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COURS – R.D.M
B2 : Comportement du solide déformable : Caractériser les sollicitations dans les composants
Caractériser les déformations des composants
Caractériser les contraintes mécaniques dans un composant
B3 : Comportement du solide déformable : Déterminer les parties les plus sollicitées dans un composant
Déterminer les valeurs extrêmes des déformations
Déterminer des concentrations de contraintes dans un composant
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I. But de la résistance des matériaux (R.D.M)
La résistance des matériaux est l'étude de ……………………………… et de la ……………………………………………………
(arbres de transmission, bâtiments, fusées, . .). Cela permet donc de :
Déterminer les ............................................................................
Choisir ...........................................................................................
Vérifier la résistance ....................................................... : (Dépassement de la limite à la
résistance élastique du matériau)
Vérifier la résistance .................................................................
Vérifier la résistance ........................................................ : (Rupture après un certain nombre de
cycles de déformation)
Optimiser le coût de la pièce par changement des formes, des dimensions …
II. Les hypothèses de la RDM
La géométrie des pièces 1.
Pour tous les calculs RDM, on utilise le modèle « Poutre »
................................................................................................................................ .
Rq : Si la pièce à étudier ne peut pas être modélisée par une poutre, on utilise ................................................................................... ...................................................................................................................
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Les matériaux étudiés. 2.
Ils doivent être :
Isotropes : on admet que les matériaux ont, en un même point, ............................................................. .
.................................................................................................
Elle n'est pas vérifiée pour les matériaux tels que le bois, les matériaux composites...etc.
Homogènes ..........................................................................................................................................................
Continus : .............................................................................................................................................................
Les charges appliquées 3.
Les charges supportées par la poutre sont ............................................................................................. .
Elles peuvent être concentrées ou réparties.
Hypothèse de Barré de Saint-Venant : Les résultats obtenus en RDM ne seront valables qu’à une
distance suffisante des points d’applications des forces.
Les déformations 4.
Hypothèse de Navier Bernoulli :
Au cours de la déformation, les sections
droites ....................................................
................................................................. .
Les déformations restent faibles
comparativement aux dimensions de la
poutre
Plan de symétrie
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III. Torseur de cohésion.
Les efforts intérieurs ou de cohésion sont .......................................................................................................
et qui assurent l’équilibre ou la cohésion de la structure sous l’action des charges extérieures
exercées.
La connaissance de ces efforts de cohésion nous renseignera sur l’état de ...................................... de
la poutre étudiée, et permettra d’évaluer sa résistance aux efforts qui lui sont appliqués.
Principe de calcul 1.
Pour mettre en évidence les efforts transmis par la matière au niveau d’une section droite d’une
poutre, nous effectuons une coupure imaginaire par un plan perpendiculaire à la fibre moyenne.
Ce plan définit une section S de centre G qui divise la poutre en deux tronçons fictifs (AG et GB).
Chaque tronçon est en équilibre et l’application du Principe Fondamental de la statique, à l’un ou à
l’autre permet d’identifier et de calculer les efforts intérieurs exercés entre les deux tronçons
au niveau de la coupure.
Les actions mécaniques entre les deux tronçons sont des efforts intérieurs à la poutre que l’on peut modéliser par un torseur appelé Torseur de Cohésion {T coh} et dont les éléments de réduction au point G centre de surface sont :
Une résultante , Un moment résultant
Plan de coupe imaginaire
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Deux conventions d’écriture sont possibles. Conventions 1 : .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... ; Conventions 2 : ......................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................
Pour la suite, nous adopterons la CONVENTION 1 tout à fait arbitrairement.
Pour déterminer ce torseur de cohésion il suffit d’effectuer l’équilibre statique du tronçon (1) ou du tronçon (2).
Etude de l’équilibre du tronçon (1) ou de la partie gauche
Définition 1 : Le torseur de cohésion au centre de surface G d’une surface droite de poutre se
défini en effectuant la somme des torseurs, au même point G, des actions mécaniques agissant à gauche de la section droite, somme précédée du signe -.
