Formalisation pour les sciences sociales et …homepages.ulb.ac.be/~mgagliol/SOCAD173/lesson07.pdf · DroiterabPaoleHyperbole Formalisation pour les sciences sociales et politiques

Droite Parabole Hyperbole

Formalisation pour les sciences sociales et politiques

Fonctions I

Matteo [email protected]

Université libre de Bruxelles

SOCA-D173 2016-2017, Leçon 7

Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 1 / 32


Plan de la leçon

I Petite histoire du nombre : écritureI DroiteI Systèmes d’équationsI ParaboleI Équations du second degréI Racine carréeI Hyperbole

Syllabus : Ch. 6



D’abord, ça sert a quoi ?

DroiteLa droite est le modèle le plus utilisé, en sciences sociales tout comme dansdes autres champs.Voir régression linéaire, STAT-D103.

ParaboleMoins utilisé comme modèle, la parabole est fondamentale dansl’estimation des paramètres d’une régression.Voir méthode des moindres carrés, STAT-D103.

HyperbolePour comprendre la signification de «inversement proportionnel».



Petite histoire du nombre : écritureaccounting in proto-cuneiform

archives from Uruk consist above all of administrative documents, accompanied by a group of texts generally known as lexical lists, although there is good reason to assert that we have among these lists the earliest known example of literature (Englund and Nissen 1993 : 25–29) . It should be remembered that the numbers generally cited in this connection, 85 administrative and 15 lexical texts, represent averages; less than 1 of the earliest, the Uruk IV tablets, are of the lexical genre, while close to 20 of the follow-ing Uruk III tablets belong to this type of document. Whereas Uruk IV documents known to us derive without apparent exception from Uruk, those of the Uruk III (also called Jemdet Nasr) period come from a number of Babylonian sites, including Jemdet Nasr, Kiš, Uqair, Larsa, from transtigridian Tell Asmar, and, as post-Kuwait excavations streaming through London have shown, from Umma and from Adab. We should include here too the c . 1500 tablets and fragments of the so-called proto-Elamite phase in Susiana and regions to the east.

plaintokens

complextokens

3000 B.C.

3300 B.C.

3500 B.C.

8500 B.C.

numericaltablets

ideographictablets

bullae

figure 2.2 Denise Schmandt-Besserat’s schema of the history of writing. (Based on Schmandt-Besserat 1992; 1996)

I Denise Schmandt–Besserat, 2015, FromAccounting to Writing

I Robert K. Englund, 2011, Accounting inProto-Cuneiform, in The Oxford Handbook of

Cuneiform Culture.5ORI-AX, 5ORI 935 RADN

I Denise Schmandt–Besserat, 1996, How Writing

Came About. 6NIV 411 SCHM

Jarmo, Iraq, 6500 av. J.-C.

Uruk, Iraq, ca. 3300 av. J.-C.


https://sites.utexas.edu/dsb/tokens/from-accounting-to-writing/

https://sites.utexas.edu/dsb/tokens/from-accounting-to-writing/

https://cdli.ucla.edu/staff/englund/publications/englund2011a.pdf

https://cdli.ucla.edu/staff/englund/publications/englund2011a.pdf

http://ulb.summon.serialssolutions.com/#!/search?bookMark=ePnHCXMw42JgAfZbU5nBp9dYmpoCUxCwvuMC1zOgDq4pB2wEBFhZGQP7ZpwMGsAQUYDsj1MADReDmpcK-WkKyaV5qaDtSbkKkFMogOWlpJtriLOHbmlOUjx0eCMe2CMHNvmN8MkBAMRPKJ4

http://ulb.summon.serialssolutions.com/#!/search?bookMark=ePnHCXMw42JgAfZbU5khZ9sYWRqZm5sbgM4T4bA0NTABtmYtOWBDIMDEYAJsfnMyiHnklyuUgw7xyUtXSE7MTVUAr8rlZpB0cw1x9tAtzUmKh45mxJuCJ8KM8MkBAOdDIeo


