J�@BADv ^n&)^ J�@ ^ J�M ^B(°-J�_�J�_�JLN ^ N &)^ A ( J�v��J ^ @ & H ~J�_��=ND@ ^�(n&)^ CP�=NyJ�@ ^ HDC ( J�O ^ Je�D·�N�J�è¤J ^ �D@BC�Ò ö_� ÷ ��J�@ ^ ADN�_�� (B%u| C{@B_�J¦HDJ ^ � % �=@L�G�=N�HDC ^�>ADJ�Ò7J�@ ^Á& @ %u|�~J ( CP�­ADJ¨@BC % �=A (;^ �=A ^ �e`G��J ^ U®HDJO���GvPJ�_�� (B%u| C{@B_�J¦HDJ ^ � % �=@$Ò�å?U ö�� å?Ua÷ ��å?Uz�CPNDHDADC ^c%'&)( Ò¦�ùJ�@ ^ ADNDJ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J®Hq� � (B^ CPN>§º¢ & Â�A ( � n N &)( �=AD_¥J�N ^ O�� | �=_��=vP�=�=C{�>ADJ°@ ^n& NDH &)( H_��=N ^B( J��­ADJ % �=A ( E ~J ( C{¹uJ ( v¬� & @ %u|S~J ( CPOLC ^>~JcHDJdÒ¦���=N % J�A ^ @BJcv{CP_�C ^ J (Xx& HDJ�@�U &)%D%'&)(B^ JLN & N ^®x& ADNDJ� & _�C{vPvPJ¨� ~J�N ~J (n&)^B( CPO�JcHDA ^ � % �=@�����·�N %'&)(B^ C{O�ADvPC{J ( �¤@�C�É ö à ÷ Ë J�@ ^ ADN_�� (B%u| C{@B_�J¨HDJ­{�|~}ÁJ ^@BC ���é/à �&� �ê/Ë®�DJ ^ Ò � �VÉ Ì ):É Ì �´�'OL�=_�_�J vPJL@Á�e`G��J ^ @;HDJ­Ë��©� ( _�J�N ^ ADNDJ¨� & _�C{vPvPJ � ~JLN ~J (n&)^B( C{O�JHDA ^ � % �=@!��� % �=A ( _��=N ^B( J ( �>ADJëÒ,J�@ ^ & @ %u|S~J ( C{�>ADJe��CPvI@BA ¯¥^ HDJ¨E ~J ( C{¹uJ ( �­ADJ % �=A (�^ �=A ^ �e`G��J ^ äHDJ­Ë®� � åTä ��/à åTä$ìîíà åTä S ÷ íË6åTäIì /ËPåTä � ��åTäJ�@ ^ ADNDJ ~J��­ADC{E & vPJ�NDO�J°Hq� � (B^ CPN>§ ¢ & Â�A ( � & A ^B( J�_�J�N ^ HDC ^ �I�>ADJ à åTäc÷ ËæåTäcJ�@ ^ H & ND@ëÖÐØ�� � C{ND@BC¬�O�J ^�^ JaHDJ ( NDC xJ ( J°OL�=NDHDC ^ C{�=N"CP_ % vPCP�­ADJ�v¬� & @ %u|�~J ( C{O�C ^>~JXHDA�_�� (B%u| C{@B_�JcHDJ ^ � % �=@�Ò ö�� ÷ ���¤J ^ J�N%'&)(B^ C{O�ADvPC{J ( �=J�N %D( J�N & N ^ v��¸�e`G��J ^ ¹uN & vuHDJB� �ï/Ëy�=�=N°J�N¥H ~JLHDADC ^ �>ADJ /à ÷ /ËÿJ�@ ^ ADNDJ ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�JHq� � (�^ CPN>§º¢ & ÂLA ( � & A ^B( JL_�J�N ^ HDC ^ �­ADJdÉ ö à ÷ Ë J�@ ^ H & ND@�ÖÐØ��zO�Jc�­ADC %D( �=AGEUJcv{J ^}|�~J�� (�xJL_�J �HDJ ß ADCPv{vPJ�N�H & ND@�O�J�O & H ( Je�Í'ηð½Î Ï Ô8� Ñ=ÐDÒÅÓÔ>Õ'Ö�×¶Ø Ô8� Ò Ô8� ÒUÎ t J�@ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J�@®Hq� � (B^ CPN>§º¢ & Â�A (®% J ( _�J ^B^ JLN ^ HDJwH ~J�¹uNDC ( ADNDJND� ^ C{�=NKHq� ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J¿� & C{`uvPJ % �=A ( vPJL@ù_�� (�%u| CP@B_�JL@qHq�¸ADN ^ � % �=@�� ] �=C{J�N ^½� ADN ^ � % �=@IJ ^ N öT# ÷ # þADNX_�� (B%u| CP@�_�JSHDJ � �eåjNXHDC ^ �­ADJ$N.J�@ ^ ADNDJ ~J��­ADC{E & vPJ�NDOLJ;� & CF`uvPJ9HDJ � @�CGvPJ9_�� (B%u| C{@B_�JSHDJ ^ � % �=@� å # ÷ � å # þ �ÅCPNDHDADC ^X%'&)( N���J�@ ^ ADNDJ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�JyHq� � (B^ CPN>§ ¢ & Â�A ( �Å·�N %'&)(B^ C{O�ADvPC{J ( ��@�C à JL@ ^ADNDJ % J ^ C ^ JwO &)^>~JL�=� ( CPJ.J ^×� � /à J�@ ^ v{J ^ � % �=@yHDJ�@ %D(>~J�� & C{@BO�J & A>M2@BA ( à �SADN2_�� (B%u| CP@�_�J�HDJ%D(>~J�� & C{@BO�J & A>MxN öUý ÷ ý þ½J�@ ^ ADNDJ ~J��­ADC{E & vPJ�NDOLJ¨� & C{`uv{JKHDJ /à @BCIv{J¨_�� (B%u| C{@B_�JjHDJ ^ � % �=@íà å ý ì�/à å ýÜ�ñ� å ý S ÷ � å ý þ � /à å ý þ ì íà å ý þvPJÓô ND�=N & ` ~JLvPCPJLN'���±O�J.�>ADC % J ( _�J ^ Hq� &)¯¥( _�J ( �>Aq��ADNDJ &)%D% vPCPO &)^ CP�=N7O��=N ^ CPN�ADJ�� öB� ÷ �

J�N ^B( JKã¤äZ§ O��=_ % v{J�MDJL@sJ�@ ^ ADNDJ ~J��­ADC{E & vPJ�NDOLJ�� & C{`uv{J ^ � % �=vP�=�=C{�>ADJ9@BC'J ^ @BJLADvPJ�_�JLN ^ @BC�v{JÁ_¥� (B%u| CP@B_¥JO�� (B( J�@ % �=NDH & N ^ HDJ ^ � % �=@Xæy� � �a÷ æ®�V�a���pH ~JL¹uNDC %'&)( v{J�@°�©�=NDO ^ J�A ( @°CP_ & �=JyCPNUEUJ ( @�J�J ^ CP_ & �=JHDC ( J�O ^ J.HDJw� & CP@�O�J & A>Mq��J�@ ^ ADNDJ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�JwHq� � (�^ CPN>§º¢ & ÂLA ( �9å N ^ J ( _�CPNDJwv & H ~J�_��=ND@ ^�(n&)^ CP�=Nq�� (?-& O�J x& ADNDJ %D( � %D( C ~J ^>~JyHDA ^ ³ % J ��HDJLA>M @BA (c^B( �=C{@B� % �=A ( vPJL@ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J�@aHq� � (�^ CPN>§º¢ & ÂLA ( �ÅJ�NO��=ND@BC{H ~J (n& N ^ � % �=A ( ADNÀ_�� (B%u| C{@B_�J à ÷ Ë HDJt{q|_}n��v{J�O &)(B(>~J¥O��=_�_aA ^n&)^ C{��HDJ�_�� (�%u| CP@B_�JL@¨HDJ^ � % �=@

æy� C �0� Ã � C � �

æy� C �0��ËX� C � � /Ë )HD�=N ^ vPJL@$� xJ�O | J�@ | � ( CòÂ��=N ^n& v{J�@�@B�=N ^ HDJL@ ~J��­ADC{E & vPJ�NDO�JL@�Hq� � (�^ CPN>§º¢ & ÂLA ( �

ó

Page 8: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

J�@ ^ ADNDJ ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�JKHq� � (B^ C{N>§ ¢ & Â�A ( � & A ^B( JL_�J�N ^ HDC ^ �u@BCqvPJ��©�=NDO ^ JLA ( à å ý ÷ à å ý þ �DC{NDHDADC ^;%'&)(N��IJ�@ ^ H & ND@ëÖÐØ���å NZND� ^ J î /ô v &�%'&)(�^ CPJXHDJ�ïDðâ�±/à �¦�©� ( _ ~J�J°HDJL@ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J�@�� & C{`uv{J¥HDJñ/à � ] Cv¬���=NÀND� ^ JlK ô ö</à ÷ {�|~}KvPJ®�©�=NDO ^ J�A (°& @B@B�>OLC & N ^�x& ADN %D(>~JL� & CP@BO�J & A ý v & O &)^>~J��=� ( C{J à å ý �ùJ ^�x&ADN"_¥� (B%u| CP@B_¥JcHDJ %D(>~J�� & CP@BOLJ & A>M^N ö�ý ÷ ý þpvPJa�©�=NDO ^ J�A ( à å ý ÷ à å ý þÙ�qCPNDHDADC ^�%'&)( N�� & v{� ( @Ö /ô � K òùôô �VÖLØ®���t & �>ADJ�@ ^ CP�=Nw�­ADJ � ( � ^}| J�NDHDCPJLOn��@BJ % �=@�J�J�@ ^ HDJ¨@ & EU�=C ( �>A & NDHwJL@ ^ § OLJ��>ADJy� /à ):Ö /ô �9J�@ ^ ADN_��­H ~J�vPC{@ &)^ J�A ( � & A ^B( JL_�J�N ^ HDC ^ �­�>A & NDHyJ�@ ^ §ºO�Jj�>ADJ v & O &)^>~J��=� ( C{J¦vP�­O & vPC{@ ~J�J�Ö òùô/ô /à JL@ ^®~J��>ADCFE & v{J�N ^ Jx& v & O &)^G~J��=� ( C{J | �=_�� ^ � % CP�­ADJ ßpàeá � ª�& ND@cv¬��J�@ %D( C ^ HDJ®v¬� | ³ % � ^}|qxJL@BJ®CPND@ % C (n&)^B( C{O�Je�ÅC{vs@�J�HDJL_ & NDHDJ% vPA ^�-� ^ �>A & NDHJ�@ ^ §ºO�Ja�>ADJavPJc�©�=NDO ^ J�A (�õö ô ö Ö òùô/ô /à ÷ ÖøòùôØ {q|_} � ßpàeá �¤CPNDHDADC ^�%'&)( K ô �¤J�@ ^ ADNDJ~J��­ADC{E & vPJ�NDO�JcHDJaO &)^>~J��=� ( CPJL@����¡vÅJ�@ ^�& vP� ( @ ^ J�N ^>~JcHq� &)%D% JLvPJ ( ADNDJ ^ J�v{vPJcO &)^>~J��=� ( CPJ à O &)^G~J��=� ( C{J ^ J�@ ^ �·�Ny� & C ^ �Gv &�^ J ( _�CPND�=v{�=�=CPJÁ�>Aq�¸C{v & HD� %D^ J (}& JLN�H ~JL¹uNDC ^ C{EUJ % �=A ( OLJ ^B^ J ND� ^ C{�=Ny@BJ (n& O�J�v{vPJjHDJ!¹zì°¡�ë&¬�ê�®§:� éZ¨¡:©�ê?ª+«�¡°é�¡´ì´é¢»ù·�NÀJ�èzJ ^ �ùCPv¿O��=ND@ ^n&)^ J¥�>Aq�¸C{vsJL@ ^ J�M ^B(°-J�_�JL_�J�N ^ HDC ¯ O�CPv{J¥HDJ ^B( �=AGEUJ ( HDJ�@�O ( C ^�xJ ( J�@% �=A ( O &)(n& O ^G~J ( C{@BJ ( vPJ�@�O &)^>~J��=� ( CPJ�@�@ &)^ C{@B� & CP@ & N ^yx& O�J ^�^ J %D( � %D( C ~J ^>~Je�IJ ^ H & ND@�@ &y%u| CPvP�=@�� %u| CPJe�IADNDJ%D( � %D( C ~J ^>~JaHDC ¯ O�CPv{J x&�^ J�@ ^ J ( NDJaO��=ND@ ^ C ^ ADJ %'& @ ADNDJ"��`¤�=NDNDJaND� ^ C{�=ND�D� ª � & A ^B( J %'&)(�^ �zv{JX�©�=NDO ^ J�A (K ô & HD_�J ^ ADN & H¶���=CPN ^Xx& H ( �=C ^ JK Ìô ö {q|_} S ÷ /à ) � Í÷ ÷�| Í÷ ßpàZmB���Q� � à åT|�)��¨��ø )�>ADC�NDJ ( J�@ % JLO ^ J %'& @j�©� ( O�J�_�JLN ^ v{J�@ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J�@j� & C{`uv{J�@��z�¡vÅJL@ ^K& vP� ( @ & @B@�J¼Â ^ J�N ^n& N ^ Hq� &)%D% J�v{J (O &)^>~JL�=� ( CPJ ^ J�@ ^ ADNDJ % @BJ�ADHD�)§ O &)^G~J��=� ( C{J ^ J�@ ^�^ J�vPv{J"�>ADJ�KùÌô �VÖLØ®�^ú Ö /ô � ª � & A ^}& N ^�% v{AD@����­ADJ� ( � ^}| J�NDHDCPJLOn�.H ~JL_��=N ^�( J��>Aq� & vP� ( @�vPJc�©�=NDO ^ JLA (�õö Ìô ö ßpàeá � Ö òùôØ {q|_}9÷ Ö ò�ô/ô /à �¤C{NDHDADC ^¦%'&)( K Ìô �J�@ ^ ADNDJ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�JyHDJyO &)^>~J��=� ( CPJ�@c�­A & @BCF§ºCPNUEUJ ( @BJ�HDJ õ ö ô �ÅJ ^ C{v ^B( �=AGEUJyADN O ( C ^ñxJ ( J ^B(�xJL@X@�CP_ % v{J% �=A ( �>Aq��ADNDJ % J ^ C ^ J�O &)^>~J��=� ( CPJ à @ &)^ CP@�� & @B@BJ x& O�J�@�O��=NDHDC ^ CP�=ND@L�s�p�=A ( O�J�v & �¿CPv9� & A ^ J ^ C{vÁ@BA ¯°^�>ADJ % �=A (�^ �=A ^ J % J ^ C ^ J"O &)^>~J��=� ( CPJ�� & HD_¥J ^B^n& N ^ ADN �e`G��J ^ ¹uN & v¬�;vPJ %D(G~J�� & CP@�O�J & AgKùÌô ���¨�y@B�=C ^& @ %u|�~J ( CP�>ADJ �Ù�=N�HDC ^ �­Aq�¸ADN %D(>~JL� & CP@BO�J & A ý @BA ( à J�@ ^y& @ %u|�~J ( C{�>ADJw@BC;v¬��ADNDCP�­ADJ��©�=NDO ^ J�A ( HDJwv &O &)^>~JL�=� ( CPJOK ô � ý � � à å ý EUJ ( @¦v & O &)^>~J��=� ( CPJ % �=NDO ^ ADJ�v{vPJ�J�@ ^ H & ND@!ÖLØ®�´� Æ C{N & vPvPJL_�J�N ^ ��ADNDJ ^ J�vPv{JO &)^>~JL�=� ( CPJ à @BJ (}&®&)%D% J�v ~J�J §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡¨é�¡´ì´é�û � « � ³ ¡´�DJ ^ü/à ADN^¿®ê°¬�¨¡ ³ «©ì � 颡L뱪ý¨¡ ³ ¨¡Q¿l¡Q´ué � «\ª:¡�û � « � ³ ¡þ»D·�NJ�èzJ ^ � � ( � ^}| JLNDHDCPJ�O}�0�e`u@BJ ( EUJ��­ADJ�O�J ^B^ J�ND� ^ CP�=N�Nq��J�@ ^°%'& @¥vP�­O & vPJ)�pH & ND@�vPJ�@BJ�ND@��­ADJ�@BC à JL@ ^ADNDJ®O &)^>~JL�=� ( CPJ ^ J�@ ^ � & CF`uvPJe�½CPvsNq�¸J�NÀJ�@ ^c%'& @�N ~J�O�J�@�@ & C ( JL_�J�N ^ HDJ®_ -J�_�J % �=A ( à åT|'�½| ûÿÏ�Ñ � à ���� CPND@�C¬�pCPv &)%D% J�v{vPJ §�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡®é�¡´ì´é ³ ê §:�?³ ¡�ADNDJ % J ^ C ^ JyO &)^>~J��=� ( CPJ à ^ J�v{vPJ��>ADJ % �=A (X^ �=A ^ �e`G��J ^ |HDJ à � à åT|?@B�=C ^ ADNDJ�O &)^>~J��=� ( CPJ ^ J�@ ^ � & C{`uv{Je�±·�NG¹uNq�±C{v¦HDC ^ �>ADJ à J�@ ^ ADNDJ §:� éZ¨¡:©­ê�ª+«�¡wé�¡´ì´én�±J ^�>ADJ /à J�@ ^ ADNп�ê°¬I¨¡ ³ «©ì � é�¡�ë�ªñ¨¡ ³ ¨¡Q¿l¡Q´ué � «\ª:¡e�¤@BC à J�@ ^yx& v & �©�=CP@jADNDJ°O &)^G~J��=� ( C{J ^ J�@ ^ vP�­O & vPJaJ ^ ADNDJO &)^>~JL�=� ( CPJ ^ J�@ ^ � & CF`uvPJe�Å«9J®@B�=N ^ v{J�@cND� ^ CP�=ND@¨HDJ®O &)^>~J��=� ( C{J ^ J�@ ^ vP�­O & vPJ°J ^ HDJ®O &)^>~JL�=� ( CPJ ^ J�@ ^ �­ADC@�� & E xJ ( J�N ^­-J ^�( J¨v{J�@ % v{AD@�CP_ % � (B^n& N ^ J�@L� ª J % vPAD@��'O�J�@ÁO &)^>~J��=� ( CPJ�@ & HD_�J ^B^ JLN ^ HDJ�@�O &)(n& O ^>~J ( CP@ &)^ C{�=ND@~J ^ �=NDN & _¥_�J�N ^ @�CP_ % v{J�@�� ] Cj�=N�ND� ^ J 4 ô v & O &)^>~J��=� ( CPJO�� (B( J�@ % �=NDH & N ^?x& v¬�¸JLND@BJ�_c`uvPJ� ( HD�=NDN ~J7 d�J�fT;U� & v{� ( @ % �=A ( �>Aq�¸ADNDJ % J ^ C ^ J�O &)^>~J��=� ( CPJ à @B�=C ^ ADNDJ®O &)^G~J��=� ( C{J ^ J�@ ^ vP�>O & vPJe�½CPvs� & A ^ J ^ CPv@BA ¯°^ �­ADJyvPJ %D(>~J�� & C{@BO�J & A�K Ìô � 4 ô �®���>ADCSJL@ ^ v¬�¸�e`G��J ^ HDJ t &�� EUJ ( JyHDA ^ � % �=@ /à � ( J %D(>~J�@BJLN ^n& N ^ v{J�©�=NDO ^ JLA (¦ý�Í÷ 7 @��=AD@�§ �e`G��J ^ @ÁHDJ ý ;¶�±@��=C ^ vP�­O & vPJ�_¥J�N ^Á& @ %u|�~J ( CP�­ADJ®���=N�HDC ^ �>Aq��ADN %D(>~J�� & C{@BO�J & A ý

@BA ( à J�@ ^ v{�>O & v{J�_�J�N ^�& @ %u|S~J ( C{�>ADJ¦@BC % �=A (s^ �=A ^ �e`G��J ^ |XHDJ à �­v &�( JL@ ^B( C{O ^ CP�=N¥HDJ ý x& à åT|aJL@ ^ ADN%D(>~J�� & C{@BO�J & A & @ %u|�~J ( C{�>ADJX@BA ( à åT|G��� ª J % v{AD@��qADNDJ°O &)^G~J��=� ( C{J ^ J�@ ^ vP�­O & vPJaJ�@ ^ ADNDJaO &)^>~J��=� ( CPJ ^ JL@ ^@BCIJ ^ @BJ�ADv{J�_�J�N ^ @BCIv¬�¸ADNDC{�>ADJ��©�=NDO ^ J�A ( HDJ à EUJ ( @;v & O &)^>~JL�=� ( CPJ % �=NDO ^ ADJ�vPv{JKJ�@ ^ H & ND@$ÖLØ ���=N�HDC ^& vP� ( @Å�>ADJ à J�@ ^¿& @ %u|S~J ( C{�>ADJñ��� t & HDJ ( NDC xJ ( JK��J ^Å% vPAD@p�©� (B^ Jñ�ùE &)( C & N ^ JSHDJ9O &)^>~J��=� ( CPJ ^ JL@ ^ �)C{N ^�( �>HDADC ^ J%'&)( � ( � ^}| J�NDHDC{J�O}�¤��JL@ ^ O�J�v{vPJ�HDJ §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡°é�¡´ì´é¦ì´é�ª+« § 颡°»ù«j��J�@ ^ ADNDJ®O &)^G~J��=� ( C{J ^ J�@ ^ à ^ J�v{vPJ��­ADJ

Page 9: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

vPJ��©�=NDO ^ J�A ( K ô ö /à ÷ {�|~}X@B�=C ^ O��=_ %'&)^ C{`uvPJ & A>M %D( �­HDADC ^ @°¹uNDCP@�� x&[~J��>ADCFE & v{J�NDO�J�� & CF`uvPJ %D(�xJL@��å N0HDC ^¥& v{� ( @c�>ADJyv & O &)^G~J��=� ( C{J®HDJ�@ %D(G~J�� & CP@�O�J & A>M /à J�@ ^ ADN ¿�ê°¬I¨¡ ³ «©ì � é�¡�ë�ª�¨¡ ³ ¨¡Q¿<¡�´ué � «\ª:¡�ì´é�ª+« § 颻� ( � ^}| J�NDHDCPJLOn��H ~J�_��=N ^B( J��>ADJKv & O &)^G~J��=� ( C{J¨HDJ�@Á@BCP_ % v{J�MDJL@ 0 JL@ ^ ADNDJ�O &)^G~J��=� ( C{J ^ JL@ ^ @ ^�( CPO ^ Je�uJ ^O�J�v{vPJ�HDJ�@¦J�ND@�J�_c`uvPJ�@Á@BCP_ % v{CPO�C & A>M /0 ADN�_¥�>H ~J�v{CP@ &)^ JLA (y~JLv ~J�_�JLN ^n& C ( J�@ ^B( C{O ^ �Í'Î��zÎ Ï Ô8��� Ö�� ÑeÒ ÔGÞù×?� Ò Ô8� ÒUÎ t JL@°�©�=NDO ^ J�A ( @ ^ J�@ ^ � ~J�N ~J (}& vPCP@�J�N ^ �pH & ND@°v{J�O & H ( JyHDJ�@°O &)^G~J��=� ( C{J�@^ J�@ ^ �=vPJ;�©�=NDO ^ J�A ( NDJ ( �¤HDJ;v & ^}|�~J�� ( CPJ;@BCP_ % v{CPO�C & vPJe� ] C à J�@ ^ ADNDJ;O &)^>~J��=� ( C{J ^ J�@ ^ � & C{`uvPJ)�=�=N & CP_¥J (n& C ^&)%D% JLvPJ ( �©�=NDO ^ J�A (Á^ J�@ ^ � & C{`uv{J¨ADN��©�=NDO ^ J�A ( K ö à ÷ {q|_} ^ J�vI�>ADJK@BCI�=N�ND� ^ JOK Ì v{JK�©�=NDO ^ J�A (

K Ì ö {q|_} S ÷ /à ) � Í S ÷ ÷ | Í÷ ßpàZm2���Q� �VK}��|G�Q)��¨� ø )�=N & C ^ KùÌe�VÖÐØ®�¸ú Ö /ô J ^ vPJ��©�=NDO ^ J�A (tõö Ì ö ßpàeá � Ö ò�ôØ {�|~}¥÷ Ö ò�ô/ô /à �¿CPNDHDADC ^¥%'&)( K�Ì)�¾@B�=C ^ADNDJ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J HDJjO &)^>~JL�=� ( CPJ�@L�G� &)( J�MGJ�_ % vPJ)�GvPJ¦�©�=NDO ^ J�A ( | Í÷ à åT|X@ &)^ CP@�� & C ^�x& O�J�@ %D( � %D( C ~J ^>~JL@��% ADCP@��>ADJ & v{� ( @,K Ì J�@ ^ vPJ¿�©�=NDO ^ J�A ( K Ìô �ñH ~J¡� x& O��=ND@BC{H ~J (>~Je� J ^Å& AD@B@BC¬�ñ@BC à J�@ ^ v & O &)^G~J��=� ( C{JsHDJ�@�@BCP_ % v{J�MDJL@0 �DvPJj�©�=NDO ^ J�A ( Hq��CPNDO�v{AD@BCP�=N¸K ö 0 � ÷�{q|_}n� % ADCP@B�­Aq� & v{� ( @IK Ì J�@ ^ v{Jj�©�=NDO ^ J�A ( NDJ ( �½� �ZÁ ~J & ND_��=CPND@��CPv>Nq��³ &¦%'& @¾HDJÁO &)(n& O ^>~J ( CP@ &)^ C{�=Na@BCP_ % v{J±HDJ�@¾�©�=NDO ^ J�A ( @s@ &)^ CP@B� & C{@ & N ^ x& O�J�@ %D( � %D( C ~J ^>~J�@L��«9J % J�NDH & N ^ ��=N ( J�_ &)( �­ADJ��­ADJK@�C½v{JK�©�=NDO ^ J�A ( KsJ�@ ^;% vPJ�C{NDJ�_�J�N ^ ¹uH xJ�vPJe� & v{� ( @ÁOLJ�@�O��=NDHDC ^ CP�=ND@;CP_ % vPCP�­ADJ�N ^ �­ADJ% �=A (¾^ �=A ^ �e`G��J ^ |�HDJ à �=v & O &)^>~JL�=� ( CPJIKn��|>��J�@ ^�& @ %u|�~J ( C{�>ADJe� � ( � ^}| J�NDHDC{J�O}� & ���=A ^ J;OLJ ^B^ J;HDJ ( NDC xJ ( JO��=NDHDC ^ CP�=N x& v & H ~JL¹uNDC ^ CP�=N"Hq�¸ADN"�©�=NDO ^ J�A (¨^ J�@ ^ � & C{`uvPJ)�qJ ^ C{vp�e` ^ CPJLN ^¨& CPND@BCpADNDJ°ND� ^ CP�=N & CP@ ~J�_�J�N ^O &)(n& O ^G~J ( C{@ & `uvPJe��svPAD@ %D(G~J�O�C{@ ~J�_�J�N ^ ��C{v=H ~JL¹uNDC ^ ADN2û�ê�´ § é�¡�ë�ªsé�¡´ì´é�û � « � ³ ¡¾O��=_¥_�J ~J ^n& N ^ ADN¨�©�=NDO ^ J�A ( K ö à ÷é{q|_}��

Hq�¸ADNDJ;O &)^>~JL�=� ( CPJ ^ J�@ ^ � & CF`uvPJ à EUJ ( @sv & O &)^>~J��=� ( C{J9HDJ�@ % J ^ C ^ J�@¾O &)^>~J��=� ( C{J�@�� ^ JLvD�>ADJ % �=A (¿^ �=A ^ �e`G��J ^|®HDJ à �&Kn��|>�9@��=C ^ ADNDJ�O &)^>~J��=� ( CPJ & @ %u|S~J ( C{�>ADJe�'J ^;^ J�v½�>ADJDK Ì �VÖLØ®��úýÖ /ô �D�¡v½H ~JL_��=N ^�( J¨�­Aq� & vP� ( @vPJK�©�=NDO ^ J�A (Bõö Ì ö ßpàeá � Ö ò�ôØ {q|_}s÷ Ö ò�ô/ô /à �'CPNDHDADC ^�%'&)( K Ì �'J�@ ^ ADNDJ ~J��­ADC{E & vPJ�NDO�JKHDJ�O &)^>~JL�=� ( CPJ�@L��>A & @�CF§ C{N�EUJ ( @BJXHDJ õ ö ô �ÙO�J°�­ADCpJ�@ ^ O��=ND�©� ( _�J x& ��v¬� | ³ % � ^}|qxJ�@�J°C{ND@ % C (n&)^�( CPO�JL�����¤J ^ CPvÅ�e` ^ CPJ�N ^ v & O & §(n& O ^>~J ( CP@ &)^ CP�=NZ@�ADC{E & N ^ J)� ] �=C{J�N ^ à ADNDJ�O &)^>~JL�=� ( CPJ ^ J�@ ^ � & C{`uvPJ)�ùJ ^ K ö à ÷ {q|~}jADNÀ�©�=NDO ^ J�A (�^ JLv�>ADJ % �=A (a^ �=A ^ �e`G��J ^ |"HDJ à ��v & O &)^>~J��=� ( C{J<Kn��|>�¨@B�=C ^X& @ %u|S~J ( CP�­ADJe� � v{� ( @cvPJ�@cHDJLA>M O��=NDHDC ^ C{�=ND@@BADCFE & N ^ J�@Á@B�=N ^�~JL�>ADC{E & vPJLN ^ JL@ ö

C �IK­¡´ì´é�ë±´6û�ê�´ § 颡�ë�ª¨é¢¡´ì�é(û � « � ³ ¡��C{C©�*¹�ê¶ë±ªKéÄê)ë­é�¡I¹(¡LéV« é�¡ §:� éZ¨¡:©­ê�ª+«�¡ � ì�¹�À!¨¡�ª+«�¯Lë(¡$�6â ³ ¡I¹`ª�¨¡�û � «©ì § ¡ � ëPK Ì ���¨�6¡´ì�é � ì�¹�À!¨¡QªQ«�¯Lë(¡°»

·�ND@�ADC ^ Je�qC{vÅH ~JL¹uNDC ^ ADN×û�ê�´ § 颡L뱪aé�¡´ì´é ³ ê §:�?³ OL�=_�_�J ~J ^n& N ^ ADN�©�=NDO ^ J�A ( K ö à ÷ {q|_}��zHDJX@��=A ( O�JADNDJ�O &)^>~J��=� ( CPJ ^ J�@ ^ vP�­O & vPJ)� ^ J�v¾�>ADJ % �=A (¨^ �=A ^ �e`G��J ^ |.HDJ à �Iv{J¥�©�=NDO ^ JLA ( à åT|w÷ {q|~}n�½CPNDHDADC ^%'&)( KB�ù@B�=C ^ ADN²�©�=NDO ^ J�A (c^ J�@ ^ � & CF`uvPJe�ùJ ^ C{v��e` ^ C{J�N ^ v & O &)(n& O ^G~J ( C{@ &)^ CP�=NÀ@�ADC{E & N ^ J)� ] �=CPJ�N ^ à ADNDJ% J ^ C ^ JaO &)^>~J��=� ( CPJ &)( `uC ^B(n& C ( Je�¤J ^ K ö à ÷ {�|~}ÁADN��©�=NDO ^ J�A (�^ J�vp�>ADJ % �=A (�^ �=A ^ �e`D��J ^ |�HDJ à �qv &O &)^>~JL�=� ( CPJDKn��|>�9@B�=C ^Á& @ %u|S~J ( C{�>ADJe� � vP� ( @;vPJL@ÁHDJ�A>M�O��=NDHDC ^ CP�=ND@Á@BADC{E & N ^ J�@�@B�=N ^�~JL�>ADC{E & vPJLN ^ JL@ ö

C � à ¡�ì´ésë�´`¡ §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡�颡�ì´é ³ ê §:�?³ ¡æ¡�é,Kjë�´Pûñê�´ § é�¡�ë�ªKé�¡´ì´é ³ ê §:�?³ ¡�C{C©� ¹'ê¶ë�ª éÄê¶ë>é�¡�¹�¡�éV«Ù颡 §:� éZ¨¡Å©�ê�ªQ«�¡ � ì�¹�À!¨¡QªQ«�¯Lë(¡*�6â ³ ¡M¹�ª�¨¡�û � « ì § ¡ � ëëK Ì �����­¡´ì´é ³ ê §:�?³ ¡Q¿<¡�´ué � ì�¹�ÀB¨¡Q®ª+«�¯Lë&¡þ»

ª J % v{AD@��u@BC % �=A (;^ �=A ^ �e`G��J ^ |�HDJ à �Dv & O &)^>~JL�=� ( CPJDKn��|>� % �=@B@ xJ�HDJKADN��e`G��J ^ ¹uN & vs��O�J��>ADCqJ�@ ^ ADNDJO��=NDHDC ^ CP�=N²@BA ¯ @ & N ^ J�Hq� & @ %u|�~J ( C{O�C ^>~Jñ��� & vP� ( @�O�J�@aHDJ�A>M O��=NDHDC ^ CP�=ND@c@��=N ^°& AD@B@BC ~J��>ADCFE & v{J�N ^ J�@ x& v &O��=NDHDC ^ CP�=N�@BADC{E & N ^ J ö

C{CPC©�rK Ì � 4 ô �d¡´ì´é�ë±´l¹�ª�¨¡�û � «©ì § ¡ � ë ³ ê §��?³ ¡Q¿<¡Q´'é � ì�¹�À!¨¡QªQ«�¯Lë(¡°»

Page 10: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

«±J ^B^ JÁHDJ ( NDC xJ ( J¦O��=NDHDC ^ CP�=N�JL@ ^ J�N¥� ~J�N ~J (n& v{J ^B(�xJL@S� & O�CPv{J x& E ~J ( CF¹uJ ( ��J ^ OLJ ^B^ JÁO &)(n& O ^>~J ( CP@ &)^ CP�=N¥JL@ ^ ADN�=A ^ C{v % ADC{@B@ & N ^�% �=A (�^B( �=AGEUJ ( HDJ�@ÁO &)^>~J��=� ( CPJ�@ ^ J�@ ^ vP�­O & vPJ�@L�DJ ^ HDJ�@Á�©�=NDO ^ J�A ( @ ^ J�@ ^ vP�­O & A>Mq�D·sNG¹uNq�CPv�H ~J�_��=N ^B( J �­ADJ¦@BC à J�@ ^ ADNDJ�O &)^G~J��=� ( C{J ^ J�@ ^ J ^ K ö à ÷é{�|~}sADNy�©�=NDO ^ J�A (9^ J�@ ^ vP�­O & v¬� & vP� ( @rKpJL@ ^& AD@B@BC½ADN��©�=NDO ^ J�A (�^ JL@ ^ � & CF`uvPJe��å N�HDC ^�& vP� ( @Á�­ADJëK¿J�@ ^ ADNtûñê�´ § é�¡�ë�ª�é�¡´ì´é��Í'Î��qÎ Ï Ô8�%� Ö ÑUÐ �ÙØV� ÐDÒ Ô>Þ�×?� � Ö���� Ð ÛZÔ8� ÒñÐ Þ�� Î � %D(�xJ�@ & EU�=C ( �e` ^ J�N­A ADNDJy� (n& NDHDJ %'&)(B^ C{J�HDJy@BJ�@(>~J�@�ADv ^n&)^ @a@BA ( v{J�@aO &)^>~J��=� ( C{J�@cJ ^ vPJL@X�©�=NDO ^ J�A ( @ ^ J�@ ^ � � ( � ^B| J�NDHDCPJ�O}� O��=ND@ ^}&)^ Jy�>ADJ®@BJ�@XH ~J�_��=ND@¡§^B(n&)^ CP�=ND@�Nq��A ^ CPv{CP@BJ�N ^�%'& @�v & H ~JL¹uNDC ^ CP�=N7_ -J�_�J�HDJ>ÖLØ��s_ & CP@°@BJ�ADv{J�_�J�N ^ �>ADJ�v{�>ADJ�@ %D( � %D( C ~J ^G~J�@�©� ( _�JLvPvPJL@��ù� & OLCPvPJL@ x& H ~J�� & �=J ( �ùHDJ®O�J ^B^ J¥O�v & @B@�J®HDJ<� xJ�O | J�@��¿«±J�@ %D( � %D( C ~J ^>~J�@cHDJ®@ ^n& `uCPv{C ^>~J°@B�=N ^ v{J^}|�~J�� (�xJ�_�J � HDJ ß ADC{vPv{J�Nq�­H ~JÄ� x& _¥J�N ^ CP�=NDN ~Je��ADNDJ¦O��=NDHDC ^ CP�=N�HDJ�@ &)^ A (n&)^ C{�=N�� & C{`uv{Je��J ^ v{J¦� & C ^ �>ADJ�@�CADNDJ % J ^ C ^ J�O &)^>~J��=� ( C{J & HD_�J ^ ADN��e`G��J ^ ¹uN & v¬� & v{� ( @9J�vPv{JKJL@ ^Á& @ %u|S~J ( C{�>ADJe� � CPND@�C¬�DCPv ( J %D( J�NDH ^ �=A ^ Jv &®^}|�~J�� ( CPJ¥JLN & HD� %D^n& N ^ ADN % �=CPN ^ HDJ°EGADJ & MDC{�=_ &)^ C{�>ADJe��vPJ % �=CPN ^ HDJ°H ~J %'&)(�^�~J ^n& N ^ ADNDJ %'&)(B^ C{JÖ HDJ�ïDðâ�H{q|~}���� &)%D% J�v ~JLJ ³ ê §:�T³ «©ì � é�¡�ë�ªMû�ê?´�¬ � ¿<¡�´ué �T³ �u@ &)^ CP@B� & C{@ & N ^ax& O�JL@ %D( � %D( C ~J ^>~J�@Á�©� ( _�J�v{vPJ�@L�

ª J¨� &`pOL�=N % vPAD@ %D(>~J�O�CP@�Je��ADN�vP�>O & vPCP@ &)^ J�A ( �©�=NDH & _�J�N ^n& vIJ�@ ^ ADNDJ %'&)(B^ CPJDÖ HDJ�ïDðF�\{�|~}��±@ &)^ CP@¡§� & CP@ & N ^¦& A>M�OL�=NDHDC ^ C{�=ND@Á@BADCFE & N ^ J�@ ö

t & ��� ] &)^ A (n&)^ C{�=N2� & CF`uvPJe� � t J�@�C{HDJ�N ^ C ^>~JL@�@B�=N ^ H & ND@×Öø� ] C HDJLA>M�HDJ�@ ^B( �=C{@Ê� xJLO | JL@�Hq�¸ADN^B( C & ND�=vPJjO��=_�_aA ^n&)^ CP�q@B�=N ^ H & ND@$Öø�uCPv¤J�N�J�@ ^ HDJK_ -J�_�J % �=A ( v &a^B( �=CP@BC xJ�_�Je� ] CqADN�_�� (B%u| CP@�_�J�KHDJD{�|~} & HD_¥J ^ ADNDJ (>~J ^B(}& O ^ CP�=N�� ^ J�v{vPJ��>ADJëK��X@��=C ^ H & ND@BÖø� & vP� ( @$K�J�@ ^ H & ND@2Ö��

t `��9�ºå `G��J ^ ¹uN & v�� � ] C à J�@ ^ ADNDJ % J ^ C ^ J9O &)^>~JL�=� ( CPJ & HD_�J ^B^n& N ^ ADN°�e`G��J ^ ¹uN & v¬� & vP� ( @pv��¸ADNDCP�­ADJ�©�=NDO ^ JLA ( HDJ à EUJ ( @Áv & O &)^G~J��=� ( C{J % �=NDO ^ ADJ�v{vPJKJ�@ ^ H & ND@2Öø�

t Oñ�¥��µ |�~J�� (�xJ�_�J � HDJ ß ADCPv{vPJ�Nq� � ] CzÉ ö à ÷ Ë J�@ ^ ADNZ_�� (�%u| CP@B_�JaHDJP{q|~} ^ J�v¾�>ADJ % �=A (^ �=A ^ �e`G��J ^ ä HDJëËy�ZÉ�åTä ö à åTä9÷ Ë6åTä @B�=C ^ H & ND@2Öø� & v{� ( @2ÉwJL@ ^ H & ND@2Ö��� ( � ^}| J�NDHDCPJLOn� ( J %D( J�NDHÀHD�=NDOe�IH & ND@¨O�JXO & H ( J)�ùv &y^}|�~JL� ( CPJXHDJ�@¨O &)^G~J��=� ( C{J�@KJ ^ �©�=NDO ^ J�A ( @ ^ JL@ ^ �qJ�NCPN ^B( �­HDADCP@ & N ^ v & O &)^>~J��=� ( C{J | �=_�� ^ � % CP�>ADJ ( J�v &)^ C{EUJ x& Ö�� ßpàeá�� � Ö òùô {q|_}��½J ^ v{J�@�ND� ^ C{�=ND@�HDJÖ�§ O &)^>~J��=� ( CPJL@ ^ J�@ ^ �¶HDJrÖ�§ºO &)^>~J��=� ( C{J�@ ^ J�@ ^ � & C{`uv{J�@Å�=A�v{�>O & v{J�@�� HDJrÖ�§ �©�=NDO ^ J�A ( @ ^ J�@ ^ �(¡�é § »ñ�¡vUE ~J ( CF¹uJ�>Aq���=N��e` ^ C{J�N ^ v{J�@�_ -JL_�J�@ (>~J�@BADv ^n&)^ @�� & EUJ�O¨v{J�@;_ -J�_�J�@9H ~J�_¥�=ND@ ^B(n&)^ C{�=ND@��

t � & E & N ^n& �=JjHDJjO�J ^B^ J &)%D%D( �>O | J & MGCP�=_ &)^ CP�>ADJÁJ�@ ^ Hq�¸ADNDJ %'&)(B^ �G@ & � (n& NDHDJjO�v &)(B^>~Je�GJ ^ Hq� & A ^�( J%'&)(B^ �zvPJa� & C ^ �­Aq�¸J�v{vPJc@�� &)%D% vPCP�­ADJ x& Hq� & A ^B( JL@�OL�=N ^ J´M ^ J�@��>ADJcOLJ�vPADCpHDJav & O &)^>~J��=� ( CPJ | �=_¥� ^ � % CP�­ADJO�v & @B@BCP�­ADJe�>·svPv{J¦@�� &)%D% v{CP�­ADJe�>J�N %'&)(B^ CPO�ADv{CPJ ( �­J�N | �=_�� ^ � % C{J (n&)^ C{�=NDNDJ�vPv{Je�>J ^S% vPAD@±� ~J�N ~J (n& vPJ�_¥J�N ^ � x&^ �=A ^ J±@�� (B^ J9Hq� ~J��­ADC{E & vPJ�NDOLJ�@¾� & C{`uvPJL@pH ~JL¹uNDCPJ�@ %'&)( HDJ�@¾O��=NDHDC ^ CP�=ND@pO�� | �=_��=v{�=�=CP�­ADJ�@�� � ( � ^}| J�NDHDC{J�O}�%D( � % �=@BJ�HDJ�O��=ND@�CPH ~J ( J ( vPJ�@ÁvP�>O & vPCP@ &)^ J�A ( @Á�©�=NDH & _�J�N ^n& A>MxÖø�'H ~JL¹uNDCP@ J�M & O ^ J�_¥J�N ^ O��=_�_�JDÖLØ��_ & C{@SJ�N ( J�_ % v &`pO & N ^ v{J�@ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J�@9Hq� � (�^ CPN>§º¢ & ÂLA (Á%'&)( Hq� & A ^�( J�@9O�v & @�@BJ�@9HDJK_¥� (B%u| CP@B_¥J�@SHDJ^ � % �=@���H ~JL¹uNDC{J�@ %'&)( HDJ�@aO��=NDHDC ^ C{�=ND@cO�� | �=_��=v{�=�=CP�>ADJL@��ù� &)( J´MDJ�_ % v{Je��@�C���H ~J�@BCP�=NDJ®ADN & NDNDJ & AO��=_�_aA ^n&)^ CP�����=N % JLND@BJ % vPAD@ %'&)(�^ CPO�ADv{C xJ ( J�_�J�N ^°x& � ��� ) � å �� )������'�=N % JLA ^ HDJ�_ & NDHDJ ( �>ADJ¨v{J_�� (B%u| C{@B_�J¦HDJ ^ � % �=@�Ò ö�� ÷ �óCPNDHDADCP@�J�ADNyC{@B�=_�� (B%u| C{@B_�J¦@BA ( v & O�� | �=_��=v{�=�=CPJ x& O��­J ¯ OLCPJ�N ^ @H & ND@��'�¾�=A x& O��­J ¯ O�C{J�N ^ @�H & ND@¥ADN��=§ _��­HDADvPJ &)( `uC ^�(n& C ( J)�p�=A�H & ND@¥v{J�@°� & C{@BO�J & A>M?vP�­O & vPJL_�J�N ^O��=ND@ ^}& N ^ @pHDJ��=§º_��>HDADv{J�@��eåjN % JLA ^ E &)( C{J ( J�N %D( JLN & N ^ ADNDJ±� & _�C{vPv{J�Hq� & NDNDJ & A>M�� F �)�=AcADNDJ±� & _�C{vPv{JHDJX� ( �=A % J�@KO��=_�_aA ^n&)^ C{�©@ O��=ND@ ^n& N ^ @�� %'&)( J�MDJL_ % vPJ � å �� � % �=A (ë ²%D( J�_¥CPJ (yx& ADN"J�ND@BJ�_c`uvPJXHDJND�=_c` ( J�@ %D( J�_¥CPJ ( @L�>O��=NDHDC ^ CP�=ND@9�>Aq���=N % J�A ^®~JLEUJ�N ^ ADJ�v{vPJ�_¥J�N ^ OL�=_a`uC{NDJ (;& EUJ�OjHDJ�@9O��=NDHDC ^ C{�=ND@±@BA (v & fL§ O�� | �=_¥�=vP�=�=CPJaND�=N>§ & ` ~J�vPC{J�NDNDJ x& OL�>J ¯ O�CPJ�N ^ @�H & ND@KHDJ�@�� & C{@BO�J & A>M"vP�­O & vPJ�_¥J�N ^ O��=ND@ ^n& N ^ @¨HDJ� ( �=A % J�@¨�����

µ��=AD@KO�J�@�v{�>O & v{CP@ &)^ J�A ( @¨�©�=NDH & _¥J�N ^}& A>MZ@ &)^ CP@B�©�=N ^�x& ADNDJ¥EUJ ( @BCP�=N ( J�v &)^ C{EUJ¥HDA ^}|S~J�� (�xJ�_¥J �HDJ ß ADCPv{vPJ�N ö

Page 11: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

t «Á� á « à �É� �! Ë""#�¡´ì´ésë±´x¿®ê�ª�¹�À±«©ì+¿<¡­¬~¡r{q|~}:â � ë>¬~¡�ìnì´ë­ìë¬�$ ë�´`¡*¹(¡�é�« 颡 §�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡r�6â�¡�é¾ìQ«&¹�ê¶ë±ªKéÄê)ë­é9ê �Vã ¡�é � ¬~¡$�6â³ ¡�ûñê�´ § é�¡�ë�ªIÉ�å �jö à å � ÷ Ë6å � «\´�¬e뱫 éq¹ � ª2Éý¡�ì´é$¬ � ´DìIÖ â �?³ ê�ª´ìIÉç¡´ì´éI¬ � ´DìOÖø�n N ³ ê §��?³ «©ì � é�¡�ë�ª*û�ê�´�¬ � ¿<¡Q´ué �?³ û�ê�ª´éÁJ�@ ^ ADN�v{�>O & v{CP@ &)^ JLA ( �©�=NDH & _�J�N ^n& vÅ@ &)^ CP@B� & C{@ & N ^¥x& O�J ^B^ J¨O��=N>§

HDC ^ CP�=N$���­ADCÁC{_ % vPC{�>ADJ�v & O��=NDHDC ^ CP�=N t Oñ���±«±J ^B^ J | ³ % � ^}|qxJL@BJ % vPAD@®�©� (B^ J�@BA ( Ö J�@ ^ A ^ C{vPJ % �=A (O�J (�^n& CPND@ (>~JL@BADv ^n&)^ @ % vPAD@�¹uND@c�­ADJ®v & @BC{_ % vPJ¥O &)(n& O ^>~J ( CP@ &)^ CP�=NÀHDJ�@cO &)^>~J��=� ( CPJL@�J ^ �©�=NDO ^ J�A ( @ ^ J�@ ^ �·�v{vPJw@BJ (B^ � %'&)( J�MGJ�_ % v{Je� % �=A ( H ~JL_��=N ^�( J ( �>ADJwv��¸C{_ & �=J�HDC ( J�O ^ J.Hq��ADNDJ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�Jw� & CF`uvPJwHDJ%D(>~J�� & C{@BO�J & A>M %'&)( ADN _¥�=ND�=_�� (B%u| CP@�_�J°JL@ ^ ADNDJ ~J��­ADC{E & vPJ�NDOLJ®� & C{`uvPJ)���=A % �=A ( _¥�=N ^B( J ( �>ADJ®v &O�v & @B@BJa�©� ( _ ~J�JaHDJ�@ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J�@j� & C{`uv{J�@jHDJ %D(>~J�� & CP@BOLJ & A>Mq�q�­ADCp@B�=N ^ HDJ�@j_��=ND�=_¥� (B%u| CP@B_¥J�@��zJL@ ^@ ^n& `uv{J %'&)( CP_ & �=J�@�HDC ( J�O ^ J�@cJ ^ O��=_ % �=@ ~J�@ ^B(n& ND@�¹uNDC{@��Å·svPvPJ¥@BJ (B^X& AD@B@�C % �=A (~J ^n& `uv{C ( v��¸J�MGCP@ ^ JLNDO�JHDJ�@�OL�=vPCP_¥C ^ J�@ | �=_�� ^ � % C{�>ADJ�@L�½J ^¨% vPAD@¨� ~J�N ~J (n& v{J�_�J�N ^ �½HDJ�@�J�M ^ J�ND@BC{�=ND@�HDJ¥Ã & N | �=_�� ^ � % C{�>ADJ�@��ª�& ND@����A ( @�ADCPND� ] ^n& O}�G@B�D� � ( � ^}| JLNDHDCPJ�O}�ÀO��=N¶��JLO ^ A ( J��>ADJlÖÐØ�J�@ ^ vPJ % vPAD@ % J ^ C ^ v{�>O & v{CP@ &)^ JLA (�©�=NDH & _�J�N ^n& v��©� (B^ �D«±J ^B^ J¦O��=N¶��J�O ^ A ( Je� % J ( _�J ^B^}& N ^ ADNDJ O &)(n& O ^>~J ( CP@ &)^ C{�=N % A ( J�_�JLN ^;& MGCP�=_ &)^ C{�>ADJHDJëÖÐØ��uJ�@ ^ H ~J�_��=N ^B(>~J�J %'&)(�ª J�NDC{@�§¡« |u&)( vPJL@j«9C{@BCPND@��GC¬�DH & ND@Á@ &X^B|IxJ�@BJls&%­y¬�Í'Î�'zÎ ( � Ð ����Þ �ÙØ�)q×¶Ô Î t & @�ADC ^ JÁHDJ¦O�J ^ �=AGE (n& �=J;J�@ ^ vP�=�=CP�­ADJ�_�J�N ^ CPNDH ~J % J�NDH & N ^ J HDJ�O�J ^�^ J�C{N ^B( �)§HDADO ^ C{�=Nq� t J %'&)(n& � (n&)%u| J¥b®J�@ ^ O��=ND@ & O (>~J x& v¬� ~J ^ ADHDJXHDJ�@Kv{�>O & v{CP@ &)^ J�A ( @j�©�=NDH & _�J�N ^n& A>Mq�qHDJav{J�A ( @%D( � %D( C ~J ^>~J�@ ~JLv ~J�_�JLN ^n& C ( J�@��qJ ^ HDJL@KND� ^ C{�=ND@K�­ADCpJ�N"H ~JLO��=ADvPJ�N ^ �ùå NZH ~J�_��=N ^B( Ja�>Aq��ADN"v{�>O & v{CP@ &)^ JLA (�©�=NDH & _�J�N ^n& v¾J�@ ^ @ ^n& `uv{J %'&)( vPJX�©�=NDO ^ J�A ( � %'& @B@ & �=J x& v & O &)^>~J��=� ( C{J°� %D% �=@ ~J�J��D��å NZCPN ^B( �­HDADC ^ J ^�=N ~J ^ ADHDCPJÁvPJ�@sND� ^ CP�=ND@sHDJ¦�©�=NDO ^ JLA (9& @ %u|�~J ( C{�>ADJ¦�=A¥O�� & @ %u|�~J ( C{�>ADJa�ÙJ�N ^�( J % J ^ C ^ JL@�O &)^>~JL�=� ( CPJ�@}���­åjNH ~J�_��=N ^B( J°�>Aq��ADN & H¶���=CPN ^�x& � & ADO | J� ( J�@ % � x& H ( �=C ^ Jñ�jJ�@ ^a& @ %u|S~J ( CP�­ADJ.� ( JL@ % ��O�� & @ %u|S~J ( CP�­ADJñ���ùJ ^�>Aq��ADNDJ°OL�e¹D` (n&)^ CP�=N?� ( JL@ % �¤¹D` (n&)^ C{�=N'� x& ¹D` ( J�@ & @ %u|�~J ( CP�>ADJL@KJ�@ ^ ADN�©�=NDO ^ J�A (�& @ %u|�~J ( C{�>ADJ�� ( J�@ % �O�� & @ %u|�~J ( CP�­ADJñ��� n N�vPJ�_�_¥J�� x& v & ¢ & ³UJ ( §��jC{J ^ � ( C{@B��J�@ ^y~J ^n& `uv{C¬� t J�@¦J�MGJ�_ % vPJL@ ^B( CFEGC & A>M�HDJ¨vP�>O & §vPC{@ &)^ J�A ( @Á�©�=NDH & _�JLN ^n& A>M�@B�=N ^Á%D(>~J�@BJ�N ^>~J�@��

ª�& ND@yvPJ %'&)(n& � (n&)%u| J ¾ �S�=N H ~JL¹uNDC ^ v{J�@ ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�J�@�� & C{`uvPJL@�J ^ vPJ�@y_�� (B%u| C{@B_�J�@ & @ %u|S~J�§( C{�>ADJ�@KHDJ %D(>~J�� & C{@BO�J & A>M¤�ùJ ^ �=N"C{N ^�( �>HDADC ^ v & ND� ^ CP�=N�HDJ %D(>~JL� & CP@BO�J & A & @ %u|S~J ( C{�>ADJ�J ^ vP�­O & vPJL_�J�N ^& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)� n NDJ�O &)(n& O ^>~J ( CP@ &)^ C{�=N0HDJL@X�©�=NDO ^ J�A ( @ & @ %u|S~J ( C{�>ADJ�@XJ�N ^ J ( _�JL@cHDJ %D(>~JL� & CP@BO�J & A>M?JL@ ^H ~J�_��=N ^B(>~JLJe�uJ ^ ADNDJKEUJ ( @BC{�=N %D(>~J�� & C{@BO�J & A ^ CP�>ADJ¨HDA�vPJL_�_�JjHDJw��¢ & ³UJ ( §��jC{J ^ � ( C{@B�¥JL@ ^®~J ^n& `uv{CPJe�

ª�& ND@¨v{J %'&)(}& � (n&)%u| J Þ �I�=N�H ~JL¹uNDC ^ v & O &)^>~J��=� ( C{J | �=_¥� ^ � % CP�­ADJ ( J�v &)^ CFEUJ x& ADNZv{�>O & v{CP@ &)^ JLA (�©�=NDH & _�J�N ^n& v��=J ^ �=N¥CPN ^B( �­HDADC ^ vPJL@sND� ^ C{�=ND@¾HDJ % @BJ�ADHD�)§ºO &)^>~J��=� ( CPJ ^ J�@ ^ J ^ HDJÁO &)^G~J��=� ( C{J ^ JL@ ^ � & C{`uvPJ)���v{AD@BCPJLA ( @�O &)(}& O ^>~J ( C{@ &)^ C{�=ND@ÁHDJ�@ÁO &)^>~J��=� ( CPJ�@ ^ J�@ ^ � & C{`uv{J�@Á@��=N ^Á%D(G~J�@BJ�N ^>~J�JL@��

t J %'&)(n& � (}&)%u| J ó J�@ ^ OL�=ND@ & O (>~J & A>M1���=A ^ CPvP@ | �=_�� ^ � % CP�>ADJL@B�D�uå N�CPN ^B( �­HDADC ^ vPJ�@;ND� ^ CP�=ND@;HDJ@BJ��=_¥J�N ^ ��@BJ��=_¥J�N ^ @ ~J %'&)(n& N ^ �ÅJ ^ �=N²H ~JL¹uNDC ^ v &�( J�v &)^ CP�=NÀHq� | �=_�� ^ � % C{J ( J�v &)^ C{EUJ x& ADN²J�ND@�J�_c`uvPJHDJy@BJ��=_�JLN ^ @aJ ^ v{J�@aND� ^ CP�=ND@ & @�@B�>O�C ~J�J�@aHq� | �=_¥� ^ � % CP@B_¥J�J ^ Hq�¸�e`G��J ^ O��=N ^B(n& O ^ CPv{Je�¾å N ~J ^n& `uv{C ^ v{J��vPJL_�_�J�Hq� | �=_�� ^ � % C{J�� �>ADC ( J�vPC{J±vPJ�@¾ND� ^ C{�=ND@pHq� | �=_�� ^ � % CPJSJ ^ Hq� ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J±� & CF`uvPJe�Uå N %D(G~J�@BJ�N ^ Jv¬��J�MDJL_ % vPJwHDA2@BJ��=_�J�N ^ HDJ t &�� EUJ ( J)�;O ( ADO�C & v % �=A ( v & @�ADC ^ Je�;å N ^ J ( _�C{NDJ %'&)( v¬� ~J ^ ADHDJ.HDJ"v &( J�v &)^ CP�=N�Hq� | �=_�� ^ � % CPJjH & ND@�v & O &)^>~J��=� ( CPJ�HDJ�@ % J ^ C ^ J�@ÁO &)^>~J��=� ( C{J�@��

ª�& ND@;vPJ %'&)(n& � (n&)%u| J � �D�=N�CPN ^B( �­HDADC ^ vPJ�@9ND� ^ C{�=ND@ÁC{_ % � (�^n& N ^ J�@9HDJKO &)^>~J��=� ( CPJ ^ JL@ ^ v{�>O & v{JjJ ^O &)^>~JL�=� ( CPJ ^ JL@ ^ �)J ^ �=NXJLN°HD�=NDNDJ % vPAD@�CPJ�A ( @¾O &)(}& O ^>~J ( C{@ &)^ C{�=ND@��Uå N ~J ^}& `uvPC ^ ADNDJ;OL�=NDHDC ^ C{�=NX@�A ¯ @ & N ^ J% �=A ( �­Aq�¸ADNDJ % J ^ C ^ JcO &)^G~J��=� ( C{Je� & HD_�J ^�^n& N ^ HDJ�@ %D( �>HDADC ^ @ ¹uNDCP@��¤@��=C ^ ADNDJaO &)^>~J��=� ( CPJ ^ J�@ ^ �¤O�Jc�­ADC

*

Page 12: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

% J ( _�J ^ HDJ %D(G~J�@BJ�N ^ J ( ADNDJ�_aADv ^ C ^ ADHDJ9Hq�¸J´MDJ�_ % v{J�@���å N ^ J ( _�CPNDJ9J�N°H ~J�_��=N ^B(n& N ^ �­ADJ9v & O &)^>~J��=� ( C{JHDJ�@Á@BCP_ % v{J�MDJL@ÁJ�@ ^ ADNDJ�O &)^G~J��=� ( C{J ^ J�@ ^ �

ª�& ND@avPJ %'&)(n& � (n&)%u| J �Å�=N ~J ^ ADHDC{J�v & E &)( C & N ^ J®v &�% vPAD@X�©� (B^ JyHDJyO &)^>~J��=� ( CPJ ^ J�@ ^ �pO�J�v{vPJ®HDJO &)^>~JL�=� ( CPJ ^ J�@ ^ @ ^B( C{O ^ Je� ª�& ND@�O�J¥`uA ^ �ù�=NZCPN ^B( �­HDADC ^ v & ND� ^ C{�=NZHDJ % J ^ C ^ J¥O &)^>~JL�=� ( CPJ ^ � ^n& vPJL_�J�N ^& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)��O &)(n& O ^G~J ( C{@ ~J�J %'&)(�% v{AD@BCPJLA ( O��=NDHDC ^ C{�=ND@ ~J��­ADC{E & vPJ�N ^ J�@��ÁADNDJZO &)^>~JL�=� ( CPJ ^ J�@ ^ @ ^B( CPO ^ J~J ^n& N ^ ADNDJ¥O &)^>~J��=� ( C{J ^ JL@ ^ �­ADCsJ�@ ^�^ � ^n& v{J�_�J�N ^�& @ %u|S~J ( CP�­ADJe��åjNÀO��=ND@ ^n&)^ J��­ADJ¥vPJL@¨J�MGJ�_ % vPJL@¨HDJO &)^>~JL�=� ( CPJ�@ ^ JL@ ^ HDA %'&)(n& � (n&)%u| J %D(>~J�O ~J�HDJ�N ^ @B�=N ^ J�N2� & C ^ HDJ�@�O &)^>~J��=� ( CPJ�@ ^ J�@ ^ @ ^B( CPO ^ J�@��9J ^ �=N%D(>~J�@�J�N ^ JcHDJ�@¦J�MGJ�_ % vPJL@�HDJ�O &)^>~J��=� ( CPJL@ ^ J�@ ^ �>ADC½NDJ�@B�=N ^�%'& @�@ ^B( C{O ^ J�@��zå NwH ~JL¹uNDC ^ v{J¨O��=NDOLJ %D^ HDJO��=N ^B(n& O ^ J�A ( �½O & @ %'&)(�^ CPO�ADv{CPJ ( HDJ¥O &)^G~J��=� ( C{J ^ J�@ ^ @ ^B( C{O ^ Je�IJ ^ �=N"H ~J�_¥�=N ^B( J¥�>ADJXv & O &)^>~JL�=� ( CPJXHDJ�@@BC{_ % vPJ�MGJ�@;J�@ ^ ADN�O��=N ^B(n& O ^ JLA ( �

t J %'&)(}& � (n&)%u| J � J�@ ^ O��=ND@ & O (>~J x& v¬� ~J ^ ADHDJ°HDJL@¨�©�=NDO ^ JLA ( @ ^ JL@ ^ �½å NZCPN ^B( �­HDADC ^ v & ND� ^ CP�=NHDJ�©�=NDO ^ JLA (9& @ %u|�~J ( C{�>ADJÁHq�¸ADNDJ % J ^ C ^ JÁO &)^>~J��=� ( CPJ9EUJ ( @sv & O &)^>~J��=� ( C{J�HDJ�@ % J ^ C ^ J�@sO &)^>~J��=� ( CPJ�@���ND� ^ C{�=N x&NDJ %'& @sO��=ND�©�=NDH ( J & EUJLOÁO�JLvPvPJ;HDJ;�©�=NDO ^ J�A (S& @ %u|S~J ( C{�>ADJ�JLN ^B( J % J ^ C ^ J�@sO &)^G~J��=� ( C{J�@n���=J ^ �=N¥JLN¥HD�=NDNDJ% vPAD@�CPJ�A ( @®O &)(n& O ^>~J ( CP@ &)^ C{�=ND@��±å N1J�N7H ~J�HDADC ^ vPJ�@¥ND� ^ CP�=ND@�HDJw�©�=NDO ^ J�A (®^ J�@ ^ � & C{`uv{Je�sHDJw�©�=NDO ^ J�A (^ J�@ ^ vP�>O & vùJ ^ HDJc�©�=NDO ^ J�A (j^ J�@ ^ � & CPND@�CÅ�>ADJ�HDJL@�O &)(n& O ^>~J ( CP@ &)^ C{�=ND@¦HDJaO�J�@ �©�=NDO ^ J�A ( @��½å N %D(G~J�@BJ�N ^ J% vPAD@�CPJ�A ( @aJ�MGJ�_ % v{J�@cHDJ®�©�=NDO ^ J�A ( @ ^ J�@ ^ �ÅHD�=N ^ v¬��CPNDO�v{AD@BCP�=N²HDJ®v & O &)^G~J��=� ( C{J�HDJ�@a@BCP_ % vPJ�MGJ�@�H & ND@v & O &)^>~J��=� ( C{J¨HDJ�@ % J ^ C ^ J�@ÁO &)^>~J��=� ( C{J�@��'O�J¨�­ADC % J ( _�J ^ HDJ ( J ^B( �=AGEUJ ( v &°^}|�~JL� ( CPJKHDAw�©�=NDO ^ J�A ( NDJ ( � �·�NG¹uNq�±�=N _��=N ^B( J��­ADJ.v & @B�=AD@�§ºO &)^>~J��=� ( C{J.HDJv & O &)^>~J��=� ( C{JwHDJ�@y@BCP_ % vPJ�MGJ�@�� & ³ & N ^ v{J�@y_ -J�_�JL@�e`G��J ^ @��pJ ^ OL�=_�_�J�_�� (�%u| CP@B_�JL@cvPJ�@ &)%D% vPC{O &)^ CP�=ND@®ì´éVªQ« § é�¡Q¿<¡Q´'éKO ( �=CP@�@ & N ^ J�@��¾J�@ ^ ADNDJ�O &)^>~J��=� ( C{J^ J�@ ^ � & CF`uvPJe�u_ & C{@;Nq��J�@ ^Á%'& @�ADNDJ¨O &)^G~J��=� ( C{J ^ JL@ ^ �

ª�& ND@¦v{J %'&)(n& � (}&)%u| J * �u�=N�CPN ^B( �­HDADC ^ v{JKOL�=NDO�J %D^ HDJ�v{�>O & v{CP@ &)^ J�A ( �©�=NDH & _¥J�N ^}& v½�©� (�^ ��J ^ �=N%D(>~J�@�J�N ^ J % vPAD@�CPJ�A ( @sH ~JL¹uNDC ^ CP�=ND@ ~J��­ADC{E & vPJ�N ^ J�@��­å N¥H ~J�_¥�=N ^B( JÁ�­ADJÁv & O &)^>~J��=� ( CPJ | �=_�� ^ � % CP�>ADJ9O�� ( §( J�@ % �=NDH & N ^ J & HD_¥J ^ HDJ�@ %D( �>HDADC ^ @±¹uNDCP@��DHDJ�@;@B�=_�_¥J�@�¹uNDCPJL@��uJ ^ �>ADJ vPJj�©�=NDO ^ J�A ( HDJ�vP�­O & vPC{@ &)^ C{�=N³�O��=_�_aA ^ Je�

t JÁ`uA ^¿%D( CPNDOLC %'& vuHDA %'&)(n& � (n&)%u| JKfñdKJ�@ ^ HDJ %D( �=AGEUJ ( �>ADJe� % �=A ( ADN�v{�>O & v{CP@ &)^ JLA ( �©�=NDH & _¥J�N>§^n& v­�©� (B^ �)v��¸C{_ & �=J�HDC ( J�O ^ J±Hq��ADNDJ ~J��­ADC{E & vPJ�NDOLJ±� & C{`uvPJ±HDJ %D(>~J�� & CP@BOLJ & A>M %'&)( ADNa_��=ND�=_�� (B%u| C{@B_�J�JL@ ^ADNDJ ~J��­ADC{E & vPJ�NDOLJ � & C{`uvPJ)�GJ ^ �>ADJ v & OLv & @B@BJj�©� ( _ ~J�J HDJ�@ ~J��­ADC{E & vPJ�NDOLJ�@9� & C{`uvPJL@±HDJ %D(>~J�� & CP@BOLJ & A>Mq�D�­ADC@B�=N ^ HDJL@s_��=ND�=_¥� (B%u| CP@B_¥J�@��)JL@ ^ @ ^n& `uvPJ %'&)( CP_ & �=J�@¾HDC ( J�O ^ JL@sJ ^ O��=_ % �=@ ~J�@ ^B(n& ND@�¹uNDCP@��U�p�=A ( O�J�v & ��=N¥A ^ CPvPC{@BJ9HDJ�� &`pO��=N°J�@B@BJLN ^ C{J�vPv{J�v & ��O��=ND@ ^B( ADO ^ C{�=N�HDJ � ( � ^}| JLNDHDCPJ�O}�G�D� & @B@B�­O�C & N ^ x& ADN°�©�=NDO ^ J�A ( � x&E & vPJ�A ( @;H & ND@�v & O &)^G~J��=� ( C{JKHDJ�@ % J ^ C ^ J�@;O &)^>~JL�=� ( CPJ�@L�'ADNDJ�O &)^>~JL�=� ( CPJ�O��e¹D` (>~J�J)���­ADCqJ�@ ^ v & �}b §ºvPC{_�C ^ JCPNDHDADO ^ C{EUJ��¥HDJKO�JK�©�=NDO ^ J�A ( �¤«±J ^B^ J�O��=ND@ ^�( ADO ^ C{�=N�J�@ ^Á(n&)%D% J�v ~J�J¨JLN�H ~J ^n& C{vP@��

t J %'&)(n& � (n&)%u| JZf=fwJL@ ^ O��=ND@ & O (G~J & A>M�J�M ^ J�ND@BC{�=ND@®HDJwà & N | �=_¥� ^ � % CP�­ADJ�@�� ~· ^n& N ^ HD�=NDN ~JADN vP�>O & vPCP@ &)^ J�A ( �©�=NDH & _�JLN ^n& v��©� (B^ Ö����=N & @B@��>O�C{J x&À^ �=A ^ J % J ^ C ^ JwO &)^>~J��=� ( CPJ +'�Sv & O &)^>~J��=� ( C{J, �-+>���qvP�­O & vPC{@ ~J�J¥HDJ°v & O &)^>~J��=� ( C{J°HDJL@��©�=NDO ^ J�A ( @�HDJ.+�EUJ ( @¨v & O &)^>~J��=� ( CPJXHDJ�@ % J ^ C ^ JL@KO &)^>~J��=� ( CPJL@��( J�v &)^ C{EUJL_�J�N ^²x& v & OLv & @B@BJ�HDJ�@�_¥� (B%u| CP@B_¥J�@�HDJ��©�=NDO ^ J�A ( @��>ADCj@B�=N ^ H & ND@¸Ö�� &)( �=AD_�JLN ^�%'&)(&)( �=AD_�JLN ^ �±�p�=A (y^ �=A ^ �©�=NDO ^ J�A ( É ö + ÷ /¿�±�=N2J�N H ~J�HDADC ^ ADN,�©�=NDO ^ J�A ( C{_ & �=J (>~J�O�C %D( �>�­ADJÉ Ì ö , �0/��¾÷ , �-+>�¬�UCPNDHDADC ^¿%'&)( v & O��=_ % �=@�C ^ C{�=N %'&)( ɽ� n NDJ;J�M ^ J�ND@BC{�=N¥HDJ�à & N | �=_¥� ^ � % CP�­ADJ;JL@ ^ADN & H¶���=CPN ^°x& � & ADO | J��=A x& H ( �=C ^ J¨HDJOÉ Ì �zåjN�H ~J�_��=N ^B( J¨v��¸J�MGCP@ ^ J�NDO�J¨Hq��ADN & H¶���=CPN ^°x& � & ADO | Je�'J�N� ~J�N ~J (}& vPCP@ & N ^ ADNDJcOL�=ND@ ^B( ADO ^ CP�=N.HDJaµ | �=_ & @B�=N^s21 � yÅHDJL@ O��=vPC{_�C ^ JL@ | �=_�� ^ � % CP�>ADJL@�� x� v�� & C{HDJ¨HDJO�J ^�& H¶���=CPN ^ax& � & ADO | Je�'�=N�O &)(}& O ^>~J ( C{@BJ¨v{J�@ ~J�v ~J�_ ~J�N ^ HDJOÖ�� & C{ND@BCI�>ADJ�vPJ�@;�©�=NDO ^ J�A ( @ & @ %u|�~J ( CP�>ADJL@��

ª�& ND@XvPJ %'&)(n& � (n&)%u| Jf b>�p�=N0C{N ^B( �>HDADC ^ ADNDJ�O�v & @B@�J ( JL_ &)( �>A & `uv{JyHDJ��©�=NDO ^ J�A ( @¥JLN ^B( J % J�§^ C ^ J�@9O &)^>~J��=� ( CPJ�@��uv{J�@Á_¥� (B%u| CP@B_¥J�@ %D( � %D( J�@�� & C{ND@BCI�>ADJ�v & ND� ^ CP�=N�HDA & vPJKHDJK_�� (�%u| CP@B_�Jjv{CP@B@BJ)�'åjNH ~J�_��=N ^B( J�HDJ�@ %D( � %D( C ~J ^>~JL@®HDJ�@ ^n& `uC{vPC ^G~Je�¾J ^ �=N�JLN1HD�=NDNDJ % vPAD@BC{J�A ( @®O &)(}& O ^>~J ( C{@ &)^ C{�=ND@��s·sN�A ^ Câ§

fñd

Page 13: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

vPC{@ & N ^ vPJ�@ %D( � %D( C ~J ^>~J�@aHDJ�@c_�� (B%u| C{@B_�J�@ %D( � %D( J�@��p�=N ^B( �=AGEUJ¥ADNDJ�ND�=AGEUJLvPvPJ®O &)(n& O ^>~J ( CP@ &)^ C{�=NÀHDJ�@_�� (B%u| C{@B_�J�@ùO�� & @ %u|�~J ( CP�>ADJL@��e·�NG¹uNq�)�=NcH ~J�_��=N ^B( J±HDJ�@ ^}|�~JL� (ñxJ�_�J�@�HDJ±O |u& ND�=JL_�J�N ^ HDJS` & @BJe� % �=A (vPJL@Á_�� (�%u| CP@B_�JL@ %D( � %D( J�@��=A�vPCP@�@BJ�@�� & N & vP�=�=ADJ�@ x& OLJ�A>M�HDJKv & � ~J��=_ ~J ^B( CPJ & vP� ~JL` ( CP�>ADJ)�

«±J ^ �=AGE (n& �=J¨O��=_ % � (B^ JKHDJ�A>M &)%D% J�NDHDCPOLJ�@ %'&)( ª J�NDCP@�§Ä« |u&)( vPJ�@�«±CP@BC{ND@��GC�� ª�& ND@¦v{J %D( J�_¥CPJ ( �CPv�H ~J�_��=N ^B( J �­ADJ v & O &)^>~JL�=� ( CPJ HDJ�@9O�AG`zJ�@��D�=A®O &)^>~J��=� ( CPJ OLAG`uCP�>ADJ)�GJ�@ ^ ADNDJ O &)^>~JL�=� ( CPJ ^ JL@ ^ �>OLJ��­ADJ� ( � ^}| J�NDHDCPJLOn� &)¯°( _�J�@ & ND@ %D( J�AGEUJ®H & ND@�����A ( @BADC{ND� ] ^n& O}�G@B�D� ª�& ND@cv{J®HDJ�A>MDC xJ�_�Je�ÅC{v %D( �=AGEUJ)�J�N & H &)%D^n& N ^ v & H ~J�_��=ND@ ^�(n&)^ CP�=N?HDA ^}|S~J�� (�xJ�_¥J � HDJ ß ADCPv{vPJ�Nq�¿�>ADJ î �?�+� J�@ ^ ADN1v{�>O & v{CP@ &)^ JLA (�©�=NDH & _�J�N ^n& vI�©� (B^ �

354687 4689:68;=<>68?@BA�CEDGF HJI:FKIMLON�LQPKN-RSLUTWVYX[Z0N\^]`_ZbaUcdL2NYefZ0cdg`hiefjlkmkmZ=kmj`npoZfqQZ0N>n`Z0N�r�s`\�Z0N>nut v^jlkmjdrYjl\^LQZ0w^T^x8v[oZ0NYZlT ٠�:� ٠F@Byiz{C!|}FK~=cd�^]�L2ZfqUTu��FK�pL2NYk�cdP�T�V-I8cdqQefg^q2g^Njda!a�]-cdebrYLQjlPKN>cdPKn�v^jlkmjdrYjl\Ss�rYv^Zfjl]Js`w^TK��]��lZf�^P^L2N-N�Z�n`Zf]=�ic�r-v`Zfk�c�rYL2RpT`�ljlq�FK�S�`T

� \`]YLQP^�lZf]JH���Zf]�qOcd�KT ô0�l�S� F@ �-C X{F!��q2qQgKN�L2ZlT:V-IMjlkm\^q2Zbh�Z�efjdr�cdP`�lZfP�r�Zbrmn8_Zba�jl]�k�c�r-LQjlPKN0T���w^T�XuZfebr-g`]YZ��jdrYZ0N�LQP��ic�rYv^Zfk�c�r-LQe0N Ù � � T � \^]�L2P^�lZf]JH���Zf]�q2cd�KTô0�S�Lô F@ �.C �-F��ij�Zf]Yn`L ¡�R�T�V-IMqOclNYN�LQa¢s�L2P`� � \KcdefZ0N!cdPKn�IMqOclNYNYL£a¢s�L2P^�¤x�jl\�jlLOwUT¥XuZfebr-g`]YZ8�¤jdr-Z0N�LQP��¦c�rYv^Zfk�c�rYL2e0N ô0��ô0� T � \^]�L2P^�lZf]JH���Zf]�q2cd�pTô0�l� �`F@ §�¨uCG©�F�~:]YjdrYv^ZfP^n`L2Zfe�RpTWVY|{g^]YNYg^LQP^� � r-cdebR�NYw^T ô0�lª �^F@B«¬C­DGFp~¬F�®>g^LQq2qQZfP�T�¯:°O±S²^³0´Gµ:¶ ±�³�·0´-¸l°�¹mº�»�¼}²^³�½l´f¾�¿�À�X��:�5�dÁ ô T � \^]�L2P`�lZf]�H���Zf]�q2cd�KT ô0�S� �^T`\^\[F ª �¥H ô Á � F@ ÂmÃSC�Ä�F�ÅÆF^x8v^jlk�clNYjlP�T ���Q� ¸lÇG¸i¹�¶Q½lÇ�³�ÈÊÉʽ�È�³¥¶�¹b¸lË�³�±�½l´f¾STKI8cdv^L2Zf]YN�n`Z�x�jl\�F�Zbr>~�_Zfjlk¦F�D>L£Ì�F�I8c�r�FOT Ù ô T^�^T�\^\�F`� � �¥H�� Ù ÁKTô0�lª � F@ Â�Í`C¬Ä�F�ÅÆFpx8v^jlk�clNYjlP[T[¯�½SÉʽlËJ½0Îp¾�¹b½�¶£°�É�°�Ë�ÇG°�ÏÐË�²^³Ê¹b¸lË�³�±�½S´f¾¦½�ÑGÇ�É�¸�¶�¶{¹b¸lË�³�±�½l´f°�³fÇfTp�ic�r-v[F�|�]�j�elFuI8cdkG��F�|�v^LQqUF � j�elFOTª �`T^\`\�F ��ô H ô � � T ô0�S�d� F

f=f

Page 14: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

6 k=ÒÔÓ É oqmmÓ Ì Ò­m È k ˦h Ò1l É Ç Ê mmÕøk Ç�È m Ë�Ö r

�zÎ�Í'Î ] �=C ^ í ADNDJ¨O &)^G~J��=� ( C{Je��åjN�HDC ^ �­Aq�¸ADNDJ %'&)(B^ CPJ î HDJ�ïDðâ��í��9JL@ ^ û � « � ³ ¡�¿<¡Q´uésì � é¬ë±ª�¨¡þ¡±@BC ö� � t J�@�C{HDJ�N ^ C ^>~J�@Á@B�=N ^ H & ND@ î �� � ] C½HDJ�A>M�HDJ�@ ^�( �=CP@I� xJ�O | J�@ Hq�¸ADN ^B( C & ND�=v{JjO��=_�_aA ^n&)^ C{�ù@B�=N ^ H & ND@ î �uCPvIJ�N�J�@ ^ HDJ¨_ -J�_¥J% �=A ( v &c^B( �=C{@BC xJ�_¥Je�§ � ] C½K ö�� þq÷ � J ^ � ö±� ÷ � þù@B�=N ^ HDJ�A>Mw_�� (B%u| CP@�_�J�@;HDJcí ^ JLvP@¦�­ADJ��?K � fKצء�'J ^ @�CKb�aJ�@ ^ H & ND@ î �'C{vqJ�N�J�@ ^ HDJ�_ -J�_�J % �=A ( ����HD�=NDO & AD@�@BC % �=A ( KsJ�N�EUJ (�^ A�HDJ�� � �SJ ^ � � �B�´�

�¡v (>~J�@BADv ^ J¨HDJ�� � �SJ ^ � § �±�­ADJ¨v{J�@ÁC{@B�=_�� (B%u| C{@B_�J�@9@B�=N ^ H & ND@ î �å N�HDC ^ �>Aq��ADN�_�� (B%u| C{@B_�J�É ö à ÷ Ë�HDJKí J�@ ^ ë�´&«\²�¡Qªnì°¡ ³H³ ¡Q¿<¡Q´ué2¬ � ´Dì î @�C ö«¡�6É J�@ ^ �>A &)(B(n& `uv{JÀ� & A ^�( J�_�J�N ^ HDC ^ � % �=A (�^ �=A ^ _�� (B%u| C{@B_�J¸Ëaþ ÷ Ë®�¿vPJ %D( �>HDADC ^ ¹D` (>~JË þ h�Ù Ã J�@ ^;( J %D(>~J�@�J�N ^}& `uvPJ�H & ND@Áíó�Q�«\«¡� % �=A (�^ �=A ^ O &)(�(G~JKO &)(B^>~J�@BC{J�N à þ �

É�þà ÉË þ �±Ë )

vPJ�_�� (B%u| C{@B_�J�É'þ½JL@ ^ H & ND@ î ��zÎ\�zÎ Á � ^ �=ND@ë{�|~}Kv & O &)^>~JL�=� ( CPJ®HDJ�@ % J ^ C ^ J�@cO &)^>~J��=� ( CPJ�@���J ^ÛÚ ADN �e`G��J ^ ¹uN & vSHDJ<{q|_}®�ÙADNDJ�O & §^>~J��=� ( CPJ & ³ & N ^ ADN�@BJ�ADv½�e`D��J ^ �uJ ^ v��¸CPHDJLN ^ C ^>~J�HDJKO�J ^ �e`G��J ^ OL�=_�_�J @BJ�ADv½_�� (B%u| C{@B_�Jñ�´�'åjN &)%D% J�vPv{J³ ê §:�T³ «©ì � é�¡�ë�ªMû�ê?´�¬ � ¿<¡�´ué �T³ ADNDJ %'&)(B^ CPJëÖ HDJ�ïDðF�\{q|_}��9@ &)^ CP@B� & C{@ & N ^ & A>M�O��=NDHDC ^ CP�=ND@;@BADC{E & N ^ J�@ ö

t & � t &°%'&)(B^ CPJDÖ HDJ�ïDðF�\{�|~}��±J�@ ^ � & CF`uvPJ�_¥J�N ^ @ &)^ A (>~J�Je�t `�� ] C à JL@ ^ ADNDJ % J ^ C ^ J�O &)^>~J��=� ( C{J & HD_¥J ^B^n& N ^ ADN��e`G��J ^ ¹uN & v�� & vP� ( @ à ÷ Ú J�@ ^ H & ND@BÖø�t Oñ� ] CqÉ ö à ÷ ËüJL@ ^ ADN�_�� (B%u| CP@�_�JjHDJD{q|_} ^ J�vI�­ADJ % �=A (�^ �=A ^ �e`G��J ^ ä HDJëËy�É`åTä ö à åTä S ÷ ËæåTä

@B�=C ^ H & ND@2Ö�� & v{� ( @2ÉwJL@ ^ H & ND@2Ö��å N (}&)%D% J�v{vPJ¿�>ADJ à åTäÅH ~J�@BC{�=NDJsv & O &)^G~J��=� ( C{J¿HD�=N ^ vPJ�@I�e`G��J ^ @½@B�=N ^ v{J�@½O��=A % vPJ�@���|()¬è ö É���|G�¾÷ ä��n�

� xAl|aJ�@ ^ ADN®�e`D��J ^ HDJ à J ^ èyADN®_�� (�%u| CP@B_�J;HDJ�Ë®�UADN®_�� (B%u| C{@B_�J;HDJa��|�)¬èz�ÅH & ND@SADN®HDJLA>MDC xJL_�J�e`G��J ^ ��| þ )¬è þ �ÅHDJ à åTä ~J ^n& N ^ ADN¥_�� (B%u| C{@B_�J2� ö |a÷ | þ HDJ à ^ J�vD�>ADJÅè � è þ É����q��� t JÁ_¥� (B%u| CP@B_¥JÉ�åTäjJL@ ^ v{JK�©�=NDO ^ J�A ( C{NDHDADC ^;%'&)( ɽ�

t J�@ ~J�v ~J�_�J�N ^ @ HDJ­Ö @B�=N ^�&)%D% J�v ~J�@ HDJ�@�Ö�§½¨¡°¯Lë�«\² �?³ ¡�´ § ¡´ìe�'�=AHDJL@ñ¨¡þ¯L뱫�² �?³ ¡Q´ § ¡´ìMû � « � ³ ¡´ìe�zåjNHDC ^ �>Aq�¸ADNy_�� (�%u| CP@B_�J2É ö à ÷ ËóHDJB{q|_}sJL@ ^ Ö�§ � ì�¹�ÀB¨¡Qª+«�¯Lë&¡e�>�=A % v{AD@±@BCP_ % v{J�_�J�N ^O� ì�¹�À!¨¡�ª+«�¯Lë(¡e�@BC�� % �=A (¦^ �=A ^ �e`uv{J ^ äjHDJdË®��É�åTä ö à åTäÁ÷ ËæåTäjJ�@ ^ ADNDJ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J�� & CF`uvPJe� t & O��=NDHDC ^ C{�=N � t Oñ�O�C⧠HDJ�@B@�AD@ % J�A ^ HD�=NDO�@L� ~J�ND�=NDO�J ( ö ADN�_�� (B%u| C{@B_�J & @ %u|�~J ( CP�>ADJÁHDJI{�|~}pJL@ ^ ADNDJ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J;� & C{`uvPJ)�å N�HDC ^ �­Aq�¸ADNDJ % J ^ C ^ JaO &)^>~J��=� ( CPJ à J�@ ^ Ö�§ � ì�¹�À!¨¡QªQ«�¯Lë(¡)�q�=A % v{AD@�@�CP_ % v{J�_�J�N ^<� ìŹ�ÀB¨¡QªQ«�¯Lë(¡)�z@BCpv{J�©�=NDO ^ JLA ( à ÷ Ú J�@ ^¿& @ %u|S~J ( CP�­ADJe�e�=AaHDJ±� &`pO��=N ~J��>ADCFE & v{J�N ^ J±ADNDJ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J±� & C{`uv{Je� t & O��=NDHDC ^ CP�=N� t `�� &)¯°( _�J�HD�=NDO¨�­Aq�¸ADNDJ % J ^ C ^ J¨O &)^G~J��=� ( C{J & HD_¥J ^B^n& N ^ ADN��e`D��J ^ ¹uN & vIJ�@ ^¦& @ %u|�~J ( C{�>ADJe�

f b

Page 15: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� �zÎÇÆqÎ á ê?« é,É ö à ÷ Ë ë±´.¿�ê�ª�¹�À~«©ì+¿<¡6¬~¡�{q|_}þ»& � ¦ ¡�û�ê?´ § é�¡�뱪rÉС�ì´é � ì�¹�À!¨¡Qª+«�¯�ë&¡¦ì+«M¡�éÅì°¡�ë ³ ¡Q¿<¡Q´'é¾ì+«Çâ(¹'ê¶ë�ª éÄê)ë­é9ê �Vã ¡�é`ät¬±¡rË<â ³·�l§:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡Ã åTäס´ì´é � ì�¹�À!¨¡�ª+«�¯Lë(¡°»`�� á «�Éç¡´ì´é�ë±´(«\²T¡Qª´ì°¡ ³H³ ¡Q¿<¡�´ué$¬ � ´Dì2Ö â �?³ ê�ª´ì$Éç¡´ì´é � ì�¹�À!¨¡Qª+«�¯�ë&¡°»

Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã �p�=A (±^ �=A ^ �e`G��J ^ ä;HDJ�Ë®�>v & O &)^>~J��=� ( C{J�Ë6åTä & HD_�J ^ ADNy�e`G��J ^ ¹uN & vp��äX)�f�ä}���U�¡v(>~J�@�ADv ^ J�HD�=NDOcHDJL@ O��=NDHDC ^ C{�=ND@a� t & �ÁJ ^ � t `��;�>ADJ­É�åTä ö à åTäÁ÷ Ë6åTä�JL@ ^ ADNDJ ~J��­ADC{E & vPJ�NDO�Jc@�CP_ % v{J@BC¿J ^ @�J�ADvPJ�_¥J�N ^ @BC à åTäa÷ Ú v¬��J�@ ^ �IO�J��­ADC %D( �=AGEUJ�v¬� & @B@BJ (B^ CP�=N1� � ��� t � & @B@BJ (�^ CP�=N � � � (>~J�@BADv ^ J¥HDJv¬���e`u@BJ ( E &)^ C{�=N��>ADJ�vPJ�O &)(B(>~J à åTä �

É�åTäà ÉË6åTä �_Ë )

� xA�v{J�@2� xJLO | JL@ | � ( CòÂL�=N ^n& v{J�@�H ~JL@BCP�=NDJ�N ^ v{J�@��©�=NDO ^ J�A ( @ÁO & ND�=NDCP�­ADJ�@��'J�@ ^ O &)(B^>~J�@BC{J�Nq�( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� �zηð½Î á ê?« é à ë�´`¡z¹(¡LéV« é�¡ §�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡°» ¦ ¡�ì § ê?´�¬?« é�«ºê�´Dì;ì´ë±«�² � ´ué�¡´ì9ì�ê?´uéר¡°¯Lë�«\² �?³ ¡�´u颡�ìßå

& � à ÷ Ú ¡´ì´é�ë±´`¡ý¨¡°¯Lë�«\² �?³ ¡�´ § ¡Mû � « � ³ ¡��`�� à ÷ Ú ¡´ì´é � ì�¹�À!¨¡Qª+«�¯�ë&¡çæ � ë­é�ª:¡Q¿l¡Q´ué$¬?« é à ¡´ì´é � ì�¹�ÀB¨¡Qª+«�¯Lë&¡�è��Oñ� à ÷ Ú ¡�ì´éSë±´&«�²T¡Qªnìþ¡ ³H³ ¡Q¿<¡Q´'éI¬ � ´DìDÖ��

Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã t � ~J��­ADC{E & vPJ�NDOLJÁHDJ�� � �ÅJ ^ � � �ÅJ�@ ^°~JLE>CPHDJ�N ^ Je� t �¸CP_ % vPCPO &)^ CP�=N�� § �¬é � � � (>~J�@BADv ^ JHDJXv &®%D( � % �=@BC ^ CP�=N"b>� ¾ �p� � �´�q¢�=N ^B( �=ND@��>ADJ�� � ��C{_ % vPC{�>ADJ�� § ���z�¡vp@�� & �=C ^ HDJX_��=N ^�( J ( �>ADJ)� % �=A (^ �=A ^ J % J ^ C ^ J�O &)^G~J��=� ( C{J<Ë®�Gè�� Ù ö à h Ë ÷ Ë J�@ ^ ADNDJ ~J��­ADC{E & vPJ�NDOLJ¥� & C{`uv{Je��·sN"EUJ (B^ AÀHDJ.� t Oñ�J ^ HDJ¨v &a%D( � % �=@�C ^ C{�=N.b>� ¾ �ù� � �´�DCPvI@BA ¯¥^ HDJ�_��=N ^B( J ( �>ADJ)� % �=A (�^ �=A ^ �e`G��J ^ äjHDJ­Ë®�uv & O &)^>~J��=� ( C{J� à h ËX�ÕåTä;JL@ ^9& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)�Då ( �>�=N & ADNyC{@B�=_�� (B%u| C{@B_�J;HDJ O &)^>~J��=� ( C{J�@ � à h ËX�ÕåTäIì à h ��Ë6åTä����J ^ O��=_�_¥J %'&)(�| ³ % � ^}|qxJ�@�J à J�@ ^�& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)�;C{v¦@BA ¯°^ �±J�N2EUJ (B^ A HDJ�� t & ���SHDJ._��=N ^B( J ( �­ADJè�� ô ö à h Ë6åTäj÷ à J�@ ^ ADNDJ ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�Ja� & C{`uvPJ)�q·�NwEUJ (B^ AHDJ�� t O���J ^ HDJXv &y%D( � % �=@BC ^ CP�=N�b>� ¾ �� � �´�ùC{vs@BA ¯°^ HD�=NDO®HDJ�_��=N ^B( J ( �>ADJe� % �=A (�^ �=A ^ �e`G��J ^ |HDJ à �±� à h Ë6åTäL�ÕåT|wJ�@ ^a& @ %u|�~J ( CP�­ADJe�«±�=_�_�Jw� à h Ë6åTä���åT|.ì à åT| h Ë6åTä¶�½O�J�v &�(>~JL@BADv ^ JyHDJ� t `���� % ADC{@B�>ADJ à åT| h Ë6åTä & HD_�J ^ ADN�e`G��J ^ ¹uN & v¬�% Ö'× Ö���� Ð Ø ×¶Ô �zÎ��zÎ ¦ ¡$¹�ª}êþ¬)뱫Ùé�¬~¡6¬~¡�ë�êë¹(¡LéV« é�¡´ì §:� éZ¨¡:©­ê�ª+«�¡�ì � ì�¹�À!¨¡�ª+«�¯Lë(¡´ìd¡�ì´é � ì�¹�À!¨¡QªQ«�¯Lë(¡°»Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã ] �=CPJ�N ^ à J ^ Ë�HDJ�A>M % J ^ C ^ JL@ÅO &)^>~J��=� ( CPJ�@ & @ %u|S~J ( CP�­ADJ�@��e·sN�EUJ (B^ AcHDJ�v &�%D( � % �)§@BC ^ CP�=N²b>� Þ �Iv & HDJ�A>MGC xJ�_¥J %D( �)��J�O ^ CP�=N à h ËY÷ Ë J�@ ^ ADNDJ ~J��­ADC{E & vPJ�NDOLJ�� & C{`uv{Je�ùHD�=NDO %'&)( � t & �à h Ëó÷ Ú J�@ ^ ADNDJ ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�JK� & CF`uvPJe�uO�JK�>ADC %D( �=AGEUJKvPJ�O�� ( �=vPv & C ( J)�% Ö'× Ö���� Ð Ø ×¶Ô �¤Î��qÎ á ê�«�¡Q´'é�É ö à ÷ Ëlâ�É þ ö à þ ÷ Ë þ ¬~¡Lë[ê.¿�ê�ªÅ¹�À~«©ì+¿l¡´ì � ìŹ�ÀB¨¡QªQ«�¯Lë(¡´ì<¬~¡D{�|~}¼»ë ³ ê�ª´ì ³ ¡*û�ê�´ § é�¡�ë�ª$É h É'þ ö à h à þ'÷ Ë h Ëcþ2¡´ì´é � ì�¹�À!¨¡Qª+«�¯�ë&¡°»Ü 468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã �¡v¾@�� & �=C ^ HDJ°_��=N ^B( J ( �>ADJe� % �=A (¨^ �=A ^ �e`G��J ^ ��äX)�ä�þ{� HDJ<Ë h Ëcþ��Iv & O &)^>~JL�=�)§( C{J²� à h à þP�ÕåD��äX)�ä�þ{�°J�@ ^�& @ %u|S~J ( C{�>ADJe�9å ( �¦� à h à þP�ÕåD��äX)�ä�þ{�°J�@ ^ O & ND�=NDCP�>ADJL_�J�N ^ CP@B�=_¥� (B%u| J x&� à åTäL� h � à þHåTä´þ �´�'J ^Á%'&)(Á| ³ % � ^}|qxJL@BJe� à åTäjJ ^ à þÇåTä�þq@B�=N ^ & @ %u|�~J ( CP�­ADJ�@�� t � & @B@BJ (B^ CP�=N (>~J�@BADv ^ J¨HD�=NDOHDA�O�� ( �=vPv & C ( JKb>� ó �

f ¾

Page 16: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

Ï Ô>ÛÀÛZÔ �¤ÎJ'zÎ á ê�«Ùé à ì÷ Ë í÷ � ë�´ § ê¶ë°¹ ³ ¡×¬~¡l¿�ê�ªÅ¹�À~«©ìQ¿<¡´ì § ê�¿B¹'ê¶ì � � ³ ¡´ìʬ~¡O{�|~}°» á «MÉ ¡´ì´é� ì�¹�ÀB¨¡Qª+«�¯Lë&¡+â2¹�ê¶ë±ª�éÄê)ë­é�ê �Vã ¡�é � ¬~¡×�6â ³ ¡.¿�ê�ªÅ¹�À~«©ìQ¿<¡ÊÉ�å � ö à å � ÷ Ëæå � «\´`¬)뱫Ùé!¹ � ª×É ¡´ì´é� ì�¹�ÀB¨¡Qª+«�¯Lë&¡þ»Ü 468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã åjN1E ~J ( C{¹uJ & AD@B@�C ^?-� ^ �­ADJ % �=A (®^ �=A ^ �e`D��J ^ ��ä�)¬è öiî ��äL��÷ � �°HDJ�Ë6å � v &O &)^>~JL�=� ( CPJ�� à å � �ÕåD��äX)¬èz�ÁJ�@ ^ O & ND�=NDC{�>ADJ�_�JLN ^ C{@B�=_�� (B%u| J x& à åTä¶�¤�­ADCÅJ�@ ^K& @ %u|�~J ( CP�­ADJe� % ADCP@B�­ADJæÉJ�@ ^¦& @ %u|�~J ( C{�>ADJe�uO�JK�>ADC %D( �=AGEUJK�>ADJDÉ`å � J�@ ^¦& @ %u|�~J ( C{�>ADJe�( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� �zÎ�ïqÎ á ê�« é à ì÷ Ë í÷ ��ë±´ § ê¶ëþ¹ ³ ¡<¬~¡æ¿�ê?ª�¹�À~« ì+¿<¡´ì § ê�¿!¹'ê ì � � ³ ¡´ìt¬~¡!{q|_}°» á «�É¡´ì´é � ì�¹�ÀB¨¡Qª+«�¯Lë&¡+â î Éÿ¡´ì´é � ì�¹�À!¨¡�ª+«�¯Lë(¡�ì+«�¡�é�ì°¡�ë ³ ¡Q¿<¡Q´ué�ì+« î.³ $ ¡´ì�éÅ»Ü 468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã �p�=A (Á^ �=A ^ �e`G��J ^B� HDJ­�X�'�=N & ADN ^B( C & ND�=vPJjO��=_¥_XA ^}&)^ CP�

