Hydrogéologie

Modèle Différences finies Eléments finis Application

Chap 4 - 1

Hydrogéologie

Chapitre IV :

Notions de modèles hydrogéologiques

Sylvain Payraudeau

1ère année (2006-2007)


Chap 4 - 2

Outils de gestion de la ressource en eaux souterraines

Outils analytiques : échelle locale

Modèles hydrogéologiques : échelle régionale

Quantitatif : Prédire l’impact d’un pompage sur l’aquifère (chapitre II).

Qualitatif : Prédire le transport d’une pollution (stratégies de dépollution d’un aquifère) (chapitre III).


Chap 4 - 3

Plan

Notion de modèle

Différences finies

Eléments finis

Application d’un modèle hydrogéologique : gestion de l’eau


Chap 4 - 4

Qu’est-ce qu’un modèle ?

Représentation simplifiée d'un système complexe (tel le cycle de l'eau)• Qu'est ce qu'un modèle ? et à quoi sert un modèle ? = indissociables • c’est le problème posé qui conduit à la création/utilisation d'un modèle • ce sont les hypothèses posées qui conditionnent le choix de la modélisation.

•Qualité d'un modèle : adéquation des résultats avec les objectifs. • Caractère prédictif • Synthèse des connaissances sur une problématique

Vision simplifiée d'un système = réductionniste • Simplifications = f(hypothèses) pertinentes à une échelle spatiale et temporelle donnée. • Domaine de validité = limite le champ d’application


Chap 4 - 5

Modèle

Variables d’entrée (de forçage)indépendantes

Variables de sortie dépendantes

Paramètres

Caractéristiques du système

Qu’est-ce qu’un modèle ?


Chap 4 - 6

Modèle hydrogéologique

Modèle

Variables d’entrée (de forçage)Indépendantes : Pluie, ETP

Variables de sortie dépendantes : hauteur d’eau, vitesse, concentration

Paramètres : Porosité, Conductivité hydraulique,

Géométrie du réservoirNappe libre/captive


+ état initial+ conditions aux limites+ sollicitation (source/puits), contact rivière, …


Chap 4 - 7

Modèle


Lois de conservation : Conservation de la masseLoi de DarcyLoi de Fick, …

Loi de diffusivité

Ex : Ecoulement dans une nappe captive avec T isotrope

T .

h

xx

+ T .

h

yy

+ Q = S . h

t Eq 2.42

Conditions initialesConditions aux limites

Modèle hydrogéologique


Chap 4 - 8

Donnés nécessaires et calage du modèle

Conductivité hydraulique (K) : Connue qu’en quelques points (interprétation de pompage),

pouvant être modifier lors du calage du modèle (paramètre d’ajustement).

Débits d’échange et d’alimentation (Q + infiltration) : déterminés le plus précisément possible (difficulté de

l’estimation de la recharge Pluie – ETP – Ruissellement). Calage de la transmissivité (T) pour obtenir les charges observées (H) avec les débits pompés estimés.

Coefficient d’emmagasinement (S) : Uniquement si besoin de modéliser en régime transitoire. Mal connu, seulement en quelques points (essais de pompage)

En général : géométrie de l’aquifère (+)K, colmatage des cours d’eau et la recharge mal connus (-)


Chap 4 - 9

Conditions aux limites

Conditions aux limites : 3 types (mathématique)

1 - Conditions de Dirichlet : charge (h) imposée : h lim = f(t)Contact nappe-rivière

2 - Conditions de Neumann : première dérivée de la charge imposée donc flux imposé

Limites flux nulles (substratum basal ou latéral)

Limites flux imposés (recharge de nappe, prélèvement par puits)

3 - Conditions de Cauchy : h et

h

nh

n lim= f(t)

h

na . h + b . lim = f(t)

h

n

Contact nappe-rivière – au travers d'une limite semi-perméable


Chap 4 - 10

Modèle Gardenia(global – conceptuel)

Spatial : Approche globale (réservoirs)


Chap 4 - 11

Spatial : mono-couche (2D)

Intégration des propriétés (K, T) sur l'épaisseur de la couche

Aquifère (vue de dessus)


Chap 4 - 12

Hydroexpert

Hypothèses :

1 - Empilements d’aquifères séparés par des semi-perméables

2 – Ecoulements bi-dimentionnels horizontaux (aquifères)

3 – Ecoulements verticaux (semi-perméables)

4 – Les semi-perméables sont soit réels (marnes) soit artificiels pour différencier 2 aquifères

5 – Les semi-perméables sont non capacitifs (permettent le passage entre 2 aquifères mais ne contient pas un volume d’eau conséquent)