Petite histoire du nombre : écritureaccounting in proto-cuneiform

archives from Uruk consist above all of administrative documents, accompanied by a group of texts generally known as lexical lists, although there is good reason to assert that we have among these lists the earliest known example of literature (Englund and Nissen 1993 : 25–29) . It should be remembered that the numbers generally cited in this connection, 85 administrative and 15 lexical texts, represent averages; less than 1 of the earliest, the Uruk IV tablets, are of the lexical genre, while close to 20 of the follow-ing Uruk III tablets belong to this type of document. Whereas Uruk IV documents known to us derive without apparent exception from Uruk, those of the Uruk III (also called Jemdet Nasr) period come from a number of Babylonian sites, including Jemdet Nasr, Kiš, Uqair, Larsa, from transtigridian Tell Asmar, and, as post-Kuwait excavations streaming through London have shown, from Umma and from Adab. We should include here too the c . 1500 tablets and fragments of the so-called proto-Elamite phase in Susiana and regions to the east.

plaintokens

complextokens

3000 B.C.

3300 B.C.

3500 B.C.

8500 B.C.

numericaltablets

ideographictablets

bullae

figure 2.2 Denise Schmandt-Besserat’s schema of the history of writing. (Based on Schmandt-Besserat 1992; 1996)

I David Graeber, 2011, Debt : the first 5000 years

en : 5NIV 336.34 GRAEfr : 5NIV 332.49 GRAE.

Suse, Iran, 3300 av. J.-C.

Godin Tepe, Iran, 3200 av. J.-C.

Uruk, Iraq, 3100 av. J.-C.


http://ulb.summon.serialssolutions.com/#!/search?bookMark=ePnHCXMw42JgAfZbU5khpykBu8tmwE4Q6JAiLtC8q4GJiSnoljiuPGDNAEwKJibmHLAREQMLYNVlZMnJwALMasBmnqSba4izh25pTlI8dCgj3hJ0HxrozDzccgCqjB4B

http://ulb.summon.serialssolutions.com/#!/search?bookMark=ePnHCXMw42JgAfZbU5lBgwrAqsjIwBJ8axwnA6sLaO0KN4Okm2uIs4duaU5SPHSEIt7SElRRGOGTAwCIaRaL


Un simple exemple de données quantitatives :poids vs taille

Taille [cm] Poids [kg]

152.6 76.9

156.3 76.5

161.5 92.1

162 94.4

164.7 95

. . . . . .

I On a noté la taille (en cm) et lepoids (en kg) d’un grouped’individus

I Chaque ligne du tableaucorrespond à un individu



Représentation géométrique des données sur leplan cartésien

Chaque ligne de notre tableau peutêtre représentée par un point du plan

cartésien.Comment ces points vont-ils sedisposer sur le plan ?Exemple :

I abscisses : tailleI ordonnées : poids

0 x

y

Taille [cm]

Poids[kg]



Visualisation des données

Taille [cm] Poids [kg]

152.6 76.9

156.3 76.5

161.5 92.1

162 94.4

164.7 95

. . . . . .



Modélisation des données

I On peut considérer un ensemblede données comme décrivant unerelation entre plusieurs quantités(deux dans cet exemple)

I Le défi de la modélisation est degénéraliser la relation observée

I Un modèle définit une relationentre les variables observées, parexemple une fonction y = f (x)

Taille [cm]

Poids [kg]

167

182

145

155160

178

142

149176

191

45 66

5895

87

82

70

53

76 62



Un modèle constant

Quel est le modèle le plus simplequ’on arrive à imaginer ?On pourrait imaginer que tout lemonde a le même poids : y = 50kg ,ou y = 90kg , ou . . .On peut décrire tous ces modèlesdifférents avec une seule équationparamétrique

y = b

où b est une constante.



Un modèle linéaire

On peut maintenant imaginer, enétant un peu plus réalistes, que les« plus grands » soient aussi les« plus lourds ».Par simplicité, considérons le modèlesuivant : pour chaque cm de hauteur,on gagne 1 kg, indépendamment de

la taille.

Ou bien 0.5, ou 2 . . .

0 x

y

∆x

∆y

1

1




En d’autre mots : on impose unrapport poids/taille constant,indépendant de la taille.Un tel modèle est représenté par unedroite passant par l’origine, dont lapente dépend du rapport choisi, dansce cas 1.

Ou bien 0.5, ou 2 . . .

