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Chap. 12 GEOMETRIE dans l’ESPACE
I - AIRES et VOLUMES usuels
Exemples :
1) Calcul du volume du silo suivant :
Volume cylindre = π×R²×h
= π×4,5²×10 = π×20,25×10 = 202,5π
Volume cône = π×R²×h
3 =
π×4,5²×2,5
3=
π×20,25×2,5
3= 16,875 π
Volume silo = 202,5π + 16,875 π = 219,375 π ≈ 689 m3 (arrondi au m3 près)
2 ) Combien faut-il de sphères de rayon 5cm pour contenir 25L d’eau ?
• Calcul de la capacité d’une sphère de rayon 5cm : V = 4
3 π R3 =
4
3 π × 53 =
4
3 π × 125 =
500
3 π (cm3)
• 25L = 25 000 ml = 25 000 cm3
25 000 ÷
500
3 π =
25 000×3
500π =
75 000
500 π =
150
π ≈ 47,7
On prend la valeur par excès à l’unité près : il faudra 48 sphères.
II - Sections d’un parallélépipède rectangle et d’un cube par un plan
Propriété : La section d’un parallélépipède rectangle par un plan :
- parallèle à une face est un rectangle de mêmes dimensions que la face à laquelle il est
parallèle
- parallèle à une arête est un rectangle.
III - Sections d’un cylindre de révolution par un plan
Propriété : La section d’un cylindre de révolution de rayon R par un plan :
- perpendiculaire à l’axe est un cercle de rayon R dont le centre appartient à cet axe
- parallèle à l’axe est un rectangle.
IV - Sections d’une pyramide ou d’un cône par un plan parallèle à la
base
Propriété : La section d’une pyramide par un plan parallèle à la base est une réduction de la base.
Ses côtés sont parallèles à ceux de la base.
Propriété : La section d’un cône de révolution par un plan parallèle à la base est un cercle réduction de la
base. Son centre appartient à la hauteur du cône.
si on note k le rapport de réduction, alors :
▪ longueur de la section SJ = longueur de départ SA × k
▪ aire de la section = aire de la base × k ².
▪ Volume réduit = Volume de départ × k3
Petit
grand
Petit
grand
Exercice « type brevet » :
Un cône de révolution de sommet S a pour base un disque de centre O et de rayon 5cm.
De plus SO = 10 cm.
A est un point de la hauteur [SO] tel que : SA = 7 cm.
Le plan perpendiculaire à [SO] coupe une génératrice [SM] en N.
a) Calculer le volume du cône initial en cm3.
V = Aire base × hauteur
3 =
×R²× h
3 =
×5²×10
3=
250
3 (cm3) ≈ 262 cm3
b) Calculer le rapport de réduction du grand cône au petit cône obtenu par la section.
On sait que les triangles SAN et SAO sont en situation de Thalès avec les droites (AN) et (OM) parallèles.
D’après le théorème de Thalès : SA
SO =
AN
OM =
SN
SM
Le coefficient de réduction est : k = SA
SO =
7
10 = 0,7
c) Calculer le rayon de la section de ce cône.
La section de ce cône par ce plan est un cercle réduction de la base de rapport 0,7
D’où : AN = OM× k = 5×0,7 = 3,5 cm .
Donc le rayon de la section du cône est de 3,5 cm.
d) Calculer l’aire de la section par 2 méthodes.
Méthode 1 : A = πR² = π (AN)²= π 3,5² = 12,25π (cm²)
Méthode 2 : Aire section = Aire base × (Rapport réduction)² = π×5²×0,7² = 12,25π (cm²)
a) Calculer le volume du petit cône.
Méthode 1 : V = Aire base × hauteur
3 =
×R²× h
3= × 3,5²× 7
3 =
85,75
3 π (cm3) ≈90 cm3
Méthode 2 : Volume section = Volume départ × (Rapport réduction)3 = 250
3 ×0,73 (cm3) ≈90 cm3
V - Section d’une sphère par un plan :
Propriété : La section d’une sphère par un plan est un cercle.
Remarque : lorsque OI > R, le plan ne coupe pas la sphère.
Conséquence : La section d’une boule par un plan est un disque.
Exercice « type brevet » :
Un plan coupe une sphère de centre O et de rayon 4 cm selon un cercle noté (C)
de centre H.
La distance OH du centre de la sphère à ce plan vaut 2,4 cm.
A est un point du cercle (C) et de la section..
Calculer le rayon du cercle (C).
On applique le théorème de Pythagore au triangle OHA rectangle en H pour trouver la longueur HA.
OA² = OH² + HA²
HA² = OA² − OH² = 4² − 2,4² = 10,24
HA est une longueur positive : HA = 10,24 = 3,2 cm.
Le rayon du cercle est de 3,2 cm.
VI – Repérage sur un pavé droit :
Pour se repérer dans un pavé droit on a besoin de trois nombres (x ; y ; z) qui
donnent les coordonnées d’un point :
x est l’abscisse ; y est l’ordonnée et z est l’altitude.
Exemple : dans le pavé droit ci-contre
A(0 ; 0 ; 0) B(4 ; 0 ; 0) C(4 ; 2 ; 0) D(0 ; 2 ; 0)
E(0 ; 0 ; 3) F(4 ; 0 ; 3) G(4 ; 2 ; 3) H(0 ; 2 ; 3)
VII – Repérage sur une sphère – Coordonnées géographiques :
Exemple 1 :
Exemple 2 : Le dessin représente la Terre qui est assimilée à une sphère de 6 370 km de rayon.
Le cercle de centre O passant par M représente l’équateur.
Le point L représente la ville de Londres. L est situé sur la sphère et sur le cercle
de centre S, qui est appelée parallèle. On donne OS = 4 880 km.
La longitude de Londres est de 0°, car Londres est sur le méridien de Greenwich.
On cherche donc à calculer la latitude de Londres qui sera donnée par l’angle𝐿𝑂�̂�.
a) Calculer SL au km près.
b) Calculer la mesure de l’angle 𝑆𝑂�̂� et arrondir au degré près.
c) déduire au degré près la latitude Nord de Londres par rapport à l’équateur, c'est-à-dire l’angle 𝐿𝑂�̂�.