à å � �É`å �ð ð ð ð�ñî É`å �

Ë6å �òòòòó î å ���å �J ^ ��J�N�EUJ (�^ A�HDA®vPJL_�_�JÁb>� ��É`å � J�@ ^S& @ %u|S~J ( C{�>ADJ¦J ^ J�N %'&)(B^ C{O�ADvPC{J ( ADNDJ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J¦� & CF`uvPJc� t Oñ�´�å N�J�N�H ~J�HDADC ^ � t & ���>ADJ î å � J�@ ^ ADNDJ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�Ja� & C{`uv{Jc@BCpJ ^ @BJLADvPJ�_�JLN ^ @BC î É`å � v¬�¸JL@ ^ �¤O�Ja�­ADC%D( �=AGEUJK�>ADJ î J�@ ^ & @ %u|S~J ( CP�­ADJ¨@BCIJ ^ @BJ�ADv{J�_�J�N ^ @�C î Éwv¬��J�@ ^ �( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� �¤Î�ôIÎ á ê?« é�É ö à ÷ Ë ë�´Ä¿�ê�ªÅ¹�À~«©ì+¿l¡æ¬±¡${q|_}þ» á «�É � ¬?¿l¡�é9ë�´ � ¬ ã ê�«\´'éxµ� ¬Tª}ê�« é�¡�?³ ê�ª´ì$Éÿ¡´ì´é � ì�¹�À!¨¡Qª+«�¯�ë&¡°»Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã ] �=C ^�î ADN & H¶���=C{N ^Xx& H ( �=C ^ J�HDJëɽ� t & `uC ��J�O ^ C{�=N��©�=NDO ^ � ( CPJ�v{vPJ

ßpàZm Ù �VÉÅ�V|G�Q)�äL�B��ì ßpàZm ô ��|() î ��äL�B�Q) | û%Ï�Ñ � à �+)Bä û�Ï�Ñ �VË°�CP_ % vPCP�­ADJ9�>ADJe� % �=A (¿^ �=A ^ �e`G��J ^ ä±HDJ2Ë®��v & O &)^G~J��=� ( C{J à åTäSJ�@ ^ CP@��=_�� (B%u| J x& v & O &)^>~JL�=� ( CPJ à å î �Vä�����>ADC & HD_�J ^ ADNc�e`G��J ^ ¹uN & v��=å NcJ�N�H ~J�HDADC ^ �>ADJ à åTä¾JL@ ^¾& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)�)O�Js�>ADC %D( �=AGEUJSv &;%D( � % �=@BC ^ CP�=Nq�% Ö'× Ö���� Ð Ø ×¶Ô �zÎ�Í{õIÎÐö ´`¡ý¨¡°¯Lë�«\² �?³ ¡�´ § ¡d¬~¡I¹(¡�é�« 颡�ì §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡´ì­¡´ì�é � ìŹ�ÀB¨¡QªQ«�¯Lë(¡°»% Ö'× Ö���� Ð Ø ×¶Ô �zÎ�Í'Í'ÎÐö ´`¡$¹(¡�é�« é�¡ §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡ à � ¬?¿l¡�é�é � ´uéSë�´²ê �Vã ¡�é�«\´&« é�« �?³ ¡´ì�é � ìŹ�ÀB¨¡QªQ«�¯Lë(¡°»Ü 468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã ] �=CPJ�N ^ è ô ö à ÷ Ú v¬�¸ADNDC{�>ADJc�©�=NDO ^ J�A ( HDJ à H & ND@jv¬���e`G��J ^ ¹uN & vÅHDJ­{q|_}��zJ ^3 ô ö�Ú ÷ à v{J��©�=NDO ^ J�A (X& @�@B�>O�C & N ^�x& v��¸ADNDC{�>ADJ��e`G��J ^ HDJ Ú ADN �e`D��J ^ CPNDC ^ C & v¿HDJ à �på NÀE ~J ( CF¹uJ& AD@B@BC ^?-� ^ �>ADJ¦è ô J�@ ^ ADN & H¶���=CPN ^yx& H ( �=C ^ JaHDJ 3 ô �Iå NJ�N"H ~J�HDADC ^ �>ADJ 3 ô J�@ ^¨& @ %u|S~J ( CP�­ADJ��¬b>� * ���HD�=NDOyADNDJ ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�Jy� & C{`uvPJ�� t Oñ���¿«±�=_�_�Jjè ô 3 ô � fp÷��pCPv (>~J�@BADv ^ J�HDJ�� t & ���>ADJ¨è ô J�@ ^ ADNDJ~J��­ADC{E & vPJ�NDO�JK� & C{`uv{Je�uO�J¨�­ADC %D( �=AGEUJ¨v�� & @B@BJ (B^ CP�=Nq��zÎ�ÍZ�¤Î ] �=C ^ É ö à ÷ ËYADN �©�=NDO ^ J�A ( �¾å N (n&)%D% JLvPvPJ®�­ADJ�v &�ø � ª:¡®HDJlÉ & A²HDJ�@�@BAD@aHq�¸ADN²�e`G��J ^äaHDJ<Ë J�@ ^ v & @B�=AD@�§ O &)^G~J��=� ( C{Jw��ND�=N % v{J�CPNDJ�� à äKHDJ à HD�=N ^ vPJ�@K�e`G��J ^ @�@B�=N ^ v{J�@¨�e`G��J ^ @­|.HDJ Ã^ J�v{@¦�>ADJëÉÅ��|>� � ä�J ^ HD�=N ^ vPJ�@¦_¥� (B%u| CP@B_¥J�@�@B�=N ^ vPJL@¦_�� (B%u| C{@B_�J�@!�"HDJ à ^ J�vP@��>ADJ­É����q� � f�ä��] �=C ^!��ö |°÷ |�þùADNw_�� (�%u| CP@B_�J�HDJ à �zå N�HDC ^ �>ADJ � J�@ ^t§ ê §:� ª�éZ¨¡´ìQ«�¡Q´ � ( J�v &)^ C{EUJL_�J�N ^ax& Éù�'�=A & A

f Þ

Page 17: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

HDJ�@B@�AD@�HDJ­Ë°�9@BC¬� % �=A (�^ �=A ^ _�� (�%u| CP@B_�J­� ö |¥÷ | þ þ ^ JLvù�­ADJ­ÉÅ���q� � É�� � ����C{vùJ´MDCP@ ^ J¨ADNwADNDC{�>ADJ_�� (B%u| C{@B_�Jßù ö |�þ'÷ |­þ þ ^ J�vq�>ADJOÉÅ�Jùu� � f ì Y � Ø [ J ^ � � ù � �| þ¸þ

| ��ú ú ú ú ú ú úÐû�| þü ù

å N�HDC ^ �>ADJ$ÉyJ�@ ^ ADNDJ$¹�ª�¨¡ § ê ø � ª � é�«ºê�´®@BC¬� % �=A (¿^ �=A ^ _�� (B%u| C{@B_�JÅè ö ä9÷ ä þ HDJ!Ë[J ^s^ �=A ^ �e`G��J ^ |HDJ à & A®HDJ�@B@BAD@;HDJ�ä²�VÉ���|G� � äL���>C{vzJ�MGCP@ ^ J�ADN�_¥� (B%u| CP@B_¥J¦O��>O &)(B^>~J�@BC{J�N � ö |°÷ | þ & AyHDJ�@B@BAD@9HDJèü�VÉ�� � � � èz����åjN�HDC ^ �>ADJëÉ.J�@ ^ ADNDJ § ê ø � ª � é�«ºê�´w@BC,ÉwJ�@ ^ ADNDJ %D(>~J�O��e¹D` (}&)^ CP�=NwJ ^ @BC½vPJ�O��=_ % �=@ ~JHDJ¨HDJLA>M�_�� (�%u| CP@B_�JL@;OL�>O &)(B^>~J�@BCPJLND@�O��=_ % �=@ & `uvPJL@ÁHDJ à J�@ ^ ADN�_�� (�%u| CP@B_�JjO��­O &)(B^>~JL@BCPJ�Nq�

ª A & vPJL_�J�N ^ �z�=NwHDC ^ �>Aq��ADN_¥� (B%u| CP@B_¥J¨HDJ à J�@ ^t§�� ª´éZ¨¡´ì+«�¡�´?� ( J�v &)^ C{EUJL_�J�N ^°x& Éz�Á@BC�v{J�_�� ( §%u| CP@�_�JZO�� (B( J�@ % �=NDH & N ^ HDJ ÃÐý ��O &)^>~J��=� ( CPJ�� %D% �=@ ~JLJÀHDJ à ��J�@ ^ O��>O &)(�^G~J�@BC{J�N�� ( J�v &)^ C{EUJ�_¥J�N ^²x&É ý ö ÃÐý ÷ Ë ý ���9å N,HDC ^ �­ADJ.vPJ.�©�=NDO ^ J�A ( É,JL@ ^ ADNDJ�¹�ª�¨¡ ø � ª � éV«ºê?´�� ( J�@ % �±ADNDJ ø � ª � é�«ºê�´q�°@�CvPJ��©�=NDO ^ JLA ( É ý J�@ ^ ADNDJ %D(>~J�OL�e¹D` (n&)^ CP�=NÀ� ( J�@ % �'ADNDJ¨OL�e¹D` (n&)^ CP�=N'�´�Ï Ô>ÛÀÛZÔ �¤ÎÙÍ8ÆqÎÐö ´dû�ê�´ § 颡L뱪$É ö à ÷ Ë�¡´ì´é¿ë�´`¡�¹`ª�¨¡ § ê ø � ª � éV«ºê?´�ì+«*¡�ésì°¡�ë ³ ¡Q¿<¡Q´ué�ì+«Hâ�¹�ê¶ë±ªKéÄê)ë­éê �Vã ¡�é äk¬~¡�Ë<â ³ ¡rûñê�´ § é�¡�ë�ª §�� ´¤ê�´&«�¯Lë&¡ à äÁ÷ à åTä � ìnì�ê § « � ´ué>µ� ë±´0ê ��ã ¡�é |¶¬~¡ ³·�׳·��ø � ª:¡ à äl¬~¡É � ë%¬~¡´ìnì´ë­ì­¬~¡Bä ³ $ ê �Vã ¡�é���|()�f�ä}�P¬~¡ à åTä � ¬?¿l¡�éSë±´ � ¬ ã ê�«�´ué×µ� © � ë § ÀZ¡°»t & H ~J�_��=ND@ ^B(n&)^ C{�=N�J�@ ^ v & C{@B@ ~J�J & A�v{J�O ^ JLA ( �

( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� �zÎÙͱð½Î á ê�«Ùé�É ö à ÷ Ë ë±´L¿®ê�ª�¹�À±«©ì+¿<¡¸¬~¡ë{�|~}>¡�é¦ì´ëþ¹_¹'ê ìñê�´D츯Lë(¡­É ìñê�« é ë�´`¡¹�ª�¨¡ § ê ø � ª � é�«ºê�´×¡�é�¯�ë&¡�â8¹�ê¶ë±ª;éÄê¶ë>épê �Vã ¡�é&ä­¬~¡MË<â ³·��ø � ª�¡ à äD¬~¡ É � ë<¬~¡´ì´ì´ë�ì2¬~¡Mäjì�ê�« é � ì�¹�À!¨¡QªQ«�¯Lë(¡°»ë ³ ê�ª´ì$Éç¡´ì´é � ì�¹�À!¨¡Qª+«�¯�ë&¡°»Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã ·sN�EUJ (B^ A�HDA�vPJL_�_�J %D(>~J�O ~JLHDJ�N ^ � % �=A (;^ �=A ^ �e`G��J ^ ä HDJëËy�uv{JK�©�=NDO ^ J�A (Kbä ö à ä S ÷ à åTä| Í÷ ��|()�f�äB�& HD_�J ^ ADN & H¶���=C{N ^Xx& � & ADO | J ]�ä ö à åTä S ÷ Ã ä ·�NaEUJ (B^ A°HDJ;v & %D( � % �=@�C ^ C{�=N¥b>� * �evPJ9�©�=NDO ^ J�A ( ]�ä¾J�@ ^s& @ %u|�~J ( C{�>ADJe�UHD�=NDO9ADNDJ ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�J9� & C{`uvPJ)�=J ^O��=_�_¥J à ä�JL@ ^9& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)�>CPvuJ�N®JL@ ^ HDJ¦_ -JL_�J % �=A ( à åTä¶�UO�J��>ADC %D( �=AGEUJ¦�>ADJ2É�JL@ ^±& @ %u|�~J ( CP�­ADJe��zÎ�ÍM�¤Î ] �=C ^ à ADNDJ¨O &)^G~J��=� ( C{Je�'åjN�H ~JL¹uNDC ^ ADNDJ�O &)^>~J��=� ( CPJëaÁ� à �SO��=_¥_�J @BADC ^¨öÏ�Ñ ��aÁ� à ��� � ïuðF� à � )J ^ @BCr� ö |"÷ ä°J ^ �zþ ö |�þ±÷ ä�þs@B�=N ^ HDJ�A>M �e`G��J ^ @cHDJ×a;� à ����v��¸J�ND@�J�_c`uvPJ ßpàZm�þ Y ô [ ���()+�zþP�¨JL@ ^�©� ( _ ~J�HDJ�@ÁO��=A % vPJ�@���ù�)`ÿu����ù ö |�þ'÷ |'��ÿ ö ä;÷ ä�þ ^ J�v{@Á�­ADJKv{J¨HDC & � (}& _�_�J ö

| �� ä ÿ| þ �� þ

üùä þ

� þ � ÿZ��ùf ó

Page 18: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

@B�=C ^ O��=_¥_XA ^}&)^ CP� � t �¸C{HDJ�N ^ C ^>~J�HDJd�.J�@ ^ H ~JL¹uNDCPJ %'&)( f�� � �¡f � )�f�ä}���uJ ^ @BC��ù�)`ÿu� ö � S ÷ � þ J ^ �Jù þ )`ÿ þ � ö � þ S ÷ � þ þ

@B�=N ^ HDJ�@Á_�� (B%u| C{@B_�J�@9HDJda;� à �����ù þ )`ÿ þ ���K�Jù`)`ÿD� � ��ù}ù þ )`ÿ þ ÿD�

å N�H ~JL¹uNDC ^ HDJ�A>M��©�=NDO ^ J�A ( @ öà ý a;� à �� 3 ô �} ô Ã

J�N % �=@ & N ^Á% �=A (�^ �=A ^ �e`G��J ^ �.HDJda;� à � ö3 ô ���q� � @B�=A ( O�J¨HDJ­�O��=_�_¥J _�� (B%u| CP@�_�JjHDJ à �} ô ���q� � `uA ^ HDJ­�.O��=_�_�Jj_�� (B%u| C{@B_�JjHDJ à �

J ^;% �=A (Á^ �=A ^ _¥� (B%u| CP@B_¥J¥�Jù`)`ÿD��HDJda;� à ���3 ô �Jù`)`ÿD� � ù ) } ô ��ù�)`ÿu� � ÿ

å N�E ~J ( C{¹uJ & AD@B@BC ^�-� ^ �­ADJ+ ö aÁ� à � S ÷ aÁ� à ý �� Í S ÷ � ) � û�Ï�Ñ ��a;� à �B�B)��ù�)`ÿu� Í S ÷ �0ÿ�)�ùu� ) ��ù�)`ÿD� û ïuð ��a;� à �B�!)

H ~JL¹uNDC ^ ADN�C{@B�=_�� (B%u| C{@B_�JjHDJ¨O &)^>~J��=� ( CPJL@ ^ JLv½�­ADJ

3 ô�� + � } ô J ^ } ô�� + �g3 ô Ï Ô>ÛÀÛZÔ �zÎ�Í��qÎ�� ê¶ë�ªXé¡ê¶ë>颡 §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡ à ⠳ ¡´ìIû�ê?´ § é�¡�뱪´ì 3 ô ö a;� à �¦÷ à ý ¡�éM} ô ö a;� à �¦÷ Ãì�ê�´'é�¬~¡�ì § ê ø � ª � é�«ºê�´uì¼»Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã ¢.�=N ^B( �=ND@¿�>ADJ�} ô JL@ ^ ADNDJÁO��e¹D` (}&)^ CP�=Nq� ] �=C{J�N ^ ÿ ö ä9÷ ä�þGADN°_�� (B%u| CP@�_�JSHDJà J ^ � ö |X÷ ä¿ADNc�e`G��J ^ HDJIa;� à � ^ J�v­�­ADJ�} ô ���q� � ä¶�þÁ � ^ �=ND@mÿ Ì ���q�qv¬���e`G��J ^ ÿ Ì ���q� � ÿ&� ö |a÷ ä´þHDJda;� à �SJ ^B� �0ÿ�)+�q�SvPJ�_�� (B%u| C{@B_�J � �0ÿ�)+�q� � ��f � )`ÿD� ö ��÷ ÿ Ì ���q�SHDJ­aÁ� à �´�|

�| ÿ&�

� f �� �fÿ`)+�q� ö � S ÷ ÿ Ì ���q�ä �ÿ ä þ

ä �ÿ ä þf �

Page 19: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

å N & } ô � � �0ÿ�)+�q�B� � ÿ®J ^ �=N�E ~J ( CF¹uJ & AD@B@BC ^?-� ^ �>ADJ�vPJ¦_�� (�%u| CP@B_�J � �0ÿ�)+�q�¿JL@ ^ O��>O &)(B^>~J�@BC{J�N�� ( J�v &)^ CF§EUJ�_�JLN ^ax& } ô ���DO�JK�>ADC %D( �=AGEUJK�>ADJ�} ô J�@ ^ ADNDJ %D(>~J�OL�e¹D` (n&)^ CP�=Nq�'·�N ( J�_ &)( �>A & N ^ �­ADJe� % �=A (;^ �=A ^_�� (B%u| C{@B_�J�ÿ>þ ö ä´þ�÷ ä´þ¸þIHDJ à �D�=N &

�0ÿ þ ÿD� Ì ���q� � ÿ þ ÿZ� � ÿ þ Ì �fÿ Ì ���q�B�J ^ � �fÿ þ )`ÿ Ì ���q�B� � �0ÿ�)+�q� � ��f � )`ÿ þ ����f � )`ÿu� � ��f � )`ÿ þ ÿu� �g� �0ÿ þ ÿ�)+�q� )�=N�JLN�H ~J�HDADC ^ �>ADJD} ô J�@ ^ ADNDJ¨O��e¹D` (}&)^ CP�=Nq�

·sN &)%D% vPCP�­A & N ^ O�J��­ADC %D(>~JLO xJ�HDJ x& v & O &)^>~J��=� ( CPJ¨� %D% �=@ ~J�Je�'�=NwJ�NwH ~J�HDADC ^ �>ADJ 3 ô � } ô�� +�JL@ ^& AD@B@BC½ADNDJ¨OL�e¹D` (n&)^ CP�=Nq�uO�JK�>ADC %D( �=AGEUJKvPJ�vPJ�_¥_�Je�Ï Ô>ÛÀÛZÔ �¤ÎÙÍM'¤Î� ê)뱪séÄê¶ë>é�¡q¹(¡�é�« é�¡ §:� éZ¨¡Å©�ê?ª+«�¡ à ⠳ ¡´ì&û�ê�´ § 颡L뱪´ì 3 ô ö aÁ� à �q÷ ÃÐý ¡�é�} ô ö a;� à �q÷ Ãì�ê�´'é � ìŹ�ÀB¨¡QªQ«�¯Lë(¡´ì¼»Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã å NyE ~J ( CF¹uJ & AD@B@BC ^?-� ^ �­ADJ�v{J�@�¹D` ( J�@�HDJ 3 ô J ^ } ô & HD_�J ^�^ J�N ^ ADN®�e`G��J ^ C{NDC ^ C & v¬�t � & @B@BJ (B^ CP�=N (>~J�@BADv ^ J & v{� ( @;HDA�O�� ( �=v{v & C ( J¨b>�{f=f=�DHDA�vPJL_�_�JKb>�Pf � J ^ HDJ¨v &a%D( � % �=@�C ^ C{�=Nwb>�Pf Þ ��zÎ�Í�ïIÎ ] �=C ^ É ö à ÷ ËüADN��©�=NDO ^ J�A ( �zåjN�JLN�H ~J�HDADC ^ ADN��©�=NDO ^ JLA (aÁ�VÉz� ö aÁ� à � S ÷ aÁ�VË°�� Í S ÷�ÉÅ���q� ) � û�Ï�Ñ ��a;� à �B�B)

��ù�)`ÿu� Í S ÷ �VÉ���ùu�+):ÉÅ�0ÿD�B� ) �Jù`)`ÿD� û ïDðF��a;� à �B�B)( J�NDH & N ^ OL�=_�_aA ^n&)^ CP�½vPJ�HDC & � (}& _�_�J @BADCFE & N ^�ö

�ºb f � f �à ýÉ ý

a;� Ã � �} ôa;�VÉz�

� 3 ô à ÉË ý aÁ��ËX� �} Ù� 3 Ù Ë

( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� �¤ÎÙÍWôqÎ á ê�«�¡Q´ué�É ö à ÷ Ë ë�´Ä¿�ê�ªÅ¹�À~«©ì+¿l¡6¬~¡2{q|_}<¡�é�É ý ö à ý ÷ Ë ý ³ ¡*ûñê�´ § é�¡�ë�ªê:¹_¹�ê ì�¨¡°» ë ³ ê?ªnìBÉý¡´ì´éSë�´`¡ý¨¡þ¯L뱫�² �?³ ¡Q´ § ¡zû � « � ³ ¡Kì+«r¡�é�ì°¡�ë ³ ¡Q¿<¡�´ué�ì+«�É ý ³ $ ¡´ì´é¢»Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã «9�=ND@�CPH ~J ( �=N ^ v{J�HDC & � (n& _¥_�JyO��=_�_aA ^n&)^ C{� b>�Pf � �{f�O�C⧠HDJ�@�@BAD@��±·�N0EUJ (B^ A1HDAvPJL_�_�Jcb>�{f J ^ HDJ�� t Oñ����vPJ�@ _�� (�%u| CP@B_�JL@B} ô ��} Ù � 3 ô J ^D3 Ù @B�=N ^ HDJ�@ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J�@ � & CF`uvPJ�@��z·�NA ^ C{vPCP@ & N ^ v &®%D( � %D( C ~J ^>~JXHDJa@ &)^ A (n&)^ CP�=N0� t & ���¤�=NJ�NH ~J�HDADC ^ �­ADJ6É"J�@ ^ ADNDJ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�Ja� & C{`uv{JX@�CJ ^ @BJ�ADvPJL_�J�N ^ @BC�aÁ�VÉz�;v��¸J�@ ^ �uJ ^ a;�VÉz�;J�@ ^ ADNDJ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�JK� & C{`uvPJ¨@BCùJ ^ @BJ�ADv{J�_�J�N ^ @BC,É ý v¬�¸JL@ ^ �uO�J�>ADC %D( �=AGEUJKv &c%D( � % �=@�C ^ C{�=Nq�% Ö'× Ö���� Ð Ø ×¶Ô �¤ÎH�MõIÎ á ê�« é à ë�´`¡r¹(¡LéV« é�¡ §:� éZ¨¡:©�ê?ª+«�¡°» ë ³ ê�ª´ì à ¡´ì´é � ì�¹�À!¨¡QªQ«�¯Lë(¡ ì+«*¡�épì°¡Lë ³ ¡Q¿l¡Q´uésì+« ³·�§:� éZ¨¡:©�ê?ª+«�¡cê:¹~¹'ê ì�¨¡þ¡ ÃÐý ³ $ ¡´ì´é¢»% Ö'× Ö���� Ð Ø ×¶Ô �zÎH�¤Í'Î á ê�« é!É ö à ÷ Ë ë�´ñ¿�ê�ª�¹�À~«©ì+¿<¡.¬~¡æ{�|~}�¡�é�ì´ëþ¹_¹'ê ì�ê?´Dìx¯Lë(¡<É[ìñê�« écë�´`¡¹�ª�¨¡ ø � ª � éV« ê�´.¡�é*¯Lë(¡�â�¹'ê¶ë�ªjé¡ê¶ë­é9ê �Vã ¡Léqät¬~¡$Ë<â ³·�iø � ª�¡ à äd¬±¡rÉ � ë>¬~¡�ìnì´ë­ìD¬±¡�äXì�ê�« é � ì�¹�À!¨¡QªQ«�¯Lë(¡°»ë ³ ê�ª´ì$Éç¡´ì´é�ë±´�¡ÿ¨¡°¯�뱫\² �?³ ¡Q´ § ¡zû � « � ³ ¡°»Ü 468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã � &)( H ~JL¹uNDC ^ C{�=Nq��É1JL@ ^ ADNDJ %D(G~JL¹D` (n&)^ C{�=N�@BC{�=NDC{¹uJ��­ADJkÉ ý ö ÃÐý ÷ Ë ý JL@ ^ADNDJ %D(>~J�O��e¹D` (}&)^ CP�=N.J ^ O��=_¥_�Je� % �=A ( ^ �=A ^ ä ûüÏ�Ñ ��ËX���X� ÃÐý ��ä � � à äB� ý �zv¬� & @B@BJ (�^ CP�=N (>~J�@�ADv ^ JcHDAO�� ( �=v{v & C ( JKb>� bedG�DHDJ¨v &X%D( � % �=@BC ^ CP�=Nwb>�{f Þ �DHDJ�� t Oñ�9J ^ HDJ¨v &a%D( � % �=@�C ^ C{�=N�b>�{f * �

f

Page 20: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

3 68Ý�á�9����6� ã� � ã t & @BC ^ A &)^ CP�=N %'&)(n&X- ¼ ^ HDC{@B@�³>_ ~J ^B( C{�>ADJe�z«±J�v & E>CPJ�N ^ HDA.� & C ^ �­Aq�¸�=N &¥%D( CFEGC{v ~J��=C ~JvPJL@®�©�=NDO ^ J�A ( @ & @ %u|�~J ( CP�­ADJ�@��SO�Jw�­ADC¦O�� (B( J�@ % �=NDH x&Z%D( CFEGCPv ~J��=CPJ ( v & OL� | �=_��=vP�=�=C{J %'&)(®(n&)%D% � (B^"x&v¬� | �=_��=vP�=�=C{Je�G�p�=A (Á(G~J ^n& `uv{C ( v & @�³>_ ~J ^B( CPJe�DC{v½@�A ¯¥^ Hq��CPN ^B( �­HDADC ( JKv & ND� ^ C{�=N�HDJ��©�=NDO ^ J�A ( O�� & @ %u|S~J�§( C{�>ADJe�GåjN®HDC ^ �>Aq��ADN®_�� (B%u| CP@�_�JBÉ ö à ÷ Ë�HDJB{�|~}¿J�@ ^ Ö�§ § ê � ì�¹�À!¨¡Qª+«�¯�ë&¡e���=A % vPAD@±@BC{_ % vPJL_�J�N ^§ ê � ì�¹�À!¨¡QªQ«�¯Lë(¡)�e@BCDvPJ±_¥� (B%u| CP@B_¥J�É ý ö à ý ÷ Ë ý J�@ ^s& @ %u|�~J ( C{�>ADJe�U�p�=A (¾^ �=A ^ �e`G��J ^ äSHDJ$Ë®�=ND� ^ �=ND@ä�� à v & O &)^>~JL�=� ( CPJ�HD�=N ^ vPJL@ �e`D��J ^ @ @B�=N ^ vPJ�@ OL�=A % vPJ�@X��|()¬è ö ä ÷ É���|G�B�´��� xA�|�J�@ ^ ADN.�e`G��J ^ HDJ ÃJ ^ è�ADN._�� (B%u| C{@B_�J¨HDJ6Ë®�zADN._�� (�%u| CP@B_�J¨HDJ���|�)¬èz�9H & ND@�ADN.HDJ�A>MGC xJ�_¥J��e`G��J ^ ��|­þV)¬è'þ �;HDJæä�� Ã~J ^n& N ^ ADN�_�� (B%u| C{@B_�JO� ö |a÷ |­þIHDJ à ^ J�vI�>ADJ�vPJ ^B( C & ND�=vPJ

ä����� è � � � ���è'þÉ���|G� �É����q� ÉÅ�V| þ �@B�=C ^ O��=_¥_XA ^}&)^ CP� �uå N & ADN�CP@B�=_¥� (B%u| CP@B_¥J�O & ND�=NDCP�>ADJ ÃÐý åTäIìó��ä�� à � ý J ^ vPJ��©�=NDO ^ J�A (

ä��?É ö ä�� à ÷ ä��TË )CPNDHDADC ^Á%'&)( Éù�u@���CPHDJ�N ^ CF¹uJ & A��©�=NDO ^ J�A (

�VÉ ý åTä�� ý ö � à ý åTä�� ý ÷ ��Ë ý åTä�� ý �¡v (>~J�@BADv ^ J & vP� ( @¥HDJ�v &%D( � % �=@BC ^ C{�=N7b>�Pf * � ( J�@ % �sHDA1O�� ( �=vPv & C ( J�b>� bed�J ^ HDJ�v &%D( � % �=@BC ^ C{�=N7b>� ¾ �� � ���;�>ADJdÉ ö à ÷ Ë J�@ ^ O�� & @ %u|�~J ( CP�­ADJc@BC�J ^ @�J�ADvPJ�_¥J�N ^ @�C¬� % �=A (¦^ �=A ^ ä ûüÏ�Ñ ��ËX���'vPJc�©�=NDO ^ J�A (ä��?É ö ä�� à ÷ ä��TË2J�@ ^ ADNDJ ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�J�� & CF`uvPJ � ( J�@ % � v & O &)^G~J��=� ( C{Jrä�� à J�@ ^Å& @ %u|S~J ( C{�>ADJñ���¶·�N¨EUJ (B^ AHDJy� t Oñ�9J ^ HDJ�v &°%D( � % �=@BC ^ C{�=N.b>�Pf * �uADNw�©�=NDO ^ J�A ( O�� & @ %u|�~J ( CP�>ADJ¨J�@ ^ ADNDJ ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�J�� & C{`uv{Je�'·�NEUJ (B^ AHDJcv &¥%D( � % �=@�C ^ C{�=Nb>� * �zADN.�©�=NDO ^ J�A (K& HD_�J ^B^n& N ^ ADN & H¶���=CPN ^�x& � & ADO | JcJ�@ ^ O�� & @ %u|�~J ( CP�­ADJe�·�NG¹uNq�'CPv (>~JL@BADv ^ JKHDJKv &X%D( � % �=@BC ^ CP�=Nwb>�{f Þ J ^ HDA�O�� ( �=vPv & C ( JKb>� bedX�>ADJ�@BC½ÉwJL@ ^ ADNDJ %D(G~JL¹D` (n&)^ C{�=N x&¹D` ( J�@ & @ %u|S~J ( C{�>ADJ�@ & vP� ( @$ÉwJ�@ ^ O�� & @ %u|�~J ( C{�>ADJe��zÎ\�ZÆIÎ ] �=C ^ à ADNDJ�O &)^>~J��=� ( CPJ)��å N (n&)%D% J�vPv{J°�­Aq�¸ADN § ª+« � ³ ¡¦HDJ à JL@ ^ ADNDJ°@B�=AD@�§ O &)^G~J��=� ( C{J % vPJLCPNDJ� HDJ à ^ J�v{vPJ��­ADJ®@BC�| þ ÷ |"J�@ ^ ADN²_�� (�%u| CP@B_�J¥HDJ à �ùJ ^ @BC�|J�@ ^ ADN �e`G��J ^ HDJ � �ÅC{v�J�N²HDJ_ -J�_¥J % �=A ( | þ � n N § ê § ª+« � ³ ¡±HDJ à JL@ ^ ADNDJK@B�=AD@�§ºO &)^>~J��=� ( C{J % v{J�CPNDJ ý HDJ à ^ J�vPv{JK�­ADJ ý ý @B�=C ^ ADNO ( CF`uvPJcHDJ à ý � & A ^�( J�_�J�N ^ HDC ^ �z@BC |�÷ | þ J�@ ^ ADN._�� (�%u| CP@B_�J¨HDJ à �zJ ^ @BC�|�J�@ ^ ADN.�e`G��J ^ HDJ ý �CPvIJ�N�J�@ ^ HDJ¨_ -J�_�J % �=A ( |­þ�� ] C 4 ô H ~J�@BC{�=NDJ�v & O &)^>~J��=� ( C{J¨O�� (�( J�@ % �=NDH & N ^¥x& v¬��J�ND@BJ�_c`uvPJK� ( HD�=NDN ~J7 d<J[fT;U� & vP� ( @ % �=A (¦^ �=A ^ �©�=NDO ^ J�A ( É ö à ÷ 4 ô �!É òùô �¬dU�À� ( J�@ % ��É òùô ��f �D�ÁJ�@ ^ ADNwO ( C{`uv{J�� ( J�@ % �ADN�O��­O ( CF`uvPJñ�±HDJ à J ^ v�� &)%D% v{CPO &)^ C{�=N ö

É Í S ÷ É òùô �¬dU� � ( JL@ % � É Í S ÷ É òùô ��f �9�~J ^n& `uv{C ^ ADNDJK`uC ��J�O ^ C{�=N�HDJ�v & O�v & @�@BJ¨HDJ�@Á�©�=NDO ^ J�A ( @¦HDJ à H & ND@ 4 ô @BA ( v & O�J�v{vPJKHDJ�@¦O ( CF`uvPJ�@�� ( J�@ % �O��­O ( C{`uv{J�@n�±HDJ à �( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� �¤ÎH�8ð½Î á ê�«�¡Q´ué à ë�´`¡P¹�¡�éV«Ù颡 §�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡�¡�é � ô â � Ù ¬~¡Lë[ê § ª+« � ³ ¡´ì>¬~¡ à 颡 ³ ìx¯Lë(¡Ã � � ô�� � Ù » ë ³ ê�ª´ì�ì+« � ô â � Ù ¡�é � ô�� � Ù ìñê�´ué � ì�¹�À!¨¡�ª+«�¯Lë(¡´ì:âM« ³ ¡Q´Ä¡´ì�é�¬~¡­¿��¡Q¿<¡$¹'ê¶ë�ª à »

f �

Page 21: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã ] J¥HD�=NDNDJ ( ADNZO ( CF`uvPJ°HDJ à ~J��­ADC{E & A ^�x& @BJ¥HD�=NDNDJ ( ADNZ�©�=NDO ^ J�A ( à ÷ 4 ô �vPJ¥O ( C{`uv{J ~J ^n& N ^ v¬��CP_ & �=J (>~J�O�C %D( �>�­ADJ®HDJydG� t & HD�=NDN ~J�J®HDJ�@aO ( CF`uvPJ�@ � ô J ^ � Ù HDJ à ~J��­ADC{E & A ^�x&v & HD�=NDN ~J�JXHq�¸ADN��©�=NDO ^ J�A ( à ÷ 4 ô h 4 ô �qJ ^ HDC ( Ja�>ADJ à J�@ ^ v &�(>~JLADNDCP�=N"HDJL@KO ( C{`uvPJL@ � ô J ^ � Ù~J��­ADC{E & A ^Xx& HDC ( JK�>ADJ�O�J¨�©�=NDO ^ J�A ( @BJK� & O ^ � ( C{@BJ %'&)( v & @B�=AD@�§ºO &)^>~J��=� ( C{J

Ë �� ! " �¬d8)�f ��¬d8)ndU�$# #&%' ')(

��f�)ndU�*+ , -

HDJ 4 ô h 4 ô �uJ ^�& vP� ( @ � ô ì à åD�¬d8)�f �´� � Ù ì à åD��f�)ndU��J ^ � ô�� � Ù ì à åD��d8)ndU��� t � | ³ % � ^B|IxJ�@BJ¨�­ADJ� ô � � Ù J ^ � ô.� � Ù @B�=N ^�& @ %u|�~J ( CP�>ADJL@ CP_ % v{CP�>ADJ�HD�=NDOc�>ADJ¨vPJ��©�=NDO ^ J�A ( à ÷ Ë�J�@ ^j& @ %u|�~J ( CP�­ADJe�«±�=_�_�J×Ë & HD_�J ^ ADN��e`G��J ^ C{NDC ^ C & v¬�pC{v (>~JL@BADv ^ J�HDA1O�� ( �=v{v & C ( J�b>�{f=f��>ADJkË�J�@ ^�& @ %u|S~J ( C{�>ADJe�¾�¡v(>~J�@�ADv ^ J & vP� ( @;HDJ®� t Oñ�±J ^ � t & �±�>ADJ à JL@ ^ & @ %u|�~J ( CP�­ADJe��OLJK�­ADC %D( �=AGEUJ¨v &a%D( � % �=@�C ^ C{�=Nq�% Ö'× Ö���� Ð Ø ×¶Ô �¤ÎH�¤�zÎ á ê�«�¡Q´ué à ë�´`¡æ¹(¡�é�« é�¡ §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡�¡�é ý ô â ý Ù ¬±¡�ë[ê § ê § ª+« � ³ ¡�ì>¬~¡ à 颡 ³ ì%¯Lë(¡Ã � ý ô�� ý Ù » ë ³ ê�ªnìKì+« ý ô â ý Ù ¡�é ý ô�� ý Ù ì�ê�´ué � ì�¹�À!¨¡Qª+«�¯�ë&¡´ì�âM« ³ ¡Q´Ä¡�ì´é$¬~¡O¿/�¡Q¿l¡I¹'ê¶ë�ª à »Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã t J OL� ( �=vPv & C ( J (G~J�@BADv ^ Je�>JLNyEUJ (B^ A®HDJ�b>� bedG��HDJ v &�%D( � % �=@BC ^ CP�=N�b>� b Þ � &)%D% v{CP�­A ~J�Jx& v & O &)^>~J��=� ( CPJ�� %D% �=@ ~J�J ÃÐý �021 68Ý4365!67 ã� 8:ã t & O�v & @B@BJïuð �\{q|_}��KHDJ ^ �=A ^ J�@cv{J�@­� xJ�O | J�@aHDJ<{q|~}KJ�@ ^ ADN²v{�>O & v{CP@ &)^ JLA ( �©�=NDH & §_�J�N ^n& v &)%D% J�v ~J ³ ê §:�T³ «©ì � é�¡�ë�ªIû�ê�´`¬ � ¿<¡Q´'é �?³ é�ª+«\²X« �?³ »½å N"HDC ^ �>Aq�¸ADN�vP�­O & vPC{@ &)^ J�A ( �©�=NDH & _�JLN ^n& v ÖJ�@ ^ ´¤ê?´.éVªQ«\²þ« �T³ @BCqÖ 9� ïuð �\{q|_}����( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� �zÎH�¤'zÎ á « ³ ¡ ³ ê §��?³ «©ì � é�¡�ë�ª,ûñê�´�¬ � ¿l¡Q´ué �?³ Ö ´:$ ¡´ì´é&¹ � ì;é�ª+«�²þ« �?³ â �?³ ê?ªnìÁé¡ê¶ë>颡 §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡� ì�¹�ÀB¨¡Qª+«�¯Lë&¡6¡´ì´é*´¤ê�´%²X«�¬~¡°»Ü 468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã ·sN�J�èzJ ^ �D@BA %D% �=@B�=ND@¦�>ADJjv & O &)^>~JL�=� ( CPJ EGC{HDJ):°@B�=C ^�& @ %u|S~J ( CP�­ADJe�u�p�=A (Á^ �=A ^ J% J ^ C ^ J�O &)^>~JL�=� ( CPJO�°�uvPJ�O &)(B(>~J : �

:� � Ú

~J ^n& N ^ O &)(B^>~J�@BC{J�Nq��CPv (G~J�@BADv ^ J�HDJ¦v &�%D( � % �=@BC ^ CP�=Nyb>� Þ �>ADJ;:�÷ �$JL@ ^ ADNDJ ~J��­ADC{E & vPJ�NDOLJ�� & C{`uv{Je��O�J��­ADCCP_ % vPCP�­ADJ¥�­ADJ®v & O &)^>~JL�=� ( CPJl��J�@ ^X& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)� � CPND@BC�� ^ �=A ^ J % J ^ C ^ J�O &)^G~J��=� ( C{J®J�@ ^a& @ %u|�~J ( CP�­ADJe�J ^ �=N.J�N"H ~JLHDADC ^ � %'&)( v & O��=NDHDC ^ CP�=N.HDJX@ &)^ A (n&)^ CP�=N0� t & ���¤�>ADJ ^ �=A ^ _¥� (B%u| CP@B_¥J�HDJP{�|~}ÁJ�@ ^ ADNDJ~J��­ADC{E & vPJ�NDO�JK� & C{`uv{Je�uO�J¨�­ADCqO��=N ^�( J�HDC ^ v & ND�=N ^B( CFEGC & v{C ^>~J HDJOÖø�021 68Ý4365!6< ã� =:ã t &�%'&)(�^ CPJ×Ö?>A@�HDJ"ïuð �\{q|_}��a�©� ( _ ~J�J�HDA?�©�=NDO ^ J�A ( CPHDJ�N ^ CP�­ADJ�HDJ�v & O &)^>~J��=� ( C{JEGC{HDJe�¾J ^ HDJ ^ �=AD@¥v{J�@¥�©�=NDO ^ J�A ( @�HDJ�@B�=A ( O�JZ��HD�=NDO & AD@B@BC;HDJ�`uA ^ �XADNDJ�O &)^>~J��=� ( CPJ�ND�=N?E>CPHDJ�JL@ ^ADN7vP�­O & vPC{@ &)^ J�A ( �©�=NDH & _¥J�N ^}& v¬�±å N7HDC ^ �­Aq�¸ADN7vP�­O & vPC{@ &)^ J�A ( �©�=NDH & _�J�N ^n& vBÖ J�@ ^ ©?ª}ê ì´ì+«�¡Qª@L�¸CPvO��=N ^ CPJLN ^ Ö?>A@e�½�¡v (>~J�@�ADv ^ J�C{_�_ ~J�HDC &)^ J�_�JLN ^ HDJ°v &�%D( � % �=@BC ^ CP�=NÀb>� b �­ADJ¥vPJL@¨@BJ�ADv{@¨v{�>O & v{CP@ &)^ JLA ( @�©�=NDH & _�J�N ^n& A>M�� ( �=@B@�CPJ ( @Á@B�=N ^ Ö?>A@�J ^ v{JKv{�>O & v{CP@ &)^ J�A ( �©�=NDH & _¥J�N ^}& v ^�( C{E>C & vpïDðF�\{�|~}����021 68Ý4365!6B ã� C:ã t &�%'&)(B^ C{JdÖLØ HDJ�ïuð �\{q|_}B���©� ( _ ~J�JcHDJ�@ ~J��­ADC{E & vPJ�NDO�JL@ � & C{`uvPJL@�AD@�ADJ�vPv{J�@jHDJd{�|~}J�@ ^ ADN�v{�>O & v{CP@ &)^ JLA ( �©�=NDH & _�JLN ^n& vs�¬Â �{f ¾ ���

f *

Page 22: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

6 k=Ò ik�D Ë ÌFE mmÓÄk Ç oqk=Ò�lnm ÌHG ÓÄk=Ò Ê m Ç Ò Ë Ç kWoqm È ikJI É¿h Ì k Ê kLK h�ik½lnm Ì Ò>oqkIm Ë�Ö rM � ´Dì § ¡�¹ � ª � ©?ª � ¹�ÀZ¡+â±ê�´wì°¡ ø ê�¡�âsë�´`¡*û�ê�«©ì*¹'ê)뱪¨éÄê)ë­é�¡´ì:âsë�´ ³ ê §:�?³ «©ì � 颡L뱪Mû�ê�´�¬ � ¿<¡Q´ué �?³ Ö »ÆqÎ�Í'Î å NX@�JS¹GMDJ±ADNDJ % J ^ C ^ J±O &)^>~J��=� ( CPJ à �=å N°ND� ^ J /à v & O &)^>~J��=� ( CPJSHDJ�@ %D(>~JL� & CP@BO�J & A>MXHq�¸J�ND@BJL_a`uv{J�@@BA ( à ���p�=A (¦^ �=A ^ �e`G��J ^ |�HDJ à �z�=NwND� ^ J & AD@�@BC�|�vPJ %D(>~JL� & CP@BO�J & A #xÍ÷ ßpàZm ô � # )�|>� ( J %D(G~J�@BJ�N ^>~J%'&)( |��eJ ^ �=N°C{HDJ�N ^ C{¹uJ à x& ADNDJ9@B�=AD@�§ºO &)^>~J��=� ( C{J % v{J�CPNDJ9HDJ./à �Uå N¥H ~JL¹uNDC ^ ADN°O��=A % v{JÁHDJ9�©�=NDO ^ J�A ( @ ö

K ô öI/à S ÷ {q|_} ) K Ìô ö {q|_} S ÷ /Ãý Í÷ à å ý ) � Í÷ ÷�| Í÷ ßpàZm2���Q� � à åT|()�����ø

J ^ HDJ�@�_¥� (B%u| CP@B_¥J�@ÁHDJK�©�=NDO ^ J�A ( @ öN ö K ô K Ìô S ÷ f ���Q� ) O ö f /ô S ÷ K Ìô K ô �p�=A (;^ �=A ^ J % J ^ C ^ JKO &)^G~J��=� ( C{Jë�X�'v{JK�©�=NDO ^ J�A (�öNQP ö à å?K Ìô ���¨� S ÷ �J�@ ^ H ~JL¹uNDC %'&)(¨ö

��|�) à åT| í÷ �¨� Í S ÷ î �V|�)�f � � )J ^;% �=A (Á^ �=A ^Á%D(>~J�� & CP@BOLJ & A ý J ^Á^ �=A ^ �e`G��J ^ |®HDJ à �Dv¬� &)%D% vPC{O &)^ CP�=N öO$RÁ��|G� ö=ý �V|G� S ÷ ßpàZm2���+� � à åT|�) à å ý �J�@ ^ H ~JL¹uNDCPJ %'&)(¨ö

��|TS÷ ý � Í S ÷ � à åT| SVU÷ à å ý � )� xA 3 Ì J�@ ^ H ~JL¹uNDC %'&)(¨ö � # )¬è öT# ÷ |G� Í S ÷ � # ) 3 è öT# ÷ ý � ( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� ÆIÎH�zÎ ¦ ¡ § ê¶ëþ¹ ³ ¡t¬~¡´ì�û�ê�´ § 颡�ë�ªnìc�VK ô ):K Ìô �rûñê�ª+¿<¡cë�´ § ê¶ë°¹ ³ ¡æ¬±¡*û�ê?´ § é�¡�뱪´ì � ¬ ã ê�«\´ué�ì��v{JK�©�=NDO ^ J�A ( K ô J�@ ^�& H¶���=CPN ^°x& � & ADO | JKHDA��©�=NDO ^ J�A ( K Ìô �d¡�é ³ ¡�ìO¿�ê�ªÅ¹�À~«©ìQ¿<¡´ì­¬~¡*û�ê�´ § 颡�ë�ªnì� ¾ b f � N ö K ô K Ìô S ÷ f ���+� ) O ö f /ô S ÷�K Ìô K ôì�ê�´'é ³ ¡´ìë¿�ê�ªÅ¹�À~«©ì+¿l¡´ì­¬�$ � ¬ ã ê�´ § éV«ºê?´�»t & H ~J�_��=ND@ ^B(n&)^ C{�=N�J�@ ^ v & C{@B@ ~J�J & A�v{J�O ^ J�A ( �

bed

Page 23: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

ÆqÎÇÆqÎ å N�HDC ^ �>Aq��ADN�_�� (B%u| C{@B_�JjHDJ %D(>~J�� & CP@BOLJ & A>M�@�A ( à öN ö=ý S ÷ W

J�@ ^ ADNDJb¨¡°¯Lë�«\² �?³ ¡�´ § ¡Mû � « � ³ ¡j�=A>Ö�§½¨¡°¯Lë�«\² �?³ ¡Q´ § ¡K@BCIvPJ��©�=NDO ^ J�A ( O�� (B( JL@ % �=NDH & N ^cöK ô ��Np� ö à å ý S ÷ à åXW

J�@ ^ ADNDJ ~J��­ADC{E & vPJ�NDOLJ¨� & C{`uv{Je��åjN�ND� ^ JOÖ /ô v & O�v & @B@BJ¨HDJL@ ~J��­ADC{E & vPJ�NDO�JL@�� & C{`uv{J�@�HDJ /à ö� ¾ ¾ f � Ö /ô � K ò�ôô ��Ö[� t �¸J�ND@BJL_a`uv{J�HDJ�@ ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�J�@�� & CF`uvPJ�@�HDJ /à J�@ ^ ADNDJ %'&)(B^ C{J�� & C{`uv{J�_�J�N ^ @ &)^ A (G~J�J�HDJwïDðâ� /à ���ùåjNHDC ^ �>Aq��ADN�_�� (�%u| CP@B_�J�HDJ %D(G~J�� & CP@�O�J & A>M ö

N ö=ý S ÷ WJ�@ ^ Ö�§ � ì�¹�ÀB¨¡Qª+«�¯Lë&¡e�u�=A % v{AD@�@BC{_ % vPJ�_¥J�N ^d� ì�¹�À!¨¡Qª+«�¯�ë&¡e�D@BC½vPJ��©�=NDO ^ JLA ( O�� (B( J�@ % �=NDH & N ^cö

K ô ��Np� ö à å ý S ÷ à åXWJ�@ ^�& @ %u|S~J ( CP�­ADJe�¤·sN.EUJ (B^ AwHDJ�� t Oñ�c�ºb>� b=����ADN._�� (�%u| CP@B_�J & @ %u|�~J ( C{�>ADJaHDJ %D(>~J�� & C{@BO�J & A>MwJ�@ ^ ADNDJ~J��­ADC{E & vPJ�NDO�JK� & C{`uv{Je�( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� ÆIÎ ðùÎ á ê�« é�N ö=ý ÷ W�ë�´Ê¿�ê�ªÅ¹�À~«©ìQ¿<¡!¬~¡ ¹�ª�¨¡�û � « ì § ¡ � ë�ê±» ¦ ¡´ì § ê�´�¬?«ÙéV«ºê?´DìSì´ë±«�² � ´ué�¡´ìì�ê�´'é�¨¡þ¯L뱫�² �?³ ¡Q´ué�¡´ì ö

& �$Nb¡´ì´é � ì�¹�ÀB¨¡Qª+«�¯Lë&¡ �`��B¹'ê)뱪°éÄê¶ë>éKê �Vã ¡LéM|Ь±¡ à ¡�é;é¡ê¶ë>é!¿�ê�ª�¹�À~«©ì+¿<¡ë|�÷ W ¬~¡ /à ⠳·�%§�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡ à åD��| hZY ý �¡´ì´é � ì�¹�ÀB¨¡Qª+«�¯Lë&¡ �Oñ�$NÜ¡´ì´é�ë±´(«\²T¡Qª´ì°¡ ³H³ ¡Q¿<¡�´ué$¬ � ´DìOÖ /ô �ºb>�{f ���

Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã ª C ( Jw�>ADJ%N�J�@ ^�& @ %u|S~J ( C{�>ADJ.@BCP�=NDCF¹uJw�>ADJwv{Jw�©�=NDO ^ J�A ( à å ý ÷ à åXW�JL@ ^& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)� & A ^B( J�_¥J�N ^ HDC ^ �>ADJ % �=A (p^ �=A ^ �e`G��J ^ |a÷ W2HDJ à åXW°�¶v & O &)^>~J��=� ( CPJ � à å ý �ÕåD�V|c÷ W¨�ì à åD��| hZY ý �±J�@ ^�& @ %u|�~J ( CP�>ADJ��ºb>� ¾ �´�DO�J¨�­ADC %D( �=AGEUJ¨v¬� ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J�HDJ®� � �±J ^ � � ���] C$N J�@ ^ ADNDC{EUJ ( @�J�vPv{J�_�J�N ^ H & ND@æÖ /ô �pJ�N %'&)(�^ CPO�ADv{CPJ ( � % �=A (a^ �=A ^ _�� (B%u| C{@B_�JÊ|²÷ W°� & EUJ�O×|�e`G��J ^ HDJ à �uvPJ�_�� (B%u| C{@B_�JD| hZY ý ÷ |®J�@ ^ H & ND@BÖ /ô �'HD�=NDOKvPJ��©�=NDO ^ J�A ( à åD��| hZY ý �¾÷ à åT|J�@ ^ ADNDJ ~J��­ADC{E & vPJ�NDO�J±� & CF`uvPJ9J ^ �¶O��=_�_�J à åT| & HD_�J ^ ADNa�e`G��J ^ ¹uN & v¬�)CPv>JLN (>~JL@BADv ^ J9�­ADJ à åD��| h[Y ý �J�@ ^¦& @ %u|�~J ( C{�>ADJe�uO�JK�>ADC %D( �=AGEUJ�� § �ié � � �´�] A %D% �=@��=ND@�_ & CPN ^ J�N & N ^ N & @ %u|S~J ( C{�>ADJe�¤J ^ @B�=C ^ W�þ½÷ WüADN._�� (B%u| CP@�_�J &)( `uC ^B(n& C ( J�HDJ %D(>~J�� & C{@�§O�J & A>M¤�>¢.�=N ^B( �=ND@±�>ADJ�W�þ hZY ý ÷ W�þzJ�@ ^ H & ND@�Ö /ô �­�¡vz@�A ¯¥^ HDJ _��=N ^B( J ( �>Aq��CPv'J�@ ^9& @ %u|�~J ( CP�­ADJe�& A ^B( JL_�J�N ^ HDC ^ �­J�N�EUJ (B^ A�HDJ�v¬�¸C{_ % vPC{O &)^ C{�=Nw� � ��é � � ���­�­ADJ % �=A (S^ �=A ^ _�� %u| CP@�_�J!|a÷ WKþ¤HDJ /à �à åD��| hZY ØXWKþ hZY ý �zì à åD��| hZY ý ��J�@ ^;& @ %u|S~J ( C{�>ADJe�GOLJ �>ADC (>~JL@BADv ^ J HDJ v�� & @ %u|�~J ( CPO�C ^>~J HDJONZJ ^ HDJv¬��CP_ % v{CPO &)^ CP�=N�� � �ié � � ���'å N & HD�=NDO®� � �¦é � § �´�

b>f

Page 24: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

ÆqÎ��zÎ ] �=C ^pý ADNa�e`G��J ^ HDJx/à �=å NXHDC ^ �­ADJ ý J�@ ^ Ö § � ìŹ�ÀB¨¡QªQ«�¯Lë(¡)�)�=A % v{AD@p@BCP_ % v{J�_�J�N ^2� ì�¹�À!¨¡�ª+«�¯Lë(¡e�@BC;v & O &)^>~J��=� ( C{J à å ý J�@ ^�& @ %u|�~J ( C{�>ADJe� & A ^B( JL_�J�N ^ HDC ^ @BC$K ô � ý �aJ�@ ^®& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)� ] C ý JL@ ^ ADN%D(>~J�� & C{@BO�J & A ( J %D(>~J�@BJ�N ^n& `uvPJ)�Gv & O &)^>~J��=� ( CPJ à å ý�& HD_�J ^ ADNy�e`G��J ^ ¹uN & v¬�­J ^ C{v�J�N (>~JL@BADv ^ J �­ADJ ý JL@ ^& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)��·sN�EUJ (B^ A�HDJ¨v &a%D( � % �=@�C ^ C{�=N ¾ � Þ �DADNw_¥� (B%u| CP@B_¥JDÉ öUý ÷ WøHDJ /à J�@ ^¦& @ %u|S~J ( C{�>ADJ@BCSJ ^ @�J�ADvPJ�_¥J�N ^ @�C % �=A (c^ �=A ^ _�� (�%u| CP@B_�J<|À÷ W HDJ /à � & EUJLO¸|��e`D��J ^ HDJ à ��vPJ %D(>~J�� & C{@BO�J & A| hZY ý JL@ ^¦& @ %u|S~J ( CP�­ADJe�ÆqÎ��qÎ �p�=A (�^ �=A ^ J % J ^ C ^ J"O &)^>~JL�=� ( CPJ à �9�=N�ND� ^ J Ú /ô ADN,�e`D��J ^ ¹uN & v�HDJ /à �Á«9�=ND@�CPH ~J ( �=N ^ v{J�@%D( � %D( C ~J ^>~J�@ ö� �±vPJ %D(>~J�� & C{@BO�J & A ý J�@ ^¦& @ %u|�~J ( CP�­ADJ��� �9v{JK_¥� (B%u| CP@B_¥J ý ÷ Ú /ô J�@ ^ ADNDJ ~J��­ADC{E & vPJ�NDO�J�� & C{`uv{Jz�§ �9v{JK_¥� (B%u| CP@B_¥J ý ÷ Ú /ô J�@ ^¦& @ %u|�~J ( C{�>ADJz�¬G�±vPJ¨_¥� (B%u| CP@B_¥J ý ÷ Ú /ô J�@ ^ ADNDC{EUJ ( @BJ�vPv{J�_�J�N ^ H & ND@BÖ /ô �·�NwEUJ (�^ A�HDJav &®%D( � % �=@BC ^ CP�=N ¾ � Þ ��vPJ�@ OL�=NDHDC ^ C{�=ND@¥� § �ÁJ ^ ��¬G��@B�=N ^w~J��­ADC{E & vPJ�N ^ J�@jJ ^ �¤J�N.EUJ (B^ A.HDJ� t Oñ�¨�¬b>� b=���uO�J�@�O��=NDHDC ^ C{�=ND@¦CP_ % vPCP�­ADJ�N ^ v & O��=NDHDC ^ CP�=N � � �±�>ADC½J�@ ^ �'J�Nw� ~J�N ~J (}& v¬�'@ ^B( C{O ^ J�_�JLN ^Á% vPAD@� & C{`uv{Je� ] C�v & O &)^>~JL�=� ( CPJ à Nq�¸J�@ ^�%'& @ & @ %u|S~J ( CP�­ADJ & ADO�ADNDJ HDJ�@�O��=NDHDC ^ C{�=ND@ � � ����� § ������¬G�¾Nq��CP_ % v{CP�­ADJv & O��=NDHDC ^ CP�=N�� � ��� ] C à J�@ ^¿& @ %u|S~J ( C{�>ADJe�=O�J9�­ADC ~J��>ADCFE & A ^¦x&j&)¯°( _�J ( �­ADJ Ú /ô J�@ ^�& @ %u|S~J ( CP�­ADJe� & v{� ( @vPJL@¦O��=NDHDC ^ CP�=ND@a� � �;J ^ � � �Á@��=N ^�~J��­ADC{E & vPJ�N ^ J�@c��J ^ v�� ~J��­ADC{E & vPJ�NDO�J¨HDJ�O�J�@ O��=NDHDC ^ CP�=ND@ % �=A (¦^ �=A ^¦ý~J��­ADC{E & A ^�x& v�� & @ %u|�~J ( CPO�C ^>~J®HDJ à ���Å_ & C{@ ^ �=A¶���=A ( @ % v{AD@c� & C{`uvPJL@��pJ�N � ~J�N ~J (n& v��Å�>ADJ®v{J�@aO��=NDHDC ^ C{�=ND@~J��­ADC{E & vPJ�N ^ J�@�� § �qJ ^ ��¬G��� å NKEUJ (B(n& �­ADJsOLJ�@ù�­A &)^B( J�@½O��=NDHDC ^ CP�=ND@½@B�=N ^�~J��­ADC{E & vPJ�N ^ J�@½@BCUJ ^ @BJ�ADv{J�_�J�N ^@BC à JL@ ^¦^ � ^n& v{J�_�J�N ^ & @ %u|S~J ( CP�­ADJ�� � b=���zå NHDC ^ �>ADJ ý J�@ ^6³ ê §:�?³ ¡�¿<¡Q´ué Ö ® � ì�¹�À!¨¡Qª+«�¯�ë&¡e���=A % vPAD@@BC{_ % vPJ�_¥J�N ^O³ ê §:�?³ ¡�¿<¡Q´ué � ì�¹�ÀB¨¡Qª+«�¯Lë&¡��D@L�¸CPvI@ &)^ CP@B� & C ^¦& A>M�O��=NDHDC ^ CP�=ND@ ~J��>ADCFE & v{J�N ^ J�@c� § �SJ ^ ��¬G���«±J ^B^ J ^ J ( _¥CPND�=vP�=�=C{J±J�@ ^ ��AD@ ^ CF¹ ~J�J %'&)( v¬���e`u@BJ ( E &)^ CP�=NX@BADCFE & N ^ J ö ADN %D(G~J�� & CP@�O�J & A ý J�@ ^ vP�­O & vPJL_�J�N ^& @ %u|�~J ( CP�>ADJ°@BCpJ ^ @BJ�ADv{J�_�J�N ^ @�C¬� % �=A (�^ �=A ^ | û�Ï�Ñ � à ���qv{J %D(G~J�� & CP@�O�J & A ý C � à åT|>��CPNDHDADC ^�%'&)(Ký@BA ( à åT|�J�@ ^ & @ %u|S~J ( CP�­ADJe�'·�N�JQè¤J ^ �u�=N & HDJ�@�C{@B�=_�� (B%u| C{@B_�J�@

� à åT|G�ÕåD� ý C � à åT|>�B��ì à åD�V| h ý �zì à åD��| h ÷ /\ ý � ( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� ÆqÎ�'zÎ á ê�«�¡Q´ué à 뱴`¡�¹(¡�é�« é�¡ §�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡�â ý ë�´d¹�ª�¨¡�û � « ì § ¡ � ë°ì´ë�ª à â�¡�é ý ô ¡Lé ý Ù ¬~¡�ë�êì�ê¶ë­ì+®ò¹`ª�¨¡�û � «©ì § ¡ � ë[ê%¬~¡ ý é�¡ ³ ìʯLë&¡ ýÎ�üý ôZ� ý Ù » á « ³ ¡�ì�¹�ª�¨¡�û � «©ì § ¡ � ë�ê ý ô â ý Ù ¡�é ý ô�� ý Ù ì�ê�´ué� ì�¹�ÀB¨¡Qª+«�¯Lë&¡�ì:âM« ³ ¡Q´ü¡´ì´éI¬~¡ë¿/�¡�¿<¡I¹'ê)뱪 ³ ¡I¹�ª�¨¡�û � « ì § ¡ � ë ý »Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã ��v­@�� & �=C ^ HDJ±_��=N ^B( J ( �>ADJSv & O &)^G~J��=� ( C{J à å ý J�@ ^¿& @ %u|S~J ( C{�>ADJe�e� &)(Å| ³ % � ^}|qxJ�@�Je�vPJL@SO &)^>~J��=� ( CPJ�@ à å ý ô � à å ý Ù J ^ à å ý ô]� ý Ù @��=N ^;& @ %u|�~J ( CP�­ADJ�@��Då ( � à å ý ô J ^ à å ý Ù @��¸C{HDJ�N ^ C{¹uJ�N ^�x&HDJ�@SO ( C{`uv{J�@�HDJ à å ý � à å ý ô�� ý Ù @��¸C{HDJ�N ^ C{¹ & N ^9& A�O ( C{`uvPJÁCPN ^ J ( @�J�O ^ C{�=Nq� t � | ³ % � ^}|IxJ�@BJ ý��,ý ô^� ý ÙCP_ % vPCP�­ADJ��­ADJ à å ý J�@ ^ v &¨(>~J�ADNDC{�=NyHDJ�@±O ( CF`uvPJ�@ à å ý ô J ^ à å ý Ù � t &¨%D( � % �=@BC ^ C{�=N (>~J�@BADv ^ J HD�=NDO HDJv &a%D( � % �=@�C ^ C{�=Nwb>� b Þ �ÆqÎ�ïqÎ ] �=C ^ _ & CPN ^ J�N & N ^ É ö à ÷ Ë�ADN._�� (B%u| C{@B_�J�HDJë{�|~}´�qå NND� ^ JdÉ Ì ö2/Ë�÷ /à vPJc�©�=NDO ^ J�A (��CP_ & �=J (>~J�O�C %D( �>�>ADJ %'&)( É'�D� & @B@B�>OLC & N ^�x& ADN %D(>~J�� & CP@BOLJ & A ý HDJ /Ë vPJ %D(>~J�� & C{@BO�J & A ý �!ÉÀHDJ /à ��p�=A (;^ �=A ^Á%D(>~J�� & CP@BOLJ & A ý HDJ /Ë®�DvPJK�©�=NDO ^ J�A ( É ö à ÷ ËüCPNDHDADC ^ ADN��©�=NDO ^ J�A (

É�å ýóö à å ýÜ� à å?É Ì � ý � SùS(SZSZS&S ÷ Ë6å ý�V|�)�|_S÷�É Ì � ý �B� Í÷ ��ÉÅ��|>�Q):É���|G��S÷ ý �

b=b

Page 25: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

��J�N O��=ND@BC{H ~J (n& N ^ � %'&)( c��=NDJ�H & � 3 O��=_�_�J®ADN ~J�v ~J�_¥J�N ^ HDJ×É Ì � ý ����|>� � ý �VÉ���|>�B�u���Åå N?H ~J�¹uNDC ^& CPND@�C½ADN�_�� (B%u| CP@�_�JjHDJ¨�©�=NDO ^ JLA ( @a`

öv�`ì ö K ô É Ì S ÷ K Ù

J�N % �=@ & N ^

` R � É`å ý � % �=A (¦ý �e`G��J ^ HDJ /Ë®�( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� ÆqÎ�ô ¦ ¡´ì § ê�´�¬T« éV« ê�´Dì ì´ë�«\² � ´'颡´ì�ì�ê�´uéx¨¡°¯Lë�«\² �?³ ¡�´u颡�ì�å

& ��ÉС´ì�é � ì�¹�À!¨¡QªQ«�¯Lë(¡��`��M¹'ê¶ë�ªë¯Lë�$ ë�´P¹`ª�¨¡�û � «©ì § ¡ � ë ý ¬~¡ /Ë ì�ê�« é � ì�¹�À!¨¡QªQ«�¯Lë(¡�â « ³ û � ë>ér¡�éz« ³ ì´ëAb�é*¯Lë(¡ ³ ¡r¹�ª�¨¡�û � «©ì § ¡ � ëÉ Ì � ý �P¬~¡�/à ìñê�« é � ì�¹�À!¨¡�ª+«�¯Lë(¡��` þ �Sì+« ý ¡´ì´é�ë�´­¹�ª�¨¡�û � «©ì § ¡ � ë � ì�¹�À!¨¡�ª+«�¯Lë(¡�¬~¡ /Ë<â �?³ ê�ª´ìMÉqÌ)� ý �O¡´ì´é�ë�´­¹�ª�¨¡�û � «©ì § ¡ � ë � ì�¹�À!¨¡�ª+«�¯Lë(¡¬~¡�/à �`uþ þ ��¹�ê¶ë±ª¨é¡ê¶ë­é�ê �Vã ¡�é½äʬ±¡2Ë<â ³ ¡$¹�ª�¨¡�û � «©ì § ¡ � ëPÉ Ì ��äL�P¬~¡ /à ¡�ì´é � ì�¹�À!¨¡�ª+«�¯Lë(¡��Oñ�½¹'ê¶ë�ª9é¡ê¶ë­é&¹�ª�¨¡�û � «©ì § ¡ � ë ý ¬~¡ /Ëtâ ³ ¡,û�ê?´ § é�¡�뱪

` R ö à å?É Ì � ý �¾÷ Ë6å ý ¡´ì´éùë±´�¡Ä¨¡°¯Lë�«\² �?³ ¡�´ § ¡û � « � ³ ¡��O þ �r¹'ê¶ë�ªKé¡ê¶ë>é½¹�ª�¨¡�û � «©ì § ¡ � ë ý ¬~¡ /Ë<â ³ ¡�û�ê�´ § 颡L뱪

` R ö à å?É Ì � ý �¾÷ Ë6å ý ¡´ì´é � ì�¹�À!¨¡�ª+«�¯Lë(¡��O þ¸þ �z¹'ê¶ë�ª éÄê¶ë>é±ê �Vã ¡�é�äæ¬~¡IË<â ³ ¡ û�ê�´ § 颡�ë�ª

`ä ö à å?É�Ì=�Vä��¾÷ Ë6åTät¡´ì´épë�´`¡¶¨¡°¯Lë�«\² �T³ ¡Q´ § ¡�û � « � ³ ¡¤�¡�é�ì+« § ¡´ì § ê�´�¬T« éV« ê�´Dìjì�ê?´ué¿ì � éV« ì\û � « é�¡´ì:âSê�´ � å

H'�D¹'ê¶ë�ª¸¯Lë�$ 뱴п�ê?ª�¹�À~« ì+¿<¡6N ¬±¡ /Ë ì�ê�«Ùé ë±´`¡ ¨¡°¯�뱫\² �?³ ¡Q´ § ¡!û � « � ³ ¡�âB« ³ û � ë­é­¡Lé�« ³ ì�ëcb�éë¯Lë(¡É Ì ��Np�Kì�ê?« ésë�´`¡ý¨¡°¯Lë�«\² �?³ ¡Q´ § ¡Mû � « � ³ ¡d¬~¡ /à »M ¡2¹ ³ ë�ì�â�ì+« à ¡�é Ë ì�ê�´ué � ì�¹�À!¨¡QªQ«�¯Lë(¡´ì:â ³ ¡�ì § ê?´�¬?« é�«ºê�´Dì�� & � µ� ��H'��ìñê�´ué>¨¡�¯L뱫�² �?³ ¡Q´ué�¡´ì:â2¡�é>¨¡�¯L뱫�² � ®³ ¡Q´ué�¡´ì¶µ�t³·�¸§ ê?´�¬?« é�«ºê�´ åHDþ � ì+«qN ¡�ì´éSë±´`¡ý¨¡°¯Lë�«\² �?³ ¡�´ § ¡zû � « � ³ ¡d¬~¡ /Ëtâ �?³ ê�ª´ì$É Ì ��Np�6¡´ì�ésë�´`¡ÿ¨¡°¯Lë�«\² �?³ ¡Q´ § ¡zû � « � ³ ¡d¬~¡ /à »

Ü 468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã t �¸C{_ % vPC{O &)^ CP�=N� � �ié � � þ �SJ�@ ^�~JLEGC{HDJ�N ^ Je�uv¬�¸C{_ % vPC{O &)^ C{�=N.� � þ©�ié � � þ�þ©� (>~J�@BADv ^ JHDA�� & C ^ �>Aq��ADN %D(>~J�� & C{@BO�J & A ( J %D(>~JL@BJ�N ^n& `uvPJKJ�@ ^Á& @ %u|�~J ( C{�>ADJ¥� ¾ � ó �´�Gv¬��CP_ % v{CPO &)^ C{�=N.� � þ¸þ �¦é � § þ þ©�SHDJ�@t & � t `I�½�ºb>� b=���>v��¸C{_ % vPC{O &)^ CP�=Nw� § þ þ©�ié � § þ©��HDJ�v¬���e`u@BJ ( E &)^ CP�=Ny�­ADJ % �=A (9^ �=A ^9%D(G~J�� & CP@�O�J & A ý HDJ /ËJ ^Á^ �=A ^ �e`G��J ^ ��ä�)�ä S÷ ý �9HDJdË6å ý �'�=N & HDJ�@¦C{@B�=_�� (B%u| C{@B_�J�@;O & ND�=NDCP�­ADJ�@a��Ë6å ý �ÕåD��ä�) 3 � ìbËæåTäJ ^ � à å?É Ì � ý �B�ÕåD��äX) 3 ��ì à åTä � à å?É Ì ��äL����v¬�¸C{_ % vPC{O &)^ C{�=N�� § þ �Êé � § �¿HDJ t Oa�¬b>� b=���UJ ^ v��¸C{_ % vPC{O &)^ CP�=N� § �çé � � �cHDJ t & �ºb>� b=���¾·�NG¹uNq���=N ( J�_ &)( �­ADJ��­ADJ²� § þ�þ �XJ�@ ^ ADNDJ %'&)(n&)%u|G(}& @BJ�HDJ²� � ���¾O�J��­ADC%D( �=AGEUJKv¬� ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�JKHDJL@�O��=NDHDC ^ CP�=ND@�� � � x& � § þ þ©���

t �¸C{_ % vPC{O &)^ CP�=N�� § �¦é ��¬G� (>~J�@BADv ^ J¨HDJKv & O��=_�_aA ^n&)^ CFEGC ^>~J¦HDA�O &)(B(>~Jà å?É Ì � ý � �K ô �VÉ Ì ��Np�B�

` R à å?É Ì �dW��

` Y

Ëæå ý �K Ù ��Np� ËæåXW )% �=A ( N öUý ÷ Wø_¥� (B%u| CP_�JjHDJ /Ë��'J ^ HDJKv & OL�=NDHDC ^ C{�=N�HDJ¨@ &)^ A (n&)^ C{�=N t & �ºb>� b=���

b ¾

Page 26: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

] C à J ^ Ë @B�=N ^�& @ %u|S~J ( CP�­ADJ�@��¤_¥�=N ^B( �=ND@¦v¬��CP_ % v{CPO &)^ C{�=NÀ��¬ þ �ßé � � þ ��� ] �=C ^ HD�=NDO ý ADN %D(>~J�§� & CP@�O�J & A & @ %u|�~J ( CP�>ADJ¨HDJ�/Ë®�¤«±�=_�_�JDË�J�@ ^¦& @ %u|�~J ( C{�>ADJe��vPJK_�� (B%u| CP@�_�JKO & ND�=NDCP�>ADJdN ö­ý ÷ Ú /ÙJ�@ ^ ADNDJ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J�� & C{`uv{JKHDJ /Ë®�'J ^ JLN�EUJ (B^ A�HDJ®��¬­þ ���ZÉ Ì ��Np� ö É Ì � ý �¾÷ É Ì � Ú /Ù � � Ú /ô J�@ ^ ADNDJ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J�� & C{`uvPJjHDJ�/à �'«±�=_�_�J à J�@ ^Á& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)�'�=N�J�N�H ~J�HDADC ^ �>ADJ�É Ì � ý ��J�@ ^Á& @ %u|�~J ( CP�­ADJe�t �¸CP_ % vPCPO &)^ CP�=N���¬G�mé �:¬>þ � ~J ^n& N ^�~JLEGC{HDJ�N ^ Je�UO�J�O�C %D( �=AGEUJ)��@��=AD@sv�� | ³ % � ^B|IxJ�@BJ;HDJÁv�� & @ %u|�~J ( CPO�C ^G~JÁHDJ ÃJ ^ Ë®�>v�� ~J��­ADC{E & vPJ�NDOLJ HDJ�@±O��=NDHDC ^ CP�=ND@�� � � x& �:¬>þ ���>J ^;& O |qxJ�EUJ�v & H ~J�_��=ND@ ^�(n&)^ CP�=N®HDJ v &�%D( � % �=@BC ^ CP�=Nq�ÆqÎ�Í{õ½Î ] �=CPJ�N ^ _ & C{N ^ J�N & N ^ à J ^ Ë�HDJ�A>M % J ^ C ^ J�@;O &)^>~J��=� ( C{J�@���å N�H ~JL¹uNDC ^ ADN��©�=NDO ^ JLA (e ö$/à h /Ë S_S&SZS&S ÷ íà h Ë

� ý )fW�� Í S ÷Yè�� Ìô � ý � h è�� ÌÙ �gW�� )� xA à h Ë����� è�� ô � � � ���è�� Ùà ËH ~J�@BC{�=NDJ�N ^ vPJL@ %D( �)��J�O ^ CP�=ND@��)å NKE ~J ( C{¹uJ & AD@B@BC ^�-� ^ �­Aq�¸�=N & ADN¨C{@B�=_�� (B%u| C{@B_�J¾�©�=NDO ^ � ( CPJ�vUO & ND�=NDC{�>ADJ ö

K ô�h Ù � ý e W�� � à h Ë6å ý e W iS ÷ à å ý h Ë6åXW � K ô � ý � h K Ù �dW¨� ( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� ÆqÎÙÍ�Í'Î & � á ê�«�¡�´ué ý âjW�¬~¡´ì2¹�ª�¨¡Vû � «©ì § ¡ � ë�ê®ì´ë�ª à â Ë ª�¡´ì�¹(¡ § éV«�²T¡Q¿<¡Q´'éÅ» á « ý ¡�éZWì�ê�´'é � ìŹ�ÀB¨¡QªQ«�¯Lë(¡´ì¥� ( J�@ % � ³ ê §:�?³ ¡Q¿l¡Q´ué � ì�¹�À!¨¡Qª+«�¯�ë&¡´ìñ���q« ³ ¡�´Ä¡´ì´éI¬~¡ë¿/�¡Q¿<¡I¹�ê¶ë±ª ý e Wl»

`�� á ê�«�¡Q´ué½É öUý ÷ ý þ â î®ö Wÿ÷ W þ ¬±¡´ìO¿�ê?ª�¹�À~« ì+¿<¡´ì­¬±¡I¹�ª�¨¡�û � «©ì § ¡ � ë�ê�ì´ë�ª à â�Ëêª:¡�ì�¹(¡ § é�«\®²T¡Q¿l¡Q´u颻 á « ³ ¡´ìë¿�ê�ªÅ¹�À~«©ì+¿l¡´ìIÉç¡�é î ì�ê�´'é � ì�¹�À!¨¡QªQ«�¯Lë(¡´ì:âz« ³ ¡�´ü¡´ì´éI¬~¡O¿/�¡Q¿<¡2¹'ê¶ë�ªIÉ e î »Ü 468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã t &�%D( � % �=@BC ^ C{�=N (G~J�@BADv ^ J & AD@B@BC ^?-� ^ HDJcO�Ja�>ADC %D(G~J�O xJ�HDJXJ ^ HDJ�@ OL� ( �=vPv & C ( J�@�b>� óJ ^ b>� � �

b Þ

Page 27: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

6 k=Ò0oqm È ik�I Ésh Ì k=Ò È k=Ò È lnm ÌHG ÓÄk=Ò¤rM � ´Dì § ¡�¹ � ª � ©?ª � ¹�ÀZ¡+â±ê�´wì°¡ ø ê�¡�âsë�´`¡*û�ê�«©ì*¹'ê)뱪¨éÄê)ë­é�¡´ì:âsë�´ ³ ê §:�?³ «©ì � 颡L뱪Mû�ê�´�¬ � ¿<¡Q´ué �?³ Ö »ð½Î�Í'Î ] �=C{J�N ^ í ADNDJ�O &)^>~JL�=� ( CPJjJ ^�î ADNDJ %'&)(B^ CPJjHDJ°ïuðâ��íó���GåjN (n&)%D% JLvPvPJ��>Aq��CPv¤J´MDCP@ ^ J°���>ADC ^B^ J x&& � (n& NDHDC ( v¬��ADNDC{EUJ ( @�HDJK` & @�Jñ�;ADNDJ�O &)^G~J��=� ( C{J îóò�ô í J ^ ADNw�©�=NDO ^ J�A (�õ�ö í ÷ îóò�ô í ^ J�vI�>ADJ)�% �=A (a^ �=A ^aú û�î � õ � ú �K@B�=C ^ ADN?CP@��=_�� (B%u| CP@�_�J�HDJ îøòùô íü�ÅJ ^ �­ADCS@B�=C{J�N ^ ADNDCFEUJ ( @BJ�v{@ % �=A (O�J ^�^ J %D( � %D( C ~J ^>~J)� � A ^�( J�_�J�N ^ HDC ^ � % �=A (s^ �=A ^ �©�=NDO ^ J�A (�ý�ö í ÷�í[þ ^ J�vu�­ADJe� % �=A (�^ �=A ^�úWû.î �ý � ú �9@��=C ^ CPNUEUJ ( @BCF`uvPJe�'CPvqJ´MDCP@ ^ JKADN�ADNDCP�>ADJK�©�=NDO ^ J�A ( �ýóö>î ò�ô í ÷�í þ ^ JLv½�­ADJ ý�� �ýjõ �

í �õ� � � � ���ý

î òùô í

�ýí þ

å N"HDC ^ �­ADJ îóò�ô í JL@ ^ v &^§:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡t¬~¡´ì�û+ª �~§ é�«ºê�´Dìæ¬~¡jí ª:¡ ³·� é�«\²T¡�¿<¡Q´ué.µ��î J ^ �>ADJ õ JL@ ^ v{Jû�ê�´ § 颡L뱪6¬~¡ ³ ê §:�?³ « ì � é�«ºê�´D�¤å N.HDC ^ �>ADJcv &X%'&)(B^ CPJ î HDJyïDðâ��í��;J�@ ^ ûñê�ª´é�¡Q¿<¡Q´'éSì � é¬ë±ª�¨¡þ¡c@�C î JL@ ^�©� ( _ ~JLJ;J´M & O ^ JL_�J�N ^ HDJ�@M� xJLO | JL@s�­ADCDHDJLEGC{J�NDNDJ�N ^ C{N�EUJ ( @BC{`uv{J�@ %'&)( v{J9�©�=NDO ^ J�A ( HDJ9vP�>O & vPCP@ &)^ CP�=Nq�eåjNE ~J ( C{¹uJ & AD@�@BC ^?-� ^ �>Aq��ADNDJ %'&)(B^ CPJK�©� (B^ J�_¥J�N ^ @ &)^ A (>~J�J¨HDJyïuð ��íó�9J�@ ^j& AD@B@�C�� & C{`uv{J�_�J�N ^ @ &)^ A (>~J�J���OL� �b>�Pf �´�zå N.HDC ^ �>ADJ�v{J¨vP�­O & vPC{@ &)^ J�A ( �©�=NDH & _�J�N ^n& v,Ö JL@ ^ ADN ³ ê §:�T³ «©ì � é�¡�ë�ª�ûñê�´�¬ � ¿l¡Q´ué �?³ û�ê?ª´é�¡Q¿<¡Q´uéì � é¬ë�ª�¨¡K@BCIv &X%'&)(�^ CPJDÖ HDJ¥ïDðF�\{�|~}��SJ�@ ^ �©� (B^ J�_�JLN ^ @ &)^ A (>~JLJe�ð½Î\�zÎ å N &)%D% J�v{vPJ §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡6ÀDê�¿®ê¶éÄê�¹�«�¯Lë(¡<ª�¡ ³·� é�«\²T¡ � ë ³ ê §:�?³ « ì � é�¡�뱪Bû�ê?´�¬ � ¿<¡�´ué �T³ Öø�ù�=A % vPAD@@BC{_ % vPJ�_¥J�N ^O§:� éZ¨¡:©­ê�ª+«�¡BÀDê�¿�ê)éÄê:¹`«�¯Lë(¡)�>J ^ �=N®ND� ^ J ßpàeá¥� �­�=A % v{AD@±@BCP_ % vPJ�_�JLN ^ ßpàeá ��v & O &)^>~J��=� ( C{JÖ ò�ô {�|~}n�­åjN &)%D% J�v{vPJ*û�ê�´ § é�¡�ë�ª!¬~¡ ³ ê §:�?³ « ì � é�«ºê�´ §:� ´¤ê�´&«�¯�ë&¡;J ^ �=N°ND� ^ J õ � �U�=A % v{AD@�@BC{_ % vPJL_�J�N ^õ �Dv{JK�©�=NDO ^ J�A ( HDJ�vP�­O & vPC{@ &)^ CP�=N õö {q|_}¿÷ ß¾àeá �

] CIÖ JL@ ^ v{JyvP�>O & vPCP@ &)^ J�A ( �©�=NDH & _�J�N ^n& v ^B( CFEGC & v �ºb>� b � ����Ö � ïDðâ�\{�|~}���� & vP� ( @Xv & O &)^>~J��=� ( C{J| �=_�� ^ � % C{�>ADJ ß¾àeá�� JL@ ^?~J��­ADC{E & vPJ�N ^ J x& v��¸�e`G��J ^ ¹uN & vÁHDJk{q|_}�� ] CBÖ � Ö?>A@²�ºb>� b � ��� & vP� ( @�v &O &)^>~JL�=� ( CPJ ßpàeá�� J�@ ^~J��­ADC{E & vPJ�N ^ J x& v & O &)^>~J��=� ( C{J 4 ô � 7 d®÷ fT;U� ] C Ö � ÖLØ JL@ ^ �©� ( _ ~JaHDJ�@~J��­ADC{E & vPJ�NDO�JL@K� & CF`uvPJ�@jAD@BADJ�v{vPJ�@°�ºb>� b * ��� & v{� ( @jv & O &)^>~JL�=� ( CPJ ßpàeá�� J�@ ^.~J��>ADCFE & v{J�N ^ J x& v & O &)^>~J��=� ( C{J| �=_�� ^ � % C{�>ADJjAD@BADJ�v{vPJKHDJ�@ «rÝ §ºO��=_ % v{J�MDJ�@L�ð½ÎÇÆqÎ å N &)%D% J�vPv{JlÖ�§�¿�ê°¬I¨¡ ³ «©ì � é�¡�ë�ª��Å�=A % vPAD@c@BC{_ % vPJ�_¥J�N ^ ¿®ê°¬�¨¡ ³ «©ì � 颡L뱪­�ùADN OL�=A % vPJ���íÜ) î ���� xAZí J�@ ^ ADNDJ¥O &)^G~J��=� ( C{J°J ^cî ADNDJ %'&)(B^ C{J¥� & CF`uvPJ�_�JLN ^ @ &)^ A (>~JLJ¥HDJ�ïDðF��í���� ^ J�v¾�­ADJ°v & O &)^>~JL�=�)§( C{J�HDJ�@°� (n& O ^ C{�=ND@ îóò�ô í @��=C ^"~J��­ADC{E & vPJ�N ^ J x& v & O &)^>~J��=� ( CPJ | �=_�� ^ � % C{�>ADJ ßpàeá � ] CK��í�) î ��J ^��í þ ) î þ �Á@��=N ^ HDJ�A>M�_��>H ~JLvPCP@ &)^ J�A ( @��'�=N.HDC ^ �>Aq�¸ADN.�©�=NDO ^ J�A (jý�ö í ÷ í þ J�@ ^ ADN ¿�ê�ªÅ¹�À~«©ìQ¿<¡¬~¡O¿®ê°¬�¨¡ ³ «©ì � 颡L뱪´ìK@BC ö� � î ��ý°òùô � î þ©���� �ÅvPJ9�©�=NDO ^ J�A ( ýøö�îøòùô í S ÷ î þ òùô í[þDCPNDHDADC ^¾%'&)(sý JL@ ^ ADNDJ ~J��­ADC{E & vPJ�NDOLJÁHDJ9O &)^>~JL�=� ( CPJ�@L�t J¨O��=A % v{J®�\{�|~}�):Öÿ�9JL@ ^ ADN�_¥�>H ~J�v{CP@ &)^ JLA ( � &)%D% J�v ~JKv{Jt¿�ê°¬I¨¡ ³ « ì � é�¡�뱪�û�ê�´`¬ � ¿<¡Q´'é �?³ �ð½Î·ð½Î å N�@BJj¹GMDJ¨ADNDJ % J ^ C ^ J�O &)^>~J��=� ( CPJ à �zå N (n&)%D% J�vPv{JK�­ADJ

K ô ö$/à S ÷é{�|~}b ó

Page 28: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

H ~J�@BC{�=NDJ¨v{JK�©�=NDO ^ J�A ( O & ND�=NDC{�>ADJ öý Í S ÷ à å ý

��O�� � ¾ �{f �9J ^ �>ADJ Ö /ô � K òùôô �VÖÿ�H ~J�@BC{�=NDJ v¬��J�ND@BJ�_c`uvPJÁHDJ�@ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J�@±� & CF`uvPJ�@SHDJ /à ��O�� � ¾ � ¾ ���­å N�ND� ^ J ßpàeá¥�lk ô ���=A % vPAD@S@BC{_ % vPJ´§_�J�N ^ ßpàeá ô �Dv & O &)^>~J��=� ( CPJjHDJ�@;� (n& O ^ C{�=ND@2Ö òùô/ô /à J ^±õ ô öI/à ÷ ßpàeá ô vPJj�©�=NDO ^ J�A ( HDJ�vP�>O & vPCP@ &)^ CP�=Nq�å N"HDC ^ �­ADJ à J�@ ^ ADNDJ6Ö §V¹�ìþ¡�ëZ¬­ê�® §:� éZ¨¡:©�ê?ª+«�¡Xé�¡´ì´é´�q�=A % vPAD@�@BC{_ % vPJ�_¥J�N ^ ADNDJd¹�ìþ¡�ëZ¬­ê�® §:� éZ¨¡:©�ê?ª+«�¡é�¡´ì´é��u@BC ö� � à JL@ ^¦& @ %u|S~J ( CP�­ADJ��� �9v{JK�©�=NDO ^ J�A (cö

õ ö ô ö ßpàeá ô � Ö ò�ô/ô /à S ÷ Ö ò�ô {�|~} � ßpàeáCPNDHDADC ^Á%'&)( K ô JL@ ^ ADNDJ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J¨HDJKO &)^>~J��=� ( CPJ�@��( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� ð½Î��zÎ á «�Ö ¡´ì�é;ë�´ ³ ê §:�?³ « ì � é�¡�뱪Iû�ê�´�¬ � ¿<¡Q´ué �?³ û�ê�ª�颡Q¿l¡Q´ué9ì � é�ë�ª�¨¡+â ³ ¡´ì § ê�´`¬?« é�«ºê�´Dìì´ë�«\² � ´'颡´ì�ì�ê�´ué�¨¡°¯Lë�«\² �T³ ¡Q´ué�¡´ì ö

& � à ¡´ì´é�ë±´�¡I¹�ì°¡LëZ¬�ê?® §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡�é�¡´ì´é?�`����±/à ):Ö /ô �6¡´ì´éSë±´Ä¿�êþ¬�¨¡ ³ «©ì � 颡�ë�ªæ¡�é ³ ¡rû�ê�´ § é�¡�ë�ªBK ô ¡´ì´é±ë�´.¿®ê�ª�¹�À±«©ì+¿<¡æ¬~¡d¿�ê°¬I¨¡ ³ « ì � é�¡�뱪´ì¬ � ´uì ³ ¡ë¿�êþ¬�¨¡ ³ «©ì � 颡�ë�ª�û�ê�´�¬ � ¿<¡Q´ué �?³ �\{�|~}�):Öÿ���

Ü 468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã t �¸C{_ % vPC{O &)^ C{�=NX� � �dé � � �zJ�@ ^�~JLEGC{HDJ�N ^ Je���p�=A ( _¥�=N ^B( J ( v¬��CP_ % v{CPO &)^ C{�=NX� � �dé � � ���CPvq@�A ¯¥^ HDJK_¥�=N ^B( J ( �>ADJ�v & O��=NDHDC ^ C{�=NZ� � �SCP_ % vPCP�­ADJ �>ADJ à JL@ ^Á& @ %u|S~J ( C{�>ADJe� & A ^B( JL_�J�N ^ HDC ^ �­ADJvPJ��©�=NDO ^ J�A ( O & ND�=NDCP�­ADJ à ÷ Ú �¿� xA Ú H ~J�@BC{�=NDJ�v & O &)^>~J��=� ( C{J % �=NDO ^ ADJ�v{vPJe�¾J�@ ^ ADNDJ ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�J� & C{`uv{Je��«9�=ND@�CPH ~J ( �=ND@�vPJ�HDC & � (n& _�_¥J O��=_�_aA ^n&)^ C{� ö

/Ã �K ôõ ô

{�|~} õ

ßpàeá ô �õ ö ô ßpàeá t JSvP�­O & vPC{@ &)^ J�A ( �©�=NDH & _¥J�N ^}& v±Ö ~J ^n& N ^ �©� (B^ JL_�J�N ^ @ &)^ A (>~J)�)CPv�@BA ¯°^ HDJS_��=N ^B( J ( �­ADJ õ � à �p÷ õ � Ú �J�@ ^ ADNWC{@B�=_�� (B%u| C{@B_�Je��å ( � à ì à å Ú /ô � K ô � Ú /ô �´��� xA Ú /ô H ~JL@BCP�=NDJ²v¬���e`G��J ^ ¹uN & v�HDJ /à �ÁJ ^õ � à �kì õ K ô � Ú /ô � �éõö ô õ ô � Ú /ô ���SJ ^ O��=_�_¥J %'&)(�| ³ % � ^}|qxJ�@BJ)� õ ö ô J�@ ^ ADNDJ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�JHDJ�O & §^>~J��=� ( CPJ�@���v¬� & @�@BJ (B^ C{�=N (>~J�@BADv ^ J.HDA2� & C ^ �>ADJwv��¸C{_ & �=J�Hq��ADN2�e`G��J ^ ¹uN & v %'&)( ADNDJ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�JwHDJO &)^>~JL�=� ( CPJ�@;J�@ ^ ADN��e`G��J ^ ¹uN & v½J ^ HDA�v{J�_�_�J @BADCFE & N ^ �Ï Ô>ÛÀÛZÔ ð½Î��IÎ á ê�«�¡�´uépí ë�´`¡ §�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡�â î ë�´`¡�¹ � ª�éV«Å¡<¬~¡XïDðF��í��+â!¡�é õ�m ö í ÷ îøòùô í ³ ¡û�ê�´ § 颡L뱪O¬~¡ ³ ê §:�?³ «©ì � éV«ºê?´�» á « ÚQm ¡´ì�é¾ë±´"ê �Vã ¡�é ø ´ �?³ ¬~¡±íîâ �?³ ê?ªnì õ�m � Únm �­¡´ì´é¿ë±´"ê ��ã ¡�é ø ´ �?³ ¬~¡îøòùô íü�t & H ~J�_��=ND@ ^B(n&)^ C{�=N�J�@ ^ v & C{@B@ ~J�J & A�v{J�O ^ J�A ( �

b �

Page 29: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

ð½Î�'zÎ ª�& ND@yv & H ~JL¹uNDC ^ CP�=N Hq�¸ADNDJ % @BJ�ADHD�)§ºO &)^>~J��=� ( CPJ ^ J�@ ^ �S�=N &À%D( C{EGC{v ~J��=C ~J�v{Jw�©�=NDO ^ J�A ( K ô %'&)((n&)%D% � (B^Áx& @��=N & H¶���=CPN ^Áx& H ( �=C ^ J*K Ìô ��O�� � ¾ � b=��� ª J�� &`pO��=N % v{AD@Å@�³>_ ~J ^B( C{�>ADJe�ñ�=N &)%D% J�vPv{J*Ö�§ §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡é�¡´ì´é�û � « � ³ ¡)�U�=A % vPAD@S@�CP_ % v{J�_�J�N ^O§:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡Áé�¡´ì´é�û � « � ³ ¡)�UADNDJ % J ^ C ^ JÁO &)^>~J��=� ( C{J à ^ J�vPv{JÁ�­Aq�¸C{v'J´MDCP@ ^ JADNDJ %'&)(�^ CPJ�� & C{`uv{J�_�J�N ^ @ &)^ A (>~J�J î HDJ¥ïuðâ� /à � ^ J�vPv{JK�­ADJ ö� ��� /à ) î �S@B�=C ^ ADN�_��­H ~J�vPC{@ &)^ J�A ( �� �IK ô J ^ K Ìô @B�=C{J�N ^ HDJ�@Á_�� (B%u| CP@�_�J�@9HDJ¨_��­H ~J�vPC{@ &)^ J�A ( @

K ô ö � /à ) î � S ÷ �\{�|~}+):Öÿ� ) K Ìô ö �\{�|~}+):Öÿ� S ÷ � /à ) î � �§ � % �=A (¦^ �=A ^ J % J ^ C ^ J¨O &)^>~J��=� ( CPJ­� û�Ï�Ñ �\{q|_}������=N & C ^ NQP û Öø�zJ ^¦% �=A (¦^ �=A ^�%D(>~J�� & C{@BO�J & A

ýøû�Ï�Ñ � /à �´�'�=N & C ^ O$R û.î �u� xAN ö K ô K Ìô S ÷ f �?�+� ) O ö f /ô S ÷ K Ìô K ôH ~J�@BC{�=NDJ�N ^ vPJ�@;_�� (B%u| C{@B_�J�@9Hq� & H¶���=NDO ^ CP�=NÀ� ¾ � b>�{f ���

å N ( J�_ &)( �­ADJ¥�­ADJ�v & O��=NDHDC ^ CP�=N � � �jCP_ % v{CP�>ADJ°J�N %'&)(B^ C{O�ADvPC{J ( �­ADJ î � K òùôô �VÖÿ� � Ö /ôJ ^ �­ADJkÖ � K Ìô ò�ô � î � � K Ìô òùô �VÖ /ô ���s·sN1� & C ^ �¿vPJL@¥O��=NDHDC ^ CP�=ND@.� � ����� � �´��� § �aO�CF§ºHDJ�@B@BAD@y@B�=N ^v &)( �=J�_�J�N ^9( J�HD�=NDH & N ^ J�@��Ï Ô>ÛÀÛZÔ ð½Î�ïIÎ á ê�«�¡�´ué±��KÕ)¢]>��ë�´ § ê)ë°¹ ³ ¡6¬~¡�ûñê�´ § é�¡�ë�ªnì � ¬ ã ê�«\´ué�ì:âqK ö í ÷�í þ â�] ö í þ ÷�í âN ö KH] S ÷ f m Ø ) O ö f m S ÷ê]_K³ ¡´ì�¿�ê�ªÅ¹�À~«©ìQ¿<¡´ì$¬�$ � ¬ ã ê�´ § é�«ºê�´×¡�é î � ( JL@ % � î þ©�së±´`¡�¹ � ª´é�«�¡`û � « � ³ ¡�¿<¡Q´ué¤ì � é�ë�ª�¨¡þ¡B¬~¡ ïDðF��íó�s� ( J�@ % �ïDðF��í þ �B��� ë ³ ê�ªnì ³ ¡´ìd¬±¡�ë[ê § ê�´�¬T« éV« ê�´Dì ì´ë�«\² � ´'颡´ì�ì�ê�´ué�¨¡°¯Lë�«\² �T³ ¡Q´ué�¡´ì å

& � î � K�ò�ô � î þ �æ¡�é�¹'ê)뱪aé¡ê¶ë>éM| þ û Ï�Ñ ��í þ � ³ ¡6¿®ê�ª�¹�À±«©ì+¿<¡oN � Ø ö KH]z�V| þ � S ÷ | þ ¡´ì´éB¬ � ´Dìî þ?�

& þ � î þ � ] òùô � î �O¡�é�¹'ê¶ë�ªjé¡ê¶ë­é�| û�Ï�Ñ ��í�� ³ ¡D¿�ê�ª�¹�À~«©ì+¿<¡pO � ö | S ÷ ]~K}��|G�­¡´ì�ér¬ � ´uì î �§ ¡´ìd¬~¡�ë�ê § ê�´`¬?« é�«ºê�´Dì�«\¿!¹ ³ «�¯Lë � ´ué ³·�¸§ ê�´�¬?« é�«ºê�´�å`��IKn� î �rú î þ¬�~]z� î þP�Iú î ¡�é ³ ¡´ìzûñê�´ § é�¡�ë�ªnì�å

õ öpö­î òùô í S ÷ î þ òùô í þ ) õq ö�î þ òùô í þ S ÷ î òùô í«\´�¬e뱫 é�ìO¹ � ª­Kס�éz]�ì�ê�´'é­¬~¡´ì�¨¡°¯�뱫\² �?³ ¡Q´ § ¡�ìʬ~¡ §:� éZ¨¡:©­ê�ª+«�¡�ìl¯Lë � ì+«\®�«\´&²T¡Qª´ì°¡´ì ³ $ ë±´�¡>¬~¡ ³ $ � ë>éVª�¡�â ³ ¡´ì«©ì�ê?¿�ê�ª�¹�À~«©ì+¿<¡�ìë¬�$ � ¬ ã ê�´ § é�«ºê�´ ¨¡Lé � ´'é�¬I¨¡þ¬)뱫ÙéÙì­¬±¡pN.¡LéJO,»M ¡r¹ ³ ë­ì:âpì+« ³ ¡´ì*¹ � ª�éV«Å¡´ì î ¡�é î þ¿ì�ê?´uéZû�ê�ª�颡�¿<¡Q´ué¿ì � é¬ë±ª�¨¡þ¡´ì ³ ¡´ì § ê�´�¬T« éV« ê�´Dìa� & �´�q� & þ �O¡�é¦�Ù`���ì�ê�´u騡°¯Lë�«\² �T³ ¡Q´ué�¡´ì¼»Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã ¢.�=N ^B( �=ND@¦�­ADJ�� � �¦é � � þ ���D�p�=A (Á^ �=A ^ | û�Ï�Ñ ��íó�´�D�=N &�öN F Y � [ �IKn�rO � � � f F Y � [