0 x

y

∆x

∆y

1

1




En d’autre mots : on impose unrapport poids/taille constant,indépendant de la taille.Un tel modèle est représenté par unedroite passant par l’origine, dont lapente dépend du rapport choisi, dansce cas 1.Ou bien 0.5,

ou 2 . . .

0 x

y

1

1

∆x

∆y




En d’autre mots : on impose unrapport poids/taille constant,indépendant de la taille.Un tel modèle est représenté par unedroite passant par l’origine, dont lapente dépend du rapport choisi, dansce cas 1.Ou bien 0.5, ou 2 . . .

0 x

y

1

1∆y

∆x



Équation d’une droite

On connaît déjà l’équation paramétrique de la famille des droiteshorizontales, y = b.On peut facilement dériver une équation paramétrique pour notre deuxièmehypothèse : rapport poids taille constant, donc

y

x= a

où a désigne une constante. Si on multiplie chaque coté de l’équivalencepar x , on obtient tout simplement :

y = ax

qui représente une croissance linéaire de y par rapport à x



Équation d’une droite

En somme on peut décrire :

I toute droite horizontale : y = b

I toute droite passant par l’origine (verticale exclue) : y = ax

Si l’on commence notre croissance à partir d’une valeur y = f (0) = b, onobtient l’équation de toutes les droites sur le plan (verticale exclue).

y = ax + b

où :

I a est le coefficient directeur, ou plus simplement la pente

I b est le coefficient à l’origine



Dessiner une droitePour dessiner une droite

y = ax + b

il suffit de trouver deux points qui luiappartiennent. Si on choisit f (0) = b

et f (1) = a + b, on peut aussi voirgraphiquement les deux paramètres :

I la droite passe par (0, b) et(1, a + b)

I b est la valeur de y àl’intersection avec le repèrevertical

I a est l’incrément de la valeur dey correspondant à un incrémentd’une unité de x .

0 x

y

1

1 b

a

Voir le graphique interactif.


https://ggbm.at/dmYm7X62


Paramètres vs variablesDans l’équation :

y = ax + b

x , y , a et b sont tous des symboles, mais avec des significations biendistinctes.On appelle a et b des paramètres : à chaque valeur de (a, b) correspondune équation différente, et une droite différente.Par contre, x et y sont des variables : y est une variable dépendante, carce qu’on veut dire avec l’équation est que « y est une fonction de x », quiest la variable indépendante :

y = f (x) = ax + b

Comment peut-on distinguer une constante d’une variable ?En lisant bien le texte qui accompagne l’équation !

Par convention, on utilise a, b, c, . . . , pour des constantes ou desparamètres ; x , y , z pour des variables ou inconnues.



Réciproque d’une droiteChaque droite y = ax + b aveca ̸= 0, est une application bijective,ayant donc une réciproque qui estaussi une application bijective.On peut trouver son équation defaçon algébrique, en exprimant xcomme fonction de y :

y = ax + b

y − b = ax

y − b

a= x

donc la réciproque est

y =1ax − b

a

0 x

y

1

1 b

a



Réciproque d’une droiteChaque droite y = ax + b aveca ̸= 0, est une application bijective,ayant donc une réciproque qui estaussi une application bijective.On peut trouver son équation defaçon algébrique, en exprimant xcomme fonction de y :

y = ax + b

y − b = ax

y − b

a= x

donc la réciproque est

y =1ax − b

a

0 x

y

1

1 b

a

−ba

1a



Équations et racines

Une fonction représente un ensemblede points :

f = {(x , y) ∈ R2 | y = −0.5x + 0.5}0 1

1

x

y





f = {(x , y) ∈ R2 | y = −0.5x + 0.5}

Résoudre l’équation f (x) = 0, c’esttrouver le x de l’intersection de lareprésentation de l’équation avecl’axe des abscisses.