Spatial : Aquifère complexe (3D)


Chap 4 - 13

Situation réelle

Représentation par le modèle

Hydroexpert

Aquifère complexe (3D)


Chap 4 - 14

Grille régulière


Sur chaque maille : •Transmissivité (T)•Coefficient d'emmagasinement (S)•Débit prélevé/injecté (Q)•Infiltration par la pluie efficace (si une seule couche)•Apport de la couche du dessus (si multicouche)

Niveau piézométrique

Méthode des différences finies : discrétisation spatiale


Chap 4 - 15

Discrétisation spatiale : tailles et nombres de mailles

Taille (et donc nombre) des mailles :

• Précision souhaitée sur les calculs • Contours +/- sinueux des limites• Nombres et éloignements des puits• Capacité de l'ordinateur

Taille de 5 m (étude d’une digue) à 5 km (étude régionale) Nbre de mailles 1000 à 10 000


Chap 4 - 16

Calcul par maille

Méthode des différences finies : ex nappe captive en régime permanent

a

N

S

O EC

flux de masses entrantes/sortantes = masse entrante/sortante

a

N

S

O EC?

Q

HC = inconnu

Flux de masse quittant C vers O :

n

M = superficie du côté . vitesse . Masse volumique

Bilan en eau sur maille centrale :

M = a.e . (- K . ) . = - a . . T . h

n

h

n


Chap 4 - 17

Flux quittant le côté vers E = - a . . T . = - . T . (HE - HC)

HE - HC

a

HO - HC

a

HS - HC

a

HN - HC

a

Approximation des dérivées par différence :

Flux quittant le côté vers O = - a . . T . = - . T . (HO - HC)

Flux quittant le côté vers S = - a . . T . = - . T . (HS - HC)

Flux quittant le côté vers N = - a . . T . = - . T . (HN - HC)

h

n

Flux du terme puits/source (Q) = - Q

T. (HE – HC) + T. ( HO – HC ) + T. ( HN – HC ) + T. ( HS - HC ) = Q

T. (Hd – HC) = Q d = 1 si pas de terme

puits/source T. (Hd – HC) = 0

d = 1

d = directions (O, E, S, N)

4 4

Calcul par maille


Chap 4 - 18

a

S

O EC Ex. limite à flux imposé (au nord) : puits

T. (HE – HC) + T. ( HO – HC ) + FluxN + T. ( HS - HC ) = Q

T. ( HN – HC ) remplacé par FluxN

Ex. limite à charge imposé (au nord) : rivière

TN. ( HN – HC )

T. (HE – HC) + T. ( HO – HC ) + TN. ( HN – HC ) + T. ( HS - HC ) = Q

Résolution : 5 inconnues pour 5 mailles Soit r nombre de mailles dans le maillage et p nombre de mailles avec conditions aux limites

Matrice de ce système est régulière (inversable avec solution unique) si p >=1

Calcul aux limites


Chap 4 - 19

2 cas de figure :

Rivière 1 Rivière 2

L

h1 h2e K

Niveau piézométrique Surface du sol

x

z

Cas 1 : K est homogène et e constant sur l'ensemble de la nappe

Si K et e = constante T = Constante

T. (Hd – HC) = 0 d = 1 (Hd – HC) = 0

d = 1 HC =

HO + HE + HN + HS

4

d = directions (O, E, S, N)

44

Calcul avec K constant


Chap 4 - 20

HC = inconnu 6 6 6 6 6 6 6 6

LG C C C C C C LD

LG C C C C C C LD

LG C C C C C C LD

LG C C C C C C LD

LG C C C C LB LB LBD

LG C C C LD

LG C C C LD

LHG LH LH LH LH G C C C LD

LG C C C C C C C C C LH LH LHD

LG C C C C C C C C C C C LD













4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

Charge imposé

Flux nul

H1 = 6m

H2 = 4m

HC =HO + HE + HN + HS

4

HC =HE + HE + HN + HS

4

Exemple de calcul


Chap 4 - 21

HC = inconnu H1 = 6m

H2 = 4m

Stabilisation de h : (10-2 mm)