Kn�V|G� F Ytscu [S ÷ KH]_Kn��|>�.vVwyx u{zS ÷ Kn��|G�b

Page 30: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

J ^ OL�=_�_�J|N F Y � [ û2î þ �½�=NÀJ�N²H ~J�HDADC ^c%'&)( @ &)^ A (n&)^ CP�=NÀ� & C{`uv{J��>ADJtKn�gO � � û2î þ �ùHq��� xA�O � û î �¢.�=N ^�( �=ND@¥�­ADJ î þ � ] òùô � î ��� ] �=C ^ �zþ ö |�þ¦÷ ä�þ9ADNDJ¸� xJLO | J�HDJ�í[þÙ�såjN & ADN�HDC & � (n& _�_�JO��=_�_aA ^n&)^ CP� ö KH]���| þ � �N � Ø

KH]���� þ �| þ � þKH]���ä þ � �Nuä0Ø ä þ

J ^ O��=_�_¥JlN � Ø¢)�Nuä0Ø û�î þÙ�±v & @ &)^ A (n&)^ CP�=N7� & C{`uv{J�C{_ % vPC{�>ADJ��­ADJÄ�zþ û�î þ @BC J ^ @BJ�ADv{J�_�J�N ^ @�CKH]����zþP� û î þ��½å ( � %'&)(K| ³ % � ^}|qxJ�@BJ)�,KÇ]z���zþP� û î þp@BCpJ ^ @BJ�ADv{J�_�J�N ^ @BCq]����zþ � û0î �¤OLJ°�­ADC %D( �=AGEUJ� � þ©�´�t �¸C{_ % vPC{O &)^ CP�=N"� � þ©��é � � � (>~J�@�ADv ^ J�HDJKv¬��CP_ % v{CPO &)^ C{�=N %D(>~J�O ~J�HDJ�N ^ J &)%D% vPC{�>A ~J�J & A>M�O &)^G~J��=� ( C{J�@

� %D% �=@ ~J�J�@��t J�@ & A ^�( J�@ & @�@BJ (B^ C{�=ND@�@B�=N ^�~J�EGCPHDJLN ^ JL@��

( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� ð½Î�ôqÎ á ê?« é à ë�´`¡z¹(¡LéV« é�¡ §�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡°» ¦ ¡�ì § ê?´�¬?« é�«ºê�´Dì;ì´ë±«�² � ´ué�¡´ì9ì�ê?´uéר¡°¯Lë�«\² �?³ ¡�´u颡�ìßåC � à ¡�ì´ésë�´`¡ §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡�颡�ì´é�û � « � ³ ¡¤�C{C©� à ì � é�«©ì\û � « é � ë�ê § ê�´�¬?«ÙéV«ºê?´Dì ì´ë�«\² � ´ué�¡´ì å& � à ¡´ì�é � ìŹ�ÀB¨¡QªQ«�¯Lë(¡��`��IK Ìô ��Ö[�rúLÖ /ô � � ë>éVª�¡Q¿<¡Q´'éI¬T« érK ô K Ìô ��Ö[�rúýÖÿ�`�C{CPC©�*¹'ê¶ë�ª�éÄê)ë­é�¡$¹�¡�éV«Ù颡 §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡2�6â ³ ¡rû�ê�´ § é�¡�ë�ª2NQP ö K ô K Ìô ����� S ÷ � ¡´ì�é�ë�´`¡ÿ¨¡°¯Lë�«\² �?³ ¡�´ § ¡û � « � ³ ¡��

C{CPC þ �*¹�ê¶ë±ª¨é¡ê¶ë­é�¡I¹�¡�éV«Ù颡 §�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡$�Pâ ³ ¡�û�ê�´ § 颡L뱪pNQP ö K ô K Ìô �V��� S ÷ �ï¡´ì´é � ì�¹�À!¨¡Qª+«�¯�ë&¡¤�C{CPC þ¸þ � ¹�ê¶ë±ª é¡ê¶ë>颡*¹(¡LéV« é�¡ §:� éZ¨¡Å©�ê�ªQ«�¡*� �X}�� ´'é¾ë±´�ê ��ã ¡�é ø ´ �T³ â ³ ¡*¹�ª�¨¡�û � «©ì § ¡ � ëëKùÌô ���¨�d¡´ì´é � ì�¹�ÀB¨¡Q®ª+«�¯Lë&¡þ»C{CPC þ¸þ¸þ �r¹'ê¶ë�ªKé¡ê¶ë>颡$¹(¡�é�« 颡 §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡ � ì�¹�À!¨¡Qª+«�¯�ë&¡2�6â ³ ¡$¹�ª�¨¡�û � «©ì § ¡ � ëPKùÌô �����P¡�ì´é � ì�¹�À!¨¡QªQ«�¯Lë(¡°»

Ü 468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã t ��CP_ % v{CPO &)^ C{�=N.��«¡��é ��«\«¡���z� � �sJ�@ ^ C{_�_ ~J�HDC &)^ Je���p�=A ( H ~J�_��=N ^B( J ( �­ADJa��«¡��é��«\«¡���s� � ���½�=N ( J�_ &)( �>ADJ��­ADJ�v & O��=NDHDC ^ C{�=N ��«¡��C{_ % vPC{�>ADJ¥�­ADJ�vPJ¥_�� (B%u| CP@�_�J~N[÷ ö K ô K Ìô � Ú �¨÷ ÚJ�@ ^ ADNDJ ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�J®� & C{`uv{Je�på ( ��K Ìô ~J ^n& N ^ ADN & H¶���=C{N ^�x& H ( �=C ^ Je�½CPv ^B(n& ND@B�©� ( _¥J�ADN²�e`D��J ^ ¹uN & vJ�N��e`D��J ^ ¹uN & v��ùåjN & HD�=NDO6K Ìô � Ú �!ì Ú /ô J ^ K ô K Ìô � Ú �2ì K ô � Ú /ô �2ì à �qOLJX�­ADCp_��=N ^B( Ja�>ADJ à JL@ ^& @ %u|�~J ( CP�>ADJ¥J ^K%D( �=AGEUJ�v¬��CP_ % v{CPO &)^ C{�=N0��«¡� é ��«\«��´�q¢�=N ^B( �=ND@¨v¬�¸C{_ % vPC{O &)^ C{�=N?�ù«�«¡�Ðé ��«\«\« þ þ¸þ©�´� ] �=C ^��ADNDJ % J ^ C ^ J�O &)^>~JL�=� ( CPJ & @ %u|S~J ( C{�>ADJe� t J�_�� (�%u| CP@B_�Jë��÷ Ú J�@ ^ ADNDJ ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�J�� & C{`uv{Je�zJ ^ J�NEUJ (B^ A�HDJ®��«\«¡���½� � ���uCPvIJ�N�J�@ ^ HDJK_ -J�_�J % �=A ( K ô K Ìô �V���¿÷ K ô K Ìô � Ú �Mì à �u�¡v (>~J�@�ADv ^ JKHD�=NDO¨HDJy��«\«¡���� � �¦J ^ � t & ���¿�ºb>� b=���>ADJ6K Ìô ���¨�jJ�@ ^ ADN %D(G~J�� & CP@�O�J & A & @ %u|�~J ( CP�­ADJe� t ��CP_ % v{CPO &)^ C{�=N0��«\«�« þ þ¸þ � é ��«\«\« þ þ �(>~J�@�ADv ^ J°HDJ�� t `����s�ºb>� b=���¤v¬��CP_ % v{CPO &)^ CP�=N ��«\«\« þ�þ �Ðé ��«\«\« þ � HDJ¥v��¸�e`u@BJ ( E &)^ C{�=N��­ADJ % �=A (K^ �=A ^ J % J ^ C ^ JO &)^>~JL�=� ( CPJ$� J ^¿^ �=A ^��jûxÏ�Ñ ��������K ô K Ìô ������å � ìñK ô K Ìô ����å � �´�=v¬�¸C{_ % vPC{O &)^ C{�=N���«\«�« þ �mé ��«\«\«¡��HDJ�� t Oñ�´��ºb>� b=���DJ ^ v¬�¸C{_ % vPC{O &)^ C{�=N"�ù«�«\«¡��é �ù«��SHDA�v{J�_�_�J Þ � � �DO�J¨�­ADC %D( �=AGEUJ¨v &X%D( � % �=@BC ^ C{�=Nq�3 68Ý�á�9����6��=ãr�$�:ã �¡v (>~J�@BADv ^ Je�¤J�N %'&)(B^ C{O�ADvPC{J ( �¤HDJcv &¥%D( � % �=@�C ^ C{�=N %D(>~J�O ~J�HDJ�N ^ JX�>Aq��ADNDJcO &)^>~J��=� ( C{J^ J�@ ^ � & CF`uvPJ¨JL@ ^ ADNDJ % @BJ�ADHD�)§ºO &)^>~J��=� ( C{J ^ J�@ ^ �

b �

Page 31: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

3 k�IÊÕøk ÇSÈ Ò�k È�� É Õ É È É K Ì k Ê m Ç Ò Ë Ç kWoqm È ikJI É¿h Ì k¿r�zÎ�Í'Î ] �=C ^ í ADNDJyO &)^>~J��=� ( CPJ & HD_�J ^�^n& N ^ ADN0�e`G��J ^ ¹uN & v ÚQm �på N &)%D% J�vPv{Jwìþ¡Å©?¿<¡Q´'é�HDJ®í ADN^B( C % vPJ ^|�d� �-+�)f�±��)f� ô ���Å� xA5+"J�@ ^ ADN �e`D��J ^ HDJyíü��J ^ �±�?)f� ô ö�Únm �� +ZHDJ�@X_�� (B%u| C{@B_�J�@cHDJíü� ] C¾í & HD_�J ^ ADN��e`D��J ^ C{NDC ^ C & vj: m �I�=N"HDC ^ �­Aq�¸ADNZ@�J��=_�J�N ^��B� �-+�)f�±��)f� ô �jJL@ ^ ì�¨¡Å¹ � ª � ´ué¦@BCvPJ°_�� (B%u| C{@B_�JXO & ND�=NDCP�­ADJ�: m ÷ Únm J�@ ^ ADNÀND�ñ³ & AZHDJ�v & HD�=AG`uv{Jt� xJ�O | J�d����)f� ô � ö=Únm �� +��] �=CPJLN ^��O� �-+()f���?)f� ô ��J ^�� þ � �-+�þ�)f�zþ� )f�zþô �jHDJ�A>M²@BJ��=_¥J�N ^ @cHDJ�íü�ÅåjN &)%D% JLvPvPJ>¿®ê�ª�¹�À±«©ì+¿<¡¸¬~¡ì°¡Å©T¿<¡Q´ué�ì�HDJ � H & ND@ � þ½ADN�_�� (B%u| CP@�_�JON ö +a÷ +­þqHDJKí ^ J�vI�>ADJ��zþ� � N.�±�KJ ^ �zþô � N.� ô ��zÎ\�zÎ åjN�@BA %D% �=@BJ°H & ND@Kv & @BADC ^ Ja�­ADJ°í & HD_¥J ^ HDJ�@ %D( �>HDADC ^ @�¹uNDC{@�� ] �=CPJLN ^)�2� �-+�)f�±��)f� ô �¦ADN@BJ��=_¥J�N ^ HDJ¨í���J ^ ��)�ù ö_� �� �üHDJLA>Mw_�� (B%u| C{@B_�J�@;HDJ¨í���åjNwHDC ^ �>ADJ­�J�@ ^4� §:ÀDê�¿®ê¶éÄê�¹(¡P¬~¡û �X� § ê�´ ¨¡ ³ ¨¡Q¿<¡Q´ué � «\ª�¡ x& ù�@L�¸CPv½J�MGCP@ ^ J¨ADN_¥� (B%u| CP@B_¥JÛÿ ö±� h +�÷ � ^ J�v��­ADJP� � ÿq��fK× h �����;J ^ù � ÿq��fK× h � ô � � h +

ÿ� � � �

���fK× h �±�� � � � ����

������ fK× h � ô������ ù� )J ^ �=NÀHDC ^ �­ADJ ÿ"J�@ ^ ADNDJ � §ÕÀuê�¿�ê¶é¡ê:¹�«�¡�HDJÊ� x& ù¤�ùå N ( J�_ &)( �­ADJ¥�>ADJ�f���J�@ ^ ADNDJ � § | �=_�� ^ � % C{JHDJ��±� x& � ô ��J�N?CPHDJ�N ^ C{¹ & N ^ÆÚnm h + x& +>���¾��v{AD@¥� ~J�N ~J (}& vPJ�_�JLN ^ �¿ADN�_�� (�%u| CP@B_�J�HDJ�@BJL�=_�J�N ^ @N öX�z� �-+�)f�±��)f� ô �s÷ � þ � �-+­þ�)f�zþ� )f�zþô �±J�@ ^ ADNDJ � § | �=_¥� ^ � % CPJ�HDJ���þ� x& �zþô �] �=C ^�� ADN®J�ND@BJ�_c`uv{J¦HDJ¦@BJ��=_¥J�N ^ @SHDJ¦íü�­å N &)%D% J�v{vPJ ( J�v &)^ C{�=N�HDJ � §:ÀDê�¿�ê¶é¡ê:¹�«Å¡�v &K( J�v &)^ C{�=NHq� ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�JjJ�ND�=J�NDH (>~J�J %'&)( v &¨( JLv &)^ C{�=N ö ��CPvzJ´MDCP@ ^ J ADN�@�J��=_�J�N ^p�S&)%D%'&)(B^ J�N & N ^cx&4�?^ J�v¤�>ADJD�@B�=C ^�� § | �=_�� ^ � % J x& ù°HDJ � &`pO��=N ~J�v ~J�_�J�N ^n& C ( J��D�>åjN®HDC ^ �>ADJ¦HDJLA>My_�� (B%u| C{@B_�J�@s@B�=N ^�� §ÕÀDê?¿�ê¶é¡ê:¹(¡´ì���=A � §ÕÀDê?¿�ê¶é¡ê:¹(¡´ìK@�C � ��7�� ;¶�S@���CPvP@;@B�=N ^ J�N ( J�v &)^ CP�=N %'&)( v &c( J�v &)^ CP�=N�HDJ � § | �=_¥� ^ � % CPJe��zÎÇÆqÎ å N�E ~J ( CF¹uJÁC{_�_ ~J�HDC &)^ J�_�JLN ^ �­ADJ�v &j( J�v &)^ CP�=N°HDJ � § | �=_�� ^ � % CPJ;J�@ ^ OL�=_ %'&)^ C{`uv{J x& v & O��=_ % �)§@BC ^ CP�=N�J ^¦& A %D( �>HDADC ^ HDJ�_�� (B%u| C{@B_�J�@ ö� � ] C��?�?)+� ô ö$� �� ���mù_�T)�ù ô ö � ���� @B�=N ^ HDJ�@y_�� (B%u| CP@�_�J�@�HDJ.íü�sJ ^ @BC����.JL@ ^� § | �=_�� ^ � % J x& � ô J ^ ù�� � § | �=_�� ^ � % J x& ù ô � & vP� ( @�ù��þ�?�jJ�@ ^�� § | �=_�� ^ � % J x& ù ô � ô �� � ] CB�?�?)+� ô ö�� �� ����� þ� )+� þô öM� þ �� � þ @B�=N ^ HDJ�@¥_¥� (B%u| CP@B_¥J�@°HDJ�íü�pJ ^ @BC2�?��JL@ ^� § | �=_�� ^ � % J x& � ô J ^ � þ� � § | �=_�� ^ � % J x& � þô � & vP� ( @B�?� h � þ� JL@ ^[� § | �=_�� ^ � % J x& � ô h � þô �·�NaEUJ (B^ A°HDJ;v & O��=NDHDC ^ CP�=N�� � ���eC{vGJ�MGCP@ ^ J9ADNDJ;O &)^>~J��=� ( CPJ9í�� & ³ & N ^ _ -JL_�J�@p�e`G��J ^ @¿�>ADJ9íü�)J ^¾^ J�vPv{J�>ADJ % �=A (K^ �=AD@��e`D��J ^ @ � J ^ ��� ßpàZm m4� � � )���� @B�=C ^ vPJX�>AD� ^ C{J�N ^ HDJXv¬��J�ND@BJ�_c`uvPJ ßpàZm m � � )��c�%'&)( v &¥( J�v &)^ C{�=NwHDJ � § | �=_�� ^ � % C{Je�zv & O��=_ % �=@BC ^ C{�=N�H & ND@ í�� ~J ^n& N ^ H ~J�HDADC ^ JaHDJcO�JLvPvPJcHDJcí %'&)(%'& @B@ & �=J & AZ�>AD� ^ CPJ�N ^ �½J ^ ADNÀ�©�=NDO ^ J�A (|� �ÀCPNDHDADC{@ & N ^ v¬�¸C{HDJ�N ^ C ^>~JX@BA ( vPJ�@KJ�ND@BJ�_c`uvPJL@�HDJ�@��e`G��J ^ @L�& @B@B�­O�C & N ^Áx& ADNDJ�� xJ�O | J±HDJsí @ & O�v & @B@BJ�HDJ � § | �=_�� ^ � % C{Je�ñJ ^ ���=ADC{@B@ & N ^ HDJsv &;%D( � %D( C ~J ^>~J�ADNDC{EUJ ( @BJ�v{vPJ@BADCFE & N ^ Je�u�p�=A (;^ �=A ^ JjO &)^>~J��=� ( CPJ�í[þqJ ^;^ �=A ^ �©�=NDO ^ J�A (�ýóö í ÷ íÿþ¬� ^ J�vq�­ADJ % �=A (Á^ �=A ^ OL�=A % vPJ

b *

Page 32: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

HDJ_�� (B%u| CP@�_�J�@ � § | �=_�� ^ � % J�@�HDJ"íü�±�=N & C ^�ý ���q� � ý ��ùD���SC{v J�MDC{@ ^ JADN,�©�=NDO ^ J�A ( ADNDC{�>ADJýøö í��y÷�í[þ ( J�NDH & N ^ O��=_¥_XA ^}&)^ CP�½vPJ ^B( C & ND�=vPJ ö

í

� � � � � ���ý

í�� �ý í þ t & O��=NDHDC ^ CP�=N�� � �ÅCP_ % v{CP�>ADJ��>ADJ9í�� & HD_�J ^ HDJL@ %D( �­HDADC ^ @p¹uNDC{@��=J ^ �>ADJ9vPJ9�©�=NDO ^ JLA (�� �¥O��=_¥_XA ^ Jx& OLJ�@ %D( �­HDADC ^ @L�å N7HDC ^ �>Aq��ADN1_�� (B%u| C{@B_�J��2HDJwí J�@ ^ ADN � §:ÀDê�¿�ê)éÄê:¹`«©ì+¿<¡0���=A1ADN � §:ÀDê�¿®ê¶éÄê�¹�«©ì+¿<¡w@BC� ��7�� ;¶�ù@BC � �����q�½J�@ ^ ADNaCP@��=_�� (B%u| CP@�_�J�HDJSí��ù�)åjNaHDC ^ �>Aq�¸ADNa�e`G��J ^ � HDJSí J�@ ^a� § § ê�´ué�ª �~§ éV« ³ ¡

���=A � § § ê�´ué�ª �±§ éV« ³ ¡¦@BC � ��7�� ;¶�s@BC � �Å� � �¿J�@ ^ ADN��e`G��J ^ ¹uN & v¤HDJjí��½�G�=AyHDJ � &`pO��=N ~J��>ADCFE & v{J�N ^ Je�G@BCvPJ�_�� (B%u| C{@B_�JjO & ND�=NDC{�>ADJ � ÷ Únm J�@ ^ ADN � § | �=_�� ^ � % C{@B_�Je�D�p�=A ( O�J�v & �uCPvI� & A ^ J ^ CPvq@�A ¯¥^ �­ADJv¬��CPHDJ�N ^ C ^G~J¥HDJ � @B�=C ^;� § | �=_¥� ^ � % J x& ADNÀJ�NDHD�=_�� (B%u| C{@B_�J § ê�´Dì�é � ´'é HDJ � ��@�J�� & O ^ � ( C{@ & N ^�%'&)(v¬���e`G��J ^ ¹uN & v Únm HDJ¨íó�´��zηð½Î å N�ND� ^ J �� v & O�v & @B@�J"HDJ�@�@BJ��=_�J�N ^ @ �%� �-+()f���X)f� ô �®HDJ"í ^ JLvP@��>ADJ��±��J ^ � ô @B�=C{J�N ^� § | �=_�� ^ � % J�@��­å N &�� ú �� ��O�� � ó � b=���=J ^ CPv (>~J�@BADv ^ J�HDJ�v & O��=NDHDC ^ CP�=N�� � �ÅO�C⧠HDJ�@B@�AD@±�>ADJ;v &�( J�v &)^ C{�=NHDJ �� § | �=_�� ^ � % C{J¥O���» ¼{NDO�CPHDJ x& v &�( J�v &)^ CP�=NÀHDJ � § | �=_�� ^ � % CPJe�ùJ ^t�� J�@ ^ v &�% v{AD@c� (n& NDHDJ®O�v & @B@BJ®HDJ@BJ��=_¥J�N ^ @ & ³ & N ^ O�J ^B^ J %D( � %D( C ~J ^>~J)�Åå N & í � � � í � � � � � ��� � �IJ ^ J�N %'&)(�^ CPO�ADv{CPJ ( � % �=A ( �­Aq�¸ADN_�� (B%u| C{@B_�J�HDJaí @��=C ^ ADN �� § | �=_�� ^ � % CP@�_�Je�zC{vÅ� & A ^ J ^ CPv�@BA ¯¥^ �>Aq��CPvù@B�=C ^ ADN � § | �=_�� ^ � % C{@B_�Je�J ^;% �=A ( �>Aq�¸ADN��e`G��J ^ HDJ�í @B�=C ^ �� §ºO��=N ^B(n& O ^ C{vPJe�uC{vq� & A ^ J ^ CPvq@BA ¯°^ �­Aq�¸CPvq@��=C ^Z� §ºO��=N ^B(n& O ^ C{vPJe�

] CÅí & HD_�J ^ HDJL@�@��=_�_�J�@ & _ & vP� & _ ~JLJ�@��ÙCPv�@�A ¯¥^ HDJ�@j@B�=_�_¥J�@ & _ & v{� & _ ~J�J�@Á@B�=AD@ Únm ����J ^@BCÅv{J�@j�©�=NDO ^ J�A ( @ %D( �­HDADC ^ %'&)( ADN�e`G��J ^j( J�@ % J�O ^ J�N ^ vPJ�@ O &)(�(G~J�@jO��>O &)(B^>~J�@BC{J�ND@�� & v{� ( @ HDJ�A>M�� xJ�O | J�@��)�ù ö�� �� ��HDJ¦í @B�=N ^.� § | �=_¥� ^ � % J�@�@BC�J ^ @BJ�ADv{J�_�J�N ^ @���CPv'J�MDC{@ ^ JÁADN®@BJ��=_�J�N ^��¿&)%D%'&)(B^ J�N & N ^x&Ê�� J ^ ADNDJ � § | �=_�� ^ � % C{J�HDJ­� x& ù¤�] C � þUJ�@ ^ ADNDJsHDJ�A>MGC xJ�_¥JsO�v & @B@BJ¿HDJs@�J��=_�J�N ^ @½HDJsí���v &±( J�v &)^ CP�=N�HDJ � § | �=_¥� ^ � % CPJ¾J�@ ^½% vPAD@I¹uNDJ

�>ADJ�O�J�v{vPJ�HDJ � þ § | �=_�� ^ � % C{J @BCIJ ^ @�J�ADvPJ�_¥J�N ^ @BC % �=A (;^ �=A ^ @BJ��=_¥J�N ^��z� �Y+�)f�±�?)f� ô � &)%D%'&)(B^ J�N & N ^x&�� ���±�KJ ^ � ô @��=N ^�� þ § | �=_�� ^ � % J�@�� & A ^B( J�_¥J�N ^ HDC ^ �'@BC � ú �� þ �'J ^j& v{� ( @�ADN � § | �=_�� ^ � % C{@B_�J¨JL@ ^& AD@B@BC½ADN � þF§ | �=_�� ^ � % C{@B_�Je�GJ ^ ADN��e`G��J ^[� § O��=N ^B(n& O ^ CPvPJKJ�@ ^�& AD@B@BC � þ{§ O��=N ^B(n& O ^ CPv{Je��zÎ��zÎ ] �=C{J�N ^ í J ^ í[þ­HDJ�@¾O &)^>~J��=� ( CPJ�@ & HD_¥J ^B^n& N ^ HDJ�@p�e`G��J ^ @p¹uN & A>M Únm J ^�ÚQm Ø ( JL@ % J�O ^ C{EUJ�_¥J�N ^ �J ^±ýóö í ÷�í[þ'ADNy�©�=NDO ^ J�A (±^ JLv��­ADJ ý � Únm � �­Únm ØÄ�>�p�=A (S^ �=A ^ @BJ��=_¥J�N ^��z� �-+()f����)f� ô �¿HDJ í��� ý �-+G�+) ý �d�±�L�Q) ý �d� ô �B�¿J�@ ^ ADN®@BJ��=_�JLN ^ HDJ íÿþ��­ND� ^>~J ý � � ��� ] A %D% �=@B�=ND@9�>ADJ�í J ^ í[þ & HD_�J ^B^ JLN ^HDJ�@ %D( �­HDADC ^ @�¹uNDC{@®J ^ �>ADJ�v{Jw�©�=NDO ^ J�A (�ý ³1O��=_�_aA ^ Je� � vP� ( @�@BC���)�ù öI� �� ��@B�=N ^ HDJ�A>M_�� (B%u| C{@B_�JjHDJ¨í��DJ ^ ÿ ö�� h +a÷ ��ADNDJ � § | �=_�� ^ � % CPJjHDJ­� x& ùz�

ý �0ÿD� ö=ý � � � h ý �-+>� �,ý � � h +>� S ÷ ý ���a�J�@ ^ ADNDJ ý � � �ħ | �=_�� ^ � % C{J HDJ ý ���q� x&Xý ��ùD���Då N�J�N�H ~J�HDADC ^ �­ADJK@BC � J�@ ^ ADNDJKOLv & @B@BJ�HDJj@BJ��=_�JLN ^ @HDJ"í��9J ^�� þ�v & O�v & @B@BJ�HDJ�@�@BJ��=_¥J�N ^ @�HDJ"íÿþK�©� ( _ ~J�JHDJ�@�@BJ��=_¥J�N ^ @ ý � � �´� % �=A ( � @BJL�=_�J�N ^&)%D%'&)(B^ JLN & N ^�x&�� �UJ ^ @�C��()�ù ö_� �� �$@B�=N ^ HDJ�A>M¥_�� (B%u| C{@B_�J�@ � § | �=_¥� ^ � % J�@¿HDJ�í�� & vP� ( @ ý ���q�¾ d

Page 33: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

J ^Áý ��ùD�S@B�=N ^[� þ § | �=_�� ^ � % JL@�� � CPND@BC��DJ�N�EUJ (�^ A�HDJKv &X%D( � %D( C ~J ^>~JKADNDCFEUJ ( @BJ�v{vPJKHDJ¨v & O &)^>~JL�=� ( CPJ�í��I�vPJ��©�=NDO ^ JLA ( ý CPNDHDADC ^ ADN��©�=NDO ^ J�A ( ýøö í���÷ í[þ�WØ ( J�NDH & N ^ O��=_�_aA ^n&)^ C{�ùv{JKHDC & � (n& _�_�J ö

í �ý

� � í þ

� �WØí�� �ý í þ�WØ

·�N %'&)(B^ C{O�ADvPC{J ( �U@BC��yJL@ ^ ADN � § | �=_�� ^ � % C{@B_�J9HDJ�í�� & vP� ( @ ý ���q�pJL@ ^ ADN � þ § | �=_�� ^ � % C{@B_�J±HDJÁí þ �J ^ @BC � J�@ ^ ADN��e`G��J ^[� §ºO��=N ^B(n& O ^ C{vPJKHDJ¨íü� ý � � �SJ�@ ^ ADN��e`G��J ^�� þ §ºO��=N ^B(n& O ^ C{vPJKHDJKí þ �Ï Ô>ÛÀÛZÔ �zÎ�� ��Hq� | �=_�� ^ � % C{Jñ��� á ê�«Å¡Q´ué�í ë±´`¡ §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡ � ¬T¿<¡�é¬é � ´'é2¬~¡´ì�¹`ª}ê°¬)ë�« é�ì ø ´&« ì:â î ë�´`¡¹ � ª�éV«Å¡$û � « � ³ ¡Q¿<¡Q´ué�ì � é�ë�ª�¨¡þ¡×¬~¡°ïuðâ��íó�+â � ë�´ý¡�´Dì°¡Q¿ � ³ ¡Ê¬~¡Xìþ¡Å©?¿<¡Q´'éÙìʬ~¡Kí 颡 ³ ¯Lë(¡�â ¹'ê)뱪¥éÄê)ë­éì°¡Å©T¿<¡Q´ué �æ� �-+�)f�±��)f� ô � � ¹_¹ � ª´é�¡Q´ � ´u鶵�¡� â ³ ¡¸¿�ê�ªÅ¹�À~«©ì+¿l¡ §:� ´¤ê?´&«�¯Lë(¡ è¢� ö +0÷ Únm âaê*µë Únm¬I¨¡´ìQ«ò©?´`¡ ³ $ ê �Vã ¡�é ø ´ �T³ ¬±¡Åí âqì�ê�« é½ë±´&«�²T¡Qªnìþ¡ ³H³ ¡Q¿<¡Q´'é�¬ � ´uì î â�¡�é���)�ù ö�� �� �ά~¡�ë�ê­¿�ê�ªÅ¹�À~«©ì+¿l¡´ì� ®ÅÀuê�¿�ê¶é¡ê:¹(¡´ìP¬~¡;í » ë ³ ê�ª´ì å

& � õ ���q� � õ ��ùD����ê*µë õ.ö í ÷ îøòùô í ¬I¨¡´ìQ«ò©?´`¡ ³ ¡*û�ê�´ § 颡�ë�ª §�� ´¤ê�´&«�¯Lë&¡P¬~¡ ³ ê §:�T³ «©ì � é�«ºê�´i�`��2�L¡´ì´é$¬ � ´uì î ìQ«r¡�é�ì°¡�ë ³ ¡Q¿<¡Q´'ésìQ«ù ³ $ ¡�ì´é[�Oñ�¨ì+« �g¡´ì�é9ë±´Ä«©ìñê�¿�ê�ªÅ¹�À~«©ì+¿l¡t¡Lé�ù § ê�´Dì´é � ´ué æºì°¡rû �~§ é¡ê�ª+« ì � ´ué½¹ � ª ³ $ ê �Vã ¡Lé ø ´ �?³>Únm èþâ �?³ ê�ª´ì³ ¡ë¿®ê�ª�¹�À±«©ì+¿<¡ §�� ´¤ê�´&«�¯Lë&¡ � ÷ Únm æ�¡�é��[÷ Únm èס´ì�ésë�´&«\²T¡�ªnì°¡ ³H³ ¡�¿<¡Q´ué$¬ � ´uì î »

Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã �p�=A ( H ~J�_��=N ^B( J ( � � ��J ^ � � �´���=N % J�A ^ @BA %D% �=@BJ ( �­Aq�¸C{v�J�MGCP@ ^ J¥ADN @�J��=_�J�N ^�I� �Y+�)f�±��)f� ô � &)%D%'&)(B^ J�N & N ^®x&&� J ^ ADNDJ � § | �=_¥� ^ � % CPJçÿ ö�� h +®÷ � HDJ6� x& ù¤��HDJc@B� (B^ Jc�­ADJvPJ�HDC & � (}& _�_�J � h +

ÿ� � � �

���fK× h �±�� � � � ����

������ fK× h � ô������ ù�@B�=C ^ O��=_�_aA ^n&)^ CP� � «±�=_�_�J¾vPJS_¥� (B%u| CP@B_¥JsO & ND�=NDC{�>ADJùè¢� ö +X÷ Únm J�@ ^ ADNDCFEUJ ( @BJ�v{vPJ�_¥J�N ^ H & ND@ î �è�� ô � fK× h è¢� ö_� h +a÷ � J�@ ^ H & ND@ î �DJ ^ O��=_�_¥J� ó � f � è�� ô ����fK× h �±��� � fK× � è�� ô �K��fK× h � ô ��)�=N &

õ �âè�� ô � õ �¡fK× h �±�ñ� � f�£ Y × [ � õ �âè�� ô � õ ��fK× h � ô ��)Hq�¸� xA

õ ��fK× h ����� � õ ��fK× h � ô ��)O�JK�>ADCICP_ % v{CP�­ADJ �>ADJ

õ ���q� � õ �0ÿD� õ ��fK× h ���ñ� � õ �fÿu� õ ��fK× h � ô � �2õ �Jùu�2)¾ f

Page 34: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

J ^;%D( �=AGEUJ¨v�� & @B@�J (B^ C{�=NÀ� � �´�ª J�_ -J�_�Je�­v¬� ~J�� & vPC ^G~J ó � � �{f CP_ % v{CP�>ADJ)�GJ�NyEUJ (B^ A�HDJ�@9O��=NDHDC ^ C{�=ND@�� � ��J ^ � � �±HDJjv & @ &)^ A (n&)^ CP�=Nq�

�>ADJ�fK× h �±��J ^ fK× h � ô @B�=N ^ H & ND@ î �Så N1J�N1H ~J�HDADC ^ �>ADJ>��� ( J�@ % �mùD�aJL@ ^ H & ND@ î @BC;J ^@BJ�ADv{J�_�J�N ^ @�C¬ÿ�v��¸J�@ ^ ��OL�=NDHDC ^ C{�=NÀ� � �9HDJKv & @ &)^ A (n&)^ C{�=N'���DO�JK�>ADC %D( �=AGEUJ�v¬� & @�@BJ (B^ C{�=NÀ� � ���

¢.�=N ^B( �=ND@�v�� & @B@�J (B^ C{�=Nw� § ���=� &)(s| ³ % � ^}|qxJ�@�Je�!ù �b3 è½�=� xAKè ö_� ÷ Únm H ~J�@�CP�=NDJ�v{JÁ_¥� (B%u| CP@B_¥JO & ND�=NDC{�>ADJ�J ^B3Kö}ÚQm ÷ ��ADN�_�� (B%u| CP@�_�J HDJKí��>�¡vq@�� & �=C ^ HDJK_��=N ^B( J ( �>ADJ % �=A (;^ �=A ^ �e`G��J ^2¤HDJ¨í��uv &c%D( J�_�C xJ ( J %D( �e��JLO ^ CP�=Naè�� ô � f�¥ h è ö¦¤ h � ÷ ¤ JL@ ^ H & ND@ î ��å ( �'JLN�EUJ (B^ A�HDJ ó � ¾ �f�¥ h �.J�@ ^�| �=_�� ^ � % J x& f�¥ h ù � ��f�¥ h 3 ����f�¥ h èz���DJ ^ O��=_�_�JD�wJ�@ ^ ADN�C{@B�=_�� (B%u| C{@B_�Je�>CPvqJ�NJ�@ ^ HDJ�_ -J�_¥J % �=A ( f�¥ h ���­ADCIJ�@ ^ HD�=NDO¨H & ND@ î ��O��=NDHDC ^ CP�=ND@c� � �9J ^ � § �9HDJKv & @ &)^ A (n&)^ C{�=N'���D�¡v(>~J�@�ADv ^ J°HD�=NDO¥HDJw� � � �>ADJ���f�¥ h 3 �L��f�¥ h èz�jJ�@ ^ H & ND@ î �IJ ^ OL�=_�_�J���f�¥ h èz����f�¥ h 3 � � f�¥¿�f�¥ h è.JL@ ^ H & ND@ î ��O��=NDHDC ^ CP�=NÀ� § �±HDJKv & @ &)^ A (n&)^ CP�=N'�´�DO�J¨�­ADC ^ J ( _�C{NDJ�v & H ~J�_¥�=ND@ ^B(n&)^ C{�=Nq�3 68Ý�á�9����6<§ã©¨¤ã ª�& ND@¥v & H ~J�_¥�=ND@ ^B(n&)^ C{�=N?HDJ ó � � �;� § ���p�=N�A ^ C{vPC{@BJ % �=A ( v &%D( JL_�C xJ ( J��©�=CP@XHDJ� &`pO��=N J�@B@BJLN ^ C{J�vPv{Jyv & O��=NDHDC ^ CP�=N2� § �KHDJyv & @ &)^ A (n&)^ CP�=Nq��£=AD@B�>Aq� x&w%D(>~J�@BJ�N ^ �¾v & @BJLADvPJyO��=ND@ ~J��­ADJ�NDO�JA ^ C{vPCP@ ~J�JyHDJ�O�J ^B^ JyO��=NDHDC ^ CP�=N,��O��=_c`uCPN ~J�J & EUJ�Oyv & O��=NDHDC ^ CP�=N,� � �B� ~J ^}& C ^ �>ADJyv{J�@aCP@B�=_�� (�%u| CP@B_�JL@@B�=N ^ H & ND@ î �( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� �zÎ�ïqÎ á ê�«�¡�´ué í ë�´`¡ §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡ � ¬?¿<¡�é¬é � ´uét¬~¡´ìæ¹�ªnê°¬)ë�« é�ì ø ´(«©ì:â î ë±´�¡æ¹ � ª´é�«�¡û � « � ³ ¡Q¿<¡Q´'é¤ì � é¬ë±ª�¨¡þ¡B¬~¡Sïuð ��íó�+â,¡�é � ë�´¸¡Q´Dì°¡Q¿ � ³ ¡B¬~¡�ìþ¡Å©?¿<¡Q´'éÙì$¬~¡Åí 颡 ³ ¯Lë(¡�â±¹'ê¶ë�ª±éÄê¶ë>éqì°¡¢©?¿<¡Q´ué�M� �-+()f���X)f� ô � � ¹~¹ � ª´é�¡Q´ � ´uéPµ�j� â ³ ¡$¿�ê?ª�¹�À~« ì+¿<¡ §:� ´qê�´&«�¯Lë(¡zè¢� ö +c÷ Únm âpê*µë ÚQm ¬I¨¡�ì+«ò©?´`¡ ³ $ ê �Vã ¡�éø ´ �T³ ¬~¡jíîâ9ìñê�« é9ë�´&«\²T¡�ªnì°¡ ³H³ ¡�¿<¡Q´ué�¬ � ´Dì î » á « � ¡´ì�é;ë�´�ê �Vã ¡Lé � ® § ê�´ué�ª �~§ é�« ³ ¡<¬~¡jí â �?³ ê�ª´ì ³ ¡¿�ê�ªÅ¹�À~«©ìQ¿<¡ §:� ´qê�´&«�¯Lë(¡ � ÷ ÚQm ¡�ì´ésë�´&«\²�¡Qªnì°¡ ³H³ ¡Q¿<¡Q´ué2¬ � ´Dì î »Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã « �¸J�@ ^ ADNDJ¨OL�=ND@ ~J��>ADJLNDO�J�CP_¥_ ~J�HDC &)^ J HDA�vPJ�_¥_�J ó � � � § �´��zÎ�ôqÎ å N &)%D% J�v{vPJcì°¡Å©T¿<¡Q´ué ¿aë ³ é�« ¹ ³ « §:� éV« û�Hq�¸ADNDJ O &)^G~J��=� ( C{J¦í & HD_�J ^B^n& N ^ HDJ�@ %D( �­HDADC ^ @S¹uNDC{@��>ADN@BJ��=_¥J�N ^2ª%� �g«2) ` �?) ` ô �9HDJKíü�D_aADNDCIHq�¸ADNDJKvP�=CIHDJKOL�=_ % �=@BC ^ CP�=N¬ ö « h « S ÷ «& HD_�J ^�^n& N ^

`��OL�=_�_�J;ADNDC ^>~J x& H ( �=C ^ JÁJ ^

`ô O��=_�_�J$ ~J ( � x& H ( �=C ^ Je� & A ^B( JL_�J�N ^ HDC ^ � ^ J�v{vPJÁ�>ADJ¦v{J�@HDC & � (}& _�_�J�@±@BADCFE & N ^ @Á@B�=CPJ�N ^ OL�=_�_aA ^n&)^ CP�©@« h Únm �f�­ h ` �� � � � � � ���f�­

« h «¬ « h Únm

�f�­ h ` ô « h «

¬« Únm �

`ô «

·�N %'&)(B^ CPO�ADv{CPJ ( � ¬ J�@ ^ ADNDJ ª § | �=_�� ^ � % CPJ¦HDJ v��¸CPHDJLN ^ C ^>~J¦HDJo« x& ADNyJ�NDHD�=_¥� (B%u| CP@B_¥J¦O��=ND@ ^n& N ^ �GJ ^«7J�@ ^ ADN��e`G��J ^4ª § OL�=N ^B(}& O ^ CPv{JKHDJKíü�Ï Ô>ÛÀÛZÔ �¤ÎÙÍ{õ½Î á ê?«�¡Q´uéKí ë�´`¡ §�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡ � ¬?¿<¡�é¬é � ´uéʬ~¡´ì<¹�ªnê°¬)ë�« é�ì ø ´&«©ì�â<¬�$ ê �Vã ¡�é ø ´ �?³iÚnm âî ë�´`¡­¹ � ª�éV«Å¡Bû � « � ³ ¡Q¿<¡�´ué ì � é¬ë�ª�¨¡þ¡k¬~¡yïDðF��íó��â �P� �Y+�)f�±��)f� ô ��ë±´�ìþ¡Å©?¿<¡Q´'éë¬~¡cíîâ é�¡ ³ ¯Lë&¡ ³ ¡¿�ê�ªÅ¹�À~«©ìQ¿<¡ §:� ´¤ê?´&«�¯Lë(¡�+c÷ Únm ì�ê�« é¾ë�´&«\²�¡Qªnì°¡ ³H³ ¡Q¿<¡Q´ué�¬ � ´Dì î âr¡�és� ª ) ¬ �+â ª%� �r«B) ` ��) ` ô �+âpë�´ì°¡Å©T¿<¡Q´uéz¿Xë ³ é�« ¹ ³ « §�� éV« û¼» á $ « ³ ¡�ê�«©ì�颡jë�´x¿�ê�ª�¹�À~«©ì+¿<¡­¬±¡¦ìþ¡Å©?¿<¡Q´'éÙìIN öX� ÷ ª â �?³ ê�ª´ì ³ ¡D¿�ê�ªÅ¹�À~«©ì+¿l¡§:� ´qê�´&«�¯Lë(¡p袭 ö « ÷ Únm ¡�ì´ésë�´&«\²�¡Qªnì°¡ ³H³ ¡Q¿<¡Q´ué$¬ � ´Dì î »

¾ b

Page 35: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã �p�=@B�=ND@�ÿ � ¬ ��f�­ h Np� ö « h +a÷ «« h + ô¯® h RS�S(SZSZS ÷ « h « °S¢S&SZS ÷ « å N &

ÿq��f�­ h ����� � ¬ ��f�­ h Np����f�­ h �±�ñ� � ¬ ��f�­ h ` �ñ� � f�­J ^

ÿI��f�­ h � ô � � ¬ �¡f�­ h Np�L��f�­ h � ô � � ¬ ��f�­ h ` ô � � `ô 袭�)

& A ^B( JL_�J�N ^ HDC ^ �Xf�­�J ^ ` ô 袭�@B�=N ^�� § | �=_�� ^ � % J�@��j�¡v (>~J�@�ADv ^ J1HD�=NDO�HDAøv{J�_�_�J ó � � �¥� § �.�>ADJ袭 ö « ÷ Únm J�@ ^ ADNDCFEUJ ( @BJ�v{vPJ�_¥J�N ^ H & ND@ î �3 68Ý�á�9����6�§ãg���Mã �s�=CPO�CIADNDJKH ~J�_��=ND@ ^B(}&)^ CP�=N % vPAD@¦O��=NDOLJ %D^ ADJ�v{vPJ�HDJKO�J¨v{J�_�_�Je� t J¨_¥� (B%u| CP@B_¥JHDJ;@BJ��=_�J�N ^ @rN.H ~JL¹uNDC ^ ADNDJ � § | �=_�� ^ � % C{J;HDJ ` � x& ` ô ��OL� � ó � b=���eJ ^ vPJ;@BJ��=_¥J�N ^[ª.&)%D%'&)(B^ C{J�N ^ HD�=NDOx&²±7J� ;j��O�� � ó � Þ �´��«9�=_�_¥J³« JL@ ^�ª § OL�=N ^n& O ^ CPv{J���OL� � ó � * ���e�=N°J�N�H ~J�HDADC ^ �­Aq�¸CPvDJL@ ^S& AD@�@BC � §ºO��=N ^�(n& O ^ C{vPJ� ó � Þ ���DJ ^ �=N�O��=NDO�v{A ^�%'&)( v &a%D( � % �=@BC ^ CP�=N ó � � �021 68Ý4365!67§ãr�´ ã ] �=C ^ í ADNDJ®O &)^>~J��=� ( C{J & HD_�J ^B^}& N ^ HDJ�@avPCP_¥C ^ J�@ %D( �)��J�O ^ CFEUJ�@�¹uNDCPJL@��ÅADN²�e`G��J ^CPNDC ^ C & vqì´éVªQ« § éµ: m �Ù�=N¥HDC ^ �>Aq��ADN��e`G��J ^ CPNDC ^ C & vDJ�@ ^ @ ^B( C{O ^ @BC ^ �=A ^ _¥� (B%u| CP@B_¥JÁHDJ;`uA ^ O�J ^ �e`G��J ^ JL@ ^ADNZC{@B�=_�� (B%u| C{@B_�Jñ���zJ ^ ADN2ê �Vã ¡�é�¬~¡ ¦ �X¶ ²T¡Qª�¡~«���ADN"�e`G��J ^ HDJ¥í ( J %D(G~J�@BJ�N ^n& N ^ vPJ %D(>~J�� & C{@BO�J & A� Í÷ 7 @B�=AD@�§º�e`D��J ^ @�HDJ � ;¶�´�Å«±�=_�_�J�: m J�@ ^ ADN �e`G��J ^ CPNDC ^ C & v¿@ ^B( C{O ^ � % �=A (c^ �=A ^ �e`G��J ^P� HDJíü�'vPJK_�� (B%u| C{@B_�J¨O & ND�=NDCP�>ADJ&: m ÷ � J�@ ^ ADN_¥�=ND�=_�� (B%u| CP@�_�Je� ] C ÚQm H ~J�@BCP�=NDJcv��¸�e`G��J ^ ¹uN & vHDJ®íü�ùvPJ�@c_¥�=ND�=_�� (B%u| CP@�_�J�@Xfp÷f· ö�ÚQm ÷ Únm J ^ : m ÷ Únm H ~J�¹uNDCP@B@BJLN ^ HDJ�A>M²_�� (�%u| CP@B_�JL@`� ö Únm ÷ « J ^ ` ô ö Únm ÷ «��SHq��� xA,ADN,@�J��=_�J�N ^ ª � �g«2) ` �?) ` ô ��� &)%D% JLv ~J ìþ¡Å©?¿<¡Q´'ét¬~¡¦ �X¶ ²T¡Qª�¡aHDJcí��¤J ^ �­ADCÅJ�@ ^ ADNDC{�>ADJ x& CP@B�=_�� (�%u| CP@B_�J¨ADNDCP�>ADJaHDJc@BJL�=_�J�N ^ @ %D(ñxJ�@��½å N ( J�_ &)( �­ADJ�>ADJ�v¬��CPN ^ J ( @�J�O ^ C{�=N�HDJ�@�@��=AD@�§ �e`G��J ^ @

� � þ � ÷ � ) � þ þ � ÷ � � Í S ÷ � � þ h × � þ þ � ÷ � �H ~JL¹uNDC ^ ADNDJ¨v{�=CIHDJKO��=_ % �=@BC ^ CP�=N�@BA ( « ¬ ö « h « S ÷¸« Ï Ô>ÛÀÛZÔ �zÎ�Í�ÆqÎ ¦ ¡ ì°¡¢©?¿<¡Q´ué ª ¡�ì´éÅì�¨¡Å¹ � ª � ´ué�â¾� ª ) ¬ �ë¡´ì´épë�´�ì°¡Å©?¿<¡�´uéz¿aë ³ éV« ¹ ³ « §:� é�« û:â*¡�é�¹'ê)뱪 é¡ê¶ë>éì°¡Å©T¿<¡Q´ué¿ì�¨¡Å¹ � ª � ´ué � � �-+()f���?)f� ô �d¬~¡9í â « ³ ¡dê�«©ì´é�¡�ë±´%¿�ê�ª�¹�À~«©ì+¿<¡­¬±¡jì°¡Å©?¿<¡�´uéÙì$N öX� ÷ ª æÅ´¤ê�´´ë¨¡ § ¡´ìnì � «�ª:¡Q¿<¡�´ué¿ë�´&«�¯Lë(¡0è�»Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã ¢.�=N ^B( �=ND@¦�­ADJ ª J�@ ^ @ ~J %'&)(}& N ^ �'·�N�J�è¤J ^ �u@BA %D% �=@B�=ND@��>ADJ¨v{JKO &)(B(>~J� ó f ¾ f �

Únm � � ���`�

�º¹ ¹ ¹�»� � ��� «Únm ¹ ¹ ¹�»

¾�¾

Page 36: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

@B�=C ^ O��=_¥_XA ^}&)^ CP� �u«±�=_�_�J v{J�@�O &)(B(>~J�@

� ó f ¾ b=� � �fK×

Únm

: m

�¼: m� � Únm � � ÚQm

@B�=N ^ O &)(B^>~JL@BCPJ�ND@��ÙvPJ¥@�J�O��=NDH %'&)( O�J®�>ADJ�: m J�@ ^ ADN²�e`G��J ^ C{NDC ^ C & v¾@ ^B( C{O ^ ���ùv & O��=_¥_XA ^}&)^ C{E>C ^>~JaHDJó �Pf ¾ �{f�C{_ % vPC{�>ADJy�>ADJ�fK× ö*� ÷ � J ^ : m ÷ � ( J %D(>~J�@�J�N ^ J�N ^ v{J�_ -J�_¥J�@��=AD@�§ �e`G��J ^ HDJ � �& A ^B( JL_�J�N ^ HDC ^ �u�>ADJ�: m ÷ � J�@ ^ ADN�C{@B�=_�� (B%u| C{@B_�Je�DOLJ¨�>ADC %D( �=AGEUJ¨v¬� & @B@BJ (�^ CP�=Nq�

�p�=A ( _��=N ^B( J ( �>ADJ

`�°� ( J�@ % �

`ô �±JL@ ^ ADNDJKADNDC ^>~J¥� ( JL@ % ��ADN¸Â ~J ( ��� x& H ( �=C ^ J % �=A ( ¬ �uO��=_�_�JvPJL@�O &)(�(G~J�@ ó �Pf ¾ � bÀ@B�=N ^ O &)(B^>~J�@BC{J�ND@��9CPvj@BA ¯°^ HDJ ( J�_ &)( �>ADJ ( �­ADJe� % �=A (�^ �=A ^ �e`D��J ^k� HDJ"íü�

v¬��CPN ^ J ( @�J�O ^ C{�=N®Hq�¸ADN®@B�=AD@�§º�e`G��J ^I� þ HDJ � & EUJ�O¦v{J¦@B�=AD@�§º�e`D��J ^ � % vPJ�C{ND��� ( J�@ % �Å��EGC{HDJ����¿J�@ ^ vPJ¦@��=AD@�§�e`G��J ^2� þ � ( J�@ % �DEGC{HDJñ���

¢.�=N ^B( �=ND@¨�­ADJ % �=A (K^ �=A ^ @�J��=_�J�N ^ @ ~J %'&)(n& N ^��B� �-+()f���X)f� ô �´�qCPvpJ�MGCP@ ^ JXADNZ_�� (�%u| CP@B_�JcHDJ@BJ��=_¥J�N ^ @IN öX� ÷ ª �­�¡vz@�� & �=C ^ HDJ _��=N ^B( J ( �>Aq�¸C{v�J´MDCP@ ^ J¦ADN®_�� (B%u| C{@B_�J!N ö +a÷¸«?HDJ í ^ J�v'�>ADJ� ó f ¾ ¾ �

`� � N.���6) `

ô � N.� ô ] �=C ^ N ö +�÷ «�v{J�_�� (B%u| C{@B_�J�OL� (B( J�@ % �=NDH & N ^K& A.@B�=AD@�§º�e`G��J ^ ��� ö8Únm ÷ +�HDJ +�� t J�@ ~J�� & v{C ^>~JL@ó �Pf ¾ � ¾ (>~J�@BADv ^ J�N ^¦& vP� ( @;HDA�� & C ^ �­ADJKv{J�@ÁO &)(B(>~J�@Á@BADC{E & N ^ @�@B�=N ^ O &)(�^G~J�@BC{J�ND@ ö

Únm �

Únm ���

: m

� Únm ���Únm ���� + Únm �� ô +

��v{JKHDJ�A>MGC xJ�_¥J % ADC{@B�>ADJ � J�@ ^ @ ~J %'&)(n& N ^ ���( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� �zÎ�Í~ð½Î á ê�« ézí ë±´�¡ §:� éZ¨¡:©­ê�ª+«�¡ � ¬?¿<¡�é¬é � ´ué�¬~¡´ì ³ «\¿P« é�¡´ìz¹�ª}ê ã ¡ § é�«\²T¡´ì ø ´&«�¡´ì:â�ë±´ê �Vã ¡Lé«\´&«ÙéV« �T³ ì�éVªQ« § é�â*¡Lésë�´Zê �Vã ¡�é*¬~¡ ¦ ��¶ ²T¡�ª:¡p«2â�¡�é¾ì�ê?« é î ë±´�¡r¹ � ª´é�«�¡zû � « � ³ ¡Q¿<¡�´ué¾ì � é�ë�ª�¨¡þ¡P¬~¡�ïDðâ��í��þ»½ ê¶é¡ê�´Dì Únm ë�´Àê �Vã ¡�é ø ´ �?³ ¬~¡;í » ¦ ¡´ì § ê�´�¬T« éV« ê�´Dì ì´ë�«\² � ´'颡´ì�ì�ê�´uéx¨¡°¯Lë�«\² �?³ ¡�´u颡�ì�å

& � ¦ ¡ë¿�ê�ªÅ¹�À~«©ìQ¿<¡ §:� ´qê�´&«�¯Lë(¡)«0÷ Únm ¡�ì´ésë�´&«\²�¡Qªnì°¡ ³H³ ¡Q¿<¡Q´ué2¬ � ´Dì î �`���« ³ ¡dê�«©ì´é�¡�ë±´.ì°¡Å©?¿<¡�´ué¿ì�¨¡Å¹ � ª � ´ué � � �Y+�)f�±��)f� ô �ë¬~¡9íîâ¿é�¡ ³ ¯�ë&¡ ³ ¡ë¿�ê�ª�¹�À~«©ì+¿<¡ §�� ´¤ê�´&«�¯Lë&¡

+a÷ ÚQm ìñê�« é�ë±´&«�²T¡Qªnìþ¡ ³H³ ¡Q¿<¡Q´'éI¬ � ´Dì î �Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã t &°%D( � % �=@BC ^ C{�=N (>~JL@BADv ^ J�CP_¥_ ~J�HDC &)^ J�_�J�N ^ HDJ�@�v{J�_�_�JL@ ó �{f ¾ J ^ ó �PfñdG�021 68Ý4365!67§ãr�´§ã ] A %D% �=@B�=ND@X�>ADJyí � {q|~}´�ÅND� ^ �=ND@ 4 ô v & O &)^>~JL�=� ( CPJ®O�� (�( J�@ % �=NDH & N ^.x& v¬�¸JLN>§@BJ�_c`uv{J0� ( HD�=NDN ~J 7 d J fT;U� J ^ Ú �T) Ú ô ö.Ú �� 4 ô vPJL@��©�=NDO ^ J�A ( @"H ~J�¹uNDCP@ %'&)( d J ^ f,��O�� ( §( J�@ % �=NDH & N ^X& A>MÀO ( CF`uvPJ�@� % v{J�CPND�wJ ^ ��EGC{HDJ���HDJ Ú ��O�� �Åb>� b ¾ �B���ùå NÀE ~J ( CF¹uJ�CP_¥_ ~J�HDC &)^ J�_�J�N ^ �­ADJ0 ô ö � � 4 ô ) Ú �?) Ú ô �±J�@ ^ ADNw@BJ��=_�JLN ^ @ ~J %'&)(n& N ^ HDJ�{q|_}��uJ ^ �=N ( JL_ &)( �>ADJ��>ADJK@BCqÉ��T):É ô ö à �� Ë@B�=N ^ HDJ�A>M�� xJ�O | J�@®HDJÊ{q|~}´�¾vPJL@ 0 ô § | �=_¥� ^ � % CPJ�@XHDJkÉ�� x& É ô O�� (B( J�@ % �=NDHDJ�N ^ `uCPADNDCFEU�>�­ADJ�_�J�N ^& A>M?_�� (B%u| CP@�_�J�@XHDJ��©�=NDO ^ J�A ( @®HDJ>É���EUJ ( @<É ô �Så N1J�N1H ~J�HDADC ^ � & O�C{vPJ�_�JLN ^ �>ADJ�v{J�@�@BJL�=_�J�N ^ @&)%D%'&)(B^ JLN & N ^²x& ±7 0 ô ;1��OL� � ó � Þ �°@B�=N ^ J�M & O ^ J�_�J�N ^ vPJ�@y@BJL�=_�J�N ^ @ �>� �-+()f����)f� ô � ^ J�v{@��­ADJ.vPJ�@¾ Þ

Page 37: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

CP_ & �=J�@�HDJ¾����J ^ � ô &)%D%'&)(B^ C{J�NDNDJ�N ^Àx& ADNDJw_ -J�_�J�O��=_ % �=@ & N ^ J�O��=NDNDJ´MDJ.HDJ +��sJ ^ �>ADJ�HDJ�A>M� xJ�O | J�@OÉ��?):É ô ö à �� Ë�HDJ­{q|_}�@��=N ^ 0 ô § | �=_�� ^ � % J�@ @BC�J ^ @BJ�ADvPJL_�J�N ^ @L�¸CPv�J�MDC{@ ^ JaADN�@�J��=_�J�N ^�$� �-+()f���X)f� ô ��HDJ­{�|~}´� & EUJ�O +�O��=NDNDJ´MDJe�qJ ^ ADNDJ � § | �=_¥� ^ � % CPJçÿ ö à h +y÷ Ë HDJ6É�� x& É ô �Iå NHDC (}&% vPAD@X@BC{_ % vPJ�_¥J�N ^ �­ADJ¸É���J ^ É ô @B�=N ^ ÀDê�¿�ê¶é¡ê:¹(¡�ì¼» ª J�_ -J�_¥Je�Å�=N?HDC (n& �­Aq�¸ADNDJ×� xJ�O | J�HDJ{q|_}±J�@ ^ ADNÄÀDê�¿®ê¶éÄê�¹�«©ì+¿<¡e� % �=A ( 0 ô § | �=_�� ^ � % C{@B_�Je�DJ ^ �­Aq�¸ADNDJ¨O &)^G~J��=� ( C{JKJ�@ ^t§ ê�´'éVª �~§ é�« ³ ¡)� % �=A (0 ô § OL�=N ^B(}& O ^ CPv{Je�( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� �¤ÎÙÍ��IÎ á «��Ρ´ì´éùë±´`¡�¹�¡�éV«Ù颡 §:� éZ¨¡:©�ê?ª+«�¡ � ¬?¿<¡Lé�é � ´ué�ë±´�ê �Vã ¡�é ø ´ �?³ æ�ê¶ëæ«\´&« é�« �?³ èþâ �?³ ê�ª´ì�ï¡´ì´é § ê�´ué�ª �±§ éV« ³ ¡°»Ü 468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã ] �=C{J�N ^ÊÚ P ADN��e`G��J ^ ¹uN & vDHDJ!�°� 3Kö!Ú ÷ � vPJ9�©�=NDO ^ JLA ( H ~JL¹uNDC %'&)( OLJ ^ �e`G��J ^ �J ^ è ö �$÷ Ú vPJ��©�=NDO ^ J�A ( O & ND�=NDCP�>ADJ)�Då N & è 3�� fp÷9J ^ @BC¬� % �=A (S^ �=A ^ �e`G��J ^I� HDJ��°�¼¿.À ö~� ÷ Ú PH ~J�@BC{�=NDJ¨v & � xJ�O | J�O & ND�=NDCP�>ADJ)�¢¿ ö f�P²÷ 3 è�J�@ ^ ADN�_�� (B%u| C{@B_�JjHDJ��©�=NDO ^ J�A ( @L�z�>ADCqOL� (B( J�@ % �=NDH x&ADNDJ 0 ô § | �=_�� ^ � % C{JKHDJXf�P x&l3 è½�DO�J¨�­ADC %D( �=AGEUJ¨v &c%D( � % �=@BC ^ C{�=Nq��zÎ�ÍM'¤Î t J�@�J��=_�J�N ^ 0 ô & HD_�J ^ ADNDJ�@ ^B( ADO ^ A ( JSHDJs@BJ��=_�JLN ^ _XADv ^ C % v{CPO &)^ CP� ��·sN�J�è¤J ^ � 4 ô ( J %D(G~J�@BJ�N ^ JvPJ %D(>~J�� & C{@BO�J & A � Í S ÷ 7 O ( CF`uvPJ�@ÁHDJ­�6;@BA ( {q|_}X�ºb>� b ¾ �´�zJ ^ vPJa_�� (B%u| C{@B_�JaHDJæ�üEUJ ( @ 4 ô @�J°� & O ^ � ( CP@ & N ^j%'&)(�Ú ��� ( J�@ % � Ú ô � O�� (B( JL@ % �=NDH& A�O ( C{`uv{J % v{J�CPNZ� ( J�@ % �DE>CPHDJñ�SHDJO�°��åjN�J�N�H ~J�HDADC ^ �­ADJKv & v{�=CqHDJKOL�=_ % �=@BC ^ CP�=Ny@BA ( 4 ô ( J %D(>~JL@BJ�N>§^n& N ^ v��¸CPN ^ J ( @BJ�O ^ C{�=NZHDJ�HDJ�A>M"O ( CF`uvPJ�@¨H ~JL¹uNDC ^ ADNDJ�@ ^B( ADO ^ A ( J®HDJ¥@�J��=_�J�N ^ _aADv ^ C % vPC{O &)^ C{�s@BA ( 0 ô �·¿M % vPC{O�C ^ JL_�J�N ^ �DO�J ^B^ JKv{�=CqHDJ¨O��=_ % �=@BC ^ CP�=N�J�@ ^ H ~J�¹uNDCPJ %'&)(4 ô h 4 ô S ÷ 4 ô

�V|�)�ä�� Í S ÷ |�ÁÐä S |�äd) |()�ä û�Ï�Ñ � 4 ô � ��7 d8)�fT; « �¸J�@ ^ vPJ�_�� (B%u| C{@B_�Jj�>ADCIO�� (�( J�@ % �=NDH & A�O ( CF`uvPJ 7 �¬d8)ndU�+;�HDJ 4 ô h 4 ô �( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� �zÎ�Í�ïqÎ2� ê¶ë�ª®éÄê¶ë>é ³ ê §:�?³ «©ì � 颡�ë�ª!û�ê�´`¬ � ¿<¡Q´'é �?³ Ö âjë�´`¡ §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡ § ê�´ué�ª �~§ éV« ³ ¡k¡´ì´éÖî® � ì�¹�À!¨¡QªQ«�¯Lë(¡°»Ü 468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã ·�N�EUJ (B^ AwHDJ t `?�ºb>� b=���uJ ^ HDJ�v &X%D( � % �=@BC ^ CP�=Nb>� Þ � 4 ô ÷ Ú J�@ ^ ADNDC{EUJ ( @�J�vPv{J�§_�J�N ^ H & ND@�Öø�¤«9�=_�_¥JKJ�N�EUJ (B^ AwHDJ t & �ºb>� b=���&Ö J�@ ^ � & CF`uvPJ�_¥J�N ^ @ &)^ A (>~J)�zv &X%D( � % �=@BC ^ CP�=N ó �{f �(>~J�@�ADv ^ JKHDJ¨v &c%D( � % �=@BC ^ C{�=N ó � � �

¾_ó

Page 38: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

6 k=Ò?oqm È ik�I É¿h Ì k=Ò È k=Ò È rM � ´Dì § ¡�¹ � ª � ©?ª � ¹�ÀZ¡+â±ê�´wì°¡ ø ê�¡�âsë�´`¡*û�ê�«©ì*¹'ê)뱪¨éÄê)ë­é�¡´ì:âsë�´ ³ ê §:�?³ «©ì � 颡L뱪Mû�ê�´�¬ � ¿<¡Q´ué �?³ Ö »�qÎ�Í'Î t &¥%D( � %D( C ~J ^>~J�Hq� -J ^B( J¨ADNDJcO &)^>~J��=� ( C{J ^ JL@ ^ � & C{`uv{J�Nq�¸JL@ ^¦%'& @ ADNDJ %D( � %D( C ~J ^>~Jcv{�>O & v{J ö @BC à JL@ ^ADNDJ¦O &)^>~J��=� ( CPJ ^ J�@ ^ � & C{`uv{Je��v & O &)^G~J��=� ( C{J à åT|'� % �=A ( |c�e`G��J ^ HDJ à ��Nq��J�@ ^s%'& @�N ~J�O�JL@B@ & C ( J�_�J�N ^ ADNDJO &)^>~JL�=� ( CPJ ^ J�@ ^ � & CF`uvPJe�­J ^ @BC à J�@ ^ ADNDJ % J ^ C ^ J�O &)^>~J��=� ( C{J ^ J�v{vPJ¦�­ADJe� % �=A (S^ �=A ^ �e`G��J ^ |aHDJ à � à åT|@B�=C ^ ADNDJcO &)^>~JL�=� ( CPJ ^ J�@ ^ � & CF`uvPJe� à Nq�¸JL@ ^¦%'& @¦N ~J�OLJ�@B@ & C ( J�_�J�N ^ ADNDJcO &)^>~JL�=� ( CPJ ^ J�@ ^ � & CF`uvPJe�zå NJL@ ^& CPND@�C½OL�=NDHDADC ^°x&a% �=@BJ ( v & H ~JL¹uNDC ^ CP�=N�@�ADC{E & N ^ J)� ÓÔ~Èz�ÅØ Ò ØÙÖ�� �qÎ\�zÎ å N�HDC ^ �>Aq�¸ADNDJ % J ^ C ^ JjO &)^>~J��=� ( CPJ à J�@ ^ ADNDJ�Ö�§ §:� éZ¨¡:©�ê?ª+«�¡Ké�¡´ì´é ³ ê §:�?³ ¡e�D�=A % vPAD@@BC{_ % vPJ�_¥J�N ^ ADNDJ §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡ é¢¡´ì�é ³ ê §:�T³ ¡)�D@BC % �=A (;^ �=A ^ �e`D��J ^ |¥HDJ à � à åT|¥J�@ ^ ADNDJ�O &)^>~JL�=� ( CPJ ^ JL@ ^� & C{`uv{Je��åjNZHDC ^ �­ADJ à J�@ ^ ADNDJ<Ö�§ §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡°é�¡´ì´én�ù�=A % v{AD@¨@BC{_ % vPJL_�J�N ^ ADNDJ §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡X颡�ì´én�ù@�CJ�v{vPJ�J�@ ^°x& v & �©�=CP@ÁADNDJëÖ�§ O &)^>~J��=� ( CPJ ^ J�@ ^ vP�­O & vPJjJ ^ ADNDJëÖ�§ O &)^G~J��=� ( C{J ^ J�@ ^ � & CF`uvPJe�( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� �qÎÇÆqÎ á ê?« é à ë�´`¡z¹(¡LéV« é�¡ §�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡°» ¦ ¡�ì § ê?´�¬?« é�«ºê�´Dì;ì´ë±«�² � ´ué�¡´ì9ì�ê?´uéר¡°¯Lë�«\² �?³ ¡�´u颡�ìßå

& � à ¡´ì´é�ë±´�¡ §:� éZ¨¡:©�ê?ª+«�¡Ké�¡´ì´é ³ ê §:�T³ ¡¤�`��O¹'ê¶ë�ª�é¡ê¶ë>颡­¹�¡�éV«Ù颡 §:� éZ¨¡:©�ê?ª+«�¡d� � ¬?¿<¡�é¬é � ´ué�ë�´,ê �Vã ¡Lé ø ´ �?³ âIK Ìô �����x¡´ì�éj뱴Ĺ�ª�¨¡�û � «©ì § ¡ � ë³ ê §:�T³ ¡Q¿<¡Q´ué � ìŹ�ÀB¨¡QªQ«�¯Lë(¡¥��OL� � ¾ � � ���Oñ�,¹'ê¶ë�ª9éÄê)ë­é�¡�¹(¡�é�« é�¡ §�� éZ¨¡¢©�ê�ª+«Å¡ � ìŹ�ÀB¨¡QªQ«�¯Lë(¡ �6âZK Ìô ���¨��¡´ì´éIë�´ë¹�ª�¨¡�û � «©ì § ¡ � ë ³ ê §��?³ ¡Q¿<¡Q´'é � ì�¹�ÀB¨¡Q®ª+«�¯Lë&¡e�

Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã ] �=C ^ �ÿADNDJ % J ^ C ^ J�O &)^>~J��=� ( CPJ)� t J %D(>~JL� & CP@BO�J & A×K Ìô �����¾J�@ ^ v{�>O & v{J�_�J�N ^S& @ %u|S~J�§( C{�>ADJX@BCsJ ^ @BJLADvPJ�_�JLN ^ @�C¿v{J°�©�=NDO ^ J�A ( à å?K Ìô �V��� ÷ à J�@ ^�& @ %u|�~J ( C{�>ADJe� & A ^B( JL_�J�N ^ HDC ^ �I@BC % �=A (^ �=A ^ �e`G��J ^ |�HDJ à �zv & O &)^>~JL�=� ( CPJy� à å?K Ìô �������ÕåT|�JL@ ^�& @ %u|�~J ( C{�>ADJe�qå ( ���=N�E ~J ( C{¹uJc� & O�C{vPJ�_�JLN ^ �­ADJ� à å?K Ìô �����B��åT|^ì�� à åT|G�Õå?K Ìô�à � ���¨���ÅJ ^ v &�%D( � % �=@BC ^ C{�=N (>~J�@BADv ^ J�HDJ�v¬� ~J��>ADCFE & v{J�NDO�JyHDJ�@XO��=NDHDC ^ C{�=ND@��«¡���½��«\«\« þ�þ �SJ ^ ��«\«\« þ þ¸þ©�±HDJ¨v &X%D( � % �=@BC ^ CP�=N Þ � * �3 68Ý�á�9����68?Ä8:ãÅ�=ã � � n NDJ % J ^ C ^ JaO &)^>~J��=� ( CPJ à J�@ ^ ADNDJ¥O &)^>~JL�=� ( CPJ ^ J�@ ^ @BC¾J ^ @BJLADvPJ�_�JLN ^ @BC¾J�vPv{JJ�@ ^ ADNDJ�O &)^>~J��=� ( CPJ ^ J�@ ^ v{�>O & v{Je� & @ %u|S~J ( C{�>ADJe�s·�N�J�èzJ ^ �sJ�N�EUJ (B^ A?HDJ�v &�%D( � % �=@BC ^ CP�=N Þ � * � % �=A (H ~J�_��=N ^B( J ( �>ADJw@B�=AD@®OLJ�@ | ³ % � ^}|qxJL@BJ�@ à J�@ ^ ADNDJ.O &)^>~J��=� ( CPJ ^ J�@ ^ � & CF`uvPJe�sCPvÁ@BA ¯¥^ HDJw_��=N ^B( J (�>ADJ % �=A (®^ �=A ^ J % J ^ C ^ JwO &)^>~J��=� ( CPJx� & ³ & N ^ ADN �e`G��J ^ ¹uN & v�� à å?K Ìô ���¨��÷ à J�@ ^�& @ %u|�~J ( CP�­ADJe�O�Ja�>ADC (>~J�@BADv ^ JXHDJXv &�%D( � % �=@BC ^ CP�=N � � ¾ �z�p�=A ( O &)(}& O ^>~J ( C{@BJ ( HD�=NDOavPJ�@�O &)^>~J��=� ( CPJ�@ ^ JL@ ^ �qCPv�@BA ¯¥^ HDJO &)(n& O ^G~J ( C{@BJ ( v{J�@;O &)^>~J��=� ( C{J�@ ^ J�@ ^ vP�>O & vPJ�@��� � ] C à J�@ ^ ADNDJ�O &)^G~J��=� ( C{J ^ JL@ ^ v{�>O & v{Je� & vP� ( @ % �=A (Á^ �=A ^�%D(>~J�� & CP@BOLJ & A ý HDJ /à �uv & O &)^>~J��=� ( C{Jà å ý J�@ ^ ADNDJXO &)^>~JL�=� ( CPJ ^ JL@ ^ vP�>O & vPJe�¤·sN�JQè¤J ^ � % �=A (j^ �=A ^ �e`G��J ^ ��|�)¬è ö |�÷ ý ��HDJ à å ý �¤�=N &ADN"C{@B�=_�� (B%u| C{@B_�J�O & ND�=NDCP�>ADJ�� à å ý �ÕåD��|�)¬èz��ì à åT|'� ] C¬�qHDJ % vPAD@L� ý J�@ ^K& @ %u|�~J ( C{�>ADJe�IC{v (>~J�@BADv ^ JHDJ®� � �S�>ADJ à å ý JL@ ^ ADNDJKO &)^>~J��=� ( C{J ^ J�@ ^ ��qÎ��zÎ ] �=C ^ à ADNDJ % J ^ C ^ J�O &)^G~J��=� ( C{Je�;åjN % �=@BJº« ô � K Ìô � 4 ô ���±� xA 4 ô H ~JL@BCP�=NDJ�v & O &)^>~J��=� ( C{JO�� (B( J�@ % �=NDH & N ^Kx& v¬��J�ND@BJ�_c`uvPJ;� ( HD�=NDN ~J 7 dæJ fT;U��å N ( J�_ &)( �>ADJ9�>ADJÁ@BC ý H ~JL@BCP�=NDJÁADN %D(>~J�� & C{@BO�J & A@BA ( à �D�=N &

ßpàZm /ô � ý )V« ô � � ßpàZm /ô � ý ):K Ìô � 4 ô ����ì ßpàZm2���+� ��K ô � ý �+) 4 ô �� ßpàZmB���+� � à å ý ) 4 ô �Mì 7 O ( C{`uv{J�@;HDJ à å ý ;!ì 7 @B�=AD@�§º�e`G��J ^ @¦HDJ ý ; ¾��

Page 39: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

å N�J�N�H ~J�HDADC ^ �­ADJ�« ô ( J %D(>~J�@BJ�N ^ J�v{J¨�©�=NDO ^ JLA (ýÜÍS ÷ 7 @B�=AD@¡§ �e`G��J ^ @¦HDJ ý ;t)

& A ^B( JL_�J�N ^ HDC ^ �u�>ADJ)« ô JL@ ^ ADN��e`D��J ^ HDJ t &K� EUJ ( J¨HDJ /à �1 Ú ÓÔ­Ö�×��ÔGÛZÔ �qÎ��qÎ á ê�«Ùé à ë�´`¡$¹(¡�é�« 颡 §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡°» ¦ ¡�ì § ê�´�¬T« éV« ê�´Dì ì´ë�«\² � ´'颡´ì�ì�ê�´ué�¨¡°¯Lë�«\² �T³ ¡Q´ué�¡´ì�å

& � à ¡´ì´é�ë±´�¡ §:� éZ¨¡:©�ê?ª+«�¡Ké�¡´ì´é ³ ê §:�T³ ¡¤�`��p« ô ¡�ì´é ³ ê §:�?³ ¡Q¿l¡Q´ué � ì�¹�À!¨¡Qª+«�¯�ë&¡¤�Oñ�z« ³ ¡dê�«©ì´é�¡së�´aì°¡Å©T¿<¡Q´uézì�¨¡Å¹ � ª � ´'é �z� �-+()f����)f� ô ��¬~¡ /à 颡 ³ ¯Lë(¡�+¥ì�ê�« é ³ ê §:�?³ ¡�¿<¡Q´ué � ì�¹�ÀB¨¡Qª+«�¯Lë&¡þ»Ü 468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã «±�=_�_�J 4 ô & HD_¥J ^ ADNw�e`G��J ^ ¹uN & v¬�'v¬�¸C{_ % vPC{O &)^ C{�=N"� � ��é � � � (>~J�@BADv ^ J�HDJ�v &

%D( � % �=@BC ^ C{�=N � � ¾ �'�p�=A ( _��=N ^B( J ( v¬��CP_ % v{CPO &)^ CP�=N"� � ��é � � ���u@BA %D% �=@B�=ND@j�>ADJ�« ô @B�=C ^ vP�­O & vPJL_�J�N ^& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)� & A ^�( J�_�J�N ^ HDC ^ �q�­ADJavPJa_�� (B%u| C{@B_�JcO & ND�=NDC{�>ADJ¡« ô ÷ Ú /ô �q� xA Ú /ô H ~J�@BCP�=NDJXv¬���e`G��J ^¹uN & vqHDJ /à �G@B�=C ^ ADNDC{EUJ ( @�J�vPv{J�_�J�N ^ H & ND@2Ö /ô � ] �=C ^ ��ADNDJ % J ^ C ^ J O &)^>~J��=� ( CPJ & HD_�J ^B^}& N ^ ADN��e`G��J ^¹uN & v¬�u·sN�EUJ (B^ A�HDJ¨v &a%D( � % �=@�C ^ C{�=N ó �Pf � �Dv & O &)^>~JL�=� ( CPJO��JL@ ^ 0 ô §ºO��=N ^�(n& O ^ C{vPJe�'� xA 0 ô H ~JL@BCP�=NDJ�v{J@BJ��=_¥J�N ^ � 4 ô ) Ú ��) Ú ô �K��OL� � ó �{f ó ���u«±�=_�_�JjvPJ��©�=NDO ^ J�A ( K Ìô � ~J ^n& N ^ ADN & H¶���=C{N ^ax& H ( �=C ^ Je�uO��=_¥_XA ^ J& A>M0vPC{_�C ^ JL@ %D( �e��JLO ^ C{EUJL@��s�=N?J�N�H ~J�HDADC ^ �>ADJ ª ô ö � �r« ô ):K Ìô � Ú �ñ�+):K Ìô � Ú ô �B�cJ�@ ^ ADN1@BJ��=_�JLN ^ HDJ/à ��J ^ �>ADJlK Ìô ���¨�¨J�@ ^|ª ô § O��=N ^B(n& O ^ CPv{J��O�� � ó � ó ���½�¡v (>~J�@BADv ^ J®HD�=NDO�HDJ®v &�%D( � % �=@�C ^ C{�=N ó � � �>ADJ®v{J_�� (B%u| C{@B_�JÁO & ND�=NDCP�­ADJDK Ìô �����¾÷ Ú /ô J�@ ^ ADNDC{EUJ ( @�J�vPv{J�_�J�N ^ H & ND@IÖ /ô � & A ^�( J�_�J�N ^ HDC ^ �>ADJ�K Ìô ���¨�J�@ ^ v{�>O & v{J�_�J�N ^a& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)�pO�J��­ADC %D( �=AGEUJe��J�N0EUJ (�^ A²HDJ�v &w%D( � % �=@BC ^ CP�=N � � ¾ �ù�>ADJ à J�@ ^ ADNDJO &)^>~JL�=� ( CPJ ^ J�@ ^ vP�­O & vPJ)� t � ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J¨HDJ�� � �9J ^ � § � (G~J�@BADv ^ J¨HDJKv &X%D( � % �=@BC ^ CP�=N ó �Pf Þ �% Ö'× Ö���� Ð Ø ×¶Ô �qÎ�'zÎ á ê?« é à ë�´`¡d¹(¡�é�« é�¡ §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡ � ¬?¿<¡Lé�é � ´uéP¬~¡´ìë¹�ªnê°¬)ë�« é�ì ø ´&«©ì¼» á $ « ³ ¡�ê�«©ì�颡�ë�´ì°¡Å©T¿<¡Q´ué�ì�¨¡Å¹ � ª � ´'é �M� �Y+�)f�±��)f� ô ��¬~¡ /à é�¡ ³ ¯Lë(¡�+�ì�ê?« é�ª:¡Å¹�ª�¨¡´ì°¡Q´'é � � ³ ¡�â �?³ ê�ª´ì à ¡´ì´éÅë�´`¡ §�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡é�¡´ì´é¢»Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã «9�=_¥_�J à & HD_¥J ^ HDJ�@ %D( �>HDADC ^ @�¹uNDCP@��­J�vPv{J & HD_�J ^ �­J�N %'&)(B^ CPO�ADv{CPJ ( ��ADNy�e`G��J ^¹uN & v Ú ô �'J ^ J�v{vPJKJ�@ ^ HD�=NDO & @ %u|�~J ( CP�­ADJe�q«±�=_�_�J�vPJ %D(G~J�� & CP@�O�J & A +yJ�@ ^¦( J %D(G~J�@BJ�N ^n& `uv{Je� % �=A (�^ �=A ^�e`G��J ^ |"HDJ à �Åv{J %D(>~J�� & C{@BO�J & A�| h +�JL@ ^°& AD@B@BC ( J %D(G~J�@BJ�N ^n& `uv{Je�¾HD�=NDO & @ %u|S~J ( CP�­ADJ� ¾ � ó �´��O�J®�­ADCCP_ % vPCP�­ADJ��­ADJZvPJ�_�� (B%u| C{@B_�J +[÷ Ú ô HDJ /à J�@ ^.& @ %u|S~J ( CP�­ADJ � ¾ � ó �´� & A ^B( J�_�JLN ^ HDC ^ �9�>ADJZv{J%D(>~J�� & C{@BO�J & A +.J�@ ^ vP�­O & vPJL_�J�N ^�& @ %u|�~J ( CP�­ADJw� ¾ � � ���q��v (>~JL@BADv ^ J°HD�=NDO�HDA ^}|�~J�� (�xJ�_�J � � � �­ADJ à JL@ ^ADNDJ;O &)^>~J��=� ( C{J ^ J�@ ^ vP�­O & vPJe�=J ^ OL�=_�_�J±J�v{vPJ9J�@ ^�& @ %u|�~J ( C{�>ADJe�UJ�v{vPJ9J�@ ^ ADNDJ�O &)^G~J��=� ( C{J ^ J�@ ^ � � � Þ �'� � �B���3 68Ý�á�9����6Æ8:ãÅ=:ã ] C à J�@ ^ ADNDJ % J ^ C ^ J�O &)^>~JL�=� ( CPJ & HD_¥J ^B^n& N ^ ADN²�e`G��J ^ ¹uN & v Ú ô �ùADN @�J��=_�J�N ^@ ~J %'&)(}& N ^ �-+�)f�±�?)f� ô �¿HDJ /à ^ J�vu�­ADJ�+c@B�=C ^s( J %D(G~J�@BJ�N ^n& `uv{J¦Nq�¸J�@ ^�( C{J�N�Hq� & A ^�( J��­Aq�¸ADNDJ�HD�=AG`uv{J2� xJ�O | J���T)f� ô ö!Ú ô �� +�HDJ à � ^ J�vPv{J9�>ADJ9CPvDNq� ³ & C ^s& ADO�ADN�HDC & � (n& _�_�JSOL�=_�_aA ^n&)^ CP�uH & ND@ à �=HDJÁv & �©� ( _�J

Ú ô � � ����±�� ¹ ¹ ¹�»� � ��� +

Ú ô ¹ ¹ ¹�»� ô ·�N %'&)(B^ C{O�ADvPC{J ( �uO�J�v & J�MGO�vPA ^ v¬��J�MDC{@ ^ J�NDO�JKHq�¸ADN��e`G��J ^ CPNDC ^ C & vqH & ND@ à �

¾

Page 40: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

021 68Ý4365!6�?¡8:ãÅC:ã t JKO�� ( �=vPv & C ( J � � �©�=A ( NDC ^ ADN�� (n& NDH�ND�=_c` ( JKHq��J�MDJL_ % vPJ�@;HDJ¨O &)^G~J��=� ( C{J�@ ^ J�@ ^�ö� � t & O &)^>~JL�=� ( CPJ�HD�=N ^ vPJ�@;�e`G��J ^ @Á@B�=N ^ vPJL@�J�ND@BJL_a`uv{J�@7 d8)�f�)������+) ;æ) ." d¸)

J ^ HD�=N ^ vPJ�@Á_�� (B%u| CP@�_�J�@;@B�=N ^Á^ �=A ^ J�@ÁvPJ�@ &)%D% vPC{O &)^ C{�=ND@�J�N ^B( JKO�J�@¦J�ND@�J�_c`uvPJ�@a�ÙO &)^>~J��=� ( C{J ~J��­ADC{E & §vPJLN ^ J x& O�JLvPvPJ�HDJ�@ÁJ�ND@BJ�_c`uvPJL@�¹uNDCP@;ND�=N�EGC{HDJ�@n�±J�@ ^ ADNDJ¨O &)^>~JL�=� ( CPJ ^ J�@ ^ �� � n NDJ % J ^ C ^ J�O &)^G~J��=� ( C{J ~J��>ADCFE & v{J�N ^ J x& v & O &)^>~JL�=� ( CPJ�HDJ�@¥J�ND@�J�_c`uvPJ�@�� ( HD�=NDN ~J�@.���=A %D(>~J�§� ( HD�=NDN ~J�@}�9¹uNDCP@ÁND�=N�EGC{HDJ�@;J�@ ^ ADNDJKO &)^>~J��=� ( CPJ ^ J�@ ^ �§ � n NDJ % J ^ C ^ JO &)^>~J��=� ( CPJ ~J��>ADCFE & v{J�N ^ J x& OLJ�vPv{J"HDJ�@�O &)^>~J��=� ( C{J�@y¹uNDCPJ�@�ND�=N2EGCPHDJL@�J�@ ^ ADNDJO &)^>~JL�=� ( CPJ ^ J�@ ^ �¬G����v{AD@¦� ~J�N ~J (}& vPvPJL_�J�N ^ �¤@B�=C ^ à ADNDJ % J ^ C ^ J�@B�=AD@¡§ O &)^>~JL�=� ( CPJ % v{J�CPNDJcHDJ­{q|_};@ ^n& `uvPJ %'&)( %D( �)§HDADC ^ @Á¹uNDCP@L�zå N�@BA %D% �=@BJ ö«¡�Sv & O &)^>~J��=� ( C{J�E>CPHDJ�Nq�¸J�@ ^Á%'& @ÁADN��e`G��J ^ HDJ à �«\«¡�ùCPv­J�MDC{@ ^ J±ADNDJ9O &)^>~JL�=� ( CPJ & ³ & N ^¿& A°_��=C{ND@ÅHDJ�A>Ma�e`G��J ^ @��Ù�>ADC % J�AGEUJ�N ^ JLEUJ�N ^ ADJ�vPv{J�_�J�N ^-J ^B( J¨CP@��=_�� (B%u| J�@n�SJ ^ �>ADCqJ�@ ^ ADN��e`G��J ^ HDJ à �� vP� ( @ à J�@ ^ ADNDJ�O &)^>~JL�=� ( CPJ ^ J�@ ^ �'·�NwJQè¤J ^ �'@B�=C ^ +yADNw�e`G��J ^ HDJ à & ³ & N ^ & Aw_��=C{ND@�HDJ�A>M��e`D��J ^ @HDCP@ ^ CPNDO ^ @ Ú �e� Ú ô � � vP� ( @¨vPJ�@­� xJ�O | J�@~���T)f� ô öGÚ �� +�H ~J�¹uNDCPJ�@ %'&)( Ú �=� Ú ô H ~JL¹uNDCP@B@�J�N ^ �pJ�N EUJ (B^ AHDJ�v &°( J�_ &)( �>ADJ � � � ��ADNw@�J��=_�J�N ^ @ ~J %'&)(}& N ^ HDJ /à �zJ ^ v¬� & @�@BJ (B^ C{�=N (>~J�@�ADv ^ JcHDAwO�� ( �=vPv & C ( J � � ��åjN( J�_ &)( �>ADJ¦�­ADJ vPJ�@9J�MGJ�_ % v{J�@ %D(>~J�O ~J�HDJ�N ^ @ % J�AGEUJ�N ^O-J ^B( J O��=ND@BC{H ~J (>~J�@;O��=_�_¥J�HDJ�@9O & @ %'&)(B^ CPO�ADv{CPJ ( @L�¡�� t & @B�=AD@�§ºO &)^>~J��=� ( C{Jc��ND�=N % vPJ�C{NDJñ�¿HDJ¦v & O &)^>~J��=� ( CPJÁHDJ�@�JLND@BJ�_c`uvPJ�@�HD�=N ^ vPJ�@s�e`D��J ^ @S@B�=N ^ v{J�@% ADCP@�@ & NDO�J�@ 7 d8)�fT; ' � ." dG�uHDJ¨v��¸J�ND@�J�_c`uvPJ 7 d8)�fT;U�DJ ^ v{J�@;_�� (B%u| CP@�_�J�@;vPJ�@ &)%D% vPC{O &)^ CP�=ND@

N � ��N ô )������Q)+N�'G� ö87 d8)�fT; 5 S ÷ 7 d8)�fT; ' ) N F ö87 d8)�fT; 5 S ÷ 7 d8)�fT;6)� xA % �=A (c^ �=A ^ KB�¾düJ KPJ � N F J�@ ^ ADNDJ %D( �)��J�O ^ C{�=N0�=A ADNDJ &)%D% vPC{O &)^ CP�=N²O��=ND@ ^n& N ^ Je�pJ�@ ^ ADNDJO &)^>~JL�=� ( CPJ ^ J�@ ^ �% Ö'× Ö���� Ð Ø ×¶Ô �IÎÙÍ�õIÎ á ê�«�¡Q´ué à 뱴`¡ §:� éZ¨¡:©­ê�ª+«�¡�颡�ì´é ³ ê §:�?³ ¡� ( JL@ % �±ë�´`¡ §�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡¥é�¡´ì´é��ס�é�Ë ë�´`¡¹(¡�é�« é�¡ §:� éZ¨¡:©­ê�ª+«�¡ � ª � « éVª � «\ª�¡�� ( JL@ % � � ì�¹�À!¨¡Qª+«�¯�ë&¡ñ��� ë ³ ê�ª´ì ³·�ħ:� éZ¨¡:©�ê?ª+«�¡ à h Ë ¡´ì�é�ë�´`¡ §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡é�¡´ì´é ³ ê §:�?³ ¡®� ( J�@ % �ùë�´`¡ §�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡�颡´ì�é����Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã ] �=CPJLN ^ à ADNDJ�O &)^>~J��=� ( CPJ ^ J�@ ^ vP�­O & vPJe�_Ë�ADNDJ�O &)^>~J��=� ( C{J &)( `uC ^B(n& C ( Je�UJ ^ ND� ^ �=ND@è�� ô ö à h Ë ÷ à v &®%D( J�_�C xJ ( J %D( �)��J�O ^ C{�=Nq�q·�N.EUJ (B^ A.HDA ^B|S~J�� (�xJ�_�J � � � �¤CPv�J�MDC{@ ^ JaADN�@�J��=_�J�N ^@ ~J %'&)(}& N ^²�×� �-+()f���?)f� ô �¥HDJ /à ^ J�vÁ�>ADJ +0@B�=C ^ v{�>O & v{J�_�J�N ^y& @ %u|�~J ( CP�­ADJe�9«±�=_�_�J�v{J��©�=NDO ^ JLA (è�� Ìô ö$/à ÷ íà h Ë�JL@ ^ J�M & O ^ �z�âè�� Ìô �-+>�Q)¬è�� Ìô �d�����+)¬è�� Ìô �d� ô �B�¿JL@ ^ ADNy@BJ��=_�JLN ^ @ ~J %'&)(n& N ^ HDJ íà h Ë�J ^CPv (G~J�@BADv ^ JjHDJKv &c%D( � % �=@BC ^ CP�=N ¾ �Pf=fj�­ADJ±è�� Ìô �-+>� � + e Ú /Ù ��� xA Ú /Ù H ~J�@�CP�=NDJ�v¬�¸�e`G��J ^ ¹uN & vqHDJ /Ëa�SJ�@ ^vP�­O & vPJL_�J�N ^�& @ %u|�~J ( CP�­ADJe� t J ^}|�~J�� (�xJ�_�J � � � C{_ % vPC{�>ADJXHD�=NDO��>ADJ à h Ë J�@ ^ ADNDJ¥O &)^>~J��=� ( C{J ^ JL@ ^vP�­O & vPJ)��OLJ��>ADC %D( �=AGEUJ�v¬� & @�@BJ (B^ C{�=N¥ND�=N ( J�@ %S~Je� t � & @B@BJ (B^ CP�=N ( JL@ %±~J�J�N (>~J�@BADv ^ Je�­JLN¥EUJ (B^ A¥HDJ � � Þ ��� � �J ^ b>� ó �021 68Ý4365!6�8:ãg���Mã Á � ^ �=ND@ 0 v &>§:� éZ¨¡:©­ê�ª+«�¡O¬~¡´ì¦ì+«�¿B¹ ³ ¡�ê�¡�ìn�­@B�=AD@�§ O &)^G~J��=� ( C{J % v{J�CPNDJ HDJjv & O &)^>~J��=� ( C{JHDJ�@ÁJ�ND@BJ�_c`uvPJL@�� ( HD�=NDN ~J�@�HD�=N ^ vPJ�@;�e`G��J ^ @�@��=N ^ vPJ�@ÁJ�ND@BJ�_c`uv{J�@4 ' ��7 d8)�f�)�������) ;æ) �ûx= )

¾��

Page 41: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

� ( HD�=NDN ~J�@ %'&)( v��¸� ( H ( J�N &)^ A ( JLv¬�uHDJ¨@B� (�^ JK�­ADJ^/0 @B�=C ^ v & O &)^>~J��=� ( C{JKHDJL@æ¡Q´Dìþ¡Q¿ � ³ ¡´ì�ì+«\¿B¹ ³ « § « � ë�êe�Ï Ô>ÛÀÛZÔ �qÎÙÍ&�zÎ ¦ $ ê �Vã ¡�é 4 ô ¬~¡ /0 ¡´ì´é ³ ê §:�?³ ¡�¿<¡Q´ué � ì�¹�ÀB¨¡Qª+«�¯Lë&¡þ»Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã �p�=A ( _��=N ^�( J ( �>ADJ 4 ô J�@ ^ vP�­O & vPJL_�J�N ^�& @ %u|�~J ( CP�­ADJe� & A ^�( J�_�J�N ^ HDC ^ � ¾ � � ����>ADJ9v{J±_�� (B%u| CP@�_�J 4 ô ÷ Ú /o � 4 �±HDJk/0 JL@ ^s& @ %u|S~J ( C{�>ADJe�=C{vG@BA ¯¥^ �eJ�NaEUJ (B^ AaHDJ ¾ � ó �eHDJ9_��=N ^B( J (�>ADJ % �=A (Á^ �=A ^ 9��&9 " dG�uvPJ %D(>~J�� & C{@BO�J & A 4P5 h 4 ô J�@ ^¦& @ %u|�~J ( C{�>ADJe�Á � ^ �=ND@ N.Ç ö 4P5BA ô S ÷ 4P5 h 4 ô ) dPJ �lJL9 )vPJ�_�� (B%u| C{@B_�JjHDJ /0 H ~JL¹uNDC %'&)( vPJL@�_�� (B%u| C{@B_�J�@N þ Ç ö 4652A ô S ÷ 4P5 ) N þ¸þÇ ö 4P5BA ô S ÷ 4 ôHDJ 0 �uH ~JL¹uNDC{@ %'&)(

N þ Ç �rȺ� �ÊÉ È ) d6JÆÈ J �>)È S ft) �ÌËÆÈ�Jý9_Á,fæ) N þ�þÇ �gȬ� �ÍÉ d×) dæJÆÈ�J �>)fæ) �ÌËÆÈ JL9ÎÁ,f Á � ^ �=ND@ ý ÇyvPJ %D(>~J�� & C{@BO�J & AZC{_ & �=JcHDJtN.Ç>�ù«9�=_�_¥J�vPJX_�� (B%u| C{@B_�J6N.ÇyJ�@ ^ ADN"_��=ND�=_�� (�%u| CP@B_�J

HDJ^/0 �u�=N�JLN�H ~J�HDADC ^ �>ADJ ý ÇaJ�@ ^ CP@B�=_�� (�%u| J x& 4652A ô �'J ^ J�N %'&)(B^ CPOLADvPCPJ ( � ý ÇXJL@ ^Á( J %D(>~J�@BJLN ^n& `uv{Je�HD�=NDO & @ %u|S~J ( CP�­ADJ®� ¾ � ó ���å N % �=@�J W�Ç � Ï��Ð�Ñ�Ð�Ç ý Ñ ) d6J �<JL9

å N�E & _��=N ^B( J (� � 465 h 4 ô � W 5 �� ��W�Ç � ý Ç A ô ì 4P5 ��d6J­��ËL9��t & O��=NDHDC ^ CP�=Ny� � �qCP_ % v{CP�>ADJ (n& � %'&)(�(>~JLO�A (B( J�NDOLJe�)�­ADJ % �=A (ù^ �=A ^ �'��d6J �<JL9��QW�Ç;J�@ ^Å& @ %u|S~J ( C{�>ADJ��O &)( Wë� � ý ��J�@ ^�& @ %u|S~J ( C{�>ADJe�sJ ^ @BC2W�Ç�J�@ ^®& @ %u|S~J ( CP�­ADJ²� % �=A ( ADN�J�N ^ CPJ ( �'��dLJ �7Ë 9��´�W�Ç A ô � W�Ç � ý Ç A ô J�@ ^9& @ %u|S~J ( CP�­ADJe�GJ�N®EUJ (�^ A®HDJX� � �¿J ^ HDJ v &¨%D( � % �=@�C ^ C{�=N ¾ � ����J ^ v & O��=NDHDC ^ CP�=N� � �SC{_ % vPC{�>ADJ (n&X& vP� ( @Á�­ADJ 4P5 h 4 ô J�@ ^�& @ %u|�~J ( C{�>ADJe�å ( �9v & O��=NDHDC ^ CP�=N[� � ��J�@ ^ CP_¥_ ~J�HDC &)^ Je���p�=A ( _��=N ^B( J ( v & O��=NDHDC ^ CP�=N[� � ���±O��=ND@BC{H ~J ( �=ND@�v{J_�� (B%u| C{@B_�J ÒjÇ ö 4P5 S ÷ 4P5 h 4 ô ) dPJ­��ËL9 )HDJ /0 �uH ~JL¹uNDC %'&)( v{J�@;_�� (B%u| CP@�_�J�@Ò þÇ ö 465 S ÷ 465 ) Ò þ�þÇ ö 465 S ÷ 4 ôHDJ 0 �uH ~JL¹uNDC{@ %'&)(