0 1

1

x

y

y = f (x) = −0.5x + 0.5

f (x) = 0





f = {(x , y) ∈ R2 | y = −0.5x + 0.5}

{(x , y) ∈ R2 | y = −0.5x+0.5}∩{(x , y) ∈ R2 | y = 0}

{(x , y) ∈ R2 | (y = −0.5x+0.5)∧(y = 0)}

0 1

1

x

y

y = f (x) = −0.5x + 0.5

f (x) = 0





f = {(x , y) ∈ R2 | y = −0.5x + 0.5}

{(x , y) ∈ R2 | (−0.5x+0.5 = 0)∧(y = 0)}

{(x , y) ∈ R2 | (x = 1) ∧ (y = 0)}

{(1, 0)}

0 1

1

x

y

y = f (x) = −0.5x + 0.5

f (x) = 0



Systèmes d’équationsPlus en général, résoudre un système d’équation c’est trouver l’intersectiondes ensembles représentés par ces équations. Par exemple :⎧⎨⎩ y = −0.5x + 0.5

y = 2x − 1

La grande accolade signifie que on cherche les valeurs de x et y qui vérifientles deux équations au même temps. L’ensemble des solutions est donc :

{(x , y) ∈ R2 | (y = −0.5x + 0.5) ∧ (y = 2x − 1)}

{(x , y) ∈ R2 | y = −0.5x + 0.5} ∩ {(x , y) ∈ R2 | y = 2x − 1}

{(35,15

)}



Inéquations

L’ensemble des solutions d’uneinéquation à deux variablescorrespond à une région du plan,donc encore un ensemble de points :

A = {(x , y) ∈ R2 | y < −0.5x + 0.5}

Dans le cas d’une inéquation linéaire,la frontière de cette région est unedroite, partageant le plan en deuxdemi-plans.La droite est inclue dans l’ensembledes solutions si l’inégalité est faible.

0 1

1

x

y

y = f (x) = −0.5x + 0.5

y < −0.5x + 0.5



Exercice

Examen juin 2015On a des pommes dans deux paniers.

I Si on déplace 2 pommes du panier de gauche (y) à celui de droite (x),on aura le même nombre de pommes dans les deux paniers.

I Si on déplace 1 pomme du panier de droite (x) à celui de gauche (y),le panier de gauche contiendra 4 fois les pommes du panier de droite.

Combien de pommes il y a-t-il dans chaque panier ?

3.1 Écrire les équations correspondantes aux conditions ci-dessus [1 pt].

3.2 Résoudre le système d’équations et vérifier la solution analytiquement.Justifier la réponse en explicitant les calculs [2 pt].

3.3 Vérifier la solution graphiquement, à l’aide d’un plan cartésien [2 pt].



Exercice





Changement Panier de gauche Panier de droite Équation

Situation de départ y x

2 pommes gauche → droite y - 2 x + 2 y - 2 = x+2

1 pomme droite → gauche y + 1 x - 1 y + 1 = 4(x-1)



Exercice





⎧⎨⎩ y − 2 = x + 2

y + 1 = 4(x − 1)



Exercice

Pour dessiner : mettre les deux droites en forme y = ax + b

⎧⎨⎩ y − 2 = x + 2

y + 1 = 4(x − 1)



Exercice

Pour dessiner : mettre les deux droites en forme y = ax + b

⎧⎨⎩ y = x + 4

y = 4x − 5



Parabole

La fonction paramétrique

y = ax2 + bx + c

définit une fonction polynôme du second degré.Graphiquement, cette fonction est représentée par une parabole.

En général, on écrit une fonction polynôme du n-ème degré ainsi :

y =n∑︁

i=0

aixi = anx

n + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0



Dessiner une parabole

Une parabole présente une symétrie par rapport à l’axe vertical x = − b2a ,

ce qui rend la correspondance entre paramètres et graphique plus complexeque dans le cas de la droite (l’axe change en changeant a ou b).

∀𝛼 ∈ R f (− b

2a− 𝛼) = f (− b

2a+ 𝛼)

Dessiner une parabole ce n’est pas simple ! Avec un peu d’expérience, onpeut la dessiner à partir du sommet et de deux autres points.On peut quand même examiner l’impact des variations des troisparamètres, un à la fois.Voir le graphique interactif.


https://ggbm.at/M5G3DJjW


Parabole : variation de a

En gardant b = c = 0, on peut voir que a contrôle la courbure de laparabole : plus a est grand, plus la courbure est évidente.

I pour a = 1 on obtient la courbede la fonction carrée y = x2

I si on augmente a on dilate lacourbe en direction verticale

I si on diminue a en gardant a > 0on comprime la courbe

I pour a < 0 la courbature estvers le bas

I pour a = 0 on obtient une droite(sans courbure)

0 1

1

x

y y = x2

y = 0.5x2y = 2x2

En pratique, a dilate la courbe en vertical.