Etude de l’équilibre du tronçon (2) ou de la partie droite
Rappel : principe des actions réciproques :
Donc
Définition 2 : Le torseur de cohésion au centre de surface G d’une surface droite de poutre se
défini en effectuant la somme des torseurs, au même point G, des actions mécaniques agissant à droite de la section droite, somme précédée du signe +.
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Exemple de calcul 2.
Soit une poutre reposant sur 2 appuis et soumise à une force de longueur l = 4,2 m
Détermination du torseur de cohésion :
On décompose la poutre en deux zones : [AC] et [CB]. Zone [AC] : [AC] = a = 1,2 m
Nous allons déterminer le torseur de cohésion au centre de surface G1 d’une section de poutre située entre A et C, repérée par l’abscisse x.
Le torseur de cohésion au point G1 se détermine en effectuant la somme des A.M. agissant à gauche de la coupure, somme précédée du signe « - » (voir définition 1).
Zone [CB] : [CB] = b = 3 m
Pour la détermination de ce torseur de cohésion, il est
préférable d’utiliser l’autre définition Le torseur de cohésion au point G1 se détermine en
effectuant la somme des A.M. agissant à droite de la coupure, somme précédée du signe « + » (voir définition 2 ).
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Composantes des efforts intérieurs ou du torseur de cohésion 3.
Les composantes du torseur de cohésion se notent conventionnellement comme ci-dessous :
N : ........................................................... Mt : .......................................................................................
Ty : ......................................................... Mfy : .....................................................................................
Tz : ......................................................... Mfz : .....................................................................................
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Les différentes sollicitations simples 4.
Une poutre peut être soumise à plusieurs sollicitations qui dépendent de la nature et de la direction des actions mécaniques.
Sollicitation Effort de cohésion Schéma Exemples
.....................
RG
N
cohT
,00
00
0
:)(
N > 0
Tirant Biellette Courroie
.....................
RG
NcohT
,00000
:)(
N < 0
Ressort
..................... RG
TzTycohT
,0000
:)(
Axe Clavette Goupille Rivet
..................... RG
MtcohT
,0000
0:)(
Arbre de transmission Tuyauterie
..................... RG
MfzTycohT
,0
000
:)(
Arbre Axe Plongeoir Aile d’avion
x
y
x y
x
y
x
y
x y
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IV. Traction
Essai de Traction: 1.
L’essai de traction est une expérimentation qui a pour objet la détermination des caractéristiques de résistance du matériau testé. On applique progressivement et lentement à une éprouvette cylindrique, de formes et de dimensions normalisées, un effort de traction croissant dont l’intensité varie de 0 à F jusqu’à la rupture.. Le tableau ci-dessous montre l’évolution de la déformation de l’éprouvette en fonction de la charge appliquée.
Résultats de l’essai 2.
On obtient avec cet essai le graphe de l’allongement en fonction de la charge appliquée :
Résistance élastique Re
avec Re en MPa, Fe en N, So en mm2.
Allongement en mm
F(N)
F
Zone de
déformation
élastique
Zone de déformation plastique
Point de rupture
Fe Charge limite élastique
F r
e
Fr : Charge limite à la rupture
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Résistance à la rupture Rr
avec Rr en MPa, Fe en N, So en mm2.
Coefficient d’allongement A%
avec Lu longueur ultime après rupture, Lo longueur initiale.
Allongement relatif
avec L allongement total de la poutre; Lo longueur d’origine; allongement
relatif suivant l’axe x, il peut s’écrire x
Coefficient de Poisson
Pour les matériaux élastiques, la diminution des sections droites est proportionnelle à l’allongement relatif, ce coefficient est noté et appelé coefficient de Poisson.
en notant y
do
d
on obtient xy .
Ce coefficient caractérise la déformation transversale.
V. Contrainte
Définition du vecteur contrainte : 1.
Une coupure est effectuée au niveau de la surface (le plan de coupe peut ne pas être perpendiculaire à la ligne moyenne). Considérons un point M de cette surface et d un élément de section droite aussi petit que possible entourant le point M.
