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II. Difficultés rencontrées par les élèves
Les difficultés d’apprentissage tiennent à la fois : à la méconnaissance des fractions et des décimaux, à une conception trop souvent additive de la multiplication, à une quantité souvent importante des informations qui peuvent être prises sur les situations, et au nombre de méthodes différentes pour résoudre les problèmes dont certaines restent souvent implicites en classe.
1. Reconnaître une situation de proportionnalité
a) Dans un tableau de valeurs décontextualisées (5e)
Réponse exacte : 42%
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II. Difficultés rencontrées par les élèves
1. Reconnaître une situation de proportionnalité
b) Dans un tableau de valeurs contextualisées (5e)
Réponse exacte 46%.
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II. Difficultés rencontrées par les élèves
1. Reconnaître une situation de proportionnalité
c) Dans un graphique décontextualisé (5e)
Réponse exacte 22%. Au plus une erreur 33%.
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II. Difficultés rencontrées par les élèves
2. Déterminer une quatrième proportionnelle
a) Dans un tableau de valeurs décontextualisées (5e)
• Exemple 1
Réponse exacte : 64%
La dernière colonne a fait chuter le score : 30 était en effet un multiple de 6 ; des élèves ont utilisé l'opérateur inverse (:6).
Le résultat ainsi obtenu était aussi plus « proche » des autres nombres du tableau.
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II. Difficultés rencontrées par les élèves
2. Déterminer une quatrième proportionnelle
a) Dans un tableau de valeurs décontextualisées (5e)
• Exemple 2
3 réponses exactes : 42%
2 réponses exactes : 66%
C'est en général le troisième tableau qui pose problème à cause du coefficient de proportionnalité qui n’est pas entier.
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II. Difficultés rencontrées par les élèves
2. Déterminer une quatrième proportionnelle
b) À partir d’une situation (6e et 3e)
1°) Réponse exacte : en 6e 51% ; en 3e 96%
2°) Réponse exacte : en 6e 33% ; en 3e 87%
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II. Difficultés rencontrées par les élèves
2. Déterminer une quatrième proportionnelle
c) À partir d’une situation et d’un graphique (3e)
•Réponse exacte : 49% à 56%
•Principales sources d'erreur :
-confusion entre degrés et pourcentages ;
-oubli de la somme à partager : certains élèves attribuent aux pays les mesures en degrés ou en pourcentage ;
-passage par des pourcentages.
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II. Difficultés rencontrées par les élèves
2. Déterminer une quatrième proportionnelle
d) Analyse de productions d’élèves à l’entrée en 6e
Énoncé :
Pour faire une purée pour quatre personnes, il faut 800 g de pommes de terre, 30 cl de lait et 40 g de beurre.
Complète le tableau suivant en inscrivant les quantités pour 20 personnes et pour 10 personnes.
Voici les réponses de quatre élèves à analyser en émettant des hypothèses sur les démarches mises en œuvre.
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II. Difficultés rencontrées par les élèves
2. Déterminer une quatrième proportionnelle
d) Analyse de productions d’élèves à l’entrée en 6e
Élève n°1
Élève n°2
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II. Difficultés rencontrées par les élèves
2. Déterminer une quatrième proportionnelle
d) Analyse de productions d’élèves à l’entrée en 6e
Élève n°3
Élève n°4
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III. Les méthodes de résolution des problèmes
Deux questions principales sont abordées dans ces troisième partie.
1. Quelles propriétés pour quelles méthodes ?
Les propriétés des situations de proportionnalité sont riches, si bien que les méthodes de résolution d’un même problème sont nombreuses.
Le cours propose de faire le point sur les méthodes, et de montrer quels peuvent être les avantages de telle ou telle méthode en fonction des variables (didactiques) de la situation (valeurs numériques, généralité visée, réutilisation des résultats, etc.)
2. Quel enseignement de quelles méthodes ?
Les programmes ont souvent évolué quant à l’enseignement des méthodes de résolution des problèmes de proportionnalité. Où en est-on aujourd’hui ?
Et quelles sont encore les difficultés rencontrées par les élèves (étudiants) et leurs enseignants (formateurs) ?
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1. Un problème en guise d’introduction
L’énoncé du problème
Sachant que 4 stylos coûtent 2,42 €, combien coûtent 14 stylos ?
La réponse du ministre de l’Éducation de 2008
III. Les méthodes de résolution des problèmes
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III. Les méthodes de résolution des problèmes
1. Les propriétés qui fondent les méthodes
Considérions deux grandeurs proportionnelles X et Y et notons k le coefficient de proportionnalité qui permet d’obtenir les valeurs de Y en multipliant celles de X.
a) Le coefficient de proportionnalité
Le coefficient k est la valeur de Y pour x = 1
On obtient la valeur de X correspondant à celle de Y en divisant par le coefficient de proportionnalité
Si x1 et x2 sont deux valeurs de X et y1 et y2 sont les
deux valeurs de Y correspondante, alors :
• Illustration
4 stylos coûtent 2,42 € donc 1 stylo coûte
donc 14 stylos coûtent 14 x 0,605 = 8,47 €.
