HSE118 Eléments de statistique descriptive 2ième partie

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Outils en mathématiques et statistiques

pour la santé-sécurité au travail et

l'environnement

HSE118 – Outils en mathématiques et statistiques pour la santé-sécurité au travail et l'environnement

l'environnement

Eléments de statistique descriptive

2ème partie(Environ 40 minutes)

1Eléments de statistique descriptive


1- Caractéristique d'une distribution statistique

Sommaire

2- Indicateurs de position

3- Indicateurs de dispersion

4- Exemple



Eléments de statistique descriptive 2ème partie


� But : Résumer de manière quantitative une distribution statistique

Indicateurs ?


� Définitions objectives d'indicateurs indépendants de l'observateur.

� Utiliser toutes les observations dans le calcul des indicateurs.

George Udny Yule

1871-1951




� Avoir une signification concrète des indicateurs compris par des non

spécialistes.

� Les indicateurs doivent être simples à calculer.

� Les indicateurs doivent être peu sensibles aux fluctuations

d'échantillonnage.


d'échantillonnage.

� Les indicateurs doivent se prêter aux opérations mathématiques

simples.

� Indicateur de position

� Indicateur de dispersion




� Les indicateurs de position donnent un ordre de grandeur de la

tendance centrale de la variable étudiée.

� Les indicateurs de dispersion donnent des informations sur la façon

dont les individus se répartissent autour de la tendance centrale.


Type de la variable Tendance centrale Dispersion

Nominale Mode

Ordinale Mode, médiane, quantiles Ecart interquartile

Discrète Mode, médiane, quantiles, moyenneEtendue, Ecart-type, écart

interquartile

Continue Mode, médiane, quantiles, moyenneEtendue, Ecart-type, écart

interquartile



� Le mode : définitions


� X est une variable nominale, ordinale ou discrète

Le mode de la distribution statistique associée est la modalité de X la plus

représentée, celle pour laquelle l'effectif est le plus grand.


représentée, celle pour laquelle l'effectif est le plus grand.

� X est une variable continue

Le mode de la distribution statistique associée est la classe, appelée classe

modale, dont la hauteur dans l'histogramme est la plus élevée.



� Le mode : exemple pour une variable nominale


classement


Mode= Italie

Emissions de gaz à effet de serre par pays en 2011

en ktCO2/an (source : AEE).



� Le mode : exemple pour une variable continue



Classe modale= [30 40[



� La médiane : définitions


� La médiane (Me) est la valeur de la variable telle que le nombre

d'observations supérieures ou égales à cette valeur est égal au nombre

d'observations strictement inférieures à cette valeur.


� La médiane de la distribution de X se calcule de différentes façon suivant le

type de X.

xi



� La médiane : calcul pour une variable discrète


� Si la fréquence cumulée en xi-1 est < 0,5 et celle de xi est > 0,5 alors la

médiane vaut xi.

= <xini

fi

Fi


� Si la fréquence cumulée en xi-1 est égale à 0,5 alors la médiane vaut xi.

2 0 24 0 5, ,F = <

3 0 53 0 5, ,F = >Me= 3



� La médiane : calcul pour une variable continue


� Les variables sont réparties en classes [ai-1 ai[

• Si F(ai-1) < 0,5 et si F(ai) > 0,5 alors la classe médiane est [ai-1 ai[

et on calcule la médiane par interpolation linéaire sur l'intervalle


et on calcule la médiane par interpolation linéaire sur l'intervalle

[ai-1 ai[ :

Avec F la fonction de répartition de X.

( ) ( )( ) ( )

11 1

1

0 5, ii i i

i i

F aMe a a a

F a F a−

− −−

−= + −

−

• Si F(ai-1) = 0,5 alors la médiane vaut ai-1



� La médiane : calcul pour une variable continue


� Exemple

Classes ni fi Fi

[0 1,5 [ 0 0 0

ai-1 =1,8 et ai=1,9

F(a ) = F(1,8) = 0,49 < 0,5


[0 1,5 [ 0 0 0

[1,5 1,6 [ 10 0,03 0,03

[1,6 1,7 [ 32 0,09 0,12

[1,7 1,8 [ 130 0,37 0,49

[1,8 1,9 [ 174 0,49 0,98

[1,9 2,0 [ 8 0,02 1,00

[2,0 2,5[ 8 0,02 1,00

( ) ( )( ) ( )

11 1

1

0 5, ii i i

i i

F aMe a a a

F a F a−

− −−

−= + −

−

( ) 0 5 0 491 8 1 9 1 8

0 98 0 49

, ,, , ,

, ,Me

−= + −−

1 802= ,Me

F(ai-1) = F(1,8) = 0,49 < 0,5

F(ai) = F(1,9) = 0,98 > 0,5



� Les quantiles : définitions


� Le quantile est la généralisation de la médiane. Soit 0 1αααα< <

Si et on définit le quantile d'ordre par :( )iF a αααα>1( )iF a αααα− < Qαααααααα