Ò þÇ � fnÒµÓ ) Ò þ þÇ �gȬ� � É d×) d6JÔÈ�J �>)fæ) �ÌËÆÈ�JL9 Á � ^ �=ND@ ý þÇ vPJ %D(>~J�� & C{@BO�J & AZC{_ & �=JcHDJ6ÒjÇ>�ù«9�=_�_¥J�vPJX_�� (B%u| C{@B_�JdÒjÇyJ�@ ^ ADN"_��=ND�=_�� (�%u| CP@B_�J

HDJ^/0 �u�=N�JLN�H ~J�HDADC ^ �>ADJ ý þÇ J�@ ^ C{@B�=_�� (B%u| J x& 465 � ª � & A ^B( J %'&)(B^ �u�=N�E ~J ( CF¹uJ & AD@B@BC ^?-� ^ �>ADJý þÇ � W�Ç � ý Ç A ô ) dæJ ��Ëý9�)

O�JK�>ADC %D( �=AGEUJ�v & OL�=NDHDC ^ C{�=NÀ� � ���uJ ^;^ J ( _�C{NDJKv & H ~JL_��=ND@ ^B(n&)^ CP�=Nq�¾�*

Page 42: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� �qÎ�Í�ÆqÎ ¦ �¸§�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡ 0 ¡´ì´é�ë�´`¡ §:� éZ¨¡:©­ê�ª+«�¡�é�¡´ì´é¢»Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã «±�=_�_�J¥v & O &)^>~J��=� ( CPJ 0 & HD_�J ^ ADN �e`D��J ^ ¹uN & v 4 �e�ÅJ�v{vPJ®J�@ ^°& @ %u|�~J ( CP�­ADJe��p�=A ( _��=N ^B( J ( HD�=NDO��>ADJ 0 J�@ ^ ADNDJ�O &)^>~J��=� ( CPJ ^ J�@ ^ �DCPv¤@BA ¯°^ �uJ�NyEUJ (B^ A�HDJ � � Þ �I� � ���>HDJK_��=N ^B( J (�>Aq��J�vPv{JKJL@ ^ ADNDJKO &)^>~J��=� ( CPJ ^ J�@ ^ vP�>O & vPJe�ZÁ � ^ �=ND@

Ú ��) Ú ô ö 4 � �� 4 ôvPJL@Á_�� (�%u| CP@B_�JL@ÁH ~JL¹uNDC{@ %'&)(

Ú �U��dU� � d×) Ú ô �¬dU� � f ·�N�EUJ (B^ AZHDA ^}|S~J�� (�xJ�_¥J � � � � % �=A ( _��=N ^B( J ( �­ADJ 0 JL@ ^ ADNDJ�O &)^G~J��=� ( C{J ^ JL@ ^ v{�>O & v{Je�qCPv¾@BA ¯°^ HDJ_��=N ^B( J ( �>ADJ°� 4 ô ) Ú ��) Ú ô �¿J�@ ^ ADNy@BJ��=_�J�N ^ @ ~J %'&)(}& N ^ HDJ./0 �>J ^ �­ADJ 4 ô J�@ ^ ADN��e`G��J ^ vP�­O & vPJL_�J�N ^& @ %u|�~J ( CP�>ADJXHDJÐ/0 � t &®%D( J�_�C xJ ( J & @B@BJ (B^ CP�=N (>~J�@�ADv ^ JXCP_�_ ~J�HDC &)^ JL_�J�N ^ HDJXv &�( J�_ &)( �>ADJ � � � ��J ^ v &HDJ�A>MGC xJ�_�J�HDA�v{J�_�_�J � �{f b>�

Þ d

Page 43: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

6 k=Ò?oqm È ikJI É¿h Ì k=Ò È k�Ò È Ò È h Ì o È k=Òzr

M � ´Dì § ¡�¹ � ª � ©?ª � ¹�ÀZ¡+â±ê�´wì°¡ ø ê�¡�âsë�´`¡*û�ê�«©ì*¹'ê)뱪¨éÄê)ë­é�¡´ì:âsë�´ ³ ê §:�?³ «©ì � 颡L뱪Mû�ê�´�¬ � ¿<¡Q´ué �?³ Ö »( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� 'zÎ�Í'Î á ê?« é à ë�´`¡z¹(¡LéV« é�¡ §�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡°» ¦ ¡�ì § ê?´�¬?« é�«ºê�´Dì;ì´ë±«�² � ´ué�¡´ì9ì�ê?´uéר¡°¯Lë�«\² �?³ ¡�´u颡�ìßå

& ��¹'ê¶ë�ªjé¡ê¶ë­ìcê �Vã ¡LéÙì�|ü¡Lé,ä<¬±¡ à ³ ¡I¹�ª}ê°¬e뱫 é½| h äl¬ � ´Dì /à ¡´ì�é¿ë�´t¹�ª�¨¡Vû � «©ì § ¡ � ë � ì�¹�ÀB¨¡Qª+«�¯Lë&¡¤�& þ � ³ ¡I¹�ªnê°¬)ë�« éI¬~¡P¬~¡Lë[ê­¹�ª�¨¡�û � «©ì § ¡ � ë[ê � ì�¹�À!¨¡QªQ«�¯Lë(¡´ìë¬~¡�/à ¡´ì´é � ì�¹�À!¨¡�ª+«�¯Lë(¡��`�� ³ ¡*û�ê�´ § 颡�ë�ª2K ô ö$/à ÷é{q|~} § ê�¿P¿Xë­é�¡ � ë[êd¹�ª}êþ¬)뱫ÙéÙì � «\´ � «\ª�¡´ì:â×µ� ¨¡°¯Lë�«\² �?³ ¡Q´ § ¡Mû � « � ³ ¡�¹�ª`µ¡´ì:â� ë>éVª�¡Q¿<¡Q´'éI¬T« é\âq¹'ê¶ë�ªKé¡ê¶ë­ì�¹�ª�¨¡�û � «©ì § ¡ � ë�ê ý ¡�é�Wê¬~¡ /à ⠳ ¡ë¿�ê?ª�¹�À~« ì+¿<¡ §�� ´¤ê�´&«�¯Lë&¡Ã åD� ý h W�� S ÷ à å ý h à åXW¡´ì´é�ë�´`¡ÿ¨¡þ¯L뱫�² �?³ ¡Q´ § ¡zû � « � ³ ¡¤�` þ �*¹'ê¶ë�ª�é¡ê¶ë­ì�¹�ª�¨¡�û � « ì § ¡ � ë�ê ý ¡�é.Wê¬~¡ /à ⠳ ¡­¿�ê�ª�¹�À~«©ì+¿<¡ §:� ´¤ê�´(«�¯Lë(¡Ã åD� ý h W�� S ÷ à å ý h à åXW¡´ì´é � ì�¹�ÀB¨¡Qª+«�¯Lë&¡¤�Oñ�jé¡ê¶ë­é½¹`ª�¨¡�û � «©ì § ¡ � ëת:¡¢¹�ª�¨¡´ìþ¡Q´ué � � ³ ¡d¬~¡./à ¡´ì´é ³ ê §:�?³ ¡�¿<¡Q´ué � ì�¹�ÀB¨¡Qª+«�¯Lë&¡¤�O�þP��éÄê¶ë>é½¹�ª�¨¡�û � «©ì § ¡ � ë � ì�¹�À!¨¡�ª+«�¯Lë(¡­¬~¡ /à ¡´ì´é ³ ê §:�?³ ¡Q¿l¡Q´ué � ì�¹�ÀB¨¡Qª+«�¯Lë&¡¤�H'� ³ ¡�û�ê�´ § é�¡�ë�ªd¬T« � ©�ê�´ �?³ à ÷ à h à ¡´ì�é � ìŹ�ÀB¨¡QªQ«�¯Lë(¡°»M ¡t¹ ³ ë­ì:âcì+« à ¡´ì´éd´qê�´ ²þ«�¬~¡�â § À �±§ ë±´�¡.¬±¡ § ¡�ì § ê?´�¬?« é�«ºê�´Dì>«\¿B¹ ³ «�¯Lë(¡.¯�ë&¡ ³·�L§:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡ à ¡´ì´é� ì�¹�ÀB¨¡Qª+«�¯Lë&¡þ»

Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã t ��CP_ % v{CPO &)^ CP�=N²� � ��é � � þ � (>~J�@BADv ^ J�HDJcv¬���e`u@BJ ( E &)^ CP�=Nw�­ADJ % �=A (¦^ �=AD@ �e`D��J ^ @��|())è ö |.÷ ý �jJ ^ ��ä�)�Õ ö äc÷ W¨�jHDJ à å ý J ^ à åXW ( J�@ % J�O ^ C{EUJ�_�JLN ^ �½�=N & ADNZCP@B�=_¥� (B%u| CP@B_¥JO & ND�=NDC{�>ADJ

� à åD� ý h W¨�B�ÕåD�B�V|�)¬èz�Q) ��äX)VÕ=�B�,ì à åT| h ä t �¸CP_ % vPCPO &)^ CP�=N� � þ �ié � � �SJ�@ ^�~JLE>CPHDJ�N ^ Je�DJ ^ v��¸CP_ % vPCPO &)^ CP�=N� � �ié � � þ©� (>~JL@BADv ^ J�HDA�O�� ( �=vPv & C ( J�b>� ó �ª C ( JX�>Aq��ADN %D(>~J�� & C{@BO�J & A ý HDJ /à J�@ ^ vP�­O & vPJL_�J�N ^¨& @ %u|S~J ( CP�­ADJe�½Oe�¸J�@ ^ HDC ( J°�­ADJ % �=A (¨^ �=A ^ �e`G��J ^|�HDJ à �qvPJ %D(>~J�� & C{@BO�J & A�| h ý J�@ ^K& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)�½OLJX�­ADCp_��=N ^B( Jcv¬��CP_ % v{CPO &)^ CP�=N � � þ ��é � § þ ��� t J�@CP_ % vPCPO &)^ CP�=ND@¨� § þ©��é � § �9J ^ � § �¦é � � �9@B�=N ^ C{_�_ ~J�HDC &)^ J�@��DO�J¨�>ADC %D( �=AGEUJ�v¬� ~J��>ADCFE & v{J�NDO�JKHDJ�@¦@BCâM%D( J�_¥C xJ ( JL@XOL�=NDHDC ^ C{�=ND@�� t � ~J��­ADC{E & vPJ�NDO�JyHDJ�� � ��J ^ ��¬G� (>~J�@BADv ^ JyHDJyv¬�¸�e`u@�J ( E &)^ CP�=N²�>ADJ % �=A (c^ �=A ^�e`G��J ^ ��|�)�äL�±HDJ à h à �'�=N & ADN�C{@B�=_�� (B%u| C{@B_�JjO & ND�=NDC{�>ADJ à åD��|�)�äL� ì à åT| h ä¶�

¢.�=N ^B( �=ND@��­ADJj@BC à JL@ ^ ND�=N�EGC{HDJe�DO�J�@;O��=NDHDC ^ CP�=ND@;CP_ % v{CP�>ADJLN ^ �­ADJ à J�@ ^Á& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)� ] �=C ^|ÀADN?�e`G��J ^ HDJ à �p·sN0EUJ (B^ A?HDJ�v & OL�=NDHDC ^ C{�=N � § ���Åv{J�_�� (�%u| CP@B_�JyO & ND�=NDC{�>ADJ¸|?÷ Ú /ô HDJ /à �� xA Ú /ô H ~J�@BC{�=NDJcv¬���e`D��J ^ ¹uN & vùHDJ /à ��JL@ ^ & @ %u|�~J ( CP�­ADJe�zO�J¨�>ADC½CP_ % v{CP�>ADJ��>ADJ¨vPJ %D(>~J�� & CP@BOLJ & A Ú /ô JL@ ^& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)� & A ^B( J�_�J�N ^ HDC ^ �­ADJKv & O &)^>~J��=� ( CPJ à JL@ ^¦& @ %u|S~J ( CP�­ADJe� ÓÔ~Èz�ÅØ Ò ØÙÖ�� '¤ÎH�¤Î ] �=C ^ à ADNDJ % J ^ C ^ J¨O &)^G~J��=� ( C{Je�qå N.HDC ^ �­ADJ à J�@ ^ éÄê¶é �?³ ¡Q¿l¡Q´ué Öî® � ì�¹�À!¨¡�ª+«�¯Lë(¡e��=A % vPAD@ @BC{_ % vPJL_�J�N ^ é¡ê¶é �T³ ¡Q¿<¡Q´ué � ì�¹�À!¨¡�ª+«�¯Lë(¡e��@BC�JLvPvPJcJL@ ^j& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)�¤J ^ @BC % �=A ( ^ �=AD@¦�e`G��J ^ @�|J ^ ä HDJ à v{J %D(>~J�� & CP@BOLJ & A�| h ä HDJ /à J�@ ^ & @ %u|S~J ( CP�­ADJe�

Þ f

Page 44: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

3 68Ý�á�9����6/¨¤ã×Ö:ã n NDJKO &)^>~J��=� ( C{J ^ � ^}& vPJ�_�JLN ^Á& @ %u|�~J ( CP�>ADJ¨J�@ ^ HD�=NDOKADNDJ % J ^ C ^ JKO &)^>~J��=� ( CPJ�@ &)^ CP@¡§� & CP@ & N ^9& A>M¥O��=NDHDC ^ CP�=ND@ ~J��­ADC{E & vPJ�N ^ J�@SHDJ�v &K%D( � % �=@BC ^ CP�=N �{f¦J ^ �­ADC�JL@ ^9& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)�>J ^s% �=A ( O�JLv &CPvu@BA ¯°^ �­Aq�¸J�v{vPJ;@B�=C ^ ND�=N¥EGC{HDJe�U·�N¥EUJ (�^ A�HDJ�v &�%D( � % �=@BC ^ CP�=N®b>� b �U@BC�v{JÁv{�>O & v{CP@ &)^ J�A ( �©�=NDH & _¥J�N ^}& vÖ J�@ ^ ND�=N ^B( C{E>C & v���vPJL@°O &)^>~J��=� ( CPJL@ ^ � ^n& vPJ�_¥J�N ^X& @ %u|S~J ( CP�­ADJ�@¥@��=N ^ J�M & O ^ J�_�J�N ^ vPJ�@ % J ^ C ^ J�@°O & §^>~J��=� ( CPJ�@jND�=N.EGCPHDJL@�@ &)^ CP@B� & C{@ & N ^¨& A>MOL�=NDHDC ^ C{�=ND@ ~J��>ADCFE & v{J�N ^ J�@jHDJav &®%D( � % �=@BC ^ CP�=N �{f=� ] C à JL@ ^ADNDJXO &)^>~J��=� ( C{J ^ � ^n& vPJ�_¥J�N ^�& @ %u|S~J ( CP�­ADJe�ICPv (>~JL@BADv ^ JXHDJXv¬� ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�JaHDJ�@KOL�=NDHDC ^ C{�=ND@�� � � J ^ � § þ �HDJXv &�%D( � % �=@�C ^ C{�=N �{fXJ ^ HDJav�� & @ %u|�~J ( CPO�C ^G~J°HDJ à �>Aq��ADN %D(>~JL� & CP@BO�J & AZHDJ /à J�@ ^¨& @ %u|S~J ( CP�­ADJ°@�CpJ ^@BJ�ADv{J�_�J�N ^ @�C½C{vqJ�@ ^ vP�>O & vPJ�_�JLN ^Á& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)�021 68Ý4365!6Ĩ¤ãÅ�=ã n NDJ % J ^ C ^ J�O &)^>~J��=� ( CPJ & HD_�J ^B^}& N ^ HDJ�@ %D( �­HDADC ^ @�¹uNDC{@ÅJ�@ ^�^ � ^n& vPJL_�J�N ^Å& @ %u|�~J ( CP�­ADJe�( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� '¤ÎJ�¤Î & � ö ´l¹`ª}ê°¬)ë�« é ø ´&«�¬±¡2¹�¡�éV«Ù颡´ì §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡´ì¨éÄê¶é �?³ ¡Q¿l¡Q´ué � ì�¹�À!¨¡QªQ«�¯Lë(¡´ìP¡�ì´é9ë�´`¡§:� éZ¨¡:©�ê?ª+«�¡�é¡ê¶é �?³ ¡Q¿<¡Q´'é � ì�¹�À!¨¡�ª+«�¯Lë(¡°»

`�� á ê�« é�É ö à ÷ Ë ë�´.¿�ê?ª�¹�À~« ì+¿<¡ � ì�¹�À!¨¡�ª+«�¯Lë(¡d¬~¡2{q|_}°» á « à ¡´ì´éSé¡ê¶é �T³ ¡Q¿<¡Q´ué � ì�¹�À!¨¡QªQ«�¯Lë(¡�â« ³ ¡�´Ä¡´ì´éI¬~¡ë¿/�¡Q¿<¡I¹�ê¶ë±ª6Ë®�Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã � �;«±�=_�_�J�v & O &)^>~J��=� ( C{J % �=NDO ^ ADJLvPvPJ Ú JL@ ^Á^ � ^n& vPJ�_¥J�N ^;& @ %u|S~J ( CP�­ADJe�uCPvq@BA ¯°^HDJ9_��=N ^B( J ( �­ADJ;v{J %D( �>HDADC ^ HDJ9HDJ�A>MXO &)^G~J��=� ( C{J�@ ^ � ^n& vPJL_�J�N ^¾& @ %u|�~J ( C{�>ADJ�@ à J ^ Ë$JL@ ^¾^ � ^n& vPJL_�J�N ^& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)�'«9�=_�_¥J à h ËøJ�@ ^Á& @ %u|�~J ( C{�>ADJ¥�ºb>� ó �´�>CPv�@BA ¯¥^ �DJ�N�EUJ (B^ A�HDJ�v &�%D( � % �=@BC ^ CP�=N �{f=�>HDJ_��=N ^B( J ( �>ADJ�vPJ��©�=NDO ^ JLA ( HDC & �=�=N & v

4 ô�h ÙÿS ÷ à h Ë h à h ËJ�@ ^�& @ %u|S~J ( CP�­ADJe�±å ( �SOLJw�©�=NDO ^ J�A ( J�@ ^ vPJ�O��=_ % �=@ ~J�HDJ 4 ô h 4 Ù ��� xA 4 ô ö à ÷ à h à J ^4 Ù ö Ë�÷ Ë h ËüH ~J�@BC{�=NDJ�N ^ vPJ�@;�©�=NDO ^ J�A ( @¦HDC & �=�=N & A>Mu�9J ^ HDJ¨v��¸C{@B�=_�� (B%u| C{@B_�J

à h à h Ë h Ë S ÷ à h Ë h à h Ë% J ( _aA ^n& N ^ vPJ�@�HDJLA>M²� & O ^ J�A ( @cHDAÀ_�CPv{CPJ�Aq��«9�=_¥_�J à J ^ ËY@B�=N ^�^ � ^n& v{J�_�J�N ^c& @ %u|�~J ( CP�­ADJ�@��Åv{J�@�©�=NDO ^ JLA ( @ 4 ô J ^ 4 Ù @B�=N ^�& @ %u|�~J ( C{�>ADJ�@�� �{f ����HD�=NDO & AD@B@�C 4 ô h 4 Ù �ºb>� � �´��O�J.�>ADC %D( �=AGEUJv¬� & @B@BJ (�^ CP�=Nq�� �9«9�=_�_¥J�É�J�@ ^ ADNDJ ~J��­ADC{E & vPJ�NDOLJ�� & CF`uvPJ�J ^ à & @ %u|S~J ( CP�­ADJe�(Ë�J�@ ^¦& AD@B@�C & @ %u|S~J ( CP�­ADJe�u�p�=A (_��=N ^B( J ( �>Aq��J�vPv{JjJ�@ ^�^ � ^n& vPJ�_¥J�N ^Á& @ %u|�~J ( CP�­ADJe��OL�=ND@BCPH ~J ( �=ND@�vPJKHDC & � (n& _¥_�J O��=_�_aA ^n&)^ C{�

à �É4 ô Ë

4 Ùà h à �É h É Ë h Ë )� xA 4 ô J ^ 4 Ù H ~J�@BC{�=NDJ�N ^ vPJ�@��©�=NDO ^ J�A ( @pHDC & �=�=N & A>Mq� t J�@p�©�=NDO ^ J�A ( @ 4 ô J ^ É h ÉX@B�=N ^¾& @ %u|�~J ( CP�>ADJL@��J�N"EUJ (B^ AZHDJ �PfXJ ^ b>� � ( J�@ % J�O ^ C{EUJ�_�JLN ^ �ù«±�=_�_�JPÉÀJ�@ ^�& AD@B@BC & @ %u|�~J ( C{�>ADJe�½CPv¾J�N"J�@ ^ HDJ¥_ -J�_¥J% �=A ( 4 Ù �ºb>� � ���DO�J¨�­ADC & O |qxJ�EUJ¨v & H ~J�_��=ND@ ^�(n&)^ CP�=N"� �{f ���( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� 'zÎ��qÎ á ê�« é à ë�´`¡�¹(¡�é�« é�¡ §:� éZ¨¡Å©�ê?ª+«�¡°»jØ�´�ì´ë°¹~¹'ê ì°¡O¯Lë�$ « ³ ¡�ê_«©ì´é�¡¦ë�´`¡ §Q³·� ìnì°¡ � ¬~¡�ìþ¡Å©?®¿<¡Q´'éÙìD¬~¡ /à é�¡ ³H³ ¡ë¯Lë&¡�¹'ê¶ë�ª¦éÄê)ë­épìþ¡Å©?¿<¡Q´'é � � �-+�)f�±��)f� ô �D¬~¡ /à � ¹_¹ � ª�颡Q´ � ´uélµ��� â ³ ¡�¹�ª�¨¡�û � «©ì § ¡ � ë+"ì�ê�« é ³ ê §:�T³ ¡Q¿<¡Q´ué � ì�¹�À!¨¡�ª+«�¯Lë(¡�âI¡Lé±é¢¡ ³H³ ¡æ¯Lë(¡�é¡ê¶ë>é�¹�ª�¨¡�û � «©ì § ¡ � ëkª:¡Å¹`ª�¨¡´ì°¡�´ué � � ³ ¡Kì�ê?« é � ® § ê�´'éVª �~§ é�« ³ ¡°»

Þ b

Page 45: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

ë ³ ê�ª´ì à ì � é�«©ì\û � «Ùé � ë[ê § ê�´�¬?« é�«ºê�´uì ¨¡:¯Lë�«\² �T³ ¡Q´ué�¡´ìʬ±¡ ³·� ¹�ª}ê:¹�ê ì+« é�«ºê�´�Ù�»rÚ�»�ÛI´%¹ � ª´é�« § ë ³ «�¡Qª�â ì+«D¬~¡¹ ³ ë­ì à ¡�ì´é�´qê�´�²þ«�¬±¡aê¶ë � ì�¹�À!¨¡Qª+«�¯�ë&¡�â �T³ ê�ªnì à ¡´ì´é�éÄê)é �?³ ¡�¿<¡Q´ué � ì�¹�ÀB¨¡Qª+«�¯Lë&¡þ»Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã ·sNwEUJ (B^ AHDJav &�%D( � % �=@�C ^ C{�=N ó � � � % �=A (�^ �=A ^ �e`D��J ^ |�HDJ à �zvPJ %D(>~J�� & C{@BO�J & A( J %D(>~J�@BJ�N ^>~J %'&)( |aJ�@ ^ v{�>O & v{J�_�J�N ^±& @ %u|S~J ( CP�­ADJe� & A ^�( J�_�J�N ^ HDC ^ � à @ &)^ C{@B� & C ^�x& v & OL�=NDHDC ^ C{�=N� § �pHDJv &®%D( � % �=@BC ^ C{�=N �{f=�q·�N.EUJ (B^ A�HDJ°OLJ ^B^ JX_ -J�_�J %D( � % �=@BC ^ CP�=Nq�q@BC à J�@ ^ HDJ % vPAD@�ND�=N�EGC{HDJe� à JL@ ^& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)��HD�=NDO ^ � ^n& vPJL_�J�N ^�& @ %u|S~J ( CP�­ADJe�'O�JK�­ADC & O |qxJ�EUJ¨v & H ~J�_��=ND@ ^�(n&)^ CP�=Nq� ÓÔ~Èz�ÅØ Ò ØÙÖ�� '¤ÎJ'zÎ åjN &)%D% J�v{vPJ×Ö ® §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡y颡�ì´éjì´é�ª+« § 颡e�p�=A % v{AD@¥@BC{_ % vPJL_�J�N ^x§�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡®é�¡´ì´éì´é�ª+« § 颡e�uADNDJ¨O &)^G~J��=� ( C{J ^ JL@ ^Á^ � ^n& vPJ�_¥J�N ^Á& @ %u|�~J ( CP�­ADJe�( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� 'zÎ�ïqÎ á ê�« é à ë�´`¡­¹(¡�é�« é�¡ §:� éZ¨¡Å©­ê�ª+«�¡®é¡ê¶é �T³ ¡Q¿<¡Q´ué � ì�¹�À!¨¡Qª+«�¯�ë&¡°» ¦ ¡�ì § ê�´�¬?« é�«ºê�´0ì´ë�«\®² � ´'颡´ì�ì�ê�´uék¨¡�¯L뱫�² �?³ ¡Q´ué�¡´ì�å

& � à ¡´ì´é�ë±´�¡ §:� éZ¨¡:©�ê?ª+«�¡Ké�¡´ì´é�û � « � ³ ¡��`�� à ¡´ì´éSë�´`¡ §:� éZ¨¡:©­ê�ª+«�¡�é�¡´ì´é ³ ê §��?³ ¡¤�Oñ� à ¡´ì´éSë±´�¡ §:� éZ¨¡:©�ê?ª+«�¡�é�¡´ì´é[�H'� à ¡´ì´éSë�´`¡ §:� éZ¨¡:©­ê�ª+«�¡�é�¡´ì´é�ì´é�ª+« § 颡¤�Jñ��« ³ ¡dê�«©ì´é�¡Kë�´.ì°¡Å©T¿<¡Q´ué�ì�¨¡Å¹ � ª � ´'é �M� �-+()f���X)f� ô �6¬~¡ /à é�¡ ³ ¯Lë(¡�+"ì�ê�« é � ì�¹�À!¨¡Qª+«�¯�ë&¡¤��B� ³ $ ê �Vã ¡�é�¬±¡ ¦ �X¶ ²T¡Qª�¡�« ô � K Ìô � 4 ô �6¬~¡ /à ¡´ì´é � ì�¹�À!¨¡�ª+«�¯Lë(¡°»

Ü 468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã «±�=_�_�J à J�@ ^¿^ � ^n& vPJL_�J�N ^�& @ %u|S~J ( CP�­ADJe��v¬� ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�J�� § �.Ü ��¬G�¾J�@ ^s^n& A ^ �)§vP�=�=C{�>ADJe� t � ~J��­ADC{E & vPJ�NDO�J¥HDJ�@cO��=NDHDC ^ CP�=ND@y� � �����+¡ñ��J ^ �·û�� (>~JL@BADv ^ J¥HDA ^B|S~J�� (�xJ�_�J � � � J ^ HDJ�v &�( J�§_ &)( �­ADJ � ¾ � t & O &)^>~J��=� ( C{J à ~J ^n& N ^¾& @ %u|�~J ( CP�­ADJe�ev¬� ~J��>ADCFE & v{J�NDO�Jj� � ��Ü � § � (>~J�@BADv ^ J±HDJ±v &�( J�_ &)( �­ADJ� � Þ �Å� � ��� t ��CP_ % v{CPO &)^ CP�=N � § �ßé � � ��J�@ ^�~JLE>CPHDJ�N ^ Je�z�¡v ( J�@ ^ J x&�%D( �=AGEUJ ( v¬��CP_ % v{CPO &)^ C{�=NÀ� � � é � � ���] �=C ^ � ADNDJ % J ^ C ^ J�O &)^>~J��=� ( CPJ & HD_�J ^B^n& N ^ ADN²�e`G��J ^ ¹uN & v¬�ù·�NÀEUJ (B^ A HDJ®v &�%D( � % �=@�C ^ C{�=N Þ � * ��v{J%D(>~J�� & C{@BO�J & AÿK Ìô ���¨�°J�@ ^�& @ %u|S~J ( CP�­ADJe�9«±�=_�_�J à J�@ ^®^ � ^}& vPJ�_�JLN ^�& @ %u|S~J ( C{�>ADJe�SC{v (>~JL@BADv ^ JwHDJwv &%D( � % �=@BC ^ C{�=N �{fy�>ADJÊKùÌô ���¨�cJL@ ^ v{�>O & v{J�_�J�N ^X& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)�p·�N²EUJ (B^ A0HDJ�v &.%D( � % �=@BC ^ CP�=N � � ¾ �Åv &O &)^>~JL�=� ( CPJ à J�@ ^ HD�=NDOKADNDJ�O &)^>~J��=� ( CPJ ^ J�@ ^ vP�­O & vPJe�% Ö'× Ö���� Ð Ø ×¶Ô 'zÎ�ôIÎ á ê�« é à ë�´`¡I¹(¡LéV« é�¡ §:� éZ¨¡:©­ê�ª+«�¡�é¡ê¶é �?³ ¡Q¿<¡�´ué � ì�¹�À!¨¡�ª+«�¯Lë(¡°» á $ « ³ ¡�ê�«©ì�颡�ë�´.ì°¡¢©?¿<¡Q´uéì�¨¡Å¹ � ª � ´'é �d� �-+()f���?)f� ô �>¬~¡ /à é�¡ ³ ¯Lë(¡ +1ì�ê�« é�ª�¡Å¹�ª�¨¡´ì°¡Q´ué � � ³ ¡+â �T³ ê�ªnì à ¡´ì´éjë�´`¡ §:� éZ¨¡:©­ê�ª+«�¡®é�¡´ì´éì´é�ª+« § 颡°»«±JKO�� ( �=vPv & C ( Je�G�­ADCqJ�@ ^ O��=ND@ ~J��­ADJ�NDO�J�C{_�_ ~J�HDC &)^ J¦HDJ�v &c%D( � % �=@�C ^ C{�=N � � �D� ~J�N ~J (n& v{CP@BJ�J ^9%D(>~J�O�C{@BJ¨v{JO�� ( �=v{v & C ( J � � �% Ö'× Ö���� Ð Ø ×¶Ô 'zÎ�Í{õ½Î & � á ê�«Å¡Q´ué à ë�´`¡ §:� éZ¨¡:©­ê�ª+«�¡yé�¡´ì´éKì´é�ª+« § é�¡�â­¡�éBË ë±´�¡ §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡yéÄê)é �?³ ¡�¿<¡Q´ué� ì�¹�ÀB¨¡Qª+«�¯Lë&¡þ» ë ³ ê�ªnì ³·�k§�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡ à h Ë�¡´ì�ésë�´`¡ §�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡�颡´ì�ésì�éVªQ« § é�¡°»

`�� á ê�« ézÉ ö à ÷ Ë�ë�´ü¿�ê�ªÅ¹�À~«©ì+¿l¡ � ì�¹�À!¨¡QªQ«�¯Lë(¡6¬±¡2{q|~}°» á « à ¡´ì�é9éÄê)é �?³ ¡�¿<¡Q´ué � ì�¹�À!¨¡�ª+«�¯Lë(¡¡�é�Ë ë�´`¡ §�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡�颡´ì�é ³ ê §��?³ ¡�â �T³ ê�ªnì à ¡�é�ËYì�ê�´uéI¬~¡´ì §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡´ìjé�¡´ì´é�ì´é�ª+« § é�¡´ì¼»Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã t � & @B@BJ (B^ CP�=N � � � (>~J�@BADv ^ J�HDJ�v &X%D( � % �=@BC ^ CP�=N � ó �ù� � ���uJ ^ HDAwO�� ( �=vPv & C ( J � �PfñdG�¢.�=N ^�( �=ND@�v�� & @B@�J (B^ C{�=N[� � ���±·sN EUJ (B^ A HDJv &²%D( � % �=@BC ^ CP�=N � ó � � � �´��Ë J�@ ^�^ � ^n& vPJ�_¥J�N ^�& @ %u|S~J�§( C{�>ADJe�¤·svPv{J�J�@ ^ HD�=NDOcADNDJaO &)^>~J��=� ( CPJ ^ J�@ ^ @ ^B( C{O ^ J�� � � ���qå N�JLNH ~JLHDADC ^ �>Aq��CPv�J´MDCP@ ^ JcADN�@�J��=_�J�N ^@ ~J %'&)(}& N ^ �-+()f���X)f� ô �¥HDJ /Ë®� ^ J�v¦�>ADJ +0@B�=C ^ ADN %D(>~JL� & CP@BO�J & A & @ %u|�~J ( CP�­ADJ?� � � ���S«9�=_�_¥JkÉ,JL@ ^& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)��É Ì �-+>��J�@ ^ ADN %D(>~J�� & CP@BOLJ & A & @ %u|�~J ( CP�­ADJ°HDJ /à � ¾ � * �´�¤J ^ O��=_�_¥JdÉ Ì J�@ ^ ADN"�©�=NDO ^ J�A (J�M & O ^ �'�VÉ Ì �-+>�Q):É Ì �g�����Q):É Ì �d� ô �B�ÅJ�@ ^ ADN¥@BJL�=_�J�N ^ @ ~J %'&)(n& N ^ HDJ /à � ª �=NDO à J�@ ^�& AD@B@BCuADNDJ;O &)^>~J��=� ( C{J^ J�@ ^ @ ^�( CPO ^ J®� � � ���GO�JK�>ADC %D( �=AGEUJ¨v{JKOL� ( �=vPv & C ( Je�

Þ ¾

Page 46: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

021 68Ý4365!6�?ݨ¤ãr���Mã t J�@cO &)^>~J��=� ( CPJL@ ^ J�@ ^ HDJL@XJ´MDJ�_ % v{J�@ � � * �S� � �j§°�+¡��K@B�=N ^ HDJ�@cO &)^>~J��=� ( CPJ�@ ^ JL@ ^@ ^B( CPO ^ JL@��uO &)( J�v{vPJ�@ & HD_�J ^�^ J�N ^ HDJ�@ %D( �>HDADC ^ @9¹uNDCP@c� � Þ ���Ï Ô>ÛÀÛZÔ 'zÎ�ÍZ�¤Î[Þ ê¶ë>ésê �Vã ¡�é 4P5 ¬~¡ 0 ¡�ì´é½ë�´�ê �Vã ¡�é � ® § ê�´ué�ª �~§ é�« ³ ¡!¬~¡t/0 âpêrµë � ¬I¨¡�ì+«ò©?´`¡ ³ ¡;ìþ¡Å©?¿<¡Q´'é� 4 ô ) Ú �T) Ú ô �6¬±¡ /0 æ Ú �x¡�é Ú ô ¨¡�é � ´uéI¬�¨¡ ø ´&« ìr¹ � ª�d Í÷ dÄ¡�é�d Í÷ fת:¡´ìŹ(¡ § é�«\²T¡Q¿l¡Q´uéUè�»Ü 468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã t J¨_�� (�%u| CP@B_�J

ÿ ö 4P5 h 4 ô ÷ 4P5O�� (B( J�@ % �=NDH & N ^¥x& v¬� &)%D% v{CPO &)^ CP�=N�O ( �=CP@�@ & N ^ J

�0�():KÄ� Í S ÷ É � K � d9 K � f d6J­�tJL9J�@ ^ ADNDJ � § | �=_¥� ^ � % CPJyHDJ�v��¸C{HDJ�N ^ C ^>~J�HDJ 465 x& v¬��J�NDHD�=_�� (B%u| C{@B_�JyO��=ND@ ^}& N ^ HDJ 465 H ~JL¹uNDC %'&)(v¬� &)%D% vPC{O &)^ CP�=N�O ( �=C{@B@ & N ^ J¨OL�=ND@ ^n& N ^ J

� Í S ÷�9 ) d6J �<Jý9 )O�JK�>ADC %D( �=AGEUJ�vPJ¨v{J�_�_�J)�( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� 'zÎ�Í�ÆqÎ ¦ �¸§�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡ 0 ¡´ì´é�ë�´`¡ §:� éZ¨¡:©­ê�ª+«�¡�é�¡´ì´é�ì´é�ª+« § 颡þ»Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã «±�=_�_�J 0 J�@ ^ ADNDJ®O &)^>~J��=� ( CPJ ^ J�@ ^ � %D( � % �=@BC ^ C{�=N � �Pf ¾ �´�ùC{v¿@�A ¯¥^ HDJ®_��=N>§^B( J ( �>ADJ 0 J�@ ^ ^ � ^n& vPJ�_¥J�N ^¦& @ %u|�~J ( C{�>ADJe�q«9�=_�_¥J¨vPJ %D(G~J�� & CP@�O�J & AHDJ /0 ( J %D(>~J�@BJLN ^>~J %'&)( 4 ô JL@ ^vP�­O & vPJL_�J�N ^�& @ %u|S~J ( CP�­ADJ®��v{J�_�_�J � �{f b=���GO�J�v &°(>~J�@�ADv ^ J�HDJ¨v &X%D( � % �=@BC ^ C{�=N � � J ^ HDA�v{J�_�_�J �Pf b>�021 68Ý4365!6Ô¨¤ãr�X�=ã t & O &)^G~J��=� ( C{J 0 ~J ^n& N ^ ADNDJ¥O &)^G~J��=� ( C{J ^ JL@ ^ �IJ�vPv{J°JL@ ^ �½J�N %'&)(B^ C{O�ADvPC{J ( �qADNDJ�O & §^>~J��=� ( CPJ ^ JL@ ^ vP�­O & vPJe� & A ^B( JL_�J�N ^ HDC ^ � % �=A ( ^ �=A ^ 9��`9 û�= ��v & O &)^>~JL�=� ( CPJ 0 å 4P5 JL@ ^j& AD@B@BC�ADNDJO &)^>~JL�=� ( CPJ ^ JL@ ^ �8Á ~J & ND_¥�=CPND@��G@�C¤vPJ v{�>O & v{CP@ &)^ JLA ( �©�=NDH & _�J�N ^n& v`Ö JL@ ^ ND�=N ^�( C{E>C & v¬�­J ^ @BC`9 9� dG�Gv &O &)^>~JL�=� ( CPJ 0 å 465 Nq�¸J�@ ^Å%'& @ÅADNDJ±O &)^>~JL�=� ( CPJ ^ J�@ ^ @ ^B( CPO ^ Je� ·�NcJ�èzJ ^ � @B�=C ^ | F � � 4 �T)eè F ö 4 �Á÷ 4P5 �v¬���e`G��J ^ HDJ 0 å 465 H ~JL¹uNDC %'&)( è F �¬dU� � KB�'dæJLKMJL9���«±�=_�_�J�9 " f=�DvPJ %D( �­HDADC ^ |�� h | 5 H & ND@í0 å 465 JL@ ^ vPJ %D(>~J�� & C{@BO�J & AÀEGC{HDJe�½�e`D��J ^ CPNDC ^ C & vpHDJ í0 å 4P5 �ùv & O &)^>~J��=� ( CPJ 0 åT|±� h | 5 J�@ ^ HD�=NDOv & O &)^G~J��=� ( C{JKEGC{HDJe�zJ ^ O��=_�_�JKvPJ�v{�>O & v{CP@ &)^ J�A ( �©�=NDH & _�JLN ^n& v½Ö JL@ ^ ND�=N ^B( CFEGC & v��uO�J ^B^ J¨O &)^>~J��=� ( C{JNq�¸JL@ ^�%'& @ & @ %u|�~J ( C{�>ADJ�� %D( � % �=@�C ^ C{�=Nwb>� b �´�021 68Ý4365!6Ψ¤ãr�´§ã �svPAD@y� ~J�N ~J (n& v{J�_�J�N ^ �S@�C à JL@ ^ ADNDJO &)^G~J��=� ( C{J ^ J�@ ^�&)( `uC ^B(n& C ( Je��J�N EUJ (B^ A7HDA^}|�~J�� (�xJ�_�J � � � �9CPv�J�MDC{@ ^ J"ADN @�J��=_�J�N ^ @ ~J %'&)(}& N ^ �Y+�)f�±��)f� ô ��HDJ /à ^ J�vK�­ADJ +7@B�=C ^ vP�­O & vPJL_�J�N ^& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)�pHD�=NDO & @ %u|S~J ( C{�>ADJ�� % ADCP@��>ADJ à J�@ ^X& @ %u|�~J ( CP�­ADJñ���¿å N0J�N²H ~J�HDADC ^ �>ADJ à å[+J�@ ^ ADNDJO &)^>~JL�=� ( CPJ ^ J�@ ^ � � � Þ �u� � �B����Á ~J & ND_¥�=CPND@��=@BCDv{JÁv{�>O & v{CP@ &)^ J�A ( �©�=NDH & _�J�N ^n& vZÖ Nq�¸JL@ ^s%'& @ ^B( CFEGC & v¬� à å[+Nq�¸JL@ ^ %'& @ ADNDJaO &)^>~J��=� ( C{J ^ J�@ ^ @ ^B( C{O ^ Je��·�N.J�è¤J ^ �zv{J�@ �e`G��J ^ @X� Ú /ô )f������J ^ � Ú /ô )f� ô ��HDJ /à å[+lì íà å[+@B�=N ^ HDJ�@ %D(>~J�� & C{@BO�J & A>M & @ %u|S~J ( CP�­ADJ�@jHDJüíà å[+'��O &)( � à å[+>�ÕåD� Ú /ô )f� F ��ì à å Ú /ô ì à ��K � d8)�f=�'_ & C{@vPJLA (Á%D( �­HDADC ^ H & ND@ íà å[+�J�@ ^ v{J %D(>~JL� & CP@BO�J & A�EGCPHDJ)�'�­ADCINq�¸J�@ ^;%'& @ & @ %u|S~J ( CP�­ADJ®� %D( � % �=@BC ^ CP�=N�b>� b ���O�JK�>ADCIO��=N ^B( J�HDC ^ v & O��=NDHDC ^ CP�=NZ� � þP�9HDJKv &X%D( � % �=@BC ^ CP�=N �Pf=�

Þ�Þ

Page 47: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

 ÓÔ~Èz�ÅØ Ò ØÙÖ�� 'zÎ�Í��qÎ ] �=C ^ à ADNDJ % J ^ C ^ JcO &)^>~JL�=� ( CPJcND�=N.EGC{HDJe�¤J ^ ND� ^ �=ND@ � ô v¬��J�ND@BJ�_c`uv{JXHDJL@�@�J��)§_�J�N ^ @ �M� �-+()f����)f� ô � ) ���?)f� ô ö!Ú /ô �� + )HDJ /à � ^ J�v{@��­ADJ�+?@B�=C ^ ADN2�e`D��J ^ HDJ à �;å N,HDC ^ �­ADJ à J�@ ^ ADNçÖ §V¹�ª�¨¡ § ê�´'éVª �~§ é�¡�뱪­�±�=A % vPAD@@BC{_ % vPJ�_¥J�N ^ ADN�¹�ª�¨¡ § ê�´ué�ª �±§ 颡L뱪­�I@BC ^ �=A ^¨%D(>~J�� & CP@BOLJ & A ( J %D(>~JL@BJ�N ^n& `uvPJ®HDJ /à J�@ ^;� ô § O��=N ^B(n& O ^ CPvPJ)�å N�HDC ^ �>ADJ à J�@ ^ ADN Ö�§ § ê�´ué�ª �±§ 颡L뱪­�;�=A % v{AD@�@BCP_ % vPJ�_�JLN ^ ADN § ê�´ué�ª �±§ 颡L뱪­�9@BC à J�@ ^ ADN%D(>~J�OL�=N ^B(}& O ^ J�A ( J ^ ADNDJKO &)^>~J��=� ( C{J ^ � ^n& vPJ�_¥J�N ^Á& @ %u|�~J ( CP�­ADJe�( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� '¤ÎÙÍ8'zÎ á ê�« é à ë�´x¹�ª�¨¡ § ê�´'éVª �~§ é�¡�뱪�â2´¤ê�´?é�ª+«\²þ« �?³ æÅ´¤ê?´ ¨¡°¯Lë�«\² �T³ ¡Q´uéĵ�>³·�ħ:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡ø ´ �T³ ¡0è�» ë ³ ê�ª´ì6« ³ ¡�ê�« ì´é¢¡Xë�´Àì°¡¢©?¿<¡Q´ué;ì�¨¡Å¹ � ª � ´ué �2� �-+()f���?)f� ô �l¬~¡ /à â � ²T¡ § +7ê �Vã ¡�é�¬~¡ à » á «2¬~¡¹ ³ ë­ì à ¡�ì´ésë�´ § ê�´ué�ª �~§ é�¡�ë�ª:â �T³ ê�ªnì à ¡´ì´é�ë±´`¡ §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡Ké�¡´ì´ésì´é�ª+« § é�¡°»Ü 468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã Á � ^ �=ND@ � ô v��¸J�ND@�J�_c`uvPJ�HDJ�@ @�J��=_�J�N ^ @ �r� �-+()f���X)f� ô �ÁHDJ /à ^ J�vP@¦�­ADJ�+�@B�=C ^ADN®�e`G��J ^ HDJ à � ] �=C ^Sý ADN %D(G~J�� & CP@�O�J & AyHDJ /à � ] C ý J�@ ^ ND�=N�E>CPHDJe��CPv'J�MGCP@ ^ JÁADNDJB� xJ�O | J�|X÷ ý HDJ/à � & EUJ�O­|®�e`G��J ^ HDJ à �'«±�=_�_�J�|®J�@ ^Z� ô § OL�=N ^B(}& O ^ CPv{Je�uCPvIJ�MGCP@ ^ J)�DJ�N %'&)(B^ C{O�ADvPC{J ( �DADN�_¥� (B%u| CP@B_¥JÚ /ô ÷ |'�pHq�¸� xA ADN�_�� (B%u| C{@B_�J Ú /ô ÷ ý �¿å N?J�N�H ~JLHDADC ^ �>ADJ�@BC ý � ÷ Ú /ô J�@ ^ ADN?@B�=AD@¡§ �e`G��J ^HDJ Ú /ô � & vP� ( @ ý J�@ ^ E>CPHDJe�I�=A ~J�� & v x& Ú /ô �½·�N"J�è¤J ^ �ùJ�N�EUJ (B^ AZHDJ°O�J��­ADC %D(>~J�O xJ�HDJe�ù@BC ý JL@ ^ ND�=NEGC{HDJe�'CPv½J�MDC{@ ^ J¨ADNDJ­� xJLO | J Ú /ô ÷ ý ��O�J¨�>ADC½CP_ % v{CP�>ADJ��>ADJ ý � ÷ Ú /ô J�@ ^ ADNC{@B�=_�� (B%u| C{@B_�Je� ] �=C ^HD�=NDO �z� �-+�)f�±��)f� ô �9ADN�@BJ��=_�J�N ^�&)%D%'&)(B^ J�N & N ^°x&�� ô � � vP� ( @)ß�à�á��d�±�T)f� ô �9J�@ ^ EGC{HDJK�=A ~J�� & v x&.Ú /ô �& A ^B( JL_�J�N ^ HDC ^ �­�=A�`uCPJ�Nyv{J¦@BJ��=_�JLN ^�� J�@ ^ @ ~J %'&)(n& N ^ �G�=A�`uC{J�NÄ��� � � ô � ] C & ADO�ADN�@BJ��=_�J�N ^ HDJ � ôNq� ~J ^n& C ^ @ ~J %'&)(n& N ^ �Gv &¨( J�v &)^ C{�=N�HDJ � ô § | �=_�� ^ � % CPJ�@BJ (n& C ^ HD�=NDO v¬� ~J�� & vPC ^G~Je��J ^ vPJ�@ � ô § | �=_�� ^ � % CP@B_�JL@vPJL@¨CP@��=_�� (B%u| CP@�_�J�@��ù«±�=_�_�JavPJ�@K�e`G��J ^ @¨HDJ à @B�=N ^4� ô §ºO��=N ^�(n& O ^ C{vPJ�@��½vPJL@¨�e`G��J ^ @KHDJ à @BJ (n& CPJ�N ^CP@��=_�� (B%u| J�@ x& v¬���e`G��J ^ ¹uN & v¬�SOLJ�­ADC¦J�@ ^ OL�=N ^B(}& C ( J x& v¬� | ³ % � ^}|qxJ�@�JHDJ.ND�=N>§ ^B( C{E>C & v{C ^>~J�HDJ à ��J ^%D( �=AGEUJKv &X%D( J�_�C xJ ( J & @�@BJ (B^ C{�=Nq� t & HDJ�A>MDC xJ�_�J�J�N (>~J�@�ADv ^ Je�u� (?-& OLJ x& v &X%D( � % �=@BC ^ CP�=N � � �021 68Ý4365!6�¨¤ãr�$=:ã t & O &)^G~J��=� ( C{J 0 J�@ ^ ADNO��=N ^B(n& O ^ J�A ( �q·�NJ�èzJ ^ �qJ�N.EUJ (B^ AHDAvPJ�_�_¥J �Pf b>�¤v &O &)^>~JL�=� ( CPJ 0 J�@ ^ ADN %D(>~J�O��=N ^B(n& O ^ J�A ( �qJ ^ JLNEUJ (�^ A.HDJXv &¥%D( � % �=@�C ^ C{�=N �{f ¾ �zJ�v{vPJcJ�@ ^ ^ � ^n& vPJL_�J�N ^& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)�

Þ ó

Page 48: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

6 k=Ò?l É Ç o È k ˦h Ò È k=Ò È r

M � ´Dì § ¡�¹ � ª � ©?ª � ¹�ÀZ¡+â±ê�´wì°¡ ø ê�¡�âsë�´`¡*û�ê�«©ì*¹'ê)뱪¨éÄê)ë­é�¡´ì:âsë�´ ³ ê §:�?³ «©ì � 颡L뱪Mû�ê�´�¬ � ¿<¡Q´ué �?³ Ö »Â ÓÔ~Èz�ÅØ Ò ØÙÖ�� ïqÎ�Í'Î ] �=CPJ�N ^ à ADNDJ % J ^ C ^ JKO &)^>~J��=� ( CPJ)�(K ö à ÷ {q|_}±ADN��©�=NDO ^ J�A ( �'J ^K Ì ö {�|~} S ÷ /à � Í S ÷ ��| Í÷ ßpàZmB���Q� �VKn��|>�Q)������

vPJÁ�©�=NDO ^ J�A ( OL� (B( J�@ % �=NDH & N ^ �Då N®HDC ^ �­ADJBKÅJL@ ^ ADN­û�ê�´ § 颡�ë�ª*Öî® � ìŹ�ÀB¨¡QªQ«�¯Lë(¡)�­�=A % vPAD@S@BC{_ % vPJL_�J�N ^ADN<û�ê�´ § 颡�ë�ª � ì�¹�À!¨¡QªQ«�¯Lë(¡)�'@�C½v{J�@;HDJ�A>M�OL�=NDHDC ^ C{�=ND@�@BADCFE & N ^ J�@Á@B�=N ^ @ &)^ C{@B� & C ^ JL@ ö� � % �=A (;^ �=A ^ �e`G��J ^ |�HDJ à �'v & O &)^>~J��=� ( CPJ�Kn�V|G�±J�@ ^ & @ %u|S~J ( CP�­ADJz�� � % �=A ( �­Aq�¸ADNDJ % J ^ C ^ J O &)^>~J��=� ( CPJ!��@B�=C ^9& @ %u|S~J ( CP�­ADJe�DCPv�� & A ^ J ^ CPv�@BA ¯¥^ �­ADJ vPJ %D(>~J�� & C{@BO�J & AK Ì ���¨�9@B�=C ^¦& @ %u|S~J ( CP�­ADJe�3 68Ý�á�9����6â=:ãy ã «9J ^�^ J.ND� ^ CP�=N HDJ��©�=NDO ^ J�A (w& @ %u|S~J ( CP�­ADJ�Hq��ADNDJ % J ^ C ^ JO &)^G~J��=� ( C{Je� x& E & vPJLA ( @H & ND@!{q|_}��zNDJXHD�=C ^ %'& @ -J ^B( JcO��=ND�©�=NDHDADJ & EUJ�Oav & ND� ^ CP�=N.HDJc_�� (�%u| CP@B_�J & @ %u|S~J ( CP�­ADJaHDJd{�|~}´� t JvPC{J�N J�N ^�( J�OLJ�@¥HDJ�A>M ND� ^ CP�=ND@aEGCPJLN ^ HDJ�v &w%D( � % �=@BC ^ CP�=N ¾ � * ���>ADC &)¯¥( _�J��J�N ^B( J & A ^B( J�@}�a�­Aq�¸ADN_�� (B%u| C{@B_�J$É ö à ÷ Ë[HDJ2{�|~}¾J�@ ^S& @ %u|�~J ( C{�>ADJ¦@�C�J ^ @BJ�ADvPJL_�J�N ^ @BC'vPJ�@ %D(>~J�� & C{@BO�J & A>M & @ %u|S~J ( CP�­ADJ�@HDJ /Ë�@B�=N ^ J�M & O ^ J�_¥J�N ^ O�J�A>M�HD�=N ^ v��¸C{_ & �=J (>~J�O�C %D( �>�>ADJ %'&)( É�J�@ ^ ADN %D(>~JL� & CP@BO�J & A & @ %u|S~J ( CP�­ADJ¦HDJ/à �021 68Ý4365!6�=:ã×Ö:ã ] �=C ^ à ADNDJ�O &)^G~J��=� ( C{J ^ J�@ ^ � & C{`uv{Je� � v{� ( @�v{J¨�©�=NDO ^ J�A ( K ô ö à ÷ {q|_}´��| Í÷ à åT|��J�@ ^ ADN��©�=NDO ^ J�A (�& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)�D·�N�J�è¤J ^ � % �=A (±^ �=A ^ �e`G��J ^ |�HDJ à �8K ô ��|>� � à åT| & HD_�J ^ ADN��e`G��J ^¹uN & vSJ ^ J�@ ^ HD�=NDO�ADNDJyO &)^>~J��=� ( CPJ & @ %u|S~J ( CP�­ADJe� ª � & A ^B( J %'&)(B^ �ÅJ�N²EUJ (B^ A0HDJ®v &w%D( � % �=@BC ^ CP�=N Þ � * �% �=A (p^ �=A ^ J % J ^ C ^ J�O &)^>~J��=� ( C{J��°�)vPJS_�� (�%u| CP@B_�JsHq� & H¶���=NDO ^ CP�=NPK ô K Ìô ���¨�¿÷ �2J�@ ^ ADNDJ ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�J� & C{`uv{Je�=å NcJ�NcH ~J�HDADC ^ �>ADJsv & O &)^>~J��=� ( CPJr�2J�@ ^p& @ %u|S~J ( C{�>ADJS@BC­J ^ @�J�ADvPJ�_¥J�N ^ @�C­v{J %D(>~J�� & C{@BO�J & APK Ìô ���¨�v¬��J�@ ^ �qOLJ°�­ADC %D( �=AGEUJ°�­ADJ°v{JX�©�=NDO ^ J�A ( K ô J�@ ^¨& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)�Åå N ( JL_ &)( �>ADJa�­ADJ (>~JLO�C %D( �­�>ADJ�_¥J�N ^ �@BC à J�@ ^ ADNDJ % J ^ C ^ J�O &)^G~J��=� ( C{J ^ J�vPv{J��­ADJ�v{Jy�©�=NDO ^ J�A ( K ô @B�=C ^°& @ %u|S~J ( C{�>ADJe�¾v &w%D( � % �=@BC ^ C{�=N Þ � *CP_ % vPCP�­ADJj�>ADJ à J�@ ^ ADNDJ¨O &)^>~J��=� ( CPJ ^ J�@ ^ � & CF`uvPJe�Ï Ô>ÛÀÛZÔ ïqηð½Î á ê�«Å¡Q´ué`É ö à ÷ Ë ë±´x¿®ê�ª�¹�À±«©ì+¿<¡­¬~¡*{q|_}+âZ] ö Ë�÷ {q|~}�ë±´­û�ê?´ § é�¡�뱪�â�¡Lé`¹'ê ìñê�´DìK � ]~É ö à ÷�{�|~}°»[Ø�´wì�ë°¹_¹�ê ì°¡ë¯Lë(¡r¹'ê¶ë�ª�é¡ê¶ë­é9ê �Vã ¡Lé,ät¬~¡$Ëlâ ³·�¸§:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡z]���äL�d¡´ì´é � ì�¹�À!¨¡QªQ«�¯Lë(¡°»

& � á «�É ¡´ì´é9ë�´ü¿�ê�ªÅ¹�À~«©ìQ¿<¡ � ì�¹�À!¨¡�ª+«�¯Lë(¡æ¬~¡!{�|~}:â ³ ¡Iû�ê�´ § 颡�ë�ª�] ö Ë ÷ {q|_}<¡´ì´é � ì�¹�À!¨¡�ª+«�¯Lë(¡ì+«r¡Lésìþ¡�ë ³ ¡�¿<¡Q´ué�ì+« ³ ¡*û�ê�´ § 颡�ë�ªIK ö à ÷é{�|~} ³ $ ¡´ì´é¢»

`�� á « ³ ¡�û�ê?´ § é�¡�뱪D] ¡´ì´é*¹ ³ ¡Q«\´`¡Q¿l¡Q´ué ø ¬ µ¡ ³ ¡x¡�é$K � ì�¹�À!¨¡QªQ«�¯Lë(¡�â �?³ ê�ªnìdÉ ¡´ì´é�ë�´L¿�ê�ªÅ¹�À~«©ìQ¿<¡� ì�¹�ÀB¨¡Qª+«�¯Lë&¡P¬~¡�{q|_}æ¡�é�]"ë�´Pû�ê�´ § 颡L뱪 � ì�¹�À!¨¡�ª+«�¯Lë(¡°»Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã å N�E ~J ( C{¹uJ�CP_�_ ~J�HDC &)^ JL_�J�N ^ �>Aq�¸�=N & ADN ^�( C & ND�=v{J�OL�=_�_aA ^n&)^ CP�

� � Þ f � {�|~}ãããä] Ì å å åcæK Ì/Ë �É Ì /ÃÞ �

Page 49: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

��� xA���v¬� ~J ^ �=CPv{J�JLN |u& A ^ �¥HDJOKsJ ^ ] & ADN�@BJ�ND@�v ~J�� xJ ( JL_�J�N ^ HDC è ~J ( JLN ^ HDJ¨O�J�v{vPJKHDJOÉz���� � ] CzÉÀJ�@ ^¨& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)�ùC{v (G~J�@BADv ^ J°HDJ°v &®%D( � % �=@�C ^ C{�=N ¾ � * �>Aq��ADN %D(>~JL� & CP@BO�J & A ý HDJ /Ë JL@ ^& @ %u|�~J ( CP�>ADJX@BCÅJ ^ @�J�ADvPJ�_¥J�N ^ @BC�vPJ %D(>~J�� & C{@BO�J & A.É Ì ý HDJ à v¬�¸JL@ ^ � t � ~J��­ADC{E & vPJ�NDOLJXHDJav�� & @ %u|�~J ( CPO�C ^G~JHDJ�@Á�©�=NDO ^ J�A ( @BKsJ ^ ] (>~J�@BADv ^ J & vP� ( @;CP_�_ ~J�HDC &)^ JL_�J�N ^ HDJ¨v & O��=_�_aA ^n&)^ CFEGC ^G~J¦HDA ^B( C & ND�=vPJ � � Þ �Pf=�� � ] A %D% �=@B�=ND@¿vPJ±�©�=NDO ^ J�A ( ] % vPJ�C{NDJ�_�J�N ^ ¹uH xJ�vPJ9J ^ K & @ %u|�~J ( CP�>ADJ)�=�p�=A (¿^ �=A ^ �e`D��J ^ äSHDJ2Ë®�ev &% vPJLCPNDJ¨¹uH ~J�v{C ^>~J¨HDJ�]®CP_ % v{CP�>ADJ��>ADJB] Ì ]���ä��±J�@ ^ CP@B�=_�� (�%u| J x& ä ��Hq��� xA>É Ì ��äL�*ìgÉ Ì ] Ì ]z��äL� � K Ì ]���ä����«±�=_�_�Jz]���ä��ÅJ�@ ^ ADNDJ;O &)^>~J��=� ( C{J & @ %u|S~J ( CP�­ADJ�J ^ KùADN¥�©�=NDO ^ JLA (±& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)�~É Ì ��ä��zìñK Ì ]���ä��ÅJ�@ ^ ADN%D(>~J�� & C{@BO�J & A & @ %u|S~J ( C{�>ADJe�IO�Ja�>ADC %D( �=AGEUJ°�­ADJ°v{JX_¥� (B%u| CP@B_¥JdÉZJ�@ ^¨& @ %u|�~J ( C{�>ADJ�� ¾ � * �´���¡v (>~J�@BADv ^ J& vP� ( @ÁHDJ�� � �S�>ADJ2]�J�@ ^ ADN��©�=NDO ^ J�A (¦& @ %u|�~J ( C{�>ADJe�'O�JK�>ADC & O |IxJLEUJ¨v & H ~J�_��=ND@ ^B(n&)^ C{�=Nq�ïqÎ��zÎ ] �=C{J�N ^ à ADNDJ % J ^ C ^ J¨O &)^>~J��=� ( C{Je�(K ö à ÷ {�|~}9ADN.�©�=NDO ^ J�A ( ^ J�vù�­ADJ % �=A (�^ �=A ^ �e`G��J ^ |yHDJà �&Kn��|>�9@B�=C ^¦& @ %u|S~J ( CP�­ADJe� à ��ADNDJ¨O &)^>~J��=� ( CPJ ^ J�@ ^ � & C{`uv{Je�'J ^ ËüADNDJ % J ^ C ^ J�@B�=AD@�§ O &)^G~J��=� ( C{J % vPJLCPNDJHDJ­{q|_}�O��=N ^ J�N & N ^ Kn� à �ÁJ ^ K ô�ç � à ������J ^ �©� ( _ ~JLJcHDJXO &)^G~J��=� ( C{J�@ & @ %u|�~J ( C{�>ADJ�@L� t J�@j�©�=NDO ^ J�A ( @DK±J ^K ô @BJ¨� & O ^ � ( CP@BJLN ^Á%'&)( Ë®�uJ ^ �=N��e` ^ CPJLN ^�& CPND@BCIADN�HDC & � (n& _�_�J OL�=_�_aA ^n&)^ CP�� � ó f �

à �É� � � ���KË è ]

à �� É�� ����� K ô�ç{�|~} «±�=_�_�J à ��J�@ ^ ADNDJ±O &)^G~J��=� ( C{J ^ J�@ ^ � & C{`uvPJ)�?K ô�ç JL@ ^ ADNc�©�=NDO ^ JLA (¿& @ %u|S~J ( C{�>ADJ�� � � ¾ ���¶J ^ CPv (>~J�@BADv ^ JSHDAvPJL_�_�J � � Þ �D� � ���>ADJ�É��±J�@ ^ ADN°_¥� (B%u| CP@B_¥J & @ %u|�~J ( C{�>ADJ9HDJr{q|_}��)J ^ ]KADNX�©�=NDO ^ J�A (�& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)�=·�NEUJ (B^ A°HDA°vPJ�_�_¥J � � Þ �u� � ��J ^ � � ���=�=N°JLN°H ~J�HDADC ^ �­ADJ9vPJ9�©�=NDO ^ J�A ( KIJ�@ ^s& @ %u|�~J ( C{�>ADJ;@BCDJ ^ @BJ�ADv{J�_�J�N ^@BC±ÉXJL@ ^ ADNa_�� (B%u| C{@B_�J & @ %u|S~J ( C{�>ADJ±HDJ�{�|~}´� t JSHDC & � (n& _�_�J¿O��=_�_aA ^n&)^ C{� � � ó �Pf % J ( _�J ^ HDJS�©� ( _¥J (ADN7�}b §ºHDC & � (n& _�_¥J��

� � ó b=�{�|~}¹¹¹¹¹¹é K Ì ] Ì

� � � � � ���K Ìô�ç/à � � � � � ���K ô

/Ë� É Ì K Ù

�É Ì� /à �������� K ô�çênë� é ênë çì �{�|~}

HD�=N ^ v{J�@jHDJ�A>M ^B( C & ND�=v{J�@j@BA %S~J ( C{J�A ( J�@¨@B�=N ^ O��=_�_aA ^n&)^ CP�©@���J ^ vPJ�@�HDJ�A>M ^B( C & ND�=vPJ�@jCPND� ~J ( CPJ�A ( J�@¨C{N>§HDCP�­ADJ�N ^ @BC{_ % vPJ�_¥J�N ^ v{J�@Á_¥� (B%u| CP@B_¥J�@ÁHDJK�©�=NDO ^ J�A ( @`

ì ö K ô É Ì S ÷ K Ù )`ì ç ö K ô�ç É Ì� S ÷ K Ù )

H ~JL¹uNDC{@¦H & ND@ ¾ � � �'åjN�JLN�H ~J�HDADC ^ ADNDJ¨O |u&X- ¼PNDJKHDJ¨_�� (�%u| CP@B_�JL@;Hq��J�NDHD�=�©�=NDO ^ JLA ( @ HDJ�{�|~}� � ó ¾ � K ô K Ì �

`ì2í ] Ì K Ù ] Ì K ô�ç K Ìô�ç� ` ì ç í ] Ì �N ô�ç f ���Q� )

Þ}

Page 50: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

N ô�ç ~J ^n& N ^ vPJ�_¥� (B%u| CP@B_¥JsHq� & H¶���=NDO ^ CP�=N��ÙO�� � ¾ �{f ���ñJ ^�% �=A (�^ �=A ^ J % J ^ C ^ JsO &)^>~J��=� ( CPJr�7HDJ�@Å�©�=NDO ^ J�A ( @� � ó Þ � K ô K Ì ����� �

`ì �ò] Ì ���¨�B� K Ù ] Ì ����� K ô�ç K Ìô�ç ���¨�� ` ì ç �ò] Ì �V���B� �N ô�ç ����� � )

vPJL@±HDJ�A>M�HDJ ( NDC{J ( @ ~J ^n& N ^ HDJ�@ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J�@9� & C{`uv{J�@��

`ì ç �·] Ì ���¨�B��J�NyEUJ (B^ AyHDJjv &¨%D( � % �=@BC ^ CP�=N ¾ � * �% ADCP@��>ADJ�vPJ�_�� (B%u| CP@�_�JlÉ��yJ�@ ^¥& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)�¿J ^ N ô�ç J�N0EUJ (B^ A?HDJ�v &w%D( � % �=@BC ^ C{�=N Þ � * � % ADCP@��>ADJà ��J�@ ^ ADNDJXO &)^G~J��=� ( C{J ^ J�@ ^ � & C{`uvPJ���� ] C½K±J�@ ^ ADN.�©�=NDO ^ J�A (�& @ %u|S~J ( CP�­ADJe�

`ì �ò] Ì �������ÁJ�@ ^j& AD@�@BCÅADNDJ~J��­ADC{E & vPJ�NDO�JK� & C{`uv{Je�uO &)( ÉwJL@ ^ & v{� ( @ÁADN�_�� (B%u| CP@�_�J & @ %u|S~J ( C{�>ADJe�

( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� ïIÎ��IÎ á ê?«�¡Q´ué à 뱴`¡B¹(¡LéV« é�¡ §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡�â$¡Lé K ö à ÷ {q|_}cë�´æûñê�´ § é�¡�ë�ªc颡 ³ ¯Lë(¡B¹'ê¶ë�ªé¡ê¶ë­éÁê ��ã ¡�é�|ü¬~¡ à ⠳·�¸§�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡IK}��|G�Kì�ê�« é � ì�¹�À!¨¡Qª+«�¯�ë&¡°»

& � ¦ ¡´ì § ê?´�¬?« é�«ºê�´Dì ì�뱫\² � ´ué�¡´ìjì�ê�´'éx¨¡°¯�뱫\² �?³ ¡Q´ué�¡´ì�åC ��KD¡´ì�é � ìŹ�ÀB¨¡QªQ«�¯Lë(¡��C{C©��¹'ê)뱪¨éÄê)ë­é�¡I¹(¡LéV« é�¡ §:� éZ¨¡:©­ê�ª+«�¡ � ì�¹�À!¨¡QªQ«�¯Lë(¡2�6â ³ ¡I¹�ª�¨¡�û � « ì § ¡ � ë6K Ì ���¨�æ¡´ì�é � ìŹ�ÀB¨¡QªQ«�¯Lë(¡��C{CPC©� à ¡´ì´é � ìŹ�ÀB¨¡QªQ«�¯Lë(¡�â!¡�é9ë�´^¿�ê�ªÅ¹�À~«©ì+¿l¡ ú ¬~¡B{q|_}l¡´ì�é9ë±´�¡ ¨¡°¯Lë�«\² �?³ ¡�´ § ¡rû � « � ³ ¡cì+«2¡�é

ì°¡�ë ³ ¡Q¿<¡�´ué�ì+«�K Ì � ú �æ¡´ì´é�ë±´`¡ý¨¡°¯Lë�«\² �?³ ¡�´ § ¡Mû � « � ³ ¡d¬~¡I¹�ª�¨¡�û � «©ì § ¡ � ë[êG�CFEu� à ¡´ì�é � ì�¹�À!¨¡QªQ«�¯Lë(¡�âP¡�é$¹'ê)뱪�éÄê)ë­é�¡î¨¡þ¯L뱫�² �?³ ¡Q´ § ¡Dû � « � ³ ¡ ú ¬~¡6{�|~}:â2K Ì � ú �.¡´ì´é�ë�´`¡¨¡°¯Lë�«\² �T³ ¡Q´ § ¡Mû � « � ³ ¡d¬±¡�¹�ª�¨¡Vû � «©ì § ¡ � ë�ê±»

`��~îr¡´ì § ê�´`¬?« é�«ºê�´DìШ¡þ¯L뱫�² �?³ ¡Q´ué�¡´ì�«\¿!¹ ³ «�¯Lë(¡Q´ué ³·�¸§ ê�´�¬?« é�«ºê�´�åED�tK Ì ��Ö[��ú Ö /ô �P¡�é ³ ¡6û�ê?´ § é�¡�뱪 ö Ì ö Ö ò�ô {q|_}w÷ Ö ò�ô/ô /à «�´�¬)ë�« éB¹ � ªÊK Ì ¡�ì´éXë�´¯Lë � ì+«\®�«\´&²T¡Qª´ì°¡ µ� ¬?ªnê�« é�¡d¬)ëëû�ê�´ § 颡L뱪 ö ô ö Ö òùô/ô /à ÷ Öøòùô�{q|_}­«\´�¬)ë�« éq¹ � ªdK ô �¡�é § ¡Lé�é�¡Ê¬~¡�ª+´&«?µ¡�ª:¡ § ê?´�¬?« é�«ºê�´Ð¡�ì´é ¨¡°¯Lë�«\² �?³ ¡�´u颡 � ë�ê<¹�ª�¨¡ § ¨¡°¬±¡Q´ué�¡´ìXì+« ³ ¡ ³ ê §��?³ «©ì � é�¡�ë�ªBû�ê�´�¬ � ¿<¡Q´ué �?³Ö ¡�ì´é�û�ê�ª´é�¡Q¿<¡�´ué¿ì � é�ë�ª�¨¡®��OL� � Þ �{f ���

Oñ� á «M¹'ê¶ë�ª®éÄê)ë­éaê �Vã ¡�é$|ñ¬~¡ à ⠳·�ħ�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡­Kn��|G�k¡´ì´é�â�´¤ê�´?ì°¡�ë ³ ¡Q¿<¡Q´'é � ì�¹�ÀB¨¡Qª+«�¯Lë&¡+â!¿ � «©ì¿/�¡Q¿l¡ § ê?´uéVª �~§ é�« ³ ¡�â �?³ ê?ªnì ³ ¡�ì § ê�´`¬?« é�«ºê�´Dì ¨¡þ¯L뱫�² �?³ ¡Q´ué�¡´ìÀ��C �U§z��CFEu�®ìñê�´ué � ë­ìnì+«Ð¨¡þ¯L뱫�² �?³ ¡Q´ué�¡´ìܵ�ü³·�§ ê�´`¬?« é�«ºê�´�åC{C þ �r¹'ê¶ë�ªKé¡ê¶ë>颡$¹(¡�é�« é�¡ §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡ § ê�´'éVª �~§ é�« ³ ¡2�6â ³ ¡I¹�ª�¨¡�û � « ì § ¡ � ë6KùÌ=���¨�6¡´ì�é � ìŹ�ÀB¨¡QªQ«�¯Lë(¡°»

H'� á «`¹'ê¶ë�ª�é¡ê¶ë­éÁê ��ã ¡�é�|ü¬~¡ à ³·�ק:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡IKn��|>� � ¬?¿l¡�ér¿��¡Q¿<¡Kë�´Àê �Vã ¡�é ø ´ �?³MÚ � â �?³ ê�ªnì ³ ¡´ì§ ê�´`¬?« é�«ºê�´DìШ¡þ¯L뱫�² �?³ ¡Q´ué�¡´ì°��C©��§��ÙC{Eu�¦ì�ê�´ué � ë­ìnì+«k¨¡°¯Lë�«\² �?³ ¡Q´'颡´ì�µ�t³·�¸§ ê?´�¬?« é�«ºê�´ åC{C þ þ ��¹'ê¶ë�ª¥é¡ê¶ë>颡D¹(¡�é�« é�¡ §:� éZ¨¡:©�ê?ª+«�¡O� � ¬?¿<¡�é¬é � ´ué ë±´ ê �Vã ¡�é ø ´ �?³ â ³ ¡�¹�ª�¨¡�û � «©ì § ¡ � ë¸K Ì ���¨�¡´ì´é � ì�¹�ÀB¨¡Qª+«�¯Lë&¡¤�¡�é�ì+« ³ $ ê�´�´¤ê¶é�¡ ¿ ö K ô K Ì S ÷ f ���+�³ ¡ë¿®ê�ª�¹�À±«©ì+¿<¡d¬±¡�û�ê�´ § 颡L뱪´ì­¬�¨¡ ø ´(«�¹ � ª¿ P ö K ô K Ì ���¨� S ÷ � ) ��|() î¥ö Kn�V|G�¾÷ �¨� Í S ÷ î � Ú � �O) � ûxÏ�Ñ �\{q|_}B�`)�| û�Ï�Ñ � à � )

³ ¡´ìP¬~¡�ë�ê § ê�´`¬?« é�«ºê�´Dì ì´ë�«\² � ´u颡�ìjì�ê�´ué%¨¡°¯�뱫\² �?³ ¡Q´ué�¡´ì � ë�êë¹�ª�¨¡ § ¨¡°¬±¡Q´ué�¡´ì�å¿p��¹'ê¶ë�ª;é¡ê¶ë>颡�¹�¡�éV«Ù颡 §:� éZ¨¡:©�ê?ª+«�¡z� ³ ¡½û�ê�´ § é�¡�ë�ªµ¿ P ö K ô K Ì �V���¾÷ �Ρ´ì�éIë±´�¡Ä¨¡°¯Lë�«\² �?³ ¡�´ § ¡û � « � ³ ¡�� ¿�þ �I¹'ê¶ë�ª¨éÄê¶ë>é�¡I¹(¡�é�« é�¡ §:� éZ¨¡:©�ê?ª+«�¡$� ³ ¡�ûñê�´ § é�¡�ë�ª�¿ P ö K ô K Ì �V���¿÷ �ï¡´ì´é � ì�¹�À!¨¡Qª+«�¯�ë&¡°»Þ �

Page 51: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã åjN�O | �=CP@BC ^ ADNDJjO &)^>~J��=� ( CPJ ^ JL@ ^ � & C{`uv{J à �a� %'&)( J�MDJL_ % vPJ¦ADNDJ HDJL@;O &)^G~J��=� ( C{J�@^ J�@ ^ HDJv��¸J�MGJ�_ % v{J � � * �s�=A2v & O &)^G~J��=� ( C{JwHDJ�@y@BCP_ % v{J�MDJL@ 0 �ÙO�� � � �Pf ¾ �����±å N2ND� ^ J�Ë v & @��=AD@�§O &)^>~JL�=� ( CPJ % vPJ�C{NDJKHDJ�{q|_}±HD�=N ^ v¬��J�ND@BJ�_c`uv{JKHDJ�@Á�e`G��J ^ @;J�@ ^ v &X(>~J�ADNDCP�=N�HDJ�v¬��J�ND@BJ�_c`uv{JKHDJ�@ÁCP_ & �=JL@%'&)( KsHDJ�@;�e`G��J ^ @;HDJ à �DJ ^ HDJKv¬�¸JLND@BJ�_c`uvPJjHDJ�@ÁCP_ & �=J�@ %'&)( K ô�ç HDJ�@;�e`D��J ^ @�HDJ à �)�uJ ^ �=N�H ~J�@�CP�=NDJ%'&)( ] ö Ë � ÷ {�|~}±v��¸C{NDO�vPAD@BC{�=Nq��åjNwJ�N�H ~J�HDADC ^j& C{ND@BCIADN�HDC & � (}& _�_�J � � ó �{f=�DJ ^ �=N % J�A ^ &)%D% v{CP�­ADJ (vPJL@�OL�=ND@BCPH ~J (}&)^ CP�=ND@yHDJ � � ó � % ADC{@B�>ADJ.Ë J�@ ^ �©� ( _ ~J�J.HDJ.O &)^>~JL�=� ( CPJ�@ & @ %u|�~J ( CP�­ADJ�@�� ª J % v{AD@��±�=N( J�_ &)( �>ADJ;�>ADJÁ@BC % �=A (�^ �=A ^ �e`G��J ^ |aHDJ à �_Kn��|G�pJ�@ ^ ADNDJ�O &)^>~J��=� ( CPJÁO��=N ^B(n& O ^ C{vPJ¨� ( J�@ % � & HD_�J ^B^n& N ^ADN��e`G��J ^ ¹uN & v©��� & v{� ( @æË J�@ ^ �©� ( _ ~J�JyHDJ�O &)^>~J��=� ( C{J�@XO��=N ^�(n& O ^ C{vPJ�@�� ( J�@ % � & HD_¥J ^B^n& N ^ ADN��e`G��J ^¹uN & v©�´� % ADCP@B�­ADJ % �=A (j^ �=A ^ �e`G��J ^ |�HDJ à �¶�qv & O &)^>~J��=� ( CPJdK ô�ç �V|G� % �=@�@ xJ�HDJXADN"�e`G��J ^ ¹uN & v¬�qJ ^ JL@ ^J�N %'&)(�^ CPO�ADv{CPJ ( O��=N ^B(n& O ^ CPvPJ¥� ó �{f � ���

t J�@SC{_ % vPC{O &)^ CP�=ND@���«¡��é ��«\«¡��é ��«\«ÄþP�Êé ��«\«Äþ þ©�¾@B�=N ^a~J�EGCPHDJLN ^ JL@ � ó �{f � � ó �{f � ���U¢.�=N ^B( �=ND@Sv¬��CP_°§% vPC{O &)^ C{�=N���«\«¡�¬é ��«¡���e·�N°� &)( H & N ^ v{J�@¿ND� ^n&)^ CP�=ND@¾HDA°HDC & � (n& _�_¥J � � ó �{f=�eO��=_�_�Jz]KJ�@ ^¿% vPJ�C{NDJ�_�J�N ^¹uH xJ�v{Je� % �=A (;^ �=A ^ �e`D��J ^ ä¦HDJëËy�>�=N & ADN�CP@B�=_¥� (B%u| CP@B_¥J�É Ì ��äL�MìñÉ Ì ] Ì ]���äL� � K Ì �·]z��äL�B���u«±�=_�_�J]���ä��KJL@ ^ ADNDJ�O &)^>~J��=� ( CPJ & @ %u|S~J ( CP�­ADJe�pCPv�J�N0JL@ ^ HDJ�_ -J�_�Je�ùJ�N EUJ (B^ A HDJ�v�� | ³ % � ^}|IxJ�@BJ���«\«¡��� % �=A (É Ì �Vä��zìñK Ì �ò]���ä��B�´� åjNcJ�NcH ~JLHDADC ^ �­ADJ*ÉaJ�@ ^ ADN¨_�� (B%u| CP@�_�J & @ %u|S~J ( CP�­ADJSHDJ�{�|~}s� ¾ � * ���ñJ ^�%'&)( @BADC ^ J)��>ADJ6K�JL@ ^ ADNZ�©�=NDO ^ J�A (c& @ %u|S~J ( CP�­ADJw��OL� � � � ó ���q·�NEUJ (B^ AZHDJXv &y( J�_ &)( �>ADJ %D(G~J�O ~J�HDJLN ^ J)��vPJX_ -J�_¥J&)( �=AD_�JLN ^�%D( �=AGEUJ��­ADJ°@BC % �=A (K^ �=A ^ �e`D��J ^ |.HDJ à �qKn��|>�jJ�@ ^ ADNDJ�O &)^>~J��=� ( CPJXO��=N ^B(n& O ^ CPvPJ�� ( J�@ % �& HD_�J ^�^n& N ^ ADN��e`G��J ^ ¹uN & v©��� & v{� ( @;v & OL�=NDHDC ^ C{�=NÀ��«\« þ ��� ( JL@ % �Å�ù«�« þ þ �D�±CP_ % v{CP�­ADJ�v & OL�=NDHDC ^ C{�=N²��«¡���

¢.�=N ^B( �=ND@�v��¸C{_ % vPC{O &)^ CP�=N�ù«��ié ��«\«\«��´� ] A %D% �=@B�=ND@�HD�=NDOK�­ADJKv{JK�©�=NDO ^ J�A ( K¿@B�=C ^Á& @ %u|�~J ( CP�­ADJe�·�N�EUJ (B^ A�HDJ � � ó � % �=A (Á^ �=A ^ JD� xJLO | J úÿö �$÷ ��þIHDJD{q|_}´�'�=N & ADN�HDC & � (n& _�_�J OL�=_�_aA ^n&)^ CP�� � � f �

K ô K Ì ���¨� �ênë Y W U Y P [\[F \ F U Ytï [ K Ù ] Ì �����

Frð W U Ytï [K ô�ç K Ìô�ç ���¨�� êQë ç Y W U Y P [�[ �v \ ç Y P [

F \ ç F U\ ç Ytï [� ïK ô K Ì ��� þ � �ênë Y W U Y P Ø [\[ K Ù ] Ì �V� þ � K ô�ç K Ìô�ç ��� þ �� ênë ç Y W U Y P Ø [\[ �v \ ç Y P Ø [ � þ )

HD�=N ^ vPJ�@æ� xJ�O | J�@ | � ( CòÂ��=N ^n& v{J�@�@B�=N ^ HDJ�@ ~J��­ADC{E & vPJ�NDO�JL@�� & C{`uv{J�@��±å N7J�N1H ~J�HDADC ^ �>ADJ ú JL@ ^ ADNDJ~J��­ADC{E & vPJ�NDO�J±� & CF`uvPJS@�CGJ ^ @BJLADvPJ�_�JLN ^ @BC±K ô K Ì � ú �½v¬�¸JL@ ^ � & A ^B( J�_�JLN ^ HDC ^ @BC�K Ì � ú �ùJ�@ ^ ADNDJ ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�J� & C{`uv{J�HDJ %D(>~J�� & CP@BOLJ & A>Mq�U�¡v ( JL@ ^ J x&�%D( �=AGEUJ ( �­ADJ à JL@ ^ ADNDJ�O &)^G~J��=� ( C{J & @ %u|�~J ( CP�>ADJ)�>J ^ O�J�v &K(>~J�@BADv ^ JHDJ¨v��¸C{@B�=_�� (B%u| C{@B_�J à ìgK ô K Ì � Ú ���

t �¸C{_ % vPC{O &)^ CP�=N,��«\«\«¡� é ��«\²>��J�@ ^0~JLE>CPHDJ�N ^ Je�¾¢.�=N ^�( �=ND@�v¬��CP_ % v{CPO &)^ CP�=N2��«\²>� é ��«\«��´� ] �=C ^ �ADNDJ�O &)^>~J��=� ( C{J & @ %u|�~J ( C{�>ADJe� � v{� ( @avPJ®_�� (�%u| CP@B_�JÊ� ÷ Ú HDJÊ{�|~}KJ�@ ^ ADNDJ ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�Jy� & C{`uvPJ)�J ^�%'&)( ��«\²>���IK Ìô �V���Z÷ K Ìô � Ú ��ì Ú /ô J�@ ^ ADNDJ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�JZ� & CF`uvPJZHDJ %D(>~J�� & CP@BOLJ & A>Mq�j«±�=_�_�Jà J�@ ^w& @ %u|S~J ( C{�>ADJe� Ú /ô JL@ ^ ADN %D(>~J�� & C{@BO�J & A & @ %u|�~J ( C{�>ADJe�ÁHD�=NDOüK Ìô ���¨� & AD@B@BC�� «±J�O�C & O |qxJLEUJÀv &H ~J�_��=ND@ ^B(n&)^ C{�=N�HDJ�@ & @B@BJ (B^ CP�=ND@¨� � �±J ^ � § ���

ª�~J�_��=N ^B( �=ND@��>ADJ�v{J�@"OL�=NDHDC ^ C{�=ND@ ~JL�>ADC{E & vPJLN ^ JL@7��«¡��§���«\²­�.C{_ % vPC{�>ADJ�N ^ v & O��=NDHDC ^ CP�=N �ù²>���] A %D% �=@��=ND@�HD�=NDO¥O�JL@�O��=NDHDC ^ CP�=ND@¨@ &)^ CP@B� & C ^ J�@�� t & O��=NDHDC ^ CP�=N1��«\²>�¦CP_ % vPCP�­ADJa�>ADJtK�Ì=��Ö[�ëú Ö /ô �] Cuv¬���=N°ND� ^ J õö {q|_}¿÷ ß¾àeá � Ö ò�ô {q|_}pvPJ9�©�=NDO ^ J�A ( HDJÁvP�>O & vPCP@ &)^ CP�=Nq�ev{J9HDC & � (n& _�_¥J±O��=_�_aA ^n&)^ C{�� � � �{f=�DHD�=N ^ vPJL@2� xJ�O | J�@ | � ( CòÂ��=N ^n& vPJL@�@B�=N ^ HDJL@ ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�J�@�� & CF`uvPJ�@L�'_¥�=N ^B( JK�­ADJ

� Í S ÷ õ �rN ô�ç �V���B� õ � ` ì ç �ò] Ì �V���B�B� ò�ô õ � ` ì �ò] Ì �������B�H ~JL¹uNDC ^ ADN�C{@B�=_�� (B%u| C{@B_�JjHDA��©�=NDO ^ JLA ( K ô K Ì J ^ HDA��©�=NDO ^ J�A ( CPHDJLN ^ C{�>ADJ°f$ñ^òAón�6ô ~JLO�C %D( �­�>ADJ�_¥J�N ^ �% �=A ( _¥�=N ^B( J ( �>ADJc@BC�vPJcvP�­O & vPC{@ &)^ J�A ( �©�=NDH & _�J�N ^n& v�Ö J�@ ^ �©� (B^ J�_¥J�N ^ @ &)^ A (>~Je�qv & O��=NDHDC ^ CP�=N0��²­�

Þ *

Page 52: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

CP_ % vPCP�­ADJcv & O��=NDHDC ^ CP�=N?��«\²>���zCPvp@BA ¯°^ HDJX_��=N ^B( J ( �­ADJ°v & O��=NDHDC ^ CP�=N?��²­�¦CP_ % v{CP�>ADJ & v{� ( @j�>ADJ ÃJ�@ ^�& @ %u|S~J ( CP�­ADJe�Iå ( � à ì�K ô K Ì � Ú �´�zJ ^¦%'&)(j| ³ % � ^}|qxJ�@BJ)� õ �VK ô K Ì � Ú �B� � K ô K Ì � õ � Ú �B�;J�@ ^ CP@B�=_¥� (B%u| Jx&"õ � Ú ���s�>ADC¦JL@ ^ ADN2�e`G��J ^ ¹uN & v¦HDJ ßpàeá � Þ � � ���SåjN J�N H ~J�HDADC ^ �­ADJ õ � à �°JL@ ^�& AD@B@BC ADN �e`G��J ^¹uN & vpHDJ ß¾àeá �qJ ^ �­ADJav¬�¸C{_ & �=J %'&)( õ HDA_�� (B%u| C{@B_�JcO & ND�=NDC{�>ADJ à ÷ Ú J�@ ^ ADN"C{@B�=_�� (B%u| C{@B_�Je�t � | ³ % � ^B|IxJ�@BJ��­ADJ�v{JyvP�>O & vPCP@ &)^ J�A ( �©�=NDH & _�J�N ^n& vIÖ J�@ ^ �©� (B^ JL_�J�N ^ @ &)^ A (G~J�C{_ % vPC{�>ADJ & v{� ( @°�­ADJà ÷ Ú J�@ ^ ADNDJ ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�J¨� & CF`uvPJe�uO�JK�>ADC & O |IxJLEUJ�v & H ~J�_¥�=ND@ ^B(n&)^ C{�=N�HDJKv¬� & @�@BJ (B^ C{�=NÀ� � ���

�¡v ( J�@ ^ J x&¨%D( �=AGEUJ ( �>ADJ)�>@B�=AD@±v{J�@ | ³ % � ^B|IxJ�@BJ�@±HDJa�:¬D�´�>vPJL@SO��=NDHDC ^ CP�=ND@j��«\« þ þ©���z�d¿p�¾J ^ �d¿�þ �s@B�=N ^~J��­ADC{E & vPJ�N ^ J�@K� % ADC{@B�>ADJjv¬� ~J��>ADCFE & v{J�NDO�Je�>@B�=AD@9O�J�@ | ³ % � ^}|qxJL@BJ�@��DHDJ°��«¡��J ^ ��«\« þ þ©� & H ~J¡� x&À~J ^>~J ~J ^n& `uv{CPJñ���t J�@ CP_ % v{CPO &)^ CP�=ND@c�g¿ þ ��é �d¿Å��é ��«\« þ�þ �Á@B�=N ^w~JLEGC{HDJ�N ^ J�@�� t �¸C{_ % vPC{O &)^ CP�=NZ��«\« þ�þ �ßé �d¿ þ � (>~J�@BADv ^ JcHDJv¬���e`u@BJ ( E &)^ C{�=NX�­ADJ % �=A (p^ �=A ^ J % J ^ C ^ J±O &)^>~J��=� ( C{JI�°�=J ^p^ �=A ^ �e`D��J ^*� HDJ$�X�e�=N & ADNXCP@B�=_¥� (B%u| CP@B_¥JO & ND�=NDC{�>ADJ®��K ô K Ì �������Õå � ìñK ô K Ì ����å � ����«9J�OLC & O |qxJLEUJKv & H ~JL_��=ND@ ^B(n&)^ CP�=N�HDJ¨v &a%D( � % �=@�C ^ C{�=Nq�% Ö'× Ö���� Ð Ø ×¶Ô ïIÎJ'zÎ á ê�«�¡Q´'é à ë�´`¡P¹�¡�éV«Ù颡 §�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡�âd¡�é2K ö à ÷ {q|~}�ë�´�û�ê�´ § 颡L뱪 � ì�¹�À!¨¡�ª+«�¯Lë(¡é�¡ ³ ¯�ë&¡t¹'ê¶ë�ª�éÄê)ë­é�ê �Vã ¡�é�|�¬~¡ à ⠳·�Ч�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡tKn��|>� � ¬?¿<¡�é¬é¢¡.ë�´ÿê �Vã ¡�é ø ´ �?³ » á «;í ¡´ì´écë�´`¡ì�ê¶ë­ì+® §�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡O¹ ³ ¡Q«\´`¡k¬~¡d{q|~}�颡 ³H³ ¡�¯Lë&¡ ³ ¡Oû�ê�´ § é�¡�ë�ªdK ô K Ì ö {�|~}X÷ {q|~}yì°¡�û �~§ é¡ê�ªQ«©ì°¡ë¹ � ªcí â�?³ ê�ª´ìj�Ùí�):Ö � ïDðF��íó���­¡´ì´é¾ë�´x¿�ê°¬I¨¡ ³ «©ì � é�¡�ë�ª:âr¡�é ³ $ «�´ §Q³ ë­ì+«ºê�´%¬~¡±í ¬ � ´uìM{q|~} ë�´x¿�ê�ªÅ¹�À~«©ìQ¿<¡ë¬~¡¿�ê°¬I¨¡ ³ «©ì � é�¡�ë�ªnì­¬±¡���íÜ):Ö � ïuðF�Ùíó�B�D²�¡Qªnì ³ ¡­¿�ê°¬I¨¡ ³ «©ì � é�¡�ë�ªMû�ê?´�¬ � ¿<¡�´ué �T³ �\{q|_}+):Ö[�´�Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã «±�=_�_�Je�GJLN�EUJ (B^ A�HDJ¨v &X%D( � % �=@BC ^ C{�=N � � � �½��¬G���uCPvIJ�MDC{@ ^ J�ADN�_�� (B%u| C{@B_�JjHDJ�©�=NDO ^ JLA ( @.¿ ö K ô K�ÌI÷ f �?�+� ^ JLv=�>ADJ % �=A (I^ �=A ^ J % J ^ C ^ J¾O &)^>~J��=� ( CPJM�X��vPJ¾�©�=NDO ^ J�A ( ¿ P ö K ô KùÌe�����¾÷ �@B�=C ^ ADNDJ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J¨� & CF`uvPJe�uv{JKO�� ( �=vPv & C ( J (>~J�@BADv ^ J & AD@�@BC ^?-� ^ HDA�v{J�_�_�J @BADCFE & N ^ �Ï Ô>ÛÀÛZÔ ïqÎ�ïqÎ á ê?«�¡Q´ué±� ë�´`¡ §:� éZ¨¡Å©­ê�ª+«�¡+â î ë�´`¡q¹ � ª´é�«�¡&û � « � ³ ¡Q¿<¡Q´'é'ì � é�ë�ª�¨¡�¡I¬~¡�ïuð �V���+â�� ö � ÷ �ë�´�û�ê�´ § 颡L뱪�â2¿ ö � ÷ f�õ ë�´ç¿®ê�ª�¹�À±«©ì+¿<¡x¬±¡Oû�ê�´ § 颡L뱪´ì:âKé�¡ ³ ¯Lë(¡P¹'ê)뱪�éÄê)ë­é°ê �Vã ¡�é2|ܬ~¡t�üâ¿ � û2î âsí ë�´`¡�ì�ê¶ë­ì+® §:� éZ¨¡:©­ê�ª+«�¡�¹ ³ ¡Q«\´`¡¸¬~¡ë�üâO¡LérK ö í ÷ � ³ ¡!û�ê�´ § 颡�ë�ª×¬�$ «\´ §Q³ ë�ìQ«ºê�´�»�Ø�´ì´ëþ¹_¹'ê ìþ¡d¯Lë(¡ ³ ¡�ûñê�´ § é�¡�ë�ª2�?ì°¡Mû �~§ é¡ê�ª+«©ìþ¡�¹ � ª;íîâ�¬±¡�ì�ê�ª�颡d¯�ëm$ ê?´ � « é�ë�´é�ª+« � ´8© ³ ¡ § ê�¿6¿aë­é � é�« û

� ��� � � ���ù�

í� � � ���K

ë ³ ê�ª´ì ³ ¡´ì�û�ê�´ § 颡�ë�ªnì�ù�¡�é½K�«\´�¬)ë�«©ì°¡�´ué�¬±¡´ìL¨¡°¯�뱫\² �?³ ¡Q´ § ¡�ìë¬~¡ §:� éZ¨¡:©�ê?ª+«�¡´ìù ö�î òùô � S ÷ � î � ïDðF��í��B� òùô í ¡�é öpö � î � ïDðF��í��B� òùô í S ÷ î ò�ô �

¯Lë � ì+«\®�«\´&²T¡Qª´ì°¡´ì ³ $ ë�´`¡P¬±¡ ³ $ � ë>é�ª:¡°»Ü 468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã �p�=A (Á^ �=A ^ J�� xJ�O | J­É ö |a÷ |�þqHDJë�²�u�=N & ADN�O &)(B(>~JKO��=_�_aA ^n&)^ C{�

ùq��|G� � �p��|>� �¿ �ùq�VÉz� � �p��ɤ�

| ÉùI��| þ � � �p��| þ � �¿ � Ø | þ

] CrÉ û�î ��O��=_�_¥J�¿ � )f¿ � Ø û�î �Å�=N &�%'&)( @ &)^ A (n&)^ CP�=N ùI��ɤ� û�î � ïDðF��í����½J ^ ùZC{NDHDADC ^ ADN�©�=NDO ^ JLA ( ù öÁîøòùô � S ÷ � î � ïDðâ��í��B� òùô íü� ª J._ -JL_�Je�¿O��=_�_�J¸Kn� î � ïuðâ��íó�B�xú î �Sv{Jó d