Parabole : variation de b

En gardant c = 0, a > 0 constante (ex. a = 1), et en changeant b, onchange l’axe et la hauteur de la parabole.Vu l’axe vertical x = − b

2a :I pour b > 0 la courbe va vers la

gaucheI pour b = 0 la courbe est

symétrique par rapport à l’axedes ordonnées (x = 0)

I pour b < 0 la courbe va vers ladroite

I pour a < 0 constante (ex.a = −1), on inverse le sens(b > 0 vers la droite).

0 1

1

x

y

y = x2

y = x2 − x

y = x2 + x



Parabole : variation de c

Tout comme pour la droite, c est l’ordonnée de l’intersection de la courbeavec l’axe des ordonnées. En changeant c , on déplace la courbe endirection verticale, sans changer sa forme (on opère une translation endirection verticale).

I en augmentant c on déplace la courbe vers le hautI en diminuant c on déplace la courbe vers le bas

De même pour toute fonction qu’on peut représenter sous la forme :

f (x) = g(x) + c .

L’intersection avec les ordonnées sera le point (0, g(0) + c).Pour un polynôme de degré n :

f (x) =n∑︁

i=0

aixi

on a g(0) = 0, et c = a0.Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 25 / 32


Racines d’une parabole

L’existence et le nombre de racines d’une parabole, donc les valeurs de x

telles que

ax2 + bx + c = 0,

dépendent de la valeur du discriminant ∆ = b2 − 4ac (donc des troisparamètres).

I pour ∆ < 0 il n’y a pas de racinesI pour ∆ = 0 il y a une racine correspondant à l’axe vertical x = − b

2a

I pour ∆ > 0 il y a deux racines symétriques par rapport à l’axe vertical,x1 = −b−

√Δ

2a et x2 = −b+√Δ

2a

Le sommet est le point :

(− b

2a,− ∆

4a)



Racine carrée

I On ne peut pas définirl’application réciproque de lafonction carrée y = x2, car ellen’est pas injective !

I On doit d’abord en faire uneapplication bijective : il suffit dela redéfinir comme fonctionf+ : R+ → R+, oùR+ = [0; +∞[ est l’ensembledes réels positifs.

I La fonction inverseg : R+ → R+ est la racine

carrée g(x) =√x .



Racine carrée







Racine carrée







Exercice

Jeanne et sa mère sont tous les deux nées un 4 mars. Il y a 19 ans, la mèrede Jeanne avait, en années entières, le carré de l’âge de sa fille. Il y a 15ans, la mère de Jeanne avait, en années entières, quatre fois l’âge de safille. Calculez l’année de naissance de Jeanne et celle de sa mère.

Rappel : pour

ax2 + bx + c = 0,

les racines dépendent de la valeur du discriminant ∆ = b2 − 4ac .

I pour ∆ < 0 il n’y a pas de racinesI pour ∆ = 0 il y a une racine correspondant à l’axe vertical x = − b

2a

I pour ∆ > 0 il y a deux racines symétriques par rapport à l’axe vertical,x1 = −b−

√Δ

2a et x2 = −b+√Δ

2a



Hyperbole et inverse

Si l’on divise une constante a par x on obtient une fonction qui correspondà une hyperbole sur le plan :

y = f (x) =a

x= ax−1.

On dit dans ce cas que y estinversement proportionnelle à x .Pour tout a ̸= 0, f est :

I définie en R0 = R− {0},I bijective sur R0

Pour a = 1, f (x) = 1x = x−1 s’appelle fonction inverse, et son application

réciproque est égale à elle-même.Voir le graphique interactif.


https://ggbm.at/PB9NQsuX


Conclusion

À retenir

I Droite et son inverseI Systèmes d’équationsI Parabole : paramètres, racinesI Racine carréeI Hyperbole

Syllabus : Ch 6.

Prochainement

I Propriétés des exposantsI ExponentielleI Logarithme (propriétés)I Composition de fonctionsI Dérivée, intégrale, étude de fonctions, . . .

Syllabus : Ch. 6, 7.Gagliolo (ULB) Fonctions I SOCAD173:7 32 / 32

Documents

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