( ) ( )F aαααα −−= + −


( ) ( )( ) ( )

11 1

1

ii i i

i i

F aQ a a a

F a F aαααα

αααα −− −

−

−= + −

−

Les quantiles les plus utilisés sont :

� Les quartiles : Q1 (= Q0,25), Q2 (=Q0,5) qui est la médiane, et Q3 (=Q0,75)

� Les déciles : D1 (= Q0,10), D2 (=Q0,20), D3 (=Q0,30), …

� Les centiles : C1 (= Q0,01), C2 (=Q0,02) et C3 (=Q0,03), …



� Les quantiles : exemples


Calcul de Q0,25 = Q1 premier quartile

ai-1 =19 et ai=23


( )0 25

0 25 0 1819 23 19 19 8

0 53 0 18,

, ,,

, ,Q

−= + − =−

( ) ( )( ) ( )

11 1

1

ii i i

i i

F aQ a a a

F a F aαααα

αααα −− −

−

−= + −

−

F(ai-1) = F(19) = 0,18 < 0,25

F(ai) = F(23) = 0,53 > 0,25





Calcul de Q0,75 = Q3 troisième quartile

ai-1 =30 et ai=34


( )0 75

0 75 0 6630 34 30 31 7

0 87 0 66,

, ,,

, ,Q

−= + − =−

( ) ( )( ) ( )

11 1

1

ii i i

i i

F aQ a a a

F a F aαααα

αααα −− −

−

−= + −

−

F(ai-1) = F(30) = 0,66 < 0,75

F(ai) = F(34) = 0,87 > 0,75





Calcul de D7=Q0,70 septième décile

ai-1 =30 et ai=34


( )7 0 7

0 7 0 6630 34 30 30 8

0 87 0 66,

, ,,

, ,D Q

−= = + − =−

( ) ( )( ) ( )

11 1

1

ii i i

i i

F aQ a a a

F a F aαααα

αααα −− −

−

−= + −

−

F(ai-1) = F(30) = 0,66 < 0,70

F(ai) = F(34) = 0,87 > 0,70



� La moyenne arithmétique : définitions


x� Si X est une variable quantitative discrète, donnée par sa distribution

d'effectifs (xi,ni), i=1,2,…,k alors la moyenne arithmétique se calcule selon

l'expression :

1 1 k k


• ( )1 1 2 2 3 31

1 1...

k

k k i ii

x n x n x n x n x n xN N =

= + + + + = ∑1

k

ii

N n=

=∑

x� Si X est une variable quantitative continue rangée en classes [ai-1 ai[ alors la

moyenne arithmétique se calcule selon l'expression :

• ( )1 1 2 2 3 31

1 1...

k

k k i ii

x n c n c n c n c n cN N =

= + + + + = ∑ 1

2i i

i

a ac − +=

� NB : Dans chacun des calculs, les effectifs ni peuvent être remplacés par les

fréquences fi



� La moyenne arithmétique : exemple pour une variable discrète


xini


( )1

1 130 2 31 3 45 6 37 4

50... , /

k

i ii

x n x km hN =

= = × + × + + × =∑

( )1

2 3 3 6 50...k

ii

N n=

= = + + + + =∑



� La moyenne arithmétique : exemple pour une variable continue


1

2i i

i

a ac − +=

1

16 1917 5,c

+= = 2

19 2321 0,c

+= =


( )1

1 115 17 5 30 21 0 3 43 5 25 7

85, , ... , ,

k

i ii

x n c keurosN =

= = × + × + + × =∑

3

23 3026 5

2,c

+= = 4

30 3432 0

2,c

+= =

5

34 4037 0

2,c

+= = 6

40 5743 5

2,c

+= =85N =

22 7: ,NB Me keuros=

1 17 52

,c = = 2 21 02

,c = =



� L'étendue


� L'étendue E d'une distribution statistique est la différence entre la plus

grande modalité du caractère et la plus petite modalité.


Etendue : E=45-30 = 15

Etendue : E=57-16 = 41



� L'écart interquartile


� L'écart interquartile IQ = distance entre le 1er et le 3ième quartile : Q0,75 - Q0,25

� L'écart interquartile représente les valeurs extrêmes d'une dispersion de 50%

des effectifs autour de la médiane.


des effectifs autour de la médiane.

1 19 8,Q =

3 31 7,Q =11 9,IQ =



� La variance et l'écart-type


� Pour une variable discrète, on a :

�La variance Var(X) est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.