Page 53: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

�©�=NDO ^ JLA ( K�CPNDHDADC ^ ADN��©�=NDO ^ J�A ( öpö � î � ïuðâ��íó�B�nò�ôBí S ÷ î òùô:�²� t J _�� (B%u| CP@�_�J�HDJ¦�©�=NDO ^ J�A ( @¿óH ~JL¹uNDC ^ ADN CP@B�=_�� (�%u| CP@B_�J�HDJ��©�=NDO ^ J�A ( @ ¿ ö ö ù�÷ fnöl÷¼ø õ �±J ^ v &²( J�@ ^B( C{O ^ C{�=N HDJÝ¿ x& íCPNDHDADC ^ ADNw_�� (B%u| C{@B_�JKHDJ��©�=NDO ^ J�A ( @�ù ö ù8K¾÷ f m ���­ADC�H ~JL¹uNDC ^ ADN.CP@B�=_¥� (B%u| CP@B_¥JKHDJ��©�=NDO ^ J�A ( @ù ö ù ö ÷ f Y ö²ú¢ûnü Y m [�[ ÷¼ø m �% Ö'× Ö���� Ð Ø ×¶Ô ïqÎ�ôqÎ á ê�«�¡�´ué à ë�´`¡ §:� éZ¨¡:©­ê�ª+«�¡Xé�¡´ì´é,û � « � ³ ¡�â!¡�é¿í ³·� ì�ê¶ë­ì+® §�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡2¹ ³ ¡Q«\´`¡l¬±¡!{�|~}¬�ê�´'é ³ ¡�ìê ��ã ¡�é�ìyì�ê�´ué ³ ¡�ìd¹(¡�é�« é�¡´ì §:� éZ¨¡:©­ê�ª+«�¡�ì6� ³ ê §:�?³ ¡�¿<¡Q´uéd«©ìñê�¿�ê�ªÅ¹�ÀZ¡´ì µ� à â � ë­é�ª:¡Q¿l¡Q´uéæ¬?« é�âé�¡ ³H³ ¡´ìD¯Lë&¡�¹'ê¶ë�ª¦éÄê)ë­é�ê ��ã ¡�é � ¬~¡*�6â « ³ ¡�ê�« ì´é¢¡¦ë±´ê �Vã ¡�é`|.¬~¡ à é�¡ ³ ¯Lë&¡ ³ ¡´ì §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡´ìM��å � ¡Lé à åT|ì�ê�«Å¡Q´uéB«©ì�ê�¿�ê?ª�¹�ÀZ¡�ì¼» ë ³ ê�ª´ì���íÜ):Ö � ïuð ��íó���ס´ì�éÁë�´�¿®ê°¬�¨¡ ³ «©ì � 颡L뱪�â�¡�é ³ $ «\´ §�³ ë�ì+« ê�´¶¬~¡¨í ¬ � ´Dì{q|_}�ë±´.¿�ê�ª�¹�À~«©ì+¿<¡P¬~¡ë¿�êþ¬�¨¡ ³ «©ì � 颡�ë�ªnì°»Ü 468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã åjN &)%D% v{CP�­ADJ¨vPJKO�� ( �=v{v & C ( J � � & Aw�©�=NDO ^ J�A (�& @ %u|S~J ( CP�­ADJ­K � K ô ö à ÷ {q|_}´�H ~JL¹uNDC %'&)( | Í÷ à åT|Z� � � ¾ ���zJ�N ( JL_ &)( �>A & N ^ �>ADJ % �=A (j^ �=A ^j%D(>~JL� & CP@BO�J & A ý HDJç/à �qv & O &)^>~J��=� ( C{Jà å ý J�@ ^ vP�­O & vPJ�_¥J�N ^ C{@B�=_�� (B%u| J x& à �% Ö'× Ö���� Ð Ø ×¶Ô ïIÎÙÍ�õIÎ á ê�«�¡Q´'é à ë�´`¡!¹�ìþ¡�ëZ¬­ê�® §:� éZ¨¡:©�ê?ª+«�¡�颡´ì�é\â!¡�é K ö à ÷ {�|~}aë±´<û�ê?´ § é�¡�뱪cé�¡ ³ ¯Lë(¡¹'ê¶ë�ªjé¡ê¶ë>é±ê �Vã ¡�éq|�¬~¡ à ⠳·�ʧ:� éZ¨¡:©�ê?ª+«�¡rKn�V|G� ìñê�« é � ìŹ�ÀB¨¡QªQ«�¯Lë(¡°» ë ³ ê�ªnì ³ ¡zû�ê?´ § é�¡�뱪rKO¡´ì´é � ì�¹�À!¨¡�ª+«�¯Lë(¡ì+«t¡�éXì°¡�ë ³ ¡Q¿<¡Q´'éXì+«!K Ì ö {q|_}.÷ /à ¡´ì´é°ë±´Ü¿�ê�ª�¹�À~«©ì+¿<¡Ä¬±¡%¿�ê°¬I¨¡ ³ « ì � é�¡�뱪´ì:â<¬)ëñ¿�ê°¬I¨¡ ³ «©ì � é�¡�ë�ªû�ê�´`¬ � ¿<¡Q´'é �?³ �H{q|~}�):Öÿ�­²T¡Qª´ì ³ ¡ë¿�êþ¬�¨¡ ³ «©ì � 颡�ë�ªK� /à ):Ö /ô ��â � ë­é�ª:¡�¿<¡Q´ué2¬?«Ùé\â¾ì+«

& ��Ö � K Ì ò�ô ��Ö /ô ���`�� ³ ¡�û�ê�´ § é�¡�ë�ª$K Ì «\´�¬)ë�« é�ë±´`¡ý¨¡°¯Lë�«\² �?³ ¡�´ § ¡d¬~¡ §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡´ì å

ö Ì ö Ö ò�ô {�|~} S ÷�Ö ò�ô/ô /à Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã ] C½vPJK�©�=NDO ^ J�A ( KsJ�@ ^¦& @ %u|S~J ( C{�>ADJe��J�N�EUJ (B^ A�HDJ�v &a%D( � % �=@�C ^ C{�=N � � � �ù��«\«\«¡���D�=N& Ö � K Ì ò�ô �VÖ /ô ���DJ ^ J�N�EUJ (B^ A�HDJ � � � ��²­���Gv{JK�©�=NDO ^ J�A ( ö Ì �DCPNDHDADC ^;%'&)( K Ì �DJ�@ ^ ADN��>A & @�CF§ C{N�EUJ ( @BJx& H ( �=C ^ J�HDA��©�=NDO ^ J�A ( ö ô �¾CPNDHDADC ^°%'&)( K ô � t & O &)^>~J��=� ( C{J à ~J ^n& N ^ ADNDJ % @BJ�ADHD�)§ O &)^G~J��=� ( C{J ^ J�@ ^ �vPJ��©�=NDO ^ J�A ( ö ô J�@ ^ ADNDJ ~J��­ADC{E & vPJ�NDOLJ�HDJ�O &)^>~J��=� ( CPJ)�sJ ^ CPv9J�N1J�@ ^ HD�=NDO�HDJ�_ -J�_�J % �=A ( ö Ì � t &(>~J�OLC %D( �­�>ADJ (G~J�@BADv ^ J°HDA�� & C ^ �>ADJXv & O��=NDHDC ^ CP�=N.Ö � K Ì ò�ô ��Ö /ô �¦CP_ % v{CP�­ADJcv & O��=NDHDC ^ C{�=N1��«\«\«¡�ÁHDJv &a%D( � % �=@�C ^ C{�=N � � � � % ADC{@B�>ADJKADNDJ % @BJLADHD�)§ O &)^>~JL�=� ( CPJ ^ J�@ ^ J�@ ^ � %'&)( H ~JL¹uNDC ^ C{�=Nq� & @ %u|S~J ( CP�­ADJe�«±JKO�� ( �=vPv & C ( JS��AD@ ^ C{¹uJKv &a^ J ( _�C{ND�=vP�=�=C{J @BADC{E & N ^ Je� ÓÔ~Èz�ÅØ Ò ØÙÖ�� ïqÎÙÍ�Í'Î å N &)%D% J�v{vPJzÖ�§�¹�ì°¡�ë&¬�ê�® û�ê�´ § é�¡�ë�ªsé�¡´ì´ép� ( J�@ % �XÖ�§Çûñê�´ § é�¡�ë�ªsé�¡´ì´é�û � « � ³ ¡������=A % vPAD@@BC{_ % vPJ�_¥J�N ^ ¹zì°¡�ë&¬�ê�®vû�ê?´ § é�¡�뱪±é�¡´ì´éS� ( JL@ % �¼û�ê�´ § 颡L뱪±é�¡´ì´é~û � « � ³ ¡ñ���¶ADNX�©�=NDO ^ J�A (s& @ %u|�~J ( C{�>ADJ9HD�=N ^ v &O &)^>~JL�=� ( CPJj@B�=A ( OLJ¨J�@ ^ ADNDJ % @�J�ADHD�)§ O &)^>~J��=� ( CPJ ^ J�@ ^ � ( J�@ % �uADNDJ¨O &)^>~J��=� ( CPJ ^ JL@ ^ � & CF`uvPJñ�´�'åjN &)%D% J�vPv{JÖ�§Hû�ê�´ § 颡�ë�ªcé�¡´ì´é ³ ê §:�?³ �z�=A % vPAD@�@BCP_ % v{J�_�J�N ^ û�ê�´ § é�¡�ë�ª�颡´ì�é ³ ê §:�?³ �zADNw�©�=NDO ^ J�A ( K ö à ÷ {�|~} ^ JLv�>ADJ % �=A (p^ �=A ^ �e`G��J ^ |KHDJ à �)vPJ��©�=NDO ^ J�A ( à åT|a÷ {q|~}´�¶CPNDHDADC ^p%'&)( K��)@B�=C ^ ADN°�©�=NDO ^ J�A (p^ J�@ ^ � & C{`uvPJ)�& A ^B( JL_�J�N ^ HDC ^ �½@�C à J�@ ^ ADNDJ°O &)^>~J��=� ( CPJ ^ J�@ ^ vP�>O & vPJe�IJ ^K% �=A (¨^ �=A ^ �e`G��J ^ |.HDJ à � à åT|�÷ {�|~}ADN �©�=NDO ^ J�A (°& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)�¾åjN HDC ^ �­ADJ®vPJ®�©�=NDO ^ J�A ( K ö à ÷ {q|_}¨J�@ ^ ADN�Ö�§Hû�ê�´ § é�¡�ë�ª®é¢¡�ì´én�Å�=A% vPAD@�@BCP_ % v{J�_�J�N ^ ADNdû�ê�´ § é�¡�ë�ª¦é¢¡´ì�én�>@L�¸CPvuJ�@ ^¨x& v & �©�=C{@SADN®�©�=NDO ^ JLA (±^ J�@ ^ v{�>O & vuJ ^ ADN®�©�=NDO ^ J�A (±^ JL@ ^� & C{`uv{Je� & A ^B( J�_�J�N ^ HDC ^ �z@BC à JL@ ^ ADNDJcO &)^>~J��=� ( C{J ^ J�@ ^ J ^ vPJ�@ �©�=NDO ^ J�A ( @ à ÷ {�|~}ÁJ ^ à åT|®÷ {q|_}´�| û�Ï�Ñ � à �´� & @ %u|S~J ( C{�>ADJ�@��

ó f

Page 54: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

1 Ú ÓÔ­Ö�×��ÔGÛZÔ ïIÎÙÍ&�zÎ á ê�«�¡Q´'é à 뱴`¡r¹�¡�éV«Ù颡 §:� éZ¨¡:©�ê?ª+«�¡�â�K ö à ÷é{q|~} ë�´­û�ê�´ § 颡L뱪jé�¡ ³ ¯Lë(¡r¹'ê¶ë�ª éÄê)ë­éê �Vã ¡�é½|^¬~¡ à âqK}��|G�¨ì�ê�« é�ë�´`¡ §:� éZ¨¡:©�ê?ª+«�¡ � ì�¹�À!¨¡QªQ«�¯Lë(¡�â�¡�éK Ì ö {�|~} S ÷ /à ) � Í S ÷ ��| Í÷ ß¾àZm$���Q� �VKn��|>�Q)������³ ¡�ûñê�´ § é�¡�ë�ª § ê�ªQª:¡´ìŹ'ê�´�¬ � ´uéÅ»& � ¦ ¡´ì § ê?´�¬?« é�«ºê�´Dì ì�뱫\² � ´ué�¡´ìjì�ê�´'éx¨¡°¯�뱫\² �?³ ¡Q´ué�¡´ì�å

C � à ¡´ì�ésë�´`¡ §�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡K颡�ì´é ³ ê §:�?³ ¡ Y � [ ¡�é½K­¡´ì´éSë�´Pû�ê?´ § é�¡�뱪K颡�ì´é ³ ê §:�?³ �C{C©��¹'ê¶ë�ª¥é¡ê¶ë>颡O¹(¡�é�« é�¡ §:� éZ¨¡:©­ê�ª+«�¡ � ì�¹�À!¨¡�ª+«�¯Lë(¡ë�6â ³ ¡D¹�ª�¨¡�û � « ì § ¡ � ë¸K Ì ���¨�>¡´ì´é ³ ê §:�?³ ¡�¿<¡Q´ué� ì�¹�ÀB¨¡Qª+«�¯Lë&¡þ»M ¡�¹ ³ ë­ì:â¿ìQ« § ¡´ì § ê?´�¬?« é�«ºê�´Dì¦ì�ê?´ué¿ì � éV« ì\û � « é�¡´ì:â*¡�ésì+« à ¡´ì´ésë±´�¡ §:� éZ¨¡:©�ê?ª+«�¡jé�¡´ì´éßæ·¹'ê¶ë�ª § ¡ ³·� « ³ ì´ëAb?é¯Lë(¡ à ì�ê?« é � ì�¹�À!¨¡QªQ«�¯Lë(¡0èþâ �?³ ê?ªnì$K­¡�ì´ésë�´Pûñê�´ § é�¡�ë�ª�é�¡´ì´é¢»

`�� á «z¹'ê¶ë�ª®éÄê¶ë>é�ê ��ã ¡�é�|ñ¬~¡ à ⠳·�ħ�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡OKn��|>�k¡�ì´é\â�´¤ê�´?ì°¡Lë ³ ¡Q¿l¡Q´ué � ìŹ�ÀB¨¡QªQ«�¯Lë(¡�âB¿ � «©ì¿/�¡Q¿l¡ § ê�´ué�ª �±§ éV« ³ ¡�â �?³ ê�ª´ì ³ ¡´ì § ê�´`¬?« é�«ºê�´Dì ¨¡°¯�뱫\² �?³ ¡Q´ué�¡´ì0��C©�´�¨�ÙCPC©��ì�ê�´ué � ë­ìnì+«ñ¨¡°¯�뱫\² �?³ ¡Q´ué�¡´ì � ë�ê§ ê�´`¬?« é�«ºê�´DìШ¡þ¯L뱫�² �?³ ¡Q´ué�¡´ì ì´ë�«\² � ´u颡�ì�åC{CPþP�B¹'ê¶ë�ª°é¡ê¶ë>颡�¹�¡�éV«Ù颡 §:� éZ¨¡:©­ê�ª+«�¡ § ê�´ué�ª �~§ é�« ³ ¡D�6â ³ ¡�¹�ª�¨¡�û � « ì § ¡ � ë×K Ì ���¨�ס´ì´é ³ ê §:�?³ ¡�¿<¡Q´ué� ì�¹�ÀB¨¡Qª+«�¯Lë&¡¤�C{CPþ þ©��¹'ê¶ë�ª¥é¡ê¶ë>颡D¹(¡�é�« é�¡ §:� éZ¨¡:©�ê?ª+«�¡O� � ¬?¿<¡�é¬é � ´ué ë±´ ê �Vã ¡�é ø ´ �?³ â ³ ¡�¹�ª�¨¡�û � «©ì § ¡ � ë¸K Ì ���¨�¡´ì´é ³ ê §:�T³ ¡Q¿<¡Q´ué � ì�¹�À!¨¡QªQ«�¯Lë(¡��C{CPC©�*K Ì � 4 ô �­¡�ì´ésë�´<¹`ª�¨¡�û � «©ì § ¡ � ë ³ ê §:�T³ ¡Q¿<¡Q´ué � ì�¹�À!¨¡QªQ«�¯Lë(¡°»Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã ·�N²EUJ (B^ A²HDJyv¬� ~J��>ADCFE & v{J�NDO�JyHDJ�@aO��=NDHDC ^ CP�=ND@���«¡�KJ ^ ��«\«¡�¨HDJyv &�%D( � % �=@BC ^ CP�=N� � � �>vPJj�©�=NDO ^ J�A ( à åT|a÷�{�|~}´�Z| û�Ï�Ñ � à �´�>J�@ ^�& @ %u|�~J ( CP�>ADJ�@BCqJ ^ @BJLADvPJ�_�JLN ^ @BC % �=A (9^ �=A ^ J % J ^ C ^ J

O &)^>~JL�=� ( CPJ & @ %u|S~J ( C{�>ADJP�°�(K Ì ����� C à åT|®J�@ ^ ADN %D(>~J�� & CP@BOLJ & A & @ %u|S~J ( C{�>ADJe� � A ^B( J�_�JLN ^ HDC ^ �'@BC à JL@ ^ADNDJ¥O &)^G~J��=� ( C{J ^ JL@ ^ v{�>O & v{Je�`KÁJ�@ ^ ADNZ�©�=NDO ^ J�A (K^ J�@ ^ vP�­O & vp@BC¾J ^ @BJ�ADv{J�_�J�N ^ @�C % �=A (K^ �=A ^ J % J ^ C ^ JO &)^>~JL�=� ( CPJ & @ %u|�~J ( CP�>ADJ��°��K Ì ���¨�yJL@ ^ ADN %D(>~J�� & C{@BO�J & A�v{�>O & v{J�_�J�N ^�& @ %u|�~J ( CP�>ADJ���O�� � ¾ � � �´�S�p�=A (_��=N ^B( J ( v�� ~J��­ADC{E & vPJ�NDO�J�HDJ�@ÁO��=NDHDC ^ C{�=ND@��ù«��±J ^ ��«\«¡��HDA ^}|�~J�� (�xJL_�Je�DCPvI@BA ¯°^ HD�=NDOKHDJK_¥�=N ^B( J ( �­ADJv & O��=NDHDC ^ CP�=N"��«\«¡��CP_ % v{CP�>ADJ �­ADJ à J�@ ^ ADNDJ�O &)^>~J��=� ( CPJ ^ J�@ ^ vP�­O & vPJ)�G�p�=A ( O�J�v & �D�=N % J�A ^ @BA %D% �=@BJ (�>ADJjv{JKv{�>O & v{CP@ &)^ JLA ( �©�=NDH & _�J�N ^n& v�Ö Nq�¸JL@ ^Á%'& @ ^B( C{EGC & v¬�­O�JK�­ADCqCP_ % v{CP�­ADJ �>ADJ % �=A (;^ �=A ^ �e`G��J ^ |HDJ à �uv & O &)^>~JL�=� ( CPJDKn��|>�9J�@ ^ ND�=N�E>CPHDJ��ºb>� b ����Á � ^ �=ND@ Ú �T) Ú ô ö}Ú �� 4 ô v{J�@�_¥� (B%u| CP@B_¥J�@ÁH ~J�¹uNDCP@%'&)( d�J ^ f ( J�@ % J�O ^ CFEUJ�_�J�N ^ �på N ( J�_ &)( �>ADJ��­ADJ 0 ô � � 4 ô ) Ú ��) Ú ô �jJ�@ ^ ADN²@BJL�=_�J�N ^ @ ~J %'&)(n& N ^HDJë{q|_}¨��O�� � ó �{f ó ��� ª � & A ^B( J %'&)(�^ �zv{J��©�=NDO ^ J�A ( K Ì O��=_¥_XA ^ J & A>M�vPCP_¥C ^ J�@ %D( �)��J�O ^ CFEUJ�@���J ^ O��=_�_�J% �=A ( ^ �=A ^ �e`D��J ^ |�HDJ à �`Kn��|>��J�@ ^ ADNDJaO &)^>~J��=� ( CPJcND�=N.EGCPHDJ)�`K Ì O��=_�_aA ^ J & A>M.�e`G��J ^ @ CPNDC ^ C & A>Mq�å N�J�NwH ~J�HDADC ^ �>ADJOK Ì � 0 ô � � ��K Ì � 4 ô �+):K Ì � Ú �ñ�Q):K Ì � Ú ô �B�±J�@ ^ ADN�@BJ��=_¥J�N ^ @ ~J %'&)(n& N ^ HDJ /à �z«±�=_�_�Jv & OL�=NDHDC ^ C{�=N ��«\«���CP_ % v{CP�>ADJ°�>ADJ�v{J %D(>~J�� & C{@BO�J & A K Ì � 4 ô �KJ�@ ^ v{�>O & v{J�_�J�N ^c& @ %u|�~J ( CP�­ADJe�pCPv (>~J�@BADv ^ JHDA ^}|�~J�� (�xJ�_�J � � � �­ADJ à J�@ ^ ADNDJ�O &)^>~JL�=� ( CPJ ^ J�@ ^ vP�>O & vPJe�¾O�J��­ADCÁH ~JL_��=N ^�( J�v�� ~J��­ADC{E & vPJ�NDO�J�HDJ�@O��=NDHDC ^ CP�=ND@���«¡�±J ^ ��«\«¡���

] A %D% �=@B�=ND@w�>ADJ�O�J�@�HDJ�A>M�O��=NDHDC ^ CP�=ND@ ~JL�>ADC{E & vPJLN ^ JL@�@B�=N ^ @ &)^ C{@B� & C ^ J�@�� t & OL�=NDHDC ^ C{�=Nø��«\«¡�CP_ % vPCP�­ADJjJ�N %'&)(B^ C{O�ADvPC{J ( �­ADJ % �=A (Á^ �=A ^ J % J ^ C ^ J�O &)^>~J��=� ( C{J & @ %u|�~J ( CP�­ADJd�°�(K Ì �����¿÷ Ú /ô J�@ ^ ADNDJ~J��­ADC{E & vPJ�NDO�Jw� & CF`uvPJwHDJ %D(>~JL� & CP@BO�J & A>Mq� ] C à J�@ ^ ADNDJwO &)^>~J��=� ( C{J ^ J�@ ^ ��J�N %'&)(B^ C{O�ADvPC{J ( HD�=NDOwADNDJO &)^>~JL�=� ( CPJ & @ %u|�~J ( CP�­ADJe�GO�J�v & CP_ % v{CP�>ADJ��>ADJ vPJ %D(>~J�� & CP@BOLJ & A¸K Ì �V����J�@ ^;& @ %u|S~J ( CP�­ADJe�D·�N®EUJ (�^ AyHDJ�v &%D( � % �=@BC ^ C{�=N � � � ��vPJ¿�©�=NDO ^ J�A ( KzJ�@ ^ HD�=NDO & @ %u|S~J ( CP�­ADJe� J ^ OL�=_�_�JpCPvUJ�@ ^ H ~J¡� x& ADN��©�=NDO ^ J�A (ù^ J�@ ^ vP�­O & v¬��=N�JLN�H ~J�HDADC ^ �>Aq��CPvqJ�@ ^ ADN��©�=NDO ^ JLA (�^ J�@ ^ �uO�J¨�­ADC & O |qxJLEUJKv & H ~J�_��=ND@ ^B(}&)^ CP�=N�HDJ¨v�� & @B@BJ (B^ CP�=NZ� � ���� % v ~JL�=N & @B_�JjEU�=vP�=N ^n& C ( J

ó b

Page 55: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

�p�=A ( _��=N ^�( J ( v¬� & @�@BJ (B^ C{�=N7� � ���I�=N ( J�_ &)( �>ADJX�>ADJe�½@B�=AD@KvPJ�@ | ³ % � ^}|qxJ�@�J�@�HDJ.� � ���Iv¬� ~J��>ADCFE & §vPJLNDO�J¨HDJ���«\«���J ^ ��«\« þP� (>~JL@BADv ^ JKHDJKv &X%D( � % �=@BC ^ CP�=N � � � � § ��� &)%D% v{CP�­A ~J�J & A>M��©�=NDO ^ J�A ( @ à åT|a÷ {q|_}´�| ûéÏ�Ñ � à ��� t �¸CP_ % vPCPO &)^ CP�=N���«\« þ �¦é ��«\« þ�þ � (>~J�@BADv ^ J?HDJ?v & %D( � % �=@BC ^ CP�=N ó �{f � � J ^ v��¸C{_ % vPC{O &)^ CP�=N��«\« þ�þ ��é ��«\«\«��cJ�@ ^À~JLE>CPHDJ�N ^ Je�s�p�=A ( _��=N ^B( J ( v¬��CP_ % v{CPO &)^ C{�=N��ù«�«\«¡� é ��«\« þ ���¿�=N ( JL_ &)( �>ADJ��>ADJ�@�C�YJ�@ ^ ADNDJ�O &)^>~JL�=� ( CPJ�O��=N ^B(n& O ^ C{vPJe�¾J�v{vPJ�J�@ ^X%'&)( H ~J�¹uNDC ^ C{�=N 0 ô § O��=N ^B(n& O ^ CPv{Je�¾� xA 0 ô H ~J�@�CP�=NDJ�v{J@BJ��=_¥J�N ^ � 4 ô ) Ú �T) Ú ô ���'«±�=_�_�J¦v{J �©�=NDO ^ J�A ( K Ì O��=_¥_XA ^ J & A>M�vPC{_�C ^ JL@ %D( �)��J�O ^ CFEUJ�@��u�=N�J�N�H ~JLHDADC ^�>ADJav{J %D(>~J�� & CP@BOLJ & A�K Ì ���¨�¦J�@ ^ K Ì � 0 ô �ħºO��=N ^�(n& O ^ C{vPJe�¤� xA%K Ì � 0 ô � � �VK Ì � 4 ô �Q):K Ì � Ú ���Q):K Ì � Ú ô ���X� ó � ó ���«±�=_�_�J�J�NEUJ (B^ AHDJXv & O��=NDHDC ^ C{�=N��ù«�«\«¡����vPJ %D(>~J�� & C{@BO�J & AÄK Ì � 4 ô �¦J�@ ^ vP�­O & vPJL_�J�N ^�& @ %u|S~J ( C{�>ADJe�ICPvJ�N�JL@ ^ HDJK_ -J�_�J % �=A ( K Ì ���¨�K� ó � � ���u«±J�O�C & O |IxJLEUJ¨v & H ~J�_��=ND@ ^B(n&)^ C{�=N�HDA ^B|S~J�� (�xJ�_�J)�% Ö'× Ö���� Ð Ø ×¶Ô ïIÎÙÍ8ÆqÎ á ê�«�¡�´ué à 뱴�¡r¹(¡�é�« 颡 §�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡�â�K ö à ÷é{�|~}�ë�´dû�ê�´ § 颡�ë�ª é�¡ ³ ¯Lë(¡r¹'ê¶ë�ªjéÄê)ë­éê �Vã ¡�é½|^¬~¡ à âqK}��|G�¨ì�ê�« é�ë�´`¡ §:� éZ¨¡:©�ê?ª+«�¡ § ê�´ué�ª �~§ é�« ³ ¡�â�¡Lé

K{ý öI/à ÷é{�|~} ) K Ì ö {�|~}¿÷ /ó ¡ § ê¶ëþ¹ ³ ¡x¬±¡!ûñê�´ § é�¡�ë�ªnì � ¬ ã ê�«\´ué�ì § ê�ª+ª�¡´ì�¹'ê?´�¬ � ´ué µ� Kùâ�K ý ¨¡�é � ´ué ³ $ ë�´&«�¯Lë(¡Dû�ê?´ § é�¡�뱪O¹`ª}ê ³ ê�´8©~¡ � ´uéKk¡�é § ê�¿P¿aë>é � ´ué � ë[ê ³ «\¿P« é�¡´ìÊ«\´`¬)ë § éV«\²�¡´ì¼»�Ø�´1ì´ëþ¹_¹'ê¶ì°¡>¯Lë(¡ à � ¬?¿<¡�é¨ë�´�ê �Vã ¡Lé ø ´ �T³¬Ú ô â­¯Lë(¡Kn� Ú ô � � 4 � ��Ú â�ê �Vã ¡�é ø ´ �?³ ¬~¡${q|~}�â2¡Lé2¯Lëm$ « ³ ¡�ê_«©ì´é�¡�ë�´"ì°¡Å©?¿<¡�´ué ��� �-+()f����)f� ô �P¬~¡ /à âSé�¡ ³ ¯Lë&¡+ìñê�« é ³ ê §:�?³ ¡Q¿l¡Q´ué � ì�¹�À!¨¡Qª+«�¯�ë&¡�â$¡�ésë�´%¿®ê�ª�¹�À±«©ì+¿<¡6¬~¡�ì°¡Å©T¿<¡Q´ué�ì­¬~¡${�|~}

N ö K ý � � � � �VK ý �-+>�Q):K ý �d�����+):K ý �g� ô �B� S ÷ 0 ô � � 4 ô ) Ú ��) Ú ô �æ Ú �¶¡Lé Ú ô ¨¡�é � ´uéP¬�¨¡ ø ´&« ìë¹ � ªXd Í÷ dñ¡�éÁd Í÷ f^ª:¡´ì�¹�¡ § é�«\²T¡Q¿<¡�´ué�è_» ë ³ ê�ªnì à ¡´ì´é�ë±´�¡ §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡é�¡´ì´é Y Á [ ¡Lé½Kjë�´Pûñê�´ § é�¡�ë�ª�é�¡´ì´é¢»Ü 468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã «9�=_¥_�J à & HD_�J ^ ADN.�e`G��J ^ ¹uN & v�J�v{vPJ�JL@ ^�& @ %u|�~J ( C{�>ADJe�z·�N�EUJ (B^ AHDA ^}|�~JL�)§(�xJ�_¥J � �{f b>�a� � ��J ^ � � ���jCPvc@BA ¯°^ HD�=NDO0HDJ?_��=N ^B( J ( �­ADJ0v{J %D(>~JL� & CP@BO�J & A K Ì � 4 ô �wJ�@ ^ vP�­O & vPJ´§_�J�N ^"& @ %u|S~J ( C{�>ADJe� t J0_�� (B%u| C{@B_�J�N�H ~JL¹uNDC ^"%'&)(Z& H¶���=NDO ^ CP�=N[ADN�_�� (B%u| C{@B_�J²HDJ?@BJL�=_�J�N ^ @Ò ö�� ÷ K Ì � 0 ô � � �VK Ì � 4 ô �Q):K Ì � Ú ���Q):K Ì � Ú ô �B�aHDJ /à �s·sN?EUJ (B^ A1HDA1vPJ�_�_¥J ó �{fñdG�sC{v9@BA ¯¥^ HD�=NDOHDJ�_��=N ^B( J ( �>ADJOK Ì � 0 ô � & HD_¥J ^ ADNDJ�@ ^B( ADO ^ A ( J�HDJ�@BJ��=_¥J�N ^ _XADv ^ C % v{CPO &)^ CP� �'«±�=_�_�JjvPJ��©�=NDO ^ J�A (K Ì OL�=_�_aA ^ J & A>M�v{CP_�C ^ J�@ %D( �)��J�O ^ C{EUJ�@��uO�JLv &X(>~J�@BADv ^ J¨HDJ ó �{f �021 68Ý4365!6?=:ãr�X�=ã ] �=CPJLN ^ à v & O &)^G~J��=� ( C{J ^ J�@ ^ HDJ°v��¸J�MGJ�_ % vPJ � � * �¾� � �´�¤@B�=AD@�§ºO &)^>~J��=� ( C{J % v{J�CPNDJXHDJv & O &)^>~J��=� ( CPJ�HDJ�@�J�ND@�J�_c`uvPJ�@ & ³ & N ^Á% �=A ( �e`G��J ^ @;vPJL@�J�ND@BJL_a`uv{J�@

7 d8)�f�)�������) ; ) ûx= )J ^ K ö à ÷ {�|~}¦v{Ja�©�=NDO ^ J�A (�& @B@B�>OLC & N ^yx& ADN"�e`G��J ^ |�HDJ à v & O &)^G~J��=� ( C{J & @�@B�>O�C ~J�J x& v��¸J�ND@BJL_a`uv{J� ( HD�=NDN ~JS�©� ( _ ~JsHDJL@ %'&)(B^ C{J�@�ND�=N�E>CPHDJ�@ùHDJr|�� � ( HD�=NDN ~J�JL@ %'&)( C{NDO�vPAD@BC{�=Nq� t JSO�� ( �=vPv & C ( J � �Pf ¾ _¥�=N ^B( J�>ADJëKSJ�@ ^ ADN.�©�=NDO ^ J�A ( ^ J�@ ^ �q«±�=ND@BCPH ~J ( �=ND@��¤J�NwJ�èzJ ^ ��vPJ�@BJL�=_�J�N ^ � 7 d8)�fT;_)f���þ)f� ô �;HDJ /à �¢����J ^ � ô~J ^n& N ^ H ~JL¹uNDC{@ %'&)( d Í÷ d®J ^ d Í÷ f ( JL@ % J�O ^ C{EUJ�_¥J�N ^ �I«9�=_¥_�J à J�@ ^ ADNDJXO &)^G~J��=� ( C{J ^ J�@ ^ @ ^B( CPO ^ J� �{f=f ���ÅvPJL@ %D(>~J�� & CP@BOLJ & A>M ( J %D(>~J�@BJLN ^n& `uv{J�@��¿J ^ J�N %'&)(�^ CPO�ADv{CPJ ( O�JLvPADC ( J %D(>~JL@BJ�N ^G~J %'&)(Ê7 d8)�fT;U�Å@B�=N ^vP�­O & vPJL_�J�N ^�& @ %u|S~J ( CP�­ADJ�@a� �{f ���D�p�=A (�% �=AGEU�=C (�&)%D% vPC{�>ADJ ( vPJ�O�� ( �=vPv & C ( J)�'C{vI@BA ¯¥^ HD�=NDO�HDJ¨H ~J�¹uNDC (Á % v ~JL�=N & @B_�JjEU�=vP�=N ^n& C ( J

óT¾

Page 56: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

ADN��©�=NDO ^ J�A ( N ö K ý � 7 d8)�fT;¶� � K}� 7 d8)�fT;¶�p÷ 4 ô CPNDHDADC{@ & N ^ ADN�_¥� (B%u| CP@B_¥JKHDJ�@BJ��=_�JLN ^ @L�¤å ( �Kn� 7 d8)�fT;¶� �

7 d�; ' ' ' ')( 7 d8)�fT;7 fT;¡þ þ þ þ)ÿ

�¡vI@BA ¯¥^ HD�=NDO¨HDJKH ~JL¹uNDC ( N %'&)(N±� 7 d�;¶� � d8) ) N±� 7 fT;¶� � N±� 7 d8)�fT;¶� � f 021 68Ý4365!6 =:ãr�´§ã ] �=C ^ K ö 0 ÷é{�|~}pv��¸CPNDOLvPAD@BC{�=N¥O & ND�=NDC{�>ADJ;HDJ�v & O &)(>~J��=� ( CPJ;HDJ�@�@BC{_ % vPJ´MDJ�@Á� � �{f=f �

H & ND@�v & O &)^>~J��=� ( CPJaHDJ�@ % J ^ C ^ J�@jO &)^>~JL�=� ( CPJ�@L� � vP� ( @�KùÌ ö {q|_}Á÷ /0 JL@ ^ v{Ja�©�=NDO ^ J�A ( ´`¡�ª\ûI�qJ ^ KÁJL@ ^ADN �©�=NDO ^ J�A (a^ J�@ ^ �Å·�N²J�èzJ ^ � % �=A (c^ �=A ^ 9��9 ûÿ= ��Kn� 465 � � 4P5 & HD_¥J ^ ADN²�e`D��J ^ ¹uN & v¬�ÅJ ^J�@ ^ HD�=NDOcOL�=N ^B(}& O ^ CPv{Jy� ó �{f � ����J ^ J�N %'&)(B^ C{O�ADvPC{J (�& @ %u|�~J ( C{�>ADJ�� ó �{f � ��� ª � & A ^B( J %'&)(�^ ��K Ì � 4 ô �ÁNq�¸JL@ ^& A ^B( J.�­ADJv{J %D(>~J�� & C{@BO�J & A ( J %D(>~J�@�J�N ^>~J %'&)( 4 ô �SJ ^ JLN EUJ (�^ A2HDA vPJL_�_�J � �{f b>��O�J %D(>~J�� & C{@BO�J & AJ�@ ^ v{�>O & v{J�_�J�N ^y& @ %u|�~J ( CP�­ADJe�SJ ^ v�� & @B@BJ (B^ CP�=N (>~JL@BADv ^ JwHDA ^}|�~J�� (�xJ�_�J � �{f b>� � � �XJ ^ � � ��� ª J % vPAD@L�vPJ ^}|�~JL� (ñxJ�_�J � �Pf b�C{_ % vPC{�>ADJ & vP� ( @��­ADJ % �=A (j^ �=A ^ 9���9 û^= �`K Ì � 4P5 �´�¤�>ADCpNq��J�@ ^¨& A ^B( Ja�>ADJavPJ%D(>~J�� & C{@BO�J & A ( J %D(>~J�@�J�N ^>~J %'&)( 465 �=J�@ ^ v{�>O & v{J�_�J�N ^¿& @ %u|�~J ( C{�>ADJe�UO�J9�­ADC¬�=J�NaEUJ (B^ A°HDJ9v & %D( � % �=@ ^ CP�=N �Pf=�)�©�=A ( NDC ^ ADNDJ;HDJ�A>MDC xJ�_�J±H ~J�_��=ND@ ^B(n&)^ C{�=NXHDA°� & C ^ �­ADJ 0 J�@ ^ ADNDJ;O &)^>~J��=� ( C{J ^ J�@ ^ @ ^�( CPO ^ J¨� �Pf ¾ ���021 68Ý4365!6�=:ãg�$8:ã ] �=C ^ à ADNDJ % J ^ C ^ J�@��=AD@�§ O &)^>~J��=� ( CPJ % vPJ�C{NDJcHDJO{q|_}��'�©� ( _ ~JLJ�HDJcO &)^>~J��=� ( CPJ�@ÁO��=N>§^B(n& O ^ CPv{J�@���@ ^n& `uvPJ %'&)(a%D( �­HDADC ^ @�¹uNDC{@��pJ ^c^ J�v{vPJ��­ADJ 4 ô @B�=C ^ ADN0�e`G��J ^ HDJ à � � v{� ( @cvPJ®�©�=NDO ^ J�A (Hq�¸C{NDO�vPAD@�CP�=N>K ö à ÷ {q|_}±J�@ ^ ADN��©�=NDO ^ J�A (Á^ J�@ ^ �'·sN�J�èzJ ^ �'O��=_�_�J ADNDJ¨O &)^>~J��=� ( C{JKOL�=N ^B(}& O ^ CPv{JKJL@ ^ND�=N�E>CPHDJe�Dv & O &)^>~J��=� ( CPJ E>CPHDJ�Nq�¸J�@ ^;%'& @;ADN��e`G��J ^ HDJ à � t & O &)^>~J��=� ( CPJ à J�@ ^ HD�=NDO¨ADNDJ�O &)^>~J��=� ( C{J^ J�@ ^ @ ^�( CPO ^ J���OL� � � � * �½��¬G�9J ^ �{f=f ���uå N�J�N�H ~J�HDADC ^ �­ADJ¨v{J %D(>~JL� & CP@BO�J & A>K Ì � 4 ô �´�D�>ADCIJ�@ ^;( J %D(>~JL@BJ�N>§^n& `uv{JX� % ADCP@B�­ADJ 4 ô J�@ ^ ADN��e`D��J ^ HDJ à ���>J�@ ^ vP�­O & vPJL_�J�N ^;& @ %u|S~J ( C{�>ADJ°� �Pf �´�>O�Jj�>ADC %D( �=AGEUJj�>ADJ�KJ�@ ^ ADN��©�=NDO ^ J�A (¦^ J�@ ^ v{�>O & v¿� � �{f b>�½� � �B���DHD�=NDO¨ADN��©�=NDO ^ J�A (¦^ J�@ ^ � � �Pf b>�½� � �B���021 68Ý4365!6Ì=:ãg�¼¨¤ã ª�& ND@Åv¬��J�MDJ�_ % vPJ %D(>~JLO ~J�HDJ�N ^ �=v¬� | ³ % � ^}|qxJL@BJS�>ADJ 4 ô @B�=C ^ ADNa�e`D��J ^ HDJ à J�@ ^ J�@�@BJ�N>§^ C{J�vPv{Je� ] �=C ^�%'&)( J´MDJ�_ % v{J à v & @B�=AD@�§ºO &)^>~J��=� ( C{J % vPJ�C{NDJ¦HDJ2{�|~}¿HD�=N ^ vPJ�@S�e`G��J ^ @±@B�=N ^ vPJ�@SO &)^G~J��=� ( C{J�@+ 5 �89 " dG�G� xAÆ+ ��7 d �� fT;�H ~J�@BCP�=NDJjv & O &)^>~J��=� ( C{J & ³ & N ^ O��=_�_¥J��e`G��J ^ @9dcJ ^ fjJ ^X~J��>ADCFE & v{J�N ^ Jx& v & O &)^>~J��=� ( CPJ Ú ���e`D��J ^ ¹uN & vSHDJt{q|_}®� & A ^�( J�_�J�N ^ HDC ^ vPJ�@c@�J�ADvPJ�@a_�� (�%u| CP@B_�JL@�ND�=N²CPHDJ�N ^ CP�­ADJ�@HDJ +�@B�=N ^ HDJ�A>MCP@��=_�� (B%u| CP@�_�J�@¦C{N�EUJ ( @BJ�@�v¬�¸ADN.HDJav¬� & A ^B( Jad¥÷ faJ ^ f�÷ dU���Iå NE ~J ( CF¹uJX� & OLCPvPJ´§_�J�N ^ �>ADJaO�J ^B^ JaO &)^>~J��=� ( CPJaJ�@ ^ �©� ( _ ~JLJcHDJ°O &)^>~J��=� ( CPJL@ O��=N ^�(n& O ^ C{vPJ�@�� ª � & A ^B( J %'&)(B^ �¤JLvPvPJc@ &)^ CP@B� & C ^& A>M�O��=NDHDC ^ CP�=ND@;HDJ � � * �½�:¬D�±J ^ J�@ ^ HD�=NDO¨ADNDJ¨O &)^G~J��=� ( C{J ^ JL@ ^ @ ^B( CPO ^ J�� �Pf=f ���G¢.�=N ^B( �=ND@¦�­ADJK@�C½v{JvP�­O & vPC{@ &)^ J�A ( �©�=NDH & _�J�N ^n& v*Ö Nq�¸JL@ ^�%'& @c� ( �=@B@�CPJ ( �¬b>� b � ���IvPJ¥�©�=NDO ^ J�A ( Hq��CPNDO�v{AD@BCP�=N^K ö à � ÷é{�|~}Nq�¸JL@ ^a%'& @XADN �©�=NDO ^ JLA (°^ JL@ ^ ��NDC±_ -J�_¥J�ADN0�©�=NDO ^ J�A (X^ J�@ ^ � & CF`uvPJñ���ù��v�@BA ¯¥^ HDJy_��=N ^B( J ( �­ADJ�v{J%D(>~J�� & C{@BO�J & AxK Ì � 4 ô �±Nq�¸J�@ ^�%'& @ & @ %u|S~J ( CP�­ADJe��å ( ��K Ì � 4 ô �±J�@ ^ v{J %D(>~J�� & CP@BOLJ & A

+ 5 Í S ÷ ßpàZmB���Q� �-+ 5 ) 4 ô �Mì 7 O ( C{`uvPJL@ÁHDJ + 5 ;�ºb>� b ¾ ���ùJ ^ �=N & HD�=NDOlK Ì � 4 ô �­ì Ú /ô � Ú /ô ��� xA Ú /ô H ~JL@BCP�=NDJ®v��¸�e`G��J ^ ¹uN & vSHDJ /à �´��O &)( v{J�@c@BJ�ADv{J�@O ( CF`uvPJ�@ÁHDJ + 5 @B�=N ^ v{JKO ( C{`uvPJ % vPJ�C{N�J ^ vPJ�O ( CF`uvPJKE>CPHDJe��å N�J�N�H ~JLHDADC ^ �­ADJëK ô K Ì � 4 ô �Mì à � à �uJ ^CPv (>~JL@BADv ^ J�HDA�v{J�_�_�Jj@BADCFE & N ^ �­ADJOK Ì � 4 ô �SNq�¸J�@ ^Á%'& @ & @ %u|�~J ( CP�­ADJe�ó Þ

Page 57: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

Ï Ô>ÛÀÛZÔ ïIÎÙÍ�ïIÎ á « ³ ¡ ³ ê §:�?³ « ì � é�¡�뱪Bû�ê?´�¬ � ¿<¡�´ué �T³ Ö ´>$ ¡´ì�é�¹ � ìd©Tª}ê ìnìQ«�¡Qª:â �?³ ê�ªnì®é¡ê¶ë>颡 §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡� ì�¹�ÀB¨¡Qª+«�¯Lë&¡6¡´ì´é���® § ê�´(´`¡�ê�¡.æ § ê�´&´`¡dê�¡O´¤ê�´%²þ«�¬~¡0è_»Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã ] �=C ^ ��ADNDJ9O &)^>~J��=� ( CPJ & @ %u|�~J ( CP�>ADJ)� t J±v{�>O & v{CP@ &)^ JLA ( �©�=NDH & _�J�N ^n& v8Ö Nq� ~J ^n& N ^%'& @p� ( �=@B@�CPJ ( � CPv­J�@ ^�x& �©� (�^ CP� ( C�ND�=N ^B( CFEGC & v��ñJ ^ CPv (>~J�@�ADv ^ J±HDJ±v &Á%D( � % �=@�C ^ C{�=NXb>� b �­ADJSv & O &)^>~J��=� ( CPJr�J�@ ^ ND�=N�EGCPHDJ)�G¢.�=N ^B( �=ND@Á�­Aq�¸J�v{vPJjJ�@ ^ O��=NDNDJ�MGJe� ] A %D% �=@B�=ND@;�>ADJO� � �I� � � ô � & EUJLOë�I�?)�� ô 9� :G�O | �=CP@BC{@B@B�=ND@�HDJ�@��e`G��J ^ @ � �.J ^k� ô HDJ��I�J ^ � ô ( JL@ % J�O ^ C{EUJ�_¥J�N ^ �;J ^ ND� ^ �=ND@ ��� ö�Ú ÷ ��J ^� ô ö}Ú ÷ �ÿvPJL@±_�� (B%u| CP@�_�J�@�H ~J�¹uNDCP@ %'&)($� �ÁJ ^$� ô ( J�@ % JLO ^ C{EUJL_�J�N ^ �G� xA Ú H ~J�@BC{�=NDJ v¬�¸�e`G��J ^ ¹uN & vzHDJ{q|_}´�¤å NwH ~JL¹uNDC ^ & CPND@BCùADNw@BJ��=_�J�N ^;�*� ���O)f�±��)f� ô ��� ] �=C ^ à ADNDJcO &)^>~J��=� ( C{J¨ND�=N�E>CPHDJe�=è ö à ÷ ÚvPJ®�©�=NDO ^ J�A ( O & ND�=NDCP�­ADJe� |"ADN �e`G��J ^ HDJ à � 3wö¬Ú ÷ à v{J®_�� (B%u| C{@B_�J�H ~JL¹uNDC %'&)( v��¸�e`G��J ^ |�J ^�$�g3 è�v¬��J�NDHD�=_�� (B%u| C{@B_�JjO��=ND@ ^n& N ^ OL� (B( J�@ % �=NDH & N ^ HDJ à �&Á � ^ �=ND@

è�� ö à h �I� S ÷ à J ^ è ô ö à h � ô S ÷ ÃvPJL@ %D( JL_�C xJ ( J�@ %D( �)��J�O ^ CP�=ND@���å N�H ~JL¹uNDC ^ ADN��©�=NDO ^ J�A (

ÿ ö à h � � � à h �$�ñ� � � à h � ô � SÅS&S ÷ Ã%'&)(

ÿ C à h �I� � è�� J ^ ÿ C à h � ô � � è ô å N?O��=ND@ ^}&)^ J�C{_�_ ~J�HDC &)^ J�_�JLN ^ �­ADJ ÿ JL@ ^ ADNDJ � § | �=_�� ^ � % C{JyHDJ�f ô EUJ ( @ � � & A ^B( JL_�J�N ^ HDC ^ �pv &O &)^>~JL�=� ( CPJ à J�@ ^2� § O��=N ^B(n& O ^ CPvPJ)�¤«±�=_�_�Jjv & O &)^>~J��=� ( CPJ­�øJ�@ ^¦& @ %u|�~J ( C{�>ADJe��CPv (>~J�@�ADv ^ J�HDJL@ %D( � % �=@BCF§^ C{�=ND@¦b>� Þ J ^ ó � � �>ADJ à J�@ ^�& @ %u|�~J ( C{�>ADJe� � CPND@�C¬�u�=N & _¥�=N ^B(>~JK�­ADJ ^ �=A ^ JKO &)^>~J��=� ( CPJKND�=N�E>CPHDJ¨JL@ ^& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)�eO�JS�­ADC>CP_ % vPCP�­ADJ��­ADJ ^ �=A ^ �©�=NDO ^ J�A ( J�N ^B( J9O &)^>~J��=� ( CPJ�@ÅND�=N�E>CPHDJ�@pJL@ ^ ADNDJ ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�J� & C{`uv{Je�uJ ^ O��=N ^�( J�HDC ^ v¬� | ³ % � ^}|qxJ�@�J¨�>ADJ�vPJ�vP�­O & vPC{@ &)^ J�A ( �©�=NDH & _�J�N ^n& vqÖ Nq�¸JL@ ^Á%'& @Á� ( �=@B@BC{J ( �021 68Ý4365!6B=:ãr�$C:ã Á � ^ �=ND@ 0 þ v & @��=AD@�§ O &)^>~J��=� ( CPJ���ND�=N % v{J�CPNDJ��jHDJ 0 & ³ & N ^ _ -J�_¥J�@j�e`D��J ^ @K�­ADJ0 �uJ ^ HD�=N ^ vPJ�@Á_�� (B%u| CP@�_�J�@9@B�=N ^ vPJL@ &)%D% v{CPO &)^ C{�=ND@Á@ ^B( CPO ^ J�_�J�N ^ O ( �=CP@�@ & N ^ J�@��Ï Ô>ÛÀÛZÔ ïqÎH�MõIÎ ¦ �¸§:� éZ¨¡:©­ê�ª+«�¡ 0 þB¡´ì�é � ìŹ�ÀB¨¡QªQ«�¯Lë(¡°»Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã å N�H ~JL¹uNDC ^ ADN��©�=NDO ^ J�A (���ö 0 þ¤÷ 0 þ¬�uJ�N % �=@ & N ^�% �=A (;^ �=A ^ 9��&9 ûx= �

� 4P5 � 4652A ô )J ^ J�N�H ~JL¹uNDC{@B@ & N ^ � % �=A (Á^ �=A ^ J &)%D% v{CPO &)^ CP�=N�@ ^B( CPO ^ J�_�J�N ^ O ( �=CP@�@ & N ^ JdN ö 4P5 ÷ 4 '¤� � ��Np� %'&)(

� ��Np���0�>� � É N±�f�>��) d6J­�tJL9 ) Á ft) � � 9TÁ,f t �¸CPNDOLvPAD@BC{�=N 465 � ÷ 4652A ô H ~J�¹uNDC ^ ADN�_�� (B%u| CP@�_�Jj�©�=NDO ^ � ( C{J�v¾f o Øq÷ � �uJ ^ v¬� &)%D% vPCPO &)^ CP�=N

4 � S ÷ 4P5BA ô ) d Í S ÷ 9ÎÁ,f )ADN"_¥� (B%u| CP@B_¥JX�©�=NDO ^ � ( CPJLvpHDJ¥v¬��J�NDHD�=�©�=NDO ^ JLA ( O��=ND@ ^}& N ^ HDJ 0 þ��IHDJXE & vPJ�A ( 4 �¶�IEUJ ( @ � � t & O & §^>~J��=� ( CPJ 0 þ½JL@ ^ HD�=NDOKO��=N ^�(n& O ^ C{vPJe�uJ ^ vPJ�vPJ�_¥_�J (G~J�@BADv ^ JKHDJKv &a%D( � % �=@BC ^ CP�=N ó �Pf � �

ó�ó

Page 58: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� ïqÎ\�zÍ'Î ¦ �¸§�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡ 0 þ ¡´ì´é�ë±´`¡ §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡�é�¡´ì´é�û � « � ³ ¡°»Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã «±�=ND@BCPH ~J ( �=ND@�v{J�@��©�=NDO ^ J�A ( @0 þ �É 0 �î �0 �K {�|~} )� xA��0 H ~J�@BC{�=NDJSv & O &)^G~J��=� ( C{J ^ J�@ ^ HDJ±v¬��J�MDJL_ % vPJ � � * �>� � ���ñ@B�=AD@¡§ O &)^>~JL�=� ( CPJ % v{J�CPNDJ�HDJ±v & O &)^>~J��=� ( CPJsHDJ�@J�ND@BJL_a`uv{J�@�� & ³ & N ^ _ -J�_�JL@��e`G��J ^ @K�­ADJ 0 ��_ & CP@ OL�=_�_�Jc_�� (B%u| C{@B_�J�@ ^ �=A ^ J�@Kv{J�@ &)%D% vPC{O &)^ CP�=ND@L�& A vPCPJLA HDJ@BJ�ADv{J�_�J�N ^ vPJ�@ &)%D% v{CPO &)^ C{�=ND@®O ( �=C{@B@ & N ^ J�@n���±J ^ � xAÿÉ,J ^ î H ~J�@BCP�=NDJLN ^ vPJ�@®�©�=NDO ^ J�A ( @Hq�¸C{NDO�vPAD@�CP�=N�J ^ K¿vPJj�©�=NDO ^ J�A (Á^ J�@ ^ HDJKv��¸J�MGJ�_ % vPJ � �{f Þ � & @B@B�­O�C & N ^cx& ADN��e`G��J ^�� HDJ �0 v��¸J�ND@BJL_a`uv{J� ( HD�=NDN ~JK�©� ( _ ~J�HDJ�@ %'&)(B^ CPJ�@;ND�=N�EGC{HDJ�@�HDJ � ��åjN ( J�_ &)( �­ADJj�>ADJ¨v{JK�©�=NDO ^ J�A (

K o Ø ö 0 þ SÅS(S ÷ {q|_}465 Í S ÷ 0 þ å 465J�@ ^ O & ND�=NDC{�>ADJ�_�JLN ^ CP@B�=_�� (�%u| J x& K î Éù�I�p�=A ( _¥�=N ^B( J ( �>ADJ à J�@ ^ ADNDJ¥O &)^>~J��=� ( CPJ ^ JL@ ^ � & CF`uvPJe�ICPv@BA ¯°^ HDJ;_��=N ^�( J ( �>ADJ�v{JÁ�©�=NDO ^ J�A ( K o ØqJL@ ^S& @ %u|S~J ( CP�­ADJc��OL� � � � ¾ ��� t J;�©�=N ^ J�A ( K ~J ^n& N ^ ADN��©�=NDO ^ J�A (^ J�@ ^ �GJ ^ J�N %'&)(B^ C{O�ADvPC{J ( ADN��©�=NDO ^ J�A (�& @ %u|S~J ( C{�>ADJe�DC{v¤@BA ¯¥^ HD�=NDOjHDJj_��=N ^B( J ( �­ADJ î J ^ É�@B�=N ^ HDJ�@_�� (B%u| C{@B_�J�@ & @ %u|�~J ( CP�­ADJ�@¦HDJD{�|~}��¬b>� � J ^ � � Þ �½� � �D���� � t Jc_�� (�%u| CP@B_�J î HDJë{�|~};J�@ ^ & @ %u|S~J ( C{�>ADJe�¤·sNwEUJ (B^ AwHDJcv &¥%D( � % �=@BC ^ CP�=N ¾ � * ��C{v�@BA ¯°^ HDJ_��=N ^B( J ( �>ADJ % �=A (Á^ �=A ^ �e`G��J ^�� HDJ �0 �uvPJ %D(>~J�� & C{@BO�J & A

ýÜ� î Ì � � � ) 465 Í S ÷ ßpàZm �o � 4P5 ) � � � ß¾àZm�� ' S � 465 ) � �HDJ%/0 J�@ ^9& @ %u|�~J ( C{�>ADJe�G«9�=_¥_�J � J�@ ^ ND�=N�E>CPHDJe���=N�O | �=CP@�C ^ | û� ��J ^ �=N®H ~JL¹uNDC ^ ADN®_¥� (B%u| CP@B_¥JHDJ %D(>~J�� & CP@BOLJ & A>M

ÿ öUý h 4 ô S ÷ ýO��=_�_¥J¨@BADC ^ �z�p�=A ( ^ �=A ^ 9y§º@BCP_ % v{J�MDJdN ö 4P5 ÷ � HDJ ý �zJ ^ ^ �=A ^ 9y§º@BCP_ % v{J�MDJëÒ ö 465 ÷ 4 ôHDJ 4 ô �DvPJO9y§º@BCP_ % v{J�MDJ ÿq��N*):Ò9� ö 465 ÷ � HDJ ý J�@ ^ H ~JL¹uNDC %'&)(

ÿI��N*):Ò±���0�>� � É N±�0�>� @�C½Òj�f�>� � d| @�C½Òj�f�>� � f dæJ �lJL9 Á � ^ �=ND@ � vPJÁ@BJ��=_�J�N ^ � 4 ô ) Ú �?) Ú ô �pHDJ%/0 � Ú �ÁJ ^�Ú ô ~J ^n& N ^ H ~J�¹uNDCP@ %'&)( d Í÷ d¨J ^ d Í÷ f ( J�@ % J�O ^ C{EUJ�§_�J�N ^ ���DåjN ( J�_ &)( �>ADJ �>ADJ ÿ®J�@ ^ ADNDJ � § | �=_�� ^ � % CPJ�HDJ�v��¸C{HDJ�N ^ C ^>~JjHDJ ý EUJ ( @9ADN�J�NDHD�=_�� (B%u| C{@B_�JO��=ND@ ^}& N ^ HDJ ý ��O�Jc�>ADC�CP_ % v{CP�>ADJK�>ADJ ý JL@ ^o� § O��=N ^B(n& O ^ CPvPJ)�q«±�=_�_�J 4 ô J�@ ^ vP�­O & vPJL_�J�N ^ & @ %u|�~J�§( C{�>ADJ�� � �{f b=���¶C{v (>~JL@BADv ^ J±HDJ9v &�%D( � % �=@BC ^ CP�=N ó � � �>ADJ ý J�@ ^ ADN %D(>~J�� & CP@BOLJ & A¥v{�>O & v{J�_�J�N ^p& @ %u|�~J ( CP�­ADJe�HD�=NDO & @ %u|S~J ( CP�­ADJ¨HDJü/0 �DOLJ¨�>ADC %D( �=AGEUJKv¬� & @B@BJ (B^ CP�=Nq�� � t J±_�� (B%u| CP@�_�J*ÉXHDJ�{q|_}½J�@ ^¿& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)�¶�¡v>@�� & �=C ^ HDJ±_��=N ^�( J ( �­ADJ % �=A (p^ �=A ^ 9�T9 û>= �0 þ å 4P5 J�@ ^ ADNDJ�O &)^>~J��=� ( CPJ & @ %u|�~J ( C{�>ADJe� Á � ^ �=ND@ 0 þ v & O &)^>~J��=� ( CPJ®�e` ^ J�N­ADJ�J�N & H¶���=C{�=N & N ^ ADN�e`G��J ^ CPNDC ^ C & v�: x& 0 þ � � CPND@BC 0 þ @���CPHDJ�N ^ C{¹uJ & A�O��­O ( C{`uv{J 0 þ S :XHDJ 0 þ �(Á � ^ �=ND@:T' � �d:8)f:8)�������)f: � � � �©�=CP@ �ó��

Page 59: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

v¬���e`G��J ^ C{NDC ^ C & vqHDJ 0 þ ' � ." f=��å N�H ~JL¹uNDC ^ ADN�C{@B�=_�� (B%u| C{@B_�JjHDJKO &)^G~J��=� ( C{J�@0 þ å 465 SÅS(S ÷ 0 þ 52A ô S : 5BA ô

HDJ 0 þ\å 4P5 @�A ( v{JSO��­O ( C{`uv{J 0 þ 52A ô S : 5BA ô HDJ 0 þ 5BA ô �)J�N & @B@B�>OLC & N ^¦x&�^ �=A ^ �e`G��J ^ N ö 4 '�÷ 465HDJ 0 þ å 465 �uv¬���e`D��J ^ �V|��?)�| ô )������Q)�| 5 �9HDJ 0 þ 52A ô S : 52A ô �'� xA

| F � É 4�������� Y·R ÷¼ø�� F��Õ[ @BC½Nsòùô 7 K�;Ì9� :: @BC{ND�=NdPJLK�JL9

�¡v�@BA ¯°^ HD�=NDOcHDJ %D( �=AGEUJ ( �­ADJcv & O &)^>~JL�=� ( CPJ 0 þ 52A ô S : 52A ô JL@ ^�& @ %u|�~J ( C{�>ADJe�qåjN (n& C{@B�=NDNDJ %'&)((>~J�OLA (B( J�NDO�J¥@BA ( 9�I�p�=A ( 9 � dG� 0 þ S :�@���CPHDJ�N ^ CF¹uJ x& 0 þ �­ADCpJ�@ ^¨& @ %u|S~J ( C{�>ADJw�ÙvPJ�_�_¥J � � bedU���] A %D% �=@��=ND@SHD�=NDO¦�>ADJ 0 þ 5 S : 5 @B�=C ^�& @ %u|�~J ( CP�>ADJ)�­J ^ _��=N ^B( �=ND@¿�>ADJ 0 þ 52A ô S : 52A ô v¬��J�@ ^�& AD@B@BC��t & O &)^>~J��=� ( C{J 0 þ 52A ô S : 52A ô J�@ ^S(>~J�ADNDCP�=NyHDJ�@SOL�>O ( CF`uvPJ�@ 0 þ 5 h � 0 þ S :U�¿J ^ � 0 þ 5 S : 5 � h 0 þ �J ^ v¬�¸C{N ^ J ( @BJ�O ^ CP�=N�HDJKO�J�@¦HDJLA>M�O��­O ( CF`uvPJ�@ÁJ�@ ^ � 0 þ 5 S : 5 � h � 0 þ S :U����«±J�@ ^�( �=CP@;O��>O ( C{`uv{J�@¦@B�=N ^& @ %u|�~J ( CP�>ADJL@��ùJLN�EUJ (B^ A"HDJ¥v�� | ³ % � ^}|IxJ�@BJXHDJ (>~J�O�A (B( JLNDO�Je��HDA�vPJ�_¥_�J � � bedG�qJ ^ HDJ�@KO�� ( �=vPv & C ( JL@¨b>� óJ ^ b>�{f=f=�>�¡v (>~J�@BADv ^ J & vP� ( @±HDA�O�� ( �=v{v & C ( Jjb>� b ó �­ADJ 0 þ 52A ô S : 52A ô J�@ ^;& @ %u|S~J ( C{�>ADJe�DO�Jj�­ADC %D( �=AGEUJv¬� & @B@BJ (�^ CP�=Nq�uJ ^�& O |IxJLEUJ¨v & H ~J�_��=ND@ ^B(n&)^ C{�=Nq�3 68Ý�á�9����6~=:ãy � ã ] CUv{Jsv{�>O & v{CP@ &)^ JLA ( �©�=NDH & _¥J�N ^}& v~Ö Nq��J�@ ^ù%'& @ù� ( �=@�@BCPJ ( � & v{� ( @ 0 þ­Nq��J�@ ^½%'& @�ADNDJO &)^>~JL�=� ( CPJ ^ J�@ ^ �¶·�NaJ�è¤J ^ �e@BC 0 þ ~J ^n& C ^ ADNDJ±O &)^>~J��=� ( CPJ ^ J�@ ^ �)C{v>J�Na@BJ (}& C ^ HDJ±_ -JL_�J % �=A ( 0 þ\å 4 �2ì Ú �å ( � % �=A (�^ �=A ^ J % J ^ C ^ J¨O &)^>~J��=� ( C{Jd�°��K ÷ K Ì÷ �����ÁJL@ ^ v & O &)^>~J��=� ( CPJ¨HDCP@BO (�xJ ^ J & ³ & N ^ _ -JL_�J¨J�ND@�J�_c`uvPJHq�¸�e`G��J ^ @¦�>ADJP�X� ] C Ú"~J ^}& C ^ ADNDJcO &)^G~J��=� ( C{J ^ J�@ ^ �zJ ^ JLN %'&)(B^ CPOLADvPCPJ ( ADNDJcO &)^>~J��=� ( CPJ ^ JL@ ^ � & C{`uv{Je�zv &O &)^>~JL�=� ( CPJKHDCP@BO (�xJ ^ J 7 d8)�fT; � K ÷ K Ì÷ � 4 ô �;@BJ (}& C ^j& @ %u|�~J ( CP�­ADJy� Þ � * �´�'J ^ vPJKvP�>O & vPCP@ &)^ J�A ( �©�=NDH & _¥J�N ^}& v@BJ (}& C ^ � ( �=@B@BC{J ( � � �Pf � ���

ó

Page 60: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

6 k=Ò Ó É oqmmÓ Ì Ò>m È k ˦h Ò1l É Ç Ê mmÕ�k Ç�È m Ë�Ö l É¿h È Òzr

ôqÎ�Í'Î å N &)%D% J�vPv{J ³ ê §:�?³ «©ì � 颡�ë�ª!û�ê�´`¬ � ¿<¡Q´'é �?³ û�ê�ª�é�ADNDJ %'&)(�^ CPJlÖ HDJïuðF�H{q|~}��¨@ &)^ CP@B� & C{@ & N ^X& A>MO��=NDHDC ^ CP�=ND@Á@BADC{E & N ^ J�@ ö

t � � t &X%'&)(�^ CPJOÖ HDJ�ïDðF�\{�|~}��±J�@ ^ � & CF`uvPJ�_¥J�N ^ @ &)^ A (>~J�Je�t Â;� ] C à J�@ ^ ADNDJ % J ^ C ^ J�O &)^G~J��=� ( C{J & HD_�J ^B^n& N ^ ADN��e`G��J ^ ¹uN & v�� & vP� ( @ à ÷ Ú �D� xA Ú H ~J�@�CP�=NDJ

v¬���e`G��J ^ ¹uN & vIHDJ�{q|~}´�uJ�@ ^ H & ND@BÖø�t «Á� ] C à �Éå å åcæî

Ëãããä ú�J�@ ^ ADN ^�( C & ND�=v{J�O��=_�_aA ^n&)^ CP�>HDJM{q|~}´� J ^ @BC % �=A (Å^ �=A ^ �e`G��J ^z� HDJ��°�¶vPJS�©�=NDO ^ J�A ( É`å � ö à å � ÷ Ë6å �CPNDHDADC ^Á%'&)( ÉwJ�@ ^ H & ND@BÖø� & vP� ( @$ÉwJ�@ ^ H & ND@BÖø�å N ( J�_ &)( �­ADJK�­Aq�¸ADN�v{�>O & v{CP@ &)^ J�A ( �©�=NDH & _�J�N ^n& vù�©� (�^ J�@ ^ J�N %'&)(B^ CPO�ADv{CPJ ( ADN�vP�­O & vPC{@ &)^ J�A ( �©�=NDH & §_�J�N ^n& v��q·�N"JQè¤J ^ �Iv{J�@KOL�=NDHDC ^ C{�=ND@ t & �ºb>� b=�¦J ^ t ` �ºb>� b=��O��ñ» ¼PNDOLCPHDJ�N ^c& A>M�O��=NDHDC ^ CP�=ND@ t � J ^ t Â( J�@ % J�O ^ C{EUJ�_�JLN ^ ��J ^ v & OL�=NDHDC ^ C{�=N t O��ºb>� b=�pJ�@ ^ vPJÁO & @ %'&)(B^ CPO�ADv{CPJ ( HDJ�v & O��=NDHDC ^ C{�=N t «1OL� (B( J�@ % �=N>§H & N ^°x& Ë � ��J ^�úñ� f Ù ��J ^�î6� ɤ���

� C{ND@BC¬�¤�=N.HDC{@ % �=@BJ)�qJ�N %'&)(�^ CPO�ADv{CPJ ( �zHDJ�@jND� ^ C{�=ND@�Hq� ~J��>ADCFE & v{J�NDO�Jc� & CF`uvPJe�¤HDJa�©�=NDO ^ J�A (�& @ %u|S~J�§( C{�>ADJ¿J ^ HDJ�O &)^>~JL�=� ( CPJ & @ %u|�~J ( CP�>ADJ)� C{N ^�( �>HDADC ^ J�@½J�Nab>� b>� ] C±�1J�@ ^ ADNDJ % J ^ C ^ J¾O &)^>~J��=� ( CPJe� î®ö à ÷ �X�ú�ö Ë ÷ ��HDJ�A>MÀ�e`G��J ^ @¨HDJæ{q|_}ÕåT��J ^ É ö à ÷ Ë ADNÀ_�� (B%u| C{@B_�J°HDJæ{q|_}ÕåT�X�ùHDJ¥@B� (B^ J��­ADJî%�üú ɽ���=NZHDC ^ �­ADJ<ɲJ�@ ^ Ö�§ � ì�¹�À!¨¡�ª+«�¯Lë(¡ � ë�¬~¡´ìnì´ë­ìl¬±¡<�°�½�=A % vPAD@�@�CP_ % v{J�_�J�N ^×� ì�¹�À!¨¡�ª+«�¯Lë(¡� ëL¬~¡´ìnì´ë­ìk¬~¡×�°�¾@BC % �=A (°^ �=A ^ �e`G��J ^t� HDJ¸� v{Jy�©�=NDO ^ J�A ( É`å ��ö à å � ÷ Ë6å � �ÅCPNDHDADC ^°%'&)( ɽ�J�@ ^ ADNDJ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�JX� & C{`uv{Je� t & O��=NDHDC ^ C{�=N t « &)¯¥( _�JaHD�=NDO°�>ADJ % �=A (�^ �=A ^ J % J ^ C ^ JXO &)^>~J��=� ( C{J�°�½ADNÀ�©�=NDO ^ JLA (X& @ %u|S~J ( C{�>ADJ & AÀHDJ�@�@BAD@cHDJl��JL@ ^ ADNDJ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J�� & CF`uvPJe� ª A & vPJ�_¥J�N ^ �ù�=NZHDC ^�>ADJyv{J®�©�=NDO ^ J�A ( É�J�@ ^ Ö�§ § ê � ì�¹�ÀB¨¡Qª+«�¯Lë&¡ � ëЬ~¡´ìnì´ë­ì¸¬~¡×�°�p�=A % vPAD@a@BC{_ % vPJL_�J�N ^>§ ê � ì�¹�À!¨¡�ª+«�¯Lë(¡� ë%¬~¡´ì´ì´ë�ìP¬~¡ë�°�u@BC,É ý JL@ ^ & @ %u|�~J ( CP�­ADJ & A�HDJ�@�@BAD@ HDJ­� ý � ÃÐý J ^ Ë ý ~J ^n& N ^ O��=ND@�CPH ~J (>~JLJ�@ O��=_�_�JO &)^>~JL�=� ( CPJ�@ & AXHDJ�@B@BAD@sHDJB� ý %'&)(�î ý J ^¿ú ý ( J�@ % J�O ^ CFEUJ�_�J�N ^ ���e�¡v (>~JL@BADv ^ J9HDJ;v &¦%D( � % �=@BC ^ C{�=N�b>�{f * J ^HDJ t «,�­Aq�¸ADN��©�=NDO ^ J�A ( OL� & @ %u|S~J ( C{�>ADJ & A�HDJ�@B@�AD@�HDJ­��JL@ ^ ADNDJ ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�JK� & CF`uvPJe� t JK�©�=NDO ^ J�A (ɲJ�@ ^ O�� & @ %u|�~J ( C{�>ADJ & AÀHDJL@B@BAD@�HDJl� @BC¿J ^ @�J�ADvPJ�_¥J�N ^ @BC % �=A (¨^ �=A ^ �e`G��J ^d� HDJ<��vPJ¥�©�=NDO ^ J�A (� �?É ö_� � à ÷ � �TË®�DCPNDHDADC ^Á%'&)( Éù�uJ�@ ^ ADNDJ ~J��­ADC{E & vPJ�NDO�J�� & C{`uv{J®��OL� �zb>� b=b=���M � ´Dì ³·� ì´ë�« é�¡�â±ê�´ì°¡ ø ê�¡+âsë±´�¡�û�ê�« ìr¹'ê¶ë�ªKé¡ê¶ë>颡�ì:âsë�´ ³ ê §:�T³ «©ì � é�¡�ë�ªMû�ê?´�¬ � ¿<¡�´ué �T³ û�ê�ª�éÅ»( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� ôqÎ\�zÎÐö ´t¹�ªnê°¬)ë�« é ø ´&«*¬�$:¨¡þ¯L뱫�² �?³ ¡Q´ § ¡´ì û � « � ³ ¡´ìë¬~¡�{q|_}6¡´ì´é�ë±´`¡ý¨¡°¯Lë�«\² �?³ ¡�´ § ¡zû � « � ³ ¡°»Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã �¡v�@BA ¯°^ HDJ�_��=N ^B( J ( �>ADJ[vPJ %D( �>HDADC ^ HDJ�HDJ�A>M ~J��­ADC{E & vPJ�NDOLJ�@�� & C{`uv{J�@É ô ö à ô ÷ Ë ô �&É Ù ö à ٠÷ Ë Ù HDJ�{q|_}±J�@ ^ ADNDJ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J¨� & CF`uvPJe��«±�=_�_�J

É ô h É Ù � ��f Ù ø h É Ù ���VÉ ô h f ô�� � )ó��

Page 61: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

CPvs@BA ¯¥^ HDJ®_¥�=N ^B( J ( �>ADJ % �=A (c^ �=A ^ J ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�J�� & C{`uv{JlÉ ö à ÷ ËYHDJt{q|_}�J ^c^ �=A ^ J % J ^ C ^ JO &)^>~JL�=� ( CPJ��X�DvPJj_�� (B%u| C{@B_�J!É h f�P0J�@ ^ ADNDJ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�Jj� & C{`uv{Je�'å N & ADN ^�( C & ND�=v{J O��=_�_aA ^n&)^ C{�

à h � �É h f�P� � ���èË h � ! Õ

� )� xA�èZJ ^ Õ�H ~JL@BCP�=NDJ�N ^ v{J�@¨HDJLA>MDC xJL_�J�@ %D( �)��J�O ^ C{�=ND@��I·�N�EUJ (B^ A"HDJ t « �ICPvp@BA ¯°^ HD�=NDO°HDJ¥_��=N ^B( J (�>ADJ % �=A (Á^ �=A ^ �e`D��J ^!� HDJ­�X��v{JK_¥� (B%u| CP@B_¥J

� à h ���Õå � ì à h ��å � Y ì h ô�" [ à À G ì h ô "$#&%SQS&S&SZSZS&SZSZS(SZSZS&S ÷ Ë h ��å �$� ��Ë h �¨�Õå �J�@ ^ ADNDJ ~J��­ADC{E & vPJ�NDOLJ¨� & C{`uv{Je��å ( �'�=N & ADN�O &)(B(>~J¨OL�=_�_aA ^n&)^ CP�

à h ��å � �É h f P à À

Ë h ��å �à �É Ë )

� xAcvPJL@�� xJ�O | J�@ÅEUJ (B^ CPO & v{J�@ÅH ~J�@BC{�=NDJ�N ^ vPJ�@ %D( J�_�C xJ ( J�@ %D( �e��JLO ^ CP�=ND@p�­ADC­@��=N ^ HDJL@ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J�@Å� & CF`uvPJ�@L�J�NyEUJ (B^ AyHDJ t  J ^ HDJ�b>� Þ �D«±�=_�_�J2É�J�@ ^ ADNDJ ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�Jj� & C{`uvPJ)�G�=NyJ�NyH ~J�HDADC ^ �>Aq��CPv�J�NyJ�@ ^ HDJ_ -J�_¥J % �=A ( É h f P à À �uO�JK�>ADC & O |IxJLEUJ¨v & H ~J�_¥�=ND@ ^B(n&)^ C{�=Nq�( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� ôqÎòÆIÎ�ö ´�¡jì�ê�¿P¿<¡ � ª � «ÙéVª � «\ª:¡ë¬�$:¨¡°¯Lë�«\² �?³ ¡Q´ § ¡´ì�û � « � ³ ¡´ìO¬~¡r{�|~}d¡´ì´ésë±´�¡Ð¨¡°¯Lë�«\² �?³ ¡�´ § ¡û � « � ³ ¡°»Ü 468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã ] �=C ^ É F ö à F ÷ Ë F �MK û +��¾ADNDJ�� & _�C{vPv{J�Hq� ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J�@�� & CF`uvPJ�@¥HDJ×{q|_}´�Á � ^ �=ND@ & AD@B@�CG+�v & O &)^>~J��=� ( C{JcHDCP@BO (ñxJ ^ JaO�� (B( J�@ % �=NDH & N ^yx& v¬�¸JLND@BJ�_c`uvPJ +'�qå N & ADN ^B( C & ND�=vPJcO��=_°§_aA ^n&)^ C{� ~JLEGC{HDJ�N ^ à � fF(' � à F �ì G*)w,+.- ì w� � � ���

fF(' � Ë F � Ë !+ )

J ^ �=N ( J�_ &)( �­ADJ��>ADJ % �=A (®^ �=A ^ �e`G��J ^ K¨HDJ +��¿vPJ�_¥� (B%u| CP@B_¥JkÉ�å?K ö à å?K°÷ Ëæå?K¨@��¸C{HDJ�N ^ C{¹uJx& É F ö à F ÷ Ë F ��·sN²EUJ (B^ A²HDJ t « ��É J�@ ^ HD�=NDOyADNDJ ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J®� & C{`uv{Je�ÅO�J®�­ADCSH ~J�_��=N ^B( J®v &%D( � % �=@BC ^ C{�=Nq�ôqηð½Î ] �=CPJ�N ^ í ADNDJ�O &)^>~J��=� ( CPJe� î ADNDJ %'&)(B^ CPJ¨HDJ®ïuð ��íó�´�'J ^Áõ"ö í ÷ îøòùô í vPJ��©�=NDO ^ J�A ( HDJvP�­O & vPC{@ &)^ C{�=N���OL� � Þ �{f ���½å N (n&)%D% JLvPvPJ°�>ADJXv &y%D( � %D( C ~J ^G~J¥ADNDCFEUJ ( @BJ�v{vPJ°HDAZ�©�=NDO ^ J�A ( HDJ¥vP�­O & vPC{@ &)^ C{�=Nõ ��O�� � Þ �Pf �±@BJ %D(>~J�O�CP@�J %'&)( v &a%D( � %D( C ~J ^>~Jw�}b §ºADNDC{EUJ ( @BJ�vPv{J��®@BADCFE & N ^ J ö �p�=A (�^ �=A ^ J¨O &)^>~J��=� ( CPJO�²�'v{J�©�=NDO ^ JLA (

ß¾àZm � î òùô íÜ):�"� £ USÅS&S ÷ ßpàZm �Ùí�):���ó�*

Page 62: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

HDJ�v & O &)^>~J��=� ( CPJ�HDJ�@°�©�=NDO ^ J�A ( @¥HDJ î òùô}í EUJ ( @æ� H & ND@¥OLJ�vPv{J�HDJ�@°�©�=NDO ^ J�A ( @¥HDJ�í EUJ ( @6�²�& @B@B�­O�C & N ^�x& ADNy�©�=NDO ^ J�A (;ý v{J¦�©�=NDO ^ JLA (Áýjõ ��J ^�x& ADNy_�� (B%u| C{@B_�J¦HDJ �©�=NDO ^ J�A ( @�¿ZvPJ¦_¥� (B%u| CP@B_¥JHDJa�©�=NDO ^ J�A ( @�¿0/ õ � ~J ^n& `uvPC ^ ADNЫ©ì�ê�¿®ê�ª�¹�À±«©ì+¿<¡�HDJXv & O &)^>~J��=� ( CPJ ßpàZm � îøòùô í�):���Á@BA ( v & @��=AD@�§O &)^>~JL�=� ( CPJ % vPJ�C{NDJ ßpàZm ö ��íÜ):�"��HDJ ßpàZm �Ùí�):�����©� ( _ ~J�J�HDJ�@��©�=NDO ^ J�A ( @¾W ö í ÷ � ^ J�v{@�>ADJ)� % �=A (�^ �=A ^�ú û�î �;W¥� ú �®@B�=C ^ ADN CP@��=_�� (B%u| CP@�_�J.HDJ��²�¦å N % �=@BJ ßpàZm ö ��íÜ):��� �Ï�Ñ � ßpàZm ö ��íÜ):���B���Ï Ô>ÛÀÛZÔ ôqÎJ�¤Î á ê�«�¡�´ué±��KÕ)¢]>��ë�´ § ê)ë°¹ ³ ¡6¬~¡�ûñê�´ § é�¡�ë�ªnì � ¬ ã ê�«\´ué�ì:âqK ö í ÷�í þ â�] ö í þ ÷�í âN ö KH] S ÷ f m Ø ) O ö f m S ÷ê]_K³ ¡´ì׿®ê�ª�¹�À±«©ì+¿<¡´ìk¬�$ � ¬ ã ê?´ § é�«ºê�´8âë¡�é î â î þd¬~¡�ìë¹ � ª´é�«�¡´ìk¬±¡Zïuð ��íó�x¡�é�ïDðF��íÿþ �ת�¡´ì�¹(¡ § éV«�²T¡Q¿<¡Q´'éé�¡ ³H³ ¡´ìd¯�ë&¡ Kn� î ��ú î þ ¡�é ]z� î þ �rú î ½ ê¶é¡ê�´Dì õYö í S ÷ îóò�ô í ¡�é õ þ ö í[þ S ÷ î þ òùô í[þ ³ ¡´ì6û�ê?´ § é�¡�뱪´ìĬ~¡ ³ ê §:�?³ «©ì � éV« ê�´8âÊ¡�éõ öwö�îøòùô í S ÷ î þ òùô í[þÊ¡Lé õq1öKî þ òùô í[þ S ÷ îøòùô í ³ ¡´ìPû�ê�´ § 颡L뱪´ì�«\´�¬)ë�« é�ìt¹ � ªlK�¡�é2]ª:¡�ì�¹(¡ § é�«\²T¡�¿<¡Q´ué�âr¬~¡�ì�ê?ª´é�¡d¯Lë�$ ê�´ � « é�¬±¡´ì §:� ªQª�¨¡´ì § ê�¿P¿aë>é � éV« ûnì

í �Kõ

í þ

õ þí þ �]õ þ

í

õî ò�ô í �õ ö î þ òùô í þ î þ ò�ô í þ �õq î òùô í

ë ³ ê�ª´ì¨� õ ö ) õq �6¡´ì´é�ë±´ § ê¶ëþ¹ ³ ¡d¬~¡Mûñê�´ § é�¡�ë�ªnì � ¬ ã ê�«\´ué�ì:â ³ ¡´ìD¿®ê�ª�¹�À±«©ì+¿<¡´ìd¬�$ � ¬ ã ê�´ § é�«ºê�´ ¨¡�é � ´ué�¬�¨¡°¬)ë�« é�ì¬~¡pN.¡�é�Oq»Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã t J�vPJ�_�_¥J�J�@ ^ ADNDJwO��=ND@ ~J��­ADJ�NDO�J.�©� ( _�JLvPvPJ�HDJ�v & �}b § �©�=NDO ^ � ( C & vPC ^>~J��ZHDJwv &vP�­O & vPC{@ &)^ C{�=Nq�­J�v{vPJ _ -JL_�J¦O��=ND@ ~JL�>ADJ�NDO�J�HDJjv &¨%D( � %D( C ~J ^>~J��}b §ºADNDC{EUJ ( @�J�vPv{J��D� t J�@9H ~J ^n& CPv{@±@B�=N ^ v & CP@B@ ~J�@& A�v{J�O ^ JLA ( �Ï Ô>ÛÀÛZÔ ôIÎ��IÎ á ê�«�¡Q´ué�+ë�´Ä¡Q´Dì°¡�¿ � ³ ¡ ø ´&«Hâs�Ùí F � F(' �¥ë�´`¡Mû � ¿P« ³H³ ¡d¬±¡ §:� éZ¨¡:©�ê�ªQ«�¡´ì:âr¡�é�¹'ê¶ë�ª�é¡ê¶ë­é½K�âK û +(â î F ë�´`¡$¹ � ª´é�«�¡d¬±¡KïDðF��í F � § ê�´ué�¡Q´ � ´ué ³ ¡´ìO«�¬~¡Q´ué�« éZ¨¡´ì¼» ë ³ ê?ªnì ³ ¡Mû�ê�´ § 颡�ë�ª §:� ´¤ê�´(«�¯Lë(¡1�2F(' � î F43 òùô 2F(' � í F SÅS&S ÷ 2F�' � î òùôF í F¡´ì´é�ë�´%«©ì�ê?¿�ê�ª�¹�À~«©ì+¿<¡P¬~¡ §:� éZ¨¡:©�ê?ª+«�¡´ì°»Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã t J�vPJ�_�_¥J ~J ^n& N ^0~J�EGCPHDJLN ^�% �=A ( ADN1J�ND@BJ�_c`uv{J +²E>CPHDJe�¿�=A & ³ & N ^ ADN1@�J�ADv~J�v ~J�_�J�N ^ �uCPv½@BA ¯¥^ � %'&)(Á(>~J�O�A (�( J�NDO�Je�zHDJ�v¬� ~J ^n& `uvPC (9% �=A ( + � 7 f�)´b±;U�'å ( � % �=A (�^ �=A ^ J¨O &)^>~JL�=� ( CPJD�²��=N & HDJ�@�`uC ��J�O ^ C{�=ND@��©�=NDO ^ � ( CPJ�v{vPJ�@ ö

ßpàZm � î ò�ôô í ô h î òùôÙ í Ù ):�"�zì ßpàZm � î ò�ôô í ô ) ßpàZm � î òùôÙ í Ù ):�"���ì ßpàZm � î ò�ôô í ô ) ßpàZm ö � �Ùí Ù ):���B� ì ßpàZm ö ø ��í ô ) ß¾àZm ö � ��í Ù ):���B�ì ßpàZm ö ø h ö � ��í ô h í Ù ):���zì ßpàZm �B� î ô h î Ù � òùô ��í ô h í Ù �Q):��� )v¬� & E & N ^ HDJ ( NDC xJ ( J (G~J�@BADv ^n& N ^ HDJyv¬� | ³ % � ^}|qxJL@BJy�>ADJ î ô J ^°î Ù O��=N ^ CPJLNDNDJ�N ^ v{J�@aCPHDJ�N ^ C ^>~J�@��pO�J®�­ADC%D( �=AGEUJKvPJ�vPJ�_�_¥Je�

� d

Page 63: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� ôqÎ�'zÎ á ê�«�¡�´ué¦í ë±´�¡ §�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡ � ¬T¿<¡�é¬é � ´'ét¬~¡´ì6¹�ª}êþ¬)뱫ÙéÙì � ( J�@ % �묱¡´ì�ìñê�¿P¿<¡´ìñ�� «\´ � «\ª:¡�ì:âP¡�é î ë�´`¡t¹ � ª�éV«Å¡%¬~¡wïDðâ��í�� § ê�´ué�¡Q´ � ´'é ³ ¡´ìk«�¬~¡Q´ué�« éZ¨¡´ì�¡�éaì´é � � ³ ¡6¹ � ª6¹�ª}ê°¬e뱫 éw� ( J�@ % �ì�ê�¿6¿<¡��D¬±¡O¬±¡�ë[ê�5¸µ¡ § ÀZ¡´ì¼» ë ³ ê�ªnì îøòùô í � ¬?¿<¡�é�¬~¡´ìM¹�ª}êþ¬)뱫ÙéÙìa� ( JL@ % �½¬~¡´ì¦ì�ê?¿P¿<¡´ìñ� � «\´ � «\ª:¡�ì:âM¡�é³ ¡�ûñê�´ § é�¡�ë�ª­¬~¡ ³ ê §:�?³ «©ì � éV« ê�´ õ.ö í ÷ î òùô}í § ê�¿6¿aë­é�¡Lµ�ק ¡´ìr¹`ª}ê°¬)ë�« é�ì¥� ( J�@ % �ùì�ê�¿P¿l¡´ìñ�´�Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã ] C�í & HD_¥J ^ HDJL@ %D( �>HDADC ^ @�`uC{N & C ( J�@L�¶v{J��©�=NDO ^ JLA ( HDC & �=�=N & v 4 ö í ÷ í h í& HD_�J ^ ADN & H¶���=CPN ^®x& H ( �=C ^ J76 ö í h í ÷ í ���©�=NDO ^ J�A (�%D( �>HDADC ^ ���½å N & 4 � î ��ú î h î �J ^ O��=_�_¥J î J�@ ^ @ ^n& `uv{J %'&)(9%D( �­HDADC ^ HDJjHDJ�A>M×� xJ�O | J�@��86X� î h î ��ú î �D·�NyEUJ (B^ A�HDA�v{J�_�_�J* � ó �Dv{J�@��©�=NDO ^ J�A ( @4 ö>î ò�ô í S ÷ � î h î � ò�ô �Ùí h íó� ) 6 ö � î h î � òùô ��í h í�� S ÷ î òùô í )CPNDHDADC ^ @ %'&)( 4 J ^ 6 ( JL@ % J�O ^ C{EUJ�_¥J�N ^ ���©� ( _¥J�N ^ ADNwO��=A % vPJ¨HDJ¨�©�=NDO ^ JLA ( @ & H¶���=CPN ^ @��zå ( ��J�N�EUJ (B^ AHDA²vPJ�_¥_�J * � � �S� î h î � òùô ��í h í���J�@ ^ O & ND�=NDCP�>ADJL_�J�N ^ CP@B�=_�� (�%u| J x&.îøòùô í h îøòùô íü�J ^ �=N"E ~J ( C{¹uJ¥� & OLCPvPJL_�J�N ^ �­ADJ 4 @��¸C{HDJ�N ^ C{¹uJ %'&)( O�J ^ C{@B�=_�� (B%u| C{@B_�J & AZ�©�=NDO ^ J�A ( HDC & �=�=N & v��ùåjNJ�N²H ~J�HDADC ^ �>ADJ îøòùô í & HD_¥J ^ HDJ�@ %D( �­HDADC ^ @�`uC{N & C ( JL@�� 6 ~J ^n& N ^ ADN²�©�=NDO ^ JLA (X%D( �>HDADC ^ ��O�J®�­ADC& O |IxJLEUJ v & H ~JL_��=ND@ ^B(n&)^ CP�=Nq��v &¨%'&)(B^ C{J ( J�@ %±~J @BJ H ~J�HDADCP@ & N ^9%'&)(S%'& @B@ & �=J & A>M®O &)^>~JL�=� ( CPJ�@�� %D% �=@ ~J�JL@��( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� ôqÎ�ïIÎ ¦ ��§�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡ ßpàeá � ßpàeá¥� � Ö òùô {q|~} � ¬T¿<¡�éë¬~¡�ì�¹�ªnê°¬)ë�« é�ì ø ´&« ìס�é­¬~¡´ìì�ê�¿6¿<¡´ì ø ´&«�¡´ìd¡Lé ³ ¡*û�ê�´ § é�¡�ë�ª­¬~¡ ³ ê §:�?³ « ì � é�«ºê�´ §:� ´¤ê�´&«�¯�ë&¡ õ.ö {q|~}p÷ ßpàeá }¸§ ê�¿6¿aë­é�¡°»Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã t &®%D( � % �=@�C ^ C{�=N (>~J�@BADv ^ JXHDJL@ %D( � % �=@BC ^ CP�=ND@ * � � * � b>� * � ¾ �¤HDAvPJ�_�_¥J Þ � � �zJ ^HDJ¨@��=N�HDA & v¬�( × Ö'ÜsÖ���Ø Ò Ø Ö�� ôqÎ�ôqÎ á ê?« é à �Éå å åcæî

Ëãããä ú�ë�´$é�ª+« � ´8© ³ ¡ § ê?¿P¿aë>é � é�« û^¬~¡l{q|_}°»ÌØ�´Wì´ëþ¹_¹'ê¶ì°¡^¯Lë(¡Ê¹�ê¶ë±ª�éÄê)ë­é�ê ��ã ¡�é � ¬±¡¸� ³ ¡�¿�ê�ªÅ¹�À~«©ìQ¿<¡É¢À ö à ÀS÷ Ë�À�â*«\´�¬)ë�« é,¹ � ª$Éý¬ � ´Dì ³ ¡´ì ø � ª:¡´ì�âI¡´ì´é�ë±´�¡ÿ¨¡°¯�뱫\² �?³ ¡Q´ § ¡zû � « � ³ ¡°»

& � á « î ¡�é ú ì�ê�´'é�¬~¡´ì�¹�ª�¨¡ § ê ø � ª � é�«ºê�´uì:â �?³ ê?ªnì ³ ¡qû�ê�´ § 颡L뱪�Éü¡�ì´é � ìŹ�ÀB¨¡QªQ«�¯Lë(¡ � ël¬~¡´ìnì�ë�ìB¬~¡z�Ê»`�� á « î ¡�é ú ì�ê�´'é�¬~¡´ì½¹�ª�¨¡ ø � ª � é�«ºê�´Dì:â �?³ ê�ª´ì ³ ¡qû�ê�´ § 颡�ë�ª�Éü¡´ì�é § ê � ìŹ�ÀB¨¡QªQ«�¯Lë(¡ � ëʬ~¡´ì´ì´ë�ì2¬~¡z�Ê»ÛI´t¹ � ª�éV« § ë ³ «�¡�ª:â�¬ � ´Dì ³ ¡´ìP¬~¡�ë�ê §:� ì�� & �¨ê¶ëÀ�Ù`��´� ³ ¡�û�ê�´ § 颡L뱪$Éÿ¡´ì�ésë�´`¡ÿ¨¡°¯Lë�«\² �?³ ¡Q´ § ¡zû � « � ³ ¡°»

Ü�468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã �p�=A (;^ �=A ^ �e`D��J ^!� HDJ­�X�'�=N & ADN�O &)(B(>~J¨OL�=_�_aA ^n&)^ CP�IH & ND@I{q|~}à À �É�ÀK À

Ë�À ]�Àà å � �É�å � Ë6å � )

� xAkK À�J ^ ]nÀÁH ~J�@BCP�=NDJLN ^ v{J�@;�©�=NDO ^ J�A ( @�O & ND�=NDCP�­ADJ�@�� ] C î J ^�ú @B�=N ^ HDJ�@ %D(>~J�O��e¹D` (}&)^ CP�=ND@��'J�N�EUJ (B^ AHDAZv{J�_�_�JXb>�{f ¾ �qvPJ�@��©�=NDO ^ J�A ( @ëK À¨J ^ ]�À & HD_�J ^B^ J�N ^ HDJL@ & H¶���=C{N ^ @ x& � & ADO | Je�½J ^ @B�=N ^ HD�=NDO¥OL� & §@ %u|�~J ( CP�>ADJL@��qJ ^ J�N %'&)(B^ C{O�ADvPC{J ( HDJ�@ ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�J�@j� & C{`uv{J�@X�ºb>� b=b=�´�q«±�=_�_�J %'&)(j| ³ % � ^}|qxJ�@BJPÉ¢À�JL@ ^ADNDJ ~JL�>ADC{E & vPJLNDO�J±� & C{`uv{Je�eCPv­J�NXJ�@ ^ HDJ±_ -J�_¥J % �=A ( É�å � �¶O�J9�>ADC %D( �=AGEUJ;v�� & @B@�J (B^ C{�=N�� � ��� t � & @B@BJ (B^ CP�=N� � �9JLN (>~J�@BADv ^ J %'&)(�%'& @B@ & �=J & A>M�O &)^>~J��=� ( C{J�@;� %D% �=@ ~J�JL@���JLN�EUJ (B^ A�HDJ¨v &X%D( � % �=@BC ^ C{�=Nwb>�{f * �

� f

Page 64: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

1 Ú ÓÔ­Ö�×��ÔGÛZÔ ôIÎÙÍ�õIÎ á ê?« é�Ö ë�´`¡q¹ � ª´é�«�¡I¬±¡�ïDðâ�\{�|~}��þ» ¦ ¡´ì § ê�´�¬?« é�«ºê�´uìpì´ë±«�² � ´ué�¡´ì¿ìñê�´uéP¨¡°¯Lë�«\² �?³ ¡�´u颡�ì�å& ��Ö ¡´ì�ésë�´ ³ ê §��?³ «©ì � é�¡�ë�ªMûñê�´�¬ � ¿l¡Q´ué �?³ û�ê�ª�éÅ»`��IÖ ì � éV«©ì�û � « é � ë[ê § ê�´�¬T« éV« ê�´Dìjì´ë�«\² � ´u颡�ì å

t �Ðý � ¦ � ¹ � ª´é�«�¡$Ö ¬~¡¨ïuð �\{q|_}��6¡´ì�é�û � « � ³ ¡Q¿l¡Q´uésì � é¬ë±ª�¨¡þ¡°»t  ý � á « à ¡´ì´éjë�´`¡ë¹(¡�é�« é�¡ §�� éZ¨¡�©�ê�ª+«Å¡ � ¬T¿<¡�é¬é � ´'éjë±´,ê �Vã ¡�é�«\´(« éV« �?³ â �T³ ê�ªnì à ÷ Ú ¡´ì´é¬ � ´uìIÖ »t « ý � á « à �Éå å åcæî

Ëãããä ú�¡´ì´é¤ë�´°é�ª+« � ´�© ³ ¡ § ê�¿P¿aë>é � éV« ûI¬~¡,{�|~}�⽡�é¤ì+«T¹�ê¶ë±ª�é¡ê¶ë­é�ê �Vã ¡�é � ¬~¡��Pâ ³ ¡�û�ê?´ § é�¡�뱪 � �?É ö_� � à ÷ � �TË<â«\´�¬e뱫 éq¹ � ª2Éqâ$¡´ì´éI¬ � ´DìIÖ â �?³ ê�ª´ì$Éç¡´ì´éI¬ � ´Dì$Ö »Oñ��Ö ì � é�«©ì\û � « é � ë[ê § ê�´�¬?«ÙéV«ºê?´Dì ì´ë�«\² � ´ué�¡´ì�å

t ¿p� ¦ � ¹ � ª´é�«�¡$Ö ¬±¡KïDðF�\{�|~}��æ¡´ì´é�û � « � ³ ¡Q¿<¡Q´'é¿ì � é�ë�ª�¨¡þ¡þ»t ù�� ¦ ¡­¿�ê�ª�¹�À~«©ì+¿<¡ §:� ´¤ê?´&«�¯Lë(¡ 4 ô ÷ Ú ¡´ì´é$¬ � ´uìIÖ »t õ � á « à �Éå å åcæè Ëãããä Õ

�¡´ì´éùë±´�éVªQ« � ´�© ³ ¡ § ê�¿P¿aë>é � éV« û!¬~¡ {q|_}+âeè^¡�é]Õʬ~¡´ì § ê ø � ª � éV« ê�´Dì:âZÉë�´®�©�=NDO ^ JLA ( O��­O &)(B^>~J�@�CPJ�N æ é�ª � ´Dì+®û�ê�ªQ¿ � ´ué2¿�ê�ªÅ¹�À~«©ì+¿l¡´ì § ê §:� ª�éZ¨¡�ì+«�¡Q´Dìæ¡Q´ü¿�ê?ª�¹�À~« ì+¿<¡´ì § ê §�� ª´éZ¨¡´ì+«�¡�´Dìfèþâ2¡�é9ì+«,¹'ê)뱪aé¡ê¶ë>é ê ��ã ¡�é � ¬~¡�6â ³ ¡zûñê�´ § é�¡�ë�ªrÉ¢À ö à À�÷ Ë�À�âM«\´�¬e뱫 é`¹ � ªrɶ¬ � ´uì ³ ¡´ì ø � ª:¡�ì:âr¡´ì´é*¬ � ´DìrÖ â �?³ ê�ªnì�Éý¡´ì´é*¬ � ´DìrÖ »H'�IÖ ì � éV«©ì�û � « é � ë[ê § ê�´�¬T« éV« ê�´Dìjì´ë�«\² � ´u颡�ì å

t ¿ ý � ¦ � ¹ � ª´é�«�¡IÖ ¬~¡KïDðF�\{q|_}��æ¡´ì�é(û � « � ³ ¡Q¿<¡�´ué¿ì � é�ë�ª�¨¡X¡°»t ù ý � ¦ ¡­¿�ê�ªÅ¹�À~«©ì+¿l¡ §:� ´¤ê?´&«�¯Lë(¡ 4 ô ÷ Ú ¡´ì´éI¬ � ´uì$Ö »t õ ý � á « à �Éå å åcæè Ëãããä Õ

