II – 6Flexion simple (effet du cisaillement)

Philippe.Bouillard@ulb.ac.beversion 16 juillet 2011

II – 6 - 1 - 2Flexion simple (effet de cisaillement)

II - 6 - 1 Flexion simple� Définition [Frey, T. II, Chap. 9, 157-172+180]

� Effet du cisaillement sur les pièces fléchies[pas de référence pour la dém.]

� Moments statiques� Parois minces� Déformation due au cisaillement

II – 6 - 1 - 3Flexion simple (effet de cisaillement)

Flexion simple� Mz ≠ 0 et Ty ≠ 0� la relation reste valable car

– l’effort tranchant perturbe peu les contraintes normales

– la courbure est également peu sensible à l’effort tranchant

� l’effort tranchant est la résultante des contraintes de cisaillement

∫=A

xyy dAT τ

z

zx

I

yM=σ

II – 6 - 1 - 4Flexion simple (effet de cisaillement)

Flexion simple� Essai de flexion 3 points

– Illustre que la déformée est peu influencée par T

http://www.si.ens-cachan.fr/ressource/r14/r14.htm

II – 6 - 1 - 5Flexion simple (effet de cisaillement)

Calcul des contraintes de cisaillement� théorie de Jourawski� calcul de l’effort rasant car réciprocité des

contraintes tangentielles τxy = τyx

[Frey, 2000, Vol. 2]

II – 6 - 1 - 6Flexion simple (effet de cisaillement)

Effort rasant� comparons les assemblages de sections

carrées a x a

� � �

sections � et �

6

a2

y

I

12

a2I

3

max

z

4

z

=

=

section �

( )

( )6

a2a

y

I

12

a2aI

2

max

z

3

z

=

= � est 4x plus rigide

� est 2x plus résistant

II – 6 - 1 - 7Flexion simple (effet de cisaillement)

Calcul de l’effort rasant

0dSTdSTdSTdSTlatS

)n(x

coupe

)n(x

'

)x(x

)x(x =+++ ∫∫∫∫ ∑∑

−

0dSTS

)n(x =∫

Équation d’équilibre de translation horizontal(en l’absence de forces de volume fx=0)

II – 6 - 1 - 8Flexion simple (effet de cisaillement)

Calcul de l’effort rasant

( ) ( )[ ]

0

0

0

0)()(

'

)()(

=+∂

∂

=+∂

∂

=+−+

=+++

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫∫∫

∑

∑

∑

∑∑

−

ABnx

x

coupenx

x

coupenxxx

S

nx

coupe

nx

xx

xx

ddSx

dxddxdSx

dxddSxdxx

dSTdSTdSTdSTlat

λ

λ

λ

τσ

τσ

τσσ

poutre prismatique =0,

pas de force tangentielle en

surface

effort rasant

II – 6 - 1 - 9Flexion simple (effet de cisaillement)

Calcul de l’effort rasant

( )

( )λ

λ

λ

∑−=

∑−=

−=

∫

∫∫ ∑

S

I

T

SI

Td

ydSI

Td

z

y

nx

z

y

ABnx

z

y

ABnx

τ

τ

τ

moment statique de Σ

valeurmoyenne

Supposons que (hypothèse de Bernoulli)Or,

D’où,

yI

T

xT

dx

dM

z

yxy =

∂

∂⇒=

σ

yI

M

z

zx =σ

II – 6 - 1 - 10Flexion simple (effet de cisaillement)

Théorie de Jourawski� récapitulation des hypothèses simplificatrices

– fx = 0– pas de force de surface tangentielle– poutre prismatique– Bernoulli– calcul de la contrainte moyenne

II – 6 - 1 - 11Flexion simple (effet de cisaillement)

Cas particulier� dans le cas où AB est parallèle à Oz

( )b

S

I

T

z

y

xy

xyyx

yxnx

∑=

=

−=

τ

ττ

ττ

formule deJourawski

dans le plan de coupe

II – 6 - 1 - 12Flexion simple (effet de cisaillement)

Centre géométrique et moment statique

� coordonnées du centre géométrique

où apparaissent les moments statiques

∫∫

=

A

Ac

dA

xdAx

∫∫

=

A

Ac

dA

ydAy

∫=A

x ydAS ∫=A

y xdAS

[Frey, 1990, Vol. 1]

II – 6 - 1 - 13Flexion simple (effet de cisaillement)

Moment statique� coordonnées du centre géométrique

deviennent

� conséquences– le moment statique de A par rapport à un axe

passant par le centre géométrique est nul– le moment statique d’une surface d’aire S est égal

au produit de l’aire S par la distance de son centre géométrique à l’axe

A

Sx

yc =

A

Sy x

c =

II – 6 - 1 - 14Flexion simple (effet de cisaillement)

Sections massives� moment statique

� calcul des contraintes

( )

( ) G

22

2h

y

yy2

h

2

1y

2

hbS

y4

h

2

bbydyS

∑=

+

−=∑

−==∑ ∫

A

T

2

3

y4

h

I2

T

ymaxxy

22

z

yxy

=

−=

τ

τz

y

II – 6 - 1 - 15

Application : poutre en béton armé

• Armatures principales : traction due à la flexion• Étriers : effort tranchant• Armatures secondaires et de couture : fissuration• Exercice suggéré : déduire de ce plan le schéma statique