• ( ) ( )2 22

1 1

1 1( )

k k

i i i ii i

Var X n x x n x xN N= =

= − = − ∑ ∑

•

� Pour une variable continue rangée en classes [ai-1 ai[ on a:

( ) ( )2 22

1 1

1 1( )

k k

i i i ii i

Var X n c x n c xN N= =

= − = − ∑ ∑

� Dans chaque cas on définit l'écart-type ( ) ( )X VAR xσσσσ =



� La variance et l'écart-type : exemple pour une variable discrète


xini


( ) ( ) ( )( )2 2 2

1

1 12 30 37 4 6 45 37 4 20 7

50( ) . , ... . , ,

k

i ii

Var X n x xN =

= − = − + + − = ∑

50N =

37 4,x =

4 55( ) , /Var X km hσσσσ = =



� La variance et l'écart-type : exemple pour une variable continue


85N =

25 7,x =


7 2( ) ,Var X keurosσσσσ = =

( ) ( ) ( )( )2 2 2

1

1 115 17 5 25 7 3 43 5 25 7 51 4

85( ) . , , ... . , , ,

k

i ii

Var X n c xN =

= − = − + + − = ∑



4- Exemple

� La boite de dispersion d'une distribution statistique

se construit de la façon suivante :

� La boite de dispersion ("box-plot") : définition

John Wilder Tukey

1915-2000


• Porter sur un axe gradué la médiane, puis le premier et le troisième

quartile (Q0,25 et Q0,75) de la distribution.

• Construire autour de l'axe, et centré sur l'axe, un rectangle de hauteur

arbitraire et de largeur correspondant aux deux quartiles. La médiane

est repérée par un trait plein dont la hauteur est celle du rectangle.

1915-2000



� La boite de dispersion ("box-plot") : définition

4- Exemple

• Porter de chaque côté des quartiles une longueur égale à 1,5 fois

l'intervalle interquartile et on marque, par un trait orthogonal à l'axe

prolongé par ces points, les modalités observées les plus proches des

points obtenus (vers les quartiles), c'est l'intervalle [d1 d3].


points obtenus (vers les quartiles), c'est l'intervalle [d1 d3].

• On repère toutes les autres valeurs observées de la modalité

extérieure à l'intervalle [d1 d3] précédent. Ces valeurs sont dites

aberrantes (outliers).

0 Q0,25 Q0,75Me

IQ 1,5.IQ1,5.IQ

d1 d3



� La boite de dispersion ("box-plot") : exemple

4- Exemple





4- Exemple





4- Exemple

Calcul de Q0,25 = Q1 premier quartile

ai-1 =20 et ai=30


( )0 25

0 25 0 0320 30 20

0 31 0 03

−= + −−,

, ,, ,

Q( ) ( )( ) ( )

11 1

1

ii i i

i i

F aQ a a a

F a F aαααα

αααα −− −

−

−= + −

−

F(ai-1) = F(20) = 0,03 < 0,25

F(ai) = F(30) = 0,31 > 0,25

1 27 9= ,Q




4- Exemple

Calcul de Q0,75 = Q3 troisième quartile

ai-1 =30 et ai=40


( )0 75

0 75 0 0330 40 30

0 78 0 31

−= + −−,

, ,, ,

Q( ) ( )( ) ( )

11 1

1

ii i i

i i

F aQ a a a

F a F aαααα

αααα −− −

−

−= + −

−

3 39 4= ,Q

F(ai-1) = F(30) = 0,31 < 0,75

F(ai) = F(40) = 0,78 > 0,75




4- Exemple

Calcul de Q0,5 = Q2 = Me (médiane)

ai-1 =30 et ai=40


( )0 5

0 50 0 0330 40 30

0 78 0 31

−= + −−,

, ,, ,

Q( ) ( )( ) ( )

11 1

1

ii i i

i i

F aQ a a a

F a F aαααα

αααα −− −

−

−= + −

−

34 0= ,Me

F(ai-1) = F(30) = 0,31 < 0,50

F(ai) = F(40) = 0,78 > 0,50




4- Exemple

60

50

40 39,4

56,7d3=54,7


1 27 9= ,Q

3 39 4= ,Q

11 5 1 5 17 3= ⇒ =, , . ,IQ IQ

34 0= ,Me

1 1 5 10 6 1 12 3− = ⇒ =, . , ,Q IQ d

3 1 5 56 7 3 54 7+ = ⇒ =, . , ,Q IQ d

12 3=min ,

54 7=max ,

42 4= ,E

0

10

30

40

20

27,9

39,4

34,0 IQ=17,3

10,6d1=12,3

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