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III. Les méthodes de résolution des problèmes
1. Les propriétés qui fondent les méthodes
b) Propriétés dites de « linéarité »
• Addition et soustraction de valeurs proportionnelles
si x1 et x2 sont deux valeurs de X et y1 et y2 sont les deux valeurs de Y correspondantes, alors :
x1 + x2 y1 + y2 et x1 - x2 y1 - y2
• Multiplication et division de valeurs proportionnelles
si x est une valeur de X et y la valeur correspondante de Y, alors, quel que soit le nombre n :
n . x n . Y et x / n y / n
• Illustration
4 stylos coûtent 2,42€ donc 2 stylos coûtent 1,21 € et 14 stylos coûtent 7 x 1,21 = 8,47 €
4 stylos coûtent 2,42€ donc 2 stylos coûtent 1,21 € et 12 stylos coûtent 7,26 € d’où le prix de 14 stylos : 8,47 €
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III. Les méthodes de résolution des problèmes
2. Méthodes numériques
a) Le retour à l’unité
On sait que 4 stylos coûtent 2,42 €
On calcule le prix de l’unité : 1 stylo coûte 0,605 €
On calcule le prix des 14 unités : 8,47 €
Cette méthode est d’autant plus simple à mettre en œuvre que le nombre d’unités est entier et petit.
b) La règle de trois
On sait que 4 stylos coûtent 2,42 €
On écrit le prix de l’unité : 1 stylo coûte 2,42 / 4 €
On calcule le prix des 14 unités : 14 x 2,42 / 4 = 8,47 €
Cette méthode permet plus facilement que la précédente de gérer une valeur unitaire non décimale (faire l’essai avec 7 stylos qui coûtent 2,42 €).
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III. Les méthodes de résolution des problèmes
4 14
2,42 ?
2,42 14
4
2. Méthodes numériques
c) Le calcul direct
On pose les valeurs proportionnelles en carré
On calcule la quatrième proportionnelle
Cette méthode est très générale.
d) La manipulation de fractions (ou de quotients)
Méthode intéressante quand les calculs conduisent à des numérateurs et dénominateurs faciles à décomposer multiplicativement.
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III. Les méthodes de résolution des problèmes
2. Méthodes algébriques
a) Les « produits en croix »
On note x le prix cherché
On écrit la proportion (l’égalité des rapports) :
On écrit l’égalité des « produits en croix » *
4 . x = 33,88
On en déduit le prix à payer :
Méthode voisine du calcul direct avec une écriture symbolique qui en dit davantage sur la justification de la démarche.
* Ces produits s’appelaient autrefois le produit des « extrêmes » et le produit des « moyens »
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III. Les méthodes de résolution des problèmes
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III. Les méthodes de résolution des problèmes
3. Méthodes fonctionnelles
a) Les procédures externes (analytiques)
La procédure repose sur la recherche du coefficient de la fonction linéaire c’est-à-dire du coefficient de proportionnalité. Sa mise en œuvre repose sur l’écriture de tableaux ou de fonctions.
Le rapport calculé est un rapport de deux mesures différentes.
Ici la multiplication par le coefficient 0,605 permet de passer de 4 à 2,42 et de 14 à l’inconnue 8,47.
Si on avait demandé combien de stylo peuvent être achetés avec 8,47_euros, on aurait pu diviser par le coefficient 0,605.
x 0,605 Stylos 4 14
Prix 2,42
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III. Les méthodes de résolution des problèmes
3. Méthodes fonctionnelles
b) Les procédures internes (analogiques ou scalaires)
La procédure repose sur la recherche de relations entre des mesures de la même grandeur.
Si la relation est multiplicative, le rapport n’a pas d’unité, c’est un nombre « scalaire ».
Stylos 4
Prix 2,42
x3
12
7,26
:2
2
1,21
+
14
8,47
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III. Les méthodes de résolution des problèmes
5. Comparaison de la qualité des méthodes
a) Les critères
On distingue trois critères pour évaluer une méthode :
• sa validité (y compris la justification)
• son efficacité (préoccupation « économique »)
• sa généralité (indépendance des valeurs)
b) Comparaison
La règle de trois n’est pas toujours économique, mais elle est assez générale et aide la justification.
Les méthodes qui reposent sur les proportions sont très efficaces et générales mais demandent une perte de sens et donc n’aident pas à la justification.
Les méthodes reposant les fonctions (tableaux) sont très efficaces mais pas très générales, elles demandent une bonne connaissance des nombres.
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III. Les méthodes de résolution des problèmes
6. Les recommandations des programmes évoluent
1945-1970 : Règle de trois
Reconnaître la situation et appliquer la règle.
1970-1985 : Opérateurs et fonctions linéaires
Reconnaître la relation entre les grandeurs (opérateur ou fonction) et l’utiliser pour résoudre le problème.
1985-2008 : Notion de proportionnalité
Résoudre des problèmes pour construire des procédures et des outils, et pour conceptualiser.
2008 : Retour de la règle de trois
La proportionnalité est abordée à partir des situations faisant intervenir les notions de pourcentage, d’échelle, de conversion, d’agrandissement ou de réduction de figures. Pour cela, plusieurs procédures (en particulier celle dite de la « règle de trois ») sont utilisées.