6 6 6 6 6 6 6 6

5.88 5.88 5.89 5.89 5.90 5.91 5.92 5.92

5.76 5.76 5.77 5.79 5.81 5.83 5.84 5.84

5.64 5.64 5.65 5.68 5.71 5.74 5.77 5.78

5.50 5.51 5.52 5.55 5.60 5.67 5.72 5.73

5.35 5.36 5.38 5.42 5.48 5.63 5.69 5.71

5.19 5.20 5.22 5.25 5.27

5.01 5.04 5.06 5.08 5.09

4.56 4.57 4.58 4.61 4.67 4.76 4.87 4.91 4.93 4.93

4.56 4.56 4.58 4.60 4.65 4.70 4.76 4.79 4.80 4.77 4.67 4.63 4.62

4.54 4.54 4.56 4.58 4.61 4.65 4.68 4.70 4.70 4.68 4.64 4.61 4.61

4.52 4.52 4.53 4.54 4.57 4.59 4.61 4.62 4.62 4.61 4.60 4.58 4.58

4.49 4.49 4.49 4.51 4.52 4.54 4.55 4.56 4.56 4.56 4.55 4.54 4.54

4.45 4.45 4.46 4.46 4.47 4.48 4.49 4.50 4.50 4.50 4.50 4.49 4.49

4.41 4.41 4.42 4.42 4.43 4.43 4.44 4.45 4.45 4.45 4.45 4.44 4.44

4.37 4.37 4.37 4.38 4.38 4.39 4.39 4.39 4.40 4.40 4.40 4.40 4.39

4.32 4.33 4.33 4.33 4.33 4.34 4.34 4.34 4.34 4.35 4.35 4.35 4.35

4.28 4.28 4.28 4.28 4.29 4.29 4.29 4.29 4.29 4.30 4.30 4.30 4.30

4.23 4.23 4.24 4.24 4.24 4.24 4.24 4.24 4.24 4.25 4.25 4.25 4.25

4.19 4.19 4.19 4.19 4.19 4.19 4.19 4.19 4.20 4.20 4.20 4.20 4.20

4.14 4.14 4.14 4.14 4.14 4.14 4.15 4.15 4.15 4.15 4.15 4.15 4.15

4.09 4.09 4.09 4.10 4.10 4.10 4.10 4.10 4.10 4.10 4.10 4.10 4.10

4.05 4.05 4.05 4.05 4.05 4.05 4.05 4.05 4.05 4.05 4.05 4.05 4.05

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

245 itérations

Exemple de calcul


Chap 4 - 22

Cas 2 : K n'est homogène et/ou e n'est pas constant sur l'ensemble de la nappe : T variable

L1

h1 h2e K2

Surface du sol

x

zK1

L2Domaine 1 Domaine 2

Calcul de T par mailles calcul de T moyen par côté (TEC)

TEC. (HE – HC) + TOC. ( HO – HC ) + TNC. ( HN – HC ) + TSC. ( HS - HC ) = 0

HC =TEC. HE + TOC. HE + TNC. HN + TSC HS

TEC + TOC + TNC + TSC

Calcul avec K variable


Chap 4 - 23

Régime transitoire :

a² . S . H t + dt - Ht

dt T. (Hd – HC) + Q + infiltration = d = 1 directions (O, E, S, N)

4

Régime permanent :

T. (Hd – HC) + Q + infiltration = 0 d = 1 directions (O, E, S, N)

4

a² . S . T. (Hd – HC) + Q + infiltration = d = 1 directions (O, E, S, N)

4 h

t

Approximation exacte si dt infiniment petit

Calcul en régime transitoire


Chap 4 - 24

si dt trop grand <> solution analytique

Empiriquement :

dt <= 100 . S . a²

4 . T

S : coefficient d’emmagasinementT : transmissivitéa² : aire de la maille

Choix du pas de temps de calcul (dt)