Soit 12 EEFd
l’effort élémentaire transmis par d exercé par la matière de la partie droite sur la partie gauche de la poutre.
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On appelle vecteur contrainte au point M pour la coupure de normale n le vecteur :
Unités : ),( nMC ...................................................................................................................................
Contrainte normale et contrainte tangentielle : 2.
Soit ),,,( zyxG
le repère local affecté à la coupure suivant la section droite de normale x
.
Projetons le vecteur contrainte ),( xMC dans le repère ),,,( zyxG
:
MMxMC ),(
M : ...................................................................................................................................................................
M : ....................................................................................................................................................................
Contrainte en traction: 3.
Lorsqu’une poutre est sollicitée en traction la contrainte tangentielle M est nulle et la contrainte
normale M vaux :
avec en N/mm²(MPa), F en N, S en mm².
L’expérience montre qu’il y a proportionnalité dans la zone élastique entre la contrainte et
l’allongement relatif . Loi de Hooke : avec E module de Young en daN/mm². Exemple pour les aciers ............................................................................................................
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Condition de résistance : 4. Pendant toute la durée de son service, une pièce doit conserver un comportement élastique. Cette condition s'exprime par l'inégalité suivante :
Les problèmes d'incertitude sur la valeur de Re, de la contrainte, de la modélisation de l'étude…, nous amènent donc à exprimer la condition de résistance par :
avec eR : ........................................................................................................................................................
s :............................................................................................................................................................ peR ...............................................................................................................................................
Coefficient de concentration de contraintes : Kt 5. La plupart des pièces industrielles ne sont pas cylindriques, elles possèdent des singularités de formes (perçages, gorges, rainures, filetages…). On définit un coefficient de concentration de contrainte appelé Kt tel que :
La contrainte maximale a pour valeur :
Avec : imax = ....................................................................................................................................................
nom = ....................................................................................................................................................
Les valeurs de Kt sont
expérimentales.
Exemple 1 : Pour un filetage
triangulaire ISO : Kt = 2.5
Exemple 2 : Arbre de section
circulaire épaulé.
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VI. Cisaillement
Relation Sollicitation – Contrainte 1.
T : effort tranchant en N
S : surface de la section en m2
La contrainte tangentielle engendrée est
identique dans toute la section :
Loi de comportement élastique 2.
G : module de Coulomb en Pa
x
y
: glissement transversal relatif (sans unité)
VII. Torsion
Relation Sollicitation – Contrainte 1.
Mt : .................................................................
IG : ................................................................. .................................................................
: .................................................................
G
Fibre neutre
M
Moment quadratique polaire 2.
O (S)
SM
y
x
z
Le moment quadratique polaire
de la surface (S) par rapport au point O
est :
Io = ( )S
2 . S
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Quelques expressions usuelles
6
4aIG
12
22 hbbhIG
32
4dIG
32
44 dDIG
Loi de comportement élastique 3.
G : .................................................................
x
: .................................................................
IG : ...................................................................... ......................................................................
x
VIII. Flexion
Relation Sollicitation – Contrainte 1.
Mfz : ...............................................................
IGz : ................................................................
.........................................................................
y : ...................................................................
y
z
x
y M
G
La contrainte normale engendrée est nulle le long
de l’axe (Gz) (fibre neutre) et est de plus en plus élevée
lorsqu’on s’en éloigne.
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Moment quadratique par rapport à un axe 2.
O(S)
SM
y
y
x
Le moment quadratique de la
surface (S) par rapport à l’axe (Ox) est :
IOx = ( )S
y2 . S
Quelques expressions usuelles
12
4aII GyGx
1212
33 hbI
bhI GyGx
64
4dII GyGx
64
44 dDII GyGx
Loi de comportement élastique 3.
Mfz : ........................................................................................................................ E : .............................................................................................................................
IGz ............................................................................................................................
f : .............................................................................................................................
f’’ : ............................................................................................................................
Pour obtenir l’expression de la flèche, on
intègre 2 fois la formule précédente. Les
constantes qui apparaissent lors des intégrations
sont déterminées grâce aux conditions aux limites.