�¡´ì´ésë±´wé�ª+« � ´�© ³ ¡ § ê?¿P¿aë>é � é�« ûë¬~¡r{q|~}�âGèL¡�é�Õ�¬~¡´ì ø � ª � éV« ê�´Dì:â�É ë�´w�©�=NDO ^ JLA ( O &)(B^>~J�@BC{J�NÔæÄéVª � ´Dì\û�ê?ª+®¿ � ´'é�¿�ê�ª�¹�À~«©ì+¿<¡�ì §:� ª�éZ¨¡�ì+«�¡Q´DìÊ¡Q´�¿®ê�ª�¹�À±«©ì+¿<¡´ì §:� ª�éZ¨¡´ìQ«�¡Q´DìfèXâ�¡�é¦ì+«�¹'ê)뱪�é¡ê¶ë­é¨ê �Vã ¡�é � ¬~¡­�Pâ ³ ¡û�ê�´ § 颡L뱪$É¢À ö à À�÷ Ë�À�â*«�´�¬)ë�« é�¹ � ªIÉÿ¬ � ´Dì ³ ¡´ì ø � ª:¡´ì:â�¡�ì´é$¬ � ´DìIÖ â �?³ ê�ª´ìIÉç¡´ì´éI¬ � ´Dì2Ö »Ü 468ÝßÞ�;=?�à>9>áWà:âJÞ�;mã t �¸CP_ % vPCPO &)^ CP�=N,� � �çé � § � (>~J�@BADv ^ J�HDJ�v &.%D( � % �=@�C ^ C{�=N * � * �¾�p�=A ( _��=N ^B( J (v¬��CP_ % v{CPO &)^ CP�=N²� § �ßé � � ���¤@��=C ^ Ö ADNDJ %'&)(�^ CPJcHDJ�ïDðâ�\{�|~}���@ &)^ C{@B� & CP@ & N ^�& A>M.O��=NDHDC ^ CP�=ND@ t ¿�� t ù¿�t õ � t & O��=NDHDC ^ CP�=N t �Ðý O��ñ» ¼{NDO�CPHDJ & EUJ�Oav & O��=NDHDC ^ CP�=N t ¿��¤J ^ J�@ ^ HD�=NDOa@ &)^ CP@B� & C ^ Je�z�p�=A ( _��=N ^B( J (vPJL@ÁO��=NDHDC ^ CP�=ND@ t  ý J ^ t « ý �u�=N %D( �>O xJ�HDJ %'&)(Á% v{AD@BCPJ�A ( @ ~J ^n&)% J�@��

� b

Page 65: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

«¡�S¢.�=N ^B( �=ND@;�­ADJjvPJj_�� (B%u| C{@B_�J O & ND�=NDC{�>ADJ 4 ô ÷ Ú J�@ ^ ADNDC{EUJ ( @�J�vPv{J�_�J�N ^ H & ND@$Öø� & A ^B( J´§_�J�N ^ HDC ^ �u�>ADJ % �=A (¦^ �=A ^ J % J ^ C ^ J�O &)^>~JL�=� ( CPJ à ��v &X%D( J�_¥C xJ ( J %D( �)��J�O ^ C{�=N°è�� ô ö à h 4 ô ÷ à JL@ ^H & ND@BÖø��å N & ADN ^�( C & ND�=v{JKO��=_¥_XA ^}&)^ CP�à h 4 ô �è�� ôå å åcæè�� ô

Ããããä f ôà )vPJL@2� xJ�O | J�@ �e`uv{CP�>ADJL@ ~J ^n& N ^ HDJL@¦O��e¹D` (n&)^ C{�=ND@��'J ^ v & � xJ�O | J | � ( C·Â��=N ^n& vPJKADNw�©�=NDO ^ J�A ( OL�>O &)(B^>~J�@BCPJLNq�CPNDHDADC{@ & N ^ H & ND@;vPJ�@9¹D` ( J�@ & A�HDJ�@B@�AD@¦Hq�¸ADN��e`D��J ^ |�HDJ à ADN��©�=NDO ^ J�A ( @��¸C{HDJ�N ^ C{¹ & N ^ & A��©�=NDO ^ J�A (O & ND�=NDC{�>ADJ 4 ô ÷ Ú �s�­ADC9J�@ ^ H & ND@tÖ J�N?EUJ (B^ A�HDJ t ù¿�¿�¡v (G~J�@BADv ^ J�HD�=NDO�HDJ t õ �­ADJXè�� ô JL@ ^H & ND@BÖø�«\«¡�¾¢.�=N ^B( �=ND@±�­ADJBÖ @ &)^ C{@B� & C ^jx& v & O��=NDHDC ^ C{�=N t  ý � & A ^B( J�_¥J�N ^ HDC ^ �U�­ADJ % �=A (s^ �=A ^ J % J ^ C ^ JO &)^>~JL�=� ( CPJ à & HD_�J ^B^}& N ^ ADNÀ�e`G��J ^ CPNDC ^ C & v��qvPJ°_�� (B%u| CP@�_�J°O & ND�=NDCP�>ADJ à ÷ Ú JL@ ^ H & ND@­Öø�ù·�NJ�èzJ ^ �9J�N,EUJ (�^ A�HDJ"v &²%D( � % �=@BC ^ CP�=N ó �Pf � �9v & O &)^>~J��=� ( CPJ à J�@ ^ O��=N ^B(n& O ^ C{vPJe�9J ^ O��=_�_¥J%Ö JL@ ^� & C{`uv{J�_�J�N ^ @ &)^ A (>~Je�uv�� & @B@BJ (B^ CP�=N (>~J�@BADv ^ J¨HDJ���«¡�SJ ^ HDJ�v &a%D( � % �=@BC ^ CP�=N ó � � �«\«\«¡�Á��N ^B( �­HDADCP@B�=ND@�ADNDJaEUJ ( @BC{�=N ( J�v &)^ C{EUJcHDJXv & O &)^>~J��=� ( CPJæa;� à ��CPN ^B( �­HDADC ^ JXH & ND@Kb>�Pf ó � ] �=C ^É ö à ÷ ËüADN�_�� (B%u| CP@�_�JjHDJD{q|_}´�zå N�H ~JL¹uNDC ^ ADNDJKO &)^>~J��=� ( C{J­a;�VÉz�9OL�=_�_�J @BADC ^�ö

Ï�Ñ ��aÁ��ɤ�B� � 7 ��|()�ä�)+�q� C | ûxÏ�Ñ � à �Q)&ä û�Ï�Ñ ��ËX�Q)(� ö ä9÷ É���|>� û ïuðF�VË°��; )J ^ @BCù��|()�ä�)+�q�½J ^ �V| þ )�ä þ )+� þ �p@B�=N ^ HDJLA>M¥�e`G��J ^ @sHDJBaÁ��ɤ���)v¬�¸JLND@BJ�_c`uvPJ ßpàZm þ Y ì [ �B��|�)�äX)+�q�Q) ��| þ )�ä þ )+� þ ���J�@ ^ �©� ( _ ~J�HDJL@±O��=A % vPJ�@��Jù`)`ÿD���¬ù ö |X÷ | þ û ïuðâ� à ���¦ÿ ö ä þ ÷ ä û ïDðâ��ËX� ^ J�vP@��>ADJ¦v{J¦HDC & � (n& _¥_�J ö

ä �� ÉÅ�V|G� É���ùu�ä þ �� þ

üÿ

ÉÅ��| þ �� þ � É���ùu����ÿ

@B�=C ^ O��=_¥_XA ^}&)^ CP� � t �¸C{HDJ�N ^ C ^>~J�HDJ®�V|�)�ä�)+�q�¿J�@ ^ H ~J�¹uNDCPJ %'&)( f Y �Qk ä k � [ � �¡f � )�f�ä}���DJ ^ @BC��ù�)`ÿu� ö �V|�)�ä�)+�q� S ÷ ��| þ )�ä þ )+� þ � J ^ ��ù þ )`ÿ þ � ö ��| þ )�ä þ )+� þ � S ÷ ��| þ�þ )�ä þ�þ )+� þ þ �

@B�=N ^ HDJ�@Á_�� (B%u| C{@B_�J�@9HDJda;�VÉz�����ù þ )`ÿ þ ���K�Jù`)`ÿD� � ��ù þ ù�)`ÿ�ÿ þ �

å N�H ~JL¹uNDC ^ HDJ�A>M��©�=NDO ^ J�A ( @ ö

Ë ý a;�Vɤ�� 3 ì �} ì ÃJ�N % �=@ & N ^Á% �=A (�^ �=A ^ �e`G��J ^ �V|�)�ä�)+�q�¿HDJda;�Vɤ� ö

3 ì ��|()�ä�)+�q� � ä ) } ì ��|�)�äX)+�q� � | )��¾

Page 66: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

J ^;% �=A (Á^ �=A ^ _¥� (B%u| CP@B_¥J¥�Jù`)`ÿD��HDJda;�VÉz���3 ì �Jù`)`ÿD� � ÿ ) } ì ��ù�)`ÿu� � ù �ºå N ( J�_ &)( �>ADJ¦�­ADJ¦v & O &)^G~J��=� ( C{J�aÁ� à �¿J ^ vPJ�@±�©�=NDO ^ J�A ( @ 3 ô J ^ } ô CPN ^B( �­HDADC ^ @�H & ND@;b>�Pf ó @���CPHDJ�N ^ C⧹uJ�N ^¨x& a;�VÉz��� 3 ì J ^ } ì ( J�@ % J�O ^ C{EUJ�_�JLN ^ � % �=A ( à � Ë�J ^ É � f ô � �såjN�E ~J ( CF¹uJ�� & O�C{vPJ�_�JLN ^ �>ADJ¦v{J�@�©�=NDO ^ JLA ( @ 3 ì J ^ } ì @B�=N ^ HDJ�@SOL�e¹D` (n&)^ CP�=ND@L�­J�N ( J�_ &)( �­A & N ^ �>Aq��ADN�_�� (B%u| C{@B_�JK��ù�)`ÿu�ÅHDJ�a;�VÉz�¾JL@ ^O��­O &)(B^>~J�@�CPJ�N ( J�v &)^ C{EUJ�_¥J�N ^Kx&æ3 ì � ( J�@ % �8} ì ��@BC¤J ^ @BJLADvPJ�_�JLN ^ @BC¤ùw� ( JL@ % �ÿu��JL@ ^ ADN�C{@B�=_�� (B%u| C{@B_�Je�J ^ �­ADJ @BC�ÿ ö ä þ ÷ äc� ( JL@ % ��ù ö |a÷ | þ ��JL@ ^ ADN�_¥� (B%u| CP@B_¥J¦HDJ�Ë � ( J�@ % � à ��J ^ ��|�)�äX)+�q�¾ADN��e`G��J ^HDJda;�VÉz� & A�HDJ�@B@BAD@�HDJ­äX� ( J�@ % ��|>��� & vP� ( @

��f � )`ÿD� ö ��|�)�äX)+�q� S ÷ ��|()�ä þ )+��ÿu�� ( J�@ % � ��ù`)�f�ä�� ö �V|�)�ä�)+�q� S ÷ ��| þ )�äX):ÉÅ��ùD�Õ�q�S�

J�@ ^ ADN _�� (B%u| C{@B_�J�O��­O &)(B^>~JL@BCPJ�N ( J�v &)^ C{EUJL_�J�N ^�x&�3 ì � ( J�@ % ��} ì � & A HDJL@B@BAD@¥HDJ ÿ7� ( J�@ % ��ùD���ÅåjN( J�_ &)( �>ADJX�>ADJXv & ¹D` ( JÊa;�Vɤ�¥ä¥� ( J�@ % ��aÁ�VÉz� � �jHDJ 3 ì � ( J�@ % �q} ì ��� & A"HDJL@B@BAD@cHq�¸ADN"�e`D��J ^ ä�� ( J�@ % �|G��HDJ6Ë ý � ( J�@ % � à ���¤J�@ ^ v & O &)^>~J��=� ( C{JPä�� à � ( JL@ % �¿��Ë6å?ÉÅ�V|G�B� ý ì É���|G�{�TË ý �´�¤·�N %'&)(B^ C{O�ADvPC{J ( �¤v{J�@¹D` ( J�@�HDJP} ì % �=@B@ xJ�HDJLN ^ ADN��e`G��J ^ CPNDC ^ C & v��zO�JX�>ADCpC{_ % vPC{�>ADJe��J�N�EUJ (�^ A�HDJ���«\«¡��J ^ HDJ t õ �q�­ADJd} ìJ�@ ^ H & ND@BÖø�

] �=C ^ à �Éî

Ë úà þ �É þ Ë þ

ADN�O &)(�(G~J¨O��=_¥_XA ^}&)^ CP�IHDJD{�|~}´�'å NwH ~JL¹uNDC ^ ADN��©�=NDO ^ JLA ( aÁ� î ) ú � ö a;�VÉz�¾÷ a;�VÉ�þP�±O��=_�_�Jj@BADC ^¨öaÁ� î ) ú �L��|�)�äX)+�q� � � î ��|>�Q) ú ��äL�Q) ú ���q�B� ) ��|�)�äX)+�q� û�Ï�Ñ ��aÁ�VÉz�B� )� ö ä S ÷�É���|G� ) ú ���q� öUú ��äL� S ÷ ú É���|G� � É þ î ��|G� )aÁ� î ) ú �L��ù`)`ÿD� � � î ��ùD�Q) ú �fÿu� ) �Jù`)`ÿD� û ïDðF��a;�Vɤ���

å N�E ~J ( C{¹uJ & AD@B@BC ^�-� ^ �­Aq�¸�=N & ADN�HDC & � (}& _�_�J O��=_�_aA ^n&)^ CP�Ë ýú ý

aÁ�VÉz�� 3 ì �} ì a;� î ) ú �

à îË þ ý a;�VÉ þ �� 3 ì Ø �} ì Ø Ã þ

«\²­�±¢.�=N ^B( �=ND@Á�>ADJëÖ @ &)^ CP@B� & C ^cx& v & O��=NDHDC ^ CP�=N t « ý � ] �=C ^ HD�=NDOà �Éå å åcæîËãããä ú�

� Þ

Page 67: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

ADN ^B( C & ND�=vPJ.O��=_¥_XA ^}&)^ CP�jHDJ%{�|~}´�9J ^ @BA %D% �=@B�=ND@��>ADJ % �=A (�^ �=A ^ �e`G��J ^k� HDJÄ�X�;v{J��©�=NDO ^ J�A (� �?É ö_� � à ÷ � �TË®�)C{NDHDADC ^¾%'&)( ɽ�eJ�@ ^ H & ND@zÖø�=·�NcEUJ (B^ AXHDJ9O�J9�>ADC %D(>~J�O xJ�HDJe�=�=N & ADN°HDC & � (n& _�_�JO��=_�_aA ^n&)^ CP� � ý

f�P � a;� î �� 3 í �} í a;�VÉ,)�f�P¾�

à É� ý a;� ú �� 3 ï �} ï Ë

·�N %'&)(B^ C{O�ADvPC{J ( �u�=N & ADN ^B( C & ND�=vPJ�O��=_�_aA ^n&)^ C{�

aÁ� î � �a;�VÉ,)�f�P¾�� � �! 3 í

a;� ú �"""#3 ï� ý )

� xA 3 í J ^r3 ï @B�=N ^ HDJ�@�OL�e¹D` (n&)^ CP�=ND@L�­J ^ �=N¥E ~J ( C{¹uJ;CP_¥_ ~J�HDC &)^ J�_�J�N ^ �>ADJ!aÁ�VÉ,)�f�P¿�¾JL@ ^ ADN��©�=NDO ^ J�A (O��­O &)(B^>~J�@�CPJ�Nq�u«±�=_�_�J % �=A (±^ �=A ^ �e`G��J ^$� HDJ��°�&a;�VÉ,)�f�Ps�¿CPNDHDADC ^ ADN��©�=NDO ^ JLA ( H & ND@9v{J�@S¹D` ( J�@ & AHDJ�@B@�AD@�HDJ � @��¸C{HDJ�N ^ C{¹ & N ^cx&æ� �?É ö~� � à ÷ � �TËy�>�>ADCqJ�@ ^9%'&)(9| ³ % � ^}|IxJ�@BJ�H & ND@2Öø�DC{v (>~J�@BADv ^ JjHDJKv &O��=NDHDC ^ CP�=N t õ �>ADJæaÁ��ɽ)�f�P¾�¦J�@ ^ H & ND@�Öø�½«9�=_¥_�Jë} í J ^ } ï @B�=N ^ H & ND@DÖø�qCPvÅJ�NJ�@ ^ HDJa_ -J�_¥J% �=A ( Éù�'«±J�O�C & O |IxJLEUJ¨v & H ~J�_¥�=ND@ ^B(n&)^ C{�=N�HDJKv¬��CP_ % v{CPO &)^ C{�=N�� § �ié � � �´�

¢.�=N ^B( �=ND@;v¬�¸C{_ % vPC{O &)^ C{�=N.� � ��é � � ��� ] �=C ^ HD�=NDODÖ ADNDJ %'&)(�^ CPJjHDJXïuð �\{q|_}���@ &)^ CP@�� & CP@ & N ^Á& A>MO��=NDHDC ^ CP�=ND@ t �Ðý � t  ý J ^ t « ý �&Á � ^ �=ND@$Ö ý v &c%'&)(B^ C{J¨HDJ°ïuðF�H{q|~}��±H ~JL¹uNDCPJ %'&)(

Ö ý öv��7 É û ïDðâ�H{q|~}�� C É ý û Ö ; �¡v=J�@ ^ CP_�_ ~J�HDC &)^ �­ADJ�Ö ý J�@ ^ ADN¨vP�­O & vPC{@ &)^ J�A ( �©�=NDH & _�JLN ^n& v=�©� (�^ ��·�N�EUJ (B^ AKHDJSb>�{f=f=��ADNDJ % J ^ C ^ JsO & §^>~J��=� ( CPJ & HD_�J ^B^}& N ^ ADN°�e`D��J ^ C{NDC ^ C & vGJ�@ ^ Ö ý § & @ %u|�~J ( CP�>ADJ)��OLJ;�­ADCDCP_ % v{CP�­ADJ±v & O��=NDHDC ^ C{�=N t  % �=A (Öø� ª J°_ -J�_�Je� % �=A (¨^ �=A ^ J % J ^ C ^ JXO &)^>~J��=� ( CPJ<�X�ùADNÀ_¥� (B%u| CP@B_¥JXHDJ6{q|~}�åT� Ö ý § OL� & @ %u|S~J ( C{�>ADJ& A�HDJ�@�@BAD@jHDJ­��JL@ ^ H & ND@!Ö ý ��O�� � * �Pf ���uO�JK�>ADC½CP_ % v{CP�­ADJKv & O��=NDHDC ^ CP�=N t « % �=A ( Öø�zJ ^ & O |IxJLEUJv & H ~J�_��=ND@ ^�(n&)^ CP�=N�HDJ¨v�� ~J��­ADC{E & vPJ�NDOLJKHDJ�@ÁO��=NDHDC ^ CP�=ND@c� � ���½� � �9J ^ � § ���

·sN &)%D% vPCP�­A & N ^ O�J ^B^ J ~J��>ADCFE & v{J�NDO�J x& Ö ý � % �=A ( ADNDJ %'&)(B^ C{J�Ö HDJ1ïuð �\{q|_}����Á�=N H ~JLHDADC ^v¬� ~J��>ADCFE & v{J�NDO�JyHDJ�@°O��=NDHDC ^ C{�=ND@�� � ���9� � ��J ^ ��¬G� % �=A ( Ö��¾O�J��>ADC & O |qxJLEUJ�v & H ~J�_��=ND@ ^�(n&)^ CP�=N²HDA^}|�~J�� (�xJ�_�Je�

�_ó

Page 68: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

: ÕømµIsk=Ò Ê Ì h kIo È k=Ò�k È o É ÕTK É Ò ik=Ò È h m Ç Ò:9 Ç Ì Ò Ê7;­ik�D Ë Ì E mmÓÄk Ç oqk�Ò?l´m Ì G ÓÄk�ÒzrÍ{õ½ÎÙÍ�Î ] �=CPJ�N ^ +XADNDJ % J ^ C ^ J¦O &)^>~J��=� ( CPJ�J ^±ýøö +a÷�{�|~}¿ADNy�©�=NDO ^ J�A ( �uåjN (n&)%D% J�vPv{J¦ADNDJjO��=ND@ ^B( ADO�§^ C{�=N"HDJ � ( � ^}| J�NDHDC{J�O}�ZHq��ADNDJ¥O &)^>~JL�=� ( CPJ=< ý J ^ Hq��ADNDJ¥O��e¹D` (}&)^ CP�=N �ý ö < ý ÷ + & @B@B�­O�C ~JLJ�@ & A�©�=NDO ^ JLA (¨ý � t J�@��e`G��J ^ @�HDJ6� �><Xý @B�=N ^ vPJ�@jO��=A % v{J�@���KÕ)�|G���z� xA.K;J�@ ^ ADN"�e`G��J ^ HDJÛ+�J ^ |�ADN�e`G��J ^ HDJ ý �VKÄ�´� n Ny_�� (B%u| CP@�_�J HDJ°�VKÕ)�|G�¾EUJ ( @K�VKºþV)�|­þP�±JL@ ^ ADN�O��=A % v{J°�0�()+�q���>� xA � ö KÅ÷ Kºþ¤J�@ ^ ADN_�� (B%u| C{@B_�J HDJ +�J ^ � ö=ý �0�>����|>�¿÷ |­þqADN�_�� (B%u| C{@B_�JjHDJ ý �VKºþ ��� t J�O��=_ % �=@ ~J�Hq�¸ADN�_¥� (B%u| CP@B_¥J�0�()+�q� ö �VK�)�|G�¾÷ ��Kºþ�)�|�þ �±J ^ Hq�¸ADN�_�� (�%u| CP@B_�J°�0��þV)+�zþ{� ö �VK¬þ�)�|­þP�¿÷ �VK¬þ¸þ�)�|�þ�þ �9JL@ ^ H ~J�¹uNDC %'&)(

�0� þ )+� þ �J���0�()+�q� � �0� þ �()+� þ � ý �0� þ �����q�B�ý �0� þ �>����|G� �,ý �0� þ � ý �0�>���V|G� R Y Ç Ø [ Y � [S~S(SZSZS&S ÷ ý �0� þ �L��| þ � � ØSÅS�S ÷ | þ þ

t J¨�©�=NDO ^ JLA ( �ý J�@ ^ H ~JL¹uNDC %'&)(�ý �VKÕ)�|>� � K$) �VK�)�|G� û�Ï�Ñ ���¨��) �ý �0�()+�q� � �>) �0�()+�q� û ïDðF���¨�

å N°E ~J ( C{¹uJ;� & O�CPv{J�_�J�N ^ �>ADJ;vPJ�@¿_�� (B%u| C{@B_�J±O��­O &)(B^>~JL@BCPJ�ND@¿HDJ2� ( J�v &)^ CFEUJ�_�J�N ^ x&.�ý @��=N ^ vPJ�@z� xJ�O | J�@�0�()+�q�SHDJd� ^ J�v{vPJ�@Á�>ADJP�.@B�=C ^ ADNwCP@B�=_�� (�%u| CP@B_�J)�DJ ^ �­ADJ �ý�ö �[÷ +yJ�@ ^ ADNDJ¨O��e¹D` (n&)^ C{�=Nq��HD�=N ^vPJL@;¹D` ( JL@�� F @���CPHDJ�N ^ CF¹uJ�N ^¦& A>M�O &)^>~J��=� ( C{J�@ ý �VKÄ�´�021 68Ý4365!6B�$�:ã� ã ] �=CPJ�N ^ à ADNDJ % J ^ C ^ J�O &)^>~JL�=� ( CPJ�J ^ Ó ô v{JK�©�=NDO ^ J�A (Ó

ô ö à ý h à S ÷é{�|~} �Vä�)�|G� Í S ÷ ßpàZm ô ��äX)�|G� )� xA�v��¸J�ND@BJL_a`uv{J ßpàZm ô ��äX)�|G�¤J�@ ^ O��=ND@BC{H ~J (>~JSO��=_¥_�JsADNDJ�O &)^>~J��=� ( C{JsHDC{@BO (�xJ ^ Je� � v{� ( @ <

Óô @��¸C{HDJ�N ^ C{¹uJ

x& v & O &)^>~JL�=� ( CPJÄaÁ� à �®CPN ^B( �­HDADC ^ J�H & [email protected]>�Pf ó �9J ^ v & O��e¹D` (n&)^ C{�=N ±Ó ô ö?< Ó ô ÷ ÃÐý h à & A�©�=NDO ^ JLA ( � 3 ô )Õ} ô � ö a;� à �S÷ ÃÐý h à ��O�� �¤b>�Pf ó ����«±J�v & J´M % vPC{�>ADJ�J ^¦( J�H ~J�_¥�=N ^B( J�vPJ�v{J�_�_�J¨b>�Pf � �&)¯¥( _ & N ^ �­ADJ 3 ô J ^ } ô @B�=N ^ HDJ�@;O��e¹D` (n&)^ CP�=ND@¨� % ADCP@B�­ADJKv{J�@ %D( �)��J�O ^ C{�=ND@Á@B�=N ^ HDJ�@�OL�e¹D` (n&)^ CP�=ND@L�J ^ v{J�@ O��e¹D` (n&)^ C{�=ND@j@B�=N ^ @ ^n& `uvPJ�@ %'&)( O��=_ % �=@BC ^ CP�=N'���'��v{AD@ � ~J�N ~J (n& v{J�_�J�N ^ �¤@�C�É ö à ÷ Ë J�@ ^ ADN_�� (B%u| C{@B_�JjHDJD{�|~}±J ^

Óì vPJ��©�=NDO ^ J�A (Ó

ì ö Ë ý h à S ÷é{q|_} ��äX)�|G� Í S ÷ ß¾àZm ��ä�):É���|G��� )& vP� ( @ <

Óì @��¸C{HDJ�N ^ C{¹uJ x& v & O &)^>~J��=� ( C{J�aÁ�VÉz�¤O��=ND@BC{H ~J (>~J�JsH & ND@½v & H ~JL_��=ND@ ^B(n&)^ CP�=N�HDA ^}|�~JL� (ñxJ�_�J * �PfñdG�

Í{õ½ÎòÆ ] �=CPJ�N ^ +¥ADNDJ % J ^ C ^ J O &)^>~J��=� ( CPJ)� ýóö +a÷é{�|~}�ADN��©�=NDO ^ J�A ( �DJ ^ � �@<Xý �G�p�=A (9^ �=A ^ �e`G��J ^K�HDJÐ+'�'�=N�H ~JL¹uNDC ^ ADN��©�=NDO ^ JLA ( È F öUý �VKÄ�¾÷ �%'&)( È F �V|G� � �VKÕ)�|>��) | û�Ï�Ñ � ý ��KÄ�B�!)È F ���q� � ��f F )+�q��) � û ïDðF� ý �VKÄ�B�!)

���

Page 69: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

�>ADCuC{HDJ�N ^ C{¹uJ ý �VKÄ� x& v & ¹D` ( JB� F HDJ>�ý$& A°HDJ�@B@BAD@SHDJ2KB� ª J % vPAD@L� % �=A (s^ �=A ^ _�� (B%u| C{@B_�Jß� ö K�÷ K þHDJ +'�D�=N�H ~JL¹uNDC ^ ADN�_¥� (B%u| CP@B_¥J�HDJ��©�=NDO ^ JLA ( @

ý �VK � �ý �f�>�A A A A ACBÈ Fý ��K þ �DDDDDE È F ØFHG� é

�ù¢Ç ö È F S ÷ È F Ø ý �0�>�

%'&)( ù¢Ç k � � �0�()�f R Y Ç [ Y � [ � ö ��KÕ)�|G� S ÷ ��K þ ) ý �0�>����|>�B� )% �=A ( |w�e`G��J ^ HDJ ý ��KÄ���ùåjN ( J�_ &)( �>ADJa�>ADJ°@BCÊ� ö K;÷ Kºþ��¬��þ ö Kºþp÷ Kºþ¸þ¾@B�=N ^ HDJLA>MZ_�� (�%u| CP@B_�JL@O��=_ % �=@ & `uvPJL@ÁHDJ +��D�=N & v & O��=NDHDC ^ CP�=N�HDJ�O��>O�³GO�v{J ö��fñd ¾ f � ù�Ç^ØÅÇ � �rù¢ÇKØ í ý �0�>��� ù¢Ç ) ù ô w � f�Ñ w )

ý �VKÄ� �ý �0�>�� � � � � � ���È Fý �VK þ � �ý �0� þ �

È F Ø ý �VK þ�þ ��������� È F ØQØF G� é F G Ø� é�

«±J�@�HD�=NDN ~J�J�@c@ &)^ CP@B�©�=N ^�x& v &�%D( � %D( C ~J ^>~J�ADNDCFEUJ ( @BJLvPvPJ¥@BADC{E & N ^ Je� & N & v{�=�=ADJ x& O�J�v{vPJ�HDJL@�vPC{_�C ^ JL@KC{N>§HDADO ^ CFEUJ�@����p�=A (�^ �=A ^ JKO &)^>~J��=� ( CPJ � � ^ �=A ^ JK� & _�CPv{vPJ�HDJ��©�=NDO ^ JLA ( @!9 F ö�ý �VKÄ�s÷ � �(K û%Ï�Ñ �-+>���uJ ^^ �=A ^ J;� & _�C{vPvPJ±HDJ;_�� (B%u| C{@B_�J�@¾HDJ;�©�=NDO ^ J�A ( @ õ Ç ö 9 F ÷ 9 F Ø ý �0�>����� ö KÅ÷�K þ û ïDðF�-+>�Å@ &)^ CP@�� & CP@ & N ^x& v & O��=NDHDC ^ CP�=N�HDJ¨O��­OL³GOLvPJ

õ ÇKØ Ç � � õ ÇKØ í ý �0�>�B� õ Ç ) õ ô w � f 5 w )% �=A ( � ö K ÷ Kºþ��m��þ ö Kºþs÷ Kºþ�þs_¥� (B%u| CP@B_¥J�@¨O��=_ % �=@ & `uv{J�@¨HDJ�+'�½CPv¾J�MDC{@ ^ J�ADNÀ�©�=NDO ^ J�A ( ADNDC{�>ADJÓö �$÷ � ^ J�vI�>ADJ

��fñd ¾ b=� 9 F �Ó È F ) K û�Ï�Ñ �-+>��) J ^ õ Ç � Ó í ù�Ç×) � û ïuðâ�-+G�

·¿M % vPC{O�C ^ JL_�J�N ^ �D�=N &

��fñd ¾ ¾ �Ó��KÕ)�|G� � 9 F ��|>��) �VKÕ)�|G� ûxÏ�Ñ ������)Ó�f�()+�q� � 9 F Ø����q� õ Ç k � ) �0�()+�q� ö �VKÕ)�|>�p÷ �VK þ )�| þ � û ïuð �����

·�N %'&)(B^ C{O�ADvPC{J ( �uCPvIJ�MGCP@ ^ J�ADN��©�=NDO ^ J�A ( ADNDC{�>ADJ

e²R ö:IKJ>L&LMLONQPSRUTLVN J WXZY

Page 70: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

[�\ P^]:_ \a` R^bdcfegJ*h(iCjkNQPSRSTL8N JmlMion0prqsh(tsjulwvyx\z` RU{g| \ P \ T=}�~��M�wR ` T \r��� |w}g|wRS]:_ \ lh��.���������$j bdc���������,c�W ion�p�qwh�t�j�W \ [ ���*���V�?��� v w W �*egi�N iO��n¡ M¢£h(t�j��¤k¥ �MPSR � R [�\ T \ | [ eh��.�������£¦gj ����h(i�W¨§�jf�©bdc�h(§�j�W h(i�W¨§sjªn�prq�hO«?jrW

����hC�8W�¬�j­�©bdc,®�hO¬�j�W hC�8W�¬�jªe8h(i�W¨§sjkN h(i4�(W¨§:�Sjyn¯ M¢�hO«°j��±:²�³µ´�³7¶ � �w~�}��w~�R�x\ [ x\ _w|wRµ· \ ~ `�\ PUP \ vªx\ � ~�R [�\ v � | ` �.��¸¹� `�\ �w~�x\z� R `�\ � � ~­_w| \ �w~�}��w~�R�x\ [ x\�º�»d¼ _w|wRU· \ ~ `�\ PSP \z½¾ � R `�� | [ v \ «¿�@<�JÀ_w| \Áº�»d¼ PSRUT=R [�\ RU|wvw_ � [ Rµ· \z½ e.­}g_�~ [ }g_ [�� }g_��MP \ v \ ¾ }g| �u[�\ _�~ `�à W à � eZ« ÄÄ « �vªx\ Å |wR `�`�� | [ Æ c�� à �,c�W ion�p�qwh�t�j�W Ç��a� à ���È��W �=n¯ M¢�h(t�j�WÆ �c � à �S�,cÉW ikn�prq�h(tsj�W Ç��� � à �H���V��W �*n¡ M¢µh�t�j�W\ [�[ }g_ [�\ ¾ � T=RSPUP \ v \ Tm}�~��M�wR ` T \z` v \ ¾ }g| � [�\ _�~ `Ê �c e Æ cfLVN Æ �c W ionËp�qsh(t�j W`��Ì[ R ` ¾ � R `�� | [�� _ ¥ ~ \ P �Ì[ RS}g| `

h��.���Í�w�S�dj Ç �� Ê �c �ÎhOÊ �cÏ® ��J=hC�sj�jCÇ�� W �=eZi�N i � n¡ M¢µh�t�j WÆ c ÄÇw�ÐÊ �c

Æ cÏ®ÑJ=hC�sjÐ Ê �cÏ® ��J*hC�sjÆ �c ÄÇ �� Æ �cÏ® J=hC�sjRSP \ ¥ R `�[�\ _w|_w|wRU]s_ \ T=}�~��M�wR ` T \ v \ ¾ }g| � [�\ _�~ ` ÊÒe à N à � l [�\ P^]s_ \

h��.���Í�w� » j Ê��c �ÓÊÔ���,c W ikn�p�qwh(tsj �±:²�³,ÕÖ³Ø× }gR \ | [ T � RU| [�\ | � | [ J � ektÙN Ú^§ZÛÁ_w|Üv \ _ ¥ ROÝ\ T \ ¾ }g| � [�\ _�~�loÞJ � ek« � �ß<�J � N t¯P �� } Åwà ~ �Ì[ RS}g| � }�~�~ \z` �Ö}g|wv � | [�\ l \u[ ÊáesJâN J � _w|�T=}�~��M�wR ` T \ v \ ¾ }g| � [�\ _�~ ` l�v \Á` }�~ [�\ ]s_ \ �È}g_�~[ }g_ [ } à�ã�\ [ iov \ t8l Ê�c­eZJ=h(iCjyLVN Ja�&h(iCj` }gR [ _w| ¾ }g| �u[�\ _�~�¸Èär|åvyx\ Å |wR [ _w| ¾ }g| � [�\ _�~�æç�@<ÔÊÒeZ«¿N « � l \ |è�È} `�� | [

æ�h(i�W¨§sj­�>h(i�W¨Ê�c�hO§�j�j W h�i�W¨§�jªn�p�qwh(«°j Wæ�hC�8W�¬�j­�ÎhC�8W¨Ê�c,®Ch4¬�j�j W hC�8W�¬�jªn¯é­êwë�ì�h�h�i�W¨§�juWdh�i � W¨§ � j�j �

h4í�}gT=T \ hC�8W�¬�j \z`�[ _w|©T=}�~��M�wR ` T \ v \ «îv \ h(i�W¨§sj�· \ ~ ` h(i � W¨§ � july¬ïeÉJ*hC�sjzh(§�j�N § � \z`�[ _w|T=}�~��M�wR ` T \ v \ J*h(i � j \ [ Ê�c,®Ch4¬�jeÉÊ�c,®,J*h&�sjzhO§�j*N Ê�cÏ®�hO§ � j�_w|ÀTm}�~��M�wR ` T \ v \ J � h(i � ju¸�í�}gT=T \Xgð

Page 71: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

Ê \ `�[ _w|¯T=}�~��M�wR ` T \ v \ ¾ }g| � [�\ _�~ ` l­Ê�cÏ®ÑJ=hC�sjzhO§sj��KJ � h&�sj�Ê�c�hO§�jul^vw}g| � hC�8W¨Ê�c,®&h4¬�j�j \z`�[aà R \ |¯_w|T=}�~��M�wR ` T \ v \ « � lsv \ h�i�W¨Ê�c�hO§�j�jñ· \ ~ ` h(i � W¨Ê�c,®ChO§ � j�ju¸¹jªä�| � _w| [ ~�R � |w{gP \ò� }gT=T7_ [¨�Ì[ R ¾ v \ ¾ }g| �u[�\ _�~ `«¿�@IóJ Äæ*�@<ÔÊô ô ô ôZõöJ

IKJ��Ó«÷�øøøøù ÞJ �t W\ [ }g|¡·ox\ ~�R ÅM\ ¾ ��� RSP \ T \ | [ ]:_ \ æ \ `�[ _w| ¾ }g| � [�\ _�~ � } ��� ~ [ x\z` R \ |Àh [ ~ � | ` ¾ }�~�T � | [ T=}�~��M�wR ` T \z`?� } ¼��� ~ [ x\z` R \ | `�\ |Tm}�~��M�wR ` T \z`É� } ��� ~ [ x\z` R \ | ` ju¸¶ \ ¾ }g| � [�\ _�~�æç�@<�ÊÙ� \ _ [°ú\ [ ~ \?� _ `�` R�vªx\ Å |wR^� � ~òP � �w~�}��w~�R�x\ [ x\ _w|wRU· \ ~ `�\ PUP \ v \ «Ô¸8û�} [ }g| `

�(�c e$Ja�4h�iCjÉLVN «a� W iknËprqsh(tsj W���� eg���c L8N ���cÏ® Ja�4hC�sj W �*egi�NQi4�^n¯ M¢�h(t�j W

P \ ` ¾ }g| � [�\ _�~ `\ [ T=}�~��M�wR ` T \z` v \ ¾ }g| � [�\ _�~ `è��� |w}g|wRS]:_ \z`å� }�~�~ \z` �È}g|wv � | [0� _ ¾ }g| � [�\ _�~J � l \ [vªx\ Å |wR `�` }g| ` Æ c��Ó� �c Ê�còW ionËp�q�h�t�j�W Ç��÷�Ó� �� ��Ê�cÉW �*egi�N i � n¡ M¢µh�t�j�WJ*h(iCj ÄÊ�cü ü ü ürýÆ c J?�4h(iCj

Ð � �c«a�Æ c������c Ê�c�þ ÿ�� � ®ÿ ��� wL�LMLwL8LwLwL&N ���cÏ® Ja�&hC�sj�Ê�c����(�c,® Ê�c,®,J*hC�sjf� Æ c,®,J*hC�sj��

× }gR \ | [ �=eZi�N i � \ [ � � eZi � N i �Í� v \ _ ¥ Tm}�~��M�wR ` T \z`É� }gTm�Ö} `��Ìà P \z` v \ t8¸Vär| �Ç���®£�?�©� ���®�� �rÊ�c����¨h�� ���® ��J � hC�sj�jC� ��� ��Ê�c����O� ��z® ��h�J � h&�sj�Ê�cOj � h�� �� ��Ê�c4j

� � �����® �7hOÊ�cÏ®ÑJ=hC�sj�j � hÑ���� ��Ê�c&jf� � h������® ��Ê�cÏ®(j8��J*hC�sj � hÑ���� ��Ê�c&jf�Îh Æ ��®Z��J*hC�sj�j Æ �\ [ Ç� w �©��� w ��Ê�c���� � ®w ��Ê�c���� � ®w � w ����� w �¶ � �w~�}��w~�R�x\ [ x\ _w|wRU· \ ~ `�\ PSP \ v \ «�RSTm�MPURS]:_ \ vw}g| � ]s_��ÍRSP \ ¥ R `�[�\ _w|�_w|wRS]:_ \ ¾ }g| � [�\ _�~�æ0eZ«¿N « � [�\ P]s_ \

� �c Ê�c���æ8�,cÉW ikn�prq�h(tsj�W \ [ � �� �rÊ�c���ær���V�èW �=eZi�N i � n¯ w¢�h�t�j W\ [ }g|å·ox\ ~�R ÅM\ ¾ ��� RSP \ T \ | [ ]s_ \÷�z\ ¾ }g| � [�\ _�~ � } » ¼ | � RSv \?� _ ¾ }g| � [�\ _�~r<ÔÊÙvyx\ Å |wR^�w~�x\z� x\ v \ T=T \ | [ ¸

X��

Page 72: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

��������������! #"%$'&)(*�+��$-,/.!$�&0�1��$02�(* #�435(*�!67"%(*�!"8$�&0�1�9�:( ;<��= #�>�"%$��1602�(*�@?A�BC$��5"D��A2�(*6�"/EGFH7IKJ5L0JNM�O#PKO#J � ±:²�³:Q�³�R (* D$��S" t �1�@$�35$�"T #"%$+;'�"�U$'VW(*6� D$'& JòW�J � eÉt ÄÄ Ú^§$Û ?W$��.X2�(*��;�"8$��16��<&Y$�"ÊÒegJ�NQJ � �!�YBZ(*6[3N\1 ]��BC$^?W$52�(*��;�"8$��16��>F R Ê $���"@�1�@$ x\ ]s_wRU· � P \ | �z\ ¾ � R à P \ | �Ì[ _�~ \ PUP \ l ��1"_6<$�BC$��S"? #"`&a�� 535(*�!6b"8(*�!")(AcTd�$�" i ?W$ t &e�:$f2�(*�@;�"8$��!6 Ê�cfegJ*h�iCjoNQJ � h(iCj $���"e�1��$gU$�h��! #i��:$���;'$j2�� _c��:$'&0��:(*6��<Ô§=e:<7J¿N <�J � $���"k�*�[3N\lU$�6� _h>�S$��m�n?1$��'���1�o?W$ t &)$�"p$���35�6�"_ [;��!�= [$�6'&0�1��$qU$�h>�1 #im��:$��@;'$e2�� _c��:$�FrtsuSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� ¶ � �w~�}��È} ` R [ RS}g| \z`�[ _w| \r� }g| ` x\ ]s_ \ | �z\ RSTmT x\ vwR �Ì[�\ v \��z\ ]s_wR8�w~sx\z� Ý\ v \ l \ [ v \P � �w~�}��Ö} ` R [ RU}g| � ¸ � ¸±:²�³]�Ö³�� � | ` P �Ô` _wR [�\ l8}g|è· �m` �ÍRS| [ x\ ~ \ `�`�\ ~ � _ ����` }^Ý_åP �Ô�z�Ì[ x\ {g}�~�R \ t \z`�[ P �����Ì[ x\ {g}�~�R \a\ |w{ \ |wv�~sx\z\� � ~òP \ {�~ � �M� \ � ÄÐ

»� Wv \?` }�~ [�\ ]s_ \ P � vw}g|w|ªx\ \ v���_w| ¾ }g| �u[�\ _�~�t�NîÚ^§ZÛmx\ ]:_wRU· � _ [ Ý� P � vw}g|w|ªx\ \ v���_w|åvwR � {�~ � T=T \

«k� Äæ��Ðæ/ «^�«b

v \ Ú�§$Û�l \ [ò` R« � I ìS� Ä�'�Ð�>� ì �ì � W

}g| �prq�hO«?jo���:h(i�W¨§�jp�.i��Ó��W��gW » Wò§=n0prq�hO«�c&j��é­êwë�ìòh�h(i�W¨§sjuWdh(i�W¨§$��j�j-� éfêwë�ì w hO§8W¨§:�UjrW iñ�Ó��W��gW » W §VW¨§$�ÖnËprqshO«�c&j�Wé­êwë�ìòh�hO��W¨§�j�Wdh(i�W'�zj�j/� é­êwë�ì w h�æVc�hO§�juW'� j�W i����gW » W §=n�p�qwhO«k��j�W ��n�p�qwhO«�c4jrWé­êwë�ìòh�h(i�W¨§sjuWdh:�gW'�zj�j���� ` RU|w}g|�¸

¤ |ç· \ ~ [ _åv \?�z\ ]s_wR��w~sx\z� Ý\ v \ lÈ}g| � _w| º�»d¼ vwR � {�~ � TmT \z½«k� Äæ@�Ð

æ/ � � � � � � ����#�«^�Ð�`�� ����� �� �«b Ä�D « �Y �

Page 73: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

� � | ` � \ ����` � � ~ [ R � _wPSR \ ~�l�P � �w~�}��w~�R�x\ [ x\ _w|wRµ· \ ~ `�\ PUP \ �� ~�T \ P �À� �w} `�\Ù` _wRµ· � | [�\ e��È}g_�~ [ }g_ [º�»d¼ vwR � {�~ � T=T \ ½ «k� Äæ@�Ð

æ/ � � � � � � ���Æ �«^�ÐÆ �þ ����

þ �� �«b ÄÆ � WRSP \ ¥ R `�[�\ _w| ¾ }g| �u[�\ _�~�_w|wRU]s_ \�� eZ«¿N � [�\ P^]s_ \Æ c�� � �,cÉW iñ�@��W��gW » W Ç�c�� � ���8cÉW i����gW » �¶ � �w~�}��w~�R�x\ [ x\º�»d¼ _w|wRU· \ ~ `�\ PUP \z½*�� ~�T \ v \ �MPU_ ` ]:_ \a` R^}g| � _w|v \ _ ¥ ROÝ\ T \åº�»d¼ vwR � {�~ � T=T \ ½

«k� Äæ@�Ð

æ/ � � � � � � ���Æ � �

«^�ÐÆ � �þ ®����

þ ®�� �«b ÄÆ � � Wvªx\ Å |wR `�`�� | [ _w| ¾ }g| � [�\ _�~ � � eZ« N � [�\ P�]:_ \h��.��� Y �S�dj Æ �c � � �µ�,c�W iñ�Ó��W��gW » W Ç��c � � �d���VcÉW i����gW » W\ [ v \z` Tm}�~��M�wR ` T \z` v \ ¾ }g| � [�\ _�~ `

«k�Ð

Æ � ÐÆ � � «�

ÐÆ Ð

Æ � «^�Ð

Æ � ÐÆ � �� ���� � ���� � ����

� � �[�\ P ` ]:_ \h��.��� Y � » j ÇÖ�c Êa���ÎhOÊ�c$��æ8cCjCÇsc W iñ���gW » W� PS}�~ ` RUP \ ¥ R `�[�\ _w|T=}�~��M�wR ` T \ v \ ¾ }g| � [�\ _�~ ` _w|wRU]s_ \ ÊÒe � N � � [�\ P^]s_ \h��.��� Y �¹�Zj Ê�c��@Êm���,c W iñ�Ó��W��gW » �

Y �

Page 74: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

H7IKJ5L0JNM�O#PKO#J � ±:²�³:��³j� ��VA�m6 ?A��5"-�:$��¡��(*"D�m"T [(����;� 0?W$��'���1�<&e�� æ/ $���"-�!�@$tU$�h��! #i��:$���;'$e2>� _c>�:$'&- #�$��¢$���"^?W$7B¤£$�BZ$k35(*�!6 �`� FrtsuSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� ¶ \ ¾ }g| � [�\ _�~��`� \z`�[ P \÷� }gTm�Ö} ` x\«^� � ®�L LMLwLMLwL&N I ìS� Ä�'�Ð�[¥K� ì �ìS� < �L�LMLMLwLwL&N I ìS� Ä�'�Ð��� ì �ì � W

}�Ý_å� �� \z`�[ P \ T=}�~��M�wR ` T \r��� |w}g|wRS]:_ \ l \ [ Ê \z`�[ P \ T=}�~��M�wR ` T \ v \ ¾ }g| � [�\ _�~ `«^� Ħ �Ð ¥K� � � ��� ¥K� «p� � � ��� ¥ �«^� � � ���¦ � «^� Ħ �

Ð ¦ � «p�«� �í�}gT=T \ æ§�l­�.ì5� \ [ �.ì � ` }g| [ v \z` x\ ]s_wRµ· � P \ | �z\z` ¾ � R à P \z` l�RSPñ~sx\z` _wP [�\ v \ P � �w~�}��È} ` R [ RU}g| �.��¸ X ]:_ \< Ê \z`�[ _w| \ x\ ]:_wRU· � P \ | � \ ¾ � R à P \ ¸¨ P ` _ �Ô[ vw}g| � v \ T=}g| [ ~ \ ~^]s_ \ � �� \z`�[ _w| \ x\ ]s_wRµ· � P \ | �z\ ¾ � R à P \ ¸Hä�~�l�P \ vwR � {�~ � T=T \�� }gT=T7_ [¨�Ì[ R ¾

«k� Ħ �Ð ¥K� ü ü ü ü ü ürý¦ � «^�

Ð ¥ ������� �«k� Ħ � «^�vªx\ Å |wR [ l \ |è· \ ~ [ _v \ P � �w~�}��w~�R�x\ [ x\ _w|wRU· \ ~ `�\ PSP \ h � ¾ ¸��.��¸ Y julw_w| ¾ }g| � [�\ _�~

I ìS� Ä�'�Ð� ¥K� ì �ìS� ©L LMLwL8LwL4N «^� W[�\ P^]:_ \a` R «k� Ħ �

Ð ¥K� � � � � � ���� ®� «^�Ð � ®�

� ®����� ®�� �«k� Ä� ® � « �vªx\z` RU{g| \ P \º�»d¼ vwR � {�~ � T=T \z½7��� |w}g|wRS]:_ \°��`�` } � R�x\ Ý�

« � � I ìS� Ä�'�Ð�[¥K� ì �ìS� WY »

Page 75: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

}g| � R [ ª �(�� ��æ���� ª �(� W ª �(�� ���.ì � W ª ����� ��� ¦ � � ª ������ �¤ |ç� � ~ [ R � _wPSR \ ~�l ª \z`�[ _w| \ ~ \ [ ~ ���u[ RS}g|çv \ � �� ¸8ä�|è· � Tm}g| [ ~ \ ~�]s_ \ � �� ª \z`�[^«&¼ �w}gT=} [ }�� \ Ý� �.ì�®4l8}^Ý_« � h(t8W'¬NuW'¬~�zjul^P \z` ¾ }g| �u[�\ _�~ ` ¬5zW'¬~�me@­ ÄÄ tÓx\ [¨� | [ vªx\uÅ |wR ` � � ~?P \z` } à�ã�\ [�` � \ [°» v \ tV¸^­}g_�~vªx\ Å |wRµ~�_w| \7«&¼ �w}gT=} [ }��MR \I ìS� Ä�'�Ð�_¥K� ì �ìS� ® � ÄÐ � ¯L�LMLwLMLON I ìS� Ä�'�Ð�[¥K� ì �ìS� W

RSP ` _ �Ô[ l \ |å· \ ~ [ _åv \ P_��RUv \ | [ R ÅM���Ì[ RS}g|é­êwë°hO« � ® t8W¨« � j0� é­êwë7h�tVW.é­êwë hO« � W¨« � j�j W

v \ vªx\uÅ |wRU~�v \ ` ¾ }g| � [�\ _�~ ` ° cfe$«a�^LVN «a� W iñ�@��W��gW » W\ [ v \z` Tm}�~��M�wR ` T \z` v \ ¾ }g| � [�\ _�~ `Êz±÷e ° �aL8N ° ± W �7���gW » �

¤ |ç· \ ~ [ _åv \ P � �w~�}��w~�R�x\ [ x\ _w|wRU· \ ~ `�\ PSP \ h � ¾ ¸^�.��¸ Y jul ° y���.ì�® \ `�[ vªx\uÅ |wR�� � ~òP \åº�»d¼ vwR � {�~ � T=T \z½«k� Ħ �Ð ¥K� � � � � � ���� ®� «^�

Ð � ®�� ®����� ®�� �«k� Ä� ® � «a� W° ����� �� ª \z`�[ vyx\ Å |wR^� � ~�P \0º�»d¼ vwR � {�~ � T=T \ ½

«k� Ħ �Ð ¥K� � � � � � ���� ®� ¦ � «^�Ð � ®������� �«k� Ä� ®� ¦ � «a� W\ [ }g|vªx\ Å |wR [ ° �÷� � ~òP \åº�»d¼ vwR � {�~ � T=T \z½«k� Ħ �Ð ¥K� ü ü ü ü ü ürý� ®� «^�

Ð � ®�� ®������ �«k� Ä� ®� «a� �Y �

Page 76: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

¶ \z`ò[ ~�}gR ` T=}�~��M�wR ` T \z` v \ ¾ }g| � [�\ _�~ `«k�

Ð� �� Ð

� ��«^�

Ð� �� Ð

� � «^�

Ð� �� Ð

� ������ � ®���� ����« � « � « �·ox\ ~�R ÅM\ | [ P \z` ~ \ P �Ì[ RU}g| ` �.��¸ Y ¸ » v \ P � �w~�}��w~�R�x\ [ x\ܺ�»d¼ _w|wRU· \ ~ `�\ PUP \z½ l \ [ vyx\ Å |wR `�`�\ | [ç� RU| ` RÉ_w|ÜT=}�~ ¼�M�wR ` T \ v \ ¾ }g| � [�\ _�~ ` ʲ�e ° ��N ° �¸ � \ T ú\ T \ l�P \z`�[ ~�}gR ` T=}�~��M�wR ` T \ ` v \ ¾ }g| � [�\ _�~ `«k�

Ð� �� Ð

� �� æ@�«^�

Ð� �� Ð

� �� æ��«^�

Ð� �� Ð

� ��� ®���� � ®���� ����«÷� «a� «÷�� \ ~�T \ [�[�\ | [ v \ vªx\ Å |wRµ~á_w|óT=}�~��M�wR ` T \ v \ ¾ }g| � [�\ _�~ ` Êf� e ° � N ° �Ìl7� � ~ÜP � �w~�}��w~�R�x\ [ x\º�»d¼ _w|wRµ· \ ~ `�\ PSP \ ½ ¸kär| � vw}g| � �w~�}g_�·ox\ ]s_ \ �.ì�® \z`�[³«&¼ �w}gT=} [ }�� \ Ý� � �� ª ¸fä�~zlkt � vwT \ [ _w| } à�ã�\ [RS|wR [ R � P(l \u[7\z`�[ vw}g| �ç��` �M�ªx\ ~�RS]s_ \ h » ¸S�g�dju¸�är| \ |Òvªx\ vw_wR [ ]s_ \ t N ­ \ `�[ _w|wRU· \ ~ `�\ PSP \ T \ | [ v � | `E h��w~�}��È} ` R [ RU}g| » ¸��$jul \ [ RSPÉ~�x\z` _wP [�\ vw}g| � vw_ P \ TmT \ v��Í�w}gT=} [ }��MR \ ¦s¸ X lòh c jÔ]:_ \ � �� ª \ `�[ _w| \x\ ]s_wRµ· � P \ | �z\ ¾ � R à P \ ¸^íÉ}gTmT \ ª � �� �K�.ì � l �z\ P � �w~�}g_�· \ l \ | · \ ~ [ _ v \ P � �w~�}��w~�R�x\ [ x\ v \7`��Ì[ _�~ �Ì[ RS}g|¾ � R à P \ h ; julw]:_ \ � �� \z`�[ _w| \ x\ ]s_wRµ· � P \ | �z\ ¾ � R à P \ l \ [���� �^Ý\ · \ P � vªx\ Tm}g| `�[ ~ �Ì[ RU}g|�¸±:²�³:´^³ µ \ · \ |w}g| `Ë� _ �z��` }�Ý_@t \ `�[ _w| \ � \ [ R [�\¡���Ì[ x\ {g}�~�R \¡� ~ à R [ ~ � Rµ~ \ ¸ × }gR \ | [·¶ _w| \ � \ [ R [�\���Ì[ x\ {g}�~�R \ l \ [ JÎeZt7N ¸¶ _w| ¾ }g| � [�\ _�~�|w} [ x\ RS|wvwR � R \ PUP \ T \ | [ e

Jñcfe£��J*h�iCjrW ion�p�qsh(t�j�W Jñ��e¹��J*hC�sj�W �=n¯ M¢�h(t�j �ä�| `�\ �w~�}��Ö} `�\ v�� x\ [ _wvwR \ ~�P \ ¾ }g| �u[�\ _�~ �z� |w}g|wRS]s_ \ h � ¾ ¸^�.��¸¹�Zj

�ß�Ó�*c]¹w� eZ«¿�@IóiDºñJÎL&LVL(NQPSRUTLVN iDºñJ���iDºÉh(Ja�,jf� ¶¡» J?� W}�Ý_åJ � vyx\z` RS{g| \ P � PSRUT=R [�\ RU|wvw_ � [ Rµ· \ PSRUTL8N Jm¸ ¤f¥ �MPUR � R [ }g| ` P \ ¾ }g| � [�\ _�~�� ¸M­}g_�~ [ }g_ [ i�lMion�p�qwh�t�jul|w} [ }g| ` bdcfeZJñc�N J � lsP \ T=}�~��M�wR ` T \��z� |w}g|wRS]s_ \ l�v \r` }�~ [�\ ]:_ \ �Ö}g_�~ [ }g_ [ Tm}�~��M�wR ` T \ �*egi�N i �v \ t8lwP \r[ ~�R � |w{gP \ Jñc ÄJ­�¼ ¼ ¼�½bdc JñcÏ®¾¾¾¿ bHcÏ®Ja�Y �

Page 77: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

` }gR [�� }gT=T7_ [¨�Ì[ R ¾ ¸SÀ�|} à�ã�\ [ v \ « \z`�[ _w| [ ~�RU�MP \u[ h(i�W¨§8W Á�e�§ÔN Jñc&j�lV}^Ý_0iyn prq�h(tsjul8§èn prq�h ¶ julÁ�n¯ w¢�h ¸¶ j�¸8är| � � h(i�W¨§VW ÁåeZ§7N Jñc4jf�ÎhO§VW�bdcTÁe:§7NQJ?�Ïj§ ÂLVN Jñc v wL8N J?� �À�|åTm}�~��M�wR ` T \ h�i�W¨§VW Áåe:§7NQJñc4jÄà � kÆÅ ÇLCLMLwL4N h(i � W¨§ � W Á � eZ§ � N JñcÏ®(jv \ « \z`�[ _w| � }g_��MP \ hC�8W�¬�julM}�Ý_ �çesi­N i � \z`�[ _w| \oÈ Ý\z� � \ v \ tVl \ [ ¬Ëe�§=N § � _w| \oÈ Ý\ � � \ v \�¶ l~ \ |wv � | [�� }gT=T7_ [¨�Ì[ R ¾ P \ vwR � {�~ � T=T \

§ ĬÐÁ

§$�Ð Á �Jñc ÄJ­� Jñc,® �

ä�| �� hC�8W�¬�jñ� ¬ W § Ĭô ôZõbdc_Á §$�øøù bHcÏ®]Á �Ja� bdc,®]ÁÈ�Ϭè�©bdc,®ÑJ­�*Áç�©bdc_Á �

H7IKJ5L0JNM�O#PKO#J � ±:²�³�±:²�³aÉ $²2�(*�@;�"8$��!6 �îe$<�iDº­J¿N PURSTL8N iDº­J $���"4�!�@$0,)c�6 �"_ [(*�@FrtsuSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� är|·ox\ ~�R ÅM\ ¾ ��� RSP \ T \ | [ ]:_���_w|0T=}�~��M�wR ` T \ hC�8W�¬�jÉv \ «Î��<7iDºñJ \z`�[���� ~ [ x\�¼` R \ |�l8~ \ P �Ì[ Rµ· \ T \ | [ Ý� � l ` R \ [�`�\ _wP \ T \ | [�` R­� \z`�[ _w|0R ` }gTm}�~��M�wR ` T \ ¸ ¤ |å� � ~ [ R � _wPUR \ ~zlVP � � � ~ [ R \v \  w¢�h(«°j ¾ }�~�T x\z\ v \z` T=}�~��M�wR ` T \z`É��� ~ [ x\ ` R \ | `ò\z`�[�`�[¨�Ìà P \ � � ~ � }gTm�Ö} ` R [ RU}g|�¸ × }gR \ | [ T � RS| [�\ | � | [h(i�W¨§8W ÁeZ§�NQJñc&j�_w|} à�ã�\ [ v \ « \ [ §:� Ĭô ôZõ §øøù bdcTÁJ?�_w|T=}�~��M�wR ` T \ v \7¶¡» J � l8J � ��PSRSTLVN Jmlwv \aà _ [ P_�ÍRST � { \ v \a�z\ [ } àwã�\u[ � � ~ò� ¸SÊ�PS}�~ `h(i�W¨§:��W ÁÖ¬0e$§$�8N Jñc4j à w kËÅ ÇL LwLMLwL4N h(i�W¨§8W ÁeZ§7N J�c&j

\z`�[ _w|0T=}�~��M�wR ` T \a�z� ~ [ x\z` R \ |0v \ «�lVvw}g| [ P \÷à _ [�\z`�[ P_�Í} àwã�\u[ vw}g|w|ªx\ v \ «�l \ [ vw}g| [ P_��RUT � { \ � � ~� \z`�[ P \ T=}�~��M�wR ` T \ vw}g|w|yx\ v \7¶¡» J � l � \ ]s_wR^vªx\ Tm}g| [ ~ \ P � �w~�}��È} ` R [ RU}g|�¸±:²�³�±V±8³ × }gR [ hO§8W�Ì÷eZ§�NQJ � j�_w|} à�ã�\ [ v \�¶¡» J � ¸Vä�| `�\ �w~�}��Ö} `�\ v�� x\ [ _wvwR \ ~�P ��Åwà ~ \«^Í��ÏÎ I iDºñJ�Ð ÍY ¦

Page 78: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

vw_ ¾ }g| � [�\ _�~ò� � _çv \z`�` _ ` v \÷� \ [ } àwã�\u[ ¸ ¶ \ ` } à�ã�\ [�` v \ «^Í ` }g| [ P \z` } à�ã�\ [�` h(i�W¨§8W ÁeZ§7N J�c&jªv \« [�\ P ` ]s_ \ bdc_Áç�ÑÌgl \ [ P \z` Tm}�~��M�wR ` T \z`É\ | [ ~ \a[�\ P ` } àwã�\u[�` P \z` T=}�~��M�wR ` T \ `h(i�W¨§VW Áåe$§7N Jñc4j à � k u ÇL LMLwLwL4N h(i4�(W¨§VW ÁV�Èe$§7N Ja�c j

v \ « h(v \a` }�~ [�\ ]s_ \ P \r[ ~�R � |w{gP \ §øøù Á ô ôZõÁ �Jñc ÄJ­� Jñc,®` }gR [� }gT=T7_ [¨�Ì[ R ¾ j�¸�­}g_�~ [ }g_ [ } à�ã�\ [ i=v \ tVl � }g| ` RUvyx\ ~�}g| [ P � Åwà ~ \ h ¶¡» Jñc4j Í�vw_@Tm}�~��M�wR ` T \iDºÉh�bdcCjye ¶¡» Jñc�N ¶¡» J � � _åv \z`�` _ ` v \ hO§8W�Ì÷e$§�N J � ju¸ ¶ \ ` } à�ã�\ [�` v \ h ¶¡» JñcOj Í ` }g| [ P \z`�� }g_��MP \z`hO§8W Á ey§áN Jñc&j [�\ P ` ]s_ \ bHc`Á �ÒÌZl \ [ P \z`m`�\ _wP ` Tm}�~��M�wR ` T \z`m` }g| [ P \z` RUv \ | [ R [ x\z` ¸o­}g_�~ [ }g_ [T=}�~��M�wR ` T \ �*egi�NQi � v \ tVlw}g| \ |åvªx\ vw_wR [ _w| ¾ }g| �u[�\ _�~

h ¶¡» Jñc&j Í à cÓ¹ à � ÿ Ç#ÇTÔL�LwL8LwLwLMLwLCN h ¶¡» JñcÏ®�jÕÍ W��`�` } � R � | [ Ý� _w|0} à�ã�\ [ hO§VW Á�es§mN Jñc&jÉv \ h ¶¡» Jñc4j Í�P_��} à�ã�\ [ hO§VW�Jñ�KÁËe�§ÔN JñcÏ®(jÉv \ h ¶¡» JñcÏ®(j Í�¸Èär|vªx\ Å |wR [�� RS| ` R�_w| ¾ }g| � [�\ _�~Áh(iDºñJÁjÕÍ�e$tÁN Ú�§$Û�l \ [ � � ~ ` _wR [�\ lM}g|è� \ _ [ ¾ }�~�T \ ~�P �����Ì[ x\ {g}�~�R \

I@h�iDºñJÁj Í Wvw}g| [ P \z` } à�ã�\ [�`É` }g| [ P \z`y[ ~�RU�MP \u[�` h(i�W¨§8W Áe$§7N J�c&jul�ikn�p�qwh(tsjul [�\ P ` ]:_ \ hO§VW Áåe:§7NQJñc4j ` }gR [ _w|} à�ã�\ [ v \ h ¶¡» Jñc4j Í�l � _ [ ~ \ T \ | [ vwR [�[�\ P ` ]s_ \ bdcTÁè�ÖÌgl \u[ P \z` Tm}�~��M�wR ` T \z` P \z`�� }g_��MP \z`

h�i�W¨§VW Áèe$§7N Jñc&j à � k u ÇL LMLMLwLwL&N h�i4�OW¨§8W ÁÈ�Ve:§7NQJñcÏ®Oj W �*egi�N i4�^n¯ w¢�h�iCj Wh��M_wR ` ]s_ \ P \z`�`�\ _wP ` T=}�~��M�wR ` T \z` v \ h ¶¡» Jñc,®Ñj Í ` }g| [ P \z` RUv \ | [ R [ x\ ` j [�\ P ` ]s_ \ P \r[ ~�R � |w{gP \

§øøù Á ô ôZõÁ �Jñc ÄJ­� Jñc,®` }gR [�� }gTmT�_ [��Ì[ R ¾ ¸Mä�| � vw}g| � vªx\ T=}g| [ ~sx\ eײØ!ÙÚÙ¢Ø ±:²�³�±SÛȳ�R (* `" hO§8W�Ì e�§ N J � j �!�Ü(�cTd�$�"�?W$ ¶¡» J � FbÝÞ�:(*6��¢(*���ß�!�Ö ]��(*BC(6[3N\W #��BC$;<���(*�S _h��5$ Î I iDºñJ7Ð Í � I h(iDºñJ°j Í �Y�X

Page 79: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

±:²�³�±~à�³ × _��w�Ö} ` }g| ` T � RU| [�\ | � | [ ]:_ \ P �°�z�Ì[ x\ {g}�~�R \ t ` }gR [ P �?���Ì[ x\ {g}�~�R \�\ |w{ \ |wv�~sx\z\ � � ~�P \ {�~ � �M� \� ÄÐ

»� W

v \�` }�~ [�\ ]:_ \ P � vw}g|w|ªx\z\ vw_ ¾ }g| � [�\ _�~yJÎe$tÁN ¸¶©` }gR [ x\ ]s_wRµ· � P \ | [�\ Ý� P � vw}g|w|ªx\ \ v���_w|=vwR � {�~ � T=T \Jf� Äáf�Ðá² Je�J4

v \ ¸¶ l8P � PSRUT=R [�\ RU|wvw_ � [ RU· \ J � vw_ ¾ }g| � [�\ _�~�J x\ [¨� | [ P �m` }gTmT \÷� T � PS{ � T x\ \ l�v \°` }�~ [�\ ]:_���}g| � R [_w| ��� ~�~�x\?� } ��� ~ [ x\ ` R \ | Ja� Äáf�Ðá² Je�

Ð b�J² Äb1 J?� �H7IKJ5L0JNM�O#PKO#J � ±s²^³�±:´�³Þ� �ßVA�6<?A��S"��:$��â�@(*"8�"_ [(*���ã;� #äÕ?W$������W�'&l�� á² $���"¡�!�tBC(*��(*BC(*6D3N\W ]��BZ$'&��:(*6��7�:$²2�(*�@;�"%$��!6�;<�m�@(*�S _h>�S$�îe:«¿�@I ºzå���� ÄÐ ºzå�� �ºzå�� � L�LMLwLwLON ¶¡» J?�

$���"²�!�³2�(*��;�"8$��16Y;'(��*�D3N\ÞU$�6� _h��5$'&)$�"^$��C3S�m6�"_ [;��!�= [$�6¡�!�@$tU$�h��! #i��:$���;'$-2>� [c��:$�FrtsuSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� íÉ}gTmT \ l \ |Á· \ ~ [ _7v \ P � �w~�}��Ö} ` R [ RS}g|*�.��¸U�.��lHP \ ¾ }g| � [�\ _�~k� \z`�[ _w| Åwà ~ �Ì[ RU}g|�lRSP ` _ �m[ v \ T=}g| [ ~ \ ~Ôh � ¾ ¸ » ¸ »g» j�]s_ \ �È}g_�~ [ }g_ [ } àwã�\u[ h(§VW�Ì�e ¶ N J � j�v \Y¶¡» J � P �=Åwà ~ \ «^Íav \�Ùl � _èv \z`�` _ ` v \?�z\ [ } à�ã�\ [ l \z`�[���` �M�ªx\ ~�RU]s_ \ ¸ ¤ |ç· \ ~ [ _åvw_P \ TmT \ �.��¸S� » lw}g| �«^Í�� I à ºzå���� ÇTÔ ÄÐ Ã ºzå�� � ÇTÔà ºzå�� � ÇTÔ �

¤ | � }g| ` RSvªx\ ~ � | [ Ì � }gT=T \ _w| x\ P�x\ T \ | [ v \ J � hO§sj­�@J².hO§�j!æ ��� Ã�ç Ç Je�gh(§�jul$}g|�vwR `�[ RU|w{g_ \ v \ _ ¥ ����` ¸� j^Ì »nÚèµë7h�b*�ZhO§sj�jÖ¸~Ê�PS}�~ ` }g|è·ox\ ~�R ÅM\ RSTmT x\ vwR �Ì[�\ T \ | [ ]s_ \«^Í�� I�é ÄÐ éê }g_ «^Í�� I é ÄÐ êé W

\ [ «^Í \ `�[ ~sx\ vw_wR [�\ Ý� P �=���Ì[ x\ {g}�~�R \7��ë$� | [ _w| `�\ _wP­} à�ã�\ [ l \ [ P_�ÍRSv \ | [ R [ x\ v \Á�z\ [ } à�ã�\ [�� }gT=T \?`�\ _wPT=}�~��M�wR ` T \ ¸YgY

Page 80: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

c jbÌmn�èUë°h�b*�ZhO§�j�j�¸NÊ�PS}�~ ` }g|Ë·ox\ ~�R ÅM\ ¾ ��� RSP \ T \ | [ ]s_ \ h ¶¡» Jf�zj Í�N h ¶¡» J4¨j Í \ `�[ _w| R ` }gT=}�~ ¼�M�wR ` T \ h(}g|�_ [ RSPUR `�\ ]:_ \ á²aeMJf�°N J4 \ `�[ _w| T=}g|w}gTm}�~��M�wR ` T \ jul \ [r\ | � � ~ [ R � _wPUR \ ~r_w| \ x\ ]s_wR ¼· � P \ | �z\ ¾ � R à P \ ¸ ¤ |è· \ ~ [ _v \ P � �w~�}��Ö} ` R [ RS}g| �.��¸ ð lwP \ T=}�~��M�wR ` T \r��� |w}g|wRU]s_ \h ¶¡» Jf�zj Í�L L8LwLwL4N I à ºzå���� ÇTÔ ÄÐ Ã ºzå�� � ÇTÔà ºzå�� � ÇTÔ � «^Í

\z`�[ _w| \ x\ ]:_wRU· � P \ | � \ ¾ � R à P \ ¸Vä�~zlVP \ T=}�~��M�wR ` T \ b�÷eZJe��N J � \z`�[ _w|åT=}g|w}gT=}�~��M�wR ` T \ h ��� ~lá²\z`�[ _w|ÙT=}g|w}gT=}�~��M�wR ` T \ jul \ [ � � ~ ` _wR [�\ h ¶¡» Je�zjÕÍ \z`�[ P ����Ì[ x\ {g}�~�R \ �Ö}g| �u[ _ \ PSP \ ¸fä�| \ |Ùvªx\ vw_wR []s_ \ «^Í \z`�[���` �M�yx\ ~�RS]:_ \ l �z\ ]:_wRÖ�w~�}g_�· \ P � �w~�}��È} ` R [ RU}g|�¸ì J5IKJ�í`í`î5O#I*Ø ±:²�³�±wÕÖ³eR (* D$��S" ¶ �1�@$^35$�"_ #"%$³;<�"�U$<VW(*6� [$'&Jf� Äáf�Ðá² Jf�

Ð bm�J4 ÄbW J?��!�·;<�6�6aU$�;�( ;<�6�"�U$��� [$��X?W$ ¸¶ &e$�"/����3W35(K��(*�S�lh��5$ á² ��( #"/�!�ïBZ(*�@(*BC(6[3N\W #��BC$�FSÝl�:(*6'�Þ�� á²�h�~ \z` �^¸áf��j $���"0�!�@$qU$�h��! #i��:$��@;'$e2>� [c��:$'&- #�a$��¢$���"^?W$7B¤£$�BC$k3N(*�16 b�mhÑ~ \z` �^¸wbWuju¸rtsuSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� í�}g| ` RSvªx\ ~�}g| ` P \ vwR � {�~ � T=T \¶¡» Jf�Ц � � cÓ¹ Ã�ð � Ç

Ħ � � c]¹ Ã�ð � Ç ¶¡» Je�Ð � �³ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñ ñbò

cÓ¹ à v � Ƕ¡» J4 Ä� �ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó�ôcÓ¹ à v � ÇI ºzå���� ÄÐ ºzå�� �ºzå�� � õ õ õ õ õ õ�ö÷ ¶¡» Ja� W

}�Ý_7�Dzl��`� \ [ � vyx\z` RU{g| \ | [ P \z` ¾ }g| � [�\ _�~ `o��� |w}g|wRU]s_ \z` h � ¾ ¸��.��¸ Y \u[ �.��¸ � jul \ [ vw}g| [ P \z` v \ _ ¥ [ ~�R � |w{gP \z`` }g| [�� }gT=T7_ [¨�Ì[ R ¾ ` h(T � R ` � ��` P \°��� ~�~sx\ ju¸ × Raá²7h�~ \ ` �^¸�áf��j \z`�[ _w| \ x\ ]:_wRU· � P \ | � \ ¾ � R à P \ l � PU}�~ ` æ§h�~ \ ` �^¸Væ���j \z`�[ _w| \ x\ ]s_wRµ· � P \ | �z\ ¾ � R à P \ l \u[�\ |å· \ ~ [ _åv \ P � �w~�}��Ö} ` R [ RS}g| �.��¸ ð lMRSP \ | \z`�[ v \ T ú\ T \�Ö}g_�~É�`�?h�~ \z` �^¸s�D¨ju¸wä�~�l � }gT=T \ á² \ `�[ _w|�T=}g|w}gT=}�~��M�wR ` T \ l \ |*· \ ~ [ _�v \ P � �w~�}��È} ` R [ RS}g|0�.��¸S���wl� \z`�[ _w| \ x\ ]s_wRµ· � P \ | �z\ ¾ � R à P \ ¸�är| \ | vªx\ vw_wR [ ]:_ \ iDºÉhÑbm��j7h�~ \z` �^¸^iDºÉh�bW�j�j \z`�[ _w| \ x\ ]s_wRU· � P \ | �z\¾ � R à P \ v \ Ú�§$Û�l � _ [ ~ \ T \ | [ vwR [ l�]s_ \ b�ahÑ~ \z` �^¸gbW�j \z`�[ _w| \ x\ ]s_wRU· � P \ | �z\ ¾ � R à P \ v \ ¸¶ l �z\ ]s_wR ��� �^Ý\ · \P � vyx\ T=}g| `�[ ~ �Ì[ RS}g|�¸Y�ð

Page 81: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

ì J5IKJ�í`í`î5O#I*Ø ±:²�³�±!Q^³eR (* D$��S" ¶ �1�@$^35$�"_ #"%$³;<�"�U$<VW(*6� [$'&)$�"Jf� Äð �ü ü ürýð �Ðø �

Je� ü ü ürýv �J² Äv �Ð

ø � Ð ø � J?�Ð ø ®ù � � ���ú � Äú � ù � � ���s �ù Äs � ù ��!�q;���c�$�;'(*BYB³�1"8�"_ û2ï?W$ ¸¶ &7?W(*�5"b�:$��p2��W;'$��ü\�(*6� ]ý (*�S"8��:$�����(*�S"�;�( ;<�6�"�U$��� [$��S�@$��<&b$�"�"%$��4h>�S$ á² &þ � (* [$��S"¡?W$��üBC(*��(*BC(*6D3N\W ]��BZ$��<&�$�"4ÿ � &²ÿ &4ÿ � ?1$��ÑU$ h��1 `i��:$��@;�$��^2>�m _c��:$��>F-ÝÞ�:(*6'�oÿ � $���"b�!�@$U$�h��! #i�m�:$��@;'$-2�� _c��:$�FrtsuSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� ä�| � _w| ��� ~�~sx\÷� }gT=T7_ [¨�Ì[ R ¾

I Ä� ¶¡» Ja�ÐiDº�h ÿ � j

ºzå���� ÄÐ ºzå�� �ºzå�� �Ð<�iDºm� ÿ

I Ä� � ¶¡» ù � Wºzå��z� ÄÐ ºzå�� �ºzå�� �}�Ý_ ÿ vªx\z` RU{g| \ P \ T=}�~��M�wR ` T \ v \ ¾ }g| � [�\ _�~ ` vyx\ Å |wRy� � ~ ÿ ��l ÿ �l ÿ �Ìl \ [ � \ [ � � P \z` ¾ }g| �u[�\ _�~ `��� |w}g|wRU]s_ \z` h � ¾ ¸^�.��¸ � ju¸ ¤ |è· \ ~ [ _åv \ ` �w~�}��È} ` R [ RU}g| ` �.��¸ X \u[ �.��¸U���wl�P \z` ¾ }g| � [�\ _�~ ` <�i[ºm� ÿ lw� \ [� � ` }g| [ v \ ` x\ ]s_wRµ· � P \ | �z\z` ¾ � R à P \ l \u[ RSP \ | \z`�[ vw}g| � v \ T ú\ T \ �È}g_�~°iDºÉh ÿ � jul �z\ ]s_wRf�w~�}g_�· \ P \� }�~�}gPUP � Rµ~ \ ¸H7IKJ5L0JNM�O#PKO#J � ±s²^³(±��ȳãR ( [$��S" t �!� $�����$�B�c>�:$qc� D$�� (6 ?W(*�5�7U$'&âÝ �1�@$ 35$�"T #"%$ ;<�"�U$DVW(*6� [$'&n$�"J e�t N ¸¶ �!�¢2�(*�@;�"%$��!6��Õ(��� t ?kU$��� :V�@$ ��1�'�� ����t;<�m"�U$DV1(*6� [$ �*����( ;� !U$�$���ß��� $�����$�B�c>�:$¤(*6 ?1(*�Sä��U$ t "8$��)h��5$73N(*�16C"%(*�!" i���� &b�:$CBC(6[3N\W #��BC$ J�c�N Jz± ��( #"l�1�gBC(*�@(BC(*6[3�\W ]��BC$ F0ÝÞ�:(6'�Z�:$2�(*��;�"8$��16³;<��@(*�5 _h��5$ �QeZ«¿�@IóiDºñJÎL&LVL�N ¶¡» J?� W( �� J � ��PURSTLVN J &^$���"^;'(��*�[3�\ÞU$�6� [h��S$�&)$�"k$��C3S�6�"T D;��1�= D$�6¡�!�@$qU$�h��! #i��:$���;'$e2>� _c>�:$�FrtsuSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� × }gR [ hO§8W�Ì÷e$§7N J � jy_w|ç} àwã�\u[ v \�¶¡» J � l \u[ò� }g| ` RSvªx\ ~�}g| [ Ì � }gTmT \ x\ P�x\ T \ | [v \ J � h(§�ju¸8í�}gT=T \ P \z` Tm}�~��M�wR ` T \z` v \÷[ ~ � | ` R [ RU}g|èJ�c�N J§± ` }g| [ v \ ` T=}g|w}gTm}�~��M�wR ` T \z` l�J � hO§sj` �ÍRSv \ | [ R ÅM\ Ý� P � ~�x\ _w|wRS}g| � ~�}gR `�`�� | [�\ v \ ` Jñc�hO§�j�¸^íÉ}gTmT \ t \z`�[aà R \ | }�~�vw}g|w|ªx\ l�RUP \ ¥ R `�[�\ _w|Ë�MPS_ `� \u[ R [ x\ P�x\ T \ | [ iDÍ÷v \ t [�\ P�]:_ \ Ì�n Jñc Ô hO§�j�¸NÊ�PU}�~ ` }g|0·ox\ ~�R ÅM\ ¾ ��� RUP \ T \ | [ ]s_ \ P ��Åwà ~ \ «pÍrv \ � l� _¡v \z`�` _ ` v \ PT��} à�ã�\ [ hO§VW�Ì*e�§0N J � jul ` �ÍRSv \ | [ R ÅM\ Ý� P �����Ì[ x\ {g}�~�R \Ô� }�~�~ \z` �Ö}g|wv � | [ Ý� PT� \ | `�\ T à P \}�~�vw}g|w|ªx\ ¾ }�~�T x\ v \z` i n t [�\ P ` ]:_ \ i8Í�� i�¸�í \ [�[�\ ���Ì[ x\ {g}�~�R \ l ��ë$� | [ _w|@} àwã�\u[ RS|wR [ R � P(l \ `�[��` �M�ªx\ ~�RS]s_ \ h » ¸U�g�dju¸�íÉ}gT=T \ l \ |Ò· \ ~ [ _Ùv \ P � �w~�}��Ö} ` R [ RU}g|á�.��¸S�.��l�� \z`�[ _w| \*Åwà ~ �Ì[ RU}g|�l�}g| \ |vªx\ vw_wR [ ]s_ \ P \ ¾ }g| � [�\ _�~­� \ `�[­� } ��` �M�ªx\ ~�RS]:_ \ l \ [ñ\ |°� � ~ [ R � _wPSR \ ~ñ_w| \ x\ ]:_wRU· � P \ | � \ ¾ � R à P \ h � ¾ ¸ » ¸ »g» ju¸Ym�

Page 82: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

ì J5IKJ�í`í`î5O#I*Ø ±:²^³(±!�^³²R (* [$��S" t �1��$Z;<�"�U$<VW(*6� [$C;'(*6�6'$��[35(��?A��S"���X�!�g$���� $�B�c��:$Cc� D$��ß(*6 ?W(�S�7U$'& ¶�!�@$�35$�"_ #"8$¢;<�m"�U$<V1(*6� [$�& J�W ù eòt ÄÄ ¸¶ ?W$��m.ï2 (*�@;�"%$��!6'�<&�$�" á e�J N ù �1��BC(*6D3N\W ]��BC$ ?W$2�(*��;�"8$��16��>F��)�+����3W35(K��$��� j 3N(*�16C"%(*�!" i $�" � ?W���� t &p�� i��Ñ� &Þ�:$���BC(*6[3�\W ]��BC$�� Jñc�N J§± $�" ù c�N ù ± ��(*�5"7?W$��BC(*��(*BC(*6D3N\W ]��BZ$����à j 3N(*�167"8(�1" i ?A�m��� t &²�:$�BC(*6D3N\W ]��BC$ á�cfegJñc�N ù c $���"0�!�@$tU$ h��1 `i��:$��@;�$-2>� _c>�:$�FÝÞ�:(*6�� PURSTLÈN áÒegPSRUTL8N J N PURSTL8N ù $���"4�!�@$tU$�h>�1 #im��:$��@;'$02>� _c��:$ Fr suSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� ¤ | \��È\ [ lM}g| � _w| ��� ~�~sx\÷� }gT=T7_ [¨�Ì[ R ¾ v \ Ú^§ZÛIói[ºfJ ÄÐ< iDº=�¡á

¶¡» PSRUTL8N JÐ iDºÉh(PURSTLVN á­j

Iói[º ù Ä ¶¡» PSRUTL8N ùvw}g| [ P \z`lÈ Ý\z� � \z` �w}�~�R��z}g| [�� P \z`r` }g| [ l \ |Ë· \ ~ [ _�v \ P � �w~�}��Ö} ` R [ RU}g|�w~�x\z� x\ v \ | [�\ l�v \ ` x\ ]s_wRU· � P \ | �z\z`¾ � R à P \z` ¸�íÉ}gTmT \ <�iDºå�oá \z`�[ _w| \ x\ ]s_wRµ· � P \ | �z\ ¾ � R à P \ h��w~�}��Ö} ` R [ RU}g| �.��¸ X j�l�RSP \ | \z`�[ v \ T ú\ T \�Ö}g_�~�iDºÉh(PURSTL8N á­j�l � \ ]s_wR^vªx\ Tm}g| [ ~ \ P \a� }�~�}gPSP � Rµ~ \ ¸ì J5IKJ�í`í`î5O#I*Ø ±s²^³(±!´�³�� (*�!6^"%(*�!"8$f3N$�"T `"8$�;'�"�U$'VW(*6� D$ ¶ &j���k3S�6�"T [$�?W$  w¢�h ¸¶ j &A2�(*6�B U$ $b?W$������$ ;�\�$��Þh��! ��(*�5"���Z����2�( ]�³?1$��qU$�h��! #i��:$���;'$��-2�� _c��:$��ü$�"p?W$���BC(�@(*BC(*6D3N\W ]��BC$��<&l$���"4��"D�Ac>�:$p35�6ü;'(*BÞ35(*�� #"_ [(*�"_6 ����`,-�S [$���ß?6<( #"8$ FkÝÞ�!"T6'$�BC$��S"ü?m #"#&k35(*�!6X"%(*�!"Y$�����$�B�c>�:$nc� [$���(*6 ?1(*�S��U$ t &³$�"o"%(*�!"02 (*�@;�"%$��!6J ewtçN ¸¶ &)"%$��-h��5$Y�:$��³BC(*6D3N\W ]��BC$�� JñcoN J§± & i �t� & i�W8�ån¯t &4��(* [$��5"Þ?W$���BC(*��(*BC(*6D3N\W ]��BZ$��$�"k?W$��gU$�h>�1 #im��:$��@;'$��f2>� _c��:$��<&e�:$7BC(*6D3N\W ]��BZ$³;<��@(�S _h��5$ Jf�òN PURSTL8N J &)(��� � ?kU$��� :V�@$��:$)3��=�1�)3N$�"T `"U$��*U$�BZ$��S"^?W$ t &)$���"4�!�@$tU$�h>�1 #im��:$��@;'$02>� _c��:$!� $�"4�1�9BC(*�@(*BZ(*6[3N\1 ]��BC$ FrtsuSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� ¶ \�� }�~�}gPUP � Rµ~ \*\z`�[ _w| \�� }g| ` x\ ]:_ \ | �z\ RST=T x\ vwR �Ì[�\ vw_ � }�~�}gPSP � Rµ~ \ �w~sx\ � x\ v \ | [ l� �w�MPSRU]s_ªx\7� _0T=}�~��M�wR ` T \ vw_ ¾ }g| �u[�\ _�~ � }g| `�[¨� | [ lVv \ · � P \ _�~rJf��lV· \ ~ ` P \ ¾ }g| �u[�\ _�~÷JmlVvyx\ Å |wRñ� � ~P \ `^È Ý\z� � \z` Ja��NQJñc�lMikntV¸

ð �

Page 83: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

"$# %'&'()&+*-,/.0,1*2,134*5,768.5&'#968.2:;,=<?>@6BA8#9(C#D*-#9E;&GF H8,/.�I±8±V³�± ­}g_�~ [ }g_ [ } à�ã�\ [ t7v \ Ú^§ZÛ�l:}g|*|w} [�\ Ú^§$Û » t7P �°�z�Ì[ x\ {g}�~�R \ v \z` � \ [ R [�\z`y���Ì[ x\ {g}�~�R \z`y� _*v \z`�` _ `v \ t8lMvw}g| [ P \z` } à�ã�\ [�`�` }g| [ P \z`�� }g_��MP \z` ¾ }�~�T x\z` v���_w|} à�ã�\ [Þ¶ v \ Ú�§$Û \ [ v���_w| ¾ }g| �u[�\ _�~ ¶ N tVl\ [ vw}g| [ P \z` T=}�~��M�wR ` T \z`�` }g| [ P \z`ò[ ~�R � |w{gP \z`ò� }gT=T7_ [¨�Ì[ R ¾ `¶ ÄJ J J1K

¶ �LLLMt �­}g_�~ [ }g_ [�\7È Ý\ � � \�N e-O0N t*v \ Ú^§ZÛulM}g|è|w} [�\Ú^§ZÛ »PN eÌÚ�§$Û » O¡LVN Ú^§$Û » tP \ ¾ }g| � [�\ _�~�vyx\ Å |wR [ � � ~ ¶ÐQ O

R L8N ¶ÐN Qt �­}g_�~ [ }g_ [�\ � \ [ R [�\a�z�Ì[ x\ {g}�~�R \ t8lw}g|åvªx\ Å |wR [ v \z` ¾ }g| � [�\ _�~ `Ú�§$Û » t ÄSUT é­êwë h(t8W�Ú^§ZÛ�j W é­êwë h�tVW�Ú�§$Û�j ÄS � T Ú^§$Û » t

h ¶ LVN tsjVR LVN h(iWR LVN ¶¡» i&j W J R LVN hO<�JÎLVN tsj �H7IKJ5L0JNM�O#PKO#JYX ±8±V³]Ûȳ-R (* #" N e5OËNQt �1�ü2�(*�@;�"8$��!6�$��S"T6'$)35$�"_ #"%$���;<�m"�U$<V1(*6� [$��>F�ÝÞ�:(*6��Ú^§$Û » O ÄSUT �ªÚ^§ZÛ »PN é­êwë h(t8W�Ú^§ZÛ�j W é­êwë h(t8W�Ú^§ZÛ j ÄS � Z �réfêwë h N W��\[ ç^] j Ú^§ZÛ » O$���")�!�ß;'(*� 3��:$ü?W$²2 (*�@;�"%$��!6'�Y�A? d�(* `�S"`��F � �C3S�6�"T D;��1�= D$�6<&/35(*�!6 O¡� t $�" N �â� T &Þ(*�¤(Ac�"T D$��S"ph��5$h SUT W S � T j $���"²�1�¤;'(*� 3��:$³?1$02�(*��;�"8$��16��o�A? d�( #�S"T�>FrtsuSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� ä�|å· � vªx\ Å |wRµ~�v \z` T=}�~��M�wR ` T \z` v�� � v ã }g| � [ RU}g|bÁe SUT �ªÚ^§ZÛ »PN � S � Z �réfêwë h N W��\[ ç^] jyLVN �`_-acb à T k [ çd] Ç W

e*eM� [ ç^] å Z L&LML(N S � Zr�ré­êwë h N W��\[ çd] j�� SUT �ªÚ^§$Û »PN W\ [ }g|å· � P � R `�`�\ ~òP \÷` }gRU| � _P \z� [�\ _�~�v \ ·ox\ ~�R ÅM\ ~�P \z` ~ \ P �Ì[ RU}g| ` v�� � v ã }g| � [ RU}g|�¸� j ��U$T,-�S #"_ [(*�·?W$ b$¸ × }gR [ J>egt�NîÚ^§ZÛo_w| ¾ }g| � [�\ _�~�¸ � x\ Å |wR `�` }g| ` _w|�T=}�~��M�wR ` T \ ¾ }g| �u[ }�~�R \ Pb � l � _ [ ~ \ T \ | [ vwR [ l��Ö}g_�~ [ }g_ [ } àwã�\u[ iov \ t8lM_w| ¾ }g| � [�\ _�~b � k c ekÎ I J N Ð ikLCL8LwLONQJ*h(iCj W

ð �

Page 84: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

¾ }g| � [ }�~�R \ P \ |=i�¸ ¶ \z` } à�ã�\ [�` v \ P �a���Ì[ x\ {g}�~�R \ h < J N j » i ` }g| [ P \z`o[ ~�RU�MP \u[�` h��ZW¨§8Wgfèe N h:�:jkN iCjulZ}�Ý_o�\z`�[ _w|�} à�ã�\ [ v \ Oklg§a_w|�} à�ã�\ [ v \ J N h��sjul \ [ fÔ_w| \)È Ý\z� � \ v \ t8¸À�|7T=}�~��M�wR ` T \ v \ h4<7J N j » i�lÌv \` }g_�~ � \ h��ZW¨§8Wgfèe N h:�sj­N iCj \ [ v \�à _ [ h:� � W¨§ � Wgf � e N h�� � jkNQiCjul \z`�[ _w| � }g_��MP \ h(� W�¬�jul:}^Ý_��ñeK�ÁN � �\z`�[ _w| \7È Ý\z� � \ v \ Okl8¬�eZJ N h(�OjzhO§�j­N § � _w| \¡È Ý\z� � \ v \ J N h:� � jul [�\ PSP \ ` ]:_ \N h:�:j ÄN h(�Oj¼ ¼ ¼�½f N h:�$�Ïj¾¾¾¿ f �ifç��f � N h(�Oj �

ä�|vyx\ Å |wR [ P \ ¾ }g| � [�\ _�~�b � k c � � ~b � k c h:�gW¨§8Wgfåe N h��sjfNQiCjo��J=hhfÈjzhO§sj Wb � k c h(� W�¬�j­��J*hif8�,jzh4¬�jªeZJ=hhf8�Ïj J N h(�OjzhO§sj­��J*hhfÈj hO§�jyL8N J=hhf8�SjzhO§:�Ïj �ä�| P � R `�`�\ P \�` }gRU| � _ËP \z�u[�\ _�~av \ ·ox\ ~�R ÅM\ ~?P ��� }gTm� �Ì[ R à RUPSR [ x\ Ý� P �ç� }gTm�Ö} ` R [ RS}g| \u[°� _ ¥ RUv \ | [ R [ x\z` l� RS| ` R�]:_ \ P � ¾ }g| � [ }�~�R � PUR [ x\÷\ |åi \ [ò\ |Jm¸c j � U$`,-�S #"_ [(*� ?W$ eȸ × }gR [ h ¶ W�Q e ¶ N O�j�_w|¡} à�ã�\ [ v \ Ú�§$Û » Ok¸ � x\ Å |wR `�` }g| ` _w| ¾ }g| � [�\ _�~�l� _åv \ `�` _ ` v \ Okl e º k j e ¶ LVN I ù W

}�Ý_ ù e5O¯L8NQÚ�§$Ûvªx\z` RU{g| \ P \ ¾ }g| � [�\ _�~ ��R LVN ¶¡»PN h:�:j �¶ \z` } à�ã�\ [�` v \ < ù ` }g| [ P \z`m[ ~�RU�MP \u[�` h:�gW¨§8Wgf¿e N QÖh(§�j=N N h:�:j�julf}^Ý_¤� \z`�[ _w|á} àwã�\u[ v \ Oklo§_w|Ó} à�ã�\ [ v \ ¶ l \ [ f@_w| \+È Ý\z� � \ v \ t8¸)À�|ÓT=}�~��M�wR ` T \ v \ h:�gW¨§VWgfïe N QÖh(§�j0N N h:�:j�j*· \ ~ `h:� � W¨§ � Wgf � e N QÈhO§ � jfN N h:� � j�j \ `�[ _w| � }g_��MP \ h(� W�¬�julZ}�Ý_��ñe �7N � � \z`�[ _w| \lÈ Ý\z� � \ v \ Oklw¬0e$§7N § �_w| \7È Ý\ � � \ v \�¶ l [�\ PUP \z` ]s_ \ P \÷��� ~�~sx\N QÈhO§�j ÄN QÈh4¬�jÐf

N QÈhO§:�SjÐ f �N h:�:j ÄN h��4j N h��$�Sj` }gR [�� }gTmT�_ [��Ì[ R ¾ ¸�­}g_�~ [ }g_ [ } à�ã�\ [ §*v \7¶ l8}g|èvyx\ Å |wR [e º k j hO§�jf� � QÈhO§�juW¨§8W��lk j à ç Ç e N QÈhO§sj­N N QÈhO§�j � W\ [ �Ö}g_�~ [ }g_ [�\�È Ý\z� � \ ¬�eZ§�N § � v \�¶ le º k j h4¬�jf� � QÖh4¬�j�W�¬ � e � QÈhO§�j�W¨§VW�� k j à ç Ç � LVN � QÖhO§$�Ïj�W¨§:��W�� k j Ã ç ® Ç � �ä�|m·ox\ ~�R ÅM\ ¾ ��� RSP \ T \ | [ P �a� }gTÔ� �Ì[ R à RUPSR [ x\ Ý� P �÷� }gTm�È} ` R [ RU}g| \u[y� _ ¥ RSv \ | [ R [ x\z` l � RU| ` RM]s_ \ P � ¾ }g| �u[ } ¼~�R � PSR [ x\÷\ |Òh ¶ W�Qsju¸

ð »

Page 85: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

��������������! #"%$'&)(*�+��$-,/.!$�&0�1��$02�(* #�435(*�!67"%(*�!"8$��<&0�!�+�:( ;<�m�= ]�>�"%$��!6-2�(��?A�BC$��S"D�m��EGF±8±V³:à^³ × }gR [ tË_w| \ � \ [ R [�\=���Ì[ x\ {g}�~�R \ ¸ñär|Ò|w} [�\ E T P � � � ~ [ R \ v \  M¢�h�é­êwë h(t8W�Ú^§ZÛ�j�j ¾ }�~�T x\ \ v \z`x\ ]:_wRU· � P \ | �z\ ` ¾ � R à P \z` | �Ì[ _�~ \ PSP \z` l � _ [ ~ \ T \ | [ vwR [ lMv \z` T=}�~��M�wR ` T \ ` v \ ¾ }g| � [�\ _�~ ` ÊÙegJ NQJ �tÐJ Ð J �����Ú^§$Û[�\ P ` ]s_ \ �Ö}g_�~ [ }g_ [ i�lwion0prq�h(t�j�l�Ê�c ` }gR [ v � | ` E ¸Mär|è|w} [�\ E �T P � � � ~ [ R \ v \  M¢�hÑÚ^§ZÛ » tsj ¾ }�~�T x\z\v \z` ¾ }g| � [�\ _�~ `���` �M�yx\ ~�RU]s_ \z`�� _v \z`�` _ ` v \ t8l � _ [ ~ \ T \ | [ vwR [ lMv \z` T=}�~��M�wR ` T \z`¶ Äæô ôZõQ ¶ �øøù Q �t Q7�mQ � æ

v \ Ú^§ZÛ » t [�\ P ` ]:_ \ �Ö}g_�~ [ }g_ [ i�lÈi�n prq�h(tsjul8P \ ¾ }g| � [�\ _�~÷æ » i�e ¶¡» ikN ¶ � » i � lÈRS|wvw_wR [ � � ~ræ�l ` }gR [_w| \ x\ ]s_wRU· � P \ | �z\ ¾ � R à P \ ¸n�oqpØ1JNI5rØ~Ù¢Ø ±8±V³µ´�³D� (*�!6¡"%(*�!"8$^35$�"_ #"%$³;<�"�U$<VW(*6� [$ t &)(*�¢�E �T � Sts T h E T j W E T � S � T s h E �T j$�"4�:$��e2 (*�@;�"%$��!6'� SUT e E �T s Ú^§$Û » t=L LMLwLwL&N E s T é­êwë h(t8W�Ú^§$ÛCj$�" S � T e E s T é­êwë h(t8W�Ú^§$ÛCjÉL LwLMLwL4N E �T s Ú^§$Û » t W #��?m�1 #"T��35�6 SuT $�" S � T 6'$��[35$';�"T #i�$�BC$��S"`&���(*�5"³?1$�� U$ h��1 `i��:$��@;�$��ã?W$9;<�"�U$<VW(*6� [$���h��S�*�� #ä% #�Sim$�6���$����� �!�@$³?1$7���û��!"T6'$�Fr suSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� ¶ � x\ { � PSR [ x\ E �T � Sts T h E T j \z`�[ x\ ·�RSv \ | [�\ ¸^íÉ}gTmT \ h SuT W S � T j \z`�[ _w| � }g_��MP \v \ ¾ }g| �u[�\ _�~ `*� v ã }gRU| [�` h��g�g¸ » julñRSP ` _ �Ô[m\ | · \ ~ [ _ vw_ÜP \ T=T \ �w¸ ð l­v \ T=}g| [ ~ \ ~�]s_ \ �Ö}g_�~ [ }g_ [¾ }g| � [�\ _�~�J>egt�N Ú�§$Û�lMP \ T=}�~��M�wR ` T \ v�� � v ã }g| � [ RS}g|b � e SuTvS � T h�JÁjyL&LVL(NQJ\z`�[ _w| \ x\ ]:_wRU· � P \ | � \ ¾ � R à P \ | �Ì[ _�~ \ PUP \ ¸ ¤ |è· \ ~ [ _èv \a�z\ ]s_wR��w~sx\z� Ý\ v \ lM�Ö}g_�~ [ }g_ [ } à�ã�\ [ iov \ tVlwP \T=}�~��M�wR ` T \ b � k c \z`�[ P \ ¾ }g| � [�\ _�~ h4<�J°j » ifLVN J*h�iCjvªx\ Å |wR^� � ~ b � k c h(i4�(W¨§VWgfèegi4�VN iCjf�ÓJ*hifÈjzhO§�j Wb � k c � h(i4�OW¨§8Wgfèegi4�VN iCj à � kËÅ ÇLCLMLwL4N h(i4�Í�OW¨§:��Wgf8��egi4�¹�8N iCj � ��J*hhf8�Ïjzh4¬�j �

ð �

Page 86: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

ä�|vyx\ Å |wR [ _w| ¾ }g| � [�\ _�~ Ê � k c egJ=h(iCj�LÈN h4<7JÁj » i� � ~ Ê � k c hO§�j­�>h(i�W¨§8W���cñegi�N iCj�W §*n�p�qwh(J=h(iCj�j�WÊ � k c h4¬�j­�Îh���c�W�¬�j�W ¬0n¯ w¢µh(J=h(iCj�j��ä�|·ox\ ~�R ÅM\ ¾ ��� RUP \ T \ | [ ]s_ \ h�b � k c W¨Ê � k c j ¾ }�~�T \ _w| � }g_��MP \ v \ ¾ }g| � [�\ _�~ `r� v ã }gRS| [�` ¸Öär| \ |0vªx\ vw_wR []s_ \ b � k c \z`�[è��` �M�ªx\ ~�RS]:_ \ h » ¸ � jul \ [ç\ |á� � ~ [ R � _wPSR \ ~�_w| \ x\ ]s_wRU· � P \ | �z\ ¾ � R à P \ l �z\ ]s_wR ��� �^Ý\ · \ P �vªx\ T=}g| `�[ ~ �Ì[ RU}g|èvw_ [ �yx\ }�~�Ý\ T \ ¸��������������! #"%$'&)(*�+����3W35(K��$�h>�S$ÞE $���"²�!�9�:( ;'��= ]�>�"%$��!6e2�(��?A�BC$��S"D�m��2�(*6�"DFײØ!ÙÚÙ¢Ø ±8±8³ÑÕȳeR (* #" N e5OËNQt �!�+BZ(*6[3N\1 ]��BC$Y?W$ Ú^§ZÛ F§ÝÞ�:(*6'�

é­êwë h N W��\[ ç^] jzh E T j4w E Z $�" Ú�§$Û »PN h E �Z jxw E �T �rtsuSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� ¶ � �w~ \ T=ROÝ\ ~ \ RU| � PS_ ` RU}g| \z`�[ x\ ·�RUv \ | [�\ ¸�­}g_�~°T=}g| [ ~ \ ~ÁP � v \ _ ¥ ROÝ\ T \ l � }g| ` R ¼vªx\ ~�}g| ` _w|T=}�~��M�wR ` T \ æ ¶ Äæô ôZõQ ¶ �øøù Q �O

Ð Ntv \ Ú�§$Û » Okl ��` �M�ªx\ ~�RU]s_ \*� _ v \z`�` _ ` v \ Ok¸ ¨ P ` � � {gR [ v \ T=}g| [ ~ \ ~a]s_��ÍRSP \z`�[Á��` �M�yx\ ~�RU]s_ \=� _ v \z`�` _ `v \ t8l � _ [ ~ \ T \ | [ vwR [ lk]:_ \ �È}g_�~ [ }g_ [ } à�ã�\ [ iav \ t8lfP \ ¾ }g| � [�\ _�~*æ » i=e ¶¡» i7N ¶ � » i \z`�[ _w| \x\ ]:_wRU· � P \ | �z\ ¾ � R à P \ ¸Vär| � _w| [ ~�R � |w{gP \r� }gT=T7_ [¨�Ì[ R ¾¶¡» i Äæ » i¼ ¼ ¼�½Q » i ¶ � » i¾¾¾¿ Q � » iO » i\ [ �Ö}g_�~ [ }g_ [ } à�ã�\ [ h:�gW �me N h:�:jkNQiCjÉv \ O » i�lM}g| � v \z` R ` }gT=}�~��M�wR ` T \ `��z� |w}g|wRS]s_ \ `

h ¶¡» i&j » h:�gW �sja� ¶¡» � W h ¶ � » iCj » h:�gW �sje� ¶ � » � W\ [ h(æ » iCj » h:�gW �sj ` ��RSv \ | [ R ÅM\ Ý� æ » �MlÖ]s_wR \ `�[ � � ~a� ë �È} [ ��Ý\z`�\ _w| \ x\ ]s_wRµ· � P \ | �z\ ¾ � R à P \ ¸ ¶ \ ¾ }g| �u[�\ _�~æ » i \z`�[ vw}g| �°��` �M�yx\ ~�RS]:_ \°� _èv \z`�` _ ` v \ O » i�l �z\ ]s_wR��w~�}g_�· \ ]:_���RUP \z`�[ _w| \ x\ ]s_wRµ· � P \ | �z\ ¾ � R à P \ ¸

ð �

Page 87: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

±8±V³:Q^³ ¤ |è· \ ~ [ _vw_P \ T=T \ �w~sx\z� x\ v \ | [ l8�Ö}g_�~ [ }g_ [�\¡È Ý\ � � \�N e-O0N t=v \ Ú^§ZÛulMP \ ¾ }g| � [�\ _�~é­êwë h N W��\[ ç^] jyeMé­êwë h(t8W�Ú^§$Û�jyLCLMLwL4N é­êwë hGOMW�Ú�§$Û j

RS|wvw_wR [ _w| ¾ }g| � [�\ _�~N�y e E s T éfêwë h(tVW�Ú�§$Û�jyLCLMLwL4N E s Z é­êwë hGOMW�Ú�§$Û j W

\ [ P \ ¾ }g| � [�\ _�~ Ú�§$Û »PN egÚ�§$Û » O L LMLwLON Ú�§$Û » t_w| ¾ }g| � [�\ _�~ Ú�§$Û »PN e E �Z s Ú�§$Û » O¡LCLMLwLON E �T s Ú^§ZÛ » t �­}g_�~ [ }g_ [�\ � \ [ R [�\a�z�Ì[ x\ {g}�~�R \ t8lw}g|è�È} `�\z h(t�jf� zu{ h(tsjf� E s T é­êwë h(tVW�Ú�§$Û�j

h(v \=` }�~ [�\ ]s_ \m` Rªt ��­gl z h_­dj?� E s ê é­êwë h_­gW�Ú^§ZÛ�j�� E s Ú^§ZÛa� éfê}|mh � ¾ ¸��w¸ » j�ju¸^­}g_�~ [ }g_ [T=}�~��M�wR ` T \UN e5OËNQt*v \ Ú^§ZÛ¨lM}g| � vw}g| � vyx\ Å |wR�_w| ¾ }g| � [�\ _�~N y e z h�t�jyLVN z hGO�j �

ä�|vyx\ Å |wR [ _w| ¾ }g| � [�\ _�~ NU~ e z hGO�jyLÈN z h(tsj\ |å�È} `�� | [ NU~ � SUT � Ú^§$Û »PN � S � Z �n�oqpØ1JNI5rØ~Ù¢Ø ±8±V³]�ȳD� (*�!6¡"%(*�!")BC(*6D3N\W ]��BZ$ N e5OËNQt ?W$ Ú^§ZÛ &4�:$��e2�(�@;�"%$��16��NU~ e z hGO�jyLVN z h�t�j W N�y e z h(tsj�L8N z hGO�j2�(*6�BC$��S"4�!�Ú;'(��3��:$Y?W$-2�(�@;�"%$��16��o�A? d (* #�S"T�>Fr suSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� ¨ P�~sx\z` _wP [�\ v \ P � �w~�}��Ö} ` R [ RS}g| �g�g¸ » lMvw_ [ �ªx\ }�~.Ý\ T \ �g�g¸��wl \ [ v \z` P \ T=T \ ` �g�g¸¹¦\ [ � ¸£¦7]s_ \ P \÷� }g_��MP \ v \ ¾ }g| � [�\ _�~ ` h SUT � Ú^§ZÛ »PN W S � Z � N y j

E �Z s Ú^§ZÛ » O [ çd] å kL$LMLwLwL8LÌN E �T s Ú�§$Û » t �7�L LMLwL8LON E s T éfêwë h(tVW�Ú�§$Û jk� z h(tsjE s T éfêwë h(t8W�Ú^§$Û�jf� z h(tsj k��LÈN z hGO�jf� E s Z éfêwë hGOMW�Ú�§$Û�j � ® �L�LMLwLMLON E �Z s Ú^§ZÛ » O

\z`�[ _w| � }g_��MP \ v \ ¾ }g| � [�\ _�~ `É� v ã }gRS| [�` ¸Mí�}gT=T \�\ |=· \ ~ [ _�vw_ [ �yx\ }�~�Ý\ T \ �g�g¸��wl S Z \ [ S � Z ` }g| [ v \z`x\ ]:_wRU· � P \ | �z\ ` v \7���Ì[ x\ {g}�~�R \ ` ]s_ ��` R ¼ RS|Z· \ ~ `�\z` PT��_w| \ v \ P_� � _ [ ~ \ l N y � S Z h S � Z N y j \z`�[ _w| � v ã }gRS| [Ý� v�~�}gR [�\ v \ h SUT Ú^§$Û »PN j S � Z � N ~ l �z\ ]s_wR��w~�}g_�· \ P \r[ �yx\ }�~�Ý\ T \ ¸ð ¦

Page 88: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

ì J5IKJ�í`í`î5O#I*Ø ±8±8³Ó��³NR (* #" O kLVN O � k ®LÈN O �Í� ?A���� Ú^§ZÛ F!ÝÞ�:(*6��Þ(*�Z�¡�!�C ]��(*BC(6[3N\W #��BC$k?1$@2 (*�@;�"%$��!6'�h N � N j ~ � N � ~ N ~ ¸rtsuSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� ¶ \m� }�~�}gPSP � Rµ~ \ ~sx\z` _wP [�\ RST=T x\ vwR �Ì[�\ T \ | [ vw_ [ �yx\ }�~�Ý\ T \ �g�g¸ Y \ [ v \ PT��R ` }gT=}�~ ¼�M�wR ` T \ x\ ·�RUv \ | [ h N � N j y � N y N � y ¸� � uSv8���Au���������� × }gR [ O¯_w| \ � \ [ R [�\a�z�Ì[ x\ {g}�~�R \ ¸Vär||w} [�\Ç Z e8éfêwë hGOMW�Ú�§$Û�jyLVN E s Z é­êwë hGOwW�Ú^§$Û�jf� z hGO�j

P \ ¾ }g| � [�\ _�~�v \ PU} ��� PUR `��Ì[ RS}g| h(v \?` }�~ [�\ ]:_ \a` R@O0��­glÇ ê eÌÚ^§ZÛ-� é­êwë h_­gW�Ú�§$Û�jyLÈN E s ê é­êwë h_­gW�Ú^§ZÛ�j0� E s Ú^§ZÛk� é­ê}|` �ÍRSv \ | [ R ÅM\ª� _ ¾ }g| � [�\ _�~ñv \ PS} �z� PSR `��Ì[ RS}g| ��� |w}g|wRU]s_ \ ÇËegÚ�§$Û­N é­ê}|kh � ¾ ¸d�w¸ » j�ju¸.ä�|°|w} [�\ f Z e-O0N ­P_�Í_w|wRS]:_ \ ¾ }g| � [�\ _�~fv \ O*· \ ~ ` P �ò�z�Ì[ x\ {g}�~�R \ �Ö}g| �u[ _ \ PSP \ ¸gä�|°·ox\ ~�R ÅM\ RST=T x\ vwR �Ì[�\ T \ | [ ]:_ \ �Ö}g_�~ [ }g_ [¾ }g| � [�\ _�~�J>e5OËNîÚ^§ZÛulM}g| � hhf Z j ~ Ç Z h�JÁj-�ÀÇkh < JÁj �¤ |ç� � ~ [ R � _wPSR \ ~�l ` R ¶�\z`�[ _w| \ � \ [ R [�\a�z�Ì[ x\ {g}�~�R \ l \ [ J>P \ ¾ }g| � [�\ _�~ � }g| `�[�� | [ v \ · � P \ _�~ ¶

JÎeK��R LVN ¶ W �=n�p�qwh�O�j W� PS}�~ ` hhf/Zsj ~ Ç�ZVh�JÁje�©ÇkhGO ® ¶ j W� _ [ ~ \ T \ | [ vwR [ l hhf Z j ~ f y Z Çkh ¶ jf�ÀÇfhGO ® ¶ j �Ê�RS| ` ROl \ |è· \ ~ [ _v \ P � �w~�}��Ö} ` R [ RS}g| � ¸ ð lwP \ ¾ }g| � [�\ _�~hhf Z j ~ f y Z e8é­ê}|yLVN é­ê}|` �ÍRSv \ | [ R ÅM\?� _ ¾ }g| � [�\ _�~�Çkh�O�j ®�� ls�w~�}:vw_wR [ � � ~�ÇfhGO�jyv � | ` é­ê}|¨¸�)�·����3A3N(K��$'&4?A�m�������ü���! #"%$'&4h��5$7�:$7�:( ;<�m�= ]�>�"%$��!6f2�(*��?W�BC$��S"8��m2�(6�"zE $���"52�(*6�"%$�BC$��S"e�>�m"T�!6aU$�F Ã�� ÇH7IKJ5L0JNM�O#PKO#JYX ±8±V³�±:²�³eR (* `" N e-O0N t �!�+BC(6[3N\W #��BC$�?W$ Ú�§$Û F� j � (�169h��5$ N ��(* `"��1�@$ U$�h>�1 #im��:$��@;'$o2>� [c��:$'&� `�§2>�m�1"�$�"Y #�k���^� "�h��5$·�:$nBC(6[3N\W #��BC$9?W$2�(*��;�"8$��16�� hhf Z j ~ f y Z �Îhhf T j ~�Nu~�N�y f yT LVN hhf T j ~ f yT W?kU$`,0�S �3S�67�:$�BC(6[3N\W #��BC$³?7�û�A? d�(�@;�"_ [(*�~&f��(* `"0�!�+ ]� (*BC(*6D3N\W ]��BZ$�Fà j � (*�!6oh��5$ N � (* #"k�*�[3N\lU$�6� _h��5$'&- #�m2���1"p$�"4 #�@���d� "^h��S$o�:$�BC(6[3N\W #��BC$�?W$²2�(*�@;�"8$��!6'�NU~ f y Z � NU~�N�y f yT LVN�f yT W

� � � | `�`��=[ ��Ý\z`�\ l � \ |wR `�¼ íÉ� � ~�P \z` íÉR ` RS| `�� Rñvªx\ Tm}g| [ ~ \ ]s_ \ l � }gT=T \�� ~�} [ � \ |wvwR \z��� P \Á� }g| ã�\ � [ _�~ \v � | `åº Âª_�~ ` _wRU|w{ × [¨�����s`�½ l "%(*�!" PU} ��� PUR `��Ì[�\ _�~ ¾ }g|wv � T \ | [¨� P ¾ }�~ [÷\z`�[ ¾ }�~ [�\ T \ | [a`��Ì[ _�~sx\ l�T � R `��z\~sx\z` _wP [¨�Ì[ |�� \z`�[ � ��` x\ P�x\ T \ | [¨� Rµ~ \ ¸ðgX

Page 89: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

?kU$`,0�S �3S�67�:$�BC(6[3N\W #��BC$³?7�û�A? d�(�@;�"_ [(*�~&f��(* `"0�!�+ ]� (*BC(*6D3N\W ]��BZ$�FrtsuSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� � jy­}g_�~ [ }g_ [�\ � \ [ R [�\÷���Ì[ x\ {g}�~�R \7¶ lwP \ T=}�~��M�wR ` T \ÇkhGO ® ¶ je�Îhhf Z j ~ hhf Z j y Çfh ¶ jªLVN hhf T j ~ hhf T j y Çfh ¶ jf�©Çkh(t ® ¶ j|�� \ `�[*� _ [ ~ \ ]s_ \ Çkh N ® � ºfj�lk]:_wR \ `�[ _w|áR ` }gT=}�~��M�wR ` T \ç` R \u[=`�\ _wP \ T \ | [*` R N ® � º \z`�[ _w| \x\ ]:_wRU· � P \ | �z\ ¾ � R à P \ h��M_wR ` ]s_ \ E \z`�[ ¾ }�~ [�\ T \ | [�`��Ì[ _�~sx\ ju¸ ¶ � ��`�`�\ ~ [ RS}g|¯h � jª~�x\z` _wP [�\ vw}g| � v \ � ¸ » ¸c jè­}g_�~ [ }g_ [�\ � \u[ R [�\ ���Ì[ x\ {g}�~�R \ ¶ l N ~ f y Z Çkh ¶ j�h�~ \z` �^¸�f yT Çfh ¶ j�j \z`�[ PT��RST � { \ � � ~çÇ T vw_¾ }g| � [�\ _�~7i8R N hGO ® ¶ j » iÞ��O » i ® ¶ h�~ \z` �^¸�vw_ ¾ }g| �u[�\ _�~ � }g| `�[¨� | [ i;RN ¶ jul�i÷nÀprqsh(tsjul \ [ P \T=}�~��M�wR ` T \tN ~ f y Z Çfh ¶ j�N�f yT Çfh ¶ j \z`�[ P_��RUT � { \ � � ~�Ç T vw_ËT=}�~��M�wR ` T \ v \ ¾ }g| � [�\ _�~ ` vyx\ Å |wRñ� � ~P � v \ _ ¥ ROÝ\ T \ �w~�} ã�\z� [ RU}g|�O » i ® ¶ N ¶ ¸ ¶ � ��`�`�\ ~ [ RS}g|¡h c j�~sx\ ` _wP [�\ vw}g| � v \°» ¸��w¸� uSvÞ}§|��7 §u¡�����¢����� ¶ \z`���`�`�\ ~ [ RS}g| ` h � j \ [ h c jòv \ P � �w~�}��È} ` R [ RS}g|¯�g�g¸S�.� � vwT \ [�[�\ | [ P � {�x\ |ªx\ ~ �H¼PSR `��Ì[ RU}g| � }gTmT�_w| \÷` _wRµ· � | [�\ e R (* #"

O Äæô ôZõN O �øøù N �tN � N �Sæ

�!� "_6� [��!V�:$C;'(*BYB³�1"8�"_ û2ü?W$ Ú�§$Û F � (*�16üh>�S$³�:$³BC(*6D3N\W ]��BZ$ æ � (* #"p�*�[3�\ÞU$�6� [h��S$ü��Ú?W$��'���1�Y?W$ t & #��2���1"^$�"4 #�����d� ")h>�S$o�:$�BC(*6D3N\W ]��BC$³?W$02�(*�@;�"%$��!6'�N ~ f y Z � N � ~ æ ~ æ y f y Z ® LÈN N � ~ f y Z ® W?kU$`,0�S �3S�67�:$�BC(6[3N\W #��BC$³?7�û�A? d�(�@;�"_ [(*�~&f��(* `"0�!�+ ]� (*BC(*6D3N\W ]��BZ$�F¤ | \��È\ [ l��Ö}g_�~ [ }g_ [�\ � \ [ R [�\*���Ì[ x\ {g}�~�R \C¶ l�P \ Tm}�~��M�wR ` T \£N ~ f y Z Çkh ¶ j7LVN N � ~ f y Z ® Çfh ¶ j÷v \ z h(tsj` �ÍRSv \ | [ R ÅM\ Ý� PT��RST � { \ � � ~òÇ T vw_T=}�~��M�wR ` T \ v \ ¾ }g| � [�\ _�~ `

iWR LÈNQæ » i ® � ºÒe-O » i ® ¶ LVN O�� » i ® ¶ W ikn�p�qwh(tsj W\ [ P_� ��`�`�\ ~ [ RS}g|è~sx\z` _wP [�\ v \ � ¸ » ¸

ðZY

Page 90: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

¤ #�¥�E;A;&'.5(C,/.2E8¥�#9E8¥�,/.1¦u%�&G.5.§,/.1I������Y;'$)3S�m6 � V6<�'3N\�$�&)(*�·��$²,/.!$'&0�!�@$²2�(* ]�²35(�16�"8(�1"%$��<&0�!� �:( ;<��= ]���"8$��16-2�(*��?A�mBC$��S"8���EGF¨ pت©@XaO]PKO`JYX ±�ÛÖ³�±8³ är| vwR [ ]s_���_w| T=}�~��M�wR ` T \ æÎe ¶ N «Qv \ Ú^§$Û \z`�[ E ¼ 3@6<(<3�6'$ ly}g_á�MPS_ `` RUTm�MP \ T \ | [ 3�6<('3�6<$ l ` R��Ö}g_�~ [ }g_ [ } à�ã�\ [ ��v \ «*lwP \ T=}�~��M�wR ` T \r��� |w}g|wRU]s_ \i�¬òe ¶ ¬�L8N ¶¡» � W §­RN h(§VW��c¬�egæñh(§�jfN � j�W §=nËprqsh ¶ ¬¨j\z`�[ ;'(��*�[3�\ÞU$�6� [h��S$ ¸�ä�| vwR [ ]:_ \ æ \z`�[ E ¼ �= #�'��$ lª}g_ �MPU_ `�` RSTm�MP \ T \ | [ �= ]�'��$ l ` R�P \ Tm}�~��M�wR ` T \æ�®ae ¶ ®�N «­® \z`�[ �w~�}��w~ \ l � _ [ ~ \ T \ | [ vwR [ l ` R��È}g_�~ [ }g_ [ } àwã�\u[ �yv \ «*l�P \ T=}�~��M�wR ` T \���� |w}g|wRS]:_ \�c¬�e ¶ ¬òLVN ��¯ ¶ W §qRN hO§VW��c¬�eW�ÉNQæñhO§sj�j�W §*n�prq�h ¶ ¬�j\z`�[ �*�D3N\ÞU$�6� _h��5$ ¸� � uSv8���Au��ª°��±°�� ¨ P�~sx\z` _wP [�\ v \Á» ¸S�.� \ [�» ¸ »g» ]:_���_w| \ �w~�x\z� } Åwà ~ �Ì[ RS}g| \z`�[ _w|T=}�~��M�wR ` T \ �w~�}��w~ \ ¸� _ � P \ T \ | [ lÌ_w| \ �w~sx\ Åwà ~ �Ì[ RS}g| \z`�[ _w|�T=}�~��M�wR ` T \ PSR `�`�\ ¸ ¤ |Á� � ~ [ R � _wPSR \ ~�l�_w| \ #B³BC$�6'�� [(��(*�1i�$�6�"%$h(T=}�~��M�wR ` T \ v \ Ú^§ZÛ7R ` }gTm}�~��M� \ Ý� PT��RS| � PS_ ` RU}g|áv���_w| � ~�R à P \ j \z`�[ _w| T=}�~��M�wR ` T \ PSR `�`�\ l \ [ _w| \ #B³BZ$�6'�� D(*��2�$�6�B U$ $ h�T=}�~��M�wR ` T \ R ` }gTm}�~��M� \ Ý� P_��RU| � PS_ ` RS}g|Òv���_w| � } � ~�R à P \ j \z`�[ _w| Tm}�~��M�wR ` T \�w~�}��w~ \ ¸H7IKJ5L0JNM�O#PKO#JYX ±�ÛȳÓà�³²R (* #" æ¯e ¶ N « �!�ÚBC(*6D3N\W ]��BZ$ü?1$ Ú^§$Û F É $���;'(*�@? #"_ [(*�������! #i��S"%$�����(*�S"U$�h��! #i�m�:$��S"%$��t�� j�æ $���"z3@6<(<3�6'$²�à j 3N(*�167"8(�1"Þ(�c_d�$�" § ?W$ ¶ �:$��e,4c>6<$��o?m��BZ(*6[3N\1 ]��BC$§-¯ ¶ LVN ��¯}« W �É��æñhO§sj W #��?m�1 #"z3S�6 æ &0��(*�S"k�*�[3N\lU$�6� _h>�S$��²�� j 35(*�!6�"8(*�!")BC(*6D3N\W ]��BC$ « � �?³ïyN « ?W$ Ú�§$Û &-�� -��� (*��2�(6�BC$o�:$Y;<�6�6aU$³;'�6�"�U$��� [$��¶ �V� ¶ ®9´ «Á� Ä

жЫÁ� Ä « W��� #��;��=�W�� [(*� ¶ � �µ N ¶ � &f?W$p���²,4c�6<$�?W$ ¶ � ��Z?1$��'���1�l?W$p���Ë(�cTd�$�" � ?W$ « � �?³ï &e$���"§�!�ïBC(*6D3N\W ]��BC$;'(���[3N\lU$�6� _h��5$²�v8j 35(�167"8(*�!"%$9�¶�$ ;�\�$ ¬�÷eA����N �* ?W$ « &)$�"²"%(*�1"^(�cTd $�" §!� ?W$ ¶ ¬[� &0���ï;<�m"�U$<V1(*6� [$ ¶ hO§!�ÌW�¬*��j &?W(*�5"b�:$��â(�c_d�$�"T�Y��(*�5"Þ�:$��·�¶�$ ;�\�$�� ¬Àe�§1�mN § ?1$ü��(*�!6<;�$ §!� &7h��! ^6'$��d�$�im$��5" ¬�¿h(æ�h4¬�jr� ¬��jul $�"?W(*�5"²�:$��¡BC(*6D3N\W ]��BZ$�����(*�5"²�:$��7"_6� _��~V�:$���;'(B³B³�!"D�"_ û2'�§1�¸¸¸¹ ¬ º º º�»¬ �� Ä� �u� W�im$�; � BC(6[3N\W #��BC$�?W$ ¶ ¬ � h(æ�h � j­�Î�c¬ � jul $���")�*�D3N\ÞU$�6� _h��5$�Fðgð

Page 91: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

rtsuSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� ¶ � x\ ]s_wRµ· � P \ | �z\ v \ h � julyh c j \ [ h ? j \z`�[ _w| ` RUTm�MP \*\ ¥ \ ~ � R �z\ v \*[ ~ � vw_ � [ RS}g|P � R `�` x\r� _�P \ � [�\ _�~�¸5¼Ë}g| [ ~�}g| ` PT� x\ ]:_wRU· � P \ | �z\ v \ h ; j \u[ h ? ju¸ ¶ � vw}g|w|ªx\ \ v��Í_w| \bÈ Ý\z� � \ ¬�reA���òN �Kv \ « x\ ]s_wRU· � _ [ Ý��z\ PSP \ v���_w| ¾ }g| � [�\ _�~£³â7N «*l � }gTmT \ v � | ` h ; jul \ [7�� ~�T \ ~zl � · \z� P \ ` |w} ¼[¨�Ì[ RU}g| ` v \ h ; julñ]:_ \ⶠ� µ N ¶ � \ `�[m� } ��` �M�yx\ ~�RU]s_ \ l � � \z`�[Ô�� ~�T \ ~�]s_ \ �Ö}g_�~ [ }g_ [ } à�ã�\ [ § � v \¶ � l�P �0���Ì[ x\ {g}�~�R \ § � ¯ ¶ � \z`�[Ô��` �M�ªx\ ~�RU]s_ \ ¸ × Rɧ � n@p�qwh ¶ � jul �z\ P ��\z`�[ ·s~ � R(l `�� | ` � ë �Ö} [ �^Ý\z`�\�` _�~æ�l­h��M_wR ` ]s_�� � PS}�~ ` § � ¯ ¶ � � vwT \u[ _w| } à�ã�\ [ RU|wR [ R � POl \ [ � � ~ ` _wR [�\7\z`�[÷��` �M�ªx\ ~�RS]:_ \ h » ¸S�g�dj�j�¸ ¨ P ` _ �Ô[vw}g| � v \ P \ ·ox\ ~�R ÅM\ ~y�È}g_�~ɧ � v � | `)¶ � L ¶ � � ¶ � � � ¶ ¬[�H¸5¼ � R `�� PU}�~ ` § � ` �ÍRSv \ | [ R ÅM\ Ý� _w|*} à�ã�\ [ §1�v \o¶ ¬[��l \ [ }g|è·ox\ ~�R ÅM\ ]s_ \ § � ¯ ¶ � \z`�[ R ` }gT=}�~��M� \ Ý� P �=�z�Ì[ x\ {g}�~�R \�¶ hO§1�ÌW�¬�zj�v \ h ? ju¸Èí \ P �=��� �^Ý\ · \P � vyx\ T=}g| `�[ ~ �Ì[ RS}g|�¸ì J5IKJ�í`í`î5O#I*Ø ±�ÛȳU´�³@É $��pBZ(*6[3N\1 ]��BC$��f3�6<(<3@6<$��p��(*�S"/��"8�Ac��:$��e3S�6¡;�\~��!V1$�BC$��S"-?W$¡c'�*��$�&a��1"_6<$�BC$��S"? #"`&�35(�16�"8(�1"p;<�6�6aU$³;'�6�"�U$��� [$��9?A���� Ú�§$Û¶ �Ðæ �

Ä ¶Ð æ« � Ä « W�� æ $���"z3�6'(<3�6<$�&0 #�j$��¤$���"k?W$7B¤£$�BZ$^35(�16 æ � ¸r suSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� ¶ \�� }�~�}gPSP � RU~ \ ~�x\z` _wP [�\ v \ P � �w~�}��È} ` R [ RS}g|0� » ¸¹��l$�M_wR ` ]:_ \ P �°� }g|wvwR [ RS}g|Ëh ; j \ `�[`�[¨�Ìà P \ � � ~ � � � |w{ \ T \ | [ v \÷à8��`�\ ¸H7IKJ5L0JNM�O#PKO#JYX ±�ÛÖ³,ÕÖ³�½ �+BC(*6D3N\W ]��BC$)3�6'(<3�6<$2��p,4c�6'$�����[3N\lU$�6� _h��5$��o$���"4�!�S #im$�6'��$��]�:$�BC$��S"^�*�[3�\ÞU$�ä6� [h��S$�&p�m�1"_6<$�BZ$��S"l?m #"#&l$���"Þ�*�[3N\lU$�6� _h>�S$C$�"p�:$Y6<$���"%$��'3�61�$���"8(*�!"b;�\~��!VW$�BC$��S"b?W$�c'�*��$'&l(*�¤$��@;'(6<$?W$-2��}¾ ;'(*� U$<h��! #i�m�:$��S"%$'&)$���"4�!�S #im$�6���$��]�:$�BZ$��S"^?A����7E ¸r suSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� íÉ}gTmT \Ùú\ [ ~ \ �w~�}��w~ \ Ý� Åwà ~ \z`���` �M�ªx\ ~�RU]s_ \z`å\z`�[ l \ |Ó· \ ~ [ _Óvw_ � }�~�}gPUP � RU~ \� » ¸��wlV_w| \ �w~�}��w~�R�x\ [ x\�`�[¨�Ìà P \ � � ~ � � � |w{ \ T \ | [ v \7à8��`�\ l�RSP ` _ �m[ v \ T=}g| [ ~ \ ~r]s_��Í_w| Tm}�~��M�wR ` T \æ0e ¶ N « `��Ì[ R ` ¾ � R `�� | [ Ý�÷�z\u[�[�\ �w~�}��w~�R�x\ [ x\�\z`�[o��` �M�ªx\ ~�RU]s_ \ ¸ ¶ \ T=}�~��M�wR ` T \ æ x\ [¨� | [ �w~�}��w~ \ lZ�È}g_�~[ }g_ [ } à�ã�\ [ �?v \ «*lÈP \ Tm}�~��M�wR ` T \°��� |w}g|wRS]:_ \³¶ ¬�N ¶¡» � \z`�[÷� } ��` �M�ªx\ ~�RS]:_ \ l \ [r\ |�� � ~ [ R � _wPSR \ ~_w| \ x\ ]s_wRµ· � P \ | �z\ ¾ � R à P \ ¸^í�}gT=T \ � � ~r� ë �È} [ ��Ý\z`�\ P �=�z�Ì[ x\ {g}�~�R \�¶ ¬ \z`�[÷��` �M�yx\ ~�RU]s_ \ l�RUP \ | \z`�[ v \T ú\ T \ �È}g_�~ ¶¡» �dl �z\ ]:_wR��w~�}g_�· \ PT� ��`�`�\ ~ [ RS}g|�¸×²Ø!ÙÚÙ¢Ø ±SÛȳ:Q^³0R (* [$��S" æ e ¶ N « �!� BZ(*6[3N\1 ]��BC$�?W$ Ú�§$Û & § �!� (AcTd�$�"p?W$ ¶ &Þ$�" ��� æ�hO§sj F R �:$�BZ(*6[3N\1 ]��BC$ æ $���"z3�6'(<3�6<$�&0 #�a$��Ú$���"k?W$�B¤£$�BC$³?�ãBC(6[3N\W #��BC$ §-¯ ¶ N ��¯}« &- #��?�! #"z3S�6 æ�¸rtsuSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� ¤ |�· \ ~ [ _çv \ P �Á� }g|wvwR [ RS}g| h c jªv \ P � �w~�}��Ö} ` R [ RS}g|Ë� » ¸¹��l:RSP ` _ �Ô[ v \ T=}g| [ ~ \ ~]s_ \ �Ö}g_�~ [ }g_ [ } àwã�\u[ hO§ � W�¬0eZ§�N § � j­v \ §5¯ ¶ P \ T=}�~��M�wR ` T \ hO§ � W�¬�j�¯whO§-¯ ¶ jñN h_� � W � j¿¯wh_��¯}«Ôj�lÌ}�Ý_h_� � W � jª�ïh(æñh(§ � juW�æñhO¬�j�jul \z`�[ Ý�mÅwà ~ \z`r��` �M�ªx\ ~�RS]s_ \ ` ¸�ä�~ �z\ T=}�~��M�wR ` T \a` ��RUv \ | [ R ÅM\Á� _0Tm}�~��M�wR ` T \§ � ¯ ¶ N � � ¯}«�lwRU|wvw_wR [ � � ~�æ�lV]:_wR \z`�[ Ý�7Åwà ~ \z`���` �M�yx\ ~�RS]:_ \z` l \ |å· \ ~ [ _v \ P �Ô� }g|wvwR [ RS}g|¡h c jÉv \ P ��w~�}��È} ` R [ RU}g| � » ¸���l��M_wR ` ]:_ \ P \ T=}�~��M�wR ` T \ æ \z`�[ �w~�}��w~ \ ¸H7IKJ5L0JNM�O#PKO#JYX ±�ÛÖ³]�ȳ)R (* [$��S" æÒe ¶ N « �!�¤BC(*6D3N\W ]��BC$l3�6<('3�6<$C?W$ Ú^§$Û & § �!� (�cTd $�"Þ?W$ ¶ &b$�"�É�Óæñh(§�j F�ÝÞ�:(*6��7�:$�BZ(*6[3N\1 ]��BC$ §5¯ ¶ N �\¯}« &- #��?�! #"z3S�6 æ�l $���"²�!�S #im$�6���$��]�:$�BZ$��S"^�*�[3N\lU$�6� _h>�S$�Fr suSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� ¨ Pñ~sx\ ` _wP [�\ v \ P ��� }g|wvwR [ RU}g|Üh c j�v \ P � �w~�}��Ö} ` R [ RS}g|Ù� » ¸¹�*]:_ \ P \ Tm}�~��M�wR ` T \§-¯ ¶ N �\¯}« \ `�[ Ý��Åwà ~ \z`?��` �M�yx\ ~�RU]s_ \z` l \ [ vw_¡P \ T=T \ �w~sx\ � x\ v \ | [ ]s_��ÍRSP \ `�[ �w~�}��w~ \ ¸ ¶ � ��`�`�\ ~ [ RS}g|~sx\z` _wP [�\ vw}g| � v \ P � �w~�}��Ö} ` R [ RS}g| � » ¸£¦s¸

ð��

Page 92: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

H7IKJ5L0JNM�O#PKO#JYX ±�ÛÖ³:��³fÉ $���BC(*6[3�\W ]��BC$��43�6<('3�6<$��¡��(*�S"0��"8�Ac��:$��435�6³;�(*BÞ35(K�� #"T D(*��FrtsuSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� × }gR [Þ¶ ¦N « jN «Îv � | ` Ú�§$Û�l � · \ � æ�l²Q=�w~�}��w~ \z` ¸²ÀV}�~�T=}g| ` P \ vwR � {�~ � T=T \¶ � ÄÐ

§5¯ ¶ ÄÐ

¶Ð æ« � Ä

Ð�\¯}« ÄÐ

«Ð Q�:h�Áu�OW�¬�j'�·Â Ä Á\¯�« Ä « W}�Ý_ܧ \ `�[ _w| } à�ã�\ [ v \�¶ lf�ç� æñh(§�julDÁè��QÈh_�zj7�ÃQ:æ�hO§sjulÉhgÁ � W�¬@e9ÁçN Á � j°_w| } àwã�\u[ v \ Á\¯�«�lP \ ` v \ _ ¥ ��� ~�~sx\z` v \ { � _ � � \ x\ [¨� | [���� ~ [ x\z` R \ | ` ¸�í�}gT=T \ Q \z`�[ �w~�}��w~ \ lÈRUP�~�x\z` _wP [�\ v \ P �m� }g|wvwR [ RS}g|h c j�v \ P � �w~�}��È} ` R [ RU}g|Ó� » ¸¹�Ë]s_ \ « � \z`�[*��` �M�yx\ ~�RU]s_ \ ¸yíÉ}gT=T \ æ \z`�[ �w~�}��w~ \ loRSPÉ~sx\z` _wP [�\ v \ P ��w~�}��È} ` R [ RU}g| � » ¸ Y ]s_ \ P \ T=}�~��M�wR ` T \ §-¯ ¶ N �\¯}« \z`�[ _w|wRU· \ ~ `�\ PUP \ T \ | [ç��` �M�ªx\ ~�RS]:_ \ ¸�är| \ |vªx\ vw_wR [ ]:_ \ P \ T=}�~��M�wR ` T \㶠� N « � \z`�[è��` �M�ªx\ ~�RS]:_ \ l�vw}g| � _w| \ x\ ]s_wRU· � P \ | �z\ ¾ � R à P \ l \ [ � � ~` _wR [�\ l ¶ � \z`�[r��` �M�ªx\ ~�RU]s_ \ ¸Öí \ P � �w~�}g_�· \ ]s_ \ Q$æ \z`�[ �w~�}��w~ \°\ |· \ ~ [ _0v \ P ��� }g|wvwR [ RS}g|Ùh c j�v \ P ��w~�}��È} ` R [ RU}g| � » ¸���¸×²Ø!ÙÚÙ¢Ø ±�ÛȳӴ�³eR (* #" ¶ � Ä

Ð¶Ð æ« � Ä «�!�Ú;<�6�6aU$³;'�6�"�U$��� [$�� ?W$ Ú^§ZÛ FzÝÞ�:(*6��)35(*�!6�"8(*�!"p(�cTd�$�" § ?W$ ¶ & �É�Óæ�hO§�j &-�:$ü;<�6�6jU$7 #�@?�1 `"§5¯ ¶ � Ä

Ч-¯ ¶Ð�\¯}«Á� Ä ��¯}«$���"^;<�6�"�U$��� [$���Fr suSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� í�}g| ` RSvªx\ ~�}g| ` P \a� _ àÈ\°� }gT=T7_ [¨�Ì[ R ¾¶ �

ÐÄ ¶

§-¯ ¶ ���ÄÐ

ÄÐ §5¯ ¶��ÄЫ � Ä «

�\¯}«Á���Ä Ä �\¯}«��Ä �¶ � ¾ ���z\ò� ~�~�ROÝ\ ~ \É\z`�[o��� ~ [ x\ ` R \ |w| \ � � ~ª� ë �È} [ ��Ý\z`�\ l \u[ P \z` ¾ ���z\z` �w}�~�R±�z}g| [¨� P \ `o` }g| [o��� ~ [ x\z` R \ |w| \z` � � ~vªx\ Å |wR [ RS}g|Ëv \ §-¯ ¶ � \u[ ��¯}« � ¸^ä�| \ | vªx\ vw_wR [ ]s_ \ P � ¾ ��� \Ô� · � | [÷\z`�[r�z� ~ [ x\z` R \ |w| \ l �z\ ]:_wR��w~�}g_�· \P \ P \ T=T \ ¸ � �

Page 93: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

H7IKJ5L0JNM�O#PKO#JYX ±�ÛÖ³�±:²�³eR (* D$��S" « �!�@$^35$�"_ #"8$Y;<�"�U$<VW(*6� [$'&¶ ÄæJ J J1K«LLLM«�!�ÚBC(*6[3�\W ]��BC$�?W$ Ú^§$Û » « ;'(���[3N\lU$�6� _h��5$���¢?W$��'���1�Y?1$ « & « � N « �1�ÚBC(6[3N\W #��BC$l3�6'(<3�6<$�&p$�"2�(*6�BC(*���7�:$³? _�KV6 �BYBC$³?W$Y;�\~��!V1$�BC$��S"k?W$Yc'�*��$�?1(*�S"²�:$��7"_6<(* #��;<�6�6jU$���� (*�S"^;<�6�"�U$��� D$����

h�� » �U�.���S�dj¶ �Ð

õ õ õ�öæ � Ä ¶ õ õ õ�öæ«Á� ÄÅÅÅÅÆ Ð«ÅÅÅÅÆ«a� Ä «ÝÞ�:(*6�� æ � $���"k;�(��*�[3N\lU$�6� _h>�S$o��+?W$��'���1��?W$ « �rtsuSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� × }gR \ | [ Á � _w|Ù} à�ã�\ [ v \ « � l�Á ` }g|ÙRST � { \ v � | ` «�l \ [7� }g| ` RUvyx\ ~�}g| ` P \ vwR �H¼{�~ � T=T \ RS|wvw_wR [ � � ~�P \ vwR � {�~ � T=T \ � » ¸U�.��¸S�

Á��ǯ ¶ �Ð

ü ü ürý Ä Á\¯ ¶ ü ü ürýÁ��ǯ}«Á� ÄÈÈÈÉ ÐÁ�¯}«ÈÈÈÉÁu�ǯ�«÷� Ä Á�¯�« �

¤ |÷· \ ~ [ _÷vw_?P \ T=T \ � » ¸ � lzP \ ` v \ _ ¥ ��� ~�~�x\z`�� }g| [�\ | � | [ Á � ¯�« � N Á\¯�« ` }g| [���� ~ [ x\z` R \ | ` h�P \­[ ~�}gR ` ROÝ\ T \��� ~�~sx\ P_� \z`�[ vw}g| �*� _ `�` R,ju¸ñíÉ}gTmT \ « � N « \ `�[ �w~�}��w~ \ lñRSPf~sx\z` _wP [�\ v \ P � �w~�}��Ö} ` R [ RU}g|Ü� » ¸ Y ]:_ \Á � ¯�« � N Á�¯�« \z`�[ _w|wRµ· \ ~ `�\ PSP \ T \ | [ç��` �M�yx\ ~�RU]s_ \ lyvw}g| � Á � ¯ ¶ � N Á�¯ ¶ \ [ Á � ¯}« � N Á\¯}« ` }g| [��` �M�ªx\ ~�RS]s_ \ ` l \ [ñ\ |?� � ~ [ R � _wPSR \ ~�ldv \z` x\ ]:_wRU· � P \ | �z\ ` ¾ � R à P \z` ¸ÌíÉ}gT=T \ æ \z`�[�� } ��` �M�ªx\ ~�RS]s_ \É� _?v \z`�` _ `v \ «�lWÁ�¯ ¶ N Á�¯}« \z`�[ _w| \ x\ ]s_wRµ· � P \ | �z\ ¾ � R à P \ l�vw}g| � l�� � ~ `��Ì[ _�~ �Ì[ RS}g| ¾ � R à P \ l7Á � ¯ ¶ � N Á � ¯}« �� _ `�` R(l �z\ ]:_wR^�w~�}g_�· \ ]s_ \ æ � \ `�[�� } ��` �M�yx\ ~�RS]:_ \°� _v \ `�` _ ` v \ « � ¸ì J5IKJ�í`í`î5O#I*Ø ±�Ûȳ(±8±V³^É � #B��KVW$C6aU$ ;� 3@6<(�h��5$X?Ê� �!�gBZ(*6[3N\1 ]��BC$ã;'(���[3N\lU$�6� _h��5$�3S�m6Z�1� BC(*6D3N\W ]��BC$3�6'(<3�6<$Y$���"^;'(��*�[3�\ÞU$�6� [h��S$ F¶ \?� }�~�}gPUP � Rµ~ \r\z`�[ _w| ����` � � ~ [ R � _wPUR \ ~òv \ P � �w~�}��È} ` R [ RS}g| � » ¸U�.��¸n�oqpØ1JNI5rØ~Ù¢Ø ±�ÛÖ³�±�ÛÖ³)R (* #" æÙe ¶ N « �!�¤BC(6[3N\W #��BC$Z?W$ Ú^§$Û F É $��â;'(*��? `"T [(���o���1 `i��S"%$��o��(*�S"U$�h��! #i�m�:$��S"%$��t�� j�æ $���"z3@6<(<3�6'$²� � �

Page 94: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

à j 3N(*�167"8(�1"p? [� V6 �mB³BC$�?W$ü;<�6�6jU$��o;<�m6�"�U$��� [$��S��?A���� Ú�§$Û¶ �Í� ÄNÐ

¶ � ÄÐ

¶Ð æ«Á� � ÄQ «Á� Ä « W�� Q $���"p;'(���[3N\lU$�6� _h��5$'&- #�j$��¤$���"k?W$7B¤£$�BC$^3N(*�16 N ¸rtsuSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� ¶ ��RUTm�MPSR ���Ì[ RU}g|Ëh � jk� h c jo~sx\ ` _wP [�\ v \z`ò� }�~�}gPSP � RU~ \ ` � » ¸�� \ [ � » ¸S�g�g¸-¼�}g| [ ~�}g| `]s_ \ h c jÉRUTm�MPSRU]s_ \ h � j�¸w­}g_�~ [ }g_ [ } à�ã�\ [ ��v \ «*l8}g| � _w|vwR � {�~ � T=T \ v \a��� ~�~sx\ `���� ~ [ x\z` R \ | `¶ ¬ Ä

ж¡» � ÄÐ

¶Ð æ�K� � Ä « » � Ä « W

}�Ý_ËP_��RUT � { \ v \ �K� �ÁN « » � \z`�[ P_�Í} à�ã�\ [�Å | � P­v \ « » �d¸ ¶ \ T=}�~��M�wR ` T \ �K�K�°N « » � � vwT \ [ vw}g| �_w| � v ã }gRS| [ Ý� { � _ � � \ l \ [ � � ~ ` _wR [�\ l \z`�[r� } ��` �M�ªx\ ~�RU]s_ \ h » ¸ »g» ju¸ ¶ �Í� ë �Ö} [ ��Ý\ `�\ h c jòRSTm�MPURS]:_ \?� PU}�~ `]s_ \¡¶ ¬yN ¶¡» « \ `�[�� } ��` �M�yx\ ~�RS]:_ \ l �z\ ]:_wR^�w~�}g_�· \ ]:_ \ æ \z`�[ �w~�}��w~ \H7IKJ5L0JNM�O#PKO#JYX ±�ÛÖ³�±!à^³eR (* D$��S" « �!�@$^35$�"_ #"8$Y;<�"�U$<VW(*6� [$'&¶ ÄæJ J J1KQ«LLLM N

«�!�·BC(*6[3�\W ]��BC$o?1$ Ú^§$Û » « &²�i�$'; Q $�" N 3�6<('3�6<$���F R æ `��?�! #"²?W$��gU$ h��1 `i��:$��@;�$��/2�� _c��:$��7?A�m���b�:$��,4c�6'$�����¤?W$��'���W��?W$ « &l��:(*6�� æ $���"l�*�D3N\ÞU$�6� _h��5$ü�m�Ú?W$��'���1��?W$ « &¡$�"b$��ã3S�6�"_ [;��!�= [$�6'&)�� aE $���"�!�+�:( ;<�m�= ]�>�"%$��!6-2�(��?A�BC$��S"D�m��2�(*6�"#& æ $���"²�1��$qU$�h>�1 #im��:$��@;'$e2�� _c��:$�FrtsuSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� ­}g_�~ [ }g_ [ } àwã�\u[ Árv \ «�l8}g| � _w| �z� ~�~sx\?� }gT=T7_ [¨�Ì[ R ¾¶UË Äæ ËÐiDº

« ËÐ i ´¶¡» Á Äæ » Á « » Á W

}�Ý_¡iDº \ [ i ´ vªx\z` RU{g| \ | [ P \z` T=}�~��M�wR ` T \z`÷��� |w}g|wRU]s_ \z` ¸�í�}gT=T \ Q \ [tNâ` }g| [ �w~�}��w~ \z` l�i[º \ [ i ´` }g| [=� } ��` �M�yx\ ~�RS]:_ \z` l \ [=\ |Ü� � ~ [ R � _wPUR \ ~mv \z` x\ ]:_wRU· � P \ | � \z` ¾ � R à P \z` ¸k � ~=� ë �È} [ ��Ý\z`�\ æ Ë=\z`�[ _w| \x\ ]:_wRU· � P \ | �z\ ¾ � R à P \@Ì }g| \ |vªx\ vw_wR [ vw}g| � ]:_ \ æ » Á \ `�[ _w| \ x\ ]:_wRU· � P \ | � \ ¾ � R à P \ l �z\ ]s_wR^�w~�}g_�· \ P ��w~�}��È} ` R [ RU}g|�¸� uSvÞ}§|��7 §uÍ�ª°����}Îz� ¶ � �w~�}��È} ` R [ RS}g|Ë� » ¸S�.�Ô{�x\ |yx\ ~ � PSR `�\ P � � � ~ [ R \ h � jyv \ P � �w~�}��È} ` RS}g| � ¸ � ¸� »

Page 95: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

� uSvÞ}§|��7 §uÏ�ª°��¢�ªÐ��·Ñ }g_ [�\z` P \ `���`�`�\ ~ [ RS}g| `*� }g| �z\ ~�| � | [ P \z` T=}�~��M�wR ` T \z` �w~�}��w~ \z`�� vwT \u[�[�\ | [_w| \ · \ ~ ` RS}g|mvw_ � P \ ~ \ P �Ì[ Rµ· \�� _ ¥ T=}�~��M�wR ` T \ ` PUR `�`�\ ` ¸ ¤ |m� � ~ [ R � _wPUR \ ~�lZP \z` T=}�~��M�wR ` T \ ` PUR `�`�\ `ª` }g| [`�[¨�Ìà P \z` � � ~ � � � |w{ \ T \ | [ v \�à8��`�\Ô\ [÷� }gTm�È} ` R [ RU}g|�¸�À�| Tm}�~��M�wR ` T \ PUR `�`�\ Ý��Åwà ~ \z`°��` �M�yx\ ~�RS]:_ \z`\z`�[ _w|wRµ· \ ~ `�\ PUP \ T \ | [ v � | ` E ¸�­}g_�~a]:_���_w|ËT=}�~��M�wR ` T \ æ v \ Ú^§ZÛ ` }gR [ PSR `�`�\ lÖRUP ¾ � _ [÷\ [ RSP ` _ �Ô[]s_ \ PT��RST � { \ ~sx\z� RU�w~�}:]s_ \ � � ~kæmv���_w|�T=}�~��M�wR ` T \É��` �M�ªx\ ~�RS]:_ \�` }gR [k��` �M�ªx\ ~�RS]s_ \ l \ [ ]s_ \ æ � }g| `�\ ~�· \�z\ [�[�\ �w~�}��w~�R�x\u[ x\÷� �w~.Ý\z`É[ }g_ [É� � � |w{ \ T \ | [ v \rà8��`�\ ¸8är|èP � R `�`�\ P \�` }gRU| � _çP \ � [�\ _�~�v \ ¾ }�~�T7_wP \ ~�P \z`· \ ~ ` RS}g| ` vw_ � P \z` v \ `�� _ [ ~ \ `���`�`�\ ~ [ RS}g| ` ¸±�ÛÖ³�±~Q�³ × }gR \ | [�N e4O�N t¯_w| T=}�~��M�wR ` T \ v \ Ú^§ZÛ�lkJ eot N Ú�§$ÛÁ_w| ¾ }g| �u[�\ _�~�l \ [ �È} ` }g| `ù ��J N e5OËNîÚ^§ZÛu¸ ¶ \ Tm}�~��M�wR ` T \uN RS|wvw_wR [ _w| ¾ }g| �u[�\ _�~öN esI ù �@IKJ N L&LMLON IóJvªx\ Å |wR^� � ~ öN h��ZW¨§sjf�Îh N h:�:juW¨§�j W h��ZW¨§sjªn�prq�h4< ù j WöN h�Ò:W�¬�j­�Îh N h�Ò�juW�¬�j W h�ÒsW�¬�jªe8h��ZW¨§sj­N h:� � W¨§ � jÉn¯ w¢�h < ù j �¶ \ ¾ }g| � [�\ _�~ öN e:< ù N <�J©� \ _ [�ú\ [ ~ \�� _ `�` Rsvyx\ Å |wR:� � ~fP � �w~�}��w~�R�x\ [ x\ _w|wRµ· \ ~ `�\ PUP \ v \ < ù ¸Hû�} [ }g| `

�,c­eZJ*h(iCjyLVN I J W ikn�prq�h(tsj W�V��eg�,cfL8N �,cÏ®ÑJ=hC�sj W �*egi�N iO��n¡ M¢µh�t�j WP \ ` ¾ }g| � [�\ _�~ `ñ\ [ T=}�~��M�wR ` T \z` v \ ¾ }g| � [�\ _�~ `ñ��� |w}g|wRU]s_ \z`�� }�~�~ \z` �Ö}g|wv � | [f� _ ¾ }g| � [�\ _�~ñJ�h � ¾ ¸Z�.��¸¹�Zjul\ [ vyx\ Å |wR `�` }g| `���± ��� k à ± Ç e ù h��sjf��J*h N h:�:j�jªLVN IóJ W �mn�prq�hGO�j W

���Ó �©� k Ã Ó Ç eZ�(�± ��� k à ± Ç L8N � k à ±�® Ç J*h N h�Ògj�jf�����±¨® ù h�Ògj�W ÒÁeK�ÁN �$�^n¯ w¢�h�O�jr�ä�|å·ox\ ~�R ÅM\a� _ `�` R [Hú} [ ]:_���}g| � P � ~ \ P �Ì[ RS}g|åv \÷� } ��ë�� P \� �Ó ® Ó �>h�� �Ó ® � ù h�Ògj�jC� �Ó W � �gÔ ��� � ®Ô W�Ö}g_�~0� ÓLVN � � Ó ®LVN � �Í� l�T=}�~��M�wR ` T \ `�� }gTm�Ö} `��Ìà P \z` v \ Okl \ [ ]s_ \ öN e$< ù N <�J \z`�[ P \ ¾ }g| �u[�\ _�~vªx\ Å |wR(lV� � ~�P � �w~�}��w~�R�x\ [ x\ _w|wRµ· \ ~ `�\ PUP \ v \ < ù l8� � ~�P � ¾ � T=RSPUP \ v \ ¾ }g| � [�\ _�~ ` � �± l!�*n¡p�q�h�O�jul \u[ v \T=}�~��M�wR ` T \z` v \ ¾ }g| � [�\ _�~ ` � �Ó l²Ò7n¯ w¢µhGO�j�l�h � ¾ ¸^�.��¸¹�Zju¸×²Ø!ÙÚÙ¢Ø ±�Ûȳ(±��Ö³ÞR (* [$��S" N e9OÓN t �!��BC(*6D3N\W ]��BZ$X?1$ Ú^§$Û & Jîe­t¯N Ú^§ZÛ �!��2�(*�@;�"8$��!6<&o$�"35(K� (*��� ù ��J N e5O�N Ú^§$Û FzÝÞ�:(*6��³(*�Ú���!�Ú;<�6�6aU$³;'�6�"�U$��� [$��

I ù ÄöNÐöù

I JÐ öJO ÄN t W� �

Page 96: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

( �� öù & öJ ?kU$��� :V�@$��5"z�:$��l;'(%,)c�6 �"_ [(*�S�^��'��( ;� !U$ $��p��m.42�(*�@;�"8$��!6'� ù $�" J 6<$��[35$';�"_ #im$�BC$��S" h � ¾ ¸��.��¸S�djul$�" öN �:$02�(�@;�"%$��16� #��?m�1 #"z3S�6 N h � ¾ ¸^� » ¸U� X ju¸r suSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� ¶ \ P \ T=T \ ~sx\ ` _wP [�\ v���_w| \ ·ox\ ~�R ÅM���Ì[ RU}g|åRSTmT x\ vwR �Ì[�\ l�P � R `�` x\z\a� _P \z� [�\ _�~z¸×²Ø!ÙÚÙ¢Ø ±SÛȳ(±!��³lR ( [$��S" æ�e ¶ N « �!� BC(*6[3�\W ]��BC$�?W$ Ú^§ZÛ $�" J e ¶ N Ú^§ZÛ �1�ã2 (*�@;�"%$��!6>F� (*�16�"%(*�1" � & ��n�p�qwhg«�j &)(*�¢�Z�1�9 ]��(*BC(6[3N\W #��BC$�;<���(*�S _h��5$Õ IKJtÖ1׳�^�@IKJ�� ¶¡» � W

( �� J�� ¶¡» � ?kU$��� :V��$¡�:$Y;'(*Bl35(K�aU$�?1$ J �im$';7�:$²2�(*�@;�"8$��!6�;'��@(*�S [h��S$ ¶¡» �ÉN ¶ ¸rtsuSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� ¤ |è· \ ~ [ _vw_åP \ T=T \ � » ¸S� Y lw}g| � _w| �z� ~�~sx\?�z� ~ [ x\z` R \ |IKJ�� ¶¡» � Ä

ÐIKJж¡» � Ä ¶ W

\ [ò� }gT=T \ P \a��� ~�~�x\ ¶¡» � ÄÐ

¶Ð« » � Ä «\z`�[�� _ `�` R ��� ~ [ x\z` R \ |�lVRUP \ | \z`�[ v \ T ú\ T \ vw_ ��� ~�~sx\?� }gTm�È} ` x\

I J�� ¶¡» � ÄÐ

I JЫ » � Ä « �

¶ \?��� ~�~sx\ Õ I J Ö/× � ÄÐ

I JЫ » � Ä «x\ [¨� | [�� _ `�` R ��� ~ [ x\z` R \ |�l8P \ P \ TmT \�\ |å~sx\ ` _wP [�\ ¸ � �

Page 97: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

H7IKJ5L0JNM�O#PKO#JYX ±�ÛÖ³�±~´�³-R (* #" N e�O N t �1� BC(*6D3N\W ]��BC$³?W$ Ú^§ZÛ F É $��ü;'(*��?m #"T D(*�������! #i�m�S"8$�����(*�S"U$�h��! #i�m�:$��S"%$��t�� j �:$oBC(*6[3�\W ]��BC$ N $���"^;'(��*�[3�\ÞU$�6� [h��S$Y�à j 3N(*�167"8(�1"@2�(�@;�"%$��16 J>egt7N Ú^§$Û &²�:$�BZ(*6[3N\1 ]��BC$I J N LÈN I J W #��?m�1 #"z3S�6 N &k$���"^;'(���[3N\lU$�6� _h��5$²�� j 35(*�!6�"8(*�!"@2�(*��;�"8$��16 J>egt7NîÚ^§ZÛ &4�:$7BC(*6D3N\W ]��BC$I J N LÈN I J W #��?m�1 #"z3S�6 N &k$���"²�!�@$qU$ h��1 `i��:$��@;�$e2>� _c��:$ FrtsuSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� ¤ |è· \ ~ [ _vw_åP \ T=T \ � » ¸S� Y lw}g| � _w| �z� ~�~sx\?�z� ~ [ x\z` R \ |

I J N ÄÐ

I JÐ öJO ÄN t W\ [ öJ \ `�[ _w| \ � } Åwà ~ �Ì[ RU}g|�l \u[å\ |©� � ~ [ R � _wPSR \ ~�lÉ_w|ÓT=}�~��M�wR ` T \ �w~�}��w~ \ h�� » ¸ » ju¸ ¶ ��RUTm�MPSR ���Ì[ RU}g|h � jk� h c jÉ~�x\z` _wP [�\ vw}g| � vw_ � }�~�}gPUP � Rµ~ \ � » ¸U�g�g¸ ¶ ��RUTm�MPSR ���Ì[ RU}g|¯h c jl� h ; jÉ~sx\z` _wP [�\ v \�» ¸ »g» ¸�¼�}g| ¼[ ~�}g| ` P_��RUTm�MPSR ���Ì[ RU}g|¡h ; j^� h � ju¸ × }gR [ iy_w|0} à�ã�\ [ v \ t \u[�� }g| ` RUvyx\ ~�}g| ` P \ ¾ }g| � [�\ _�~�J e$t=N Ú�§$Û��`�` } � R � | [ Ý� _w|¯} àwã�\u[ i � v \ t0P �è���Ì[ x\ {g}�~�R \ vwR `�� ~�Ý\u[�\=� }�~�~ \z` �Ö}g|wv � | [ Ý� PT� \ | `�\ T à P \ é­êwë T h(i�W�i � ju¸Ê�PS}�~ ` l \ | · \ ~ [ _ v \ h ; julf<7J N N <�J \ `�[ _w| \ x\ ]s_wRU· � P \ | �z\ ¾ � R à P \ l \u[ }g|Ù·ox\ ~�R ÅM\ ¾ ��� RSP \ T \ | []s_ \ < J �KiG¯Ìt8l�]:_ \ < J N �KiG¯ªOkl \ [ ]s_ \ P �ïÈ Ý\z� � \ < J N N < J ` ��RUv \ | [ R ÅM\�� _¡Tm}�~��M�wR ` T \iG¯ N egiG¯ªOËNQiG¯Ìt8lsRU|wvw_wR [ � � ~ N l �z\ ]s_wR8�w~�}g_�· \ ]s_ \8N@\z`�[É� } ��` �M�ªx\ ~�RU]s_ \ l \ [���� �^Ý\ · \ P � vªx\ T=}g| ` ¼[ ~ �Ì[ RS}g|�¸¶ \?� }�~�}gPUP � Rµ~ \r` _wRU· � | [�� }gTm�MPOÝ\ [�\ P � �w~�}��Ö} ` R [ RS}g| �g�g¸S�.��¸ì J5IKJ�í`í`î5O#I*Ø ±�ÛÖ³]Ûw²^³-R ��3A3N(K��(*���³h��5$o�:$��:( ;<��= #�>�"%$��1602�(*�@?A�BC$��5"D��5E � (* #"4�1� �:( ;<�m�= ]�>�"%$��!602 (*�Sä?A�BZ$��S"8��!2�(*6�"`&@2�(*6�"%$�BC$��S")�>�"_�!6jU$'& à � Ç $�")��( #" N e�OÒN t �1�ÚBZ(*6[3N\1 ]��BC$�?W$ Ú^§ZÛ F � (*�!6üh��S$ N��(* `"k;'( �*�[3N\lU$�6� _h��5$'&- #�m2���1"p$�"4 #�@���d� "^h��S$o�:$�BC(6[3N\W #��BC$�?W$²2�(*�@;�"8$��!6'�hhf Z j ~ØN�y �Îhhf T j ~�NU~�N�y LVN hhf T j ~ W?kU$`,0�S �3S�67�:$�BC(6[3N\W #��BC$³?7�û�A? d�(�@;�"_ [(*�~&f��(* `"0�!�+ ]� (*BC(*6D3N\W ]��BZ$�FrtsuSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� ­}g_�~ [ }g_ [ ¾ }g| � [�\ _�~�JÎeZt7NîÚ^§ZÛ�l8P \ Tm}�~��M�wR ` T \

Ç Õ IóJ N ÖX�Îhhf Z j ~ N�y Ç T h(J°jyLÈN hhf T j ~ Ç T h�JÁje�ÀÇ Õ IKJ�Öv \ z h_­dj0� é­ê}|yh � ¾ ¸w�g�g¸ � j ` ��RSv \ | [ R ÅM\ Ý� Çfh öN julÌ}�Ý_ öN e < J N N < J@vªx\z` RS{g| \ P \ T=}�~��M�wR ` T \ RU|wvw_wR [� � ~ N ¸ ¶ \a� }�~�}gPSP � RU~ \ ~sx\ ` _wP [�\ vw}g| � v \ P � �w~�}��Ö} ` R [ RS}g| � » ¸S� � l \ [ v \ P � ¾ }�~ [�\?`��Ì[ _�~ �Ì[ RS}g|çv \ E ¸��Ùo}gRU~�|w} [�\ v \aà8��` v \ � � { \ �w~sx\z� x\ v � | [ P � �w~�}��Ö} ` R [ RU}g| �g�g¸U�.��¸� ¦

Page 98: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

� uSvÞ}§|��7 §u¶�ª°��±°���� ¶ � �w~�}��È} ` R [ RU}g|Ô� » ¸U� � \ [ P \f� }�~�}gPUP � RU~ \ � » ¸ » � � vwT \ [�[�\ | [ _w| \ · \ ~ ` RU}g|a~ \ P �Ì[ Rµ· \� | � PS}g{g_ \ Ý�Ô� \ PSP \ v \ P � �w~�}��Ö} ` R [ RS}g| �g�g¸S�.�èh�~ \ T � ~�]s_ \ �g�g¸S�g�dju¸ × }gR [O Äæô ôZõN O��øøù N �t

N � N �Sæ_w| [ ~�R � |w{gP \r� }gTmT�_ [��Ì[ R ¾ v � | ` Ú�§$Û�¸M­}g_�~ [ }g_ [ ¾ }g| � [�\ _�~�J>egt�N Ú�§$Û�P \÷[ ~�R � |w{gP \<�J N ÄöæÚ Ú ÚCBöN

<�J N �ÛÛÛÜ öN �<�J W}�Ý_ öæ�l öN l öN � vªx\z` RS{g| \ | [ P \z` ¾ }g| �u[�\ _�~ ` RS|wvw_wR [�` � � ~Éæ�l N l \ [xN � ~ \z` � \z� [ Rµ· \ T \ | [ l \z`�[�� }gTmT�_ [��Ì[ R ¾ ¸ä�| \ |vªx\ vw_wR [ _w|vwR � {�~ � T=T \�� }gT=T7_ [¨�Ì[ R ¾<7J N

ÐöN

ü ü üürýöæ ÄÝJ N ON õ õ õ õ�öæ<�J N � ÄÝJ N �ÞÞÞÞß öN � Ð

O��ÅÅÅÅÆ N �<�J ÄöJ t Wvw}g| [ P \ ` ¾ ���z\ `m��� ~�~sx\z\z`m` }g| [m��� ~ [ x\z` R \ |w| \z` l \ | · \ ~ [ _ vw_ÜP \ TmT \ � » ¸S� Y ¸ ¨ Py~sx\z` _wP [�\ vw}g| � v \ P ��w~�}��È} ` R [ RU}g| � » ¸U�.��ly]s_ \�` R�P \ Tm}�~��M�wR ` T \ æ \z`�[ç� } ��` �M�ªx\ ~�RS]:_ \¡� _Àv \z`�` _ ` v \ t8l � PS}�~ ` öæ \ `�[� } ��` �M�ªx\ ~�RS]:_ \å� _Ùv \z`�` _ ` v \ <�Jm¸ µ x\z� Rµ�w~�}s]:_ \ T \ | [ l ` Rª�È}g_�~ [ }g_ [ ¾ }g| � [�\ _�~ÔJQe­tÒN Ú^§$Û¨l­P \T=}�~��M�wR ` T \ öæ0e < J N N < J N � \z`�[É� } ��` �M�ªx\ ~�RS]:_ \?� _�v \z`�` _ ` v \ < JÔl � PU}�~ ` æ \z`�[ò� } ��` �M�yx\ ~�RU]s_ \� _Üv \z`�` _ ` v \ t8¸ ¤ | \��È\ [ l ` }gR [ i?_w|á} à�ã�\ [ v \ tVl \ [m� }g| ` RSvªx\ ~�}g| ` P \ ¾ }g| � [�\ _�~*J eªtáN Ú�§$Û��`�` } � R � | [ Ý� _w|¯} àwã�\u[ i � v \ t0P �è���Ì[ x\ {g}�~�R \ vwR `�� ~�Ý\u[�\=� }�~�~ \z` �Ö}g|wv � | [ Ý� PT� \ | `�\ T à P \ é­êwë T h(i�W�i � ju¸Ê�PS}�~ ` P \ ¾ }g| �u[�\ _�~ öæ ew<�J N N <7J N � ` ��v \ | [ R ÅM\�� _ ¾ }g| � [�\ _�~÷iG¯Ìæ esiG¯ªO¡N iG¯ªO � lVRS|wvw_wR [ � � ~�æ�l\ [ P �7���Ì[ x\ {g}�~�R \ <�J Ý� P �Ô�z�Ì[ x\ {g}�~�R \ i�¯ÌtV¸ ¨ P�~sx\z` _wP [�\ vw}g| � v \ P_��� ë �È} [ ��Ý\z`�\ ]s_ \ P \ T=}�~��M�wR ` T \ iG¯Ìæ\z`�[�� } ��` �M�ªx\ ~�RS]s_ \?� _åv \z`�` _ ` v \ i�¯ÌtV¸ ¤ |ç� � ~ [ R � _wPSR \ ~�lMP \ T=}�~��M�wR ` T \iG¯Ìæ0egiG¯ªOn�Îh(i�W���c4j¿¯wh(iG¯ªO�jªLVN h(i�W���c&j�¯wh(iG¯ªO�jf�ÓiG¯ªO�� W}�Ý_¿h(i�W���cOj�vªx\ ` RS{g| \ PT��} à�ã�\ [ RU|wR [ R � PÉv \ iG¯Ìt8l \z`�[ _w| \ x\ ]s_wRµ· � P \ | �z\ ¾ � R à P \ l �z\ ]:_wR��w~�}g_�· \ ]s_ \ P \T=}�~��M�wR ` T \ æ \z`�[Ô� } ��` �M�ªx\ ~�RS]:_ \� _ v \ `�` _ ` v \ tV¸ × RÉP \ PS} ��� PSR `��Ì[�\ _�~ ¾ }g|wv � T \ | [¨� P E \z`�[ _w|PS} ��� PSR `��Ì[�\ _�~ ¾ }g|wv � T \ | [¨� P ¾ }�~ [ l�P \ ~ � R ` }g|w| \ T \ | [ �w~sx\z� x\ v \ | [ Tm}g| [ ~ \=� _ `�` Ro]s_ \ P \ Tm}�~��M�wR ` T \æ \z`�[Á� } ��` �M�yx\ ~�RU]s_ \�� _¡v \z`�` _ ` v \ t ` R \u[°`�\ _wP \ T \ | [Á` Rf�Ö}g_�~ [ }g_ [ ¾ }g| � [�\ _�~7J e^tËN Ú�§$Û�l�P \T=}�~��M�wR ` T \ öæ eo<�J N N <�J N � \ `�[ _w| \ x\ ]s_wRµ· � P \ | �z\ ¾ � R à P \ ¸ × ROlfv \ �MPS_ ` l E \z`�[ ¾ }�~ [�\ T \ | [`��Ì[ _�~sx\ l Ã�à Ç �z\ [�[�\ v \ ~�|wROÝ\ ~ \?� }g|wvwR [ RU}g|Àx\ ]:_wRU· � _ [ Ý�Ô�� ~�T \ ~�]:_ \ P \ Tm}�~��M�wR ` T \ v \ ¾ }g| � [�\ _�~ `hif Z j ~�Nuy �Îhhf Z ® j ~ æ ~ æ y^N � y L8N hhf Z ® j ~ØN � y Wà Ùo}gRU~�|w} [�\ v \aà8��` v \ � � { \ �w~sx\z� x\ v � | [ P � �w~�}��Ö} ` R [ RU}g| �g�g¸U�.��¸�gX

Page 99: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

vªx\ Å |wR�� � ~�P \ T=}�~��M�wR ` T \ v�� � v ã }g| � [ RS}g|�l \ `�[ _w|�R ` }gTm}�~��M�wR ` T \ h �z\ ]s_wR�{�x\ |yx\ ~ � PSR `�\ P \°� }�~�}gPUP � RU~ \� » ¸ » �Zj�¸ ¤ | \^�Ö\ [ lM}g|å·ox\ ~�R ÅM\?� _ `�` R [Ìú} [ ]s_ \ �Ö}g_�~ [ }g_ [ ¾ }g| �u[�\ _�~�J>egt7N Ú^§ZÛulwP \ T=}�~��M�wR ` T \Ç � < J N � �Îhhf Z j ~ N y Ç T h(J°jyLÈN hhf Z ® j ~ N � y Ç T h�JÁje�ÀÇ � < J N �v \ z h_­dje�Îé­ê}| ` �ÍRSv \ | [ R ÅM\?� _T=}�~��M�wR ` T \ Çkh öæÈj�¸±�ÛÖ³]ÛNÛȳ�× }gR [ æ0e ¶ N «Ó_w| ¾ }g| � [�\ _�~ \ | [ ~ \ � \ [ R [�\z`����Ì[ x\ {g}�~�R \z` ¸ � � | ` P ��` _wR [�\ v \ª�z\ � � ~ � {�~ � �M� \ l}g|åvªx\ ` RS{g| \Á� _ `�` ROlw� � ~ �Ìà _ ` v \ |w} [��Ì[ RS}g|�l�� � ~�æ ~ lMæ y P \z` ¾ }g| �u[�\ _�~ `é­êwë h ¶ W�Ú�§$Û�j ¦`áLVN é­êwë hg«*W�Ú�§$Û j W é­êwë hg«*W�Ú^§ZÛ j ¦ �LVN é­êwë h ¶ W�Ú�§$Û�j WJâR LVN h_�4RN h < J°j » �zj ù R LVN ù ææ ~ � S ´ ��Ú�§$Û » æ^� S � º h � ¾ ¸Z�g�g¸S�dj�l�æ y � éfêwë h(æ�W��\[ çd] jul�v \ª` }�~ [�\ ]:_���}g| � R [ v \z`���� ~�~�x\z`�� }gT=T7_ [¨�Ì[ R ¾ `éfêwë h ¶ W�Ú^§ZÛ�j Äæ ~ÐÇ º é­êwë h�«�W�Ú�§$Û j

Ð Ç ´é­êwë h�«�W�Ú�§$Û j Äæ y

ÐÇ ´é­êwë h ¶ W�Ú�§$Û�j

Ð Ç ºz h ¶ j Äæ ~ z hg«�j W z h�«Ôj Äæ y z h ¶ jh � ¾ ¸^�g�g¸ X l��g�g¸ � jrh(P \ �w~ \ TmR \ ~ò_w|wRS]:_ \ T \ | [ v � | ` P \÷����` v��Í_w|PS} ��� PSR `��Ì[�\ _�~ ¾ }g|wv � T \ | [¨� P ¾ }�~ [ j�¸±�ÛÖ³]ÛSà�³ × }gR [ã � ¶ � ÄN

Ðæ �¶Ð æ«Á� ÄQ «_w| �z� ~�~sx\7��� ~ [ x\ ` R \ | v \ Ú�§$Û�¸�­}g_�~ [ }g_ [ ¾ }g| � [�\ _�~?J e ¶ N Ú�§$Û�l�}g|Ëvyx\ vw_wR [ _w| ��� ~�~�x\7��� ~ [ x\z` R \ |� }gTm�È} ` x\ < J N ÄöN

ÐÝJ N< JÐ öJ¶ � ÄN

Ðæ �¶Ð æ«Á� ÄQ «h � ¾ ¸^� » ¸U� Y ju¸w­}g_�~ [ }g_ [ } à�ã�\ [ � � v \ « � l8P \ ¾ }g| �u[�\ _�~ öN RS|wvw_wR [ _w| ¾ }g| �u[�\ _�~hO<�J N j » � � LVN h4<7J°j » QÈh_� � j W\ [ }g|å~ \ T � ~�]s_ \ ]s_ \h < J N j » � � �Îh�æ � ~ N y h(JÁj�j h_� � j \u[ h < JÁj » QÈh_� � jk�Îh�Q y æ ~ h�JÁj�jzhT� � j �ä�| \ |vªx\ vw_wR [ _w|Tm}�~��M�wR ` T \ ä5å eZæ8� ~ N�y LVN Q y æ ~v \ é­êwë � é­êwë h ¶ W�Ú^§$Û�j�W.éfêwë hg« � W�Ú�§$Û�j � l � �w� \ P�x\ BC(*6[3�\W ]��BC$¡?W$¡;�\~��!VW$�BC$��S"0?W$¡c'�*��$¡�*�'��(K;� 1U$b��;<�6�6aU$Uã ¸ �ZY

Page 100: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

H7IKJ5L0JNM�O#PKO#JYX ±�ÛÖ³]Ûs´�³eR (* `"ã � ¶ � ÄN

Ðæ �¶Ð æ«Á� ÄQ «�!�q;'�6�6aU$ï;<�6�"�U$��� [$���?W$ Ú^§$Û &��i�$'; æ BC(6[3N\W #��BC$73�6<(<3@6<$ hÑ~ \z` �^¸�Q BZ(*6[3N\1 ]��BC$Z�= ]�'��$ ju¸ ÝÞ�:(6'�Z�:$BC(*6D3N\W ]��BC$C?W$Z;�\~�m�!VW$�BC$��S"l?W$âc'�*��$ ä å eVæ � ~ N y N Q y æ ~ $���"b;�(��*�[3N\lU$�6� _h>�S$ h�~ \z` �^¸ �!�S #i�$�6'��$��]�:$�äBC$��5"4�*�[3�\ÞU$�6� [h��S$ j �6[Vm�1BC$��S"@3S�m6��6[Vm�1BC$��S"#&4�m�1"_6<$�BZ$��S"4?m #"#&�35(�16b"%(*�!"52�(�@;�"%$��16 JÎe ¶ NQÚ�§$Û &$�"4"%(*�1"p(�c_d�$�" � � ?W$ « � ä å k � h_�u�SjÉe8h�æV� ~�N�y h(JÁj�jzh_�u�SjyLVN h�Q y æ ~ h(JÁj�jzh_�u�Uj$���"n;'(��*�D3N\ÞU$�6� _h��5$ hÑ~ \z` �^¸ �!�S #im$�6'��$��]�:$�BC$��S"·�*�[3N\lU$�6� _h��5$ j�l $�"·$�� 35�6�"_ [;��!�= [$�6'&Z�!�@$ U$<h��! #i��:$��@;'$2>� [c��:$�Fr suSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� ì îNM æ LaI*J5LaIKØ ³ ¤ |=· \ ~ [ _=vw_ � }�~�}gPSP � RU~ \ � » ¸��wlZP \ T=}�~��M�wR ` T \ æ � \z`�[ �w~�}��w~ \� _ `�` R(l \ [ �È}g_�~ [ }g_ [ } à�ã�\ [ � � v \ « � lw}g| � vw}g| � _w| ��� ~�~sx\÷� }gT=T7_ [¨�Ì[ R ¾¶ � ¬C® Äæ

ж j à ¬C® Çж � » � � Ä ¶¡» QÈh_� � j

vw}g| [ P \z`�È Ý\z� � \z` · \ ~ [ R ��� P \z`�` }g| [?� } ��` �M�yx\ ~�RU]s_ \z` l \ [ P �ZÈ Ý\ � � \ �w}�~�R±� }g| [¨� P \ vw_ � � _ [ _w| R ` }gT=}�~ ¼�M�wR ` T \ l:�M_wR ` ]s_ \ P \���� ~�~sx\ ã \z`�[É��� ~ [ x\z` R \ |�¸�­}g_�~ [ }g_ [ ¾ }g| � [�\ _�~�JÎe ¶ NîÚ^§ZÛ�l�}g| \ |çvyx\ vw_wR [ _w|��� ~�~sx\?� }gT=T7_ [¨�Ì[ R ¾ < J N � ¶ � ¬C® ÄæÐ

< Jï� ¶ j à ¬C® ÇÐ< J N � ¶ � » � � Äç < Jï� ¶¡» QÈh_� � jç� <�J N � » � � � <�J � » QÈh_� � j

h(æ � ~�N y h(J°j�jzh_� � j h�Q y æ ~ h(JÁj�jzh_� � jvw}g| [ P \z`üÈ Ý\z� � \z` · \ ~ [ R ��� P \z`m` }g| [ v \z` T=}�~��M�wR ` T \z`�� } ��` �M�ªx\ ~�RS]s_ \ ` h��w~�}��Ö} ` R [ RU}g|@� » ¸S� � jul \ [ P �È Ý\z� � \ �w}�~�R��z}g| [¨� P \ vw_¡� � _ [ _w|¡R ` }gT=}�~��M�wR ` T \ ¸ ¨ Pf~sx\z` _wP [�\m� PS}�~ ` v \ P � �w~�}��È} ` R [ RU}g| » ¸ ð h ¾ }�~�T \vw_ � P \ j�]:_ \ P �CÈ Ý\z� � \ �w}�~�R±�z}g| [¨� P \ vw_ à8��`r\z`�[÷� } ��` �M�ªx\ ~�RS]s_ \ l � \ ]:_wR ��� �^Ý\ · \ P � vyx\ T=}g| `�[ ~ �Ì[ RS}g|�l� � ~ò_w| \ vw}g_ à P \?� �w�MPSR �z�Ì[ RS}g|çvw_P \ T=T \ � » ¸S� ð ¸ �gð

Page 101: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

ì î5M Q í`O`M�M>Ø ³f× }gR \ | [ J e ¶ N Ú�§$Û�_w| ¾ }g| � [�\ _�~zlj� � _w| } à�ã�\ [ v \ « � l \ [a� }g| ` RUvyx\ ~�}g| ` P \Ô��� ~�~�x\��� ~ [ x\z` R \ | <7J N ÄöNÐæ � ÝJ N

<�JÐ æ öJ« � ÄQ «h � ¾ ¸^� » ¸ » �Zjul \ [ P \÷� _ àÖ\°� }gT=T7_ [¨�Ì[ R ¾� <�J N � » � �

ÐÄä å k � h_� � jõ õ õ�ö � <�J � » QÖh_� � jü ü ürý<�J N

ÐÄÐ <�JЫÁ� » ��� è è è èué Ä « » QÖh_���Ïj õ õ õ�ö«Á� Ä « W

vw}g| [ P \ ` ¾ ���z\ ` P �Ì[ x\ ~ � P \z`f\ [ P � ¾ ���z\�� · � | [o` }g| [ª��� ~ [ x\ ` R \ |w| \ ` l:vw}g| ��� _ `�` R8P � ¾ ���z\�� ~�~�ROÝ\ ~ \ ¸sí�}gT=T \Q \z`�[ PUR `�`�\ l \ | · \ ~ [ _ v \ P � �w~�}��Ö} ` R [ RU}g| � » ¸ Y h ¾ }�~�T \ vw_ � P \ jul�P \ T=}�~��M�wR ` T \ « » � � N « » QÈh_� � julRS|wvw_wR [ � � ~4QVl \ `�[ _w|wRU· \ ~ `�\ PSP \ T \ | [ò��` �M�yx\ ~�RU]s_ \ ¸ ¨ P \ | \z`�[ vw}g| � v \ T ú\ T \ �Ö}g_�~ ä å k � h_� � jul �z\ ]:_wR�w~�}g_�· \ P � �w~�}��Ö} ` R [ RS}g|�¸±�ÛÖ³]ÛVÕȳè× }gR [ æ0e ¶ N « _w|ÔT=}�~��M�wR ` T \ v \ Ú^§ZÛu¸g � ~ �Ìà _ ` v \ |w} [��Ì[ RS}g|�l�}g|Ôvyx\z` RU{g| \ � � ~ª< ´ ¶¡» �P �÷���Ì[ x\ {g}�~�R \ <ÔJmlg}^Ý_mJ \ `�[ P \ ¾ }g| �u[�\ _�~�JÎe«ÎNîÚ^§ZÛ­vªx\ Å |wRM� � ~)�4RN ¶¡» �H¸ ¶ �?���Ì[ x\ {g}�~�R \ < ´ ¶¡» �\z`�[ P �7���Ì[ x\ {g}�~�R \ vw}g| [ P \z` } àwã�\u[�`�` }g| [ P \z`�[ ~�RU�MP \ [�` h_�HW¨§8W�¬åeZæñhO§sjfN � jul8§=nËprqsh ¶ jul5��n�p�qwhg«�jul¬0n¯ M¢�hg«�julZ_w|*T=}�~��M�wR ` T \ v \ h_�HW¨§8W�¬åegæñhO§sjfN � jf· \ ~ ` h_� � W¨§ � W�¬ � egæñh(§ � joN � � jÁx\ [¨� | [ _w| � }g_��MP \h ° eA��N � � W � e:§7N § � jul � n¯ w¢µh ¶ j�l ° n¯ M¢�hg«�jul [�\ P�]:_ \ P \÷��� ~�~sx\æ�hO§�j Äæ�h � jЬ

æ�hO§:�ÏjÐ ¬ �� Ä° ���` }gR [�� }gTmT�_ [��Ì[ R ¾ ¸Mä�|vªx\ Å |wR [ v \z` ¾ }g| � [�\ _�~ `i ¦ e ¶ LCL8LwL(N < ´ ¶¡» � W ª ¦ e:< ´ ¶¡» ��LVN ¶ W§qR LVN h(æñh(§�juW¨§8W�� ¦ à ç Ç j hT�HW¨§VW�¬�jWR L8N §

\ [ _w|T=}�~��M�wR ` T \ v \ ¾ }g| �u[�\ _�~ `ʯeZi ¦ ª ¦ LVN � <9ê ºzå�¬ W Ê Ã ¬ k ç kÆÅ�Ç �Îh4¬8W�� ç j�e8h(æ�hO§�juW¨§8W�� ¦ à ç Ç jkN h_�dW¨§VW�¬�j W

\ [ }g|Á·ox\ ~�R ÅM\�� _ `�` R [Ìú} [ ]s_ \ ª ¦ i ¦ ��� ºy¸Zä�| \ |7vyx\ vw_wR [ ]s_ \ i ¦ \ [ ª ¦ ` }g| [ v \z` x\ ]:_wRU· � P \ | �z\ ` ¾ � R à P \z` ¸���

Page 102: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

� \ �MPU_ ` lw�Ö}g_�~ [ }g_ [���� ~�~�x\a� }gT=T7_ [¨�Ì[ R ¾ v \ Ú^§$Û¶ � ÄNÐæ �

¶Ð æ« � ÄQ « W}g| � v \z`���� ~�~�x\z`�� }gT=T7_ [¨�Ì[ R ¾ `¶ � ÄN

Ði ¦ ® ¶Ð i ¦

< ´ ® ¶ � » � �Ð

ª ¦ ® ÄÌ < ´ ¶¡» �Ъ ¦

< ´ ® ¶ � » � � ÄÌ < ´ ¶¡» � ¶ � ÄN ¶ W}�Ý_·Ì?e$< ´ ® ¶ � » � � N < ´ ¶¡» � \ `�[ P \ ¾ }g| � [�\ _�~�vªx\ Å |wR�� � ~ÁhT� � W¨§ � W�¬ � j@RN h¢QÖh_� � j�W N hO§ � juW�QÈh4¬ � j�ju¸������ ���g���! #"%$¤?W$ ;'$â3S�m6 � V6<�'3N\�$�&Z(*�Ñ��� 3A35(*��$Úh��5$ �:$Ú�:( ;<��= #�>�"%$��16Y2�(*��?W�BC$��S"8��)E $���"C�!��:( ;<�m�= ]�>�"%$��!6-2�(��?A�BC$��S"D�m�m2�(*6�"8Fn�oqpØ1JNI5rØ~Ù¢Ø ±�ÛÖ³]Û�Q^³)R (* #" æÙe ¶ N « �!�¤BC(6[3N\W #��BC$Z?W$ Ú^§$Û F É $��â;'(*��? `"T [(���o���1 `i��S"%$��o��(*�S"U$�h��! #i�m�:$��S"%$��t�� j�æ $���"z3@6<(<3�6'$²�à j 3N(*�167"8(�1"p? [� V6 �mB³BC$�?W$ü;<�6�6jU$��o;<�m6�"�U$��� [$��S��?A���� Ú�§$Û¶ �Í� Ä

ж � ÄÐ

¶Ð æ« � � Ä « � Ä « W�:$^BC(*6D3N\W ]��BC$l?W$l;�\~��~VW$�BC$��5"a?W$Þc'�*� $'&j�*�'��( ;� 1U$^�m�Z;<�6�6aU$l?W$²VA�m�S;�\S$'&a$���"§�!�@$¢U$�h>�1 #im��:$��@;'$�2>�m _c��:$�6DV�1BZ$��S"§3S�6³�6[Vm�1BC$��S"DFrtsuSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� ¶ �ÍRSTm�MPUR ���Ì[ RS}g|Òh � jÞ� h c j�~sx\z` _wP [�\ vw_ � }�~�}gPUP � RU~ \ � » ¸�� \u[ v \ P � �w~�}��È} ` R [ RS}g|� » ¸ » �w¸�¼�}g| [ ~�}g| ` P_��RUTm�MPSR ���Ì[ RU}g|Ëh c jk� h � ju¸ ¤ |è· \ ~ [ _åvw_ [ �ªx\ }�~.Ý\ T \ � » ¸S� » l�RUP ` _ �m[ v \ T=}g| [ ~ \ ~]s_ \÷` R

ã � ¶ � ÄNÐæ �

¶Ð æ«Á� ÄQ «\z`�[ _w| �z� ~�~sx\���� ~ [ x\z` R \ | vw}g| [ P \ T=}�~��M�wR ` T \ v \�� � � |w{ \ T \ | [ v \7à8��`�\ ä å \z`�[ _w| \ x\ ]s_wRU· � P \ | �z\¾ � R à P \ � ~�{g_wT \ | [ � � ~ � ~�{g_wT \ | [ l \u[è` RuQ \z`�[è� } ��` �M�ªx\ ~�RU]s_ \ l � PU}�~ `ëN \z`�[å� } ��` �M�yx\ ~�RS]:_ \ ¸É � ~� ë �Ö} [ �^Ý\z`�\ lM�Ö}g_�~ [ }g_ [ ¾ }g| � [�\ _�~�JÎe ¶ N Ú�§$Û�l \ [�[ }g_ [ } à�ã�\ [ � � v \ « � lä å k � hT�u�SjÉe8h(æ8� ~�Nuy h�JÁj�jzhT�u�UjÉL8N h�Q y æ ~ h(JÁj�j h_�u�Uj

�.�g�

Page 103: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

\z`�[ _w| \ x\ ]s_wRU· � P \ | �z\ ¾ � R à P \ ¸8í�}gT=T \ E \z`�[ _w|åPS} ��� PSR `��Ì[�\ _�~ ¾ }g|wv � T \ | [¨� P ¾ }�~ [ lwRSPÖ~sx\ ` _wP [�\ v \ P ��w~�}��È} ` R [ RU}g| �.��¸ X ]:_ \ < ä å k � e < æ � ~ N y h(JÁjyLVN < Q y æ ~ h�JÁj\z`�[ _w| \ x\ ]:_wRU· � P \ | �z\ ¾ � R à P \ ¸ � � � _ [ ~ \ � � ~ [ l � }gT=T \ Q \z`�[ò� } ��` �M�ªx\ ~�RS]:_ \ lVRUPÖ~sx\z` _wP [�\ v \ P � �w~�}��È} ¼` R [ RS}g| � » ¸S� � ]s_ \ P \ T=}�~��M�wR ` T \ö Q*e < Q y æ ~ h(J°jo� < æ ~ h(JÁj'Q=LVN < æ ~ h(JÁj W

RS|wvw_wR [ � � ~ìQVl \ `�[ _w| \ x\ ]s_wRµ· � P \ | �z\ ¾ � R à P \ l \ [ � � ~ ` _wR [�\a� _ `�` R�P \÷� }gTm�È} ` x\ö QÉ< ä å k � e$<7æ � ~ N y h(JÁjyLVN <�æ ~ h(J°j �

ä�~�l I æ8� ~�N�y h�JÁjk�@I ´ ® � <7J N � » � � W I æ ~ h�JÁjf� I ´ � <�J � » � W\ [ }g| � _w| ��� ~�~sx\÷��� ~ [ x\ ` R \ | <7J N ÄöN

Ðæ � ÝJ N<�JÐ æ öJ«Á� ÄQ «h � ¾ ¸^� » ¸ » �Zjulwv���}^Ý_è_w| ��� ~�~sx\a� }gT=T7_ [¨�Ì[ R ¾

< J N ÄöNÐ

< JÐI ´ ® � < J N � » � � ÄÌ I ´ � < J � » �vw}g| [ P \z`-È Ý\ � � \ ` · \ ~ [ R ��� P \z`f` }g| [ v \z` x\ ]s_wRµ· � P \ | �z\z` ¾ � R à P \z` h � ¾ ¸w� » ¸ » ¦gju¸gär|�·ox\ ~�R ÅM\ ¾ ��� RSP \ T \ | [ ]:_ \ÌÁ� ö Q�< ä å k � l �z\ ]s_wR�RSTm�MPURS]s_ \ ]s_ \ öN>\z`�[ _w| \ x\ ]:_wRU· � P \ | � \ ¾ � R à P \ l \u[ �w~�}g_�· \ l \ |�· \ ~ [ _Ëv \ P ��w~�}��È} ` R [ RU}g| � » ¸U� � lw]s_ \ P \ ¾ }g| � [�\ _�~ N¿\z`�[ò� } ��` �M�ªx\ ~�RS]:_ \ l � \ ]s_wR ��� ��Ý\ · \ P � vªx\ T=}g| `�[ ~ �Ì[ RS}g|�¸� uSvÞ}§|��7 §uí�ª°��±°�îN� ¨ P \ ¥ R `�[�\ _w| \÷�z� ~ ��� [ x\ ~�R `��Ì[ RU}g| � | � PS}g{g_ \ �Ö}g_�~�P \z` T=}�~��M�wR ` T \z` PUR `�`�\ ` l�T � R `ã�\ | \a� }g|w| � R ` � ��` v \ vyx\ T=}g| `�[ ~ �Ì[ RS}g|Àx\ P�x\ T \ | [¨� RU~ \ ¸±�ÛÖ³]ÛS��³ ¤ |å~ \ · \ | � | [�� _ ¥ |w} [¨�Ì[ RS}g| ` v \ �g�g¸ X l ` }gR [

ã � ¶ � ÄNÐæ �

¶Ð æ«Á� ÄQ «�.���

Page 104: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

_w| ��� ~�~�x\?��� ~ [ x\z` R \ |åv \ Ú^§$Û�¸Vä�| \ |vªx\ vw_wR [ _w| �z� ~�~sx\÷� }gT=T7_ [¨�Ì[ R ¾z h ¶ �,j z h ¶ jï N yz hg«Á�Ïjðæ � y z hg«�j

ð æ yï Q y W

P \ ` ¾ }g| � [�\ _�~ ` æ y \ [ æ � y � vwT \ [�[�� | [ v \z`�� v ã }gRS| [�` Ý� { � _ � � \æ ~ e z h ¶ jkN z hg«�j \ [ æ � ~ e z h ¶ � jkN z hg« � j

~ \z` � \z� [ RU· \ T \ | [ h � ¾ ¸­�g�g¸ Y ju¸�ä�| � �w� \ PUP \�� _ `�` R BC(*6D3N\W ]��BZ$C?W$C;�\~��!V1$�BC$��S"b?W$�c'�*��$��*����( ;� !U$���;<�6�6aU$b;<�m6�"�U$��� [$��!ã \ [ }g|Ô|w} [�\ Á å egæ � ~ N y N Q y æ ~ P \ T=}�~��M�wR ` T \ v \ é­êwë h z h ¶ j�W z h�« � j�jul � }gTm�È} ¼` x\ v \z`pÈ Ý\z� � \z` æ8� ~�N�y LVNQæV� ~�N�y æ y æ ~ ��æV� ~ æV� y Q y æ ~ LÈNñQ y æ ~ Wvªx\ Å |wR \z` � � ~P \z` Tm}�~��M�wR ` T \z` v�� � v ã }g| � [ RU}g|Î�lò à º Ç N æ y æ ~ \ [ æ � ~ æ � y N �lò à ´ ® Ç ¸òä�|Ó·ox\ ~�R ÅM\¾ ��� RUP \ T \ | [ ]s_ \ P \ Tm}�~��M�wR ` T \ Á å \z`�[ RS|wvw_wR [ ly� � ~çPS} ��� PSR `��Ì[ RS}g|�lk� � ~åP \ T=}�~��M�wR ` T \ ä å h � ¾ ¸� » ¸ » �Zj�l � _ [ ~ \ T \ | [ vwR [ l \ |Ë{ � ~�v � | [ P \z` |w} [¨�Ì[ RU}g| ` v \ �g�g¸ � l8�Ö}g_�~ [ }g_ [ ¾ }g| � [�\ _�~÷Jóe ¶ N Ú^§ZÛ�l}g| � Á å k þ ¹ à � Ç �ÀÇ ´ ® h ä5å k � j �Ê�RS| ` ROl \ |Ë· \ ~ [ _ v \ P � �w~�}��È} ` R [ RS}g| � » ¸ » �wl ` Rfæ \z`�[ �w~�}��w~ \ }g_�Q0PSR `�`�\ l � PS}�~ ` P \ Tm}�~��M�wR ` T \ Á å\z`�[ _w|åR ` }gT=}�~��M�wR ` T \ ¸ ¨ PÖ~sx\z` _wP [�\ vw_ [ �yx\ }�~�Ý\ T \ � » ¸ » X ]:_ \a�z\u[�[�\ �w~�}��w~�R�x\u[ x\a�z� ~ ��� [ x\ ~�R `�\ P \z` T=}�~ ¼�M�wR ` T \z` �w~�}��w~ \z`k` RMP_�Í}g|Ôv \ T � |wv \ ]:_�� \ PUP \ ~ \z`�[�\ ·:~ � R \�� �w~�Ý\z`f[ }g_ [k� � � |w{ \ T \ | [ v \Éà8��`�\ h��Ö}g_�~�·�_]s_ \ P \ PS} �z� PSR `��Ì[�\ _�~ ¾ }g|wv � T \ | [¨� P E ` }gR [ ¾ }�~ [�\ T \ | [�`��Ì[ _�~sx\ âó Ç ju¸ ¨ P \ ¥ R `�[�\ _w| \a��� ~ ��� [ x\ ~�R `��Ì[ RS}g|� | � PS}g{g_ \ �È}g_�~ÔP \z` T=}�~��M�wR ` T \z` PUR `�`�\ ` l­T � R `Á`�� vªx\ Tm}g| `�[ ~ �Ì[ RU}g|Ò|�� \z`�[ � ��` x\ P�x\ T \ | [¨� Rµ~ \ Ý� T �� }g|w| � R `�`�� | �z\ ¸