Chap 4 - 25

H1 = 6m

H2 = 4m

6 6 6 6 6 6 6 6

5.88 5.88 5.89 5.89 5.90 5.91 5.92 5.92

5.76 5.76 5.77 5.79 5.81 5.83 5.84 5.84

5.64 5.64 5.65 5.68 5.71 5.74 5.77 5.78

5.50 5.51 5.52 5.55 5.60 5.67 5.72 5.73

5.35 5.36 5.38 5.42 5.48 5.63 5.69 5.71

5.19 5.20 5.22 5.25 5.27

5.01 5.04 5.06 5.08 5.09

4.56 4.57 4.58 4.61 4.67 4.76 4.87 4.91 4.93 4.93

4.56 4.56 4.58 4.60 4.65 4.70 4.76 4.79 4.80 4.77 4.67 4.63 4.62

4.54 4.54 4.56 4.58 4.61 4.65 4.68 4.70 4.70 4.68 4.64 4.61 4.61

4.52 4.52 4.53 4.54 4.57 4.59 4.61 4.62 4.62 4.61 4.60 4.58 4.58

4.49 4.49 4.49 4.51 4.52 4.54 4.55 4.56 4.56 4.56 4.55 4.54 4.54

4.45 4.45 4.46 4.46 4.47 4.48 4.49 4.50 4.50 4.50 4.50 4.49 4.49

4.41 4.41 4.42 4.42 4.43 4.43 4.44 4.45 4.45 4.45 4.45 4.44 4.44

4.37 4.37 4.37 4.38 4.38 4.39 4.39 4.39 4.40 4.40 4.40 4.40 4.39

4.32 4.33 4.33 4.33 4.33 4.34 4.34 4.34 4.34 4.35 4.35 4.35 4.35

4.28 4.28 4.28 4.28 4.29 4.29 4.29 4.29 4.29 4.30 4.30 4.30 4.30

4.23 4.23 4.24 4.24 4.24 4.24 4.24 4.24 4.24 4.25 4.25 4.25 4.25

4.19 4.19 4.19 4.19 4.19 4.19 4.19 4.19 4.20 4.20 4.20 4.20 4.20

4.14 4.14 4.14 4.14 4.14 4.14 4.15 4.15 4.15 4.15 4.15 4.15 4.15

4.09 4.09 4.09 4.10 4.10 4.10 4.10 4.10 4.10 4.10 4.10 4.10 4.10

4.05 4.05 4.05 4.05 4.05 4.05 4.05 4.05 4.05 4.05 4.05 4.05 4.05

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

Etat initial connu (t = 0)

Modélisation de l’effet d’un pompage jusqu’au régime permanent

Calcul en transitoire


Chap 4 - 26

Attention à l’exploitation du modèle : ex. charge (H) dans un puits

En général : a (côté de la maille) >>> rayon d’un puits

Pour comparer H simulée et H observée dans un puits : facteur de correction

a

rP

Hmaille – HPuits = ln - Q

2..T

2

a : côté de la maillerP : rayon du puitsT : transmissivité de la maille

Exploitation du modèle aux différences finies


Chap 4 - 27

1- discrétiser le domaine en petits éléments (triangle)2- calculer la variable (h) sur chaque nœud3- interpoler linéairement entre les sommets pour calculer h

h ?

h

1 2

3 4


AA'

A A'

1 2 3 4

h

xA A'

Si forte variabilité (

Diminution de la taille des éléments au voisinage de la rivière

Principe


Chap 4 - 28


Sur chaque noeud : •Transmissivité (T)•Coefficient d'emmagasinement (S)•Débit prélevé/injecté (Q)•Infiltration par la pluie efficace (si une seule couche)•Apport de la couche du dessus (si multicouche)

Niveau piézométrique Mesures représentatives ?

Aquifère Edwards (US) : www.edwardsaquifer.net/

Données nécessaires


Chap 4 - 29

Exemple d'application d'un modèle hydrogéologique

Utilisation des aquifères captifs de l’Albien et du Néocomien (bassin parisien) pour alimenter la population de la zone agglomérée d'Ile de France en eau potable en cas de scénario catastrophe (Roche, ENPC)

Coupe géologique schématique du bassin sédimentaire de Paris (formation lithostratigraphiques) (AESN)


Chap 4 - 30

Besoins ultimes en eau potable ?

20 l.hab-1.jours-1 (15 domestiques, 4 hôpitaux et 1 agroalimentaire)11 millions d'habitants 220 000 m3. jours-1

Capacités actuelles des forages dans l'Albien et le Néocomien ?

33 forages : débit actuel 55 000 m3. jours-1 (20 million de m3. an-1)débit maximum de 105 000 m3. jours-1 (38 million de m3. an-1)

Complément nécessaire 115 000 m3. jours-1 En utilisant un ratio d'un puits de 150 m3. h-1 par zone de 180 000 hab. 32 puits (finalement 37 puits retenus)


Chap 4 - 31

Distribution de la transmissivité de l’Albien (m²/s) ajustée après calage (AESN)

Données requises/calage


Chap 4 - 32

Distribution de la transmissivité du Néocomien (m²/s) ajustée après calage (AESN)

Données requises/calage


Chap 4 - 33

Exploitation en crise réaliste ?

Débit actuel 55 000 m3. jours-1 (20 million de m3. an-1)Débit de crise = 4 . débit actuel

Modélisation hydrogéologique (HYDROEXPERT)

Réponse : exploitation de crise possible selon les potentialités de l'aquifère (durée de crise de 3 mois à 1 an)

Plutôt dans l'Albien que le Néocomien (cf. Transmissivité)

Démarche de modélisation


Chap 4 - 34

Conclusion

Choix du modèle :Domaine de définition du modèleProblématique poséeDonnées nécessairesCoût

Discrétisation spatiale :Fonction des données Fonction de la méthode numérique retenue (éléments finis)

Discrétisation temporelle :Fonction de la méthode numérique (instabilité)

Documents

Hydrogéologie