Flexion simple (effet de cisaillement)

armatures principales armatures secondaires armatures de couture

étriers

pas

II – 6 - 1 - 16Flexion simple (effet de cisaillement)

Rupture par cisaillement� Commentaires

– État bidimensionnel de contraintes– 2 directions principales– Directions de cisaillement max à 45°– Fissures typiques de cisaillement

II – 6 - 1 - 17Flexion simple (effet de cisaillement)

Rupture par cisaillement

Credits: A. Hellebois (Service BATir, ULB, 2010)

Rupture par flexion (contraintes normales) Rupture par cisaillement

Essai de flexion 3 points

II – 6 - 1 - 18Flexion simple (effet de cisaillement)

Structures à parois minces� La formule de Jourawski

donne une bonne précision pour les parois minces

� flux de cisaillement (N/m)

( )t

S

I

T

z

y

xnxn

∑−=≈ ττ

( ) ∫−=∑−==s

z

y

z

y

xn dstyI

TS

I

Ttf

0τ

Σ

n

[Frey, 2000, Vol. 2]

II – 6 - 1 - 19Flexion simple (effet de cisaillement)

Section à parois minces ouverte � Poutre prismatique à t variable

( )t

S

I

T

z

y

xn

∑−=τ

constant

variable

τxn max. lorsque S/t max. [Frey, 2000, Vol. 2]

II – 6 - 1 - 20Flexion simple (effet de cisaillement)

Autres contraintes dues à Ty� contrainte normale σy

� contrainte tangentielle τxz

� montre que ne dépend pas de z ⇒ que τxz est linéaire en z

( )( )

y

y

ybT

qTy

∑−=σ toujours négligeable

0fzyx

xxzxyx =+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ ττσ

z

xz

∂

∂τ

II – 6 - 1 - 21Flexion simple (effet de cisaillement)

Section en U

s

A

b

τ

ττ

y

tw

h

t

b

y tw

t

h/2F

F

τ

τtb

tb

Fwd e

ab

τmax

[Frey, 2000, Vol. 2]

II – 6 - 1 - 22Flexion simple (effet de cisaillement)

Section en U� contraintes dans les ailes

( )0

2

2 2

2

2 4

s

yxz

z

yxzz

z

h hS t ds st

T hs

I

T tb hbtF

I

τ

τ

∑ = =

=

= =

∫

résultante aile inférieure

s

A

b

τ

ττ

y

tw

h

t

Σ

[Frey, 2000, Vol. 2]

II – 6 - 1 - 23Flexion simple (effet de cisaillement)

Section en U� contraintes dans l’âme

( )

+=

+=

+

−=

+

+

−+=∑

212

28

242

1

2

2

22

23

2max

22

bthht

I

TF

tI

bthT

I

hT

t

bthy

h

I

T

enégligeabl

correctionyh

yh

ttbh

S

w

z

y

w

wz

y

z

y

xy

wz

y

xy

w

τ

τ

b

y tw

t

h/2

résultante âme[Frey, 2000, Vol. 2]

II – 6 - 1 - 24Flexion simple (effet de cisaillement)

Section en U� inertie en flexion

� conclusion :

� solution approchée

12

bt2

2

bth

12

htI

323w

z ++=

négligeable

yw TF =

w

yxy

A

T=τ

II – 6 - 1 - 25Flexion simple (effet de cisaillement)

Section en I� contraintes tangentielles

τmax

τwm

w

y

wmA

T≈τ

[Frey, 2000, Vol. 2]

II – 6 - 1 - 26Flexion simple (effet de cisaillement)

Facteurs de concentration de contraintes

� Tout changement brutal de section induit des concentrations de contraintes

� Principe de Saint-Venant : ces discontinuités ne sont pas correctement représentées par Jourawski

� On introduit des facteurs de concentration de contraintes

II – 6 - 1 - 27Flexion simple (effet de cisaillement)

Facteurs de concentration de contraintes

[Burr, 1982]

II – 6 - 1 - 28Flexion simple (effet de cisaillement)

Facteurs de concentration de contraintes

nomt

nom

K

dP

σσπ

σ

=

=

max

24

sous effort normal

)(D

dfK t =

[Burr, 1982]

II – 6 - 1 - 29Flexion simple (effet de cisaillement)

Facteurs de concentration de contraintes

nomt

nom

K

dM

σσπ

σ

=

=

max

332

sous moment fléchissant

[Burr, 1982]

II – 6 - 1 - 30Flexion simple (effet de cisaillement)

Section à parois minces fermée� poutres tubulaires ou caissons� la théorie de Jourawski ne s’applique pas

aisément car on ne dispose plus d’un endroit où le flux de cisaillement a une valeur connue a priori

II – 6 - 1 - 31Flexion simple (effet de cisaillement)

Déformation due à l’effort tranchant� l’hypothèse de Bernoulli pas rigoureusement

satisfaite

( )υτγ

+==

12

EGavec

G

1xyxy

τxy pas uniforme

les sections gauchissent

hypothèse de Bernoulligénéralisée