ó Ùo}gRU~�|w} [�\ v \aà8��` v \ � � { \ �w~sx\z� x\ v � | [ P � �w~�}��Ö} ` R [ RU}g| �g�g¸U�.��¸�.� »

Page 105: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

ô E;E�,Ê68:U&'õ�, ô öU÷ >øõ�>W*8ù,/ú9#�¥�&G,âõ/H;û;&GF H8,�I¨XØ-XjOTM^ü ì o îSI*í`Ø!M ìtývþ/ý�ÿ þ � ý

������Y;'$�"k�'3A35$���? [;'$�&)(*�·��$-,j.!$'&²�!�@$²2�(* ]�²35(�16�"8(�1"%$��<&0�!�+�:(K;<��= ]�>�m"8$��!602�(*��?A�mBC$��S"8���EGF� ³(±8³Ü× }gR \ | [Þ¶ _w| \?���Ì[ x\ {g}�~�R \r\ [�� _w| � ~�R à P \ v \7¶ ¸Vä�|å|w} [�\¡¶ L � P ��` }g_ `�¼&���Ì[ x\ {g}�~�R \ �MP \ RS| \v \㶠vªx\ Å |wR \ � � ~çp�qwh ¶ L � j�� p�q ¶ L@p�q � l \ [ }g|Ü·ox\ ~�R ÅM\� _ `�` R [Hú} [ ]s_ \�¶ L � \z`�[ _w|� } � ~�R à P \ v \p¶ ¸sí \ [�[�\�� }g|Z· \ | [ RS}g|=� \ ~�T \ [ v�� x\ |w}g| �z\ ~�P \ P \ T=T \É` _wRµ· � | [ l$vw}g| [ P � vªx\ Tm}g| `�[ ~ �Ì[ RU}g|\z`�[ RST=T x\ vwR �Ì[�\ ¸×²Ø!ÙÚÙ¢Ø � ³#Ûȳ�R (* [$��S" ¶ �!�@$�;<�"�U$<VW(6� [$'& � �1�·;�6� _c>�:$l?W$ ¶ & æe � N « �!�b2�(*�@;�"8$��!6l?1(*�S"§�:$�c��1"$���"j�!�@$7;'�"�U$'VW(*6� D$l�A?BC$�"_"8��S"a�1�+(�cTd $�"W,0���� ­ ì F5ÝÞ�:(6'�p `�@$Õ.� ]��"8$p�!���1�S [h��S$j2�(*�@;�"8$��!6 Q*e ¶ N «"%$��jh��5$ Q7� � ��æ $�"4"8$��ah��S$ Q7� ¶ L � � (* #"²�:$02�(*��;�"8$��16³;'(*����"8��S"k?W$oi��:$��!6 ­ ì F� ³Óà�³=× }gR [f¶ _w| \ � \ [ R [�\y�z�Ì[ x\ {g}�~�R \ ¸À�| 3�6aU$ ;���= #��?6'$@2 (*�@;�"%(*6� D$�� v � | `e¶á\z`�[ P � vw}g|w|yx\z\ h(t8W'¬ � W'¬ jv���_w| ¾ }g| � [�\ _�~�t*e ¶ N ¶�\ [ v \ T=}�~��M�wR ` T \ ` v \ ¾ }g| � [�\ _�~ `

� º Ĭ � Ĭ t �À�| 3@6jU$';���= #��?m6<$52�(�@;�"%(*6� [$��1���VmBC$��S"�U$ v � | `§¶ \z`�[ P � vw}g|w|ªx\ \ v��Í_w|a�w~sx\z��ë PSRU|wv�~ \ ¾ }g| � [ }�~�R \ P8h(t8W'¬ � W'¬ jv � | `�¶ l \ [ v��Í_w| \ ¾ � T=RSPUP \�� �óh � ç ewtÈhO§sj�N §sj ç � � à º Ç v \ T=}�~��M�wR ` T \z` v \³¶ l � �w� \ P�x\ \ ���û��AVäBC$��5"D�"_ [(*� l [�\ PUP \ ]s_ \ �È}g_�~ [ }g_ [ } à�ã�\ [ §*v \�¶ lM}g| � R [� ç ¬ �ç ��� ç � � ç ¬ ç �À�| ;���= #��?6'$j2 (*�@;�"%(*6� D$�� v � | `4¶@\ `�[ _w|=�w~sx\z��ë PSRU|wv�~ \ ¾ }g| � [ }�~�R \ P � _w{gT \ | [ x\ h(t8W'¬ � W'¬ W � jfv � | `)¶ lvw}g| [ P_� � _w{gT \ | [¨�Ì[ RU}g| � \z`�[ _w|åT=}�~��M�wR ` T \ v \ ¾ }g| � [�\ _�~ `�� egt�N ��%¹ñl � _ [ ~ \ T \ | [ vwR [ l [�\ P�]:_ \�Ö}g_�~ [ }g_ [�\�È Ý\z� � \ ¬0eZ§7N § � v \¡¶ lM}g| � R [� ç ®ÑtÈh4¬�jf�@¬ � ç �

� uSvÞ}§|��7 §u��X�hÎz� À�| �w~sx\ ��ë PURS|wv�~ \ ¾ }g| �u[ }�~�R \ P � _w{gT \ | [ x\ h(t8W'¬ � W'¬ W � j7v � | `ü¶ vªx\ Å |wR [ lk�È}g_�~[ }g_ [ } à�ã�\ [ § v \ⶠl�_w|Ò�w~sx\z��ë PSRU|wv�~ \ ¾ }g| � [ }�~�R \ Prh(tz� ¶¡» §8W�¬ � � ¶¡» §VWS¬ � ¶¡» §�jav � | `³¶¡» §8l � }gT=T \` _wR [ ¸M­}g_�~ [ }g_ [ } à�ã�\ [ h(§ � W � eZ§ � N §sjyv \�¶¡» §Vlw}g|ç�Ö} `�\h(tz� ¶¡» §sjzhO§:�ÑW � e$§$�8N §sjk�>h(tÈhO§$�Sj�W � ç tÈh � jªegtÖh(§:�SjoN §�j W

\ [ �Ö}g_�~ [ }g_ [ Tm}�~��M�wR ` T \ ¬0e8hO§ � W � eZ§ � N §�jyLVN hO§ �Í� W � � e:§ �Í� N §�j§:� Ĭô ôZõ� §$�Í�øøù � �§

� � � � ¬�.�g�

Page 106: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

v \�¶¡» §8lw}g|è�È} `�\ h(tz� ¶¡» §sjzh4¬�jñ��tÈh4¬�j W�z\ ]s_wR \z`�[�à R \ |å_w|T=}�~��M�wR ` T \h(tÈhO§:�SjuW � ç tÈh � jke$tÈhO§$�ÏjfN §�j T à Å�ÇL LwLML(N h�tÖhO§$� �,juW � ç tÈh � �Uj�egtÖh(§:� �,jkN §sjv \�¶¡» §8l ��� ~ \ |å· \ ~ [ _åv \z` x\ { � PSR [ x\z`� ç tÈh � � j tÖh4¬�j­� � ç tÈh � � ¬�jf� � ç tÈh � j WP \r[ ~�R � |w{gP \ tÈhO§$�Ïj ÄtÈh4¬�j¼ ¼ ¼�½� ç tÈh � j

tÈhO§:� �,j¾¾¾¿ � ç tÈh � � j§\z`�[m� }gT=T7_ [¨�Ì[ R ¾ ¸ ¶ � ¾ }g| � [ }�~�R � PSR [ x\ v \ t§� ¶¡» § e ¶¡» § N ¶¡» § \z`�[=� }g| ` x\ ]s_ \ | �z\ RUT=T x\ vwR �Ì[�\ v \�z\ PUP \ v \ t8¸8­}g_�~l­r�@��W��glw}g|vyx\ Å |wR [ _w|T=}�~��M�wR ` T \ v \ ¾ }g| � [�\ _�~ ` ¬ ê � ¶¡» §=eM� ºzå ç N tz� ¶¡» § \ |�Ö} `�� | [ l��È}g_�~ [ }g_ [ } à�ã�\ [ hO§ � W � eȧ � N §�j�v \�¶¡» §8lÔh_¬ ê � ¶¡» §�j Ã�ç ® k ��Ç � ¬ êç ® l �z\ ]s_wR \z`�[aà R \ | _w|T=}�~��M�wR ` T \ h(§ � W � e:§ � N §sj ���u ®L LMLML(N h�tÖhO§ � j�W � ç tÈh � jªegtÖh(§ � jkN §�jv \�¶¡» §8l ��� ~�� � ~�P \ ` x\ { � PUR [ x\ ` � ç tÈh � jÕ¬ êç ® � � ç ¬ êç � � � WP \r[ ~�R � |w{gP \ § � Ĭ êç ®¼ ¼ ¼�½� tÖh(§ � j¾¾¾¿ � ç tÈh � j§\z`�[f� }gT=T7_ [¨�Ì[ R ¾ ¸ ¶ � ¾ }g| � [ }�~�R � PSR [ x\ v \ ¬ ê � ¶¡» §r~sx\z` _wP [�\ v \�� \ PSP \ v \ ¬ ê ¸ × R�P \ �w~�x\z��ë PSRS|wv�~ \ ¾ }g| �u[ }�~�R \ P� _w{gT \ | [ x\ h�tVW'¬ � W'¬ W � j \z`�[f\ |7}g_ [ ~ \ _w| ��ë PSRU|wv�~ \ ¾ }g| � [ }�~�R \ POlH}g|Ávyx\ Å |wR [ _w|�T=}�~��M�wR ` T \ v \ ¾ }g| �u¼[�\ _�~ `�� � ¶¡» §Ôe$tz� ¶¡» §°N � ºzå ç l \ |m�Ö} `�� | [ l��È}g_�~ [ }g_ [ } à�ã�\ [ hO§ � W � j�v \Þ¶¡» §Vlwh � � ¶¡» §�j Ã�ç ® k �>Ç � � ç ®&l�z\ ]s_wR \z`�[�à R \ |å_w|T=}�~��M�wR ` T \h�tÖhO§$�Ïj�W � ç tÈh � jªegtÖh(§:�SjkN §�j � u ®LCLMLwLON hO§:��W � eZ§:�8N §�jv \�¶¡» §8l ��� ~òP \r[ ~�R � |w{gP \ tÈhO§ � j Ä� ç ®¼ ¼ ¼�½� ç tÖh � j§ �¾¾¾¿ �

§\z`�[÷� }gTmT�_ [��Ì[ R ¾ lM� � ~ ¾ }g| � [ }�~�R � PSR [ x\ v \�� ¸ ¶ � ¾ }g| � [ }�~�R � PSR [ x\ v \�� � ¶¡» §ç~sx\z` _wP [�\ v \7�z\ PUP \ v \�� l \ [}g|è~ \ T � ~�]:_ \ ]:_ \ h � � ¶¡» §sjzh_¬ � � ¶¡» §sj­��� ºzå ç �>h � � ¶¡» §�jzh_¬ � ¶¡» §�j �Ê�RS| ` ROl�h(tz� ¶¡» §VW~¬ � � ¶¡» §8WS¬ � ¶¡» §VW � � ¶¡» §sj \z`�[ _w| ��ë PURS|wv�~ \ ¾ }g| � [ }�~�R \ P^v � | `Þ¶¡» §8¸�.���

Page 107: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

ײØ!ÙÚÙ¢Ø � ³,ÕÖ³fR (* [$��S" ¶ �!�@$^35$�"_ #"8$Y;<�"�U$<VW(*6� [$'& ike ¶ NîÚ^§$Û �!�³2�(*��;�"8$��16'&k$�"� º Ĭ � Ĭ t�!�C3�6aU$ ;���= #��?6'$-2�(*�@;�"8(*6� [$��/?A�m��� ¶ F��)�+��� 3A35(K��$��:$��³;'(��? #"_ [(*���b���1 #im��S"%$��¡i²U$�6� û,ãU$ $����� j 35(*�!6k"8(�1"e(�cTd�$�" § ?W$ ¶ &@�:$z2 (*�@;�"%$��!6 i�h_¬ �ç j�egi¨hO§sjkN i¨h(tÈhO§�j�j $���"z�!�@$k #B³BC$�6'�� [(�ï(�1im$�6�"%$'& ]��(BC(*6[3�\W ]��BC$�?W$ i¨hO§sj ���!6��1� ;�6� _c��:$ � ç ?W$ i¨h(tÈhO§�j�j &²$�" i¨h_¬ ç j�egi¨hO§sjfN i¨h(tÈhO§sj�j � $a2��W;�"%(*6� ]� $-3S�m6�:$Y;�( ;�6� [c��:$³;'(*Bl3��KU$�BC$��5"D� `6<$ J ç ��i¨h(tÈhO§�j�j�L � ç Ìà j 3N(*�167"8(�1")BC(6[3N\W #��BC$ ¬�e$§7N § � ?W$ ¶ &k(*�¢� i¨h(tÈh4¬�j�j h(J ç j4wáJ ç ® FÝÞ�:(*6��)35(�16�"8(�1"%$k35$�"T #"%$³;<�m"�U$<V1(*6� [$ « &k�W?BC$�"_"D�m�S"4�1�¤(�cTd�$�"N,-���m� ­.ì &4�:$02�(�@;�"%$��16�?Ê� (*�Sc��= ¶¡» «¿� ¶¡» i y hO«?j ©LÈN ¶ W hO§8Wwæ0egi¨hO§�jfN «°j@R LVN § W$���"²�!�@$qU$ h��1 `i��:$��@;�$e2>� _c��:$ Fr suSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� ä�|Ùvªx\uÅ |wR [ _w| \ |wvw} ¾ }g| �u[�\ _�~ � e ¶¡» « N ¶¡» « � }gT=T \�` _wR [ ¸�­}g_�~ [ }g_ [} à�ã�\ [ hO§VW�æÈjyv \�¶¡» «ÔlM}g|ç�Ö} `�\� h(§VWwæ0egi¨hO§sjfN «°jf�>h(tÈhO§�j�W-Q ¦ egi¨h�tÖhO§sj�jfN «?j W

}�Ý_ Q ¦ e$i�h(tÖh(§�j�jfN « \z`�[ P_�Í_w|wRS]s_ \ ¾ }g| � [�\ _�~ [�\ P^]s_ \ Q ¦ � � ç � Q ¦ � i�hO§�jk� Q ¦ i¨h_¬ �ç jk�Óæ \ [ò[�\ P�]:_ \Q ¦ � J ç ` }gR [ P \ ¾ }g| � [�\ _�~ � }g| `�[¨� | [ v \ · � P \ _�~l­ ì h � ¾ ¸SÊÁ¸ » j�¸w­}g_�~ [ }g_ [ T=}�~��M�wR ` T \h(§VWwæ0egi¨hO§sjfN «°j ÅL8N h(§:��W8æ8�^egi¨hO§$�,jfN «?j W æ8�Si¨hO¬�jk��æ W

v \�¶¡» «�lM}g|è�Ö} `�\ � h4¬�jf��tÈh4¬�jul �z\ ]s_wR \z`�[�à R \ |_w|T=}�~��M�wR ` T \h�tÖhO§sjuWwi¨h(tÈhO§sj�j j �LVN «?j T à Å�ÇLCLML8L(N h�tÖhO§$�Ïj�Wwi¨h(tÈhO§:�Sj�j j � ®L8N «°j

v \�¶¡» «�l ��� ~�P \÷[ ~�R � |w{gP \ i¨h�tÖhO§sj�j Äi¨h(tÈh4¬�j�jô ô ôZõQ ¦ i¨h�tÖhO§$�Ïj�jøøøù Q ¦ ®«\z`�[�� }gT=T7_ [¨�Ì[ R ¾ ¸ ¤ | \��Ö\u[ lMRSP ` _ �m[ v \ Tm}g| [ ~ \ ~�]:_ \Q ¦ ®�i¨h(tÈh4¬�j�j i¨h_¬ �ç jo��æ \ [ Q ¦ ®�i¨h�tÖh4¬�j�jK� J ç ��­ ì �

ä�~�lM}g| �Q ¦ ®Ñi¨h(tÈh4¬�j�j�i�h_¬ �ç jo�mQ ¦ ®,i¨h(tÈh4¬�jÕ¬ �ç jf�mQ ¦ ®�i¨h_¬ �ç ® ¬�jf�mQ ¦ ®Ñi¨hT¬ �ç ® j�i¨hO¬�jk��æ8�Si�h4¬�jf��æ W�z\ ]:_wRk�w~�}g_�· \ P � �w~ \ T=ROÝ\ ~ \ x\ { � PUR [ x\ ¸ ¶ � v \ _ ¥ ROÝ\ T \ l^~sx\z` _wP [�\ v \ P_��RU| � PS_ ` RS}g|¡i¨h�tÖh4¬�j�jzh(J ç jtwâJ ç ®&¸¶ � ¾ }g| � [ }�~�R � PSR [ x\ v \ � \ `�[�� }g| ` x\ ]s_ \ | � \ RST=T x\ vwR �Ì[�\ v \a�z\ PUP \ v \ t8¸

�.�Z¦

Page 108: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

ä�|vªx\ Å |wR [ _w|T=}�~��M�wR ` T \ v \ ¾ }g| � [�\ _�~ `�� � e8� ºzå�ì N � \ |ç�Ö} `�� | [�� �Ã�ç k ¦ Ç ��¬ �çhO§VWwæ0egi�hO§�jfN «°j ��uLCLMLwL4N h(tÖh(§�juW-Q ¦ egi¨h(tÈhO§�j�jkN «°j W�z\ ]s_wR \z`�[�à R \ |å_w|T=}�~��M�wR ` T \ v \�¶¡» «�l ��� ~�P \÷[ ~�R � |w{gP \ ei�hO§�j Äi�h_¬ �ç jô ô ôZõæ

i¨h�tÖhO§sj�jøøøù Q ¦«\z`�[�� }gTmT�_ [��Ì[ R ¾ � � ~�vyx\ Å |wR [ RS}g|åv \ æ j ¸ ¶ � ¾ }g| �u[ }�~�R � PUR [ x\ v \�� � ~sx\z` _wP [�\ RSTmT x\ vwR �Ì[�\ T \ | [ v \÷�z\ PSP \v \ ¬ � ¸ä�|vªx\ Å |wR [ _w| ¾ }g| � [�\ _�~ �me ¶ L�LMLwLML4N ¶¡» «§­R LVN h(§VWS­ ì eZi¨hO§�jfN «°j W}�Ý_¢­.ì¿eÈi¨hO§sj�N «óvyx\z` RS{g| \m� _ `�` RfP \ ¾ }g| � [�\ _�~ � }g| `�[¨� | [ v \ · � P \ _�~�­ ì ¸ ¤ | � }gTm�È} `�� | [?� · \z� P \¾ }g| � [�\ _�~�v���}g_ à PUROl ª e ¶¡» «¿N ¶ }g|å} àw[ R \ | [ _w| ¾ }g| � [�\ _�~�Ø� � ª e ¶¡» «ÎL LwLMLwL4N ¶¡» «

hO§VWMæeZi¨h(§�jfN «?j9R LVN hO§VWS­ ì eZi¨hO§sjfN «?j �ä�|vªx\ Å |wR [ _w|T=}�~��M�wR ` T \ v \ ¾ }g| � [�\ _�~ `�� e$� N � \ |å�Ö} `�� | [�� à ç k ¦ Ç ��¬ çh(§VWS­ ì egi¨hO§sjkN «°j � �uL LMLwLON h(tÈhO§�j�W-Q ¦ eZi¨h(tÈhO§sj�j­N «?j W�z\ ]:_wR \z`�[yà R \ |*_w|�T=}�~��M�wR ` T \ v \l¶¡» «Ôl ��� ~�l$·�_*]:_ \ � � ~�� ë �Ö} [ �^Ý\z`�\ i¨h_¬ ç j `�\ ¾ ���u[ }�~�R `�\ � � ~�J ç lP \r[ ~�R � |w{gP \ e i�hO§�j Äi�h_¬ ç jô ô ôZõ­ ì i¨h�tÖhO§sj�jøøøù Q ¦«\z`�[�� }gTmT�_ [��Ì[ R ¾ � � ~�vyx\ Å |wR [ RS}g|åv \ æ j ¸ ¶ � ¾ }g| �u[ }�~�R � PUR [ x\ v \�� ~sx\z` _wP [�\ RSTmT x\ vwR �Ì[�\ T \ | [ v \÷�z\ PSP \v \ ¬ ¸ä�| � vw}g| � _w|vwR � {�~ � T=T \ v \�� �"! h ¶¡» «°j� ºzå�ì�# # # #%$� � �� ª ���'& & & &%(� W\ [ � � ~ ` _wR [�\ l­� �G� ª \z`�[ _w| \ x\ ]s_wRµ· � P \ | �z\ ¾ � R à P \ h4¦s¸ X h c julf¦s¸U�d¦gju¸­í�}gT=T \ ª �¯� � ºylñ}g| \ |vªx\ vw_wR [ l�� � ~ `��Ì[ _�~ �Ì[ RS}g| ¾ � R à P \ l�]s_ \ ª e ¶¡» « N ¶¿\ `�[ _w| \ x\ ]:_wRU· � P \ | � \ ¾ � R à P \ l �z\ ]s_wRÈ�w~�}g_�· \ P \P \ T=T \ ¸�.� X

Page 109: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

H7IKJ5L0JNM�O#PKO#JYX � ³ÓQ�³fR (* D$��S" ¶ �1��$k35$�"_ #"%$�;<�"�U$<VW(*6� [$��*�D3N\ÞU$�6� _h��5$'& ike ¶ NîÚ^§ZÛ �1�Y2�(*�@;�"8$��!6<&^$�"� º Ĭ � Ĭ t�!�C3�6aU$ ;���= #��?6'$-2�(*�@;�"8(*6� [$��/?A�m��� ¶ F��)�+��� 3A35(K��$��:$��³;'(��? #"_ [(*���b���1 #im��S"%$��¡i²U$�6� û,ãU$ $����� j 35(*�!6k"8(�1"e(�cTd�$�" § ?W$ ¶ &@�:$z2 (*�@;�"%$��!6 i�h_¬ �ç j�egi¨hO§sjkN i¨h(tÈhO§�j�j $���"z�!�@$k #B³BC$�6'�� [(�ï(�1im$�6�"%$'& ]��(BC(*6[3�\W ]��BC$�?W$ i¨hO§sj ���!6��1� ;�6� _c��:$ � ç ?W$ i¨h(tÈhO§�j�j &²$�" i¨h_¬ ç j�egi¨hO§sjfN i¨h(tÈhO§sj�j � $a2��W;�"%(*6� ]� $-3S�m6�:$Y;�( ;�6� [c��:$³;'(*Bl3��KU$�BC$��5"D� `6<$ J ç ��i¨h(tÈhO§�j�j�L � ç Ìà j 3N(*�167"8(�1")BC(6[3N\W #��BC$ ¬�e$§7N § � ?W$ ¶ &k(*�¢� i¨h(tÈh4¬�j�j h(J ç jxwáJ ç ® Ì� j 35(*�!6�"8(*�!"Þ(�cTd $�" § ?W$ ¶ &²���X;<�"�U$<VW(6� [$ i¨hO§sj �W?BC$�"²�1� (�cTd $�"S,-�@���FÝÞ�:(*6��7�:$²2�(*�@;�"%$��!6 ioe ¶ NQÚ�§$Û $���")�*�D3N\ÞU$�6� _h��5$�Fr suSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� ¤ |Á· \ ~ [ _�v \ P � �w~�}��È} ` R [ RU}g| ð ¸ X l�RUP ` _ �Ô[ v \ T=}g| [ ~ \ ~f]s_ \ �Ö}g_�~ [ }g_ [�\ � \ [ R [�\���Ì[ x\ {g}�~�R \ « � vwT \u[�[¨� | [ _w| } à�ã�\ [rÅ | � P(lÖP \ �w~sx\ ¾ � R `��z\z� _ i y hO«?j \ `�[÷��` �M�ªx\ ~�RU]s_ \ l � _ [ ~ \ T \ | [ vwR [ l]s_ \ P �����Ì[ x\ {g}�~�R \³¶¡» «ï� ¶¡» i y hO«?j \z`�[?��` �M�yx\ ~�RU]s_ \ ¸�ä�~�l \ | · \ ~ [ _ vw_ P \ TmT \ ÊÁ¸£¦slÖP \ ¾ }g| �u[�\ _�~v���}g_ à PUR ¶¡» «¿N ¶ \z`�[ _w| \ x\ ]:_wRU· � P \ | �z\ ¾ � R à P \ l \u[É� }gT=T \ P �Á���Ì[ x\ {g}�~�R \b¶ \ `�[���` �M�ªx\ ~�RU]s_ \ lMRUP \ |\z`�[ v \ T ú\ T \ �Ö}g_�~ ¶¡» «Ôl �z\ ]s_wR��w~�}g_�· \ P � �w~�}��È} ` R [ RS}g|�¸H7IKJ5L0JNM�O#PKO#JYX � ³]�ȳ§R (* [$��5" ¶ �!�@$²35$�"_ #"%$7;<�m"�U$<V1(*6� [$�& ike ¶ NîÚ^§$Û �!��2�(*�@;�"8$��!6<&²$�" h(t8W'¬ � W'¬ W � j�!�³3@6jU$ ;���= #��?m6<$a2�(*�@;�"%(*6� [$��@�m��VBZ$��S"�U$7?W���� ¶ F@�)����� 3A35(*��$l�:$��7;�(*��? #"_ [(*�S�^���! #i��5"8$��Þi0U$�6� û,�U$ $��U�� j 35(*�!6k"8(�1"e(�cTd�$�" § ?W$ ¶ &@�:$z2 (*�@;�"%$��!6 i�h_¬ �ç j�egi¨hO§sjkN i¨h(tÈhO§�j�j $���"z�!�@$k #B³BC$�6'�� [(�ï(�1im$�6�"%$'& ]��(BC(*6[3�\W ]��BC$�?W$ i¨hO§sj ���!6��1� ;�6� _c��:$ � ç ?W$ i¨h(tÈhO§�j�j &²$�" i¨h_¬ ç j�egi¨hO§sjfN i¨h(tÈhO§sj�j � $a2��W;�"%(*6� ]� $-3S�m6�:$Y;�( ;�6� [c��:$³;'(*Bl3��KU$�BC$��5"D� `6<$ J ç ��i¨h(tÈhO§�j�j�L � ç Ìà j 3N(*�167"8(�1")BC(6[3N\W #��BC$ ¬�e$§7N § � ?W$ ¶ &k(*�¢� i¨h(tÈh4¬�j�j h(J ç jxwáJ ç ® Ì� j 35(*�!6�"8(*�!"Þ(�cTd $�" § ?W$ ¶ &²���X;<�"�U$<VW(6� [$ i¨hO§sj $���"k;�(*�S"_6 �W;�"_ #�:$�FÝÞ�:(*6�� ¶ $���"0�!�Ú;'�"�U$'VW(*6� D$¡"8$���"²�:(K;<��:$Y$�" i �!�³2�(�@;�"%$��16�"%$���"²�:( ;<���FrtsuSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� ¤ |á· \ ~ [ _ vw_ [ �ªx\ }�~�Ý\ T \ ð ¸S� » lkRSP ` _ �m[ v \ T=}g| [ ~ \ ~*]s_ \ �È}g_�~ [ }g_ [�\ � \u¼[ R [�\?���Ì[ x\ {g}�~�R \ « � vwT \ [�[¨� | [ _w|0} à�ã�\ [�Å | � POlVP \ �w~�x\ ¾ � R `��z\�� _Ëi y hO«°j \ `�[ PS} ��� P \ T \ | [���` �M�ªx\ ~�RS]:_ \ l� _ [ ~ \ T \ | [ vwR [ lM]s_ \ �Ö}g_�~ [ }g_ [ } à�ã�\ [ §*v \�¶ lwP �����Ì[ x\ {g}�~�R \

h ¶¡» §�j » h(i y hO«?jK��h ¶¡» §�j�jñ�>h ¶¡» §sj » i yç hO«°jf�Îh ¶¡» §sj » « W}�Ý_�i ç vyx\z` RS{g| \ P \É� }gTÔ�Ö} ` x\ vw_ ¾ }g| �u[�\ _�~ ��� |w}g|wRS]:_ \p¶¡» §ÁN ¶�� · \z� i�l \z`�[y��` �M�ªx\ ~�RS]:_ \ ¸$ä�~zl$}g|7·ox\�¼~�R ÅM\ RUT=T x\ vwR �Ì[�\ T \ | [ ]s_ \ P \ ¾ }g| � [�\ _�~�i ç \ [ P \ �w~sx\z��ë PSRU|wv�~ \ ¾ }g| �u[ }�~�R \ P�h�t§� ¶¡» §VW�¬ � � ¶¡» §VW�¬ � ¶¡» §sjv � | `³¶¡» §Vl�RS|wvw_wR [ � � ~7P \ �w~�x\z��ë PSRS|wv�~ \ ¾ }g| � [ }�~�R \ P � _w{gT \ | [ x\ h(t8W'¬ � W'¬ W � j=h � ¾ ¸fÊÁ¸Í�$jul `��Ì[ R ` ¾ }g| [� _ ¥ � ë �È} [ ��Ý\z`�\ ` vw_�P \ T=T \ ÊÁ¸£¦s¸Èär| \ |Ëvyx\ vw_wR [ ]:_ \ P \ ¾ }g| �u[�\ _�~rv���}g_ à PURÉh ¶¡» §sj » « N ¶¡» § \ `�[_w| \ x\ ]s_wRµ· � P \ | �z\ ¾ � R à P \ ¸Öí�}gT=T \ P �����Ì[ x\ {g}�~�R \�¶¡» § � vwT \u[ _w|} à�ã�\ [òÅ | � POl \ PSP \a\ `�[���` �M�ªx\ ~�RS]:_ \ l\ [ � � ~ ` _wR [�\ lMRSP \ | \z`�[ v \ T ú\ T \ �Ö}g_�~7h ¶¡» §�j » «�l �z\ ]:_wR^vyx\ T=}g| [ ~ \ P � �w~�}��Ö} ` R [ RS}g|�¸� � uSv8���Au)�ï�+*�� ä�|0|w} [�\ lw�Ö}g_�~�,.-À��l /åPT� \ | `�\ T à P \ }�~�vw}g|w|ªx\ �w~�}svw_wR [ ³ / � �d��W��m� / ¸8­}g_�~,0-¿�gl����ái9�',­l \ [ b÷�Ó��W��glw}g|èvyx\ Å |wR [ _w| \Á� �w�MPSR ���Ì[ RS}g| � ~�}gR `�`�� | [�\

� c k v/ e / s �LVN /�.� Y

Page 110: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

� � ~ � c k v/ h#Áj�W�¸�¸�¸�W Á1/ s ¨jk�Îh`Á/zW�¸�¸�¸�W ÁÈc s �W�b$W ÁVc�W�¸�¸�¸�W Á1/ s ¨j W\ [ �Ö}g_�~�,)- ��l^���ái��',32©�glM_w| \°� �w�MPSR ���Ì[ RU}g| � ~�}gR `�`�� | [�\� c/ e /54a�LÈN /� � ~ � c/ h`Á/zW�¸�¸�¸�W Á1/64f�jo�Îh`Á/zW�¸�¸�¸�W ÁÈc s �W ÁVc74azW�¸�¸�¸�W Á8/54a�j �ä�| vªx\ Å |wR [ P � ;<�"�U$<VW(*6� [$�?W$��C;��Sc�$�� � }gT=T \ P �ç` }g_ `�¼&���Ì[ x\ {g}�~�R \ v \ Ú^§ZÛ ��ë$� | [÷� }gT=T \ } àwã�\u[�`P \ `a���Ì[ x\ {g}�~�R \ `a� }�~�~ \z` �È}g|wv � | [7� _ ¥ \ | `�\ T à P \z` }�~�vw}g|w|yx\z` /Öl��Ö}g_�~�,9-���l \ |w{ \ |wv�~sx\ \ � � ~?P \z`È Ý\z� � \z`�� c k v/ lV�Ö}g_�~�,:- �glñ�­�Ói �;,­lVb�����W��gl \ [ P \ `lÈ Ý\z� � \z`�� c/ l8�Ö}g_�~�,:- ��l��­�@i·�;,<2 �g¸ä�| |w} [�\ i�e N Ú^§$Û�P \ ¾ }g| � [�\ _�~?v���RU| � PS_ ` RU}g|�¸�är|Ë·ox\ ~�R ÅM\ ¾ ��� RSP \ T \ | [ ]:_ \ ` �ÍRSv \ | [ R ÅM\ Ý� P �` }g_ `�¼4���Ì[ x\ {g}�~�R \ v \ P �����Ì[ x\ {g}�~�R \ v \z`ò\ | `�\ T à P \z` }�~�vw}g|w|ªx\z` lVvw}g| [ P \z` } à�ã�\ [�`ò` }g| [ P \ ` /�l=,)-©��l\ [ vw}g| [ P \z`kÈ Ý\z� � \z`�` }g| [ P \z`�� �w�MPSR �z�Ì[ RS}g| `�� ~�}gR `�`�� | [�\z`

¬0e ��LVN / W ¬ç�Îh4¬1 W�¸�¸�¸uW�¬"/�jrW ¬�±ae �@N ª�Ü�d��W��m�ÔW ���¤�£�', W`��Ì[ R ` ¾ � R `�� | [�� _ ¥ v \ _ ¥ � }g|wvwR [ RU}g| `�` _wRµ· � | [�\z` e� jª�È}g_�~ [ }g_ [ �Ml��u�¤���',­l8¬�± \z`�[ _w| \?� �w�MPSR �z�Ì[ RS}g| � }g| `�[¨� | [�\ h(v \ · � P \ _�~��7}g_ �dj�}g_å_w| \�w~�} ã�\z� [ RS}g|!f ª c�l��u�ái�� Æ Ìc j��È}g_�~ [ }g_ ` ���lW�*�Ìl����¤��?> �K�U�',­l ` R�¬�± � ��f ª c � \u[ ¬�± � ��f ª c � l � PS}�~ ` i ?>ái8�̸ä�|åvªx\ Å |wR [ _w| \ |wvw} ¾ }g| � [�\ _�~�t=e N � }gTmT \�` _wR [ ¸8är|ç�Ö} `�\ tÈh /8jf� /64f�l \u[ �È}g_�~[ }g_ [�\�È Ý\z� � \ ¬0e � N /çv \ lM}g|vªx\uÅ |wR [ tÈh4¬�jªe �?4aªN /64f�� � ~

tÈh4¬�jzh`Á/ W�¸�¸�¸�W Á��?4a¨jf�Îh4¬­h`Á/zW�¸�¸�¸�W Á��÷j�W Á��?4a�j �­}g_�~ [ }g_ [ Æ l Æ � ��l8}g|èvyx\ Å |wR [ v \z` Tm}�~��M�wR ` T \z`� Ĭ �� Ĭ � �?4a Ä� � �� � ~¬ v� h`Á/zW�¸�¸�¸uW ÁN�÷jf�>h`Áj W�¸�¸�¸uW ÁN�ÁW�bÌjrW br�Ó��W��ÔW � ��h`Á/�W�¸�¸�¸uW ÁN�ÁW ÁN��4a�jo�Îh`Á/zW�¸�¸�¸�W Á��÷j�W\ [ }g|å·ox\ ~�R ÅM\a� _ `�` R [Ìú} [ ]:_���}g|èvyx\ Å |wR [�� RS| ` R^_w| ��ë PSRU|wv�~ \ ¾ }g| �u[ }�~�R \ P

� Ĭ � Ĭ t Ä� �v � | ` `��Ì[ R ` ¾ � R `�� | [�� _ ¥ � }g|wvwR [ RS}g| ` v \ P � �w~�}��È} ` R [ RS}g|¡ÊÁ¸ Y ¸dí�}gT=T \ \z`�[���` �M�ªx\ ~�RU]s_ \ h��M_wR ` ]s_ \� \ | \z`�[ _w|ç} à�ã�\ [ÉÅ | � P,jul�}g| \ |çvªx\ vw_wR [ ]:_ \ \z`�[ _w| \÷���Ì[ x\ {g}�~�R \�[�\z`�[ l \ [ if_w| ¾ }g| �u[�\ _�~ [�\z`�[ ¸

�.� ð

Page 111: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

ô E;E�,Ê68:U&'õ�,A@ ö-÷ ,�%G#4õ�>@%�&G.5>W*5,ÊH8¥CBd#968:;>@(Ï,76 *5>@% E'D ,�*u.§,/.uõ�>D¥�>Dõ�*8ù,/¥�&'.§>W*�&G#968.1I¨XØ-XjOTM^ü ì o îSI*í`Ø!M ìtývþ/ý�ÿ þ � ý

E ³(±8³ är|¯|w} [�\ h � ¾ ¸ X ¸S�g�djGF P �è���Ì[ x\ {g}�~�R \ v \z`°` RUTm�MP \ ¥ \z` l ���Ì[ x\ {g}�~�R \ vw}g| [ P \z` } àwã�\u[�`?` }g| [ P \z`\ | `�\ T à P \z` ³�/ �Ï�d��W��gW�¸�¸�¸¨WH,a�ZlI,J- ��lfT�_w|wR ` v \ P_��}�~�v�~ \ | �Ì[ _�~ \ POl \ [ vw}g| [ P \z`YÈ Ý\z� � \z`*` }g| [P \ `�� �w�MPUR ���Ì[ RU}g| `ò� ~�}gR `�`�� | [�\ ` ¸ ¶ �Ô�z�Ì[ x\ {g}�~�R \ v \ `�\ | `�\ T à P \z`�` RSTm�MPUR � R � _ ¥ \z`�[ P �7���Ì[ x\ {g}�~�R \ ¸F v \z`�w~sx\ ¾ � R `��z\�� _ ¥ ` _�~%Fٸ­}g_�~K,0-@� \u[ �!�ái��',­l�}g|�|w} [�\%� c/ eª³�/ s �N ³�/�P_�Í_w|wRS]s_ \ RU| ã�\z� [ RU}g| � ~�}gR `�`�� | [�\ ]:_wRÈ| \�w~ \ |wv� ��` P � · � P \ _�~òi�¸V­}g_�~?,0-©��lw}g|åvyx\ Å |wR [ _w| ` }g_ `�¼ �w~sx\ ¾ � R `��z\�� _+¬�³�/èv \ ³�/Ëe¬1³�/m� L�NMÈcOM1/ èUë � c/ W ,)-@�ÔW \ [ ¬�³ü����� �ä�||w} [�\ iP/åeA¬�³�/ÔN ³�/çP_�ÍRS| � PU_ ` RS}g|�l \ [ }g|åvªx\uÅ |wR [ t����.iQ/+�R,)- �!�Z¸Â­}g_�~%,S-¿� \ [ ­��>��W��gl�}g| � _w| ��� ~�~�x\7��� ~ [ x\z` R \ | v � | ` ¸F lÖvw}g| [÷[ }g_ [�\z` P \ `�È Ý\ � � \ `?` }g| [v \z` T=}g|w}gT=}�~��M�wR ` T \z` e ¬�³�/ ÄUTHV=W hYX �[Z ��

Ðc W¬�³�/ ® ³â

Ð c W h V �³�/ Ä V=W hYX �[Z �� ³�/ ® ³â �ä�|�x\z� ~�R [ ³�/ ® �K­��]\�¬�³�/ ® ³ïy�?³�/�æ ��^ W ¬�³�/ ® ³ï�l \ [ }g|å|w} [�\�_/ k ê eª³�/ ® �K­��]\�¬�³�/ ® ³ïòLÈN ³�/ ® ³âP � È Ý\ � � \ RS|wvw_wR [�\ � � ~�P \0�z� ~�~sx\0� }gT=T7_ [¨�Ì[ R ¾ � R ¼ v \z`�` _ ` ¸ ¶ \ `CÈ Ý\z� � \z` �_/ k ê ` }g| [ v \z` T=}g|w}gT=}�~ ¼�M�wR ` T \z` l \ [ }g|vªx\ Å |wR [ O0�����R/ k ê �R,)-À��WS­��Ó��W^�m�Z¸ä�|0~ \ |Z·Z}gR \ Ý�a`cb ±5d �È}g_�~rP \z` |w} [ RS}g| ` v \ �w~�}��w~�R�x\ [ x\z` v \ ~ \ POÝ\ · \ T \ | [ Ý� v�~�}gR [�\ }g_ Ý� { � _ � � \h � � � �MR [ ~ \ ¨ lÖ� � ~ � {�~ � �M� \ ¦gju¸^ä�|Ë~ � �w� \ PSP \ ]s_���_w| \7Åwà ~ �Ì[ RU}g|�v \Aea� | \ `�[ _w| T=}�~��M�wR ` T \ v \ ¸F]s_wRÉ·ox\ ~�R ÅM\ P � �w~�}��w~�R�x\ [ x\ v \ ~ \ POÝ\ · \ T \ | [ Ý� v�~�}gR [�\ ~ \ P �Ì[ Rµ· \ T \ | [ Ý� Ok¸oär|á|w} [�\gf ¸h P � � P ��`�`�\v \z`�È Ý\ � � \ ` v \ ¸F ¾ }�~�T x\z\ v \z` T=}�~��M�wR ` T \z` v \ P � ¾ }�~�T \ ¬ �?f8i�l�}^Ý_ iò·ox\ ~�R ÅM\ P � �w~�}��w~�R�x\ [ x\ v \~ \ POÝ\ · \ T \ | [ Ý� { � _ � � \ ~ \ P �Ì[ RU· \ T \ | [ Ý�m[ }g_ [�\÷Åwà ~ �Ì[ RS}g|0v \Ge?� |�l \ [ }^Ý_!f�·ox\ ~�R ÅM\ P � �w~�}��w~�R�x\u[ x\ v \~ \ POÝ\ · \ T \ | [ Ý� v�~�}gR [�\ ~ \ P �Ì[ RU· \ T \ | [ Ý� t8¸n�oqpØ1JNI5rØ~Ù¢ØaE ³#Ûȳ hPir_wRUPSP \ |8ju¸ É �ã;<�"�U$<VW(6� [$ ¸F �A?BC$�")�1�@$o��"_6��5;�"_�16'$³?W$�;<�"�U$<VW(*6� [$�?W$oBC(�?@�$��:$��2�$�6�B U$ $'&a3@6<(<3�6'$'&Þ?W(*�S"p�:$���U$�h>�1 #im��:$��@;'$��²2�� _c��:$���� (*�S"^�:$�� U$��KU$�BC$��S"`��?1$ f ¸h &^�:$��k,4c�6<�"T D(*���o��(*�S"�:$��0,4c�6 �m"T [(����?W$�jü��~&)$�"4�:$��Y;'(%,4c>6 �"_ [(*���b� (*�S"²�:$��7BC(�@(*BC(*6D3N\W ]��BC$���?1$ ¸F FrtsuSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� Ùª}gRµ~ `kb ±ld l � � � �MR [ ~ \ ¨ ¨ lk� � ~ � {�~ � �M� \ ��l [ �yx\ }�~�Ý\ T \ ��lª}g_ `nm n d [ �ªx\ }�~�Ý\ T \�g¸¹��¸U�g¸

�.� �

Page 112: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

� uSvÞ}§|��7 §upoY�rq�� × Rtsvu f vªx\z` RS{g| \ P �=�z�Ì[ x\ {g}�~�R \ v \z`�\z` � ���z\z`�[ }��È}gPS}g{gRS]:_ \z` l8}g|� \ _ [ vyx\ Å |wRU~r_w|¾ }g| � [�\ _�~mv \ 6aU$���= ]�>�m"T [(�ß"%(<35(*�:('V _h��5$ ¸F N svu�f�lIw RN � w��¹l � vwT \ [�[�� | [ _w| � v ã }gRS| [ Ý� v�~�}gR [�\x e5svu�fèN ¸F h ¾ }g| � [�\ _�~ $�����$�B�c��:$¡�� `BÞ3��= [;� [����� #�!V�!�= [$�6 ju¸Mä�|åvªx\uÅ |wR [�fzyN{P| w  w¢}svu�f � }gT=T \ P �� P ��`�`�\ v \z`�� �w�MPUR ���Ì[ RS}g| `�� }g| [ RS|$_ \z` ¬0e6w N ~ [�\ PSP \ ` ]:_ \ PT� � �w�MPUR ���Ì[ RU}g|rRS|wvw_wR [�\�� �Nw N � �N~ ` }gR [à R ã�\ � [ RU· \ l \u[a[�\ PSP \ ` ]:_ \ �È}g_�~ [ }g_ [ �È}gRS| [ Á¡v \ wÒlÖP \ ` T=}�~��M�wR ` T \ ` v \ ` {�~�}g_�� \z` v��Í�w}gT=} [ }��MR \� c�h�w0W ÁÖj�N � c�hQ~oW�¬­h`Á�j�jul­RS|wvw_wR [�` � � ~è¬�l ` }gR \ | [ v \z` R ` }gTm}�~��M�wR ` T \z` lf�Ö}g_�~*i�-Q�g¸�ä�|À� \ _ [T=}g| [ ~ \ ~�]s_ \�f)yN{P| � x s h f ¸h j \ [ ]:_ \Cf ¸h � �¨�m� s h f)yN{P| j�¸ ¤ |0}g_ [ ~ \ lÈP \z` ¾ }g| � [�\ _�~ ` RS|wvw_wR [�`\ | [ ~ \ P \z`ò���Ì[ x\ {g}�~�R \z` PS} �z� PSR ` x\z\z`f s ¸h ¸FQLVN f s yN{P| svu f \ [ f s yN{Q| svu�f�LVN f s ¸h ¸F` }g| [ v \ ` x\ ]:_wRU· � P \ | �z\ ` v \÷���Ì[ x\ {g}�~�R \z` ]s_ ��` R ¼ RU|$· \ ~ `�\z` PT��_w| \ v \ PT� � _ [ ~ \ hÑ·Z}gRU~É� � ~ \ ¥ \ Tm�MP \A`c��� d l� � � �MR [ ~ \ Ù ¨ ¨ l�� � ~ � {�~ � �M� \ �Zju¸

E ³U´�³ ä�|å|w} [�\ Fz4@h�~ \z` �^¸vF s jyP �7` }g_ `�¼4���Ì[ x\ {g}�~�R \ v \ F ¾ }�~�T x\z\ v \z` T=}g|w}gTm}�~��M�wR ` T \z` h�~ \z` �^¸v \z` x\ �MRUT=}�~��M�wR ` T \z` jov \ FÙ¸wär|�~ \ T � ~�]s_ \ ]:_ \ Fz4¡��F � h � ¾ ¸ \ ¥ \ Tm�MP \ ð ¸S� � j�¸�ä�|ç· �Á\ ¥ �MPU}gR [�\ ~P �è`�[ ~�_ � [ _�~ \ v \=���Ì[ x\ {g}�~�R \ v \ µ \z\ v ë vw_ [ ~�RU�MP \ [ hUF$®�WNF$®s WNF$®4 jÔh�·Z}gRµ~ `�� J d l�vªx\uÅ |wR [ RU}g|Ò¦s¸ » ¸U�dj�Ö}g_�~èx\ [ _wvwR \ ~�P �Ô���Ì[ x\ {g}�~�R \ �F ® F v \z`�\ | `�\ T à P \z`�à R ` RUTm�MPSR � R � _ ¥ hÑ·Z}gRU~ � _ `�` R ` E�� d ju¸ä�| `�\Å ¥ \ _w| \ | [ R \ ~=�Ö} ` R [ R ¾ ,­l \ [ }g| |w} [�\g��� /¿eX¸F N ��,§Ìgl3w RN w3/ÖloP \ ¾ }g| �u[�\ _�~v�� x\ · � PU_ �Ì[ RS}g| \ |�³�/Ö¸wä�|*· � vªx\ Å |wRµ~Év \ _ ¥ ¾ }g| � [�\ _�~ `�� /çe0¸FØN��t,§Ì \ [�� /çe0¸FØN��t,§Ì � }gT=T \` _wR [ ¸wä�| � }g| ` RSv�Ý\ ~ \ ³�/ � }gT=T \ _w|�} à�ã�\ [ v \ F s h�~ \z` �^¸8Fz4kjul \u[ }g|�|w} [�\ ¬ Z F0/ hÑ~ \z` �^¸!¬��vF0/MjP ��` }g_ `�¼4���Ì[ x\ {g}�~�R \ �MP \ RS| \ v \ ³�/�¯lF s h�~ \z` �^¸8v \ Fz4 » ³�/MjÉvªx\uÅ |wR \ � � ~prq�h_¬ Z F0/8jk�@prqsh+³�/�¯lF s juL��:h+³�/ÈW�� ^ W j��ÙhÑ~ \z` �^¸�prq�h_¬��1F0/8jf�@prq�hUFz4 » ³�/MjuL��:h+³�/ÖW�� ^ W j��Hj��ä�||w} [�\G� /çe1¬ Z F0/mN F hÑ~ \z` �^¸8�v/èeA¬��1F0/=N F jÉP \ ¾ }g| � [�\ _�~ � }gTm�È} ` x\¬ Z F0/mN ³�/²¯lF s N ³�/�¯lFØN F h�~ \z` �^¸�¬��vF0/mN Fz4 » ³�/=N F » ³�/mN FÎju�¤ | Å |�l ` R�w \ `�[ _w| \ | `�\ T à P \a` RSTm�MPUR � R � POl�}g|ç�Ö} `�\� /Yw �@PURSTLVN ��y/ w \ [ � /Yw ��PSRUT� L � y/ w �ä�|~ \ T � ~�]:_ \ ]:_ \ P \ ` ¾ }g| � [�\ _�~ `�� / \ [�� /è� \ _�· \ | [�ú\ [ ~ \ vyx\ Å |wR `�àÈ\�� _ � }g_����MPS_ `ò` RSTÔ�MP \ T \ | [ l��� ~ � /Yw � �N� /K�v� / s w �ÎhQ�v� / s w j�/0h(}�Ý_��v� / s wØvyx\z` RU{g| \ P \ h�,�LÙ�dj ¼ Ý\ T \�` ]s_ \ P \ [�[�\ v \ wh�·Z}gRµ~ `k��� d l � � � �MR [ ~ \ ¨ ¨ l�� � ~ � {�~ � �M� \ �Zj�j \ [�� /Yw � éfêwë ¸h h_¬�³�/ÖWHw ju¸¶ \z` ¾ }g| � [�\ _�~ ` ¬ Z F0/�N ³�/²¯lF \ [ ¬��1F0/�N F » ³�/RU|wvw_wR `�\ | [ v \z` Tm}�~��M�wR ` T \z` v \ ¾ }g| �u¼[�\ _�~ `�� /mN �N� / \ []�N� /mN � /Öl \ [ }g|Ô·ox\ ~�R ÅM\ ]:_ \ P \ �w~ \ T=R \ ~ \z`�[ PT��RUT � { \ � � ~ �N� /mv \ P_��RU| � PS_ ` RS}g|��� |w}g|wRU]s_ \ �v� / s N � ¸h l \u[ ]s_ \ P \÷`�\z� }g|wv \z`�[ RS|wvw_wR [ � � ~�PT��RU| � PS_ ` RU}g|ã¬�³�/ÔN ³�/ȸײØ!ÙÚÙ¢ØpE ³,Õȳ4R ( #" æ¯eM� N � � �1� BC(*6[3�\W ]��BC$�?W$ ¸F F � (*�!6�;�\~�Ah>�S$ ,�-¿� &b(*� �X�!�g;<�6�6aU$;'(*BYB³�1"8�"_ û2

hO«�/Mj� /�� ÄÐ� /�æ � /

Ð æ8/� /��Ë� Ä � �/ Wh��! 4 #��?�! #")�!�@$��'3A3��= [;'�"T D(*� Q�/�e � /w� � æ�¡ W ÷ � /çN � �/ FaÝÞ�:(*6�� æ $���")�1�ÚBZ(*�@(*BC(6[3N\W #��BC$��� $�"²��$��!�:$�BC$��S"²�� �35(*�!6�"8(*�!" ,0-À� &²���û�'3��= [;'�"T D(*� Q"/ $���"² #��d�$';�"T #i�$�FrtsuSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� í \ P � ~sx\z` _wP [�\ v \z`É� }g| ` RSvªx\ ~ �Ì[ RS}g| ` vw_*� � ~ � {�~ � �M� \ ��¸Í�wl � � � �MR [ ~ \ ¨ ¨ v \�`c��� d ¸�g�.�

Page 113: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

n�oqpØ1JNI5rØ~Ù¢Ø�E ³ÓQ�³NÉ �ü;<�"�U$<VW(*6� [$ �F ® F �A?BZ$�"/�!�@$k��"_6��5;�"_�16'$b?W$b;<�m"�U$<V1(*6� [$Þ?W$^BZ(�?D�$��:$��§2�$�6�B U$ $'&?W(*�5")�:$���;'(%,4c�6<�"_ [(*���7��(*�S")�:$��oBC(*��(*BC(*6D3N\W ]��BZ$��<&Þ$�")�:$��qU$�h��! #i��:$��@;'$��02>� _c��:$��7�:$��oBC(*6D3N\W ]��BZ$��wîN ~ "%$�� �üh��S$Þ35(�16o"%(*�1" Æ -@� &)�:$³BC(*6[3�\W ]��BC$ w�� kn¢ N ~N� kn¢ ��( #")�1��$ U$ h��1 `i��:$��@;�$²2>�m _c��:$?W$ ¸F F R p(*�Ú��(*"8$l3N(*�16 Æ -¿� & � �Ke �F ® F N ¸F �:$k2 (*�@;�"%$��!6 w RN h+³�/ RN � ��w ¢�k /wj $�"�N� �âe �F ® FQN ¸F �:$²2�(�@;�"%$��16 w RN w�� kn¢ &Þ(*�Ú�â�!� BZ(*6[3N\1 ]��BC$ü?W$42�(*�@;�"%$��!6'� �N� � N � � & #��?m�1 #"-3S�m6ü� (*� ��@��:(<V�5$ï?kU$ ;�6� `"��m�Ú�S�1B U$�6<(�£ ¸��wl $�"b�:$��p,4c�6 �m"T [(���Z?W$ �F ® F ��(*�S"l�:$��CBC(*6�ä3N\W #��BC$�� w N ~ "8$�� �³h��5$)35(*�!67"%(*�!" Æ - � &0�:$�BZ(*6[3N\1 ]��BC$�?7� $�����$�B�c��:$����� #BÞ3��= [;� _��m.

wü� k¤¢ LVN ~5� kn¢ ® m�¥I¦ � ��w��(* `"0�!�@$0,)c�6 �"_ [(*�¢?W$�jY�m��FrtsuSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� í \ P � ~�x\z` _wP [�\ vw_ [ �ªx\ }�~.Ý\ T \ ¦s¸ » ¸¹¦�v \ `�� J d lMvw_0P \ T=T \ £ ¸¹¦sl \ [ v \z` v \z`�� ~�Rµ� ¼[ RU}g| ` v \z` ¾ }g| � [�\ _�~ `�� � \u[�� ��vw_|$_wT x\ ~�} £ ¸��w¸E ³#�ȳ ä�||w} [�\�� e�FØN F ® F P \ ¾ }g| � [�\ _�~�vwR � {g}g| � PO¸ ¨ P�RS|wvw_wR [ _w| ¾ }g| � [�\ _�~

�y e �F ® FQLVN ¸F W wBR L8N h+³�/!RN wA/ k /�j WP \ ]s_ \ P � vwT \ [ _w| � v ã }gRU| [ Ý� v�~�}gR [�\

� y e ¸F LVN �F ® F W wÃR LÈN h�h+³³�ÁWd³�/Mj@RN é­êwë ¸h h+³Y� ® ³�/ÈWHw j�j �H7IKJ5L0JNM�O#PKO#JYX§E ³Ó��³§R (* #" w N ~ �!��BC(*6[3�\W ]��BC$7?Ê� $�����$�B�c>�:$��bc� #�� #BÞ3��= D;� _��m.Y"%$���h��S$035(*�!6l"8(�1"Æ - � &Þ�:$ZBC(*6D3N\W ]��BZ$ï?Ê�Ë$�����$�BCc��:$��Y�� #BÞ3��= [;� _��m. w�� kn¢ N ~N� kn¢ � (* #"b�!�@$ U$ h��1 `i��:$��@;�$p2>� [c��:$�FÝÞ�:(*6�� � y w N � y ~ $���"²�!�@$qU$ h��1 `i��:$��@;�$e2>� _c��:$ FrtsuSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� ä�|�· \ _ ¥ T=}g| [ ~ \ ~y]s_ \ P \ ¾ }g| � [�\ _�~ � y ~ \z` � \z� [�\ P \z` x\ ]s_wRU· � P \ | �z\z` ¾ � R à P \z` vw_[ �ªx\ }�~�Ý\ T \ £ ¸ X ¸ÊÙª_¯]:_ \=[ }g_ ` P \z`Á\ | `�\ T à P \z`Áà R ` RUTm�MPSR � R � _ ¥ ` }g| [7� } Åwà ~ � | [�` �Ö}g_�~ �z\u[�[�\*`�[ ~�_ �u¼[ _�~ \ v \=���Ì[ x\ {g}�~�R \ v \ T=}sv�Ý\ P \z` ¾ \ ~�T x\z\ l�P \ P \ TmT \ v \3ea\ | £ ~�}R¨ò| h�·Z}gRU~ `©� J d l^P \ T=T \ �g¸S�g¸S� » jT=}g| [ ~ \ ]s_��ÍRSP ` _ �m[ v \ ·ox\ ~�R ÅM\ ~÷]s_ \�� y ~ \z` � \z� [�\ P \z`r� } Åwà ~ �Ì[ RS}g| `r[ ~�RU·sR � P \z` lÈ}g_ \ | � }�~ \ l^v \ T �H¼|wROÝ\ ~ \ x\ ]s_wRµ· � P \ | [�\ lg]s_ \?� y ~ \z` � \ � [�\ P \z`fÅwà ~ �Ì[ RS}g| ` ¸ × }gR [ fåe5w N ~ _w|ÔT=}�~��M�wR ` T \ v�� \ | `�\ T à P \z`` RUTm�MPSR � R � _ ¥ ¸�­}g_�~ Æ -â��l�P �XÈ Ý\z� � \ h � y w j � kn¢ N h � y ~Áj � kn¢ ® m�¥ X � ¦ � � � y w ` ��RUv \ | [ R ÅM\�� _T=}�~��M�wR ` T \r` _wRµ· � | [ h�·Z}gRµ~ £ ¸Í�$jé­êwë h+³³�ÁWHw jªLVN é­êwë h+³Y�ÁWª~7j ® _-avb à ��^ ¥ k ¦ Ç é­êwë h_¬�³³�ÁWHw jh(}^Ý_Ëé­êwë vªx\z` RU{g| \ P \�« }gT RU| [�\ ~�| \ v \ ¸F¡ju¸s � ~ � }g| ` x\ ]s_ \ | [ l ` Rf \z`�[ _w| \�Åwà ~ �Ì[ RU}g|çv \�ea� |�l � y f\z`�[ _w| \7Åwà ~ �Ì[ RU}g| h \ |Ë· \ ~ [ _Ëv \ P � �w~�}��Ö} ` R [ RS}g|Ëvw_�� � ~ � {�~ � �M� \ �w¸¹��l � � � �MR [ ~ \ Ù ¨ lÖv \�`c��� d l \ [v \ P � v \z`�� ~�RU� [ RS}g|v \z`�Åwà ~ �Ì[ RU}g| ` vw_ [ �yx\ }�~�Ý\ T \ £ ¸ X ju¸

E ³Ó´�³Ô× }gR [ «©_w| \ � \u[ R [�\o���Ì[ x\ {g}�~�R \ ¸Ìär|Á~ � �w� \ PSP \ P �ò� }g| `�[ ~�_ �u[ RS}g|7vw_ ¾ }g| � [�\ _�~fv \ £ }g_ `�ÅM\ PSv ¼Pe?� |æ y e÷é­êwë hO«÷W5¸F jèN �F ® FÙ¸ ¶ \ ¾ }g| � [�\ _�~çv���RS| � PS_ ` RU}g| �z� |w}g|wRS]s_ \ içe�F N Ú�§$ÛÔvyx\ Å |wR [ P \¾ }g| � [�\ _�~r| \ ~ ¾­¬ e$Ú^§$ÛyN ¸F � � ~ ¬ �¿i y h � ¾ ¸ \ ¥ \ Tm�MP \ ð ¸U�d¦gju¸8­}g_�~ [ }g_ [�\ � \ [ R [�\°���Ì[ x\ {g}�~�R \o¶ l}g| � _w| ¾ }g| � [�\ _�~rÊ º e�F »�¶ N ¶ h(}^Ý_aF »�¶ ��F » ¬ ¶ ��i h ¬ ¶ jyvªx\ Å |wR^� � ~Ê º h+³�/ÖW�æÈjk��æ�h�,�j W h+³�/ÖW�æe§³�/ÔN ¶ jyn�p�qwh[F »�¶ j

�g�g�

Page 114: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

h � ¾ ¸V�w~�}��Ö} ` R [ RS}g| ð ¸ X h ? j�jul \u[ vw}g| �Á\ |Ë� � ~ [ R � _wPUR \ ~zlÈ}g| � _w| ¾ }g| � [�\ _�~aÊ ìI® e1F » « ® N « ® ¸Öär|\ |vªx\ vw_wR [ _w| ¾ }g| � [�\ _�~é­êwë hO«÷W ¸F jf� �« ® ® F à � ¥�® h }¯ Ç �L�LMLwLwL8LwLMLwL N F » �« ® ® F �

× RÊfáe°F ® F N F vªx\z` RU{g| \ P � �w~ \ T=ROÝ\ ~ \ �w~�} ã�\z� [ RS}g|�lñ}g| � _w|ÒR ` }gT=}�~��M�wR ` T \ v \*�z�Ì[ x\ {g}�~�R \z`F » �« ® ® F � �F ® F » f y ¬ « ® l \ [ }g|Á} àw[ R \ | [ P \ ¾ }g| � [�\ _�~eæ y � }gTmT \ª� }gTÔ�Ö} ` x\ v \ hOÊ ì ® ® � h j y\ [ vw_ ¾ }g| � [�\ _�~òv���}g_ à PUR �F ® F » f y ¬ «t®òN �F ® FÙ¸wªPS_ `�\ ¥ �MPSR � R [�\ T \ | [ l ` RÈJ \z`�[ _w| ¾ }g| �u[�\ _�~v \ « · \ ~ ` ¸FÙl \ [�` R Æ - ��lM}g| �

h`æ y JÁj � kn¢ � æ^ ¥ �± ì ® J=h(æ�h

Æ j�jk� æË ¥ ±A²k²³²¤± Ë � J*hgÁ��÷j �¤ | � }gTm�È} `�� | [ P \ ¾ }g| � [�\ _�~bæ y � · \z� P \ ¾ }g| �u[�\ _�~ � y lw}g|åvyx\ Å |wR [ _w| ¾ }g| � [�\ _�~�w}gPSRSTLgLwLdN ���w}gPURSTLgLwLdN ì � �y æ y eMé­êwë hO«÷W5¸F j�LÈN ¸F �× }gR [ ÒÁe´F ® F N F P ��`�\z� }g|wv \ �w~�} ã�\z�u[ RS}g|�¸ × RsJ \ `�[ _w|7} à�ã�\ [ v \ é­êwë hO«÷W ¸F julÌP \z` T=}�~��M�wR ` T \ `��� |w}g|wRU]s_ \z` J*hgÁ jkNQPSRUTL8N Jml²Á�n�p�q�«ÔlMRS|wvw_wR `�\ | [ �Ö}g_�~ � � � ]s_ \ Æ - ��_w|T=}�~��M�wR ` T \

hTæ y JÁj � kn¢ LVN PURSTL8N J �Îh�Ò y PURSTLVN J°j � kn¢ Wv���}^Ý_ç_w|åTm}�~��M�wR ` T \ æ y J¿N Ò y PSRUTLVN Jm¸8ä�|è·ox\ ~�R ÅM\ ]:_���}g|çvyx\ Å |wR [�� RS| ` R�_w|èT=}�~��M�wR ` T \ v \ ¾ }g| �u¼[�\ _�~ ` æ y NñÒ y PSRUTLVN lM}�Ý_åPURSTLVN eMé­êwë hO«÷W ¸F joN ¸FQvªx\ ` RS{g| \ P \ ¾ }g| � [�\ _�~�PSRSTmR [�\ RU|wvw_ � [ RU· \ ¸Èí�}gT=T \� y Ò y �>h�Ò � j y ��� ¸h lM}g| \ |vyx\ vw_wR [ _w|T=}�~��M�wR ` T \ v \ ¾ }g| �u[�\ _�~ ` �w}gPURSTLgLwLdN NQPSRUTL8N h � ¾ ¸ ` E�� d ju¸H7IKJ5L0JNM�O#PKO#JYX�E ³�±s²^³ h £ }g_ `�ÅM\ PUv ¼[ea� |8ju¸ R (* #" JóN ù �!�¤BC(6[3N\W #��BC$C?W$ é­êwë hO«aW ¸FËj &^"%$��0h��5$35(*�!6�"%(*�!"k(�c_d�$�" Á ?W$ « & J=hgÁzjkN ù hgÁ j ��(* `"-�!�@$ U$�h��! #i�m�:$��@;'$f2>� [c��:$�F@ÝÞ�:(*6�� �w}gPURSTLgLwLdN J¿N �w}gPSRSTLgLwLdN ù$���"²�!�@$qU$ h��1 `i��:$��@;�$e2>� _c��:$ FrtsuSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� ­}g_�~ � � � ]s_ \ Æ -À��læË ¥ ±A²k²k² ± Ë � J=hgÁ��÷j�LVN æË ¥ ±A²k²³²¤± Ë � ù hgÁ��÷j\z`�[ _w| \r` }gT=T \ v�� x\ ]:_wRU· � P \ | � \z` ¾ � R à P \ ` v�� \ | `�\ T à P \z`É` RSTm�MPUR � R � _ ¥ l \ [É\z`�[ vw}g| � _w| \ x\ ]s_wRU· � P \ | �z\¾ � R à P \ ¸ ¨ P ` � \ | ` _wR [ ]:_ \ æ y J N æ y ù \z`�[ _w| \ x\ ]s_wRµ· � P \ | �z\ ¾ � R à P \ v�� \ | `�\ T à P \ `÷à R ` RSTm�MPUR � R � _ ¥ l\ [ P_� ��`�`�\ ~ [ RS}g|è~sx\z` _wP [�\ vw}g| � v \ P � �w~�}��Ö} ` R [ RU}g| £ ¸ ð ¸E ³(±8±8³ × R�« \z`�[ _w| \ � \ [ R [�\a�z�Ì[ x\ {g}�~�R \ lw}g| � _w| ¾ }g| � [�\ _�~

S ìÜeÌÚ�§$Û » «ÎLÈN é­êwë hO«÷W�Ú^§$ÛCj W h ¶ N «?j@R LÈN hgÁ4RN ¶¡» Ázjh � ¾ ¸^�g�g¸U�dju¸ ¶ \ ¾ }g| � [�\ _�~�| \ ~ ¾�¬ eÌÚ�§$ÛkN ¸F RS|wvw_wR [ _w| ¾ }g| � [�\ _�~ \ | � }�~ \ |w} [ x\ ¬

¬ eMé­êwë hO«÷W�Ú^§$ÛCjÉLVN éfêwë hO«aWS¸F j ��g� »

Page 115: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

ä�| \ |vªx\ vw_wR [ _w| ¾ }g| �u[�\ _�~ � }gTm�Ö} ` x\ �w}gPSRUTLgLMLdN ¬ S ìÜe�Ú�§$Û » « N ¸FÚ�§$Û » « � ¥L&L8L�N é­êwë hO«÷W�Ú^§ZÛ�j µL&L8L(N é­êwë hO«aW5¸F j ¶¸·H¹�º©»L�LdNL L8LMLwLwL4N ¸F W\ [ _w|0T=}�~��M�wR ` T \ v \ ¾ }g| � [�\ _�~ ` �w}gPURSTLgL8LdN ¬ S ì N PSRSTLVN ¬$S ìò¸ � � � _ [ ~ \ � � ~ [ l8}g| � _w|0Tm}�~��M�wR ` T \v \ ¾ }g| � [�\ _�~ ` PSRUTLVN ¬ S ì N ¬ PURSTLÖN S ìɸ�ä�~�}g|å·ox\ ~�R ÅM\ ¾ ��� RSP \ T \ | [ ]s_ \a` R � ìÀeZÚ^§$Û » « N Ú^§ZÛ \ `�[P \ ¾ }g| � [�\ _�~rv��Í}g_ à PSROl8}g| � _w|�R ` }gT=}�~��M�wR ` T \a�z� |w}g|wRS]s_ \ PSRSTLVN S ì ¼LVN � ì�¸Èä�|Ë} àw[ R \ | [ vw}g| � _w|T=}�~��M�wR ` T \ v \ ¾ }g| �u[�\ _�~ ` �w}gPURSTLgLwLdN ¬ S ìÜLVN ¬ � ì �ײØ!ÙÚÙ¢ØzE ³(±�Ûȳ hPi�_wRSPUP \ |8j�¸ � (*�16o"%(*�!"Þ(�cTd�$�" h ¶ W¨Ê­j ?W$ Ú�§$Û » « �Õ(��� ¶ $���")�!�@$p35$�"_ #"8$ü;<�"�U$<VW(*6� [$$�" ʯe ¶ N « �!�³2�(*��;�"8$��16 &0�:$�BZ(*6[3N\1 ]��BC$�w}gPSRUTLgLwLdN ¬ S ìòh ¶ W¨Ê­jªLVN ¬ � ì�h ¶ W¨Êñj­� ¬ ¶$���"²�!�@$qU$ h��1 `i��:$��@;�$e2>� _c��:$ Fr suSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� ¶ \ Tm}�~��M�wR ` T \ �w}gPSRUTLgLwLdN ¬ S ìòh ¶ W¨Ê­j*N ¬ ¶ \ `�[ P_�ÍRST � { \ � � ~ � y vw_ T=}�~ ¼�M�wR ` T \ æ y ¬ S ì�h ¶ W¨Êñj­N Ò y ¬ ¶ vyx\ Å |wR��È}g_�~ Æ - �çehTæ y ¬$S ìòh ¶ W¨Ê­j�j ��½ ¢ � æË ¥ ±A²k²k² ± Ë � ¬ ¶¡» Á���LVN ¬ ¶ �>h�Ò y ¬ ¶ j ��½ ¢

� � ~òP \z` T=}�~��M�wR ` T \z`É��� |w}g|wRS]:_ \z` ¬ ¶¡» Á��@N ¬ ¶ h�·Z}gRU~ £ ¸ � j�¸ ¤k¥ �MPUR � R [�\ T \ | [ l��È}g_�~�,)- ��lhTæ y ¬ S ì�h ¶ W¨Ê­j�j ��½ /Á� �:h(§ W�æ�W Á jÞ�d§ �Ó§!�òN ¾_¾_¾ZN §l/èn¯h ¬ ¶ j�/ÈWÁ � Á��òN ¾_¾_¾gN Á���nÙh ¬ « ® j%��W�æ0eZÊ�hO§l/MjfN Á���n¯ w¢µhO«?j�� W\ [ PT� � �w�MPUR ���Ì[ RU}g|ÒhTæ y ¬ S ì�h ¶ W¨Ê­j�j ��½ /=N h¢Ò y ¬ ¶ j ��½ /�� h ¬ ¶ j}/å|�� \ `�[r� _ [ ~ \ ]:_ \ hO§ W�æ�W Á j�RN § ¸¶ \ T=}�~��M�wR ` T \ hTæ y ¬ S ì�h ¶ W¨Êñj�j ¢ ½ /�N h�Ò y ¬ ¶ j ¢ ½ / ` ��RUv \ | [ R ÅM\ vw}g| � Ý� P �YÈ Ý\z� � \æç � ±�²k²k²n± ç W ¬ h(« ® » Ê�hO§l/wj�jyL&L8L�N æç � ±A²k²k² ± ç W ­ ¸h W` }gT=T \ v \z`4È Ý\ � � \ ` ¬ h(« ® » Ê�hO§l/Mj�jfN ­ ¸h l:P \z` ]:_ \ PSP \z`y` }g| [ v \z` x\ ]:_wRU· � P \ | �z\ ` ¾ � R à P \z` h��w~�}��^¸s¦s¸ ð jul��� ~rP \z`����Ì[ x\ {g}�~�R \z` « � » Ê�hO§l/wj ` }g| [�� }g| [ ~ ��� [ RSP \ ` h��w~�}��^¸�¦s¸U� X jul ¬ ³â���³ï�l \ [ P \ ¾ }g| �u[�\ _�~÷| \ ~ ¾� }gT=T7_ [�\7� _ ¥ �w~�}:vw_wR [�` ¸� � ~ � }g| ` x\ ]s_ \ | [ hTæ y ¬ S ì�h ¶ W¨Ê­j�j ¢ ½ /N h�Ò y ¬ ¶ j ¢ ½ / \z`�[ _w| \ x\ ]:_wRU· �H¼P \ | �z\ ¾ � R à P \ l �z\ ]s_wR�� \ ~�T \ [ v�� � �w�MPURS]s_ \ ~�P � �w~�}��È} ` R [ RU}g| £ ¸ ð l��È}g_�~ � }g| � PS_�~ \ ¸n�oqpØ1JNI5rØ~٢ؿE ³(±!à�³)É �Y35�6�"_ [$¡E'D � ¬ s f ¸h $���"p�!� �:( ;'��= ]�>�"%$��!6^2 (*��?A�BZ$��S"8��~2�(*6�"#&§2 (*6�"%$�äBC$��5"0���"T�!6aU$ FrtsuSvlw/xzy {@|@}~{��]wjxe� är|Ù· � ·ox\ ~�R ÅM\ ~7P \z`�� ¥ RU}gT \z` ¶ ÊÁl ¶ £ \ [ ¶ í h � ¸U�dju¸­ä�| `�� R [ ]:_ \�f ¸h \ `�[¾ }�~ [�\ T \ | [�`��Ì[ _�~sx\ \Á\ |0· \ ~ [ _�v \ P � �w~�}��Ö} ` R [ RS}g|¯�gl8� � ~ � {�~ � �M� \ ¦sl � � � �MR [ ~ \ ¨ v \�`cb ±5d l \ [ vw}g| �]s_ \ ESD P_� \ `�[É� _ `�` R(¸Mä�| \ |çvªx\ vw_wR [ RST=T x\ vwR �Ì[�\ T \ | [ ¶ ÊÁ¸ ¶ � � ¥ RU}gT \ ¶ £ ~sx\z` _wP [�\ ¾ ��� RSP \ T \ | [ v \z`�w~�}��È} ` R [ RU}g| ` ¦s¸ ð \ [ ¦s¸S� X ¸ × }gR [ ¶ Ĭ¼ ¼ ¼�½Ê «¾¾¾¿ �«�g�.�

Page 116: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

_w| [ ~�R � |w{gP \ª� }gT=T7_ [¨�Ì[ R ¾ v \ Ú^§ZÛul [�\ P$]s_ \ �È}g_�~ [ }g_ [ } à�ã�\ [ Ákv \ «ÔlHP \ ¾ }g| �u[�\ _�~ª¬ » Á�e ¶¡» Á�N « » ÁHlRS|wvw_wR [ � � ~�¬�l ` }gR [ v � | ` ESD ¸Vär| � _w| ��� ~�~sx\a� }gTmT�_ [��Ì[ R ¾�w}gPURSTLgLwLdN ¬ S ì�h ¶ W¨Êñj Ä

Ð�w}gPURSTLgLMLdN ¬ S ì�h4¬�j¬ ¶Ð ¬ ¬�w}gPSRSTLgLwLHN ¬$S ìòhg«*W��ñj Ä ¬ « �

¶ �7È Ý\z� � \ �w}gPSRUTLgLMLdN ¬ S ì�h4¬�j \z`�[ _w| \ x\ ]s_wRµ· � P \ | �z\ ¾ � R à P \ò\ |=· \ ~ [ _mv \ P � �w~�}��È} ` R [ RU}g| £ ¸S�.��l \ [ vw}g| �P \ P \ T=T \ £ ¸S� » RSTm�MPURS]s_ \ ]:_ \ ¬ ¬ \ `�[ v � | `�f ¸h l �z\ ]:_wR ��� �^Ý\ · \ P � vªx\ T=}g| `�[ ~ �Ì[ RU}g|�¸�ßsu=À suS|�uSx�Á@uSy ÃtÄ´Å�ÆtÇ}ÈIÇ}É ·HÊ_ËÍÌRÎ[¹©Ï�Ð}Ñ Ç�Ò�Ç�Ó¸Ô º�ÎUÏN¹©Õ×Ö_ÏNÎ Ô Ð�ØÚÙHÛ]ÙHÜ7ÙUÝRÞ�Ü+ß_àQÙHá[Þ�ÙPâ5ã�ä7å7ÝNæ�ç[à[åPèå7Ý_àQçUÜéá�æHèêæHë"ìIíUîïåPîïÛ�Ý�ð¤î+ç}î+æ�ðHå}à[ÜéåPè"ñ�ò�Î[·H»°ÎPó Ô º©ôÆ1õNõ ¹©º�ôUÕöóOº©·HÖ¸Ë�·×÷Rø1·H»°·×óO· õúù�û ¶¸Î[· Ô7ù¸ü Ãrý Ô ·úô ÇHþ ·HÖN÷ Ç Ñ�ÿ×Õ×Ö_Ë7óO·HÖêÐ��é¹�¹ Ç Ð �� à�à Ç Ð���� à Ò�Ç ò ÇöÉ Õ ÔÍÔ Õöó�Õ×Ö_Ï Ò�Ç Ñ ÇöÒ Õ׶N· � Õ×¹©ÏÎUÏ¸Ë Ç Ç Ð �� Ò� �¿ó Ð � õ¸Ô º©Ö Î Ô���� Î Ô ¹©Õ Ð �� à¿ó Ð õ¸õêÇ ó � � ��<� Ç Ã���ÅÆtǪÈIÇªÉ ·HʸËÍÌRÎ[¹©Ï�Ð � Ç�Ò�ÇªÈ Õ×ÖêÐêñOø8·H»­·×óO· õªù ¹�º�»­ºnó�Ë}Ðúô[·H» õ ¹�ÎPó�º�·HÖ_ËUЪÕ×Ö_Ï°¹©·úôUÕ×¹©º � ÕöóOº©·HÖ¸Ë ü Ð ��� Ò �<��� Ð � õ¸Ô º©Ö Î Ô���� Î Ô ¹©Õ Ð�� à � ÇÂ�����Å ý Ç ò�Õ � Ô º©Î[¹rÐ Ò�Ç � º©ËO»­Õ×ÖêÐ�ñ þ Õ×¹�ô[ʸ¹©Ê¸Ë1·×÷5÷ Ô Õ×ôPóOº�·HÖ_ËvÕ×Ö_Ï�¶¸·H»°·×óO· õªù óO¶¸Î[· Ô7ùNü Ð_Ñ Ô Î � Ö¸º©Ë�ËÍÎ�ÏNÎ Ô�Ò Õöó�¶NÎ[»�ÕöóOº ! ÐNÿH·H¹ Ç � � Ð� õNÔ º�Ö Î Ô���� Î Ô ¹³Õ Ð �� à Ç "$#_Å5Ò�Ç ø8·öÿHÎ ù Ð�ñ Ò ·NÏ�Î[¹ þ ÕöóOÎ · Ô º�ÎUË ü Ð Ò ÕöóO¶¸Î[»­Õöó�º�ôUÕ×¹ � Ê Ô ÿHÎ ù ËvÕ×Ö_Ï Ò ·HÖ¸· Ô Õ õ ¶_ËUÐNÿH·H¹ Ç � Ð ÆvÒ � Ð ��%�%� Ç &('ÚÅ5ÆtÇ*) · ù Õ×¹rÐ Ò�Ç_û º©Î Ô Ö¸Î ù ÐYñ Æ Ö�º�Öúó Ô ·�ÏNʸôPóOº©·HÖKóO·�Ëͺ�» õ ¹©º�ô[º³Õ×¹5¶¸·H»°·×óO· õªù óO¶¸Î[· Ô7ùNü Ð ý Ô Î õ¸Ô º©Öªó}Ð ��%�%� ÇÂ�+-,ªÅ � Ç ò Ç*. ʸº�¹©¹�Î[ÖêÐ=ñOø1·H»°·×ó�· õ º©ôUÕ×¹ Æ ¹ Î � Ô Õ ü Ð ��� Ò �/� Ð � õ¸Ô º©Ö Î Ô���� Î Ô ¹©Õ Ð �� à ÇÂ�+10NÅ � Ç ò Ç*. ʸº�¹©¹�Î[ÖêÐ5Ø î 2 ß_à[á 3 ð 2 à�íUá�æHîéç 4 ä 5 ß_à�Ùªá[Þ 6 è �� Ò ���� Ð � õ¸Ô º©Ö Î Ô���� Î Ô ¹©Õ Ð �� à � Ð õ¸õêÇ ó � � 7� à Ç

�g���

Page 117: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

8 68:;,13 :;,/.�68#D*->W*-&G# 68.�IÚ^§ZÛ » ¸ »­ » ¸ »E » ¸ »¶¡» � » ¸ »æ » � » ¸ »¶ ¬ » ¸U� »¶ ® » ¸U� »æ�® » ¸U� »x h ¶ j » ¸U�d¦Ì ºyW�ÛÕº » ¸U�d¦x h(æÖj » ¸U� ð�\¯ ¶ » ¸ »g»�\¯Ìæ » ¸ »g»³ï » ¸ » �E � © » ¸ » ðE'D » ¸ » �¸¶ ��¸U�iDºyWMi yº ��¸U�b$W�e ��¸U�E ¸º ��¸��b ¸º ��¸ X� � ��¸ ð9 ��¸ ðf s � �w¸U�é­ê}| { W�éfê}| �w¸ »Ç { WsÇ �w¸ »é­ê}| { ½ûºyW�é­ê}|%ºyW�Ç�º �w¸Í�« �Îh(t8W'¬!�dW'¬N¨j ¦s¸S��;: W=< : ¦s¸��ö> ¦s¸Í�J*h « j ¦s¸£¦F ��Îhg³ïzW'­ ��W'­�¨j ¦s¸U�d¦� º X ¸¹¦

�g�d¦

Page 118: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

? º X ¸ XF X ¸U�g�³�/ X ¸U�g�> º Y ¸U� Xi y ð ¸U�i ~ ð ¸U�.�F � ð ¸U� �öF ð ¸ » �é­êwë @¯h � W ¬ juW^é­êwë @ h � W ¬ j � ¸Í�x h(æÖj�W5Ì ¦ WwÛ ¦ W x h¢QVW N j � ¸U�.�<�J�W öJ �.��¸U�à ºyW à ¦ �.��¸ »�,c�Ww�V� �.��¸����� �.��¸��<ÔÊ �.��¸¹¦h(i º J°j Í �.��¸U�g�Ú^§ZÛ » tVWsÚ�§$Û »PN �g�g¸U�SUT W S � T �g�g¸U�E T W E �T �g�g¸��z h(tsjul zu{ h(t�j �g�g¸ XN y W N ~ �g�g¸ XÇ Z �g�g¸ �f Z �g�g¸ �æ y WMæ ~ � » ¸ »g»ä å � » ¸ » �Á å � » ¸ » ð¶ L � ÊÁ¸U�h(tz� ¶¡» §8W�¬ � � ¶¡» §VWS¬ � ¶¡» §�j ÊÁ¸Í�h(tz� ¶¡» §8W�¬ � � ¶¡» §VWS¬ � ¶¡» §VW � � ¶¡» §sj ÊÁ¸Í�, ÊÁ¸ ð

� c�½ A/ W � c/ ÊÁ¸ ðÊÁ¸ ð� c/ £ ¸U�¬�³�/ £ ¸U�iP/�Wwt £ ¸U�³�/ ® �K­m�]\�¬�³�/ ® ³â £ ¸U�

�g� X

Page 119: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

�_/Y½ ê W�O £ ¸U�f ¸h £ ¸U�svu�f £ ¸���¨�m�¹W x £ ¸��fzy�{P| £ ¸��Fz4�W1F s £ ¸Í��N� / £ ¸Í�� /ÈW � / £ ¸Í�¬ Z F0/�WS¬��1F0/ £ ¸Í��v� / £ ¸Í�� £ ¸ Yæ y £ ¸ �¬ £ ¸ ��w}gPSRUTLgLMLdN ì Ww�w}gPSRUTLgLwLdN £ ¸ �

�g� Y

Page 120: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

8 68:;,13V*-,/¥�(C&�68#9%'#�ú9&'F·H8,�I��` �M�ªx\ ~�RS]s_ \?� _v \z`�` _ ` v���_w| \a���Ì[ x\ {g}�~�R \ � ¸U���` �M�ªx\ ~�RS]s_ \ h ���Ì[ x\ {g}�~�R \ j » ¸ »��` �M�ªx\ ~�RS]s_ \ h ¾ }g| � [�\ _�~�v���_w| \ � \ [ R [�\÷���Ì[ x\ {g}�~�R \ · \ ~ ` Ú�§$Û�j ð ¸U���` �M�ªx\ ~�RS]s_ \ h(T=}�~��M�wR ` T \ v \ Ú�§$Û�j » ¸ »��` �M�ªx\ ~�RS]s_ \ h(T=}�~��M�wR ` T \ v \ �w~sx\ ¾ � R `�� \�� _ ¥ j ��¸����` �M�ªx\ ~�RS]s_ \ h��w~sx\ ¾ � R `��z\�� _8j ��¸¹¦� _w{gT \ | [¨�Ì[ RU}g| ÊÁ¸����� ~ [ x\z` R \ |Òh ¾ }g| � [�\ _�~�j � ¸U�.���� ~ [ x\z` R \ |Òh(T=}�~��M�wR ` T \ j » ¸U� »���Ì[ x\ {g}�~�R \ v \ µ \z\ v ë £ ¸Í����Ì[ x\ {g}�~�R \ v \z`�� _ àÖ\z` ÊÁ¸ ð���Ì[ x\ {g}�~�R \ v \z` ¾ ~ ��� [ RS}g| ` �w¸U����Ì[ x\ {g}�~�R \ v \z`�` RSTm�MP \ ¥ \z` X ¸U�g����Ì[ x\ {g}�~�R \ �w}gT=} [ }��MRU]s_ \ �w¸ »���Ì[ x\ {g}�~�R \ �w}gT=} [ }��MRU]s_ \ ~ \ P �Ì[ RU· \ Ý� _w|åPS} �z� PSR `��Ì[�\ _�~ ¾ }g|wv � T \ | [¨� P �w¸ »���Ì[ x\ {g}�~�R \r[�\z`�[ X ¸ »���Ì[ x\ {g}�~�R \r[�\z`�[ ¾ � R à P \ �w¸ Y���Ì[ x\ {g}�~�R \r[�\z`�[ PS} ��� P \ X ¸ »���Ì[ x\ {g}�~�R \r[�\z`�[ò`�[ ~�R � [�\ Y ¸ Y� } ��` �M�ªx\ ~�RS]:_ \°� _v \z`�` _ ` v���_w| \a���Ì[ x\ {g}�~�R \ � ¸U�� } ��` �M�ªx\ ~�RS]:_ \ h(T=}�~��M�wR ` T \ v \ Ú^§$Û�j » ¸ »g»� } ��� ~ [ x\z` R \ |Òh ¾ }g| � [�\ _�~�j � ¸U�.�� } ��� ~ [ x\z` R \ |Òh�T=}�~��M�wR ` T \ j » ¸U� »� } � ~�R à P \ » ¸ » �� } Åwà ~ �Ì[ RS}g| » ¸U� »� }g| [ ~ ��� [�\ _�~ Y ¸U� X� }g| [ ~ ��� [ RSP \ h ���Ì[ x\ {g}�~�R \ j ¦s¸U�d¦� ~�R à P \ » ¸ » ���ë PSRS|wv�~ \ ¾ }g| � [ }�~�R \ P ÊÁ¸��\ | `�\ T à P \z`�` RSTm�MPUR � R � _ ¥ h ���Ì[ x\ {g}�~�R \ v \z` j X ¸U�g�x\ ]:_wRU· � P \ | �z\ ¾ � R à P \ h(v � | ` Ú^§ZÛ�j » ¸ »x\ ]:_wRU· � P \ | �z\ ¾ � R à P \ h(v \ �w~sx\ ¾ � R `��z\�� _ ¥ j ��¸��x\ ]:_wRU· � P \ | �z\ ¾ � R à P \ | �Ì[ _�~ \ PSP \ �.��¸ X

�g� ð

Page 121: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

¾ � R à P \ T \ | [ò`��Ì[ _�~sx\z\ h�� � ~ [ R \ v \¡È Ý\z� � \z` j » ¸U�Åwà ~ �Ì[ RU}g| » ¸U� »Åwà ~ \ v���_w| ¾ }g| � [�\ _�~ » ¸U� »¾ }g| � [�\ _�~�v \ PU} ��� PUR `��Ì[ RS}g| �w¸U�¾ }g| � [�\ _�~�v \ PU} ��� PUR `��Ì[ RS}g| ��� |w}g|wRS]:_ \ �w¸ »¾ }g| � [�\ _�~ [�\z`�[ ð ¸U�g�¾ }g| � [�\ _�~ [�\z`�[ ¾ � R à P \ ð ¸U�g�¾ }g| � [�\ _�~ [�\z`�[ PS} ��� P ð ¸U�g�¾ }�~ [�\ T \ | [�`��Ì[ _�~�x\z\ hÑ� � ~ [ R \ v \7È Ý\ � � \ ` j �w¸U��w}gT=} [ }�� \z` h(T=}�~��M�wR ` T \z` v \ Ú^§$Û�j ¦s¸U�d¦�w}gT=} [ }��MR ` T \ h(v � | ` Ú^§ZÛ�j ¦s¸U�d¦> ¼&� }g| [ ~ ���u[ RSP \ ¦s¸��«&¼&� }g| [ ~ ���u[ RSP \ ¦s¸¹�«&¼ �w}gT=} [ }�� \ v \ ¾ �CB� }g|©x\ P�x\ T \ | [�� RU~ \ ¦s¸ »> ¼ �w}gT=} [ }�� \z` h(T=}�~��M�wR ` T \z` j ¦s¸ »«&¼ �w}gT=} [ }�� \z` h(T=}�~��M�wR ` T \z` j ¦s¸ »«&¼ �w}gT=} [ }��MR \ v���_w|Tm}�~��M�wR ` T \ · \ ~ ` _w| � _ [ ~ \ ¦s¸ »> ¼ �w}gT=} [ }��MR \ h�~ \ P �Ì[ RS}g|çv \ j ¦s¸ »> ¼ �w}gT=} [ }��MR ` T \ ¦s¸��«&¼ �w}gT=} [ }��MR ` T \ ¦s¸¹�RSTmT \ ~ ` RU}g| ¾ \ ~�T x\z\ � » ¸ »RSTmT \ ~ ` RU}g|�}g_�· \ ~ [�\ � » ¸ »PSR `�`�\ h(T=}�~��M�wR ` T \ v \ Ú�§$Û�j � » ¸U�PS} ��� P \ T \ | [���` �M�yx\ ~�RS]:_ \ h��w~sx\ ¾ � R `�� \�� _8j ��¸ XPS} ��� P \ T \ | [ E ¼&��` �M�yx\ ~�RU]s_ \ h��w~sx\ ¾ � R `�� \�� _8j ��¸ XPS} ��� PSR `��Ì[�\ _�~ ¾ }g|wv � T \ | [¨� P » ¸ »PS} ��� PSR `��Ì[�\ _�~ ¾ }g|wv � T \ | [¨� P ¾ }�~ [ � ¸U�PS} ��� PSR `��Ì[�\ _�~ ¾ }g|wv � T \ | [¨� P ¾ }�~ [�\ T \ | [�`��Ì[ _�~�x\ �w¸U�PS} ��� PSR `��Ì[�\ _�~ ¾ }g|wv � T \ | [¨� P^{�~�} `�` R \ ~ » ¸ » ðPS} ��� PSR `��Ì[�\ _�~ ¾ }g|wv � T \ | [¨� P [ ~�RU·�R � POlw|w}g| [ ~�RU·sR � P » ¸ » XT=}:vyx\ PSR `��Ì[�\ _�~ �w¸��T=}:vyx\ PSR `��Ì[�\ _�~ ¾ }g|wv � T \ | [¨� P �w¸��T=}�~��M�wR ` T \ v \?� � � |w{ \ T \ | [ v \aà8��`�\?��`�` } � R�x\ Ý� _w| �z� ~�~sx\?�z� ~ [ x\z` R \ | � » ¸ » �T=}�~��M�wR ` T \ v \?� � � |w{ \ T \ | [ v \aà8��`�\?��`�` } � R�x\ Ý� _w| �z� ~�~sx\?�z� ~ [ x\z` R \ | � » ¸ » ðT=}�~��M�wR ` T \ v \ Tm}svªx\ PUR `��Ì[�\ _�~ ` �w¸��T=}�~��M�wR ` T \ v \?`�\ {gT \ | [�` ¦s¸U�

�g� �

Page 122: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

| \ ~ ¾ h ¾ }g| � [�\ _�~¨j ð ¸U�d¦} à�ã�\ [ v \ ¶ � ¨�· \ ~ \ ¦s¸U� »} à�ã�\ [ RS|wR [ R � P `�[ ~�R � [ ¦s¸U� »�w~sx\z� } Åwà ~ �Ì[ RS}g| » ¸U� »�w~sx\z� }g| [ ~ ��� [�\ _�~ Y ¸U� X�w~sx\z��ë PSRU|wv�~ \ ¾ }g| �u[ }�~�R \ P ÊÁ¸���w~sx\z��ë PSRU|wv�~ \ ¾ }g| �u[ }�~�R \ P � _w{gT \ | [ x\ ÊÁ¸���w~sx\ Åwà ~ �Ì[ RS}g| » ¸U� »�w~�}��w~ \ h(T=}�~��M�wR ` T \ v \ Ú�§$Û�j � » ¸U�� `�\ _wvw} ¼4���Ì[ x\ {g}�~�R \?[�\ `�[ �w¸Í�� `�\ _wvw} ¼ ¾ }g| � [�\ _�~ [�\z`�[ ð ¸U�g�`�\ {gT \ | [ ¦s¸U�`�\ {gT \ | [ v \ ¶ � ¨ò· \ ~ \ ¦s¸U� »`�\ {gT \ | [ T7_wP [ Rµ�MPSR ���Ì[ R ¾ ¦s¸ �`�\ {gT \ | [ò` x\ � � ~ � | [ ¦s¸U�[ } [¨� P \ T \ | [ò��` �M�ªx\ ~�RU]s_ \ h ���Ì[ x\ {g}�~�R \ j Y ¸ »[ } [¨� P \ T \ | [ E ¼C��` �M�ªx\ ~�RS]s_ \ h ���Ì[ x\ {g}�~�R \ j Y ¸ »_w|wRU· \ ~ `�\ PUP \ T \ | [ v � | ` _w| \ � � ~ [ R \ v \7È Ý\z� � \z` » ¸U�E ¼C��` �M�ªx\ ~�RS]:_ \Á� _åv \z`�` _ ` v���_w| \?���Ì[ x\ {g}�~�R \ � ¸U�E ¼C��` �M�ªx\ ~�RS]:_ \ h ���Ì[ x\ {g}�~�R \ j » ¸ »E ¼C��` �M�ªx\ ~�RS]:_ \ h ¾ }g| � [�\ _�~�v���_w| \ � \ [ R [�\÷���Ì[ x\ {g}�~�R \ · \ ~ ` Ú�§$Û�j ð ¸U�E ¼C��` �M�ªx\ ~�RS]:_ \ h(T=}�~��M�wR ` T \ v \ Ú�§$Û�j » ¸ »E ¼C��` �M�ªx\ ~�RS]:_ \ h(T=}�~��M�wR ` T \ v \ �w~sx\ ¾ � R `�� \�� _ ¥ j ��¸��E ¼C��` �M�ªx\ ~�RS]:_ \ h��w~sx\ ¾ � R `��z\�� _8j ��¸¹¦E ¼&���Ì[ x\ {g}�~�R \÷[�\z`�[ X ¸ »E ¼&���Ì[ x\ {g}�~�R \÷[�\z`�[ ¾ � R à P \ �w¸ YE ¼&���Ì[ x\ {g}�~�R \÷[�\z`�[ PS} ��� P \ X ¸ »E ¼&���Ì[ x\ {g}�~�R \÷[�\z`�[ò`�[ ~�R � [�\ Y ¸ YE ¼&� } ��` �M�yx\ ~�RS]:_ \Á� _åv \ `�` _ ` v���_w| \a���Ì[ x\ {g}�~�R \ � ¸U�E ¼&� } ��` �M�yx\ ~�RS]:_ \ h(T=}�~��M�wR ` T \ v \ Ú^§$Û�j » ¸ »g»E ¼&� }g| [ ~ ���u[�\ _�~ Y ¸U� XE ¼ x\ ]:_wRU· � P \ | � \ h(v � | ` Ú^§$Û�j » ¸ »E ¼ x\ ]:_wRU· � P \ | � \ h(v \ �w~�x\ ¾ � R `��z\�� _ ¥ j ��¸��E ¼ ¾ }g| � [�\ _�~ [�\z`�[ ð ¸U�g�E ¼ ¾ }g| � [�\ _�~ [�\z`�[ ¾ � R à P \ ð ¸U�g�E ¼ ¾ }g| � [�\ _�~ [�\z`�[ PS} ��� P ð ¸U�g�� » �

Page 123: hopf.math.purdue.eduhopf.math.purdue.edu/Maltsiniotis/Groth-homot-th.pdf · :UÇ È hDÉ9ÊjË o ÈGÌ É Ç r Í'Î Í'Î7Ï Ð²Ñ=ÐDÒÅÓ Ô>Õ'Ö ×¶ØÙÔ Ú Ö ÛZÖ Ò Ö

E ¼ PUR `�`�\ h(T=}�~��M�wR ` T \ v \ Ú�§$Û�j � » ¸U�E ¼ T=}:vyx\ PSR `��Ì[�\ _�~ �w¸��E ¼ �w~sx\ � }g| [ ~ ��� [�\ _�~ Y ¸U� XE ¼ �w~�}��w~ \ h(T=}�~��M�wR ` T \ v \ Ú^§$Û�j � » ¸U�E ¼ � `�\ _wvw} ¼&���Ì[ x\ {g}�~�R \?[�\z`�[ �w¸Í�E ¼ � `�\ _wvw} ¼ ¾ }g| � [�\ _�~ [�\z`�[ ð ¸U�g�

� » �